Граничные интегральные уравнения 1-го рода в пространственных задачах динамической теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

1 Формулировка граничных интегральных уравнений 1-го рода в пространственных задачах динамической теории упругости

1.1 Постановка задачи о колебаниях изотропного упругого тела.,

1.2 Формулировка ГИУ 1-го рода в пространственных задачах анизотропной теории упругости.

1.3 Формулировка ГИУ 1-го рода в пространственных задачах изотропной теории упругости.

1.4 Эквивалентность системы ГИУ 1-го рода и исходных краевых задач.

1.5 Формулировка ГИУ 1-го рода в пространственных задачах изотропной теории упругости для кусочно-однородных тел.

1.6 Аксиально-симметричная деформация тела вращения

1.7 Крутильные колебания тел вращения.

1.8 Продольные колебания тел вращения.

1.9 Пространственные задачи для уравнения Гельмгольца

Методы исследования ГИУ 1-го рода

2.1 Методы регуляризации при решении интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода.

Ш1Ш11Ш1Ш11Ш1Ш11Ш

2.2 Методы дискретизации систем ГИУ 1-го рода на основе МГЭ. 48

2.3 Методы дискретизации систем ГИУ 1-го рода на основе МГЭ в случае осевой симметрии. 56

2.4 Структурные элементы и элементы более высокого порядка, регуляризация на компактных множествах . 60

3 Исследование установившихся колебаний тел вращения при помощи ГИУ 1-го рода 71

3.1 Задачи о крутильных колебаниях тел вращения. 71

3.2 Задачи о продольных колебаниях тел вращения. 85

3.3 Осесимметричные задачи для уравнения Гельмгольца . 91

Заключение. 99

Литература.100

Приложение.117

Ш] [Ш1 [Ш1 [Ш| [Ш1 íb] 1Ш1 [Ш] [Ш11Ш1 [Ш1 fBl ГШ] ÍB] [BÍ [Ш] [Ш] ÍE] 1Ш1 [Ш11Ш1 [Ш] [Ш] [si ГШ] 1Ш1 Í&I 1Ш1 [Ш] 1ЁП [Ш1 ЕЛ [ШЗ [Ш1 [Ш] [Ш1 [Ш1 [Ш1 f^l Ез] [в! 1Ш1 [Ш11Ш1 [Ш] ГШ1 [Ш1 ts]

Введение

1. Граничные интегралъгные уравнения в динамической теории упругости. Многие задачи различной физической природы описываются с помощью дифференциальных и интегральных уравнений [71, 10]. Однако во многих случаях оказывается предпочтительнее выполнить переход от дифференциальных уравнений к интегральным [10, 15]. Причины, по которым выполняется этот переход, могут быть весьма разнообразными и в ряде случаев связаны со многими преимуществами методов интегральных уравнений. Существенные трудности, с которыми мы сталкиваемся при решении дифференциальных уравнений, могут быть преодолены с помощью методов граничных интегральных уравнений, при этом их эффективность, в получении числовых характеристик искомых полей, часто оказывается незаменимой [150]. Уникальная особенность метода ГИУ, позволяющая снизить размерность исходной краевой задачи [15] для дифференциальных уравнений, имеет особое значение при различного рода исследованиях краевых задач. Особенно эффективен метод ГИУ в задачах со сложными конфигурациями областей.

Метод граничных интегральных уравнений является одним из современных и быстро развивающихся методов. Применению этого метода в динамических задачах теории упругости посвящены работы И.И. Воровича, В.А. Бабешко, A.B. Белоконя, О.Д. Пряхиной [5, 27, 28]. Применение метода ГИУ при решении обратных задач рассмотрено в работах И.И. Воровича, М.А. Сумбатяна, Н.В. Боева [29, 64]. Однако наряду с ним существуют и другие, не менее эффективные, подходы. Метод конечных элементов, так же как и метод граничных элементов, представляет собой одно из перспективных направлений развития численных методов решения краевых задач математической физики.

Каждый из этих методов постоянно развивается как отдельный, самостоятельный подход к решению различных классов задач. Таким образом, развитие этих вычислительных технологий является важной задачей при моделировании и численном исследовании различных краевых задач.

Одной из ключевых проблем классического метода граничных интегральных уравнений является построение фундаментальных решений [45, 46]. До настоящего времени эта проблема оказывалась главным препятствием на пути интенсивного использования этого подхода, ввиду отсутствия явного представления фундаментальных и сингулярных решений в динамической анизотропной теории упругости, даже в частных случаях анизотропии. Одной из первых работ, посвященных исследованию свойств фундаментальных решений, представленных в виде кратных интегралов Фурье и обобщенных потенциалов, была работа Натрошвили Д.Г. [56]. Однако дальнейшие исследования показали, что возможно построение интегральных представлений с помощью интегралов по контуру в комплексной плоскости, или по конечному отрезку [20], которые могут быть эффективно использованы при дискретизации на основе метода граничных элементов [15].

Новый этап в развитии ГИУ наступил после выхода основополагающей работы [18], в которой А.О. Ватульян предложил новый подход, позволяющий сформулировать ГИУ 1-го рода, связывающие граничные поля без использования фундаментальных решений. Основные идеи, представленные в работе А.О. Ватульяна [18], получили развитие в настоящей работе, а также в работах [23, 24, 78, 79, 82]. Теперь формулировка граничных уравнений стала более простой, поскольку не требует знания фундаментальных решений; при этом специфика ГИУ 1-го рода такова, что открывает широкие перспективы для решения новых классов краевых задач, включая ряд обратных задач.

Среди ключевых направлениий современного развития метода ГИУ и МГЭ следует отметить:

• распространение методов ГИУ на новые типы сред (электроупру

ЦП! ШЛИ ОШИ ИЛИ ШШ ШЛИ ШЛЮШЛИ1П1ШЛИ ШШ ИЛ!ШЛИ ШЛИ lall гость, термоэлектроупругость, гидроупругость, водонасыщенная среда БИО) [19, 131, 116, 94, 129, 83, 133];

• формулировка новых, альтернативных типов ГИУ (регулярные, гиперсингулярные) и их исследование [18, 23, 85, 83, 96, 102, 106, 143], [103, 124, 122];

• построение фундаментальных решений и их интегральных представлений [19, 130, 21, 35, 102, 143], [30, 98, 142, 90, 96, 102, 143];

• построение эффективных схем дискретизации (использование эрмитовых и структурных элементов, совершенствование алгоритмов вычисления сингулярных интегралов) [23, 108, 72, 150, 125, 122, 91].

2. Граничные интегралъгные уравнения 1-го рода в динамической теории упругости. Данная работа посвящена новому направлению развития МГЭ, основанного на использовании ГИУ 1-го рода с гладкими ядрами. В работе сформулированы ГИУ 1-го рода и доказана эквивалентность этих уравнений системе уравнений теории упругости, описывающих установившиеся колебания пространственных тел. Особое внимание уделено колебаниям осесимметричных тел, для которых получены частные случаи разрешающих соотношений.

Настоящая работа состоит: из введения, трех глав, включающих в себя 17 параграфов, и заключения. Таблицы и ряд вопросов, связанных с регуляризацией, вынесены в приложения.

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Сформулированы системы ГИУ 1-го рода с гладкими ядрами для определения граничных полей в задачах об установившихся колебаниях конечных изотропных упругих тел.

2. Построены системы ГИУ 1-го рода с гладкими ядрами для осе-симметричных тел.

3. Предложены алгоритмы дискретизации системы ГИУ 1-го рода, сочетающие классические методы граничных элементов с методами регуляризации, разработаны программы для ЭВМ, реализующие предложенный метод.

4. Проведено численное исследование ряда динамических задач теории упругости для канонических и неканонических осесимметричных тел об определении граничных полей и резонансных частот и выявлены некоторые особенности численной реализации.

Ш1 [Ш1 [Ш] ¡Ш1 [Ш] 1Ш1 [Ш] 1Ш1 ГШ] [Ш1 [Ш11Ш| [Ш] [Ш1 [Ш1ГШ1 !Ш1 [Ш11Ш1 [Ш] 1Ш1 [Ш] 1Ш1 [М] 1Ш1 [Ш] ЕШ1 [Ш] ЕШ1 [В11Ш1 ГШ] 1Ш1 [Ш11Ш1 [Ш] ЕШ11Ш] [Ш1 [Ш1 [Ш1 [Ш] 1Ш1 ¡Ш1 [Ш11Ш11а1 [Щ|

1. Аксентян O.K. Особенности напряженно деформированного состояния плиты в окрестности ребра // ПММ. -1967. Т. 31, -вып. 1. -С. 256-262.

2. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена. -М.:Наука, 1988. -286 с.

3. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. -М.:Наука, 1978. -345 с.

4. Бабешко В.А, Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. -М.:Наука, 1989. -343 с.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы. -М.:Наука, 1973. -631 с.

6. Бакушинский A.B., Гончарский A.B. Некорректные задачи. -М.:Изддательство МГУ, 1989. -199 с.

7. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. -М.:Наука, 1985. -256 с.

8. ВЦ BD ШГШ Uli шли вв вш шгш вш ви вш вю вш ши ви biibiibiibiii^biobiibiibiibii.

9. Белоконъ A.B. Об одном методе решения здач теории упругости для тел конечных размеров // ДАН АН СССР. -Т.233. -№1. 1977. -С. 56-59.

10. Бенердоюи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. -М.:Мир, 1984. -494 с.

11. Бобровницкий Ю.И., Тютекин В,В. Энергетические соотношения для составных волноводов // Акуст. журн. -1986. -Т. 32, № 5. -С. 658-666.

12. Бобровницкий Ю.И. Задача восстановления поля в структурной интенсиметрии: постановка, свойства, численные аспекты // Акуст. журн. -1994. -Т. 40, № 3. -С. 367-376.

13. Борзенков С. М., Матвеенко В. П. Полуаналитические сингулярные элементы для плоских и пространственных задач теории упругости // Изв. АН. Мех. тверд, тела. -1995. 6. -С. 48-61.

14. Бочкарев А.О. О применении метода граничных элемектов к геометрически нелинейным задачам теории упругости // Вестн. Санкт. -Петербург, ун-та. Сер. 1 -1996. 3. -С. 62-64.

15. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Метод граничных элементов. -М.:Мир, 1987. -524 с.

16. Вайникко Г.М. Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. -М.:Наука, 1986. -179 с.1. Литература 1021П11ШШ ШЛЮ Uli Güll ШЩ Uli ШПШ ШПШ ШЛИ ШЛИ ШШ 1Ш1EllEll ШШШШШШШШШШШШШШИшШШШШр!

17. Ватулъян А. О. О граничных интегральных уравнениях 1-го рода в динамических задачах анизотропной теории упругости // Докл. РАН. -1993. -Т. 333, № 3. -С. 312-314.

18. Ватулъян А.О. Фундаментальные решения в нестационарных задачах электроупругости // ПММ. -1996. Т. 60, № 2. -С. 309-312.

19. Ватулъян А.О., Гусева И.А., Сюнякова И.М. О фундаментальных решениях для ортотропной среды и их применение // Изв. СКНЦВШ. Сер. Естеств. науки. -1989. 2. -С. 81-85.

20. Ватулъян А.О., Кирютенко А.Ю., Наседкин A.B. Плоские волны и фундаментальные решения в линейной термоэлектроупругости // Прикл. механика и техн. физика -1996. -Т. 37, № 5. -С. 135-142.

21. Ватулъян А.О., Садчиков Е.В., Шамшин В.М. О методах решения альтернативных граничных ГИУ в теории упругости // Математика в индустрии: Тр. Междунар. науч. конф / ТГПИ. -1998. -С. 69-70.

22. Ватулъян А.О., Шамшин В.М. Новый вариант граничных интегральных уравнений и их применение к динамическим пространственным задачам теории упругости // ПММ. -1998. -Т. 62, -вып. 3. -С. 112-119.

23. Ватулъян А.О., Шамшин В.М. О регуляризации на компактных множествах при решении интегральных уравнений первого рода // Интегро-дифференциальные операторы и их приложения: межвуз. сб. науч. тр. / ДГТУ. Ростов на/Д, 1998. -вып 3. -С. 2834.

24. Ворович И. И. О поведении решений основных краевых задач плоской теории упругости в окрестности особых точек границы // III Всесоюз. съезд по теорет. и прикл. механике: Аннот. докл. -М.: Наука, 1968. -С 356-4362.

25. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. -М.:Наука, 1979. -319 с.

26. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. -М.¡Научный Мир, 1999. -247 с.

27. Ворович И.И., Сумбатян М.А. Востановление образа дефекта по рассеянному волновому полю в аккустическом приближении // Изв АН СССР. МТТ. 1990. -№. -С. 79-84.

28. Ворошко П.П. Сообщение 1 // Пробл. прочности -1996. 5. -С. 83-90.

29. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. -М.:Наука, 1964. -267 с.

30. Градштейн И.С., Рыжик Н.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов, и произведений. -М.:Физматгиз, 1971. -534 с.

31. Годунов С. К. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. -Новосибирск: Наука. сиб. отделение, 1988. -354 с.

32. Гордеева С.П. Сингулярное решение уравнений стационарных колебаний упругой полуплоскости // Изв. ВНИИ гидротехн-1997. -232, № 2, 2.-С. 290-303.

33. Греков М. А. Функции Грина для периодических задач упругой полуплоскости // Изв. РАН. Механика твердого тела -1998. 3. -С. 173-178.1. Литература 1041. ВШЗВТШШПШВЁШШГШВТШВЕ36