Исследование процессов упругогидродинамики в поплавковых приборах с несимметричным истечением жидкости при воздействии вибрации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Анциферов Сергей Александрович

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ

УПРУГОГИДРОДИНАМИКИ В ПОПЛАВКОВЫХ ПРИБОРАХ С НЕСИММЕТРИЧНЫМ ИСТЕЧЕНИЕМ ЖИДКОСТИ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ВИБРАЦИИ

Специальность 01.02.06 — Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2006

Работа выполнена в Российском государственном открытом техническом университете путей сообщения

Научный руководитель — доктор технических наук, профессор

Могилевич Лев Ильич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Макеев Николай Николаевич

Ведущая организация — Московский авиационный институт

(государственный технический университет), г. Москва

Защита состоится 16 октября 2006 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета К 002 227 01 при Институте проблем точной механики и управления Российской академии наук по адресу: г. Саратов, ул. Рабочая, 24.

С диссертацией можно ознакомиться ^ читальном зале научно-технической библиотеки Института проблем точной механики и управления РАН.

Автореферат разослан « н » сентября 2006 г.

Ученый секретарь

доктор физико-математических наук, профессор Новиков Валерий Вячеславович

диссертационного совета

Д.Ю. Петров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. В настоящее время условия эксплуатации современных изделий приборо- и машиностроения таковы, что они подвергаются воздействиям значительных перегрузок и различного рода вибраций, обусловленным разнообразными источниками. Технические требования привели к необходимости использования упругих оболочек, которые обеспечивают необходимую прочность приборов и машин одновременно со снижением их массы и материалоемкости. Таким образом, запросы современной техники вызвали необходимость построения и исследования математических моделей систем «упругая оболочка—жидкость-твердые тела», на основе которых возможно решение различных прикладных задач.

В работе рассмотрены модели, построенные для поплавковых акселерометров и гироскопов. Для данных приборов принципиальными элементами являются упругая замкнутая цилиндрическая оболочка, заполненная жидкостью, и взвешенный в ней абсолютно твердый поплавок. В рассмотренных моделях принимается во внимание, что приборы подвержены значительным вибрациям от внешних источников.

Исследованию гидроутгругости тонкостенных конструкций посвящено множество работ различных авторов, таких как: А. С. Вольмир, А. Г. Горшков, Э. И. Григолюк, М. А. Ильгамов, Л. И. Мошлевич, B.C. Попов, Д. В. Тарлаковский, Ф. Н. Шклярчук и др.

Большое число работ посвящено проблемам построения и исследования математических моделей поплавковых и «сухих» приборов. Среди них основополагающими являются работы: К. П. Андрейченко, О. М. Городецкого, JI. Г. Лойцянского, А. Ю. Ишлинского, Д. М. Климова, С. Ф. Коновалова, Л. И. Могилевича, Е. А. Никитина, В. М. Панкратова, Д. С. Пельпора, С. S. Draper, R. Kumar, R. А. Stein и др.

Во всех этих работах рассматривались случаи симметричного истечения жидкости из радиальной щели в торцевые, и влияние несимметричности торцевого истечения жидкости не исследовалось. Вместе с тем, оно значительно сказывается на величинах поступательных перемещений поплавка и постоянной составляющей гидромеханического момента, а следовательно, на вибрационной погрешности, особенно с учетом упругой податливости корпуса прибора.

Таким образом, задача построения математических моделей, позволяющих исследовать динамику систем «упругая оболочка-жидкость-твердые тела» при воздействии вибрации и уточнить вибрационные погрешности поплавковых приборов учетом несимметричности истечения жидкости в торцы и упругой податливости элементов конструкции, является важной и актуальной.

Целью работы является построение комплексной математической модели для исследования динамики сложных механических систем, со-

стоящих из упругой цилиндрической оболочки, взаимодействующей со слоем жидкости и абсолютно твердыми телами, находящимися внутри оболочки, в условиях несимметричного истечения жидкости из цилиндрической щели в торцевые, при воздействии вибрации применительно к поплавковым датчикам первичной информации и разработка методов исследования таких математических моделей.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработка физико-механической и соответствующей математической модели для сложных механических систем, состоящих из упругой цилиндрической оболочки, содержащей сдавливаемый слой вязкой жидкости и абсолютно твердый поплавок, находящийся в состоянии нейтрального равновесия при несимметричном истечении жидкости из цилиндрической щели в торцы при воздействии вибрации.

2. Решение связанной нелинейной задачи упругогидродинамики для описанной механической системы, включающей в себя задачи гидродинамики в цилиндрической и торцевых щелях, задачу для упругой цилиндрической замкнутой оболочки и для абсолютно твердых тел.

3. Определение на основе полученного решения силы и момента, действующих на поплавок, закона движения поплавка и вибрационной, погрешности для поплавкового маятникового акселерометра (ПМА) и поплавкового гироскопа при несимметричном торцевом истечении жидкости, разгружающей опоры поплавка.

Научная новизна:

1. Предложена новая математическая модель поплавковых приборов для несимметричного истечения жидкости из цилиндрической щели в торцевые. При этом поставлены три взаимосвязанные задачи: для цилиндрической щели и для левой и правой торцевых щелей с соответствующими граничными условиями, с учетом того, что торцевая щель справа имеет величину одного порядка с цилиндрической, а величина торцевой щели слева—мала по сравнению с величиной цилиндрической щели.

2. На основе предложенной математической модели впервые выявлено совместное влияние поступательных и угловых колебаний основания, к которому крепится корпус поплавкового прибора, на закон поступательного перемещения поплавка, а также на постоянную составляющую гидромеханического момента, и, соответственно, на погрешность прибора. Ранее, в задачах с симметричным истечением жидкости, влияние угловых колебаний отделялось от влияния поступательных колебаний корпуса.

3. Показано влияние на закон движения поплавка и на постоянную составляющую гидромеханического момента членов, содержащих совместные произведения амплитуд угловых скоростей и поступательных виброускорений, появляющиеся в уравнениях из-за несимметричности, которые на определенных частотах сильно влияют на поступательные перемещения поплавка и приводят к значительному увеличению постоянной со-

ставляющей возмущающего гидромеханического момента, и как следствие, оказывают существенное влияние на погрешность прибора.

4. Исследовано влияние упругости корпуса прибора на закон движения поплавка и постоянную составляющую возмущающего момента. Показано, что угловые колебания корпуса прибора сказываются значительнее, чем в случае абсолютно жесткого корпуса, как на законе движения поплавка, так и на постоянной составляющей возмущающего момента.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием при построении моделей классических математических методов и известных методов возмущений, а также применением апробированных и основополагающих принципов и подходов теоретической механики, механики жидкости и теории упругости. Решения получены аналитическими методами и имеют физический смысл во всей области определения. Построенная математическая модель в отсутствии угловых колебаний дает результаты, которые хорошо согласуются с уже известными результатами, полученными другими авторами при симметричном истечении жидкости, и не противоречат имеющимся физическим представлениям.

Практическая ценность и реализация результатов. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для исследования сложных динамических систем, содержащих упругую цилиндрическую замкнутую оболочку, заполненную жидкостью с взвешенными в ней абсолютно твердыми телами. Предложенные математические модели поплавковых приборов позволяют разработчику, исходя из известного частотного диапазона вибраций, уже на этапе проектирования определить наиболее оптимальные параметры изделий, обеспечивающие необходимую точность.

Математическая модель может найти применение также для определения резонансов колебания оболочки, если положить поплавок неподвижным, как для двигателя внутреннего сгорания с водяным охлаждением, применяемым на тепловозах, так и в других приложениях.

Результаты диссертации получены в рамках бюджетной темы кафедры высшей и прикладной математики Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (РГОТУПС) «Ус-тойчивоподобные свойства траекторий динамических систем. Приложение к изучению математических моделей транспортных динамических процессов», по разделу «Вопросы исследования прикладных статических и динамических задач механики сплошной среды на транспорте». Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ №05-08-33329а, №06-08-00043а.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научно-практической конференции студентов и аспирантов «Проблемы железнодорожного транспорта в условиях реформирования отрасли» Поволжского филиала РГОТУПС (Саратов, 2004), на X, XI и ХП Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы меха-

ники конструкций и сплошных сред» (Москва-Ярополец, 2004, 2005, 2006), кафедре «Высшая и прикладная математика» РГОТУПС (Москва, 2005), на научном семинаре лаборатории анализа и синтеза динамических систем в прецизионном машиностроении ИГГГМУ РАН (Саратов, 2006).

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Новые физико-механическая и математическая модели взаимодействия слоя вязкой несжимаемой жидкости с твердым телом и упругой оболочкой в условиях вибрации, впервые учитывающие влияние несимметричности истечения жидкости в торцевые щели на погрешность поплавковых маятниковых акселерометров и гироскопов.

2. Влияние угловых колебаний основания, к которому крепится поплавковый маятниковый акселерометр (гироскоп), на погрешность прибора. Влияние на закон движения поплавка и постоянную составляющую гидромеханического возмущающего момента членов, содержащих совместные произведения амплитуд поступательных и угловых колебаний корпуса, появляющиеся из-за несимметричности истечения жидкости в торцы.

3. Влияние упругости корпуса прибора на закон движения поплавка и постоянную составляющую гидромеханического возмущающего, момента, которая приводит к значительному увеличению погрешности прибора.

Публикации. Основные положения диссертационной работы и результаты исследования опубликованы в 9 научных трудах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, приложений и списка использованной литературы. Работа содержит 175 страниц текста, 7 рисунков, 9 таблиц и приложения. Список использованной литературы включает 136 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор работ, посвященных исследованию поплавковых приборов навигации, определению наиболее важных факторов, требуемых учета, а также выбору методов построения математических моделей.

В первом разделе рассматриваются основные положения, постановка задачи и описание физической модели системы, состоящей из абсолютно твердой или упругой цилиндрической оболочки, абсолютно твердых тел и жидкости, применительно к поплавковому маятниковому акселерометру (рис. 1).

Вводятся в рассмотрение декартовы системы координат: 01х1у,г, — неподвижная относительно основания, к которому крепится прибор, связанная с корпусом поплавкового маятникового акселерометра; 02х2у2г2 — связанная с поплавком (х1,у2,22 — главные оси инерции корпуса поплавка).

Рис. 1. Поплавковый маятниковый акселерометр: 1 - корпус прибора (абсолютно твердая или упругая цилиндрическая оболочка); 2 - абсолютно твердый поплавок; 3 — маятниковая масса на плече £; 4 — поддерживающий слой жидкости; 5 - цанговые зажимы; 6—магнитные опоры поплавка; 1\ - длина камеры;

- радиус камеры; О) - центр камеры и центр масс корпуса прибора; Х[, у^ - главные оси инерции тела; ¡2, Лг—длина и наружный радиус поплавка. 5 ~ Л |

- Кг, аН}\—/аУ2 -цилиндрический и торцевые зазоры.

Вводится цилиндрическая система координат г, б, у с полюсом в точке О, для описания динамики жидкости и упругой замкнутой цилиндрической оболочки. Предполагается, что перемещения вдоль осей 01у1,Огу2 отсутствуют. Координаты х,,г, описывают движение центра масс поплавка Ог (рис.2).

Во втором разделе ставится и решается задача для поплавкового маятникового акселерометра с твердым корпусом.

Математическая модель рассматриваемой системы представляет собой связанную задачу гидродинамики, включающую в себя задачу гидродинамики в цилиндрической -щели и две разные задачи гидродинамики в торцевых щелях, состоящие из уравнений На-вье-Стокса и неразрывности, и задачи для абсолютно твердого тела, представляющие собой обыкновенные дифференциальные уравнения, основанные на втором законе Ньютона, а также соответствующие граничные условия и условия согласования давления и расхода жидкости при переходе из цилиндрической щели в торцевые.

Линеаризованное уравнение движения поплавкового маятникового акселерометра, основанное на динамическом уравнении Эйлера, имеет вид

Рис.2. Цилиндрическая системакоординат

(/„ +А2(52 + С5Л(ш)г"("рг = +•/„)?, -т^и где - мо-

мент инерции поплавка относительно входной оси, Jг - гидромеханический момент инерции жидкости, СрЛ(о>)е'*<в)р1 - момент электрической пружины, Р — угол поворота поплавка вокруг выходной оси, тс - маятниковая масса, т,Ь — маятниковость; 1)у — возмугцающий гидродинамический момент.

Уравнения Навье-Стокса и неразрывности для вязкой несжимаемой жидкости с учетом переносного движения основания поплавкового маятникового акселерометра в выбранной системе координат г, 9, у, жестко связанной с центром поплавковой камеры, примут вид:

^ = -1ур + у-ДК,У-7 = 0, (1)

где - ускорение жидкости в камере, V — скорость жидкости, р, V — плотность и кинематический коэффициент вязкости жидкости, р - давление жидкости.

Граничные условия на непроницаемой поверхности лоплавка и на стенках камеры (на стенке корпуса прибора) в цилиндрической тцели: ■ Уг = о, = О, Ув =0, при г = Я2 +5соз0; V, =*1зт(0+ф)+г1соз(в+ф), К, = X, СОв(в + ф) -2, 5Ш(в + ф) + + е■ сое9)Р2, Уг = 0, при Г = /^+60080.

Граничные условия в торцевых щелях:

= 0 при у=1г12+а, и у = -12/2 + а„;

V, = ¿1 зт(6 + ф) + г, соБ(в+ф), У„ = х, со$(в + ф) - ¿, зт(9 + ф) + гр 2, (2)

Уг=0 при у = 12/2 тл у = -11/2.

Здесь индексы «л» и «п» относятся к левой и правой торцевым щелям соответственно.

Условия согласования давления и расхода жидкости при переходе от цилиндрической щели в торцевые слева и справа:

/>ч1/1=рт 1^00,9; 1 = - )К и„с«в <Ь>. (3)

*,-мсо«е 2

2

Здесь индекс «ц» - относится к цилиндрической, «т» - к торцевой щели.

Кроме того, необходимы условия периодичности параметров течения по 0 с периодом 2л (условия замкнутости потока жидкости).

Для решения задачи выделены малые параметры и выполнен переход к безразмерным переменным в цилиндрической щели: V, = еш-и4, „ ет «о /, х , _ — _ 1 Ь-и —г -,1

Я = е/5«1, где р0 - уровень отсчета давления; е - эксцентриситет; А. — относительный эксцентриситет; со - частота колебаний; г,}У{ — радиус-вектор центра масс жидкой частицы и вектор ее ускорения; Кг,Ке, Уу — компоненты вектора скорости жидкости.

Задача решается методом возмущений. За малые параметры задачи принимаются относительная ширина цилиндрического зазора и относительный эксцентриситет А.. Представим решение в виде одночленного асимптотического разложения по степеням у й двучленного по степеням Л, тогда получим р = р0+щ+..., и( = и10+ш4, +..., иь=иж+хие1 +..., ¡Ус = ГД0 + ШС1 +....

Решаются две задачи: в нулевом приближении по у и по X; в нулевом приближении по у и первом приближении по X. Законы поступательной и угловой вибрации основания полагаются гармоническими.

Рассматривается случай, когда торцевая щель слева мала по сравнению с цилиндрической: а,/&-=0{^2), а торцевая щель справа одного с ней порядка: а„/6 = 0(1).

Для торцевых щелей вводятся свои безразмерные переменные.

Уравнения гидродинамики и граничные условия в цилиндрической и торцевых щелях записываются в безразмерных переменных. Решается задача для цилиндрической щели, затем задачи для левой и правой торцевых щелей, и, используя условия согласования давления и скорости жидкости при переходе из цилиндрической щели в торцевые, определяются давление и компоненты вектора скорости.

Найдены гидродинамические силы, действующие на поплавок, и определен закон поступательного движения абсолютно твердого поплавка, исходя из второго закона Ньютона.

Для ПМА с заданными параметрами проведены расчеты поступательных перемещений поплавка, которые показывают наличие влияния несимметричности истечения жидкости из радиальной щели в торцевые на перемещение поплавка (табл. 1).

Таблица 1

Поступательные перемещения поплавка ПМА с жестким корпусом

Поступательные перемещения поплавка (Х|„,, 2]т)

Частота ш, рад/с За счет поступательных вибраций основания, м За счет угловых вибраций основания, м За счет угловых и поступательных вибраций при "«С, = = Ч>,« -Ф,1 -V, -0, м За счет угловых и поступательных вибраций при 9,0-9,1-4'. = = ф,0-<р„ -V, =я/2>М

100 5,443-10"" 2,911-10'" 5,414-10'* 5,443-10"у

500 1,083-10"* 5,789-10'" 1,077-10'* 1,083-10"у

1000 - 5,321-10"'и 2,845-Ю"1'' 5,293-10"'и 5,321•Ю'1"

5000 7,398-10"" 3,955 10"'-' 7,358-Ю"1' 7,397-Ю"'1

10 000 2,295-10'" 1,227-10"и 2,283-10" 2,295-10""

Даже в случае нулевой плавучести (Am = 0, т.е. при отсутствии поступательной вибрации) перемещения поплавка имеют место из-за угловой вибрации основания.

Определен возмущающий момент, действующий со стороны слоя жидкости, окружающей поплавок, определяемый вторым членом разложения по степеням малого параметра X

_ pR2eW 1 i'(ГсЧ, дгию 1

Погрешность ПМА определяется постоянной составляющей момента

I j«

(Llyl) = — . Д^ нахождения которой решаются уравнения динамики

2я i

жидкости в первом приближении по X.

В полученном соотношении для постоянной составляющей помимо членов, содержащих отдельно произведения амплитуд поступательных перемещений и угловых скоростей, присутствуют также их совместные произведения, возникающие из-за несимметричности истечения жидкости в торцы.

В табл. 2 приведены расчеты значений постоянной составляющей момента при равенстве всех фаз! колебаний. Причем, — значение-постоянной составляющей момента только для поступательной вибрации; L, -только для угловой вибрации; — значение постоянной составляющей момента для поступательной и угловой вибрации; т|l=Ll/mLL, ti2 = LjmLL, т]3 = LblmLL - соответствующие отклонения нуля.

Таблица 2

Постоянная составляющая момента ПМА с жестким корпусом_'

Частота /, рад/с £i,HM Чь ед .g ¿2, Нм т, ед. g Li, Нм ед. g

100 -9,99-Ю-" -3,33-104" -2,79-10"" -9,47-10"" -9,99-10"" -3,39-10"""

500 -1,8910" -6,30-10""' -1,38-10"" -4,68-10"'" -1,89-10" -6,43-10""'

1000 -7,9210 й -2,64-Ю4" -2,66-10"'4 -9,06-10"'" -7,91-Ю-" -2,69-Ю4"

5000 7,73 10" ^ss-io^" -6,51 -Ю-" -2,21-10""* 9Д1-10"и 3,13-10-""

10000 2,79-10" 9,30- Ю-"" -5,19-Ю'14 -1,76-10""* 3,57-10"" 1,21-10-"*

50 000 4,26-10"5 1,45-10"'" -2,13Е"14 -7,24E"lli -4,10-10"" -1,39-10-'"

100 000 7.78Е'"' 2.65Е-" . -1,5 IE"1' -5.13Е-'" -9,66-10" -з;8-ю-'"

Из расчетов видно, что, несмотря на малые значения поступательных перемещений, обусловленных только угловыми вибрациями основания, к которому крепится акселерометр, угловое колебания оказывают значительное влияние на постоянную составляющую момента. Это влияние с увеличением частоты растет и на больших частотах превосходит влияние

поступательных вибраций основания. Кроме того, постоянная составляющая момента за счет вместе взятых угловых и поступательных колебаний не является простой их суммой, что обусловлено влиянием на постоянную составляющую членов, содержащих совместные произведения амплитуд угловых и поступательных колебаний.

В третьем разделе построенная для ПМА математическая модель в виде задачи гидродинамики использована для исследования поплавкового гироскопа (рис.3), в котором вместо смещенной маятниковой массы, как в ПМА, рассматривается абсолютно жесткий ротор, перемещающийся в податливых опорах относительно центра масс поплавка.

Для гироскопа ставится задача, аналогичная рассмотренной выше задаче для поплавкового маятникового акселерометра. В результате решения задачей определяются давле-.. ние И компоненты Рис.з. Поплавковый гиросхсп

вектора скорости.

Уравнения движения поплавкового гироскопа представляют собой динамические уравнения Эйлера, которые примут вид:

для поплавковых интегрирующих гироскопов (ЛИГ): (У>2 +УЭЗ +¿203 = #<*, +6,А +-/Э) +•/„)$, +Н < р, > +4;

для датчиков угловых скоростей (ДУС): (7,, +УЭЗ ч-С^юУ*^ = Яр, +ЬиЧ1 +./„+/„)*, +

где ^ - экваториальный момент инерции ротора, Н— кинетический момент ротора.

Помимо сил, действующих на поплавок гироскопа со стороны цилиндрического слоя жидкости, на него действуют силы со стороны ротора через подшипники.

В отличие от ПМА, предполагается, что угловые скорости представляются в виде зависимости от входных углов а1я1, у,, и частоты <в: Р, = Р\т СОБСТ + Ф^,) = а,„со8т(а>/ + <Ра„ )» г> = »!.. «»(т + Фп) = У1шо»вшСсвГ + фУ|_), ЧТО имеет место в реальных приборах при малых входных углах для ПИГ.

На основе П закона Ньютона найден закон поступательного движения поплавка гироскопа и проведены численные расчеты поступательных перемещений поплавка для прибора с заданными параметрами, которые отражают существенное влияние несимметричности истечения жидкости из радиальной щели в торцевые на перемещение поплавка (табл. 3). Из расчетов видно, что на малых частотах основное влияние на поступатель-

ные перемещения поплавка оказывают поступательные вибрации основания, к которому крепится прибор, но с увеличением частоты все большее влияние на поступательные перемещения поплавка оказывают его угловые вибрации. Тем не менее, поступательные перемещения поплавка за счет угловой и поступательной вибрации не становятся равными поступательным перемещениям поплавка только за счет угловых вибраций, в силу влияния членов соотношений для закона движения поплавка, содержащих смешанные произведения амплитуд поступательных и угловых колебаний.

Таблица 3

Поступательные перемещения поплавка при а,„ =у,„ =1-10"'рад

Частота са, рад/с Поступательные перемещения поплавка ), м

За счет поступательных вибраций основания, м За счет угловых вибраций основания, м За счет угловых и поступательных вибраций при = <Р,о-Ч>,. =0.м За счет угловых и поступательных вибраций при ФЛ-Фп = = <Р,о ~Ч>,| =я/2,м

100 1,104-Ю"12 5,859-10-" 1,П0-Ю-и 1,10410~12

300 1,235-Ю'13 1,769 10"14 1,412-Ю"13 1,247-Ю"'3

500 4,447- 10"14 2,951-Ю"1'4 7,398-10"14 5,339-Ю'14

1000 1,112-Ю"14 5,902-10'14 7,013-Ю"14 б,006-Ю"14

5000 4,447-Ю"16 2,951-10-" '2,955-Ю"13 2,950-Ю"13

10000 1,112-Ю-16 5,902-10"13 5,902-Ю13 5,901-Ю"13

По аналогии с ПМА определен возмущающий момент, действующий со стороны слоя жидкости, окружающей поплавок, и найдена постоянная составляющая момента, определяющая погрешность гироскопа. Вид соотношения для постоянной составляющей гидродинамического момента и расчеты ее численных значений показывают, что, как и в случае поплавкового маятникового акселерометра, помимо членов, содержащих произведения амплитуд поступательных перемещений, и членов, содержащих произведения амплитуд угловых скоростей, в выражении для постоянной составляющей момента присутствуют также члены, содержащие произведения амплитуд угловых и поступательных колебаний одновременно, возникающие из—за несимметричности истечения жидкости в торцы. Они оказывают существенное влияние на величину постоянной составляющей момента.

На малых частотах влияние угловых колебаний основания, к которому крепится прибор, мало сказывается на постоянной составляющей гидродинамического момента. С увеличение^ частоты колебаний постоянная составляющая момента за счет поступательных вибраций основания падает, а за счет угловых вибраций — растет. При этом угловые вибрации осно-

вания оказывают все большее влияние на величину постоянной составляющей, тогда как влияние поступательных колебаний становится пренебрежимо мало.

В табл. 4 приведены значения постоянной составляющей момента при равенстве всех фаз колебаний (я, = ¿,/Я, т)2 = £2/Я, г|3 /Я - соответствующие отклонения нуля).

Найден инерционный момент для гироскопа, возникающий из-за смещения ротора относительно центра масс поплавка

£пг = + к,1*г К - (»,2 *2 + к:122 )хг.

Постоянная составляющая инерционного момента:

1 2" 1 1

= — = + *,,>¡.Хг. 8Ш(Ф„ -ф,2)--(л,2 со^, - (р.,).

Таблица 4

Расчет постоянной составляющей гидродинамического момента_

Частота <в, рад/с . ¿1,Нм град/ч ¿2.НМ т|2, град/ч ¿э,Нм Пз, град/ч

100 4.76Е-15 8.26Е-09 -2.69Е-19 -4.66Е-13 4.28Е-15 7.44Е-09

200 5.09Е-16 8.84Е-10 -1.00Е-18 -1.74Е-12 4.57Е-16 7.94Е-10

500 3.91Е-17 6.79Е-11 -6.82Е-18 -1.18Е-11 2.84Е-17 4.93Е-11

1000 4.85Е-18 8.42Е-12 -2.71Е-17 -4.71Е-11 -«8Е-17 -3.95Е-11

5000 3.90Е-20 6.77Е-14 -6.82Е-16 -1.18Е-09 -6.82Е-16 -1.18Е-09

10000 4.87В-21 8.45Е-14 -1.02Е-15 -1.77Е-09 -1.02Е-15 -1.77Е-09

В четвертом разделе ставится и решается задача для поплавкового маятникового акселерометра с упругим корпусом.

В этом случае математическая модель рассматриваемой системы представляет собой связанную задачу упруго гидродинамики, включающую в себя задачи гидродинамики в цилиндрической щели и двух торцевых щелях, состоящие из уравнений Навье-Стокса и неразрывности, задачу динамики для упругой цилиндрической замкнутой оболочки, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява, и задачу динамики для абсолютно твердого тела, основанную на втором законе Ньютона.

Уравнения Навье-Стокса и неразрывности для вязкой несжимаемой жидкости имеют вид (1), граничные условия в цилиндрической щели за- Ч пишутся в виде

ди, ,, ди, .„ ди. _

УТ = х, зш(9 + ф) + ¿, соз(0 + <р);

Ув =^соз(в + ф)-г1зт(9+ф) + (Л2+есозв)р2, Уу =0 при г = Яг+есозв,

где й = м, пг + и2 «з + щ п - вектор упругих перемещений оболочки — корпуса прибора; и, - продольное упругое перемещение оболочки, иг - окружное упругое перемещение оболочки, и3 - прогиб оболочки.

В торцевых щелях граничные условия имеют вид (2).

Условия согласования давления и расхода жидкости при переходе от цилиндрической щели в торцевые слева и справа запишутся в виде (3).

Скалярные уравнения динамики корпуса поплавкового маятникового акселерометра как упругой замкнутой оболочки, основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява, с учетом переносного движения относительно инерциаль-ного пространства запишутся в виде:

з «1 , 1-^0

ду2 2 1 + й|

2 Ядудв + 1 ди.

Я1 <Э62 2 1-ц„ д2иг

Я дудв 1 д2

Я ду

«3

я1

50 Я ду

(2 —Но)-'

Я1 дв2 1

+ а„

ду1 я1 ае2

Зу2ав

Я2 99 д-и.

Е\

Г лПйГ а°Г

2д*и, 1 д*и}

ду* ду2дв1 я2 дв* Здесь Е - модуль Юнга; (Д0 - коэффициент Пуассона; р0 - плотность материала оболочки; Я— радиус срединной поверхности; Аз - толщина оболочки, ТУъ, И79» Що — компоненты вектора абсолютного ускорения единицы площади срединной поверхности оболочки, - компоненты вектора

напряжения, действующего со стороны жидкости.

Граничные условия для перемещений оболочки состоят в условиях

жесткой заделки на торцах

и, =и2 =и} =-^. = 0 при У = ±1-т.

ду 2

Как и в твердом случае, осуществлен переход к безразмерным переменным. Задача также решается методом возмущений.

Сначала найдено решение задачи в цилиндрической щели. Затем решаются уравнения динамики оболочки методом Бубнова — Галер^ина во втором приближении. В результате определяется прогиб и>, необходимый в дальнейшем для нахождения давления Р. При решении задач для левой и правой торцевых щелей с использованием условий согласования найдено давление Р. Зная давление, можно определить компоненты вектора скорости.

Найдены гидродинамические силы, действующие на поплавок, и определен закон поступательного движения абсолютно твердого поплавка.

Для ПМА с заданными параметрами произведены расчеты поступательных перемещений поплавка, приведенные в табл. 5, которые отражают существенное влияние упругости на закон движения поплавка и, как следствие, на вибрационную погрешность. В данном случае значения поступательных перемещений при тех же параметрах прибора на тех же частотах значительно больше, чем в случае абсолютно твердого корпуса (табл. 1).

Расчеты, приведенные в табл. 5, показывают, что угловые вибрации при указанных амплитудах мало сказываются на поступательных перемещениях поплавка, и основное влияние на величину поступательных перемещений оказывают поступательные колебания корпуса прибора. Из расчетов видно, что поступательные перемещения поплавка за счет поступательных вибраций основания уменьшаются значительно быстрее, чем поступательные перемещения, обусловленные только угловыми вибрациями, что приводит к увеличению влияния угловых колебаний корпуса на поступательные перемещения поплавка с ростом частоты со. Кроме того, некоторое влияние на поступательные перемещения поплавка оказывают члены, содержащие совместные произведения амплитуд угловых и поступательных колебаний.

Таблица 5

Поступательные перемещения поплавка ПМА с упругим корпусом_

Поступательные перемещения поплавка (х|т, гщ)

Частота со, рад/с За счет поступательных вибраций основания, м За счет угловых вибраций основания, м За счет угловых и поступательных вибраций при - = Ф,0-<Р„ =0>м За счет угловых и поступательных вибраций при •Рл"Ч>„ = = <Р.о-Ч>,| =*/2> «

100 1,062-Ю"8 4,005-Ю"10 1,097-10"* 1,042-10"®

500 3,229-Ю"9 3,499-Ю"10 3,457-10"' 3,511-10"'

1000 7,937-10"10 3,410-10"'° 1,130-Ю"9 7,998-Ю"10

5000 ■ 4,170-Ю"10 2,369-Ю"10 6,220-Ю"10 3,315-Ю"10

10 000 1,783-Ю"10 1,471-Ю"10 2,874-10"10 9,913-Ю"11

Аналогично жесткому случаю определены момент, действующий на поплавок со стороны слоя жидкости, и его постоянная составляющая. Проведены расчеты постоянной составляющей момента для ПМА с известными парамет- Ч рами (табл. 6).

Из соотношения для постоянной составляющей гидродинамического момента видно, что, как и в случае абсолютно твердого корпуса прибора, помимо членов, содержащих отдельно произведения амплитуд поступательных перемещений и амплитуд угловых скоростей, в ней присутствуют также и смешанные произведения амплитуд поступательных и угловых колебаний, возникающие из-за несимметричности истечения жидкости в

торцы. Они оказывают существенное влияние на величину постоянной составляющей момента. Из расчетов видно, что, несмотря на малые значения поступательных перемещений, обусловленных только угловыми вибрациями основания, к которому крепится акселерометр, угловые колебания оказывают значительное влияние на постоянную составляющую момента, во много раз превосходящее влияние поступательных вибраций основания, и это влияние с увеличением частоты растет.

Сравнивая полученные результаты для постоянной составляющей момента с результатами, полученными во втором разделе для ПМА с жестким корпусом, видно существенное влияние упругости корпуса прибора на величину постоянной составляющей.

Расчеты показывают, что значения отклонений нуля, соответствующие величинам постоянной составляющей гидродинамического момента, обусловленной угловыми вибрациями основания, к которому крепится прибор, значительно превышают допустимые пределы (10"6 g).

Все вышесказанное свидетельствует о том, что при исследовании математической модели, учитывающей упругость корпуса ПМА с несимметричным истечением жидкости в торцы, очень важно учитывать угловые вибрации, роль которых резко возрастает. Совместный учет угловых и поступательных колебаний позволяет выявить влияние членов, содержащих совместные произведения амплитуд угловых скоростей и поступательных перемещений, которые имеют место в выражении для постоянной составляющей момента, появляясь из-за несимметричности истечения жидкости из цилиндрической щели в торцевые, оказывая влияние на ее значение большее, чем отдельно взятые угловые или поступательные вибрации.

Таблица б

Расчет постоянной составляющей момента_

Частота О), Гц ¿ьНм 41. ед. г ¿г, Нм 1г, ед. Ё £з, Нм >73, ел Ш

100 1,630 Ю-9 5,4341 се5 '-8,88310"" -2,96110"3 9.12310"4 3,04110"1

500 5,61610-'° 1.87210"5 -1,343'Ю"8 -4,47710ц 1,577 10"* 5,256'Ю"2

1000 -1,59510"10 -5,31910-* -6,80610"9 -2,26910-* 3,048'Ю'7 1,01610"2

5000 -3,279-Ш-10 -1,093'Ю'5 -2,188'Ю"9 -7,294'10'5 1,14410-® 3,814'Ю"4

10 000 -1Д1210-10 -4,040'10"4 -1,61510-' -538210"5 2,068'10"9 6.894 10"5

50 000 1,36810-* 4,607'10"5 -1,665'Ю"9 -5,552'10'5 8,83010"9 2,943'10"4

100 000 6.72610'7 2,24210 2 -1,801 10"7 6,005 10"' 8,40710-' 2,80210"2

В заключении сформулированы основные результаты и выводы по диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Предложены и исследованы новая физико-механическая и соответствующая математическая модели систем, включающих в себя упругую цилиндрическую замкнутую оболочку, содержащую абсолютно твердые тела и вязкую несжимаемую жидкость, применительно к поплавковым приборам на вибрирующем основании при несимметричном истечении жидкости в торцевые щели. Математическая модель представляет собой связанную задачу гидроупругости, включающую в себя задачи гидродинамики в цилиндрической щели и в двух торцевых щелях, состоящие из уравнений Навье-Стокса и неразрывности и соответствующих граничных условий, условия согласования давления и расхода жидкости при переходе из цилиндрической щели в торцевые, задачу динамики корпуса ПМА как замкнутой упругой цилиндрической оболочки, состоящую из уравнений в частных производных, и задачу для абсолютно твердого поплавка, основанную на обыкновенных дифференциальных уравнениях второго закона Ньютона для описания поступательных перемещений абсолютно твердых элементов рассматриваемых систем.

2. Для исследования математической модели осуществлен переход к безразмерным переменным, что позволило выделить параметры подобия и малые параметры задачи. Для исследования взаимодействия упругой цилиндрической оболочки с абсолютно жесткими телами через слой вязкой несжимаемой жидкости при решении связанной задачи упругогидродина-мики применен метод возмущений при условии гармонических поступательных и угловых вибраций основания.

Найдены гидромеханические силы и моменты, действующие на поплавок со стороны слоя жидкости, позволяющие оценить погрешность поплавкового маятникового акселерометра с несимметричным истечением жидкости и цилиндрической щели в торцевые.

3. На основе полученных сил и возмущающих моментов найдены законы поступательного движения поплавка и определены постоянные составляющие возмущающих моментов для поплавкового маятникового акселерометра и поплавкового гироскопа в случае внешней вибрации. Показано существенное влияние несимметричности истечения жидкости в торцевые щели на величины поступательных колебаний поплавка и постоянную составляющую возмущающего момента и, следовательно, на погрешность прибора. При этом выявлено влияние угловых вибраций на закон \ движения поплавка и постоянную составляющую гидродинамического момента при несимметричном истечении жидкости в случае жесткого корпуса прибора.

4. Построенная математическая модель взаимодействия слоя жидкости с твердыми телами применена для исследования поплавкового гироскопа. Найдены гидромеханические силы, действующие на поплавок, и возмущаю-

щие моменты в случае несимметричного истечения жидкости в торцы, которые, как и в случае симметричного, разделяются на два вида: возмущающий момент за счет сил инерции, вызывающий смещение центра масс поплавка из центра масс камеры, и возмущающий момент, действующий со стороны слоя жидкости на поплавок при абсолютно твердом корпусе прибора.

Возмущающий инерционный момент в поплавковом гироскопе в рамках рассматриваемых приближений оказывается практически независимым ни от динамики жидкости, ни от упругих свойств оболочки для рассматриваемых условий внешней вибрации.

Анализ расчетов постоянных составляющих инерционного и гидродинамического моментов показывает, что инерционный момент больше гидродинамического момента, обусловленного поступательными вибрациями основания, к которому крепится прибор, практически на всем рассматриваемом диапазоне частот. Однако, если учитывать влияние угловых вибраций основания, то постоянная составляющая гидродинамического момента с увеличением частоты достигает значений инерционного момента, а на больших частотах может даже превосходить его.

5. Предложенная математическая модель использована для исследования влияния упругости корпуса поплавкового маятникового акселерометра на поступательные перемещения поплавка и постоянную составляющую гидромеханического возмущающего момента. Учет упругости приводит к увеличению значений поступательных перемещений поплавка и постоянной составляющей и, следовательно, к увеличению погрешности прибора.

Таким образом, полученная модель позволяет для различных параметров упругой цилиндрической оболочки и слоя вязкой несжимаемой жидкости проводить исследование динамики и точности поплавковых приборов.

Предложенная математическая модель дает возможность оценить вклад различных факторов на работу поплавковых приборов на этапе проектирования и, исходя из известного частотного диапазона вибраций, выбрать наиболее оптимальную конструкцию прибора, обеспечивающую необходимую точность.

Основное содержание работы отражено в следующих публикациях:

1. Анциферов С.А. Гидродинамические силы, действующие на поплавок поплавкового маятникового акселерометра при несимметричном истечении жидкости / С.А. Анциферов, Л.И. Могилевич // Авиакосмическое приборостроение, 2003. № 11. С. 19-26.

2. Анциферов С.А. Гидродинамические силы, действующие на поплавок поплавкового маятникового акселерометра с упругим корпусом прибора при несимметричном истечении жидкости в торцы / С.А. Анциферов, Л.И. Могилевич // Авиакосмическое приборостроение. 2004. № 4. С. 3-10.

3. Анциферов С.А. Возмущающий момент в поплавковом маятниковом акселерометре при несимметричном истечении жидкости в торцы / С.А, Анциферов, Л.И. Могилевич // Авиакосмическое приборостроение. 2004. № 9. С. 6-12.

4. Анциферов С.А. Гидродинамические силы, действующие на поплавок поплавкового гироскопа при несимметричном истечении жидкости в торцы / С.А. Анциферов, Л.И. Могилевич // Авиакосмическое приборостроение. 2004. № 12. С. 2-8.

5. Анциферов С.А. Влияние упругой податливости корпуса поплавкового маятникового акселерометра на закон движения поплавка при несимметричном истечении жидкости в торцы / С.А. Анциферов // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред: материалы ХМеждунар. симпоз. М., 2004. С 6.

6. Анциферов С.А. Гидродинамический возмущающий момент поплавкового маятникового акселерометра при несимметричном истечении жидкости в торцы / С.А. Анциферов, Д.В. Кондратов, Л.И. Могилевич // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред: материалы X Междунар. симпоз. М., 2004. С. 7.

7. Анциферов С.А. Возмущающий момент в поплавковом маятниковом акселерометре с упругим корпусом прибора при несимметричном истечении жидкости в торцы / С.А. Анциферов, Д.В. Кондратов, Л.И. Могилевич // Авиакосмическое приборостроение. 2005. № 11. С. 8 - 14.

8. Анциферов С.А. Гидродинамический возмущающий момент в поплавковом гироскопе при несимметричном истечении жидкости в торцы / С.А. Анциферов // Авиакосмическое приборостроение. 2006. № 3. С. 5 - 9. ..

9. Анциферов С.А. Возмущающий момент в поплавковом маятниковом акселерометре на вибрирующем основании при несимметричном истечении жидкости в торцы / С.А. Анциферов, Д.В. Кондратов, Л.И. Мопшевич // Механика твердого тела. 2006. №3. С. 16-29.

Анциферов Сергей Александрович

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ УШУГОПЗДРОДИНАМИКИ В ПОПЛАВКОВЫХ ПРИБОРАХ С НЕСИММЕТРИЧНЫМ ИСТЕЧЕНИЕМ ЖИДКОСТИ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ВИБРАЦИИ

Автореферат

Корректор O.A. Панина

Лицензия ИД № 06268 от 14.11.01

Подписано в печать 04.09.06 Формат 60x84 1/16 Бум. тип. Усл. печ.л. 1,0 Уч.-изд.л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ 353. Бесплатно Саратовский государственный технический университет 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в РИЦ СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. Динамика упругой цилиндрической оболочки при взаимодействии со слоем вязкой несжимаемой жидкости

1.1. Основные положения

1.2. Физическая модель поплавкового маятникового акселерометра (ПМА)

1.3. Математическая модель

2. Решение задачи динамики в случае абсолютно твердого корпуса прибора

2.1. Постановка задачи

2.2. Переход к безразмерным переменным . -.

2.3. Реакции слоя жидкости, действующие на поплавок

2.4. Решение задачи гидродинамики в цилиндрической щели

2.5. Решение задачи гидродинамики в левой торцевой щели

2.6. Решение задачи гидродинамики в правой торцевой щели

2.7. Определение давления и компонент вектора скорости

2.8. Гидродинамические силы, действующие на поплавок ПМА и закон движения центра масс поплавка

2.9. Гидродинамический момент в ПМА. Вибрационный возмущающий момент

3. Решение задачи динамики для поплавкового гироскопа с абсолютно твердым корпусом

3.1. Гидродинамические силы, действующие на поплавок поплавкового гироскопа и закон движения центров масс поплавка и ротора гироскопа

3.2. Гидродинамический момент в поплавковом гироскопе. Вибрационные возмущающие моменты

4. Решение задачи упругогидродинамики в случае упругого корпуса прибора

4.1. Постановка задачи и построение математической модели

4.2. Переход к безразмерным переменным

4.3. Решение задачи гидродинамики

4.4. Определение упругих перемещений цилиндрического корпуса прибора

4.5. Определение давления и компонент вектора скорости

4.6. Силы, действующие на поплавок ПМА

4.7. Закон поступательного движения поплавка

4.8. Момент, действующий на поплавок ПМА со стороны слоя жидкости. Вибрационный возмущающий момент

Актуальность. В настоящее время условия эксплуатации современных изделий приборо- и машиностроения таковы, что они подвергаются воздействиям значительных перегрузок и различного рода вибрациям, обусловленным разнообразными источниками. Технические требования привели к необходимости использования упругих оболочек, которые обеспечивают необходимую прочность приборов и машин одновременно со снижением их массы и материалоемкости. Таким образом, запросы современной техники привели к необходимости построения и исследования математических моделей систем «упругая оболочка-жидкость-твердые тела», на основе которых возможно решение различных прикладных задач.

Основными элементами конструкций различных высокоточных чувствительных поплавковых приборов являются сложные механические системы, состоящие из твердых, жидких и упругих тел. Практикой подтверждается необходимость учета влияния упругой податливости конструкций включающей жидкость, однако исследование данной системы представляет собой чрезвычайно сложную и трудоемкую задачу, даже в простейших постановках, требуя разработки и исследования сложных математических моделей механических систем, учитывающих динамическое взаимодействие между твердыми, упругими и жидкими телами, составляющими данную систему. Таким образом создание и исследование механических систем, позволяющих максимально приблизиться к оригиналу, а также поиск подходящих форм записи приемлемых для инженерной практики разрешающих дифференциальных уравнений и методов их интегрирования, позволяющих исследовать динамические процессы в данных системах, уточнить вибрационную погрешность поплавковых маятниковых акселерометров и гироскопов являются актуальными проблемами в современном приборостроении.

В работе рассмотрены некоторые из таких моделей, построенные для поплавковых акселерометров и гироскопов. Для данных приборов принципиальными элементами являются упругая замкнутая цилиндрическая оболочка, заполненная жидкостью, и взвешенный в ней абсолютно твердый поплавок. В рассмотренных моделях принимается во внимание, что приборы подвержены значительным вибрациям от внешних источников [57-60, 93,102].

Таким образом, задача построения математических моделей, позволяющих исследовать динамику систем «упругая оболочка-жидкость-твердые тела» при воздействии вибрации, и уточнить вибрационные погрешности поплавковых приборов учетом упругой податливости элементов конструкции является важной и актуальной в настоящее время.

Поплавковые маятниковые акселерометры и гироскопы, исследуемые в данной работе, являются прецизионными приборами систем стабилизации, ориентации и наведения, и их точность определяет точность всей системы навигации. Достаточно сказать, что для поплавковых маятниковых акселерометров погрешность - отклонение нуля - должна быть менее 10"6g, а предъявляемые требования по дрейфу (некомпенсированная случайная составляющая) поплавковых гироскопов составляет менее 10~3 град/час, а в комфортных условиях - менее Ю-6 град/час [64, 71].

Исследованию гидроупругости тонкостенных конструкций посвящено множество работ различных авторов, таких как: A.C. Вольмир [29-32], А.Г. Горшков [36-41], Э.И. Григолюк [42-46], М.А. Ильгамов [48-51], Л.И. Могилевич [76-93], B.C. Попов [102], Д.В. Тарлаковский [107], Ф.Н. Шклярчук [ 110-113] и другие.

Большое число работ посвящено проблемам построения и исследования математических моделей поплавковых и «сухих» приборов. Среди них основополагающими являются работы: К.П. Андрейченко [6-9], О.М.Городецкого [34-35], Л.Г. Лойцянского [70], А.Ю. Ишлинского [52-53], Д.М. Климова [35], С.Ф. Коновалова [61-64], Л.И. Могилевича [76-93],

Е.А. Никитина [96], В.М. Панкратова [98], Д.С. Пельпора [99-101], С. S. Draper [122], R. Kumar [124], R.A. Stein [134] и ряда других.

На первых этапах при исследовании влияния упругих элементов конструкции (корпус поплавка) эти элементы представлялись в виде двухзвенных абсолютно жестких элементов с прямолинейными звеньями и точкой излома. С.Ф. Коновалов и A.A. Трунова [61-64] в своих работах производили учет упругости корпуса поплавкового прибора и других элементов (сильфона), когда эти элементы представляются в виде твердой двухзвенной конструкции с прямолинейными звеньями и точкой излома в середине, либо в виде твердой конструкции прямолинейной формы при консольном закреплении навесного элемента. Однако, такой подход, видимо, приводит к некоторому завышению погрешности из-за упругой податливости.

Более точный подход.связан с использованием тонких оболочек} к.рамках- :: которого тонкостенные упругие элементы конструкции, окруженные слоем жидкости, такие как корпус поплавка в поплавковых гироскопах, рассматриваются как упругая замкнутая цилиндрическая оболочка с жестким защемлением на торцах. При этом показано, что учет упругих свойств корпуса поплавка в поплавковых приборах необходим при некоторых параметрах прибора.

К.П. Андрейченко [6-9] в своих работах применил метод осреднения инерционных членов уравнений динамики жидкости с введением поправочных коэффициентов, учитывающих нестационарность профиля скорости. Этот метод позволяет найти присоединенную массу и момент инерции жидкости, коэффициенты демпфирования угловых и поступательных колебаний поплавка, исследовать наиболее полно устойчивость гидродинамической опоры. Однако при исследовании моментов поплавковых приборов этот метод справедлив только для чисел Рейнольдса значительно меньших единицы. Более точно учет влияния инерции жидкости, взаимодействующей с замкнутой цилиндрической оболочкой был проведен в режиме установившихся гармонических колебаний

85]. В работах [75-81] К.П. Андрейченко, Л.И. Могилевича была исследована упругогидродинамика корпуса поплавка гироскопического прибора, с полным учетом инерционных членов уравнений гидромеханики и даламберовых сил инерции, но корпус прибора считается абсолютно твердым. В работах Л.И. Могилевича, К.П. Андрейченко, В.В. Гурова [77, 91-93] приближенно учитывалась упругость корпуса прибора. Поставленная в этих работах задача не являлась связанной, и на оболочку - корпус прибора оказывало влияние только гидростатическое давление, так как считалось, что поплавок не перемещается, плавая в состоянии нейтрального равновесия. Кроме того, при решении задачи динамики оболочки отбрасывались даламберовы силы инерции. В работах Д.В. Кондратова, Л.И. Могилевича и B.C. Попова [57 - 60] исследовались связанные задачи для поплавковых приборов с учетом упруГОСТИ.' - . . •

Во всех этих работах рассматривались случаи симметричного истечения жидкости из радиальной щели в торцевые, и влияние несимметричности торцевого истечения жидкости не рассматривалось. Оно, как оказалось, значительно сказывается на величинах поступательных перемещений поплавка и постоянной составляющей момента, а следовательно на погрешности прибора.

Таким образом, для наиболее полного исследования факторов влияющих на динамику поплавковых приборов, и в частности, влияния упругости корпуса прибора, необходимо построение математической модели, учитывающей инерцию трехмерного движения слоя жидкости, взаимодействующего с упругой оболочкой и абсолютно твердыми телами, а также влияние несимметричности истечения жидкости из радиальной щели в торцевые на гидродинамические силы и моменты в поплавковых приборах.

Целью работы является построение комплексной математической модели для исследования динамики сложных механических систем, состоящих из упругой цилиндрической оболочки, взаимодействующей со слоем жидкости и абсолютно твердыми телами, находящимися внутри оболочки, при несимметричном истечении жидкости из цилиндрической щели в торцевые, при воздействии вибрации применительно к поплавковым датчикам первичной информации в системах навигации и разработка методов исследования таких математических моделей.

Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи: 1. Разработка физико-механической и соответствующей математической модели для сложных механических систем, состоящих из упругой цилиндрической оболочки, содержащей сдавливаемый слой вязкой жидкости и абсолютно твердый поплавок, плавающий в состоянии нейтрального равновесия при несимметричном истечении жидкости из цилиндрической щели в торцы при воздействии вибрации; 2. .Решение связанной нелинейной .задачи упругогидродинамики для . описанной механической системы, включающей в себя задачу гидродинамики в цилиндрической щели, две различные задачи для торцевых щелей, задачу для упругой цилиндрической замкнутой оболочки и для абсолютно твердых тел с соответствующими граничными условиями и условиями согласования при переходе из цилиндрической щели в торцевые под воздействием переносной силы инерции; 3. Определение на основе полученного решения силы и момента, действующих на поплавок, закона движения поплавка и вибрационной погрешности для поплавкового маятникового акселерометра и поплавкового гироскопа при несимметричном торцевом истечении жидкости, разгружающей опоры поплавка.

Объект исследования и обоснование математической модели и методов ее исследования. Решение сложных нелинейных связанных задач упругогидродинамики проводится методом возмущений [26, 65]. Осуществлен переход к безразмерным переменным в указанных выше системах уравнений динамики жидкости и оболочки, сам представляющий собой сложную задачу.

За малые параметры приняты, традиционная в теории смазки, относительная толщина сдавливаемого слоя жидкости и относительный эксцентриситет.

При решении поставленных задач используется одночленное разложение по относительной толщине сдавливаемого слоя жидкости, как это принято в теории смазки [106, 114-117, 120, 131], и двухчленное асимптотическое разложение по относительному эксцентриситету. При этом для исследования динамики приборов используется одночленное разложение в режиме гармонических колебаний, а второй член разложения по относительному эксцентриситету применяется для определения погрешности приборов. Второй член разложения в рассматриваемых задачах не достигает того же порядка что и первый член разложения ни при каких значениях безразмерных переменных и безразмерных постоянных-параметров подобия,, имеющих: физический.смысл.: Поэтому в данном случае достаточно прямого разложения, и нет необходимости применять более тонкие методы возмущений, такие как метод сращивания асимптотических разложений, метод многомасштабных разложений [26, 65] и другие.

Ввиду присутствия в колебательных системах демпфирования, возникающего за счет сдавливания слоя вязкой жидкости, переходный процесс быстро затухает, влияние начальных условий в конечном итоге перестает сказываться на колебаниях, и возникают установившиеся вынужденные колебания. Таким образом, исследуется режим установившейся вибрации [116, 121, 124, 132] и переходный процесс не принимается во внимание. Математически это означает, что необходимо найти частное решение линеаризованных неоднородных задач, а общее решение соответствующих однородных уравнений не рассматривается. Следовательно, при рассмотрении достаточно длительных во времени процессов можно отбросить с самого начала общее решение однородных уравнений и начальные условия [25]. Данный подход позволил решить сложную нелинейную связанную задачу динамики твердых тел, вязкой несжимаемой жидкости и упругой цилиндрической оболочки.

Научная новизна. Основной особенностью данной работы является развитие принципа построения и исследования математических моделей механических систем, представляющих собой упругую цилиндрическую оболочку, слой жидкости с погруженным в нем абсолютно твердым телом, при несимметричном истечении жидкости из радиальной щели в торцевые. В ранних работах исследование этих приборов проводилось при симметричном торцевом истечении жидкости, и влияние несимметричности на вибрационную погрешность прибора не рассматривалось.

1. Впервые построена математическая модель поплавковых приборов для несимметричного истечения жидкости в торцы, при этом были

• . поставлены три-связанные задачи: для ^цилиндрической -.щели;.-и. для.-, каждой торцевой щели с соответствующими граничными условиями, учитывая то, что торцевая щель справа - одного порядка с цилиндрической, а торцевая щель слева - мала по сравнению с цилиндрической.

2. Предложенная математическая модель позволяет выявить совместное влияние поступательных и угловых колебаний корпуса прибора на закон поступательного перемещения поплавка, а также на постоянную составляющую гидромеханического момента, и, соответственно, на погрешность прибора, в то время как ранее, при исследовании приборов с несимметричным истечением жидкости, влияние угловых колебаний корпуса было принято отделять от влияния поступательных колебаний, так как они действовали независимо. Показано, что как на закон движения поплавка, так и на постоянную составляющую гидромеханического момента влияют не только члены, содержащие отдельно произведения угловых и произведения поступательных колебаний, но и их совместные произведения, появляющиеся в уравнениях из-за несимметричности, которые на определенных частотах сильно влияют на поступательные перемещения поплавка и приводят к значительному увеличению постоянной составляющей возмущающего гидромеханического момента, и как следствие, оказывают существенное влияние на погрешность прибора. 3. С помощью построенной математической модели исследовано влияние упругости корпуса прибора на закон движения поплавка и постоянную составляющую момента. При этом угловые колебания корпуса прибора сказываются еще сильнее, чем случае абсолютно жесткого корпуса, как на законе движения поплавка, так и на постоянной составляющей возмущающего момента.

Достоверность полученных результатов достигается с помощью построения : максимально -точных для =. достижения: поставленной .цели•; физической и математической моделей приборов, корректной постановки задачи, а также применения классических математических методов и известных методов возмущения для расчета, использования апробированных и основополагающих принципов и подходов теоретической механики, механики жидкости и теории упругости. Решения получены аналитическими методами и имеют физический смысл во всей области определения. Построенная математическая модель в отсутствии угловых колебаний основания, к которому крепится корпус, дает результаты, которые хорошо согласуются с уже известными результатами, полученными другими авторами при исследовании приборов с симметричным истечением жидкости, и не противоречат имеющимся физическим представлениям.

Практическая ценность и реализация результатов. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для исследования сложных динамических систем, содержащих упругую цилиндрическую замкнутую оболочку, заполненную жидкостью с взвешенными в ней абсолютно твердыми телами. Предложенные математические модели поплавковых приборов позволяют разработчику исходя из известного частотного диапазона вибраций уже на этапе проектирования определить наиболее оптимальные параметры системы, обеспечивающие необходимую точность.

Полученные аналитические решения позволяют исследовать влияние различных факторов на динамику и точность поплавковых приборов, а также быстро и эффективно проводить численные расчеты на ПЭВМ для приборов с заданными параметрами. Результаты исследования использованы в отчетах по грантам РФФИ 05-08-33329а, 06-08-00043а.

Кроме того, предложенная математическая модель может быть использована для определения резонансов колебания оболочки, считая поплавок неподвижным, как для двигателя внутреннего сгорания с водяным охлаждением, применяемым на тепловозах. Резонансы колебаний приводят к .„-•• появлению кавитации.и кавитационному износу гильзы • цилиндра двигателя и: ■ ,: самой оболочки - рубашки, ограничивающей слой охлаждающей жидкости, а также и в других приложениях.

Результаты диссертации получены в рамках бюджетной темы кафедры высшей и прикладной математики Российского государственного открытого технического университета путей сообщения «Устойчивоподобные свойства траекторий динамических систем. Приложение к изучению математических моделей транспортных динамических процессов», по разделу «Вопросы исследования прикладных статических и динамических задач механики сплошной среды транспорте». Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 05-08-33329а, 06-08-00043а.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на научно-практической конференции студентов и аспирантов «Проблемы железнодорожного транспорта в условиях реформирования отрасли» Поволжского филиала Российского открытого государственного технического университета путей сообщений (Саратов, 2004), на X, XI и XII Международных симпозиумах в МАИ «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва-Ярополец, 2004, 2005, 2006), кафедре

Высшая и прикладная математика» Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (Москва, 2005).

На защиту выносятся следующие положения:

1. Новая физико-механическая и математическая модели взаимодействия слоя вязкой несжимаемой жидкости с твердым телом и упругой оболочкой в условиях вибрации впервые учитывают влияние несимметричности истечения жидкости в торцы на погрешность поплавковых маятниковых акселерометров и гироскопов.

2. С помощью построенной математической модели выявлено значительное влияние угловых колебаний основания, к которому крепится прибор, на закон поступательного перемещения поплавка и на постоянную составляющую - гидромеханического::. возмущающего: . момента, - .и, соответственно, на погрешность прибора. Как на закон движения поплавка, так и на постоянную составляющую момента помимо произведений поступательных и произведений угловых колебаний, большое влияние оказывают смешанные произведения поступательных и угловых колебаний корпуса, появляющиеся из-за несимметричности истечения жидкости в торцы.

3. Использованная математическая модель выявила влияние упругости корпуса прибора на закон движения поплавка и постоянную составляющую гидромеханического момента. При этом учет упругости корпуса прибора значительно больше сказывается на поступательных перемещениях поплавка за счет угловых вибраций основания, чем на поступательных перемещениях поплавка за счет поступательных колебаний. Гидромеханический момент значительно больше при учете упругой податливости корпуса, чем без ее учета, и при этом является не монотонным.

Публикации: Основные положения диссертационной работы и результаты исследования опубликованы в научных трудах [10-21].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, приложений и списка использованной литературы. Работа содержит 175 страниц машинописного текста, 7 рисунков, 9 таблиц и приложения. Список использованной литературы включает 136 наименований.

Заключение

По итогам проведенных аналитических и численных исследований можно сделать следующие выводы:

1. В диссертационной работе предложены и исследованы новые физическая и математическая модели механических систем, включающих в себя упругую цилиндрическую замкнутую оболочку, содержащую абсолютно твердые тела и вязкую несжимаемую жидкость, применительно к поплавковым приборам на вибрирующем основании при несимметричном истечении жидкости в торцы. Математическая модель представляет собой связанную задачу гидроупругости, включающую в себя задачи гидродинамики в цилиндрической щели и в двух торцевых щелях, состоящие из уравнений Навье-Стокса и неразрывности и соответствующих граничных условий, условия согласования давления и расхода жидкости при -переходе из цилиндрической щели в торцевые, задачу динамики корпуса ПМА как замкнутой упругой цилиндрической оболочки, состоящую из уравнений в частных производных и задачу для абсолютно твердого поплавка, основанную на обыкновенных дифференциальных уравнениях второго закона Ньютона для описания поступательных перемещений абсолютно твердых элементов рассматриваемых систем.

2. Для исследования математической модели был осуществлен переход к безразмерным переменным, что позволило выделить параметры подобия и малые параметры задачи. Для исследования взаимодействия упругой цилиндрической оболочки с абсолютно жесткими телами через слой вязкой несжимаемой жидкости при решении связанной задача упругогидродинамики применен метод возмущений, и предполагается поступательная и угловая вибрация основания гармонической.

В качестве малых параметров задачи рассматриваются относительная ширина цилиндрического слоя жидкости, окружаемой упругой цилиндрической оболочкой (как принято в теории смазки) — \|/ и относительный эксцентриситет X.

При решении задачи упругогидродинамики используется одночленное разложение по параметру 1|/ и двучленное разложение по параметру X.

Одночленное разложение по относительному эксцентриситету А, приводит к линейной связанной системе уравнений, которая может быть решена в предположении установившихся гармонических колебаний. При этом в силу присутствия в системе демпфирования за счет вязкой несжимаемой жидкости, приводящего к быстрому затуханию свободных колебаний и возможности исключить начальные условия с самого начала, исследуется режим вынужденных установившихся колебаний. Найденное решение определяет динамику взаимодействия слоя жидкости с абсолютно жесткими-телами и с упругой цилиндрической оболочкой, составляющих механическую систему, применительно к поплавковым приборам и может быть использована, например, для ДВС с водяным охлаждением.

Второй член разложения по малому параметру X определяет возмущающие моменты рассматриваемых систем, характеризующие вибрационную погрешность поплавковых приборов, и, таким образом, определяет точность приборов. При этом второй член разложения значительно меньше первого при всех реальных значениях, входящих в решение независимых переменных и безразмерных постоянных.

Найдены гидромеханические реакции для поплавкового маятникового акселерометра при несимметричном истечении жидкости в торцы, действующие на поплавок, и возмущающие моменты, действующие со стороны слоя жидкости как для абсолютно твердого корпуса прибора, так и с учетом влияния упругости цилиндрической оболочки - корпуса, ограничивающей слой жидкости.

Для поплавкового гироскопа найденные гидромеханические реакции, действующие на поплавок, и возмущающие моменты в случае несимметричного истечения жидкости в торцы, которые как и в случае симметричного [58 - 60] разделяются на два вида. Возмущающий момент Ьпг за счет сил инерции и, как следствие, смещения центра масс поплавка из центра масс камеры и возмущающий момент Ь^, действующий со стороны слоя жидкости на поплавок при абсолютно твердом корпусе прибора.

На основе полученных реакций и возмущающих моментов найдены законы поступательного движения поплавка и определены постоянные составляющие возмущающих моментов для поплавкового маятникового акселерометра и поплавкового гироскопа в случае внешней вибрации. Исследование показало существенное влияние несимметричности истечения жидкости в торцы на величины поступательных перемещений поплавка и постоянную составляющую возмущающего момента, и, следовательно, на погрешность прибора. При этом выявлено влияние угловых вибраций на закон движения поплавка и постоянную составляющую гидродинамического момента при несимметричном истечении жидкости. Показано, что, несмотря на малые поступательные перемещения поплавка, вызванные угловыми вибрациями основания, к которому крепится прибор, они, тем не менее, оказывают существенное влияние на постоянную составляющую момента как в случае жесткого, так и в случае упругого корпуса прибора. Более того, отклонения нуля, соответствующие значениям постоянной составляющей гидродинамического момента, обусловленного угловыми вибрациями основания, в случае упругого корпуса акселерометра значительно превышают допустимые пределы (10"6£). Это означает, что при построении и исследовании физико-механической и соответствующей ей математической модели поплавковых приборов с несимметричным истечением жидкости из цилиндрической щели в торцевые нельзя пренебрегать влиянием угловых вибраций основания, к которому крепится прибор, т.к. угловые вибрации могут оказывать значительно большее влияние чем поступательные на погрешность прибора, а, следовательно, и на точность всей системы навигации.

Возмущающий инерционный момент Ьпг в поплавковом гироскопе в рамках рассматриваемых приближений оказывается практически независимым ни от динамики жидкости, ни от упругих свойств оболочки для рассматриваемых условий внешней вибрации.

Таким образом, полученная модель позволяет для различных параметров толщины и материала упругой цилиндрической оболочки, вязкости и ширины слоя вязкой несжимаемой жидкости проводить исследование динамики и точности поплавковых приборов.

Предложенная математическая модель позволяет оценить вклад различных факторов на работу поплавковых приборов на этапе проектирования, и, исходя из известного частотного диапазона. вибраций,. выбрать наиболее оптимальную конструкцию прибора, обеспечивающую необходимую точность.

176

1. Абовский, Н. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек / Н. П. Абовский, Н. П. Андреев, А. П. Деруга. - М. : Наука, 1978.-287 с.

2. Абовский, Н. П. Численные методы в теории упругости и теории оболочек / Н. П. Абовский, Н. П. Андреев, А. П. Деруга. Красноярск : Изд-во Красноярского ун-та, 1986.-383 с.

3. Абрамсон Х.Н. Некоторые экспериментальные исследования динамической устойчивости тонких оболочек, содержащих жидкость / Х.Н. Абрамсон, Д.Д. Кача Пробл. мех. тв. деформируемого тела. - JL: Судостроение, 1970.

4. Амбарцумян, С. А. Общая теория анизотропных оболочек / С. А. Амбарцумян. М.: Наука, 1974.-446 с.-.

5. Амбарцумян, С. А. Теория анизотропных пластин. Прочность, устойчивость и колебания / С. А. Амбарцумян. М.: Наука, -1987. - 360 с.

6. Андрейченко, К. П. Динамика поплавковых гироскопов и акселерометров / К. П. Андрейченко. М.: Машиностроение, 1987. - 126 с.

7. Андрейченко, К. П. Исследование сдавливания тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости в зазоре подшипника / К. П. Андрейченко //. Машиноведение. 1978. - № 4. - С. 117-122.

8. Андрейченко, К. П. К теории демпферов с тонкими слоями жидкости / К. П. Андрейченко // Машиноведение. 1978. - № 1. - С. 69-75.

9. Андрейченко, К.П. К теории жидкостного демпфирования в поплавковых приборах / К. П. Андрейченко // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. - № 5. -С.13-23.

10. Анциферов, С. А. Гидродинамические силы, действующие на поплавок поплавкового маятникового акселерометра при несимметричном истечении жидкости / С. А. Анциферов, JI. И. Могилевич // Авиакосмическое приборостроение. 2003. - № 11. - С. 19-26.

11. Анциферов С.А. Возмущающий момент в поплавковом маятниковом акселерометре при несимметричном истечении жидкости в торцы / С. А. Анциферов, Л.И. Могилевич // Авиакосмическое приборостроение. -2004,-№9.-С. 6-12.

12. Анциферов С. А. Гидродинамические силы, действующие на поплавок поплавкового гироскопа при несимметричном истечении жидкости в торцы / С. А. Анциферов, Л. И. Могилевич // Авиакосмическое приборостроение:-2004.-№ 12.-С. 2-8. : .-•= .

13. Анциферов С.А. Влияние несимметричности истечения жидкости в торцы на гидродинамические силы, действующие на поплавок поплавкового маятникового акселерометра / С.А. Анциферов // Проблемы железнодорожного транспорта в условиях реформирования отрасли.

14. Тезисы докладов студенческой научно-практической конференции, 2004.

15. Анциферов С.А. Гидродинамический возмущающий момент в поплавковом гироскопе при несимметричном истечении жидкости в торцы / С.А. Анциферов // Авиакосмическое приборостроение. 2006. -№ 3. - С. 5-9.

16. Анциферов С.А. Гидродинамический возмущающий момент в поплавковом гироскопе при несимметричном истечении жидкости в торцы. / С.А. Анциферов, Д.В. Кондратов, Л.И. Могилевич // Механика твердого тела. 2006. - №3. - С. 16 - 29.

17. Балабух, Л. И. Осесимметричные колебания сферической оболочки, частично заполненной жидкостью / Л. И. Балабух, А. Г. Молчанов // Инж. журн.: МТТ. 1967. - № 5. - С. 24-32.

18. Балакирев, Ю. Г. Нелинейные автоколебания регулируемых систем, содержащих оболочки с жидкостью / Ю. Г. Балакирев, В. Г. Григорьев,

19. В. П. Шмаков // Теория и расчет элементов тонкостенных конструкций. -М. : Изд-во МГУ, 1986. С. 6-19.

20. Бидерман, В. JI. Механика тонкостенных конструкций / В. JI. Бидерман. -М. : Машиностроение, 1977. 488 с.

21. Блехман, И. И. Механика и прикладная математика / И. И. Блехман, А. Д. Мышкис, Я. Г. Пановко. -М. : Наука, 1983. 328 с.

22. Ван-Дайк, М. Методы возмущений в механике жидкости / М. Ван-Дайк / Пер. с англ. М. : Мир, 1967. - 310 с.

23. Взаимодействие пластин и оболочек с жидкостью и газом / под ред.

24. A. Г. Горшкова. -М. : Изд-во МГУ, 1984. 168 с.

25. Власов, В. 3. Общая теория оболочек и ее приложение в технике /

26. B. 3. Власов. M.-JI. : Гостехтеориздат, 1949. - 784 с.

27. Вольмир А. С. Оболочки в.потоке.жидкости и газа. Задачи аэроупругости/ А. С. Вольмир. М. : Наука, 1976. - 416 с.

28. Вольмир, А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости / А. С. Вольмир. М. : Наука, 1979. - 320 с.

29. Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем / А. С. Вольмир. -М. : Наука, 1967.-984 с.

30. Вольмир А. С. Колебания оболочки с протекающей жидкостью / А. С. Вольмир, М. С. Грач // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. - № 6. - С. 162-166.

31. Гольденвейзер A. Л. Свободные колебания тонких упругих оболочек / A. JI. Гольденвейзер, В. В. Лидский, П. Е. Товстик. М. : Наука, 1978. -383 с.

32. Городецкий, О. М. Исследование возмущающих моментов сил вязкого трения в подвесе поплавкового гироскопа / О. М. Городецкий // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. -№ 1. - С. 10-16.

33. Городецкий О. М. О применимости квазистационарного метода для изучения динамики гироскопа с жидкостным подвесом / О. М. Городецкий, Д. М. Климов // Изв. АН СССР. МТТ. 1982. - № 4. - С. 10

34. Горшков, А. Г. Динамическое взаимодействие оболочек и пластин с окружающей средой / А. Г. Горшков // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. - № 2. -С. 165-178.

35. Горшков, А. Г. Нестационарное взаимодействие пластин и оболочек со сплошными средами / А. Г. Горшков // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. - № 4. -С. 177-189.

36. Горшков А. Г. Теория упругости и пластичности / А. Г. Горшков, Д. В. Тарлаковский, Э. И. Старовойтов. -М.: Физматлит, 2002 416 с.

37. Горшков, А. Г. Динамические контактные задачи с подвижными границами / А. Г. Горшков, Д. В. Тарлаковский. М.: Наука, 1995. - 351 с.

38. Горшков, А. Г. Нестационарная аэрогидроупругость тел сферической ."формы / А. Г. Горшков, Д;Б;-Тарлаковский. М.: Наука, 1990;.-264 с. .

39. Горшков, А. Г. Аэрогидроупругость конструкций / А. Г. Горшков, В.И. Морозов, А. Т. Пономарев, Ф. Н. Шклярчук. М.: Физматлит, 2000. -591с.

40. Григолюк, Э. И. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью (удар и погружение) / Э. И. Григолюк, А. Г. Горшков. JI.: Судостроение, 1976.- 199 с.

41. Григолюк, Э. И. Динамика твердых тел и тонких оболочек вращения, взаимодействующих с жидкостью / Э. И. Григолюк, А. Г. Горшков. М. : Изд-во МГУ, 1975.-179 с.

42. Григолюк, Э. И. Нестационарная гидроупругость оболочек / Э. И. Григолюк, А. Г. Горшков. JI.: Судостроение, 1974. - 208 с.

43. Григолюк, Э. И., Уравнения возмущенного движения тела с тонкостенной упругой оболочкой, частично заполненной жидкостью / Э. И. Григолюк, Ф. Н. Шклярчук // ПММ. 1970. - Т. 34. - Вып. 3. - С. 401-411.

44. Григолюк, Э. И. Об одном методе расчета колебаний жидкости, частично заполняющей упругую оболочку вращения / Э. И. Григолюк, А. Г.

45. Горшков, Ф. Н. Шклярчук // Изв. АН СССР: МЖГ. 1968. - № 3. -С. 7480.

46. Губанова, И. И. Устойчивость и колебания упругих систем / И. И. Губанова, Я. Г. Пановко. М.: Наука, 1964. - 336 с.

47. Ильгамов, М. А. Введение в нелинейную гидроупругость / М. А. Ильгамов. М.: Наука, 1991. - 200 с.

48. Ильгамов, М. А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ / М. А. Ильгамов. М.: Наука, 1969. -184 с.

49. Ильгамов, М. А. Колебания цилиндрической оболочки конечной длины в акустической среде / М. А. Ильгамов, А. 3. Камалов // Исследование по теории пластин и оболочек: сб. научн. ст. Казань, 1966. - С. 367-376.

50. Ильгамов, М. А. Свободные и параметрические колебания цилиндрической оболочкш-бесконечной .длины в -акустической: среде /. М. А. Ильгамов, А. 3. Камалов // Изв. вузов. Авиационная техника. 1966. -№ 4.-С. 41-50.

51. Ишлинский, А. Ю. Ориентация, гироскопы, инерциальная навигация / А. Ю. Ишлинский. М.: Наука, 1976. - 672 с.

52. Ишлинский, А. Ю. Лекции по теории гироскопов / А. Ю. Ишлинский, В. И. Борзов, Н. П. Степаненко. М.: Изд-во МГУ, 1983. - 248 с.

53. Камалов, А. 3. Колебания цилиндрической оболочки, содержащей жидкость / А.З. Камалов // Материалы юбилейной конф. КФТИ АН СССР. -Казань, 1966.-С. 12-15.

54. Катаев, В. П. Нелинейные колебания трубопроводов с протекающей жидкостью / В.П. Катаев // Гидроаэромеханика и теория упругости. 1972. -Вып. 14.-С. 72-77.

55. Кондратов, Д. В. Влияние торцевого истечения жидкости на поведение поплавкового маятникового акселерометра / Д. В. Кондратов // Труды постоянно действующего научно-технического семинара СФ ВАУ-Саратов, 2001.-С. 50-52.

56. Кондратов, Д. В. Гидроупругость поплавковых приборов навигации при свободном истечении жидкости / Д. В. Кондратов // Механика деформируемых сред : межвуз. сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 2002. - Вып. 14. - С. 79-86.

57. Кондратов, Д. В. Возмущающие моменты в поплавковых гироскопах и акселерометрах с упругим корпусом / Д. В. Кондратов, Л. И. Могилевич // Авиакосмическое приборостроение. 2003. - № 11. - С. 13-19.

58. Кондратов, Д. В. Возмущающий гидродинамический момент в поплавковом маятниковом- акселерометре с упругим корпусом / Д: В.

59. Кондратов, Л. И. Могил евич, В. С. Попов // Математика. Механика : сб. научн. тр. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 2002. - Вып. 4. - С. 191-193.

60. Коновалов, С. Ф. Влияние упругих деформаций сильфона и кронштейна выносного элемента на виброустойчивость поплавкового прибора / С. Ф. Коновалов, А. А. Трунов // Прикладная гидродинамика поплавковых приборов : тр. МВТУ. 1982. - № 372. - С. 25-59.

61. Коновалов, С. Ф. Теория виброустойчивости акселерометров / С. Ф. Коновалов. М.: Машиностроение, 1991. - 272 с.

62. Коновалов, С. Ф. Вибрационные погрешности акселерометров/ С. Ф. Коновалов, А. А. Трунов // Проектирование элементов гироскопических систем : тр. МВТУ. 1981. - № 537. - С. 25-39.

63. Коул, Дж. Методы возмущений в прикладной математике/ Дж. Коул; пер.с англ. М.: Мир, 1972. - 276 с.

64. Кочин, Н. Е. Теоретическая гидромеханика / Н. Е. Кочин, И. А. Кибель, Н. В. Розе. M.-JI.: ОГИЗ, 1948. - Т. 1. - 536 с.

65. Кочин, Н. Е. Теоретическая гидромеханика / Н. Е. Кочин, И. А. Кибель, Н. В. Розе. М.-Л.: ОГИЗ, 1948. - Т. 2. - 612 с.

66. Ландау, Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. М.: Наука, 1986.-376 с.

67. Ландау, Л. Д. Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лившиц. М. : Наука, 1962.-202 с.

68. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский. М. : Наука, 1978.-736 с.

69. Лунц, Я. Л. Ошибки гироскопических приборов / Я. Л. Лунц. Л. : "^Судостроение, 1968:^239 с; :—:: •:■;• :•• : : —- - ; г

70. Магнус, К. Гироскоп. Теория и применение / К. Магнус ; пер. с нем. М.: Мир, 1974.-526 с.

71. Механика систем оболочка-жидкость-нагретый газ / под ред. H.A. Кильчевского. Киев : Наук, думка, 1970. - 328 с.

72. Микишев, Г. Н. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость / Г. Н. Микишев, Б. И. Рабинович. М. : Машиностроение, 1971.- 564с.

73. Мнев, Е. Н. Гидроупругость оболочек / Е. Н. Мнев, А. К. Перцев. Л. : Судостроение, 1970. - 365 с.

74. Могилевич, Л. И. Возмущающий момент в поплавковом гироскопе с упругим корпусом поплавка при внутреннем источнике вибрации / Л. И. Могилевич, К. П. Андрейченко// Изв. АН СССР. МТТ. 1986. - № 6. -С. 3-10.

75. Могилевич, Л.И. Исследование вибрационного возмущающего момента в поплавковом гироблоке с учетом упругой податливости корпуса прибора / Л.И. Могилевич, К.П. Андрейченко, В.В. Гуров// Сарат. политехи, ин-т

76. Саратов.- 1986,- 15 е.-Деп. В ВИНИТИ 16.12.1986, №8582-В86.

77. Могилевич, Л.И. Динамика гироскопов с цилиндрическим поплавковым подвесом / Л. И. Могилевич, К. П. Андрейченко Саратов: Изд-во. Сарат. гос. ун-та, 1987,-160 с.

78. Могилевич, Л.И. Возмущающие моменты в поплавковом гироскопе с упругим корпусом поплавка при торцевом истечении жидкости / Л. И. Могилевич, К. П. Андрейченко// Машиноведение. 1987. - № 1. - С. 3341.

79. Могилевич, Л.И. О динамике взаимодействия сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости с упругими стенками / Л. И. Могилевич , К. П. Андрейченко// Изв. АН СССР. МТТ. 1982. - № 2. - С. 162-172.

80. Могилевич, Л.И. Возмущающие моменты в поплавковом гироскопе с упругим корпусом: поплавка на вибрирующем основании .: / Л. : И.--Могилевич, К. П. Андрейченко // Изв. АН СССР. ММТ. - 1987. - № 4. -С. 44-51.

81. Могилевич, Л. И. Математические модели и частотный метод решения связанных задач гидроупругости поплавковых приборов / Л. И. Могилевич // Нелинейные задачи расчета тонкостенных конструкций. Саратов. Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1989. - С. 96-98.

82. Могилевич, Л.И. О динамике поплавкового жидкостного подвесаприменительно к гироскопическим приборам / Л. И. Могилевич // Аэродинамика. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1987. - С. 89-96.

83. Могилевич, JI. И. Динамика взаимодействия упругого тела со слоем жидкости применительно к двигателестроению / JI. И. Могилевич, В. С. Попов // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 2001. -Вып.З. - С. 166-169.

84. Могилевич, JI. И. Прикладная гидроупругость в машино- и приборостроении / JI. И. Могилевич, В. С. Попов. Саратов : Изд-во Сарат. гос. агр. ун-та им. Н.И. Вавилова, 2003. - 156 с.

85. Могилевич, Л.И. Динамика взаимодействия упругого цилиндра со слоем вязкой несжимаемой жидкости / Л. И. Могилевич, В. С. Попов // Изв. РАН. MIT. 2004. - № 5. - С. 179-190.

86. Могилевич Л.И. Вибрационный возмущающий момент в поплавковом гироскопе с упругим корпусом поплавка и гироприбора// Деп. В ВИНИТИ 17.05.1988, №3765-В88, реферат в РЖ «Механика».-1988 г.-№8.-8Г585 ДЕП.

87. Могилевич Л.И., Кузьмин В.Н., Губатенко В.П., Гончарова Г.А. Вибрационный возмущающий момент в поплавковом маятниковом акселерометре с упругим корпусом прибора// Деп. В ВИНИТИ 14.02.1989, №979-В89, реферат в РЖ «Механика».-1989 г.-№56.-5Г564 ДЕП.

88. Моисеев, Н. Н. Динамика тела, с полостями содержащими жидкость / Н. Н. Моисеев, В. В. Румянцев. М.: Наука, 1965. - 439 с.

89. Морозов, В. И. Математическое моделирование сложных аэроупругих систем / В. И. Морозов, А. Т. Пономарев, О. В. Рысев. М. : Физматлит, 1995.-736 с.

90. Новожилов, В. В. Теория тонких оболочек / В. В. Новожилов. -JI. : Судпромгиз, 1962.-431 с.

91. Пельпор, Д. С. Гироскопические системы ориентации и стабилизации / Д.С. Пельпор. -М.: Машиностроение, 1982. 165 с.

92. Пельпор, Д. С. Теория гироскопов и гиростабилизаторов / Д.С. Пельпор // Гироскопические системы. М.: Высшая школа, 1986. - 4.1. - 423 с.

93. Пельпор, Д.С. Гироскопические приборы систем ориентации и стабилизации / Д.С. Пельпор, Ю.А. Осокин, Е.Р. Рахтеенко. М. : Машиностроение, 1977. - 208 с.

94. Попов, B.C. Моделирование колебаний упругого цилиндра, окруженного слоем вязкой несжимаемой жидкости / В. С. Попов //

95. Вестник Саратовского госагроуниверситета им. Н.И. Вавилова. Саратов : Изд-во Сарат. гос. агр. ун-та им. Н.И. Вавилова, 2003. -№ 2. - С. 68-71.

96. Рапопорт, И. М. Колебания упругой оболочки, частично заполненной жидкостью / И.М. Рапопорт. М.: Машиностроение, 1966. -394 с.

97. Ригли, У. Теория, проектирование и испытания гироскопов / У. Ригли, У. Холлистер, У. Денхард. М.: Мир, 1972. - 416 с.

98. Самуль, В. И. Основы теории упругости и пластичности / В.И. Самуль. -М.: Высш. школа, 1982. 264 с.

99. Слезкин, Н. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости / Н. А. Слезкин. -М.: Гостехиздат, 1955. 520 с.

100. Тарлаковский, Д. В. Теория упругости и пластичности / Д.В. Тарлаковский, Э.И. Старовойтов-М.: Физматлит-2002 г.-416 с.

101. Филин, А. П. Элементы теории оболочек / А. П. Филин. JI. : Стройиздат, 1987.-384 с.

102. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. М. : Наука, 1974.-711 с.

103. Шклярчук, Ф. Н. Осесимметричные колебания жидкости внутри упругой цилиндрической оболочки с упругих днищем / Ф.Н. Шклярчук // Изв. Вузов: Авиационная техника. 1965. - № 4. - С. 75-83.

104. Шклярчук, Ф. Н. Динамические характеристики упругих тонкостенных баков с жидкостью при продольных колебаниях / Ф.Н. Шклярчук // Изв. АН СССР: МТТ.-1971.-№ 5. С. 131-141.

105. Шклярчук, Ф. Н. Приближенный метод расчета колебаний жидкости в полостях вращения / Ф.Н. Шклярчук // Колебания упругих конструкций с жидкостью. М.: ЦНТИ «Волна», 1976. - С. 397-404.

106. Шклярчук, Ф.Н. Колебания упругой оболочки, содержащей тяжелую сжимаемую жидкость / Ф. Н. Шклярчук // Колебания конструкций с жидкостью. М.: ЦНТИ «Волна», 1976. - С. 386-397.

107. Amabili, M. Non-Linear Dynamics and Stability of Circular Cylindrical Shells Conveying Flowing Fluid / M. Amabili, F. Pellicano, M.P. Pandoussis // Computers & Structures. 2002. - Vol. 80. - P. 899-906.

108. Amabili, M. Non-Linear Dynamics and Stability of Circular Cylindrical Shells Containing Flowing Fluid. Part I: Stability / M. Amabili, F. Pellicano, M.P. Pandoussis // Journal of Sound and Vibration. 1999. - Vol. 225. - P. 655-699.

109. Arkadii A., Simdyankin Combustion Engine Parts Sandwiching at Production and Repairs / A. A. Simdyankin // Journal of Huazhong Agricultural University. Vol. 19. - No. 3. - June 2000. - P. 284-291.

110. Bar-Joseph, P. The effect of Inertia on Flow Between Misaligned Rotation Disks / P. Bar-Joseph, A. Solan, J. Blech // Journal of Fluids Engineering. -1981.-Vol. 103.-P. 82-87.

111. Chen, S.S. Added mass and damping of vibrating rod in confined viscous fluids / S.S. Chen, M.W. Wamberganss, J.A. Jendrzeczyk // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1976. - Vol. 43. - No.2. - P. 325-329.

112. Curling, L.R. Analyses of Random Flow-Induced Vibration of Cylindrical Structures Subjected to Turbulent Axial Flow / L.R. Curling, M.P. Pandoussis // Journal of Sound and Vibration. 2003. - Vol. 264. - P. 795-833.

113. Draper, C.S. Gyroscopic angular deviation sensors based on floatation and viscous shear integration / C.S. Draper, W. Wrigley // Развитие механикигироскопических и инерциальных систем : сб. научн. ст. М. : Наука, 1973.-С. 162-182.

114. Kumar, R. Flexural vibration of fluid-filled cylindrical shells / R. Kumar // Acoustica- 1971.- Vol. 24. -No. 3. -P .241-247.

115. Liu, X.Q. Vibration of a Free-Free Beam under Tensile Axial Loads / X.Q. Liu, R.C. Ertekin, H.R. Riggs // J. Sound and Vibration 1996.-Vol. 190.- No. 2.-P. 273-282.

116. Lucey, A.D. The nonlinear hydroelastic behaviour of flexible walls / A.D.. Lucey, G.L-Gafolla, P.W. : Carpenter,- M.- Yang // Journal::of: Fluids .and:-Structures.- 1997.-Vol. 11.-P. 717-744.

117. Lucey, A.D. A study of the hydroelastic stability of a compliant panel using numerical methods / A.D. Lucey, P.W. Carpenter // International Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow. 1992. - Vol. 2. - P. 537-553.

118. Lucey, A.D. The hydroelastic stability of three-dimensional disturbances of a finite compliant panel / A.D. Lucey, P.W. Carpenter // Journal of Sound and Vibration.- 1993.-Vol. 163(3).-P. 527-552.

119. Misra, A.K. Dynamics and Stability of Pinned-Clamped and Clamped-Pinned Cylindrical Shells Conveying Fluid / A.K. Misra, S.S.T. Wong, M.P. Pandoussis // Journal of Fluids and Structures. 2001- Vol. 15. - P. 11531166.

120. Nguyen, V.B. A CFD-Based Model for the Study of the Stability of

121. Cantilevered Coaxial Cylindrical Shells Conveying Viscous Fluid / V.B. Nguyen, M.P. Pandoussis, A.K. Misra // Journal of Sound and Vibration. -1994.-Vol. 176. P. 105-125.

122. Shiang, A. H. Hydroelastic instabilities in viscoelastic flow past a cylinder confined in a channel / A. H. Shiang, A. Eztekin, J.-C. Lin, D. Rockwell // Experiments in Fluids.-2000,-Vol. 28-P. 128-142.

123. Shock and vibration handbook. New York, 1961. - Vol. 1-2.

124. Stein, R.A. Vibration of pipes containing flowing fluids / R.A. Stein, M.W. Tobriner // Journ. Appl. Mech. 1970. - No.4. - P. 906-916.