Взаимодействие акустических волн с подкрепленными пластинами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ОД

На правах рукописи

БЛДАНИН Андрей Васильевич

Взаимодействие акустических волн с подкрепленными пластинами

Специальность 01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

Работа выполнена на кафедре математической физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физико-математических наук,

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук,

профессор Даниил Петрович К0У30В, кандидат физико-математических наук, Николай Андреевич РАЗУМОВСКИЙ ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Петербургское отделение математического института им. В.А.Стеклова.

Защита состоится "_ 199^года в

1-3 часов на заседании специализированного совета К.063.57.17 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени М.Горького Санкт-Петербургского государственного универси-гета..

профессор Борис Сергеевич ПАВЛОВ.

Автореферат разослан

года.

Ученый секретарь специализированного совета

С.Н. манила

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность теми. Исследование дифракционных явлений в акустических средач при наличии тонкостенных конструкций представляет большой теоретический интерес. К таким задачам приводят потребности строительной техники , авиационной акустики , судостроения и т.д.

Число дифракционных задач, допускающих простое точное решение, по-видимому, невелико. В то же время, важно суметь, получить решение в такой форме, которая допускала бы возможность физической интерпретации и численных расчетов.

Математическое рассмотрение взаимодействия акустического поля с тонкостенными телами приводит к т.н. гранично-контактным задачам. Краевую задачу математической физики называют гранично-контактной, если для выделения единственного решения, кроме краевых условий, требуется сформулировать дополнительные гранично-контактные условия на линиях или в точках границы. При этом, как правило, порядок дифференциального оператора граничных условий не ниже, а'часто даже и выше порядка основного уравнения, описывающего колебания акустической среды. Гранично-контактные условия описывают механический режим на кромках пластин (или оболочек), а также в местах их сочленения или подкрепления.

Для анализа решений гранично-контактных задач характерен большой объем и громоздкость вычислений, что обусловлено как сложностью дифференциального оператора, задачи, так и наличием гранично-контактных условий. Поэтому разработка простых и- эффективных численных алгоритмов исследования та-

ких задач имеет большую ценность.

В связи с этим представляет интерес изучение математических вопросов, связанных с гранично-контактными задачами. В частности, это может быть постановка и исследование гра-нцчно-контактных задач с позиций общей теории краевых задач математической физики или абстрактной теории рассеяния.

Дель и задачи работы. Цель предлагаемой работы - предложить новые способы применения известных аналитических методов, таких, как метод Винера-Хопфа, метод О.А.Ладыженской обращения оператора эллиптической краевой задачи, методы теории расширений операторов, - к постановке и исследованию различных задач акустики. В диссертации рассматриваются следующие вопросы.

1.Исследование явления дифракции плоской акустической волны и излучения акустических волн конструкцией, состоящей из двух состыкованных под развернутым углом прямолинейных полубесконечных пластин, одна из которых подкреплена периодическим набором ребер жесткости.

2.Применение методов общей теории эллиптических краевых задач к исследованию задачи о колебаниях акустической среды в поперечном сечении волновода с пластиной на границе.

3.Точная с точки зрения теории операторов постановка задачи о взаимодействии акустической среды и подкрепленной пластины.

Научная новизна работы.

- Исследовано явление дифракции и излучения волн конструкцией, состоящей из двух состыкованных полубесконечных

пластин, одна из которых подкреплена периодическим набором ребер. Исходная задача сведена к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений с матрицей специальной структуры: такая, система может быть решена в коротковолновом пределе (при больших волновых расстояниях между ребрами). Дана оценка погрешности коротковолнового приближения в решении задачи. Получено асимптотическое выражение для поля в дальней зоне. Найдены направления усиления и выявлен характер поля в этих направлениях.

- Методы общей теории эллиптических краевых задач применены к исследованию задачи о колебаниях акустической среды в поперечном сечении волновода произвольной формы с пластиной, колебания которой описываются уравнениями Кирхгофа или Тимошенко-Миндлина, на границе. Исходная краевая задача сведена к эквивалентному функциональному .уравнению типа Фредгольма. Доказана самосопряженность и компактность оператора задачи, -т.е. дискретность спектра и базисность набора собственных функций. Найдены .первые члены разложений собственных частот и собственных функций в ряд по степеням некоторого малого параметра задачи.

- Построена "операторная модель для задачи о взаимодействии акустической среды и подкрепленной ребром пластины. Доказана существенная самосопряженность оператора. Установлена ■ эквивалентность исходной краевой задач« спектральной задаче для этого оператора.

Научная и практическая ценность работы. В работе построе-ш! высокочастотные асимптотические оазлглиш для акуоти-

- б -

ческого поля в ряде новых задач дифракции на подкрепленных пластинах. Предложенный в диссертации метод исследования гранично-контактных задач в ограниченных областях произвольной формы позволил получить приближенные формулы для собственных частот колебаний акустической среды в поперечном сечении волновода, одной из стенок которого служит тонкая упругая пластина, в предположении малости параметра связи между пластиной и ср'едой. Эти результаты могут быть использованы в практике авиа- и судостроения, звукоизоляции и т.п. • В работе явно выписан существенно самосопряженный оператор задачи о взаимодействии жидкости и подкрепленной пластины, что автоматически решает проблему точной постановки задачи, указывает классы функций, в которых выполнено условие существования и единственности решения неоднородной задачи при наличии поглощения. Эти результаты открызают путь для более широкого применения методов абстрактной теории рассеяния к исследованию задач акустики.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Коллоквиуме по приложениям математики по случаю 80-летия со дня рождения Л.Коллауца (Гамбург,б-? июля 1990 г.), на Всесоюзной конференции по интегральным уравнениям и краевым задачам математической физики (Владивосток, 22-26 октября 1990 г.), на Днях Дифракции-93 и 94 (С.-Петербург, 1993 и 1994 гг.). По материалам диссертации были сделаны доклады на семинаре В.М.Бабича в ПОШ, на семинаре Д.П.Коу-зова в СПбМТУ, а также на семинарах кафедры математической физики в СПбГУ.

Публикации. Основные результаты, диссертации опуОлик. ваны

I; статьях л материалах конференции И-О!.

Структура ;; обген работ». Лиссчруощю состоит из введения , четырех глав, заключения и списка использованной литературы. ОбЩКЙ ОбЪ'-Н работы - По страниц. 12 рисунков, библиография - 01 наименование.

СОДКРШКП РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность работы, сформулировали ее цели, задачи, основные результаты. Кратко описаны структура и содержание работы.

В первой главе диссертации рассмотрена (в двумерной постановке) задача о взаимодействии жидкости, заполняющей полупространство, с двумя состыкованными под развернутым углом полубссконечиыми пластинами, одна из которых подкреплена полубесконечным набором периодически расположенных ребер жесткости. Режим на стыке пластин.не. фиксируется, то есть ищется общее решение задачи. Кроме того, задача решается в предположении отсутствия отражения от поверхности ребер и пренебрежении их моментным импедансом.

Исследуется поле, возбужденное точечным гармоническим источником, расположенным на однородной пластине (зависимость от времени О. в этой и во-всех последующих главах опускается). Сначала методом Винера-Хопфа находится некото^ рое специальное решение РСх»У >*■') (поверхностная функция

Грина) задачи с парой однородных пластин и с источником на одной из этих пластин в точке х=>к| у »О. Полное поле представляется в виде линейной комбинации значений таких функций, сосредоточенных на ребрах и в точке расположения источника, а также поля • рассеянного стыком

(1). °

■ Здесь - расстояние между соседними ребрами, - силовой импеданс ребра. Коэффициенты фи/^^с!, о) линейной комбинации (1) (гранично-контактные постоянные) должны быть найдены из решения бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Однако, полученная система не относится к числу точно решаемых или регулярных. К ней применяется метод полуобращения . При этом методом Винера-Хопфа явно обращается часть ^ ехр [¿¿г. |и*-и/сО^матрицы системы, отвечающая переносу энергии поверхностной волной и выделяющаяся из патрицы системы при переходе к коротковолновому пределу |сс{-*-.оо . ( ¿ЕЬ и Зг. г некоторые постоянные, зависящие от параметров системы). Далее, пренебрегая всеми слагаемыми, убывающими с уменьшением длины волны, получаем первое слагаемое в коротковолновом асимптотическом разложении линейной комбинации Ы (гЛ « ич Х-1" гранично-контактных постоянных. Этого оказывается достаточно, чтобы, используя асимптотику функции Грина при больших волновых расстояниях от стыка пластин, найти значения излученного поля в дальней зоне в коротковолновом пределе. Полученное таким образом выражение справедливо для всех углов наблюдения., за

исключением углов 0 , 1Г , а также углов ^, удовлетворяю-

щих условиям

(2)

- 1с со! 41, . 1-

Т - некоторая постоянная, и - любое целое число.

В главе 2 использована несколько иная методика. Здесь в системе, описанной в первой главе, источником поля является плоская волна, падающая на пластину. Методом стационарной фазы, с учетом возможности прохождения стационарного контура в окрестности полюса подынтегрального выражения, исследовано выражение для первого слагаемого в коротковолновой асимптотике дифракционного поля. В частности, удается получить выражения, пригодные в окрестности особых направлений, определяемых условиями (2).

В главе 3 изложены некоторые новые применения схемы О.А.Ладыженской к гранично-контактным задачам. Рассмотрена • задача о колебаниях акустической ср^ды в поперечном сечении волновода произвольной формы с пластиной на границе. Состояние среды описывается акустическим потенциалом ^ , изгиб-ные колебания пластины - нормальным смещением ^ . Общая методика проиллюстрирована на примере задачи с пластиной в модели Кирхгофа и далее применена к пластине в модели Тимошенко- Миндлина. В результате получается аквивалентная в смысле обобщенного решения спектральная задача вида

для квадратичного операторного пучка (спектральным параметром задачи является частотаи> ). Здесь А ив- разрешающие операторы краевой задачи для оператора Лапласа с .условием Неймана на пластине с неоднородность» в правой част,, уравнения Лапласа (оператор А ) или на пластине (оператор Н). Оператор С - разрешающий оператор задачи о вынужденных колебаниях пластины в вакууме. Оператор £> мажет быть определен кпк композиция оператора Р , сопоставляющего функции в сечении волновода ее след на пластине и оператора С- . М . . ^о . с ' параметры пластины и среды. Формальный вид задачи (3) одинаков1для обеих моделей пластин, но оператора действуют в разных Функциональных пространства;";. Такое сходство задач для двух моделей пластин позволяет в дальнейшем анализе не различать их.

Кроме того, в главе 3 обсуждается вопрос об эквивалентности задачи о колебаниях акустической среды в поперечном сечении волновода с пластиной на границе спектральной задаче для линейного самосопряженного оператора. А именно, если произвести замену одной из исходных переменных: перейти от акустического потенциала ы в среде к его производной по времени (а или заменить поле нормальных смещений ? пластины на поле его производных но времени ? . то вместо задачи (3) для операторного пучка получатся спектральная задача

(4)

Ч7« ю А/ -И

для самосопряженного положительного компактного оператора

(о)

(спектральным параметром является частота и» ). Здесь

Задача (4) имеет вид уравнения Фредгольма. Следствием эквивалентности исходной краевой задачи уравнению Фредгольма яьляется утверждение о дискретности набора собственных значений и базисностн набора собственных функций задачи.

Слагаемое при первой степени спектрального параметоа в операторном пучке (записанном через компоненты 4х ) имеет множитель, который по своему физическому смыслу является малым, поэтому это слагаемое может считаться возмущением основного слагаемого, содержащего квадрат частоты. Это со-ооражение позволяет развить теорию возмущений для приближенного вычисления.собственных частот и собственных функций иядачи. В работе найдены первые два слагаемых в.такоу разложении.

В главе 4 излагается некоторый новый подход к вопросу строгой постановки гранично-контактной задачи, не связанный с переходом к интегральным операторам. В качестве примера рассмотрена двумерная задача о взаимодействии жидкости, заполняющей полуплоскость, и пластины в модели Кирхгофа на границе. Колебания жидкости описываются полем давлений р

Ч^лАО*

Оказывается, что спектральная задача вида для оператора о£д вида

® & (С) - (

с областью определения

где Ч и ^ - некоторые постоянные, эквивалентна задаче о взаимодействии акустической среды и бесконечной однородной тонкой упругой пластины. Параметры пластины и среды выражаются через О и Ь . Доказана существенная самосопряженность оператора .

Спектральная задача для (существенно) самосопряженного оператора о^ вида (5) с областью определения

гЧ = ^/>*, • '

соответствует задаче о взаимодействии акустической среды и пластины, подкрепленной ребром. Постоянная 2 связана с силовым импедансом ребра.

В заключении сформулированы основные полученные в диссертации результаты.

1.Показаны некоторые новые применения метода Винера-Хоп-фа к исследованию акустических систем. При этом получено

первое слагаемое в коротковолновой асимптотике поля, дифрагированного системой, состоящей из пары состыкованных пластин, одна из которых подкреплена периодическим набором ребер. Источником поля при этом может быть как плоская волна, падающая на систему, так и точечный источник, помещенный на безреберной пластине. Исследованы выражения для дальнего поля. Выявлен характер дальнего поля в окрестности "особых направлений", т.е. тех направлений, в которых распространяется неубывающая с расстоянием Еолна.

2.Приведен пример применения методов общей теории эллиптических краевых задач к исследован™ колебаний акустической среды в поперечном сечении волновода произвольной формы, одной из стенок которого служит тонкая упругая пластина. При этом колебания пластины могут описываться как уравнением Кирхгофа, так и уравнениями Тимошенко-Миндлина. Исходная задача переписывается в виде эквивалентной задачи для уравнения Фредгольма с симметричным ядром. По теории возмущений получены простые приближенные формулы для вычисления собственных частот задачи. > .

3.Предъявлен оператор, спектральная задача для которого эквивалентна задаче о взаимодействии акустической среды с тонкой прямолинейной упругой пластиной в модели Кирхгофа. Пластина может быть подкреплена ребром жесткости. Доказано, что оператор является существенно самосопряженным, а его квадратичная форма - положительной.

Основные результаты диссертации изложены в следующих публикациях:

1.Баданин А.В., Белинский Б.П. О гранично-контактных задачах акустики.// В сб. Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики. Тез. докл. Всесоюз. конф, Владивосток, 1990.

2.Badanln A.V., Belinskii В.Р. About Boundary-Value Contact Acoustic Problems. - In Colloquium on Applications of Mathematics on the occasion of the 80th birthday of Lothar Collatz. Program and abstracts of lectures. Hamburg, 1990. P.28.

3.Баданин А.В..Белинский Б.П..Ильинский К.Н..Уэдин В.М. Суперсимметрия и задачи акустики.// TMJ, 1992. Т.90, в.З. С.407-411.

4.Баданин А.В., Белинский Б.П. О колебаниях жидкости « ограниченной полости с пластиной на границе.// ЖВМиШ, 1993. Т.33,В.6. С.936-944.

6.Pokrovski А.А., Badanln A.V. Linear Operator Treatment of a Boundary-Contact Value Acoustic Problem.// IPRT Preprint Nr 15-93, 1993.

б.Баданин А.В. Излучение коротких волн парой пластин, подкрепленных полубесконечным набором ребер жесткости.// зап. науч. семин. ПОМИ, 1994. Т., 210. С.38-46.

Лицензия й 020460 от 04.03.92. Сдано в прсязв. 09.12.34.Подписано..в почать 09.12«91. Формат 60х84Д6. Бумага писчая. Усл.печ.л. 1,0.. ■Уч.-иэд.д. 0,9. Заказ $ 73. Тирззц 100 экз.

Отпечатано на ротапринте АГТУ

163007, г.Архангельск, 7, наб.Северной Двшш, 17