Статические и динамические задачи несвязанной термоупругости оболочек и пластин с термочувствительной толщиной тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

I. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ НЕСВЯЗАННОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБОЛОЧЕК С ТЕРМОЧУВСТВИТЕЛЬНОЙ ТОЛЩИНОЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ.

1.1. Кинематическая модель оболочки с термочувствительной толщиной.

1.2. Соотношения Коши.

1.3. Силовые характеристики оболочки с термочувствительной толщиной.

1 „ т, - ** *****

1.4. Вывод уравнении термоупругост^1у!^^о^ам^татики с использованием тензорного исчисления.

1.5. Силовая функция и кинетическая энергия оболочки с термочувствительной толщиной в рамках геометрически линейной модели.

1.6. Уравнения линейной динамики оболочки с термочувствительной толщиной.

1.7. Уравнения статической термоустойчивости оболочек.

1.8. Тепловой функционал для нелинейного уравнения Теплопроводности.

II. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ НЕСВЯЗАННОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С ТЕРМОЧУВСТВИТЕЛЬНОЙ ТОЛЩИНОЙ.

2.1. Соотношения Коши и основные характеристики пологих оболочек двоякой кривизны.

2.2. Функция Лагранжа и динамические уравнения термоупругости пологих оболочек.

2.3. Уравнения статической термоустойчивости пологих оболочек с термочувствительной толщиной.

2.4. Применение степенных рядов в случае пластин с изменяемой при нагреве толщиной (метод Коши-Пуассона).

III. ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ПЛАСТИНКИ С ИЗМЕНЯЕМОЙ ПРИ НАГРЕВЕ ТОЛЩИНОЙ.

3.1. Силовая функция термоупругой системы «пластинка-ребро» с термочувствительной толщиной.

3.2. Сингулярные уравнения термоупругости геометрически нерегуляр- ных пластин.

IV. СТАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НЕСВЯЗАННОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С ТЕРМОЧУВСТВИТЕЛЬНОЙ ТОЛЩИНОЙ.

4.1. Термоупругость пластин, находящихся в конвективном теплообмене через основные поверхности с рабочей средой.

4.2. Подход Коши-Пуассона при анализе термоупругого поведения пластин с термочувствительной толщиной.

4.3. Термоупругость пластин с теплоизолированными основными поверхностями.

4.4. Термоупругость пологой оболочки двоякой кривизны в условиях конвективного теплообмена с рабочей средой через основные поверхности.

V. СТАТИЧЕСКАЯ ТЕРМОУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С ТЕРМОЧУВСТВИТЕЛЬНОЙ ТОЛЩИНОЙ.

5.1. Определение интегралов уравнений термоупругости пластин и пологих оболочек, находящихся в безмоментном состоянии.

5.2. Определение значений параметров, при которых становится возможным скачкообразный переход к новой форме равновесия.

VI. РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ ПЛАСТИН.

6.1. Динамическая термоустойчивость пластин, находящихся под действием температурного поля по пространственной и временной координатам.

6.2. Определение областей динамической термоустойчивости нагретой гретой пластинки под действием периодической нагрузки.

Тонкостенные пластинки и оболочки являются элементами разнообразных по назначению технических объектов и широко используются в инженерной практике. В ряде случаев условия эксплуатации конструкций оболочечного типа предусматривают различные по характеру температурные воздействия со стороны рабочей среды. Влияние температурных факторов, как показывает практика, может значительно превосходить влияние силовых - нагрев приводит к снижению величин, характеризующих прочностные характеристики конструкционных материалов, к возникновению значительных термических напряжений и деформаций, к существенным изменениям геометрии конструкции.

Поведение тонкостенных конструкций в температурных полях практически непредсказуемо. Это объясняется сложностью тепловых и термоупругих процессов, происходящих в сплошных средах в виде оболочек, и недостаточными экспериментальными данными и сложностью краевых задач термоупругости, успех в решении которых прямо связан со сложностью структуры температурного поля, определяющего правые части уравнений термоупругости и входящего в краевые условия.

Вопросам термоупругости пластин и оболочек посвящено достаточно большое число работ, простое перечисление которых сводится к нескольким десяткам наименований. Приведем лишь некоторые из них: [5], [35], [37], [38], [41], [46], [48], [49], [50], [52], [54], [66], [69], [73], [74], [75], [83]. При анализе термоупругого поведения тонкостенных конструкций используются различные по степени точности модели оболочек и пластин: теории типа Лява, сдвиговые по вертикали модели типа Рейсснера в геометрически линейной и нелинейной постановках [1], [2], [3], [4], [8], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [17], [25], [26], [29], [30], [34], [36], [39], [40], [42], [43], [47], [51], [52], [62], [68], [71], [82], [85], [86], [87], [88], [89], [90], [91], [92]. Во всех этих моделях «сквозной» является гипотеза недеформируемой нормали к срединной поверхности оболочки, что не согласуется с физической реальностью - при воздействии температурных полей расстояния между лицевыми поверхностями изменяются, и проверка этого факта не требует сколько-нибудь сложных экспериментов.

Необходимость точного анализа поведения элементов конструкций оболочечного типа под действием реальных температурных полей, предварительно определяемых путем интегрирования уравнений теплопроводности для рассматриваемого класса элементов конструкций, возникает во многих технических областях - в ракетостроении, в электронной технике при проектировании плат, экранов, оболочек ламп, термочувствительных датчиков и т. п.

Приемлемые для инженерной практики математические модели должны учитывать очевидные физические факты и допускать анализ на основе строгих математических методов, позволяющих определять аналитические решения краевых задач несвязанной термоупругости, удобные при количественном анализе с помощью ЭВМ.

По этой причине актуальными (представляют теоретический и практический интерес) являются исследования термоупругого поведения пластин и оболочек с учетом реального поведения материала при нагреве. Этим исследованиям посвящена данная диссертационная работа.

Целью работы, в связи с вышеизложенным, является:

1. Разработка на базе симметричной теории упругости кинематической модели геометрически регулярных оболочек и геометрически нерегулярных пластин с термочувствительной толщиной. За основу берется сдвиговая модель типа Рейсснера;

2. Выводы на основе вариационных принципов механики, а также методами статики с использованием аппарата тензорного анализа статических и динамических уравнений термоупругости оболочек произвольных очертаний в криволинейных координатах; уравнений термоупругости пологих оболочек, и краевых условий для этих систем дифференциальных уравнений;

3. Вывод уравнений термоупругости геометрически нерегулярных пластин из вариационного принципа Лагранжа (при этом за основу взята секвенциальная теория обобщенных функций);

4. Построение системы уравнений термоупругого равновесия пластинки на основании подхода Коши-Пуассона вариационным путем в перемещениях и обобщенных углах поворота;

5. Получение решений методом суперпозиции двойных тригонометрических рядов и многочленов, учитывающих характер неоднородности краевых условий, теплопроводности и термоупругости статических и динамических задач несвязанной термоупругости пологих оболочек и пластин, находящихся в конвективном теплообмене через основные поверхности с рабочей средой;

6. Определение: функций прогиба; критических температур при скачкообразных переходах упругой системы к новым формам равновесия; областей динамической термоустойчивости нагретых пластин под действием сжимающих периодических во времени усилий, и сравнение с результатами, полученными с учетом гипотезы неизменяемости нормали.

Все перечисленные результаты являются новыми и выносятся на защиту.

Работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и приложений.

В первой главе, на основе модели типа Рейсснера в предположениях, что оболочка находится только под действием температурного поля, а компонента тензора полной деформации ёъъ = ав{а1 ,а2определяется закон изменения поля перемещений й по толщине оболочки. Локальная система координат, к которой отнесен элемент оболочки, является триортогональной криволинейной системой. Температурное поле, в предположении отсутствия локальных источников тепла внутри оболочки, представляется в виде степенного по ее толщине ряда.

Определяются силовые характеристики оболочки с термочувствительной толщиной, соотношения Коши с учетом найденного закона изменения поля перемещений.

Строятся выражения для силовой функции и кинетической энергии оболочки; исходя из вариационного принципа получены уравнения несвязанной термоупругости оболочки в криволинейных координатах, что подтверждает достоверность этих уравнений, полученных из разных посылок.

Эти же уравнения получены методами геометрической статики с использованием аппарата тензорного анализа, что подтверждает их достоверность.

Уравнения статической термоустойчивости оболочек - система дифференциальных уравнений, описывающих безмоментное состояние оболочки, и уравнения моментного состояния при возможном скачкообразном переходе упругой системы к иной возможной форме равновесия, - с помощью обобщенной функции Хевисайда представляются в объединенной записи. Далее в триортогональных криволинейных координатах определяется вид теплового функционала для нелинейного стационарного уравнения теплопроводности в предположениях, что коэффициент теплопроводности зависит от температуры - Я — и что основные поверхности оболочки теплоизолированы.

Вариационным путем в триортогональных криволинейных координатах выведена нелинейная система дифференциальных уравнений для температурных функций при аппроксимации температурного поля в виде степенного ряда по толщине оболочки.

Во второй главе приводятся, как следствия уже полученных соотношений и уравнений термоупругости оболочек с термочувствительной толщиной в криволинейных координатах, соотношения и уравнения теории пологих оболочек. Вариационным путем получены уравнения термоупругости и естественные граничные условия на основе метода Коши-Пуассона.

В третьей главе с использованием секвенциальной теории обобщенных функций вариационным путем выводятся уравнения термоупругости трансверсально-изотропных геометрически нерегулярных пластин и естественные граничные условия. Функция, характеризующая закон изменения касательных напряжений по толщине оболочки, записывается с помощью обобщенных функций Хевисайда с носителями, ограниченными слева. Сингулярная система несвязанной термоупругости трансверсально-изотропной пластинки со скачкообразно изменяющейся толщиной содержит переменные коэффициенты в виде обобщенных функций Дирака и их производных.

В четвертой главе решаются краевые задачи несвязанной термоупругости пластин и пологих оболочек различной геометрии (двоякой кривизны и цилиндрических) с термочувствительной толщиной, находящихся в конвективном теплообмене с рабочей средой. Решения разыскиваются в виде суперпозиции двойных тригонометрических рядов и многочленов, учитывающих характер неоднородности краевых условий. Проводится сравнение количественных результатов с решениями аналогичных задач термоупругости на базе классической модели Рейсснера и на основе уравнений, полученных методом Коши-Пуассона. Проводится анализ влияния геометрических параметров нагретой оболочки на функцию прогиба. Отмечается, что учет изменяемости толщины вносит поправки в величину прогиба термоупругой системы.

Предлагается алгоритм, позволяющий реализовать решения краевых задач методом суперпозиции одинарных тригонометрических рядов с переменными коэффициентами и многочленов.

В случае конвективного теплообмена пологой оболочки с рабочей средой через лицевые поверхности увеличение параметра , характеризующего относительную стрелу подъема оболочки над ее планом, влечет, до определенного значения, увеличение прогиба. Полученные количественные результаты представлены в виде таблиц и графиков.

В пятой главе исследуется статическая термоустойчивость пластин и пологих оболочек. Исходное термоупругое состояние упругой системы предполагается безмоментным, и определяются перемещения и усилия, возникающие в пластинке или оболочке в этом состоянии путем интегрирования соответствующей краевой задачи. Рассматриваются различные варианты граничных условий. Далее методом двойных тригонометрических рядов реализуются решения дифференциальных уравнений, описывающих моментное состояние термоупругой системы, строятся определители термоустойчивости, на основании которых определяются уравнения, связывающие геометрические параметры пластинки и температуру, при которых становится возможным скачкообразный переход к новым формам равновесия. Проводится сравнение с решениями на базе модели Рейсснера без учета деформируемости нормали. Отмечается, что отказ от гипотезы недеформируемости нормали вносит поправки в величины критических температур в сторону их уменьшения.

Шестая глава посвящена вопросам динамической термоустойчивости пластин в нестационарных температурных полях и находящихся под совместным воздействием периодических по времени сжимающих усилий и нагрева.

В случае нестационарного температурного поля решение динамической системы термоустойчивости пластинки методом двойных тригонометрических рядов по пространственным координатам сводится к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами. Интегрирование проводилось методом Рунге-Кутта, и определялись моменты времени, начиная с которых прогибы упругой системы начинают возрастать со временем (критерий «бурного выпучивания» системы). Проводится анализ процесса волнообразования потерявшей устойчивость пластинки с учетом изменения во времени температурного поля.

В случае нагретой пластинки, к противоположным краям которой приложена периодическая во времени распределенная нагрузка, решение

11 сводится к интегрированию уравнения Матье-Хилла. Строятся области динамической неустойчивости пластинки и проводится сравнение с решениями на базе классической модели Рейсснера. Отмечается, что при заданном значении коэффициента возбуждения динамическая неустойчивость для пластинки, рассмотренной по классической модели, наблюдается несколько «позже».

В заключении приведены выводы. Результаты работы докладывались:

- на научных семинарах кафедры «Теоретическая механика» (СГТУ, 19962000 гг.);

- на международной конференции «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении» (Саратов, 1997 г.);

- на семинаре кафедры «Высшая математика» (Саратов, 2000);

- на семинаре кафедры МПИ (СГТУ, 2000 г.).

Основное содержание работы опубликовано в статьях [18], [19], [20], [21], [22], [76].

I. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ НЕСВЯЗАННОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБОЛОЧЕК С ТЕРМОЧУВСТВИТЕЛЬНОЙ ТОЛЩИНОЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ

КООРДИНАТАХ

В рамках геометрически нелинейной теории рассматриваются изотропные оболочки с термочувствительной толщиной. На основании вариационного принципа Лагранжа выводятся уравнения термоупругости оболочек произвольных очертаний, расстояния между лицевыми поверхностями которых изменяются при нагреве. За основу взята модель типа Рейсснера. Предполагается, что температурное поле оболочки представлено в виде степенного по ее толщине ряда.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе:

1. На основе кинематической модели изотропной и трансверсально-изотропной оболочки с термочувствительной толщиной, исходя из вариационного принципа Лагранжа, получены уравнения равновесия несвязанной термоупругости оболочек произвольных очертаний в криволинейных триортогональных локальных координатах.

2. Одни и те же системы дифференциальных уравнений получены и прямым методом, и методом вариационного исчисления, что обеспечивает их достоверность.

3. Исходя из вариационного принципа Гамильтона выведены динамические уравнения оболочки с термочувствительной толщиной.

4. Получена система дифференциальных уравнений, описывающих статическую термоустойчивость оболочек и пластин.

5. Вариационным путем выведены уравнения термоупругости геометрически нерегулярных пластин с термочувствительной толщиной.

6. Методами двойных и одинарных тригонометрических рядов получены решения краевых задач термоупругости пологих оболочек и пластин, находящихся в условиях конвективного теплообмена с рабочей средой. Проводится сравнение количественных результатов с решениями на базе классической модели Рейсснера и решениями при подходе Коши-Пуассона.

7. Методом двойных тригонометрических рядов получены решения различных краевых задач статической термоустойчивости пластин и пологих цилиндрических оболочек с термочувствительной толщиной.

8. Решен ряд задач динамической термоустойчивости пластин под действием нестационарного температурного поля. На основе критерия «бурного выпучивания» определяются значения моментов времени,

1. Айнола Л. Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек // Изв. АН Эст. ССР, сер. физ.-матем. и техн. наук, 14, №3, 1965.-с. 337-344.

2. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных оболочек. М.: Госуд. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961. - 383с.

3. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1967. -380с.

4. Антонов Е. Н. Соотношения линейной теории оболочек с учетом поперечных сдвигов и обжатия СПб, 1993. - 10с. - Деп. в ВИНИТИ Санкт-Петербуржским гос. архит.-строит. ун-том, 32942-В93.

5. Арнольд Л. В. Термодинамика и теплопередача, часть 2, Л.: «Речной транспорт», 1959. 188с.

6. Белосточный Г. Н. Геометрически нерегулярные оболочки с термочувствительной толщиной. // СГУ. Саратов, 1996. - 23с. - Деп. в ВИНИТИ, № 1747-В96.

7. Белосточный Г. Н. Замкнутые решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений обобщенной теплопроводности оболочек. Механика деформируемого твердого тела // Международный симпозиум. Тезисы докладов. Грузия.: Тбилиси, 1998. - 256с.

8. Белосточный Г. Н., Гущин Б. А. Трансцендентные уравнения статической термоустойчивости ребристых пологих оболочек // Проблемы прочности материалов и конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами. Саратов.: СГТУ, 1998. - с. 98-102.

9. Белосточный Г. Н., Гущин Б. А. Уравнения теплопроводности оболочек со ступенчато изменяющейся толщиной. Саратов.: СПИ, 1990. — 11с. -Деп. в ВИНИТИ, № 3434-В90.

10. Белосточный Г. Н., Пономарева В. А. Термоупругие композиции из пологих цилиндрических оболочек и пластин с учетом влияния поперечных сдвигов. Саратов, 1985. - Деп. в ВИНИТИ, №1709-85.

11. Белосточный Г. Н., Рассудов В. М. О потере устойчивости подкрепленных, жестко заделанных по всему контуру ортотропных пластин с учетом влияния поперечных сдвигов. // Механика деформируемых сред, вып. 7. Саратов: СГУ, 1982.

12. Белосточный Г. Н., Рассудов В. М. Применение обобщенных функций в задачах термоустойчивости пологих ортотропных ребристых оболочек // Прикладная теория упругости, вып. 1. Саратов.: СПИ, 1997.-211с.

13. Белосточный Г. Н., Рассудов В. М. Применение обобщенных функций в задачах термоустойчивости ребристых ортотропных пластин с учетом влияния деформаций сдвига (тезисы).// Труды XI Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. Харьков, 1977.

14. Белосточный Г. Н., Рассудов В. М. Термоустойчивость прямоугольной ортотропной пластинки, подкрепленной ребрами жесткости с учетом влияния поперечных сдвигов. // Прикладная теория упругости. -Саратов, 1976. 122с. - Деп. в ВИНИТИ, № 2255-76.

15. Белосточный Г. Н., Русина Е. А. Динамические уравнения несвязанной термоупругости оболочек с термочувствительной толщиной. Саратов: СГТУ, 1999. - 5с. - Деп. в ВИНИТИ, № 3875-В99.

16. Белосточный Г. Н., Русина Е. А. Оболочки и геометрически нерегулярные пластинки с термочувствительной толщиной // Доклады Российской Академии Естественных Наук, № 1. Саратов.: СГТУ, 1999.-с. 28-37.

17. Белосточный Г. Н., Русина Е. А. Устойчивость нагретых пластин с термочувствительной толщиной. Саратов: СГТУ, 1999. - 6с. - Деп. в ВИНИТИ, № 3876-В99.

18. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гос. изд-во техн.-теорет. литер., 1956. - 600с.

19. Васильев В. В., Федоров П. В. К задаче теории упругости, сформулированной в напряжениях // Изв. РАН, МТТ, 1996. №2. - с. 82-92.

20. Васильев В. В. О теориях тонких пластин // Изв. РАН, МТТ, 1992. №3. - с. 26-47.

21. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. -М.: «Наука», 1976. 280с.

22. Власов В. 3. Общая теория оболочек. М., Л.: Гос. изд-во техн.-теорет. литер., 1948.-784с.

23. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. - 432с.

24. Галфаян П. О. Решение одной смешанной задачи теории упругости для прямоугольника. // Изв. АН Арм. ССР, 1964, т. 17, № 1. с. 41-61.

25. Геккелер И. В. Статика упругого тела. — Л.: Госуд. технико-теоретич. изд-во, 1934. 287с.

26. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними, издан, второе. -М.: Гос. изд-во физ.-мат. литер., 1959. 470с.

27. Гольденблат И. И. Некоторые вопросы механики деформируемых сред. -М.:.: Гос. изд-во техн.-теорет. литер., 1955. -271с.

28. Гольденвейзер А. Л. К теории изгиба пластинок Рейсснера // Изв. АН СССР, №4, 1958.

29. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Гостехиздат, 1953. - 512с.

30. Григолюк Э. И. Конечные прогибы трехслойных оболочек с жестким заполнителем. // Изв. ОТН АН СССР, 1958, № 1.

31. Гущин Б. А. Температурные деформации в пологой оболочке постоянного кручения // Теория расчета и надежность приборов. Труды2.ой Саратовской областной конференции молодых ученых. Саратов.: СГУ, 1969. -284с.

32. Дудченко А. А., Лурье С. А., Образцов И. Ф. Анизотропные многослойные пластины и оболочки // Итоги науки и техники. Сер. Мех. деформ. тверд, тела, т. 15. М.: ВИНИТИ, 1983. - с. 3-68.

33. Дургарьян С. М. К температурному расчету ортотропной пластинки с учетом поперечных сдвигов. // Изв. ОТН АН СССР, Мех. и Мат., 1962, №6.

34. Жилин П. А. Линейная теория ребристых оболочек. / Ред. ж. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, вып. 4, 1970. 366с.

35. Жилин П. А. О теориях пластин Пуассона и Кирхгоффа с позиций современной теории пластин // Изв. РАН, МТТ, 1992. №3. - с. 48-64.

36. Ильин В. П., Карпов В. В. Устойчивость ребристых оболочек при больших перемещениях. // Стройиздат, Ленинградск. отделение, Л., 1986.- 168с.

37. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Госуд. изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1952. - 390с.

38. Кеч В., Теодореску П. Т. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир, 1978. - 518с.

39. Коваленко А. Д. Основы термоупругости. Киев.: «Наукова думка», 1970.-695с.

40. Колос А. В. Об области применения приближенных теорий изгиба пластин типа теории Рейсснера // Труды IV Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластинок. М.: Наука, 1966.

41. Красюков В. П., Панкратов Н. Д. К расчету нагретых пластинок. // Повышение надежности приборов. Научные труды Саратовского политехнического института, вып. 23. Саратов.: СПИ, 1966. - 243с.

42. Красюков В. П., Панкратов Н. Д., Рассудов В. М. Метод тригонометрических рядов в решении температурных задач теории пологих оболочек // Механика деформируемых сред, вып. 1. Саратов.: СГУ, 1974. - 156с.

43. Красюков В. П., Панкратов Н. Д., Рассудов В. М. Некоторые задачи термоупругости пластинок и пологих оболочек. Саратов.: СГУ, 1973. -151с.

44. Красюков В. П., Панкратов Н. Д., Рассудов В. М. Расчет нагретой прямоугольной анизотропной пластинки с учетом деформации сдвига // Материалы 32-ой научно-технической конференции Саратовского политехнического института. Саратов.: СПИ, 1969. - 237с.

45. Крысько В. А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов: СГУ, 1978.

46. Кутилин Д. И. Теория конечных деформаций. М., Л.: ОГИЗ -Гостехиздат, 1947.-275с.

47. Лебедев Н. Н. Температурные напряжения в теории упругости. -Оренбург.: ОНТИ, 1937. 351с.

48. Лейбензон П. С. Курс теории упругости. М.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1947. - 463с.

49. Лурье А. И. Общая теория упругих тонких оболочек. / Ред. ж. ПММ, т. 4, вып. 2.-М.: АН СССР,1940. 275с.

50. Лурье А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек. М.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1947. - 312с.

51. Лурье А. И. Теория упругости. -М.: Наука, 1970. 939с.

52. Лурье С. А., Гавва Л. М. Метод расчета напряженно-деформированного состояния несимметрично подкрепленных панелей из композиционных материалов с граничными условиями общего вида. // Вестн. Московск. авиац. ин-та. М., 1996. - 2, №1. - с. 43-50.

53. Лурье С. А., Шумова Н. П. Кинематические модели уточненных теорий композитных балок, пластин и оболочек. // Мех. композит, матер. -1996.-32, №5.-с. 612-624.

54. Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литер., 1963. - 411с.

55. Морозов Н. Ф. Лекции по избранным вопросам механики сплошных сред.-Л.: ЛГУ, 1975.-91с.

56. Назаров А. А. Основы теории и методы расчета пологих оболочек. -М.: Изд. литературы по строительству, 1966. 344с.

57. Новацкий В. В. Вопросы термоупругости. М.: Изд. АН СССР, 1962. -276с.

58. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1951. -344с.

59. Образцов И. Ф., Лурье С. А., Белов П. А. Об обобщенных разложениях в прикладных задачах теории упругости и их приложениях к задачам механики композитных конструкций. // Мех. композиц. матер, и конструкций. 1997. - 3,№3. - с. 62-79.

60. Огибалов П. М., Грибанов В. Ф. Термоустойчивость пластин и оболочек. М.: МГУ, 1968. - 422с.

61. Пелех Б. J1. Обобщенная теория оболочек. Львов.: Вища школа, 1978.- 158с.

62. Пелех Б. JI. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. К.: Наукова Думка, 1963. - 252с.

63. Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу. М.: МГУ, 1979. - 222с.

64. Подстригач Я. С., Швец Р. Н. Некоторые динамические задачи термоупругости тонких оболочек // Теория оболочек и пластин. -Ереван.: АН АрмССР, 1964. 840с.

65. Подстригач Я. С., Швец Р. Н. Термоупругость тонких оболочек. -Киев.: Наукова Думка, 1978. 343с.

66. Подстригач Я. С., Ярема С. Я. Температурные напряжения в оболочках.- Киев.: АН УССР, 1961. 389с.

67. Русина Е. А. Пологие оболочки с термочувствительной толщиной в конвективном теплообмене с рабочей средой. // Прикладные задачи теплофизики, механики и термомеханики. Межвузовский научный сборник. Саратов.: СГТУ, 2000. - с. 103-111.

68. Снеддон И. Н., Берри Д. С. Классическая теория упругости. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литер., 1961.-219с.

69. Стретт М. Д. О. Функции Ляме, Матье и родственные им в физике и технике. Киев, Харьков: ОНТИ, НКГП, Гос. науч.-техн. изд-во Украины, 1935.-236с.

70. Тимошенко С. П. Вопросы устойчивости упругих систем. Л.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1935. - 289с.

71. Тимошенко С. П. Пластинки и оболочки. Л.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1948. - 510с.

72. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. Л.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1946. - 531с.

73. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. - 345с.

74. Уздалев А. И. Некоторые задачи термоупругости анизотропного тела. -Саратов.: СГУ, 1967. -410с.

75. Филин А. П. Элементы теории оболочек. JL: Стройиздат, 1975. -290с.

76. Швец Р. Н., Лунь Е. И. Некоторые вопросы теории термоупругости ортотропных оболочек с учетом инерции поворота и поперечного сдвига. //Прикл. мех. 1971. - №10. - с. 121-125.

77. Шереметьев М. П., Пелех Б. JI. К построению уточненной теории пластин. // Инженерн. журнал, т. 4, вып. 3, 1964.

78. Bhattacharya R., Banerjee В. Influences of large amplitudes, transverse shear deformation and rotatory inertia on free lateral vibration of transversely isotropic plates a new approach. // Int. J. Non-Linear Mechanics. - 1989. -Vol. 24,№3.-pp. 159-164.

79. Chien Weizang. Approximation theory of three dimensional elastic plates and its boundary conditions without using Kirchhoff-Love assumptions. // Appl. Math. And Mech. Engl. Ed. 1995. - 16, №3. - p. 203-224.

80. Chien Weizang, Ru Xueping. Preliminary report of elastic circular plate with no Kirchhoff-Love assumptions. // J. Shanghai Univ. 1997. - 1, №1. - p. 114.

81. Reissner E. On transverse vibration of thin shallow shells // Quarterly of Appl. Math. 1955. - 13, №2. - pp. 169-170.

82. Reissner E. On a variational theorem ih elastisity. // J. Math. Phys. 1950. -pp. 90-95.

83. Reissner E. Stresses and small displacements of shallow spherical shells. // J. Math. Phys. 1946. - 25. - pp. 80-86.

84. Вариационное уравнение (функционал (1.41)) запишетсяаоао1. J=\Ыcuо ок^фЛ|1 +11 л/^22с,