Нелинейная динамика и пробивание ортотропных пластин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

«3 ОД

На правах рукописи

~ / МДР 2000 Для служебного пользования

Экз. № -/3.

СОЛДАТОВ Андрей Сергеевич

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА И ПРОБИВАНИЕ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН

Специальность 01.02.06 - «Динамика, прочность машин, приборов и

аппаратуры»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 1999г.

Работа выполнена в «МАТИ» - Российском государственном технологическом университете им. К.Э. Циолковского.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор,

член-корреспондент РАН В.В.Васильев.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.Г.Горшков, доктор технических наук, профессор Т.Д.Каримбаев.

Ведущая организация: Центральный научно-исследовательский институт специального машиностроения.

Защита состоится « Э » 2000 г. в и ча-

сов на заседании диссертационного совета К 063.56.02 при «МАТИ» - Российском государственном технологическом университете им. К.Э. Циолковского по адресу: 121552, г. Москва, ул. Оршанская, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке «МАТИ» -РГТУ им. К.Э.Циолковского.

Автореферат разослан «_ 1999 г.

Ученый секретарь щссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

С.А.Солдатов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Развитие авиационной и космической (/ техники идет по пути возрастающего применения композитных материалов на основе высокопрочных волокон и полимерных матриц. Обладая высокими удельными прочностными и жесткостными характеристиками, такие материалы позволяют повысить весовую эффективность создаваемых конструкций по сравнению с конструкциями из традиционных материалов. При этом важной задачей является создание методов расчета, учитывающих особенности работы этих материалов. В настоящее время созданы достаточно эффективные методы расчета композитных конструкций при действии статических нагрузок. Однако сравнимых по эффективности методов расчета при действии ударных нагрузок не существует, хотя и наблюдается повышенный интерес к данной области. Ударные нагрузки и, в частности, локальные нагрузки с характерной скоростью до 300 м/с, действующие на элементы летательных аппаратов, возникают при их эксплуатации довольно часто. Они имеют место, например, при воздействии камней на элементы планера самолета при взлете и посадке на грунтовых аэродромах, при отрыве и ударе оторвавшейся лопатки компрессора по корпусу двигателя, при столкновении летательного аппарата с птицами во время полета и т.п. Соответствующие методы расчета должны дать картину поведения конструкции при ударе, определить возможные повреждения - пробой, вмятины, разрушения и т.д., что является важным как для проектирования, так и для оценки эксплуатационной живучести летательных аппаратов. Необходимость решения подобных задач возникает и при создании защитных устройств с использованием экранов, кожухов, щитков. Опыт их применения показывает, что для рассматриваемых скоростей эффективно работают тонкостенные конструкции. С помощью моделирования нормального удара пластин мож-

но предсказать пробивание указанных элементов без проведения натурных испытаний.

Поэтому разработка методики расчета тонких композитных пластин при ударе и пробивании представляется актуальной как в теоретическом, так и в прикладном отношении.

Целью работы является построение метода численного моделирования локального нормального удара и пробивания тонких композитных пластин, позволяющего оценивать работоспособность авиационных конструкций и эффективность защитных экранов.

Достоверность результатов исследования подтверждена сравнением численного и аналитического решений с оценкой сходимости и устойчивости разработанного алгоритма, решением тестовой задачи, сравнением расчетных и экспериментальных результатов.

Научная новизна:

1) получена геометрически нелинейная система уравнений движения тонких ортотропных пластин с выделением в явном виде сдвигового краевого эффекта;

2) предложен способ численного формирования матрицы коэффициентов разрешающей конечно-разностной системы уравнений с использованием аналитической записи исходных форм дифференциальных уравнений, граничных условий и разностных аппроксимаций производных;

3) разработана феноменологическая модель пробивания металлических и композихных-пластин;--

4) получены решения задач динамики пластин при локальном ударном нагружении. _____

~ Практическая ценность. Предложенные методики могут найти применение на стадии проектирования тонких металлических и композитных конструкций и защитных экранов для численного моделирования их

поведения, защитной способности при нормальном ударе и пробивании, а также для определения баллистического предела.

Апробация работы. Основные положения работы были доложены и обсуждены на: Молодежной научной конференции "ХХШ Гагаринские чтения", Москва, МАТИ им. К.Э. Циолковского, 1997 г.; Российской научно-технической конференции "Новые материалы и технологии", Направление: "Интенсивные технологии в производстве летательных аппаратов", Москва, МАТИ-РГТУ, 1997 г.; Всероссийской молодежной научной конференции "XXIV Гагаринские чтения", Москва, МАТИ-РГТУ, 1998 г.; Международной молодежной научной конференции "XXV Гагаринские чтения", Москва, МАТИ-РГТУ, 1999 г.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в тезисах перечисленных докладов и двух статьях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и содержит 131 страницу текста, 57 страниц иллюстраций, пять таблиц. Библиографический список включает 109 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность задачи моделирования удара и пробивания конструкций летательных аппаратов и защитных экранов. Дана краткая аннотация всех разделов диссертации.

В первой главе представлен краткий обзор публикаций по теориям механического удара и моделированию ударных процессов. Большой вклад в эту область внесли В.Л.Бидерман, А.С.Вольмир, В.Гольдсмит, А.Г.Горшков, Н.А.Кильчевский, А.Я.Сагомонян, С.П.Тимошенко и др. Широко известны монографии О.Д.Алимова и др., Г.С.Батуева и др.,

С.А.Зегжды, Я.Г.Пановко и др. по различным разделам проблемы динамики удара. Экспериментальным и теоретическим исследованиям условий и форм разрушения металлических и композитных материалов при локальных ударных нагрузках посвящены работы В.Гольдсмита, Дж.А.Зукаса, Л.Б.Грещука, А.Б.Киселева, В.Ф.Максимова, Р.А.Ьа§асе и др. Поведение конструкционных материалов при динамическом нагружении подробно обсуждается в работах Л.П.Орленко, К.Ка\уа1а. Вопросы ударной прочности этих материалов освещены в трудах 5.АЬга1е. Моделированию импульсного нагружения пластин посвящены работы В.Г.Баженова, Н.В.Сметанкиной, С.Ю.Сотрихина, А.Н.Шупикова и др. Обширные теоретические и экспериментальные исследования по проблеме удара и проникания жестких ударников в деформируемые преграды подробно освещены С.О.СогЬеП, 5.11.Яе1с1, W.Johnson. Задачей моделирования локального удара по композитным пластинам занимались О.К.АшЬиг, .Ш^атев, С.В.Ргазаё, И.Уагш. Ударное воздействие на пластины с возможностью их пробивания исследовано в работах В.Гольдсмита, С.Т.Бип, Б.У.Рои!, Ш.Утзоп, 1.М^а1кег.

В заключение сформулированы и обоснованы цели и задачи настоящей работы.

Во второй главе приводятся основные соотношения нелинейной динамики тонких ортотропных пластин, включающие геометрические, физические соотношения и уравнения движения, записанные в перемещениях.

Рассматривалась пластина, отнесенная к декартовой системе коор--динат^-Оси—х—и—у—еовпадактпиправлениями ортотропии, ось г - нормальна к некоторой начальной плоскости г - О, которая отстоит от нижней поверхности пластины на величину е. На эту поверхность действует давле— ние р(х,у, Т ). В качестве исходных приняты уравнения нелинейной теории упругости, которые были упрощены введением следующих гипотез:

• предельные мембранные деформации пластины малы, и можно пренебречь нелинейными членами, содержащими квадраты и произведения малых деформаций по сравнению с линейными;

• принята равной нулю деформация в направлении, нормальном к плоскости пластины, а трансверсальные деформации сдвига осреднены по толщине пластины;

• трансверсальные напряжения малы по сравнению с напряжениями, возникающими в плоскости пластины, и определяются линейными соотношениями упругости.

Полные перемещения выражены через пять функций и, V, 9Х, 9у, зависящих от двух переменных х и у.

Уравнения движения пластины получены из уравнений нелинейной теории упругости в предположении, что при нормальном ударе существенны только инерционные члены, содержащие прогиб \у.

В результате, записана разрешающая система рассматриваемой нелинейной теории динамического нагружения пластин

Э\у дг V/

дх ду2 '

(1)

(2)

(3)

д2д

э2е„

1 ТГ^Г + (°12 + ^ °

Э2В '

Эх

С021+0зз)

дхду

33'

Эу

ех +

зЧ

дхду

д2 е.

22'

2 +Е)33'

э2е.

Эх/

= 0; (4)

где

Р =

д2 уу Эх2

Эи

Эх + 2

Эу

/л х2

9х

Эх

2 _КУ

Э2 w

в,

Эи ]_ Эх 2

V

о\\

Эх.

+ В,

В,

Эу

Эу + 2

^Элу4 2

Эу

Эу _1_ГЭ Эу ПЭу.

Зх

В„

Э и Э Э

Эх2

■ + ■

Эх Эх2

+ (В12+Взз)

Эг V Эw Э2 w ■ +

дхду Эу дхду.

+ В

^ д2 и Э\у д2 уЛ +

ч

<Э\у +-

Эу + В

Эу2 Эх ду2)

(В21+В33)

Э2 и Эw Э2\у

ЭхЭу Эх дхду.

+ В

22

Э V Э\У Э \У • +

Эу2 Эу Эу2

''э2 V Зw

Эх2 Эу Эх2

„ Э2w

" р эТг4"р;

Здесь Ву, Оу, К| - соответствующие обобщенные жесткости пластины, Вр -инерционный коэффициент. Эта система учитывает деформацию поперечного сдвига. Уравнения (1) - (3) описывают движение по координатам х, у, 2, а (4), (5) - повороты относительно осей у, х.

_Численное решение полученныч-уравнений-сопряжено-хттаестньь"

ми трудностями, связанными с наличием сдвигового краевого эффекта. Это приводит к построению плохо обусловленных систем уравнений и, так на-

зываемому, эффекту сдвигового запирания при расчете. Поэтому уравнения (3) - (5) были преобразованы с выделением быстро затухающих решений.

2

+

Для этого с помощью операторного метода они сведены к одному уравнению относительно функции перемещений Б.

О,

д4¥

+ 2(012+20„)-

Э4Р

дх4 12 "дх2ду:

д4г Зу4'

■э,

V "-у

д6¥ ' дх4ду2

К дх Кх 5у

.ЭпО,

к„ + К.

0,,0^+0З2З-(0,2+0зз)2

о г

дх2ду4

•X (6)

р-

При этом изгибные перемещения выражаются через Р следующим образом

/ . тЗт

8Х =- —+ — Эх Ку

е =-—+ 1

и,

о,

Э3Р ЭхЭу2

д3¥

■+В

ду Кх V Эх2 ду

33 Эх3,

Эу

1 эт

—(012 + 0зз)——

Кх дхду

1 ~ ч

— (02,+0зз)——;

К дх ду

- 1

= р--

к.

Б

д2Р

дЧ

II - 1 + Е*зз , I

Эх ду-) К

з2Рч

П г» 92р ~

°22Т-Т+033 д

ду дх'

КхКу

0П022+0зз-(0,2+ВЗЗ)2

зт

Э4Р

■+о„о,

д4т

дх2ду2 " "Эх4 " " ду" Уравнение (6) с помощью асимптотического метода приведено к

виду

а4р Э4Р а4р

— + 2фа + 2В3}) + 022 — = р .

Эх4

Эх Эу

Зу4

Выражения для обобщенных перемещений содержат затухающие краевые составляющие, т.е.

6Х = -—+ — Зх Ку

У 9у Кх

О,

О

83Р дхду2

д3¥ 11 Эх2 Эу

д3¥

33 , 3

Эх / Э3Р

Эу

1 Э3Р

К дх ду '

\

\

г

\

1 32¥ „ 1 Г д2¥ „ Э^

где, например, для края х = О

V I ~ 22 = 2 33 - 2

К V ду Эх

\ЛГ

бЭ,, Б33

к 033

= 33

9ук=А(у)е"$х; кД Вп Кх

Здесь б = ^/Ку//033 - показатель изменяемости по оси х, а Цу) - функция

интегрирования, определяемая из условий закрепления. Записаны выражения для различных вариантов этих условий.

Проведен анализ краевых составляющих решения, позволивший в дальнейшем учитывать влияние краевого эффекта только на угол поворота в плоскости края. Так, вблизи края х = 0 эти составляющие окончательно записываются в виде

0^=0; 9у = ^(у)е~я ; (7)

В третьей главе, на основании полученных ранее соотношений, рассматриваются задачи динамического нагружения ортотропных пластин: нормальный центральный удар абсолютно жестким бойком и вынужденные колебания при действии распределенной импульсной нагрузки.

При моделировании локального удара начальная скорость бойка

считается известной. Предполагается, что он соприкасается с пластиной плоской поверхностью и точки бойка и пластины движутся совместно после соударения, т.е. удар являетсяабсолютнонеупругим. Введено условие непроскальзывания точек пластины и бойка. Для них принималось

= \у6 , и = V = 0,

где - перемещения бойка. Уравнение движения для него записано следующим образом

где р - контактное давление в точках пластины, Мб - масса бойка. Интегрирование осуществляется по площади контактной поверхности. Вне зоны контакта р(х,у, I ) = 0. Рассматривались два типа граничных условий - жесткая заделка и шарнирное закрепление по всему контуру.

Начальные условия. При 7 = 0: и = V = \у = О,

где У6(0) - скорость бойка в нулевой момент времени, которая определяется по закону сохранения импульса

зоны контакта.

Решение построено по неявной конечно-разностной схеме с постоянными шагами по координатам и времени. На каждом шаге времени последовательно решаются две системы уравнений: 1) относительно функции перемещений Р в точках пластины и давления р под бойком; 2) относительно неизвестных и, V. Для численного решения нелинейных уравнений применена итерационная схема.

При аппроксимации дифференциальных уравнений конечными разностями возникает достаточно трудоемкая операция группирования коэффициентов при неизвестных. Поэтому был предложен способ численного формирования коэффициентов разрешающей системы конечно-разностных

д\у

эТ

V. (0) _ Для точек пластины под бойком; О - для точек пластины вне бойка,

уравнений в процессе работы программы. При этом используются исходные формы дифференциальных уравнений и разностных аппроксимаций. В работе приводится подробный алгоритм численной модели и блок-схема указанного способа.

С целью проверки численного алгоритма и установления области устойчивого счета была рассмотрена в линейной постановке задача удара по шарнирно опертой пластине заданной импульсной нагрузкой в виде

жительность импульса. Построено точное решение в двойных тригонометрических рядах. Проведен расчет для определения деформированного состояния однородной ортотропной стеклопластиковой пластины, состоящей из слоев стеклоткани, уложенных под углами 0°/90° симметрично относительно толщины. Для закона изменения нагрузки по времени Т выбраны параметры: Н = 4,5 х 1012, к = 5 х 104. Его форма показана на рис. I.

Т, МПа

10-

20-

30-

0

50 100 150 200 Г, мкс

Рис. 1. Закон изменения нагрузки по времени

Пластина имела следующие параметры: размеры сторон а = Ь = =228,6 х 10"3м, толщину И = 14,6 х 10"3м. Характеристики материала: модули упругости Е)= Е2= Е= 19,6 ГПа, С12= 4,9 ГПа, Оп= 023= 1,2 ГПа; коэффициент Пуассона ц 12=ц 2,= р = 0,11; плотность р = 1920 кг/м3. На рис. 2 показано сравнение точного и численного решений.

х/а

Рис. 2. Изменение прогиба в сечении у = Ь/2 в момент остановки пластины,- точное решение, 000 численное решение

Для оценки численного моделирования локального удара произведен расчет для ортотропной углепластиковой пластины, рассмотренной в работе Ш.СЫи и С.Б.Ноп§ и исследованной с помощью МКЭ. Ее параметры: размеры сторон а = Ь = 0,1 м; толщина Ь = 1,8 х Ю'3м; структура армирования - 8 слоев 0°/90° с симметричной укладкой относительно срединной поверхности; для однонаправленного слоя - толщина 0,1125 х 10"3 м, плотность р= 1580 кг/м3, модули упругости Е1= 135,4 ГПа, Е2= Е3= 9,6 ГПа, 0,2= 0,3= 4,8 ГПа, 023= 3,2 ГПа, коэффициенты Пуассона ц 12= 0,31, (123= =0,52. Направления ортотропии совпадают в расчете с осями х,у. Масса бойка Мб= 1 кг, радиус контакта с пластиной 6х Ю"3 м, скорость в момент соприкосновения Уд =2,76 м/с. На рис. 3 показаны результаты определения контактной силы по предложенному методу, а также опубликованные ГН.Окм и С.Б.Ног^.

1,мс

Рис. 3. Сравнение экспериментального и расчетных графиков изменения контактной силы по времени

Рассмотренная пластина имеет показатель затухания краевого эффекта б = 1720. Согласно второму равенству (7) при использованном разбиении пластины на конечные элементы размером 7,14 к 10'3 м краевой эффект, инициированный на одном краю элемента, составляет на противоположном краю величину порядка 10"6 и при уменьшении толщины пластины возникает опасность сдвигового запирания. В то же время, расчет по предложенной численной схеме свободен от этого недостатка, описывает краевой эффект аналитически и при данном разбиении дает зависимость контактной силы от времени, которая лучше согласуется с экспериментом. 14

В четвертой главе построена модель пробивания металлических и композитных пластин, основанная на механизме сдвигового разрушения материала. В ее основу положена зависимость контактной силы от глубины проникания бойка. Для металлических материалов эта зависимость строится в предположении, что в пластине вокруг бойка образуется область пластических деформаций, которая с ростом нагрузки распространяется на большую глубину, пока по всей толщине пластины касательные напряжения не достигнут динамического предела текучести тт = т*р. Динамический предел текучести связан со статическим коэффициентом кд. В работе обосновывается выбор его значения в зависимости от материала. В момент, когда контактная сила Р достигает максимальной величины Рс™" начинается срез

материала пластины по периметру бойка, сопровождающийся выдавливанием пробки. Допуская, что касательные напряжения, возникающие между стенками отверстия и пробкой, равны по величине т®р, зависимость для силы среза принята в виде

Рср(Д) = тсдрЬ(Ь-Д), где Ь - периметр бойка, А - глубина внедрения бойка в пластину.

Указанная зависимость была распространена на слоистые композиты, в которых, аналогично появлению зон пластичности в металлах, по мере проникания бойка в пластину на величину А происходит последовательное разрушение слоев материала на толщине, равной Д . В то же время, оставшаяся часть неразрушенных слоев препятствует дальнейшему прониканию бойка. Отмечается, что сам механизм разрушения для расчета не принципиален, а важна зависимость Р( Д ), которая может быть получена, в частности, из статических испытаний.

Рассмотренная физическая модель введена в предложенную численную схему расчета в виде ограничения на величину контактной силы в

процессе удара. При достижении режима среза, на каждом шаге времени осуществляется итерационный поиск контактной силы и глубины среза. Пластина считается пробитой, если глубина среза становится равной толщине пластины.

Решена задача пробивания металлических и композитных пластин. В первом случае рассматривались шесть одинаковых титановых пластин (а= = Ь = 228,6 х 10"3м, И = 6,75 х 10'3м, Е =10п Па, в = 38,46 х 10й Па, р = =0,3, р = 4480 кг/м3). Во втором - четыре стеклопластиковые пластины различной толщины, их параметры использованы в приведенном выше примере. Масса бойка 0,248 кг, поперечное сечение: длина 76,2 х КГ'м, ширина 4,76 х 10"3м. Результаты расчета сравниваются с экспериментальными дан-

ными, представленными в Таблицах 1 и 2.

Таблица 1.

Результаты баллистических испытаний и расчета титановых пластин

№ п/п Скорость бойка, м/с Результат испытания Результат расчета

пробивание Д/Ь ™гаах/11

1 252 Нет пробивания, трещина в пластине. нет 0,22 2,0

2 260 п нет 0,36 2,05

3 260,7 !1 нет 0,39 2,05

4 273 Снаряд пробил пластину |—и-застрял-в-ней:- есть 1 1,1

5 275 Снаряд пробил пластину, но имел нулевую конечную скорость. есть 1 1,0

6 -281 Снаряд"пробил пластину и имел значительную остаточную скорость. есть 1 0,9

Приводятся примеры расчета процессов удара по шарнирно опертым и защемленным пластинам с различными скоростями и массами бойков. Построены зависимости силы контакта, глубины проникания ударника 16

в пластину и его скорости от времени, определены значения баллистического предела.

Таблица 2.

Результаты баллистических испытаний и расчета стеклопластиковых пластин

№ Толщина Скорость Результат Результат расчета

п/п пластины, бойка, испытания про- А/Ь

мм м/с бивание ь

7 16,5 260 Пробивание. есть 1 0.29

8 15,5 179 Пробивания нет, трещина глубиной около 10 мм. нет 0,24 0,81

9 14,6 239 Пробивание. есть 1 0.35

10 16,0 138 Пробивания нет. нет 0,03 0.59

210 Пробивание. есть 1 0.52

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Для тонких ортотропных пластин получена разрешающая геометрически нелинейная система уравнений движения, записанная относительно пяти обобщенных перемещений. Она учитывает сдвиг и позволяет описывать большие прогибы. Система преобразована с выделением в явном виде решения, соответствующего сдвиговому краевому эффекту. Это исключает возможность появления эффекта сдвигового запирания при численном расчете тонких пластин. Для рассматриваемых уравнений записаны различные варианты граничных условий.

2. Разработана численная модель удара по пластине жестким бойком. Расчет основан на неявной конечно-разностной схеме. Предложен способ численного формирования коэффициентов разрешающей системы разностных уравнений в процессе работы программы при использовании ана-

литической записи исходных форм дифференциальных уравнений и разностных аппроксимаций.

3. Для шарнирно опертой пластины в линейной постановке получено аналитическое решение задачи об импульсном нагружении. Проведено сравнение аналитического и численного линейных решений, подтверждена достоверность численного алгоритма и установлена область устойчивого счета.

4. Проведено сравнение результатов нелинейного решения задачи для низкоскоростного удара по предложенной модели с опубликованным результатом расчета по МКЭ, полученным другими авторами. Показана лучшая согласованность с экспериментом зависимости контактной силы от времени, рассчитанной по предложенному методу.

5. Построена модель численного расчета глубины проникания жесткого бойка с плоской носовой частью при нормальном ударе с различными скоростями по металлическим и композитным пластинам.

6. Проведен расчет удара по титановым и стеклопластиковым пластинам, жестко защемленным по контуру при различных скоростях бойка. Получено удовлетворительное совпадение результатов расчета с экспериментом.

7. Исследовано влияние способа закрепления металлических пла--стин-на-процесс-пробивания,—Показаног-что-в-случле шарнирного закреплен

ния баллистический предел для рассматриваемых пластин несколько выше, чем для жесткой заделки, а для больших скоростей влияние способа закрепления на процесс пробивания не наблюдается.

8. Проведен параметрический анализ, в котором варьируются массы бойков и размеры пластин. Установлено, что при увеличении массы бойка уменьшается баллистический предел, а потребная для пробивания кинетическая энергия увеличивается.

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. Солдатов A.C. Численное моделирование нормального удара жестким телом по тонкой пластине// Научные труды МАТИ им.К.Э. Циолковского. Вып. 1(73). - М.: Изд-во «Латмэс», 1998. - С. 356-360.

2. Солдатов A.C. Расчет ортотропной пластины при действии импульсной нагрузки// Научные труды МАТИ им. К.Э.Циолковского. Вып. 2(74). -М.: Изд-во "Латмэс", 1999. - С. 280-285.

3. Солдатов A.C. Моделирование удара жестким телом по тонкой пластине// «XXIV Гагаринские чтения»: Тез. докл. Всероссийской молодежной научной конференции, Москва, 7-11 апреля 1998. - М.: МГАТУ, 1998, Ч.

4. Солдатов A.C. Определение НДС изотропных и слоистых ортотропных пластин при ударе// «XXIII Гагаринские чтения»: Тез. докл. молодежной научной конференции, Москва, 8-12 апреля 1997. - М.: РГТУ-МАТИ, 1997, 4.4.-С. 86.

5. Солдатов A.C. Расчет ортотропных пластин при ударе жестким телом// Новые материалы и технологии. Тез. докл. Российской научно-технической конференции. Направление: «Интенсивные технологии в производстве летательных аппаратов». Москва, 4-5 февраля 1997. - М.: МАТИ- РГТУ, 1997.-С. 85.

6. Солдатов A.C. Расчет пробивания тонких ортотропных пластин// «XXV Гагаринские чтения»: Тез. докл. Международной молодежной научной конференции, Москва, 6-10 апреля 1999, МАТИ-РГТУ им.К.Э. Циолковского. - М.: Изд-во «Латмэс», 1999, Т. 2. - С. 709.

6. - С. 73.

«МАТИ» - РГТУ. кафедра МОПК. Тираж 70 экз.