Решение контактных задач теории пластин и плоских негерцевских контактных задач методом граничных элементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

МАЛКИН Сергей Александрович

РЕШЕНИЕ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПЛАСТИН И ПЛОСКИХ НЕГЕРЦЕВСКИХ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ-2004

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина"

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Юрий Павлович Артюхин

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Игорь Георгиевич Емельянов доктор физико-математических наук, профессор Николай Георгиевич Рябенков

Ведущая организация:

Казанский государственный технологический университет

Защита состоится " 30 " сентября 2004 г. в 14 ч. 30 мин, в ауд. 324 НИИММ на заседании диссертационного совета Д 212.081.11 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по механике при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КГУ.

Автореферат разослан "_"_2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к. ф.-м. н.

А.А. Саченков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Высокие требования, предъявляемые к надежности современных машин и механизмов, в настоящее время могут быть удовлетворены лишь при условии обеспечения процесса проектирования оперативной и достоверной информацией об их напряженно-деформированном состоянии. Расчетные схемы исследуемых конструкций при этом должны быть максимально приближены к реальным объектам, учитывать сложность их конструктивных форм, структуры и характер нагружения, которое обычно осуществляется посредством контакта отдельных деталей.

Контактные задачи отличаются разнообразием подходов и применяемых теорий. Основные достижения по этой проблеме получены в работах Г. Герца, И.Я. Штаермана, Г.Я. Попова, Н.И. Мусхелишвили, Л.А. Галина, В.М. Александрова, Ю.П. Артюхина, Э.И. Григолюка, B.C. Гудрамовича, К. Джонсона,, И.Г. Емельянова, Г.Б. Иосилевича, Б.Я. Кантора, А.С. Кравчука, В.И. Моссаковского, В.П. Ольшанского, Б.Л. Пелеха, В.М. Толкачева, Т. Andersson, A. Blazques, G.M.L. Gladwell, J.T. Oden, F. Paris и других.

Современные исследования в области решения контактных задач проводятся в основном в вариационной постановке с использованием метода конечных элементов. Интегральная постановка в решении контактных задач, с которой и получили начало исследования в этой области, ограничивается только задачами для тел с достаточно простой геометрией. Это объясняется трудностью построения функции влияния, которая выступает ядром в разрешающих интегральных уравнениях, для тел сложной формы. Использование метода граничных элементов(МГЭ) позволяет построить функцию влияния в численно-аналитическом виде для тел произвольной формы.

Теория Герца, на основе которой проведено решение большинства прикладных контактных задач, возникающих при прочностных расчетах элементов машиностроительных конструкций, также построена с использованием интегрального подхода. Однако тот факт, что функция влияния заменяется фундаментальным решением для полуплоскости, накладывает ограничения на геометрию и способ взаимодействия тел. Предложенные в данной работе численные алгоритмы позволят решать поставленные задачи взаимодействия жесткого и упругого тел в их действительной геометрии с учетом всех приложенных краевых условий. Это позволит оценить применимость теории Герца к решению плоских контактных задач.

Цель работы:

- применить метод граничных интегральных уравнений к решению контактных задач для тел сложной геометрии путем построения численно-аналитической функции влияния;

- разработать и применить алгоритм решения

двумерных контактных задач для пластин произвольной формы с неизвестной областью контакта;

- разработать и применить алгоритм на основе непрямого МГЭ решения плоских контактных задач в отказе от положений теории Герца, сравнить полученные решения с решением по теории Герца.

Научную новизну работы составляет развитие МГЭ применительно к контактным задачам для тонкостенных элементов и плоских тел. Созданы алгоритмы поиска областей контакта, определения контактных напряжений и напряженно-деформированного состояния упругих тел при их взаимодействии с жесткими телами. Дано решение прикладных задач, на примере которых продемонстрирована эффективность предложенных алгоритмов. На защиту выносятся:

- алгоритм решения двумерных контактных задач взаимодействия пластин произвольного очертания с жесткими' телами при неизвестной области контакта на основе непрямого МГЭ;

- результаты решения ряда контактных задач передачи усилий на пластины посредством жестких накладок и штампов;

- интегральные уравнения непрямого МГЭ с фундаментальным решением для полуплоскости плоских задач теории упругости для тел сложной формы с замкнутым контуром;

- алгоритм решения плоских негерцевских контактных задач взаимодействия упругих и жестких тел при неизвестной области контакта на основе непрямого МГЭ;

- результаты решения негерцевских задач контакта плоских упругих и жестких тел, сравнение их с решением по теории Герца;

- результаты расчета на контактную прочность эвольвентного зубчатого зацепления.

Достоверность полученных результатов обеспечивается: строгими математическими постановками рассматриваемых задач и обоснованным применением математических методов; аналитическим вычислением сингулярных интегралов; сходимостью приближенных решений, полученных МГЭ, при увеличении числа элементов на контуре; совпадением численных результатов решения ряда тестовых задач с аналитическими, опубликованными в литературе или полученными в диссертации; тщательным тестированием численных алгоритмов на всех этапах разработки и реализации.

Практическая значимость работы заключается в развитии численных методов решения контактных задач. Разработанные в диссертации методики могут быть использованы в проектных и конструкторских организациях для инженерных расчетов напряженно-деформированного состояния деталей машин при контактных взаимодействиях.

Апробация работы. Результаты работы доложены на Международной конференции."Актуальные проблемы механики оболочек" (Казань, 2000), XIII Всероссийской межвузовской научно-технической конференции (Казань,

2001), XI и ХШ Межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2001, 2003), УШ Чегаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 2002), XX Международной конференции по теории оболочек и пластин (Н. Новгород, 2002), XX Международной конференции "Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов" (С.-Петербург, 2003), Конференции "Наука и практика. Диалоги, нового века" (Наб. Челны, 2003), Всероссийских молодежных научных школах-конференциях "Лобачевские чтения" (Казань, 2001, 2003), итоговых научных конференциях Казанского университета (2001 -2003).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 научных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 166 страниц, зключая 71 рисунок, 12 таблиц и список литературы из 261 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор работ, близких к теме диссертации, сформулированы актуальность, цель работы, ее структура, выписаны положения, выносимые на защиту.

В первой главе описывается алгоритм применения непрямого метода граничных элементов к решению задачи изгиба пластин произвольного контура в линейной постановке. Рассматривается тонкая изотропная линейно-упругая пластина, срединная поверхность которой занимает область ограниченную гладким контуром Г. Область пластины Q дополняется областью до бесконечной области. По контуру Г к бесконечной пластине прикладываются компенсирующие нагрузки . Нагрузка

распределенное по контуру Г усилие, нормальное поверхности пластины, т(С,) - распределенный по контуру Г момент вокруг касательной к контуру Г. Решение задачи изгиба пластины рассматривается в интегральном виде, который согласно методу компенсирующих нагрузок запишется:

w(0 = г/(0 + ¡p(QG(t,Qdr(Q- fao^^drtQ, 1еП, (1)

Здесь t{x,y) - точка наблюдения, - точки действия нагрузок, G(t,Q

фундаментальное решение для задачи изгиба пластины:

г = ддх - ¡;)2 + (у - Т1)2 , п, т - нормальное и касательное направления к контуру пластины, - интенсивность распределенной по области пластины

нормальной нагрузки.

Компенсирующие нагрузки определяются из граничных условий на контуре пластины Г. Разрешающая система интегральных уравнений строится путем подстановки выражения прогиба (1) в граничные условия.

В ■ случае разбиения контура пластины на N граничных элементов с постоянной аппроксимацией компенсирующих нагрузок граничные условия, записанные в узловых точках 1„ для жесткого защемления примут следующий дискретный вид

N N

= 0 ,'' = 1.2.....Я, (2)

N N

=0 ,/ = 1,2.....N, (3)

у=| 7=1

где неизвестными являются значения компенсирующих нагрузок на граничных элементах Р] = , = коэффициенты в уравнениях (2),(3) имеют

вид

,г / дп{ 0 / 5/т(г,)

'/ V ' 1

11

(4)

При шарнирном опирании контура уравнения (3) следует заменить на

N N

С-+2>Л-2>А=0 ' / = ,'2.....ЛГ, (5)

где

Т. = гГэ2с('мР , 5 = гГ а3с(/„о | у

" /Д Зл2(',) аг2(/,) / ' 9 /ДЭДЭ«2^) 8п(Оск2«,)

При г —>0 подынтегральные выражения содержат особенности типа 1пг и 1/г. В работе получены аналитические формулы вычисления интегралов по граничным элементам (4),(6). Их, безусловно, можно найти приближенно с любой степенью точности методами численного интегрирования, но

получаемые аналитические решения помогают глубже понять проблемы, связанные с наличием у функций особенностей. Система линейных алгебраических уравнений (2),(3) или (2),(5) решается методом Гаусса. Значения функции и>(/) в области определяются соотношением (1). На ряде тестовых задач, имеющих точное решение, показана эффективность используемого метода.

Во второй главе описываются разработанные алгоритмы на основе непрямого МГЭ решения задач передачи усилий на пластины посредством жестких накладок и нелинейной проблемы поиска границ контакта при различных условиях взаимодействия пластины сложной формы с гладкими жесткими телами без учета касательного сцепления.

Прогиб пластины, вступившей в контакт на неизвестной области записывается в интегральном виде

(7)

Здесь неизвестными являются подынтегральные функции контактных напряжений , компенсирующих нагрузок и область

интегрирования Для их определения используются два граничных условия закрепления пластины и два условия контакта. Первое условие контакта, ставится по перемещениям исходя из того, что в области контакта сторона пластины, которая вступает в контакт с жестким телом, принимает заданную форму:

-ка{0 + 40 = 2(0, ¡еБ, (8)

где Z(t) - функция формы жесткого тела. Слагаемое Аа(0 в условии контакта имеет смысл прогиба контактной поверхности пластины вследствие обжатия, возникающего от действия контактных напряжений. Учет обжатия проводится по модели упругого основания Винклера с коэффициентом постели

к =■

где ^толщина пластины, E-модуль упругости, v-

2 £ (1 - V)

коэффициент Пуассона. Другое условие контакта ставится как условие равенства нулю контактных напряжений на границе области контакта в силу плавного сопряжения форм поверхностей пластины и гладкого жесткого тела:

Подставляя выражение прогиба в указанные выше условия, получаем систему из четырех уравнений, три из которых интегральные, а одно в конечном виде (9). Решение проводится численно на основе непрямого МГЭ. Граница пластины Г разбивается на N постоянных граничных элементов. Область 5 аппроксимируется треугольными трехузловыми элементами (рис.1) с

разбиением границы области контакта Г\ на узлов. Координаты этих N узлов полностью определяют размеры и положение искомой области контакта В общем случае координаты каждого узла зависят от двух параметров, и дискретная система разрешающих уравнений является незамкнутой. Описывая координаты в полярной системе с фиксированными углами, получим, что узел определяется только одним параметром - расстоянием до

некоторой точки (полюса). В результате выбора такой системы координат описания границы Г\ получаем, что область 5 зависит от Л^ параметров (р* ). В качестве полюса следует принимать точку, которая лежит в области контакта, наиболее просто такую точку брать как точку первого касания пластины и жесткого тела.

В результате описанной выше дискретизации границы пластины и области контакта разрешающая интегральная система сводится к системе алгебраических уравнений, которая является линейной относительно дискретных значений контактных напряжений и компенсирующих нагрузок и нелинейной относительно радиусов р^. Для решения полученной алгебраической системы из нее выделяем уравнений,

которые являются дискретным представлением условия (8) для узлов границы области контакта и рассматриваем выделенную систему как зависящую только от рк, а значения контактных напряжений и компенсирующих нагрузок определяются из оставшихся уравнений, которые при заданных начальных значениях

являются линейными. Решение выделенной системы нелинейных уравнений проводится итерационно методом Ньютона. Якобиан метода Ньютона строится численно по формулам дифференцирования в конечных разностях с варьированием радиусов р* поочередно. Для малой области контакта начальную форму ее границы можно принять в виде окружности, т.е. задавая значения радиусов постоянными. При развитых областях контакта метод Ньютона с такой начальной аппроксимацией не сходится. Поэтому для развитых областей контакта задача решается пошагово по нагружению, выбирая в качестве начального приближения области контакта решение предыдущего шага.

Предложенный алгоритм определения напряженно-деформированного состояния пластин, вступающих в контакт с гладкими жесткими телами, реализуется в следующих задачах:

1. Задача контакта пластины с жесткой преградой.

Пластина, занимающая область Л и некоторым образом закрепленная на границе Г, изгибается под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивности д. Ее прогиб ограничен жесткой плоскостью, находящейся на расстоянии а от плоскости пластины (Рис.2).

В одном из рассматриваемых примеров исследуется взаимодействие с горизонтальной плоскостью треугольной равносторонней пластины, шарнирно опертой по краям, для исходных данных: сторона пластины 1 м, толщина к = 0.05 м, расстояние (зазор) а = 0.01 м, материал

£ = 2-1011Па, v = 0.3. На рис.3 показано развитие области контакта при нагрузках д равных 80, 120, 180,260, 340 МПа.

Рис.3 Рис.4

При первых трех значениях нагружения начальное приближение границы области контакта выбиралось в виде окружности. Для остальных нагрузок начальное приближение задавалось в виде границы контакта, полученной из решения от предыдущего шага нагружения. Контактные напряжения для малых областей контакта имеют выпуклый вид с максимальным значением в центре области контакта. С развитием области контакта происходит перестройка распределения контактных напряжений с концентрацией их к границе контакта. На рис.4 показана пространственная эпюра контактных напряжений, возникающих при нагрузке равной 340 МПа.

Для круглой жестко защемленной пластины и горизонтальной плоскости строится аналитическое решение с помощью фундаментального решения для кольцевой нагрузки. Приближенное решение при различных способах аппроксимации хорошо согласуется с точным решением.

2. Давление гладкого жесткого тела на пластину (задача передачи сосредоточенного усилия на пластину посредством жесткого штампа).

Рис.5

Рассматривается задача изгиба пластины под действием жесткого гладкого штампа, не имеющего угловых точек (рис.5). Штамп действует на пластину посредством -неизвестных контактных напряжений , распределенных по неизвестной области контакта Интегральное выражение прогиба пластины запишется в виде

н-(0= ¡о(%)в(<,х№(х)+1рЮО(1,0<Г(С)-'СП. (10)

Решение проводится на примере поступательного вдавливания жесткого шара в равностороннюю треугольную жестко защемленную пластину в ее центре под действием силы Р. В данной постановке к неизвестным добавится также осадка штампа а. Для замыкания системы разрешающих уравнений к ним добавляется условие равновесия жесткого штампа

Длина сторон пластины равна 1 м, толщина h = 0.05 м, материал

Е = 2-10" Па, v = 0.3, радиус шара R=2м. Задание начальных приближений границы области контакта проводится аналогично предыдущей задаче. На рис.6 показано развитие области контакта при действии сил Р равных 0.1, 1,5, 8, 10, 12 МЫ. На рис.7 изображена пространственная эпюра контактных напряжений для силы Р = 12 МН . На примере рассмотренной задачи показано, что при уменьшении кривизны подошвы штампа увеличивается область контакта, уменьшаются осадка и контактные напряжения.

В третьей главе описывается алгоритм применения непрямого МГЭ к решению плоских задач теории упругости на основе фундаментального решения для полуплоскости. Рассматривается плоское тело произвольной формы, ограниченное контуром Г. Вводятся глобальные неподвижные оси х1у1

и локальная подвижная система координат х, у, связанная с границей Г. Ось х локальной системы направлена внутрь тела перпендикулярно касательной к границе, а ось у образует с ней правую систему координат. Если в каждой точке £ границы Г будут действовать распределенные нормальная р(С,) и касательная т(0 нагрузки, то во внутренней точке г возникнут перемещения в глобальной системе координат:

[и{г)}= (0][0.(7,С,«(д)^(оУг(С). (12)

Здесь {и(г)} =

вектор перемещений в точке г в глобальной системе

- вектор компенсирующих нагрузок в точке С,,

координат, {ЯО} =

\<3и{г,^,п(0)\ - матрица фундаментальных решений по перемещениям для полуплоскости в локальной системе координат (д:, у), где

С2! =

1

2 яС 1

2л(7

X Г1

С12

1

С22 =

2 лС 1

V XV

- (1 - 2г) агй§—+—5-

2лС

х г-

„2 "

-2(1-^)1пг—-

(13)

, где <р = <р{£) - угол между

С - модуль сдвига, л(0 и нормальное и касательное направления к

границе в точке матрица преобразования локальных перемещений к

глобальным имеет вид 51П^

бш^ со$<р

локальной х и глобальной х\ осями систем координат.

Аналогично можно записать матричное выражение для напряжений в некоторой точке тела г от действия компенсирующих нагрузок по границе

{5(г)}= (14)

Здесь {5(2)} =

(г) - вектор напряжений в точке г в глобальной системе

координат, {р0 (г, £,«(£))] - матрица фундаментальных решений напряжениям для полуплоскости в локальной системе координат (х, у), где

по

2хл

кг

0>°2=-

2х 2у 4 !

К Г

го _ 2хУ "21---:

ЯГ

С22 =~

2у

'31

2 х2у

2 ху2

(15)

лг лг лг

матрица преобразования напряжений в локальных координатах к глобальным имеет вид

К]=

сое2 <р

БШ2 ф

БШ2 ф

сое2 <р

1 . „ 1 . „

—51п2е> —&т2<р 2 2

-вт 2 <р бш 2 <р со$2<р

Неизвестные компенсирующие нафузки и т(£) определяются из

фаничных условий на контуре тела Г. Пусть точка г стремится к фанице Г и переходит в точку /. При т.е. г —>0, ядра элементов матрицы

фундаментального решения С," будут иметь логарифмическую особенность

типа потенциала простого слоя, а потому будут непрерывны по всему контуру.

Ядра элементов матрицы фундаментального решения С" в рассматриваемом

случае будут иметь особенность типа потенциала двойного слоя, т.е. будут испытывать скачок при переходе через контур Г. Проведен анализ предельных

соотношений :

С -И,г-*Г

-¿Су) л

О

О

-6(у)

где 6+ (л) - несимметричная справа 8-функция. Используя фильтрующее

свойство 5-функции, фаничные условия для напряжений запишутся следующим образом (первая и третья строки):

V

0

.V т

(0+/К1сфк0</Г(0.

(16)

Для нормального сг„ И Т„ касательного напряжений на контуре появляется внеинтегральный член, а оставшийся интеграл не содержит особенности (особая точка выколота) и понимается как главное значение. Этот результат имеет ясный механический смысл: нормальное и касательное напряжения в точке I складывается из компенсирующих нагрузок в этой точке (внеинтегральный член) и суммарного вклада от компенсирующих нагрузок по контуру Г без учета точки I.

Численное решение проводится непрямым МГЭ. Граница Г плоского упругого тела разбивается на N прямолинейных граничных элементов, внутри

которых полагается, что компенсирующие нагрузки нормальная р(С,) и касательная т(0 изменяются по линейному закону. Узлы граничного элемента располагаются на концах. Разрешающая система уравнений следует из удовлетворения на контуре тела граничных условий, которые имеют вид заданных нормальных и касательных напряжений или перемещений. При составлении этих уравнений возникает необходимость состыковки компенсирующих нагрузок по соседним элементам в их общем узле. Для этого компенсирующие нагрузки представляются в виде нагрузок,

которые действуют в направлениях глобальных координатных осей и в пределах элемента также изменяются по линейному закону: - в

направлении оси - в направлении оси Проводя суммирование по

всем граничным элементам с преобразованием систем координат по матрицам , получаем выражения напряжений и перемещений в глобальной системе координат через неизвестные дискретные значения в узловых точках функций и вида

Коэффициенты при дискретных значениях компенсирующих нагрузок в (17) представляют собой линейные комбинации интегралов по граничным элементам с ядрами в виде фундаментальных решений (13),(15). При г-»О подынтегральные выражения содержат особенности типа 1пг и Мг Интегралы с особенностью Мг вычисляется в смысле конечного значения по Лдамару. В работе получены аналитические формулы вычисления интегралов по граничным элементам.

В четвертой главе описываются разработанные алгоритмы на основе непрямого МГЭ решения контактных задач взаимодействия плоских упругого и жесткого тел при неизвестной области контакта. Тела предполагаем абсолютно гладкими и силами трения в полосе контакта пренебрегаем.

Пусть уравнение границы упругого тела до сжатия имеет вид , а

уравнение границы жесткого тела после его перемещения записывается в виде

00 . Начальное положение точек границы упругого тела обозначим (х, _>')•

При деформировании эти точки получат перемещения и в направлении оси JC и в в направлении оси у и займут положения (х',у')

х' = х + и, у' = у + и (18)

В области контакта граница упругого тела принимает вид жесткого тела. Тогда в этой области справедливо уравнение

/ = /,(*•)• (19)

Подставляя соотношения (18) в уравнение (19) и раскладывая функцию в ряд Тейлора по степеням и с удержанием первых двух членов, получим кинематическое условие контакта, выражающее задание формы упругого тела в области контакта в виде формы взаимодействующего жесткого тела:

Граница области контакта- в случае одной зоны взаимодействия тел определяется двумя параметрами, например, проекцией точек границы на ось *: В силу плавного сопряжения форм поверхностей упругого и жесткого тел, ставится условие равенства нулю нормальных контактных напряжений а(х) на границе области контакта:

<7„(дга) = 0,<7л(*Л) = 0. (21)

Так как контакт считается абсолютно гладким, то ставится условие равенства нулю касательных напряжений на границе тела в области контакта:

г„(*) = 0, ха<х<хь. (22)

Уравнения (21),(22) представляют собой статические условия контакта.

Подставляя дискретные выражения напряжений и перемещений (17) в контактные условия и граничные условия на внеконтактном контуре упругого тела, получим систему нелинейных алгебраических уравнений. Нелинейно в эти уравнения входят только два параметра, определяющие неизвестную границу области контакта, . Выделим из этой системы два уравнения

(условия контакта (20), записанные для узлов, лежащих на границе области контакта) в виде

Оставшиеся уравнения образуют линейную алгебраическую систему, из которой при заданных могут быть найдены компенсирующие

нагрузки. Система из двух нелинейных уравнений решается итерационно методом Ньютона с заданием начальных значений ха и X/,. Якобиан при решении строится численно с варьированием сетки так, что два узла ее лежат на границе области контакта. Для уменьшения времени счета следует на границе тела выделить сегмент, внутри которого будет находиться область контакта, и варьировать сетку только в пределах этого сегмента. После того как будут получены значения границы области контакта и определены

компенсирующие нагрузки, соответствующие этим значениям, контактные напряжения строятся как нормальные напряжения в упругом теле на границе в области контакта. Предложенный алгоритм решения плоских контактных задач реализуется в следующих задачах:

1. В качестве теста алгоритма рассматривается задача о давлении жесткого кругового цилиндра радиуса 1 м на упругий круговой цилиндр такого же радиуса, закрепленный в центре, свойства материала Е = 2- 1011 Па, V = 0.3, под действием силы Задача в такой постановке удовлетворяет всем требованиям теории Герца. В таблице приведено решение МГЭ и сравнение его с решением Герца: полуширина области контакта а и максимальное контактное напряжение <ттах

Таблица

Решение МГЭ Решение Герца

106Н а, см "тах > 108 Н а, см ^ах.Ю-Н

5.376 0.4 8.67 0.395 8.672

31.13 0.964 20.81 0.95 20.87

185.6 2.35 50.51 2.32 50.96

642.7 4.38 93.27 4.31 94.83

2587 8.88 184.1 8.66 190.3

5875 13.53 272.9 13.05 286.7

На рис.8 показано распределение контактных напряжений при ^ = 893.5 МН.

Рис.8

2. Решена плоская задача о контакте упругого кругового цилиндра с жестким круговым ложементом, радиусы которых почти равны. При сжатии рассматриваемых тел контакт между ними может распространиться на значительную часть их поверхностей, и решение Герца для этого случая будет не применимым. Аналогичную задачу рассматривал И.Я. Штаерман.

3. Построенное решение плоской контактной задачи теории упругости можно использовать для проверки модели контактного взаимодействия тонкостенных элементов, на основе которой получены решения во второй главе. Сравнение моделей проводится на примере задачи контакта шарнирно

опертой по двум противоположным сторонам прямоугольной пластины с жесткой преградой.

Под действием равномерно распределенной нагрузки д пластина испытывает цилиндрический изгиб, и решение по теории пластин строится для одномерного случая. Начало координат выбрано в центре пластины, длина пластины 21, толщина ^ область контакта ищется в виде [-а, а], жесткая преграда отстоит от пластины на расстоянии а. Тогда разрешающее уравнение, представляющее условие контакта с учетом обжатия, в безразмерном виде запишется:

ка(х) + )с(х,4М№ = *0(х)-1, -а<х<а, (23)

где к - коэффициент постели, ст(х) - контактное напряжение, и»,, (х) - прогиб пластины без ограничения, безразмерная функция влияния имеет вид

С(х,& = (| х - # I1 +х£(х2 + 42 + 2) - 3(х2 + + 2 )/12. (24) В решении теории упругости шарнирное опирание моделируется

нулевым смещением точек закрепленной грани в направлении перпендикулярном оси балки и нулевыми нормальными напряжениями на этой грани. На рис.9 показано распределение контактных напряжений, полученных из решения теории упругости в рядах Фурье (кривая 1), и сравнение их с напряжениями, полученными по модели для тонкостенных элементов (кривая 2), для нагрузки q=108na при свойства

материала Е = 2-Ю" Па^=0.3.

4. Рассмотрено влияние учета общего деформирования упругих тел на размер контактной области на примере изгиба балки-стенки под действием жесткого криволинейного штампа. На балку высотой Н = 1 ми длиной Ь в центре под действием силы Н давит жесткий криволинейный штамп с

круглой подошвой радиуса /?, свойства материала балки: Па,

V = 0.3. Закрепление балки аналогично предыдущей задаче.

На рис.10 показаны зависимости полуширины области контакта а от радиуса кривизны подошвы штампа для некоторых значений длины балки Ь (в метрах). Из представленных зависимостей видно, что с увеличением длины балки область контакта также увеличивается; это объясняется тем, что чем длиннее балка, тем больший она испытывает изгиб при действии одного и того

же усилия. Теория Герца при любой длине рассматриваемой балки. дает одинаковое решение, так как принимает во внимание только кривизны контактируемых тел.

5. На основе предложенного алгоритма проведен расчет на контактную прочность цилиндрических зубчатых передач. В качестве примера рассмотрен зубчатый механизм с эвольвентным зацеплением, т.е. с профилями зубьев в виде эвольвенты, который получил наибольшее распространение в машиностроительной практике. Механизм состоит из зубчатых колес с основными окружностями равного радиуса а = 1 ми окружностями вершин радиуса ая = 1.35 м с числом зубьев равным 16, расстояние между осями колес - 2.37 м. Для построения расчетной схемы однопарного зацепления из одного колеса выделяем зуб с жестким закреплением как показано на рис.11, а взаимодействующий с ним зуб второго колеса полагаем абсолютно жестким. На ось жесткого колеса подается крутящий момент М= 15 МНм, в результате чего в точке соприкосновения зубьев развивается область контакта. Рассмотрен ряд взаимных положений зубьев, с точкой касания от подножия упругого зуба до его вершины. На рис.11 даны линии равных интенсивностей напряжений в упругом зубе при зацеплении у вершины зуба. Жесткий зуб при действии крутящего момента в этом случае повернется на угол 3.87- Ю"4 рад. Максимальная интенсивность напряжений в зубе равная 1113 МПа возникает в точке, лежащей на линии зацепления и удаленной по нормали от поверхности контакта на 6.5мм. На рис.12 показаны распределения контактных напряжений, полученных из решения МГЭ и решения теории Герца. Отличие областей контакта, полученных из этих решений, объясняется тем, что решение Герца не учитывает изгиб контактируемых тел.

Из рис.11 видно, что в упругом теле в области, примыкающей к области контакта, напряжения имеют большой градиент, и здесь проявляется преимущество МГЭ в решении подобных контактных задач в том, что метод не

требует аппроксимации внутренней области тела, и сгущение сетки проводится только по границе.

Рис.11 Рис Л 2

В заключении приводятся основные результаты и выводы, полученные в диссертации:

1. Разработан и реализован итерационный алгоритм на основе непрямого МГЭ решения двумерных контактных задач взаимодействия пластин произвольного очертания с жесткими телами при неизвестной области контакта. Получено аналитическое решение задачи контакта круглой пластины с жесткой преградой, подтверждающее достоверность предложенных алгоритмов поиска границы контакта. Решены контактные задачи передачи усилий на пластины сложных очертаний посредством жестких накладок и штампов. Показано, что при взаимодействии пластин с гладкими жесткими телами для малых областей контакта максимальные контактные напряжения приходятся на точку первоначального касания, а при развитии области контакта происходит перестройка распределения контактных напряжений с концентрацией их к границе контакта.

2. Получена система разрешающих интегральных уравнений непрямого МГЭ, основанная на использовании фундаментального решения для полуплоскости, решения плоских задач теории упругости для тел с криволинейным замкнутым контуром. Проведен анализ сингулярных ядер, дан механический смысл внеинтегрального члена, выделяемого для устранения особенности в записи граничных условий: для нормальных и касательных напряжений в граничной точке он равен соответствующим компенсирующим нагрузкам в этой точке.

3. Разработан и реализован итерационный алгоритм на основе непрямого МГЭ решения плоских негерцевских контактных задач взаимодействия упругих и жестких тел при неизвестной области контакта. Получены и сравнены

аналитические решения задачи о контакте пластины с жестким основанием по теории пластин и теории упругости плоских задач. На примере этой задачи показана эффективность используемой в диссертации модели контактного взаимодействия тонкостенных элементов, на основе которой построены решения контактных задач взаимодействия пластин и жестких тел. Дано решение ряда плоских контактных задач и сравнение их результатов с решением по теории Герца. Показано, что при изгибе контактируемого тела теория Герца занижает и смещает область контакта. Решена контактная задача определения напряженно-деформированного состояния эвольвентных зубьев в цилиндрических зубчатых передачах.

Публикации по теме диссертации:

1. Артюхин Ю.П. Несимметричная одномерная контактная задача взаимодействия пластины с жестким телом / Ю.П. Артюхин, С.А Малкин // Актуальные проблемы механики оболочек. Труды, международной конференции, посвященной 100-летию проф. Х.М. Муштари, 90-летию проф. К.З. Галимова и 80-летию проф. М.С. Корнишина, 26-30 июня 2000 г. - Казань: Новое знание, 2000. - С.92 - 97

2. Артюхин Ю.П. Двусторонняя контактная задача о давлении. жесткого штампа на пластину / Ю.П. Артюхин, С.А. Малкин // Тезисы докладов XIII Всероссийской межвузовской научно-технической конференции. Часть I.-Казань,2001.-С.273-275

3. Артюхин Ю.П. Контактная задача о давлении жесткого штампа на пластину при заданных усилиях / Ю.П. Артюхин, С.А Малкин //Труды XI межвуз. конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Часть I.- Самара: Изд-во СамГТУ, 2001. - С. 8-11

4. Артюхин Ю.П. Контактная задача взаимодействия пластины с жестким основанием / Ю.П. Артюхин, С.А. Малкин // УШ Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением": Тезисы докладов. 28-31 мая 2002 г. - Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та, 2002. - С. 301

5. Артюхин Ю.П. Контактные задачи взаимодействия пластин произвольной формы с гладкими жесткими телами / Ю.П. Артюхин, С.А. Малкин // Сборник докладов XX Международной конференции по теории оболочек и пластин: Механика оболочек и пластин. Изд-во Нижегородского госуниверситета. - Н. Новгород, 2002. - С. 93 -101.

6. Артюхин Ю.П. Контакт пластин с жестким основанием / Ю.П. Артюхин, С.А. Малкин // Вестник Ульяновского государственного технического университета. - 2002. - №4. - С.29-35

7. Артюхин Ю.П. Плоская контактная задача взаимодействия полосы с жестким основанием/ Ю.П. Артюхин, С.А. Малкин // Наука и практика. Диалоги нового века: Материалы конференции (17-19 марта 2003 г.) Часть I. - Наб. Челны: Изд-во КамПИ, 2003. - С. 156-158

8. Artuhin Y.P. BEM solution for contact interaction problems of plates with rigid bodies/ Y.P. Artuhin, S.A. Malkin // 20-th International Conference Mathematical Modeling in Solid Mechanics. Boundary and Finite Elements Methods. Proceedings. Vol 2. - Saint Petersburg, Russia, 2003. p. 39 - 44

9. Малкин С.А. Изгиб пластин под давлением жесткого плоского штампа / С.А. Малкин // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 12. Материалы молодежной научной школы-конференции Лобачевские чтения 2001. Казанское математическое общество. -Казань: Изд-во "ДАС", 2001.-С.99-100

10 Малкин С.А. Решение МГЭ контактных задач плоской теории упругости / С.А. Малкин // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т.21. Материалы молодежной научной школы-конференции Лобачевские чтения 2003. Казанское математическое общество. -Казань, 2003. - С. 161162

11. Малкин С.А. Решение МГЭ плоской задачи теории упругости с использованием фундаментального решения для полупространства / С.А. Малкин // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды XIII Межвузовской конференции. Часть I. - Самара: Изд-во СамГТУ, 2003. С. 110-113

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского центра Казанского государственного университета им. В.И.Ульянова-Ленина Тираж 120 экз. Заказ №8/32 420008, г. Казань, ул. Университетская, 17 тел.З 8-05-96

04~1 583¿

Введение.

Глава 1. Изгиб пластин сложной формы.!.

§1.1. Исходные соотношения и гипотезы.

§ 1.2 Метод компенсирующих нагрузок при изгибе пластин.

§1.3 Граничноэлементное представление интегральных уравнений метода компенсирующих нагрузок.

§1.4 Аналитическое вычисление интегралов по элементам контура.

§1.5 Вычисление интегралов по области пластины.

§1.6 Тестовые задачи.

Глава 2. Контактные задачи взаимодействия пластин с жесткими телами.

§2.1 Методы решения контактных задач.

§2.2 Контактные задачи с известной областью контакта.

§2.3 Контактные задачи с неизвестной областью контакта.

§2.4 Аналитическое решение задачи контакта круглой пластины с жесткой плоскостью.

§2.5 Давление жесткого гладкого штампа на пластину.

Глава 3. Плоская задача теории упругости.

§3.1 Исходные соотношения.

§3.2 Фундаментальные решения для полуплоскости.

§3.3 Метод компенсирующих нагрузок в плоской задаче теории упругости.

§3.4 Граничноэлементная постановка задач плоской теории упругости.

§3.5 Аналитическое вычисление интегралов по элементам контура.

§3.6 Тестовая задача.

Глава 4. Плоские контактные задачи теории упругости.

§4.1 Условие контакта при взаимодействии упругого и жесткого тел.

§4.2 Контакт между двумя соприкасающимися цилиндрическими телами.

Решение Герца.

§4.3 Сжатие тел, ограниченных цилиндрическими поверхностями, радиусы которых почти равны (задача И.Я. Штаермана).

§4.4 Контакт балки с жестким основанием. Решение балочной теории.

§4.5 Контакта балки с жестким основанием. Решение плоской задачи теории упругости.

§4.6 Изгиб балки под действием жесткого криволинейного штампа.

§4.7 Расчет на прочность цилиндрических зубчатых передач.

Конструирование современных машин и механизмов неразрывно связано с проведением многовариантных прочностных расчетов. Высокие требования, предъявляемые к надежности конструкции, в настоящее время могут быть удовлетворены лишь при условии обеспечения процесса проектирования оперативной и достоверной информацией о ее напряженно-деформированном состоянии. Расчетные схемы исследуемых конструкций при этом должны быть максимально приближены к реальным объектам, учитывать сложность их конструктивных форм, структуры, характер нагружения и взаимодействия с окружающей средой, поведение материалов конструкции в экстремальных условиях и т. д.

В машиностроительных конструкциях передача усилий обычно осуществляется посредством контакта отдельных деталей. Однако при рассмотрении узлов, состоящих из системы взаимодействующих тел, явлениями в локальной зоне контакта зачастую пренебрегают. В этом случае, руководствуясь принципом Сен-Венана, проводят упрощение и схематизацию усилий, воспринимаемых отдельными деталями, и приходят к смешанной задаче теории упругости с заданными на границе силами и смещениями. Такие упрощения расчетной схемы приемлемы далеко не всегда. В большинстве реальных конструкций закон распределения истинных контактных давлений оказывает существенное влияние на НДС взаимодействующей пары, а иногда, как, например, во фланцевых соединениях с упругими прокладками, определяет работоспособность конструкции в целом. В таких случаях возникает необходимость решения контактных задач, где размеры и конфигурация площадок контакта, условия взаимодействия на них нелинейно зависят от приложенной нагрузки. Эти параметры являются искомыми и могут быть определены только в процессе решения задачи.

Теория контактного взаимодействия включает в себя различные классы задач [230]. Среди них выделяют статические и квазистатические, где не учитываются эффекты инерции, а также контактные задачи динамики, где рассматриваются различные режимы движения взаимодействующих тел, пульсирующее, ударное нагружение и т. п. В свою очередь эти задачи подразделяются на так называемые нормальные задачи без трения, где рассматриваются идеальные односторонние связи между телами, и задачи с трением. Для ряда случаев процесс трения аппроксимируется полным сцеплением. Различным проблемам контакта посвящена обширная литература, которая обобщена в подробных обзорах [90, 94, 101,170,203].

Исторически первыми, основополагающими работами в теории контактных задач явились исследования Герца, где впервые было получено распределение местных напряжений в районе контакта упругих тел. И хотя постановка задачи предусматривала ряд серьезных допущений, таких, как малость пятна контакта, отсутствие трения, однородность, изотропность и идеальная упругость материала, результаты исследований до сих пор не потеряли своей теоретической и практической ценности.

Значительный вклад в развитие аналитических методов решения контактных задач внесли фундаментальные труды отечественных ученых — Н.И. Мусхелишвили, И.Н. Векуа, Н.П. Векуа, С.Г. Михлина, J1.A. Галина, И.Я. Штаермана, Д.И. Шермана, B.J1. Рвачева, а также работы зарубежных математиков и механиков К. Каттанео, Н. Губера, Р.Д. Миндлина, А. Синьорини. Разработанные ими методы теории функций комплексной переменной и теории сингулярных интегральных уравнений оказались достаточно эффективными для решения смешанных задач упругости. Однако круг рассмотренных примеров при этом ограничивался в основном классическими смешанными задачами о внедрении жесткого индентора (штампа) в бесконечную или полубесконечную область, цилиндрическом изгибе пластин и стержней, осесимметричном контакте пластин.

В последние годы получили развитие методы решения контактных задач теории пластин и оболочек, связанные с работами Ю.П. Артюхина, И.А. Биргера, М.В.Блоха, Э.И. Григолюка, B.C. Гудрамовича, Б.Я. Кантора, С.Н. Карасева, М.М. Кира, С.А. Кузнецова, В.Н. Максименко, В.П. Ольшанского, Б.Л. Пелеха,

Г.Я.Попова, B.C. Саркисяна, М.А.Г. Сильвы, С.П. Тимошенко, В.М. Толкачева, М.М. Филоненко-Бородича, В.Ф. Чижова, Ф.Эссенбурга и др. Однако остался неразработанным вопрос о решении контактных задач для тел произвольной формы. Объясняется это тем, что для таких тел не удается получить в аналитическом виде функцию Грина, определяющую ядра интегральных уравнений, на основе которых построен интегральный подход решения контактных задач.

Впервые задача о стесненном изгибе тонкого первоначально прямого стержня вокруг круговой опоры или о распрямлении изогнутого стержня на плоской плите приложенными к концам стержня силами рассмотрена С.П. Тимошенко [255]. Решение построено на основе классической теории изгиба балок Бернулли—Эйлера. Был обнаружен скачок в поперечной силе на конце зоны контакта или сосредоточенная сила в составе реакции. После С.П. Тимошенко задачу стесненного изгиба стержня вокруг круговой опоры рассмотрел М.М. Филоненко-Бородич [194] на основе теории изгиба балок, учитывающей деформации поперечного сдвига без учета поперечного обжатия. В решении был устранен скачок в поперечной силе и, соответственно, исчезла сосредоточенная сила в реакции. Задача цилиндрического изгиба пластин и изгиба балок жесткими штампами в постановке М.М. Филоненко-Бородича позднее рассматривалась в работах [27, 145, 158, 178]. Изгиб пластин на упругом основании с помощью штампов изучен В.М. Александровым [11], Б.Л. Пелехом и Р.Д. Сысаком [157]. Эффект поперечного обжатия в рамках прикладных теорий пластин принят во внимание в работах Ю.П. Артюхина и С.Н. Карасева [103], М.В. Блоха [50], М.В. Блоха, Н.Г. Ващенко, А.А. Гинца [51], Э.И. Григолюка и В.М. Толкачева [91]. Поперечное обжатие в указанных работах учитывалось путем интегрирования по толщине пластины соотношения закона Гука для поперечной деформации. С.О. Саркисян [178] решал контактную задачу о цилиндрическом изгибе пластины с использованием теории С.А. Амбарцумяна [13] и теории П. Нагди [244], в которых учитывается как поперечный сдвиг, так и обжатие.

Задача цилиндрического изгиба пластин штампами на основе уравнений плоской теории упругости изучалась Э.И. Григолюком и В.М. Толкачевым [91], С.Н. Карасевым и Ю.Н. Артюхиным [102], С.О. Саркисяном [178], Киром и Сильвой [234]. В работе [234] рассмотрена задача цилиндрического изгиба бесконечной пластины периодической системой жестких штампов с круговой формой основания. Решение строится в тригонометрических рядах и сведено к парным уравнениям, которые решаются численно. Эта же задача описана в статье [91]. Решение строилось с помощью функции Грина и сведено к интегральному уравнению с периодическим логарифмическим ядром. Последнее путем обращения интеграла с логарифмическим ядром сведено к уравнению Фредгольма второго рода, которое решалось численно.

Первая работа, в которой рассмотрена осесимметричная контактная задача для круговой пластины, принадлежит К. Гиркману [224]. В ней с позиции теории пластин С. Жермен— Лагранжа—Кирхгофа предполагалось, что первоначально неизогнутая пластина покоится на абсолютно жестком плоском основании и прижимается к основанию равномерно распределенной нагрузкой (вес пластины, либо давление). Под действием прикладываемых к наружному контуру пластины равномерно распределенных по окружности изгибающих моментов некоторая кольцевая зона пластины, примыкающая к контуру, может оторваться от основания. В работе найдена зависимость между величиной зоны отрыва и моментом, а также напряжения в пластине. В этой же работе обсуждается аналогичная задача для балки, а также для круглой пластины, покоящейся первоначально на податливом основании Винклера. Задача Гиркмана рассматривалась Р. Хофманом [226] также на основе теории С. Жермен— Лагранжа—Кирхгофа. Кроме этого, в статье [226] рассмотрена пластина, которая первоначально опирается на круговую жесткую стенку достаточно мелкой цилиндрической полости с плоским дном. Под действием давления или собственного веса пластина прогибается и некоторой центральной зоной может войти в контакт с дном полости. Здесь в отличие от задачи Гиркмана на контуре пластины действуют только поперечные силы и отсутствует изгибающим момент.

Контактная задача изгиба круговой пластины жестким штампом с параболическим основанием на основе теории пластин с учетом поперечного сдвига без учета поперечного обжатия исследована JI. А. Розенбергом [175].

Ряд исследований по контактным задачам для круглых пластин выполнен Ф. Эссенбургом [215, 216, 217] на основе теории пластин, учитывающей деформации поперечного сдвига без поперечного обжатия. В статье [215] рассмотрена жестко защемленная по контуру пластина, изгибаемая жестким штампом с параболической формой основания. Приведены графики изменения величины зоны контакта в зависимости от нагрузки на штамп, от величины смещения штампа, графики распределения напряжений. Все это сравнивается с результатами, вытекающими из теории С. Жермен—Лагранжа—Кирхгофа. В статье [215] рассмотрена упомянутая задача Р. Хофмана [226] (опирание на днище полости). Решение строится по теории типа С. П. Тимошенко с небольшим видоизменением — учитываются нормальные поперечные напряжения при записи соотношений обобщенного закона Гука для изгибающих моментов. Прогиб не изменяется по толщине пластины и, таким образом, обжатием пренебрегается. Показано, что учет поперечного сдвига приводит к значительному изменению нормальных изгибных и касательных напряжений в пластине по сравнению с полученными по теории С. Жермен—Лагранжа— Кирхгофа. Что касается учета нормальных напряжений в формулах для моментов, то этот учет практически не изменяет ни картину, распределения напряжений, ни характер реакции. В работе [217] исследован контакт двух пластин, которые до деформации могут либо прилегать одна к другой, либо находиться на некотором расстоянии. Совместный изгиб двух пластин с позиций теории С. П. Тимошенко проанализирован также Ю. П. Артюхиным и С. Н. Карасевым [28].

Пластины на упругом основании, сжимаемые штампами, рассмотрены в работах В.М. Александрова [11], Б. Лаинга [237], Б.Л. Пелеха и Р.Д. Сысака [156], И. Снеддона [254] и др.

Наибольшие трудности при решении контактных задач вызывает проблема определения границы области контакта. Одномерные контактные задачи для тонкостенных элементов с неизвестной границей взаимодействия имеют решение [14, 90, 91, 121, 203, 168, 25]. Если контакт происходит по неизвестной площади (двумерная задача), то таких исследований немного. Поэтому особый интерес представляют задачи отыскания двумерных областей контакта. Основополагающей здесь является работа J1.A. Галина [84], в которой рассмотрена задача о давлении жесткого эллипсоида на защемленную круглую пластинку. Размеры области контакта удалось найти путем сведения задачи к обратной краевой задаче для одной аналитической функции. Автор показал, что давление, передаваемое штампом на пластинку, будет распределено по эллиптической границе области контакта, а внутри ее будет равно нулю.

При исследовании взаимодействия штампов с неклассическими областями типа слоя, полосы, клина было установлено существование некоторого числа безразмерных параметров - геометрического или механического происхождения, которые полностью определяют задачу. Например, при рассмотрении взаимодействия плоского в плане осесимметричного штампа с упругим слоем таким параметром служит отношение толщины последнего к размеру контактной площадки, равному диаметру штампа. Решения таких задач удалось получить в виде разложений (преимущественно асимптотических) в определенной области изменения параметра.

Основная идея предложенного метода состоит в переходе от известного решения классической задачи о действии штампа на упругое полупространство к приближенному решению соответствующей задачи о внедрении того же штампа в упругое тело конечных размеров. Существенным преимуществом такого подхода является получение решения в зоне действия штампа в простой аналитической форме, удобной для инженерных расчетов.

Асимптотический метод и его модификации для решения различных смешанных задач был использован в работах И.И. Воровича [7, 77], В.М. Александрова [4, 5, 9], В.А. Бабешко [43, 44] и др.

Наряду с асимптотическими существует ряд методов сведения смешанной краевой задачи к бесконечным системам алгебраических уравнений. Например, в работах В.М. Александрова [8, 10], Г.Я. Попова [166,167], B.JI. Рвачева [172, 173] и др. широко используется метод ортогональных полиномов, с помощью которого производится разложение известной функции, входящей в правую часть интегрального уравнения. Регулярная часть ядра интегрального уравнения 1 рода также раскладывается в двойной ряд, после чего уравнение сводится к алгебраической системе. В работах Б.Л. Абрамяна [2], А.А. Баблояна [45,46] и др. предложены методы непосредственного сведения краевой задачи к бесконечной алгебраической системе, минуя интегральное уравнение.

Иногда интегральные уравнения смешанных задач удается привести к конечным алгебраическим системам. Это обычно достигается путем аппроксимации регулярной части их ядер вырожденными [6] либо применением метода коллокаций [76, 100], где контактное давление представляется определенным числом параметров, для определения которых используются условия связи, налагаемые на перемещения в конечном числе точек области контакта.

Широкое распространение получили методы, основанные на сведении смешанной краевой задачи к некоторым парным или тройным функциональным (интегральным) уравнениям (или рядам), которые в итоге преобразуются в интегральное уравнение Фредгольма II рода, решаемое одним из приближенных методов. Группа данных методов представлена в работах Ю.Н. Кузьмина и Я.С. Уфлянда [127,128], А. А. Баблояна [1], А. Ф. Улитко [192] и др.

Поиск подходов к решению контактных задач для штампа полигональной формы в плане [171] привел к разработке нового математического подхода — метода .^-функций, который соединил в себе алгебраические методы математики с классическими методами математической физики. На базе аппарата ^-функций В.Л. Рвачевым [174] на аналитическом уровне разработан структурный метод решения краевых задач для областей сложной формы со сложным характером краевых условий. Характерной особенностью данного подхода является построение координатных последовательностей для сложных областей в рамках элементарных функций, точно удовлетворяющих граничным условиям вариационной задачи, рассматриваемой методами типа Бубнова — Галеркина.

Необходимо отметить, что при решении смешанных задач указанной группой методов снимается ряд упрощающих предположений классической теории. В частности, рассматриваются контактные задачи для неоднородных, анизотропных тел, в ряде случаев производится учет трения и микроструктуры контактирующих поверхностей. Существенно и то, что исследуемая область контактного взаимодействия для задач такого типа соизмерима с характерными размерами тел [75, 170, 182, 184].

Однако все указанные решения получены для частных, относительно простых областей, реологических свойств материала и условий контактирования. При этом решение каждой отдельной задачи сопряжено с большими, а порой и непреодолимыми трудностями математического характера, что требует высокой квалификации исполнителя. Поэтому в широкой инженерной практике распространение получила лишь малая часть аналитических методов, наиболее простых с вычислительной точки зрения.

Наряду с классическими постановками контактной задачи существует ее вариационная формулировка, впервые предложенная в работе А. Синьорини [253]. Для ее применения к рассматриваемым задачам строится функционал, достигающий минимума на решении исходной задачи и, кроме того, имеющий граничные условия в качестве необходимых условий экстремума.

На поверхности раздела контактирующих тел вводятся связи специального вида, способные передавать только односторонние сжимающие усилия в направлении общей нормали к контактирующим поверхностям. Взаимные перемещения соприкасающихся тел в том же направлении не могут быть произвольными и ограничиваются условиями непроникания контактирующих тел друг в друга.

В вариационной постановке решение контактной задачи без трения сводится к проблеме минимизации функционала полной энергии системы с линейными ограничениями в виде неравенств. С точки зрения методов оптимизации — это задача квадратичного программирования и для ее решения приемлемы известные процедуры градиентного спуска [72, 74], возможных направлений [126], множителей Лагранжа [73, 114, 164] и др.

Идея использования подходов квадратичного программирования для решения контактных задач впервые была предложена в работах В.М. Фридмана и B.C. Черниной [195, 196]. В дальнейшем вопросы применения квадратичного программирования изучались в работах [97, 110—112, 114, 246, 247]. Такой подход к решению контактных задач тесно связан с использованием современных численных методов, таких, как вариационно-разностный [99, 164] метод и МКЭ [124, 125, 177, 219, 221], которые базируются на эквивалентных вариационных формулировках задачи. Причем большинство авторов отдает предпочтение МКЭ благодаря его высокой универсальности и эффективности.

В настоящее время известен ряд подходов к решению контактной задачи методом конечных элементов. Наиболее прост с алгоритмической точки зрения прием, основанный на вычислении коэффициентов взаимного влияния точек контактирующих тел в нормальном и касательном направлениях. С помощью метода сил для составления равновесия каждого тела в отдельности находится распределение контактных напряжений. Полученные значения напряжений используются в качестве граничных условий для повторного вычисления по определению напряженного состояния контактирующей пары. Границы контактных площадок и участки проскальзывания находятся итерационным путем в процессе решения задачи. Такой подход использовался в работах [95, 250, 258]. Отметим, что наряду с относительной простотой такой метод не лишен недостатков, основным из которых является необходимость решения задачи на этапе определения коэффициентов податливости 2п раз, где п — число точек контакта.

Существует еще одна группа методов решения контактной задачи МКЭ, где условия взаимодействия между телами моделируются с помощью соотношений физически нелинейных задач механики твердого тела. Первыми работами, в которых механика контакта рассматривалась по аналогии с пластическим течением, явились исследования Р. Михайловского, 3. Мроза и В. Фридриксона. В работе [240] соотношения между силами и перемещениями в зоне контакта представлены в виде ассоциированного и неассоциированного законов скольжения. Несколько иной подход продемонстрирован в работах [221, 222], где использована аналогия между законами пластического течения и законами движения жестких или упругих блоков с сухим трением. Дальнейшее развитие этого направления представлено в работах А. Г. Кузьменко [124, 125], где проводится аналогия механики контактной среды с законами пластичности и ползучести. Достоинства такого подхода особенно ярко проявляются при решении упругопластических контактных задач.

Другой путь к решению контактных задач МКЭ открывается с использованием специальных стыковочных элементов, моделирующих диаграмму сила — смещения на поверхностях раздела взаимодействующих тел. Идея применения элементов особого типа принадлежит, очевидно, авторам работы [225], которые для моделирования трещин и швов горных пород применили разрывные контактные элементы. Дальнейшее усовершенствование контактных элементов проводилось в работах [52, 138, 155, 227, 252] и др.

Авторы работ [147, 212, 219, 242, 256] предлагают решение контактной задачи без использования каких-либо аналогий и стыковочных элементов. В отличие от предыдущего подхода, где контактные элементы объединяют взаимодействующие тела в одну систему, для работ данного направления характерно раздельное рассмотрение контактирующих тел. При этом общая система пополняется определенным количеством уравнений совместности, кратным числу контактирующих узлов. Для решения задачи обычно применяется пошаговый процесс нагружения [219, 223] с уточнением граничных условий на каждом шаге итерационным методом. Приращения нагрузки выбираются достаточно малыми [147] для сохранения линейной связи между перемещениями и деформациями в пределах каждого шага по нагрузке. Такой подход требует многократного решения краевой задачи, а также построения сложных итерационных алгоритмов корректировки граничных условий.

В ряде работ [176,177] для решения контактной задачи МКЭ предлагается использовать релаксационную процедуру. В этом случае континуальное тело предполагается состоящим из системы материальных точек, соединенных между собой упругими связями. Деформация в таком теле распространяется от ее источников равномерно во все стороны путем смещения материальных точек, что приводит к последовательному деформированию связей.

Наиболее современное состояние проблем, возникающих при конечно-элементной реализации приведено в книгах Wriggers Р. [257](2002) и Laursen Р. [238](2002). При решении контактной задачи методом конечных элементов основная сложность заключается в выполнении условий непроникновения, а также дополнительных кинематических условий в случае задачи с трением на общей неизвестной границе. Для выполнения условий контакта при конечно-элементной реализации получили распространения следующие методы: метод множителей Лагранжа, метод штрафа (penalty method), обобщенный метод множителей Лагранжа (Augmented Lagrange Method), прямое решение вариационной задачи ограничениями типа неравенств методами квадратичного программирования. Метод множителей Лагранжа основан на введении на неизвестной границе контакта дополнительных неизвестных, являющимися с механической точки зрения контактными усилиями. Основным неудобством является необходимость решения итерационной задачи с дополнительными неизвестными на контактной границе, что приводит к изменению глобальной матрицы жесткости и операциями с ней на глобальном уровне. Метод штрафа заключается в определении контактных усилий из дополнительно определяемых гипотез, включающих обычно параметр штрафа, при стремлении которого к бесконечности контактные условия выполняются асимптотически точно. Преимущество метода штрафа заключается в том, что дополнительные условия для контактных условий вводятся локально на элементе, что приводит к возможности построения, так называемых, контактных элементов локально. К недостаткам метода можно отнести сложность сходимости при больших значениях параметра штрафа. Объединяющим началом всех трех алгоритмов является алгоритм поиска зоны контакта. Таким стал, обоснованный с точки зрения решения экстремальных задач с ограничениями типа неравенств проекционный алгоритм, получивший название «алгоритм проекции ближайшей точки» (the closest point projection algorithm). Данный алгоритм позволяет построить контактные элементы, основанные на подходе, получившим название «мастер-слуга» («master-slave»).

В последнее время возросло количество публикаций, посвященных применению МГИУ к решению контактных задач. По мнению специалистов, использование МГИУ, обладающего высокой точностью результатов в зонах больших градиентов напряжений, простотой реализации и малым объемом входной информации, дает ряд преимуществ по сравнению с аналогичными схемами МКЭ. Наиболее применяемым для решения контактных задач является прямой вариант МГИУ, где решением являются неизвестные граничные значения переменных, выраженные в естественных физических величинах.

Постановки и подходы к решению контактных задач методом граничных интегральных уравнений во многом сходны со схемами МКЭ. В частности, в работе [209] развиваются идеи использования последовательных и параллельных блочных методов по аналогии с МКЭ для задач контакта нескольких тел. Решены задачи анализа напряжений в резьбовых соединениях с использованием постоянных, линейных и квадратичных граничных элементов. Внимания заслуживает исследование особенностей использования МГИУ для осесимметричных задач при наличии угловых точек на границе. Приведенные расчеты демонстрируют высокую эффективность предлагаемого подхода.

На основе вариационных неравенств и предложенных автором работы [248] полувариационных неравенств приводится постановка задач механики с односторонними ограничениями и ее решение непрямым МГИУ. В силу одностороннего характера взаимодействий вместо интегральных уравнений автором получены интегральные включения.

В работах [206,207] излагаются основные концепции, лежащие в основе формулировок и методов решения плоских контактных задач статической теории упругости. Описаны две методики решения плоских контактных задач, одна из которых применима при отсутствии сил трения, а другая — при их наличии. Рассматривается контакт двух тел, причем каждое из них независимо. Учет условий контакта позволяет связать две системы уравнений в одну. Для нахождения зоны контакта нагрузка прикладывается малыми приращениями, после каждого из которых зоны сцепления и проскальзывания определяются итерационным способом. В созданном программном обеспечении использовались простейшие кусочно-постоянные граничные элементы. Предложенный алгоритм демонстрировался на ряде конкретных задач. Однако рассмотрение контакта только двух тел и использование граничных элементов низкого порядка аппроксимации вводит существенные ограничения на класс и точность рассматриваемых прикладных задач, на возможность расчета НДС различных реальных конструкций.

В более поздних работах Т. Андерсона [208] описывается комплекс программ, реализованный на основе МГИУ для решения плоских контактных задач с учетом трения и без него. Решены задачи о давлении ролика на упругое основание, о контакте круглого диска с границей отверстия в бесконечной области, взаимодействии стальной заклепки с алюминиевым бесконечным листом.

Постановка задачи и возможности реализации МГИУ для решения смешанных и контактных двумерных задач рассмотрены в работе [211]. Особое внимание уделено перспективам применения МГИУ для решения контактных задач.

В работе [239] рассмотрены некоторые приложения МГИУ применительно к решению плоских задач теории упругости. Решена задача о контакте полукруга с полуплоскостью и контакте двух полукругов. Полученные результаты хорошо согласуются с решением по теории Герца.

Используя метод функций Грина и функций влияния, автор работы [259] строит систему МГИУ для решения плоских контактных задач теории упругости с учетом характерных вариантов граничных условий и условий взаимодействия в зоне контакта упругих тел (сцепление, проскальзывание, проскальзывание с трением). Для модельной задачи о контакте двух прямоугольников, в одном из которых имеется длинная неглубокая ступенчатая выемка, даются сравнения решений МГИУ, МКЭ и экспериментальных данных, подчеркивающие точность результатов, полученных МГИУ.

На примере контакта двух квадратных свободно опертых пластин, одна из которых нагружена поперечным давлением [210], рассмотрена задача контакта для изгиба пластин. Зона контакта определяется с помощью итерационной процедуры.

Методом граничных интегральных уравнений решен также ряд задач о внедрении штампов в упругие тела [104, 105, 162, 197]. В работах [104, 105] рассматриваются осесимметричные и плоские задачи о воздействии штампов на балочную плиту и о системе заглубленных штампов. Получены и реализованы системы граничных интегральных уравнений для задач такого класса. Решение сводится к реализации смешанной задачи теории упругости. С использованием методов последовательных приближений для решения граничного интегрального уравнения в работах [108, 167] решен ряд прикладных задач оценки прочности деталей прокатных станов. Подробно рассмотрены вопросы численной реализации для случая второй основной задачи теории упругости. Исследованы задачи о прессовой посадке составных цилиндров с учетом температурного воздействия, волочении проволоки из квадратного прута и т. д. Решение поставленных задач сводится к рассмотрению последовательности смешанных задач теории упругости.

В работе [115] задача о соприкосновении абсолютно жесткого гладкого штампа с изотропным упругим телом ставится как задача нелинейного программирования. Определение зоны контакта, контактного давления и НДС вытекает из минимизации соответствующего функционала. Решение поставленной задачи проводится методом потенциала.

Необходимо отметить, что применение численных методов, таких, как МГИУ и МКЭ, к решению контактных задач существенно расширило спектр их приложений. Благодаря индифферентности методов к описанию геометрии объектов и условий нагружения появилась возможность решения реальных, практически важных задач для резьбовых, фланцевых и замковых соединений различных типов, разнообразных узлов трения деталей машин, технологических посадок и других конструкций.

В большинстве публикаций, посвященных решению прикладных контактных задач, используется двумерная постановка краевой задачи, в которой НДС объектов определяется соотношениями осесимметричной либо плоской задачи теории упругости.

Необходимо отметить, что известные алгоритмы прикладных контактных задач не являются достаточно универсальными, поскольку ориентированы на решение задач определенного класса. Попытки построения более общих алгоритмов решения такого рода задач приводят, как правило, к наложению друг на друга ряда итерационных процедур. В этом случае вычислительная схема задачи становится чрезвычайно громоздкой, что отражается на сходимости процесса решения и затратах машинного времени. Поэтому поиск простых и эффективных методов решения контактных задач с учетом сложной геометрии, условий нагружения и характера деформирования по-прежнему остается актуальной задачей механики твердого деформируемого тела.

В последние годы для решения задач механики эффективно применяются методы граничных интегральных уравнений или методы потенциала. Они основаны на преобразовании исходной системы дифференциальных уравнений в систему граничных интегральных уравнений (ГИУ), из решения которой определяются некоторые определенные на границе функции плотности.

Искомое решение в области определяется граничными интегральными соотношениями с найденными функциями плотности. При численном решении дискретизация проводится не для области, а для ее границы.

Своими корнями метод ГИУ уходит в классический математический анализ. В XIX в. были развиты понятия о силах притяжения в ньютоновских гравитационных полях, получены функции Грина для некоторых частных конфигураций. В 1905г. вышла работа Фредгольма по исследованию интегральных уравнений [220].

До конца 50-х годов методы граничных интегральных уравнений интенсивно развивались математиками. Большой вклад в развитие этих методов был сделан Михлиным С.Г., Купрадзе В.Д., Мусхелишвили Н.И., Смирновым В.И. и др. [141, 142, 129, 130, 143, 144, 180, 181].

Купрадзе В.Д. введены векторные интегральные уравнения методов потенциала в задачах теории упругости [129, 130]. Он развил приближенные методы решения статических задач для однородных тел и динамических задач для кусочно-однородных тел. Сформулировал связь между перемещениями и напряжениями на границе среды, используя распределения поверхностной плотности источников.

В настоящее время теория линейных, а также некоторых классов нелинейных сингулярных уравнений хорошо разработана и изложена в известных монографиях Михлина С.Г., Гахова Ф.Д., Векуа Н.П., Пресдорфа 3., Чибриковой Л.И., Партона В.З., Перлина П.И., Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Барчуладзе Т.В. и др. [141,142, 85, 58, 169, 199, 153, 154, 130].

Из теории известно, что сингулярные интегральные уравнения в замкнутом виде решаются в очень редких случаях. Поэтому для приложений первостепенное значение приобретает разработка приближенных методов вычисления сингулярных интегралов и решения сингулярных интегральных уравнений.

В этом направлении выполнены фундаментальные работы Иванова В.В., Корнейчука А.А., Белоцерковского С.М., Лифанова И.К., Габдулхаева Б.Г., Бойкова И.В., Плещинского Н.Б. [98, 106, 48, 78, 53, 54, 55, 149, 160,161].

Методы решения граничных задач с помощью разложений по фундаментальным функциям разработаны в монографиях Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Барчуладзе Т.Г., Башелейшвили М.О., Алексидзе М.А. [12, 130]. Идейно эти методы близки к методам ГИУ, где уравнения рассматриваются, как правило, на основной поверхности граничной задачи. Это приводит к интегральным уравнениям второго рода, но при этом ядро интегрального уравнения становится сингулярным. Решения граничных задач методом разложения по фундаментальным решениям приводит к интегральным уравнениям первого рода.

В работах Гавели С.П., Мельникова Ю.А. [79-82] строятся интегральные представления, ядрами которых служат не фундаментальные решения, а функции или матрицы Грина соответствующих уравнений или систем для областей, границы которых частично совпадают с рассматриваемыми. Идея построения таких неклассических потенциальных представлений принадлежит В.Д. Купрадзе и применялась С.П. Гавелей, Ю.А. Мельниковым и их учениками, где соответствующие функции и матрицы Грина строились приближенно.

Численной реализации методов потенциала в задачах теории упругости посвящены работы Партона В.З., Перлина П.И., Верюжского Ю.В., Угодчикова А.Г., Хуторянского Н.М., Бреббия К., Уокера С., Бенерджи П., Баттерфилда Р., Крауча С., Старфилда А., Круза Т., Риццо Ф., Теллеса Ж., Вроубела Л., Громадки Т., Лей Ч., Кузнецова С.В., Лившица И.М., Розенцвейга Л.Н. и др [153, 154, 71, 191, 49, 56, 57, 120, 214, 185, 122, 123, 92, 131].

Метод граничных элементов (МГЭ) - это метод численного решения граничных интегральных уравнений с дискретизацией границы области и заданием аппроксимации функций плотности на границе. Интерес исследователей к применению МГЭ связан с несомненными достоинствами этого метода: снижением на единицу размерности рассматриваемой задачи, аналитическим описанием особенностей решения, высокой точностью результатов решения, практическим отсутствием ограничений на геометрию контура.

Среди методов построения ГИУ можно выделить два основных направления. Прямой МГЭ, основаный на формуле Сомилиана, полученной из теоремы о взаимности работ, где неизвестные плотности в интегральном уравнении имеют реальный физический смысл. В теории оболочек такими величинами являются перемещения и усилия.

В непрямом МГЭ ядра интегральных уравнений представляют фундаментальное решение и его производные, распределенные на границе рассматриваемой области с некоторой плотностью. Функции плотности не являются решениями задачи на границе, но если они определены, то решение в области определяется вычислением граничных интегралов.

Непрямой МГЭ в задачах изгиба пластин известен как метод компенсирующих нагрузок. Функциям плотности придается смысл нагрузок, приложенных к бесконечной пластине и распределенных по границе области, или по некоторому контуру, внутри которого находится область. В задачах изгиба пластин первые работы в этом направлении выполнены Кореневым Б.Г. и дальнейшее развитие этот метод получил в работах Толкачева В.М., Артюхина Ю.П., Грибова А.П., Венцеля Э.С., Крамина Т.В., Крамина М.В и др. [188-190, 1623, 26, 29-33, 59-70,47, 88, 89].

Монография Верюжского Ю.В. [71] посвящена разработке методов исследования деформирования плоских и пространственных тел при статическом нагружении. Для основных видов граничных условий при дискретизации границы и аппроксимации плотностей выполнен переход от интегральных соотношений к их алгебраическим аналогам. Интегральные соотношения записаны на основе формулы Сомилиана. Предложена методика вычисления эластопотенциалов в виде замкнутых аналитических выражений для кусочно-линейных и сплайновых аппроксимаций функций плотностей. Рассмотрено решение задач изгиба пластин, плоской и пространственной задач теории упругости.

Существенным вкладом в развитие метода компенсирующих нагрузок для пластин сложной формы являются работы Толкачева В.М. [188-190], где особое внимание уделено теоретическому анализу. В частности, в связанной с контуром системе координат получены аналитические формулы для ядер интегральных уравнений, дан анализ поведения ядер в особых точках, определены предельные значения основных потенциалов, предложены способы устранения неинтегрируемых особенностей.

Работы Венцеля Э.С. и его соавторов [59-70] посвящены применению метода компенсирующих нагрузок к решению линейных задач теории упругости, пластин и пологих сферических оболочек. В некоторых из них компенсирующие плотности располагаются вне контура пластины, что приводит к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода. Наиболее полно их исследования опубликованы в монографии [63].

Проблеме построения и анализа фундаментальных решений теории пластин и оболочек посвящены работы Лукасевича С., Ольшанского В.П., Шевченко В.П., Белоносова С.М., Артюхина Ю.П., Гурьянова И.Н. [132, 150, 151, 200, 198,47, 34, 93].

В постановке многих краевых задач предполагается, что решения считаются непрерывными. Однако при решении практических задач нагрузочные члены содержат различного рода особенности: например, сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, локальные температурные источники и т.д. Применение обобщенных функций решает эту проблему и расширяет возможности применения методов интегральных преобразований Фурье. В работах [198, 200] с использованием методов интегрального преобразования Фурье получены фундаментальные решения пластин и пологих оболочек, проанализирована их асимптотика при малых значениях аргумента и выделены особенности частных решений.

Работа Серазутдинова М.Н., Банцарева К.Н. [179] посвящена синтезу МГЭ и вариационного подхода при анализе пластин и оболочек. Отмечается, что сочетание достоинств этих методов позволяет снять ограничения, присущие каждому из них в отдельности.

Решению задач изгиба изотропных пластин сложной формы МГЭ посвящено большое число работ [87, 18, 22, 23, 65, 139, 146, 152] и др.

В этих работах рассмотрено применение прямого и непрямого МГЭ к решению задач изгиба пластин при различных силовых и температурных нагружениях; рассмотрены различные способы дискретизации границы, различные аппроксимации функций плотности; дан анализ ядер интегральных уравнений; разработаны методики вычисления сингулярных интегралов. Для различных граничных условий получены числовые результаты. Исследована практическая сходимость приближенного решения.

Пластины произвольного очертания при различных граничных условиях рассматриваются также в [249]. Изучается интегральная формулировка МГЭ, связанная- с интегральными представлениями для величин прогибов и изгибающих моментов. В [260] применяются прямолинейные граничные элементы с 9 степенями свободы. Сходимость исследуется на примере свободно опертой пластины. Проведено сопоставление с конечноэлементным решением для защемленной пластинки и прямоугольной пластины с квадратным отверстием.

Двумерным задачам теории упругости посвящены работы: [68], [86], [96], [109], [118], [119], [137], [148], [159].

В 1985 году применение МГЭ к решению плоской задаче теории упругости предложено У. Фишером и С.И. Богомоловым в статье [193].

Решение плоской задачи теории упругости МГЭ изложено в [120]. Особое место в ней уделено практическим задачам. Здесь иллюстрируются обобщения МГЭ и технические приемы для увеличения точности решения, построение вычислительных программ; проведено сравнение полученных результатов с аналитическим решением для тестовых задач.

Работа [68] посвящена исследованию плоской задачи теории упругости, однако только в случае разрывных и сосредоточенных нагрузок на границе области. Рассматривается вторая граничная задача в области с границей для системы уравнений Ляме в перемещения (плоская деформация). Основные теоретические и практические результаты применения МКН в граничных задачах обобщены в [69]. Рассмотрены и изучены вопросы, связанные с особенностями построения и исследования приближенных решений интегральных уравнений первого рода в качестве рабочего аппарата МКН. Это позволяет существенно расширить применение упомянутых интегральных уравнений. Разработана численная реализация метода, приведены некоторые численные результаты.

В работе [109] метод граничных интегральных уравнений используется для решения плоской задачи для тел с угловыми точками. Методы построения функций Грина и численной реализации метода граничных интегральных уравнений для уравнений равновесия плоской задачи теории упругости с использованием метода функции напряжений Эри рассматриваются в [261]. Показано применение численных методов решения граничных интегральных уравнений для задач теории упругости; анализа концентрации напряжений при растяжении прямоугольной пластинки с прямолинейной трещиной. Численные решения задач о плоском напряженном состоянии МГЭ представлены в [96], [243].

Прямой МГЭ в применении к плоским задачам теории упругости излагается в [228]; проводится сравнение результатов с данными, полученными МКЭ. Способ определения коэффициента интенсивности напряжений в плоской задаче предлагается в [159]. Применяется теорема взаимности к исходному решению краевой задачи теории упругости для области, ограниченной контуром с угловой точкой, и к вспомогательному решению, удовлетворяющему однородным краевым условиям. Последние имеют специальную, неинтегрируемую особенность в напряжениях. Выражение для коэффициента интенсивности напряжений получается в виде интеграла по контуру от произведения заданного на границе вектора напряжений на смещения вспомогательного решения.

В [117] предложен свой алгоритм численной реализации МГЭ для решения плоской задачи. В рамках прямого подхода и традиционной коллокационной схемы рассматриваются неизопараметрические элементы - линейные по геометрии с квадратичной аппроксимацией граничных неизвестных (в диагональных блоках, однако, - элементы изопараметрические). При определении остальных интегралов производится учет кривизны элемента с помощью разложения в ряд Якобиана преобразования от локальной системы координат к глобальной. В результате удается найти все интегралы по граничному элементу аналитически. В [118] приведены формулы для вычисления напряжений.

В [245] проводится анализ двумерных задач теории упругости. Обсуждаются основы МГЭ, демонстрируются его преимущества при решении двумерных граничных задач. Вариант МГЭ для ПНС при использовании функции Эри представлен в [232]. Здесь, кроме этого, обсуждается алгоритм дискретизации. Граничные интегральные уравнения относительно производных и их применение в плоской задаче теории потенциала рассматриваются в [213]. В качестве неизвестной функции выступает тангенциальная производная потенциала

В [148] приведены плоские граничные интегральные уравнения, в которых в качестве неизвестных выступает вектор напряжения на границе и производные от перемещения на контуре. Такие неизвестные позволяют находить тангенциальные граничные напряжения без Численного дифференцирования перемещений на границе, что повышает точность. Приводятся результаты численного решения ряда модельных задач. Граничные интегральные уравнения плоской задачи в [140] получены при использовании потенциалов двойного слоя первого и второго рода. Эти уравнения, кроме Членов, возникших в соответствующих граничных интегральных уравнениях длк задачи с заданными граничными смещениями, содержат также операторы Вольтерра и конечномерные операторы. Представлены асимптотики решений граничных интегральных уравнений около угловых точек границы и указана их связь с соответствующими асимптотиками решения исходной краевой задачи. Конформным и неконформным граничным элементам в плоской задаче теории потенциала посвящена статья [119]. В [233] предлагается новый полигональный элемент (в виде ломаной линии) для решения двумерных задач эластостатики. Разработана техника аналитического интегрирования, позволяющая преодолеть трудности, связанные с сингулярностями. При использовании этого метода напряжения на границе могут быть получены без численного интегрирования. Для оценки точности предлагаемого элемента вычислены значения коэффициента концентрации напряжений для изгибаемой пластины с глубоким вырезом гиперболической формы. Отмечается более высокая эффективность этого элемента по сравнению с линейным элементом.

В [241] приводятся результаты апробирования на ПЭВМ программы решения краевой задачи теории упругости (ПНС) при варьировании количества элементов разбиения границы. Цель исследования - установить допустимый предел точности, позволяющий получать адекватные решения при использовании постоянных элементов разбиения для задач анализа ПНС при растяжении и продольном изгибе консольно заделанной пластины с полукруглыми вырезами и без них и провести анализ погрешности МГЭ в двумерной задаче теории упругости, связанной с погрешностью вычисления интегралов и погрешностью дискретизации. Отмечено, что погрешность особенно велика при вычислении напряжений вблизи границы. Предложен способ снижения погрешности.

Методика оценки погрешности решения МГЭ, связанной с особенностями дискретизации исследуемых областей предложена в [251]. Обсуждается метод, позволяющий рекомендовать оптимальную сетку разбиения. В [183] предлагается использовать самоуравновешенные фундаментальные решения, состоящие из двух равных по величине, но противоположных по направлению сил, одна из которых приложена в узле граничного элемента, а другая - на некотором расстоянии от нее в точке, расположенной на примыкающем к узлу граничном элементе, то есть обе силы направляются вдоль граничного элемента.

Развитие МГЭ для решения плоской задачи теории упругости дано в [86]. Исследуемая область может быть многосвязной с произвольным контуром при произвольном нагружении, включая концентрированные силы. На основе МГЭ разработана методика, алгоритм и программа, позволяющая разделить на подобласти с различными упругими и геометрическими характеристиками исследуемый объект. Затруднения вызывают угловые точки. Даны численные результаты, отражающие эффективность метода. Проблеме подразделения на подобласти посвящена работа [231]. Представление в теории потенциала и линейной теории упругости решения уравнений через решение и его производные на границе (при помощи фундаментального решения уравнений) используется для получения конечных соотношений для некоторых представителей решения и его производных в подобластях, на которые предварительно подразделена область определения решения. В работе даются оценки погрешности предлагаемого метода решения граничных задач, вводится регуляризующий параметр для невязок на границах подобластей. Приведены примеры двумерных задач, в которых область подразделена на две простейшие. МГЭ для подобластей рассматривается и в [235]. Представление Кельвина для перемещений статической линейной теории упругости путем подразделения области на подходящие части сводится к матричному уравнению для некоторых представителей перемещений и усилий в подобластях. Рассмотрены примеры плоской задачи теории упругости для областей, составленных из усеченных секторов и прямоугольников.

В [218] дается аналитический обзор применения МГЭ в теории упругости. Выделяется его преимущества: простота дискретизации, сокращение ненужной вычислительной информации, времени счета и машиной памяти, высокая точность определения напряжений и деформаций во внутренних точках, возможность рассмотрения бесконечных и полубесконечных тел. Из недостатков отмечаются: малое число разработанных коммерческих программных продуктов, необходимость высокого уровня подготовки пользователя, трудности решения задач с существенно вытянутыми областями, а также нелинейных задач. Проводится сравнение МКЭ и МКР.

В работе [116] также подчеркиваются преимущества МГЭ по сравнению с МКЭ. По мере увеличения размерности задач, совокупные расходы для схем МГЭ, связанные с ЭВМ, увеличиваются значительно менее резко, чем для схем МКЭ. Как только получены решения на границе, могут быть вычислены значения переменных, описывающих решение, в любых внутренних точках. Отмечается, что граничное интегральное уравнение, является формулировкой поставленной задачи, ведущей к точному ее решению, погрешности вследствие дискретизации и численных аппроксимаций возникают только на границах. Погрешности могут быть очень малыми, если процедура численного интегрирования сделана достаточно сложной. Кроме того, численное интегрирование всегда есть более устойчивый и точный процесс, чем численное дифференцирование.

Из приведенного обзора видно, что современные исследования в области решения контактных задач проводятся в основном в вариационной постановке с использованием метода конечных элементов. Интегральная постановка в решении контактных задач, с которой и получили начало исследования в этой области, ограничивается только задачами для тел с достаточно простой геометрией. Это объясняется трудностью построения функции Грина, которая выступает ядром в разрешающих интегральных уравнениях, для тел сложной формы. Использование метода граничных элементов позволяет построить функцию Грина в численно-аналитическом виде для тел произвольной формы. Отсюда становится актуальным развить МГЭ на решение контактных задач.

Решение большинства прикладных контактных задач, возникающих при прочностных расчетах элементов машиностроительных конструкций, выполнено по теории Герца, которая имеет некоторые ограничения на геометрию и способ взаимодействия тел. С развитием современных численных методов решения контактных задач становится актуальным исследовать применимость решений теории Герца.

Таким образом, перед автором диссертации были поставлены следующие цели:

- применить метод граничных интегральных уравнений к решению контактных задач для тел сложной геометрии путем построения численно-аналитической функции Грина;

- разработать и применить алгоритм на основе НМГЭ решения двумерных контактных задач для пластин произвольной формы с неизвестной областью контакта;

- принимая во внимание, что контактные нагрузки имеют распределение по границам тел, построить интегральные уравнения НМГЭ с фундаментальным решением для полуплоскости решения плоских задач теории упругости для тел сложной формы с замкнутым контуром;

- разработать и применить алгоритм на основе НМГЭ решения плоских контактных задач в отказе от положений теории Герца, сравнить полученные решения с решением по теории Герца.

Диссертация, в которой реализованы поставленные цели, состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 261 наименования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении приведем основные результаты и выводы.

1. Получены аналитические формулы вычисления интегралов по элементам контура и внутренней области пластины, входящих в разрешающие уравнения НМГЭ в задачах изгиба пластин при граничноэлементной дискретизации с постоянной аппроксимацией компенсирующих нагрузок.

2. Разработан и реализован итерационный алгоритм на основе НМГЭ решения двумерных контактных задач взаимодействия пластин произвольной формы с жесткими телами при неизвестной области контакта. Получено аналитическое решение задачи контакта круглой пластины с жесткой преградой, подтверждающее достоверность предложенных алгоритмов поиска границы контакта. Решены контактные задачи передачи усилий на пластины сложных очертаний посредством жестких накладок и штампов. Показано, что при взаимодействии пластин с гладкими жесткими телами, для малых областей контакта максимальные контактные напряжения приходятся на точку первоначального касания, а при развитии области контакта происходит перестройка распределения контактных напряжений с концентрацией их к границе контакта. Разобрана методика задания начальных приближений итерационного процесса для неизвестной границы контакта: на начальном этапе при малых областях контакта начальное приближение можно задавать в виде круга, а для развитых областей задачу следует решать пошагово по нагружению, беря в качестве начального приближения решение предыдущего шага.

3. Получена система разрешающих интегральных уравнений НМГЭ, основанная на использовании фундаментального решения для полуплоскости, для решения плоских задач теории упругости для тел с криволинейным замкнутым контуром. Проведен анализ сингулярных интегралов. Выведены аналитические формулы вычисления интегралов по элементам контура с линейной аппроксимацией компенсирующих нагрузок.

4. Разработан и реализован итерационный алгоритм на основе НМГЭ решения плоских негерцевских контактных задач взаимодействия упругих и жестких тел при неизвестной области контакта. Получены и сравнены аналитические решения задачи о контакте балки с жестким основанием по теории балок и теории упругости плоских задач. На примере этой задачи показана применимость используемой в диссертации модели контактного взаимодействия тонкостенных элементов, на основе которой построены решения контактных задач взаимодействия пластин и жестких тел в Главе 2. Аналитическое решение теории упругости подтвердило достоверность предложенного итерационного алгоритма поиска границы контакта в плоских контактных задачах. Дано решение ряда контактных задач и сравнение их результатов с решением по теории Герца. Показано, что при изгибе контактируемого тела теория Герца занижает и смещает область контакта, и, поэтому, контактную задачу в этом случае следует решать совместно с определением деформаций всего контактируемого тела в связи с его действительной формой и особенностями закрепления. Решена контактная задача определения напряженно-деформированного состояния эвольвентных зубьев в цилиндрических зубчатых передачах.

1. Абрамян Б. Л. Арутюнян Н. X. Баблоян А. А. О симметричном давлении кругового штампа на упругое полупространство при наличии сцепления // Прикл. математика и механика,— 1966.—30, вып. 1.—С. 143—147.

2. Абрамян Б. Л., Баблоян А. А. Об одной контактной задаче, связанной с кручением полого полушара//Там же.—1962.—26, вып. 3.—С. 471—480.

3. Айрапетов Э.Л., Генкин М.Д., Ряснов Ю.А. Статика зубчатых передач.- М.: Наука, 1983. 140 с.

4. Александров В. М. Асимптотические методы в контактных задачах теории упругости// Прикл. математика и механика.— 1968.—32, вып. 4.—С. 472—483.

5. Александров В. М. Асимптотические методы в смешанных задачах теории упругости для неклассических областей // Там же.— 30, вып. 2. — С. 14—24.

6. Александров В. М. О приближенном решении одного типа интегральных уравнений // Там же.— 1962.— 26, вып. 5.— С. 934—943.

7. Александров В. М., Ворович И. И. О действии штампа на упругий слой конечной толщины // Там же.— 24, вып. 2.— С. 323—333.

8. Александров В. М., Кучеров В. А. О методе ортогональных полиномов в плоских смешанных задачах теории упругости // Там же.— 1970.— 34, вып. 4.—С. 643—652.

9. Александров В. М., Ромалис Б. Л. Контактные задачи в машиностроении.— М.: Машиностроение, 1986.— 176 с.

10. Ю.Александров В. М., Сметанин Б. И. Об одном эффективном методе решения неклассических задач теории упругости // Прикл. математика и механика.— 1971.—35, вып. 1.—С. 80—87.

11. И.Александров В. М. Некоторые контактные задачи для балок, пластин и оболочек. — Инженерный журнал, 1965, т. 5, № 4, с. 782—785.

12. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука. 1991. 352 с.

13. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М., Наука,. 1974.— 446 с.

14. Н.Артюхин. Ю.П. Одномерные контактные задачи теории оболочек. МТТ, 3, 1981, с. 55-65.

15. Артюхин. Ю.П. Механика пластин и оболочек при контактных воздействиях. // Диссертация на соиск. уч. степ. док. ф.-м. н. по спец. 01.02.04. Казань. Казанский гос. ун-т, 1979 г., 384 е., ил.

16. Артюхин Ю.П., Банцарев К.Н. Метод граничных элементов в задачах изгиба пластин сложного очертания при различных типах закрепления // Статика и динамика элементов конструкций сложной формы. Межвуз. сб. Казань: Изд-во КХТИ. 1990. С. 22-30.

17. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Исследование изгиба пластин сложной формы под действием температурного поля и нормального давления методом граничных элементов // Прикл. задачи напряженного состояния упругих тел. Межвуз. научн. сб. Саратов. 1987, С. 50-54.

18. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Применение метода граничных элементов к исследованию изгиба ортотропных пластин сложной формы // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. Вып 21.4.1. Казань: Казан, физ.-техн. ин-т АН СССР. 1988. С. 146 156.

19. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Развитие метода граничных элементов в линейных и нелинейных задачах теории пластин и оболочек // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. т.З. Саратов: Саратовский гос. техн. ун-т., 1997. С. 3-9.

20. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Решение задач изгиба пластин, подкрепленных упругими ребрами, методом граничных элементов // Актуальн. пробл. мех. оболочек. Тезисы докладов 3 Всесоюз. совещания- семинара молодых ученых. Казань. 1988. С. 11.

21. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. О применении метода граничных элементов к исследованию изгиба ортотропных пластин // Математические модели.

22. Методы решения и оптимальное проектирование гибких пластин и оболочек. Межвуз. научн. сборник. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та. 1988. С. 86-88.

23. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Решение задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек методом граничных элементов. Казань: Фэн,2002. - 199 с.

24. Артюхин Ю.П., Теркина B.C. Применение теоретико-эксперементального метода для решения одномерных контактных задач теории пластин и оболочек// Исслед. по теории пластин и оболочек.-1978.-вып. 13.-с. 104-112

25. Артюхин Ю.П., Гурьянов И.Н., Красин М.В., Крамин Т.В. Метод потенциала в задачах механики пластин и оболочек // Лаврентьевские чтения. Тез. докл. 4 межд. конф. по математике, механике и физике. Казань: Изд-во Казан, гос. унта, 1995, С. 89.

26. Артюхин Ю. П., Карасев С. Н. Действие жесткого штампа на пологую сферическую оболочку и пластинку. — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 9. Изд-во Казанского университета, 1972, с. 211—219.

27. Артюхин Ю. П., Карасев С. Н. Некоторые контактные задачи теорий тонких пластин. — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 10. Изд-во Казанского университета, 1973, с. 159—166.

28. Артюхин Ю.П., Крамин М.В. Применение метода граничных элементов для расчета напряженно-деформированного состояния пологих сферических оболочек. Казанский гос. ун-т. 1994. 19 с. Деп ВИНИТИ №> 2476-В94.

29. Артюхин Ю.П., Крамин М.В. Определение напряженно-деформированного состояния оболочек двоякой положительной кривизны методом граничных элементов. Казанск. гос. ун-т. Казань. 1994. 19 с. Деп ВИНИТИ № 2499-В94.

30. Артюхин Ю.П., Крамин Т.В. Исследование изгиба пластины сложной формы методом граничных элементов.; Казан, гос. ун-т. Казань, 1994. 17 с. Деп. в ВИНИТИ, 31.10.94, №2475 В94.

31. Артюхин Ю.П., Крамин Т.В. Напряженно-деформируемое состояние пространственных конструкций, состоящих из пластин сложной формы. Казан, гос. ун-т. Казань, 1994. 17 с. Деп. в ВИНИТИ, 28.10.94, № 244 294.

32. Артюхин Ю.П., Крамин Т.В. Расчет пластинчатых конструкций и пологих оболочек методом граничных элементов // Труды 17 межд. конф. по теории оболочек и пластин. Т. 2. Казань: Изд-во Казанского гос. ун-та. 1995. С. 77-81.

33. Артюхин Ю.П. Действие локальной нагрузки на ортотропную пластину // Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 4. Казань.: Изд-во Казанск. ун-та. 1966. С. 110-114.

34. Артюхин Ю.П., Малкин С.А. Двусторонняя контактная задача о давлении жесткого штампа на пластину // Тезисы докладов XIII Всероссийской межвузовской научно-технической конференции. Часть I.- Казань, 2001. -с.273-275

35. Артюхин Ю.П., Малкин С.А. Контактная задача о давлении жесткого штампа на пластину при заданных усилиях.//Труды XI межвуз. конференции

36. Математическое моделирование и краевые задачи". Часть I, Самара-2001, с. 811

37. Артюхин Ю.П., Малкин С.А. Контакт пластин с жестким основанием. Вестник Ульяновского государственного технического университета. №4 2002. с.29-35

38. Артюхин Ю.П., Малкин С.А. Плоская контактная задача взаимодействия полосы с жестким основанием // Наука и практика. Диалоги нового века: Материалы конференции (17-19 марта 2003 г.) Часть I. Наб. Челны: Изд-во КамПИ, 2003.-с. 156-158

39. Бабешко В. JI. Асимптотические свойства решений некоторых интегральных уравнений, возникающих в теории упругости и математической физике // Докл, АН СССР.— 1969.— 186, № 6.—С. 1273—1276.

40. Бабешко В. А. Об одном асимптотическом методе при решении интегральных уравнений теории упругости и математической физики // Прикл. математика и механика—1966.—30. вып. 4.—С. 732—741.

41. Баблоян А. А., Гулканян Н. О. Об одной смешанной задаче для прямоугольника//Изв. АН АрмССР. Механика.— 1969.—22. № 1.—С. 3—16.

42. Баблоян А. А., Мелконян А. /7. Осесимметричная задача для полого бесконечного цилиндра с периодически насаженными на него дисками // Там же.— 1968—21, № 1.—С. 345—351.

43. Белоносов С.М. Математическое моделирование равновесных состояний упругих тонких оболочек. М.: Наука. 1993. 159 с.

44. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их приложения в аэродинамике, теории упругости, электродинамике М.: Наука, 1985. 253с.

45. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. Пер. с анг. М.: Мир, 1984. 496 с.

46. Блох М. В. К выбору модели в задачах о контакте тонкостенных тел.— Прикладная механика, 1977,13, № 5, с. 34—42.

47. Блох М. В., Ващенко Н. Г., Гинц А. А. О вдавливании штампа в прямоугольную пластинку. — Прикладная механика, 1978, т. 14, № 7, с. 70— 75.

48. Блох М. В., Оробинский А. В. О модификации метода конечных элементов для решения двумерных упругих и пластических контактных задач // Пробл. прочности.— 1983.—№ 5.—С. 21—27.

49. Бойков И.В., Добрынина Н.Ф. Об оптимальных по точности алгоритмах вычисления интегралов Адамара // Оптимальные методы вычислений и их применение. Межвуз. сб. научн. трудов. Пенза. 1985. С. 14-28.

50. Бойков И.В. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Изд-во Саратовского ун-та. 1983. 210 с.

51. Бойков И.В., Добрынина Н.Ф. // Весовые квадратурные формулы для интегралов Адамара. Пензенский политехи, ин-т. Пенза. 1989. 7с. Деп. в ВИНИТИ 19.01.90. № 424-В90.

52. Бреббия К., Теллес Ж., Броубел JI. Методы граничных элементов. Пер. с анг. М.: Мир, 1987. 524 с.

53. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. Пер. с анг. М.: Мир, 1982. 248 с.

54. Венцель Э.С. Об одной схеме численной реализации метода граничных интегральных уравнений в задачах изгиба пластинок // Числен, методы расчета тонкостей, простран. конструкций. Киев, 1988. С. 26 30.

55. Венцель Э.С. Построение функции и матриц Грина для некоторых краевых задач теории тонких пластин и пологих оболочек // Харьков, инж. строит, ин-т. Харьков, 1989, 95 с. Деп. в Укр. НИИНТИ 15.12.89., №2997 Ук89.

56. Венцель Э.С. Применение метода компенсирующих нагрузок к расчету пластин сложной формы // ДАН УССР. сер. А. 1980. №. С. 43 -45.

57. Венцель Э.С., Джан-Темиров К.Е., Трофимов A.M., Негольша Е.В. Метод компенсирующих нагрузок в задачах теории тонких пластинок и оболочек. Харьков. 1992. 92с.

58. Венцель Э.С., Кобылинский В.Г., Левин A.M. Об учете особенностей при численной реализации метода компенсирующих нагрузок в бигармонических задачах теории упругости // Проблемы машиностроения. 1986. № 25. С. 16 -18.

59. Венцель Э.С., Кобылинский В.Г., Левин A.M. Применение метода регуляризации для численного решения задач изгиба тонких плит // Журнал вычислительной математики и физики. 1984. Т. 24. № 2. С. 323 328.

60. Венцель Э.С., Левин A.M. Метод компенсирующих нагрузок в задачах изгиба пластинок и пологих оболочек неканонической формы // Эксперим. расчет, методы автоматиз. проектир. Киев. 1988. С. 35 39.

61. Венцель Э.С., Левин A.M. Решение граничных задач теории упругости путем численной реализации метода компенсирующих нагрузок // Проблемы машиностроения. 1989.25. №12. С. 101 -107.

62. Венцель Э.С., Левин A.M. Решение граничных задач теории упругости путем численной реализации метода компенсирующих нагрузок // Числ. методы расчета тонкост. простр. констр. Киев . 1988. С. 31 38.

63. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев: Вища школа. 1978. 181 с.

64. Вовкушевский А. В. Представление одного класса задач упругости с трением на границе как задач с идеальными односторонними связями // Всесоюз. н.-и. ин-т гидротехники.—Л., 1982 — 11 е.—Деп. в ВИНИТИ 26.08.82, № 1088—82.

65. Вовкушевский А. В., Зейлитер В. А. К решению задач теории упругости с односторонними связями конечных элементов //Изв. Всесоюз. н.-и. ин-та гидротехники.—1979.—129.—С. 27—31.

66. Вовкушевский А. В., ШойхетБ. А. Расчет массивных гидротехнических сооружений с учетом раскрытия швов.— М.: Энергоиздат, 1981.— 136 с.

67. Ворович И. И., Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости.— М. : Наука, 1974.— 456 с.

68. Ворович И. И., Копасенко В. В. Некоторые задачи теории упругости для полуполосы// Прикл. математика и механика.— 1966.—30, вып. 1.—С. 109— 115.

69. Ворович И. И., Устинов Ю. А. О давлении штампа на слой конечной толщины // Там же.— 1959.— 23, вып. 3.— С. 445—455.

70. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. Казань: Изд-ва Казан, ун-та. 1980.

71. Гавеля С.П., Мельников Ю.А., Давыдов И.А. Решение некоторых граничных задач теории оболочек. Днепропетровск: Изд-во Днепропетровского ун-та. 1971.51с.

72. Гавеля С.П., Скрыпник В.П. К исследованию деформированного состояния тонких оболочек при конечных прогибах . Прикладная механика. 1971. №7. вып. 10. с.26-30

73. Гавеля С.П. О сохранении разрешимости граничных задач теории пологих оболочек при приведении их к интегральным уравнениям. Изв. Вузов. Математика. N5. 1969. С. 14-19.

74. Гавеля С.П. Об одном способе построения матриц Грина для сочлененных оболочек//ДАН УССР. сер. А. 1969. N12. С. 1107-1111.

75. Галин JI. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости.— М.: Наука, 1980.—304 с.

76. Галин JI.A. О давлении твердого тела на пластинку. ~ПММ, т.П, 1948, №3, с.345-348.

77. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., Наука, 1977, 640 с.

78. Господинов Г., Дракалиев П. Върху приложението на метода на граничните елементи за равнината задача на теория еластичността. Теор. и прикл. мех. 1990.- 21, Н2, ц. 66-73 (Болг)

79. Грибов А.П. Большие прогибы пластин и пологих оболочек со сложным контуром. // Диссертация на соиск. уч. степ. док.ф.-м.н. по спец. 01.02.04. Ульяновск. Ульяновский гос. технич. ун-т, 1998г.,272с.

80. Грибов А.П. Исследование изгиба пластин, подкрепленных по контуру ребрами, методом граничных элементов // Механика и процессы управления. Межвуз. сб. научн. тр., вып.З. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та., 1992. С. 813.

81. Грибов А.П. Исследование температурного изгиба многосвязанных изотропных пластин методом граничных элементов // Механика и процессы управления. Сб. научн. трудов. Ульяновск. 1996. С. 66-71.

82. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. -М.: Машиностроение. 1980, 411с.

83. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Цилиндрический изгиб пластины жесткими штампами. ПММ, т.39, 1975, вып. 5, с. 876-883.

84. Громадко II Т., Лей Ч. Комплексный метод граничных элементов. М.: Мир. 1990. 304 с.

85. Гурьянов И.Н. Метод разрывных решений в задачах исследования деформации анизотропных пластин сложной формы // Диссертация на соиск. уч. ст. к.ф.-м. н. по спец. 01.02.04. Казань. Казанский гос. ун-т, 1977 г., 212 с.

86. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М: Мир, 1989. - 510 с.

87. Дувидзон И. А., Умайский С. Э. К вопросу о решении контактных задач теории упругости и пластичности//Пробл. прочности.— 1982.—№ 1.—С. 50— 54.

88. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наукова думка. 1968. 287 с.

89. Иосилевич Г. Б. Концентрация напряжений и деформаций в деталях машин.— М. : Машиностроение, 1981.— 220 с.

90. Каландия А. И. О приближенном решении одного класса сингулярных интегральных уравнений // Докл. АН СССР.— 1959.— 125, № 4.— С. 715— 718.

91. Кантор Б.Я. Контактные задачи нелинейной теории оболочек вращения. -АН УССР. Ин-т проблем машиностроения. Киев: Наук. Думка, 1990. - 136 с.

92. Карасев С. Н., Артюхин Ю. П. Контактное взаимодействие пластин с жесткими телами. — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 11. Изд-во Казанского университета, 1975, с. 148—159.

93. Карасев С. Н., Артюхин Ю. П. Влияние поперечного сдвига и обжатия на распределение контактных напряжений. — В кн.: Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 12. Изд-во Казанского университета, 1976, с. 68—-76.

94. Ковнеристов Г. Б. Взаимодействие штампа и балочной плиты // Сопротивление материалов и теория сооружений.— 1975.— № 25.— С. 165— 171.

95. Ковнеристов Г. Б. Интегральные уравнения контактной задачи теории упругости для заглубленных штампов // Сб. науч. трудов КИСИ.— 1962.—№ 20.—С. 23—29.

96. Корнейчук А.А. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов // Численные методы решения дифференциальных уравнений и квадратурные формулы. Научн. сб., М.: Наука. 1964. С. 64-74.

97. Коровин Теория механизмов и машин.

98. Костылев В. Г., Полухин В. П., Андрианов Н. Ф. Определение контактных давлений между бандажем и осью составного прокатного валка // Изв. вузов. Черная металлургия.— 1977.— № 9.— С. 84—90.

99. Клепиков В.П. Применение метода граничных интегральных уравнений к решению плоской задачи теории упругости для тел с угловыми точками. Моск. ин-т инж. ж.-д. трансп., М.,1985, 21 с.

100. Кравчук. А. С. К задаче Герца для линейно и нелинейно упругих тел конечных размеров // Докл. АН СССР.— 1976.— 230, № 2.— С. 308—310.

101. Кравчук JI. С. К теории контактных задач с учетом трения на поверхности сопротивления / Прикл. математика и механика.— 1980.— 44, № 1.— С. 122—129.

102. Кравчук А. С. Постановка задачи о контакте нескольких деформируемых тел, как задачи нелинейного программирования // Там же.— 1978.— №3.— С. 466—474.

103. Кравчук А. С., Ахунджанов Е. Р. Численная реализация вариационного подхода к решению контактных задач теории упругости методом потенциала // Расчеты на прочность,— 1983.—№ 4.—С. 12—18л

104. Кравчук А. С., Васильев В. А. Вариационный метод в контактной задаче теории упругости // Упругость и неупругость.— 1978.— Вып. 5.— С. 23—31.

105. Кравчук А. С., Васильев В. А. Численные методы решения контактной задачи для линейно и нелинейно упругих тел конечных размеров // Прикл. механика.— 1980.— 16, № б.—С. 9—15.

106. Крамин Т.В. Расчет тонкостенных пространственных конструкций сложной формы методом граничных элементов // Диссертация на соиск. уч. степ, к.ф.-м. н. по спец. 01.02.04. Казань. Казанский гос. ун-т, 1995 г., 207 с.

107. Краснощекое В.В. Аналитически интегрируемые квадратичные граничные элементы для плоских упругих задач // ЛГТУ, Л., 1990. Деп. в ВИНИТИ, 12.11.90, Н5659-В90.

108. Краснощеков В.В., Маслов Л.Б. Вычисление напряжений в численно-аналитическом методе граничных элементов. // ЛГТУ, Л., 1990. Деп. в ВИНИТИ, 12.11.90, Н5660-В90.

109. Краснощеков В.В. Маслов Л.Б. Конформные и неконформные граничные элементы в плоской задаче теории потенциала. // ЛГТУ, Л., 1990. 9с.

110. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир. 1987. 328 С.

111. Кузнецов С.А. Статическое и динамическое контактное взаимодействие пластин и цилиндрических оболочек с жесткими телами. // Диссертация на соиск. уч. степ. к. ф.-м. н. по спец. 01.02.04. Казань. Казанский гос. ун-т, 1983 г., 149с.

112. Кузнецов С.В. Некоторые сингулярные решения теории упругости // ПММ. Т60. Вып 5. 1996. С. 877-879.

113. Кузнецов С.В. Фундаментальные решения уравнения Ламе для анизотропных сред // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. №4. С. 50-54.

114. Кузьменко А. Г. Механика контактной среды при наличии ползучести и износа и метод конечного элемента.— Брянск, 1980.— 42 с.— Деп. в ВИНИТИ 18.07.80, № 3184—30 Деп.

115. Кузьменко А. Г. Основные уравнения теории упругости и пластичности и метод конечного элемента.— Тула : Изд-во Тульского политехи, ин-та, 1980.— 100 с.

116. Кузьменко В. И., Ламзюк В. Д., Приварников Л. К. Оценка точности МКЭ при решении неклассических смешанных задач теории упругости // Пространствен, конструкции в Красноярском крае.— 1978.— №11.— С. 133— 138.

117. Кузьмин Ю. Н., Уфлянд Я С. Контактная задача о сжатии упругого слоя двумя штампами // Прикл. математика и механика.— 1967.— 31, вып. 4.— С. 711—715.

118. Кузьмин Ю. Н., Уфлянд Я. С. Осесимметричная задача теории упругости для полупространства, ослабленного плоской круглой щелью // Там же.— 1965.— 29, вып. 6.—С. 1132—1137.

119. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963. 472 с.

120. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили Н.О., Барчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука. 1976. 664 с.

121. Лившиц И.М., Розенцвейг Л.М. О построении тензора Грина для основного уравнения теории упругости в случае неограниченной упруго-анизотропной среды // ЖЭТФ. 1947. Т17. Вып. 9. С. 783-791.

122. Лукасевич С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках. М.: Мир. 1982. 542 с.

123. Малкин С.А. Изгиб пластин под давлением жесткого плоского штампа // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 12. Казанское математическое общество. -Казань: Изд-во "ДАС", 2001. с.99-100

124. Малкин С.А. Решение МГЭ контактных задач плоской теории упругости // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т.21. Казанское математическое общество. -Казань, 2003. с.161-162

125. Маслов Л.Б. Численно-аналитический метод граничных элементов для решения задач термоупругости / Ленингр. политехи, ин-т, Л.:, 1989

126. Мелещенко Н. Г. Конечно-элементный анализ явлений в плоском контакте упругих шероховатых тел под действием нормальных и касательных нагрузок : Тр. Центр, н.-и. дизел. ин-та.— 1977.— 18 с.

127. Миндолин Ю.И. Температурный изгиб сплошных и двусвязных пластин сложного очертания // Прикл. теория упругости. Межвуз. науч. сбор. Саратов, 1989. С. 99- 102.

128. Михайлов С.Е. Некоторые граничные интегральные уравнения плоской задачи теории упругости для неодносвязных тел с одномерными упругими окаймлениями и угловыми точками. Изв. тв. тела. 1992, 1, с.36-47

129. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. М. Л.: Гостехиздат. 1947.

130. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М: Физматгиз. 1962. 254 с.

131. Мусхелишвилли Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука. 1968.511 с.

132. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. 1979. 707 с.

133. Мухадзе М. Г. Об одном решении задачи изгиба тонкого стержня по лекалу. — Сообщение АН Груз. ССР, 1977, т. 85, № 3, с. 645—648.

134. Мысютин А.П., Кокупов В.А. Об интегральном варианте метода фиктивных нагрузок для расчета напряженного состояния пластин. Брянск, ин-т трансп. машиностр., Брянск, 1992, 16 е., Деп. в ВИНИТИ, № 119 192.

135. Нигина Е. Л. К решению контактных задач МКЭ// Машиностроение.— 1978.— №5.— С. 14—19.

136. Никитин Ф.Н. Граничные интегральные уравнения теории упругости в градиентах перемещений. Ленингр. политех, ин-т. Л., 1990 - 12 с.

137. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука. 1979. 256 с.

138. Ольшанский В.П. Разработка методов расчета пологих оболочек на действие локализованных нагрузок. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. Харьков. 1988. 466 с.

139. Ольшанский В.П. Функция Грина при изгибе пластины на упругом полупространстве//Прикл. мат. и мех. 1987. 51. №5. С. 866-867.

140. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинках и оболочках. Киев : Наукова думка. 1976. 444 с.

141. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука. 1981. 688 с.

142. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука. 1977.311 с.

143. Паутов А. П., Солуянова О. И. Метод фиктивных жесткостей в численном-решении контактных задач // Прикл. пробл. прочности и пластичности.— 1978.— Вып. 9.—С. 49—54.

144. Пелех Б. Л., Сысак Р. Д. О давлении твердого тела на трансверсально изотропную пластинку, связанную с упругим основанием. — Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1970, т. 23.№ 3, с. 36—42.

145. Пелех Б. Л., Сысак Р. Д. О контактных задачах для балок и пластинок с низкой сдвиговой жесткостью. — Механика полимеров, 1970, № 4, с. 715— 720.

146. Пелех Б. Л., Сухорольский М. А. Некоторые осесимметричные контактные задачи для упругих ортотропных цилиндрических оболочек из армированных пластиков. — Механика полимеров, 1976, .№ 5, с. 860—863

147. Плещинский Н.Б. Интегральные уравнения с логарифмической особенностью в ядре для граничных задач теории упругости для плоскости, полуплоскости и круга с дефектами вдоль гладкой дуги. Препринт 97-1. Казанское матем. общество. Казань. 1997. 22с.

148. Плещинский Н.Б. Приложения теории интегральных уравнений с логарифмическими и степенными ядрами. Казань. Изд-во Казанск. ун-та. 1987. 160с.

149. Подгорный А. Н., Киркач Б. Н., Хавин Г. Л. Применение метода граничных интегральных уравнений для решения смешанных задач теории упругости // Прикл. механика—1984.—20, № 1.—С. 83—88.

150. Подгорный А.Н., Гонтаровский П.П., Киркач Б.Н. и др. Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций АН УССР. Ин-т проблем машиностроения. - Киев: Наук. Думка, 1989. - 232 с.

151. Полухин П. И., Полухин В. П., Андрианов Н. Ф., Новиков А. В. Применение метода интегральных уравнений к исследованию процессов обработки металлов давлением//Изв. АН СССР.—Металлы.— 1982.—№ 1.—С. 179—183.

152. Попов Г. Я- Вдавливание штампа в линейно-деформируемое основание с учетом сил трения // Прикл. математика и механика.— 1967.— 31, вып. 2.— С. 337—343.

153. Попов Г. Я. Плоская контактная задача теории упругости с учетом сил оцепления и трения // Там же.— 1966.— 30, вып. 3.— С. 551—563.

154. Попов Г.Я. Об интегральных уравнениях контактных задач для тонкостенных элементов// Прикл. математика и механика.- 1976.- 40, вып.4 -с.662-673.

155. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Мир. 1979. 493 с.

156. Развитие теории контактных задач в СССР / Под ред. J1. А. Галина.— М. : Наука, 1976.—496 с.

157. Рвачев В. J1. Об аналитическом описании некоторых геометрических объектов // Докл. АН СССР.— 1963.— 153, № 4.— С. 765—768.

158. Рвачев В. JL Давление на упругое полупространство штампа, имеющего в плане форму полосы // Прикл. математика и механика.— 1956.— 20, вып. 2.— С. 248—254.

159. Рвачев В. J1. К расчету бесконечной балки, лежащей на упругом полупространстве//Там же.— 1958.—22, вып. 5.—С. 698—700.

160. Рвачев В. Л., Проценко В. С. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей.— Киев : Наук, думка, 1977.— 236 с.

161. Розенберг Л. А. О давлении твердого тела на пластинку. — Инженерный сборник, 1955, 21, с. 151-155.

162. Рыжов Э. В., Сакало В. И., Подлеснов Ю. П. Решение контактных задач релаксационным методом конечных элементов // Машиноведение.— 1980.— №6.—С. 64—69.

163. Рыжов Э. В., Сакало В. И., Подлеснов Ю. П. Решение плоских контактных задач с учетом трения релаксационным методом конечных элементов // Механика и физика контакт, взаимодействия.— 1979.— С. 3—14.

164. Саркисян С. О. О цилиндрическом изгибе пластинки жесткими штампами. Доклады АН Арм. ССР, 1977, вып. LXIV, № 4, с. 216—223.

165. Серазутдинов М.Н., Банцарев К.Н. Синтез метода граничных уравнений и вариационного метода при расчете пластин и оболочек // Изв. вузов. Машиностр. 1992. 10-12. С. 48-52.

166. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука. 1982. т.4. 550 с.

167. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука. 1956. т.2. 628 с.

168. Спектор А. А. Некоторые пространственные статические контактные задачи теории упругости с проскальзыванием и сцеплением // Изв. АН СССР. Механика твердого тела.— 1981.—№ 3.—С. 12—25.

169. Стаин В.М. Решение плоской задачи теории упругости прямым методом граничных элементов с самоуравновешенным фундаментальным решением.// Прочн. Машин, и трансп. Сооруж./ Моск. Автомоб.-дор. ин-т. М., 1988, с.71-77

170. Теплый М. И. Контактные задачи для областей с круговыми границами.— Львов : Изд-во при Льв. ун-те, 1983.— 176 с.

171. Теллес Д.К.Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. М.: Стройиздат. 1987. 160 с.

172. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. - 636 с.

173. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. - с. 576

174. Толкачев В.М. Уравнения изгиба пластин произвольного очертания с угловыми точками // Труды XXVII Международн. конф. по теории оболочек и пластин. Т.1. Казань: изд-во гос. ун-та. 1996. С. 145-153.

175. Толкачев В.М. Метод компенсирующих нагрузок в теории изгиба пластин // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1988. № 3. С. 155-160.

176. Толкачев В.М., Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Решение задач изгиба пластин сложного контура методом граничных элементов // Актуальные проблемы механики оболочек. Тезисы докладов II Всесоюзного совещания-семинара молодых ученых. Казань. 1985. С. 218.

177. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике твердого деформируемого тела. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1986. 296 с.

178. Улитко А. Ф. Растяжение упругого пространства ослабленного двумя круговыми трещинами, расположенными в одной плоскости // Концентрация напряжений.— 1968 — Вып. 2.—С. 201—208.

179. Фишер У., Богомолов С.И. "Динамика и прочность машин"/ Харьков, 1985,Н42, 56-59 с.

180. Филоненко-Бородич М. М. Изгиб тонкого стержня по заданной кривой.— Труды Московского электромеханического института инженеров железнодорожного транспорта. ,М., Трансжелдориздат, 1949, выи. 58, с. 3-10.

181. Фридман В. УИ., ЧернинаВ. С. Итерационный процесс для решения конечномерной контактной задачи // Высш. математика и мат. физика.— 1967.—7, № 1.—С. 160—163.

182. Фридман В. Н., Чернина В. С. Решение задачи о контакте упругих тел итерационным методом // Изв. АН СССР. Механика твердого тела.— 1967.— № 1.—С. 116—120.

183. Хавин Г. JI. Применение граничных интегральных уравнений для решения смешанных задач теории упругости.—Харьков, 1986.— 15 с.—Деп. в ВИНИТИ S0.02.86, № 1184—1386.

184. Хижняк В.К., Шевченко В.П. Смешанные задачи теории пластин и оболочек. Донецк: Изд-во Донецкого университета, 1980.128 с.

185. Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций. Казань: Изд-во Казан, ун-та. 1977. 302 с.

186. Шевченко В.П. Интегральные преобразования в теории пластин и оболочек. Донецк: Донецкий государственный университет, 1977. 115 с.

187. Шерман Д.И. Основные плоские и контактные задачи статической теории упругости. В сб.: Механика в СССР за 30 лет. М.-Л.: Гостехиздат, 1950, с. 192-225.

188. Шерман Д.И. Метод интегральных уравнений в плоских и пространственных задачах теории упругости. Тр.1 Всес. Съезда по теорет. и прикл. механике. М. -Л.: АН СССР, 1962, с.405-467.

189. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. М.: Гостехиздат, 1949, 270с.

190. Abdel-Akher A., Hartley G.A. Domain integration for plate bending analysis by bem // Commun. Appl. Numer. Meth. 1989. 5. N1. 23-28 p.

191. Abdel-Akher A., Hartley G.A. Evaluation of boundary integrals for plate bending // Int. Numer, Meth. Eng. 1989. 28. N1. 75-93 p.

192. Andersson T. The boundary element method applied to two dimensional contact problems with friction // Proc. 3rd int. semin.— Jrvine (Cal.), 1981.— P. 238—258.

193. Andersson T. The second generation boundary element contact program // Boundary element meth: Eng. proc. 4th int. semin.— Southampton, 1982.— P. 409—427.

194. Andersson Т., Allan-Persson B. G. The boundary element method applied to two-dimensional contact problems // Progr. Boundary Elem. Meth.— 1983.— 2.— P. 136—137.

195. Au M. С. Boundary element direct elimination procedure in multiregion problems // Boundary Elem.— 1984.— 6;— P. 5/9—5/17.

196. BezineG., Fortune D. Contact between plates by a new direct boundary integral equation formulation / Int. J. Solids and Struct — 1984.-20, N 8—P. 739—746.

197. Boundary elements//Proc. 5th int. conf., Hiroshima, Nov. 1983.—Berlin etc., 1983.— 1046 p.

198. Chan S. K., Tuba J. S. A finite element method for contact problems of solid bodies// Int. J. Mech. SCI.— 1971.— 13,—P. 615—625.

199. Choi J.H., Kwak B.M. A BEI formulation in derivative unknowns for two-dimentional potential problems.// Trans. ASME. J. Appl. Mech. -1989. 56, 3, 617623 p

200. Cruse T.A., Rizzo F.J. A direct formulation and numerical solution of the general transient elastodynamic problem. Int. J. Math. Anal. Applies, 1968, 22, 244259.

201. Essenburg F. On a class of nonlinear axisyminetric plate problems. Transactions of the ASME. Series E. — Journal of Applied Mechanics, 1960, 27, N 4, p. 677 680

202. Essenburg F., Gulati S. Т. On the contact of two axisymmetric plates. —Paper of ASME,1965, N APMW-26. (Русский перевод; Эссенбург Ф., Гулати С. Т. О контакте двух осесимметричных пластинок. — Прикладная механика. Серия Е, 1966, №2, ИЛ, с. 91—97).

203. Fenner R.T. Stress using boundary elements // Mod. Prakt. Stress an vibr. Anal. Proc.conf., Liverpool, 3-5apr., 1989, 2 oxford etc., 1989, 31-38p.

204. Francavilla A., Zienkiewicz 0. A note on numerical computation of elastic contact problems// Int. J. Num. Mech. Eng.— 1975.—9, N 4.—P, 913—924.

205. Fredholm I. Sur une classe d'equations fonctionelles. Acta Mathematica. 27. 365-390(1903).

206. Fridriksson B. Finite elements solutions of surface nonlinearities in structural mechanics with special emphasis to contact and fracture mechanics problems // Corn-put. and Struct.— 1976 — P. 281—290.

207. Fridriksson В., Rejdholm G., Sjoblom P. Variational inegualities in structural mechanice with emphasis on contact problems // Finite elements in non linear mechanics.— 1978 — 2.— P. 863—864.

208. Gartner R. Resolution de problemes de contact elastique aves frottement en atilisant des variales nodales appopices//J. Mech. Appl.— 1977.— 1, N 3.— P. 247—265.

209. Girkmann K. Formanderung eines kreisformigen, auf ebener Unterlage auf-ruhenden Behalterbodens durch Flussigkeitsdruck. — Der Stahlbau, 1931, 4, S. 205—209

210. Goodman R. E., Taylor R. J., Brekket T. A. A model for the mechanics of Joiteel Rock // Proc. ASCE.— 1968.— 94.-- P. 637—659.

211. Hofmann R. Uber ein nichtlineares Problem der Plattenstatik. — Zeitschrift for angevandte Mathematik und Mechanik, 1938, 18, S. 226—232.

212. JamadaJ., Joshimura N., Sasurai Г. Plastic stress-strain matrix and its application for the solution of elastic—plastic problems by the finite element method// J.Mech. Sci.— 1968.— 10;—P. 343—354.

213. Ivan M., Dubina D., Ciocirlic H. Application of the BEM to plane problem of elasticity.// "Bui. Sti. Si. tehn. Inst, politenh. Timisoara Constr.", 1986,31,#1-2, 4146 p.

214. Ivanova Jordanka, Valeva Varbinka. Bending analysis of shallow spherical schells by BEM // Trans. 10th. Int. Conf. Struct. Mech. React. Technol. Anaheim. Calif. 14-18 Aug. 1989. Vol. B. Los Angeles (Calif.). 1989. p.19-24.

215. Kalker J. J. A survey of the mechanics of contact between solid bodies // Z. angew. Math, und Mech.— 1977.— 57, N5. — S. T3—T17.

216. Kamiya N., Koide Masfumi Adaptive boundary element for the problem with subregion partition.// Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. A. 1993. -59, N558, 407-414 p.

217. Katayama Т., Siguiyama Y.A formulation of BEM for plane stress problem.// "Bui. Univ. Osaka Prefect", 1986, A35, #1, 12-22 p.

218. Kawano S. Poligonal line element for two dimentional elastostatic BEM.// Mem. Fac. Eng. Yannaguchi Univ. 1991. - 41,N2 - 281-288 p.

219. Keer L. M,. Silva M. A. G. Bending of a cantilever brought gradually into contact with a cylindrical supporting surface. — International Journal Mechanical Sciences. Pergamon Press, 1970, 12, p. 751—760.

220. Kita Eisuke, Kamiya N. Subregion BEM.//. 1993. -59, N558

221. Kratochuil J. Solution of contact problems for finite element method // Sta-vebn. cas.— 1976.—24, N 5.—P. 380—389.

222. Laing Barden. Contact pressures under circular slabs. — Structures Engineering, 1965, 43, N5, p. 153—154.

223. Laursen, Tod A. Computational contact and impact mechanics: fundamentals of modeling interfacial phenomena in nonlinear finite element analysis/ Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Hong Kong; Lo*: Springer, 2002. 454 P.

224. Ma S. У. The boundary element applied to elastostatics//Proc. 5th int. conf.— Hiroshima, Nov. 1983.—Berlin 1983.—(;. 1027—1035.

225. Michalowski R., Mros Z. Associated and nonassociated studing rules in contact friction problems//Arch. mech. stosow.-1976.-N 3.—P. 259—276.

226. Mochira M., Kamiwakida I. Numirical solution of plane stress problems by BEM.// Kagoshima Techn. Coll. 1989, N23, 29-34 p.

227. Murakami S., Ymada Y. Effects of hydrostatic pressure and material anisotropy on the transient creep of thick-walled tubes // Int. J. Mech. Sci.— 1974.— 16, N 3.— P. 145—208.

228. Mochihara M., Kamiwakida I. Numerical solution of plane stress problems by BEM. " Kagoshima Techn. Coll. Res. Repts.", 1987, #21, 29-35 p.

229. Naghdi P. M. On the theory of thin elastic shells. — Quarterly of Applied Mathematic, 1957,14,N4,p.369—3 80.

230. Oida Akira. Analysis of 2-dimentional elastic problem by boundary element method. "Bull. Fac. Agr. Niigata Univ.", 1987, #39, 27-34 p.

231. Paczelt J. Solution of elastic contact problems by the finite element displacement method//Acta Techn. Acad. Sci. Hung.-1976.-82, 3/4.— P. 353—375.

232. Paczelt J. Some remarks on the approximate solution of frictionless elastic contact problems // Ibid — 83, 3/4.— P. 337—355.

233. Panagiotopulos P. D. A boundary integral inclusion approach to unilated В. V. P. S. in elastostatics / Mech. Res. Commun — 1983.— 10, N 2.— P. 91—96.

234. Paris F., Leon S. An alternative analysis of thin elastic plates with any boundarythconditions, using B.E.M. Boundary Elements 7. Proc. 7 int7 Conf7 Lake Como, sept. 1985, vol.1, Berlin e.a., 1985, 4/17-4/28.

235. Parsons В., Wilson E. A. A method for determinationg the surface contact stresses resulting from interference fits//J. Eng. Industry Trans. ASME.— 1970.— 4.—P. 208—218.

236. Rencis J.J., Jong K.Y. A self-adaptive boundary element technique for 2-D potential.// Boundary Elem. Meth. Appl. Mech. Proc. 1-st Joint Jap./US Simp. B.E.M., 81-90 p.

237. Scholes A., Strover E. M. The precewise linear analysis of two connected structures including the effect of clearence at the connections // Ibid.— 1971,—N 3.—P. 45—52.

238. Signorini A. Questioni di elastostatica Hnearizzata e semilinearizzata // Rend. Mat.— 1959.— 18.—P. 381--402.

239. Sneddon I. N., Gladwell G. M. L., Coen S. Bonded contact of an infinite plate and an elastic foundation. — Letters in applied and engineering sciences, 1975, 3, p. 1—13.

240. Timoshenko S. P., Lessels J. M. Applied elasticity. Westighouse technical nigth school press. East Pittsburgh, Pa., 1925. 544 p. (Перевод на русский язык: С. П.

241. Тимошенко и Дж. Лессельс. Прикладная теория упругости. Пособия для ВТУзов и специалистов. Л., Гостехиздат, 1930. 392 е.; М.—Л., Гос-техиздат, 1931.392 е.).

242. Tsuta Г., Jamoji S. Finite element analysis of contact problem//Theory and practic in finite element structure analysis.—Tokye, 1973.—P. 177—194.

243. Wriggers P. Computational Contact Mechanics./John Wiley&Sons: Chichester, West Sussex, England; 2002, 442 P.

244. Wright G. P., Connor J. J. Finite element analysis of alterming axial loading of an elastic plate pressed between two elastic rectangular bloks with finite friction//Int. J. Eng. Sci— 1971.—9.—P. 325—338.

245. Zheng Liadong. The boundary integral equation boundary element method for solving the elastic contact problems / Acta mech. solida sin.—1985.—N 32.— P. 253—258.

246. Zotemontel R. Numerical solution of plate bending problems using the boundarythelement method. Boundary elements 7. Proc.7 int. Conf. Lake Como, Sept. 1985, Vol.1 Berlin e.a.,1985, 4/81-4/91.

247. Wang Xing-feng, Wang Xing-fa. Computational model of boundary integral equation in solid mechanics. "Appl. Math, and Mech.", 1985, 6, N6, 531-540 p.