Преобразование упругих волн на сочленениях пластин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

§ 1. Актуальность тематики и цели диссертации

§ 2. Обзор литературы

§3. Содержание диссертации

Глава 1. Трансформация линейных упругих волн на прямолинейной кромке пластины. Принцип взаимности.

§ 1. Изгибные колебания пластины.

§ 2. Симметричные колебания пластины

§ 3. Комбинированные колебания пластины .:.

Глава 2. Матрица трансформации линейных упругих волн на узловом сочленении пластин. Закон сохранения энергии

§ 1. Принцип взаимности

§ 2. Матрица трансформации

§ 3. Закон сохранения энергии для случая падения распространяющейся волны .42 »

§ 4. Закон сохранения энергии для случая падения нераспространяющейся волны

Глава 3. Рассеяние упругих волн на узловом сочленении пластин

§ 1. Матричный метод решения.

§ 2. Рассеяние упругих волн на ортогональном Т-образном сочленении пластин.

§ 3. Влияние угла наклона полубесконечной пластины на трансформацию волн в сочленении пластины и полупластины.

Глава 4. Неоднородные волны в системе пластина-жидкость

§ 1. Вывод дисперсионных уравнений для системы пластина-жидкость.

§ 2. Асимптотические разложения корней дисперсионных уравнений

§--3. Численные анализ корней дисперсионных уравнений

Глава 5. Трансформация продольной волны в Т-образном сочленении пластин, находящемся в одностороннем контакте с жидкостью.

§ 1. Математическая постановка задачи и точное решение.

§ 2. Коэффициент отражения продольной волны от линии сочленения пластин.

§ 3. Асимптотическое представление поля в жидкости в дальней зоне

81 . о ~ *

С проблемами распространения волн в упругих конструкциях приходится сталкиваться в самых различных областях практической деятельности человека. Корпуса и переборки кораблей представляют собой упругую тонкостенную с акустической точки зрения конструкцию. Подавление распространения вредных вибраций, вызванных работой мотора и ударами волн, является необходимым условием для нормальной деятельности экипажа и обитания пассажиров. Эти вопросы являются предметом изучения корабельной акустики. Другой задачей корабельной акустики является обеспечение нормального функционирования корабельных акустических локационных систем. С проблемами борьбы с распространяющимися вредными вибрациями приходится сталкиваться в самолетостроении, в автомобилестроении, в железнодорожном транспорте, в архитектурной акустике. Задачи о распространении волн в упругих пластинах необходимо решать также при геофизических исследованиях динамики ледовых полей полярных водных бассейнов. Проблемы, подобные приведенным выше, встречаются и в других областях.

Востребованность результатов исследований в практической деятельности является причиной интереса к задачам распространения вибрационных волн в тонкостенных конструкциях. Следствием этого интереса является наличие большого числа научных публикаций по этой тематике, что является косвенным подтверждением ее актуальности. Однако, по нашему мнению, в имеющихся публикациях недостаточно исследованы вопросы распространения и трансформации упругих волн в пластинных конструкциях с учетом всех типов движений, возможных в пластинах. Авторы большинства публикаций рассматривают задачи такого типа в упрощенной постановке, ограничиваясь лишь учетом изгибных колебаний пластины, полагая их наиболее легко наблюдаемы

Актуальность тематики и цели диссертации ми и вызывающими наиболее интенсивное излучение в акустическую среду. В значительной степени такой подход связан с тем, что учет всех типов движений в пластине приводит к существенному усложнению задачи. Однако установлено, что продольные колебания пластины, хотя и слабее изгибных контактируют со средой, тем не менее, волны в среде, порожденные ими, наблюдаются экспериментально [27]. Необходимость учета продольных движений в пластинах, контактирующих со средой, отмечена также в теоретической работе [48]. Заметим, что более важным все же является тот факт, что на угловых сочленениях пластин происходит трансформация различных типов волн друг в друга. В реальных конструкциях таких сочленений может быть довольно много. В результате изгибные колебания в элементах конструкции, удаленных от источника, могут быть обусловлены колебаниями различных типов в промежуточных конструкциях. Вот почему учет всех типов движений в конструкции является существенным.

Предлагаемая диссертационная работа посвящена исследованию взаимной трансформации упругих волн на узловом сочленении пластин. Узловым сочленением пластин будем называть конструкцию, составленную из произвольного числа полупластин, жестко спаянных по прямолинейной кромке. Предполагается, что пластины изготовлены из однородных изотропных материалов и являются тонкими в акустическом понимании, то есть толщина мала по сравнению с другими характерными размерами, в том числе по сравнению с длинами волн, наблюдаемыми в пластине. Рассматривается распространение таких волн как в изолированных пластинах, так и в пластинах, контактирующих с водой. Исследования проведены в достаточно общей постановке. В пластинах учитываются все основные типы волн: три распространяющихся (продольная, сдвиговая, из-гибная) и один нераспространяющийся тип - неоднородная изгибная. Задача распространения волн в пластинах, контактирующих со средой, формулируется как гранично-контактная задача математической физики с полным учетом взаимного влияния волновых процессов в среде и конструкции.

Термин "гранично-контактная задача" впервые был предложен В.Н. Красильниковым [44] с целью выделения данного специфического класса задач математической физики. Особенность этих задач состоит в том. что помимо традиционного граничного условия на поверхности области, занятой средой, в ней участвуют граничные условия, которые должны выполняться на подмногообразии границы меньшей размерности (так называемые гранично-контактные условия). Такие задачи возникают, когда условия на поверхности области, занятой средой, содержат производные более высоких порядков по сравнению с порядком уравнения, задающего свойства среды (и, соответственно, невозможны при классических условиях Дирихле или Неймана [35]). В акустике гранично-контактные задачи возникают, когда на границе среды располагается тонкое упругое тело (пластина, мембрана, оболочка). Граничные условия формулируются в этом случае с учетом уравнений колебаний пластины или оболочки, а гранично-контактные условия отражают режим на сочленениях тел или оболочек, местах их подкрепления опорными элементами, на трещинах и других неоднороднос-тях.

Цель исследования - установление характера взаимодействия симметричных и антисимметричных волновых процессов в конструкциях, составленных из тонких упругих изотропных пластин, а также в случае наличия среды - изучение влияния среды на это взаимодействие. Представляет интерес определение условий, при которых можно пользоваться упрощенной моделью, то есть пренебречь колебаниями всех типов, кроме изгибных, а также выявление ситуации, в которой необходим учет всех типов колебаний. ;

§2. Обзор литературы

Выше отмечалось, что библиография по задачам распространения упругих волн в тонкостенных конструкциях обширна. Приведем краткий обзор литературы, ограничиваясь вопросами, близкими к теме нашего исследования.

Прежде всего отметим работы, связанные с выбором математической модели колебаний пластины. Уравнения колебаний пластины могут быть получены из общих уравнений трехмерной теории упругости [2, 46, 47, 64, 57, 65, 103, 104] при некоторых упрощающих предположениях о характеристиках упругого слоя.

Полученные приближенные уравнения пластины позволяют учесть все типы колебаний, то есть продольную, сдвиговую, изгибную и неоднородную (затухающую) изгибную волны. Продольно-сдвиговые (симметричные) движения пластины описываются уравнениями обобщенного плоского напряженного состояния [46], а изгибные (антисимметричные) движения - уравнением Софи Жермен - Лагранжа - Кирхгофа [46, 65]. Уравнение Кирхгофа называют уравнением изгибных колебаний "тонкой" пластины, оно с достаточной точностью описывает колебания пластины на низких частотах. Несколько более широкий частотный диапазон имеет модель Тимошенко-Миндлина, которая учитывает инерцию вращения нормалей и их сдвиг. Это уравнение является аналогом уравнения изгибных колебаний стержня [64,103]. Уравнение Тимошенко-Миндлина называют моделью изгибных колебаний "толстой" пластины.

Учет влияния неоднородностей, соединений пластин, а также учет их конечности осуществляется введением граничных и гранично-контактных условий, вывод которых можно найти, например, в монографиях [2, 3, 24].

Исследованию колебаний пластины и пластинных конструкций в среде обычно предшествует изучение колебаний указанных структур в вакууме. Реально эта идеализированная ситуация может соответствовать тому, что пренебрежимо мало как излучение пластины в среду, так и взаимодействие пластины со средой.

Не рассматривая в настоящем обзоре работы, посвященные колебаниям одиночной пластины в вакууме, остановимся коротко на работах, посвященных прохождению волн через различные соединения бесконечных и полубесконечных пластин.

Обзор работ этого направления содержится, например, в монографии [77]. При исследовании распространения звука в пластинных структурах вводится коэффициент прохождения, который определяется как отношение интенсивности прошедшей волны к интенсивности падающей волны. Хекль [89] определил его как коэффициент затухания.

В работе [99] вычислены коэффициенты прохождения на соединении полубесконечной и бесконечной пластины. Учитывались только изгибные движения. Граничные условия предполагали только сохранение изгиба и изгибающего момента. Авторы [91] рассмотрели ту же задачу, только в качестве модели изгибных колебаний они использовали уравнение Тимошенко-Миндлина.

В [78] исследовано прохождение изгибной волны через ортогональное Т-образное сочленение пластин. Без учета взаимного преобразования изгибной и продольной волны изучается шарнирное, упругое и жесткое соединение пластин. Отмечается зависимость преобразования падающей волны от угла падения, однако исследование этой зависимости не проводится.

В работе [16] рассматривается прохождение изгибной и продольной волн через крестообразное Т-образное и Т-образное соединения пластин. Предполагается только нормальное падение волны на сочленение, учитываются все типы волн и их взаимодействие.

Прохождение изгибных волн через жесткое угловое под произвольным углом соединение полупластин для случая наклонного падения волны на сочленение рассматривается в работе [53].

В работах [75, 76] рассматривается падение изгибной волны на крестообразное и, в частности, на Т-образное сочленение пластин. В пластинах предполагаются распространяющимися и взаимодействующими все типы волн. Исследуется зависимость коэффициентов преобразования от других параметров системы (плотности материала пластин, соотношения их толщин, изгибной жесткости).

Вопросам преобразования упругих волн в конструкциях посвящены также работы [90, 98].

И, наконец, отметим работу [96]. В работе вычисляются коэффициенты трансформации на конструкциях из стержней и пластин. За основу берется конструкция, состоящая из набора пластин, жестко присоединенных к стержню. В пластинах изгибные колебания описываются уравнениями Кирхгофа, а продольно-сдвиговые - уравнениями Файлона. В стержне учитываются сдвиговые деформации, инерция вращения. Источник поля - одиночная волна, набегающая ортогонально по одной из пластин. Исследуются зависимости от углов падения волны, частотные зависимости и зависимости от углов, под которыми соединены пластины для некоторых примеров сочленений.

В упомянутых выше работах получение результатов было связано с решением нескольких систем уравнений. Процесс решения задач не был достаточно наглядным. Отметим далее ряд работ этого направления, связанных единым, так называемым матричным методом.

Этот метод был впервые предложен Томпсоном [119] и Хаскелом [88] при исследовании прохождения волн через слоистые среды. Суть его в том, что, зная некоторые матрицы, задающие свойства поля на входе в систему, можно найти в матричной форме связь с элементами поля на выходе системы.

Основные результаты и библиография по применению матричного метода в исследовании прохождения волн через слоистые среды приведены в монографиях [55, 56].

Отметим работу [74], где матричным методом вычисляются коэффициенты отражения и прохождения гармонических плоских волн через систему однородных и изотропных поглощающих слоев, чередующихся в произвольном порядке.

В задачах распространения упругих волн в пластинах и пластинных структурах матричный метод не может быть применен в том же виде, что и для слоистых сред. В слоистых средах на границе раздела двух соседних слоев имеет место непрерывность и смещений, и напряжений. Поэтому кинематическое и динамическое состояние системы удобно описывать единым вектором, и целью исследования является нахождение связей между компонентами этого вектора на входе и на выходе системы. В пластинных и стержневых конструкциях по одной линии (или в одной точке) сочленяются несколько пластин или стержней, и векторы напряжений и скоростей участвуют в качественно различных соотношениях (их роль аналогична соответственно роли силы тока и напряжения в законах Кирхгофа для электрических цепей), поэтому объединение кинематических и динамических величин в одном векторе оказывается нецелесообразным. Кроме того, наличие угловых соединений пластин и стержней требует введения специальных дополнительных матриц, задающих пространственную ориентацию различных элементов модели.

Впервые матричный метод в задачах о распространении упругих волн в пластинных и стержневых конструкциях был использован в [23], затем в ряде других работ. Отметим монографию [1].

В работах [39, 40] матричным методом находятся коэффициенты преобразования упругих волн всех типов на ребре жесткости (пластина конечной высоты, жестко сочленена с другой пластиной), а также на системе ребер, подкрепляющих бесконечную пластину.

В пользу применения матричного метода говорят его очевидные достоинства: ясность, простота, алгоритмизированный язык, а также тот факт, что при надлежащем способе нормирования векторов, описывающих волновой процесс, чрезвычайно прост контроль выполнения закона сохранения энергии и принципа взаимности в рассматриваемой системе.

Исследования акустических процессов в системе пластина-жидкость начались с изучения процесса прохождения плоской звуковой волны через бесконечную пластину. Первая теоретическая работа в этой области принадлежит Релею [62, 63]. В этой работе использовалась достаточно условная модель - в роли пластины в ней выступал жидкий слой.

Кремер [78] предложил использовать для этих целей уравнение Кирхгофа изгиба тонкой пластины. Им было сформулировано правило: полное прохождение звука через пластину наблюдается тогда, когда фазовая скорость следа падающей волны на поверхности пластины совпадает с фазовой скоростью изгибной волны в пластине. Кремер указал на наличие для каждой конкретной ситуации некоторой частоты, ниже которой этот эффект не наблюдается. Эта частота в нашей литературе называется критической.

Л.М. Лямшев [48] обратил внимание на важность учета симметричных (продольных) колебаний пластины, контактирующей с внешней средой и построил общую теорию прохождения звука через тонкую платину, учитывающую как изгибные, так и продольные колебания пластины. Отметим также работу Ивакина [27], наблюдавшего в прошедшем и отраженном поле протяженной пластины головные волны, обусловленные продольными колебаниями пластины.

Обратимся к работам, содержащим исследование дисперсионных свойств системы пластина-жидкость. Здесь, во-первых, следует отметить работу [84]. Автор рассматривал двусторонний контакт пластины с жидкостью и учитывал в пластине лишь изгибные движения, которые описывал с помощью уравнения Тимошенко-Миндлина.

Выделены три типа волн, соответствующих трем корням дисперсионного уравнения, которые различаются поведением в закритической области:

- волна первого типа - генетически связана с распространением изгибной волны в пластине;

- волна второго типа - при повышении частоты переходит в пределе в волну, бегущую вдоль пластины;

- волна третьего типа - генетически связана с нераспространяющейся изгибной волной в пластине.

Автор предложил объяснение обнаруженного экспериментально и описанного в [87] эффекта незеркального отражения: на кромке пластины в результате отражения бегущего по ней вынужденного процесса возникает обратная волна первого типа, излучаемая пластиной под углом совпадения. Позднее в работе [111] была предложена приближенная теория незеркального отражения, основанная на количественной реализации рассуждений, приведенных в [84]. Выделенные в [87] волны в отечественной литературе называются неоднородными, причем, волна второго типа - поверхностная. Изучению этих волн посвящен ряд работ. В работе [97] автор, используя уравнение Тимошенко-Миндлина, установил, что:

- фазовая скорость волны третьего типа вдоль пластины отрицательна, тогда как скорость передачи энергии в указанном направлении положительна;

- при сосредоточенном возбуждении пластины каждая из этих волн наблюдается лишь внутри некоторого угла, причем, по любому направлению внутри угла поле эспоненцильно убывает по мере удаления наблюдателя.

В работах [80, 81] при решении задачи об изгибных колебаниях пластины, односторонне граничащей с жидкостью, установлены условия, при которых упомянутая выше волна первого или третьего типа является реально наблюдаемой.

Работа [26] посвящена вычислению корней дисперсионного уравнения изгиб-ных колебаний пластины (модель Тимошенко-Миндлина).

Сравнение дисперсионных уравнений для пластин, изгибные колебания в которых описываются уравнениями Кирхгофа и Тимошенко-Миндлина проведено в [115, 116]. Установлено, что на низких частотах обе модели дают практически совпадающие результаты: одна распространяющаяся и одна затухающая моды. Однако, с ростом частоты затухающая волна должна перейти в распространяющуюся. Этот факт учитывается лишь в модели Тимошенко-Миндлина.

Далее автор [117], а также авторы [109] установили, что при определенном соотношении параметров при частоте ниже критической пара комплексных корней, соответствующая волнам первого типа, может стать действительной. Причем, [109] содержит ошибочное утверждение о том, что в этом случае в модели наблюдаются две дополнительные поверхностные волны. Анализ этой ситуации можно найти в [112, 108, 110, 114]. В [И, 113, 114] содержится опровержение этого факта, так как полученные корни лежат на дополнительном листе рима-новой поверхности и соответствуют волновому процессу, амплитуда которого нарастает вглубь жидкости.

Отметим также работы [25, 28, 82, 83, 107], посвященные исследованию дисперсионных свойств системы пластина-жидкость с учетом продольных движений пластины. В работах для описания изгибных движений была взята модель Тимошенко-Миндлина.

В работе [94] (модель Кирхгофа) и в статье [45] в низкочастотном приближении вычисляется фазовая и групповая скорости изгибной поверхностной волны в системе пластина-жидкость. Автор [85] получил аналогичный результат для уравнения Тимошенко-Миндлина.

В работах [17, 45, 86] сравниваются различные механизмы переноса энергии в поверхностной волне. Для ситуации сталь-вода установлено, что в докрити-ческой области 80% энергии переносят изгибные колебания пластины и 20%

- прилегающий слой жидкости. В окрестности критической области каналы меняются ролями.

Влияние потерь в пластине на излученную мощность изучалось, например, в работах [4, 116]. В [54] также исследуется затухание волн в среде.

Теперь рассмотрим работы, посвященные сочленениям пластин, контактирующим с жидкостью. Задачи такого рода относятся к гранично-контактным задачам акустики.

По-видимому, первой гранично-контактной задачей акустики, для которой удалось найти точное решение, является задача о дифракции плоских упругих волн на полубесконечной пластине. Использовалась модель Кирхгофа, кромка пластины предполагалась свободной. Этой задаче посвящены работы [52, 95].

В работе [30] рассмотрена задача дифракции плоской акустической волны на продольном стыке двух полубесконечных пластин. Учитываются только изгиб-ные колебания, описываемые уравнением Кирхгофа. Получено общее решение. Как стало ясно в дальнейшем полученное общее решение имеет структуру, которая вообще характерна для гранично-контактных задач. В частности выделялось специфическое для этого класса задач гранично-контактное поле. Это поле представляет волновой процесс, расходящийся от места стыка пластин, который выступал, таким образом, в роли пассивного источника. В [31] были найдены выражения для гранично-контактных интегралов, описана процедура их регуляризации в случае расходимости, предложен способ вычисления этих интегралов с помощью теории вычетов и получена их низкочастотная асимптотика.

В работе [17] проведен численный анализ процесса отражения изгибной волны на базе точного решения.

В работе [34] построено общее решение для дифракции цилиндрической волны на полубесконечной пластине, расположенной на границе двух различных сред.

Точное аналитическое решение задачи о колебаниях в акустической среде бесконечной пластины, упругие свойства которой нарушались вдоль некоторого набора параллельных прямых приведено в работе [32]. Источник поля служила плоская волна, падающая из глубины жидкости. Дефекты пластины описывались с помощью линейной комбинации ¿-функций и ее производных.

В работе [29] по описанной в [32] методике решена задача исследования процесса дифракции гидроакустической волны на пластине, подкрепленной одиночным ребром жесткости. Жидкость расположена с одной стороны, а ребро жесткости подкрепляет пластину с другой стороны.

Отметим работу [50], в которой рассмотрено прохождение изгибной поверхностной волны через прямолинейное препятствие, жестко скрепленное с пластиной, находящейся в двустороннем контакте с акустической средой. Волна падала на препятствие под произвольным углом. Проведены расчеты, вычислены доли энергии излученной в жидкость. Аналогичные задачи рассмотрены также в работах [79, 105, 106].

В монографической литературе задачи о трансформации волн на одиночном ребре жесткости рассматриваются в [51].

В работе [101] рассматривается задача о падении плоской волны на пластину, периодически подкрепленную двумя ортогональными наборами ребер жесткости. В [5] рассмотрены различные режимы на сочленении ребер в модели, приведенной в [101].

Преобразование упругих волн на ребре бесконечной высоты (Т-образное сочленение пластины и полупластины) рассматривается в работах [11, 19, 20, 58, 59, 60, 61].

В работах [11,19,20] изучались акустические процессы в Т-образном сочленении пластин при наличии среды, заполняющей оба прямых угла. Учитывались только изгибные колебания.

В [58] учитывались все типы движений. При этом рассматривается как односторонний [59, 60], так и двусторонний [58] контакт бесконечной пластины с жидкостью. В последнем случае использованная модель может быть расценена лишь как условная, поскольку контакт полубесконечной пластины с жидкостью не учитывался.

Гранично-контактные задачи для прямого угла (Т-образное сочленение пластин, только изгибные колебания) исследовались в работах [12, 18]. В работе [12] было получено аналитическое выражение для функции Грина двумерного уравнения Гельмгольца для прямого угла при граничных условиях общего вида, задаваемых с помощью дифференциальных операторов произвольного порядка. В работе [21] проведены численные расчеты на основании полученного в [12] аналитического решения.

В работе [18] был проведен расчет рассеяния поверхностной волны в полупластине от места сочленения ее с другой полупластиной. Прямой угол, заключенный между ними, заполняла акустическая волна.

В монографии [70] описаны численные методы решения гранично-контактных задач.

Рассмотрим работы, касающиеся общих вопросов теории гранично-контактных задач.

Во-первых, отметим работы, содержащие условия единственности решения гранично-контактной задачи. Прикладное значение результатов состоит в том, что с их помощью можно контролировать правильность формулировки гранично-контактных условий.

Одной из первых работ, посвященных теореме единственности является работа [44].

Вопросам единственности решения гранично-контактной задачи посвящена работы [б, 8, 33, 36, 37, 38]. В работе [33] предложен вывод выражения для сил и моментов, использующий инвариантную запись для встречающихся операторов (в терминах оператора Гамильтона). В работе [42] получено выражение для вектора потока энергии изгибно-колеблющейся пластины. В работе [37] рассматривается система пластина-жидкость, приводятся требования, которым в целях единственности решения должны удовлетворять гранично-контактные условия на кромке пластины.

В работе [8] доказывается теорема единственности для тех гранично-контактных условий, для которых удается построить точное аналитическое решение в виде интеграла по плоским волнам и имеет смысл диаграмма направленности.

Во-вторых, рассмотрим работы, посвященные принципу взаимности. Это, прежде всего, монография [68] и обзорная статья [13]. В этих работах содержится подробная библиография по данному вопросу.

В общем виде принцип взаимности для гранично-контактной задачи акустики сформулирован в работе [49]. В работе [9] рассмотрен принцип взаимности для пластин с произвольным (негладким) контуром, подкрепленным произвольным набором ребер жесткости. Выявлена особенность, связанная с высоким порядком дифференциального оператора в уравнении изгибных колебаний пластины: в случае негладкости контура пластины в формуле Грина кроме интеграла по контуру присутствуют внеинтегральные члены, вычисляемые в угловых точках контура.

На основе принципа взаимности может быть установлена связь между различными компонентами поля, что в свою очередь дает возможность косвенного определения той или иной составляющей поля. Принцип взаимности может быть использован для контроля теоретического расчета в качестве необходимого признака правильности такового.

Принципу взаимности в акустике посвящены также работы [13, 14, 66, 68]. Отметим также работу [100], в которой рассматривается распространение волн в стержневых конструкциях. На основе принципа взаимности получены энергетические соотношения и исследуются некоторые свойства матрицы трансформации.

Другое соотношение, удобное для контроля правильности аналитического или числового расчета, дает так называемая оптическая теорема. Оптическая теорема выражает закон сохранения энергии: энергия, рассеянная на препятствии, заимствуется из падающей волны. Оптическая теорема для системы пластина-жидкость приводится в [7, 10]. Для бесконечной пластины, разделяющей две акустические среды, имеется еще один канал рассеяния - поверхностная волна. Кроме того источником, откуда заимствуется энергия, кроме прошедшей волны является также и отраженная.

В работах [102, 118] приводится оптическая теорема для задач дифракции упругих волн.

Заключение

В заключение отметим, что применение матричного метода при решении задач о преобразовании волн на находящемся в вакууме узловом сочленении тонких упругих пластин позволяет сделать процесс решения наглядным, а результат компактным. Волновое поле в конструкции однозначно определяется заданием матрицы трансформации. Благодаря предложенному в работе способу нормировки векторов, описывающих кинематическое и динамическое состояние волнового процесса в пластинах, элементы этой матрицы имеют вполне определенный механический смысл. В случае, когда источником поля является распространяющаяся волна, квадрат модуля элемента матрицы имеет смысл доли энергии, уносимой соответствующей волной. Если возбуждение волны производится нераспространяющейся волной, то квадрат модуля соответствующего элемента матрицы трансформации имеет смысл относительной доли энергии. Если эти относительные доли энергии просуммировать, то получим согласно (2.4.3) удвоенную мнимую часть соответствующего диагонального элемента матрицы трансформации, а не единицу, как в случае, когда источником поля является распространяющаяся волна (формула (2.3.3)). Оба эти равенства выражают закон сохранения энергии. Равенства (2.2.2), (2.3.3), (2.4.3) дают удобную возможность контроля численных результатов расчета трансформации волн на узловом сочленении пластин.

Численные расчеты проведены для конструкции, образованной жестко спаянными под произвольным углом а стальной пластиной и полупластиной. Результаты расчетов приведены в виде графиков. Установлено, что взаимная трансформация симметричных и антисимметричных движений при ортогональном сочленении пластин больше, чем при наклонном.

В задаче о свободных колебаниях тонкой упругой пластины, контактирующей с жидкостью (как односторонне, так и двусторонне), исследуются дисперсионные зависимости от частоты волновых чисел неоднородных волн, существующих в модели. Получены асимптотические разложения волновых чисел по степеням безразмерного параметра к0

Практическая значимость этого результата состоит в том, что при нахождении волновых чисел в некоторых случаях численные методы не дают достоверного результата. В частности, это имеет место для так называемых "стекающих волн", генетически связанных с продольными движениями. Однако сравнение численных и асимптотических зачений волновых чисел для пластины, погруженной в жидкость, а также для случая учета только изгибных движений в пластине при одностороннем контакте с жидкостью позволяет сделать вывод, что при значениях к0 < 0,2 можно заменить приближенные значения волновых чисел на асимптотические. Согласованность асимптотических разложений для полной и приближенной моделей при одностороннем контакте пластины со средой позволяют предположить, что и в случае учета всех движений в пластине можно использовать асимптотические разложения для вычисления приближенных значений волновых чисел на достаточно низких частотах.

Полученные асимптотические разложения волновых чисел позволяют оценить взаимодействие через среду изгибных и продольных колебаний, а также оценить реакцию жидкости на эти колебания.

Задача о распространении упругих волн в конструкции из ортогонально сочлененных пластины, односторонне контактирующей со средой, и полупластины, находящейся в вакууме, решается как гранично-контактная задача матфи-зики при полном учете контакта конструкции и жидкости.

В настоящей работе в качестве источника волнового поля принята продольная волна, набегающая на сочленение по вертикальной полупластине. Учтены все типы движений в пластине.

В работе найдены выраженные в квадратурах коэффициент отражения продольной волны от линии сочленения, поле в пластинах и поле в жидкости. Методом перевала найдено выражение поля в жидкости в дальней зоне.

Все перечисленные результаты являются новыми.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным использованием основных положений механики деформируемого твердого тела и гидроакустики, использованием строгого и достаточно специализированного математического аппарата, позволяющего находить точное аналитическое решение соответствующей гранично-контактной задачи. Подтверждением достоверности результатов является их внутренняя согласованность, а также согласованность их с результатами, полученными другими авторами в тех случаях, когда это сравнение возможно.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Определение матрицы трансформации как основного объекта характеристики процесса трансформации упругих волн в пластинных конструкциях; исследование свойств матрицы трансформации, связанных с принципом взаимности и законом сохранения энергии.

2. Решение задачи о трансформации упругих волн любого типа на произвольном узловом сочленении пластин, находящемся в вакууме, матричным методом.

3. Исследование процесса трансформации волн любого типа узловом сочленении пластины и полупластины в зависимости от частоты волны, возбуждающей волновое поле, от угла падения волны на сочленение и от угла сочленения пластин.

4. Исследование влияния жидкости на распространение волн в пластине с учетом всех типов движений. Асимптотические разложения корней дисперсионных уравнений по степеным безразмерного параметра к0 = кк.

5. Точное аналитическое решение задачи о распространении продольной волны в находящейся в контакте со средой конструкции, состоящей из пластины и полупластины, сочлененных под прямым углом.

1. Артоболевский И.И., Бобровницкий Ю.И., Генкин М.Д. Введение в акустическую динамику машин. М., Наука, 1979. 295 с.

2. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М., Наука, 1971. 272 с.

3. Бабаков И.М. Теория колебаний. М., Наука, 1968. 559 с.

4. Барабанов В.В., Ляпунов В.Т. Энергетичекие аспекты изгибных колебаний в жидкости бесконечной пластины с потерями //Акустич. журн., 1977. Т.23. Вып. 6. С. 846-853.

5. Белинский Б.П. Дифракция плоской волны на бесконечной пластине, подкрепленной двоякопериодическим набором ребер жесткости //ПММ, 1983. Т.47. Вып.6. С. 962-971.

6. Белинский Б.П. О единственности решения стационарных задач акустики подкрепленных пластин. //Записки научн. семинаров ЛОМИ АН СССР. Т. 104(1981). Математические вопросы теории распространения волн. Т. И. Л., Наука. С. 14-19.

7. Белинский Б.П. Оптическая теорема для рассеяния волн в упругой пластине //Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР. Т. 104(1981). Математические вопросы теории распространения волн. Т. И. Л., Наука. С. 20-23.

8. Белинский Б.П. О единственности решения гранично-контактных задач акустики //Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. мат., мех. и астрон. 1983. N 13. С. 11-17.

9. Белинский Б.П., Коузов Д.П. О формулах типа формул Грина для изгибно колеблющейся пластины //Акустич. журн., 1981. Т.27. Вып. 5. С. 710-718.

10. Белинский Б.П., Коузов Д.П. Оптическая теорема для системы пластина-жидкость //Акустич. журн., 1980. Т.26. Вып.1. С. 13-19.110

11. Белинский Б.П., Коузов Д.П., Чельцова В.Д. О дифракции акустической волны на пластинах, сочлененных под прямым углом //ПММ. 1973. Т.37. N 2. С. 291-299.

12. Белоусов Ю.И., Римский-Корсаков A.B. Принцип взаимности в акустике и его применение для расчета звуковых полей колеблющихся тел. (обзор) //Акустич. журн., 1975. Т.21. Вып.2. С. 161-172.

13. Белоусов Ю.И., Римский-Корсаков A.B. Приминение принципа взаимности для определения излучения звука сложных механических структур //Акустич. журн., 1978. Т.24. Вып.З. С. 439,441.

14. Бреховских А.М. Волны в слоистых средах. М., Наука, 1973. 344 с.

15. Будрин С.И., Никифоров A.C. Прохождение волн через различные соединения пластин //Акустич. журн., 1963. Т.9. Вып.4. С. 408-412.

16. Вешев В.А. Об излучении звука полубесконечной пластиной //Акустич. журн., 1976. Т. 22. Вып.5. С. 666-674.

17. Вешев В.А., Коузов Д.П. О влиянии среды на колебания пластин, сочлененных под прямым углом //Акустич. журн., 1977, Т.23. Вып.З. С. 368-377.

18. Вешев В.А., Коузов Д.П. Об изгибных колебаниях Т-образно сочлененных пластин, находящихся в контакте с жидкостью //Акустич. журн., 1980. Т.26. Вып.З. С. 347-355.

19. Вешев В.А., Коузов Д.П. Рассеяние изгибных волн на Т-образном сочленении пластин, находящихся в контакте с жидкостью //В кн. Труды II Всесоюзного симпозиума по физ. гидроакустич. явл. и оптоакустике. М., Наука, 1982. С. 278-280.

20. Вешев В.А., Коузов Д.П., Пачин В.А. Отражение изгибной волны от места входа пластины в жидкость //Акустич. журн., 1975. Т. 21. Вып.2. С. 181186.

21. Вешев В.А., Коузов Д.П., Яковлева В.Г. Низкочастотная асимптотика волновых чисел пластины, колеблющейся в среде //Акустич. журн., 1985. Т.31. Вып.5. С. 662-664.

22. Генкин М.Д., Маслов В.П. Прохождение плоских волн через соединение пластин // Вибрационные процессы в машинах и присоединенных конструкциях. М.: Наука, 1971. 132 с.

23. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М., Машиностроение, 1980. 416 с.

24. Евсеев В.Н., Иванов B.C., Кирпичников В.Ю. Излучение звука бесконечной тонкой пластиной, возбуждаемой продольной силой //Акустич. журн., 1977. Т. 23. Вып.5. С. 731-737.

25. Журавлева A.A., Иванов B.C., Кирпичников В.Ю. О корнях дисперсионного уравнения изгибных колебаний пластины //Акустич. журн., 1982. Т.28. Вып.5. С. 645-647.

26. Ивакин Б.Н. Головные, проходящие и другие волны в случае тонкого твердого слоя в жидкости //Тр. геофизич. ин-та АН СССР, 1956. Т.35(162). С. 88-115.

27. Кирпичников В.Ю., Савенко В.В. О взаимодействии изгибных и продольных колебаний в бесконечной однородной пластине через акустическую среду //Акустич. журн., 1984. Т.ЗО. Вып.1. С. 134-136.

28. Коновалюк И.П., Красильников В.Н. Влияние ребра жесткости на отражение плоской звуковой волны от тонкой пластины.// В кн. Проблемы дифракции и распространения волн. JI. Изд. ЛГУ. 1965. Т.4. С.149-165.

29. Коузов Д.П. Дифракция плоской гидроакустической волны на стыке двух пластин // ПММ, 1963. Т.27. N 3. С. 541-546.

30. Коузов Д.П. Дифракция плоской гидроакустической волны на трещине в упругой пластине //ПММ, 1963. Т.27. N 6. С. 1037-1043.

31. Коузов Д.П. О явлении резонанса при дифракции гидроакустической волны на системе трещин в упругой пластине //ПММ, 1963. Т.27. N 6. С. 409-417.

32. Коузов Д.П. Об инвариантной форме записи соотношений теории изгиба однородной пластины //В кн. Прикладная механика. Л.: изд-во ЛГУ, 1963. Т.6. С. 199-203.

33. Коузов Д.П. О низкочастотных движениях тонкого упругого слоя, разделяющего две жидкости //В кн.: Проблемы дифракции и распространения волн. Л.: Изд. ЛГУ, 1966. Т.6. С. 150-179.

34. Коузов Д.П. О решении уравнения Гельмгольца для полупластины при граничных условиях, содержащих производные высокого порядка //ПММ, 1967. Т.37. N 1. С. 164-170.

35. Коузов Д.П. Энергетический принцип единственности граничных задач акустики //Записки научн. семинаров ЛОМИ АН СССР. Л.: Наука, 1979. Т.89. Математические вопросы теории распространения волн. Т.10. С. 124133.

36. Коузов Д.П. О единственности решения гранично-контактных задач акустики для системы пластина-жидкость. //Записки научн. семинаров ЛОМИ АН СССР. Л.: Наука, 1980. Т.99. Интерференционные волны в слоистых средах. С. 43-56.

37. Коузов Д.П. Простейшая модель акустической среды с поглощением //Вопр. динамической теории распространения сейсмических волн. Л.: Наука, 1981. Т.20. С. 52-60.

38. Коузов Д.П., Кравцова Т.С. Матричный метод определения коэффициентов преобразования вибрационных волн на подкрепленных структурах //В кн.: Труды X Всесоюзной акустической конференции. М. 1983. С. 7-10.

39. Коузов Д.П., Кравцова Т.С. О преобразовании вибрационных волн в пластине на ребре жесткости //Акустич. журн., 1983. Т.29. Вып. 2. С. 204-211.

40. Коузов Д.П., Кравцова Т.С., Яковлева В.Г. О рассеянии вибрационных волн на узловом сочленении пластин //Акустич. журн., 1989. Т.35. Вып.4. С. 678-684.

41. Коузов Д.П., Лукьянов В.Д. О векторе потока энергии для изгибных колебаний пластины //ПММ, 1976. Т.40, N 6. С. 1131-1135.

42. Коузов Д.П., Никитин Г.Л., Агранова О.В., Яковлева В.Г. Матрица трансформации //Труды XXIII школы-семинара "Анализ и синтез нелинейных механических колебаний систем". С.-Петербург, 1996. С. 65-90.

43. Красильников В.Н. О решении некоторых гранично-контактных задач линейной гидродинамики //ПММ, 1961. Т.25. N 4. С. 764-768.

44. Красильников В.Н. Влияние тонкого упругого слоя на распространение звука в жидком полупространстве //Акустич. журн., 1960. Т.6. Вып.2. С. 220-228.

45. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.6. Теория упругости. М.: Наука, 1965. 204 с.

46. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ, 1953. 204 с.

47. Лямшев Л.М. Отражение звука тонкой пластинкой в воде //ДАН СССР, 1954. Т.99. С. 719-721.

48. Лямшев Л.М. К вопросу о принципе взаимности в акустике //ДАН СССР. 1959. Т.125, N 6. С. 1231-1234.

49. Ляпунов В.Т. Распространение изгибных волн в пластине с препятствием, понруженной в воду // Акустич. журн., 1968. Т.14. N 3. С. 423-426.

50. Ляпунов В.Г., Никифоров A.C. Виброизоляция в судовых конструкциях. Л.: Судостроение, 1975. 232 с.

51. Малюжинец Г.Д. Точное решение задачи о дифракции плоских звуковых волн на полубесконечной упругой пластине //В кн. 4 Всесоюзн. акуст. конф. Рефераты докладов. М.: Изд-во АН СССР, 1958. С. 45.

52. Маелов В.П. Отражение изгибной волны от угловых соединений пластин //Акустич. журн., 1968. Т.14. Вып.4. С. 577-581.

53. Меркулов Л.Г. Затухание нормальных волн в пластинах, находящихся в жидкости //Акустич. журн., 1964. Т.10. Вып.2. С. 206-212.

54. Молотков A.A. Матричный метод в теории распространения волн в слоистых упругих и жидких средах. Л.: Наука, 1984. 201 с.

55. Никифоров A.C., Будрин C.B. Распространение и поглощение звуковой вибрации на судах. Л., Судостроение, 1968. 216 с.

56. Петрашень Г.И. К теории тонких пластин //Учен. зап. ЛГУ, 1951. N 149. Серия матем. наук. Вып. 24. С. 172-249.

57. Романов В.Н. Излучение Т-образного соединения пластин при наличии диффузного поля изгибных волн //Акустика, 1969. Т.15. N 2. С. 275-283.

58. Романов В.Н. Влияние реакции жидкости на излучение Т-образного соединения пластин //Акустич. журн., 1971. Т.17. N 2. С. 325-326.

59. Романов В.Н. Излучение звука Т-образного соединения пластин при возбуждении его сосредоточенной силой //Акустич. журн., 1973. Т. 19. N 2. С. 216-220.

60. Романов В.Н. Излучение звука изгибно колеблющейся пластиной с полубесконечным импедансным препятствием //Акустич. журн., 1973. Т.19. N 5. С. 761-766.1. N 115

61. Рэлей. Теория звука. М.: Гостехиздат, 1955. Т.1. 504 с.

62. Рэлей. Теория звука. М.: Гостехиздат, 1955. Т.2. 476 с.

63. Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Киев: Наукова думка, 1972. 501 с.

64. Тимошенко С.П. Пластины и оболочки. М.: Наука, 1966. 597 с.

65. Федорюк М.В. Соотношения типа ортогональности в твердых волноводах //Акустич. журн., 1974. Т.20. Вып.2. С. 310-314.

66. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977. 368 с.

67. Фурдуев В.В. Теоремы взаимности в механических, акустических и электромеханических четырехполюсниках. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. 92 с.

68. Чеботарев Н.Г. Теория алгебраических функций. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. 396 с.

69. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 348 с.

70. Яковлева В.Г. О преобразовании упругих волн в конструкции Т-образно соединенных пластин, контактирующей с жидкостью //Математика. Моделирование. Экология. 4 международная конференция женщин-математиков. Тезисы докл. Волгоград, 1996. С.139.

71. Яковлева В.Г. О волновых числах пластины, колеблющейся в среде //Естественные науки: сегодня и завтра. Тезисы докл. юбилейной научн. конференции ЧГУ. Чебоксары, 1997. С. 105.

72. Яковлева В.Г. О влиянии жидкости на отражение продольной волны от линии соединения пластин //Естественные науки: сегодня и завтра. Тезисы докл. юбилейной научн. конференции ЧГУ. Чебоксары, 1997. С. 106.

73. P.Cerveiika, P.Chalbande. A new efficient algorithm exact reflection and transmission factors for plane waves in layered absorbing media (liquids and solids) //JASA. 1991. V.89. N 4. Pt 1. P. 1579-1590.

74. P.G.Craven, B.M.Gibbs. Sound transmission and mode coupling at junctions of thin plates. Part I. Represantation of the problem //JSV. 1981. V.77(3). P. 417-427.

75. B.M.Gibbs, P.G.Craven. Sound transmission and mode coupling at junctions of thin plates. Part II. Parametric survey //JSV. 1981. V.77(3). P. 429-435.

76. L.Cremer, M.Hekl, E.E.Ungar. 1988. Stucture-born sound (second eddition) Berlin: Springer-Verlag.

77. L.Cremer. Calculation of sound propogation in structures //Acustuca. 1953. V.3. N 5. P. 317-335.

78. D.G.Crighton. Acoustic edge scattering of elastic surface waves //JSV. 1972. V.22. N 1. P. 25-30.

79. D.G.Crighton. The free waves on infinite thin fluid-loaded elastic plate //JASA. 1978. V.6. Suppl.l.

80. D.G.Crighton. The free and forced waves on a fluid-loaded elastic plates // JSV. 1979. V.63. N 2. P. 225-236.

81. P.Dubbleday. An analises of effective shear modulus for flexural and extensional waves and its application to reflection of sound by a plate //JASA. 1981. V.70. N 2. P. 603-614.

82. P.Dubbelday. Application of a new complex root-finding technique to the dispersion relations for elastic waves in a fluid-loaded plate //SIAM J. Appl. Math. V.43, N 5. October. P. 1127-1139.

83. R.D.Fay. Interaction between a Plate and a Sound Field //JASA. 1948. V.20. N 5. P. 620-625.

84. D.Feit. Pressure radiated by a point-excited elastic plate //JASA. 1966. V.40. N 6. P. 1489-1494.

85. P.Filippi, H.Saadat. Vibration d'une mince infinie couplee avec un fluid //Acustica. 1972. V.26. N 6. P. 315-322.

86. W.J.Finney. Reflection of sound from submerged plates //J AS A. 1948. V.20. N 5. P. 626-637.

87. N.A.Haskell. The dispersion of surface waves on multiplayed media// Sul. Seism. Soc. Am. 1953. V.43. N 1. P. 17-34.

88. M.Heckl. Measurement of absorption coefficients on plates// JASA. 1969. V. 34. P. 803-808.

89. A.T.Hoop. On the plane-wave extiction cross section of an obstacle //Appl.Sci.Res. B. 1953 V.7. N 6. P. 463-469.

90. C.Hwang, W.S.Pi. Investigation of vibrational energy transfer in connected structures.// Northrop Corporation, NASA Contract NAS8-28171. 1973.

91. D.P.Kouzov, G.L.Nikitin, O.B.Agranova, V.G.Yakovleva. Transformation matrix of vibrational waves on a nodal junction of plates// Da.y on diffraction. International seminar. Saint-Petersburg, June 4-6, 1996. Abstracts. P. 15-16.

92. D.P.Kouzov, V.G.Yakovleva. On the Reciprocity Principle for the Transformation of Linear Waves at a Rectilinear Plate Edge //Acustica. Vol.81(1995). P. 167-172.

93. G.Kurze, R.H.Bolt. On the interaction between Plane Bending waves and their radiation load //Acustica. 1959. V.9. P. 238-242.

94. G.L.Lamb. Diffraction of a plane sound wave by a semi infinite thin elastic plate //JASA. 1959. V.31. N 7. P. 929-935.

95. R.S.Langley, K.H.Heron. Elastic wave transmission through plate/ Beam junctions// JSV. 1990. V.143(2). P. 241-253.

96. S.Lowenthal. Etude theorique et experimentale de l'interaction entre une plaque elastique plane et son rayonnement acoustique //Annales de Radioelecicite. 1964. V.19. P. 183-231.

97. R.H.Lyon. Sound radiation from a beam attached to a plate //JASA. 1962. V.34. N 9. P. 1265-1268.

98. R.H.Lyon, E.Eichler. Random vibration of connected structures.//JASA. 1964. V.36. P. 1-344-1354.

99. B.R.Mace. Reciprocity, conservation of energy and some properties of reflection and transmission coefficients// JSV. 1992. V. 155(2). P. 374-381.

100. B.R.Mace. Sound radiation from fluid-loaded orthogonally stiffened plates // JASA. 1981. V.79. N 3. P. 439-452.

101. C.C.Mei. Note on a general relation between diffraction and radiation problems in acoustics //JASA. 1977. V.61. N 1. P. 211-212.

102. R.D.Mindlin. Influence of rotary inertia and shear on flexaral motion of isotropic elastic plate //J. Appl.Mech. 1951. V.18. N 1. P. 31-38.

103. R.D.Mindlin. Waves and vibrations in isotropic elastic plates //In "Structural mechanics" edited by J.N. Goodier, NHOA Pergamon New York, 1960. P. 199232.

104. P.R.Nayak. Thin fluid-loaded plate //JASA. 1971. V.49. N 1. Pt.l. P. 76.

105. P.R.Nayak. Line admittance of Infinite Isotropic Fluid-Loaded Plates //JASA. 1979. V.17. N 1. Pt.2. P. 191-201.

106. A.H.Nayfeh, D.E.Chimenti, L.Adler, W.G.Mayer. Ultrasonic leaky waves in the presence of a thin layer //J. Appl. Phys., 1981. V. 52. N 8. P. 4985-4994.

107. M. Pierucci. Additional solution to the free bending waves of a fluid loads thick plate //JASA. 1981. V.70. N 3. P. 866-869.

108. M.Pierucci, T.S.Graham. Unusual characteristics of free bending waves in thick plates with fluid loading //JASA. 1977. 62. Suppl. N 1. Paper JJ7. 584.

109. M.Pierucci, T.S.Graham. A study of bending waves in fluid loaded thick plates //JASA. 1979. V.65. N 5. P. 1190-1192.

110. M.L.Rumerman. Nonspecular acoustic backscatering from finite plates //JASA. 1979. V.65. N 5. P. 1121-1126.

111. V.Schroter, F.J.Fahy. Point-force exited vibration of a thin infinite panel separating a fluid layer from a fluid half-space //JSV. 1981. V.74. N 4. P. 465476.

112. W.A.Strowderman, S.H. Ko. The real roots of the fluid-loaded plate //JASA. 1978. V.63. Suppl.l. 512. D. 18.

113. W.A.Strowderman, S.H. Ko, A.H.Nuttall. The real roots of the fluid-loaded plate //JASA. 1979. V.66(2). P. 579-585.

114. A.D.Stuart. Acoustic radiation from submerged plates I Influence of leaky wave pole //JASA. 1976. V.59. N 5. P. 1160-1169.

115. A.D.Stuart. Acoustic radiation from submerged plates II Radiated Powerr and damping //JASA. 1976. V.59. N 5. P. 1170-1174.

116. A.D.Stuart. Fluid-loaded plate: three real roots? //JASA. 1977. 62 Suppl. N 1. Paper C 21. P. 18.

117. T.H.Tan. Theorem of the scattering and the abcorption cross-section for scattering of plane, time-harmonic, elastic waves //JASA. 1976. V.59. N 6. P. 1265-1267.

118. W.T.Thomson. Transmission of Elastic Waves Through a stratified solid material //J.Appl.Phys.m. 1950. V.21. N 2. P. 83-93.