Напряженно-деформированное состояние, устойчивость и закритическое поведение упругих конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

оо сг> ^ 2? О

'ас

- ЛОПАНИЦШ Евгений Анатольевич

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ, УСТОЙЧИВОСТЬ И ЗАКРИШЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ УПРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1998

Работа выполнена в Московской государственной академии автомобильного и тракторного машиностроения (МАМИ)

Научный консультант - член-корреспондент РАН Э.И. Григолюк

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Быков Д.Л. доктор физико-математических наук, профессор Кукуджанов В.Н. доктор физико-математических наук, профессор Шалашилин В.И.

Ведущая организация - Институт автоматизации проектирования РАН,

г. Москва

Защита диссертации состоится " я 1998 г. в ^ часов на заседании диссертационного совета Д 053.18.07 Московского государственного авиационного института (технического университета) .

Приглашаем принять участие в обсуждении диссертации или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Адрес института: 125871, г.Москва, Волоколамское шоссе, дом 4. - Автореферат разослан апРеля 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к. т.н., доц.

В.Н.Зайцев

«

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Проблема определения нелинейного напряженно-деформированного состояния упругих конструкций относится к разряду фундаментальных проблем механики. Она включает в себя определение для заданной нагрузки как устойчивых, так и неустойчивых напряженно-деформированных состояний конструкции, куда входит решение задач ее устойчивости и закр'итичес-кого поведения. Математический аспект этой проблемы тесно связан с отысканием решений систем нелинейных алгебраических уравнений большого порядка. При этом применение традиционных методов для их решения при наличии предельных и бифуркационных точек часто приводит к непреодолимым вычислительным трудностям. Поэтому разработка новых методов решения систем нелинейных алгебраических уравнений, позволяющих устранить или ослабить трудности решения систем нелинейных алгебраических уравнений, представляется весьма актуальной.

Не менее актуальна проблема, связанная с получением достаточно просто реализуемых аналитических решений тех задач теории тонкостенных конструкций, на которых базируется проектирование современной техники. Подобные' решения уникальны особенно в том случае, когда позволяют смоделировать поведение конструкции с точки зрения различных подходов к ее расчету.

Отмеченные обстоятельства свидетельствуют об актуальности рассматриваемых в диссертации проблем.

Цель данной работы с одной стороны заключается в разработке новых методов численного решения нелинейных задач статики, устойчивости и закритического поведения конструкций, а с другой стороны - в обобщении существующих аналитических решений в области исследований нелинейного поведения пластин и тонкостенных упругих поверхностей Фбппля-Кармана, Маргерра и Рейсснера.

Научную новизну представляемой работы составляют: разработка более экономичной с вычислительной точки зрения по сравнению с существующими модификации метода непрерывного продолжения, включающего уточнение решения; создание единого в рамках методов продолжения подхода к решению систем нелинейных алгебраических уравнений, которые описывают семейство экстремалей, доставляющих минимальное значение функционалу, являющемуся полной потенциаль-

ной энергией деформации конструкции, и имеющих как предельные точки, так и точки бифуркации с проходящими через них бифуркационными ветвями; получение точного решения в степенных рядах для задачи о конечных прогибах цилиндрически ортотропной круговой пластины и построение единого решения в степенных рядах для серии задач об определении напряженно-деформированного состояния изотропных, цилиндрически ортотропных и трансверсально изотропных круговых пластин; определение направления дальнейшего развития теории изгиба круговых и кольцевых пластин конечного прогиба; ,обобщение кольцевой расчетной схема для тонких коротких оболочек, результатом которого является создание единого аналитического подхода к решению основных модельных задач теории изгиба тонких упругих изотропных оболочек.

Достоверность проведенных исследований обеспечивается строгим математическим обоснованием предлагаемых подходов и основана на анализе результатов расчетов с механической точки зрения и их сравнении с точными решениями и данными других авторов.

Практическая ценность работы заключается в разработке единого алгоритма построения траектории статического нагружения пластин и оболочек, которая может иметь как предельные точки, так и точки бифуркации и включает в себя все образующие ее бифуркационные ветви. Он реализован в виде стандартных подпрограмм на алгоритмическом языке Fortran MS 5.0, что позволяет использовать его непосредственно в расчетной практике. Кроме этого, создана единая аналитическая математическая модель нелинейного статического поведения тонких оболочек, позволяющая рассматривать основные задачи теории тонких упругих изотропных оболочек, в число которых входят осесимметричные задачи изгиба и прощелкивания пологих и непологих оболочек, случаи их конечных прогибов и прогибов при произвольных углах поворота нормали, описание деформирования оболочек в предположении о малости и конечности их деформаций. Эта аналитическая модель без применения каких-либо методов вычислений и мощной вычислительной техники может служить базой для решения широкого класса модельных задач теории пластин оболочек, возникающих в инженерной практике.

Диссертационная работа связана с рядом госбюджетных работ. Некоторые ее результаты включены в отчеты по научно-исследовательским программам Министерства общего и профессионального об-

разования РФ, а также НИИ Механики МГУ им. М. В.Ломоносова.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на II Всесоюзном совещании-семинаре молодых ученых (Казань, 1985), на научно-технической конференции МАМИ (Москва, 1989), на XI Всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Волгоград, 1989), на научном семинаре по МТДТ под руководством чл.-корр. РАН Э. И.Григолюка (МАМИ: 1992, 1994, 1997; НИИ Механики МГУ: 1997), на VI Международном научно-техническом совещании "Динамика и прочность автомобиля" (Москва, 1994), на IX конференции по прочности и пластичности (Москва, 1996).

Публикации результатов исследований. По теме диссертации опубликовано 14 работ.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 437 страниц, включающих 138 рисунков и 4 таблицы. Она состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка, в который входит 640 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы основные цели и задачи диссертации. Излагается краткое содержание работы по главам.

В первой главе работы дается описание проблемы определения напряженно-деформированного состояния упругих тонкостенных конструкций. включающей в себя как непосредственно определение напряженно-деформированного состояния, так и исследование их устойчивости и закритического поведения. Показано, что в процессе деформирования конструкции на ее траектории нагружения возможно существование особых точек только двух типов - предельных точек и точек бифуркации. В предельных течках происходит потеря устойчивости конструкции в виде прощелкивания, а в точках бифуркации - эйлерова потеря устойчивости. Приведены подходы к решению проблемы определения напряженно-деформированного состояния. Далее первая глава посвящена вопросам совершенствования существующих и разработке новых методов решения систем нелинейных алгебраических уравнений, к которым с помощью какого-либо метода дискретизации сводятся краевые задачи изгиба, устойчивости и закритического поведения пластин и оболочек. Изложена модифика-

ция метода непрерывного продолжения (Д.Ф. Давиденко 1953), реализующая идею равноправия аргументов (Э.Рикс 1972, Э.И.Григолюк и В.И.Шалашилин 1980). Эта идея однозначно указывает на то, что оптимальным с точки зрения устойчивости вычислительных процедур параметром продолжения решения является длина дуги траектории нагружения объекта в расширенном пространстве координат. Впервые длину дуги в качестве параметра продолжения использовали И.И.Во-рович и В.Ф. Зипалова в 1965 году. Как и существующие методы, предложенная модификация метода непрерывного продолжения позволяет отыскивать решение систем во всех регулярных в смысле Пуанкаре точках, включая предельные точки траектории нагружения объекта, являясь при этом более экономичным с вычислительной точки зрения алгоритмом. Она заключается в доопределении исходной системы нелинейных алгебраических уравнений

записанной в приращениях

Л = О.

хв.р) = о

(1)

ха0) = х0.

(2)

где

I =

1.1

' ' ,11 ,п+1

Г V 17

. 1 • " • П , II П , Т1 + 1/

X =

^11+1

сЗх., 6Х '

(1=1.4+1),

таким образом, чтобы процесс перехода от нее к эквивалентной задаче Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений

где

х = ф(х). ха0) = х0.

ф = -.фп Фп+1;т.

(3)

осуществлялся с помощью системы линейных алгебраических уравнений с симметричной матрицей, если первоначально якобиан системы был симметричен .Для этого в качестве дополнительно-

го уравнения (уравнения связи) берется линейное алгебраическое уравнение, составленное из элементов последнего столбца расширенного якобиана J системы (1)

х

+ рп.п*1хп + Е жп + 1 = Ь.

Выбор значений параметров алгоритма с и Ь осуществляется исходя из наилучшей возможной обусловленности перехода от задачи Коши (2) к задаче Коши (3). Преимущество такой организации перехода состоит в том, что она в 2 раза экономичнее по использованию памяти ЭЦВМ и в 6 раз по времени вычислений, если сравнивать ее организацию на основе методов типа метода Гаусса с процессом получения вектора продолжения посредством ортогонализации строк расширенного якобиана или в 2 раза по времени, если ее сравнивать с приемом, заключающимся в доопределении расширенного якобина строкой, состоящей из элементов вектора продолжения с предыдущего шага.

• Для уточнения решения, получаемого методом непрерывного продолжения предлагается вариант метода дискретного продолжения (М.Лаэй 1934), в основе которого лежит метод Ньютона, реализованный также на основе идеи о равноправии аргументов

П + 1 _

I Р1 ,Дх,= ^ (1=1, п). (4)

3 = 1

За начальное приближение принимается решение метода непрерывного продолжения. Уточненное решение в расширенном пространстве аргументов ищется в направлении, определяемом либо градиентами функций. составляющих левую часть исходной системы уравнений (1)

П+1 <1 ПП+1 II

ДХ = I Дос1 е1 = 2 г^ал ^ = I 1 ЬЛ 1е1. Ах^ I

1=1 3=1 3=11=1 ' 3=1

либо перпендикуляром к вектору, описываемому уравнением связи, что означает дополнение системы уравнений Ньютона (4) уравнением

Задачи устойчивости и закритического поведения конструкций связаны с присутствием на траектории нагружения точек бифуркации. Наличие таких точек вынуждает применять методы, отличные от ранее рассмотренных. Они подразделяются на две основные группы. К первой группе относятся методы И. П.Еругина(1956), М.А.Крас-

носельского, Г.М.Вайникко, П. П.Забрейко, Я.Б.Рутицкого и В.Я. Стеценко(1969), М.М. Вайнберга и В. А.Треногина(1969), Э.И.Григо-люка и В. И.Шалашилина(1988), которые позволяют решать задачу продолжения для нелинейных уравнений общего вида.

Ко второй группе относятся подхода, использующие тот факт, что уравнения равновесия деформирующегося тела имеют левые части. получающиеся как частные производные полной потенциальной энергии деформации. К этому направлению относятся работы У.Кой-тера{1963), Г.Тарстона(1969), Дж.Томпсона и Дк.Ханта(1973,75), П.Сэмюэлса(1980), В.И.Гуляева, В.А.Баженова и Е.А. Гоцуляка (1982), И. Кубора(1982), Я.М. Григоренко и А.П.Мукоеда(1983). Дж.Ханта и К. Уильямса(1984) и М.Фуджикаке(1985).

В основе всех этих подходов лежат приемы, заключающиеся в конечном счете в представлении решения в окрестности точки бифуркации в виде степенного ряда. Исключение составляют работа М. Фуджикаке, где для получения решения используется задача на собственные значения, составленная на основе касательных матриц жесткости, и работы И. Кубора, Дж. Томпсона и Дж. Ханта, где используются методы теории катастроф. Однако все эти методы по алгоритмичности далеки от совершенства, которое присуще методам продолжения, и теория этого вопроса далека от своего завершения.

В связи с этим здесь на основе метода непрерывного продолжения, реализующего идею равноправия параметров решения и учитывающего симметричность якобиана системы, разработан устойчивый метод построения траектории нагружения конструкции как в окрестности, так и в самой точке ее бифуркации. Он применим для систем нелинейных алгебраических уравнений, которые описывают семейство экстремалей, доставляющих минимальное значение некоторому функционалу, являющемуся в данном случае полной потенциальной энергией деформации конструкции

и

Э = П - А, П = П(Х1,...,ХП), А = р I ак(хг.....ап}хк.

к = 1

Этот метод дает возможность отыскивать все ветви траектории нагружения, выходящие из точки бифуркации, и продолжать решение по любой из них. Он основан на том, что решение задачи на собственные значения для якобиана системы уравнений в расширенном пространстве переменных

1.1

г р г 1 . п г 1 . 11 ♦ 1

п . п п .

1 . П * 1 '

( 0 ^ 0

< <

< = ш <

' п + 1

полностью описывает в каждой точке траектории нагружения все возможные составляющие вектора продолжения. Собственные значения задачи (5) обнуляются только в точках бифуркации. Поэтому по аналогии с собственными значениями здесь введено разделение точек бифуркации на простые и кратные. Введены понятия главной, основной и бифуркационной ветвей траектории нагружения. Показано, что собственные векторы задачи (5), которые соответствуют на основной ветви траектории нагружения обнуляющимся собственным значениям, являются бифуркационными. Каждый из них в точке бифуркации направлен по касательной к своей бифуркационной ветви траектории нагружения и имеет нулевую (п+и-ю составляющую

К = <Ф?. ■•• <га 0

к к к

В силу особенностей явления бифуркационной потери устойчивости эти собственные вектора ортогональны к вектору продолжения по основной ветви нагружения. Они образуют активное подпространство

решений системы уравнений продолжения А1 (к=1,2.....I). понятие

которого введено Дж.Томпсоном и Дж. Хантом (1973). Их положительные собственные значения определяют расстояния по траектории нагружения от текущей точки до соответствующих точек бифуркации, которые предстоит пройти, а отрицательные - расстояния до точек бифуркации, которые уже пройдены. Остальные собственные векторы

задачи образуют пассивное подпространство Рг (г=1,2.....п-1+1).

в котором лежит вектор продолжения по основной ветви нагружения. Пассивное подпространство является ортогональным дополнением активного и вместе они определяют расширенное пространство решений уравнений продолжения: йп+1= Р,.®/^, (п+1=г+Ь).

. В случае продолжения решения по основной ветви траектории нагружения, прохождения точки бифуркации и переходе на бифуркационную ветвь, в решении уравнений продолжения появляется составляющая, пропорциональная бифуркационному вектору, который со-

п . п + 1

ответствует данной ветви. Поэтому на этой бифуркационной ветви траектории нагружения, которая становится основной по отношению к пересекающим ее другим бифуркационным ветвям, ее бифуркационный вектор переходит в группу векторов, образующих пассивное подпространство. Активное подпространство решений при этом будет состоять из оставшихся бифуркационных собственных векторов. В результате весь процесс вычисления вектора продолжения решения в любой точке траектории нагружения сводится к определению собственных векторов расширенного якобиана, идентификации их по принадлежности к активному или пассивному подпространствам и формировании на их основе вектора продолжения

Аналогичный подход использован для разработки метода уточнения решения уравнений продолжения в точках бифуркации. Его вычислительной основой является метод Ньютона, соотношения которого в соответствии с делением собственных векторов расширенного якобиана на векторы, принадлежащие активному и пассивному подпространствам, трансформируются так, что выполнение каждой итерации в точке бифуркации связано с решением системы линейных алгебраических уравнений, матрица которой не является вырожденной.

Разработанные методы являются основой единого алгоритма решения систем нелинейных алгебраических уравнений, к которым приводятся задачи определения напряженно-деформированного состояния упругих конструкций и построения траекторий их нагружения. Этот алгоритм заключается в комбинированном применении описанных методов. Его суть состоит в том, что вдали от точек бифуркации, расстояние до которых определяется частичным использованием методов второй группы, основанных на решении задачи на собственные значения, решение исходной задачи строится с помощью методов первой группы, являющихся более экономичными по сравнению с существующими. а в непосредственной близости от точек бифуркации для построения вектора продолжения применяются методы второй группы. Такое использование разработанных методов позволяет устойчиво строить решения задач определения напряженно-деформированного состояния упругих конструкций при наличии на траекторий их нагружения как предельных точек, так и точек бифуркации.

Во второй главе представлено решение серии задач по определению осесимметричного напряженно-деформированного состояния круговых пластин конечного прогиба, рассматриваются изотропная пластина

Ч%Г-(р/.р).р/р. Ь0(/.<р)-(Г.р9.р).р/р. р -г/я.

пластина типа Тимошенко

П'-к^Х')}. »*= Г-кУг0Г.

и цилиндрически ортотропная пластина

+ (г~Р> №гоГ =-6(р-1)г[1~(р- 1)гУр L0 О* .к'), ЧгЧгw^ + (2-p)pVгw^-Lt¡(F•.w•)=<^^. р - 1 + /у9Лг = 1 + |/£8/Ег,

0 0 о

где »*- прогиб пластины; Г'- функция напряжений Эри; Е - модуль Юнга; у - коэффициент Пуассона. Пластаны (рис.1) нагружены осе-

симметричной поперечной нагрузкой и равномерно распределенными по контуру изгибающим моментом и радиальными усилиями, а также упруго защемлены по контуру. Решение пе-Рис.1. речисленных задач построено в рам-

ках подхода С. Уэя(1934), заключающегося в представлении прогиба и функции напряжений степенными рядами. Для изотропных пластин и пластин типа Тимошенко использовались ряды по четным степеням безразмерного текущего радиуса пластины, а для цилиндрически ор-тотропных пластин при их нагружении контурным изгибающим моментом впервые предложено искать решение в виде ряда по дробным степеням, определяемым показателем ортотропии материала

03 г г,

и>*= I апр р, (6)

П = О

Численно исследована сходимость рядов и выполнены расчеты, под-

робно описывающие напряженно-деформированное состояние пластин. Показаны зависимости прогиба, радиальных перемещений, углов поворота нормали, радиальных и окружных удельных усилий и моментов в характерных точках на радиусе пластин от величины приложенной нагрузки, их распределение вдоль радиуса и влияние на них жесткости опорного контура пластин.

В этой же главе дано решение задачи о комбинированном нагру-жении осесимметрично деформирующейся изотропной свободно опертой круговой пластины, описываемой уравнениями Фёппля-Кармана. Первоначально пластина (рис.2) нагружается на контуре равномерной

радиальной нагрузкой, под действием которой она теряет устойчивость и выводится в закритическую область. Затем к пластине с выпуклой стороны прикладывается равномерное поперечное давление и она прощелкивает как пологий сферический купол. Решение уравнении «еппля-нармана построено в степенных рядах. С их помощью исходная задача сведена к системе нелинейных алгебраических уравнений, которые, в свою очередь, решались численно методами продолжения, описанными в первой главе. Построена траектория на-гружения пластины с отображением ее предельных точек и точек бифуркации. Одна из проекций этой траектории в пространство переменных, в число которых входят прогиб в центре пластины и ее контурная радиальная и поперечная нагрузки показана на рис.3.

Помимо этого, во второй главе в классической постановке

йГ „ / (IV йгМ'л

)У'= М'= и'= 0 при 4=0; 1

рассматривается статическое геометрически нелинейное поведение пологих шарнирно опертых синусоидальных арок и цилиндрических панелей под действием равномерно распределенного поперечного давления (рис. 4). Записано точное решение задачи. На его основе

показано, что для однозначного описания траектории нагружения арки или панели их надо рассматривать в четырехмерном пространстве параметров. В их число могут быть включены прогиб в цент-Рис. 4. ре пролета арки, угол поворота

нормали к ее упругой линии, усилие распора и поперечная нагрузка. Они единственным образом характеризуют напряженно-деформированное состояние равновесия всего объекта.

Задача о деформировании арки-панели использована как тестовая для методов продолжения решения, описанных в первой главе. Для этого было применено представление задачи решения в виде ряда Фурье

со

•»'= 1 м^вт гаг4,

П= 1

что соответствует решению Э. И. Григолюка (1951) методом Бубнова данной краевой задачи, и выполнена дискретизация методом конечных элементов в виде метода перемещений

К' 2 иМ1 (V. »;= I у^ь (V- е;= гп ! и12 .

1=1 1=1 1=1 ич

где (\) - полиномы (-1<^<1) первого (1=1;4) и третьего порядков (1=2;3;5;6). Получающиеся в результате этого системы нелинейных алгебраических уравнений решены с помощью алгоритмов первой главы. Построены траектории нагружения арки-панели, которые описывают ее симметричное и несимметричное деформирование при приложении равномерного поперечного давления. На рис.5 показана проекция траектории нагружения арки-панели с параметром геометрии т=0,2 в пространство параметров, в число которых входят центральный прогиб, поперечная нагрузка и угол поворота нормали в центре пролета, а на рис.6 - проекция ее траектории при т=0,05 в пространство переменных в составе центрального прогиба и попе-

речной

Рис.5.

нагрузки. При прохождении

точек бифуркации, являющихся пе- Рис.6,

ресечением ветвей симметричного и несимметричного деформирования отмечена безусловная устойчивость описанных в первой главе методов продолжения решения.

В третьей главе дан обзор развития (с 1876 года) теории и методов расчета геометрически нелинейного напряженно-деформированного состояния тонких, упругих круговых и кольцевых пластин. Рассмотрено 586 работ, из которых 435 работ посвящены изотропным пластинам, 14 - трансверсально изотропным, 4 - разномодуль-ным, 67 - ортотропным, 28 - гофрированным, 15 - трансверсально ортотропным, 5 - двухслойным, 9 - трехслойным и 9 - многослойным пластинам (рис.7). В классификации работ учтены все встречающиеся виды представления нелинейности поведения пластин, свойств их материала и различные кинематические и статические гипотезы, описывающие их деформирование. Разобраны все классические случаи нагружения и закрепления пластин, к которым приводятся различные варианты реальных нагрузок и установки пластинчатых элементов конструкций. Показано, что основы теории пластин конечного прогиба заложены Г.Кирхгоффом в 1876 году в виде гипотезы о прямой нормали и квадратичных деформационных соотношений, что первым экспериментальным исследованием нелинейного поведения круговых пластий является работа Р.Уилсона 1877 года, а первым теоретическим исследованием стали работы И.Г.Бубнова, который еще в 1902 году в предположении о постоянстве растягивающих напряжений

1890

РИС.7.

в плоскости пластины получил уравнения равновесия круговых пластин конечного прогиба и прямоугольных полос бесконечного протяжения, с точностью до констант совпадающие с уравнениями М. Бер-гера(1955). Полученными уравнениями И.Г.Бубнов предварил не только М.Бергера, но и А.Фёппля(1907) с Г.Карманом(1910), а своими расчетами - всех последующих исследователей.

Дальнейшее развитие теории и расчета геометрически нелинейного поведения круговых и кольцевых пластин связано в первую очередь с именами С.П.Тимошенко, К. Федергофера, А.Надаи, Дж.Прес-котта, А.Гриффитса, И. Геккелера, Дж. Винсента, Ф. Форхаймера, С.Уэя, Д.Ю.Панова. П.Ф. Папковича, Г.Конуэя, В. И.Феодосьева, Цянь Вэй-чаня и Е Кай-юаня, Э.Рейсснера, Е.Ф.Бурмистрова, Л.Е.Андреевой, И.Новинского и Д.В.Пештмалджан.

С.П.Тимошенко в 1915 году, первым после И.Г.Бубнова решил в рамках уравнений Фёппля-Кармана задачу о конечных прогибах круговой пластины при действии окружного изгибающего момента, для чего применил удачный вариант метода стрельбы. Затем следует К.Федергофер(1918) с работой, посвященной осесимметричному изгибу круговой пластины равномерной поперечной нагрузкой, где был впервые применен метод последовательных приближений и решение которого в математически строгой форме повторил в 1931 году Дж.Винсент, сделав в отличие от К. федергофера три приближения. Удачное приближенное представление угла поворота нормали или. что то же самое, прогиба круговой пластины предложил А.Надаи в 1922 году, использовав его при реализации аппроксимационного метода, который условно может быть классифицирован как метод наименьших квадратов. Более удачное приближенное решение предложил в 1924 году С. П. Тимошенко, воспользовавшись методом Ритца с двухчленной полиномиальной аппроксимацией радиальных перемещений пластины и одночленной аппроксимации прогиба. В том же 1924 году Дж.Прескотт опубликовал точное решение обратной задачи для круговой пластины постоянной толщины при действии на нее распределенной поперечной нагрузки совместно с равномерно распределенными по ее контуру изгибающим моментом и радиальными усилиями, а также дал приближенное решение для скользяще защемленной и свободно опертой пластин, которое впоследствии в несколько видоизмененном виде вошло в практику решения краевых задач как метод Бубнова-Папкозича. Непосредственно метод Бубнова-Папковича пер-

вым для круговых пластин применил Д.Ю.Панов(1939). рассматривая жестко защемленную пластину. Однако он допустил в расчетах ошибку, поскольку проигнорировал вариационное уравнение задачи. Приближенное решение задачи о деформировании круговой пластины под действием равномерного поперечного давления при скользящем и жестком защемлении по контуру дал А. Гриффите(1927). Он представил интенсивность поперечной нагрузки в виде кубического полинома от центрального прогиба пластины. Однако, как показал Д.Ю.Па-нов(1939). формула А.Гриффитса для прогиба пластины со скользящим защемлением дает противоестественное распределение прогиба вдоль радиуса. Приближенное решение для свободно опертой пластины, которое можно условно классифицировать как предварительную линеаризацию уравнений Фёппля-Кармана, опубликовал в 1930 году И. Геккелер, который принял, что прогиб, получаемый из линейного решения для сферического купола при заданной поперечной нагрузке есть приращение прогиба пластины при приращении ее нагрузки, равной нагрузке на купол. В 1931 году Ф.Форхаймер опубликовал третье издание своей монографии, в котором впервые дал решение задачи об осесимметричных конечных прогибах кольцевой пластины, находящейся под действием равномерного поперечного давления и имеющей шарнирное опирание внутреннего и внешнего контуров. Для этого он применил прием А. и Л.Фёпплей(1920), заключающийся в разложении решения на мембранную и изгибную составляющие, и воспользовался решением Грасгофа для линейной задачи, приняв допущение о неизменяемости радиальных и окружных деформаций в срединной плоскости пластины. Впоследствии этот прием для круговых шарнирно опертых пластин без упрощения уравнений применили сначала П.Ф. Папкович(1941), а затем Г.Конуэй(1946), который воспользовался для описания мембранной составляющей решения решением Г.Генки(1915). в дальнейшем эта идея получила развитие в виде метода малого параметра, реализующего асимптотическое разложение в окрестности мембранного решения. Непосредственно этот метод, с помощью которого решение записывается в виде суммы мембранного решения и решения типа погранслоя, применен в работах Цянь Вэй-чаня(1948,56) и Е.Бромберга(1956). Особое место в истории расчета круговых пластин занимает точное решение уравнений Фйпп-ля-Кармана, записанных в смешанной форме, в степенных рядах, впервые реализованное С.Уэем в 1934 году. Эта работа вызвала ши-

рокую дискуссию, в которой приняли участие Г.Генки. В.Ховгард. Л. Доннелл и Е. Уотерс. Удачным вариантом метода последовательных приближений является метод малого параметра, реализующий решение краевой задачи в виде ряда по малому параметру в окрестности линейного решения. Он впервые был применен Д.Ю.Пановым(1939) для жестко защемленной пластины с параметром разложения, пропорциональным величине поперечной нагрузке. В 1947 году Цянь Вэй-чань усовершенствовал этот прием, предложив использовать в качестве малого параметра величину прогиба пластины в ее центре, что существенно повысило точность разложения. Впоследствии этот прием был им развит в соавторстве с Е Кай-юанем(1954,55,57). В работе Д.Ю.Панова и В.И.Феодосьева 1948 года с использованием метода Бубнова-Папковича впервые решена задача о появлении несимметричных форм деформирования круговой пластины со скользящим защемлением на контуре под действием равномерного поперечного давления.

Первой попыткой усовершенствовать уравнения Фёппля-Кармана путем введения в деформационные соотношения нелинейных слагаемых не только от прогиба, но и от перемещений в средней плоскости пластины следует считать работу Э. Рейсснера 1949 года, хотя впервые подобные соотношения записал Т.Карман в 1910 году, утверждая, что именно они были использованы им для получения известных уравнений. На самом деле его уравнения предполагают учет в деформациях нелинейных слагаемых только от прогиба. Э.Рейсснер также дальше записи и обсуждения этих деформационных соотношений не пошел и первые расчеты с помощью модифицированных уравнений Фёппля-Кармана были выполнены И.Таджибакшом и Е.Сэйбелем(1960). Первой попыткой записать разрешающие уравнения для пластины, которые впоследствии получили имя Э. Рейсснера, следует считать работу К. Федергофера(1944), где он учел под знаком синуса угол поворота нормали к средней плоскости пластины. Однако толчком к исследованию поведения пластин и оболочек при произвольных углах поворота нормали послужила работа Э.Рейсснера(1949). Поведение тонкой круговой пластины, выполненной из резиноподобного материала в условиях конечных деформаций при больших перемещениях и углах поворота впервые рассматривалось Дж. Оденом и Дж. Кеем(1971) И X. АОе с М. Уцуи (1973).

Уравнения Бергера(1955) являются упрощением уравнений Фёпп-ля-Кармана в предположении о допустимости пренебрежения в потен-

циальной энергии деформации пластины вторым инвариантом тензора деформации ее средней плоскости. Точное решение этих уравнений для круговых пластин в бесселевых функциях впервые записал М.Ха-маду(1957). Затем М.Гольдберг в 1962 году, получив решение уравнений Бергера для жестко защемленной пластины, уточнил его в смысле радиальных перемещений пластины с помощью полного уравнения равновесия в радиальном направлении, подставив в него полученные из уравнений Бергера радиальные перемещения и прогиб.

Первым исследованием нелинейного поведения круговых гофрированных пластин является экспериментальная работа Б.Эка, опубликованная в 1927 году, а первым теоретическим исследованием нелинейного осесимметричного поведения гофрированных пластин - работа Д.Ю.Панова 1941 года. В ней пластина с косинусоидальным гофром рассматривается как пологая осесимметричная оболочка, а ее поведение описывается уравнениями Маргерра. Нольцевую гофрированную пластину с плоской центральной вставкой впервые рассмотрел В.И.Феодосьев(1945). Деформирование гофрированной части пластины он описал уравнениями Маргерра, а центральной - уравнениями Феппля-Кармана.

Первыми работами по исследованию поведения цилиндрически ор-тотропных пластин в геометрически нелинейной постановке следует считать работы Л.Е.Андреевой 1955 года, в которых была рассмотрена круговая гофрированная пластина под действием равномерной поперечной нагрузки. Для описания поведения пластины Л.Е.Андреева использовала уравнения Фёппля-Кармана-Ростовцева(1940), применив собственные соотношения для вычисления жесткостных характеристик плоской цилиндрически ортотропной пластины на основе соответствующих параметров гофрированной пластины. Удачное решение методом Бубнова-Папковича при исследовании поведения орто-тропных пластин под действием равномерной поперечной нагрузки построил Е.Ф.Бурмистров(1956), взяв в качестве аппроксимирующей функции линейное решение для ортотропной пластины. Почти одновременно с Л.Е.Андреевой и Е.Ф.Бурмистровым опубликовал свою работу, посвященную расчету гофрированной пластины с позиций теории цилиндрически ортотропных пластин, Дж. Харингс(1956). Он рассмотрел осесимметричное поведение жестко защемленной круговой пластины под действием равномерной поперечной нагрузки, пренебрегая при этом вкладом окружных удельных усилий и изгибающих мо-

ментов в потенциальную энергию деформаций пластины. Вслед за Л.Е.Андреевой, Е.Ф. Бурмистровым и Дж. Харингсом опубликовали свою работу по цилиндрически ортотропным пластинам Т. Ивински и И.Новинские 1957). В ней они рассмотрели круговую жестко защемленную пластину на основе уравнений Фёппля-Кармана-Ростовцева и их упрощенного варианта Бергера, записав точное аналитическое решение в бесселевых функциях. Особого внимания заслуживает работа И. Но-вински(1963), в которой впервые решена задача для круговой пластаны с прямоугольной, а не цилиндрической ортотропией. Однако, применяя метод Бубнова, он не учел того, что рассматриваемая им задача в такой постановке является неосесимметричной.

Для построения уточненной теории изгиба и изгибных колебаний пластин в работах Э.Рейсснера(1944). Г.Генки(1947), Л.Болле (1947), Я.С.Уфлянда(1948), Р.Миндлина(1951), М.Шефера(1952), А. Кромма(1953), А.Эринджена(1955), Б.Ф. Власова(1957). Е.Коппе (1957) и С. А. Амбарцумяна(1958) была использована гипотеза Тимо-шенко(1916) о поворачивающейся нормали, причем в работах А. Эринджена и Е.Коппе это сделано в геометрически нелинейной постановке. Первой работой, в которой изучалось осесимметричное поведение жестко защемленной круговой пластины под действием равномерной поперечной нагрузки с учетом возникновения сдвиговых деформаций в поперечном направлении в рамках квадратичных деформационных соотношений Г.Кирхгоффа. является статья П.Уилсона и А.Бореси(1964). Решение аналогичной задачи для скользящего защемления пластины получено С.А.Амбарцумяном(1967). Попытку получить разрешающие уравнения для пластины типа Тимошенко на базе уравнений Рейсснера предприняли Э.Рейсснер(1963), Р.Шмидт с Д. Да Деппо(1974) и С. Им с Р.Шилдом(1986).

Приоритет в области расчета круговых трансверсально ортотроп-ных пластин конечного прогиба принадлежит Д. В. Пештмалджян(1960, 64). В ее работах осесимметричное поведение цилиндрически орто-тропных пластин описывается посредством уравнений С. А. Амбарцумя-на(1958). Помимо этого, ею получены уравнения равновесия и граничные условия для круговых и кольцевых цилиндрически ортогроп-ных пластин конечного прогиба с учетом возникновения в них поперечных нормальных и сдвиговых напряжений и деформаций в несимметричной постановке. Однако все расчеты выполнены ею для случая осесимметричных деформаций. В такой же постановке решали задачу

о конечных прогибах густоперфорированной круговой пластины П.Клемм и Г.Вожняк(1967).

Нелинейное решение задачи об осесимметричном деформировании круговых двухслойных (биметаллических) пластин впервые получено в работе Д.Ю. Панова(1947). В этой работе и работах последующих авторов слои пластины считались тонкими и изотропными. Для описания их совместного поведения применялась гипотеза прямой нормали. а в качестве деформационных соотношений использовались соотношения Кирхгоффа.

По сравнению с многообразием подходов к описанию процесса деформирования слоистых конструкций и количеством работ по расчету многослойных изотропных и анизотропных тонкостенных конструкций, куда следует отнести исследования С. Г.Лехницкого(1941), Э.И.Гри-голюка(1947,48, 50.53). С. А. Амбарцумяна(1948), Ч. Смита (1953), К. Пистера и С.Донга(1959), Е.Ф.Бурмистрова(1960), Э.И.Григолюка и П.П.Чулкова(19В4.65, 67.72). В. И. Королева(1965), А. Г.Терегулова (1970), Т. - М. Хью и Дж.Ванга(1970), А.П.Прусакова(1971). В.Е.Че-пиги(1971), Р.Б.Рикардса и Г.А.Тетерса(1974), Л. Либреску(1974), М.Готтелэнда(1975), А.Т.Василенко, Г. П. Голуба и Я.М. Григоренко

(1976), А. Ю. Рассказова(1976), А.Н.Андреева и Ю. В. Немировского

(1977), М. С. Танеевой(1977), Г.М.Куликова(1979), В.Н.Паймушина и В. Г. Демидова( 1979), Г. Коэна( 1979), Н. Н. Блумберга и В. П. Тамужа (1980), В. В. Болотина и Ю.Н. Новичкова(1980), Б. Л.Пелеха и В. А.Ла-зько(1982), Э.И.Григолюка и Г.М. Куликова(1984, 86,88), количество работ, посвященных расчету конечных прогибов круговых и кольцевых многослойных пластин, крайне незначительно. В число первых работ входят работы К.Пистера и С. Донга(1959), Е. Ф.Бурмистрова (1960,62) и Я.М.Григоренко с Н.Н.Крюковым(1982). Во всех работах, кроме работы Я.М.Григоренко и Н.Н.Крюкова, рассматривались круговые пластины с позиций квадратичного закона для деформаций и гипотез Кирхгоффа для всего пакета слоев, что соответствует использованию уравнений Фёппля-Кармана-Ростовцева. Только в статье Я.М.Григоренко и Н.Н.Крюкова рассматривалась кольцевая пластина на основе гипотезы Тимошенко для всего пакета слоев.

Теории трехслойных пластин и оболочек, как частного случая многослойных тонкостенных конструкций, также посвящена обширная литература. К ней относятся как работы по многослойным конструкциям перечисленных выше исследователей, так и основополагающие

работы Э.Рейсснера(1949,50), А.П.Прусакова(1951), Э.И.Григолюка (1957,58), Л. М. Кур шина (1958) и Х.М. Муштари(1961) конкретно по трехслойным. В то же время перечень работ, посвященных расчету конечных прогибов круговых и кольцевых трехслойных пластин, довольно ограничен. Первой работой следует считать работу И.А. Ми-хай лова (1974), в которой автор вывел уравнения равновесия осе-симметрично деформирующихся круговых и кольцевых пластин с симметричным строением пакета, цилиндрически ортотропными тонкими несущими слоями и трансверсально ортотропным заполнителем. Следующей работой является статья Н.К.Галимова, В.Н. Паймушина и В. Ф. Снигирева, опубликованная в 1975 году. В ней рассматривается круговая пластина с изотропными несущими слоями и легким трансверсально изотропным заполнителем, который имеет конечную жесткость на обжатие в поперечном направлении.

В четвертой главе дано обобщение кольцевой расчетной схемы на осесимметричные задачи изгиба коротких оболочек вращения канонической формы (рис.8). Эту задачу для пружины Бельвилля в гео-

экспериментальная проверка даны в работе Дж.Альмена и А.Ласло (1936). В дальнейшем расчет пружины Бельвилля - короткой усеченной конической оболочки постоянной толщины по схеме кольца был сравнен В.И.Феодосьевым(1946) с решением аналогичной задачи с помощью уравнений Маргерра. Такая же проверка кольцевой расчетной схемы была сделана Н.Н.Малининым(1950) на примере кольцевой пластины линейно переменной толщины, поведение которой описывалась уравнениями Фйппля-Кармана.

Результаты работ перечисленных авторов в данной главе расп-

Рис.8.

метрически нелинейной постановке впервые рассмотрел А. Рато в 1887 году. Для случая малых прогибов она была решена С.П.Тимошенко (1929), когда он дополнил гипотезы Кирхгоффа-Лява гипотезой о недеформируемости радиального поперечного сечения пружины. Подробный вывод формулы Тимошенко--Рато на основе введенной С.П.Тимошенко гипотезы с учетом геометрической нелинейности, а также ее

ространены на упругие конические, сферические, цилиндрические оболочки и кольцевые пластины конечного прогиба, а также на оболочки большого прогиба при малых и конечных деформациях.

В случае конечных прогибов и малых деформаций в соответствии с гипотезой Тимошенко перемещения точек оболочки в цилиндрической системе координат представлены через угол поворота радиального сечения <р и радиальное смещение точки его поворота и0 следующими соотношениями

и = и0- (г-СтЛ - г<р.

V = О,

»V = (г-Сг)<р

(7)

Исходя из закона Гука, с помощью принципа Лагранжа получены нелинейные алгебраические соотношения для определения прогибов, деформаций и напряжений в оболочке через ее геометрические характеристики, величину и вид внешней нагрузки

М

- а(го- - ^ ¡Н7«

2

+ -Э ш +

2 г»..

¿(V

-щы. 1 5ГФ]

о = К

"ео

Ма

м22= к|>и0- 52-

Г1+ ^гФЬ

(8)

Показано, что описанный алгоритм в ряде случаев соответствует решению уравнений Маргерра или Рейсснера вариационными методами с одночленной аппроксимацией перемещений оболочки.

В рамках этого подхода проведены расчета. Рассмотрено влияние

вида опирания оболочки (рис.9:

11 !,

/

А У

\ У/

V \ /

д \ г

/

У

\ -

К-

¿4 \

V

Рис.9.

Рис. 10.

- свободное опирание обоих краев;----' шарнирное опирание края с большим радиусом и свободное опирание края с меньшим;---свободное опирание края с большим радиусом и шарнирное опирание края с меньшим), степени ее пологости (см. рис. 10: -- непологая обо-

лочка; --- пологая оболочка) и переменности толщины, которая

может быть линейно-переменной вдоль образующей, на ее верхнюю и нижнюю критические нагрузки. Численно показаны рамки применения уравнений пологих оболочек конечного прогиба для расчета непологих оболочек.

Для случая полного выворачивания оболочек в рамках предположения о малости деформаций перемещения точек радиального сечения оболочки описаны соотношениями, подобными (7)

и = и0- (Г-Сг) (1-С03у)-231Щ. V = О, да = (г-Сг)з1п<р-2(1-соз<р).

(9)

В результате, в соответствии с законом Гука, уравнения равновесия оболочки приобретают вид

М - 0(га- Сг)з1щ = К-г^^пф соэф

Бг (со8<р-сов2<р) + р-(1-созу) эгпф]

(10)

Г2

<3 = ^Ч'

С помощью уравнений (10) построены диаграммы нагружения оболочек (рис.11) и показано влияние на их характер консервативности

У

/ \ /

> Г \ /

4 > ^ 9 9 3 У 4 Л м 9 33

1 / ч /

1 1 /

Рис.11. Рис.12, (рис.12:---) и неконсервативности (рис.12: -) внешней нагрузки. Исследована возможность применения уравнений конечного прогиба для расчета оболочек с углом поворота нормали к срединной поверхности, превышающим значения, принятые для понятия "конечные прогибы".

На примере тонкой непологой короткой усеченной конической

оболочки вращения, изготовленной из линейно упругого материала и находящейся под действием изгибающего момента, который равномерно распределен по одному из ее контуров, показано влияние конечности деформаций на жесткостную характеристику оболочки. Для этого в рамках описания перемещений вида (9) были использованы полные деформационные соотношения

егг= err+ ier2r+ (eT<j/2+mz)*+ (erz/2-%)4/2, pft-z

ere= ere+ errfer9/^z) + e9eier9/2+(Dzj + (eTZ/2-mel(e9z/2+<àT).

что с помощью принципа Лагранжа позволило получить уравнения равновесия вида

рг 3 к

Q = К-1 I Xqj,n(u0)sinnip(l-cos(p) , k = on = o

р 4 к

M - Q(r - Cr)sïn ф = K~r I Z pkn(u0)sinn<p (l-cos9jK"n F k=on=o

на примере которых и было проведено данное исследование.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. В работе рассмотрена одна из актуальных проблем механики твердого деформируемого тела - проблема определения напряженно-деформированного состояния, устойчивости и закритического поведения упругих конструкций.

2. Для ее решения разработана серия новых методов. Новая модификация методов непрерывного и дискретного продолжения для решения систем нелинейных алгебраических уравнений во всех регулярных в смысле Пуанкаре точках траектории, включая предельные точки, является более экономичной по сравнению с существующими в смысле использования возможностей вычислительных машин. Кроме этого, дано новое решение фундаментальной задачи отыскания неявной функции, описывающей экстремаль, которая доставляет минимальное значение функционалу, являющемуся в данном случае полной потенциальной энергией деформации конструкции. Вычислительной основой предлагаемого метода яв-

ляется решение задачи на собственные значения для дополненного якобиана системы в расширенном пространстве аргументов. Единый алгоритм, реализующий данное решение в рамках методов непрерывного и дискретного продолжения, позволяет строить траекторию нагружения конструкции, имеющую как предельные точки, так и точки бифуркации и включающую в себя все образующие ее бифуркационные ветви.

3. Эффективность разработанных методов продемонстрирована на примере решения задач о прощёлкивании круговых пластин конечного прогиба при комбинированном нагружении и пологих синусоидальных арок и цилиндрических панелей, находящихся под действием симметричной поперечной нагрузки. Дискретизация рассмотренных континуальных задач для сравнения осуществлялась, различными методами, в число которых вошли метод Бубнова-Пап-ковича, метод конечных элементов и точные решения в степенных рядах.

4. Впервые выполнено систематическое исследование геометрически нелинейного напряженно-деформированного состояния изотропных, цилиндрически ортогропных и трансверсально изотропных круговых пластин, сделанное в рамках единого подхода к построению решения краевых задач в виде степенных рядов. На основе фактического материала, который охватывает длительный период, начиная с 1876 года, показано, что теория изгиба пластин конечного прогиба практически близка к своему завершению и дальнейшее ее развитие должно быть связано со стандартизацией существующих расчетов.

5. На основе кольцевой расчетной схемы, базирующейся на дополняющей гипотезы Кирхгоффа гипотезе Тимошенко о недеформируемости радиального поперечного сечения, построена обобщенная модель нелинейного поведения коротких оболочек вращения. В ее рамках удалось получить новое аналитическое решение основных задач теории тонких упругих изотропных оболочек, куда включены осесимметричные задачи изгиба и прощелкивания пологих и непологих оболочек, случаи их конечных прогибов и прогибов при произвольных углах поворота нормали, задачи деформирования оболочек в предположении о малости и конечности их деформаций. Показано, что такой подход соответствует решению уравнений Маргерра или Рейсснера вариационными методами с одноч-

ленной аппроксимацией перемещений оболочки. Сделаны выводы о том, что в ряде случаев диапазоны применения уравнений пологих оболочек и уравнений конечных прогибов могут быть расширены.

Основное содержание диссертации опубликовано в открытой печати 'в следующих работах.

1. Лопаницын Е. А. Конечные прогибы круговых пластин и пологих сферических оболочек//Актуальные проблемы механики оболочек. Тезисы, докл.. II Всес. совещ.- семинара молодых ученых.- Казань, 1985.- С. 121.

2. Григолюк Э. И., Лопаницын Е.А. Об одной модификации метода дискретного продолжения по параметру//Материалы научно-техн. конф. МАШ. Ч. II,- М. , 1989. - С. 150-151.

3. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. К методу непрерывного продолжения по параметру//Материалы научно-техн. конф. МАМИ. Ч.II.

- М., 1989.- С. 151.

4. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Приближенный расчет диафраг-менной пружины автомобильного сцепления//Изв. ВУЗов. Машиностроение. - 1989.- №4.- С. 11-15.

5. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Об одной модификации метода дискретного продолжения по параметру//Журнал прикл. механики и теорет. Физики.-1990. - №5,- С. 95-99.

6. Лопаницын Е.А. Поведение упругих конструкций в окрестности точек простой бифуркации их траектории нагружения//Семинар по МТДТ в МАМИ. Проблемы машиностр. и надежн. машин.- 1992.-

- №6.- С.118.

7. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Расчет усилия затяжки диафраг-менной пружины автомобильного сцепления//Тезисы VI Междунар.

'научно-технич. совещания "Динамика и прочность автомобиля".-

- М., -1994.- С. 31..

8. Лопаницын Е. А. Несимметричное поведение пологой арки//Извес-ТИЯ РАН. МТТ,- 1994.- №2,- С. 116-121.

9. Григолюк Э. И., Лопаницын Е. А. О методе непрерывного продолжения по параметру//Доклады РАН.- 1994.- Т.335, №5,- С.582--585.

10. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Конечные осесимметричные прогибы тонких коротких оболочек вращения//Проблемы машиностро-

ения и надежности машин.- 1996.- №4. - С.39-46.

И. Григолюк Э. И., Лопаницын Е.А. Расчет конечных осесимметрич-ных прогибов тонких коротких оболочек вращения//Проблемы машиностроения и надежности ыашин.- 1996. - №5.- С. 36-45.

12. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Конечные прогибы и прощелкива-ние тонких упругих пологих панелей//Прикл. матем. и механика,- 1996.- Т. 60, вып. 5.- С. 865-876.

13. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Большие осесимметричные прогибы тонких коротких оболочек вращения при конечных деформаци-ЯХ//Доклады РАН. - 1996.- Т.346, №5.- С.619-622.

14. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Большие осесимметричные прогибы тонких коротких оболочек вращения при малых деформаци-ях//Доклада РАН,- 1996,- Т.346, №6.- С.753-756.

Лопаницын Евгений Анатольевич

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ, УСТОЙЧИВОСТЬ И ЗАКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ УПРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ.

Лицензия ЛР № 021209 от 17 апреля 1997 г. Подписано в печать 7.04.98 Заказ 86-98 Тираж 90 Усл. п. л. 1.7 Уч.-изд. л. 1.8 Бумага типографская_Формат 60x90/16_

МГТУ "МАМИ", Москва, 105839 Б. Семеновская ул., 38

Президиум

РОССИИ

(решение от "

о степень .íx\Jí\ i \JrI\

присудил ученую степень. ЪЦ^А-iYJO-......

шиунйк уг

J '

МИНИСТЕСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(МАМИ)

/

На правах рукописи

ЛОПАНИЦЫН Евгений Анатольевич

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ, УСТОЙЧИВОСТЬ И ЗАКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ УПРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант чл. - корр. РАН Э.И.Григолюк

Москва - 1997

- г -

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.......................................................5

ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ И ЕЕ РЕШЕНИЕ

МЕТОДАМИ ПРОДОЛЖЕНИЯ..................................7

§ 1.1. Формулировка проблемы и пути ее решения.............7

§ 1.2. Метод непрерывного продолжения по параметру........И

1.2.1. Дифференциальные уравнения траектории нагружения....................................И

1.2.2. Сведение системы дифференциальных уравнений траектории нагружения к нормальному виду......12

1.2.3. Выбор параметров продолжения решения е и Ь.... 15

1.2.4. Особенности численной реализации..............19

§ 1.3. Метод дискретного продолжения по параметру.........20

§ 1.4. Продолжение решения в окрестности точек

бифуркации.........................................24

1.4.1. Вариационная постановка задачи................25

1.4.2. Задача на собственные значения в расширенном пространстве..................................32

1.4.3. Поведение решения уравнений продолжения в окрестности точки бифуркации..................35

1.4.4. Особенности численной реализации..............38

§ 1.5. Уточнение решения в окрестности точек бифуркации...42

ГЛАВА 2. ИЗГИБ, УСТОЙЧИВОСТЬ И ЗАКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ

УПРУГИХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК...........................47

§ 2.1. Изотропная круговая пластина Фёппля-Кармана........47

2.1.1. Перемещения и деформации......................47

2.1. 2. Напряжения и удельные усилия и моменты........48

2.1. 3. Уравнения равновесия и граничные условия. ...... 49

2.1.4. Разрешающие соотношения в безразмерной форме..51

2.1.5. Решение в степенных рядах.....................53

2.1.6. Результаты численного анализа.................56

§ 2.2. Цилиндрически ортотропная круговая пластина........98

2.2.1. Перемещения и деформации......................98

2.2.2. Напряжения и удельные усилия и моменты........98

2.2.3. Уравнения равновесия и граничные условия......99

2.2.4. Разрешающие соотношения в безразмерной форме.101

2.2.5. Решение в степенных рядах....................103

2. 2. 6. Численный анализ силовых факторов и

перемещений........'..........................106

§ 2.3. Трансверсально изотропная круговая пластина.......120

2.3.1. Перемещения и деформации.....................120

2.3.2. Напряжения и удельные усилия и моменты.......121

2.3.3. Уравнения равновесия и граничные условия.....122

2.3.4. Разрешающие соотношения в безразмерной форме.124

2.3.5. Решение в степенных рядах....................126

2. 3. 6. Результаты расчетов..........................129

§ 2.4. Осесимметричное прощелкивание упругой круговой

пластины при комбинированном нагружении...........167

2. 4.1. Основные соотношения..........................167

2.4.2. Решение в степенных рядах....................168

2.4.3. Построение траектории нагружения пластины.... 171 § 2.5. Симметричное и несимметричное поведение пологих

синусоидальных арок и панелей под действием симметричной поперечной нагрузки..................178

2.5.1. Основные соотношения. Точное решение.........178

2.5.2. Решение методом Бубнова (точное решение в

виде ряда Фурье).............................195

2.5.3. Решение методом конечных элементов...........197

ГЛАВА 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ИЗГИБА КРУГОВЫХ И

КОЛЬЦЕВЫХ ПЛАСТИН. ОБЗОР РАБОТ......................205

§ 3.1. Изгиб изотропных пластин..........................206

3.1.1. Круговые пластины............................206

3.1.2. Кольцевые пластины...........................258

3.1.3. Разрезные и секториальные пластины...........282

§ 3.2. Изгиб трансверсально изотропных пластин...........283

§ 3.3. Изгиб разномодульных пластин......................288

§ 3.4. Ортотропные пластины..............................289

3.4.1. Круговые пластины............................290

3.4.2. Кольцевые пластины...........................304

3.4.3. Секториальные пластины.......................311

§ 3.5. Гофрированные пластины............................312

3. 5.1. Круговые пластины............................313

3. 5.2. Кольцевые пластины...........................318

§ 3.6. Трансверсально ортотропные пластины...............320

3.6.1. Круговые пластины............................320

3.6.2. Кольцевые пластины...........................323

§ 3.7. Двухслойные пластины..............................324

§ 3.8. Трехслойные пластины..............................326

§ 3.9. Многослойные пластины...,..........................330

ГЛАВА 4. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ КОРОТКИХ

УПРУГИХ ИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ................334

§ 4.1. Конечные прогибы оболочек.........................334

4.1.1. Идеализация оболочки, гипотезы, перемещения..336

4.1.2. Деформации и напряжения......................336

4.1.3. Уравнения равновесия.........................339

4.1.4. Напряжения, удельные усилия и моменты........341

4.1.5. Геометрические характеристики оболочки.......342

4.1.6. Расчет тонких оболочек.......................346

§ 4.2. Большие прогибы оболочек при малых деформациях....362

4.2.1. Перемещения, деформации, напряжения..........362

4.2.2. Потенциальная энергия деформации, работа внешней нагрузки и уравнения равновесия......364

4.2.3. Расчет тонких оболочек постоянной толщины.... 365 § 4.3. Большие прогибы оболочек при конечных деформациях.371

4.3.1. Перемещения, деформации, напряжения..........371

4.3.2. Потенциальная энергия деформации, работа внешней нагрузки и уравнения равновесия......373

4.3.3. Тонкая непологая коническая оболочка под действием изгибающего момента................ 378

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................................................381

ПЕРЕЧЕНЬ ЛИТЕРАТУРЫ..........................................384

ВВЕДЕНИЕ

Проблема определения нелинейного напряженно-деформированного состояния упругих конструкций относится к разряду фундаментальных проблем механики. Она включает в себя определение для заданной нагрузки как устойчивых, так и неустойчивых напряженно-деформированных состояний конструкции, куда входит решение задач ее устойчивости и закритического поведения. Математический аспект этой проблемы тесно связан с отысканием решений систем нелинейных алгебраических уравнений большого порядка. При этом применение традиционных методов для их решения при наличии предельных и бифуркационных точек часто приводит к непреодолимым вычислительным трудностям. Поэтому разработка новых методов решения систем нелинейных алгебраических уравнений, позволяющих устранить такие трудности, является актуальной.

Не менее актуальна проблема, связанная с получением аналитических решений нелинейных задач теории тонкостенных конструкций, на которых базируется проектирование современной техники. Подобные решения уникальны особенно в том случае, когда позволяют моделировать поведение конструкции с точки зрения различных подходов к ее расчету.

Поэтому цель работы с одной стороны заключается в разработке новых методов численного решения нелинейных задач статики, устойчивости и закритического поведения конструкций, а с другой стороны - в обобщении существующих аналитических решений в области исследований нелинейного поведения пластин и тонкостенных упругих поверхностей Фёппля-Кармана, Маргерра и Рейсснера.

В первой главе работы дается описание проблемы определения напряженно-деформированного состояния упругих тонкостенных конструкций, включающей в себя как непосредственно определение напряженно-деформированного состояния, так и исследование их устойчивости и закритического поведения. Приведены подходы к ее решению и изложены более экономичные с вычислительной точки зрения по сравнению с существующими модификации метода непрерывного дискретного продолжения, реализующие идею равноправия аргументов и позволяющие отыскивать решение во всех точках траектории наг-ружения объекта за исключением точек бифуркации.

Здесь же рассмотрен устойчивый метод построения вектора про-

должения в любых точках траектории нагружения и способ уточнения решения при наличии точек бифуркации, которые основаны на решении полной проблемы собственных значений для дополненного якобиана системы уравнений в расширенном пространстве переменных.

Во второй главе представлено решение серии задач по определению осесимметричного напряженно-деформированного состояния изотропных, трансверсально изотропных и цилиндрически ортотропных круговых пластин конечного прогиба, даны решения задачи о про-щелкивании осесимметрично деформирующейся изотропной свободно опертой круговой пластины при комбинированном нагружении и задачи о геометрически нелинейном поведении пологих шарнирно опертых синусоидальных арок и цилиндрических панелей под действием равномерно распределенного поперечного давления. Решение для пластин построено в степенных рядах, а для арок и панелей записано точное решение, решение методом Бубнова и решение с помощью метода конечных элементов. Системы нелинейных алгебраических уравнений, к которым сводились рассматриваемые задачи, решались численно. Построены траектории нагружения пластин, арок и панелей с отображением предельных точек и точек бифуркации.

В третьей главе дан обзор развития (с 1876 года) теории и методов расчета нелинейного напряженно-деформированного состояния тонких, упругих круговых и кольцевых пластин. Рассмотрено 586 работ, посвященных изотропным, трансверсально изотропным, разно-модульным, ортотропным, гофрированным, трансверсально ортотроп-ным, двухслойным, трехслойным и многослойным пластинам. В классификации работ учтены все встречающиеся виды представления нелинейности поведения пластин, свойств их материала, различные кинематические и статические гипотезы, описывающие их деформирование, и различные случаи их нагружения и закрепления.

В четвертой главе дано обобщение кольцевой расчетной схемы на осесимметричные задачи изгиба коротких оболочек вращения канонической формы. Построены аналитические решения для упругих конических, сферических, цилиндрических оболочек и кольцевых пластин конечного прогиба, а также для аналогичных оболочек большого прогиба при малых и конечных деформациях. Показано, что предлагаемый подход в ряде случаев соответствует решению уравнений Маргерра или Рейсснера вариационными методами с одночленной аппроксимацией перемещений оболочки.

ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ УПРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ И ЕЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДАМИ

ПРОДОЛЖЕНИЯ

§1.1. Формулировка проблемы и пути ее решения

В настоящее время для описания нелинейного поведения упругих тонкостенных конструкций существует достаточно широкий класс различных теорий, реализующих разнообразные математические модели такого поведения. В первую очередь сюда относятся уравнения теории оболочек, которые в зависимости от типа оболочки учитывают такие ее отличительные черты, как пологость или непологость, изотропность, ортотропность или анизотропность материала, слоистость оболочки по толщине, степень геометрической нелинейности поведения, которая условно определяется величиной прогиба (конечные или большие прогибы), вид внешней нагрузки, а также различные кинематические и статические гипотезы о поведении непосредственно самой оболочки.

Пусть тонкостенная конструкция в виде тонкой оболочки произвольной формы под действием внешней нагрузки может допускать упругие перемещения, объединенные в векторе и. При этом в качестве внешней нагрузки рассматривается произвольная распределенная поверхностная О(Ц) и контурная Яг(11) нагрузки, которые в общем случае могут зависеть от перемещений оболочки (следящая нагрузка), произвольный по поверхности оболочки и ее толщине нагрев до температуры Г, а на контуре оболочки допускается упругое соединение с опорными элементами, выражающееся в возникновении дополнительных контурных усилий и моментов, которые объединены в векторе (и).

На основе кинематических и статических гипотез о поведении оболочки вектор ее перемещений и в реальном пространстве записывается через вектор обобщенных перемещений и0 некоторой поверхности приведения

и = Б(г)и0( аг,аг),

где и - поперечная координата; - ортогональные координаты

поверхности приведения. Независимо от степени геометрической не-

линейности поведения оболочки, деформационные соотношения для нее представляются через обобщенные перемещения в виде

Е = Н(ио),

где Н - нелинейный дифференциальный оператор. Предположение об упругости материала конструкции для изотропных, ортотропных, анизотропных, однородных и слоистых оболочек дает следующее описание обобщенного вектора внутренних усилий и моментов

N = дЕ - Пт,

где Б - обобщенная матрица жесткости оболочки; Мт- вектор температурных усилий.

В результате потенциальная энергия деформации оболочки, работа внешней поверхностной нагрузки и работа контурных усилий представляются поверхностными и криволинейными интегралами

П = ^ || ЕТЯ £ - || Л^Е ОБ,

Й Й

й

1

оти0йБ, Аг= <ь ^и0аI + - <£ п1и0аг

J £ J

г г

и принцип Лагранжа с их помощью позволяет получить уравнения равновесия в усилиях или, как это показано ниже, в перемещениях, представляющие собой дифференциальные уравнения с частными производными

К(и0) - ща,Т) = О, (аиаг е и граничные условия

N - иГ- о <—> и0= о, (а1гаг е г;

где К ий- нелинейные дифференциальные операторы.

Полученная краевая задача может решаться с помощью двух основных подходов. Первый из них заключается в применении методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Он используется в том случае, когда рассматриваются осесиммет-ричные задачи, или для замкнутых в одном направлении оболочек, когда существует возможность разложения перемещений и усилий в

этом направлении в ряды Фурье. К этим методам относятся различные варианты метода стрельбы, приводящие к необходимости решения систем нелинейных алгебраических уравнений небольшого порядка, получаемых из граничных условий, а также метод ортогональной прогонки с организацией итерационного процесса для предварительно линеаризованных уравнений равновесия и граничных условий.

Второй подход состоит в использовании таких методов дискретизации, как методы Релея-Ритца, Бубнова, наименьших квадратов, коллокаций, конечных разностей, конечных элементов и др. Это приводит краевую задачу для системы дифференциальных уравнений в частных производных непосредственно к системе нелинейных алгебраических уравнений большого порядка аналогичной структуры. Они отличаются тем, что нелинейные дифференциальные операторы К и Я в последнем случае являются нелинейными функциями перемещений.

В обоих случаях проблема определения напряженно-деформированного состояния сводится к проблеме решения систем нелинейных алгебраических уравнений. Решения таких систем для различных значений нагрузки отображаются точками в пространстве обобщенных переменных, однозначно определяющих напряженно-деформированное состояние конструкции. При этом геометрическое место этих точек является непрерывной кривой - траекторией нагружения конструкции. За счет нелинейности поведения рассматриваемых конструкций траектории нагружения представляют собой сложные кривые, имеющие иногда петлеобразный характер и состоящие из нескольких кривых, которые могут пересекаться в нескольких точках. Примеры траекторий нагружения для цилиндрических оболочек и панелей, подверженных осевому сжатию, и пологих сферических куполов, нагруженных поперечным давлением, показаны на рис. 1.1. - 1.2.

Как можно видеть, на траектории нагружения упругой конструкции могут присутствовать два типа особых точек, в которых происходит потеря устойчивости. К первому типу относятся предельные

Рис. 1.1. Траектория нагружения цилиндрической оболочки.

А С

точки, отмеченные на рисунках буквами А, В, С,... В их окрестности существует единственное решение задачи, а касательная к траектории нагружения перпендикулярна к координатной оси, по которой откладывается величина внешней нагрузки. Потеря устойчивости в них происходит за счет скачка прогиба - прощелкивания. Ко второму типу относятся точки

Рис.1.2. Траектория нагруже- бифуркации, которые отмечены циф-жения пологого купола. рами I и II. Они являются точками пересечения основной ветви траектории нагружения и бифуркационных ветвей. В их окрестности решение неединственно и существует по-крайней мере две касательных к траектории нагружения, одна из которых перпендикулярна к координате внешней нагрузки. В этих точках происходит эйлерова потеря устойчивости конструкции. Во всех особых точках якобиан системы уравнений вырождается и применение традиционных методов, основанных на различных итерационных схемах невозможно.

Простейшим способом решения систем нелинейных алгебраических уравнений, описывающих приведенные выше траектории нагружения конструкций, является метод последовательных нагружений, и