Колебания предварительно напряженной ортотропной пластины тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

БРЕНДЭ Владимир Владиславович

КОЛЕБАНИЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ.

01.02.04. - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

- 8 СЕН 2011

Москва 2011

4852690

Работа выполнена в Государственном образовательном

учреждении высшего профессионального образования Московском государственном строительном университете

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор кандидат физико-математических наук, доцент

Ведущая организация: Центральный научно-исследовательский институт строительных конструкций им. В.А. Кучеренко

Зашита состоится 4 октября 2011 г. в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ГОУ ВПО Московском государственном строительном университете по адресу: 129337, Москва, Ярославское шоссе, 26, МГСУ7 кго У/чк

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета

Автореферат разослан _^2011 г.

Егорычев Олег Александрович

Андреев Владимир Игоревич Демьянов Александр Юрьевич

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Н.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Постоянное развитие современной техники и, в частности, строительной техники выдвигает рад повышенных требований к исследованиям в областях механики деформируемого твердого тела и строительной механики. В связи с этим, становится необходимым развитие более достоверных представлений о деформационных и механических свойствах материалов в различных режимах их эксплуатации, особенно при динамических нагрузках.

Плоские элементы конструкций, нашли широкое применение в различных областях техники и строительства, что объясняется тем, что тонкостенным конструкциям присущи легкость и рациональность форм, высокая несущая способность и технологичность, а также экономичность. Поэтому развитие и уточнение теории колебания пластин, точная формулировка краевых задач динамики, использование новых методов решения является одной из важных частей прикладной теории упругости и вязкоупругости, способствующей наиболее точному получению расчетных значений и, следовательно, повышению надежности конструкции в целом.

Математическая сложность динамических задач в механике деформируемого тела, исследуемых методами математической физики, обусловлена рядом причин, такими как свойства материалов, так и геометрическими особенностями механических систем. Поэтому развитие и уточнение теории колебаний пластин, привлеченной к решению новых уравнений движения, а также использование новых методов решения задач, является актуальной и перспективной проблемой.

Цель работы. Анализ полученных ранее общих уравнений колебаний однородных ортотропных пластин. Вывод приближенных (конечного порядка) уравнений предварительно напряженной пластинки. Построение аналитических решений ряда конкретных прикладных задач.

Объектом исследования являются пластины, как составные части многих строительных конструкций.

На защиту выносятся: Вывод уравнений общих и конечных приближенных поперечных и продольных колебаний предварительно напряженой прямоугольной однородной ортотропной пластины.

Определение интервалов сходимости рядов, определяющих общие уравнения однородной ортотропной пластины.

Решение конкретных прикладных задач о собственных и вынужденных колебаниях пластины, при различных граничных условиях.

Сравнение полученных новых результатов с ранее полученными.

Научная новизна работы состоит в следующем:

Формулируется общая постановка задачи математической физики о колебании предварительно напряженной однородной ортотропной прямоугольной пластины.

Получено общее уравнение поперечных и продольных колебаний предварительно напряженной однородной ортотропной прямоугольной пластины.

Исследуются пределы применимости приближенных уравнений поперечных колебаний однородной ортотропной прямоугольной пластины.

Решены следующие прикладные задачи:

Получены уравнения собственных поперечных колебаний однородной ортотропной прямоугольной предварительно напряженной пластины-полосы шарнирно (рассматриваются два решения), жестко и упруго (вертикально и горизонтально) закрепленной на противоположных сторонах, а также свободной от закрепления.

Получены уравнения собственных поперечных колебаний однородной ортотропной прямоугольной предварительно напряженной пластины-полосы с различными комбинациями смешанного закрепления на противоположных сторонах: шарнирного, жесткого, свободного и упругого (вертикального).

Нормальный удар по поверхности однородной ортотропной предварительно напряженной пластины, когда два противоположных края шарнирно оперты, а на двух других любые граничные условия.

Воздействие подвижной нагрузки по поверхности однородной ортотропной предварительно напряженной пластины, когда два противоположных края шарнирно оперты.

Практическое значение приведенных в диссертации исследований может быть использовано для анализа поперечного колебания ортотропных пластин и, в том числе, для упругих и вязкоупругих пластин.

Достоверность положений и выводов диссертационной работы детально обоснована. Основные представленные в ней результаты получены с применением обоснованных и многократно апробированных математических методов, сформулированных в точной двухмерной постановке теории упругости и вязкоупругости. Достоверность общих и основанных на них уточненных уравнений и решений частных задач подтверждается строгой математической постановкой, проверкой и сопоставлением с классическими теориями колебаний и другими теориями последних лет.

Апробация и публикации работы. Основные положения выполненных исследований по диссертационной работе освящены в 7 статьях.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Работа изложена на 103 страницах, в том числе включает 8 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обосновывается тема диссертации, раскрывается содержание работы, излагаются основные положения, которые выносятся на защиту.

Обзор работ посвящен современному состоянию вопросов о распространении волн в упругих и вязкоупругих средах, анализу публикаций отечественных и зарубежных авторов по распространению волн и теориям колебаний пластин.

Классическая теория изгибных колебаний пластин была впервые более полно развита Г. Кирхгофом. Существенным уточнением уравнения поперечных колебаний Кирхгофа является уравнение, полученное Уфляндом на основе модели Тимошенко, в которой (применительно к пластинкам) полагается, что элемент первоначально прямолинейный и нормальный к срединной плоскости пластины, остается и после деформации прямолинейным, однако угол его наклона к срединной плоскости пластины может быть отличен от прямого.

В динамике пластин метод степенных рядов применял И.Г. Селезов. Впоследствии ГИ. Петрашень дал математическое обоснование метода степенных рядов на примере динамической задачи о слое в случае плоской деформации. Дальнейшее развитие вывода уравнений колебаний получено в работах И.Г.Филиппова и его учеников.

Основной вклад в развитие математических методов решения динамических задач теории упругости и вязкоупругости внесли ученые: Ж. Д. Ахенбах, В.В. Болотин, Б.Ф. Власов, В.З. Власов, Э.И. Григолюк, O.A. Егорычев, A.A. Ильюшин, В.А. Ильичев, Б.Г Коренев, Г Кольский, Р. Кристенсен, В. Д. Кубенко, H.H. Леонтьев, А. Ляв, Н.П.Огибалов, О.Д.Ониашвили, ГИ. Петрашень, ГИ. Пшеничнов, Х.А. Рахматулин, Д.В. Релей, А.Р. Ржаницын, И.Т.Селезов, В.И. Смирнов, И.Г Филиппов и другие.

В настоящей работе используется аналитический метод, приводящий к трансцендентным частотным уравнениям, после анализа которых преобразуется к алгебраическим частотным уравнениям. Данный метод отличается относительной свободой от большинства предварительных

гипотез и дает возможность свести трехмерную задачу к двумерной, а также позволяет однозначно сформулировать начальные и граничные условия.

Первая глава посвящена выводу уравнений поперечных колебаний предварительно напряженных однородных ортотропных прямоугольных пластин постоянной толщины методом, основанным на применении интегральных преобразований по координате и времени и использовании общих решений в преобразованных трехмерных динамических задачах теории упругости.

П 1. Общая постановка задачи о колебании предварительно напряженной однородной ортотропной пластины.

В декартовой системе координат (х,у,г) рассматривается однородная ортотропная предварительно напряженная пластина, срединная плоскость которой в недеформированном состоянии совпадает с координатной плоскостью ХОУ, ось Ъ направлена вертикально вверх. Пластина занимает следующую область: (у е (-сс ;+«),* е (-оо;-ко),2 б \-h\h\)

Будем считать, что материал обладает вязкими свойствами, тогда связь напряжений и деформаций можно представить в виде.

о-«=4А.+Д2е„ +4 А* <?„=4?а+4¿у> =4 А., (111)

При этом вязкоупругие операторы 4, имеют вид:

«Ю- )/,(»-&<#£

,где /у -ядра вязкоупругих операторов, Кд -

константы материала.

Так как предварительно напряженное состояние считается однородным, то начальные перемещения можно представить в виде:

и0 = а0х + Ь0у + с0г,уа = а,х + Ь,у + схг,иь = а2х + Ьгу + с2г (1.1.2)

где а],Ъ], с 1, у = 0,1,2 -постоянные безразмерные величины,

определяющие однородное деформированное состояние.

Пусть м,у, -возмущенные перемещения (1>0), а и ,1' .м' -перемещения характеризуещие состояние пластины в данный момент, которые выражаются через начальные и возмущенные перемещения:

и- =и+и0,г = У+Г0,УГ =И'+И>0 (1.1.3)

В этом случае, используя соотношения (1.1.2) и (1.1.3), зависимости между деформацией и перемещениями записываются уравнениями вида:

/, \ди ду ды =(1 + о„)— + а,— +аг — + дх дх дх

(1.1.4)

О, /, чди> ду , ¿V , ди ди г ^ ^

+ + 0 + + + ¿2 —+ 60 —+ С0 —+ +Ь2+с„Ьс+а1с, 1-й,

ог оу оу оу о2 оу

Зависимость напряжений от возмущенных деформаций имеет вид:

04, = А,

= ли

/, \ди ду

^Тх^'Тх

+ А,

Л I 1 ¿И

+ Л13(1 + е2)

ди1

д7

(1.1.5)

(1 + 6,) + 1 + с )

02 оу ог

Рассматриваются случаи, когда зависимость (1.1.2) принимает более простой вид.

Первый случай. Если параметры однородного напряженного состояния

удовлетворяют условиям: а0 =6,; с2 =с2(а0) (1.1.6)

Получаем опять ортотропный материал, но с другими константами.

Второй случай. Если возмущенные деформации не зависят от одной из координат, например от координаты у, и перемещение V = 0, то зависимость (1.1.5) принимает вид:

= А

ди

'дх]

дг .

'дг

<У- = А,

(1.1.7)

/, \ди /. (1 + а0)—- + (1 + с2)— ог ох

П 2. Уравнение колебаний предварительно напряженной однородной ортотропной пластины.

Предположим, что материал пластины ортотропен, предварительно напряжен и начальные перемещения точек пластины имеют вид:

и0 = аах; у0 и;, ^{сф (Т.е рассмотрим первый случай) (1.2.1)

Известно, что плотность пластины определяется как с1ггг- масса материала, занимаемый объем ¿У = скс!ус1г.

Тогда, плотность предварительно напряженной пластины

равна: а =---. Здесь р - плотность материала пластины без

(1+^(1+5) предварительного напряжения.

В декартовой системе координат уравнения движения материала пластины записываются в уравнениях вида:

= р, ^ (¡\у, £=*,>>, г, 1 ц =и,\\кпрШ=х,у,г соответственно)(1.2.2) дх ду 62 дг

В общем случае колебания пластины вызываются внешними усилиями, приложенными к поверхности пластины, т.е. граничные условия имеют вид:

= <т>!=Р*{х,у,{), при г = ±А (1.2.3)

Тогда граничные условия в перемещениях можно записать в

виде: (д;,у,{) = (1 + а„ ^ +

ди ду /-1 о

Начальные условия задачи положим нулевыми:и=—= г = —= -и> = —= о

* о/ 01

Следовательно, трехмерная задача о колебании предварительно напряженной ортотропной пластины сведется к решению уравнений (1.2.2) с граничными (1.2.4) и начальными (1.2.5) условиями.

Трехмерную задачу о колебании пластины будем решать, применяя интегральное преобразование Фурье по координатам (х,у) и преобразование Лапласа по времени

В граничных условиях (1.2.5) функции /£(х,у,(),

определяют внешние усилия, будем искать в классе функций, представляемых в виде:

При этом функции /*0, /Д0, /¿0 будем считать пренебрежимо малыми вне области: |Л|<|£0|, |1тр|^й>0. Где к0> о0-конечные величины.

Данное условие говорит о том, что внешние усилия не являются ни высокочастотными, ни концентрированными, так как в противном случае, при подобных внешних усилиях длины волн, как по времени так и по координатам, малы и соизмеримы с поперечными размерами пластины и, следовательно, задачу невозможно свести к двумерной.

Аналогично, общее решение уравнения (1.2.2) будем искать, также используя преобразования Фурье и Лапласа для функций и, V , м>:

(1.2.7)

"¡^ш (кх) "¡.сое (дх), г .

ы = Г 4 / Як Г ) '¿д 1и,е'"4'р , }-ст(кх) > зт [дх )

'= I ■ А. Vй I / & | V > } . )Ч {<*д \wydp

(1)

Подставим (1.2.7) в уравнения (1.2.2), получим для определения , н», систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

(1 + в. )40' ^- [О + «о Х4>*:+ 4° V»)+ Р, Р=' •

от

о+во Х4>+,+(1+сг Х4>+4о)> ^

<Эг

= О

¿2

(1.2.8)

О!

Г

= о

Граничные условия (1.2.4) после преобразования (1.2.6) и (1.2.7) принимают вид:

(1 + я0)[40)Ь, + А^Чг + С2)^ = /ик,Ч,р);

Ао)

О + ао^-О + Сг^ дг

= ft.fi

(0)

О + ао^-О + Сг)?^ 02

(1.2.9) = /До (М.р)

Здесь Ду0) -преобразование по Лапласу операторов 4-

Общее решение системы (1.2.9) будем искать в виде: щ = Аех^ог). V, - 5ехр(аг). уи, = А ехр(ог)

(1.2.10)

Пусть внешние усилия и искомые перемещения не зависят от координаты у. Уравнения (1.2.8) в этом случае примут вид:

(1 + аа)А$ 4гГ"[(1 + + )+ АР* К - [(> + ЖР +

дг

ог 02

(1.2.11)

Одновременно и граничные условия (1.2.9) выражаются следующим образом:

дг

(1.2.12)

= ПЛ-ч-р)

ог J ог

Общее решение уравнения (1.2.11) можно представить в виде: ы, = + с/г(а2 г) + Л 3 г) + Д, 5й(а2г) (1.2.13)

= В,сА(/5г)+ Я2$й(/?г); к, = [Л,¿/¡(от,г) + Л.сЛ(а,г)]®, +[,42^(а22)+^сЛ(а2г)]®2 Где а,, ог2, /3 удовлетворяют уравнениям:

'(1+«0Х1+с2)|4?+4М1 ■+ 4°5))2к

(1 + а0Х1 + с2К)^)«4-

(1.2.14)

,7 = 1.2

П 3. Вывод уравнения продольных колебаний предварительно напряжённой ортотропной пластины.

При продольных колебаниях пластинки внешние усилии удовлетворяют условиям: К =К =/.\ ¡^ = =/к; (1-3.1)

А так как величины и , , у, симметричны относительно срединной плоскости,

- антисимметрична, то постоянные интегрирования В2,А3,А4 в (1.2.13) необходимо положить равными нулю, получим:

и, = А1сИ(а^)+ А2ск(агг) V, = Д,сйО&)) Щ = ю,Л2л/г(а2г) (1.3,2)

Разложим гиперболические функции в степенные ряды по г, тогда (1.3.2) примет вид:

ц =±{А<а? = (1-3.3)

Введем главные части смещений , которые являются

коэффициентами при первых членах рядов (1.3.3):

6Г0=Л,+Л2Л О-3-4)

Выражая ,и>,, через ису0,№с и подставляя результат в (1.2.12) получим систему, обращая которую по к,р получим общие уравнения продольного колебания предварительно напряженной пластины.

Основными характеристиками продольного колебания пластинки являются перемещения и точек срединной плоскости пластинки. Тогда приближенные уравнения для и0 имеют вид:

= (1-3.5)

В том случае, когда пластина свободна от предварительного напряжения уравнение продольного колебания имеют вид:

П.4. Вывод уравнения поперечных колебаний предварительно напряжённой ортотропной пластины.

Поперечные колебания относятся к антисимметричным колебаниям и возникают в том случае, если функции внешних усилий удовлетворяют условиям= Г =/г ; = /.; = ^ = />г (1.4.1)

Тогда граничные условия будут вьгаолняться, если в общем решении постоянные интегрирования ДД,С, в (1.2.14) положить равными нулю.

Тогда общее решение (1.2.13) примет вид:

и, = V, = ВгзИ(рг)\ щ = [Агс/г(а12)}о1 + [Л4сй(аг,г)]®2(1.4.2)

Разложим гиперболические функции в степенные ряды по 2: ">^.З)

Введем главные части смещений »„»,,1», которые являются коэффициентами при первых членах рядов (1.4.3), получим:

Ц0=44 = рВг, Щ0 = +щА4 (1.4.4)

Выражая ц.у,,™,, через ис,к,;у0 и подставляя результат в (1.2.12) получим систему, обращая которую по к,р получим общие уравнения поперечного колебания предварительно напряженной пластины.

Ограничиваясь в общих уравнениях первыми двумя членами, получим общее уравнение четвертого порядка поперечных колебаний относительного

Где: Л, = а|(1+с2)-Чз +3(1+^)^1, (1А6)

А2 =2(1+С2Х1+а0Г-2Д4-^13+ЗЛззЧ1(4А-42Д4 =-^[2(1+^)^(4,43-4)]

А

Если материал ортотропной пластины-полосы предварительно не напряжен, то уравнение колебаний пластины имеет вид:

д21У. И2

-Г1-"1"-

дг2 6

{2[\-А„А;}]+3[А„А„У{АиА,,-А2))-д

ЛМ (1.4.7)

РМя

дг2дх2

П.5. Исследование пределов применимости приближенных уравнений предварительно напряженной ортотропной пластины.

Пользуясь признаком Даламбера, определен интервал сходимости рядов.

Вторая глава посвящена решению задач о собственных колебаниях однородной ортотропной прямоугольной пластины постоянной толщины имеющей различные граничные условия.

П. 1. Нахождения общего вида решения в задачах о нахождения поперечных колебаний предварительно напряжённых однородных ортотропных пластины. Общее решение однородного уравнения (1.4.5), решение которого будем искать в виде:

безразмерная частота (2.1.1)

Используя решение (2.1.1), уравнение (1.4.5) преобразуется в

обыкновенное дифференциальное решение уравнение:

(2.1.2)

ах ах

а _ (съ

А, ГА А

Его характеристическое уравнение: г4 +ДГ2 +Д =0.

Откуда: г12 3 „ =

(2.1.3)

(2.1.4)

(2.1.5)

Использую соотношение (2.1.3), равенство (2.1.5) будет иметь вид:

(2.1.6)

^=±{4)-ш гА>±и-ЛАл+4а(4л'

Отметим характерное значение при котором выражение под

внутренним корнем (2.1.6), обращается в ноль: = ±2 —

4а,а3-а;

Из анализа корней выражения (2.1.8), возможны 2 варианта.

Вариант 1., >Л>Пдм-ЦЩ-А,

Здесь

< А2, т.к.

и

гдеА^А (2.1.7) > 0 и сколь угодно мало.

Значит:,и - ±А,; ,м = ±/М. Где:д А А "А .

Оз = ТД^Г, (2-1.8)

Для данного варианта общее решение уравнения (2.1.3) имеет вид:

»'о, = 0080^*)+^ 5Н<Дх) + Хз 005^*)+ л:4 (2.1.9)

Вариант 2. £ < &. ¿12Д4 = ±](4

гдей, <А (2.1.10)

Здесь: следовательно:

1-ГаГ

и,;

< о,

[л'-АА^-^

К

<0,

(2.1.11)

г,2.з, ±ш4]5 , где: Д4

Обозначим: Д=-|£-] а. =| 1 Тогда равенство (2.1.11)

I V -Щу' К к) ,]2А3

примет вид; 34 =+{-Д ±1а5]а = ±Д;

(2.1.12)

Где: +/%, <р=ат-с/^у-] Введем новые обозначения для равенства(2.1.12):

/и.

Кг) 12

(2.1.13)

Окончательно получим корни характеристического уравнения (2.1.6) в виде: г1Д34 = ±[-у?+/а] (2.1.14)

Окончательно общее решение уравнения (2.1.2) представляется в виде: = со{са)+Кг й^ос)]+е~Гк\кг со{ох)+Кл з^е»:)] (2.1.15)

Следует заметить, что если пластинка при х=±1 имеет по каждому краю равные граничные условия, то задача становится симметричной относительно х=0, а функция К'0 (х) - четной.

Тогда (2.1.9) принимает вид: IVт созДх+Л'2 соар2х (2.1.16)

(2.1.15) представится в виде: ^(х) = К,сМ/1х)со5К^фх^т(же) (2.1.17)

П.2 Пусть пластина шарнирно оперта на противоположных полосах по

оси ОХ. Граничные условия, в данном случае, имеют вид:

Жо=^-=0,прих=±/; дх

Решение

(2.2.1)

будем

искать

уравнения (1.4.5) виде: (Р(х,0 = г£^п . Получаем алгебраическое уравнение:

(2.2.2)

Решим ту же задачу, используя ранее полученные решения. Вариант 1. Подставим Общее решение (2.1.16) в (2.2.1):

X, собр^+К. соеД,/ = О

соэ р^1+кгр1 сое/у = О

(2.2.3)

Для определения частотного уравнения из системы (2.2.3) получим трансцендентное

уравнение:

Р\софх1^р,1-0!; сов/усоз/у = 0(2.2.4)

Разложив в ряды, входящие в (2.2.4) функции, получим частотное уравнение:

1-у

2 + 4

<?4=0 (2.2.5)

Задачу можно решить, используя уравнение Кирхгофа. Сравним

-аи -ига - ил ои », /

полученные решения (рис. х).

Рис 1. График зависимости частоты от начального напряжения. Толстая линия (ур-е Кирхгофа). Средняя линия (точное решение). Тонкая (полученное из (2.2.5)). (Расчитано для Намоточного однонаправленного материала).

Вариант 2. Подставим Общее решение (2.1.17) в (2.2.1) и посчитав определитель, получим:со${7а>.) + chiT.pi) = 0 (2.2.7)

Из которого получим частотное уравнение, разложив в ряды Маклорена, входящие в (2.2.6) функции

<*4+3 Г

(2.2.8)

П.З Пластина жестко закреплена на противоположных сторонах.

Граничные условия, в данном случае, имеют вид:

сШ

1У=— = О, при х=±1\ &

Тогда для варианта 1 частотное уравнение будет иметь вид:

12

г{р1+бр1р1 +Р1) 2 _

(2.3.1)

(2.3.2)

Для варианта 2 частотное уравнение будет иметь вид: 4* +5{а% + а\/¡"2£2 +1 ?(а* =0 (2.3.3)

П. 4.Пластина со свободными краями на противоположных сторонах. Граничные условия для такой пластины имеют вид:

+ С,Ж0 =0,—р=0, где С, =-pAJ "У 4т (2-4.1)

----- '

дх2 1 0 ас3

Вариант 1. Получаем систему:

([с, - а2]со5(д?)К +([с,-/?2]cos(/?,/))k2 =о (a3 sinOУ)]к, + (pi sinCS2/)K = о

(2.4.2)

Определитель которой равен:

(С, -A2)/?23cosOV)sin^O-ic, -/?22)/?>s(/y)sin(/?.,/) = 0 (2.4.3)

Откуда: ?4 -^<f2 +^ = 0 (2.4.4) D-, Dy

Где:Ц,=К+К2,д =

'44444

v, =(c7 v2 =(c7 (2.4.5)

Вариант 2.Получаем систему:

(fg, со<а/)+С,со^))сМ»-[я2 sin(oi+ ((Я, sinH+C, sm(aiM/») + [g2 cos(о*М/фГ2 =0

((g3 cos(cd))sh(p!)+(g4 sinHM* + (2A6)

((g3 sinH)c^)-(g4 cos(of))5/^/)K2 =0

Введя:M =[fe +q)&+ag,] К =[(s +С;)&-&&]По лучим:ехК4Д)+^-ехр(2Д)+1 = 0(2.4.7)

> Afj

Введя также:р, =o;[(q +q2)qJ-q3q5]^! =o,[(q

Во второй главе параграфах 5,6,7,8,9,10,11,12 представлены решения о колебании пластины с различными комбинациями граничных условий.

Третья глава посвящена решению задач о вынужденных колебаниях однородной ортотропной прямоугольной пластины.

ПЛ. Нормальный удар по ортотропной пластине.

Пусть имеется ортотропная предварительно напряженной пластина постоянной толщины Ь, занимающая в пространстве область (у е (-«> ;+■»),* е [- /;/]). Считаем, сто пластина закреплена шарнирно (2.2.1) на границе, прих=±/^ В момент г=0 по поверхности пластины произведен удар интенсивности /,(х,0> причем /;(х, г) симметрична относительно оси ОХ.

Уравнение для определения ш запишем в виде (1.4.5):

дГ дГ дгдх дх рЬАк

тт „г дТГ д3(Г , а 1 оч

Начальные условия нулевые: № = —— = —— = —у-, ' - и (3.1.2)

о? дI 'м

Известно, что решение (3.1.1) представляется в виде:ГГ=й^0> + ¡Ко (3.1.3) Где 1¥010> -общее решение однородного уравнения, ш,„ -частное решение

IVс101 (х, {) представим как: ГГ„т (х, ')="£/• (3'1 -4)

Будем считать, что функция Г представляется в виде: Р - £ втГ(3.1.5) Подставляя (3.1.4) и (3.1.5) в (2.2.1), для определения р, получим уравнение:

, д Р.

л , ( И7Г

^■Чт,

д1*

Общее решение однородного уравнения (3.1.6) имеет вид:

Р„ 8Ш+ + + (3.1.7)

Где/г,„- произвольные постоянные. частоты собственных колебаний. Частное решение из (3.1.3) будем искать, используя метод вариации произвольных постоянных. Тогда получаем:

»»=« V * /

^соб!-^.'

(Ъ -

Л - сое — с,

ЧН

Л-СОБ

»4

е-)

Л яп

(3.1.8)

Так как в данной задаче начальные условия нулевые, то все произвольные постоянные общего решения однородного уравнения равны нулю.

Это означает, что ¡Г0т (х, г)= О и к = (х, г) (3.1.9)

П. 2. Задача о бегущей нагрузке по поверхности ортотропной пластины.

Пусть имеется однородная ортотропная предварительно напряженная пластина-полоса постоянной толщины 2Ь, занимающая в пространстве область (у е (-оч+оо),* е [-/;/], г е [- й; Л]). Считаем, что пластина закреплена шарнирно (2.2.1) на границе, при х = ±1 и имеет нулевые начальные условия. На полосу действует симметричная относительно оси ОУ нормальная нагрузка /.(х,у,г), движущаяся в положительном направлении оси ОУ со скоростью V. В качестве уравнения, описывающего поведение пластины, примем уравнение (1.4.5):

д2ж „ а4?г

дС

-+ А

д'Ж

■+А,

(3.2.1)

Запишем (3.2.1) в новой подвижной системе координат (£ = у-Г/, х = х), представляя, в силу шарнирного закрепления, г = ЁМ^)«"^2^'^)' И

предполагая = ¿/.Дх.^со^**1^*

Тогда уравнение (3.2.1 Становится обыкновенным дифференциальным уравнением:

(2к+1)ж

Общее решение уравнения (3.2.2) примет вид:!?7, = IV^ + Г,\

(3.2.2)

(3.2.3)

Где - общее решение однородного уравнения, ^ - частное решение. Общее решение однородного уравнения можно представить в виде: й'м = К\.к + Кхк (3-2.4)

Где: ^ =

I

с, 2

XI =

(3.2.5)

Где С, и С2 - безразмерные коэффициенты.

Частное решение неоднородного уравнения (3.2.2) найдем, используя метод вариаций произвольных постоянных. ^ имеет вид:

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ.

1) Представлен вывод общих уравнений продольных и поперечных колебаний однородных ортотропных пластин на основе математического подхода без использования гипотез физического характера.

2) Получены приближенные уравнения продольных и поперечных колебаний пластины конечного порядка.

3) Исследованы пределы применимости приближенных уравнений колебаний, определен радиус сходимости.

4) Впервые получены аналитические решения задач о колебании ортотропных предварительно напряженных пластин.

5) Приведен фактический материал решений большого количества конкретных задач, при решении которых использовались новые формулировки граничных условий.

6) Приведены сравнения полученных решений с использованием классических граничных условий и вновь полученных, а так же приведены сравнения решения задач при использовании классических уравнений колебаний и вновь полученных уравнений.

7) Выявлено влияние граничных условий на порядок частотного уравнения.

8) Представлен анализ частотных уравнений и получены зависимости изменения частот однородных ортотропных пластин в зависимости от материала и геометрии.

= = 0 (3.2.7)

д( ас2 а<г3

(3.2.8)

(3.2.6)

Что равносильно = 0, Жк = Ж,

кг

9) Выведенные формулы для определения значений частот собственных колебаний однородных ортотропных пластин, удобны для практического использования и могут быть применены для расчета строительных и других инженерных конструкций.

10) Полученные в диссертационной работе результаты позволяют решать широкий класс прикладных задач колебаний в области строительной механики и техники.

11) Полученные в диссертационной работе уравнения позволяют получать частотные уравнения для пластин любой конфигурации.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ СТАТЬЯХ:

1. Егорычев O.A., Брендэ В.В.. Собственные колебания однородной ортотропной пластины/ ПГС- Москва. 2010. № 6.

2. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В.. Собственные поперечные колебания предварительно напряженной ортотропной пластинки-полосы упруго закрепленной по одному краю и свободной по другому/ ВЕСТНИК МГСУ- Москва. 2010. № 4.

3. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Поддаева О.И., Брендэ В.В.. Собственные поперечные колебания предварительно напряженной ортотропной пластинки-полосы жестко закрепленной по одному краю и свободной по другому/ ВЕСТНИК МГСУ- Москва. 2010. № 4.

4. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Поддаева О.И, Брендэ В.В.. Нормальный удар по ортотропной пластине/ ВЕСТНИК МГСУ- Москва. 2010. № 4.

5. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В.. Вывод частотного уравнения собственных поперечных колебаний предварительно напряженной пластины упруго закрепленной по одному краю и жестко закрепленной по другому/ ВЕСТНИК МГСУ- Москва. 2010. № 4.

6. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В.. Вывод частотного уравнения собственных поперечных колебаний предварительно напряженной пластины упруго закрепленной по одному краю и шарнирно опертой по другому/ ВЕСТНИК МГСУ- Москва. 2010. № 4.

7. Егорычев O.A., Егорычев О.О., Брендэ В.В.. Собственные поперечные колебания предварительно напряженной ортотропной пластинки-полосы жестко закрепленной по одному краю и шарнирно опертой по другому/ ВЕСТНИК МГСУ- Москва. 2010. № 4.

КОГТИ-ЦЕНТР св. 7:07:10429 Тираж 100 экз. г. Москва, ул. Енисейская, д.Зб тел.: 8-499-185-7954, 8-906-787-7086