Задачи нелинейного деформирования элементов конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

^ У/, №.

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Сибирское отделение Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева

у

УДК 539.3 На правах рукописи

ВОЛЧКОВ ЮРИИ МАТВЕЕВИЧ

ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

Диссертация на соискание ученой степени доктора

физико-математических наук по специальности 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

¡1 Ул^л ученую степ™

тгг;—у^-:? • Г

начальник

Рос

Л

Новосибирск гУ^. 1999 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ..........................................................5

Глава 1. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОГО ВРЕМЕНИ ВЫПУЧИВАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ........................36

§1. Двухслойная модель оболочки. Уравнения технической теории оболочек........................................................38

§2. Вычисление критического времени осесимметричного выпучивания цилиндрических оболочек при установившейся ползучести.47

§3. Несимметричное выпучивание цилиндрических оболочек при ползучести......................................................61

§4. Выпучивание трехслойных цилиндрических оболочек .........67

§5. Выпучивание подкрепленных цилиндрических оболочек при ползучести при совместном действии бокового давления и осевой силы ...........................................................82

§6. Уравнения изгиба пластин при неустановившейся ползучести . 97

§7. Сравнение результатов решения задач неустановившейся ползучести пластин и оболочек по "точным" и приближенным соотношениям.................................................108

Глава 2. ПРЕДЕЛЬНЫЕ И БИФУРКАЦИОННЫЕ НАГРУЗКИ СОСТАВНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ.............117

§8. Метод последовательных нагружений и параметр времени в задачахупругопластического деформирования ................118

§9. Предельная нагрузка цилиндрической оболочки с упругими шпангоутами под действием гидростатического давления .... 120

§10. Определяющая система уравнений осесимметричного упругопла-стического деформирования оболочек вращения .............126

§11. Предельные нагрузки составных оболочек вращения ........146

§12. Бифуркационные нагрузки составных оболочек вращения ... 161

Глава 3. РЕШЕНИЕ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НА ОСНОВЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО ПОЛИНОМАМ ЛЕЖАНДРА ................................166

§13. Уравнения упругого слоя в первом приближении ............167

§14. Решение плоских задач с ипользованием уравнений упругого слоя ..........................................................177

§15. Моментные конечные элементы с условиями сопряжения по граням .......................................................191

§16. Задача о растяжении плоскости с разрезом ..................204

§17. Решение задач о растяжении и сдвиге упругой прослойки ... 207

§18. Итерационная процедура самоуравновешенных невязок......212

§19. Вычисление плоских равновесных форм тонких упругих стержней методом самоуравновешенных невязок...................228

Глава 4. ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ .................................243

§20. Алгоритм решения плоской динамической задачи изотропной теории упругости в декартовой системе координат ..........245

§21. Алгоритм решения динамической упругопластической задачи для тел вращения при неосесимметричном нагружении .....249

§22. Аппроксимация уравнений упругопластического деформирования (1-й способ) ..................................................264

§23. Аппроксимация уравнений упругопластического деформирования в задачах динамики (2-й способ).............................270

§24. Моделирование процессов хрупкого разрушения .............274

§25. Примеры численных расчетов ...............................277

§26. Задачи динамики упругопластического деформирования при больших деформациях .......................................289

§27. Квазиодномерная модель высокоскоростного соударения.....303

ЗАКЛЮЧЕНИЕ..................................................310

ЛИТЕРАТУРА....................................................313

ПРИЛОЖЕНИЕ..................................................342

ВВЕДЕНИЕ

Широкое применение в технике элементов конструкций, работающих под воздействием интенсивных теплосиловых нагрузок, вызывает необходимость исследования их напряженно-деформированного состояния. Экспериментальное исследование такого рода конструкций не всегда возможно, но даже в тех случаях, когда это можно сделать — цена таких экспериментов весьма высока. Поэтому актуально исследование процессов деформирования элементов конструкций на основе их математического моделирования — построения аналитических и численных решений нелинейных задач механики деформируемого твердого тела, создания математических моделей и методов решения задач, сформулированных на основе этих моделей.

Целью диссертационной работы является:

• исследование закономерностей неупругого деформирования элементов конструкций на основе математических моделей,

• разработка алгоритмов решения задач деформирования элементов конструкций в условиях ползучести и упругопластического деформирования при интенсивных теплосиловых нагрузках,

• решение прикладных задач.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

В первых двух главах решены задачи неупругого деформирования оболочек. Построены конечные выражения для критических времен выпучивания широкого класса цилиндрических оболочек в условиях ползучести с использованием двухслойной модели оболочки. Решены задачи предельного равновесия и устойчивости оболочек вращения при упру-гопластическом деформировании. Проведено сопоставление решений по приближенным и точным соотношениям упругопластического течения.

В третьей и четвертой главах решены плоские статические задачи с особенностями в напряженном состоянии и задачи динамики упругопластического деформирования тел вращения при интенсивных теплосиловых нагрузках.

Задачи упругого деформирования пластин и оболочек при использовании гипотезы прямой ( или ломаной ) нормали сводятся к двумерным. Не так обстоит дело при неупругом деформировании с учетом деформаций пластичности и ползучести. Нелинейный характер определяющих соотношений не позволяет свести эти задачи к двумерным при гипотезах о распределении деформаций по толщине оболочки, аналогичных тем, которые используются при решении задач упругого деформирования. Поэтому большое внимание исследователей привлекали задачи построения приближенных моделей и определяющих соотношений, позволяющих свести задачи неупругого деформирования оболочек и пластин к двумерным. Ранее, в 60-70-х годах, одной из основных причин, привлекавших исследователей к этой проблеме, были трудности с реализацией численного решения трехмерных задач на ЭВМ, поскольку это требует больших мощностей вычислительных машин (большого объема оперативной памяти и быстродействия). С быстрым развитием вычислительной техники эта причина становится менее актуальной. Однако есть и другое, не менее важное, обстоятельство, оставляющее задачи построения приближенных моделей, приближенных определяющих соотношений, и применение их при решении конкретных задач в ряду актуальных. На основе таких моделей можно строить аналитические решения и использовать их в прикладных задачах. Следует также учитывать неизбежные погрешности при написании исходных определяющих соотношений, в которые входят константы, определяемые из эксперимента с определенной погрешностью. Особенно это относится к экспериментам по определению свойств материалов в условиях ползучести. С этой точки зрения применение приближенных соотношений также оправдано [219].

Задачи устойчивости тонкостенных конструкций имеют большое практическое значение и их решению посвящеы многочисленные исследования как отечественных авторов, так и зарубежных.

Даже при постановке задач устойчивости тонкостенных конструкций, работающих в области упругих деформаций, используются различные критерии устойчивости и различные методы решения этих задач. Достаточно полное представление о постановках задач устойчивости упругих тонкостенных Еще большее разнообразие критериев применяется при решении задач устойчивости конструкций, работающих в условиях ползучести, что объясняется сложным характером их поведения как вследствие геометрической нелинейности, так и нелинености определяющих соотношений. При постановке задач устойчивости при ползучести существенное значение имеет характер поведения материала при постоянном

напряжении. Можно выделить два основных типа поведения материалов при ползучести: 1) ограниченная ползучесть (бетоны, композитные материалы) и 2) неограниченная ползучесть (металлы при повышенных температурах).

"Ползучесть металлов неограничена в следующем смысле: при сколь угодно малом напряжении за достаточно большое время деформация достигает сколь угодно большой величины. В этом смысле любая система, находящаяся в условиях ползучести, неустойчива" [219]. И поэтому тонкостенные конструкции (стержни, пластины, оболочки), материал которых обладает свойствами ползучести, в отличие от конструкций, работающих в области упругих деформаций, теряют устойчивость даже при малых нагрузках, если они находятся под их воздействием достаточно продолжительное время.

Постановки задач устойчивости и методы их решения для конструкций из материалов обоих типов можно найти в обзорах JI.M. Курши-на[179], Ю.В. Немировского [203], Н.Х. Арутюнянас соавтрами [17], С.А. Шестерикова и A.M. Локощенко [181, 276], монографиях Ю.Н. Работно-ва [219], И.Г. Терегулова [250], P.C. Санжаровского [242] и в ряде работ обзорного характера [172,178,185,262].

Несмотря на большое разнообразие используемых критериев, можно выделить два основных подхода к исследованию устойчивости конструкций при ползучести:

1) исследование поведения идеальной конструкции при воздействии на нее в некоторый момент времени определенного класса возмущений и

2) исследование процесса деформирования конструкции, имеющей начальные ( заданные в некотором классе ) отклонения от идеальной формы.

Привести все существующие постановки задач устойчивости конструкций при ползучести в рамках настоящего введения не представляется возможным и вряд ли целесообразно в виду имеющихся и указанных выше обзоров. Ниже приводится краткий обзор подходов и методов решения задач устойчивости и выпучивания оболочек при ползучести.

Одними из первых работ по устойчивости стержней при ползучести были работы Шэнли [332, 333] и Джерарда [292, 293], в которых предлагалось для вычисления критического времени выпучивания использовать результаты, полученные в задачах устойчивости упругих стержней. В работе [333] критическое время сжатого по оси идеально прямого

стержня было предложено определять по формуле, дающей классическую эйлерову нагрузку, заменяя модуль упругости на касательный модуль, определенный по семейству изохронных кривых. В работе [292] предлагалось использовать секущий модуль, который также определяется по семейству изохронных кривых. При подходе Джерарда получается, что полная деформация стержня в момент потери устойчивости оказывается равной критической деформации при упругой потери устойчивости. В дальнейшем этот подход был перенесен Джерардом на задачи устойчивости оболочек при ползучести. В работе [294] исследуется ползучесть алюминиевых цилиндров, находящихся под действием давления и кручения. Предполагается, что потеря устойчивости происходит, когда деформации ползучести достигают критических значений, определенных из решения упругопластической задачи (критерий критической деформации). Автором получено удовлетворительное соответствие определенного таким образом критического времени экспериментальному. Критические замечания о подходе Джерарда высказаны Н. Хоффом в работе [302]. Основные его замечания сводятся к тому, что, во первых, критическая деформация, определяемая упругопластическими свойствами, зависит от того, какой модуль (касательный или секущий) используется в решении задачи, и, во вторых, методика определения критического времени по экспериментальным данным, используемая Джерардом, допускает достаточный произвол.

Ю.Н. Работновым и С.А. Шестериковым [217,268,271,318] были сформулированы критерии устойчивости стержней и пластин при ползучести, которые получили название условных критериев [219]. Этот подход основан на линеаризации соотношений ползучести с упрочнением в предположении, что напряжения и деформации в возмущенном состоянии мало отличаются от тех же величин в основном состоянии. Уравнения для стержней и пластин в такой постановке получены Ю.Н. Работновым и С.А. Шестериковым [217,271], для оболочек Л.М. Куршиным [168] и Бар-ташевичюсом А.Ю., Шестериковым С.А. [22]. Формулировка этих критериев устойчивости зависит от выбираемого класса возмущений, что и явилось основной причиной, по которой они были названы условными. В монографии Ю.Н. Работнова [219] и работах Л.М. Куршина [172, 178] дается анализ этих критериев и отмечается [219], что они дают " чрезвычайно заниженную величину критического времени по сравнению с экспериментальными данными". Некоторые особенности, возникающие при таком подходе к решению задач устойчивости при ползучести, обсуждаются в работе Н. Хоффа [304]. Распространение условных кри-

териев на задачи устойчивости оболочек при ползучести содержится в работах JI.M. Куршина и А.П. Кузнецова [151-153, 163-165]. В работах Г.В. Иванова [106-108] также иссследуется устойчивость основного состояния, соответствующего идеальному сжатому стержню, по отношению к некоторому классу возмущений. В работах В.Д. Клюшникова и М.Н. Кирсанова [135-137,139] при формулировке критериев устойчивости рассматриваются условия неединственности решения краевой задачи для производных высокого порядка и вводится понятие псевдобифуркационной точки процесса деформирования. При этом первая точка из последовательности бифуркационных совпадает с критерием Ю.Н. Работнова и С.А. Шестерикова [217].

Развитая в работах С.А. Шестерикова [270, 271] техника линеаризации соотношений ползучести и сведения задачи о вычислении прогибов и напряжений в пластине к системе двух нелинейных уравнений, обобщение этой техники на задачи оболочек [22, 168] позволили решать задачи устойчивости при ползучести в достаточно полной постановке, как задачи о развитии начальных прогибов ( задачи выпучивания ).

Критическое время в этом случае соответствует моменту достижения характерным прогибом или его скоростью некоторого предельного значения ( это значение может быть и бесконечным). Если об устойчивости судить по критическому времени оболочки, имеющей начальные неправильности, то при этом следует иметь в виду следующие два обстоятельства. Во-первых, в процессе деформирования в некоторый момент времени может произойти бифуркация ( смена одной равновесной формы другой ). Этот момент может быть меньше критического времени выпучивания. Во-вторых, как правило, не известны ни величина начальных неправильностей, ни их распределение по срединной поверхности оболочки. Изучению влияния формы начальных неправильностей на величину критического времени выпучивания оболочки, находящейся под действием осевой силы и внешнего давлния, посвящены работы [171-175, 177, 178]. В этих работах исследовалось влияние на критическое время несимметричной составляющей в начальном прогибе вида wq = (1/2)/о cos(2aa;) + (1/2)/о* sin(a:r) cos(/?y). Из результатов этих исследований следует, что при определенном уровне нагрузки несимметричная составляющая начального прогиба существенно снижает величину критической деформации ( в задачах выпучивания оболочек при законе ползучести с упрочнением вида р = Вр~аап от дифференцирования по времени можно перейти к дифференцированию по параметру £ = EBan~lt — безразмерной деформации ползучести основного состо-

яния ). В этих же работах предложена методика определения начальных неправильностей оболочки с некоторой степенью достоверности на основе решения упругой задачи и экспериментальных данных. В [278] исследовалось влияние на критическое время более высоких гармоник в несимметричной составляющей начального прогиба. Из проведенных численных расчетов следует, что их влияние на величину критического времени незначительно.

В процессе выпучивания может наступить момент времени, в который возможна смена равновесных форм. Как правило, это время меньше, чем время достижения прогибом или его скоростью предельных значений. В работах Э.И. Григолюка и Ю.В. Липовцева [87-89] исследована потеря устойчивости осесимметричной формы деформирования сжатой по оси цилиндрической оболочки. Выпучивание происходит вследствие заданного начального осесимметричного прогиба. Для основного осесим-метричного состояния, которое вычисляется пошаговым методом, записываются уравнения нейтрального равновесия. Условия существования нетривиального решения этих уравнений определяют момент бифуркации. Было установлено, что в зависимости от уровня приложенных напряжений может реализовываться два вида потери устойчивости. При определенных уровнях напряжений в некоторый м�