Моделирование процесса взаимодействия упругих геометрически нерегулярных пластин со слоем вязкой жидкости применительно к демпферам и опорам тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

005056481

/

БЫКОВА Татьяна Викторовна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УПРУГИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПЛАСТИН СО СЛОЕМ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ДЕМПФЕРАМ И ОПОРАМ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат на соискание ученой степени кандидата технических наук

6 ДЕК 2012

Саратов-2012

005056481

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор

Могилевич Лев Ильич

Официальные оппоненты: Антуфьев Борис Андреевич

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)», профессор кафедры «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин»

Землянухин Александр Исаевич доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.», заведующий кафедрой «Прикладная математика и системный анализ»

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт прикладной механики Российской академии наук (ИПРИМ РАН)

Защита состоится «18» декабря 2012 г. в 13-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.06 при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корпЛ, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»

Автореферат разослан «. /д » МОЛЬрЭ 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Исследование динамики взаимодействия пульсирующего потока жидкости с геометрически нерегулярной пластиной является актуальным для современного машино- и приборостроения, а его результаты имеют важное практическое значение для расчета и анализа работы ряда систем и объектов новой техники. Задачи деформирования пластин при статических и динамических нагрузках изучены достаточно хорошо. Однако вопрос взаимодействия ребристых пластин с вязкой жидкостью изучен недостаточно.

Исследованию моделирования гидроупругости пластин и оболочек посвящены работы Б.А. Антуфьева, A.C. Вольмира, А.Г. Горшкова, Э.И. Григолюка, М.А. Ильгамова, Д.А. Индейцева, А.Т. Пономарева, JI.H. Рабинского, И.М. Раппопорта, Д.В. Тарлаковского, Ф.Н. Шклярчука, М. Amabili, F. Pellicano, A.D. Lucey, J.W. Kim, R.C. Ertekin, R. Kumar и других ученых. В работах указанных авторов рассматриваются геометрически регулярные тонкостенные конструкции, заполненные жидкостью или находящиеся в акустической среде.

Исследованию моделирования гидроупругости жидкостных демпферов с упругими геометрически регулярными элементами конструкции посвящены работы С.Ф. Коновалова, К.П. Андрейченко, Л.И. Могилевича и ряда других авторов. С другой стороны, на сегодняшний день достаточно хорошо развита теория ребристых пластин и оболочек, которая отражена в работах Н.П. Абовского, С.А. Амбарцумяна, Г.Н. Белосточного, П.А. Жилина, Б.К. Михайлова, H.A. Назарова, Е.С. Гребня, Э.И. Григолюка, В.М. Рассудова, Е.В. Соколова и других. Одними из первых работ по исследованию взаимодействия ребристых пластин с вязкой несжимаемой жидкостью можно считать работы Л.И. Могилевича, B.C. Попова, A.A. Поповой. В них рассмотрена ребристая стенка канала (пластина) при заданном гармоническом законе движения абсолютно жесткой стенки канала или противодавления в жидкости. Для решения задачи динамики прямоугольной бесконечной в одном из направлений пластины применен метод Бубнова-Галеркина в первом приближении. Однако вопросы исследования напряженно-деформированного состояния прямоугольных и круглых ребристых конструкций при пульсирующем перепаде давления жидкости на торцах канала и вибрации его основания, а также влияния последующих приближений по методу Бубнова-Галеркина, в данных работах не освещены.

Целью работы является разработка математических моделей гидроупругости ребристых тонкостенных конструкций, взаимодействующих с пульсирующим слоем вязкой несжимаемой жидкости, и исследование на их основе динамики демпферов (виброопор).

Согласно указанной цели сформулированы следующие задачи диссертационного исследования:

1. Постановка задачи гидроупругости гидродинамического демпфера (опоры) с упругим тонкостенным геометрически нерегулярным статором в виде прямоугольной пластины, одна из сторон которой значительно больше другой (балки-полоски), а также круглой пластины (с односторонними ребрами жесткости), взаимодействующих через сдавливаемый слой вязкой несжимаемой жидкости с абсолютно жестким вибратором при наличии виброускорения и гармонически изменяющегося противодавления в слое жидкости.

2. Решение поставленных динамических задач гидроупругости гидродинамического демпфера (опоры) с упругим тонкостенным геометрически нерегулярным статором в виде прямоугольной пластины, одна из сторон которой значительно больше другой (балки-полоски), а также круглой пластины (с односторонними ребрами жесткости), взаимодействующих через сдавливаемый слой вязкой несжимаемой жидкости с абсолютно жестким вибратором при наличии виброускорения и гармонически изменяющегося противодавления в слое жидкости.

3. Исследование напряженно-деформированного состояния ребристой конструкции и давления в жидкости.

Научная новизна. Новые научные результаты, полученные в работе:

1. Представлена новая физическая модель гидродинамического демпфера, в котором статор представляется упругой тонкостенной конструкцией, подкрепленной односторонними ребрами жесткости, вибратор считается абсолютно жестким, имеющим упругую связь; вибратор и статор взаимодействуют друг с другом через сдавливаемый слой вязкой несжимаемой жидкости в условиях вибрации основания, к которому крепится статор, и пульсации давления в жидкости.

2. Предложены единые подходы, позволившие для представленных в работе физических моделей разработать математические модели, которые в общем случае представляют собой связанную систему уравнений в частных производных, описывающих динамику тонкостенной ребристой конструкции и жидкости, и обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих динамику абсолютно твердых тел с соответствующими граничными условиями. Решение этих задач представлено в виде гармонических функций по времени и бесконечных рядов по координате с использованием процедуры Бубнова-Галеркина. Результаты получены для любого приближения.

3. На основе найденного решения сформулированных в работе динамических задач гидроупругости исследованы динамические процессы в гидродинамических демпферах и виброопорах, применяемых в машинах и приборах. Получены их амплитудные и фазовые частотные характеристики, найдены резонансные частоты, соответствующие условиям возможного возникновения кавитации в рабочей жидкости и значения амплитудных частотных характеристик на резонансных частотах для пяти приближений в методе Бубнова-Галеркина.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задачи, применением вариационных принципов вывода уравнений, классических математических методов и известных методов возмущений, использованием основополагающих и апробированных принципов и подходов теории тонких и упругих ребристых пластин и оболочек, теоретической механики и гидромеханики. Полученные результаты при переходе к частным случаям полностью совпадают с известными результатами, полученными ранее другими авторами, а также не противоречат имеющимся физическим представлениям и известным экспериментальным данным.

Практическая ценность и реализация результатов. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут найти применение при моделировании динамики сложных механических систем, включающих абсолютно жесткие, геометрически нерегулярные тонкостенные конструкции и жидкость. Разработанные математические модели и подходы для решения динамических задач гидроупругости также могут быть использованы в современном машино- и приборостроении для исследования динамики и прочности машин, приборов и аппаратуры. В частности, данные методы применимы для определения резонансных частот колебаний тонкостенных конструкций, взаимодействующих с жидкостью, оценки возможности возникновения вибрационной кавитации в жидкости и, как следствие, кавита-ционной коррозии элементов конструкции. Кроме того, становится возможным оценивать вклад в явление вибрационной кавитации физических свойств жидкости и тонкостенных конструкций, конструкционных и технологических особенностей машин и приборов, таких как наличие ребер жесткости на поверхности тонкостенных конструкций.

Разработанные математические модели позволяют проектировать высокоэффективные и малоэнергоёмкие механические вибраторы для различных технологических процессов, а также гидроопоры, гидродемпферы, системы смазки и охлаждения, например, вибраторы-кавитаторы для создания кавитационного поля в воде для её бактериологической очистки или вибраторы для создания оптимальных условий и ускорения пропитки пористых изделий жидкостью.

Диссертация выполнена в рамках госбюджетной научно-исследовательской работы СГТУ-5 «Исследование динамики взаимодействия пульсирующего слоя вязкой жидкости с упругими стенками канала, установленного на вибрирующем основании». Результаты работы использованы при выполнении: проекта СГТУ-236 «Исследование динамики взаимодействия упругого тонкостенного ребристого элемента конструкции с вязкой несжимаемой жидкостью», проводимого в рамках госбюджетных научно-исследовательских работ СГТУ в 2009-2012 г.г.; фантов РФФИ № 10-01-00177а, №08-01-12051-офи, а также грантов Президента РФ МД-234.2007.8, МД-551.2009.8. Справки об использовании результатов диссертации приведены в приложении.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались, обсуждались и были одобрены на: семинарах кафедры «Теп-логазоснабжение, вентиляция, водоотведение и прикладная гидрогазодинамика», XXV Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Волгоград, 2012), VIII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ-2009) (Томск, 2009), третьей научно-практической конференции «Внедрение современных конструкций и передовых технологий в путевое хозяйство» (Саратов, 2010), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 11 научных работ, из них 4 работы в профильных периодических научных изданиях, рекомендуемых ВАК РФ для публикации основных результатов кандидатских и докторских диссертаций.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Построенные и исследованные в работе математические модели гидродинамического демпфера (опоры) с упругим тонкостенным ребристым статором и гидродинамического демпфера (опоры) с круглым упругим ребристым статором и сдавливаемым слоем вязкой несжимаемой жидкости при наличии виброускорения и гармонически изменяющегося противодавления в слое жидкости. Сформулированные в безразмерном виде динамические задачи гидроупругости применительно к плоским прямоугольным пластинам и круглым пластинам, подкрепленным внешними ребрами жесткости.

2. Результаты решений в виде рядов по координате и гармонической зависимости от времени, сформулированных в работе динамических задач гидроупругости применительно к плоским прямоугольным пластинам и круглым пластинам, подкрепленным внешними ребрами жесткости.

3. Амплитудные и фазовые частотные характеристики рассматриваемых тонкостенных конструкций и ребристых круглых пластин, их резонансные частоты и значения коэффициентов динамичности при резонансных частотах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка используемой литературы. Объем диссертации 151 страница, из них 3 страницы приложений. В диссертации 34 рисунка и 24 таблицы. Список используемой литературы включает 143 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении изложены проблемы, которым посвящена работа, выполнен анализ современного состояния исследований по теме диссертации, дана общая характеристика работы.

/

^ -

ь) ад и

В первом разделе диссертации рассмотрен подход теории ребристых пластин, связанный с применением обобщенных функций для описания поверхностей ребристой тонкостенной конструкции. На основе континуального подхода были приведены необходимые далее уравнения динамики геометрически нерегулярных прямоугольной и круглой пластинок с ребрами жесткости ступенчато изменяющейся высоты.

Во втором разделе приведены основные положения и допущения, принимаемые при постановке динамической задачи гидроупругости гидродинамического демпфера (опоры) с упругим статором, имеющим ребра жесткости в условиях пульсации давления жидкости на торцах и вибрации основания канала.

Гидродинамическая опора (демпфер) условно представлена на рис. 1. Абсолютно жесткое тело 1 - вибратор опоры. Вибратор имеет ширину 2С и длину Ь»2£. Вибратор совершает колебания по гармоническому закону г = д(0 = б„ + г„,/1Ш), в вертикальной плоскости. При этом частота его колебаний со, а амплитуда колебаний вибратора г,,,

Упругая ребристая, прямоугольная в плане пластина - статор 2 опоры. Внутренняя поверхность пластины, находящаяся в контакте с жидкостью, является плоской, а внешняя поверхность имеет п ребер жесткости. Ребра расположены параллельно стороне Ь пластины. Толщина статора на участках, где отсутствуют ребра жесткости, равна ¡г0. Высота ]-го ребра равна а его ширина . Статор на

торцах имеет шарнирное опирание. Вязкая несжимаемая жидкость 3 полностью заполняет щелевой зазор между абсолютно твердым вибратором и упругим геометрически нерегулярным статором. При этом в жидкости, находящейся в щелевом зазоре, и вне его поддерживается постоянный уровень давления р0. Средняя величина щелевого зазора (средняя толщина слоя жидкости в опоре) равна 30. На торцах сторон Ь имеются торцевые уплотнители, и истечение жидкости через эти торцы отсутствует. При этом предполагается, что на торцах 2С сторон торцевые уплотнители отсутствуют, и жидкость из щелевых зазоров вдоль сторон 2.С (вдоль оси х) может свободно истекать в окружающую жидкость, постоянный уровень давления в которой равен р0. Кроме того, на левом и правом торцах считаются заданными законы пульсации давления над постоянным уровнем р0_

Вибратор имеет подвес (например, магнитный или на пружине), который обладает упругой жесткостью. Опора находится под воздействием виброускорения (т.е. считается установленной на вибрирующем основа-

Рис. I

нии). Вследствие этого возбуждение колебаний вибратора происходит за счет воздействия пульсации давления и переносного виброускорения.

Учитывая, что Ь»21, и рассматривая упрощенную задачу (—« — ),

ду дх

введена декартова система координат Охуг, связанная с координатной поверхностью статора, и следующие безразмерные переменные и малые параметры:

6„ ( у

Р = Р0 + Р, М-- рга (г- 4 —^-г,„ /г (ах ))■+

(1)

2 " 8У

где у/ = / ?«1 - относительная толщина слоя жидкости, X = *,„ / 8„ «I -относительная амплитуда колебаний вибратора, 30 - средняя толщина слоя жидкости в зазоре, \'х,Уг - компоненты скорости жидкости; IV - прогиб пластины; р, у — плотность и коэффициент кинематической вязкости жидкости, р - давление жидкости.

Поставленная задача гидроупругости канала с ребристой пластиной включает:

- уравнения динамики слоя жидкости в нулевом приближении по у/

(2)

ю8; эи. Э£/.у ЭР д'и.

V ш =~эГ

Э Р 0, Ч д и.

- уравнение динамики упругого геометрически нерегулярного статора

* ъ? д? " <¡4 ъ? Г

1+5Ждг«

где ДГ4. -£,//) - разность единичных функций Хевисайда,

Д^ = 6)АГ3 Ю£, - разность дельта-функций (от тех же аргументов);

- уравнение движения вибратора:

т,а0 + г) + п1г = 2еЫро + р,] + ^^ \рй£, (4)

-I

- выражение для силы, действующей на вибратор со стороны жидкости

ЛГ3 = 2(Ь[ р0 + /7, ] + Г ГрЩОу,

(5)

где т\ - масса вибратора; п{ - коэффициент жесткости подвеса вибратора; N3 - сила, действующая на вибратор со стороны слоя жидкости при С = 1 + Я/г(т).

В качестве граничных условий задачи выступают:

- условия прилипания жидкости к вибратору и пластине

и{=0, при ¿-=1+Д/,(т), и 1 при <Г=А/„(6)

ат г,„ от г„, от г,„

- условия свободного торцевого истечения жидкости:

Р= 0при£=±1; (7)

- условия шарнирного опирания плоской ребристой пластины на торцах:

и,=о, ^ = о при 4 = = 0 при ; = (8)

Выражение для напряжения в пластине:

1-у Эх

В третьем разделе в ходе решения поставленной задачи гидроупругости (1)-(9) исследовались вынужденные установившиеся колебания стенок канала. Решение динамических задач гидроупругости геометрически нерегулярной пластины-статора гидродинамической опоры при заданных гармонических законах движения основания канала и пульсации давления жидкости на торцах проводится методом возмущений по малому параметру X.

Проводя решение уравнений с учетом граничных условий, получено выражение для гидродинамического давления в слое вязкой несжимаемой жидкости в нулевом приближении по Л

-+ (10) 1 """ 1„, Эг дт )

2 ¿г с1т

ЭГ дт 1

где а{со), у (со) - частотозависимые коэффициенты, 2е2 =8,?(о1у .

Форму прогиба ребристого статора представим в виде ряда по нормальным формам колебаний

п = К,и* = + Д,(г))со8^л£).. (11)

»-I /

После подстановки (10), (11) в уравнения движения ребристой пластины (3) и вибратора (4) с учетом заданных законов вибрации основания и пульсаций давления на торцах г0 = £,/е(г) = £г зт(т + <з0), А = Р,,,/,,(*) = используя процедуру Бубнова-Галеркина, были

найдены законы движения вибратора и прогиб ребристой пластины:

г = г><" + г1" =

21Ь

Ро + Р,„

<2 ^ + 2 /

(12)

2к -1 Ар, Ш, Е » = ».5:008—— ЯП]———

^ Iй'» ус.

а г (/Т' _]

(13)

где £> - коэффициент, характеризующий жесткость ребристой пластины. Количество членов ряда п - любое. Выражения для йе/,., Ое1Ап, А"', В'"к', А{"), в<"!, л'",», в';1, е0г. &>,> £?,„> б,,,, не приведены ввиду их громоздкости.

Найденные законы движения вибратора и прогиба ребристой пластины с учетом (9), (10) позволяют исследовать напряженно-деформированное состояние пластины, давление в жидкости, перемещения вибратора и определить резонансные частоты колебаний в рассматриваемой механической системе применительно к гидродемпферам, системам смазки и охлаждения.

Результаты расчетов амплитудных частотных характеристик (АЧХ) при Е.о)2 = , рт =1 Па для варианта канала с параметрами (два ребра): / = 0,1 м; ёо/-£ = 0,08; ¿=10; р 0 =2,7-103 кг/м2; р= 1,84-103 кг/м2; //0 =0,3; у = 2,5-10"4 м2/с; гп\ - 2,5 кг; щ= 9,5-107 кг/с2, Ар1=1,1й0, # 1/^ = -0,4, £1/^ = 0,1, Ир2 = = 0,3, е21£ = 0,15, материал пластины - сплав

Д16Т; для варианта канала (одно ребро): ¿¡¡/{ = -0,05, £,/¿ = 0,1, представлены на рис. 2-5. Расчеты проводились для случаев п = 1 ...5.

Расчеты показали, что в случае удержания 1-го члена ряда в (13) наблюдаются две резонансные частоты у ребристой пластины. Учет каждого последующего члена ряда приводит к появлению дополнительной резонансной частоты, расположенной выше предшествующих. Амплитуды, соответствующие дополнительным частотам, значительно меньше амплитуд при удержании одного члена ряда. Поэтому для практических целей достаточно удержания первых 1-2 членов ряда в решении. При этом расчёты подтверждают введённое при постановке задачи предположение, что «1 •

Наличие ребер жесткости у статора приводит к уменьшению амплитуды и увеличению значений резонансных частот. В частности, в случае ребристого статора резонансные частоты оказываются большими (до 2-3,3 раза), то есть происходит сдвиг резонансных частот в высокочастотную область.

При рассмотрении канала с однородной пластиной проведено сравнение с экспериментальными исследованиями на вибростенде амплитуд колебаний поплавкового цилиндрического подвеса, выполненными С.Ф. Коноваловым.

Aw(CO), м

Aw(co), м

со, рад/с

АЧХ прогибов в центре плоской ребристой пластины с использованием материала Д16Т (виброускорение основания 1§) (одно ребро) 1 - при 1-м члене ряда; 2 - при 2-х членах ряда; 3 - при 3-х членах ряда; 4 - при 4-х членах ряда; 5 - при 5- членах ряда;

О 5000 10000 15«» 200(10 25000 .WOO JStX»

со, рад/с

АЧХ прогибов в центре плоской ребристой пластины с использованием материала Д16Т (виброускорение основания lg) (два ребра) I - при 1-м члене ряда; 2 - при 2-х членах ряда; 3 - при 3-х членах ряда; 4 - при 4-х членах ряда; 5 - при 5- членах ряда;

Рис.2

Рис. 3

Aw(io), м

Aw(co), м

5«*) 10000 15000

25000 J0000 35000 СО, рЗД/С

АЧХ прогибов в центре плоской ребристой пластины с использованием материала Д16Т (пульсация давления 1Па) (одно ребро) 1 - при 1-м члене ряда; 2 - при 2-х членах ряда; 3 - при 3-х членах ряда; 4 - при 4-х членах ряда; 5 - при 5- членах ряда

25000 50000 .15000 0), рад/С

АЧХ прогибов в центре плоской ребристой пластины с использованием материала Д16Т (пульсация давления 1 Па) (два ребра)

1 - при 1-м члене ряда; 2 - при 2-х членах ряда; 3 - при 3-х членах ряда; 4 - при 4-х членах ряда; 5 - при 5- членах ряда;

Рис. 4

Рис. 5

В эксперименте радиальный зазор между поплавковой камерой и твердым поплавком значительно меньше радиуса поплавка и может быть рассмотрен как плоский щелевой канал, образованный упругой стенкой камеры (однородной балкой-полоской) и абсолютно жестким телом (вибратором-поплавком) с упругим подвесом. Расчеты показали хорошее совпадение с экспериментом (отклонение до 10-15%).

В четвертом разделе работы приведены основные положения и допущения, принимаемые при исследовании гидроупругости круглой пластины, подкрепленной ребрами жесткости, образующей стенку щелевого канала, в условиях пульсации давления жидкости по контуру и вибрации основания. Канал представлен на рис. 10. Стенка канала 1 - абсолютно жесткий диск (вибратор), имеющий упругий подвес. Радиус вибратора R. Вибратор может совершать колебания в вертикальной плоскости с частотой со и амплитудой zm- Вторая стенка канала 2 - круглая ребристая пластина, внешняя поверхность пластины имеет п ребер жесткости ступенчато изменяющейся высоты, ребра расположены концентрически. Толщина пластины на участках, где отсутствуют ребра жесткости, равна НО. Высота /-го ребра равна hpj, а его ширина ej. Радиусы вибратора и пластины совпадают. Будем полагать, что вибратор и его подвес, ребристая круглая пластина и жидкость заключены в единый абсолютно жесткий корпус. Края пластины считаются жестко защемленными по всему контуру с абсолютно жестким корпусом канала, который установлен на вибрирующем основании.

Слой вязкой несжимаемой жидкости 3 непрерывно заполняет щелевой зазор между абсолютно твердым вибратором и упругой ребристой пластиной. В жидкости, находящейся в щелевом зазоре, и вне его поддерживается давление рО +pl(a>t), имеющее постоянную составляющую (постоянный уровень давления) рО и гармонически пульсирующую по времени составляющую (противодавление) p\((ût).

Прогибы пластины и амплитуда колебаний вибратора являются малыми и значительно меньшими, чем средняя толщина слоя жидкости, т.е. ¿о » z,„- В силу осевой симметрии конструкции канала рассматриваем осе-симметричную задачу.

Введена в рассмотрение цилиндрическая система координат Or<pz, связанная со срединной поверхностью пластины, и следующие безразмерные переменные и малые параметры задачи

Z_K

О0 К да

W=wtlU,(Ç,т), p = p0+^p^p(^T)+pl(T)-pz0(z-â0-^-zmfz(ox)) (14)

ОсМ/ L

о

у/ = —— «1, Л = — «1.

я ¿0

Здесь V,, V. - компоненты вектора скорости жидкости в цилиндрической системе координат; ;-- расстояние от оси пластины; Я - радиус пластины.

Поставленная задача гидроупругости канала с ребристой пластиной включает:

- уравнения динамики тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости (с точностью до у/ « 1)

81 со

V

ди, < ди, ди, Эг ^ ' ( д£

дР э2и дР „ ди, 1 эис

(15)

-уравнение динамики круглой ребристой пластины

Е/,„Ч„ и3'иг 2 д'Ц,__I д2Ц, 1 дЦ, ^ - дЛЦ, 2 д'Ц,__1 32Ц, I дЦ,

12(1-/Л;)«4Кэ^ г- эг-+ е ъ " /к 9 а? ъе Г + Г Ч

+ Ук £> 5' , 1 1 Э и> , " Л д£ £ д£2 д£

дГ и> 0)

, " Я 8 Эг1

г„ <5,,(У

где - функция Дирака от безразмерной переменной;

- уравнение движения вибратора

т,(г + го)+и,г = /г*2 [р0 + А„/„(г)]+ тШ

(16)

(17)

- выражение для силы, действующей на вибратор, со стороны жидкости

2 2 8ау/г

при ^ = 1.

(1В)

В качестве граничных условий задачи выступают: - условия прилипания жидкости к непроницаемым поверхностям вибратора и круглого статора

ЖМ

ие= 0, (/,=-

с1х

при £"=1+Д/Дт),

(19)

V, =0, иг= "' „ 3 при С=Л—и„ 1 г,„ Эг Н г.

- условия для гидродинамического давления по контуру

Р= 0 при £=1; (20)

- условия жесткой заделки статора по контору совместно с условием ограниченности при £ = 0

0при^ = 1, (21)

о?

<^ = 0 при £ = 0. Выражения для напряжений в круглой пластине

о. =-

-Т7&

о.=

Ег

(1 -//„ ) (1-//0 ) £ ¡_ ... \ Е-1

Уиз | А. эг/, Эг2 г Эг

(1-А»!>и эг J

(!-//„")

Проводя решение задачи (14)-(22) методом возмущений по относительной амплитуде колебаний вибратора Я, осуществлена ее линеаризация в нулевом приближении по А. В результате решением уравнения динамики жидкости определено давление в канале

4 ^ аг ¿т) 1,„1_41 V Эт" дт

(23)

Форма прогиба пластины представлялась в виде ряда по нормальным формам колебаний (собственных функций задачи Штурма-Лиувилля)

и, Ао =

•/»(А) '»(А) ] (24)

здесь У0 - функция Бесселя нулевого порядка первого рода; /0 - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка; - корень трансцендентного уравнения (к = 1, 2,...) /,(А)//0(Д) = - ./.(ДУШ), где ./,(&), /|(А) - соответствующие функции Бесселя первого порядка.

Подставляя (24) в (23) и осуществляя переразложение давления по нормальным формам колебаний, получили выражение для давления

И'™

+—¿4

г. ЯД

с1т

(25)

4>(А) /»(А)

А Эг2

+ 12?"

Эг

После подстановки (24), (25) в уравнения движения ребристой пластины (16) и вибратора (17) с учетом заданных законов вибрации основания и пульсаций давления на торцах г0 = Ег/0(т) = Ег&Ыт+<р0), Р\ = РпЬ'Мт+Рр), используя процедуру Бубнова-Галеркина, были

найдены законы движения вибратора и прогиб ребристой пластины:

г = — Р0 + Р,Ж(ео)ып(т+<р )+Еш2Ал(а>)зт(г+4%).

2 У,(А)Д4

Т А> <®> + <Рр + ) +

(26)

(27)

+Е1<ЛС(Л>)8 »»(Г+Ч'Й')

Выражения для Лг„, Лг0, Ч»„, Ч',0, Л^, не приведены

ввиду их громоздкости.

Как частный случай, рассмотрена возможность перехода к задаче гидроупругости для стенок канала с однородной круглой пластиной.

Найденные законы движения вибратора и прогиба пластины с учетом (21), (24) позволяют исследовать напряженно-деформированное состояние пластины, давление в жидкости, перемещения вибратора и определить резонансные частоты колебаний в рассматриваемой механической системе применительно к гидродемпферам, системам смазки и охлаждения.

Результаты расчетов амплитуд колебаний стенок канала на различных частотах для случаев удержания в прогибе 1, 2, 3, 4 и 5 членов ряда при E,w2=\g, /;„, = 1 Па для варианта канала с параметрами (два ребра): Я - 0,1 м; 5()/7? = 0,08; р0 = 2,7-103 кг/м2; р= 1,84-103 кг/м2; V = 2,5-10"4 м2/с; «1=9,5- 10й кг/с2; гп\ = 2,5 кг; /гр! = 1,1/?(); #,//? = 0,25; г,/Я = 0,1, /гр2 = 1,1% £2//? = 0,5; е2/Л = 0,1; материал пластины - сплав Д16Т, для варианта канала (одно ребро): £]/ Я = 0,25, £,//? = 0,1, представлены на рис. 7-10.

Расчеты показывают, что для практических целей достаточно удержания первых 1-2 членов ряда в решении, так как последующие члены приводят к появлению дополнительных высокочастотных резонансных частот, а амплитуды, соответствующие этим частотам, на порядок меньше амплитуд на первых резонансных частотах.

АЧХ прогиба в центре круглой ребристой пластины с использованием материала Д16Т(виброускорение снования ! в) (одно ребро) 1 - при I -м члене ряда; 2 - при 2-х членах ряда; 3 - при 3-х членах ряда; 4 - при 4-х членах ряда; 5 - при 5- членах рада Рис. 7

А«(ш), м

АЧХ прогиба в центре круглой ребристой пластины с использованием материала Д16Т (виброускорение снования I ё) (два ребра) I - при 1 -м члене ряда; 2 - при 2-х членах ряда; 3 - при 3-х членах ряда; 4 - при 4-х членах ряда; 5 - при 5- членах ряда Рис.8

А\»(ю), м

А\»(ш), м

и Я№ 1ВД0 15ЗД0 МП» 258Й 300») 35«м

(О,рад/с

5т I»"': т/1 нош тм иоои (0,рад/с

АЧХ прогиба в центре круглой ребристой пластины с использованием материала Д16Т (пульсация давления 1Па) (одно ребро) 1 - при 1-м члене ряда; 2-при 2-х членах ряда; 3 - при 3-х членах ряда; 4 - при 4-х членах ряда; 5 - при 5-членах рада Рис.9

АЧХ прогиба в центре круглой ребристой пластины с использованием материала Д16Т (пульсация давления !Па) (два ребра)! - при 1-м члене ряда; 2 - при 2-х членах ряда; 3 - при 3-х членах ряда; 4 - при 4-х членах ряда; 5 - при 5- членах ряда Рис. 10

Кроме того, увеличение количества членов ряда не вызывает существенного изменения значений амплитуд колебаний, но только появляются новые резонансные частоты с соответствующими величинами амплитуд, на порядки меньшими, чем для первого приближения в методе Бубнова-Галеркина. Увеличение количества ребер жесткости совместно с использованием вязкой жидкости способствует эффективному подавлению амплитуд на резонансных частотах.

Следует отметить, что на резонансных частотах возможно возникновение разрывов в рабочей жидкости при падении давления ниже значения давления насыщенного пара и возникновение в ней вибрационной кавитации, которая может приводить к кавитационной коррозии вибратора и статора. Таким образом, предложенная модель позволяет определять данные критические частоты, и производить сдвиг части из них за счет применения ребристого статора, в высокочастотную область, где кавитационная коррозия проявляет себя слабо. Кроме того, за счет применения ребристого статора на ряде частот возможно и полное исключение возникновения разрывов в жидкости (т.е. кавитации и, как следствие, кавитационной коррозии), так в этом случае амплитуды колебаний вибратора и статора существенно снижаются.

1. В диссертации построены и исследованы новые математические модели сложных механических систем, включающих плоскую пластину с ребрами жесткости или круглую ребристую пластину, взаимодействующие через слой вязкой несжимаемой жидкости с пульсирующим давлением с абсолютно жестким телом, имеющим упругий подвес. Предложенные математические модели представляют собой систему уравнений динамики вязкой несжимаемой жидкости, упругой ребристой конструкции и абсо-

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

лютно твердого тела, входящих в состав гидродинамического демпфера, с соответствующими граничными условиями.

2. Для исследования разномасштабных динамических процессов в рамках разработанных моделей решена сложная проблема по формированию безразмерных переменных и осуществлен выбор малых параметров рассматриваемых задач гидроупругости. Это позволило сформулировать в безразмерном виде новые динамические задачи гидроупругости геометрически нерегулярных элементов конструкций, образующих стенки каналов.

3. Решения задач проводилось с использованием метода возмущений с учетом влияния инерции движения жидкости. Рассмотрено асимптотическое разложение по относительной амплитуде колебаний абсолютно твердого тела. Найдены решения поставленных в работе динамических задач гидроупругости ребристых элементов конструкций при воздействии пульсации давления в жидкости в виде гармонической зависимости от времени и в виде бесконечных рядов по координате (ряды Фурье и Фурье-Бесселя). Получены выражения для упругих перемещений ребристых конструкций, гидродинамических параметров движения жидкости и закона движения абсолютно жесткого тела.

4. На основе математического моделирования гидроупругости стенок канала исследованы законы движения упругого статора с ребрами жесткости и абсолютно жесткого вибратора, построены их частотные характеристики. Решение проводилось методом Бубнова-Галеркина для любого приближения. Найдены выражения для расчета напряженно-деформированного состояния ребристой конструкции и давления в жидкости.

5. Осуществлена численная реализации найденного решения и исследовано влияния наличия в рассматриваемой механической системе упругого элемента с ребрами жесткости и вязкости жидкости. Проведено исследование напряженно-деформированного состояния ребристой конструкции на резонансных частотах. Расчеты показывают, что для практических целей достаточно удержания первых 1-2 членов ряда в решении, так как последующие члены приводят к появлению дополнительных высокочастотных резонансных частот, а амплитуды, соответствующие этим частотам, на порядок меньше амплитуд на первых резонансных частотах. Показано, что применение конструкции с ребрами жесткости и сильно вязкой жидкости приводит к сдвигу резонансных частот в высокочастотную область и может способствовать эффективному демпфированию первых резонансных частот.

Результаты работы могут найти применение для развития моделирования динамики механических систем, включающих абсолютно жесткие тела, упругие ребристые конструкции и вязкую жидкость, а также для моделирования условий возникновения кавитации в слое жидкости взаимодействующей с упругими, в том числе и ребристыми стенками и расчета критических частот колебаний, им соответствующих.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Быкова Т.В. Динамика взаимодействия подвижных стенок плоского канала со сдавливаемым слоем жидкости, находящимся между ними / Т.В. Быкова, Р.В. Агеев, B.C. Попов, Л.И. Могилевич // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2009. - №4(42). -С.7-13.

2. Быкова Т.В. Колебания упругих стенок трубы кольцевого сечения при пульсирующем ламинарном течении жидкости / Д.В. Кондратов И Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - №4. - Ч. 5. - С. 255-258.

3. Быкова Т.В. Решение динамической задачи гидроупругости и гидродинамической виброопоры с упругим геометрически нерегулярным статором / Т.В. Быкова, Р.В. Агеев // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2011. - №1 (52). - С. 7-14.

4. Быкова Т.В. Математическое моделирование взаимодействия слоя вязкой жидкости с упругими стенками канала, установленного на вибрирующем основании / Т.В. Быкова, Р.В. Агеев, Ю.Н. Кондратова // Известия Саратовского университета. Нов. сер.-2011.-T.il. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып.2. - С. 48-54.

Публикации в других изданиях

5. Быкова Т.В. Разработка математической модели гиродемпфера с упругим ребристым элементом конструкции при гармонической пульсации давления рабочей жидкости (статья)/ Т.В. Быкова, Л.И. Могилевич, B.C. Попов, Д.В. Кондратов // Современные железные дороги: достижения, проблемы, образование: сб. науч. ст. - Вып. 2. - Волгоград: Волгоград, науч. изд-во, 2009. - С. 188-192.

6. Быкова Т.В. Математическое моделирование поведения давления в слое жидкости трубы кольцевого профиля (материалы конференции) / Т.В. Быкова, Л.И. Могилевич, Ю.Н. Кондратова, B.C. Попов // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2009): материалы VIII Всерос. науч.-практ. конф. с междунар. участием. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 2009. - Ч. 2. - С. 254-256.

7. Быкова Т.В. Гидродинамические опоры и демпферы с упругим геометрически нерегулярным статором / Т.В. Быкова, Р.В. Агеев // Внедрение современных конструкций и передовых технологий в путевое хозяйство: материалы III науч.-практ. конф. МИИТ. -М„ 2010. - С. 210-216.

8. Быкова Т.В. Гидродинамические опоры и гасители колебаний с упругим трехслойным статором / Т.В. Быкова, Р.В. Агеев // Внедрение современных конструкций и передовых технологий в путевое хозяйство: материалы III науч.-практ. конф. МИИТ. - М„ 2010. - С. 217-234.

9. Быкова Т.В. Математическая модель гидроупругих колебаний круглой пластины, взаимодействующей с твердым диском и слоем жидкости / Т.В. Быкова, Р.В. Агеев, Л.И. Могилевич // Разработка современных технологий и материалов для обеспечения энергосбережения, надежности и безопасности объектов архитектурно-строительного и дорожного комплекса: сб. науч. ст. Междунар. науч.-практ. симпозиума - Саратов: СГТУ, 2010.-С. 298-302.

Ю.Быкова Т.В. Разработка математической модели для исследования взаимодействия подвижных стенок плоского канала со слоем вязкой жидкости, находящимся между ними, при вибрации основания / Т.В. Быкова, Л.И. Могилевич, B.C. Попов // Исследования нелинейных динамических систем. Вып. 2. - М.: МИИТ, 2010. - С. 69-74.

И.Быкова Т.В. Математическая модель для исследования динамики взаимодействия круглой пластины, подкрепленной ребрами жесткости, с пульсирующим слоем вязкой несжимаемой жидкости / Л.И. Могилевич, B.C. Попов // Прикладная математика и механика: сб. науч. тр. - Ульяновск: УлГТУ, 2011. С. 143-150.

Подписано в печать 12.11.12 Формат 60x84 1/16

Саратовский государственный технический университет

410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77 Отпечатано в Издательстве СГТУ, 410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77 Тел.: 54-95-70; 99-87-39, e-mail: izdat@sstu.ru

Бум. офсет. Тираж 100 экз.

Усл. печ. л. 1,0 Заказ 187

Уч.-изд. л. 1,0 Бесплатно

ВВЕДЕНИЕ.

1. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ С ОДНОСТОРОННИМИ РЕБРАМИ ЖЕСТКОСТИ И КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЫ, ИМЕЮЩЕЙ РЕБРА ЖЕСТКОСТИ.

1.1. Уравнение динамики упругой прямоугольной пластины с односторонними ребрами жесткости.

1.2. Уравнение динамики упругой круглой пластины с осевой симметрией, имеющей односторонние ребра жесткости.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ГИДРОУПРУГОСТИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ДЕМПФЕРА (ОПОРЫ) С УПРУГИМ ТОНКОСТЕННЫМ РЕБРИСТЫМ СТАТОРОМ И СДАВЛИВАЕМЫМ СЛОЕМ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ ВИБРОУСКОРЕНИЯ И ГАРМОНИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩЕГОСЯ ПРОТИВОДАВЛЕНИЯ В СЛОЕ ЖИДКОСТИ.

2.1. Основные положения и допущения.

2.2. Физическая модель гидродинамического демпфера (опоры) с упругим тонкостенным ребристым статором и сдавливаемым слоем вязкой несжимаемой жидкости.

2.3. Математическая модель гидродинамического демпфера (опоры) с упругим тонкостенным ребристым статором и сдавливаемым слоем вязкой несжимаемой жидкости.

2.4. Формулирование задачи в безразмерном виде.

2.4.1. Переход к безразмерным переменным и выделение малых параметров задачи.

4. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ГИДРОУПРУГОСТИ

ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ДЕМПФЕРА (ОПОРЫ) С КРУГЛЫМ

УПРУГИМ РЕБРИСТЫМ СТАТОРОМ И СДАВЛИВАЕМЫМ СЛОЕМ

ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ.

4.1. Основные положения и допущения.

4.2. Физическая модель гидродинамического демпфера (опоры) с круглым упругим ребристым статором и сдавливаемым слоем вязкой несжимаемой жидкости.

4.3. Математическая модель гидродинамического демпфера (опоры) с круглым упругим ребристым статором и сдавливаемым слоем вязкой несжимаемой жидкости.

4.4. Формулирование задачи в безразмерном виде.

4.5. Решение задач гидроупругости упругой круглой пластины, взаимодействующей с абсолютно твердым телом через слой вязкой несжимаемой жидкости методом возмущений.

4.6. Амплитудные и фазовые частотные характеристики упругой круглой пластины, взаимодействующей с абсолютно твердым телом через слой вязкой несжимаемой жидкости методом возмущений.

4.7. Исследование амплитудных частотных характеристик упругой круглой пластины, взаимодействующей с абсолютно твердым телом через слой вязкой несжимаемой жидкости при наличии виброускорения и гармонически изменяющегося противодавления в слое жидкости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенное в рамках представленной диссертационной работы исследование позволяет на основе полученных результатов сделать следующие выводы.

В работе представлены новые модели сложных механических систем, состоящих из упругой ребристой пластины (прямоугольной в плане или круглой) с несжимаемым заполнителем, взаимодействующей с твердым телом (штампом), имеющим упругий подвес, через слой вязкой несжимаемой жидкости, в котором поддерживается гармонически пульсирующее давление в условиях вибрации основания. Разработанные модели позволяют в рамках предложенного единого подхода исследовать динамику взаимодействия сдавливаемого слоя жидкости с упругой ребристой пластиной применительно к гидроопорам, гидродемпферам, системам смазки и охлаждения. Сформулированы основные положения и допущения для построения математических моделей рассматриваемых механических систем и постановки для них динамических задач гидроупругости.

Выполненный обзор литературных источников по исследованию задач статики и динамики ребристых элементов конструкций, позволил сделать выбор необходимых уравнений динамики упругих ребристых элементов конструкции, полученных на основе использования вариационного принципа Лагранжа с учетом работы сил инерции. Данный подход видится наиболее предпочтительным при выводе уравнений, так как использование вариационных принципов позволяет физически и математически корректно получить как сами уравнения динамики (статики) упругой ребристой конструкции, так и оценить возможные вариашы граничных и начальных условий получаемых уравнений.

При рассмотрении прямоугольных ребристых пластин осуществлен переход к исследованию упрощенной задачи, с учетом того, что ширина пластины считается существенно больше ее длины (то есть ее прогиб можно считать цилиндрическим). При рассмотрении пластин круглой формы исследуются трехмерная осесимметричная задача. Осуществлена постановка новых динамических задач гидроупругости ребристых элементов конструкции применительно к гидроопорам, гидродемпферам, системам смазки и охлаждения стенки каналов, которые образованы прямоугольными и круглыми ребристыми (или однородными) пластинами и абсолютно жесткими штампами с упругим подвесом. Проведен анализ разномасштабных динамических процессов в рассматриваемых механических системах, который позволил выделить малые параметры поставленных плоской и осесимметричной задач гидроупругости. При этом была решена сложная задача по формированию комплексов безразмерных переменных для исследуемых задач гидроупругости. В качестве малых параметров предложено принимать относительную толщину слоя жидкости и относительную амплитуду колебаний абсолютно жесткого штампа.

Осуществлено решение поставленных связанных нелинейных задач гидроупругости для ребристой пластины в плоской постановке и круглой пластины в осесимметричной постановке. Для решения задач использован метод возмущений и рассмотрен режим установившихся вынужденных гармонических колебаний пластины и штампа под действием заданного на торцах гармонически пульсирующего давления в тонком слое вязкой несжимаемой жидкости и заданного закона вибрации основания. При этом учтено, что при исследовании динамики взаимодействия демпфирующих тонких слоев вязкой несжимаемой жидкости с твердыми и упругими телами имеют место задачи о регулярных возмущениях, в которых последующие члены асимптотических разложений будут значительно меньше предыдущих во всем диапазоне изменений, как независимых переменных, так и физических параметров. Поэтому уже в первых приближениях предлагаемая математическая модель будет адекватно описывать физические процессы в рассматриваемой механической системе.

Показано, что для исследования динамики рассматриваемых механических систем достаточно рассмотрения одночленного асимптотического разложения по относительной амплитуде колебаний абсолютно жесткого штампа. Получена запись реакции, действующей со стороны слоя вязкой несжимаемой жидкости на абсолютно жесткий штамп прямоугольной и круглой формы. Найдено решение сформулированных задач гидроупругости для первого члена асимптотического разложения и определены: закон распределения гидродинамического давления в сдавливаемом слое вязкой несжимаемой жидкости, упругие перемещения ребристых пластин, напряжения в их слоях, а также закон движения штампа. Используя найденное решение задач гидрупругости, построены амплитудные частотные характеристики применительно к гидроопорам, гидродемпферам, системам смазки и охлаждения стенки каналов, которые образованы прямоугольными и круглыми ребристыми пластинами и абсолютно жесткими штампами с упругим подвесом.

Следует отмстить, что построенные математические модели позволяют, как частный случай, осуществить переход к рассмотрению процессов динамики взаимодейст вия упругих однородных пластин со слоем вязкой несжимаемой жидкости и абсолютно твердым штампом. При этом выполнено сравнение с экспериментальными данными других авторов, показавшее хорошее совпадение расчетов по предлагаемой модели с экспериментом.

Проведено математическое моделирование резонансных колебаний в исследуемых механических системах. Данное моделирование показало наличие двух резонансных частот у пластины, при удержании в решении одного члена ряда. Одна из них в основном определяется инерционными свойствами слоя вязкой несжимаемой жидкости и упругими свойствами пластины, а другая резонансная частота определяется жесткостью подвеса штампа и его массой, а также жесткостью пластины. При удержании в решении 2-х членов ряда наблюдаются три резонансные частоты пластины, при удержании 3-х членов ряда - четыре резонансные частоты у ребристой пластины и т.д. При этом резонансные частоты у штампа и пластины практически совпадают.

Полученные аналитические выражения и проведенные расчеты показывают, что для практических целей достаточно удержания в полученном решении первых 1-2 членов ряда. Учет последующих членов ряда приводит к появлению дополнительных высокочастотных резонансных частот, а амплитуды, соответствующие этим частотам последовательно уменьшаются (оказываются на несколько порядков меньше, амплитуд на первых резонансных частотах).

Расчеты для исследуемых в работе моделей показали, что применение ребристой пластины, как прямоугольной в плане, так и круглой, способствует к сдвигу (до 2,5-3 раз) резонансных частот в высокочастотную область по сравнению с однородной пластиной. Это объясняется тем, что жесткость ребристой конструкции оказывается выше однородной. При этом следует отметить, что полученные результаты моделирования показали неправомерность замены ребристого статора эквивалентным по массе (или объему) гладким статором.

Проведенное моделирование показало положительное влияние ребер жесткости статора на подавление амплитуд колебаний на средних и высоких частотах. Следует отметить, что на резонансных частотах возможно возникновение разрывов в рабочей жидкости при падении давления ниже значения давления насыщенного пара и возникновение в ней вибрационной кавитации, которая может приводить к кавитационной коррозии вибратора и статора. Таким образом, предложенная модель позволяет определять данные критические частоты, и производить сдвиг части из них, за счет применения ребристого статора, в высокочастотную область, где кавитационная коррозия проявляет себя слабо. Кроме того, за счет применения ребристого статора на ряде частот возможно и полное исключение возникновения разрывов в жидкости (т.е. кавитации и, как следствие, кавитационной коррозии), так в этом случае амплитуды колебаний вибратора и статора существенно снижаются.

Найденные выражения для амплитуд напряжения в ребристой пластине позволяют проводить оценку прочности и работоспособности конструкции в условиях пульсации давления жидкости и вибрации основания. В частности, для рассмотренных в работе вариантов моделей механических систем показано, что их работоспособность сохраняется при пульсации давления до десятков атмосфер и виброускорения до десятков g.

Проведенное в соответствии с поставленной целью диссертационное исследование позволило решить все сформулированные в работе задачи на основе предложенного единого подхода к постановке и решению задач гидроупругости ребристых пластин применительно к гидроопорам, гидродемпферам, системам смазки и охлаждения, стенки каналов которых образованы ребристой пластиной и абсолютно жестким штампом с упругим подвесом. Результаты диссертации могут найти применение для дальнейшего развития проблем гидроупругости сложных механических систем, включающих в себя абсолютно жесткие, упругие ребристые конструкции и вязкую жидкость, а также для расчета напряженно деформированного состояния ребристых элементов конструкций, гидродинамических параметров тонких демпфирующих слоев жидкости, взаимодействующих с упругими, в том числе и ребристыми, стенками, условий возникновения кавитации в них и расчета критических частот колебаний, соответствующих этим условиям.

133

1. Абовский, Н. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н. П. Абовский, Н. П. Андреев, А. П. Деруга. - М. : Наука, 1978.-287 с.

2. Абовский, Н. П. Гибкие ребристые пологие оболочки / Н. П. Абовский, В. Н. Чернышев, А. С. Павлов. Красноярск, 1975. - 128 с.

3. Алексеев, В. В. Колебания упругой пластины контактирующей со свободной поверхностью тяжелой жидкости / В. В. Алексеев, Д. А. Индейцев, Ю. А. Мочалова // Журнал технической физики. 2002. - Т. 72. - № 5.-С. 16-21.

4. Алексеев, В. В. Резонансные колебания упругой мембраны на дне бассейна с тяжелой жидкостью / В. В. Алексеев, Д. А. Индейцев, Ю. А. Мочалова // Журнал технической физики. 1999. - Т. 69. - № 8. - С. 37-43.

5. Амбарцумян, С. А. Общая теория анизотропных оболочек / С. А. Амбарцумян. М. : Наука, 1974. - 446 с.

6. Амбарцумян, С. А. Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость и колебания / С. А. Амбарцумян. М. : Наука, - 1987. -360 с.

7. Амбарцумян, С. А. Расчет симметрично-нагруженной круговой цилиндрической оболочки, подкрепленной продольными ребрами / С. А. Амбарцумян // Докл. АН АрмССР. 1955. - Т. 21,- № 4. - С. 62-157.

8. Амиро, И. Я. Теория ребристых оболочек / И. Я. Амиро, В. А. Заруцкий. -Киев : Наук, думка, 1980. 367 с.

9. Амиро, И. Я. Динамика ребристых оболочек / И. Я. Амиро, В. А. Заруцкий, В. Г. Паламарчук. Киев : Наук, думка, 1983. - 204 с.

10. Ю.Андрейченко, К. П. Исследование сдавливания тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости в зазоре подшипника / К. П. Андрейченко // Машиноведение. 1978. - № 4. - С. 117-122.

11. Андрейченко, К. П. К теории демпферов с тонкими слоями жидкости /

12. К. П. Андрейченко // Машиноведение. 1978. - № 1. - С. 69-75.

13. Андрейченко, К.П. К теории жидкостного демпфирования в поплавковых приборах / К. П. Андрейченко // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. - № 5. -С.13-23.

14. Андрейченко, К. П. Возмущающий момент в поплавковом гироскопе с упругим корпусом поплавка при внутреннем источнике вибрации / К. П. Андрейченко, Л. И. Могилевич // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. - № 6. -С. 3-10.

15. Андрейченко, К. П. Динамика гироскопов с цилиндрическим поплавковым подвесом / К. П. Андрейченко, Л. И. Могилевич. Саратов: Изд-во. Сарат. гос. ун-та, 1987, - 160 с.

16. Андрейченко, К. П. Возмущающие моменты в поплавковом гироскопе с упругим корпусом поплавка при торцевом истечении жидкости / К. П. Андрейченко, Л. И. Могилевич // Машиноведение. 1987. - № 1. - С. 3341.

17. Андрейченко, К. П. Возмущающие моменты в поплавковом гироскопе с упругим корпусом поплавка на вибрирующем основании / К. П. Андрейченко, Л. И. Могилевич // Изв. АН СССР. ММТ. 1987. - № 4. -С. 44-51.

18. Андрейченко, К. П. О динамике взаимодействия сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости с упругими стенками / К. П. Андрейченко, Л. И. Могилевич // Изв. АН СССР. МТТ. 1982. - № 2. - С. 162-172.

19. Антуфьев Б. А. Колебания неоднородных тонкостенных конструкций / Б.А. Антуфьев М. : Изд-во МАИ, 2011. - С. 175.

20. Арзуманов, Э. С. Кавитация в местных гидравлических сопротивлениях / Э. С. Арзуманов. М. : Энергия, 1978. - 304 с.

21. Балабух, JT. И. Осесимметричные колебания сферической оболочки, частично заполненной жидкостью / Л. И. Балабух, А. Г. Молчанов // Инж. журн.: МТТ. 1967. - № 5. - С. 24-32.

22. Балакирев, Ю. Г. Нелинейные автоколебания регулируемых систем, содержащих оболочки с жидкостью / Ю. Г. Балакирев, В. Г. Григорьев,

23. B. П. Шмаков // Теория и расчет элементов тонкостенных конструкций. -М. : Изд-во МГУ, 1986. С. 6-19.

24. Башта, Т. М. Машиностроительная гидравлика : справ, пособие / Т. М. Башта. М. : Машиностроение, 1971. - 672 с.

25. Бидерман, В. J1. Механика тонкостенных конструкций / В. JI. Бидерман. -М. : Машиностроение, 1977. 488 с.

26. Блехман, И. И. Механика и прикладная математика / И. И. Блехман, А. Д. Мышкис, Я. Г. Пановко. М. : Наука, 1983. - 328 с.

27. Болотин, В. В. Механика многослойных конструкций / В. В. Болотин, Ю. Н. Новичков. М. : Машиностроение, 1980. - 375 с.

28. Борщевский, Ю. Т. Повышение кавитационной стойкости двигателей внутреннего сгорания / Ю. Т. Борщевский, А. Ф. Мирошниченко, JI. И. Погодаев. Киев : Вища школа, 1980. - 208 с.

29. Бургвиц, А. Г. О влиянии сил инерции смазочного слоя на устойчивость движения шипа в подшипнике конечной длины / А. Г. Бургвиц, Г. А. Завьялов // Изв. вузов. Машиностроение. 1963. - № 12. - С. 38-48.

30. Быкова Т.В. Колебания упругих стенок трубы кольцевого сечения при пульсирующем ламинарном течении жидкости / Д.В. Кондратов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011, № 4. Часть 5.-С. 255-258.

31. Быкова Т.В. Решение динамической задачи гидроупругости и гидродинамической виброопоры с упругим геометрически нерегулярным статором / Т.В. Быкова, Р.В. Агеев // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2011. - №1(52). - С. 7-14.

32. Ван-Дайк, М. Методы возмущений в механике жидкости / М. Ван-Дайк / Пер. с англ. М. : Мир, 1967. - 310 с.

33. Взаимодействие пластин и оболочек с жидкостью и газом / под ред. А. Г. Горшкова. М. : Изд-во МГУ, 1984. - 168 с.

34. Виттенбург, И. Динамика систем твердых тел / И. Виттенбург. М. : Мир, 1980.-292 с.

35. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости / А. С. Вольмир. М. : Наука, 1976. - 416 с.

36. Вольмир, А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости / А. С. Вольмир. М. : Наука, 1979. - 320 с.

37. Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем / А. С. Вольмир. -М. : Наука, 1967.-984 с.

38. Вольмир А. С. Колебания оболочки с протекающей жидкостью / А. С. Вольмир, М. С. Грач // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. - № 6. - С. 162-166.

39. Гаянов, Ф. Ф. Расчет гибких оболочек с ребрами и малыми изломами поверхности / Ф. Ф. Гаянов // Прикладная механика. 1993. - Т. 29. - № 2. -С. 32-37.

40. Гаянов, Ф. Ф. Применение обобщенных функций к решению задач нелинейной теории оболочек с разрывными параметрами / Ф. Ф. Гаянов, Б. К. Михайлов // Актуальные проблемы прикладной математики: матер. Всесоюз. конф. Саратов : СГУ, 1991. - С. 36-40.

41. Гельфанд, И. М. Обобщенные функции и действия над ними / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. М. : Физматгиз, 1959. -470 с.

42. Гольденвейзер, А. Л. Теория упругих тонких оболочек / А. Л. Гольденвейзер. М. : Наука, 1976. -512с.

43. Гольденвейзер А. JI. Свободные колебания тонких упругих оболочек / А. Л. Гольденвейзер, В. В. Лидский, П. Е. Товстик. М. : Наука, 1978. -383 с.

44. Городецкий, О. М. Исследование возмущающих моментов сил вязкого трения в подвесе поплавкового гироскопа / О. М. Городецкий // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. -№ 1. - С. 10-16.

45. Городецкий О. М. О применимости квазистационарного метода для изучения динамики гироскопа с жидкостным подвесом / О. М. Городецкий, Д. М. Климов // Изв. АН СССР. МТТ. 1982. - № 4. - С. 1020.

46. Горшков, А. Г. Динамическое взаимодействие оболочек и пластин с окружающей средой / А. Г. Горшков // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. - № 2. -С. 165-178.

47. Горшков, А. Г. Нестационарное взаимодействие пластин и оболочек со сплошными средами / А. Г. Горшков // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. - № 4. -С. 177-189.

48. Горшков, А.Г. Механика слоистых вязкоупругопластических элементов конструкций / А.Г. Горшков, Э.И. Старовойтов, A.B. Яровая. М.: Физматлит, 2005. - 576 с.

49. Горшков, А. Г. Динамические контактные задачи с подвижными границами / А. Г. Горшков, Д. В. Тарлаковский. М. : Наука, 1995. - 351 с.

50. Горшков, А. Г. Аэрогидроупругость конструкций / А. Г. Горшков, В.И. Морозов, А. Т. Пономарев, Ф. Н. Шклярчук. М.: Физматлит, 2000. -591 с.

51. Гребень, Е. С. Основные соотношения технической теории ребристых оболочек / Е. С. Гребень // Изв. АН СССР. Механика. 1965. - № 3. -С. 124-130.

52. Гривнин, Ю. А. Кавитация на поверхности твердых тел / Ю. А. Гривнин, С.П. Зубрилов. Л. : Судостроение, 1985. - 124 с.

53. Григолюк, Э. И. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью (удар и погружение) / Э. И. Григолюк, А. Г. Горшков. Л. : Судостроение, 1976.- 199 с.

54. Григолюк, Э. И. Динамика твердых тел и тонких оболочек вращения, взаимодействующих с жидкостью / Э. И. Григолюк, А. Г. Горшков. М. : Изд-во МГУ, 1975.- 179 с.

55. Григолюк, Э. И. Нестационарная гидроупругость оболочек / Э. И. Григолюк, А. Г. Горшков. Л. : Судостроение, 1974. - 208 с.

56. Григолюк, Э. И., Уравнения возмущенного движения тела с тонкостенной упругой оболочкой, частично заполненной жидкостью / Э. И. Григолюк, Ф. Н. Шклярчук // ПММ. 1970. - Т. 34. - Вып. 3. - С. 401-411.

57. Григолюк, Э. И. Об одном методе расчета колебаний жидкости, частично заполняющей упругую оболочку вращения / Э. И. Григолюк, А. Г. Горшков, Ф. Н. Шклярчук // Изв. АН СССР: МЖГ. 1968. - № 3. -С. 7480.

58. Донелл, Л. Г. Балки, пластины и оболочки / Л. Г. Донелл. М. : Наука, 1982.- 567 с.

59. Емцев, Б. Т. Техническая гидромеханика / Б. Т. Емцев. М. : Машиностроение, 1987. - 440с.

60. Епишкина, И. Н. Математическое моделирование вынужденных колебаний гильзы цилиндра двигателя внутреннего сгорания /' И. Н. Епишкина, Л. И. Могилевич, В. С. Попов, А. А. Симдянкин // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2001. - № 4. - С. 19-26.

61. Жилин, П. А. Линейная теория ребристых оболочек / П. А. Жилин // Изв. АН СССР. МТТ. 1970.-№4.-С. 150-163.

62. Иванченко, Н. Н. Кавитационные разрушения в дизелях / Н. Н. Иванченко, А. А. Скуридин, М. Д. Никитин. Л. : Машиностроение, 1970. - 152 с.

63. Ильгамов, М. А. Введение в нелинейную гидроупругость / М. А.

64. Ильгамов. M. : Наука, 1991.-200 с.

65. Ильгамов, М. А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ / М. А. Ильгамов. -М. : Наука, 1969. -184 с.

66. Ильгамов, М. А. Свободные и параметрические колебания цилиндрической оболочки бесконечной длины в акустической среде / М. А. Ильгамов, А. 3. Камалов // Изв. вузов. Авиационная техника. 1966. -№4.-С. 41-50.

67. Индейцев, Д. А. Расчет кавитационного ресурса втулки судовых двигателей / Д. А. Индейцев, И. С. Полипанов, С. К. Соколов // ПроблемыIмашиностроения и надежности машин. 1994. - № 4. - С. 59-64.

68. Катаев, В. П. Нелинейные колебания трубопроводов с протекающей жидкостью / В.П. Катаев // Гидроаэромеханика и теория упругости. 1972. -Вып. 14.-С. 72-77.

69. Катаев, В. П. Динамика трубопроводов с нестационарным потоком жидкости / В. П. Катаев А. Е. Плуталов // Изв. вузов. Авиационная техника. 1971. - № 2. - С. 95-97.

70. Кеч, В. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями к технике / В. Кеч, П. Теодореску. -М. : Мир, 1976. 518 с.

71. Козырев, С. П. Гидроабразивный износ металлов при кавитации / С. П. Козырев. -М. : Машиностроение, 1971.-221 с.

72. Кондратов, Д. В. Возмущающие моменты в поплавковых гироскопах и акселерометрах с упругим корпусом / Д. В. Кондратов, JI. И. Могилевич // Авиакосмическое приборостроение. 2003. - № 11.-С. 13-19.

73. Коновалов, С. Ф. Влияние упругих деформаций сильфона и кронштейна выносного элемента на виброустойчивость поплавкового прибора / С. Ф. Коновалов, А. А. Трунов // Прикладная гидродинамика поплавковых приборов : тр. МВТУ. 1982. - № 372. - С. 25-59.

74. Коновалов, С. Ф. Теория виброустойчивости акселерометров / С. Ф. Коновалов. М. : Машиностроение, 1991. - 272 с.

75. Королев, В. М. Применение обобщенных функций к расчету цилиндрических оболочек со ступенчато меняющейся толщиной / В. М. Королев, А. Н. Снитко, Е. В. Соколов // Проблемы машиностроения : сб. научн. ст. Киев : Наукова думка, 1985. - Вып. 23. - С. 59-65.

76. Коул, Дж. Методы возмущений в прикладной математике/ Дж. Коул; пер. с англ. М. : Мир, 1972. - 276 с.

77. Кочин, Н. Е. Теоретическая гидромеханика / Н. Е. Кочин, И. А. Кибель, Н. В. Розе. М.-Л. : ОГИЗ, 1948. - Т. 1. - 536 с.

78. Кочин, Н. Е. Теоретическая гидромеханика / Н. Е. Кочин, И. А. Кибель, Н. В. Розе. М.-Л. : ОГИЗ, 1948. - Т. 2. - 612 с.

79. Кубенко, В. Д. Нестационарное взаимодействие элементов конструкций со средой / В. Д. Кубенко. Киев: Наукова думка, 1979. - 184 с.

80. Ландау, Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. М. : Наука, 1986.-376 с.

81. Ландау, Л. Д. Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. М. : Наука, 1962.-202 с.

82. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский. М. : Дрофа, 2003.-840 с.

83. Лукасевич, С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках / С. Лукасевич ; пер. с англ. и польск. Б. Н. Ушакова. М. : Мир, 1982. - 542 с.

84. Механика систем оболочка-жидкость-нагретый газ / под ред. H.A. Кильчевского. Киев : Наук, думка, 1970. - 328 с.

85. Микишев, Г. Н. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость / Г. Н. Микишев, Б. И. Рабинович. М. : Машиностроение, 1971.-564с.

86. Михайлов, Б. К. Пластины и оболочки с разрывными параметрами / Б. К. Михайлов. Л. : Изд-во ЛГУ, 1980. - 196 с.

87. Михайлов, Б. К. Использование специальных разрывных функций для расчета ребристых оболочек и пластин / Б. К. Михайлов, Ф. Ф. Гаянов //

88. Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1985. - № 5. - С. 24-28.

89. Михайлов, Б. К. Устойчивость трехслойных прямоугольных пластинок, подкрепленных ребрами / Б. К. Михайлов, Г. О. Кипиани // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1989. - №1. - С.29-32.

90. Мнев, Е. Н. Гидроупругость оболочек / Е. Н. Мнев, А. К. Перцев. JT. : Судостроение, 1970. - 365 с.

91. Могилевич, JI. И. Математические модели и частотный метод решения связанных задач гидроупругости поплавковых приборов / JI. И. Могилевич // Нелинейные задачи расчета тонкостенных конструкций. Саратов. Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1989. - С. 76-98.

92. Могилевич, ЛИ. О динамике поплавкового жидкостного подвеса применительно к гироскопическим приборам / Л И. Могилевич // Аэродинамика. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1987. - С. 89-96.

93. Могилевич, Л И. Динамика взаимодействия цилиндропоршневой группы двигателя внутреннего сгорания и слоя охлаждающей жидкости / Л. И. Могилевич, В. С. Попов // Проблемы машиностроения и надежности машин. -2003,- №1.- С. 79-88.

94. Могилевич, Л. И. Прикладная гидроупругость в машино- и приборостроении / Л. И. Могилевич, В. С. Попов. Саратов : Изд-во Сарат. гос. агр. ун-та им. Н.И. Вавилова, 2003. - 156 с.

95. Могилевич, Л.И. Динамика взаимодействия упругого цилиндра со слоем вязкой несжимаемой жидкости / Л. И. Могилевич, В. С. Попов // Изв. РАН. МТТ. 2004. - № 5. - С. 179-190.

96. Моисеев, Н. Н. Динамика тела, с полостями содержащими жидкость / Н.

97. Н. Моисеев, В. В. Румянцев. М.: Наука, 1965. - 439 с.

98. Морозов, В. И. Математическое моделирование сложных аэроупругих систем / В. И. Морозов, А. Т. Пономарев, О. В. Рысев. М. : Физматлит, 1995.-736 с.

99. Натанзон, М. С. Параметрические колебания трубопровода, возбуждаемые пульсирующим расходом жидкости / М.С. Натанзон // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1962. - № 4. - С. 42-46.

100. Новацкий, В. В. Дельта-функция и ее применение в строительной механике / В.В. Новацкий // Расчет пространственных сооружений : сб. научн. ст. М., 1962. - Вып. 8. - С. 207- 244.

101. Новожилов, В.В. Теория тонких оболочек / В. В. Новожилов. -J1. : Судпромгиз, 1962.-431 с.

102. Пановко Я. Г. Устойчивость и колебания упругих систем / И. И. Губанова, Я. Г. Пановко. М. : Наука, 1964. - 336 с.

103. Перник, А. Д. Проблемы кавитации / А.Д. Перник. Л. : Судпромгиз, 1966.-439 с.

104. Погодаев, Л. В. Гидроабразивный и кавитационный износ судового оборудования / Л.В. Погодаев, П.А. Шевченко. М. : Судостроение, 1984. -264 с.

105. ЗАО «Интек-НН»2007. С. 50.

106. Попова A.A. Исследование динамических характеристик гидродинамической опоры с ребристым статором / A.A. Попова // Молодые ученые науке и производству: материалы конференции молодых ученых. Саратов: РИЦ СГТУ, - 2007. - С. 173-175.

107. Попова A.A. Математическое моделирование динамических процессов в виброопоре с упругими элементами конструкции / A.A. Попова // Вестник Саратовского государственного технического университета. №4. - 2007. -С. 25-31.

108. Рапопорт, И. М. Колебания упругой оболочки, частично заполненной жидкостью / И.М. Рапопорт. М. : Машиностроение, 1966. -394 с.

109. Рождественский, В. В. Кавитация / В.В. Рождественский. JI. : Судостроение, 1977.-247с.

110. Савин, Г. Н. Пластинки и оболочки с ребрами жесткости / Г.Н. Савин, Н.П. Флейшман. Киев : Наук, думка, 1964. - 384с.

111. Самуль, В. И. Основы теории упругости и пластичности /' В.И. Самуль. -М. : Высш. школа, 1982. 264 с.

112. Симдянкин, А. А. Контактно-силовое взаимодействие деталей цилиндропоршневой группы / A.A. Симдянкин. Саратов : ФГОУ ВПО "Саратовский ГАУ", 2003. - 144 с.

113. Слезкин, Н. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости / Н. А. Слезкин. М. : Гостехиздат, 1955. - 520 с.

114. Тарлаковский, Д. В. Теория упругости и пластичности / Д. В. Тарлаковский, Э. И. Старовойтов. -М. : Физматлит, 2002 416 с.

115. Филин, А. П. Элементы теории оболочек / А. П. Филин. J1. : Стройиздат, 1987. - 384 с.

116. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. М. : Наука, 1974.-711 с.

117. Шклярчук, Ф. Н. Осесимметричные колебания жидкости внутри упругой цилиндрической оболочки с упругих днищем / Ф.Н. Шклярчук // Изв. Вузов: Авиационная техника. 1965. - № 4. - С. 75-83.

118. Шклярчук, Ф. Н. Динамические характеристики упругих тонкостенных баков с жидкостью при продольных колебаниях / Ф.Н. Шклярчук // Изв. АН СССР: МТТ. -1971. -№ 5. С. 131-141.

119. Шклярчук, Ф. Н. Колебания упругой оболочки, содержащей жидкость с источником / Ф.Н. Шклярчук // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. - № 6. -С. 153-166.

120. Amabili, М. Non-Linear Dynamics and Stability of Circular Cylindrical Shells Conveying Flowing Fluid / M. Amabili, F. Pellicano, M.P. Pandoussis // Computers & Structures. 2002. - Vol. 80. - P. 899-906.

121. Bar-Joseph, P. The effect of Inertia on Flow Between Misaligned Rotation Disks / P. Bar-Joseph, A. Solan, J. Blech // Journal of Fluids Engineering. -1981.-Vol. 103.-P. 82-87.

122. Chen, S.S. Added mass and damping of vibrating rod in confined viscous fluids / S.S. Chen, M.W. Wamberganss, J.A. Jendrzeczyk // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1976. - Vol. 43. - No.2. - P. 325-329.

123. Knapp, R.T. Cavitation / R.T. Knapp , J.W. Daily , F.G. Hammitt. New-York : Mcgraw-Hill book company, 1970.

124. Kumar, R. Flexural vibration of fluid-filled cylindrical shells / R. Kumar //

125. Acoustica- 1971.-Vol. 24.-No. 3. P .241-247.

126. Lucey, A.D. The nonlinear hydroelastic behaviour of flexible walls / A.D. Lucey, G.J. Cafolla, P.W. Carpenter, M. Yang // Journal of Fluids and Structures.- 1997,-Vol. 11.-P. 717-744.

127. Lucey, A.D. The hydroelastic stability of three-dimensional disturbances of a finite compliant panel / A.D. Lucey, P.W. Carpenter // Journal of Sound and Vibration. 1993. - Vol. 163(3). - P. 527-552.

128. Misra, A.K. Dynamics and Stability of Pinned-Clamped and Clamped-Pinned Cylindrical Shells Conveying Fluid / A.K. Misra, S.S.T. Wong, M.P. Pandoussis // Journal of Fluids and Structures. 2001 - Vol. 15. - P. 11531166.

129. Nguyen, V.B. A CFD-Based Model for the Study of the Stability of Cantilevered Coaxial Cylindrical Shells Conveying Viscous Fluid / V.B. Nguyen, M.P. Pandoussis, A.K. Misra // Journal of Sound and Vibration. -1994.-Vol. 176.-P. 105-125.

130. Shiang, A. H. Hydroelastic instabilities in viscoelastic flow past a cylinder confined in a channel / A. H. Shiang, A. Eztekin, J.-C. Lin, D. Rockwell // Experiments in Fluids.- 2000-Vol. 28,- P. 128-142.

131. Shock and vibration handbook. -New York, 1961. Vol. 1-2.

132. Stein, R.A. Vibration of pipes containing flowing fluids / R.A. Stein, M.W. Tobriner // Journ. Appl. Mech. 1970. - No.4. - P. 906-916.

133. Yohanson, P. Designing to overcome vibration / P. Yohanson // Product design engineering. 1970. - Vol. 9. - P. 30-33.