Колебания предварительно напряженной ортотропной пластины-полосы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

БРЕНДЭ Владимир Владиславович

КОЛЕБАНИЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ-ПОЛОСЫ

Специальность: 01.02.04. - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

5 ДЕК 2013

Москва 2013 00554167&

005541675

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный строительный университет».

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Егорычев Олег Александрович

Официальные оппоненты: Кузнецов Сергей Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор,

Институт проблем механики РАН,

ведущий научный сотрудник

Курбатов Алексей Сергеевич

кандидат технических наук,

ГНЦ ФГУП «Исследовательский центр

им. М. В. Келдыша»,

старший научный сотрудник

Ведущая организация: ОАО «НИЦ «СТРОИТЕЛЬСТВО»

Центральный научно-исследовательский институт строительных конструкций им. В.А. Кучеренко

Защита состоится 20 декабря 2013 г. в 12 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12, созданного на базе ФБГОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» по адресу: 129337, Москва, Ярославское шоссе, 26, МГСУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет». Автореферат разослан «В> ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Николай Николаевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Актуальность темы. В современных конструкциях наряду с однородными изотропными материалами используются и анизотропные и в частности ор-тотропные материалы, у которых наблюдается существенное различие упругих свойств в различных направлениях. Ортотропными являются, в частности, синтетические материалы и фанера, применяемые в промышленном и гражданском строительстве, машиностроении, самолетостроении и др. Экспериментальные исследования ортотропных материалов показывают большое различие между коэффициентами упругости в разных направлениях, например вдоль и поперек волокон. Так, модули Юнга могут относиться как 2:1 для тела из одного материала, так и 12:1 — из другого. Ортотропией упругих свойств обладают кристаллы, например алмаз, некоторые горные породы, а также бетон и специальные покрытия дорог и сооружений. Кроме деталей, изготовляемых из материалов, обладающих ортотропией, в современных конструкциях используются элементы с так называемой конструктивной, или искусственной, ортотропией. К последним относятся пластины и оболочки из изотропного материала, которым предана ортотропия путем гофрирования или усиления часто поставленных ребер.

Классические уравнения, описывающие поведение изотропных пластин, опираются на известные работы Г. Кирхгофа и С.П. Тимошенко, а описывающие поведение анизотропных — на работы С.Г. Лехницкого. При выводе этих уравнений используются различные гипотезы геометрического и физического характера. В связи с этим исследования колебаний ортотропной пластины с использованием вновь полученных уравнений, выведенных чисто математически, весьма актуальны.

Цель работы состоит в аналитическом изучении колебаний ортотропной пластины-полосы, используя различные граничные условия.

Объект исследования. Краевые задачи о колебании изотропных и ортотропных пластин как составных частей многих строительных конструкций.

На защиту выносятся аналитические решения прикладных задач о собственных и вынужденных колебаниях пластины-полосы, с учетом анизотропии материала и предварительного напряжения. Получены точные и приближенные аналитические решения ряда задач. Определены частотные уравнения, построены графики зависимости частоты от геометрии и материала пластин. Проведено сравнение полученных результатов с классическими аналитическими и численными решениями.

Научная новизна. Аналитически найдены решения краевых задач ортотропной предварительно напряженной пластины-полосы с использованием полученного Филипповым И.Г. уравнения [136] и уточненных граничных условий [45], позволяющее определять более широкий спектр собственных частот при заданных краевых условиях, материале и геометрии пластины.

Установлено влияния граничных условий на порядок частотного уравнения.

Практическое значение. Приведенные в диссертации исследования могут быть использованы для решения технических задач о поперечном колебании ортотропных пластин-полос при различных граничных условиях: шарнирного закрепления, жесткой и упругой заделки, свободного края, в том числе для упругих и вязкоупругих пластин в области строительства зданий и сооружений, в машино-, корабле- и авиастроении.

Достоверность положений и выводов. Основные представленные в работе результаты получены с применением обоснованных и многократно апробированных математических методов, сформулированных в точной постановке теории упругости. Достоверность общих и основанных на них уточненных уравнений и решений частных задач подтверждается строгой математической постановкой, проверкой и сопоставлением с классическими теориями колебаний, а также сравнением аналитических результатов с результатами, полученными при помощи программного комплекса Ansys, используемого при практическом проектировании.

Апробация и публикации работы. Основные положения выполненных исследований по диссертационной работе освещены в 10 статьях, 3 научных конференциях и на заседаниях кафедр высшей математики, вычислительной математики и теоретической механики МГСУ.

Личный вклад соискателя. Основные положения выносимые на защиту, содержатся в опубликованных работах и отражают персональный вклад автора в диссертацию. Публикации полученных результатов проводились совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все результаты, представленные в диссертации, получены лично автором.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 108 страницах, в том числе включает 12 рисунков. Список литературы включает в себя 157 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается тема диссертации и ее актуальность, излагаются основные положения, которые выносятся на защиту.

Обзор работ посвящен современному состоянию вопросов колебаний упругих, вязкоупругих и анизотропных сред, анализу публикаций отечественных и зарубежных авторов в области теории колебаний пластин.

Классическая теория поперечных колебаний пластин была впервые развита Г. Кирхгофом [148], который получил уравнение движения, полагая, что прямолинейные элементы пластины, перпендикулярные срединной поверхности до деформации, остаются прямолинейными и перпендикулярными после деформации, и отсутствует поперечный сдвиг. Существенным уточнением уравнения поперечных колебаний Г. Кирхгофа является уравнение, полученное Уфляндом [127], на основе модели С.П. Тимошенко, в которой (применительно к пластинкам) полагается, что элемент, первоначально прямолинейный и нормальный к срединной плоскости пластины, может быть отличен от нормального после деформации.

При решении динамических задач метод степенных рядов применял И.Г. Селезов [113]. Впоследствии Г.И. Петрашень [97] дал математическое обоснование метода степенных рядов на примере динамической задачи о слое в случае плоской деформации.

Дальнейшее развитие вывода уравнений колебаний получено в работах И.Г. Филиппова и его учеников.

Основной вклад в развитие математических методов решения динамических задач теории упругости и вязкоупругости внесли следующие ученые: Ж.Д. Ахенбах, В.В. Болотин, Б.Ф. Власов, В.З. Власов, Э.И. Григолюк, O.A. Егорычев, О.О. Егорычев, A.A. Ильюшин, В.А. Ильичев, С.Г. Лехницкий, Б.Г. Коренев, Г. Кольский, Р. Кристенсен, В.Д. Кубенко, H.H. Леонтьев, А. Ляв, Н.П. Огибалов, О.Д. Ониашвили, Г.И. Петрашень, Г.И. Пшеничнов, Х.А. Рах-матулин, Д.В. Релей, А.Р. Ржаницын, И.Т. Селезов, В.И. Смирнов, И.Г. Филиппов и др.

В первой главе диссертационной работы представлен вывод общих и приближенных уравнений колебания предварительно напряженной однородной ортотропной пластины-полосы, полученных И.Г. Филипповым.

Дается общая постановка задачи о колебании предварительно напряженной однородной ортотропной пластины-полосы.

В декартовой системе координат (х, у, z) рассматривается однородная ор-тотропная предварительно напряженная пластина, срединная плоскость которой в недеформированном состоянии совпадает с координатной плоскостью XOY, ось Z направлена вертикально вверх. Пластина занимает следующую область: (у 6 (-cq-K»),* е (-/;+/), z е [—A;/7j)

Рис. 1. Пластина-полоса в пространстве ОХУИ

Под предварительным напряжением в работе подразумевается принятое в работах И.Г. Филиппова [133,134,135,136] изменение первоначальных размеров пластины за счет приложенных сил. Предварительное напряжение задается в первоначальных перемещениях, которые представлены в виде:

"о = аох; Vо =су; Ч^Фа)2. (1)

где а0 и с2 — параметры, характеризующие начальные перемещения пластины. Закон Гука для ортотропного тела имеет вид [78]:

=4,е„ +4ге„у ; =А1\е„ +А22ек, £7С =А]1ехх +Л,2еуу (2)

гпр А -А - е?уи А - Е,У'>] А £1 А Ег А -С, т

где А„ . ла - , ч , л3, - , . , лп - , ., л32 - , , , л55 - и,з

0-^,^3) Ц-^Пз) Ц-^з)

б

При выводе общего уравнения поперечного колебания ортотропной пластины рассматривается случай, когда внешние усилия не зависят от одной из координат, например, от_у, т.е. рассматривается пластина-полоса. Уравнения движения в перемещениях имеют вид [78]:

о+<о

д и д2и "д*2 "дг2

д V д V

№дх2 +V

(1 + а0ХЛз+^55)хТ"+(1 + с

0X02

+ (1 + с2Хап+А„У I д2» д2и/

^ <Э2и> дхдх д2и

д\' _ аЧ.

дхдг

дг2 д2»

(4)

где р, - плотность предварительно напряженного материала.

А = (1 + а/(1 + с2) (5)

Колебания пластины вызываются внешними усилиями: <г*=Р&,уА с*=К{ьуА <туг=Р*(х,у,г), при г = ±й. (6)

Решая систему уравнений (4) при граничных условиях (6), получаем общее уравнение колебаний пластины в виде бесконечных сходящихся рядов. Для решения конкретных задач использовать точные уравнения поперечных колебаний пластинки не представляется возможным, т.к. в них присутствуют производные бесконечно высокого порядка. Однако из этого уравнения можно получить приближенное уравнение любого конечного порядка. Так, ограничиваясь в рядах первыми двумя членами, получено приближенное уравнение четвертого порядка относительно функции прогиба Щ [136]:

го

£

'6

.2

де +л

где 4 =/51[(1+е2)-1^-' +:<1+ао)Чу(5-]]^;

4-

Л2 =[2(И-с2Х1 + ао)_1 -2^3^,3 +ЗА^1{лпА33-А*Жг,Аг ^[(^^(-Ызз-А?:

о ¿Р1

Во второй главе исследуются собственные поперечные колебания предварительно напряженных однородных ортотронных пластин-полос (приближенное решение).

2.1. Для нахождения собственных колебаний уравнение (7) примет вид:

>Х„г ,4П

¿V, д/2

¿-м

д%

-Л2—т-—+А3-

дГдх1

дх4

= 0.

Сделаем преобразование вида:(Г,(*,г) = !Г0(х)ехр|^~^ , где безразмерная частота, Ъ - скорость поперечной волны.

(8) (9)

Используя преобразование (9), однородное уравнение (8) преобразуется в обыкновенное дифференциальное решение уравнения:

^Лл+ви^+вцг о, еЬс 1 сЬ? 20

ЛЛЬН А,

Его характеристическое уравнение: г4 +В,т2 +Вг =0. Используя соотношения (11), решение (12) будет иметь вид:

.Ъ А

Отметим характерное значение > при котором выражение под внутрен-

(10)

(П) (12)

(13)

ним корнем (13) обращается в ноль: =±2| -Тогда для всех

>Щ\

{а1-

(14)

гдеА, >А.

Здесь 0<

(4-44!

1—:

<Л, Т.к.

1-1А

> 0 и сколь угодно мало.

Значит:,, - ±А,; ,,4 . ±/?, , гдеД д

О, =М-4А,А}

1-

(15)

(16)

Тогда общее решение уравнения (10) имеет вид: =АГ, со {р,х)+К2 $\х{р,х)+Къ со{&х)+К< ш(р2х), где к, — постоянные, определяемые из граничных условий.

Следует заметить, что, если пластинка прих=±/имеет на каждом краю одинаковые граничные условия, то задача становится симметричной относительно д: = 0, а функция 1У0(х) - четной.

Тогда (16) принимает вид: = Кх соеД х + /С, соэр2х. (17)

Заметим, что, используя решения (16) и (17), мы получаем приближенные аналитические решения.

Во второй и третьей главе при решении конкретных задач о собственных колебаниях ототропной пластины-полосы для получения частотных уравнений в бесконечных рядах учитываются два первых члена.

2.2 . Получено частотное уравнение, в случае шарнирного закрепления с двух сторон. Граничные условия в данном случае имеют вид [45]:

w0 = о , при x = ±/.

Эх

(18)

При заданных условиях задача имеет конечное аналитическое решение,

которое будем искать в виде: W0 (х, /) = £ йг„ sin(i^) expi ^ ].

п=0 1 К " J

Получаем алгебраическое уравнение (точное решение)-.

Решим ту же задачу приближенно. Подставим общее решение (17) в (18): [К, cos ДI+К2 cos Д/ = О

[К, Д2 cos р,1 + Кгр\ соэД/ = О

Для определения частотного уравнения из системы получим трансцендентное уравнение:

P\cosPxl cos Д/ - Д2 cos/y соэД/ = 0. (20)

Разложив в ряды входящие в (20) функции, полним частотное уравнение:

(21)

где были введены: д = f-1^ _

щ

ьУА+Ц и) Щ

(22)

В качестве дополнения приведем уравнение Кирхгофа (Лехницкого [78]-для ортотропной пластины) и сравним соответствующий график с решениями,

полученными нами

. а V эг2

£,/>z

(23)

^12р,(1 -1^13^31)] ах4 Сравним наши решения с численным решением, выполненным на программном комплексе Ашуэ в нескольких точках.Положив =0.048, Е3 =1,4ГПа

, С?=0,57ГПа, ¡^,=^=0, р = 2500 кг/м% получим зависимость частоты/ от

14 12 10

ОД ОД 0,4

Для пластины: / = 4 м, А = 0.2 м

05 ОД ОД РЗ 0,4

Для пластины: I = 4 м, h = 0.4 м

Рис. 2. График первых собственных частот

При этом определена форма колебаний полученной первой частоты, которая соответствует форме первой собственной частоты, полученной в Атуя.

Рис. 3 Форма соответствующая первой собственной частоте пластины

2.3. Получено частотное уравнение в случае жесткого закрепления с двух сторон. Граничные условия в данном случае имеют вид [45]:

ш0А=о,щтх=И. (24)

5с

Подставив общее решение (17) в граничные условия (24) и разрешив систему, получим трансцендентное уравнение, из которого, пользуясь рядами и представлениями (22), находим частотное уравнение:

2(/?,4+6#/?412 12Р1Р№

Ж

+ "Г , =0.

'Р1Р1

(25)

2.4. Получено частотное уравнение, когда пластина жестко и шарнир-но закреплена. Граничные условия будут иметь вид (18) на одном крае при х=1 и (24) на другом при х--1. Общее решение в данном случае будет иметь вид (16). Подставляя общее решение в граничные условия, получим систему, нетривиальность решения которой приводит к трансцендентному уравнению: Рх соБ^Дфт^/^/)-р2 С0&(2р21)чт(2рх1)= 0 . (26)

Частотное уравнение, используя (22), примет вид: н 2(Дз4+6^Д2+^Ь , 12

Положив ^,=0.048, Еъ =1,4ГПа, С = 0,57ГПа, р = 2500кг/м3,/=4м,Л=0.2м, покажем зависимость от предварительного напряжения а0.

(27)

Вторая частота

Первая частота

0Д74 у

у'

0Д72 у

0170

X

yS 0Д68

0,073

0,071

_ ^¿069

-0,05 -0,025 О 0,025 0,05

Рис. 4. Зависимость первой и второй частоты от предварительного напряжения (параметра а0)

2.5. Пластина с упругим (вертикально) закреплением при х = ±1,

где граничные условия [45]:

+C2r0+C3^Uo

ас

дУр

. &3 &2 &

(28)

Ci=-n4

где

ыр-^у5*т с _

r 2 hiA?)

Л2)/,,

\ 55

2Й, Д<?>

f7 — 1 11.

(29)

Верхние индексы (1) и (2) относятся к параметрам исследуемой и присоединенной пластины соответственно.

Решение системы (28) имеет вид:

|с2 - д2)со<д;)+с3д -с^ п(^/)-(с5д2 -с6)со<д,;))-

-|с2 -^^о^О + Сз^ 51п0з2/)Ц^ -С4д]3!п(А/)-(с5Д2 -С6)сО8(А/))=0 ^ которому соответствует частотное уравнение:

•О? А А ■

2.6. Пластина с упругим (горизонтально) закреплением при х= ±1,

где граничные условия [45]:

д W

Z^ + ZM-0

„ s!fF. „ ей7. „

Z.-r- + Z.-— = 0

3 4 8x

(30)

(31)

(32)

Верхние индексы 1 и 2 относятся к параметрам исследуемой и присоединенной пластины соответственно.

Трансцендентное уравнение:

-А(г, -73/?22)со80з,/)5т(/у)+

+ Д(г2 -23/?|2)со5(/?2/)5т(^|/)=0 , ( }

которому соответствует частотное уравнение: + + =о,

2.7. Жестко заделанный при х=/ и свободный прих=-/ край

Граничные условия для свободного края имеют вид:

о

ах

^ = 0

(35)

ас1

Тогда граничные условия запишутся в виде (24) и (35). Трансцендентное уравнение:

(с. - Р? \fiPi - Рг ьт^р^т^/},!)-рхр\ соз(2/?,/)со5(2/?2/))+ + (С, - - А/5ш(2/71/)5т(2/?2/)-/?13/?2 £05(2^,0008(2/?,/))= О, (36)

которому соответствует частотное уравнение: £ +—+^¿=0. (37)

£>15 Л15

2.8. Упругий при х=/н свободный при х =-/ край. Граничные условия в этом случае (28) и (35).Трансцендентное уравнение:

(с, -Д^цс« -С5^]со<2/у)-(^ -&с4)511<2/у)|с2 -А2)511<2Д/)+СзД со<2Д/))--(с, -дс4)+д|с6 -с5^]сз]+

+(с1 -С5А2]со<2Д/)-(^ -ДС4)3|фА/)|с2 - Д2)51л(2/%/)+СзД2 софу))-

-(с, -Л2Мс2 - -Ас4)+д£6 -с5д£3]+ (38)

+(С1 - ~ДаМС2 -^)со<2Д/)-С3Д е!г<2Д/)]+ +(с1 "ДС4)^[С2 -й2)со<2Д2/)-С3/%51фД2/)]=0

Частотное уравнение: +—+—+— = о. (39)

Ад Ао Аа

2.9. Шарнирно закрепленный при х=1 и свободный при х=-1 край. Граничные условия в этом случае (18) и (35).

Трансцендентное уравнение:

(С, - Р;)Щ 5т(2/?,/)-(С, - р\)р\ вт(2р21) = 0. (40)

Частотное уравнение: ^ф^^2 +&ч- = о. (41)

°22 &П

2.10. Упругий при х=1 и жесткий при х=-1 край. Граничные условия в этом случае (24) и (28). Трансцендентное уравнение:

(с2 -Д^С, -/?,2)/?,3 8ш(2Д/)[-(д3 - ДС4>т(2Д/)+[с5Д2 - C6]cos(2Д/)]--(c2 -Д^С, -Д2)Д3с05(2Д/)[(Д -ДС4)со5(2Д/)+[с5Д2 -С6]5т(2Д/)]+ + сгРг(С, - д2)д3 со5(2Д/)[- (д3 - ДС4 )5т(2Д/)+ [с5Д2 - с6]соз(2Д/)]+ + С3(С, -Д2)д4зт(2д/)[(д3 -ДС4)СО8(2Д/)+[С5Д2 -С6]5Ш(2Д/)] + + (с2 -д^с, -д2)д3 5т(2д/)[-(д3-дс4)5ш(2д/)+[с5д2 -с6]со5(2д/)]- (42)

-(с2 - Д2^, -Д2>,3 со8(2дф23 - ДС4)со5(2Дг/)+[с5Д2 -С6]5т(2Д/)]+ С3Д(С, -Д2)Д3 со5(2Д/)[-(/?3 - ДС4)5Ш(2Д0+[С5Д2 -С6]СО5(2Д/)]+ С3(с,-дг)д4 5т(2дф23 - ДС4)со8(2Д/)+[с5Д2 -С6]зт(2Д/)]=0

Частотное уравнение: +—+—+— = 0. (43)

£>26 £)26

+

+

Выражения Ц приведены только в диссертации, так как они достаточно громоздки и являются функциями констант пластины.

В диссертации представлены задачи пластины-полосы с двумя свободными краями, а также с шарнирно закрепленным краем с одной стороны и упруго (вертикально) закрепленным с противоположной. Приведены выводы к главе.

В третьей главе исследуются собственные колебания предварительно напряженных однородных ортотропных пластин (аналитическое решение).

3.1. В данной главе, для удобства, используется новая система координат: по оси х пластина занимает пространство х е (0;+/).

В этом случае общее решение уравнения (8) представим в виде:

] к Г5т(г,х) | 5Ш(Г2Х)Л| ( к (44)

л < ) 41 тг т? у

где К, - постоянные интегрирования, г, - корни характеристического уравнения г4 +Д т2 +В2 = 0 (45)

иравныЧ2-!-4 = ±^Д?^. (46)

Целые числа (т, п) выбираются при удовлетворении граничных условий на левом краю пластины при х = 0, а другие граничные условия при х=1 приводят к трансцендентному уравнению для определения собственных частот пластинки.

3.2. Рассмотрим смешанную задачу: шарнирного и жесткого закрепления. Пусть при х = 0 закрепление шарнирное (18), а при х = 1 — жесткое (24). Подставляя (44) в граничные условия на левом краю пластины, получим п = 0, т = 1, при этом постоянные интегрирования К]=К2 = 0. Из граничных условий на правом краю пластины получим трансцендентное уравнение:

г, со^2т, 8 ] п(2г2/) - т2 со{2т21)ч\г{2т11)=0 . (47)

Раскладывая в ряды тригонометрические функции, входящие в (47), получим частотное уравнение:

г-

6

АЛ2

уг+4 Г

I' Ы А

(48)

Положив уз, =0.048, Е3 = 1,4ГПа, Сг=0,57ГТ1а, ¿¡¡,=^=0, р = 2500кг/м , / = 4 м,/г=0.2 м, покажем зависимость £ от у13 для уравнения Кирхгофа и (48).

0,08

0,06

0,04

ОД ОД 03 0,4 0^5

Рис. 5. Зависимость первых частот от коэффициента Пуассона V,,

В остальных параграфах получены решения краевых задач одинакового и смешанного закрепления с использованием основных граничных условий: шарнирного закрепления, жесткого закрепления, края свободного от закреплений, упруго закрепленного края, как в предыдущем решении.

Приведем частотные уравнения, используя решение (44).

3.3. Жесткое закрепление на противоположных сторонах при х = 0,1.

ал

4--ЗЛ,

4

А, А*,

- = 0.

(49)

Положив У31 = 0.048,£3 =1,4ГПа,С=0,57ГПа, с^ =0,р = 2500кг/м ,/ = 4м,/г = 0.2м, покажем зависимость £, от у13 для точного решения уравнения и приближенного.

Рис. б. Зависимость первых частот от коэффициента Пуассона Уи

3.4. Свободное закрепление на противоположных сторонах при х = 0,1.

= о.

я.

я.

я.

я.

я,

(50)

3.5. Смешанная задача: упругое при х=1 и шарнирное при х=0 закрепление.

Я7

Я,

я0

я,„

= 0.

* Н ы1 и и

Я,

Я,

(51)

3.6. Смешанная задача: упругое при х = / и свободное при х=0 закрепление.

£12 + Яц £10 + = (52)

Яц Яп яц £>и яп я„

3.7. Смешанная задача: шарнирное прих=/ и свободное при х=0 закрепление.

г ^ + 4^ "М, УмЛ, +ЦА = (53)

и; 4*4 * {ЗА33-2Ап) р / ^ {зА33-2А„)ЗА3р)1*{ь) А,

Выражения Н[ приведены только в диссертации, так как достаточно громоздки, и являются функциями констант пластины.

В данной главе также решены задачи, когда пластина-полоса имеет одинаковое упругое (вертикальное и горизонтальное) закрепление, смешанное закрепление: жестко заделанного и свободного края, а также жестко и упруго (вертикально) закрепленного края.

В четвертой главе приводятся сравнение и анализ полученных решений.

4.1. Сравнивая приближенные решения, полученные в главе 2, с решениями, изложенными в главе 3. Отметим, что точное решение описывает более широкий спектр колебаний.

Анализируя решения задач о собственных колебаниях пластин, следует заметить, что первая частота для вновь полученного уравнения и новых граничных условий близка к значениям частоты, определяемым уравнением Кирхгофа, Тимошенко, и, как правило, заключена между шарнирным закреплением пластины и жестким.

4.2. В качестве дополнения приведем сравнение решений уравнений поперечных колебаний, вновь выведенного уравнения Филиппова, для ортотропной пластины, в случае (У31=у13) и отсутствии предварительного напряжения с другими, известными, уравнениями для изотропной, шарнирно опертой пластины-полосы. В этом случае частотные уравнения движения можно записать в виде:

А^,?+ №+ -О, (54)

где нами введена новая постоянная:

Г-ЗД, (55)

здесь к - толщина пластины, 1 — ширина.

При этом: л10 =л20=о; а10 = ; - Г. Кирхгоф;

А» =— > 4я

. (4-и) -3(1-^)'

- С. П. Тимошенко.

2' 3(1 -V)' "" "3(1-Положив у=1/4, нарисуем график зависимости 5от к (рис. 7). ОД

0,08

0,06

0,04

0,02

0,2 0,4 0,6 0,8 1

Рис. 7. График зависимости частоты % от параметра к для разных уравнений (первые частоты)

(56)

(57)

Отметим, что графики частот Кирхгофа, Тимошенко и наш (Филиппов) близки.

4.3. Рассмотрим уравнения собственных колебаний однородной ортотропной пластины-полосы, свободной от закрепления на противоположных сторонах.

Новые граничные условия для свободного края имеют вид (35).

Выделим частоту из С,, входящего в (35):

Т"

с,=с7<г2, с7=__—[~2Ау-

I 7А-,-, —4Ау

Приближенное решение. Подставляя решение (17) в граничные условия (35), раскладывая входящие в решение системы функции в ряды Маклорена и пользуясь представлением (58) и (22), получим частотное приближенное уравнение:

А

А А

= 0,

где А=К1+К2,Л,=

1

,2 „2,.

А , к

А = (К = (<:,- Р;К4,к2 = (с, - К)д4.

(59)

(60)

В случае классической записи граничных условий частотное уравнение примет вид:

. Iл3

(61)

РъРЬ*

/2 /?|/?42

А Е /

Приведем график зависимости частоты 5 от отношения при фиксированном Я,, приняв от у31 = 0.068, й = 20см, / = 400 см, Е1 =1,4ГПа,С=0,57ГПа,

Оо=с2 =0>Р=2500«/з. 0.075 / м

0>06

0,045

0,03

2 3 4 5 6

Рис. 8. Первые частоты свободной пластины-полосы при классической и новой записи граничных условий

В пятой главе приводятся задачи о вынужденных колебаниях предварительно напряженных ортотропных пластин.

5.1. Решена задача о нормальном ударе по ортотропной пластине-полосе. Пусть имеется ортотропная предварительно напряженная пластина постоянной толщины Ь, занимающая в пространстве область (у е(-ю;+°о),хе [-/;/]). Считаем, что пластина закреплена шарнирно (18) на границе при х=±1. В мо-

мент < = 0 по поверхности пластины произведен удар интенсивности .Р. (х,/), причем (х,/) симметрична относительно оси ОХ

Уравнение для определения запишем в виде (7):

, d*W. , д% л д% ы ч , ч F (х Л

„ „, d^! dV,

Начальные условия нулевые: Щ = —--!---L

= о, t = 0 .

dt'

dtJ

Известно, что решение (62) представляется в виде:

где Ж0т — общее решение однородного уравнения, П'г„ - частное решение 1Г010>(х,1) представим как ж™(*,() = ¿Л,

Будем считать, что функция Р представляется в виде:

'■Нт)-

Подставляя (65) и (66) в (18), для определения Р, получим уравнение: Общее решение однородного уравнения (67) имеет вид:

(62)

(63)

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

где К ,„ — произвольные постоянные; 2— частоты собственных колебаний.

Частное решение из (64) будем искать, используя метод вариации произвольных постоянных. Тогда получаем:

. (ь

sin

(И

f"cos(H

4M

и

A-cosgftrjj

dt +

v (b Fn cos •

Л-cosgi,,]/

(69)

Так как в данной задаче начальные условия нулевые, то все произвольные постоянные общего решения однородного уравнения равны нулю.

Откуда: iv, =wr0. (70)

5.2. Решепа задача о бегущей нагрузке по поверхности ортотропной пластины-полосы.

Пусть имеется однородная ортотропная предварительно напряженная пластина-полоса постоянной толщины 2h, занимающая в пространстве область {у е (-со;+сс), х е [- /; z е [- /г; /¡D. Считаем, что пластина закреплена шарнирно (18)

на границе, при х = ±1 и имеет нулевые начальные условия. На полосу действует симметричная относительно оси О У нормальная нагрузка Гг(х,у,1), движущаяся в положительном направлении оси О Г со скоростью V. В качестве уравнения, описывающего поведение пластины, примем уравнение (7): д2Щ д% . д%

1 2 д^дх2 4 дх4 / РМ-л

(71)

Запишем (71) в новой подвижной системе координат (4г = у-П, х = х), представляя, в силу шарнирного закрепления, щ = предпо-

лагая: Р^х^р^оо^Щ(72)

Тогда уравнение (71) становится обыкновенным дифференциальным уравнением:

[лу

д£ Ы,

рИ

(2к+\У 2!

Общее решение уравнения (73) примет вид:

где - общее решение однородного уравнения, частное решение. Общее решение однородного уравнения представим в виде: Що = зшОпС)*-^,* созСг^+Кз,* с°*(хг£)>

(73)

(74)

(75)

где =

С, и С2-безразмерные коэффициенты.

Частное решение неоднородного уравнения (73) найдем, используя метод вариаций произвольных постоянных, рг^ имеет вид:

'. / .-.(( Л,* с°!>(л£)/ л({ Мх\С)

'<г+

Нулевые начальные условия означают: щ =

(76)

(77)

(78)

¿Г К'

откуда: = №„.

ОСНОВНЫЕ ВЬШОДЫ:

1. Показано, что приведенная в работе модель позволяет находить корректные значения как для низших, так и для высших частот для различных материалов и геометрии.

2. Представлены новые аналитические решения задач о колебании однородных ортотропных пластин-полос для различных граничных условий и их комбинаций. Получены частотные уравнения и построены графики зависимости частот от геометрии и материала пластин.

3. Установлено влияние условий закрепления пластины-полосы на порядок частотного уравнения при упругом закреплении и свободном от закрепления крае. При использовании классических граничных условий частотное уравнение всегда имеет четвертый порядок, а используя вновь сформулированные граничные условия частота уравнения достигает четырнадцатого порядка.

4. Из анализа решения задачи о поперечном колебании однородной орто-тропной пластины следует, что значения первых частот, полученных при решении уравнений Кирхгофа, Тимошенко, Филиппова и численного решения (программный комплекс Албуб) незначительно отличаются между собой.

5. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при определении собственных частотных значений плоских элементов, реальных конструкций, мостов и строительных перекрытий.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ОПУБЛИКОВАНО

В СЛЕДУЮЩИХ СТАТЬЯХ:

1. Егорычев O.A., Брендэ В.В. Собственные колебания однородной орто-тропной пластины //ПГС. Москва. 2010. № 6.

2. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В. Собственные поперечные колебания предварительно напряженной ортотропной пластинки-полосы, упруго закрепленной по одному краю и свободной по другому// Вестник МГСУ. Москва. 2010. № 4. С. 252-258.

3. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Поддаева О.И., Брендэ В.В. Собственные поперечные колебания предварительно напряженной ортотропной пластинки-полосы, жестко закрепленной по одному краю и свободной по другому // Вестник МГСУ. Москва. 2010. № 4. с. 267-271.

4. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Поддаева О.И., Брендэ В.В. Нормальный удар по ортотропной пластине // Вестник МГСУ. Москва. 2010. № 4. С. 264266.

5. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В. Вывод частотного уравнения собственных поперечных колебаний предварительно напряженной пластины, упруго закрепленной по одному краю и жестко закрепленной по другому // Вестник МГСУ. Москва. 2010. № 4. С. 246-251.

6. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В. Вывод частотного уравнения собственных поперечных колебаний предварительно напряженной пластины, упруго закрепленной по одному краю и шарнирно опертой по другому // Вестник МГСУ. Москва. 2010. № 4. С. 240-245.

7. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В. Собственные поперечные колебания предварительно напряженной ортотропной пластинки-полосы, жестко закрепленной по одному краю и шарнирно опертой по другому // Вестник МГСУ. Москва. 2010. № 4. С. 259-263.

8. Егорычев O.A., Брендэ B.B. Постановка задачи о колебании ортотроп-ной пластины//Вестник МГСУ. Москва. 2011. № 4. С. 50-53.

9. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В. Свободные поперечные колебания предварительно напряженной ортотропной пластины-полосы // Вестник МГСУ. Москва. 2012. № 2. С. 11-14.

10. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В. Поперечные собственные колебания ортотропной пластины-полосы со свободными краями // Вестник МГСУ. Москва. 2012. № 7. С. 26-30.

КОПИ-ЦЕНТР св.: 77 007140227 Тираж 100 г. Москва, ул. Енисейская, д. 36. тел.: 8-499-185-79-54,8-906-787-70-86 www.kopirovka.ru

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

04201451776

На правах рукописи

БРЕНДЭ Владимир Владиславович

Колебания предварительно напряженной ортотропной пластины-полосы

(01.02.04 - механика деформируемого твердого тела)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель -

доктор технических наук Егорычев Олег Александрович

Москва-2013

Введение..........................................................................стр. 5

Глава 1. Вывод уравнений предварительно напряженной однородной

ортотропной пластины..............................................................стр. 16

Параграф 1. Общая постановка задачи о колебании ортотропной

предварительно напряжённой пластины........................................стр. 16

Параграф 2. Уравнение колебаний ортотропной предварительно

напряжённой пластины..............................................................стр 21

Параграф 3. Вывод уравнений продольных колебаний предварительно

напряжённой ортотропной пластины............................................стр. 28

Параграф 4. Вывод уравнений поперечных колебаний предварительно

напряжённой ортотропной пластины.............................................стр.32

Параграф 5. Исследование пределов применимости приближенных

уравнений предварительно напряженной ортотропной пластины.........стр. 37

Глава 2. Решение конкретных задач о собственных колебаниях предварительно напряжённых однородных ортотропных пластинах.

Приближенное решение............................................................стр. 40

Параграф 1. Нахождение общего вида решения в задачах о поперечных колебаниях предварительно напряжённых однородных ортотропных

пластинах..............................................................................стр. 40

Параграф 2. Пластина шарнирно оперта...................................стр. 45

Параграф 3. Пластина жестко закреплена..................................стр. 47

Параграф 4. Пластина со свободными краями............................стр. 48

Параграф 5. Пластина с вертикально упруго заделанными краями

............................................................................................стр. 50

Параграф 6. Пластина с горизонтально упруго заделанными краями

.............................................................................................. стр.53

Параграф 7. Смешанная задача: шарнирно закрепленный и жестко заделанный край.......................................................................стр. 54

Параграф 8. Смешанная задача: жестко заделанный и свободный край.

.............................................................................................стр. 56

Параграф 9. Смешанная задача: упругий и свободный край...........стр. 57

Параграф 10. Смешанная задача: шарнирно закрепленный и свободный

край......................................................................................стр. 59

Параграф 11. Смешанная задача: упругий и жесткий край .........стр. 60

Параграф 12. Смешанная задача: шарнирно закрепленный и упруго

(вертикально) закрепленный край..................................................стр. 63

Параграф 13. Выводы к главе. стр. 65

Глава 3. Собственные колебания предварительно напряженных

однородных ортотропных пластин, используя точное решение............стр 66

Параграф 1. Нахождение общего вида решения в задачах о поперечных колебаниях предварительно напряжённых однородных ортотропных

пластинах...............................................................................стр.66

Параграф 2. Пластина жестко закреплена..................................стр. 66

Параграф 3. Пластина со свободными краями...........................стр. 67

Параграф 4. Пластина с вертикально упруго (вертикально) заделанными краями стр 68

Параграф 5. Смешанная задача: шарнирно закрепленный и жестко

заделанный край.......................................................................стр. 71

Параграф 6. Смешанная задача: жестко заделанный и свободный край.

..............................................................................................стр. 72

Параграф 7. Смешанная задача: упругий и свободный край...........стр. 73

Параграф 8. Смешанная задача: шарнирно закрепленный и свободный

край.......................................................................................стр. 77

Параграф 9. Пластина с вертикально упруго (горизонтально) заделанными краями стр 78 Параграф 10. Смешанная задача: упруго и шарнирно закрепленный край.................стр. 79

Параграф 11. Смешанная задача: упруго и жестко закрепленный

край.................стр. 80

Глава 4. Сравнение и анализ полученных решений.....................стр. 83

Параграф 1. Сравнение результатов........................................стр. 83

Параграф 2. Шарнирное закрепление. Сравнение с известными

уравнениями..........................................................................стр. 83

Параграф 3. Свободное закрепление. Сравнение, в зависимости от записи граничных условий..........................................................стр. 85

Глава 5. Вынужденные колебания для предварительно напряжённых

однородных ортотропных пластин..................................................стр. 87

Параграф 1. Нормальный удар по ортотропной пластине.............стр. 87

Параграф 2. Задача о бегущей нагрузке по поверхности ортотропной

пластины................................................................................стр. 89

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ........................................................стр. 93

Список литературы..............................................................стр. 94

ВВЕДЕНИЕ

Известно, что большинство строительных конструкций состоит из плоских элементов. Это объясняется тем, что плоским элементам свойственны технологичность, простота формы, прочность, пластины также достаточно удобны в использовании.

С появлением сложных новых строительных конструкций возникает ряд новых задач во многих областях механики деформируемого твердого тела и других областях технических наук. Данные задачи могут относиться как к получению принципиально новых научных моделей, так и уточнению уже существующих. Таким образом, исследование упругих, изотропных и анизотропных пластин при различных динамических и статистических нагрузках, видится важной и актуальной проблемой.

Одним из наиважнейших вопросов, является расчет частоты колебаний ограниченных в плане плоских элементов. Таким образом, задачи по развитию и уточнению теории колебания пластин, формулировки новых уточненных граничных условий и краевых задач динамики в целом, использование новых аналитических и численных методов решения являются одним из наиболее важных и приоритетных направлений в технических науках, в том числе прикладной теории упругости и вязкоупругости.

Многие известные теории поперечных и продольных колебаний пластин основываются на различных физических и геометрических допущениях. Поэтому анализ приведенных в диссертационной работе решений краевых задач о колебаниях однородных ортотропных пластин-полос при различных (в самых разных постановках) граничных условиях и сравнительный анализ полученных результатов с решениями известных классических уравнений колебаний и численными решениями является весьма актуальной темой

научного исследования, имеющей значительный научный и практический интерес.

Основной проблемой в теории колебаний пластин, является имеющая строгое математическое обоснование постановка краевой задачи: аналитический вывод общих и основанных на них приближенных уравнений колебаний конечного порядка, ясная, с точки зрения механики, формулировка граничных условий на крае пластины и математическое обоснование необходимого числа начальных условий.

Развитие математических методов решения динамических задач теории упругости и вязкоупругости в основном связано со следующими учеными:

Ж.Д. Ахенбах [143], В.В. Болотин [11-15], Б.Ф. Власов [11-15], В.З. Власов, Э.И. Григолюк [28,29,30], A.A. Ильюшин [61], В.А. Ильичев, Б.Г. Коренев [66-71], Е.Б. Коренева [72], Г. Кольский, Р. Кристенсен [73], В.Д. Кубенко, H.H. Леонтьев, А. Ляв [81], Н.П. Огибалов [92,93], О.Д. Ониашвили, Г.И. Петрашень [97-100], Г.И. Пшеничнов [103,104], Х.А. Рахматулин, Д.В. Релей [153], А.Р. Ржаницын [106-109], И.Т.Селезов [113,114], А.И. Смирнов [116],И.Г. Филиппов [133-136] и другие.

Важное место в науке занимают работы, связанные с широким анализом физических свойств материала, таких как анизотропия (в частности ортотропия), вязкость, вязко-упругость и неоднородность. Данные вопросы исследовались в трудах: С.А. Амбарцумяна [1], В.И. Андреева, Е.Ф. Бурмистрова, Г.С. Варданяна [16], O.A. Егорычева [35-44,56], О.О. Егорычева [45-58], Г.Б. Колчина, С.В. Кузнецова, С.Г. Лехницкого [78], В.И. Митчел, С.Г. Михлина, П. Теодореску, Д.Я. Шерман и др.

Кроме того, данные задачи решались при помощи численных методов решения, что отражено в работах таких авторов как: В.А. Андреева, И.А. Бригера, ЯМ. Григоренко, В.А. Ломакина, Н.Д. Покровской, A.M. Проценко, В.И. Соломина, Р .А. Хечумова, H.H. Шапошникова и др.

Наиболее известные работы в в области динамики пластин связаны с такими именами, как: Л.Я. Айнола, А .Я. Александров, A.A. Амосов, В.В. Болотин, Н.М. Бородачев, JIM. Бриховский, Г.С. Варданян, В.З. Власов [1822], М.А. Дашевский, O.A. Егорычев, О.О. Егорычев, Г. Каудерер, Б.Г. Коренев, Г.Б. Муравский [85], JI.B. Никитин, Ю.Н. Новичков, В.В. Найвельт [86,87], У.К. Нигул [89,90], H.A. Николаенко [91], И.Н. Преображенский,

B.Д. Райзер [155], А.Е. Саргсян, Д.Н. Соболев, С.П. Тимошенко [121-124], Я.С. Уфлянд [127-128], Г.Л. Хесин [138], А.И. Цейтлин, Г.Э. Шаблинский, Т.Ш. Ширенкулов [142] и др.

В механике деформируемого твердого тела аналитическое (математически точное) решение задач из-за физических, механических и геометрических свойств исследуемой системы, является сложной, далекой от своего завершения проблемой.

Проблемам вывода уравнений поперечных и продольных колебаний пластин и оболочек, а также методам их решения, как численного, так и аналитического посвящено большое число работ авторов всего мира. Среди зарубежных авторов наибольший вклад в развитие теории колебания пластин внесли ученые университетов США, Франции, Нидерландов и др [17,31,82,137,144-145,147,150-152]. Наиболее известным автором в области колебания является, получивший самое известное уравнение колебаний, Г. Кирхгоф [148,149], а также А. Ляв. Также, необходимо отметить, работавшего во многих странах, С.П. Тимошенко. Из современных иностранных ученых хочется выделить работы Gupta A.K. [146] из Чехии и

C. Rajamohan [154] из Индии.

Среди отечественных специалистов [5,6,9,10,23,24,26,32,59,60,63-65,76,77,80,83,84,88,94,101-105,110,111,119,120,129-132,141] в области изучения поведения анизотропных тел в самых разных постановках, необходимо отметить труды С.Г. Лехницкого.

В последнее время наиболее известны работы Г. И. Петрашеня, в которых автор дал математическое обоснование метода степенных рядов. Автор строго показал применимость этого метода для тех задач, в которых

функции принадлежат к классу: 0 ^ ' (')

Где разомкнутый контур на комплексной контур, прилегающий справа к участку мнимой оси

В дальнейшем, наибольшее развитие теория уравнений поперечных колебаний получила продолжение в работах в работах Филиппова И.Г. При выводе общих уравнений колебаний, в бесконечных сходящихся рядов, Филиппов И.Г. практически не использовал гипотезы геометрического и физического характера. Данный метод позволяет получить уравнение любого конечного порядка в зависимости от производных пространственных координат и времени, а также однозначно сформулировать начальные и граничные условия.

Болотин В.В. разработал, широко применяемый на практики, асимптотический метод расчета колебаний пластин.

В настоящей работе используется аналитический метод, при котором из системы уравнений находится трансцендентное уравнение, из которого после анализа получается алгебраическое частотное уравнение. Данный метод, разработанный Филипповым И.Г., позволяет свести двумерную задачу к одномерной. Начальные и граничные условия, при данном методе, сформулированы математически строго.

В диссертации используются новые граничные условия упругого закрепления (пластины считаются соразмерными). Кроме того, если вертикальная пластина упруго соединена с горизонтальной и является абсолютно жестким телом, то из заданных условий, получается условие жесткой заделки, в случае же если вертикальная пластина отсутствует то

получим граничное условие свободного края. Отметим, в рамках данного метода, получить условия шарнирной заделки невозможно. В граничных условиях свободного закрепления учитывается условие Даламбера о свободном перемещении края.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы.

Во Введении обосновывается актуальность проводимых исследований и приводится краткий обзор имеющихся в литературе результатов по построению теорий поперечных колебаний пластин.

В первой главе представлен вывод Филиппова И.Г. уравнений предварительно напряженной ортотропной пластины-полосы.

В первом параграфе описывается общая постановка задачи о колебании предварительно напряжённой однородной ортотропной пластины.

Во втором параграфе получено уравнение колебания предварительно напряжённой однородной ортотропной пластины.

В третьем параграфе выводится общее уравнение продольных колебаний предварительно напряжённой однородной ортотропной пластины, из которых получены приближенные уравнения продольного колебания.

В четвёртом параграфе выведено общее уравнения поперечных колебаний предварительно напряжённых однородных ортотропных пластин, из которых получены приближенные уравнения поперечного колебания.

В пятом параграфе исследуются пределы применимости приближённых уравнений поперечного колебания предварительно напряжённой однородной ортотропной пластины.

Во второй главе решаются конкретные задачи о предварительно напряжённых однородных ортотропных прямоугольных пластинах. Приближенное решение.

В первом параграфе получен общий вид предполагаемых решений и делаются замечания на счет вида входящих в уравнения колебаний и граничные условия констант и переменных.

Во втором параграфе рассматривается аналитическое решение задачи о колебании предварительно напряжённой пластины, шарнирно закрепленной на противоположных сторонах. Рассматриваются два решения различными методами.

Во третьем параграфе получено уравнение собственных колебаний однородной предварительно напряжённой ортотропной пластины, жёстко закрепленной на противоположных сторонах.

В четвертом параграфе выведено частотное уравнение собственных поперечных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, со свободными краями на противоположных сторонах.

В пятом параграфе получено частотное собственных поперечных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, упруго (вертикально) закрепленной на противоположных краях.

В шестом параграфе выведено частотное уравнение собственных поперечных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, упруго (горизонтально) закрепленной на противоположных краях.

В седьмом параграфе выведено частотное уравнение собственных поперечных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, один край которой шарнирно оперт, а другой жестко закреплен.

В восьмом параграфе выведено частотное уравнение собственных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, один край которой жестко закреплен, а другой свободен от закрепления.

В девятом параграфе выведено частотное уравнение собственных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, один край которой свободен от закрепления, а другой упруго (вертикально) закреплен.

В десятом параграфе выведено частотное уравнение собственных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, один край которой шарнирно оперт, а другой свободен от закрепления.

В одиннадцатом параграфе выведено частотное уравнение однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, один край которой упруго (вертикально) закреплен, а другой жестко закреплен.

В двенадцатом параграфе выведено частотное уравнение собственных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, один край которой шарнирно закреплен, а другой упруго (вертикально) закреплен.

В тринадцатом параграфе приведены выводы по главе.

В третьй главе решаются конкретные задачи о предварительно напряжённых однородных ортотропных прямоугольных пластинах. Точное решение.

В первом параграфе получен общий вид предполагаемых решений и делаются замечания на счет вида входящих в уравнения колебаний и граничные условия констант и переменных.

Во втором параграфе получено уравнение собственных колебаний однородной предварительно напряжённой ортотропной пластины, жёстко закрепленной на противоположных сторонах.

В третьем параграфе выведено частотное уравнение собственных поперечных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, со свободными краями на противоположных сторонах.

В четвертом параграфе получено частотное собственных поперечных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, упруго (вертикально) закрепленной на противоположных краях.

В пятом параграфе выведено частотное уравнение собственных поперечных колебаний однородной ортотропной предварительно напряжённой пластины, один край которой шарнирно оперт,