Исследование составных пластин методом граничных элементов в сочетании с вариационным методом тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Формулировка метода граничных элементов для задачи изгиба пластин.

§1. Основные положения метода компенсирующих нагрузок.

§2. Вспомогательные соотношения.

§3. Ядра контурных интегралов.

§4. Моменты и силы на контуре области.

§5. Анализ ядер контурных интегралов.

§6. Влияние угловых точек контура.

Глава II. Численная реализация метода граничных элементов.

§1. Формирование интегральных уравнений.

§2. Способы аппроксимации.

§3. Аппроксимация на граничных-элементах.

§4. Алгоритм аппроксимации.

§5. Другой подход при аппроксимации и удовлетворении граничным условиям.

Глава Ш. Сочетание метода граничных элементов с энергетическими методами.

§1. Полная потенциальная энергия пластины. Вариационное уравнение Лагранжа.

§2. Основные положения синтеза двух методов.

§3. Построение аппроксимирующих функций вариационного метода.

§4. Расчет составных пластин.

Глава IV. Вычислительная программа и результаты тестирования.

§1. Разработка и развитие программы численных расчетов.

§2. Результаты тестирования и расчетов различных пластин.

1. Квадратная пластина защемленная по контуру под равномерной нагрузкой.

2. Шарнирно опертая квадратная пластина под равномерной нагрузкой.

3. Треугольная пластина.

4. Консольная треугольная пластина.

5. Косоугольная равномерно нагруженная пластина.

6. Полукруглая пластина, защемленная по контуру.

7. Шарнирно опертая полукруглая пластина.

8. Консольная полукруглая пластина равномерно нагруженная.

9. Полукольцевая пластина.

10. Пластина в виде четверти круга, равномерно нагруженная.

11. Пластина в форме четверти кольца.

12. Пластина с входящим углом.

13. Квадратная пластина с вырезом.

14. Прямоугольная пластина из двух подобластей.

15. Квадратная составная пластина.

16. Составная пластина в форме полукруга.

17. Квадратная пластина из пяти подобластей.

Применение конструкционных элементов в виде пластин и оболочек в инженерной практике порождает необходимость в установлении параметров напряженно-деформированного состояния подобного рода объектах. В силу различных обстоятельств аналитическое решение дифференциальных уравнений для большинства практически важных задач установить невозможно. В этой связи приближенные численные методы являются единственно возможным подходом в исследовании и получении приемлемых по точности и затратам результатов при решении практически важных задач.

Универсальных численных методов исследования большого многообразия проблем не существует. Развитие и широкое применение в решении различных задач механики твердого тела получили несколько численных методов. Это метод конечных разностей, метод колло-каций, различные модификации вариационных методов, метод конечных элементов. Каждый из этих методов обусловлен необходимостью решения определенного круга задач, имеет свою историю становления и этапы последующего развития с целью расширения области его применения. Но любой из численных методов, имея большие достоинства в плане простоты и эффективности, тем не менее, не лишен определенных недостатков, зачастую принципиального характера, которые обуславливают границы его применения.

В настоящей работе рассматриваются некоторые аспекты развития и приложения метода граничных элементов в решении задачи изгиба тонких изотропных пластин.

Как отмечает Э. И. Григолюк в предисловии к переводу монографии [32], историческим предшественником и основой метода граничных элементов является теория интегральных уравнений. Впервые Г. Грин получил интегральное уравнение в теории потенциала, которое является альтернативой дифференциальному уравнению. Существенный вклад в становление и развитие теории граничных интегральных уравнений принадлежит Фред-гольму. Он использовал метод теории потенциала и теорию линейных интегральных уравнений для решения статической задачи теории упругости [136]. В дальнейшем теоретические исследования в области граничных интегральных уравнений проводились главным образом в приложении к теории поля. Фундаментальные исследования в этом направлении принадлежат советским математикам Михлину С. И. [94-96], Купрадзе В.Д. [88- 89], Мусхе-лишвили Н. И. [97-98] и др. Так Михлин С. Г. рассматривал интегральные уравнения не только со скалярными подинтегральными функциями, но и с векторными, что в значительной мере расширяет область применения теории интегральных уравнений. Кроме того, по-динтегральные функции могли содержать различные особенности и разрывы непрерывности в области интегрирования. Большое внимание уделено представлению гармонических потенциалов через комбинацию поверхностных потенциалов простого и двойного слоя, что автоматически приводит к интегральным уравнениям Фредгольма. В дальнейшем, как оказалось, такого рода представление стало возможным использовать в качестве основы для формулировки непрямого варианта метода граничных элементов.

В работах Купрадзе В.Д. [88], [89] разрабатываются подходы к формулировке и решению задач теории упругости на основе сингулярных граничных интегральных уравнений. Исходя из теории потенциала, получены векторные интегральные уравнения, характеризующие поведение упругих тел. Приведены основные сингулярные решения в виде фундаментальных решений для некоторых видов дифференциальных уравнений теории упругости. Подробному изучению и анализу подверглись сингулярные интегралы и интегральные уравнения для классов функций. Предложены подходы в вопросе регуляризации сингулярных интегралов. Введенное понятие распределенной поверхностной плотности потенциала источника позволило установить зависимость перемещений и напряжений на границе упругой среды, что предоставляет большие потенциальные возможности в решении основных задач теории упругости. По существу В. Д. Купрадзе была предложена как прямая, так и непрямая формулировки метода граничных интегральных уравнений и приведено, видимо первое, доказательство их эквивалентности.

В становление и развитие метода граничных интегральных уравнений большой вклад внесли Мусхелишвили Н. И. [97], [98], Векуа Н.П. [36] и др.

Сама постановка и формулировка граничных интегральных уравнений для различных краевых задач указывает на принципиальную возможность по установлению решения, но отнюдь не к автоматическому их решению. Прежде необходимы подходы к вычислению сингулярных интегралов, решению интегральных уравнений, и строгое обоснование соответствующих методов. Эти вопросы нашли отражение в работах Михлина С. Г., Гахова Ф. Д., Векуа Н.П., Купрадзе В. Д., Партона В. 3., Перлина П. М., Бицадзе А. В. и др. [94], [95], [47], [36], [88], [89], [102], [103], [28], [50].

Нерегулярность границ изучаемых областей, а также сложные комбинации выполняемых краевых условий обуславливают формирование граничных интегральных уравнений, которые в большинстве случаев не поддаются аналитическому решению в замкнутом виде. В этой связи актуальным вопросом является разработка подходов и методов в приближенном решении интегральных уравнений, в том числе и сингулярных. Значительный вклад в разработке этой проблемы принадлежит Корнейчуку А. А., Иванову В. В., Белоцерковско-му С. М., ЛифановуИ. К., Бойкову И. В. и др. [76], [72], [26], [29-31].

В способе построения граничных интегральных уравнений для краевых задач существует два основополагающих подхода. Основой прямого метода граничных элементов является формула Сомилиана, которая получена из теоремы взаимности работ Бетти. В этом случае функции плотности в интегральных уравнениях имеют вполне определенный физический смысл. В задачах механики твердого тела это могут быть напряжения, усилия, моменты, либо компоненты перемещения, имеющие место на границе исследуемой области.

Непрямой вариант метода граничных элементов характерен тем, что в качестве ядер в граничных интегральных уравнениях выступают фундаментальное решение и его производные, которые с определенной плотностью распределены либо по линии контура исследуемой области, либо по замкнутой линии, охватывающую некоторую область, которая содержит в себе изучаемый объект. На начальном этапе решения в качестве неизвестных выступают именно функции плотности. Они не обладают каким-либо физическим смыслом, но если они становятся известными, то решение в самой области и на ее границе устанавливается путем вычисления граничных интегралов, отвечающих рассматриваемой задаче.

Специфическая интерпретация непрямого варианта метода граничных элементов нашла отражение в задачах изгиба пластин, авторство которой принадлежит Кореневу Б. Г. [73], [74]. Функции плотности интерпретируются как силы и моменты, которые приложены к пластине бесконечной протяженности и распределены по некоторой замкнутой линии. В качестве этой замкнутой линии в одних случаях выбирается контур области, в других случаях исследуемая область должна просто находиться внутри этой замкнутой линии. Такой подход к решению задач получил название метода компенсирующих нагрузок.

Прогресс в развитии вычислительной техники и методов вычислительной математики обусловил интенсивное развитие таких методов как метод конечных элементов, метод конечных разностей, вариационные методы. В особенности это касается метода конечных элементов как одного из мощных инструментов исследования большого круга проблем. В свою очередь прогресс вычислительных технологий и исследования по методам решения интегральных уравнений обусловили переход метода граничных интегральных уравнений от этапа теоретических исследований к этапу применения к решению широкого круга практических задач. Появляется большое число работ, связанных с использованием и параллельно развитием метода граничных элементов в приложении к различным задачам механики. В ряду первых работ по численной реализации метода граничных интегральных уравнений выделяют исследования Круза Т. и Риццо Ф. [133], [134], где нашел применение прямой метод.

Среди известных ученых, занимающихся вопросами приложения и развития метода граничных элементов, весомый авторитет принадлежит К. Бреббия, который с рядом соавторов имеет большое число публикаций в этой области. Именно ему приписывается авторство в названии метода граничных элементов, которое было вынесено в качестве заголовка одной из его книг. Так одной из первых работ К. Бреббия в соавторстве с С. Уокером является книга [33]. В ней, прежде всего, предпринята попытка дать некую классификацию известных приближенных методов и определить место метода граничных элементов в этом ряду. На примере классической задачи о потенциале приводится прямая и непрямая формулировки метода граничных элементов. Обсуждается роль фундаментальных решений исходных дифференциальных операторов в данном методе. Рассмотрен вопрос установления фундаментальных решений для некоторых типов известных дифференциальных уравнений, в том числе и тех, которые зависят от времени. Произведена постановка к решению как линейных, так и нелинейных задач. Высказаны соображения по определению подходов в решении задач для составных областей.

Более значимой в продвижении метода является следующая монография К. Бреббия в соавторстве с Ж. Теллесом и Л. Броубелом [32]. Дан более детальный анализ по классификации приближенных методов и их возможной связи. Высказывается соображение о том, что в основе известных приближенных методов, в том числе и метода граничных методов, возможно, лежит концепция метода взвешенных невязок. Помимо задач, связанных с теорией потенциала, обсуждаются подходы к решению задач теплопроводности, теории пластичности и вязкоупругости. Наиболее подробному рассмотрению и анализу подверглись задачи теории упругости. В кратком изложении дается постановка задачи изгиба тонких пластин, и приводятся результаты решения для нескольких примеров. Введена глава, в которой обсуждаются возможные подходы по совместному применению различных методов, в частности метода конечных и метода граничных элементов. В целом усматривается тенденция по расширению сферы применения метода граничных элементов в обеих его вариантах.

Определению напряженно-деформированного состояния плоских и пространственных тел при статическом нагружении посвящена монография Верюжского Ю. В. [43]. Основываясь на теории потенциала, получены системы интегральных уравнений для ряда краевых задач. Выполнен переход от функциональных соотношений к их алгебраическим аналогам. Предложена методика вычисления эластопотенциалов с помощью аналитических выражений при кусочно-линейной и сплайновой аппроксимации функции плотности. Значительное место занимает проблема изгиба тонких пластин. Увеличение порядка особенностей сопровождается существенным увеличением трудностей при реализации метода потенциала. Решение бигармонической задачи в значительной степени дает ответы на некоторые вопросы, которые встают при реализации метода интегральных уравнений в различных разделах механики. На основе физических интерпретаций сложных математических преобразований предложен численный подход в решении граничных задач изгиба тонких пластин, где расширено определение главных значений интегралов по Коши путем введения разрешающих значений эластопотенциалов.

Реализации и развитию метода компенсирующих нагрузок в решении линейных задач теории упругости, теории пластин и пологих оболочек посвящены работы Венцеля Э. С. с соавторами [38-42]. Определенный интерес представляет опыт по распределению функций плотности по некоторому контуру, не совпадающему с границей области. Такой подход позволяет при формулировке граничных интегральных соотношений избежать сингулярностей в интегралах, но в этом случае сами интегральные уравнения являются уравнениями Фред-гольма первого рода, что в свою очередь порождает определенные трудности при их решении.

Существенным вкладом в развитие метода компенсирующих нагрузок в приложении к пластинам сложного очертания являются исследования Толкачева В. М. [87], [121], [122]. Особое внимание уделено строгому теоретическому анализу в вопросе предельного перехода при формировании разрешающих интегральных соотношений для различных типов граничных условий. Получены аналитические выражения для ядер интегральных уравнений в системе координат, связанной с контуром области. Это позволяет снять определенные трудности при выводе интегральных соотношений. При использовании вариационного принципа Лагранжа имеется возможность сформулировать в строгой постановке краевые условия и обосновать факт появления сосредоточенных поперечных сил в угловых точках контура пластины, подчиненной гипотезам Кирхгофа. Особая важность такого подхода проявляется при формировании разрешающих интегральных соотношений в случае выполнения граничных условий на свободном крае пластины, в том числе и когда на этой части границы присутствуют угловые точки. Предложенные подходы в вычислении некоторых сингулярных интегралов удобны при разработке алгоритма численной реализации. Заложены теоретические основы к анализу интегралов с сильной особенностью типа 1/г2 , которые позволяют определить подходы по приданию определенного смысла таким интегралам и их последующего вычисления.

Глубокое развитие по многим направлениям метод компенсирующих нагрузок получил в работах Артюхина Ю. П. с учениками [1-19]. Применение метода компенсирующих нагрузок к решению задач изгиба тонких изотропных пластин произвольного очертания при различных способах опирания и произвольном нагружении. С детальным анализом и решением возникающих проблем при получении и вычислении различных сингулярных интегралов. Применение метода компенсирующих нагрузок к задаче изгиба пластин средней толщины. При решении данной проблемы получены основные граничные интегральные соотношения с ядрами в виде функций Макдональда нулевого порядка, и дан исчерпывающий анализ, возникающим при этом, особенностям. Решен вопрос об учете температурного воздействия на пластину совместно с силовым нагружением. Метод граничных элементов получил развитие не только применительно к линейным, но и нелинейным задачам теории пластин и оболочек. Рассмотрена и решена методом граничных элементов задача изгиба ортотропных пластин. Метод получил развитие в приложении к расчету пологих сферических оболочек и оболочек положительной двоякой кривизны. Применение метод граничных элементов нашел в вопросе о напряженно-деформированном состоянии пространственных пластинчатых конструкций и ряда других проблем. Итогом исследований по целому ряду направлений явились диссертационные работы Крамина Т. В. [82] и Крамина М. В. [83], которые свидетельствуют о продвижении метода граничных элементов на новые типы задач.

Заметный вклад в развитие метода граничных элементов внесен Грибовым А. П. В ряде работ [4-11], [54-56] с соавторами проведено исследование большого круга проблем, связанных с расчетом пластин и оболочек, как в линейной, так и нелинейной постановках с использованием прямого и непрямого вариантов метода граничных элементов. В связи с решением конкретных задач производился детальный анализ в одном из главных вопросов приложения метода граничных элементов - это получение предельных соотношений для граничных интегралов. На основе проводимого анализа сингулярных ядер предложен ряд методик по вычислению подобных интегралов, в том числе интегралов с особенностью 1/г2. В наиболее полном виде результаты исследований изложены в диссертационной работе [58].

Большое исследование по различным аспектам применения метода граничных элементов при решении задач механики проведено в монографии Бенерджи П. и Баттерфилда Р. [27]. Акцент сделан на практические стороны приложения метода в различных его вариантах. Уделено внимание таким вопросам как формирование систем интегральных уравнений при выполнении граничных условий, анализ получаемых сингулярностей и способы их преодоления. Значительное внимание уделено вопросам дискретизации границы и аппроксимации искомых граничных функций в пределах отдельных граничных элементов. Анализируются подходы по учету влияния ребер и угловых точек на границе изучаемой области. Одна из глав посвящена изгибу тонких пластин, как в прямом, так и непрямом вариантах метода граничных элементов. В плане обсуждения рассматриваются подходы к возможной комбинации метода граничных элементов с некоторыми другими численными методами.

Монография Крауча С. и Старфилда А. [85] посвящена в основном применению вариантов метода граничных элементов к задачам линейной теории упругости. Книга акцентирована на практические аспекты приложения метода в решении различных задач.

Большим вкладом в развитие метода граничных элементов и расширению сферы его применения представляет книга Угодчикова А. Г. и Хуторянского Н. М. [123]. Книга содержит описание численно-аналитических подходов к решению трехмерных задач теории упругости, термоупругости и вязкоупругости. Также рассматриваются нестационарные динамические задачи теории упругости и вязкоупругости.

Предметом обсуждения в монографии Т. Громадки II и Ч. Лея [62] является комплексный метод граничных элементов. Помимо постановки задач, описываемых уравнением Лапласа, рассматриваются вопросы аппроксимации границы и аппроксимации искомых граничных функций. Анализируются подходы по оценки точности аппроксимации и вырабатываются критерии по оптимизации принятой аппроксимации.

Работа Дызова К. Г. [66] посвящена применению сингулярных функций при расчетах пластин, испытывающих действие локальных нагрузок. Действие локальных нагрузок на пластины рассматривается в работах Артюхина Ю. П. [2] и Лукасевича С. [92].

В монографии Якупова Н. М. и Серазутдинова М. Н. [125] изложены два достаточно универсальные метода, применяемые при статическом и динамическом расчете деформируемых элементов в виде пластин, оболочек и криволинейных стержней сложной геометрии. Предложенные подходы основаны на вариационном методе и ориентированы для расчета тонкостенных элементов сложной геометрии. Как один из возможных способов в построении аппроксимирующих решение функций в вариационном методе предложена процедура, основанная на методе граничных элементов. Используя фундаментальное достоинство метода граничных элементов, в варианте метода компенсирующих нагрузок, представляется решение в некоторой области, включая границу, пластины или оболочки. Вводится определенная гранично-элементная аппроксимация, которая ставит упомянутое решение в зависимость от заданного числа параметров. С помощью процедуры метода граничных элементов решение подчиняется геометрическим граничным условиям. При этом часть параметров аппроксимации становятся определенными. Статические граничные условия предлагается удовлетворить путем подстановки, построенного таким образом, решения в вариационное уравнение Лагранжа.

В статье [111] также обсуждаются некоторые аспекты построения аппроксимирующих функций, удовлетворяющих геометрическим граничным условиям на контуре сложной формы, с применением метода граничных элементов. Описан один подход по использованию фундаментального решения бигармонического оператора при решении краевых задач, подчиняющихся другому дифференциальному уравнению. В [112] основываясь на применении метода граничных элементов, предлагается способ получения конечно-элементных функций.

Пластины и оболочки, ограниченные сложным контуром относятся к объектам сложной геометрии. По определению Галимова К. 3., Паймушена В. Н. [49] -это объекты со сложной формой срединной поверхности, не описываемой простыми аналитическими выражениями и со сложной геометрией контура.

Одним из универсальных методов решения задач механики твердого деформируемого тела является метод конечных элементов, по применению и развитию которого опубликовано большое число работ. В их числе такие монографии и работы, как Бате К., Вилсона Е., Голованова А. И., Корнишина М. С., Зенкевича О., Норри Д., Ж. де Фриза, Рикардса Р. Б., Стренга Г., Фикса Д. и др. [24], [52], [67], [101], [106], [117], [81].

Некоторые вопросы реализации метода граничных элементов применительно к задачам изгиба тонких изотропных пластин сложного очертания обсуждаются в работах [126128], [132], [135], [140], [143], [155], [156], [159].

Gospodinov G. К. в работе [138] рассматривает способы реализации метода интегральных уравнений в задачах теории упругости. Обсуждаются проблемы формирования разрешающих интегральных соотношений.

Некоторые подходы в анализе и вычислении интегралов с сильными особенностями, которые следуют из процедуры удовлетворения граничным условиям на свободном крае пластины, обсуждаются в статье [139].

В статье [144] рассматриваются подходы и способы вычисления интегралов с логарифмической особенностью и интегралов типа Коши для одномерных и двумерных областей интегрирования при численной реализации метода граничных элементов в приложении к некоторым задачам механики.

В работе [150] достаточно детально разрабатываются подходы в решении задачи изгиба тонких изотропных пластин при использовании прямого метода граничных элементов. Предметом обсуждения являются приемы, используемые при совершении предельного перехода на контур области при выполнении различных граничных условий. Отдельно рассматривается вопрос о выполнении граничных условий на свободном крае пластины, и анализируются получаемые в этом случае особенности в интегральных уравнениях. На основе проведенного анализа выработаны некоторые приемы по вычислению сингулярных интегралов. Предложен один подход, при котором возможен учет влияния угловой точки на свободном крае пластины посредством выполнения определенного предельного перехода в окрестности угловой точки. Приведены некоторые примеры применения предложенных подходов к расчету пластин. Проведено сравнение результатов решения с экспериментальными данными и результатами, полученными при использовании других численных методов.

В статье [154] также предлагается прямая формулировка метода граничных элементов при формировании основных соотношений в задаче изгиба пластин посредством двух интегральных уравнений, включающих перемещение в виде прогиба, нормальный поворот, изгибающий момент и поперечную силу на контуре пластины. Рассматривается вариант предельного перехода на контур области при удовлетворении граничных условий. Обсуждается проблема удовлетворения граничных условий в окрестности угловой точки на свободном крае. Предполагается введение в окрестности угловой точки некоторого дополнительного контура, который задается в полярной системе координат с полюсом в угловой точке и располагается внутри области пластины. Распределяя граничные значения перемещений и усилий по этой дуге, и уменьшая радиус дуги, которая обходит угловую точку, производится оценка влияния различных факторов, действующих в окрестности угловой точки, на решение в других точках пластины. Обсуждается актуальность учета кривизны контура при формировании разрешающих соотношений и влияние этого фактора на результаты расчетов при численной реализации.

В работах [130], [145] рассматривается вопрос о применении функции Грина к формулировке граничных интегральных соотношений в задаче изгиба упругих пластин. Производится анализ получаемых потенциалов, и даются соответствующие подходы и схемы численной реализации.

Вопросы применения прямого метода граничных элементов к расчету пластин средней толщины, испытывающих изгиб под действием поперечных сил, обсуждаются в [129], [147], [158]. Предлагаются подходы к формулировке интегральных уравнений, техника предельных переходов на этапе удовлетворения граничным условиям и получение разрешающих граничных интегральных уравнений. Производится анализ полученных сингулярностей в граничных интегралах, и указываются способы вычисления таких интегралов. Обсуждаются проблемы аппроксимации искомых граничных функций в пределах граничных элементов.

В статье [153] предложен подход в формулировке интегральных уравнений метода граничных элементов применительно к задаче изгиба пластин, при котором отсутствуют сингулярности в контурных интегралах.

Анализ и оценка ошибок при численном интегрировании ядер, имеющих место при формулировке граничных интегральных соотношений, для различных задач механики производится в статье [152]. Исследуется погрешность при применении квадратурной формулы

Гаусса к интегрированию быстроизменяющихся функций, таких как, например, 1/г и 1/г2, когда точка наблюдения приближается к рассматриваемому граничному элементу, в пределах которого производится интегрирование. На основе проведенных детальных численных расчетов, и сравнения с результатами аналитических вычислений выработаны рекомендации по выбору оптимального порядка квадратурной формулы в зависимости от положения точки наблюдения по отношению к граничному элементу. Как показывают результаты этих исследований, погрешности численного интегрирования могут быть существенными, если не учитывать особенности в поведении такого рода функций при разработке соответствующих численных алгоритмов вычислений.

Приведенный краткий обзор позволяет сделать вывод о том, что не смотря на очень интенсивное развитие метода граничных элементов в приложении к широкому кругу проблем механики твердого тела, некоторые вопросы реализации метода не нашли достаточно полного отражения в литературе. Обозначим некоторые такие вопросы, относящиеся, в том числе и к задаче изгиба пластин.

Записав интегральные уравнения, необходимо получить разрешающие граничные интегральные соотношения путем удовлетворения граничных условий. С этой целью принято осуществлять предельный переход в решении, которое изначально записано, для внутренних точек области на границу этой области. Подходов в технике, с применением которой производится такого рода предельный переход, в литературе используется достаточно много, и не во всех случаях они строго обоснованы и математически корректны. Отсутствие единого подхода объясняется как видом ядер некоторых интегральных уравнений, так и сложной геометрией контура области. Важность этого этапа анализа заключатся в том, что необходимо выделить локальные вклады для некоторых сингулярных интегралов в точках контура.

Не усматривается полной ясности в вопросе удовлетворения граничных условий на свободном крае пластин, подчиненных гипотезам Кирхгофа. В большей степени это касается определения обобщенной поперечной силы в точках контура, что сопряжено с необходимостью вычисления интегралов с сильной особенностью типа 1/г2. В работе [58] Грибовым А. П. ,например, предложена методика, которая применима лишь при кусочно-постоянной аппроксимации в пределах только прямолинейных граничных элементов. Эта методика основана на использовании уравнения равновесия для бесконечной пластины под действием единичного момента. Также предлагается вычислять интегралы с ядром типа 1/г2 в смысле конечного значения по Адамару [1], [58], [83] и др. При этом не всегда ясен физический смысл выполняемых математических операций.

Проблема учета влияния угловой точки на свободном участке контура пластины в основном обсуждалась в плане постановки и обоснования задачи [121], [122]. Аспекты численной реализации некоторых процедур по учету угловых точек при применении прямого варианта метода граничных элементов рассматриваются, например, в [150], [154]. Решение подобной проблемы в варианте метода компенсирующих нагрузок при численной реализации в литературе не встречено.

Численные алгоритмы решения методом граничных элементов сопряжены с введением некоторой аппроксимации искомых граничных функций. Исторически, по аналогии с техникой метода конечных элементов, аппроксимация в методе граничных элементов основана, прежде всего, на дискретизации границы области. В результате контур представляется объединением определенного числа элементов. Для большинства известных работ характерно то, что граничные элементы представляются прямолинейными отрезками либо .дугами окружностей. Это позволяет упростить процедуру предельного перехода при получении граничных интегральных соотношений на границе области. Также упрощается процедура по выделению локальных вкладов сингулярных интегралов и последующее вычисление этих интегралов. На граничных элементах вводится аппроксимация граничных функций в виде интерполяционных полиномов. В практических приложениях наиболее часто используется кусочно-постоянная аппроксимация вследствие ее простоты, реже линейная. Однако есть примеры применения квадратичной и сплайновой аппроксимаций, например, [43], [70]. Работ по исследованию эффективности различных типов аппроксимации при численной реализации метода граничных элементов в литературе не встречено, кроме частных замечаний или перечисления возможных ее видов [27], [32], [43] и некоторые др. Новых подходов к аппроксимации и способов в удовлетворении граничных условий, повышающих точность решения, также не отмечено.

Одним из путей по расширению сферы применения метода является совместное применение с другими численными методами. С начальных этапов практического использования метода граничных элементов, например, Бреббия К. [38], указывается на возможность комбинированного его применения с другими методами. Популярна идея о комбинации методов граничных и конечных элементов [27], [32]. Однако примеров практической реализации возможностей, заложенных в комбинированном подходе, в литературе отражено в небольшом числе. Так, при решении нелинейных задач для пластин и оболочек в [58] и [83] метод граничных элементов применяется в схеме итерационного процесса. В [111] и [123] предложен подход по использованию техники метода компенсирующих нагрузок для построения аппроксимирующих решение функций, удовлетворяющих кинематическим граничным условиям, в вариационном методе.

В литературе слабо отражено применение метода граничных элементов к исследованию составных объектов сложного очертания, в том числе и пластин, состоящих из ряда подобластей произвольного очертания и различными механическими характеристиками. Большая работа в этом направлении [82]. В [112] изложен подход по построению конечно-элементных функций на основе процедуры метода граничных элементов.

Изложенное выше в определенной степени отражает актуальность вопросов, которые рассмотрены в диссертации.

Диссертационная работа состоит из четырех глав, введения, заключения и списка литературы.

В главе I приведены основные соотношения метода компенсирующих нагрузок применительно к изгибу тонких изотропных пластин. Выведены необходимые формулы дифференцирования в системе координат, связанной с точкой некоторой кусочно-непрерывной линии, которая лежит в области пластины или является фрагментом ее контура. В точке строится система координатных осей, представляющих направления нормали и касательной. Такой подход представляется удобным при выполнении необходимых операций дифференцирования. Характерным в этом приеме является необходимость в частном дифференцировании функции, представляющую угол между радиус-вектором и нормалью в данной точке кривой. Операции дифференцирования этой функции по направлению касательной производится с привлечением понятия обобщенных функций. В подвижной локальной системе координат установлены ядра потенциалов, которые входят в интегральные соотношения задачи изгиба пластин. Для основных типов краевых условий при формировании разрешающих граничных интегральных соотношений нет необходимости в осуществлении предельного перехода, так как дифференцирование производится на линии, в том числе и контурной, в классе обобщенных функций. Используя свойство дельта - функций Дирака, устанавливаются все возможные локальные составляющие сингулярных интегралов или, так называемые, скачки, которые имеют место в точках контура. При получении сингулярных ядер используется условие Коши-Римана для ряда аналитических функций. Произведен анализ полученных ядер граничных интегральных уравнений. После выделения сингулярных составляющих в виде локальных членов, часть интегралов с ядром типа 1/г оказываются непрерывными на линии интегрирования, а другим придается смысл главного значения по Коши. Определен подход к анализу ядер с сильной особенностью типа 1/г2 . В результате определены условия, при выполнении которых интегралы с подобным ядром имеют смысл и могут быть вычислены аналитически или численно. Рассматривается подход по учету сосредоточенной компенсирующей нагрузки в угловой точке контура. Найдены условия, при которых возможно определить такую силу и учесть ее при выполнении граничных условий на свободном крае пластины, содержащем угловые точки.

В главе II рассматриваются вопросы аппроксимации при численной реализации метода граничных элементов. Приведен обзор существующих приемов подразделения границы области на граничные элементы и способов аппроксимации искомых граничных функций (компенсирующих нагрузок) в пределах граничных элементов. Также дан анализ по эффективности различных видов аппроксимации. Приводится обоснование в целесообразности использования криволинейных граничных элементов. Рассматриваются некоторые аспекты аппроксимации в связи с выполнением граничных условий в различных возможных комбинациях. Интегральные соотношения представлены в форме, соответствующей способам дискретизации границы и различным видам представления искомых граничных функций в пределах граничных элементов. В этой связи обсуждаются вопросы интегрирования ядер при различных представлениях функций плотности на граничных элементах. Как альтернатива общепринятому классическому подходу в дискретизации границы и аппроксимации граничных функций предлагается новый подход в решении этого вопроса. Граница области подразделяется на минимально возможное число фрагментов, в пределах каждого из которых линия контура непрерывна и граничные условия одинаковы. На граничных фрагментах искомые граничные функции приближаются полиномами достаточно высокого порядка, коэффициенты которых не связываются с узловыми значениями аппроксимируемых функций. В связи с последним обстоятельством также предлагается новый способ подчинения функций, определяющих решение внутри области, граничным условиям. На каждом граничном фрагменте вводятся граничные функционалы, представляющие среднеквадратичное уклонение функций перемещений, усилий, напряжений и т. п. от заданных функций, в том числе и нуля. Минимизация граничных функционалов производится с помощью метода наименьших квадратов, в результате чего формируется разрешающая система алгебраических уравнений относительно коэффициентов аппроксимирующих полиномов.

В главе III рассматриваются возможности в совместном применении метода граничных элементов с энергетическими методами с целью расширения сферы приложения метода. Приводится вариационное уравнение Лагранжа, соответствующее изгибу тонких изотропных пластин. Дается анализ сильных и слабых черт, присущих каждому из рассматриваемых методов. Аппроксимирующая решение функция в вариационном методе строится в форме, присущей непрямому варианту метода граничных элементов с введением соответствующей аппроксимации на границе области. Такой подход позволяет сформулировать решение, удовлетворяющее геометрическим граничным условиям для областей с произвольным очертанием контура и при любом нагружении. В таком случае каких-либо серьезных проблем, связанных с вычислением сингулярных интегралов не возникает, так как граничные интегральные уравнения могут содержать только логарифмическую особенность. Выполнение условий минимума функционала Лагранжа обеспечивает удовлетворение уравнений равновесия и статических граничных условий, которые являются естественными для функционала. Разработан подход по расчету на изгиб пластин, состоящих из подобластей с различными характеристиками жесткости. Он основан на синтезе метода граничных элементов и вариационного метода. Решение в каждой подобласти расписывается в формулировке метода компенсирующих нагрузок, задается аппроксимация граничных функций в полиномиальной форме на фрагментах границы. Техника сопряжения по перемещениям смежных подобластей по произвольным линиям унифицируется с техникой подчинения граничным условиям путем введения граничных функционалов среднеквадратичного уклонения. Для обеспечения процедуры сопряжения по моментам и усилиям на линиях раздела подобластей используется функционал Лагранжа.

В главе IV приведены результаты численных расчетов. На тестовых примерах проведено сравнение результатов вычислений, основанных на применении классических типов аппроксимации и поточечном удовлетворении граничных условий, так и результатов, полученных на основе вновь предложенного подхода к аппроксимации и способа подчинения граничным условиям. В последнем случае имеет место большая точность при меньшем числе параметров аппроксимации. В особенности это касается результатов для точек близких к контуру и точек самого контура. Проведено тестирование разработанной методики вычисления сингулярных интегралов с яром 1/г 2 при выполнении граничных условий свободного края, в том числе и при наличии угловых точек. На нескольких примерах проведен сравнительный анализ результатов, полученных на основе синтеза метода граничных элементов и вариационного метода для областей с различной геометрией контура, а также при всевозможных граничных условиях. Проведена всесторонняя проверка и тестирование на различных примерах методика и алгоритм расчета составных пластин. Имеет место высокая точность сопряжения по перемещениям и вполне приемлемая для практических приложений точность сопряжения по напряжениям. Получены результаты по расчету ряда пластин с различной геометрией контура, которые состоят из подобластей с различной толщиной.

Положения диссертации докладывались:

- на II Республиканской научно-технической конференции (г. Брежнев, 1987 г.);

- на IV Республиканской научно-технической конференции КамАЗ - КамПИ (г. Набережные Челны, 1988 г.);

- на Международной научно-технической конференции "Механика материалов" (г. Набережные Челны, 1995 г.);

- на Международной научно-технической конференции (г. Набережные Челны, 2000 г.);

- на Международной конференции "Актуальные проблемы механики оболочек" (г. Казань, 2000 г.).

Основные положения диссертации опубликованы в работах [3], [11], [21-23], [113], [114]. Работа [3] выполнена совместно с Артюхиным Ю. П., работы [113], [114] в соавторстве с Серазутдиновым М. Н.

Вклад соавторов заключается в постановке проблемы, обсуждении алгоритмов и полученных результатов исследований.

Целью настоящей работы является исследование некоторых аспектов по применению метода граничных элементов к задаче изгиба пластин сложного очертания. Развитие методов анализа и выделения сингулярностей. Определение новых подходов к аппроксимации и процедуре реализации граничных условий. Изучение возможностей по расширению сферы приложения на основе сочетания с вариационными подходами. Использование возможностей, заложенных в синтезе методов, к решению задач для составных объектов.

Достоверность результатов работы обусловлена:

- использованием строгих математических постановок задач и применением обоснованных математических методов при выполнении необходимых преобразований.

- тщательным тестированием на всех этапах разработки и реализации численных алгоритмов, высокой точностью совпадения получаемых результатов с известными аналитическими решениями в тестовых примерах и решениями, полученными другими методами.

- устойчивым повышением точности решения в модельных задачах при увеличении, в разумных пределах, количества параметров, определяющих аппроксимацию граничных функций.

- наличием хорошего соответствия результатов в возможных предельных вариантах для составных областей.

Практическая ценность заключается в том, что предложенный способ аппроксимации граничных функций в совокупности с интегральной процедурой удовлетворения граничных условий может быть применен к решению различных задач для двумерных областей с целью повышения точности при меньшем числе параметров аппроксимации. Подход, основанный на синтезе двух методов, и соответствующая ему техника предоставляют большие возможности в решении многих задач при расчете пластин и оболочек. Методика и соответствующий ей численный алгоритм, которая предложена для расчета составных пластин, может быть перенесена на исследование и расчет других составных тонкостенных объектов.

На защиту выносятся следующие положения:

1) Формирование разрешающих граничных интегральных соотношений с использованием аппарата обобщенных функций и свойств аналитических функций.

2) Подход к анализу и вычислению интегралов с особенностью 1/г2 при определении обобщенной поперечной силы на контуре для любого типа аппроксимации и произвольной геометрии граничных элементов.

3) Методика учета сосредоточенной обобщенной силы в угловой точке на свободном крае пластины.

4) Новый подход и численный алгоритм в аппроксимации граничных функций. Интегральный вариант удовлетворения граничных условий в методе граничных элементов.

5) Развитие методики и разработка численного алгоритма для решения задачи изгиба пластин на основе синтеза метода граничных элементов и вариационного метода.

6) Методика и численный алгоритм расчета пластин, представляющих объединение произвольного числа подобластей со сложным очертанием границ и различными жестко-стями.

Научную новизну работы составляют следующие результаты:

Методика выделения локальных составляющих сингулярных интегралов в точках контура произвольной геометрии.

Анализ поведения расходящегося интеграла с особенностью типа 1/Л определение условий, при которых этому интегралу можно придать определенный смысл и в дальнейшем произвести его вычисление на криволинейном участке контура при различных видах аппроксимации граничных функций.

Подход и методика устранения особенностей при вычислении сосредоточенной поперечной силы в угловой точке.

Новый подход в аппроксимации искомых граничных функций и реализации граничных условий в смысле среднеквадратичного приближения.

Развитие идеи синтеза метода граничных элементов и вариационного метода с использованием полиномиального представления неизвестных граничных функций на больших фрагментах границы и выполнения геометрических граничных условий в смысле среднеквадратичного приближения. Разработка и реализация численного алгоритма решения, получение численных результатов для различных примеров.

Разработка подхода, методики и алгоритма численной реализации к решению задач изгиба для составных пластин произвольного очертания. Результаты решения для пластин, состоящих из подобластей с различной толщиной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе рассмотрена задача изгиба пластин сложного очертания при применении метода граничных элементов. В результате проведенных исследований:

1. Предложен подход при формировании разрешающих граничных интегральных соотношений с использованием аппарата обобщенных функций и свойств некоторых аналитических функций. Не прибегая к процедуре предельного перехода на контур, выделены все возможные локальные составляющие в интегральных уравнениях, обусловленные спецификой фундаментального решения и его производных.

2. Получила развитие методика определения обобщенной поперечной силы в точках контура. Ядра соответствующих интегралов имеют особенность 1/г2. Установлены условия, при которых таким интегралам можно придать смысл и вычислить их при любом типе аппроксимации функции плотности и произвольной геометрии граничных элементов.

3. Разработан способ, позволяющий учесть влияние сосредоточенной обобщенной силы в угловой точке на свободном крае пластины. Произведен анализ ядер в соответствующих контурных интегралах. Определены условия существования этих интегралов и разработан алгоритм их вычисления.

4. Предложен новый подход и разработан соответствующий численный алгоритм реализации в вопросе аппроксимации граничных функций, а также способ подчинения решения граничным условиям с позиции среднеквадратичного приближения. Показана эффективность этой методики на примере решения ряда тестовых задач.

5. Получила развитие методика решения задач изгиба пластин, основанная на синтезе метода граничных элементов и вариационного метода. Разработан численный алгоритм решения. На примерах показана целесообразность такого подхода, позволяющего расширить сферу приложения метода граничных элементов.

6. Предложен подход и разработана процедура расчета пластин, представляющих объединение некоторого числа подобластей с произвольным очертанием границ и различными механическими характеристиками. Основой является метод граничных элементов в комбинации с вариационным методом. Это снимает все проблемы, связанные с удовлетворением граничных условий и условий сопряжения смежных подобластей на контурных линиях с произвольной геометрией.

1. Артюхин Ю. П. К расчету изгиба пластин средней толщины методом граничных элементов // Статика и динамика элементов конструкций сложной формы. Межвуз. сб. Казань: Изд-во КХТИ. 1990. С. 15-21.

2. Артюхин Ю. П. Действие локальной нагрузки на ортотропную пластину // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 4. Казань.: Изд-во Казанск. ун-та. 1966. С. 110114.

3. Артюхин Ю. П., Банцарев К. Н. Метод граничных элементов в задачах изгиба пластин сложного очертания при различных типах закрепления. // Статика и динамика элементов конструкций сложной формы. Межвуз. сб. Казань: Изд-во КХТИ. 1990. С. 22-30.

4. Артюхин Ю. П., Грибов А. П. Применение метода граничных элементов к исследованию изгиба ортотропных пластин сложной формы // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Вып. 21. 4.1. Казань: Казан, физ.-техн. ин-т АН СССР. 1988. С. 146-156.

5. Артюхин Ю. П., Грибов А. П. Развитие метода граничных элементов в линейных и нелинейных задачах теории пластин и оболочек // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. т.З. Саратов: Саратовский гос. техн. ун-т, 1997. С.3-9.

6. Артюхин Ю. П., Грибов А. П. Решение задач изгиба пластин, подкрепленных упругими ребрами, методом граничных элементов // Актуальн. пробл. мех. оболочек. Тезисы докладов 3 Всесоюз. совещания-семинара молодых ученых. Казань. 1988. С.11.

7. Артюхин Ю. П., Грибов А. П. Исследование изгиба пластин с гладким контуром под действием произвольных нагрузок методом граничных элементов. Тезисы докл. V республик. научн.-техн. конф. Наб. Челны. 1986. с. 8.

8. Артюхин Ю. П., Гурьянов И. Н., Крамин М. В., Крамин Т. В. Метод потенциала в задачах механики пластин и оболочек // Лаврентьевские чтения: Тез. докл. 4 Межд. конф. по математике, механике и физике. Казань.: Изд-во Казан, гос. ун-та. 1995. С.89.

9. Артюхин Ю. П., Крамин М. В. Применение метода граничных элементов для расчета напряженно-деформированного состояния пологих сферических оболочек. Казанский гос. ун-т. 1994. 19с. Деп ВИНИТИ № 2476-В94.

10. Артюхин Ю. П., Крамин М. В. Определение напряжено-деформированного состояния оболочек двоякой положительной кривизны методом граничных элементов. Ка-занск. гос. ун-т. Казань. 1994. 19с. Деп ВИНИТИ №2499-В94.

11. Артюхин Ю. П., Крамин Т. В. Исследование изгиба пластины сложной формы методом граничных элементов. Казанск. гос. ун-т. Казань. 1994. 17с. Деп. ВИНИТИ №2475-В94.

12. Артюхин Ю. П., Крамин Т. В. Напряженно-деформированное состояние пространственных конструкций, состоящих из пластин сложной формы. Казанск. гос. ун-т. Казань. 1994. 17с. Деп. ВИНИТИ №244-В94.

13. Артюхин Ю. П., Крамин Т. В. Расчет пластинчатых конструкций и пологих оболочек методом граничных элементов // Труды 17 Межд. конф. по теории оболочек и пластин. Т.2. Казань: Изд-во Казанского гос. ун-та. 1995. С.77-81.

14. Артюхин Ю. П., Серазутдинов М. Н., Недорезов О. А. Исследования свободных колебаний упругозакрепленных пластин различной формы // Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 20. Казань: Изд-во Казанск. ун-та. 1990. С113-123.

15. Артюхин Ю. П., Серазутдинов М. Н. О расчете упругозакрепленных пластин различной формы // Строительная механика и расчет сооружений. 1986. №3. С.33-36.

16. Банцарев К. Н. Решение задачи изгиба пластин сложного контура при действии распределенных и локальных нагрузок с использованием граничных элементов высокой аппроксимации. Тезисы докл. II Республик, научн.-техн. конф. Брежнев. 1987. с. 13.

17. Банцарев К. Н. Решение задачи изгиба пластин с вырезами методом граничных элементов. Сб. тез. докл. IV Республик, научн.-техн. конф. КамАЗ-КамПИ. Наб. Челны. 1988. с. 211.

18. Банцарев К. Н. Сочетание вариационного метода и метода граничных элементов при расчете пластин и оболочек // Механика машиностроения. Сб. тез. докл. междунар. научн.-техн. конф. Наб. Челны: Изд-во КамПИ. 1995. с. 87-88.

19. Банцарев К. Н. Расчет составных пластин сложного очертания методом граничных элементов и вариационного подхода. Тез. докл. междунар. научн.-техн. конф. Наб. Челны: Изд-во КамПИ. 2000. с. 34.

20. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат. 1982. 448с.

21. Бахвалов Н. С. Численные методы. М.: Наука. 1975. 632 с.

22. Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их приложения в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. М.: Наука, 1985. 253с.

23. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. Пер. с анг. М.: Мир, 1984. 496с.

24. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982. 336с.

25. Бойков И. В., Добрынина Н. Ф. Об оптимальных по точности алгоритмах вычисления интегралов Адамара // Оптимальные методы вычислений и их применение. Межвуз. сб. научн. трудов. Пенза. 1985. с. 14-28.

26. Бойков И. В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Изд-во Саратовского ун-та. 1983 . 210с.

27. Бойков И. В., Добрынина Н. Ф. Весовые квадратурные формулы для интегралов Адамара. Пензенский политехи, ин-т. Пенза. 1989. 7с. Деп. в ВИНИТИ 19.01.90. №424-В90.

28. Бреббия К., Теллес Ж., Броубел Л. Методы граничных элементов. Пер. с англ. М.: Мир, 1987. 524с.

29. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. Пер. с англ. М.: Мир, 1982. 248с.

30. Вайнберг Д. В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин. Киев: Будивельник. 1973. 488с.

31. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. Пер. с англ. М.: Мир, 1987. 542с.

32. Векуа Н. П. Системы сингулярных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука. 1970. 380с.

33. Венцель Э. С. Некоторые вопросы применения метода компенсирующих нагрузок для решения краевых задач изгиба тонких плит // Проблемы машиностроения, 1982 №7. с. 54-57.

34. Венцель Э. С. Об одной схеме численной реализации метода граничных интегральных уравнений в задачах изгиба пластинок // Числен, методы расчета тонкостей, про-стран. конструкций. Киев, 1988. с.26-30.

35. Венцель Э. С. Применение метода компенсирующих нагрузок к расчету пластин сложной формы// ДАН УССР. сер. А. 1980. с.43-45.

36. Венцель Э. С., Кобылинский В. Г., Левин А. М. Об учете особенностей при численной реализации метода компенсирующих нагрузок в бигармонических задачах теории упругости//Проблемы машиностроения. 1986. №25. с. 16-18.

37. Венцель Э. С., Кобылинский В. Г., Левин А. М. Применение метода регуляризации для численного решения задач изгиба тонких плит // Журнал вычислительной математики и физики. 1984. Т.24. №2. с. 323-328.

38. Венцель Э. С., Левин А. М. Метод компенсирующих нагрузок в задачах изгиба пластинок и пологих оболочек неканонической формы // Эксперим. расчет., методы авто-матиз. проектир. Киев. 1988. с.35-39.

39. Верюжский Ю. В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев: Вища школа. 1978. 183с.

40. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука. 1979. 320 с.

41. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1981. 512 с.

42. Вольмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. ГИТЛ, М., 1956.

43. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М., Физматгиз, 1958. 543с.

44. Галимов К. 3. Основы нелинейной теории тонких оболочек. Изд-во Казанского ун-та. 1975. 326с.

45. Галимов К. 3., Паймушин В. Н. Теория оболочек сложной геометрии. Казань: Изд-во Казан, ун-та. 1985. 208с.

46. Гегелиа Т. Г. О численных решениях основных задач теории упругости методом сингулярных интегральных уравнений // Труды Тбилисского математического ин-та. Т. LXXIII. 1983. с.45-53.

47. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1958. 470с.

48. Голованов А. И., Корнишин М. С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек. Казань. Казан, физ.-техн. ин-т. 1989. 270с.

49. Грач С. А. Расчет неразрезных круглых и кольцевых пластин постоянной и кусочно- переменной жесткости. ИВ УЗ, "Строительство и архитектура". №7. 1971.

50. Грибов А. П. Исследование напряженно-деформированного состояния гибких прямоугольных пластин ступенчато-переменной жесткости // Камский политехи, ин-т. Юс. Деп. в ВИНИТИ 19.09.84 №6198-84.

51. Грибов А. П. Исследование изгиба пластин, подкрепленных по контуру ребрами, методом граничных элементов // Механика и процессы управления. Межвуз. сб. научн. тр., вып.З. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1992. с.8-13.

52. Грибов А. П., Петухов Н. П. Численные методы расчета тонкостенных консрукций при статических воздействиях. Учебное пособие. Казань. Казанск. хим.-технол. ин-т. 1986. 79с.

53. Грибов А. П. Большие прогибы пластин и пологих оболочек со сложным контуром // Диссертация на соиск. уч. степ. д. ф.-м. н. по спец. 01.02.04. Ульяновск. Ульяновский гос. техн. ун-т, 1998 г.,239 с.

54. Григоренко Я. М., Тимянин А. М. Решение задач об изгибе пластин сложной формы в ортогональных криволинейных координатах // Докл. АН УССР. 1987. А, 2. С.51-54.

55. Григоренко Я. М., Мукоед А. П. Решение задач теории оболочек на ЭВМ. К.: Ви-ща школа. 1979. 280с.

56. Грилицкий Д. В., Попович Б. И. К определению напряженного состояния анизотропной пластинки с упругим включением. ИВ УЗ, "Строительство и архитектура". №5. 1970. С.50-54.

57. Громадко II Т., Лей Ч. Комплексный метод граничных элементов. М.: Мир. 1990.304с.

58. Гузь А. Н. О современных направлениях механики твердого деформируемого тела //Прикл. механика. 1985. 21, №9 с.3-11.

59. Гузь А. Н., Чернышенко Н. С., Чехов Вал. Н., Чехов Вик. Н., Шнеренко К. И. Исследования по теории тонких оболочек с отверстиями (обзор) // Прикл. математика. 1979. 15, №11. с.3-37.

60. Гуляев В. И, Баженов В. А., Гоцуляк Е. К., Гайдайчук В. В. Расчет оболочек сложной формы. Киев: Бущвельшк. 1990. 190с.

61. Дызов К.Г. К применению сингулярных функций в расчете пластин при действии локальных нагрузок//Изв. вузов. Стр-во. 1991. №10. с.19-23.

62. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир. 1975. 511с.

63. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир. 1986.318с.

64. Зозуля В. В., Лукин А. Н. О расчете пластин методом граничных элементов // Прикл. мех. (Киев). 1997. -33, №3. С. 79-83.

65. Иванников Л. М. О применении граничных элементов повышенной точности в методе фиктивных нагрузок // Сроит, мех. и мех. мат. Вып.1. Хабаровск: Хабар, гос. техн. ун-т, 1998. С. 9-12.

66. Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наукова думка. 1968. 287с.

67. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функциональный анализ. М.: Наука. 1981. 544 с.

68. Коренев Б. Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях. М. : Физматгиз. 1960. 287с.

69. Коренев Б. Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука. 1971.287с.

70. Коренев Б. Г. Задачи теории теплопроводности и термоупругости. М.: Наука. 1980. 400с.

71. Корнейчук А. А. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов // Численные методы решения дифференциальных уравнений и квадратурные формулы. Научн. сб., М.: Наука. 1964. с.64-74.

72. Корнишин М. С., Паймушин В. Н., Снигирев В. Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. М.: Наука. 1989. 208с

73. Корнишин М. С., Петухов Н. П. К расчету на изгиб гибких пластин и пологих панелей со сложным очертанием контура методом блочной итерации // Тр. семинара по теории оболочек. Вып. VI. Казань. 1975. с.39-40.

74. Корнишин М. С., Файзуллина М. А. Обзор работ по расчету на изгиб и устойчивость пластин и оболочек сложного очертания. КФАН СССР, Деп. в ВИНИТИ 5.11.86. №8071-386. Казань. 1986. 39с.

75. Корнишин М. С., Якупов Н. М. Сплайновый вариант метода конечных элементов для расчета оболочек сложной формы // Прикл. механика. 1987. т.23. №3. с.38-44.

76. Крамин Т. В. Расчет тонкостенных пространственных конструкций сложной формы методом граничных элементов // Диссертация на соиск. уч степ. к. ф.-м. н. по спец. 01.02.04. Казань. Казанский гос. ун-т, 1995 г., 107 с.

77. Крамин М. В. Решение задачи термоупругости пологих оболочек методом граничных элементов // Диссертация на соиск. уч. степ. к. ф.-м. н. по спец. 01.02.04. Казань. Казанский гос. ун-т, 1995 г., 173 с.

78. Краснощеков В. В. Аналитически интегрирумые квадратичные граничные элементы для плоских упругих задач // ЛГТУ, Л., 1990. Деп. в ВИНИТИ, 12.11.90, №565-590.

79. Крауч С., Старфилд С. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир. 1987. 328с.

80. Кузнецов С. В. Некоторые сингулярные решения теории упругости // ПММ. т.60. Вып.5. 1996. С.877-879.

81. Кулаков В. М., Толкачев В. М. Изгиб пластин произвольного очертания // ДАН СССР. 1976. Т.230. №1. С.56-59.

82. Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963.472с.

83. Купрадзе В. Д., Гегелиа Т. Г., Башелейшвили Н. О., Барчуладзе Т. В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.; Наука. 1976. 664с.

84. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир. 1964. 262с.

85. Лавретьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз. 1958. 680 с.

86. Лукасевич С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках. М.: Мир. 1982. 542с.

87. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. Новосибирск: Наука. 1973.352с.

88. Михлин С. Г. Интегральные уравнения. М. Л.: Гостехиздат. 1947.

89. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М: Физматгиз. 1962. 254 с.

90. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука. 1970.512с.

91. Мусх:елишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука. 1968. 41511с.

92. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упруго- V сти. М.: Наука. 1979. 707с.

93. МюнтцГ. Интегральные уравнения. Л.-М.: ГТТИ. 1934. 330 с.

94. Нинольский С. М. Квадратурные формулы. М.: Наука. 1979. 256с.

95. Норри Д., Ж. де Фриз Введение в метод конечных элементов. М.: Мир. 1981. 304с.

96. Партон В. 3., Перлин П. И. Методы математической теории упругости. М.: Наука. 1981. 688 с.

97. Партон В. 3., Перлин П. И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука. 1977. 311 с.

98. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981. 344 с.

99. Рвачев В. Л. Теория II функций и некоторые ее приложения. Киев: Наук, думка. 1982. 552 с.

100. Рикардс Р. Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига: Зи-натне. 1988. 284 с.

101. Рогалевич В. В. Метод переопределенной внутренней коллокации в задачах прочности, устойчивости, колебаниях пластин и оболочек // Строительная механика и расчет сооружений. 1982. №5. с. 33-38.

102. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М: Наука. 1971. 552 с.

103. Серазутдинов М. Н. О методе построения аппроксимирующих функций в задачах расчета пластин и оболочек сложной формы // Теория и численные методы расчета пластин и оболочек. Труды Всесоюзн. совещания-семинара в Тбилиси. Т.2. с. 294-304.

104. Серазутдинов М. Н. К методам расчета пологих оболочек со сложной формой контура // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1988. №3. с. 144-149.

105. Серазутдинов М.Н. Построение аппроксимирующих функций с использованием метода граничных элементов. // Исследования по теории оболочек: Тр. семинара. Казань, 1992. - Вып. XXVII. - С. 55-62.

106. Серазутдинов М. Н., Банцарев К. Н. Синтез метода граничных элементов и вариационного метода при расчете пластин и оболочек // Изв. вузов, Машиностр. 1992. 10-12. С. 48-52.

107. Серазутдинов М. Н., Банцарев К. Н. Вариационный метод в сочетании с методом граничных элементов при расчете пластин сложного очертания Сб. тез. докл. Междунар. конференции "Актуальные проблемы механики оболочек". Казань, 2000г.

108. Старк. Обобщенная квадратурная формула для интегралов Коши // Ракетная техника и космонавтика. 1971. Т.9. с. 244-245.

109. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами // ред. Абрамовича М., Стигана И., М.: Наука. 1970. 830 с.

110. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир. 1970. 350 с.

111. Теллес Д. К. Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. М.: Стройиздат. 1987. 160 с.

112. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука. 1966.635 с.

113. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1977. 736 с.

114. Толкачев В. М. Уравнения изгиба пластин произвольного очертания с угловыми точками // Труды XXVII Междунар. конф. по теории оболочек и пластин. Т.1. Казань: Изд-во Казанск. гос. ун-та. 1996. С. 145-153.

115. Толкачев В. М. Метод компенсирующих нагрузок в теории изгиба пластин // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1988. №3. С.З. С. 155-160.

116. Угодчиков А. Г., Хуторянский Н. М. Метод граничных элементов в механике твердого деформируемого тела. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1986. 296 с.

117. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I.-M.: Наука. 1969. 607с.

118. Якупов Н. М., Серазутдинов М. Н. Расчет упругих тонкостенных конструкций. КНЦРАН ИММ. Казань. 1994. 124 с.

119. Abdel-Akher A., Hartly G. A. Domain integration for plate bending analysis by BEM // Commun. Appl. Numer. Meth.1989. 5. №1. 23-28 p.

120. Abdel-Akher A., Hartly G. A. Evaluation of boundary integrals for plate bending // Int. Numer. Meth. Eng. 1989. 28. №1. 75-93. p.

121. Baneijee P. K., Henry D. P. BEM formulation for body forces using particular integrals // Boundary Elem. Meth. Appl. Proc. 1st Joint Jap/US Symp. Boundary Elem. Meth., Tokyo, 3-6 Oct., 1988. Oxford. 1988. 25-34 p.

122. Brebbia C. A., Long S. Y. Boundary element analysis of plats using Reissner's theory. Boundary elements. 9th Int. Conf. Stuttgard, Aug. 31st-Sept. 4th, 1987, Vol. 1, Southampton, 1987, 3-18 p.

123. Cadegh A. M. On the Green's function and boundary integral formulation of elastic plates with contours // Mech. struct, and Mach., 1991. 16, №3, 293-3 lip.

124. Camp С. V., Gipson G. S. Biharmonic analysis of rectilinear plats by the BEM // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1990. 30, №3, 517-539 p.

125. Costa J. A., Brebbia C. A. Plate bending problems using boundary element method. "Boundary element 6". Berlin e. a., 1984, 3/43-3/64 p.

126. Cruse T. A., Rizzo F. J. A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodinamic problem. Int. J. Math. Anal. Applies, 1968, 22, 244-259 p.

127. Cruse T. A., Rizzo F. J. Boundary integral equations method: computational applications in applied mechanics. AMD 11. New York: Am. Soc. Mech. Engrs, 1975.

128. Ding F., Li Z. Calculation of boundary integrals and load integrals for plate bending// J. Lanzhou Univ. 1991. 27, №2, 1 -7 p.

129. Fredholm I. Solusion d'on probleme fondamental de la theorie de e'elasticite, Arkiv for Matematik, Astronomi ochFysic, 2, 28, 3-8 (1906)

130. Giroire J. A system of bies with hipersingular kernels for the Free edge plate // Com-put. Mech.'88: Theory and Appl.: Proc. Int. Conf., Comput. Ing. Sci., Atlanta, GA, Apr., 10-14, 1988, Vol.1 Berlin, 1988. 23.11.1-23.II.4 p.

131. Gospodinov G. K. An integral equation method to boundary value problems in elas-tostatics // Struct, mech. React. Tech-nol., Trans, 9th Int. Conf., Laussanne, 17-21, Aug., 1987, Vol. B, Rotterdam; Boston, 1987, 155-160 p.

132. Guo-Shu Song, Mukheijee S. Boundary element method analysis of bending of elastic plates of arbitrary shape with general boundary conditions. "Eng. Anal.", 1986, 3, №1, 36-44 p.

133. Hartmann F., Zotemanter R. The direct BEM in plate bending. "Int. J. Numer. meth. Eng.", 1986, 23, №11, 2049-2069 p.

134. Ivan M., Dubina D., Ciocirlic H. Application of the BEM to plane problem elastisity // "Bui. Sti. Si. tehn. Inst, politechn. Timisoara Constr.", 1986, 31, №1-2, 41-46 p.

135. Irschik H., Heuer R., Ziegler F. BEM using Green's function of rectangular domains. Static and dynamic problems of bending of plats." Boundary elements 9". 9th Int. Conf. Stuttgard, Aug. 31 st-Sept. 4th, 1987, Vol.1, Southampton, 1987, 35-49 p.

136. Katsikadelis J. T. A mew boundary equation solution to the plate problem // Trans. ASME J. Appl. Mech., 1989, 56, №2, 364-734 p.

137. Katsikadelis J. T., Armenakas A. E. Numerical evaluation of double integrals with a logarithmic or Cauchy-tape singularity // Trans. ASME J. Appl. Mech., 1983, Vol. 50, 682-684 p.

138. Katz C. The use of Green's functions in the numerical analysis of potential, elastic and plate bending problems // Boundary Elem. Meth. Proc., 3rd Int. Semin., Irvine, Calif., July 1981. Berlin e. a.: 1981. 609-622 p.

139. Kamiya N., Sawaki Y. An integral equation approach to finite deflection of elastic plats //Int. J. Non Linear Mech. 1982. 17. №3. 187-194 p.

140. Lei Xiboyan, Huang Maokuang. A new boundary element method for Reissner's plate with new boundary values // Lixue Xuebao. Acta mech. sin. 1995. 27. №5. 551-559 p.

141. Lu Xilin, Du Qinghua. Boundary element method for Kirchhoff type plate bending problems by regular integration technique. "J. Tsinghua Univ.", 1988, 28, №2, 12-22 p.

142. Noguchi Hiroshi, Aono Yuuta, Harada Toyomitsu, Saimoto Akihide. New stress analysis of plate structure by boundary integral method // Nihon kikai ronbunshu. A^Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A.-1998.-64, №623. -C. 1773-1777.

143. Qinghua Du, Zhenhan Yao and Guoshu Song. Solution of some plate bending problems using the boundary element method // Appl. Math. Modelling, 1984, Vol.8, February. 15-22 p.

144. Rashed Y. F., Aliabudi M. M., Brebbia C. A. Hypersigular boundary element formulation for Reissner plates // Int. J. Solids and Stuct.-1998.-35, №18. 2229-2249 p.

145. Sawada T., Imanari M. Error estimate of numerical integration in boundary element method analysis//Bulletin of JSME, Vol. 29, №258, December 1986. 4072-4079 p.

146. Sladek V., Sladek J. Non singular formulation of BIE for plate bending // Eur. J. Mech. A. 1992. 11. №3. 335-348 p.

147. Stern M. A general boundary integral formulation for the numerical solution of plate bending problems//Int. J. Solids Structures. Vol. 15, 1979. Great Bretan. 769-782 p.

148. Tanaka Masataka, Miyazaki Kenichi. A direct boundary element method for elastic bending analysis of plates // Trans. Jap. Soc., Mech. Eng., 1985, A51, №466, 1636-1641 p.

149. Tottehem H. The boundary element method for plates and schells. "Develop Boundary Elem. Meth. 1", London. 1979. 173-205 p.

150. Vable M., Zhang Y. ABEM for plate bending problems. Int. J. Solids and Struck. 1992. 29, №3, 345-361p.

151. Van der W. F. Application of the direct boundary element method to Reissnr's plate model // Boundary Element Meth. Eng. Proc. 4th Int. Semin., Southampton, Sept., 1982. Berlin e. a., 1982. 487-499 p.

152. Werner H., Protosaltis B. A boundary superposition element method for the Kirchhoff plate bending problems. "Boundary Elements 7", Proc. 7th Int. Conf. Lake Como, Sept. 1985, Vol.1, Berlin e. a., 1985,4/63-4/80.