Метод потенциальных функций в граничных задачах теории упругости для тел с дефектами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Статические задачи для изотропных тел с дефектами.

§1. Постановка задачи.

§2. Комплексные потенциалы для тел с дефектами.

§3. Интегральные уравнения основных граничных задач.

§4. Комплексные потенциалы в динамических задачах.

§5. Метод Бубнова-Галеркина.

Глава 2. Статические задачи для анизотропных тел с дефектами.

§1. Постановка задачи.

§2. Ортотропная плоскость с дефектом.

§3. Анизотропная плоскость с дефектом.

§4. Ортотропный круг с дефектом.

Глава 3. Задачи дифракции в случае одинаковых сред.

§1. Постановка задачи.

§2. Представления решений задач через потенциальные функции.

§3. Интегральные уравнения граничных задач.

§4. Численные решения интегральных уравнений.

§5. Изотропная трехмерная задача.

Глава 4. Задачи дифракции в случае различных сред.

§1. Постановка задачи.

§2. Антиплоская задача дифракции.

§3. Плоская задача дифракции.

§4. Анизотропная трехмерная задача.

Глава 5. Статические задачи нелинейной теории упругости для изотропных тел с дефектами.

§1. Постановка задачи.

§2. Обобщенная антиплоская деформация.

§3. Обобщенная плоская деформация.

В диссертации методом потенциальных функций исследованы двумерные граничные задачи статической теории упругости в случае однородных изотропных и анизотропных тел с дефектами вдоль гладких разомкнутых дуг, двумерные задачи дифракции упругой гармонической волны на дефекте, расположенном вдоль отрезка вещественной оси в упругой однородной изотропной среде или на границе раздела двух сред. На основе метода потенциальных функций рассмотрены динамические задачи для однородного изотропного упругого пространства с дефектом, расположенным в плоскости, и граничная динамическая задача для однородного анизотропного упругого полупространства. Предложен алгоритм решения динамической задачи теории упругости для однородного анизотропного пространства с дефектом, расположенным в плоскости. В работе также рассмотрены двумерные статические задачи нелинейной теории упругости для однородных изотропных тел с дефектами вдоль гладких разомкнутых дуг.

Рассмотренные в работе граничные задачи статической теории упругости в случае однородных изотропных тел с дефектами подробно исследованы с использованием аппарата теории функций комплексного переменного в работах Н.И.Мусхелишви-ли [57], В.В.Панасюка, М.П.Саврука, А.П.Дацышин [61], М.П.Саврука [82], Л.Т.Бе-режницкого, В.В.Панасюка, Н.Г.Стащука [9] и др., где имеется достаточно полный обзор литературы. Основные результаты по граничным задачам статической теории упругости в случае однородных анизотропных тел в рамках теории аналитических функций изложены в работах С.Г.Михлина [52], Г.Н.Савина [81], Д.И.Шермана [98], С.Г.Лехницкого [47], [48], Л.И.Чибриковой, Лина Вэя [97] и др., где дан обзор литературы.

К настоящему времени методы линейной динамической теории упругости достаточно хорошо разработаны и основные результаты изложены в работах А.Н.Гузя, В.Д.Кубенко, М.А.Черевко [26], И.И.Воровича и В.А.Бабешко [14], В.Т.Гринченко и В.В.Мелешко [24], В.А.Бабешко [8], В.Б.Поручикова [77], М.Ш.Исраилова [41], И.И.Воровича, В.А.Бабешко, О.Д.Пряхиной [15] и др., в которых имеется обширная библиография.

Граничные задачи нелинейной теории упругости исследованы в работах Г.Кау-дерера [43], А.Грина, Дж.Адкинса [22], А.И.Лурье [50], К.Ф.Черных [93]-[96] и др., где имеется достаточно полный обзор литературы.

Кратко остановимся на некоторых работах, наиболее близких по постановкам задач и методам решения задачам, рассмотренным в диссертации.

Исследованию основных граничных задач теории упругости с использованием теории функций комплексного переменного и теории потенциала посвящены работы Н.И.Мусхелишвили [57], В.Д.Купрадзе [45], Л.А.Галина [17]. Некоторые теоремы существования в теории упругости рассмотрены в работе Г.Фикеры [90]. В монографии [57] приведены основные уравнения механики упругого тела, рассмотрены вопросы единственности основных граничных задач статики упругого тела. Основные граничные задачи плоской теории упругости приведены к задачам теории функций комплексного переменного. Предложено решение основных граничных задач плоской теории упругости при помощи степенных рядов, с использованием интеграла типа Коши, путем приведения к задаче сопряжения. Рассмотрены задачи о растяжении, кручении и изгибе однородных и составных брусьев. Дан краткий обзор работ 70-х гг. по наиболее близким содержанию основной части монографии темам. Книга [45] посвящена применению методов потенциала к основным граничным задачам теории упругости. На основе теории потенциала и многомерных сингулярных интегральных уравнений рассмотрены граничные задачи (от статических для однородных до динамических для кусочно-неоднородных упругих тел), дано доказательство основных теорем существования и предложен приближенный способ решения задач. В работе [17] рассмотрены плоские и пространственные контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. Методами теории функций комплексного переменного и теории потенциала решены классические контактные задачи теории упругости, а также рассмотрен случай качения вязкоупругого цилиндра по вязкоупругой полуплоскости в наиболее общем случае, когда площадка контакта имеет участки с трением и сцеплением. В [90] рассмотрены статические и некоторые нестационарные задачи теории упругости с точки зрения сильно эллиптических систем, а также исследованы вариационные задачи теории упругости с односторонними краевыми условиями. Доказаны теоремы существования и несуществования и исследованы вопросы регулярности решения внутри области и вблизи границы.

Развитию методов теории функций комплексного переменного и комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили для решения задач теории упругости посвящены, например, книга А.Я.Александрова и Ю.И.Соловьева [2], работы А.В.Андреева, Р.В.Гольдштейна, Ю.В.Шитникова [6], А.М.Линькова [49]. В [2] систематически изложены методы решения пространственных задач теории упругости при помощи аппарата аналитических и обобщенных аналитических функций. Рассмотрены методы, позволяющие распространить этот аппарат, используемый ранее для решения плоских задач, на пространственные задачи. В [6] в рамках плоской задачи теории упругости методом комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили исследовано асимптотическое поведение упругого поля в окрестности угловой точки излома трещины на границе раздела различных материалов при учете контакта ее поверхностей и возможности их взаимного скольжения с сухим трением. В [49] предложен метод сведения задач о трещинах, вырезах, включениях и взаимодействующих блоках в связанных полуплоскостях к комплексным интегральным уравнениям, сингулярным и гиперсингулярным. Метод основан на получении функций Колосова-Мусхелишвили для связанных полуплоскостей с помощью простых преобразований соответствующих функций для полной плоскости.

Граничные задачи статической теории упругости в случае анизотропного тела с применением аппарата теории функций комплексного переменного исследованы в монографиях С.Г.Лехницкого [47], [48], В.Н.Фролова [92]. Граничные задачи теории упругости для анизотропных тел исследованы также в работах В.С.Саркисяна [83], [84]. В [47] приведены основные уравнения теории упругости анизотропного тела, рассмотрена плоская задача и исследованы вопросы, связанные с распределением напряжений в различных областях и с концентрацией напряжений около отверстий. Рассмотрены задачи изгиба и изучены вопросы устойчивости пластинок. В [48] систематически изложены вопросы механики твердого упругого анизотропного тела. Приведены общие уравнения теории упругости равновесия однородных и неоднородных анизотропных тел. Дана математическая формулировка общих задач равновесия упругого анизотропного тела и наиболее важных проблем - растяжения, кручения, изгиба, плоской задачи, осесимметричной деформации и их обобщений. Приведены решения большого числа частных задач. Монография [92] посвящена построению и изучению свойств специальных функций, получаемых в результате действия интегродифференциального оператора определенного вида, преобразующего аналитическую функцию в решение соответствующих статических и динамических уравнений анизотропной теории упругости и термоупругости. Предложен новый подход, не связанный с определением корней характеристического уравнения, для получения общих решений задач, выраженных через произвольные аналитические функции. Рассмотрено обобщение метода начальных функций на анизотропные задачи. В [83] рассмотрены задачи кручения, изгиба и плоские задачи теории упругости однородных и неоднородных анизотропных тел. Монография [84] посвящена исследованию с использованием преобразования Фурье контактных задач для полуплоскостей и полос с упругими накладками, в том числе рассмотрены случаи анизотропной полуплоскости с упругими накладками, упругой полосы с кусочно-однородными упругими включениями, упругой плоскости с бесконечным кусочно-однородным включением.

Статические задачи теории упругости для тел с дефектами подробно исследованы методом сингулярных интегральных уравнений в работах В.В.Панасюка, М.П.Саврука, А.П.Дацышин [61], М.П.Саврука [82], Л.Т.Бережницкого, В.В.Панасюка, Н.Г.Стащука [9], Н.Г.Стащука [86], В.В.Панасюка, М.М.Стадника, В.П.Си-лованюка [63], Н.Ф.Морозова [55], А.Е.Андрейкива [7]. Интегральным уравнениям статической теории упругости посвящена, например, монография В.З.Партона, П.И.Перлина [64]. В [61] исследованы двумерные задачи математической теории трещин для изотропных тел - задачи об упругом и предельном равновесии ограниченных и неограниченных пластин, ослабленных системой произвольно ориентированных трещин. Монография [82] посвящена исследованию распределения напряжений около трещин в двумерных телах. Рассмотрены задачи теории упругости и термоупругости, задачи об изгибе пластин и пологих оболочек для однородных изотропных областей, ослабленных криволинейными трещинами. В [9] изучено взаимовлияние жестких линейных включений и трещин в деформируемом твердом теле в случае плоской задачи или продольного сдвига и предложен алгоритм определения коэффициентов интенсивности напряжений вблизи произвольно ориентированных включений и трещин в изотропной плоскости или полуплоскости. В [86] исследовано влияние напряженно-деформированного состояния упругих тел, а также их границ на взаимодействие между собой заполненных тведым или коррозионно-активным веществом трещиноподобных дефектов. В [63] рассмотрены пространственные задачи для упругих тел с включениями с привлечением аппарата интегральных преобразований Фурье, изложен приближенный подход к определению напряженного состояния около тонких включений. В [55] рассмотрены двумерные статические задачи теории трещин, исследовано напряженное состояние в окрестности вершин трещин при линейных и нелинейных постановках задач. Исследованы формы математической интерпретации реальных трещин и особенности, вносимые различными формами представления в описание процессов хрупкого разрушения. В монографии [7] изложены механические концепции и математические методы, в том числе метод сингулярных интегральных уравнений, которые используются для решения пространственных задач теории трещин. При этом исследуется распространение трещин в упруго-пластических телах, подверженных воздействию силовых факторов статического и циклического характера, на основе предложенной автором модели локального разрушения упруго-пластических тел с трещинами, позволившей установить критериальные уравнения для исследования распространения трещин в телах при сложных напряженных состояниях, а также эффективные математические методы для реализации этой модели в конкретных трехмерных задачах. В монографии [64] изложены результаты исследований по теории сингулярных и регулярных интегральных уравнений, используемых при решении плоских и пространственных статических задач теории упругости, предложены вычислительные алгоритмы решения интегральных уравнений.

Метод разрывных решений для решения статических и динамических задач теории упругости для тел с дефектами рассмотрен в работах Г.Я.Попова [74]—[76], Г.А.Мораря [54], Н.Д.Вайсфельда, Г.Я.Попова [И]. В [74] с единой точки зрения, основанной на использовании метода матриц влияния и обобщенного метода интегральных преобразований, исследованы статические проблемы определения упругих напряжений возле поверхностных и внутренних концентраторов. В [75] антиплоская задача теории упругости о дифракции ударной SH-волны на полубесконечной трещине сведена к интегродифференциальному уравнению и дано точное решение этого уравнения с помощью полученного спектрального соотношения для многочленов Чебышева-Лагерра. В [76] задача о напряженном состоянии упругого конуса, ослабленного трещинами, сведена к системе одномерных интегродифференциаль-ных уравнений на трещинах, расположенных на конических поверхностях. В [54] получены эквивалентные задачам механики деформируемых тел с дефектами интегральные уравнения. При применении метода разрывных решений, в отличие от рассмотренного в настоящей работе подхода, решения задач от скачков, распределенных с некоторой плотностью, получают интегрированием решения от сосредоточенного скачка, а плотности скачков определяются из системы интегральных уравнений. В [И] решена задача о концентрации упругих напряжений в неограниченной упругой среде, содержащей полубесконечную цилиндрическую трещину. Задача сведена к одномерному интегродифференциальному уравнению относительно неизвестного скачка перемещений в пространстве трансформант Лапласа.

В работах И.И.Воровича, В.М.Александрова, В.А.Бабешко [13], В.М.Александрова и С.М.Мхитаряна [5], В.М.Александрова и Е.В.Коваленко [4], В.М.Александрова, В.Б.Зеленцова [3] рассмотрены широкие возможности асимптотических методов решения статических и динамических задач теории упругости. В [13] дан строгий анализ статических смешанных задач теории упругости в обобщенных постановках. Исследованы разрешимость соответствующих интегральных уравнений и свойства решений. Предложены эффективные методы решения полученных интегральных уравнений. В [5] последовательно изложены методы и результаты исследований по вопросам контактного взаимодействия между тонкостенными элементами типа накладок (стрингеров) и включений с массивными телами, а также воздействия штампов на тело с покрытиями и прослойками. Для решения основных уравнений (сингулярных интегральных или интегродифференциальных) контактных задач применены различные асимптотические методы, позволяющие представить контактные напряжения и их локальные и интегральные характеристики явными формулами довольно простой структуры, удобными для численной реализации на компьютере и для инженерных приложений. В [4] дано систематическое изложение результатов в области плоских смешанных задач. Особое внимание уделено исследованию и математическому обоснованию эффективных методов решения неклассических смешанных задач механики сплошных сред. В [3] разработаны асимптотические методы решения осесимметричной динамической нестационарной контактной задачи для малых и больших значений времени внедрения жесткого штампа в упругое полупространство. С помощью интегральных преобразований Лапласа (по времени) и Ханкеля (по координате) контактная задача сводится к решению интегрального уравнения относительно неизвестной трансформанты Лапласа контактных напряжений под штампом.

Аналитические методы решения задач динамической теории упругости рассмотрены в монографиях В.Б.Поручикова [77], М.Ш.Исраилова [41] и др. Задачи дифракции упругой гармонической волны на дефекте рассмотрены в работах В.Г.Попова [72], [73], Е.В.Глушкова и Н.В.Глушковой [20], М.А.Сумбатяна, М.Чарлетты [87], С.Е.Носова [59], некоторые вопросы исследованы, например, в работе И.О.Осипова [60]. В [77] систематически изложены строгие аналитические методы линейной динамической теории упругости, в том числе методы решения динамических задач для угловых областей со смешанными граничными условиями и метод получения однородных решений динамических задач в общем случае анизотропии (метод Виллиса). В [41] компактно изложены общие вопросы динамической теории упругости, представлены классические методы динамики (методы Смирнова-Соболева, интегральных преобразований, Винера-Хопфа), а также изложены новые аналитические методы получения точных и асимптотических решений задач нестационарной дифракции волн в упругих изотропных средах, в частности, рассмотрена плоская задача дифракции на конечной пластине (отрезке) плоской продольной волны. В [72] рассмотрена задача о колебаниях жесткого краевого включения, расположенного в упругой полуплоскости, сцепленного с упругой средой и выходящего на поверхность перпендикулярно к ней. Для решения задачи поле перемещений в полуплоскости представлено в виде суперпозиции перемещений, вызванных распространяющейся волной Релея, и двух разрывных решений уравнений Ламе со скачками на границе полуплоскости и линии расположения включения. Задача сведена к решению системы сингулярных интегральных уравнений с неподвижной особенностью относительно скачков напряжений на линии включения. В [73] предложено решение задачи дифракции упругой гармонической волны на тонком жестком отслоившемся включении в неограниченной упругой среде в случае плоской деформации. Метод решения основан на применении построенных ранее разрывных решений уравнений, описывающих колебания упругой среды в условиях плоской деформации. Задача сведена к решению системы трех сингулярных интегральных уравнений относительно неизвестных скачков напряжений и перемещений на включении. В [20] рассмотрена задача дифракции упругой волны на пространственных трещинах произвольной в плане формы. Для решения системы двумерных интегральных уравнений относительно неизвестного скачка смещений берегов трещины предложен вариационно-разностный метод. В [87] рассмотрена плоская задача о нормальном падении плоской поперечной волны из дальней зоны на свободную поверхность упругого двухслойного полупространства, состоящего из однородного слоя, сцепленного с полубесконечным основанием из другого материала. На границе раздела двух сред имеется система трещин, расположенная периодически вдоль линии раздела. Для решения задачи используются представления искомых функций в виде рядов. В [59] с помощью интегральных преобразований с последующим преобразованием по методу Каньяра получено точное решение антиплоской задачи дифракции плоской упругой SH-волны ступенчатого профиля на клине. В [60] предложен новый подход к построению функционально-инвариантных решений динамических задач плоской теории упругости в случае анизотропной среды.

Исследованию динамических смешанных задач теории упругости посвящены работы И.И.Воровича, В.А.Бабешко [14], В.А.Бабешко [8], И.И.Воровича, В.А.Бабешко и О.Д.Пряхиной [15]. В [14] дан анализ динамических смешанных задач в обобщенных постановках, при решении которых широко используется факторизация матриц-функций. Строго обоснованы физические принципы корректной постановки задач. Исследованы разрешимость соответствующих интегральных уравнений, свойства решений, построены эффективные методы решения полученных интегральных уравнений. В [8] изложены строгие методы решения пространственных динамических смешанных задач теории упругости, основанные на факторизации функций и матриц-функций. В [15] развита теория и прикладные методы решения динамических смешанных, в том числе контактных, задач для слоистых сред с учетом связности полей.

Монографии В.В.Панасюка, М.П.Саврука, З.Т.Назарчука [62] и А.С.Ильинского, Ю.Г.Смирнова [40] посвящены исследованию задач дифракции электромагнитных волн соответственно на цилиндрических структурах и проводящих тонких экранах.

В [62] разработаны методы решения двумерных задач математической теории дифракции электромагнитных волн на цилиндрических телах в случае, когда длина волны соизмерима с размерами препятствий, с последовательным применением аппарата сингулярных интегральных уравнений. В [40] приведены основные результаты о разрешимости двумерных задач дифракции электромагнитных волн на тонких цилиндрических экранах. Применена теория псевдодифференциальных операторов для исследования трехмерных векторных задач дифракции электромагнитных волн на проводящих тонких экранах, построена теория их разрешимости.

Исследования граничных задач теории упругости, ориентированные в большей степени на практические приложения, проведены в работах А.Н.Гузя, В.Д.Кубенко, М.А.Черевко [26], В.Т.Гринченко [23], А.Ф.Улитко [89], Ю.Н.Подильчука [70], [71], И.Н.Молчанова [53], Г.И.Петрашеня [65], А.Н.Гузя, Ю.Н.Немиша [27], В.Т.Гринченко, А.Ф.Улитко [25], А.С.Космодамианского, В.И.Сторожева [44], В.И.Моссаковско-го, Н.Е.Качаловской, С.С.Голиковой [56], В.Т.Головчана, В.Д.Кубенко, Н.А.Шуль-ги, А.Н.Гузя, В.Т.Гринченко [21]. Для решения статических и динамических задач теории упругости также разработаны метод эффективного поля в работе С.К.Ка-науна, В.М.Левина [42], резольвентный метод в книге В.А.Добрушкина [38], метод R-функций в работах В.Л.Рвачева, В.С.Проценко B.C. [78], В.Л.Рвачева, Н.С.Си-некопа [79]. В [26] рассмотрены задачи дифракции установившихся и неустановившихся упругих волн и исследованы вопросы о напряженном состоянии возле концентраторов напряжений различной формы. В [23] на основе единого метода дано решение широкого класса пространственных граничных задач статики и динамики для тел конечных размеров. Метод приводит к решению бесконечных систем, систем интегральных уравнений и смешанного типа, связывающих значения функций дискретного и непрерывного аргументов. Анализ качественных особенностей напряженного состояния вблизи угловых точек развивает эффективный метод точного количественного описания полей напряжений и смещений. В [89] приведены точные решения некоторых статических и динамических задач пространственной теории упругости на основе предложенного автором метода собственных векторных функций. Сделаны некоторые обобщения классических интегральных преобразований типа Мелера-Фока. В [70] построены точные решения пространственных задач теории упругости для областей, ограниченных каноническими поверхностями, рассмотрен ряд конкретных задач на основе общих решений. В [71] построены точные решения первой и второй основных граничных задач теории упругости для изотропных и трансверсально изотропных тел канонической формы. На основе общих результатов решены многочисленные конкретные задачи о концентрации напряжений, напряженном состоянии тел конечных размеров. В монографии [53] изложены численные методы решения уравнений упругого равновесия тел в перемещениях с использованием экономичных итерационных методов для решения полученных с помощью вариационного подхода разностных схем. В [65] систематичсеки изложены основы динамики волн в упругих анизотропных средах применительно к задачам, возникающим в сейсмологии. Рассмотрены вопросы общей теории плоских волн, распространения волновых фронтов различной природы, отражения и преломления волн на границе раздела сред. В [27] с применением разработанных вариантов метода возмущения формы границы рассмотрены трехмерные граничные задачи теории упругости для неканонических областей, близких к каноническим. Исследовано напряженное состояние деформированных тел конечных и бесконечных размеров, ограниченных замкнутыми поверхностями вращения, а также поперечно-гофрированными и некруговыми цилиндрическими поверхностями. В [25] методами интегральных преобразований исследованы векторные граничные задачи пространственной теории упругости для тел, граничная поверхность которых соответствует координатным поверхностям в системах, допускающих разделение переменных в трехмерном уравнении Лапласа. Для рассмотренных в работе тел канонической формы приведены точные решения в виде разложений по специальным системам собственных вектор-функций. Сделаны обобщения векторных решений на граничные задачи для тел конечных размеров, полученных пересечениями различных семейств координатных поверхностей и исследованы особенности напряженного состояния в окрестности угловых точек. В [44] численно-аналитическими методами исследованы установившиеся колебания и распространение гармонических волн в ограниченных и полуограниченных областях, заполненных анизотропными упругими телами. В [56] рассмотрены контактные задачи теории упругости для полупространства с использованием метода, основанного на интегральных преобразованиях, предложенных В.И.Моссаковским, и предполагающим применение способа разложения по малому параметру. В монографии [21] изложены результаты исследований по теории гармонических колебаний, по распространению и дифракции установившихся и нестационарных волн в одно- и многосвязных упругих изотропных телах. Для решения краевых задач использованы методы интегральных преобразований, разработаны точные и эффективные приближенные методы. В [42] развит вариант метода эффективного (самосогласованного) поля для решения статических и стационарных динамических задач теории упругости для композитной среды, состоящей из однородной матрицы (связующего), в которой распределено случайное множество изолированных включений (частиц наполнителя). В [38] на основе peзольвентного метода построены решения разнообразных плоских и пространственных динамических задач линейной теории упругости для клиновидных областей. В монографии [78] рассмотрены контактные задачи теории упругости с применением метода R-функций, соединяющего классические методы математической физики и вычислительной математики с алгебрологическими методами математики и кибернетики. В [79] дано систематическое изложение метода R-функций для решения задач теории упругости и пластичности, позволяющее представлять с помощью относительно простых конструктивных средств решения краевых задач в виде так называемых структурных формул, точно учитывающих геометрическую форму тела и граничные условия самого общего вида.

Исследованию постановок и методов решения граничных задач нелинейной теории упругости с использованием теории функций комплексного переменного в двумерном случае посвящены работы Г.Каудерера [43], А.Грина, Дж.Адкинса [22], А.И.Лурье [50], К.Ф.Черных [93], [94]. В монографии [43] исследованы физически нелинейные статические задачи теории упругости и проблемы нелинейных механических колебаний. Подробно изложена теория колебаний системы с одной степенью свободы и приведены решения некоторых задач о колебаниях системы с несколькими степенями свободы и с бесконечно большим числом степеней свободы. В [22] изложена теория конечных упругих деформаций и исследованы возможные формы упругого потенциала в случае анизотропных тел. Рассмотрены вопросы конечной плоской деформации, приведены приближенные решения двумерных задач. В [50] последовательно изложены принципы и приемы рассмотрения задач нелинейной теории упругости. Рассмотрены уравнения состояния сжимаемого и несжимаемого нелинейно упругого тела, постановки и методы решения задач о его равновесии и устойчивости равновесия. В [93] получены основные кинематические и динамические зависимости для обобщенной антиплоской деформации и обобщенной плоской деформации с использованием аппарата теории функций комплексного переменного. В случае неогуковского материала при обобщенной антиплоской деформации рассмотрены задачи определения концентрации напряжений в окрестности угловых точек, разрезов и жестких включений. Подробно рассмотрен вопрос о выборе практически интересных форм упругого потенциала. Предложен оригинальный подход к рассмотрению граничных задач в случае обобщенной плоской деформации. Полученные в работе сравнительно простые зависимости позволяют развить эффективные методы решения актуальных задач нелинейной теории упругости. В [94] приведены основные зависимости предложенной автором нелинейной плоской теории упругости. Получены точные решения некоторых краевых задач для тел с разрезами, вырезами и включениями. Рассмотрены вопросы применимости линейной теории упругости в механике разрушений. Изложены результаты автора по построению общей, физически и геометрически нелинейной теории трещин.

В диссертации методом потенциальных функций исследованы граничные задачи теории упругости для тел с дефектами.

В главе 1 рассмотрены статические задачи плоской теории упругости для однородных изотропных тел с дефектами.

В §1 дано определение комплексных потенциалов для упругого тела с дефектом (с разрезом или тонким включением) вдоль гладкой разомкнутой дуги и сделаны некоторые предположения. В §2 построены интегральные представления с логарифмическими особенностями в ядрах для функций, аналитических в различных областях комплексной плоскости с разрезами вдоль гладкой дуги. Рассмотрены полная плоскость, полуплоскость, круг и области, конформно эквивалентные кругу (полуплоскости). В §3 методом сопряжения Н.И.Мусхелишвили получены сингулярные интегральные уравнения с логарифмическими особенностями в ядрах, эквивалентные первой и второй основным граничным задачам плоской теории упругости для тел с дефектами. В §4 рассмотрен пример использования комплексных потенциалов для решения динамической задачи плоской теории упругости. В §5 обсуждаются результаты, полученные при численном решении методом Бубнова-Галеркина интегральных уравнений основных граничных задач для упругих тел с дефектами.

В главе 2 рассмотрены двумерные задачи статической теории упругости для однородных анизотропных тел с дефектами.

В §1 дано определение комплексных потенциалов для упругого однородного анизотропного тела с дефектом вдоль гладкой разомкнутой дуги и сделаны некоторые предположения. В §2 рассмотрено несколько способов построения комплексных потенциалов с логарифмической особенностью в ядре для ортотропной плоскости с дефектом (отдельно для случаев расположения дефекта вдоль гладкой разомкнутой дуги и вдоль отрезка вещественной оси), а также получены интегральные уравнения основных граничных задач для ортотропной плоскости с дефектом. В §3 предложен способ построения комплексных потенциалов, отличный от рассмотренных в §2, для анизотропной плоскости с дефектом вдоль гладкой разомкнутой дуги и получены интегральные уравнения, эквивалентные основным граничным задачам для анизотропной плоскости с дефектом. В §4 методом сопряжения Н.И.Мусхелишвили построены комплексные потенциалы для ортотропного круга с дефектом вдоль отрезка вещественной оси и получены интегральные уравнения основных граничных задач для ортотропного круга с дефектом.

В главе 3 рассмотрены двумерные и трехмерные задачи дифракции упругой гармонической волны на дефекте, расположенном в однородной изотропной среде соответственно вдоль отрезка вещественной оси и в плоскости.

В §1 предложена постановка задачи, удобная для применения преобразования Фурье в классе обобщенных функций медленного роста на бесконечности при решении задач дифракции упругой гармонической волны на дефекте вдоль отрезка вещественной оси и определен класс уходящих от вещественной оси решений уравнений Ламе. В §2 с использованием вспомогательных продольного и поперечного потенциалов построены представления решений задач через скачки напряжений и перемещений на вещественной оси ( потенциальные функции ). В §3 получены интегральные уравнения задач дифракции упругой гармонической волны на впаянном и гладком жестких экранах, а также на трещине в случае двумерного поля. В §4 подробно исследованы полученные в §3 интегральные уравнения с логарифмической особенностью в ядре, гиперсингулярные интегральные уравнения и приведены их численные решения методом Бубнова-Галеркина. В §5 получены системы сингулярных интегральных уравнений, эквивалентные граничным задачам трехмерной динамической теории упругости для изотропного пространства с дефектом, расположенным в плоскости.

В главе 4 рассмотрены двумерные задачи дифракции упругой гармонической волны на дефекте вдоль отрезка вещественной оси, расположенном на границе раздела двух однородных изотропных полуплоскостей, и сделаны некоторые обобщения метода потенциальных функций на случай трехмерной динамической задачи теории упругости.

В §1 кратко рассмотрена постановка задачи. В §2 решены две вспомогательные задачи (задача Коши в полуплоскости и задача о скачке на плоскости) и получены интегральные уравнения, эквивалентные антиплоской задаче дифракции упругой гармонической волны на дефекте, расположенном вдоль отрезка вещественной оси. В §3 получены интегральные уравнения, эквивалентные задаче дифракции упругой гармонической волны на впаянном жестком экране в случае двумерного поля. Для этого, как и в §2, предварительно рассмотрены две вспомогательные задачи, а также доказана теорема единственности для частного случая двумерной динамической задачи. В §4 рассмотрена граничная динамическая задача для анизотропного упругого полупространства и предложен алгоритм решения анизотропных трехмерных динамических задач с граничными условиями на плоскости, разделяющей полупространства, в классе уходящих от этой плоскости решений.

В главе 5 рассмотрены двумерные статические задачи нелинейной теории упругости для однородных изотропных тел с дефектами.

В §1 приведены постановки задач в случае обобщенной антиплоской деформации и обобщенной плоской деформации. В §2 получены интегральные уравнения с логарифмической особенностью в ядре, эквивалентные граничным задачам для плоскости с дефектом и для плоскости с отверстием и дефектом при обобщенной антиплоской деформации в случае неогуковского материала, обобщенного неогу-ковского материала, а также в случае произвольного упругого потенциала, когда материал несжимаемый. В §3 рассмотрены граничные задачи для малосжимаемого материала и его частного случая - стандартного материала первого порядка - при обобщенной плоской деформации. Получены эквивалентные граничным задачам для плоскости с дефектом интегральные уравнения с логарифмической особенностью в ядре в случае материала Джона.

Отметим, что предложенный в диссертации метод потенциальных функций позволяет концептуально объединить комплексные потенциалы, построенные при решении линейных и некоторых нелинейных граничных задач статической теории упругости в случае однородных изотропных и анизотропных тел с дефектами вдоль гладких разомкнутых дуг и представления решений задач через скачки напряжений и перемещений на вещественной оси, полученные в случае однородной изотропной среды при решении задач дифракции упругой гармонической волны на дефекте, расположенном вдоль отрезка вещественной оси, а также представления решений задач через скачки напряжений и перемещений на плоскости при решении трехмерных изотропных и анизотропных граничных задач динамической теории упругости для пространства с дефектом, расположенным в плоскости. Рассмотренный в работе математический подход к решению динамических задач теории упругости позволяет получить решения, удовлетворяющие физическим требованиям задач.

Заметим, что метод потенциальных функций можно использовать для исследования достаточно широкого класса статических и динамических задач для упругих однородных изотропных и анизотропных тел с дефектами. Применение рассмотренного в диссертации метода при решении статических задач плоской теории упругости для тел с дефектами вдоль гладких разомкнутых дуг, динамических задач теории упругости для плоскости с дефектом вдоль отрезка вещественной оси и для пространства с дефектом в плоскости обусловлено известным соотношением между интегралом типа Коши и интегралом Фурье [19].

Основные результаты диссертации докладывались на Всероссийской школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф.Егорова (Казань, 1999), на Всероссийской молодежной школе-конференции "Итерационные методы решения линейных и нелинейных сеточных задач" (Казань, 1999), на Международной конференции "Mathematical Methods in Electromagnetic Theory" MMET-2000 (Харьков, 2000), на Молодежной научной школе-конференции "Задачи дифракции и сопряжение электромагнитных полей в волноводных структурах" (Казань, 2000), на Международной конференции "Математическое моделирование" ММ-2001 (Самара, 2001), на Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), на Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач" (Казань, 2001), а также на Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета за 1998-2001 г.г. и на семинарах кафедры прикладной математики Казанского государственного университета (руководитель - профессор Н.В.Плещинский).

Основные результаты диссертации опубликованы в [30], [31], [33]—[37], [68], [101]. В совместных с научным руководителем работах [33], [68] вклады соавторов равны.

Результаты, изложенные в §1- §3 и п.1 §5 главы 1, опубликованы в статьях [33], [68], дополняющих и уточняющих работу [67]. Приведенные в §4 и п.2 §5 главы 1 результаты опубликованы в [30]. Материал главы 2 частично изложен в [31]. Результаты §1- §3 главы 3 опубликованы в [35], [37], §4 главы 3 - в [37]. Приведенные в §1- §3 главы 4 результаты изложены в [101], [34], §4 главы 4 - в [35], [37]. Обзорно результаты глав 3, 4 приведены в [36].

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Получены интегральные уравнения основных граничных задач плоской теории упругости для однородных изотропных и анизотропных тел с дефектами вдоль гладких разомкнутых дуг на основе комплексных потенциалов с логарифмической особенностью в ядре. Показано, что решения граничных задач существуют и единственны.

2. Получены граничные интегральные уравнения, эквивалентные задачам дифракции упругой гармонической волны на дефекте, расположенном вдоль отрезка вещественной оси в однородной изотропной упругой среде, с использованием преобразования Фурье в классе распределений на основе представлений решений граничных задач через скачки напряжений и перемещений на вещественной оси. Доказано, что решения граничных задач для уравнений Ламе существуют и единственны в классе Hj0C(R2).

3. Получены граничные интегральные уравнения, эквивалентные задачам дифракции упругой гармонической волны на дефекте, расположенном вдоль отрезка вещественной оси на границе раздела двух однородных изотропных упругих полуплоскостей, с применением преобразования Фурье в классе распределений на основе представлений решений граничных задач через потенциальные функции. Установлено, что решения граничных задач для уравнений Ламе существуют и единственны в классе Hl0C(R2).

4. Исследованы трехмерные задачи дифракции упругой гармонической волны на дефекте, расположенном в плоскости в однородной изотропной и анизотропной упругих средах, с использованием преобразования Фурье в классе распределений на основе представлений решений граничных задач через скачки напряжений и перемещений на плоскости. В изотропном случае получены эквивалентные граничным задачам системы сингулярных интегральных уравнений, в анизотропном случае рассмотрен вопрос о корректности граничной задачи для полупространства и проведено сравнение с общим подходом к решению эллиптических краевых задач для полупространства.

5. Получены интегральные уравнения двумерных статических задач нелинейной теории упругости для однородных изотропных тел с дефектами с применением комплексных потенциалов с логарифмической особенностью в ядре.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук, профессору Н.Б.Плещинскому за постоянное внимание к работе.

1. Аксентьев J1.A. Применение метода симметрии в конформных отображениях и в краевых задачах. Казань, 1993. 50 с.

2. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости (применение методов теории функций комплексного переменного). М.: Наука, 1978. 464 с.

3. Александров В.М., Зеленцов В.Б. Асимптотические методы в осесимметричной динамической нестационарной контактной задаче для упругого полупространства // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 1. С. 137-150.

4. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 336 с.

5. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983. 488 с.

6. Андреев А.В., Гольдштейн Р.В., Шитников Ю.В. Асимптотический анализ решения в окрестности точки излома трещины на границе раздела двух средПММ. 1999. Т. 63. Вып. 5. С. 865-870.

7. Андрейкив А.Е. Пространственные задачи теории трещин. Киев: Наук, думка, 1982. 348 с.

8. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 256 с.

9. Бережницкий JI.T., Панасюк В.В., Стащук Н.Г. Взаимодействие жестких линейных включений и трещин в деформируемом теле. Киев: Наук, думка, 1983. 288 с.

10. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977. 288 с.

11. Вайсфельд Н.Д., Попов Г.Я. О концентрации напряжений возле полубесконечной цилиндрической трещины при ударном загружении упругой среды центром вращения // ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 3. С. 525-535.

12. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М., Л.: Госте-хиздат, 1948. 296 с.

13. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 456 с.

14. Ворович И.И., Бабешко В. А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.

15. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 246 с.

16. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. Численный анализ. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1994. 288 с.

17. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.: Наука, 1980. 304 с.

18. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

19. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. 296 с.

20. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Дифракция упругих волн на пространственных трещинах произвольной в плане формы // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 2. С. 282-289.

21. Головчан В.Т., Кубенко В.Д., Шульга Н.А., Гузь А.Н., Гринченко В.Т. Пространственные задачи теории упругости и пластичности. Т. 5. Динамика упругих тел. Киев: Наук, думка, 1986. 288 с.

22. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 456 с.

23. Гринченко В.Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров. Киев: Наук, думка, 1978. 264 с.

24. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наук, думка, 1981. 284 с.

25. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Пространственные задачи теории упругости и пластичности. Т. 3. Равновесие упругих тел канонической формы. Киев: Наук, думка, 1985. 280 с.

26. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев: Наук, думка, 1978. 308 с.

27. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Пространственные задачи теории упругости и пластичности. Т. 2. Статика упругих тел неканонической формы. Киев: Наук, думка, 1984. 280 с.

28. Гусенкова А.А. Комплексные потенциалы плоской теории упругости для тел с дефектами вдоль гладких дуг // Математика, механика, программирование. Тез. докл. студ. научн. конф. Казань, апрель-май 1998. С. 5-6.

29. Гусенкова А. А. Динамические задачи для упругих тел с дефектами вдоль гладких дуг // Тез. докл. итог, научн. студ. конф. Казань, апрель-май 1999.С. 90-91.

30. Гусенкова А. А. Динамические задачи для упругих тел с дефектами вдоль гладких дуг // Теор. функц., ее прил. и смежн. вопр. Материалы Всерос. шк.-конф., поев. 130-летию со дня рожд. Д.Ф.Егорова. Казань, 13-18 сент. 1999. С. 73-74.

31. Гусенкова А.А. Интегральные уравнения граничных задач плоской теории упругости для анизотропных тел с дефектом вдоль отрезка // Тр. Матем. центра им. Н.И.Лобачевского. Т.2. Казанск. матем. об-во. Казань: Изд-во "УНИ-ПРЕСС", 1999. С. 224-229.

32. Гусенкова А.А. Плоская задача дифракции упругой волны на дефекте // Тез. докл. итог, научн. студ. конф. Казань, апрель-май 2000. С. 86-87.

33. Гусенкова А.А., Плещинский Н.Б. Интегральные уравнения с логарифмическими особенностями в ядрах граничных задач плоской теории упругости для областей с дефектом // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 3. С. 454-461.

34. Гусенкова А. А. Сравнение задач дифракции электромагнитной волны на ленте и упругой волны на дефекте // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 6. Казанск. матем. об-во. Казань: Изд-во "ДАС", 2000. С. 186-192.

35. Гусенкова А.А. Метод потенциальных функций в двумерных задачах дифракции упругой гармонической волны на дефекте //Тр. Междунар. конф. "Математическое моделирование 2001" (ММ-2001). Самара, 13-16 июня 2001.С. 14-16.

36. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

37. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения // Итоги науки и техн. Совр. проблемы матем. Фундам. направления. Т.27. М.: ВИНИТИ, 1988. С. 131-228.

38. Михлин С.Г. Плоская деформация в анизотропной среде // Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР. 1936. N 76. С. 1-19.

39. Молчанов И.Н. Численные методы решения некоторых задач теории упругости. Киев: Наук, думка, 1979. 316 с.

40. Морарь Г.А. Метод разрывных решений в механике деформируемых тел. Кишинев: Штиинца, 1990. 132 с.

41. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.

42. Моссаковский В.И., Качаловская Н.Е., Голикова С.С. Контактные задачи математической теории упругости. Киев: Наук, думка, 1985. 176 с.

43. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.

44. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 512 с.

45. Носов С.Е. Дифракция плоской упругой волны на клине при граничных условиях специального вида // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 4. С. 698, 699.

46. Осипов И.О. Обобщение метода функционально-инвариантных решений для динамических задач плоской теории упругости анизотропных сред // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 6. С. 1004-1019.

47. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наук, думка, 1976. 444 с.

48. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. Киев: Наук, думка, 1984. 344 с.

49. Панасюк В.В., Стадник М.М., Силованюк В.П. Концентрация напряжений в трехмерных телах с тонкими включениями. Киев: Наук, думка, 1986. 216 с.

50. Партон Б.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977. 312 с.

51. Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. JL: Наука, 1980. 280 с.

52. Плещинский Н.Б. Приложения теории интегральных уравнений с логарифмическими и степенными ядрами. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1987. 160 с.

53. Плещинский Н.Б. Интегральные уравнения с логарифмической особенностью в ядре для граничных задач теории упругости для плоскости, полуплоскости и круга с дефектом вдоль гладкой дуги. Препринт 97-1. Казань: Изд-во Казанск. матем. об-ва, 1997. 22 с.

54. Плещинский Н.Б., Гусенкова А.А. Комплексные потенциалы с логарифмическими особенностями в ядрах для упругих тел с дефектом вдоль гладкой дуги // Изв. вузов. Матем. 2000. N 10. С. 57-67.

55. Плещинский Н.Б., Чумараев П.А. К решению сингулярных интегральных уравнений с автоморфными ядрами методом механических квадратур // Исслед. по прикл. матем. Вып. 19. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1992. С. 111-120.

56. Подильчук Ю.Н. Трехмерные задачи теории упругости. Киев: Наук, думка, 1979. 240 с.

57. Подильчук Ю.Н. Пространственные задачи теории упругости и пластичности. Т. 1. Граничные задачи статики упругих тел. Киев: Наук, думка, 1984. 304 с.

58. Попов В.Г. Взаимодействие плоской гармонической волны Релея с тонким жестким краевым включением, сцепленным с упругой средой // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 2. С. 255-262.

59. Попов В.Г. Дифракция плоских упругих волн на отслоившемся жестком включении в случае гладкого контакта в области отслоения // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 2. С. 290-296.

60. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982. 344 с.

61. Попов Г.Я. Об одном спектральном соотношении для многочленов Чебышева-Лагерра и его приложении к динамическим задачам механики разрушенияПММ. 1999. Т. 63. Вып. 1. С. 71-79.

62. Попов Г.Я. Задача о напряженном состоянии упругого конуса, ослабленного трещинами // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 2. С. 337-348.

63. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986. 328 с.

64. Рвачев B.JL, Проценко B.C. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. Киев: Наук, думка, 1977. 236 с.

65. Рвачев B.JL, Синек on Н.С. Метод R-функций в задачах теории упругости и пластичности. Киев: Наук, думка, 1990. 216 с.

66. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. М.: Мир, 1982. 428 с.

67. Савин Г.Н. Основная плоская статическая задача теории упругости для анизотропной среды // Тр. Ин-та строит, механики АН УССР. 1938. N 32. С. 1-55.

68. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наук, думка, 1981. 324 с.

69. Саркисян B.C. Некоторые задачи математической теории упругости анизотропного тела. Ереван: Изд-во Ереван, ун-та, 1976. 536 с.

70. Саркисян B.C. Контактные задачи для полуплоскостей и полос с упругими накладками. Ереван: Изд-во Ереван, ун-та, 1983. 260 с.

71. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1984. 560 с.

72. Стащук Н.Г. Задачи механики упругих тел с трещиноподобными дефектами. Киев: Наук, думка, 1993. 360 с.

73. Сумбатян М. А., Чарлетта М. Колебания поверхности двухслойного упругого полупространства с периодической системой трещин // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 2. С. 323-328.

74. Тихонов А.Н., Арсенин И.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

75. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. Киев: Наук, думка, 1979. 264 с.

76. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974. 160 с.

77. Форд Л.Р. Автоморфные функции. М., Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1936. 340 с.

78. Фролов В.Н. Специальные классы функций в анизотропной теории упругости. Ташкент: Изд-во "ФАН" УзССР, 1981. 224 с.

79. Черных К.Ф., Литвиненкова З.Н. Теория больших упругих деформаций. Л.: Изд-во Ленинград, ун-та, 1988. 256 с.

80. Черных К.Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. М.: Наука. Физматлит, 1996. 288 с.

81. Черных К.Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Часть I. Теория. СПб. 1999. 276 с.

82. Черных К.Ф. Нелинейная сингулярная упругость. Часть II. Приложения. СПб. 2000. 195 с.

83. Чибрикова Л.И., Лин Вэй. О применении метода симметрии к решению основных задач плоской теории упругости в случае анизотропной среды. Препринт 98-1. Казань: Изд-во Казанск. матем. об-ва, 1998. 32 с.

84. Шерман Д.И. Плоская задача теории упругости для анизотропной среды // Тр. Сейсмол. ин-та АН СССР. 1938. N 86. С. 51-78.

85. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973. 232 с.

86. Costabel М. Boundary Integral Operators on Lipschitz Domains: Elementary Results. // SIAM J. Math. Anal. Vol. 19. N 3. May 1988. P. 613-626.

87. Gousenkova A.A. Diffraction problems for electromagnetic wave on a strip and for elastic wave on a defect in comparison// Proc. Int. Conf. Mathematical Methods in Electromagnetic Theory MMET-2000. Kharkov, Ukraine, Sept. 12-15, 2000. V. 2. P. 426-428.

88. Hua Loo Keng, Lin Wei, Wu Ci-Quian. Second-order systems of partial differential equations in the plane. London: Pitman, 1985. 292 p.

89. Pleshchinskii N.B. Some classes of singular integral equations solvable in a closed form and their applications // Pitman Research Notes in Mathematics Series. Longman Scientific fc Technical. New York, 1991. V. 256. P. 246-256.