Устойчивость ортотропных пластин при термосиловом нагружении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Моховнев Дмитрий Владимирович

УСТОЙЧИВОСТЬ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН ПРИ ТЕРМОСИЛОВОМ НАГРУЖЕНИИ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2006

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете.

Научный руководитель:

доктор технических наук, доцент Матвеев Константин Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Волчков Юрий Матвеевич

кандидат физико-математических наук, Янковский Андрей Петрович

Ведущая организация:

ФГУП «СибНИА им. (Новосибирск)

С.А. Чаплыгина»

Защита состоится «16» июня в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 003.035.01 в Институте теоретической и прикладной механики СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, ул. Институтская, 4/1, ИТПМ СО РАН. Факс (383) 330-72-68 E-mail: shulgin@itam.nsc.ru

С диссертационной работой можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической и прикладной механики СО РАН.

Автореферат разослан « » мая 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

Самсонов В. И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Во многих конструкциях имеются элементы, которые можно классифицировать как пластины. Они могут иметь сложную форму, вырезы, могут подвергаться не только силовым, но и температурным воздействиям. Для повышения прочности и снижения веса они могут быть выполненными из армированных композиционных материалов.

С точки зрения механики возможная расчётная схема для подобных элементов конструкций — это неоднородные (с переменными упругими и термоупругими характеристиками материала) анизотропные многосвязные пластины, подверженные термосиловому воздействию. '

Особенностью проектирования тонкостенных силовых элементов конструкций, к которым относятся пластины, является обязательное прогнозирование их устойчивости.

При всем многообразии существующих методов решения задач теории упругости во многих случаях наиболее эффективными являются вариационные (энергетические).

Впервые вариационная постановка задачи устойчивости изотропных пластин была предложена Брайаном. Чтобы воспользоваться энергетическим критерием устойчивости Брайана, необходимо предварительно решить плоскую задачу теории упругости, что в общем случае является отдельной сложной задачей. В дальнейшем Тимошенко, Алфутов, Балабух и ряд других исследователей предложили различные вариационные формулировки задачи устойчивости пластин, не требующие предварительного решения плоской задачи теории упругости. Однако все эти формулировки справедливы лишь для решения задач устойчивости односвязных пластин, и, кроме того, в них чётко не определена необходимость выполнения тех или иных предварительных условий.

Основной целью работы является: развитие известных и разработка новых вариационных формулировок задачи устойчивости тонких упругих пластин, не требующих предварительного определения докритического напряженного состояния, их обобщение на анизотропные неоднородные многосвязные пластины при термосиловом нагружении; построение численного алгоритма решения полученных вариационных задач устойчивости; решение ряда конкретных задач на основе предложенных вариационных формулировок устойчивости и исследование эффективности этих формулировок на примере решенных задач.

Научная новизна работы:

• получен ряд вариационных формулировок задачи устойчивости анизотропных упругих многосвязных неоднородных пластин при термосиловом нагружении. Среди них как известные — Брайана, Тимошенко, Алфутова-Балабуха, так и новые;

• разработан алгоритм прямого вариационного метода решения задачи устойчивости анизотропных многосвязных пластин при термосиловом нагруже-нии без предварительного решения плоской задачи теории упругости;

• исследовано совместное влияние температурного поля и силового воздействия на выпучивание цилиндрически ортотропных кольцевых пластин.

Достоверность результатов основывается на:

• теории преобразования вариационных задач;

• использовании апробированных численных математических методов и алгоритмов и исследовании их сходимости;

• сопоставлении результатов расчёта с известными аналитическими решениями, с решениями, полученными с помощью программного комплекса на базе метода конечных элементов и известными экспериментальными данными.

Практическая значимость заключается:

• в разработке вариационных формулировок задачи устойчивости анизотропных многосвязных пластин, не требующих предварительного определения докритического напряженного состояния и алгоритмов решения задач устойчивости с помощью полученных формулировок численными методами;

• в построении областей устойчивости кольцевых цилиндрически ортотропных пластин при термосиловом нагружении;

• в оценке критических нагрузок металлокомпозиционных пластин;

• в исследовании локальной потери устойчивости бесконечных ортотропных пластин с эллиптическим вырезом.

На защиту выносятся:

• вариационные формулировки устойчивости упругих анизотропных неоднородных многосвязных пластин при термосиловом нагружении;

• прямой вариационной метод решения задач устойчивости упругих анизотропных неоднородных многосвязных пластин с интегральным предварительным условием;

• исследование устойчивости кольцевых цилиндрически и прямоугольно ортотропных пластин;

• исследование устойчивости и алгоритм построения областей устойчивости для кольцевых цилиндрически ортотропных пластин, подверженных термосиловому воздействию;

• исследование устойчивости кольцевых металлокомпозиционных пластин;

• исследование локальной потери устойчивости бесконечных ортотропных пластин с эллиптическим вырезом при растяжении;

• исследование устойчивости квадратной изотропной пластины с круговым отверстием.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на IV Всероссийской конференции «Проблемы прочности и усталостной долговечности

материалов и конструкций» (Новосибирск, Сибирский научно-

исследовательский институт авиации, 1997.); на Международных российско-корейских научно-технических конференциях CORUS «Научные основы высоких технологий» (Томск, 1998г.; Новосибирск, 1999г.; Ульсан, Корея, 2000г.); на межвуз. научной конференции «Численно-аналитические методы решения краевых задач» (Новокузнецк, 1998); на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование процессов в синергетических системах» (Улан-Удэ-Томск, 1999г.); на школах-семинарах СО РАН «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1999, 2000 г.г.; рук. — чл.-корр. РАН Б.Д. Аннин); 17-й межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, ИТПМ СО АН РФ, 2001); на 1-м Российско-Корейском Международном симпозиуме по прикладной механике (Новосибирск, 2001г.); на 18 Межреспубликанской конференции «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности» (Кемерово, 2003г.); на Всероссийской школе семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Новосибирск, 2003г); на IX международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва, 2003); на Юбилейной научно-технической конференции, посвященной 60-летию со дня основания отделений аэродинамики летательных аппаратов и прочности авиационных конструкций ФГУП «СибНИА им. С.А. Чаплыгина» (Новосибирск, Сибирский научно-исследовательский институт авиации, 2004г.); на семинаре «Теоретическая и прикладная механика» ИТПМ СО РАН (рук. - чл.-корр. РАН В.М. Фомин, Новосибирск, 2006), на семинаре по механике деформируемого твердого тела института Гидродинамики СО РАН им. М.А. Лаврентьева (рук. — чл.-корр. РАН Б.Д. Аннин, Новосибирск, 2006 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованных источников. Общий объем диссертации 236 страниц, включая 115 рисунков и 57 таблиц. '

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности темы, сформулированы цели, задачи и методы их решения, приведен краткий исторический обзор работ по устойчивости пластин. Отмечается, что значительный вклад в разрешение проблем устойчивости внесли Российские исследователи: H.A. Алфутов, Л.И. Балабух, В.В. Болотин, A.C. Вольмир, Э.И. Григолюк, С.П. Тимошенко и многие другие.

В первой главе выписаны основные соотношения, описывающие постановку задачи устойчивости. Следует отметить, что эти соотношения известны, однако в полном объёме в литературе не представлены. В работе они имеют принципиальное значение. Их наличие позволяет определить механический смысл множителей Лагранжа, которые используются при преобразовании ва-

риационных задач этим методом во второй главе диссертации.

Докритическое напряженно-деформированное состояние (НДС) пластины описано как «обобщенное плоское напряженное состояние» (ОПНС) в рамках линейной теории упругости:

й°=и%х(1)

8,;*/?%.*,' =0 »'" ,7,Л,/=1,2;х,еП. (2)

<¡ЬtJktZO|J,k»lds = 0>'$ФmlЬ|J*l£O|jn*-x»^8<Jl:leO<J.^nl)ds = 0,m = l,2. (3)

■ -л,

<*0|J.J =0> ('»7 = 1.2), х, еП- (4)

=Р° , (и= 1,2);-х,еУе (5)

и?| =«?, (1=1,2); х,^!, (6)

*

Здесь: / =5^д>к1 — — символы Кронекера; а,у*/,

Р(у, — симметричные тензоры упругих и термоупругих постоянных; 0° = &"(х1,х2) - заданное поле приращения температур в пластине; О - область, занимаемая пластиной; 5 - граница О. Заметим, что (2) — это уравнение совместности деформаций, а (3) — условия неразрывности контуров, которые необходимо выполнить на каждой из границ многосвязной области П. Представлены также постановки задачи об ОПНС когда за «основные» неизвестные приняты перемещения, либо напряжения (функция напряжений).

При постановке задачи о НДС изогнутой пластины были использованы соотношения геометрически нелинейной теории упругости и гипотезы Кирх-гоффа. Так, перемещения материальных точек пластины и,= и' (/ = 1,2,3). Здесь и* =-а дг3 «з , +а2и, (х, ,х2 ), и\ = аи3 (х, ,х2 ), ¡=1,2; а — параметр близости плоского и изогнутого состояний пластины (а « 1). Компоненты тензоров деформаций и напряжений представлены с точностью до а2: еи +аг'и +а2е"/у ; сг(у +аа'и +а2<т"и,г,] =1,2;

аЧ ~аЧк1е'к1 ' =~хЪи3.и >

Функции £■'/, определяют дополнительные деформации срединной плоскости

пластины, которые появляются в связи с потерей устойчивости. Для них получено уравнение совместности деформаций и условия неразрывности контуров, ограничивающих многосвязную область:

+"з,п«з,22 -"з,12"з,12 =0' ^, еП; (9)

Введены обобщенные силовые факторы: £>(у*/Мз,*/ и т.д., где

/12 - тензор изгибных жесткостей пластины.

Соотношения, которым должны удовлетворять обобщенные силовые факторы в пластине, получены путём осреднения по толщине пластины дифференциальных уравнений равновесия и статических граничных условий. В частности получено дифференциальное уравнение устойчивости

(11)

и однородные краевые условия, выраженные через функцию щ. Таким образом, проблема устойчивости эквивалентна определению наименьших значений параметров внешней нагрузки, при которых существуют нетривиальные решения сформулированной однородной краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных (11).

Если предположить, что докритические напряжения равновесны, т.е. выполнены (4), (5), после осреднения уравнений равновесия получим дифференциальные уравнения равновесия и статические краевые условия для величин, определяющих возмущение погонных усилий при потере устойчивости пластины:

0, *,е£2, х,^. (12)

Уравнения равновесия (12) будут выполнены, если ввести функцию напряжений:

= (13)

удовлетворяющей на статической границе условиям:

5(,*/Ф,*<«/=0, х,е5с (14)

Подстановка (13) в (9) и (10) дает дифференциальное уравнение и три интегральных условия по каждому из контуров пластины, позволяющих выразить функцию возмущенных напряжений Ф через функцию прогибов щ:

+И3.11«3.22 -"3.12«3.12 =0; (15)

•V,

~2 И/]А = 0, (3 = 1,2. (16)

Л,

Во второй главе на основе теории преобразования вариационных задач методом неопределенных множителей Лагранжа, получены основные варианты

энергетического критерия устойчивости тонких упругих анизотропных многосвязных неоднородных пластин, подверженных термосиловому нагружению; получен «обобщенный» функционал, предварительными условиями для которого являются лишь кинематические граничные условия; разработаны прямые методы решения вариационных задач устойчивости пластин.

Представлены общие положения: если внутренние силы, действующие на систему, обладают потенциалом, а внешняя нагрузка является «мертвой», то из принципа возможных перемещений следует принцип стационарности полной энергии системы:

5П = 0, (17)

где П[и,]= ^(е,у ^„-«(¿у-функционал полной свободной энергии; (18)

V 5

Р" — ^¿з^у8^6ц — р^е^в — тВг —удельная свободная энергия Гельмгольца. (19)

Эти общие принципы конкретизированы применительно к задачам устойчивости упругих пластин. Записаны функционал полной свободной энергии пластины для плоского состояния равновесия:

П° Н= г,] = 1,2 (20)

г sc

и функционал полной свободной энергии для бесконечно близкого к нему изогнутого состояния:

р-^.е0)^- \hu4Pfds-a} ¡ИщР?сЬ, /,; = 1,2. (21)

V

Функционал приращения полной свободной энергии пластины при переходе от плоского равновесного состояния к бесконечно близкому, изогнутому, состоянию определяется выражением:

П-П° =у[М)>Н2,Мз,ст«,е']=1 ¡О^щущ^ + И^»¿О-й \ujfds. (21)

П Я

Таким образом, задачу потери устойчивости пластины можно рассматривать как вариационную задачу на условный экстремум для функционала (21), где в качестве предварительных условий выступают соотношения (1), (7), (8).

Методом неопределенных множителей Лагранжа вариационная задача на условный экстремум для функционала (21) сводится к задаче на безусловный экстремум «обобщенного» функционала

П ^ п С1

+ А /- А ¡а^еШ - И /р,ув0е^ - А (22)

п п а

единственными предварительными условиями для которого являются лишь кинематические граничные условия. Перемещения, напряжения и деформации, входящие в (22), являются независимыми друг от друга функциями.

Показано, что из (22) следуют известные энергетические критерии устойчивости. Так, если заранее выполнены соотношения (1), (4)-(7), то (22) переходит в функционал в форме Брайана

1["з1= (23)

п ¿п

Если возмущенное НДС удовлетворяет (8), (13) и (14), то (22) переходит в функционал в форме Тимошенко

П Я £1

- к + + И . (24)

Если вьшолнены соотношения (4), (5), (13), (14) и на всей границе пластины заданы только статические граничные условия, то (22) принимает вид функционала в форме Алфутова-Балабуха

а ¿п

- л |б,7м А^^Ф,™^ - л ¡аи&"с>ШпФ ^а, (25)

П Й '

где ф — функция до критических напряжений.

Требование независимости функционала (25) от вида статически допустимого напряженного состояния (т.е. независимости от ф) ,/3[и3,ф,Ф]= >/3 [г/3,ф + ф+,ф] приводит к интегральному уравнению, которое эквивалентно уравнению совместности деформаций (15) и условиям неразрывности контуров (16) при потере устойчивости:

~ /«да»® >зХ/Л1 - ¡ь^ь^ьуи Ф^Ф^ла=о, (26)

а

где Ф+ произвольная функция, отвечающая на 8С условиям 5г^/Ф+,*/"./=0.

Если заранее выполнено интегральное условие (26), то в качестве статически допустимого напряженного состояния можно использовать любые удобные равновесные напряжения. Последнее обстоятельство значительно упрощает решение задачи устойчивости, так как построить статически допустимое напряженное состояние значительно проще, чем определять истинные докритиче-ские напряжения.

Проблема устойчивости, таким образом, эквивалентна вариационной задаче на условный экстремум о разыскании наименьшего положительного значения параметра внешней нагрузки на множестве функций доставляющих предложенным функционалам экстремальные значения.

Далее подробно разобран алгоритм метода Ритца решения задач устойчивости пластин на основе функционалов (24) и (27). Если процедура метода Ритца для функционала (23) очевидна, то в случае с функционалом (25) решение задачи осложняется предварительным выполнением интегрального условия

(26). Поэтому целесообразно пояснить метод Ритца для вариационной задачи (25), (26).

Функции прогибов и напряжений задаются в виде конечных рядов, где каждая базисная функция удовлетворяет соответствующим однородным граничным условиям:

т я и

а-1 (1-1

Из статически допустимых напряжений и функции приращения температуры выносятся соответственно параметры давления и температуры:

^у (• >=,, >; е0, > = те0 <дг,,>. (28)

Подстановка рядов (27) и представления (28) в функционал (25) и интегральное условие (26) приводит, соответственно, к функции относительно коэффициентов рядов:

2 и ям

.....ЕЕЛЛАхр -

(29)

И-1 и=1 -

и системы уравнений, связывающих эти коэффициенты:

ЕЕ^в^ -¿СД^ =0, /и = 1,2,...,п. (30)

а-1 к-1

Таким образом, вариационная задача (25), (26) переходит в задачу на условный экстремум для функции (29) со связями (30). Метод множителей Ла-гранжа позволяет рассматривать эквивалентную задачу на безусловный экстремум функции . ■

И

г*

(31)

ZZa^S^-X&A/,

_ЙГ=1 /Sai v-l

Из необходимого условия экстремума функции (31), равенства нулю ее первых производных, вытекает система линейных алгебраических уравнений относительно неопределенных множителей Лагранжа

¿Aji^v =-qSY — TR,,; v = l,...,w (32)

и система линейных относительно коэффициентов ряда для функции прогибов однородных уравнений

(33)

<X=I . a«l fiel o=l ct«L

Решив систему (32), можно линейно выразить множители Лагранжа через параметры давления и температуры Л^ = дЛ^ + 7Af(P, jj. = 1,..., п. В работе показано, что значения критических параметров давления и температуры не зависят от пути термосилового нагружения. Поэтому был принят линейный закон:

Т = ктф; <7 = А'ф, где ф параметр термосилового нагружения, к4 и кт размерные коэффициенты, определяющие путь термосилового нагружения. Система (33) в матричном виде перепишется так:

X А + фУА = 0, (34)

где

X =

Ы; Y = а*+Е(*Ч?)+

к=1

(1Сф

А = 1К1|; а,р = 1,

Таким образом, задача устойчивости свелась к обобщенной проблеме на собственные значения. Решив ее, и выбрав из всего спектра собственных значений наименьшее положительное, определим критический параметр термосилового нагружения, а через него критические значения температуры и давления.

Был определен механический смысл множителей Лагранжа — они позволяют определить истинное (в энергетическом смысле) докритическое напря-

женное состояние:

'а

Ц=1

У'

где а,у = 5#/Ф н.

Рис. 1. Расчетная схема

В третьей главе исследуется задача устойчивости кольцевых ортотропных пластин. Рассмотрены различные варианты ортотропии. Кроме силового воздействия — давления на внешней и внутренней' кромках, предполагается присутствие температурного поля. Давление могло быть как «сжимающим» (как показано на рис. 1), так и «растягивающим», имеющим противоположное, указанному на рис.1, направление. Исследование устойчивости проводилось с помощью вариационных постановок в форме Брайана (23), если известно решение плоской задачи теории упругости и в форме Алфутова-Балабуха (25), (26). В качестве статически допустимого напряженного состояния использовались докритические напряжения аналогично нагруженной изотропной пластины. Были построены ряды для функций прогибов щ и напряжений Ф, Ф+, удовлетворяющие необходимым граничным условиям.

В диссертационной работе рассмотрены 4 случая опирания пластины и три типа приложения давления: и <?2=0; Я1=Чг~Я\ <?1=0 и

Полученные результаты сравнивались с существующими точными решениями для изотропных пластин. Исследована сходимость параметра критической нагрузки в зависимости от числа членов в рядах. Проведено тестирование и с помощью известных программных комплексов на базе МКЭ. Результаты проверки показали близкое совпадение с точными решениями и решениями, полученными с помощью метода конечных элементов, а так же хорошую скорость сходимости оценки критического параметра нагружения.

Устойчивость кольцевых пластин с прямоугольной ортотропией материала. Температурные поля отсутствуют. Точное решение задачи о докрити-

ческом напряжённом состоянии в этом случае не известно. Поэтому задача устойчивости решена с использованием только функционала (25). Для расчетов были выбраны три материала: 1 Стеклотекстолит (Е1=2,15-105 МПа, Е2= 1,98■ 105 МПа, 0=0,401-Ю5 МПа, У[2=0,14, у2,=0,152); 2 Стеклопластик (Е|=6,25-105 МПа, Е2=2,12-10! МПа, 0=0,90-105 МПа, у12=0,073, у21=0,215); ЗБоропластик (Е1=21,1-105 МПа, Е2=2,1М05 МПа, 0=0,85-Ю5 МПа, у12=0,035, ^21=0,35).

На рис. 2, 3 представлены результаты решения задачи для нагруженной на отверстии шарнирно опертой по обеим кромкам пластины, где А. = (12*(1-у„У21)/7^)&/Й)\ 5 = Я,/*! ■

-X

45 40 35 30 25 20 15 10 5 О

Я <7

1.

2 -1-

\

\л

25

20

15 -

10

г ! <7

, А

\ 1

1

Рис. 2. «Растяжение»

4 6 8

Рис. 3. «Сжатие»

Если давление приложено только на отверстии, рис. 2, 3, потеря устойчивости возможна как при «сжимающих», так и при «растягивающих» нагрузках. При «растяжении» (рис. 2) с изменением л форма потери устойчивости пластины меняет число волн в окружном направлении. В точках перехода от одной формы к другой графики имеют излом. На рис. 2 эти точки отмечены значками.

Устойчивость цилиндрически ортотропных кольцевых пластин. Температурные поля отсутствуют. Упругие характеристики постоянные. Для данной задачи существует точное решение плоской задачи теории упругости. Поэтому исследование проводилось как с помощью функционала (25), требующего определения лишь статически допустимого напряженного состояния, так и с помощью функционала (23).

Принципиальное отличие в поведении цилиндрически ортотропных пластин от аналогичных прямоугольно ортотропных, заключается в возникновении выпучивания при «растяжении» для случая <71=92 (рис. 1). Это явление происходит, когда модуль упругости в окружном направлении в несколько раз больше, чем в радиальном. Объясняется это тем, что в указанном случае возле отверстия возникает зона сжимающего главного напряжения.

Устойчивость кольцевых цилиндрически ортотропных пластин при термосиловом нагружении. Упругие характеристики постоянны. Кроме сило-

вого фактора - давления на внешней и внутренней границах, пластина подвержена температурному воздействию. В работе был принят закон изменения температур, полученный из решения задачи теплопроводности для изотропной пластины в предположении, что на границах пластины заданы значения приращения температуры - 0° на внутренней и 02 на внешней:

6° (р) = Г(х21п р - х, 1п(р / ¿))/1п 5, (35)

9° =%(Г, 62 =Х2Т, р=г/Я,, 5= Г—параметр температурного нагружения.

Задача устойчивости решена с помощью функционала (25). Для расчетов были выбраны материалы №1 (Е,=21,1-Ю5 МПа, Е2=2,1Ы05 МПа, С=0,85-105 МПа, у12=0,035, у21=0,35, 9^4,14-Ю"6 Э2= 19,2-10"6 КГ1), №2 (Е1=12-105 МПа, Е2=12-105 МПа, 6=4,62-105 МПа, у12=0,3, у21=0,3, »,=11,6-Ю"6 К~\ Э2=11,610-6 ¿Г1) и №3 (Е1=2,1Ы05 МПа, Е2=21,1-105 МПа, 0=0,85-Ю5 МПа, у12=0,35, у21=0,035, 3!= 19,2-1 О*61С1, Э2=4,14-Ю"6 1С1). На рис. 4-7 приведены некоторые из

полученных результатов.

Здесь по оси абсцисс отложен безразмерный параметр температуры т = 127(1—по оси ординат — безразмерный параметр дав-

ления к. Точки на этих графиках, в которых пластина теряет устойчивость, образуют так называемые кривые устойчивости. На рис. 4 и 5 эти кривые являются замкнутыми, ограничивая так называемую область устойчивости — значения параметров температуры и давления при которых пластина остается плоской. Замкнутость кривых устойчивости связана с существованием критического давления при «растяжении» для данного варианта приложения давления. На рис. 6 кривые устойчивости для материалов 1 и 2 являются не замкнутыми, а области устойчивости лежат под этими кривыми. Для материала 3, у которого модуль упругости в окружном направлении в 10 раз больше чем в радиальном, кривая устойчивости является замкнутой (рис. 7). Это можно объяснить существованием критического давления при «растяжении» для такого материала и варианта силового нагружения.

Устойчивость кольцевых металлокомпозицион-ных пластин.' Температурные поля отсутствуют. Если изотропную пластину армировать более жёстким материалом, то величина критической нагрузки изменится — возрастёт. Кроме того, если плотность армирующего материала меньше, чем материала связующего, то армированная пластина будет легче, чем изотропная. Пусть алюминиевая пластина армирована бор-волокнами (рис. 8). С помощью метода, предложенного Ю.В. Немировским, эту неоднородную Рис. 8. Пример армиро-струкгуру при расчетах можно заменить моделью эк- вания пластины Бивалентного материала, названную в работе «мягким» вариантом. Также в работе предложен «жесткий» вариант. Обе эти модели приводят к эквивалентному материалу, обладающему цилиндрической орто-тропией. Кроме того, упругие характеристики не являются постоянными величинами, а зависят от полярного радиуса.

Упругие потенциалы эквивалентного материала представляются в виде следующих сумм:

1 1 2 1

«мягкий» вариант:

л г 1=1г

«жесткий» вариант: 1Г23 <=\ауи

2. 2 к=1 ^

В этих формулах - тензор упругих постоянных для изотропной среды (связующего); е) = щ+а>2< 1, сок {к = 1,2) - удельная плотность упаковки к-то семейства арматуры (здесь два семейства, причем считается, что они имеют взаимно обратные направления, то есть <*!= -а.2~&, и кроме того со, = со2); гл = , где = тСД) • ёг - направляющие косинусы к-то семейства арма-

туры в базисе полярной системы координат (рис. 9); - модули Юнга £-го семейства арматуры (£1(о) = Е2а)). В итоге, для пластины из эквивалентного ма-

териала — это функции параметров армирования и механических характеристик Е и V связующего и Е^ - арматуры. Далее определены: и Цк1. Для решения задачи использован функционал (25), не требующий решения плоской задачи теории упругости.

На рис. 10 и 11 представлены 1рафи-Рис. 9. Параметры армированы ^ зависимости безразмерного параметра

критической нагрузки от угла армирования волокна на входе в пластину, содержащей 30% арматуры.

«к <

1.8 1,5

1.2 0.9 О.в

О 10 20 30 <0 50 60 70 во О» о 10 20 30 40 50 60 ?о во ао -----«Мягкий» вариант -- «Жёсткий» вариант ------«Мягкий*' гяриднт -,— «ЖЬтсий» мриалт

Рис. 10. «Сжатие», Рис. 11. «Растяжение», 5-3

Здесь цикр — критическое значение нагрузки изотропной пластины, изготовленной из материала связующего (алюминий), ^ — критическое значение нагрузки металлокомпозиционной пластины. В качестве законов армирования были выбраны спираль Архимеда и логарифмическая спираль. Нагрузка приложена на отверстии <?2=0), пластина защемлена на обоих контурах. Как видно из рисунков, для «сжатия» наиболее оптимальным является армирование с начальным углом армирования, равным 0°, что соответствует радиальному армированию, а для «растяжения» наиболее выгодно армирование по логарифмической спирали с начальным углом армирования, равным 90°, что соответствует окружному армированию. Реальное значение безразмерного параметра критической нагрузки определяется технологическими особенностями процесса армирования, но находится в области значений, ограниченной результатами расчётов по«мягкому» и «жёсткому» вариантам. Также в работе были рассмотрены и другие случаи армирования кольцевых пластин.

В четвертой главе исследуется локальная устойчивость бесконечных ор-тотропных пластин с эллиптическим отверстием при растяжении. Даже при общем растяжении пластины вблизи отверстия могут возникнуть зоны, в которых одно или оба главных напряжения являются сжимающими. Именно за счет

этих зон и ожидается локальное выпучивание пластин в районе отверстия. Отмечаются результаты, полученные в исследованиях Башкирова В.П., Чубаня В.Д., Бочкарева А.О., Гузя А.Н., Даля Ю.М., Дышеля М.Ш., Доценко A.M.", Зирки А. И., Мехтиева М.А., Зейналова М.К., Кулиева Г.Г., Малидова Э.Н., Миловановой О.Б. и других авторов. Но даже для изотропных пластин с круговым отверстием полученные результаты являются противоречивыми. В этой главе диссертации ставится и решается задача исследования устойчивости при растяжении бесконечных ортотропных пластин с круговым или эллиптическим вырезом.

Локальная потеря устойчивости изотропных пластин с круговым отверстием при двухосном растяжении. Решение задачи было выполнено с использованием функционала (23). Был построен ряд для функции прогибов, убывающий на бесконечности вместе со всеми своими производными. Условие убывания связано с локальностью зоны выпучивания пластины. Исследовано влияние двухос-ности растяжения на параметр критической нагрузки. Результаты приведены в таблице 1.

Таблица 1

p/q 0 0,005 0,1 0,15 0,20 0,25

39,25 69,55 124,04 248,92 620,02 2607,6

* -ttmtt tttttttj

шин р Si иши

Рис. 12 Расчетная схема

Из таблицы 1 видно, что наиболее опасным является именно одноосное растяжение (р~О, рис. 12). Обнаружено образование медленно убывающей «складки» формы потери устойчивости в направлении растяжения. Для случая одноосного растяжения с помощью программного комплекса на базе МКЭ было вычислено значение безразмерного параметра критической нагрузки, Х^=39,30, что практически совпадает с параметром критической нагрузки, полученной в настоящей работе.

Локальная потеря устойчивости ортотропных пластин с круговым отверстием при одноосном растяжении. Исследование устойчивости выполнялось на основе функционала (25), где в качестве статически допустимого напряженного состояния использовалось решение плоской задачи теории упругости бесконечной изотропной пластины. Функция возмущенных напряжений Ф задавалась рядом удовлетворяющим однородным статическим граничным условиям на отверстии и убывающем на бесконечности. Для пластин, выполненных из трёх

яА лг/4 Зл/Я X

Рис. 13. Влияние угла ортотропии на критическое значение параметра внешней нагрузки

материалов — стеклотекстолита, стеклопластика и боропластика, рассмотрен вопрос о влиянии угла % (рис. 12) на величину критического значения параметра внешней нагрузки X = (12^(1 — (рис. 13). Для каждого материала существует своё наиболее опасное с точки зрения локальной потери устойчивости направление (угол х) растяжения: для стеклотекстолита этот угол

28°; для стеклопластика

35°

равен примерно 45°; для боропластика (рис. 13).

Локальная потеря устойчивости ортотропных пластин с эллиптическим отверстием при одноосном растяжении. На основе функционала (23) было выполнено исследование влияния эллиптичности отверстия на параметр критической нагрузки. Докритическое напряженное состояние в этом случае определено точно. Результаты исследова-о,5 1 1,5 2 2,5 з 3,5 4 4,5 ь,а ния представлены на рис. 14.

Рис. 14. Влияние отношения Ь/а на параметр кри- Оценка критической на-

тической нагрузки грузки оказывается очень чувст-

вительной к вытянутости эллиптического отверстия. Вывод состоит и в том, что задача локальной устойчивости пластин с трещиной требует специального рассмотрения.

В пятой главе исследуется устойчивость изотропной квадратной пластины с центальным круговым отверстием при сжатии (рис. 15). Исследование велось на основе функционала (25). В отличие от предыдущих задач, область, занимаемая пластиной, является не канонической, что вызывает определенную сложность в постановке задачи: достаточно трудно построить ряды для функций Ф и Ф+ так, чтобы были выполнены все статические граничные условия. Эта задача была решена с помощью дом-ножения ряда, удовлетворяющего статическим граничным условиям на Г2, на специальную функцию /

{а2+х1-\)1{а1+х;

2а

£1

2а

. *1

Рис. 15. Безразмерная расчётная схема

/(х1,х2) = -

¿Ц^ + г:

М I '

:-1

+4-П

+ 1.(36)

С помощью этой же функции (36) было построено статически допустимое напряженное состояние: ф = ф°>+ /-(ф* —ф"). Здесь ф*° - безразмерная функция напряжений для бесконечной пластины с круговым отверстием радиуса 1, сжимаемой единичным равномерно распределённым давлением, ф* - безразмерная функция напряжений для квадратной пластины без отверстия, сжимаемой равномерным единичным давлением на двух противоположных сторонах. Функция прогибов была задана в виде ряда, отвечающего кинематическим граничным условиям.

Полученные в диссертационной работе результаты хорошо согласуется с известными результатами теоретических и экспериментальных исследований данной задачи. Некоторые из них представлены на рис. 16.

я . т-——-—-------

1 -I --:--:--;-

Q *

0,9---—' ■ ...-----

- \ютор

0,8------: --

д cosmos/m ____

0.7---*-Ш.сМе, Rhod я------*

• Д; иные эксперимента

0,6--а-----

Н; умов, Никифоров

0,5 -I--т-|----

О 0,1 0,2 0,3 . 0,4 Я!Ь

Рис. 16. Зависимость параметра критической нагрузки от отношения радиуса отверстия к половине стороны пластины

R/b — это отношение радиуса отверстия к половине стороны пластины, Ч—я1р11кр ~ безразмерный параметр критической нагрузки, где q'tp = [я2£/(l2(l—v2))][/î/6)2 — критическая нагрузка пластины без отверстия, qKp — критическая нагрузка пластины с отверстием.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Получены вариационные постановки задачи устойчивости тонких упругих пластин, не требующие предварительного определения докритического напряженного состояния. Эти вариационные постановки были обобщены на случай анизотропных неоднородных многосвязных пластин, подверженных термосиловому воздействию. Показано, что все известные и новые вариационные методы исследования устойчивости пластин можно получить из обобщенного функционала, выполняя те или иные предварительные условия.

2. Развит прямой вариационный метод решения задач устойчивости с интегральным предварительным условием. Показано, что параллельно с решением

^Q * ""

_ VBTOP

д С( ÏSMOS/M в

. fli иные эксп ¡римента I

0 H 5 умов, Ниш [форов

задачи устойчивости алгоритм позволяет получить решение и плоской задачи теории упругости.

3. С помощью разработанных методов решены и исследованы задачи устойчивости кольцевых ортотропных пластин при термосиловом нагружении. Разработан метод построения областей устойчивости. Решены и исследованы задачи устойчивости для металлокомпозиционных кольцевых пластин.

4. С помощью разработанных методов решены и исследованы задачи «локальной» устойчивости бесконечных ортотропных пластин с эллиптическим отверстием при их растяжении.

. 5. С помощью разработанных методов решена задача устойчивости при сжатии для квадратной пластины с центральным круговым отверстием.

6. На примере решенных задач исследована сходимость разработанного алгоритма, продемонстрирована его эффективность.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Матвеев К.А., Моховнев Д. В., Савельев A.B. Разрушение и локальная потеря устойчивости тонкостенных тел с вырезами // Тезисы докладов IV Всероссийской конференции «Проблемы прочности и усталостной долговечности материалов и конструкций» — Новосибирск, 1997. С.59-60.

2. Матвеев К.А., Моховнев Д. В., Савельев A.B. К исследованию общей и локальной устойчивости ортотропных пластин // Сибирский журнал индустриальной математики. - 1998. -№ 2. - С. 127 - 139.

3. Матвеев К.А., Моховнев Д. В., Савельев A.B. Локальная устойчивость ортотропных пластин с отверстием // Сб. трудов межвуз. научной конференции «Численно - аналитические методы решения краевых задач",— Новокузнецк. — 1998. - Издательство филиала Кемеровского гос. ун-та в г. Новокузнецке. -С.50 - 52.

4. Пустовой Н.В., Матвеев К.А., Моховнев Д.В. К исследованию общей и локальной устойчивости ортотропных пластин // Математическое моделирование процессов в синергетических системах: Сборник старей. Улан-Удэ — Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. - С.11 - 15.

5. Матвеев К.А., Моховнев Д. В. Исследование устойчивости кольцевых ортотропных пластин при термосиловом воздействии // Динамика сплошной среды. / Математические проблемы механики сплошных сред. Сб. науч. тр. -Новосибирск: Изд - во ин — та гидродинамики СО РАН. — 2000. — Вып. 116. -С. 202-206.

6. Pustovoy N. V., Matwejew К.А., Mochovnev D. V. Buckling of annular orthotopic plates // Proceedings The Third Russian-Korean International Simposium on Science and Technology. / Russia: Novosibirsk State Technical University. -1999.-Vol-l.-P .364-367.

7. Моховнев Д.В. Исследование устойчивости кольцевых цилиндрически ортотропных пластин при термосиловом воздействии. / Сборник научных трудов НГТУ. - 2000. - №5(22).-С.67-72.

8. Пустовой Н.В., Матвеев К.А., Моховнев Д.В. Устойчивость кольцевых орто-тропных пластин И Прикладная механика и техническая физика. - 2000, № 2 - С. 165-170.

9. Pustovoy N.V., Matwejew К.А., Mochovnev D. V. Research of stability of multi-coherent orthotropic plates at themoloading influence // Proceedings The 4- Russian-Korean International Simposium on Science and Technology / Ulsan: Printed in Republic of Korea Technical Communication Service. - 2000. - Part.3. -P.27-31.

Матвеев K.A., Моховнев Д. В. Вариационные формулировки задач устойчивости ортотропных пластин при термосиловом нагружении It Динамика сплошной среды. / Математические проблемы механики сплошных сред. Сб. науч. тр. — Новосибирск: Изд — во ин-та гидродинамики СО РАН. — 2001. — Вып. 118.-С. 186-189.

11 .Matwejew К.A., Mochovnev D.V., Nemirovski .U.V., Pustovoy N.V. Orthotropic plates at thermoloading influens // Proceedings The 1st Russian-Korean International Simposium on Applied Mechanics / October 2-4, 2001 at Novosibirsk State Technical University. Russia. / Novosibirsk: Printed in Novosibirsk State Technical University. - 2001. - P.57-60.

\2.Pustovoy N.V., Matwejew К A., Mochovnev D. V. Influencing of joint action of temperature fields and force loading on stability of annular orthotropic plates // Proceedings The 6th Russian-Korean International Simposium on Science and Technology / June 24-30, 2002 at Novosibirsk State Technical University. Russia. / Novosibirsk: Printed in Novosibirsk State Technical University. - 2002. Vol. 1. — P.34-37.

Матвеев K.A., Моховнев Д.В., Юань Бяо Построение областей устойчивости при термосиловом нагружении кольцевых ортотропных пластин / Сб. докл. «Всероссийская школа-семинар по современным проблемам механики деформируемого твердого тела». — Новосибирск: Изд-во НГТУ. - 2003. — С.148-152.

14Матвеев К.А., Юань Бяо, Моховнев Д.В. Исследование устойчивости ортотропных пластин с помощью прикладных конечно-элементных пакетов // Тр. 18-й Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Кемерово, 2003). - Новосибирск: Изд-во Нонпарель. - 2003. - С.101-108.

15Лустовой Н.В., Матвеев К.А., Моховнев Д.В. Устойчивость кольцевых армированных пластин // Материалы IX международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». - Москва. — «Оптимпресс», 2003. С. 81-84.

16Матвеев К.А., Моховнев Д.В. Исследование устойчивости анизотропных пластин при термо-силовом нагружении // Труды научно-технической конференции. Новосибирск, СибНИА, - 2004. С.67-75.

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20, тел. 346-08-57 формат 60x84/16, объем 1, 5 пл., тираж 100 экз., заказ № 636, подписано в печать 10.05.06 г.

ВВЕДЕНИЕ.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ АНИЗОТРОПНЫХ

ПЛАСТИН ПРИ ТЕРМОСИЛОВОМ НАГРУЖЕНИИ.

1.1.Обобщенное плоское напряженное состояние. Полная система соотношений линейной теории упругости.

1.1.1. Учет влияния поля температур.

1.2.Изогнутое состояние пластин. Гипотезы. Основные соотношения теории упругости.

1.2.1. Вектор перемещений. Тензор деформаций.

1.2.2. Уравнение совместности деформаций. Условия неразрывности контуров.

1.2.3. Напряжения. Дифференциальные уравнения равновесия. Статические граничные условия.

1.2.4. Обобщенные силовые факторы. Дифференциальные уравнения равновесия. Краевые условия. Тензор изгибных жесткостей.

1.3.Постановка задачи устойчивости.

1.4.Выводы по главе 1.

ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОЙ УСТОЙЧИВОСТИ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН

ПРИ ТЕРМОСИЛОВОМ НАГРУЖЕНИИ.

2.1.Принцип стационарности полной свободной энергии.

Вариационная постановка задачи устойчивости упругих анизотропных пластин при термосиловом нагружении.

2.2.Энергетический критерий устойчивости пластин. Функционал

Брайана.

2.3.Энергетический критерий устойчивости пластин. Функционал в форме Тимошенко.

2.4.Некоторые обобщенные функционалы.

2.4.1. Обобщенный функционал Тимошенко.

2.4.2. Функционалы в форме Алфутова - Балабуха.

2.5.Метод Ритца для функционалов в формах Брайана и Алфутова-Балабуха.

2.5.1. Метод Ритца для функционала Брайана.

2.5.2. Метод Ритца для функционала в форме Алфутова-Балабуха.

2.6.Функционалы в формах Брайана и Алфутова-Балабуха в полярной системе координат.

2.7.Выводы по главе 2.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ КОЛЬЦЕВЫХ

ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН.

3.1 .Устойчивость кольцевых изотропных пластин.

3.2.Устойчивость кольцевых прямоугольно ортотропных пластин.

3.2.1. Ряды для функции прогибов и напряжений.

3.2.2. Построение матриц для определения критической нагрузки.

3.2.3. Тестирование программы.

3.2.4. Численные результаты решения задачи.

3.3.Устойчивость кольцевых цилиндрически ортотропных пластин.

3.3.1. Постановка задачи.

3.3.2. Тестирование программы.

3.3.3. Численные результаты решения задачи.

3.4.Устойчивость кольцевых цилиндрически ортотропных пластин при термосиловом воздействии.

3.4.1. Постановка задачи.

3.4.2. Численные результаты решения задачи.

3.5.Устойчивость кольцевых металлокомпозиционных пластин.

3.5.1. Упругие характеристики армированных пластин.

3.5.2. Постановка задачи.

3.5.3. Численные результаты решения задачи.

3.6. Выводы по главе 3.

4. ИССЛЕДОВАНИЕ ЛОКАЛЬНОЙ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ БЕСКОНЕЧНЫХ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С

ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ.

4.1.Обзор работ по локальной потере устойчивости и разрушению пластин с вырезами.

4.2.Исследование локальной потери устойчивости бесконечной пластины с круговым отверстием при действии растягивающих внешних нагрузок.

4.2.1. Постановка задачи.

4.2.2. Численные результаты решения задачи.

4.3.Исследование локальной потери устойчивости бесконечной ортотропной пластины с эллиптическим отверстием при действии растягивающих внешних нагрузок.

4.3.1. Постановка задачи.

4.3.2. Численные результаты решения задачи.

4.4.Выводы по главе 4.

5. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ КВАДРАТНОЙ ИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ. 199 5.1.Обзор работ по устойчивости прямоугольных пластин с круговыми вырезами.

5.2.Постановка задачи.

5.2.1. Выбор статически допустимого напряжённого состояния.

5.2.2. Построение ряда для функции возмущенных напряжений.

5.2.3. Построение ряда для функции дополнительных напряжений

5.2.4. Построение ряда для функции прогибов.

5.2.5. Метод Ритца.

5.3.Численные результаты решения задачи.

5.4.Выводы по главе 5.

Тонкие пластины различных очертаний находят широкое применение в конструкциях летательных аппаратов, кораблей, подъемно-транспортных средств.

При назначении нагрузки, которую могут нести эти элементы конструкций, во многих случаях принимают во внимание такую ее величину, при которой пластина может потерять устойчивость. Потеря устойчивости элемента конструкции, как правило, влечет за собой значительное снижение её жесткостных характеристик и перераспределение нагрузок во всей конструкции.

При исследовании устойчивости упругих систем первые шаги были сделаны Эйлером. В дальнейшем его подход был развит Лагранжем. По Эйлеру-Лагранжу потеря устойчивости отождествляется с выполнением условий существования новых форм равновесия, сколь угодно близких к исходной. Нагрузки, при которых эти условия выполняются, называются критическими. При расчете инженерных конструкций критическая нагрузка принимается за предельную, по которой и назначается запас устойчивости.

Для решения разнообразных задач устойчивости применяют динамический, статический и энергетический критерии [12; 18; 10; 84; 109]. Наиболее общим и строгим из них является динамический, он связан с рассмотрением свойств движения, вызванного возмущением положения равновесия. Статический критерий заключается в определении такого наименьшего значения нагрузки, при котором наряду с основным положением равновесия существует смежное, сколь угодно близкое к основному (метод Эйлера). Энергетический критерий рассматривает потенциальную энергию системы, и также заключается в определении наименьшего значения нагрузки, при котором потенциальная энергия основного равновесного состояния перестает быть минимальной.

Возможность применения того или иного метода к решению конкретной задачи [12; 18; 10; 84; 109] связывается с типом приложенной к системе нагрузки. В соответствии с принятой в книге Г. Циглера [109] классификацией систем и нагрузок, в данной работе далее рассматриваются консервативные системы (большинство задач устойчивости, возникающих при анализе конструкций принадлежит этому типу). Нагрузки, действующие на пластину будем предполагать «мертвыми», т.е. их проекции на оси неподвижной системы координат не изменяют своей величины при потере устойчивости.

Для подобных систем, как известно [12; 18; 10; 84; 109], динамический, статический и энергетический критерии дают один и тот же результат.

Являясь составной частью конструкций, пластины в общем случае мо-1уг находиться в условиях воздействия как поперечной нагрузки, так и сил, лежащих в серединной плоскости пластины. Напряженно-деформируемое состояние пластинок в этом случае сводится к решению системы уравнений Кармана [18].

Если предположить, что поперечная нагрузка отсутствует и заранее, путем решения плоской задачи теории упругости, определены напряжения от сил, лежащих в серединной плоскости пластины, то уравнения Кармана сводятся к известному уравнению устойчивости упругой пластины [18]. В соответствии с Эйлеровой постановкой (статический критерий) может быть поставлена задача об определении таких наименьших значений параметра внешней нагрузки, при которых это уравнение имеет нетривиальное решение. В дальнейшем, говоря о задачах устойчивости пластин, мы будем иметь в виду задачи именно такого типа.

Воспользовавшись энергетическим критерием, можно рассматривать задачу устойчивости пластин как вариационную задачу. Впервые это было сделано Брайаном в работе [116] к задаче о выпучивании пластины, где показано, что теорема Г. Кирхгоффа [53] об однозначности решений уравнений линейной теории упругости может не выполняться в случае исследования длинных стержней, тонких пластинок и оболочек. При этом исследовании им был введен в рассмотрение потенциал П упругой системы в виде суммы потенциальной энергии деформации и потенциала внешних сил. Пользуясь началом возможных перемещений Лагранжа [53], Брайан указывает признак равновесия системы как условие стационарности (5П=0) потенциала системы. Распространяя затем теорему Лагранжа, которая строго доказана Л. Дирихле [20] лишь для систем с конечным числом степеней свободы, на исследуемую континуальную систему, Брайан указывает, что в устойчивом состоянии потенциал системы имеет минимум (5 П>0), в неустойчивом максимум (82П<0), в безразличном - одинаков для всех состояний, смежных с равновесным (52П=0).

В работе [117] Брайан формулирует энергетический критерий устойчивости пластин. Брайан составляет функционал разности потенциалов пластины до и после потери устойчивости и утверждает, что при потере устойчивости данный функционал будет иметь минимум. Функционал состоит из двух интегральных слагаемых: изменении потенциальной энергии пластины за счет ее изгиба и работы докритических напряжений на деформациях и сдвигах, возникающих в серединной плоскости пластины при ее выпучивании. Докритические напряжения, так же как и в дифференциальном уравнении устойчивости определяются заранее из плоской задачи теории упругости. Брайан дает вариационный вывод уравнения устойчивости. Здесь же он исследует устойчивость свободно опертой прямоугольной пластины, сжатой с четырех сторон внешним давлением, представляя прогиб в виде двойного тригонометрического ряда.

Энергетический метод был с успехом использован Тимошенко для решения различных задач устойчивости. Основные его результаты отражены в известной монографии [103]. При этом Тимошенко формулирует энергетический критерий не через внутренние силовые факторы, как это сделал Брайен [103, 117], а непосредственно через внешние нагрузки.

На основании работ [103; 101; 98; 99; 100] можно заключить, что метод Тимошенко состоит в следующем. В критическом состоянии потенциал системы (точнее его изменение в связи с возможностью появления искривленной формы равновесия) равен нулю, имеет место уравнение «баланса» энергий, которое, в отличие от Брайана [117], Тимошенко записывает непосредственно через внешние усилия: П(Р, IV). Разрешая это уравнение относительно Р и подставляя в него прогиб ж в виде ряда, каждый член которого удовлетворяет соответствующим граничным условиям, приходим к выражению Р=Р(Ат). Коэффициенты ряда Ат выбираются из условия экстремальности Р и подставляя их в формулу Р=Р(Ат), определяется наименьшее значение критической силы.

В работе [102] Тимошенко замечает, что изложенная выше последовательность решения задачи устойчивости эквивалентна задаче о разыскании стационарности значения потенциала П(Р, Ат).

Полный обзор работ Тимошенко в области устойчивости деформируемых систем содержится в приложении к сборнику [22], написанным Григо-люком.

В работе Болотина [13] из общих уравнений нелинейной теории упругости [81] выводятся уравнения и граничные условия задачи устойчивости упругой системы, нагруженной «мертвыми» силами. Записывается функционал, уравнения Эйлера-Остроградского [95] и естественные граничные уело-вия, которые совпадают с полученными Новожиловым. Если исходное состояние тела считается недеформированным, а начальные напряжения определять из уравнений линейной теории упругости, то функционал упрощается и совпадает с полученным ранее Треффтцем [145]. Показано в частности, что для пластинок этот функционал по виду совпадает с критерием Брайана, если заранее предположить справедливость гипотез Кирхгофа для закона деформирования пластинки [53].

Александров и Лащеников [1], приводят ряд примеров, из которых следует, что критерий устойчивости в том виде, в котором им пользовался Тимошенко, в некоторых задачах может привести к абсурдным результатам. Учитывая деформацию срединной поверхности пластины, авторы получают энергетический критерий в форме Брайана (ранее аналогичный вывод был сделан в работе [138]) и делают вывод, что для его использования необходимо решать плоскую задачу теории упругости (на это обстоятельство указано, например, в монографии Броуде [15]). В статье отмечается, что попытка избежать определения внутренних усилий путем использования критерия Тимошенко таит в себе опасность ошибки и приводит в общем случае к необходимости решения не менее сложной задачи о дополнительных деформациях, возникающих в пластине в момент потери устойчивости.

Изложенные выше результаты показывают, что представление энергетического критерия в форме Брайана вполне обосновано, тогда как энергетический критерий в форме Тимошенко не имеет достаточно последовательного обоснования. По-видимому, впервые возможность представления энергетического критерия в форме, не содержащей начальных напряжений, была обоснована в работах Алфутова и Балабуха [4; 5].

В работе [4] впервые показано, что если при решении задачи устойчивости использовать не действительное напряженное состояние, определенное путем предварительного решения плоской задачи теории упругости, а статически допустимое (т.е. удовлетворяющее лишь уравнениям равновесия и статическим граничным условиям), то критическое значение внешней нагрузки должно определяться не из функционала Брайана, а из условия стационарности нового функционала, в который кроме функции прогибов входит функция напряжений, описывающая возмущение напряженного состояния серединной плоскости пластины при потере устойчивости, и определяемая, как показано в [4] из решения уравнения совместности деформаций [18] (в настоящей диссертационной работе показано, что для многосвязных областей кроме уравнения совместности деформаций необходимо выполнить еще и условия неразрывности контуров).

В работе [11] Болотин впервые использует то обстоятельство, что задачам вариационного типа соответствует, вообще говоря, не один, а целое множество функционалов [47]. Переход от одного функционала к другому осуществляется с помощью преобразований [47], назначение которых состоит в том, чтобы избавиться от некоторых предварительных соотношений, выполнение которых по какой-либо причине затруднительно.

Вариационный подход к постановке задачи устойчивости развивался также в работах Л.А. Толоконникова [105; 106], Л.М. Куршина, К.А. Матвеева [51; 52; 48; 59; 63; 62; 64; 65; 60, 89; 88].

Большой интерес вызывает работа К. Васидзу [16], в которой автор, используя метод множителей Лагранжа для преобразования вариационных задач показал, что все известные и новые вариационные принципы теории упругости вытекают один из другого. Однако применительно к вариационной постановке задачи устойчивости платан это исследование нельзя считать исчерпывающим.

Заканчивая этот краткий исторический обзор вариантов энергетического критерия устойчивости необходимо отметить, что для некоторых из них четко не ясен вопрос о необходимости выполнения тех или иных предварительных условий, и кроме того, в случае многосвязных пластин некоторые из изложенных выше критериев устойчивости могут привести к неправильным результатам.

В последнее время для изготовления различных элементов конструкций широко используются композиционные материалы. Для расчетов композитную структуру приводят к анизотропному материалу. Большинство задач устойчивости, как изотропных, так и анизотропных пластин решается либо с помощью дифференциального уравнения устойчивости, либо на основе функционала Брайана [94; 113; 114; 121; 126; 139; 140; 115; 86; 55; 74; 26; 6;

14]. Для решения задач с помощью этих критериев необходимо предварительно определить докритические напряжения, что представляет дополнительные сложности. С другой стороны, для достаточно большого круга задач устойчивости анизотропных пластин более эффективными являются критерии устойчивости, не требующие предварительного решения плоской задачи теории упругости.

Актуальность темы диссертации. Во многие конструкции входят такие элементы, которые можно классифицировать как пластины. Они могут иметь сложную форму, вырезы, могут подвергаться не только силовым, но и температурным воздействиям. Для повышения прочности и снижения веса они могут быть выполненными из армированных композиционных материалов. С точки зрения строительной механики возможная расчётная схема для подобных элементов конструкций - это неоднородные (с переменными упругими и термоупругими характеристиками) анизотропные многосвязные пластины, подверженные термосиловому воздействию. Особенностью проектирования тонкостенных силовых элементов конструкций, к которым относятся пластины и панели, является обязательное прогнозирование их устойчивости. Решение задач устойчивости для пластин в таком общем виде может быть получено только численными вариационными методами. С одной стороны исследование потери устойчивости классическим методом, с помощью функционала Брайана, требует предварительного определения докритических напряжений, что при указанных условиях является отдельной сложной задачей. С другой стороны энергетические критерии устойчивости, не требующие предварительного определения докритических напряжений, в случае многосвязных пластин оставляют ряд вопросов и, кроме того, есть необходимость распространить эти критерии на неоднородные анизотропные неравномерно нагретые пластины.

Цель работы:

1. Развитие известных и разработка новых вариационных методов исследования устойчивости тонких упругих пластин, не требующих предварительного определения докритического напряженного состояния, их распространение на анизотропные неоднородные многосвязные пластины, подверженные термосиловому нагружению;

2. Разработка алгоритмов прямых численных методов решения задач устойчивости пластин на основе полученных вариационных формулировок;

3. Исследование сходимости и эффективности предложенных вариационных формулировок на примере решения ряда известных и новых задач устойчивости пластин.

Научная новизна работы:

1. Получен ряд вариационных формулировок теории устойчивости анизотропных упругих многосвязных неоднородных пластин при термосиловом нагружении. Среди них как известные - Брайана, Тимошенко, Алфутова-Балабуха, так и новые;

2. Разработан алгоритм прямого вариационного метода решения задачи устойчивости пластин с интегральным предварительным условием;

3. На основе разработанных вариационных методов решен ряд задач устойчивости;

4. На примере кольцевых цилиндрически ортотропных пластин исследовано взаимное влияние температурного поля и силового воздействия на выпучивание пластин;

5. Задача локальной потери устойчивости бесконечных пластин при растяжении была обобщена на случай ортотропного материала.

Методы исследований основаны на:

1. Теории преобразования вариационных задач;

2. Использовании прямых методов решения вариационных задач и представленном в работе способе построения аппроксимирующих функций;

3. Применении апробированных алгоритмов численного интегрирования, решения систем линейных алгебраических уравнений и решения обобщенной проблемы собственных значений.

Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в работе, основывается на:

1. Теории преобразования вариационных задач;

2. Использовании апробированных численных математических методов и алгоритмов и исследовании их сходимости;

3. Сопоставлении результатов расчёта с известными аналитическими решениями, с решениями, полученными с помощью программного комплекса метода конечных элементов и известными экспериментальными данными.

Практическая ценность результатов исследования заключается:

1. В разработке вариационных формулировок задачи устойчивости неоднородных анизотропных многосвязных пластин при термосиловом на-гружении, не требующих предварительного определения докритиче-ского напряженного состояния и алгоритмов решения задач устойчивости с помощью предложенных формулировок численными методами;

2. В построении областей устойчивости кольцевых цилиндрически орто тропных пластин при термосиловом нагружении;

3. В оценке критических нагрузок металлокомпозиционных пластин;

4. В анализе работ по локальной потере устойчивости изотропных пластин с вырезами при растяжении, в получении собственных результатов и в обобщении задачи на ортотропные пластины.

На защиту выносятся:

1. Вариационные формулировки задач устойчивости упругих анизотропных неоднородных многосвязных пластин при термосиловом нагруже-нии;

2. Прямой вариационной метод решения задач устойчивости упругих анизотропных неоднородных многосвязных пластин при термосиловом нагружении с интегральным предварительным условием;

3. Исследование устойчивости кольцевых цилиндрически и прямоугольно ортотропных пластин;

4. Исследование устойчивости и алгоритм построения областей устойчивости для кольцевых цилиндрически ортотропных пластин, подверженных термосиловому воздействию;

5. Исследование устойчивости кольцевых металлокомпозиционных пластин;

6. Исследование локальной потери устойчивости бесконечных ортотропных пластин с эллиптическим вырезом при растяжении;

7. Исследование устойчивости квадратной изотропной пластины с круговым отверстием при сжатии.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 17-й межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Новосибирск, ИТПМ СО АН РФ, 2001); на Международных российско-корейских научно-технических конференциях С01Ш8 «Научные основы высоких технологий» (Томск, 1998г.; Новосибирск, 1999г.; Ульсан, Корея, 2000г.); на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование процессов в синергетических системах » (Улан-Удэ-Томск, 1999г.); на 1-м Российско-Корейском Международном симпозиуме по прикладной механике (Новосибирск, 2001г.); на школах-семинарах СО РАН «Математические проблемы механики сплошных сред»

Новосибирск, 1999, 2000 г.г.; рук. - чл.-корр. РАН Б.Д. Аннин); на IV Всероссийской конференции «Проблемы прочности и усталостной долговечности материалов и конструкций» (Новосибирск, Сибирский научно-исследовательский институт авиации, 1997.); на межвуз. научной конференции «Численно-аналитические методы решения краевых задач»" (Новокузнецк, 1998); на 18 Межреспубликанской конференции "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности" (Кемерово, 2003г.); на Всероссийской школе семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Новосибирск, 2003г); на IX международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва, 2003); на Юбилейной научно-технической конференции, посвященной 60-летию со дня основания отделений аэродинамики летательных аппаратов и прочности авиационных конструкций ФГУП «СибНИА им. С.А. Чаплыгина» (Новосибирск, Сибирский научно-исследовательский институт авиации, 2004г.); на семинаре по механике деформируемого твердого тела института Гидродинамики им. М.А. Лаврентьева (2006 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 работ [67; 66; 70; 68; 69; 90; 91; 130; 136; 135; 76; 134; 73; 92; 72; 71].

Содержание диссертации: Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы (147 наименований).

Основные результаты опубликованы в следующих работах автора: [135; 72].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выделим основные, результаты диссертационной работы:

1. Получены новые вариационные постановки задачи устойчивости тонких упругих пластин, не требующие предварительного определения докритическо-го напряженного состояния. Эти вариационные постановки были обобщены на случай анизотропных неоднородных многосвязных пластин, подверженных термосиловому воздействию. Показано, что все известные и новые вариационные методы исследования устойчивости пластин можно получить из обобщенного функционала, выполняя те или иные предварительные условия.

2. Развит прямой вариационный метод решения задач устойчивости с интегральным предварительным условием. Показано, что параллельно с решением задачи устойчивости алгоритм позволяет получить решение и плоской задачи теории упругости.

3. Разработаны методы построения статически допустимых докритических напряжённых состояний, в том числе и для пластин с вырезами. Это позволило расширить круг эффективно решаемых сложных задач.

4. С помощью разработанных методов решены и исследованы задачи «локальной» устойчивости бесконечных ортотропных пластин с эллиптическим отверстием при их растяжении.

5. Решены и исследованы задачи устойчивости кольцевых ортотропных пластин при термосиловом нагружении. Разработан метод построения областей устойчивости. Решены и исследованы задачи устойчивости для металлокомпо-зиционных кольцевых пластин.

6. С помощью разработанных методов решена задача устойчивости при сжатии для квадратной пластины с центральным круговым отверстием.

7. На примере решенных задач исследована сходимость разработанного алгоритма, продемонстрирована его эффективность.

1. Александров A.B., Лащеников Б.Я. О применении энергетического метода в задачах устойчивости упругих систем. Строительная механика и расчет сооружений, вып. 5, Стройиздат, 1965.

2. Александров В. Г. Справочник по авиационным материалам. М.: Транспорт, 1972.-328с.

3. Алфутов H.A. Основы расчета на устойчивость упругих систем. 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Машиностроение, 1991. - 336 с. - (Б-ка расчетчика / Ред. кол.: В.А. Светлицкий (пред.) и др.).

4. Алфутов H.A., Балабух Л.И. О возможности решения задач устойчивости пластин без предварительного определения начального напряженного состояния // ПММ. 1967. - Т.31. - Вып. 4. - С. 716-722.

5. Алфутов H.A., Балабух Л.И. Энергетический критерий устойчивости упругих тел, не требующий определения начального напряженно-деформированного состояния // ПММ. 1968. - Т.32. - Вып. 4. -с. 703-707.

6. Аманов К. Об устойчивости пластин с квадратным отверстием при плоском напряженном состоянии // Прикл. механика. 1985. - 21, №2, с. 123-125.

7. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М.: Наука, 1987. -360 с.

8. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины: Изгиб, устойчивость, колебания. — Новосибирск: Наука, 2001.-288 с.

9. Бате К, Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. Москва, Стройиздат, 1982.

10. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. -М.: Физматгиз, 1961.

11. Болотин В.В. О вариационных принципах теории упругой устойчивости // Проблемы механики твердого деформированного тела (к 60-летию В.В. Новожилова): Сб. науч. тр. JL: Судостроение, 1970. -с. 83-88.

12. Болотин В.В. О понятии устойчивости в строительной механике // Проблемы прочности в строительной механике. М.: Стройиздат, 1965.

13. Болотин В.В. О сведении трехмерных задач теории упругой устойчивости к одномерным и двухмерным задачам // Проблемы устойчивости в строительной механике. -М.: Стройиздат, 1965. -с. 186-196.

14. Бочкарев А. 0., Даль Ю.М. Локальная устойчивость упругих пластин с вырезами // Доклады АН СССР. 1989. - 308, № 2. - с. 312-315.

15. Броуде Б.М. Устойчивость пластинок в элементах стальных конструкций, М.: Машстройиздат. 1949.

16. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 542с.

17. Волъмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956.-419 с.

18. Волъмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука. -1967.-984 с.

19. Воробкова H.JI., Преображенский И.Н. Обзор исслеований по устойчивости пластинок и оболочек, ослабленных отверстиями. В сб. «Расчет пространственных конструкций», вып.15, Под ред. С.А. Алексеева, В.В. Новожилова, A.A. Уманского, М., Стройиздат, 1972.

20. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Физматгиз, 1960

21. Григолюк Э.И, Коршунова O.A. Устойчивость кольцевых пластин при сдвиге // Изв. АН СССР. МТТ. 1983, №5. - С. 156-161.

22. Григолюк Э.И. С.П. Тимошенко, и его работы в области устойчивости деформируемых систем / В сб. С.П. Тимошенко. Устойчивость стержней, пластин и оболочек / Изб. работы под ред. Э.И. Григолюка. -М.: наука, 1971. -С.731-800.

23. Григолюк Э.И., Магеррамова Л. А. Об устойчивости кольцевых трёхслойных пластин // Прикл. мех. 1983. - 19, №9. - С.65-70.

24. Гузъ А.Н., Дышелъ М.Ш. Разрушение и устойчивость тонкостенных тел с вырезами при растяжении (обзор) // Прикладная механика. 1990. -26, № 11.-с. 3-24.

25. Гузъ А.Н., Дышелъ М.Ш. Кулиев Г.Г., Милованова О.Б. Разрушение и локальная потеря устойчивости тонкостенных тел с вырезами // Прикл. механика. 1981. - 17, №8. - С. 3-24.

26. Гузъ А.Н., Кулиев Г.Г., Зейналов М.К. Выпучивание растянутой тонкой пластинки с криволинейным отверстием. // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1979, №2. - С.163-168.

27. Даль Ю.М. О местном изгибе растянутой пластины с трещиной // Изв.АН СССР. Механика твердого тела. 1978, № 4. - С. 135-141.

28. Доценко A.M. О влиянии выпучивания на статическую трещиностойкость // Проблемы прочности. 1987, №6. С.111-116.

29. Доценко A.M. О влиянии выпучивания на скорость развития усталостной трещины // Проблемы прочности 1987, №11.- С.24-29.

30. Дышелъ М.Ш. Влияние локальной потери устойчивости пластин с трещинами на характеристики их трещиностойкости // Прикл. мех. -1989, XXV, с. 126-129.

31. Дышелъ М.Ш. Локальная потеря устойчивости растянутых пластин с трещинами и трещиноподобными дефектами с учётом влияния геометрических параметров пластин и дефектов // Прикл. мех. 1999. -35, №2. - С.80 - 84.

32. Дышель М.Ш. Потеря устойчивости и разрушение растянутых пластин с дугообразными трещинами // Прикл. механика. 1987. - ХХШ, №8. С.110-114.

33. Дышель М.Ш. Разрушение растянутых пластин с краевой трещиной с учётом локальной потери устойчивости // Прикл. мех. 1996. - 32, №2. -С.59-63.

34. Дышель М.Ш. Устойчивость и разрушение двухслойных пластин с трещинами при растяжении // Прикл. мех. 1998. - 34, №3. - С.91 - 96.

35. Дышель М.Ш. Устойчивость растянутых тонких пластин, ослабленных остроконечными отверстиями // Прикл. механика. 1985, XXI, №2. С.119-121.

36. Дышель М.Ш., Зирка А. И., Мехтиев М.А. Исследование напряженного состояния пластины с отверстием и выходящими на его контур терщинами при растяжении с учетом выпучивания // Прикл. механика. -1987, ХХШ, №7. С.110-113.

37. Дышель М.Ш., Милованова О.Б. Методика экспериментального исследования потери устойчивости пластин с разрезом // Прикл. механика, 1977, ХШ, №5,с.90-95.

38. Зейналов М.К. Выпучивание неограниченной тонкой пластинки с круговым отверстием при двухосном растяжении // Прикл. механика, ХШ, №12. С.124-127.

39. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1990.-368с.

40. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. М:, Физматгиз, 1962.

41. Клюшников В.Д. Лекции по устойчивости деформируемых систем. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. - 224с.

42. Коваленко АД. Термоупругость // Издательское объединение «Вища школа».-1975. 216 с.

43. Корпев В.М., Макаров Г.Е. Потеря устойчивости упругих композитных колец при внутреннем импульсном нагружении // ПМТФ. 1999. -Т.40, №5. - С.185 - 194.

44. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000, 262 с.

45. Крылов В.И. Приближённое вычисление интегралов. М:, Наука, 1967.

46. Крылов В.К, Шульгина JI.T. Справочная книга по численному интегрированию. М:, Наука, 1967.

47. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. M.-JL: Гостехиздат, 1951, Т. 1. - 476 с.

48. Куршин Л.М., Матвеев К.А. К исследованию устойчивости прямоугольных пластин с вырезами // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. -№6.-С. 162- 163.

49. Куршин Л.М., Матвеев КА. К применению вариационного метода в задаче изгиба консольной пластины // Мех. деформ. тела и расч. сооружений / Тр. НИИЖТа. Новосибирск :Изд - во НИИЖТа. - 1972. -Вып. 137. - С. 137 - 148.

50. Куршин Л.М., Матвеев К.А. К решению задач устойчивости пластин с отверстием // Динамика и прочность конструкций / Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: Изд - во НЭТИ. - 1974. - С.З -19.

51. Кургиин JI.M., Матвеев K.A. Применение энергетического метода к задачам устойчивости пластин с отверстием // Изв. АН СССР.МТТ. -1974.-№6.-С.114-119.

52. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости, M.-JI., ГИТТЛ, 1947.

53. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М:, Гостехиздат. - 1957.

54. Литвиненкова З.Н. Об устойчивости растянутой пластины с внутренней трещиной // Изв. АН СССР. МТТ. 1973, №5. - С.148-151.

55. Лопаницын Е.А. Геометрически нелинейные задачи ортотропных круговых пластин // Прикл. пробл. механ. тонкост. констр-й / Сб. тр. к 75-летию Э.И. Григолюка под ред. С.С. Григоряна / Инс-т мех-ки МГУ / Изд-во МГУ. 2000. С.246 - 269.

56. Ляв А. Математическая теория упругости: Пер. с англ. М. Л., ОНТИ СССР.- 1935,676 с.

57. Ляпунов A.M. Задача минимума в одном вопросе об устойчивости фигур равновесия вращающейся жидкости. Собр. соч. т. III, Изд. АН СССР, 1959.

58. Матвеев К. А. К вопросу о возможности решения задач устойчивости пластин без предварительного определения начального напряженного состояния // Динамика и прочность конструкций / Сб. науч. тр. -Новосибирск: Изд-во НЭТИ.-1973.-С.37-42.

59. Матвеев К.А. Вариационные принципы теории упругой устойчивости пластин со «смягчёнными» предварительными условиями // Сибирский журнал индустриальной математики. 2002. - V, № 1(9). - С. 123 - 128.

60. Матвеев К.А. Введение в тензорное исчисление: Конспект лекций. -Новосибирск: Изд во НГТУ. - 1997. - 56с.

61. Матвеев К. А. Некоторые варианты исследования устойчивости упругих пластин методом граничных элементов / Тез. докл. междунар. научно -техн. конф. «Расчетные методы механики деформируемого твердого тела» Новосибирск: Изд - во СГАПС. - 1995. - С.45.

62. Матвеев К.А. Некоторые варианты энергетического критерия устойчивости пластин // Динамика и прочность авиационных конструкций / Межвуз. сб. науч. тр. Новосибирск: Изд- во НЭТИ. -1992. - С.86 - 93.

63. Матвеев К.А. О вариационных принципах теории упругой устойчивости пластин. Расчет локально нагруженных анизотропных пластин // Научный вестник НГТУ. 1996. - № 2. - С.43 - 55.

64. Матвеев К.А. О вариационных принципах теории упругой устойчивости пластин на разрывных полях перемещений, деформаций и напряжений // Научн. вестник НГТУ. Новосибирск, 2001. - №2. -С.101-113.

65. Матвеев К.А., Моховнев Д. В., Савельев A.B. К исследованию общей и локальной устойчивости ортотропных пластин // Сибирский журнал индустриальной математики. 1998. -№ 2. - С. 127 - 139.

66. Матвеев К.А., Моховнев Д.В. Исследование устойчивости анизотропных пластин при термо-силовом нагружении // Труды научно-технической конференции. Новосибирск, СибНИА, 2004. С.67-75.

67. Морозов Н.Ф., Никольская H.A., Проскура A.B. О депланации растягиваемой пластины, ослабленной трещиной // Тр. XIII Всес. конф. по теории пластин и облочек. Таллин. - 1983. - С.25-30.

68. Мотовилец И.А. О термоустойчивости круглой ортотропной пластины с отверстием // Прикл. мех.(Киев). 1997. - 33, №2. - С.68-73.

69. Моховнев Д.В. Исследование устойчивости кольцевых цилиндрически ортотропных пластин при термосиловом воздействии. / Сборник научных трудов НГТУ. 2000. - №5(22).-С.67-72.

70. Наумов C.B., Никифоров А.К. Расчётно-экспериментальное исследование устойчивости пластин с круговым вырезом // Тр. ЦАГИ. -1998, вып.2632. С.34-40.

71. Неклассические проблемы механики разрушения: В 4 т. / Под общ. ред. Гузя А.Н.; АН Украины, Ин-т механики. К.; Наук, думка, 1992. - Т.4, кн.1. Разрушение и устойчивость материалов с трещинами / Гузь А.Н., Дышель М.Ш., Назаренко В.М. - 456 с.

72. Немировский Ю.В., Резников Б.С. Прочность элементов конструкций из композиционных материалов. Новосибирск: Наука, 1986. - 165 с.

73. Новацкий В. Теория упругости: пер. с польского. М.: Мир, 1975. - 872с.

74. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. M.-JI.: Гостехиздат, 1948.-211с.

75. Паймушиц В.Н. Сдвиговая форма потери устойчивости трёхслойного кругового кольца при равномерном внешнем давлении // Докл. РАН. -2001. -Т.378, №1. -С.58 60.

76. Паймушин В.Н. Теория устойчивости трёхслойных пластин и оболочек (этапы развития, современное состояние и направления дальнейших исследований) // Изв. РАН. Мех. твёрд, тела. 2001, №2. - С. 148 - 162.

77. Пановка Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. -М.: «Наука», 1967.

78. Папкович П.Ф. Теория упругости. -JI.-M.: Оборонгиз, 1939. 640с.

79. Пелле (Pellet D.A.), Костелло (Costello R.G.), Брок (Brök J.E.) Выпучивание панели с круговым отверстием при растяжении // Ракетная техника и космонавтика. 1968.-№ 10.-С.241-243.

80. Победря Б.Е. Модели механики сплошной среды // Изв. РАН. Механика твёрдого тела. -2000. -№3. С.47 - 59.

81. Пустовой Н.В., Матвеев К.А. Вариационные методы исследования устойчивости анизотропных пластин при температурно-силовом нагружении (монография). Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. - 367 с.

82. Пустовой Н.В., Матвеев К.А. Основы расчета на устойчивость деформируемых систем Новосибирск: Изд - во НГТУ, 1997. - 370 с.

83. Пустовой Н.В., Матвеев К.А., Моховнев Д.В. К исследованию общей и локальной устойчивости ортотропных пластин // Математическое моделирование процессов в синергетических системах: Сборник статей. Улан-Удэ Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. - С.11 - 15.

84. Пустовой Н.В., Матвеев К.А., Моховнев Д.В. Устойчивость кольцевых ортотропных пластин // Прикладная механика и техническая физика. -2000, №2-С. 165-170.

85. Пустовой Н.В., Матвеев К.А., Моховнев Д.В. Устойчивость кольцевых армированных пластин // Материалы IX международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». Москва. - «Оптимпресс», 2003. С. 81-84.

86. РэлейДж. Теория звука, T.I, М., ГИТТЛ, 1947.

87. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.т. I-IV.

88. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980. - 454с.

89. Тарасов В.Л. Оптимизация кольцевых пластин с заданными критическими нагрузками // Прикладные проблемы прочности и пластичности. 1977. - №7. - С.97-103.

90. Тимошенко С.П. К вопросу о продольном изгибе. В сб. «С.П. Тимошенко. Устойчивость стержней, пластин и оболочек» М., «Наука», 1971.

91. Тимошенко С.П. К вопросу об устойчивости сжатых пластинок. В сб. «С.П. Тимошенко. Устойчивость стержней, пластин и оболочек» М., «Наука», 1971.

92. Тимошенко СП. К вопросу об устойчивости упругих систем. В сб. «С.П. Тимошенко. Устойчивость стержней, пластин и оболочек» М., «Наука», 1971.

93. Тимошенко С.П. О продольном изгибе стержней в упругой среде. В сб. «С.П. Тимошенко. Устойчивость стержней, пластин и оболочек» М., «Наука», 1971.

94. Тимошенко С.П. Об устойчивости упругих систем. Применение новой модели к исследованию устойчивости некоторых мостовых конструкций. В сб. «С.П. Тимошенко. Устойчивость стержней, пластин и оболочек» М., «Наука», 1971.

95. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1946.-532с.

96. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. - 635с.

97. Толоконников Л.А. Вариационное уравнение задачи устойчивости состояния равновесия. В сб. Научные труды. Тульский горный институт, №3, М., 1965, Государственное научно-технич. изд-во лит-ры по горному делу.

98. Толоконников JI.А. К постановке задач устойчивости равновесия упругих систем. Четвертая Всесоюзная конф. по пробл. устойчивости в строительной механике, Тезисы докладов, М., 1972.

99. Физические величины: справочник / А.П. Бабичев, Н.А. Бабушкина, A.M., Братковский и др.: Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. — М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232с.

100. Фонарев А.А. Об отыскании выпученных форм круглой пластины // Прикл. мат. и мех. 1990. - 54, №1. - С.75-79.

101. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций. М.: Мир, 1971. -192с.

102. Черепанов Г.П. О выпучивании мембран с отверстием при растяжении // Прикл. мат. и мех. 1963. - Т.27. - № 2. - С.275-286.

103. Черепанов Г.П. О местном выпучивании мембран // Изв. АН СССР. МТТ. -1966.-№ 1.-С.144-146.

104. Черных К. Ф., Алешков Ю.З., Понятовский В.В., Шамшина В.А. Введение в механику сплошных сред: Учебное пособие JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1984.-280с.

105. Bert С. W., Devarakonda К.К. Buckling of rectangular plates subjected to nonlinearly distributed in-plane loading// Int. J. Solids and Struct. 2003. -40, №16.-P. 4097-4106.

106. Birman Victor, Simitses George J. Buckling and bending of cylindrically orthotropic annular plates I I Compos. Eng. 1991. - 1,№1. - C.41-47.

107. Britt V.O. Shear and Compression Buckling Analysis for Anisotropic Panels with Elliptical Cutouts // AIAA Journal. November 1994. - Vol.32. -No. 11 .-P.2293-2299.

108. Bryan G.H. On the stability of elastic systems.// Proc. Cambr. Phil. Soc. -1889.-Vol.6. P.199-210.

109. Bryan G.H. On the stability of plane plate under thrusts in it own plane with application to the "buckling" of the sides of a ship. // Proc. Lond. Math. Soc. -1891.-Ser.l--Vol.22. P.54-67.

110. Cheng Chang-Jun, Ning Jian-Guo. Elastic instability of an orthotopic elliptic plate // Appl. Math. And mech. 1991. - 12, № 4. - P. 331-338.

111. Gupta U.S., Lai R., Jain S.K. Buckling and vibrations of polar orthotropic circular plates of linearly varying thickness resting on an elastic foundation // J. Sound and Vibr. 1991. - 147, №3. - P. 423-434.

112. Gurney G. Brit. Rep. Memo, №1834 (February, 1938).

113. Gutierrez R.H., Romanelli E., Laura P.A.A. Vibrations and elastic stability of thin circular plates with variable profile // J. Sound and Vibr. 1996. -195,№3.- P. 391-399.

114. Joga Rao C., and Pickett G. Vibration of plates of irregular shapes and plates with holes. // J. of the Aeronautic, soc. of India, v.13, №3, 1961, pp. 83-88.

115. Kumai T. Elastic stability of the square plate with a central circular hole under edge thrust // Proc. Japan Nat. Congr. Appl. Mech. 1951, pp.81-86.

116. Laura P.A.A., Gutierrez R.H., Sonzogni V., Idelsohn S. Buckling of circular, annular plates of nonuniform thickness //Ocean Eng. 1997. - 24,№1.1. P. 51-61.

117. Levy S., Wooley R.M., Kroll W.D. Instability of simply supported square plates with reinforced circular hole in edge compression // J. Res. Nat. Bur. Std., v.39, No.6, (December 1947), Res. Paper No.1849, pp. 571-577.

118. Li Shi-rong, Cheng Chang-jun. Thermal-buckling of thin annular plates under multiple loads // Appl. Math. And Mech. (Engl. Ed.). -1991/ 12,№3. -pp. 301-308.

119. Liew K.M., Wang CM. Elastic buckling of radially loaded circular plates on nonaxisymmetric internal supports //Mech. Struct. And Mech. 1993. - 21, №4.-pp. 545-554.

120. Mansfild E.N. On the buckling of an annular plate // Quart. J. Mech. and Appl. Math.-1960.-Vol. 13.-Pt.l.-P. 16-23.

121. Masur E.F.y Popelar C.H. On the use of the complementary energy in the solution of buckling problem // Internat. J. Sol. and Struct. 1976. - 12, p.p.203-216.

122. Meissner E. Uber das Knicken kreisring-formiger Scheiben // Schweizerische Bauzeitung, 1933. -101. pp. 87-89.

123. Nash W.A. Effect of a concentric reinforcing ring on stiffness and strength of a circular plate // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. -1948. -Vol.l5.-No.l. P. 25-29.

124. Pickett G. Bending, buckling and vibration of plates with holes. // Developments in theoret. And Appl. Mechanics, 2, Pergamon press, 1965.

125. Pustovoy N.V., Matwejew K.A.,Mochovnev D.V. Buckling of annular orthotopic plates // Proceedings The Third Russian-Korean International Simposium on Science and Technology. / Russia: Novosibirsk State Technical University. -1999.-Vol-l.-P.364-367.

126. Rao C.V.J., Vijayakumar K. On admissible functions for flexural vibration and buckling of annular plates. // J. of the aeronaut, soc. of India, v. 15, №1, 1963.

127. Reissner H. Ener die Kriterium der Knicksicherheit. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik, 1925, Bd. 5, Herft 6, SS. 475-478.

128. Renchang You, Yongliang Wang, Xinwe Wang. Buckling analysis of polar orthotropic annular plates under uniform pressure // Joint Proc. Aeron. and Astronaut. (JPAA). 1994 / Kazan State Techn. Univ. Kazan, 1995. -pp. 40-47.

129. Ritchie D., Rhodes J. Buckling and post-buckling behaviour of plates with holes // The Aeronautical Quaterly, Vol.XXVI, N4, 1975. pp. 281-295.

130. Shin W.Y., Kudryavtsev L., Wang K.K. Elastic buckling of a circular disk due to internal membrane forces // Tras. ASME. J. Appl. Mech. 1995. - 62, №3.-pp. 813-816.

131. ShlackA.L. Elastic Stability of Pierced Plates. // Experimental Mechanics. -1964.-Vol.4.-№6.-P. 167-172.

132. ShlackA.L. Experimental Critical Eoads for Perforated Square Plates. // Exp. Mech. 1968. - Vol.4. - № 2. - P.69 - 74.

133. Sommerfeld A. Über die KnicKsicherheit der Stege von Walzwerk profilen, Zeitschrift für Mathematik und Physik, 1907, Bd. 54, Heft 2, SS. 113-153.

134. Treffts E. Über die Ableitung der Stabilitätstheorre Endlicher Deformationen. Verhand 1. III Intern. Kongr. Techn. Mech., 1930, Bd.3.

135. Yamaki N. Buckling of a thin annular plate under uniform compression // J. App.Mech. 1958. - Vol.25. - Pt.2. - P.67 - 73.

136. Yamaki N. Postbuckling behavior of rectangular plates with small initial curvature loaded in edge compression. // Jnl. appl. mech., 26, Trans. ASME, Series E, 81,407-414, 1959.1. Ь^Об-Л/ЮЧ^ тЯ

137. НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ1. УНИВЕРСИТЕТ