Анализ выпучивания стержней и цилиндрических оболочек методом возмущений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ'

ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ ГИДРОДИНАМИКИ имени М.А. ЛАВРЕНТЬЕВА

На правах рукописи

Асталов Николай Степанович

УДК 539.3

АНАЛИЗ ВЫПУЧИВАНИЯ СТЕРЖНЕЙ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК МЕТОДОМ ВОЗМУЩЕНИЙ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого

твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1992

Работа выполнена в Ордена Трудового Красного Знамени Институте гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН.

Научный руководитель: Доктор физико-математических

наук, профессор Корнев В.М.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Бондарь В.Д.

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Самсонов В.И.

Ведущая организация: НИИ Механики МГУ

Защита состоится "/¿> " ШОН^Р 1992г. в /У часов на заседании специализированного совета К 002.55.01 при Институте гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН (630090, Новосибирск 90, проспект академика Лаврентьева,15)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО РАН.

"Автореферат разослан "М- " 1992г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук

Ю.М.Волчков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА' РАБОТЫ

■ Актуальность теш. Расчеты упругих конструкций, особен-

сс.г..",,;возлежащих на упругом основании, на устойчивость имеют большое' значение при проектировании в промышленности. Повышение требований к надежности конструкций,■важными элементами которых являются стержни и цилиндрические оболочки, снижение материалоемкости таких конструкций при сохранении несущей способности требуют совершенствования методов расчета устойчивости.

Обычно, из-за неизбежных в процессе изготовления и монтажа малых несовершенств формы, реальные конструкции выдерживают меньшие критические нагрузки, чем идеальные. Например, в связи с широким использованием цилиндрических оболочек в качестве элементов конструкций появилась необходимость анализа-выпучивания, потому что реальные оболочки внезапно катастрофически разрушаются при нагрузках значительно меньших критических нагрузок для идеальных оболочек, причем разброс экспериментальных данных очень велик, особенно это проявляется при осевом сжатии цилиндрических оболочек. До сих пор является малоисследованным закритическое поведение стержня на упругом основании.

Поэтому является актуальным исследование выпучивания механических систем, особенно имеющих неустойчивое закритическое поведение, так как в этом случае потеря устойчивости реальной конструкции обычно эквивалентна ее разрушению.

Цель работы. Исследовать методом возмущений начальное закритическое поведение упругого стержня, лежащего на линейно или нелинейно упругом основании и провести анализ выпучивания пологих цилиндрических оболочек под внешним давлением при наличии возмущений.

Научная новизна. В диссертации исследовано однопарамет-рическое семейство математических моделей упругого основания. Показано, что две классические модели стержня на упругом основании являются частными случаями рассмотренного семейства. Установлены границы таких значений коэффициента жесткости основания, при которых закритическое поведение системы стержень-основание является неустойчивым.

Подробно исследовано начальное закритическое поведение продольно сжатого стержня, лежащего на физически нелинейно упругом основании, отклик которого меняется по кубическому ^ закону.

Методом возмущений построены явные формулы первых чле- . нов разложений критических нагрузок и форм потери устойчивости неидеальных пологих цилиндрических оболочек. На основе этого численно показано, что выпучивание пологих цилиндрических оболочек при наличии возмущений в процессе догружения сопровождается искажением участка спектра критических нагрузок и перестройкой форм выпучивания.

Практическая ценность. Выявлена принципиальная возможность экспериментальной проверки рассмотренных математических моделей стержня на упругом основании. Для каждой модели получены явные формулы для вычисления коэффициента жесткости основания, при котором закритическое поведение системы стержень-основание является неустойчивым. Практическое значение этих формул состоит в возможности их использования при выработке рекомендаций дая инженерных расчетов по устойчивости неидеальных систем. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании закритического поведения однонаправленных композитов при сжатии.

Аппробация работы. Отдельные результаты диссертации докладывались на заседании Ученого совета Института гидродинамики СО РАН, посвященном рассмотрению работ, выполненных по грантам (1990); на семинаре НИИ Механики МГУ по механике дефэрмируемого твердого тела под руководством чл.-корр. РАН Э.И. Григолюка (1991); на семинаре кафедры механики твердого тела НГУ под руководством проф. Б.Д. Аннина (1992).

В целом работа докладывалась на семинаре НИИ Механики МГУ по механике деформируемого твердого тела под руководством чл.-корр. РАН Э.И. Григолюка (1992), на семинаре Института гидродинамики СО РАН по механике деформируемого твердого тела под руководством проф. О.В. Соснина (1992).

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и библиографии, содержит 123 страницы, включая 17 рисунков и 5 таблиц. Список цитированной литературы включает 92 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко обрисован круг проблем и методов, связанных с решением задач упругой устойчивости конструкций, показана актуальность исследований по закритическому поведению сжатых стержней на упругом основании и выпучиванию несовершенных упругих цилиндрических оболочек, раскрыто содержание диссертационной работы.

В первой главе в рамках линейной теории упругости рассматривается продольно сжатый шарнирно опертый стержень, длина которого в процессе изгиба предполагается неизменной (рис. 1а). Подробное, исследование с помощью эллиптических интегралов закритических равновесных форм сжатой стойки, материал которой является линейно упругим, а ось изгибается в одной плоскости, проведено А.Н.Крыловым (1931). Полный анализ закритического поведения стержня, когда перемещения точек оси стержня параллельны одной плоскости, дан в монографии Е.П.Попова (1948). Не умаляя значения точных решений в теории упругих стержней, следует признать, что основные методы решения практических задач являются приближенными, причем большинство приближенных методов основано на линеаризации исходной или несколько преобразованной системы уравнений.

В отличие от известных точных решений в первой главе методом возмущений строятся приближенные формы равновесия изогнутой оси стержня и формула зависимости нагрузка-максимальный прогиб. В качестве исходного взято уравнение упругого равновесия при плоском изгибе стержня в виде

Е1 =Л (I)

где Е1 - изгибная жесткость, >£ - кривизна в данной точке упруго изогнутой продольной оси стержня, - изгибающий момент в этой же точке. В качестве малого параметра берется величина пропорциональная квадрату отношения амплитуды а прогиба к длине >С стержня. В § 2 для уравнения (I) методом возмущений получена следующая приближенная формула зависимости нагрузка-максимальный прогиб для продольно сжатого нагрузкой Р шарнирно опертого стержня вблизи первой критической нагрузки = Е1 (¿г/¿.)г

Показано, что если в точном выражении нагрузки через максимальный прогиб представить эллиптический интеграл в виде ряда, то первые три члена разложения совпадут с выражением (2). При нагрузках не превышающих нагрузку Эйлера более, чем на 3,5%, относительная погрешность при вычислении максимального прогиба по формуле (2) по сравнению с точным значением не превышает 0,4%. Если в формуле (2) учесть только -два первых члена, а именно такая зависимость приводится обычно в курсах сопротивления материалов, то относительная погрешность при вычислении максимального прогиба может в этом случае достигать 3,2%.

В первой главе на примере конкретной задачи, имеющей точное решение, отрабатывается метод возмущении, используемый в дальнейшем.

Во второй главе рассмотрен идеальный шарнирно опертый продольно сжатый стержень, лежащий на упругом основании (рис. 1а,б). Существенной особенностью рассматриваемых в этой главе задач является то, что некоторым значениям жесткости основания соответствуют несколько возможных форм выпучивания стержня (соответствующие задачи на собственные функции и числа имеют кратные собственные значения).

Впервые задачи о выпучивании стержня на упругих опорах и в упругой среде были рассмотрены Ф.С.Ясинским (1902), затем аналогичные задачи были исследованы Х.Циммерманом (1906), С.П.Тимошенко (1907), И.Г.Бубновым (1912), А.Н.Крыловым (1930), В.З.Власовым, Н.Н.Леонтьевым (1960) и др. В более позднее время этим вопросам были посвящены работы И.И.Туренко, В.Д.Харлаба (1975), В.Твергарда, А.Нидлмана (1980), Дж.У.Хатчинсона (1982), М.Потьер^ерри (1982) и др. Наиболее близко к исследованиям автора настоящей диссертации примыкают работы Дж.М.Т.Томпсона (1985), Ч.М.Вонга (1989), СЛеслау (1990) и А.М.Вааса (1990).

В § 4 второй главы в рамках трех математических моделей, две из которых являются классическими, методом возму-

щений построены формы потери устойчивости и исследовано за-критическое поведение системы, сжатый стержень-основание. Для кавдой модели получена и изучена зависимость нагрузка-максимальный прогиб, в том числе и для случая нескольких возможных форм выпучивания стержня при заданных параметрах основания. В каждой из рассмотренных моделей установлено существование таких значений коэффициента жесткости основания, при которых закритическое поведение системы стержень-основание является неустойчивым. В заключение параграфа рассмотрена обобщенная модель упругого основания, точнее, рассмотрено следующее семейство функционалов полной потенциальной энергии системы ^

[/Р = i-EI&dS - P(L-£)+

2 О 0О

где Z - расстояние между концами изогнутого стержня, d -коэффициент жесткости основания, функция , 04S4 L

определяет деформированное положение стержня. При d =О получим выражение полной потенциальной энергии стержня без упругого основания. Уравнение Эйлера, соответствующее зависящему от параметра уЗ функционалу (3), с точностью до членов четвертой степени относительно функции U"(s) и ее производных включительно, можно записать в виде

Е Elw„ W9ur„,)+Рц, fX#4}

При р>—0 и р>-1 из (3) получим выражения, которые взяты в качестве исходных для двух подробно рассмотренных в этом параграфе моделей. Первая модель ( /2>=0 ) соответствует случаю, когда реакция основания в точке £ стержня, получившей прогиб г*7(s) , равна dur и направлена по нормали к первоначально прямолинейной оси стержня; при /3 -L реакция основания также равна ¿ъг , но направлена в кавдой точке по нормали к изогнутой оси стержня. Для третьей модели в качестве исходного взято следующее дифференциальное уравнение

EI>cxy4-Py^-i-di/=0J

которое, после замены х на S и у на U" (рис. 1а) с точностью до членов четвертой степени, относительно функции

Ы(б) и ее производных включительно, совпадает с уравнением (4) при уЗ = -I. Показано, что с этой же точностью механический смысл отклика упругого основания при произвольном у8 можно трактовать как линейную комбинацию откликов оснований из моделей с/6=0и /3=1.

Решение нелинейного уравнения (4) в окрестности критических нагрузок разыскивается методом возмущений, в качестве малого параметра берется безразмерная величина £ пропорциональная (Cl/L)2 • Величина Р внешней нагрузки и функция прогиба стержня представляется в виде ряда

по степеням £ , причем каждый член разложения функции ^¿S) в свою очередь представляется в виде ряда по собственным функциям линеаризованной задачи

EIz*xiiSi + PtJ„ -h dur =0, ъГ(о)= ъ?„[о) = zj[L)=vss(L) =o.

Получена следующая формула зависимости нагрузка-максимальный прогиб вблизи критической нагрузки Ph , т.е. когда стержень изгибается по У) полуволнам

где "z. ■=- ¿(L/jl)**/El - безразмерный коэффициент жесткости основания. В этом случае форма 1*Гп(з) изогнутой оси стержня приближенно равна

4(s) - а[яп «г» - Ыт)«» 3jFl.

т.е. кроме гармоники с У) полуволнами, дающей основной вклад в форму ZJ~K прогиба стержня, появляется добавка (обертон) порядка (Q-/1 с Зу> полуволнами.

Показано, что в случае кратного собственного значения, т.е. для значения безразмерного коэффициента жесткости основания равного 1 = nz[)l+i)z кроме форм и fc^y возможны "сложные "формы прогиба и . В этих формах основной вклад дают гармоники с m и у>+£ полуволнами, а добавка (с малым параметром (О-//.)*" ) дает гар-

моники с числом полуволн равным п-Л , п + 2 , Зп , Зп + 1 , 3п+2 , Зп+З • Закритическое поведение стержня по формам и* , во всех трех моделях является неустойчивым. Для 1 = пг(п+±)2 и фиксированных значений нагрузки Р проведено сравнение максимальных прогибов стержня по различным формам. Показано, что только для модели с /3=2 невозможны формы выпучивания ЪУ* , г^*^ . Получены явные формулы для вычисления приближенных значений полной потенциальной энергии системы, потерявшей устойчивость по форме ъТ„ или ъТ* , /г) = ю , и проведено сравнение этих значений. Так, например, для системы принявшей форму выпучивания ъг„ получено следующее выражение полной потенциальной энергии

V* = £ г (3 -

Анализ выражения (5) показал, что для ]Ъ > 3 при любом I 0 закритическое поведение по любой форме выпучивания ЪГ„ устойчиво. При /3^2 (а этому условию удовлетворяют все три подробно рассмотренные в данном параграфе модели) для любой формы глГ„ всегда существует такое из промежутка <п2(п+±)2 , что закритическое поведение системы по форме гсГ„ при являемся неустойчивым (достаточно взять 1* >у>* ). На рис. 2 приведен график зависимости критической нагрузки = Р„/рд от коэффициента 1 для модели, в которой р> = 2. Отрезки прямых, вблизи которых закритическое поведение системы устойчиво, проведены на рис. 2 сплошной, линией, иначе - пунктиром. Для р> < 2 значение % , при котором закритическое поведение системы по форме г*Г„ становится безразличным, меньше аналогичного значения 1 в случае /3-2 (соответствующие точки помечены на рис. 2 крестиком). Лишь для /3 > 11/4 закритическое поведение системы вблизи первой критической нагрузки является устойчивым для любых значений 1. . Доказано, что учет следующего члена в разложении внешней нагрузки приводит к сужению области устойчивости. На рис. 3 для модели с р> = 0 схематично изображена часть (у < Лп^/з) графика зависимости безразмерного параметра внешней нагрузки Л„=Л„от безразмерных максималь-

ного прогиба и коэффициента 2 , которая описывает устойчивое и неустойчивое закритическое поведение идеальной системы, принявшей форму ъГ„ . При

1 = 0 получается классическое решение задачи о выпучивании упругого стержня без основания, причем закритическое поведение такой системы устойчиво.

В § 5 рассмотрено закритическое поведение стержня на физически нелинейно упругом основании. В качестве исходного взято выражение полной потенциальной энергии системы в виде

V=ki\*zd!> - P(L- £)+JJ(i- u^dbrd i, (6)

О 00

где параметры d и ¿± учитывают линейную и соответственно нелинейную составляющие жесткости основания. Получена следующая формула зависимости нагрузка-максимальный прогиб по форме ¿<ги

где ъл - d± (¿./эг)6]EI , В этом случае дая конкретного /? полуплоскость (i^t) параметров IZ-O , разбивается прямой ¿г±-Л>гг)г = 0 на две части: для точек (1t , лежащих в одной части, закритическое поведение системы по форме ЬГ„ в первом нелинейном приближении является устойчивым, для точек другой - неустойчивым. На рис. 4 схематично изображен график первых критических нагрузок в зави-

симости от параметров "гьо , . Символом Н» ,

обозначены прямые, вблизи которых (t=n2l»n)2*<!onst» и Р - изменяются) кроме форм , возможны формы

выпучивания , , строение которых аналогично

приведенному в § 4. Густо заштрихованы участки плоскостей критических нагрузок (рис. 4), вблизи которых закритическое поведение системы по форме неустойчиво. Для всех

возможных форм вычислены в первом нелинейном приближении коэффициенты форм прогиба и получены приближенные формулы полной потенциальной энергии системы. Так, например, для формы прогиба ъГ„ получено следующее выражение полной потенциальной энергии

ип = -вы

Получены формулы для сравнения амплитуд прогибов стержня при фиксированных значениях р , 1 = г>2(п+1)2 для различных возможных форм.

В третьей главе методом возмущений исследуются задачи линейной теории потери устойчивости неидеальных пологих цилиндрических оболочек. Известно, что наличие малых начальных геометрических неправильностей оболочечных конструкций вызывает преждевременное выпучивание (см. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. (1978)). Начальные прогибы являются одной из основных причин громадного разброса экспериментальных данных.

В § 6 рассматриваются оболочки, нагруженные поперечным и гидростатическим давлением, а также продольно сжатые оболочки. Собственные числа (критические нагрузки) и собственные фикции (формы потери устойчивости) неидеальных оболочек разыскиваются в виде асимптотических рядов по малому параметру, характеризующему амплитуду начальных неправильностей. Изучается искажение спектра в линейных задачах устойчивости неидеальных цилиндрических облочках, причем за основу принят спектр в задачах устойчивости идеальных цилиндрических оболочек. В качестве исходной для неидеальных пологих оболочек взята система уравнений типа уравнений Маргерра-Муштари-Вла-сова, которая при безразмерных обозначениях имеет вид

я'**» =о,

аа{=^ * (ч* %+- * ^ ^;,

, р = А т>'= /А)2

ь Ь ' Г Ей1/? ' 12 (1-1*) >

Здесь Ы и ЪТ* - безразмерные и размерные нормальные прогибы; ^ и - безразмерные и размерные функции напряжений; и 7аТ° - безразмерные и размерные функции, харак-

теризующие начальные неправильности оболочек, причем ку1ах[га°|=1 > - малый параметр, пропорциональный амплитуде начальных неправильностей;'/^ - толщина, радиус и длина цилиндрической оболочки, - параметр, определяющий тонкостенность конструкции; Е и ^ - модуль Юнга и коэффициент Пуассона; постоянные составляющие усилий в продольной и окружном направлении пропорциональны параметру нагружения ^ ; а , - коэффициенты.

Рассмотрены оболочки, нагруженные постоянным поперечным давлением ( Ссг = -I, <2^ = 0), постоянным гидростатическим давлением ( Осг = -I, ¿2.^ = -1/2) и продольно сжатые оболочки ( а2= 0, ¿2,= -I).

Получены явные формулы для первых членов разложений критических нагрузок и форм потери устойчивости. Рассмотрено три примера: в первых двух начальная неправильность зависит только от продольной координаты; в последнем начальная неправильность представляется в виде двойного ряда Фурье.

В заключительном параграфе диссертации на основе результатов, полученных в § 6, проведен численный анализ процесса выпучивания пологих цилиндрических оболочек, нагруженных поперечным или гидростатическим давлением, при заданных возмущениях. В качестве возмущений считаются заданными малые поперечные нагрузки. Методика численного анализа процесса выпучивания основывается на построении решения в виде ряда при последовательном догружении-. Для каждого уровня нагружения решение разыскивается в виде ряда по собственным формам потери устойчивости неидеальной системы, причем в приближенном решении удерживаются все равноправные степени свободы системы с распределенными параметрами. Для этого сравниваются абсолютные величины коэффициентов оС^ ряда Фурье и удерживаются все члены разложения, для которых

Щ Ь $ тах Щ , (7)

где постоянная р выбиралась равной 1/2, 1/3, 1/10. Удерживая конечное число членов ряда, мы подменяем систему с распределенными параметрами системой с конечным числом степеней свободы, которые все равноправны. Точнее, на каждом шаге последовательного нагружения выполняется: I. численное

построение начального участка спектра критических нагрузок неидеальной системы. 2. выбор равноправных степеней свободы, построение решения, учитывающее возможные упрощения. 3. исследование устойчивости полученного состояния.

Критические нагрузки и соответствующие им формы потери устойчивости неидеальной системы при конечных прогибах определяются методом возмущений. За малый параметр выбрана амплитуда нормального прогиба. Вычисленные собственные формы потери устойчивости с предыдущего шага нагружения используются для построения решения на последующем шаге нагружения. Вычисления заканчиваются при выполнении хотя бы одного из двух условий: а) амплитуда нормального прогиба достигает заданной величины, б) значению параметра нагружения соответствует неустойчивое закритическое поведение системы.

В таблице приведены результаты расчетов пологих цилиндрических оболочек, нагруженных равномерным внешним давлением и сравнительно небольшим осциллирующим внешним нормальным давлением

100 /7=4

В таблице использованы следующие обозначения: Л* -критическая нагрузка неидеальной системы; /9* - число волн по окружной координате для наименьшей критической нагрузки линейной задачи; flj - номера форм, удовлетворяющие соотношению (7) на последнем шаге догружения, рядом.поставлен знак iin или dos , подчеркнутый номер формы соответствует maxfoti). В таблице приведены результаты расчетов для L/& = I.

Таблица

% 9 0,01 0,1 I

25 (Л*= 6) Г 0,97 0,92 0,62

5d ,5s ,6d,6.s 5 s ,6 d ,65 4з ,5a ,6s

Все результаты вычислений были продублированы также при

ф = 1/2 и р = 1/10, что позволяет утверждать, что чаще всего желательно ограничиться величиной параметра р 4 1/3 при определении числа равноправных степеней свободы.

На рис. 5 для указанных параметров представлены характерные прогибы по окружной координате. Замечена перестройка форм выпучивания при догружении. Эта перестройка связана с искажением спектра нелинейной системы при конечных прогибах по сравнению с исходной линейной системой.

В приложении приведен список часто использованных в работе определенных интегралов.

В заключении перечислены основные результаты диссертации:

1. Методом возмущений построены формы выпучивания и получена формула зависимости нагрузка-прогиб дои продольно сжатого шарнирно опертого идеального стержня.

2. Исследовано однопараметрическое семейство математических моделей упругого основания. Показано, что две классические модели стержня на упругом основании являются частными случаями рассмотренного семейства. Установлено существование таких значений коэффициента жесткости основания, при которых закритическое поведение системы стержень-основание является неустойчивым.

3. Подробно исследовано закритическое поведение продольно сжатого стержня, лежащего на физически нелинейном упругом основании.

4. Выявлена принципиальная возможность экспериментальной проверки рассмотренных математических моделей. Для каждой модели получены формулы для вычисления коэффициента жесткости основания, при котором закритическое поведение системы стержень-основание является неустойчивым.

5. Показано, что выпучивание пологих цилиндрических оболочек в процессе догружения сопровождается искажением участка спектра критических нагрузок и перестройкой форм выпучивания.

Основное содержание диссертации отражено в работах:

1. Астапов Корнев В.М. Критические нагрузки неидеальных пологих цилиндрических оболочек // ПМТФ, 1984, .!« 3.

- с. 140-146.

2. Астапов Н.С. Закритическое поведение стержня // Динамика сплошной среды: Сб. научн. тр./ СО АН ССС^, Ин-т гидродинамики. - 198У. - Вып. 92. - с. 14-21.

3. Корнев В.М., Астапов Н.С. Закритическое поведение идеаль-. ного стержня на упругом основании // Девятая зимняя

школа по механике сплошных сред, Ин-т механики сплошных сред УрО АН СССР, 1991: Тезисы докладов - Пермь, 1991.

- с. 89-90.

' "~~wmwmr

4 16 36

144 %

Р/с. 2

Рис. 3

R/h =25; 0=0,1; g = 1/2

1=0,85;—92

Рис. 5