Колебания мембран и пластин, частично погруженных в жидкость тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

Общая характеристика работы

Обзор литературы.

Содержание работы.

2.2 Постановка задачи.31

2.3 Нахождение общего представления акустического и вибрационного полей.32

2.4 Входной импеданс мембраны.33

2.5 Собственные частоты и формы.36

2.6 Контроль полученных результатов.38

Иллюстрации.42

3 Отражение волны в пластине от места погружения пластины в волновод 51

3.1 Введение.51

3.2 Постановка задачи .51

3.3 Нахождение общего представления для акустического и вибрационного полей.53

3.4 Закон сохранения энергии в системе.55

3.5 Коэффициент отражения.56

3.6 Потоки энергии переносимые модами.57

3.7 Энергия подводной части пластины .58

3.8 Смещения пластины.59

Иллюстрации.61

4 Колебания конечной частично погруженной в волновод пластины 69

4.1 Введение.69

4.2 Постановка задачи.69

4.3 Нахождение общего представления акустического и вибрационного полей.70

4.4 Импеданс изгибно колеблющегося стержня.71

4.5 Входной импеданс пластины, перекрывающей канал волновода. . 75

5 Приближенные подходы к волновым задачам для частично погруженных тонких упругих тел 76

5.1 Учет присоединенной массы в случае ограниченной мембраны . 76

5.2 Простейший учет присоединенной массы в случае полу бесконечной мембраны.78

5.3 Уточненная модельная задача для полубесконечной мембраны . 82 Иллюстрации.83

Список литературы 90

Введение

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Расчет акустического поля упругих объектов, находящихся в контакте с жидкостью, издавна привлекает к себе внимание исследователей. Этому вопросу посвящено огромное количество научных публикаций. В большинстве работ изучаются колебания тел, погруженных в жидкость или соприкасающихся с ней одной из своих поверхностей (например [19], [20]). Работ, посвященных колебаниям упругих объектов, частично погруженных в жидкость и возвышащихся над ее поверхностью, значительно меньше (например [16], [21], [22]), а опирающихся на точные аналитические представления поля почти нет. С другой стороны, такие рассмотрения представляются весьма важными, в связи с обширными практическими приложениями. Примерами частично погруженных упругих объектов являются суда, опоры морских нефтяных платформ и других водных сооружений.

В связи с этим, большое значение приобретает исследование математических моделей, описывающих взаимодействие частично погруженных конструкций с жидкостью, и разработка на основе этих моделей эффективных методов вычисления акустических полей и полей деформаций. Этой актуальной тематике и посвящена данная диссертация.

Исследования проводились в соответствии с утвержденным планом научно-исследовательских работ ИПМаш РАН по теме РАН: " Нелинейные задачи механики и технологии создания конструкций и деталей машиностроения из композитных систем с полимерной матрицей", per. N 01.9.70008226 (1995-2000 гг.)

Целью диссертации является разработка аппарата математического моделирования взаимодействия тонких частично погруженных упругих тел с жидкостью. В связи с этим ставятся следующие задачи:

- нахождение точных аналитических представлений для акустических и вибрационных полей для ряда идеализированных моделей,

- создание эффективных программных комплексов, позволяющих провести необходимые численные эксперименты,

- разработка методов получения приближенных представлений полей и оценка степени их применимости на основании сравнения с точными процедурами.

Научная новизна. В дисертации:

- найдено точное аналитическое представление для акустического и вибрацио-ного полей полубесконечных мембраны и пластины, скрепленных с дном водоема конечной глубины (источником поля является набегающая изгибная волна),

- получены точные дисперсионные уравнения для собственных частот и найдены аналитические представления для собственных форм пластины и мембраны конечных размеров, срепленных с дном водоема и возвышающихся над поверхностью жидкости.

Задача нахождения названных представлений интерпретирована как гранично-контактная задача акустики с гранично-контактными условиями нового типа. Эти условия ставятся в точке входа упругого тела в жидкость. Решение таких задач существенно опирается на аппарат обобщенных функций. Как постановка, так и решение задач являются новыми и ранее другими авторами не рассматривались. Соответственно, новыми являются и все программные комплексы.

Достоверность научных результатов подтверждается:

- корректным использованием основных положений механики деформируемого твердого тела и гидроакустики,

- использованием строгого и достаточно специализированного математического аппарата, позволяющего находить точное аналитическое решение соответствующей гранично-контактной задачи,

- применением высокоточных алгоритмов и программ,

- специальным контролем результатов. Для осуществления этого контроля в задачах с заданной падающей волной использовался закон сохранения энергии в виде баланса потоков энергии в системе, а в задачах о собственных колебаниях проверялось равенство потенциальной и кинетической энергий системы.

Практическая ценность. Поскольку в диссертации найдены точные аналитические решения волновых задач с новой геометрией, результаты работы представляют собой определенный вклад в математическую теорию дифракции и распространения волн.

Работа важна для исследований в области корабельной гидроакустики, проектировании и эксплуатации морских сооружений. В частности, в диссертации найден входной импеданс пластины и мебраны в месте их погружения в жидкость и предложены формулы, позволяющие рассчитывать колебания составных упругих конструкций, подводная часть которых может быть промоделирована мембраной или пластиной.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались на Всероссийских научных конференциях "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" (Институт Проблем Машиноведния РАН, Санкт-Петербург, 1997, 1998, 1999 гг.); на семинаре по акустике при Восточно-Европейской ассоциации акустиков в Санкт-Петербургском Морском Техническом Университете (Санкт-Петербург, 1998); на международных научных конференциях "Day on Diffraction" (С-Пб Университет, 1998, 1999, 2000 гг.); на четвертой международной конференции по теоретической и вычислительной акустике 1СТСА'99 (Триест, Италия, 1999).

Публикации. По теме диссертации опубликовано семь работ и одна сдана в редакцию журнала Journal of Computational Acoustics.

Обзор литературы

Как уже было сказано выше, в диссертации рассматриваются упругие колебания пластин и мембран, жестко скрепленных с дном водоема конечной глубины. Жидкость, заполняющая водоем, предполагается сжимаемой. Такая жидкость представляет собой плоский акустический волновод, и задача нахождения акустического поля в жидкости и поля изгибных смещений в пластине решается, как задача о совместных колебаниях с полным учетом взаимодействия среды и упругого объекта. Задача о колебаниях выступающего над поверхностью жидкости тонкого упругого тела является очевидным обобщением задачи о распространении акустических волн в волноводе, канал Которого перекрыт упругой пластиной или мембраной. Поэтому используемый в работе математический аппарат основывается на обобщении аналитических методов, которые использовались в задачах о волноводах, перекрытых ,упругой стенкой. Рассмотрим эти работы.

Основные результаты исследований по колебанию пластин и мембран в волноводах представлены в работах А.Шоха, Н.Ромилли, Д.П.Коузова, В.Д.Лукьянова, Г.Л.Никитина, Б.П.Белинского, В.А.Пачина и др.

В 1958 году на I конгрессе ИСА Шох выступил с докладом [28] о влиянии граничного режима пластины на ее звукопрозрачность. При этом он сообщил, что ему удалось найти точное аналитическое решение задачи о прохождении звука через тонкую пластину, перекрывающую канал плоского волновода с жесткими стенками. Сама процедура решения при этом не была описана. Таким образом, задача о волноводе, канал которого перекрыт пластиной, по-видимому, является первой гранично-контактной задачей, для которой удалось в замкнутом виде получить точное аналитическое решение.

Затем Ромилли опубликовал работу [26] о прохождении осесимметричного звукового поля через мембрану, перекрывающую канал круглого волновода с жесткими стенками, а во второй статье [27] рассматривается плоский волновод, перекрытый натянутой мембраной.

Работа Шоха Ромилли не была известна. Подобно Шоху он разлагал поле в волноводе по нормальным волнам. Для нахождения поля смещений он решал неоднородное (с учетом реакции среды) уравнение ее колебаний. Затем он сначала удовлетворял гранично-контактным условиям на кромке перегородки и лишь затем обращался к удовлетворению кинематического граничного условия на поверхности перегородки. Это приводило его к бесконечной системе, матрицу которой, благодаря некоторой ее специфике, ему удавалось обратить (при обратном порядке проведения вышеуказанных процедур надобность в решении бесконечной системы не возникала бы).

Более естественные пути решения гранично-контактных задач, при которых не возникает надобности в обращении бесконечных матриц, впервые были описаны и использованы в работах Д.П.Коузова, а в дальнейшем и его учеников [2], [3], [4], [5], [9], [14], [15], [18] (обширный обзор представлен в [23] и [24]). В работах [2], [3], [4], [5], [14], [15], [18] для этой цели используется разложение по плоским волнам в сочетании с методом факторизации. Принципиальная часть такого подхода описана в работе [15]. Здесь рассматривается нахождение двумерной функции Грина для полуполосы при граничных условиях произвольного порядка, иными словами, находится поле точечного источника для полубесконечного плоского волновода, все стенки которого, как торцовая, так и боковые, представляют собой упругие пластины с различными механическими свойствами при различных режимах на их сочленениях. Решение даётся как в виде интегрального представления, так и в виде разложения по нормальным волнам. Описывается регуляризация гранично-контактных интегралов (или рядов).

В работе [14] приводится решение аналогичной задачи для бесконечного плоского волновода с тонкими упругими стенками, канал которого перекрыт тонкой пластиной. Б.П.Белинский [2], [3] обнаружил существование вещественных собственных значений в задаче о колебаниях пластины, перекрывающей канал плоского волновода с жёсткими стенками. Наконец, в работе [9] (посвященной, вообще говоря, другой задаче) описывается простейшая эвристическая процедура получения точного выражения для функции Грина, пригодная для ряда областей и, в частности, для полубесконечного плоского волновода с упругими стенками. Заметим, что при всех способах решения задач этого класса существенную роль играет интегральное представление поля со специальным выбором контура интегрирования (ситуация характерная, по-видимому, для всех решаемых гранично-контактных задач, в которых участвуют ортогонально сочленённые пластины). Работа [13] посвящена численному и асимптотическому исследованию прохождения звука через пластину, перекрывающую канал круглого волновода с жёсткими стенками. В работе [17] рассмотрено рассеяние акустических волн на тонкой пластинке, разделяющей две различные жидкости в плоском бесконечном волноводе с абсолютно жесткими стенками. Получены точные аналитические выражения для элементов матрицы рассеяния. Проведено численное исследование коэфициентов прохождения, отражения и трансформации нормальных волн.

Другой геометрический тип задач, который имеет идейную связь с моделями, рассмотренными в работе - это задачи об отражении изгибной волны в пластине [8] или оболочке [1] от места ее погружения в водоем бесконечной глубины. В [8] впервые встречаются гранично-контактные условия, определяющие режим в точке входа пластины в жидкость. Это гранично-контактное условие и используется в диссертации.

Однако, в работах по волноводу пластина перекрывала канал волновода, но не выходила за его пределы. В то же время, значительный интерес для приложений представляет задача о взаимодействии жидкости в волноводах с тонкими упругими телами, возвышающимися над ее поверхностью. Эти вопросы и рассмотрены в диссертации.

Содержание работы

Основное содержание излагается в пяти главах. Главы связаны между собой преемственностью. Всюду среда заполняет волновод глубины Н, а основным объектом является мембрана или пластина. Все задачи имеют математическое родство. Поэтому рассмотрим обобщённую постановку задачи.

Упругий объект жестко, ортогонально скреплен с дном водоема, пересекает слой жидкости и возвышается над ее свободной верхней поверхностью. В качестве упругого тела, в первой и второй главах рассматривается мембрана, а в третьей и четвертой - пластина. Мы ограничимся двумерной ситуацией, полагая процессы, независящими от координаты г. В первой и третьей главах упругое тело неограниченно возвышается над поверхностью жидкости, а во второй и четвертой - имеет конечную высоту I.

Рассматриваются акустические процессы в слое жидкости глубины Н. Дно водоема предполагается жестким, верхняя поверхность слоя свободной. В качестве переменных, описывающих акустическое поле в системе, выбираются акустическое давление в жидкости Р(х,у) и изгибное смещение тонкого упругого тела ((у)-Зависимость всех процессов от времени предполагаем гармонической. Жидкость предполагается сжимаемой, идеальной.

На свободной поверхности жидкости имеем граничное условие Дирихле, а на дне - условие Неймана относительно давления в жидкости. На границе тонкое упругое тело - жидкость, имеют место два соотношения: кинематическое (безот-рывность движения жидкости и тела) и динамическое (баланс сил, действующих на тело) Граничные условия дополняются контактными условиями в точке жесткого задела упругого тела в дне и в точке входа упругого тела в жидкость.

Все приведенные задачи рассматриваются как гранично-контактные для уравнения Гельмгольца относительно акустического давления в жидкости. Для всех задач находится точное аналитическое решение и строятся программы.

В Первой главе в качестве источника поля рассматривается плоская волна, падающая по мембране из бесконечности на место входа мембраны в жидкость.

Приведены графики зависимости отраженной и прошедшей в волновод энергии, профили мембраны. Подробно исследованы потоки энергии, переносимые отдельными модами при различных параметрах мембраны.

Численные результаты контролируются с помощью закона сохранения энергии, который выглядит как баланс потоков энергии в системе мембрана-жидкость и представляет собой равенство потока падающей по мембране волны сумме потоков: отраженной по мембране волны и потоков энергии волн в жидкости, расходящихся в обе стороны от мембраны.

Во второй главе исследуется задача о свободных колебаниях мембраны, частично возвышающейся над поверхностью жидкости.

Используя полученное точное дисперсионное уравнение, были проведены вычисления ее собственных частот.

Проанализирован характер мод мембраны как функции уровня жидкости в волноводе.

Численные результаты контролировались проверкой равенства потенциальной и кинетической энергий на резонансной частоте, усредненных за период колебания.

В третьей главе в качестве источника поля рассматривается падающая по пластине из бесконечности изгибная волна на точку входа пластины в жидкость. Строится точное аналитическое решение задачи в терминах смещения пластины и давления в жидкости. Проводится исследование системы по тому же плану, как и в первой главе: анализируется поведение квадрата коэффициента отражения и исследуется энергия подводной части пластины как функции частоты падающей волны, проанализирован профиль пластины для различных характерных частот.

В четвертой главе рассматриваются свободные колебания пластины, частично погружённой в волновод. Решение задачи трактуется в терминах импедан-сов, которые введены в этой главе. Получено точное дисперсионное уравнение для расчета собственных частот. Представлены формулы, использующие аппарат матричной алгебры, позволяющие обобщить полученные результаты на случай составных пластин. Численный расчет по полученным формулам не проводился.

В ПЯТОЙ главе исследуются различные приближенные подходы для описания волновых процессов в рассмотренных моделях и проводится сравнение результатов точных и приближенных расчетов. В частности, для моделирования процессов в окрестности точки прикрепления тонкого упругого тела ко дну водоема была решена вспомогательная задача о рассеянии волны, набегающей по полубесконечной мембране, погруженной в жидкое полупространство.

Заключение. Основные результаты работы.

Совокупность представленных в диссертации результатов представляет собой решение некоторого цикла новых актуальных научных задач. Основные результаты сводятся к следующему:

1) Решены задачи об изгибной волне, падающей по мембране или пластине на слой идеальной сжимаемой жидкости. Найдено точное аналитическое представление для акустического поля в жидкости и поля смещений в упругом теле. Исследованы эффекты, связанные с перераспределением потоков энергии в системе в зависимости от частоты падающей волны.

2) Решены задачи о собственных колебаниях мембраны и пластины конечной длины, частично погруженных в жидкость. Найдено точное аналитическое представление для акустического поля в жидкости и поля смещений в упругом теле. Используя полученное точное дисперсионное уравнение, найдены собственные частоты и собственные формы колебаний, возможные в системе упругое тело -жидкость, ниже частоты отсечки волновода, при различном уровне жидкости в системе. Предложены формулы, позволяющие рассчитывать акустические поля и поля смещений в составных системах, подводная часть которых может быть промоделирована мембраной или пластиной.

3) Предложены новые программные комплексы, позволяющие численно исследовать поля в этих системах.

4) Построены приближенные модели для задач 1)-2). Показано, что эти модели в ряде случаев достаточно хорошо описывают поведение исходных - точных моделей и определена степень погрешности приближенного подхода.

Основное содержание диссертации изложено в работах [29] - [36]

1. В.В.Акимов, Д.П.Коузов. Акустические колебания полупогруженной цилиндрической оболочки. Труды ХХУ-ХХУ1 летних школ "Анализ и синтез нелинейных механических систем", Институт Проблем Машиноведения РАН, С-Пб, 1998, 295-301

2. Б.П.Белинский. О единственности и неединственности решения гранично-контактных задач акустики. В кн.: Зап.научн. семинаров Ленингр.отд. Матем.ин-та АН СССР. Л.: Наука, 1983, т.128. Математические вопросы теории распространения волн. Т. 13, с.21-32.

3. Б.П.Белинский. О собственных колебаниях перемычки в бесконечном волноводе. Акуст.ж., 1984, т.30, N I, с.14-17.

4. Ю. И. Бобровницкий. Анализ волнового взаимодействия между механическими системами с помощью обобщенных импедансов и его применение в проектировании составных конструкций. Акуст. ж., 1994, 40, б, 989-991.

5. Л. М. Бреховских. Волны в слоистых средах. Наука, 1973, стр.8-10.

6. В.А.Вешев, Д.П.Коузов, В. А.Пачин. Отражение изгибной волны в пластине от места входа пластины вжидкость. Акуст. ж., 1975, 21, 2, 181-186.

7. Д. П. Коузов. Об акустическом поле точечного источника в прямоугольном обьёме, ограниченном тонкими упругими стенками. Прикл.мат. и мех., 1979, т.43, N 2, с.305-313.

8. Д. П. Коузов, Т. С. Кравцова. О преобразовании вибрационных волн в пластине на ребре жесткости. Акуст. ж., 1983, 29, 2, 204-211.

9. Д. П. Коузов, В. Д. Лукьянов. О векторе потока энергии для изгибных колебаний пластины Прикл. мат. и мех., 1976, т.40, 6, с. 1131-1135

10. Д. П. Коузов, Г. JI. Никитин. О прохождении акустических волн сквозь тонкую перегородку в цилиндрическомм волноводе. Вестн. Ленингр. ун-та, 1984, 4, 24-30.

11. Д. П. Коузов, Г. Л. Никитин, В. А. Пачин. О дифракции акустических волн в волноводе, канал которого перекрыт тонкой упругой пластиной. Акуст. ж., 1975, 21, 1, 139-140.

12. Д. П. Коузов, В. А. Пачин. О дифракции акустических волн в плоском полубесконечном волноводе с упругими стенками. ПММ, 1976, 40, 1, 104-111.

13. Л.С.Лейбензон. О натуральных периодах колебаний плотины, подпирающей реку. Сборник трудов АН СССР, Теория упругости, т.1, Изд-во АН СССР, 1951, стр.157-161

14. В. Д. Лукьянов, Г. Л. Никитин. Рассеяние акустических волн на упругой пластине, разделяющей две различные жидкости в волноводе. Акуст. ж., 1990, 36, 1, 68-75.

15. Г.Д.Малюжинец. Пример двумерных собственных функций с конечной энергией в бесконечном волноводе. Труды Акустического института, Москва, 1971, 15, 70-73

16. Ф.М.Морс, Г.Фешбах. Методы теоретической физики, т.2. Москва, Изд-во иностранной литературы, 1960, стр.886

17. А.Н.Попов, Ю.Д.Сергеев. О влиянии демпфирующего упруго- вязкого слоя на возбуждаемое изгибно колеблющейся пластиной звуковое поле в волноводе. Акуст. ж., 1981, 27, 4, 567-572.

18. D.P.Kouzov, Boundary contact problems of acoustics and factorization Method.Modern Mathematical Methods in Diffraction Theory and its Applications in Engineering, band 42, Franhfurt am Main, 1997

19. H.Lamb. On the vibrations of the elastic plate in contact with water. Proc. Roy. Soc. London. A, 1921, vol.98, 5, p. 1031 - 1033

20. Romilly N. Transmission of Sound through a Stretched Ideal Membrane. JASA, 1964, 36, 6, 1104-1109

21. Romilly N. Sound transmission through a thin plate under tension. Acustica, 1969, 22, 3, 183-186

22. Schoch A. Zum Einflub der seitlichen Begrenzung auf die Schalldurchlassigkeit einfacher Wände. Acustica, 1954, vol.4, 1, p.288-290.

23. Д.П.Коузов, Г.В.Филиппенко. Входной импеданс пластины, погруженной в волновод. Труды XXV-XXVI летних школ " Анализ и синтез нелинейных механических систем", Институт Проблем Машиноведения РАН, С-Пб, 1998, 286

24. Д.П.Коузов, Г.В.Филиппенко. Отражение волны в мембране от места погружения мембраны в волновод. Труды XXVII- летней школы-семинара "Анализ и синтез нелинейных механических систем", Институт Проблем Машиноведния РАН, Санкт-Петербург, 2000, 373-381

25. G.V.Filippenko, D.P.Kouzov. The influence of fluid layer depth on the reflection of the bending wave from the point of entrance of elastic plate in fluid. Abstracts of International Seminar "Day on Difiraction'98", St.Petersburg University, 1998, p.25

26. G.V.Filippenko, D.P.Kouzov. On the vibration of a plate partially protruding above the surface of a liquid. Bolettino di Geofisica teorica ed applicata, vol.40, 1, Trieste, Italy, March 1999

27. G.V.Filippenko, D.P.Kouzov. The influence of fluid on the reflection of the bending wave from the point of entrance of elastic plate in fluid. Abstracts of International Seminar "Day on Diffraction'99", St.Petersburg University, 1999, p.27

28. G.V.Filippenko, D.P.Kouzov. On the vibration of membrane partially protruding above the surface of a liquid. Abstracts of International Seminar "Day on Diffra-ction'2000", St.Petersburg University, 2000, p.23

29. G.V.Filippenko, D.P.Kouzov. On the vibration of a plate partially protruding above the surface of a liquid. (Представлена в редакцию журнала JCA (Journal of Computational Acoustics))Публикации по теме диссертации295