Гидродинамические эффекты при нестационарном взаимодействии упругих структур со свободной поверхностью жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Хабахпашева Татьяна Ивановна

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ УПРУГИХ СТРУКТУР СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ЖИДКОСТИ

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

- 3 ДЕК 2009

Новосибирск - 2009

003486041

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Горелов Д.Н.

доктор физико-математических наук, профессор Макаренко Н.И.

доктор физико-математических наук, профессор Чубаров Л.Б.

Ведущая организация:

Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится «<2 3- » 2009 г. в " часов

на заседании диссертационного совета Д 003.054.01 в Институте гидродинамики СО РАН по адресу:

630090, Новосибирск-90, проспект им. академика Лаврентьева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики СО РАН

Автореферат разослан « 16 _» НОьР^/э^-? 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н.

С.А. Ждан

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена развитию теории нестационарного взаимодействия упругих тел и жидкости. Она содержит результаты, полученные автором в 1996-2009 годах и касающиеся соударения упругих тел с несжимаемой или сжимаемой жидкостью, а также гидроупругого поведения плавающих пластин под действием поверхностных волн.

Актуальность темы

Теория удара тел о воду начала изучаться в 30-х годах прошлого века в связи с приложениями к задачам посадки гидросамолетов. Основные результаты в этом направлении получены Л.И. Седовым, М.В. Келдышем, Г. Вагнером, Т. Карманом и другими. Однако эта теория развивалась без учета упругости тел и их деформируемости при соударении с жидкостью.

За последние годы изучение эффектов, связанных с упругим поведением тел при их взаимодействии с жидкостью, приобрело большую актуальность, поскольку оно тесно связано с задачами на прочность в судостроении и авиастроении (аварийная посадка самолета на воду), корабельной гидродинамике, а также с задачами, возникающими при построении сложных гидротехнических сооружений (например, больших плавающих платформ - посадочных полос и нефтяных платформ). Интерес обусловлен также тем, что размеры судов и самолетов растут, а их стенки становятся все более тонкими, следовательно, сами конструкции - более гибкими. Поэтому именно упругие реакции становятся определяющими при эксплуатации, определении износа и времени жизни конструкций.

Отметим, что гидроупругое поведение тела при соударении с жидкостью обусловлено многими факторами - местом и начальной скоростью удара, углом входа, формой и упругими характеристиками тела, сжимаемостью жидкости, толщиной жидкого слоя и т.д. Несмотря на то, что во многих случаях вязкостью, сжимаемостью и весомостью жидкости можно принебречь, исследование процессов соударения представляет значительные математические трудности. Они обусловлены неустановившимся характером течения жидкости, нелинейностью условий на ее свободной границе, а также струйными и кавитациониыми явлениями. Важно отметить, что само положение свободной границы жидкости и смоченной области тела заранее неизвестно и должно определяться вместе с течением жидкости и движением тела, что, даже при всех возможных упрощениях, делает задачу нелинейной.

В этой связи актуальным является моделирование процессов соударения тел и жидкости, разработка эффективных методов решения задач гидроупругости, и, на этой основе, непосредственное изучение упругих реакций тел при их взаимодействии с жидкостью.

Цель работы

Целью работы является построение моделей, дающих адекватное описание совместного нестационарного движения упругого тела и жидкости при их взаимодействии, на основе которых можно предсказать поведение конструкции под действием жидкости, а также объяснить известные ранее особенности этого взаимодействия, природа которых ранее была неясна. На защиту выносятся

• Модели и методы решения задач нестационарного взаимодействия упругих тел и жидкости, а именно, задачи об упругой плавающей пластине, о соударении пластины или оболочки с жидкостью.

• Результаты анализа полученных решений, описание и объяснение особенностей гидроупругого взаимодействия тел и жидкости, таких как усиление годродинамических нагрузок при ударе упругой пластиной (явление блокировки),

три различных режима погружения упругой оболочки в тонкий слой жидкости, зависящие от условий удара,

сложный характер колебаний упругой пластины при ударе по ней струей жидкости, исследование влияния на него сжимаемости жидкости, структурного демпфирования, наличия перпендикулярных ребер и аэрированных прослоек.

• Методы гашения упругих колебаний плавающей пластины.

• Энергетические оценки значений максимальных напряжений в пластине и моментов времени, при которых они достигаются, полученые для задачи об ударе упругой пластиной по вершине поверхностной волны.

Все результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми.

Методика исследования

При выполнении работы были развиты методы теории гидроупругости, а именно, все задачи о взаимодействии тела и жидкости рассматривались в связной постановке.

В каждом случае отдельно ставились: упругая часть задачи, связанная с описанием деформаций тела и напряжений в нем при заданной внешней нагрузке, гидродинамическая часть задачи, связанная с расчетом течения жидкости и определением гидродинамического давления при заданных перемещениях границ слоя, а также геометрическая часть задачи, связанная с удовлетворением односторонних ограничений на перемещения жидких частиц и определением положения и размера области контакта.

Для каждой исследуемой задачи проведено адекватное сопряжение указанных трех частей с одновременным построением их решений. Поведение упругого тела описывалось в рамках линейной теории. Решение упругой части полной задачи строилось методом нормальных мод, при этом фор-

мы собственных колебаний упругой конструкции и частоты этих колебаний для простых упругих тел определялись аналитически. Заранее неизвестные области контакта тела с жидкостью определялись одновременно с решением упругой и гидродинамической задач из условия непротекания жидких частиц через поверхность тела.

Преимуществом развитых в работе методов решения задач гидроупругости является то, что хотя гидродинамическое давление на пятне контакта входит в упругую и в гидродинамическую части задачи, соединяя их, для решения совместной задачи и описания упругого поведения тела не требуется явное определение давления. Связь упругой и гидродинамической частей задачи осуществляется через матрицу присоединенных масс. Оценка точности

Оценка точности предложенных моделей проводилась на основе сопоставления результатов с известными экспериментальными и численными данными других авторов, а также на основе вычислительных экспериментов. Для задачи о плавающей упругой пластине обратным методом было построено точное решение, на основе которого продемонстрирована точность предложенного алгоритма прямого решения этой задачи. Теоретическая и практическая ценность работы Теоретическая ценность работы состоит в создании оригинальных моделей и методов, позволяющих исследовать особенности соударения упругих тел со свободной поверхностью идеальной несжимаемой жидкости, а также поведение упругой пластины на волнении. Построенная теория дает возможность интерпретировать данные экспериментов и совершенствовать моделирование и численные расчеты в задачах гидроупругости.

Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что построенные модели могут быть использованы при проектировании судов и других морских и прибрежных гидротехнических сооружений, которые в ходе эксплуатации подвергаются ударам волн и струй жидкости (прибрежные сооружения, нефтяные платформы, внутренняя поверхность цистерн танкеров и т.д.). Поэтому знание упругих реакций необходимо как для определения поведения этих сооружений в процессе эксплуатации, так и для оценки их прочности и времени жизни.

Апробация работы

Результаты диссертации обсуждались и докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях: 21-м и 22-м Международных конгрессах по теоретической и прикладной механике (ЮТАМ), Польша, 2004; Австралия, 2008; ежегодных международных конференциях "International Workshops on Water Waves and Floating Bodies", 1996, 1997, 2000-2009; Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике, Новосибирск, 1998, 2000; Международной конференции "Recent Computational

Developments in Steady and Unsteady Naval Hydrodynamics''. Франция, 1998; VI Международной конференции по вычислительным методам в задачах волновой гидродинамики, Новосибирск, 1999; Международной конференции «Математические модели и методы их исследования», Красноярск, 1999; Seventh Intern. Conf. on Numerical Ship Hydrodynamics, Франция, 1999; 24-й летней школе "Advanced Problems in Mechanics", Санкт-Петербург, 2001; 8-м Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Пермь, 2001; 5-й и 6-й Международных конференциях «Лаврентьев-ские чтения по математике, механике и физике», Новосибирск, 2000 и 2005; Международной конференции «Вычислительные технологии и математическое моделирование в науке, технике и образовании» Алма-Ата, 2002 и 2004; 5th Euromech Fluid Mechanics Conference, Франция, 2003; Всероссийских конференциях «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение», Новосибирск, 2004 и 2009; 3-й Международной научной школе- конференции «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики», Украина, 2005; 2-й и 3-й Всероссийских конференциях с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения?-, Бийск, 2005 и 2008; 4th and 5th Intern. Conf. on Hydroelasticity in Marine Technology, Китай, 2006; Великобритания, 2009; Intern. Conf. "Violent Flows", Япония, 2007; Всероссийской конференции «Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва», Новосибирск, 2007; Международной конференции «Математические Методы в Геофизике», Новосибирск, 2008; Международной конференции "Day on Diffraction's", Санкт-Петербург, 2009; Международной конференции "Mathematical and Informational Technologies", Сербия, 2009.

Результаты работы неоднократно заслушивались и обсуждались на семинаре отдела Прикладной гидродинамики (руководитель чл.-корр. РАН В.В. Пухначев), ИГиЛ СО РАН; а также докладывались на Санкт-Петербургском городском семинаре по механике (руководитель чл.-корр. РАН Д.А. Индейцев), ИПМаш РАН; семинаре «Информационно-вычислительные технологии» (руководители: акад. Ю.И. Шокин, проф. В.М. Ковеня), ИВТ СО РАН.

Тема диссертационной работы соответствует приоритетным направлениям развития науки, технологий и техники в Российской федерации -«экология и рациональное природопользование» и «энергетика и энергосбережение», приоритетному направлению фундаментальных исследований РАН: 3.5. Общая механика, динамика космических тел, транспортных средств и управляемых аппаратов; биомеханика; механика жидкости, газа и плазмы, неидеальных и многофазных сред; механика горения, детонации и взрыва, а также программе Сибирского отделения РАН: 3.5.3. Гидродинамические явления в природных и технических системах (водотоках и водоемах, иефте- и газопроводах, пористых средах, тепловых энергетиче-

ских установках).

Тема диссертации связана с темами НИОКР Института гидродинамики СО РАН «Экспериментальные исследования сверхкритических режимов генерации поверхностных волн в жидкости и анализ взаимодействия тела с жидкостью» (н.г. 01970003576, 1997-1998 гг.), «Нестационарное взаимодействие упругих конструкций с жидкостью» (н.г. 01990002771, 1999-2003 гг.), «Моделирование взаимодействия жидких, упругих и пористых сред» (н.г. 01200406859, 2004-2006 гг.), «Экспериментальное и теоретическое исследование воздействия потоков на конструкции, оценки надежности и безопасности транспортных систем и гидротехнических сооружений» (н.г. 01.2.007 06890, 2007-2009 гг.)

Работа выполнялась при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 96-15-96882, 97-01-00897, 00-01-00839, 00-0100842, 00-01-00850, 07-08-00145), а также Сибирского отделения РАН (проекты № 43, 1998-1999 гг.; № 1, 2000-2003 гг.; № 2.12, 2006-2008 гг.) Публикации

По теме диссертации автором опубликовано 11 статей в журналах, входящих в перечень ВАК, и в международных журналах. Часть научных публикаций написаны в соавторстве.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения. Главы разбиты на параграфы. Нумерация формул и рисунков ведется по главам. Объем работы — 292 страниц, в том числе 120 рисунков. Список литературы содержит 189 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дана общая характеристика работы, обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор современного состояния изучаемых проблем и приводится краткое изложение результатов диссертации.

Первая глава посвящена исследованию гидроупругого поведения плавающей пластины под действием периодических поверхностных волн (Рис. 1). Деформации пластины описываются уравнением балки Эйлера, жидкость идеальная и несжимаемая, ее глубина конечна.

td 1- У' EJ х'

-к— 0 L V^V н

Рис. 1

Такая постановка связана с изучением поведения больших плавающих пластин па волнении. Особенно активно это явление исследуется на протя-

жении последних пятнадцати лет в связи с планами построения больших плавучих сооружений, таких как плавающие аэродромы или города. Ранее задачи об изгибно-гравитационных колебаниях пластин изучались в связи с анализом поведения ледового покрова.

Постановка периодической по времени задачи о плавающей на поверхности жидкости пластине для комплекснозначных амплитуд прогиба W(х), потенциала Ф(а:,у) и гидродинамического давления Р(х) имеет вид

Фхх+Фу„ = 0 (—оо < х < +00, —Я < у < 0); (1)

= 0 (у = -Я); (2)

Фу = 7Ф (у = о, N>1); (3)

Фу = W(x) - exp (ikx) (у = 0, |ж| < 1); (4)

Р{х) = 7Ф(х, 0) - W(x) + exp (ikx) (|х| < 1); (5)

ßWIV -a W = Р(х) (|х| < 1); W"(±l) = W"'(±l) = 0, (6)

где 7 = Lu2/д, а = ß = EJ/{( 1 — v2)pgb\ L — половина длины

пластины, Я — глубина жидкости, ш — частота падающей волны.

Условия на бесконечности записываются в виде: Ф(.т, 0) ~ Я(+) exp (-ikx) (х +оо), Ф(яг, 0) ~ ехр (гкх) (х -+ -оо), где коэффициенты и в(-) должны определяться одновременно с решением задачи (1)-(6).

С помощью преобразования Фурье гидродинамическая часть задачи сводится к решению интегрального уравнения относительно распределения гидродинамического давления Р(х) вдоль пластины

Р(х) + ¿ У"1 Р(х0)К(х - .т0),too = ¿kx - W(x). (7)

m - J Щян l

Основная идея предложенного автором метода [9] заключается в использовании различных базисных функций для давления и для прогибов балки. Давление Р(х) разлагается в ряд Фурье по тригонометрическим функциям

^ оо оо

Р(х) = -а0 + а^ cos тгпх + ^ а^ sin кпх. (8)

П=1 П=1

Подстановка представления (8) в уравнение (6) приводит к следующему разложению для прогиба пластины:

1 ОО 00

W(x) = -a0w^(x) + ¿2 atfw^(x) + £ а£Ч'>(®). (9)

П=1 П=1

где И1^с\х) и «^'(ж) — функции, удовлетворяющие уравнению (6), в котором Р(х) заменено на соэ^пх) или вш^'я-х), соответственно, и заданным граничным условиям. Интегральное уравнение (7) с учетом разложений (8) и (9) приводит к бесконечной системе алгебраических уравнений, которое в матричной форме имеет вид

(1 + Л-3 + А)а = е, (10)

где I = diag(2,1,1,...) — диагональная матрица, матрица Э соответствует интегральному члену в (7), матрица А происходит из члена 1У(х) и определяется из разложения в ряд Фурье функций (х) и ги^(х). Элементы вектора е есть коэффициенты разложения ехр(гкх) по тригонометрическим функциям. Если в каждой из сумм (8), (9) удерживать по N слагаемых, то в уравнении (10) размерность матриц I, Б и А — (2ЛГ + 1) х (2Л^ + 1), а векторов а и е — (2/^ 4- 1), соответственно, (вектор а =

V 0/ ? 1 |°2 1-чаЛГ'а1 >а2 >■■•> ^ /■

Для всех рассматриваемых в Главе 1 задач, элементы матриц Э, А и вектора е определены аналитически, что упрощает расчеты и увеличивает их точность.

Описаны гидроупругие колебания однородной пластины со свободными кромками, проведено сравнение полученных прогибов и напряжений с численными и экспериментальными результатами других авторов. Задача решалась для значений физических параметров, соответствующих эксперименту С1юпд \Уи еЬ а/. (1995) с однородной узкой пластиной в канале (длина пластины 10 м, ширина 50 см, толщина /г = 38 мм, плотность материала 220 кг/м3, осадка пластины й = 8.36 мм, модуль упругости £ = 103 МПа, коэффициент Пуассона и ~ 0.3, EJ = 471 кг м3/с2, глубина жидкости Я = 1.1 м), при этом {3 = 7.7 х Ю-5.

Рассматривались три значения частоты падающей волны:

a) и = 2.2 с-1 (период волны Т = 2.875 с, а = 0.004, 7 = 2.43);

b) и = 4.4 с-1 (период волны Т = 1.429 с, а = 0.016, 7 = 9.85);

c) и = 8.98 с"1 (период волны Т = 0.7 с, а = 0.069, 7 = 41.06). Проверка сходимости численного алгоритма показала, что результаты, полученные более чем с 50 членами в каждой из сумм разложений (8), (9) неотличимы друг от друга. На графиках, приведенных ниже, N = 90.

Данные эксперимента Скопд \Уи а1. (1995) использовались многими авторами в качестве тестовых. На Рис. 2 и 3 показаны распределения амплитуд прогибов пластины |И^(х)| и изгибных моментов \М(х)\ для и = = 4.4 с-1 и и = 8.98 с-1, соответственно. Результаты вычислений автора показаны толстой сплошной линией, Коробкина (2000) — тонкой пунктирной линией, Стпуровой (1999) — точечной линией, а Ткачевой (2003) — штриховой линией. Результаты эксперимента Скопд 1¥и е£ а1. (1995) отмечены

кружками, а их численные результаты — тонкой линией. Видно, что если для ш = 4.4 с-1 (Рис. 2) результаты автора совпадают с результатами Коробкина, Стуровой и Ткачевой, то при и> = 8.98 с-1 (Рис. 3) можно говорить только о качественном соответствии. Расчеты для и> = 2.2 с-1 показали совпадение результатов всех авторов.

В связи с этим проведено исследование точности методов расчетов и представлен алгоритм построения точных решений плоской линейной задачи о плавающей упругой пластине [13, 23]. Алгоритм основан на применении обратного метода, в рамках которого распределение гидродинамического давления вдоль пластины предполагается заданным, а соответствующая форма границы жидкости и распределение внешней нагрузки вдоль пластины определяется с заданной точностью. В результате тестирования показано, что алгоритм автора [9] позволяет производить расчеты х'идродинамического давления и параметров упругих колебаний пластины с хорошей точностью даже для высоких частот внешней нагрузки.

Отметим, что особенности эксплуатации больших плавающих платформ накладывают строгие ограничения на предельно допустимые амплитуды колебаний конструкции и испытываемые ею нагрузки. Для тестирования возможных подходов уменьшения упругого отклика плавающей платформы на поверхностные волны развито и проведено множество прямых численных расчетов, однако их сложность и громоздкость не позволяют использовать трехмерные модели на стадии проектирования, тогда как исследование двумерной задачи дает возможность предсказывать основные особенности и характеристики процесса. В работах [10-12] в рамках двумерной линейной теории предложены два подхода к снижению прогибов плавающей пластины.

Первый подход основан на концепции «поглотителя колебаний» и состоит в шарнирном присоединении перед основной упругой пластиной дополнительной жесткой пластины меньшего размера (Рис. 4 а). Показано, что за счет этого амплитуду деформаций основной пластины можно умень-

шить на 35%. Упругие характеристики и размер этой добавочной пластины должны подбираться с учетом частоты падающей поверхностной волны. На Рис. 4 показаны распределения безразмерных амплитуд прогибов и изгибающих моментов в случае, когда длина добавочной пластины равнялась 2.5 м, изгибная жесткость добавочной пластины полагалась в 100 раз большей, чем изгибная жесткость основной пластины. Линия 1 описывает колебания однородной пластины, рассмотренной ранее, линии 2 и 3 соответствуют присоединению вспомогательной пластины перед основной (случай а) и за основной (случай Ь).

а

н

А 1

ж

2Ь<1рё

У)

-0.5 0 0.5 1

^гЛ

\

0.5 1

Рис. 4 Рис. 5

Второй метод состоит в упругом соединении переднего края пластины с дном. На Рис. 5 представлены амплитуды прогибов и изгибающих моментов для различных значений безразмерной жесткости пружины А;; = = К\1?¡ЕЗ. Параметры пластины выбраны в соответствии с экспериментами Скопд \¥и et а1 (1995). Частота падающей волны равна 4.4 с-1. Кривые 1 соответствуют свободно плавающей пластине, линии 2 и 3 упругому соединению пластины с дном при к\ = 770 и = 1000, а точки -= 660. Видно, что для данных значений частоты падающей волны жесткость к = 770 (размерная жесткость связующей пружины К[ и 2930 кг/с2) является оптимальной, т.е. приводит к тому, что колебания пластины в основной ее части практически отсутствуют.

Оптимальная жесткость пружины для различных частот падающей волны определялась путем исследования распределений прогибов и изгиб-ных моментов. Обнаружено, что для каждой частоты падающей поверхностной волны можно подобрать значения жесткости Л/ так, что колебания основной части пластины (до 75% ее длины) будут практически отсутствовать. Для других частот эта же пружина будет гасить колебания, но не будет являться оптимальной. Так, если для рассматриваемой пластины

зафиксировать k¡ = 800, то колебания пластины уменьшатся более чем на 70% для широкого спектра значений частоты падающей волны.

Проведено моделирование гидроупругих колебаний пластины с трещиной |16] (область трещина заменялась линейной пружиной соответствующей жесткости (Rizos et al, 1990)) показало, что наличие трещины изменяет распределение как прогибов пластины, так и напряжений в ней, особенно в окрестности трещины, где появляются локальный максимум прогибов и локальный минимум напряжений. Если глубина трещины меньше половины толщины пластины, то прогибы и напряжения незначительно отличаются от соответствующих величин для однородной пластины. Перед трещиной напряжения выше, чем для однородной пластины, а за трещиной — ниже. Все эти изменения сильнее, если положение трещины совпадает с положением максимума напряжений в эквивалентной однородной пластине.

Исследована дифракция поверхностных волн на пластине и указана связь коэффициентов прохождения и отражения с параметрами колебаний пластины [14]. Показано, что колебания пластины максимальны, если максимален коэффициент прохождения волн. Это происходит, когда длина пластины кратна половине длинны прошедшей в пластину изгибно-гравитационной волны (с учетом краевых эффектов). В свою очередь, длина изгибно-гравитационной волны связана с длиной падающей волны известным аналитическим соотношением. Поэтому выбор параметров (размеров пластины, ее конструкции), приводящих к минимальным (или максимальным) колебаниям плавающей пластины, можно оптимизировать еще до проведения точных и дорогостоящих расчетов по более сложным моделям.

На Рис. 6. показана зависимость значений коэффициентов отражения Л (кривая 1) и прохождения Т (кривая 2), максимумов изгибных моментов М (кривая 3) и максимумов прогибов IV (кривая 4) вдоль пластины от ко — числа периодов изгибно-гравитационной волны, соответствующих длине пластины 2Ь с учетом краевых эффектов

к0 = 2Ь/\р - 2к1к + 0.5,

где кьк — безразмерное расстояние от края пластины до точки максимальной деформации при набегании поверхностной волны на полубесконечную

упругую пластину, определенное Ткачевой (2001) (0.45 ^ ktk 0.48), Лр -длина изгибно-гравитационной волны.

Таким образом, если полудлииа прошедшей в пластину волны кратна длине пластины (с учетом краевых эффектов), то колебания пластины имеют ббльшую амплитуду, чем при близких периодах падающей волны, при этом поверхностная волна практически не отражается от пластины.

Исследование зависимости коэффициентов дифракции и максимумов колебаний в задаче о плавающей пластине, передняя кромка которой упруго соединена с дном, позволило в качестве параметра оптимизации жесткости связующей пружины выбрать коэффициент прохождения Т. На Рис. 6 представлена зависимость коэффициента прохождения Т от жесткости связующей пружины при различных значениях частоты падающей волны: и) = 7.39, 6.28, 4.39, 3.14, (кривые 1-4 соответственно).

В каждом случае минимум коэффициента прохождения Т соответствует оптимальному значению жесткости пружины, полученному при исследовании распределений прогибов и изгибных моментов пластины. Значит, для определения оптимальной жесткости пружины, визуальное исследование распределений прогибов пластины можно заменить на определение минимума Т.

Во второй главе рассматривается задача об ударе упругой конструкцией в виде пластины или клина с упругими стенками по свободной поверхности жидкости. Впервые задачи об ударе уплощенным недеформи-руемым телом по поверхности жидкости рассматривались в тридцатых годах прошлого века в связи с проблемой посадки гидросамолета на поверхность жидкости. Пионерскими в этом направлении считаются работы Von Karman (1929) и Wagner (1932), во второй из которых учтено возвышение свободной поверхности жидкости при соударении с пластиной. Задачи удара исследовались в ЦАГИ Л.И. Седовым, М.А. Лаврентьевым и М.В. Келдышем, но иными методами, которые в дальнейшем составили широко известную теорию удара Седова.

В последние годы основное внимание исследователей уделяется влиянию деформируемости конструкции на процесс удара и определению ее упругих реакций (прогибов, напряжения) при ударе по поверхности жидкости. Задачи рассматриваются прежде всего в связи с их применением в морской и корабельной гидродинамике. Так, например, при движении корабля-катамарана на волнении его нижняя, горизонтальная палуба подвергается многочисленным ударам поверхностных волн. Эти удары создают сложности при эксплуатации, ведут к накоплению усталости элементов конструкции и могут привести к их поломке. Удар по пластине с упругим присоединением края пластины к основной конструкции моделирует реакцию обшивки судна на удары поверхностных воли.

Рис. 8 -" Рис. 9

Удар и последующее погружение упругих конструкций в воду исследуются автором в рамках двумерной модели течения идеальной и несжимаемой жидкости с линеаризованными краевыми условиями в области контакта и на свободной поверхности жидкости. В безразмерных переменных (см. Рис. 9) постановка задачи гидроупругости имеет вид

awtt + f3uixxxx —р{х,0,t) (0<ж<2, í>0), (11)

w = wxx = 0 (ж = 0, х = 2, t 0), (12)

w = Wt = 0 (0 < х < 2, t = 0), (13)

Vxx + Vyy = 0 {у < 0), (14)

<¿> = 0 (у = а, x£D), = -1 + Wt(x,t) {y = Q,xe D), (15)

V->0 (x2 + y2 —* oo), (16)

V=-*t (y 0). (17)

Здесь p(x,y,t) — гидродинамическое давление, а = Mb/{qL), (3 = = EJ/(qLR2V2) — безразмерные параметры задачи, Мв масса пластины на единицу длины, D(t) — область контакта. В случае удара в край, который схематически изображен иа Рис. 8, D(t) = [0,с].

Несмотря на произведенную линеаризацию, используемые уравнения Эйлера для описания колебаний пластины и модель потенциального течения для жидкости, на ударной стадии задача является нелинейной. Это связано с тем, что требуется определить не только гидродинамические и упругие характеристики, но и область контакта D(t), которая расширяется со временем и заранее неизвестна. Она определяется из дополнительного условия — условия Вагнера. Для случая удара в край это условие было модифицировано Коробкиным (Korobkin, 1995) и приведено к виду

гг/2

/ sin2 в уь [c(t) sin2 в, í] dB = 0, (18)

Jo

где yt(x,t) — начальное положение пластины относительно свободной поверхности жидкости, которое при параболической аппроксимации волнового профиля описывается уравнением

уь{х, t) и (х - х,)2/2 - t + w(x, t).

Изгибающие напряжения в пластине а(х, г, £) в безразмерных переменных вычисляются по формуле а(х,2,1) = гюхх(з:,<)/2, где переменная г меняется по толщине пластины, г = — 1 соответствует нижней смоченной части пластины, а г — +1 — ее верхней стороне в местах наибольшей толщины. Ниже используется обозначение а(х, С) = ст(х, 1, £).

Отметим, что гидродинамические нагрузки зависят от упругих деформаций (см. краевое условие (15)), которые в свою очередь определяются через гидродинамические нагрузки (уравнение (11)). Таким образом задача является связанной: течение жидкости, деформации тела и размер смоченной части тела требуется определять одновременно.

Задача об ударном взаимодействии пластины и жидкости исследовалась для различных случаев геометрии процесса удара: для удара в край [2,4) и в произвольную точку пластины [7,19], без захвата и с захватом каверны (7,19), для удара клина с упругими стенками по горизонтальной свободной поверхности жидкости [15). Кроме того, исследованы особенности процесса удара при пружинном присоединении клина или пластины к жесткой конструкции, равномерно погружающейся в жидкость [20), а также удар пластины с трещиной по вершине поверхностной волны [16]. Моделирование процесса удара проводилось с целью определения прогиба и напряжений в пластине. Все рассматриваемые задачи решены методом нормальных мод, при этом основное внимание уделяется упругим реакциям конструкции. Согласно этому методу, прогиб балки и значение потенциала скоростей Iр(х, 0, ¿) в области контакта представляются в виде

оо оо

= ФА*) = £Ьп№п(х), (19)

71— 1 П = 1

где собственные функции У'п(х) описывают собственные формы колебаний пластины в пустоте и удовлетворяют условию ортогональности.

Подставляя разложения (19) в уравнение балки (11) для обобщенных координат а„(4) и Ьп(€), получаем уравнение

аап + Ьп+/3\*ап=д (п^ 1). (20)

Точкой обозначается производная по времени. В этом уравнении величины Ьп зависят от производных ат, т = 1,2,3,... и размера области контакта с.

Для определения этих зависимостей удобно ввести новые гармонические функции ¡рп(х, у, с) как решения краевых задач д2<рп , д21рп

(рп = 0 (у = 0,х < 0, х > ф)), (22)

~ = Фп(х) (у = 0,0 <х< с(0). (23)

c/?n-> О (x2 + у2 —> oo) (24)

с интегрируемыми особенностями первых производных вблизи граничных точек (0,0) и (с, 0). Здесь п = 0,1,2,..., фо(х) = 1. После решения краевой задачи (21)-(24) равенства (15) и (19) дают

оо

<¿>(:r,0,i) = -у?0(а;,0,с) + ^ an(t)ifin{x,Q,c),

n=i

óo

МО = -/m(c) + £ á„(()5„m(c),

n=l

m[x)dx, Snm (c) = / <рп{х,0,с)фт(х)<1х.

J 0 ./0

Матрица присоединенных масс S с элементами Snm(c) является симметричной, что вытекает из второй интегральной теоремы Грина.

Систему уравнений (20) можно переписать в матричном виде

á = (al + S)-1 (0Dd + f), d = -a, (25)

где d вспомогательный вектор d = (di,d2,d3... ,)T, dn = (aan + 6n)/(/3A^), a= (а1,а2,аз,...)т, f = (h(c), /2(с), /3(с),.. .)г и Z> = diag{A?,A|, Л|,...} — диагональная матрица. Правые части в (25) зависят от a, d и с, но не зависят явно от времени t, поэтому за новую независимую переменную удобно выбрать величину с, (0 ^ с ^ 2). Для новой искомой функции t(c) начальные условия имеют вид í(0) = 0 и dt/dc(0) = 0, тогда как при t = 0 производная de/dt неограничена и для корректного начала расчетов требуются дополнительные исследования и/или предположения.

Дифференциальное уравнение для новой искомой функции í = í(c) выводится из (18) и имеет вид dt/dc = Q(c, a, á). Умножая каждое уравнение системы (25) на dt/dc находим

da/dc = F(c,d) Q(c,a,F(c,d)); dd/dc = -a Q(c,a,F(c, d)), (26)

где F(c,d) = \al + KS(c)]~l{pDd + f(c)¡. Система (26) решается численно при нулевых начальных условиях а = 0, d = 0, í = 0 при с = 0. Производные ап(() определяются по формуле á„ = Fn(c,d).

Общий вид задачи Коши (26) остается справедливым при изменении места удара и/или условий закрепления, однако функции и матрицы, входящие в систему, определяются иными формулами и должны быть исследованы независимо. Кроме того, было обнаружено, что особенности начальной геометрии процесса (место удара и форма свободной поверхности жидкости) имеют большое влияние на скорость расширения области контакта и, как следствие, на гидродинамические нагрузки, которые очень высоки на

ударной стадии. В рамках модели несжимаемой жидкости гидродинамические нагрузки на пластину пропорциональны этой скорости (КогоЬкт 1996) и в случае резкого роста скорости смачивания нагрузки на пластину в конце ударной стадии могут превышать нагрузки на нее в начальный момент (явление блокировки). Это явление обнаружено в случае удара в край деформируемых пластин. На Рис. 10 показана сила, действующая на пластину со стороны жидкости, как функция размера области контакта с. Расчеты производились при а = 0.157 и р = 0.04. Видно, что гидродинамические нагрузки растут неограниченно при с с, (см. Рис. 10). Обнаружено, что явление блокировки носит чисто геометрический характер. Оно возникает тогда, когда угол между искривленной поверхностью пластины и поверхностью жидкости стремится к нулю. Для центрального удара блокировка не была обнаружена, поскольку в этом случае продолжительность ударной стадии мала и описанные выше процессы (сперва резкое снижение, а затем — резкий рост скорости смачивания) не успевают произойти за время смачивания пластины. Таким образом, для возникновения блокировки место удара имеет принципиальное значение. Описание блокировки и исследование параметров процесса удара (размеров и жесткости пластины, кривизны волны и скорости удара), при которых происходит блокировка, дано в работах [7, 19].

Отметим также, что сила сопротивления меняется очень резко и при с ~ 1.3 принимает отрицательные значения (Рис. 10). Это указывает на возможность кавитационных явлений в области контакта жидкости с упругой пластиной, которые не наблюдаются при ударе недеформируемых пластин.

1.5

Г=0 У 0 (V 2 х

У

/ К X

С2 с, ---

Рис. 11

Для малых значений жесткости пластины возможен также эффект захвата и образования каверны (Рис. 11) [7, 19]. Отметим, что в момент замыкания каверны резкое возрастание гидродинамического давления наблюдается всегда. В данном исследовании наличие воздуха в каверне не учитывается. 1

Таким образом, показано, что деформируемость пластины может привести к гидродинамическим нагрузкам, значительно превышающим нагрузки на эквивалентное жесткое тело.

Проведено исследование гидроупругого поведения пластины на этапе ее погружения. Отметим, что ранее (например в работах РаШпзеп еЬ

а/., 1993 — 1997) оно изучалось без рассмотрения первой, ударной стадии, на которой область контакта растет. В настоящей работе использован более рациональный подход, когда в качестве начальных данных в задаче о погружении берутся прогиб пластины и скорости ее элементов, полученные в ходе решения задачи на ударной стадии. Определены прогиб, скорость и напряжения в балке при значениях параметров а = 0.2512,¡3 = 0.0551, соответствующих условиям эксперимента РаШтеп, Кг&ЬьоЦ Аагтеэ (1997). На Рис. 12 вычисленная эволюция прогиба (а) и удлинений (Ь) в центре балки показаны сплошной линией, результаты экспериментов — пунктирной. Видно, что на начальном интервале по времени, длительность которого приблизительно равна половине основного периода колебаний балки, результаты расчетов хорошо согласуются с экспериментальными данными. Отметим, что ожидать хорошего совпадения

Рис. 12

при I > Т\/2 невозможно, поскольку в реальной системе жидкость—пластина присутствуют дисперсия и структурное демпфирование. Однако на основе решения модельной линейной задачи можно достаточно точно предсказать максимальные прогибы пластины при ударе и время их достижения.

Обосновано возникновение высоких мод колебаний при ударе по поверхности жидкости [19]. Показано, что высокие моды колебаний зарождаются уже в самом начале удара, когда область контакта мала. Однако вклад высокочастотных мод мал и в реальных ситуациях высокочастотные колебания быстро затухают вследствие структурного демпфирования. Тем не менее, для предсказания максимума возникающих в пластине прогибов и напряжений необходимо учитывать как минимум первые пять мод, которые не успевают погаснуть к моменту его достижения.

Исследована зависимость общей энергии системы от места удара и упругих свойств пластины, проанализирован вклад кинетической и потенциальной энергии пластины в общую энергию системы [6-8, 19].

На Рис. 13 показана эволюция частей Хд(<), Рд(£) и Тьв(1) полной общей энергии пластины II» на стадии погружения. Видно, что каждая из этих трех частей изменяется со временем, но их сумма остается посто-

янной, что является следствием линейности задачи на этой стадии. Если на начальном этапе основной вклад в общую энергию системы С/, дает кинетическая энергия течения жидкости Тх,£ (что еще раз подтверждает важность рассмотрения ударной стадии для корректных расчетов удара), то потенциальная энергия пластины Рь достигает максимума в тот момент, когда она практически равна полной энергии системы.

Рис. 13 Рис. 14

На основе проведенного анализа получены оценки значения максимальных напряжений в пластине и момента времени, при котором они достигаются.

I 1 / 3 „ Лг . Ь2 25 /МВ+5ирЬ

V* <»ИТ(1-Т)У —жг—' (27)

где 8 = агсэт \/Р(<з)/£/,. На Рис. 14 показаны результаты расчетов максимальных напряжений в пластине на основе упрощенного одномодового приближения, при котором вся потенциальная энергия системы пластина-жидкость переходит в первую моду колебаний пластины (точечная линия), на основе 5 мод (сплошная кривая) и штрихами отмечено значение, полученное на основе оценки (27).

Отметим, что экспериментальные данные для различных условий и скоростей удара (РаШпвеп еЬ а.1, 1997) дают верхнее значение величины, стоящей в левой части первого неравенства (26), равное 0.7, тогда как у/тг/4 ^ 0.88, т.е. теоретическая оценка максимума изгибающих напряжений дает несколько завышенное значение, по сравнению с экспериментальными результатами. Однако полученная оценка очень проста и может быть рекомендована к применению в инженерных приложениях при анализе гидроупругих колебаний пластины при ударе. I

Исследовано влияние наличия трещины или каверны в пластине на ее упругие характеристики при ударе [16]. Показано, что наличие трещины существенно влияет на упругие реакции пластины при ударе и проявляется сильнее на стадии погружения. С ростом глубины трещины монотонно

увеличивается первый период колебаний пластины, возрастают ее прогибы, а максимальные напряжения уменьшаются. Знание этих закономерностей поведения пластины, ослабленной трещиной, можно использовать для диагностики наличия скрытых трещин или повреждений в пластине.

Построено и исследовано решение двумерной задачи о симметричном ударе волной по упругой пластине, концы которой соединены пружинами с жесткой конструкцией (Рис. 15) [18, 20]. Такая постановка применяется для моделирования внешней, защитной обшивки судна, подвергающейся воздействию поверхностных волн. Показано, что ослабление жесткости пружин приводит к увеличению перемещений пластины и увеличению времени ее смачивания, при этом напряжения в ней уменьшаются. Решение данной задачи при малой жесткости пружин закрепления описывает случай удара упругой пластиной со свободными концами по поверхности жидкости.

0.1

0.05

1 1 - к= 1000 /

2 - к=10 /

3 - к=0.1

4 - к=0.001 'з

4,;>'

//

Л /

1

0.2

0.4 ^

Рис. 15

Рис. 16

На Рис. 16 приведена зависимость от времени перемещения кромок балки для различных значений к = К^/ЕЗ — безразмерного коэффициента жесткости связующих пружин. Отметим, что все кривые, кроме кривой 1, имеют ярко выраженный отрицательный минимум, что означает отклонение края пластины навстречу жидкости в начале удара, а это может привести к отрыву обшивки судна от основной конструкции.

У

/ МхЛ /"" и

х

¡» - ^

4000

2000

0

0.005

Рис. 17

0.01 0.015

Рис. 18

я

0.02

Исследовано гидроупругое поведение клина с упругими стенками при ударе о поверхность идеальной несжимаемой жидкости (Рис. 17) [15]. Целью этой работы было построение точного решения задачи и, на основе его сравнения с результатами, полученными по используемым в инженерных

приложениях приближенным моделям, определение области применимости последних. Рассмотрены модели с упрощенной матрицей присоединенных масс, «несвязная» и квази-статическая модели.

На Рис. 18 представлены максимальные значения удлинений в зависимости от толщины пластины, где гаь$ — абсолютный максимум удлинений, a Eimp — максимум удлинений на ударной стадии. Видно, что только при толщине h > 12 мм для оценки абсолютного максимума достаточно ограничиться расчетами только для ударной стадии. Точечной линией представлено значение максимумов, полученное с помощью аналитической формулы в рамках квази-статической модели, в которой не учитывается масса пластины (а = 0), а размер области контакта определяется из удара клином с недеформируемыми стенками. Хотя по сути эта модель неверно описывает эволюцию прогиба стенок клина в процессе удара, видно, что она дает хорошие оценки максимальных удлинений для широкого диапазона изменения толщины пластины. Предложена новая модель с упрощенной матрицей присоединенных масс, результаты расчетов по которой хорошо согласуются с результатами, полученными по полной модели для всех рассматриваемых значений толщины пластины. Кроме того, исследованы параметры деформируемости стенок клина в случае упруго присоединения его кромок к основной конструкции. Показано, что наличие упругого соединения может приводить к увеличению скорости смачивания клина и, следовательно, увеличению гидродинамических нагрузок на стенки клина.

В третьей главе исследуется удар упругой цилиндрической оболочкой по тонкому слою жидкости (Рис. 19) [28]. Впервые задачи об ударе оболочкой по поверхности жидкости исследовались в тридцатых годах прошлого века, в связи с посадкой на воду гидросамолетов. При посадке гидроплан ударяется о поверхность жидкости либо корпусом, который приближенно имеет цилиндрическую форму, либо специальными лыжами-поплавками, фотзму которых также гтиближеппо можно считать цилиндрической.

Задача решена для следующих условий удара: в начальный момент цилиндрическая оболочка касается жидкости в единственной точке, а затем начинает погружаться в нее так, что скорость центра вертикальна и постоянна. При этом жидкость идеальная и несжимаемая, ее течение двумерное и симметричное относительно вертикальной оси, оболочка имеет

7ip777777777777777,7777777777777777777 Рис. 19

477777777777777777777777777777777777777.77 Рис. 20

постоянную толщину, размер области контакта оболочки с жидкостью монотонно возрастает со временем. Определены деформации и нагрузки на оболочку. Для описания упругих характеристик оболочки использован модальный подход, а для гидродинамического анализа и определения области контакта используется метод сращиваемых асимптотических разложений (КогоЬкгп 1995). В рамках этого метода область течения разбивается на подобласти, изображенные на Рис. 20. Область I соответствует области непосредственно под проникающим телом; области II — области зарождения струй; III — области струй; IV — внешние области, жидкость в которых покоиться.

Упругие колебания цилиндрической оболочки описываются следующей системой дифференциальных уравнений и граничных условий (Григолюк, Горшков 1974):

w + a(w - ve) + P(veee + ^вввв) = lPo(fi,t) (-я-< 0 < 7г), (28) v + a (we - vee) - Р (vge + weSe) = 0 (-ж < в < 7г), (29)

v(0,O) = w(0,O) = O (-тг<0<тг), (30)

vt(0,O) =-sin 0, wt(0,O) =-cos 0 (-7Г<0<7Г), (31) где безразмерные параметры а, 0 и 7 определяются по формулам Е _ Ehl _ рЫ

Q poR2V2(l — f2)' Р 12paR4V2h'2(l — v2)' 7 p0h0' Здесь why— радиальная и тангенциальная компоненты перемещения точек оболочки, г и в — полярные координаты (0 = 0 соответствует нижней точке оболочки), ho — толщина оболочки, ро — ее плотность. Через Po(0,í) обозначена внешняя (гидродинамическая) нагрузка, действующая на цилиндр внутри области контакта |х| < c(í) (или |0| < 0c(t)). Начальные условия (30)—(31) показывают, что при í = 0 оболочка не деформирована и движется вертикально вниз со скоростью V. Уравнения (28)—(31) соответствуют упругой части задачи, которая может быть решена при заданном давлении.

Внутри области I (Рис. 20) гидродинамическое давление р и горизонтальную компоненту скорости течения жидкости и можно приближенно считать независимыми от вертикальной координаты у (см. Korobkin 1995). Тогда в безразмерных переменных уравнения течения жидкости имеют вид: м4 + иих = -р15 (32)

ux + vy = 0 (М<с(0. -1<У</0М)). (33)

v = Jx{x,t)u+-ft(x,t) (у = f(x, t), |®|<c(t)), (34)

v = 0 (у — —1, |®|<с(0), (35)

где р = р(х, а функции и = и(х, (), и » = г/, ¿) есть горизонтальная и вертикальная компонента скорости течения жидкости, соответственно. После интегрирования системы (32)—(35) и уравнения (28) имеем

р(х,1)=рс(1)+^[и2(с,1)-и2(х,1)} + У (36)

Функции рс(г) = р(с(г),£), /[х,1) и с(£), которые определяют давление на границе, форму тела и размер области контакта, заранее неизвестны и должны определяться из решения совместной задачи.

Поскольку рассматривается удар уплощенным телом по горизонтальной свободной поверхности жидкости, скорость тела много меньше скорости роста области контакта. Тогда приближенно поверхность тела можно считать горизонтальной, ее скорость — нулевой, а течение в области II можно рассматривать как квазистационарное.

В движущейся системе координат, связанной с точкой поворота и зарождения струи, картина течения в области II имеет вид, схематически изображенный на Рис. 21. Используя обычные законы сохранения удалось связать параметры течения в областях I, II и состояние покоя в области IV и определить три неизвестные функции с(£) и рс(£). Подстановка этих функций в формулу (36) позволила определить течение в области I и описать деформации упругой оболочки.

\SN4444SNN\S4\V Нс с —А,

р=р(с,0 Р=0

с

/>=0

у///;//////;//;;/;;;;///;/;////////;//

-......'........Л...... :----Ь'=25тт

.........../К -АуЦ -Ь— 50тт

: ........'•• Ь'="75тт

-— Ь—100шт

.Шщ Л ; ^чКХ. "¡Л Ж/ ЧЛ

Рис. 21

Рис. 22

В результате численных исследований показано, что при прочих равных условиях удар по тонкому слою жидкости более опасен, чем удар по глубокой воде. Чем меньше толщина слоя, тем значительней прогибы и напряжения в оболочке. Так на Рис. 22 приведена эволюция относительных удлинений в зависимости от толщины слоя жидкости при падении на него стальной оболочки (Я = 0.156 м, /го = 5.1 мм, V — 3.5 м/с). Параметры выбраны в соответствии с условиями эксперимента ЗЫЬие еЬ а1 (1994). Отметим, что независимо от толщины слоя локальные максимумы и минимумы удлинений достигаются приблизительно одновременно, однако абсолютные значения этих максимумов монотонно возрастают с уменьшением глубины жидкого слоя.

В случае гибкой оболочки из стекловолокна (Е = 3109 Па) были обнаружены три различные режима протекания процесса удара.

Для «жестких» условий удара (удара с большой скоростью по очень тонкому слою жидкости) оболочка не проникает в жидкость, а «распластывается» по ее поверхности. На Рис. 23 изображена форма оболочки в несколько последовательных моментов времени при Л' = 10 мм, V = = 3.5 м/с. Кружками показан соответствующий размер области контакта.

При средней скорости удара оболочка достигает дна, однако возможно, что первый контакт оболочки с дном происходит не в центральной точке, а на некотором расстоянии от центра, поскольку оболочка существенно прогибается внутрь. При этом образуется область захваченной жидкости, течение в которой направлено к оси симметрии. Рис. 24 соответствует расчетам с Ь1 = 10 мм, V = 1.5 м/с.

Рис. 23 Рис. 24

В случае низкой скорости удара (и/или достаточно толстого слоя жидкости) оболочка начинает проникать в жидкость, изменяя свою форму в нижней части в соответствии с возможностью захвата жидкости. При этом оболочка не достигает дна до того момента, когда начинается сужение области контакта, что указывает на начало выхода оболочки из воды.

Четвертая глава посвящена исследованию влияния наличия аэрированных прослоек между основной частью сжимаемой жидкости и твердой ударяющей поверхностью на распределение гидродинамического давления, его амплитуду и продолжительность активного воздействия. При моделировании аэрированной жидкости используется модель сплошной среды с редуцированными по сравнению с основным объемом жидкости скоростью звука и плотностью.

%(«,») у а

| | 0 ), } *

»<-> е^о с гкскч !■ «|Щ > "¡слз.!.'^";!;^: ¡аьЫййМй

с р 2 2 ИШМЙЛ

тгазтгт

ъВ

!ЙИ

с р 2 2

Рис. 25

Рис. 26

Рис. 27

Рис. 28

Моделирование и тестовые расчеты выполнены для удара поршнем через жесткий экран (Рис. 25) [17, 21], для удара струей с аэрированной головной частью по жесткой стенке (Рис. 26) [21] и для удара струей по упругой пластине без аэрированной прослойки (Рис. 27) [22, 24-26] и при ее наличии (Рис. 28) [29, 30].

Скорости звука и плотности жидкости в каждом слое заданы. Потенциалы скоростей в каждом слое удовлетворяют волновым уравнениям. В начале удара перемещения жидких частиц малы, что позволяет линеаризовать граничные условия на начальных невозмущенных границах. Методом интегральных преобразований задачи решены в квадратурах, что позволило детально исследовать характеристики течения, распределения давления и упругие реакции пластины.

На Рис. 29 (в соответствии с геометрией Рис. 25) в размерных переменных показаны распределения давления в момент времени ¿' = 0.04 с при ударе по участку |х| <4, у = 0, для случаев: 1) р\!ръ — 1, сг/сх = 1 (удар по однородной сжимаемой жидкости бесконечной глубины); 2) р\)рг = = 0.9, С2/С1 = 3; 3) р\/Р2 — 0.7, С2/С1 = 10, при предположении, что в нижнем слое находится морская вода с сг = 1500 м/с, Р2 = 1025 кг/м3. Скорость удара Уо = 2 м/с. Все распределения давления вдоль верхней границы существенно отличаются друг от друга, при этом абсолютный максимум давления для случаев аэрированной жидкости (2, 3) выше, чем дня однородной жидкости, хотя скорость распространения этого максимума ниже.

«>■ 1

(ЛЯТл)

0.5

О

-0.5,

На Рис. 30 показано сравнение эволюции гидродинамического давления в угловой точке на дне для задачи об ударе струей со вспененной головной частью по жесткой стенке (Рис. 26). Номера кривых соответствуют тем же

параметрам аэрации, что и в предыдущем случае. Скорость стенки Уо = 1 м/с. Видно, что наличие прослойки с редуцированной скоростью звука и/или плотностью существенно изменяет эволюцию распределения гидродинамического давления по ударяющей поверхности: абсолютный максимум давления уменьшается, но давления значительной амплитуды длятся дольше, чем в случае однородной жидкости.

Исследована начальная стадия процесса удара струей сжимаемой жидкости по упругой пластине (Рис. 27) [22, 25]. Течение жидкости описывается в рамках уравнений акустики, а прогиб пластины и ее колебания — с помощью линейного уравнения пластины. Связь между гидродинамической и упругой частями задачи осуществляется с помощью динамического и кинематического условий на поверхности контакта. Рассматривается начальная стадия процесса, когда изменением размера области контакта можно пренебречь. Для решения задачи использован метод нормальных мод. После интегральных преобразований задача сведена к системе, состоящей из двух дифференциальных и одного интегрального уравнения, которые решаются численно. Исследованы три случая различной геометрии удара: двумерная задача, осесимметрическая задача и трехмерная задача об ударе по прямоугольной пластине струей прямоугольной формы. В каждом из этих случаев определены прогибы и напряжения в пластине в зависимости от времени. Показано, что под воздействием струи пластина колеблется с периодом, несколько большим, чем период первой моды свободных колебаний пластины. Увеличение периода обусловлено наличием присоединенной массы струи. Вибрации пластины носят довольно сложный характер, максимумы прогиба и максимумы напряжений достигаются не в области удара и не в центре пластины. Показано, что абсолютный максимум изгибающих моментов может быть выше для удара «не в центр» пластины. Обнаружено, что вследствие упругости пластины и сжимаемости жидкости на пятне контакта могут возникать зоны отрицательного давления, что может привести к кавитационным явлениям при ударе струей.

Предложена новая комбинированная модель удара, в рамках которой на начальном этапе вычисления проводятся по модели сжимаемой жидкости, а затем — по модели несжимаемой жидкости [24]. Показано, что самое начало процесса удара является определяющим для упругих реакций пластины. На Рис. 31 показаны прогибы и относительные удлинения при ударе в центр пластины (Ь = 1 м, Л = 1.5 см, Я = 1 м, V = 25 м/с). Сплошная кривая — для расчетов по модели сжимаемой жидкости, а две другие — по комбинированной модели. Более точную и адекватную модель сжимаемой жидкости достаточно применить на интервале времени, сравнимом с временем прохождения звукового сигнала через ширину струи (на Рис. 31 момент V = 1 соответствует 0.67 мс). Затем можно использовать более простую модель несжимаемой жидкости.

Показано, что максимумы и прогибов, и удлинений в основном определяются амплитудами колебаний низкочастотных мод, которые при демпфировании затухают медленнее, чем высокочастотные. Поэтому результаты, полученные при использовании модели без структурного демпфирования, дают достаточно точную оценку прогибов пластины, но несколько завышенные значения удлинений и напряжений, что связано с сохранением высокочастотных колебаний пластины. Если же предметом исследования являются долговременные колебания пластины при ударе, то вычисления обязательно должны проводиться с учетом демпфирования. На Рис. 32 показаны результаты расчетов по модели балки с демпфированием (Филиппов 1970)

+ ((®,у)б5, « > 0).

Здесь [1 — коэффициент демпфирования, свойственный материалу пластины. Увеличение значения параметра (1, соответствует более сильному затуханию колебаний пластины. Вычисления проводились для Ь = 1м, Л = 2 см, Н = 0.25 м, V = 25 м/с.

Предложена новая квазитрехмерная модель для описания процесса удара струей произвольной удлиненной формы [26]. В рамках этой модели колебания пластины рассматриваются в полной трехмерной постановке, а гидродинамическое давление определяется из двумерных задач, возникающих при разбиении сечения струи на прямоугольники. Проведенные вычисления показали, что для достаточно удлиненной области контакта (соотношение длин полуосей больше четырех) и произвольного положения центра струи с помощью этой модели можно с высокой точностью вычислять распределение прогибов вдоль пластины, однако максимальные значения моментов получаются на 15-20% ниже, чем полученные в трехмерном случае. Показано, что определяющим для упругих реакций пластины на удар является мощность удара (выраженная в площади поперечного

сечения и скорости струи) и место удара струей, а не ее реальная форма. Для того, чтобы предсказать эволюцию прогибов и напряжений пластины произвольного удлиненного сечения можно решить задачу об ударе прямоугольной струей с совпадающим положением центра, площадью сечения и удлинением.

Для моделирования удара жидкостью по внутренним стенкам контейнеров для перевозки сжиженного газа, исследована плоская нестационарная задача о взаимодействии частично аэрированной струи с упругим препятствием [29, 30] (геометрия задачи изображена на Рис. 28). Показано, что наличие на пластине перпендикулярных к основной поверхности ребер и захват аэрированной жидкости между ними существенно влияют на гидроупругие колебания пластины. На Рис. 33 и 34 представлено сравнение эволюции прогиба пластины (а) и относительных удлинений (Ь) в ее центре при изменении расстояния между присоединенными перпендикулярными ребрами (длина пластины — 1м, длина ребер — 5 см, а ширина струи жидкости — 0.8 м). Жидкость между ребрами на Рис. 34 аэрирована, тогда как на Рис. 33 — нет. Случай А = 0 соответствует удару струей по пластине без ребер, а при А = 0.4 расстояние между ребрами равняется ширине струи.

Прежде всего видно, что наличие ребер ведет к усилению высокочастотных колебаний пластины. Возникновение высоких мод колебаний в свою очередь приводит к росту напряжений в пластине. Кроме того, показано [301, что совпадение периодов колебаний пластины с периодом прихода отраженных волн в аэрированной жидкости может привести к изменению амплитуды и периода колебаний пластины при ударе, росту нагрузок на пластину и увеличению вероятности ее разрушения. Эти эффекты необходимо учитывать при проектировании цистерн танкеров и других гидротехнических сооружений, в которых описанные процессы имеют место.

Основные научные результаты диссертации

1. Изучена двумерная задача о гидроупругом поведении плавающей пластины под действием периодических поверхностных волн. Предложен новый метод решения этой задачи, с помощыо которого исследованы поведение под действием падающей поверхностной волны составной пластины, пластины с трещиной и пластины, соединенной с дном упругой связью.

2. Выявлена и описана связь параметров упругих колебаний плавающей пластины и амплитуд прошедшей и отраженной волн. Показано, что максимальные значения амплитуд напряжений и прогибов пластины немонотонно зависят от частоты падающей волны и достигаются одновременно с максимумами коэффициента прохождения. Это позволяет использовать коэффициент прохождения как характеристику для предсказания максимальных и минимальных амплитуд гидроупругих колебаний пластины.

3. С помощью обратного метода построен класс точных решений для задачи об изгибно-гравитационных колебаниях плавающей упругой пластины.

4. Предложено два способа снижения колебаний основной части пластины. Первый способ состоит в шарнирном присоединении к основной упругой пластине вспомогательной пластины, параметры которой подбираются так, чтобы минимизировать колебания основной пластины, а второй — в упругом соединении с дном («заякоривании») передней кромки пластины.

5. Исследованы задачи об ударе конструкцией в виде упругой пластины или клина с упругими стенками по поверхности идеальной несжимаемой жидкости. Эти задачи решены методом нормальных мод, при этом основное внимание уделялось упругим реакциям конструкции. Построенный алгоритм позволяет проводить анализ роли упругих эффектов в процессах соударения жидкости с тонкостенными конструкциями ограниченной протяженности. С целью изучения особенностей процесса нестационарного взаимодействия системы падающая пластина-жидкость, этот алгоритм применен для ряда случаев различной геометрии начальной постановки задачи.

6. В рамках построенной модели для достаточно длинных пластин обнаружено и описано явление усиления гидродинамических нагрузок на пластину за счет ее упругих деформаций.

7. Исследована зависимость общей энергии системы от геометрии начальной постановки задачи об ударе и от упругих свойств пластины, проанализирован вклад кинетической и потенциальной энергии пластины в общую энергию системы. На основе этого анализа получены оценки значений максимальных напряжений в пластине и моментов времени, при которых они достигаются.

8. Построена и исследована модель, описывающая поведение упругих оболочек при ударе по поверхности жидкости. Анализ результатов показал, что удар по тонкому слою жидкости более опасен, чем удар по глубокой воде, поскольку деформации и напряжения, возникающие в оболочке в первом случае значительно выше. Полученные результаты впервые позволили описать наблюдающуюся в эксперименте сложную эволюцию формы гибких сферических оболочек при ударе по слою жидкости.

9. В рамках акустического приближения построено решение нестационарной задачи об ударе по границе двухслойной жидкости и задачи об ударе по пластине струей жидкости с аэрированной прослойкой. Показано, что наличие прослойки с уменьшенными скоростью звука и плотностью существенно изменяет эволюцию распределения гидродинамического давления по ударяющей поверхности, а именно, абсолютный максимум давления уменьшается, но давления значительной амплитуды длятся дольше, чем в случае однородной жидкости. Это может привести к усилению прогиба и упругих напряжений в пластине при ударе.

10. Построена модель, позволяющая определять параметры упругих колебаний пластины при ударе по ней струей сжимаемой жидкости. Исследовано влияние на колебания пластины структурного демпфирования, сжимаемости жидкости и наличия в жидкости аэрированных прослоек. Показано, что характер и амплитуды колебаний пластины слабо зависят от формы струи. Определяющими факторами являются площадь поперечного сечения, скорость струи и положение ее центра.

Основные публикации автора по теме диссертации

1. Коробкин A.A., Хабахпашева Т.И. Приближение пологого твердого тела к границе раздела двух сред // ПМТФ. 1997. Т. 38, № 6. С. 49-60.

2. Khabakhpasheva T.I., Korobkin A.A. Wave impact on elastic plates // In: Proc. 12th Int. Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Carry-le-Rouet, France. 1997. P. 135-138.

3. Khabakhpasheva T.I., Korobkin A.A. One-side inequalities in the problem of the wave impact // In: Proc. 13th Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Alphen aan den Rijn, the Netherlands. 1998. P. 67-70.

4. Коробкин A.A., Хабахпашева Т.И. О несимметричном ударе вершиной волны по упругой пластине // ПМТФ. 1998. Т. 39, № 5. С. 148-158.

5. Коробкин A.A., Хабахпашева Т.И. Плоская линейная задача о погружении упругой пластины в идеальную несжимаемую жидкость // ПМТФ. 1999. Т. 40, № 3. С. 150-160.

6. Коробкин A.A., Хабахпашева Т.И. Энергетическое соотношение в задаче об ударе балкой по поверхности жидкости // Динамика сплошной среды, СО РАН, Ин-т гидродинамики. 1999. Вып. 114. С. 106-110.

7. Korobkin A.A., Khabakhpasheva T.I. Periodic wave impact onto an

elastic pate // In: Proc. Seventh Intern. Conf. on Numerical Ship Hydrodynamics. Nantes, France. 1999. 19 p.

8. Khabakhpasheva T.I., Korobkin A.A. Energy conservation law in the problem of elastic plate impact onto liquid free surface // In: Proc. 14th Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Michigan, USA. 1999. P. 7275.

9. Хабахпашева Т.И. Плоская задача об упругой плавающей пластине // Динамика сплошной среды, СО РАН, Ин-т гидродинамики. 2000. Вып. 116. С. 166-169.

10. Khabakhpasheva T.I., Korobkin A.A. Reduction of hydroelastic response of floating platform in waves // In: Proc. 16th Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Hiroshima, Japan. 2001. P. 73-76.

11. Хабахпашева Т.И. Методы гашения гидроупругих колебаний плавающей пластины, вызванных набегающими поверхностными волнами // Тезисы докл. восьмого всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Пермь, 2001. С. 583.

12. Khabakhpasheva T.I., Korobkin A.A. Hydroelastic behaviour of compound floating plate in waves // J. Engng Math. 2002. V. 44. Is. 1. P. 21-40.

13. Khabakhpasheva T.I., Korobkin A.A. Exact solution of floating elastic plate problem // In: Proc. 17th Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Cambridge, UK. 2002. P. 73-76.

14. Хабахпашева Т.И. Связь гидродинамических и упругих параметров при дифракции поверхностных волн на плавающей упругой пластине // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2003. № 4. С. 101-110.

15. Khabakhpasheva T.I., Korobkin A.A. Approximate models of elastic wedge impact // In: Proc. 18th Intern. Workshop on Water-Waves and Floating Bodies. Ecole Centrale de Nantes, France. 2003. P. 73-76.

16. Khabakhpasheva T.I. Wave impact on cracked elastic beam // In: Proc. 19th Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Cortona, Italy. 2004. P. 73-76.

17. Khabakhpasheva T.I. Piston impact onto the boundary of two-layer fluid // In: Abstract book and CD-ROM Proceedings of 21st Int. Congr. of Theoretical and Applied Mechanics, ICTAM04. Warsaw, Poland. 2004. 2 p.

18. Khabakhpasheva T.I. Wave impact on elastic beam, connected with spring to main structure // In: Proc. 20th Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Longearbyen, Spitsbergen, Norway. 2005. P. 73-76.

19. Korobkin A.A., Khabakhpasheva T.I. Regulax waye impact onto an elastic pate // J. Engng. Math. 2006. Vol. 55. P. 127-150.

20. Хабахпашева Т.И. Удар поверхностной волной по упругой обшивке судна // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2006. № 3. С. 111-121.

21. Коробкин A.A., Хабахпашева Т.И. Удар по границе сжимаемой двухслойной жидкости // Извести РАН. Механика жидкости и газа. 2006. № 2.

С. 105-121.

22. Korobkin А.А., Khabakhpasheva T.I., Wu G.X. Compressible Jet Impact onto Elastic Panels // In: Proc. 4th Intern. Conf on Hydroelasticity in Marine Technology. Wuxi, China. 2006. P. 159-168.

23. Коробкин A.A., Хабахпашева Т.И. Построение точных решений в задаче о плавающей пластине // Прикладная математика и механика. 2007. Т. 71. Вып. 2. С. 321-328.

24. Khabakhpasheva T.I., Wu G.X. Coupled compressible and incompressible approach for jet impact onto elastic plate // In: Proc. 22nd Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Plitvice, Croatia. 2007. P.121-124.

25. Korobkin A.A., Khabakhpasheva T.I., Wu G.X. Coupled hydrodynamic and structural analysis of compressible jet impact onto elastic panels //J. Fluids and Structures. 2008. Vol. 24. No. 7. P. 1021-1041.

26. Khabakhpasheva T.I. Verification of the method of flat cross-sections for the case of jet impact onto elastic plate // In: Proc. 23rd Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Jeju, Korea. 2008. P. 100-103.

27. Khabakhpasheva T.I. Impact of a spherical shell on a thin layer of the water // In: Abstract book and CD-ROM Proceedings of 22nd International Congr. of Theoretical and Applied Mechanics. Adelaide, Australia. 2008. 2 p.

28. Khabakhpasheva T.I. Fluid-structure interaction during the impact of -a cylindrical shell on a thin layer of water //J. Fluids and Structures. 2009. Vol. 25. № 3. P. 431-444.

29. Khabakhpasheva T.I., Korobkin A. A. Compressible jet impact on corrugated plate //In: Proc. 24th Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies. St-Petersburg, Russia. 2009. P. 213-216.

30. Khabakhpasheva T.I., Korobkin A. A. Aeration liquid impact onto corrugated plate // In: Proc. 5th Intern. Conf. of Hydroelasticity in Marine Technology. Southampton, UK. 2009. P. 141-150.

Подписано в печать 06.11.2009 Заказ № 22

Формат бумаги 60x84 1/16 Объем 2 п.л.

Тираж 100 экз. Бесплатно

Отпечатано в полиграфическом участке Института гидродинамики

им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 630090 Новосибирск, просп. ак. Лаврентьева, 15

Введение

Глава 1. Гидроупругое поведение плавающих пластин.

1.1 Введение.

1.2 Постановка задачи и основные предположения

1.3 Сведение гидродинамической части задачи к интегральному уравнению

1.4 Метод решения задачи

1.5 Гидроупругие колебания пластины со свободными кромками

1.6 Гидроупругие колебания пластины со свободными кромками при наличии трещины

1.7 Гидроупругие колебания составной пластины со свободными кромками

1.8 Колебания пластины, передняя кромка которой упруго соединена с дном

1.9 Дифракция волн на плавающей пластине

1.10 Построение точных решений в задаче о плавающей пластине

2.2 Постановка задачи об ударе упругой пластиной .81

2.3 Задача об ударе в край пластины .86

2.4 Задача об ударе в произвольную точку пластины .105

2.5 Задача об ударе с образованием каверны .110

2.6 Погружение упругой пластины.115

2.7 Образование высоких мод колебаний пластины .128

2.8 Энергетические характеристики процесса удара .131

2.9 Оценка максимальных напряжений .136

2.10 Удар пластины с упруго закрепленными концами .141

2.11 Удар пластиной с трещиной по свободной поверхности жидкости .149

2.12 Удар клином с упругими стенками по свободной поверхности жидкости .155

2.13 Заключение .166

Глава 3. Удар упругой цилиндрической оболочкой по тонкому слою жидкости .169

3.1 Постановка задачи и основные предположения .171

3.2 Упругие колебания оболочки .173

3.3 Течение жидкости под оболочкой .174

3.4 Течение жидкости в области зарождения струй и условия сопряжения течений .175

3.5 Метод нормальных мод .177

3.6 Численные результаты и их обсуждение .179

3.7 Заключение.190

Глава 4. Удар сжимаемой жидкостью по упругой пластине .191

4.1 Удар по границе сжимаемой двухслойной жидкости .197

4.2 Удар струей сжимаемой жидкости по упругой пластине.218

4.3 Влияние сжимаемости жидкости, структурного демпфирования и формы струи при ударе по упругой пластине .247

4.4 Удар частично аэрированной струей по пластине с ребрами жесткости .257

4.5 Заключение.270

Заключение.273

Список литературы.276

ВВЕДЕНИЕ

Поведение упругих тел при их нестационарном взаимодействии с жидкостью на протяжении многих лет активно изучается во всем мире, поскольку оно тесно связано с задачами на прочность в судостроении и авиастроении (аварийная посадка самолета на воду), корабельной гидродинамике, а также с задачами, возникающими при построении сложных гидротехнических сооружений, (например, больших плавающих платформ - посадочных полос и нефтяных платформ). Интерес к этим задачам обусловлен также тем, что размеры судов и самолетов растут, а их стенки становятся все более тонкими, следовательно, сами конструкции - более гибкими. Поэтому именно упругие реакции становятся определяющими при эксплуатации, определении износа и времени жизни инженерных конструкций.

Нестационарные задачи гидроупругости исследовались в течение последних лет с целью создания математических моделей взаимодействия упругих пластин и оболочек с жидкостью, а также методов определения нестационарного напряженного состояния упругих конструкций, находящихся в полном или частичном контакте с жидкостью. Наиболее важным моментом для получения корректных результатов при этом является совместное решение задач об упругом поведении тела и движении жидкости.

Выделяются два основных класса задач нестационарной гидроупругости: (1) задачи с неизменяющейся со временем областью контакта между упругим телом и жидкостью, (2) задачи с переменной и заранее неизвестной областью контакта, такие, например, как задачи об ударе и проникании упругих тел в воду.

К первому классу относится задача о колебаниях упругой пластины на поверхности жидкости под действием падающей волны или заданной внешней нагрузки. Ей посвящена первая глава диссертации.

Поведение больших плавающих пластин на волнах особенно активно изучается на протяжении последних пятнадцати лет в связи с планами построения больших плавучих сооружений, таких как плавающие аэродромы или города (см. например Proc. Int. Workshop VLFS, Япония 1996; Proc.

Int. Conf. Hydroelasticity in Marine Technology, Япония 1998, Китай 2006, Великобритания 2009; Kasiwagi 2000). Ранее задача об изгибно-гравита-ционных колебаниях пластин рассматривалась в связи с исследованием поведения ледового покрова (Meylan, Squire 1993, 1994; Букатов, Завьялов 1995). Эти исследования продолжаются и в настоящее время, при этом изучается поведение пластин и ледового покрова под действием нестационарной внешней нагрузки, используются усложненные модели, учитывающие топографию дна и различную форму пластины или систем пластин (Стурова 2003, 2006; Peter, Meylan 2006; Peter, Meylan k Linton 2006; Adrianov, Hermans 2005 и многие другие). Кроме того в множество расчетов проведено в рамках прямого численного моделирования (см. например Adrianov, Hermans 2002, 2003; Hermans 2003, 2004; Kashiwagi 1998; Porter, Porter 2004; Takagi 2002; Zilman, Miloh 2000).

Планируемые размеры плавающих платформ очень велики, поэтому их относительная изгибная жесткость мала, что ведет к существенным колебаниям конструкций под действием поверхностных волн. Кроме того, огромные размеры плавающих конструкций существенно затрудняют выполнение критериев подобия при проведении экспериментальных исследований. В такой ситуации результаты теоретического и численного моделирования представляются более надежными.

Большие плавучие сооружения как правило имеют форму пластины, вытянутой в одном направлении, что позволяет использовать для их описания двумерную постановку. Такая упрощенная постановка задачи предоставляет возможность получить полу-аналитические результаты с упрощенным счетом и на основе этих результатов объяснить особенности гидроупругих колебаний рассматриваемых пластин.

Для пластин конечной длины в двумерной постановке было предложено несколько алгоритмов (Chong Wu et al. 1995; Стурова 1999; Коробкин 2000; Хабахпашева 2000; Ткачева 2003). В работах Chong Wu et al (1995) и Коробкина (2000) использовался метод нормальных мод, в рамках которого прогиб пластины представляется в виде разложения по формам ее свободных колебаний в пустоте. В этом случае взаимодействие пластины с жидкостью описывается с помощью присоединенных масс, определяемых отдельно для каждой моды колебаний. Элементы матрицы присоединенных масс определялись из гидродинамической части задачи методом декомпозиции области течения в работе СНопд Ши еЬ а1. (1995), а в статье Коробкина (2000) они вычислены явно. Метод декомпозиции области течения использован также для решения этой и более общей задачи о косом набегании поверхностной волны на пластину (Стурова 1999). Методом Винера-Хопфа решение задачи о плавающей пластине без учета ее инерционных свойств было сведено к бесконечной системе дифференциальных уравнений, допускающих редукцию (Ткачева 2001, 2003).

В работе Хабахпашевой (2000) был предложен метод решения, при котором упругие и гидродинамические характеристики разлагаются по различным базисным функциям: гидродинамическое давление представляется в виде ряда Фурье, а прогиб пластины ищется в виде разложения по функциям, соответствующим «отклику» пластины на давление, заданное тригонометрическими функциями. Преимуществом этого метода является возможность точного удовлетворения граничных условий на кромках и/или в особых точках пластины, и, в тоже время, использование разложения для гидродинамической части задачи, неизменного для произвольных условий закрепления пластины.

Решения, построенные с помощью перечисленных алгоритмов, сравнивались как друг с другом, так и с известными экспериментальными данными Скопд Ши еЬ а1. (1995) с целью проверки их точности. Кроме того, исследовалась сходимость каждого численного алгоритма. Однако сравнение между собой результатов, полученных различными методами, не позволяет определить, какой из алгоритмов лучше. Если результаты различаются, то неясно, какие из них точнее. В работе Коробкина и Хабахпашевой (2007) обратным методом построены точные тестовые решения для задачи о плавающей пластине. В рамках этого метода распределение гидродинамического давления вдоль пластины предполагается заданным, а соответствующая форма границы жидкости определяется из решения гидродинамической части исходной задачи. Отождествляя прогиб пластины с формой поверхности жидкости в той области, где гидродинамическое давление отлично от атмосферного, и используя уравнение движения пластины, можно восстановить распределение внешней нагрузки вдоль пластины. Соответствующее решение может быть получено с любой наперед заданной степенью точности и использовано для тестирования численных алгоритмов.

Показано, что численный алгоритм автора (Хабахпашева 2000) с хорошей точностью предсказывает значения амплитуд колебаний пластины, распределения изгибающих моментов и гидродинамического давления для широкого диапазона частот. Полученные соотношения были применены для тестирования различных численных алгоритмов решения этой задачи и позволили выявить области применимости каждого из использованных ранее алгоритмов. Оказалось, что методы, предложенные Коробкиным (2000) и Ткачевой (2001) позволяют производить расчеты с высокой точностью для всех рассматриваемых частот внешней нагрузки, тогда как метод Стуровой (1999) неприменим для высоких частот падающей волны.

Исследована дифракция поверхностных волн на пластине и указана связь коэффициентов прохождения-отражения с параметрами колебаний пластины (Хабахпашева 2003). Если в указанных выше работах основной целью было построение методов, позволяющих получать распределения прогибов и напряжений в плавающей пластине, то целью этого исследования было выявление связи значений прогибов и напряжений пластины с параметрами прошедшей и отраженной поверхностных волн. Показано, что колебания пластины максимальны, если максимален коэффициент прохождения волн. При этом длина пластины кратна полудлине прошедшей в пластину изгибно-гравитационной волны (с учетом краевых эффектов). В свою очередь, длина изгибно-гравитационной волны связана с длиной падающей волны известным аналитическим соотношением. Поэтому выбор параметров (размеров пластины, её конструкцию), приводящих к минимальным (или максимальным) колебаниям плавающей пластины, можно оптимизировать ещё до проведения точных и дорогостоящих расчетов по более сложным моделям.

Особенности эксплуатации больших плавающих платформ накладывают строгие ограничения на предельно допустимые амплитуды колебаний конструкции и испытываемые ею нагрузки. Так, например, в случае установки навигационных приборов на плавающую взлетно-посадочную полосу, отклонение положения датчиков от вертикали не должно превышать доли градуса. Различными авторами было предложено несколько подходов к снижению колебаний. Так в работах Nagata et al (1998) и Seto, Ochi (1998), численно изучалось движение плавающей платформы при наличии волногасителя (волнореза), размещенного перед платформой. Было показано, что волнорезы эффективно снижают отклик платформы на длинные волны, тогда как для коротких волн этот эффект менее заметен. Идея заслонить (защитить) платформу с помощью волнореза ясна и практична. Однако построенные на дне волнорезы могут оказывать отрицательное влияние на окружающую природную среду. Другой пусть снижения колебаний пластины предложен в работе Yago et.al. (1997). Он заключается в присоединении к фронтальной стороне платформы волноотражателя - вертикальной погруженной в жидкость пластины, глубина погружения которой приблизительно в три раза меньше глубины жидкости или набора вертикальных колонн, погруженных в жидкость, также выполняющих роль отражателя волн. Эксперименты показали, что отражатели волн такого типа уменьшают колебания основной платформы в случае коротких падающих волн, однако на длинные падающие волны присоединенные структуры не оказывают большого влияния. Оба эти подхода (Seto, Ochi 1998, Yago et al 1997) основаны на идее защиты плавающей платформы посредством абсорбции части волновой энергии добавочной структурой.

Для тестирования возможных подходов уменьшения упругого отклика плавающей платформы на поверхностные волны развито и проведено множество прямых численных методов. Трехмерная задача об определении отклика прямоугольной плавающей платформы на волнение жидкости рассматривалась, например, в работах Kashiwagi (1998) и Kim, Ertekin (1998). Сложность трехмерных методов и громоздкость их численной реализации не позволяют использовать трехмерные модели на стадии проектирования, тогда как исследование двумерной задачи дает возможность предсказывать основные особенности и характеристики процесса. Если эффект отчетливо выражен в простейшей модели, то можно ожидать, что он проявится и в более сложных точных моделях.

В работах Хабахпашевой (2001) и КкаЬаккравкеьа, КогоЬЫп (2001) в рамках двумерной линейной теории предложены два подхода к снижению прогибов плавающей пластины.

Первый подход основан на концепции «поглотителя колебаний», хорошо известного в ряде инженерных приложений, например во вращающихся частях машин (см, например, БкаЬапа (1996), глава 6), где рассмотрен «погло-титель колебаний» с одной степенью свободы. Суть этого подхода состоит в преобразовании системы с одной степенью свободы в систему с двумя степенями свободы механическим присоединением к телу, колебания которого нужно погасить, дополнительной системы «пружина - масса». Параметры этой добавочной системы можно выбрать таким образом, что колебания основной системы существенно снижаются, всё движение передается вспомогательной массе, а основное тело практически покоится.

Хотя плавающая упругая пластина значительно более сложный объект, чем свободно колеблющееся тело, оказалось, что за счет присоединения перед основной упругой пластиной дополнительной пластины меньшего размера амплитуду деформаций основной пластины можно уменьшить на 35%. Упругие характеристики и размер этой добавочной пластины должны подбираться с учетом частоты падающей поверхностной волны. Проведенные вычисления предсказывают эффект снижения амплитуд колебаний основной пластины за счет дополнительной, однако, поскольку даже в двумерной постановке задача об упругой плавающей пластине является достаточно сложной, невозможно получить простую формулу для оптимальных характеристик добавочной пластины.

Второй метод состоит в упругом соединении переднего края пластины с дном. Показано, что за счет подбора жесткости пружины для каждой данной частоты падающей волны можно практически полностью погасить колебания в основной части пластины (за исключением передней кромки).

Оба метода ведут к исследованию связных задач гидроупругости, при этом задачи имеют сходную математическую постановку и решаются общим методом, который впервые был предложен в работе Хабахпашевой (2000) для решения задачи об однородной плавающей пластине. Он применен к решению задач дифракции волн на составной пластине (КНаЬакНра-зНеьа, КогоЪЫп 2002), на пластине ослабленной трещиной [КкаЪаккразкеуа 2004) и к задаче о пластине, передняя кромка которой упруго связана с дном (КкаЬаккравкеуа 2005).

Большие плавающие сооружения понтонного типа могут быть повреждены вследствии периодических волновых нагрузок. Кроме того, как и все реальные конструкции они изначально содержат малые дефекты (трещины, каверны и инородные включения), которые при взаимодействии с жидкостью абсорбируют часть энергии волн, и могут расти со временем. В диссертационной работе дан анализ гидроупругого поведения пластины, ослабленной трещиной, плавающей на поверхности жидкости конечной глубины под действием набегающей поверхностной волны (КкаЪакНразкеуа 2004).

Для моделирования пластины с трещиной использован метод сращиваемых асимптотических разложений. В соответствии с этим методом пластина разбивается на «внутренюю» область, которая содержит трещину, и «внешнюю», в которой изменением напряжений по толщине пластины можно пренебречь. Размер «внутренней» области сравним с толщиной пластины. В этой области напряжения меняются как вдоль пластины так и поперек нее. Уменьшение жесткости пластины, связанное с наличием трещины, приближенно моделируется пружиной. «Внешнее» решение для свободно плавающей пластины, которая разделена пружиной на две части, описывает распределение изгибающих напряжений вне окрестности трещины. После этого строится «внутреннее» решение, которое описывает распределение изгибающих напряжений вблизи трещины. «Внутреннее» решение должно быть согласовано с «внешним».

Показано, что наличие трещины в пластине ведет к локальному росту прогиба и уменьшению напряжений. Если глубина трещины меньше половины толщины пластины, то прогибы и напряжения незначительно отличаются от соответствующих величин для однородной пластины. Показано, что глубокие трещины, расположенные вблизи максимумов изгибных напряжений в эквивалентной однородной пластине, наиболее сильно изменяют характер колебаний плавающей пластины: перед трещиной колебания усиливаются, а за ней - затухают. Полученные результаты могут быть использованы для усовершенствования критериев разрушения плавающих пластин.

Во второй главе рассматривается задача об ударе упругой конструкцией в виде пластины или клина с упругими стенками по свободной поверхности жидкости.

Впервые задачи об ударе недеформируемым телом по поверхности жидкости рассматривались в тридцатых годах прошлого века в связи с проблемой посадки гидросамолета на поверхность жидкости. Von Karman в 1929 провел первое теоретическое исследование и определил давление на жесткое днище понтона при посадке самолета. Wagner (1932) расширил модель Kârmâna учтя возвышение свободной поверхности жидкости при ударе. При этом жидкость полагалась несжимаемой и бесконечно глубокой, а угол между проникающим телом и невозмущенной поверхностью жидкости (deadrise angle) предполагался малым. Последнее предположение позволяет использовать так-называемое " приближение плоского диска", при котором и кинематическое и динамическое условия на поверхности тела и на свободной поверхности сносятся на уровень невозмущенной свободной поверхности. При этом предполагается, что возвышение свободной поверхности в точке сопряжения (точке контакта свободной поверхности жидкости и тела) совпадает с положением поверхности тела.

Параллельно исследования проблем, возникающих при посадки гидросамолетов проводились в ЦАГИ. Основные результаты были получены Седовым (1933 - 1935), Лаврентьевым и Келдышем (1935), Повицким (1933 - 1939), Абрамовым и Повицким (1936).

После этого исследователи шли по пути усложнения моделей, а также исследовали влияние различных физических факторов (таких как гравитация, вязкость и сжимаемость жидкости и т.д.) на процесс удара.

Добровольская (1969) показала, что в случае равномерного погружения жесткого клина возникающее течение жидкости является автомодельным.

Изучалось влияние гравитации на соударение тел с жидкостью. При больших скоростях удара и малых временах взаимодействия частицы жидкости рядом с поверхностью тела приобретают ускорения, значительно превышающие гравитационные, поэтому гравитация в задачах об ударе полагается несущественной. Тестируя это предположение Greenhorn (1987) решил двумерную задачу о проникании тела в жидкость включив в рассмотрение эффекты гравитации. Он пришел к выводу, что несмотря на образование струй по периметру области контакта, гравитацией можно пренебречь, если время взаимодействия, помноженное на два ускорения свободного падения меньше скорости удара (2gt < V).

Muzaferija et al. (1997) включили в рассмотрение эффекты вязкости. Они показали, что вязкость важна для определения деформаций свободной поверхности после того, как контур тела начинает выходить из жидкости, однако оценки сил и давления на тело при его входе в жидкость очень хорошо согласуются с результатами, полученными при решении задачи для невязкой жидкости.

Korobkin (1996,1997), Compana et al. (1998) рассматривали модели удара по свободной поверхности с учетом сжимаемости жидкости. Оказалось, что эффекты сжимаемости очень важны в начальный момент удара, когда жидкость только выводится из состояния покоя и размеры области взаимодействия растут со скоростью, превышающей скорость звука. Это происходит в начальный момент соударения плоскими или почти плоскими телами. После того, как скорость смачивания перестает быть сравнимой со скоростью звука, сжимаемостью жидкости можно пренебречь.

В последние годы основное внимание уделяется влиянию деформируемости конструкции на процесс удара, и определению ее упругих реакций (прогибов, напряжения) при ударе по поверхности жидкости. Задача об ударе и последующем проникании упругого тела в жидкость рассматривается прежде всего в связи с ее применением к морской и корабельной гидродинамике. Так, например, при движении корабля-катамарана на волнении его нижняя, горизонтальная палуба подвергается многочисленным ударам поверхностными волнами. Эти удары создают сложности при эксплуатации катамаранов, ведут к накоплению усталости элементов конструкции и могут привести к их поломке. Удар по пластине с упругим присоединением края пластины к основной конструкции моделирует реакцию обшивки судна на удары поверхностных волн. Нагрузки на основную конструкцию передаются через места закрепления пластин, поэтому связующие элементы наиболее уязвимые в процессе эксплуатации, и силы, действующие в местах закрепления пластин, представляют особый интерес. Задача об ударе упругим клином по поверхности жидкости используется для моделирования реакции стенок судна, нос которого при движении на волнении выходит из воды, а затем резко погружается в нее.

Задача о горизонтальном ударе упругой пластиной по свободной поверхности жидкости интенсивно изучается в течении последних 15 лет как экспериментально (Aarsners 1994; Faltinsen, Kvâlsvold, Aarsnes 1997; Chuang 1997; Zhu, Faulkner 1994), так численно и аналитически (Faltinsen, Коробкин, Хабахпашева 1996 - 2006). Отметим, что в отличии от норвежских экспериментов (Aarsners 1994, Faltinsen, Kvâlsvold, Aarsnes 1997) остальные экспериментальные данные не были подкреплены авторами теоретически. Предварительный аналитический анализ экспериментов [Zhu: Faulkner 1994) был дан Коробкиным (Korobkin 1996). Обзор результатов по задаче удара, полученных различными численными методами дан в работе Faltinsen et al. (2004).

В работах Коробкина и Хабахпашевой (1998, 1999, 2006) рассматривались задачи об ударе упругой пластиной по вершине волны на поверхности идеальной несжимаемой жидкости. Было показано, что учет деформируемости пластины очень важен, так как деформируемость существенно влияет на многие характеристики процесса и может привести к возникновению гидродинамических нагрузок, превышающих нагрузки на соответствующее жесткое недеформируемое тело.

Весь процесс удара длинной волной по пластине конечного размера разбивается на две стадии (см. КогоЬЫп 1995). На первой, ударной стадии пластина смочена только частично, однако гидродинамические нагрузки на пластину велики и зависят от скорости расширения области контакта между пластиной и жидкостью. Продолжительность этого этапа обычно мала, а напряжения в пластине еще не достигают своих максимальных значений. Деление жидкой границы на область контакта и свободную от напряжений часть границы заранее неизвестно и должно быть определено в ходе решения полной задачи гидроупругости из дополнительного условия непрерывности нормальных перемещений жидкой границы. На второй стадии, стадии погружения, пластина смочена полностью и продолжает погружаться в жидкость. При этом гидродинамические нагрузки на пластину уже невелики и не могут быть классифицированы как ударные. Колебания пластины происходят в основном за счет перераспределения кинетической энергии, накопленной жидкостью за время ударной стадии. На обеих стадиях границу жидкости можно приближенно заменить плоской, если волна достаточно длинная, а глубина погружения пластины мала по сравнению с ее размером.

Удар и последующее погружение упругих конструкций в воду исследовались в рамках двумерной модели течения идеальной и несжимаемой жидкости с линеаризованными краевыми условиями в области контакта и на свободной поверхности жидкости. Несмотря на произведенную линеаризацию, используемые уравнения Эйлера для описания колебаний пластины и модель потенциального течения для жидкости на ударной стадии задача является нелинейной. Это связано с тем, что изгиб упругой пластины вызывается гидродинамическими нагрузками, область приложения которых расширяется со временем и заранее неизвестна. Амплитуда гидродинамических нагрузок зависит от упругих деформаций, которые в свою очередь определяются через гидродинамические нагрузки. Таким образом задача является связанной: течение жидкости, деформации тела и размер смоченной части тела требуется определять одновременно. В данной работе это делается в рамках подхода Вагнера, учитывающего изменение формы свободной поверхности жидкости при взаимодействии с пластиной.

Задача об ударном взаимодействии пластины и жидкости решена для различных случаев геометрии процесса удара: для удара в край и в произвольную точку пластины, без захвата и с захватом каверны, для удара клина с упругими стенками по горизонтальной свободной поверхности жидкости. Кроме того исследованы особенности процесса удара при пружинном присоединении клина или пластины к жесткой конструкции, равномерно погружающейся в жидкость, а также удар платины с трещиной по вершине поверхностной волны. Моделирование процесса удара проводилось с целью определения прогиба и напряжений в пластине (пластинах) как на ударной стадии, так и на стадии погружения. Все рассматриваемые задачи решаются методом нормальных мод, при этом основное внимание уделяется упругим реакциям конструкции.

Известные до сих пор методы и подходы к решению подобного класса задач были либо ориентированы на использование суперкомпьютеров, либо содержали ряд дополнительных упрощающих предположений о течении жидкости. Обоснование некоторых таких упрощающих предположений отсутствует до сих пор. Например, исследование гидроупругого поведения пластины на этапе ее погружения ранее проводилось без учета наличия ударной стадии - той стадии, когда пластина смочена только частично, область контакта при этом неизвестна, однако характеристики системы тело-жидкость (скорости и ускорения частиц жидкости и дела, их энергия и импульс) уже существенно изменилась вследствие удара.

В настоящей работе используется более рациональный подход, когда в качестве начальных данных в задаче о погружении берутся прогиб пластины и скорости ее элементов, полученные в ходе решения задачи на первой, ударной стадии. Контроль возвышения свободной границы жидкости на ударной стадии ранее не проводился в связи со сложностью таких расчетов. Разработанный метод позволил упростить численный алгоритм и следить за возвышением свободной границы.

Другое упрощение при исследовании гидроупругого поведения пластины при ее ударном взаимодействии с жидкостью связано с использованием приближенного метода расчета размера смоченной части упругого тела, основанного на использовании известных результатов для эквивалентного жесткого тела. Однако, даже с использованием такого подхода, расчеты в задачах гидроупругого взаимодействия являются трудоемкими и авторы зачастую ограничивались одномодовым приближением.

В работах автора развит более точный метод, при котором размер смоченной части упругого тела находится параллельно с течением жидкости и напряженным состоянием конструкции. Расчет гидродинамических нагрузок на проникающую в воду конструкцию сводится к расчету матрицы присоединенных масс, элементы которой для бесконечно глубокой жидкости вычислены аналитически.

В диссертационной работе решена задача об ударе в край свободно опертой пластины, а затем алгоритм усовершенствован и распространен на случай удара в произвольную точку.

Было обнаружено, что несмотря на короткую продолжительность ударной стадии, особенности начальной геометрии процесса (место удара и форма свободной поверхности жидкости) имеют большое влияние на скорость расширения области контакта и, как следствие, на гидродинамические нагрузки, которые очень высоки на ударной стадии (см. КогоЬкгп 1996). В рамках модели несжимаемой жидкости гидродинамические нагрузки на пластину пропорциональны этой скорости, и в случае резкого роста скорости смачивания нагрузки на пластину в конце ударной стадии могут превышать нагрузки на нее в начальный момент. Описание блокировки для задачи об ударе вершиной волны в край пластины и исследование параметров процесса удара (размеров и жесткости пластины, кривизны волны и скорости удара) при которых происходит блокировка дано в работах Ко-робкина и Хабахпашевой (1998, 2006). Это явление обнаружено в случае удара в край деформируемых пластин и носит чисто геометрический характер. Оно возникает тогда, когда угол между искривленной поверхностью пластины и поверхностью жидкости стремиться к нулю.

Показано, что при малой жесткости пластины возможен эффект захвата и образования каверны. Это существенно меняет дальнейшее развитие процесса взаимодействия упругой пластины с жидкостью. Отметим, что в момент замыкания каверны усиление гидродинамических нагрузок наблюдается всегда. В данном исследовании наличие воздуха в каверне не учитывается.

Таким образом, для достаточно длинных пластин обнаружено и описано явление усиления гидродинамических нагрузок на пластину за счет ее упругих деформаций. Этот результат очень важен для практических приложений, поскольку показывает, что деформируемость пластины может привести к гидродинамическим нагрузкам, значительно превышающим нагрузки на эквивалентное жесткое тело.

Обосновано возникновение высоких мод колебаний при ударе по поверхности жидкости. Показано, что высокие моды колебаний зарождаются уже в самом начале удара, когда область контакта мала. Поскольку при соударении уплощенных поверхностей размер области контакта пробегает все возможные значения, то при ударе зарождаются все моды колебаний, однако вклад высокочастотных мод мал и в реальных ситуациях высокочастотные колебания быстро затухают вследствие дисперсии и структурного демпфирования. Однако, для предсказания максимума возникающих в пластине прогибов и напряжений (они достигаются примерно на четверти периода колебаний первой моды), необходимо учитывать как минимум первые пять мод, которые не успевают погаснуть за это время.

Исследована зависимость общей энергии системы от геометрии удара и упругих свойств пластины, проанализирован вклад кинетической и потенциальной энергии пластины в общую энергию системы. На основе этого анализа получены оценки значения максимальных напряжений в пластине и момента времени, при котором они достигаются. Полученные с помощью энергетического соотношения оценки максимальных напряжений в пластине при ударе являются достаточно простыми и, в то же время, хорошо согласуются с известными экспериментальными данными.

В работе исследовано влияние наличия трещины или каверны в пластине на ее упругие характеристики при ударе. Показано, что наличие трещины существенно влияет на упругие реакции пластины при ударе и проявляется сильнее на стадии погружения. С ростом глубины трещины монотонно увеличивается первый период колебаний пластины, возрастают ее прогибы, а максимальные напряжения уменьшаются. Знание этих закономерностей поведения пластины, ослабленной трещиной, можно использовать для диагностики наличия скрытых трещин или повреждений в пластине. Оно необходимо для оценки времени жизни упругих морских и прибрежных конструкций при периодических ударах по ним поверхностными волнами.

Построено и исследовано решение двумерной задачи о симметричном ударе волной по упругой пластине, концы которой соединены пружинами с жесткой конструкцией (Хабахпашева 2006). Такая постановка применяется для моделирования защитной обшивки судна, подвергающейся воздействию поверхностных волн. Показано, что в начале удара, независимо от жесткости связующих пружин, концы пластины отклоняются навстречу жидкости, что может привести к отрыву обшивки судна от основной конструкции. В общем случае, ослабление жесткости пружин приводит увеличению перемещений пластины, при этом напряжения в ней уменьшаются. Решение данной задачи при малой жесткости пружин закрепления описывает случай удара упругой пластиной со свободными концами по поверхности жидкости.

Исследовано гидроупругое поведение клина с упругими стенками при ударе о поверхность идеальной несжимаемой жидкости. Известно, что при инженерных расчетах на прочность обычно используются упрощенные модели, в которых пренебрегается изменением формы тела (прогибом упругих пластин) или рассматривается модель упругого клина, в которой распределение гидродинамического давления берется из решения задачи об ударе жестким клином. Целью работы было построение точного решения задачи и на основе его сравнения с результатами, полученными по приближенным моделям, определение области применимости и погрешностей последних. Рассмотрены модели с упрощенной матрицей присоединенных масс, "несвязная" и квази-статическая модели. Показано, что простейшая квази-статическая модель, имеющая аналитическое решение, дает хорошие оценки максимальных удлиннений для широкого диапазона изменения толщины пластины, хотя по сути неверно описывает эволюцию прогиба стенок клина в процессе удара. Предложена новая упрощенная модель, результаты расчетов по которой хорошо согласуются с результатами, полученными по полной модели для всех рассматриваемых значений толщины пластины. Кроме того исследованы параметры деформируемости стенок клина в случае упруго присоединения его кромок к основной конструкции. Показано, что наличие упругого соединения может приводить к увеличению скорости смачивания клина и, следовательно, увеличению гидродинамических нагрузок на стенки клина.

В Главе 3 исследуется удар упругой цилиндрической оболочкой по тонкому слою жидкости (Khabakhpasheva 2009).

Задача об ударе оболочкой по поверхности жидкости приобрела важное значение в тридцатых годах прошлого века, когда началось строительство первых гидросамолетов. При посадке на воду гидроплан ударяется о поверхность жидкости либо корпусом, который приближенно имеет цилиндрическую форму, либо специальными лыжами-поплавками, форму которых также приближенно можно считать цилиндрической.

Как уже говорилось ранее, пионерскими работами в области удара по поверхности жидкости являются работы Von Karman (1929) и Wagner (1932). В каждом из этих исследований жидкость предполагается идеальной, несжимаемой и бесконечно глубокой, а форма тела практически параллельной поверхности жидкости. В последствии подход Вагнера был применен и адаптирован к различным задачам о соударении с жидкостью как твердых, так и упругих тел. Обзоры этих исследований даны в статьях Faltinsen et al. (2004) и Korobkin, Khabakhpasheva (2006).

Другой подход к задачам о соударении тела с жидкостью был развит Коробкиным. В работе Korobkin (1995) рассматривается случай соударения твердых недеформируемых тел, одно из которых покрыто тонким слоем жидкости. При этом толщина струй, возникающих по периметру области контакта, сравнима с толщиной жидкого слоя и определяется вместе с решением задачи, тогда как в подходе Вагнера влияние струй на течение на учитывается. Для решения задачи об ударе по тонкому слою Коробкин разделил область течения на четыре подобласти и срастил решения, полученные в каждой из этих областей. В данной работе метод Коробкина применён к решению задачи об ударе деформируемым телом (упругой цилиндрической оболочкой) по поверхности тонкого слоя жидкости (Khabakhpasheva 2009).

Howison et al (2002) развили теорию удара по поверхности жидкости конечной глубины. Однако она достаточно громоздкая и расширении ее на случай взаимодействия с упругими телами в настоящее время не представляется возможным. Для этой теории указанные подходы являются предельными: подход Вагнера - предел при глубине жидкости стремящейся к бесконечности, а подход Коробкина - при глубине жидкости, стремящейся к нулю.

Численные исследования входа и выхода из воды цилиндрических оболочек проводились многими авторами. Для твердой оболочки Greenhow (1998) использовал метод граничных элементов, основанный на теореме Коши, Zhu et ai. (2005) использовали CIP метод. Arai, Miyauchi (1998) и Sun к Faltinsen (2006) исследовали двумерную задачу гидроупругости для удара цилиндрической оболочкой используя модальный анализ для тела и численные методы (CFD) для определения течения жидкости. Однако вычисления проводились не более, чем с пятью модами. Sun, Faltinsen (2006) рассматривали удар цилиндрической оболочкой по жидкости конечной глубины (CFD), сравнивая подходы Вагнера и Кармана.

Ionina, Korobhin (1999) построили решение задачи об ударе по бесконечно глубокой жидкости в рамках подхода Вагнера, используя модальный анализ для определения упругих колебаний оболочки. Сравнение результатов расчетов по этой модели с результатами эксперимента Shibue et al (1994) для удара по слою жидкости конечной глубины показало хорошее совпадение эволюции максимальных удлинений во внешних волокнах оболочке при ударе.

В диссертационной работе рассматривается удар упругой оболочкой по тонкому слою жидкости. В начальный момент оболочка касается жидкости в единственной точке, а затем начинает погружаться в неё так, что скорость центра вертикальна и постоянна. Для описания упругих характеристик оболочки использован модальный подход, а для гидродинамического анализа и определения области контакта - подход Коробкина. Определены деформации и нагрузки на оболочку при следующих предположениях: жидкость идеальная и несжимаемая, её течение двумерное и симметричное относительно вертикальной оси, цилиндрическая оболочка имеет постоянную толщину, размер области контакта оболочки с жидкостью монотонно возрастает со временем.

Течение жидкости, деформации оболочки и размер области контакта определяются одновременно.

Распространение методов исследования ударного взаимодействия упругой пластины с жидкостью на задачи об ударе оболочечных конструкций оказалось очень продуктивным. Полученные результаты хорошо согласуются с данными экспериментов японских ученых для стальных и алюминиевых оболочек и не уступают прямым численным расчетам, выполненным для нелинейной модели идеальной жидкости (Агац 1998).

Показано, что при прочих равных условиях удар по тонкому слою жидкости более опасен, чем удар по глубокой воде. Чем меньше толщина слоя, тем значительней прогибы и напряжения в оболочке.

В случае гибкой оболочки из стекловолокна были обнаружены три различные режима протекания процесса удара. Для "жестких" условий удара (удара с большой скоростью по очень тонкому слою жидкости) оболочка не проникает в жидкость, а "распластывается" по её поверхности. При средней скорости удара оболочка достигает дна, однако первый контакт оболочки с дном происходит не в центральной точке, а на некотором расстоянии от центра, поскольку оболочка существенно прогибается внутрь. При этом образуется область захваченной жидкости, течение в которой направлено к оси симметрии. В случае низкой скорости удара (и/или достаточно толстого слоя жидкости), оболочка начинает проникать в жидкость изменяя свою форму в нижней части в соответствии с возможностью захвата жидкости. При этом оболочка не достигает дна до того момента, когда начинается сужение области контакта, что указывает на начало выхода оболочки из воды.

В приложениях достаточно часто встречается ситуация, когда тело с почти плоским днищем падает на поверхность воды, верхний слой которой аэрирован, или обрушающаяся волна ударяет по вертикальной стенке, причем головная часть волны вспенена. Наличие таких прослоек между основной частью жидкости и твердой ударяющей поверхностью может существенно изменить как распределение гидродинамических давлений по поверхности проникающего тела, так и саму амплитуду давлений. При этом присутствие воздушных пузырьков в жидкости может приводить как к уменьшению ударных давлений, так и к их увеличению по сравнению со случаем неаэрированной жидкости. Вторая возможность представляет несомненный интерес.

В Главе 4 рамках акустического приближения построено решение плоской, нестационарной задачи об ударе по границе жидкости. Жидкость занимает нижнюю полуплоскость и состоит из двух слоев, с заданными скоростями звука и плотностью. Верхний слой имеет постоянную глубину и ограничен сверху пластиной, нормальная скорость которой задана. Решение построено с помощью интегральных преобразований Фурье и Лапласа.

Отметим, что задача об ударе по границе однородной сжимаемой полуплоскости была исследована в осесимметричном (Логвинович 1956) и в плоском (Frankel 1990) случаях. Задача об ударе вертикальной стенкой по однородному слою слабо сжимаемой жидкости рассматривалась в работе (Веклич 1990). В статье (Веклич 1991) рассматривалась также задача об ударе по жидкому слою конечной ширины. Во всех случаях были построены поля гидродинамического давления, вызванного ударом. Задача об ударе по двухслойной сжимаемой жидкости в рамках акустического приближения ранее не исследовалась.

В первом параграфе данной главы численно исследованы случаи удара поршнем через жесткий экран и удара струей с аэрированной головной частью по жесткой стенке. Показано, что наличие прослойки с редуцированной скоростью звука и/или плотностью существенно изменяет эволюцию распределения гидродинамического давления по ударяющей поверхности: абсолютный максимум давления уменьшается, но давления значительной амплитуды длятся дольше, чем в случае однородной жидкости.

Исследована начальная стадия процесса удара струей сжимаемой жидкости по упругой пластине (КогоЬЫп, ЮгаЬаккравкеуа, И7и 2008). Задача рассматривается в связи с инженерными приложениями в корабельной гидродинамике. Ударам струй жидкости подвержены как нижние палубы морских буровых платформ, так и внутренняя поверхность танкеров, перевозящих нефть и сжиженный газ. Струи жидкости порождаются ударами волн о поверхности конструкций или колебаниями жидкости в танкере на волнении (см. например эксперименты Вгес1то8е а1. (2002)), в свою очередь, их удары могут быть очень опасны из-за локального импульсного воздействия больших нагрузок. Такие удары могут привести и к непосредственной поломке и отрыву частей конструкций, и, повторенные многократно, к накоплению усталости элементов конструкции, поэтому возникающие при этом прогибы и напряжения необходимо учитывать уже на стадии проектирования.

Течение жидкости описывается в рамках уравнений акустики, которые формально применимы для относительно небольшой скорости удара (порядка 10-70м/с). Прогиб пластины и ее колебания описываются с помощью линейного уравнения пластины. Связь между гидродинамической и упругой частями задачи осуществляется с помощью динамического и кинематического условий на поверхности контакта. Рассматривается начальная стадия процесса, когда изменением размера области контакта можно пренебречь. Для решения задачи используется метод нормальных мод. После интегральных преобразований задача сводится к системе, состоящей из двух дифференциальных и одного интегрального уравнения, которые решаются численно. В каждом из этих случаев определены прогибы и напряжения в пластине в зависимости от времени. Показано, что под воздействием удара пластина колеблется с периодом, несколько большим, чем период первой моды свободных колебаний пластины. Увеличение периода обусловлено наличием присоединенной массы струи. Вибрации пластины носят довольно сложный характер, максимумы прогиба и максимумы напряжений достигаются не в области удара и не в центре пластины. Показано, что абсолютный максимум изгибающих моментов может быть выше для удара "не в центр" пластины. Поскольку вследствие упругости пластины и сжимаемости жидкости на пятне контакта могут возникать зоны отрицательного давления, что может привести к кавитационным явлениям в процессах удара, то исследовалось поведение давления на пятне контакта.

Построена модель, описывающая удар по упругой прямоугольной пластине струей сжимаемой жидкости, сечение которой произвольно (КкаЬакк равНеуа 2008). В рамках этой модели колебания пластины рассматриваются в полной трехмерной постановке, а гидродинамическое давление определяется из двумерных задач, возникающих при разбиении сечения струи на прямо-угольники. Расчеты проведены для эллиптической и ромбовидной формы сечения струи. Варьировались место удара и удлинение формы сечения струи. Показано, что для удлиненной струи эволюция напряжений и прогибов, возникающих в пластине при ударе, практически совпадает с решением трехмерной задачи для прямоугольной формы струи с равной площадью, равным удлинением и совпадающим центром удара. Таким образом, влияние конкретной формы струи невелико и колебания пластины можно определять из более простой модели, которая, однако, имеет полное трехмерное решение.

Для моделирования удара жидкостью по внутренним стенкам контейнеров для перевозки сжиженного газа, рассматривается плоская нестационарная задача о взаимодействии частично аэрированной струи с упругим препятствием {КНаЬаккраэкеъа, КогоЬЫп 2009). Течение жидкости в районе струи описывается в рамках акустического приближения. Часть жидкости, примыкающая к упругой пластине, аэрирована. Область, занимаемая аэрированной жидкостью, предполагается прямоугольной и расположенной по центру струи, концентрация воздуха в ней известна. Течение в этой области также описывается в рамках акустического приближения, но с редуцированными плотностью и скоростью звука. Упругое препятствие моделируется уравнением балки Эйлера с шарнирно-закрепленными концами. Боковые границы аэрированной жидкости перпендикулярны плоскости упругой пластины и в данной работе полагаются непроницаемыми. Такая задача возникает при ударе жидкостью по участку теплоизолирующего упругого покрытия контейнера, при наличии на нем ребер жесткости. Для гашения плескания сжиженного газа в контейнере эти ребра делаются достаточно большими. При ударе жидкостью с передним плоским фронтом по участку покрытия происходит захват воздуха между ребрами. Вследствие удара захваченный воздух сжимается, и воздушная каверна распадается на пузырьки, которые приводят к образованию прямоугольной области аэрированной жидкости. Некоторые исследователи полагают, что это приводит к понижению гидродинамического давления и уменьшению колебаний стенок покрытия при ударах по ним волнами или струями жидкости. С другой стороны, каверны или аэрированные прослойки увеличивают продолжительность относительно высоких гидродинамических нагрузок при ударе, за счет чего прогибы и напряжения в основной пластине могут возрасти.

В данной работе исследовано влияние на упругие реакции основной пластины как наличия самих таких перпендикулярных ребер, попадающих в область удара струей, так и изменения гидродинамического давления при возможном захвате воздуха между ребрами и его последующем перемешивании с жидкостью. Показано, что и наличие ребер и присутствие аэрированного слоя ведут к изменению реакции упругих стенок на удар, что необходимо учитывать при проектировании внутренних покрытий цистерн танкеров, и других гидротехнических сооружений.

Все основные результаты диссертации являются новыми. Их достоверность подтверждается сравнением с имеющимися численными и экспериментальными данными других авторов.

Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что они могут быть использованы при проектировании корабельных и прибрежных конструкций, которые в ходе эксплуатации подвергаются ударам струй жидкости (внутренняя поверхность цистерн танкеров, нижняя сторона нефтяных платформ и т.д.) Построенные модели можно применять для определения упругого поведения инженерных конструкций при их взаимодействии с жидкостью, в частности при набегании волн, ударах поверхностной волной или струей жидкости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации представлены результаты автора, относящиеся к проблеме взаимодействия жидкости с упругим телом. Построенная теория позволяет моделировать процессы соударения, интерпретировать данные экспериментов и совершенствовать методы расчетов гидроупругого взаимодействия тел.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Изучена двумерная задача о гидроупругом поведении плавающей пластины под действием периодических поверхностных волн. Предложен новый метод решения этой задачи, с помощью которого исследованы поведение под действием падающей поверхностной волны составной пластины, пластины с трещиной и пластины, соединенной с дном упругой связью.

2. Выявлена и описана связь параметров упругих колебаний пластины и амплитуд прошедшей и отраженной волн. Показано, что максимальные значения амплитуд напряжений и прогибов пластины немонотонно зависят от частоты падающей волны и достигаются одновременно с максимумами коэффициента прохождения. Это позволяет использовать коэффициент прохождения как параметр для предсказания максимальных и минимальных амплитуд гидроупругих колебаний пластины.

3. С помощью обратного метода построено точное решение для задачи об изгибно-гравитационных колебаниях плавающей упругой пластины.

4. Исследование полученных решений позволило выявить два способа снижения колебаний основной части пластины. Первый способ состоит в шарнирном присоединении к основной упругой пластине вспомогательной пластины, параметры которой подбираются так, чтобы минимизировать колебания основной пластины, а второй - в упругом соединении с дном ("заякоревании") передней кромки пластины.

5. Исследованы задачи об ударе конструкцией в виде упругой пластины или клина с упругими стенками по поверхности идеальной несжимаемой жидкости. Рассмотренные задачи решены методом нормальных мод, при этом основное внимание уделяется упругим реакциям конструкции. Построенный алгоритм позволяет проводить анализ роли упругих эффектов в процессах соударения жидкости с тонкостенными конструкциями ограниченной протяженности. С целью изучения особенностей процесса нестационарного взаимодействия системы падающая пластина - жидкость, этот алгоритм применен для ряда случаев различной геометрии начальной постановки задачи.

6. В рамках построенной модели для достаточно длинных пластин обнаружено и описано явление усиления гидродинамических нагрузок на пластину за счет ее упругих деформаций.

7. Исследована зависимость общей энергии системы от геометрии начальной постановки задачи об ударе и от упругих свойств пластины, проанализирован вклад кинетической и потенциальной энергии пластины в общую энергию системы. На основе этого анализа получены оценки значений максимальных напряжений в пластине и моментов времени, при которых они достигаются.

8. Построена и исследована модель, описывающая поведение упругих оболочек при ударе по поверхности жидкости. Анализ результатов показал, что удар по тонкому слою жидкости более опасен, чем удар по глубокой воде, поскольку деформации и напряжения, возникающие в оболочке в первом случае значительно выше. Полученные результаты впервые позволили описать наблюдающуюся в эксперименте сложную эволюцию формы гибких сферических оболочек при ударе по слою жидкости.

9. В рамках акустического приближения построено решение нестационарной задачи об ударе по границе двухслойной жидкости и задачи об ударе по пластине струей жидкости с аэрированной прослойкой. Показано, что наличие прослойки с уменьшенными скоростью звука и плотностью существенно изменяет эволюцию распределения гидродинамического давления по ударяющей поверхности, а именно, абсолютный максимум давления уменьшается, но давления значительной амплитуды длятся дольше, чем в случае однородной жидкости. Это может привести у усилению прогиба и упругих напряжений в пластине при ударе.

10. Построена модель, позволяющая определять параметры упругих колебаний прямоугольной пластины при ударе по ней струей сжимаемой жидкости произвольной формы. Показано, что характер и амплитуды колебаний пластины слабо зависят от формы струи. Определяющими факторами при этом являются толщина струи и положение ее центра. Исследовано влияние демпфирования и сжимаемости жидкости на колебания пластины.

1. Абрамов И.П., Повицкий A.C. Перегрузки при посадке гидросамолетов // Технические заметки ЦАГИ. 1936. Вып.132. С. 1-53.

2. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979. 832 с.

3. Алексеев В.В., Индейцев Д.А., Мочалова Ю.А. Резонансные колебания упругой мембраны на дне бассейна // Журнал технической физики. 1999. Т. 69. Вып. 8. С.37-42.

4. Алексеев В.В., Индейцев Д.А., Мочалова Ю.А. Колебания упругой пластины контактирующей со свободной поверхностью тяжелой жидкости // Журнал технической физики. 2002. Т. 72. Вып. 5. С. 16-42.

5. Бабаков И.М. Теория колебаний. Москва: Государственное издательство технико-теоретической литературы. 1958. 628 с.

6. Букатов А.Е., Завьялов ДД. Набегание поверхностных волн на кромку сжатого льда // Изв. РАН. МЖГ, 1995. N 3. С. 121-126.

7. Веклич H.A. Удар полосы сжимаемой жидкости о преграду // Изв. АН СССР. МЖГ. 1990. № 6. С. 138-145.

8. Веклич H.A. Удар цилиндра из идеальной сжимаемой жидкости о преграду // Сиб. физ.-тех ж. 1991. № 6. С. 34-41.

9. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

10. Гиголюк Э.И., Горшков А.Г. Нестационарная гидроупругость оболочек. "Судостроение Ленинград, 1974. 208 с.

11. Горелов Д.Н. Методы решения плоских краевых задач теории крыла. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 215 с.

12. Горелов Д.Н. Математическое моделирование физических явлений. Омск: Омский гос. Ун-т, 2001. 89 с.

13. Григолюк Э. И., Горшков А. Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью. Л.: Судостроение, 1976. 200 с.

14. Давыдов В. В., Маттес Н.В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974. 336 с.

15. Добровольская З.Н. О характере контакта свободной поверхности жидкости с твердой границей в задаче о проникании клина // ДАН СССР. 1963. Т.153. № 4. С. 783-786.

16. Ерошин В.А., Роминенков Н.И., Серебряков И.В., Якимов Ю.Л. Гидродинамические силы при ударе тупых тел о поверхность сжимаемой жидкости // Известия Академии Наук СССР, МЖГ. 1980. Т. 6. С. 44-51.

17. Индейцев Д.А., Кузнецов Н.Г., Мотыгин О.В., Мочалова Ю.А. Локализация линейных волн. СПб: Изд-во СПбГУ, 2007, 342 с.

18. Комаров В.А., Коробкин A.A., Стурова И.В., Федотова З.И., Чуба-ров Л. Б. Взаимодействие уединенной волны с плавающей упругой пластиной // Сб. научн. тр. "Фундам. и прикл. гидрофизика". СПб. Наука, 2009. № 2(4). С. 4-14.

19. Коробкин A.A. Соударение жидких и твердых масс. Новосибирск: Наука, 1997. 200с.

20. Коробкин A.A. Плоская задача о симметричном ударе волной по балке Эйлера // ПТМФ. 1998. Т.39. № 5. С. 134-147.

21. Коробкин A.A. Численное и асимптотическое исследование плоской задачи о гидроупругом поведении плавающей пластины на волнах // ПМТФ. 2000. Т. 41. № 2. С. 90-96.

22. Коробкин A.A., Хабахпашева Т.И. Приближение пологого твердого тела к границе раздела двух сред // ПМТФ. 1997. Т. 38. № 6. С. 49-60.

23. Коробкин A.A., Хабахпашева Т.И. О несимметричном ударе вершиной волны по упругой пластине // ПМТФ. 1998. Т. 39. № 5. С. 148-158.

24. Коробкин A.A., Хабахпашева Т.И. Плоская линейная задача о погружении упругой пластины в идеальную несжимаемую жидкость // ПМТФ. 1999. Т. 40, N 3. С. 150 -160.

25. Коробкин A.A., Хабахпашева Т.И. Энергетическое соотношение в задаче об ударе балкой по поверхности жидкости // Динамика сплошной среды, СО РАН, Ин-т Гидродинамики. 1999. Вып.114. С. 106-110.

26. Коробкин A.A., Хабахпашева Т.И. Удар по границе сжимаемой двухслойной жидкости // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2006. 2. С. 105-121.

27. Коробкин A.A., Хабахпашева Т.И. Построение точных решений в задаче о плавающей пластине // ПММ. 2007. Т. 71. Вып. 2. С. 321-328.

28. Лаврентьев М.А., Келдыш М.В. Общая задача о жестком ударе о воду // Труды ЦАГИ. 1935. Вып. 152. С. 5-12.

29. Логвинович Г.В. Удар твердого тела о сжимаемую жидкость // Тр. ЦАГИ. 1956. Вып. 688. 7 с.

30. Логвинович Г.В. Гидродинамика течений со свободными границами. Киев: Наук, думка. 1969. 215 с.

31. Лотов A.B. Об ударе упругой пластины о поверхность жидкости. // Тр. ЦАГИ. 1935. Вып. 152. С. 32-46.

32. Макаренко Н.И. Неустановившиеся поверхностные волны при наличии погруженного препятствия // Вычислительные технологии. 1995. Т. 11. № 4. С. 169-175.

33. Макаренко Н.И. О генерации нелинейных волн погруженным цилиндром // Динамика сплошной среды. 1998. Вып. 113. С. 99-102.

34. Макаренко Н.И. Нелинейное взаимодей-ствие погруженных тел со свободными границами // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докл. Пермь, 2001. С. 409-410.

35. Овсянников Л.В., Налимов В.И., Макаренко Н.И., Ляпидевский В.Ю., Плотников П.И., Стурова И.В., Вукреев В.И., Владимиров В.А. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, 1985. 320 с.

36. Ньюмен Дж. Морская гидродинамика Ленинград, Судостроение. 1985. 367 с.

37. Повицкий A.C. Удар при посадке гидросамолета // Труды ЦАГИ. 1935. Вып. 199. С. 1-17.

38. Повицкий A.C. Дополнение к работе Вагнера по удару и глиссированию // Труды ЦАГИ. 1935. Вып. 199. С. 27-31.

39. Повицкий A.C. Посадка гидросамолетов // Труды ЦАГИ. 1939. Вып. 423. С. 1-83.

40. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды, специальные функции. М.: Наука, 1983. 800 с.

41. Рождественский К. В. Метод сращиваемых асимптотических разложений в гидродинамике крыла. Ленинград. Судостроение. 1979. 208 с.

42. Седов Л.И. Об ударе твердого тела, плавающего на поверхности жидкости // Труды ЦАГИ. 1934. Вып. 187. С. 1-27.

43. Седов Л.И. Ударе плавающего клина // Труды ЦАГИ. 1935. Вып. 152. С. 27-31.

44. Седов Л. И. Падение клина на поверхность воды // Технические заметки ЦАГИ. 1935. № 52. Вып. 2. С. 14-17.

45. Седов Л.И. Механика сплошной среды, том 2. (Гидромеханика). М.: Наука, 1970. 569 с.

46. Слеплн Л. И. О взаимодействии пластины с жидкостью при ударе // Инженерный журнал. МТТ. 1966. № 6. С. 44-49.

47. Стурова И. В. Косое набегание поверхностных волн на упругшую полосу // ПМТФ, 1999. Т. 40. № 4. С. 62-68.

48. Стурова И.В. Действие нестационарной внешней нагрузки на упругую круглую пластину, плавающую на мелководье // ПММ, 2003. Т. 67, № 3. С. 453-463.

49. Стурова И.В. Нестационарное поведение упругой балки, плавающей на поверхности бесконечно глубокой жидкости // ПМТФ. 2006. Т. 47. № 1. С. 85-94.

50. Стурова И. В. Влияние периодического поверхностного давления на прямоугольную упругую пластину, плавающую на мелководье // ПММ. 2006. Т. 70. № 3. С. 417-426.

51. Стурова И. В. Влияние ледяного покрова на колебания жидкости в замкнутом бассейне // Изв. РАН. ФАО. 2007. Т. 43. № 1. С. 128-135.

52. Стурова И. В. Влияние топографии дна на нестационарное поведение упругой пластины, плавающей на мелководье // ПММ. 2008. Т. 72. № 4. С. 588-600.

53. Стурова И.В. Нестационарное поведение неоднородной упругой балки, плавающей на мелководье // ПММ. 2008. Т. 72. № 6. С. 964-977.

54. Стурова И.В., Коробкин A.A. Плоская задача о воздействии периодической нагрузки на упругую пластину, плавающую на поверхности бесконечно глубокой жидкости // ПМТФ. 2005. Т. 46. № 3. С. 61-72.

55. Тимошенко С. Колебания в инженерном деле. Москва. Наука. 1959. 439 с.

56. Ткачева Л.А. Гидроупругое поведение плавающей пластины на волнах // ПМТФ. 2001. Т. 42. № 6. С. 79-85.

57. Ткачева Л.А. Плоская задача о дифракции поверхностных волн на упругой плавающей пластине // Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 3. С. 131-149.

58. Ткачева Л.А. Плоская задача о колебаниях плавающей упругой пластины под действием периодической внешней нагрузки // ПМТФ. 2004. Т. 45. № 2. С. 136-145.

59. Ткачева Л.А. Дифракции поверхностных волн на упругой плавающей пластине при косом набегании // ПММ. 2004. Т. 68, № 3. С.474-486.

60. Ткачева Л. А. Воздействие периодической нагрузки на плавающую упругую пластину // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 2. С. 132-146.

61. Ткачева Л.А. Колебания плавающей упругой пластины при периодических смещениях участка дна // ПМТФ. 2005. Т. 46. № 5. С. 166-179.

62. Ткачева Л.А. Движение системы сейсмоисточников под действием импульса на льду водоема // ПМТФ. 2007. Т. 48. № 2. С. 147-155.

63. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. Москва. Машиностроение. 1970. 734 с.

64. Хабахпашева Т.Н. Плоская задача об упругой плавающей пластине // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 2000. Вып.116. С. 166-169.

65. Хабахпашева Т. И. Методы гашения гидроупругих колебаний плавающей пластины, вызванных набегающими поверхностными волнами // тезисы докл. Восьмого Всероссийского Съезда по Теоретической и Прикладной Механике, Пермь, 2001. С. 583.

66. Хабахпашева Т.И. Связь гидродинамических и упругих параметров при дифракции поверхностных волн на плавающей пластине // Изв. РАН. МЖГ, 2003. N 4. С. 101-110.

67. Хабахпашева Т. И. Задача об ударе балки с надрезом по поверхности волны // Тез. докл. Всеросс. конф. "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение, Новосибирск, Россия. 2004. С. 139.

68. Хабахпашева Т.И. Плоская задача об ударе волной по упругой пластине при пружинном закреплении ее кромок // Тез. докл. 6-й Междунар. конф. "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" Новосибирск, Россия. 2005. С. 175-176.

69. Хабахпашева Т.И. Удар поверхностной волной по упругой обшивке судна // Известия РАН. МЖГ. 2006. № 3. С. 111-121.

70. Хабахпашева Т. И. Нестационарное взаимодействие упругих тел с жидкостью // Тез. докл. Всеросс. конф. "Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва"посвященная 50-летию института Гидродинамики им.М.А. Лаврентьева СО РАН. 2007. С. 171-172.

71. Хабахпашева Т.И., Коробкин А. А. Явление захвата воздуха в проблеме удара волной по упругой пластине // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике: Тезисы докладов. Т. 2. Новосибирск, 1998. С. 127-128.

72. Хабахпашева Т.И., Коробкин А.А. Удар упругой пластиной по взволнованной поверхности жидкости // Тез. докл. Междунар. конф. "Математические модели и методы их исследования Красноярск, Россия. 1999 г. С. 203.

73. Aarsnes J. V. An experimental investigation of the effect of structural elasticity on slamming loads and structural response // Technical Report, MARINTEK A/S, Trondheim, Norway, 1994. 196 c.

74. Abramyan A.K., Vakulenko S.A. Motion of Soliton Perturbations in the Elastic Bodies Interacting with Fluid // In: Proc. 8th International Congress on Sound and Vibration (ICSV8). Hong Kong, 2001.

75. Abramian A.K., Indejtsev D.A., Vakulenko S.A. Wave Localization in Hydro-elastic Systems // Flow, Turbulence and Combustion. 1998. T. 61. № 1-4. C. 1-20.

76. Adrianov A.I., Hermans A.J. A VLFP on infinite, finite and shallow water // Proc. 17th Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Peterhouse. Cambridge, UK, 2002. P. 1-4.

77. Adrianov, A.I., Hermans, A.J. The influence of water depth on the hydro-elastic response of a very large floating platform // Marine Structures, 2003. V. 16. P. 355-371.

78. Adrianov, A.I., Hermans, A.J. Hydroelasticity of a circular Plate on water of finite and infinite depth // Journal of Flud and Structures, 2005. V. 20. iss. 5. P. 719-733.

79. Bessho M., Komatsu M. On hydrodynamical forces acting on a flat plate oscillating on water surface (Second Report) // KSNAJ (Journal of the Kansai Society of Naval Architects Japan), 1976. N 163. P. 67-74. (на японском языке)

80. Bredmose, H., Peregrine, D.H., Thais, L. Violent sloshing. In: Proceedings 17th International Workshop Water Waves and Floating Bodies, Cambridge, UK, 2002. P. 13-16.

81. Bueckner H.F. Some stress singularities and their computation by means of integral equations // Proc. of Symposium Boundary Problems in Differential Equations (ed. R.E.Langer), 20-22 April, 1959, Madison, Univ. of Wisconsin Press, 1960. P. 215-230.

82. Chong Wu, Watanabe E,, Utsunomiya T. An eigenfunction expansion-matching method for analyzing the wave-induced responses of an elastic floating plate // Appl. Ocean Res, 1995. V. 17. N 5. P. 301-310.

83. Chuang S.L. Experimental Investigation of Dynamic Interaction Between Rectangular Elastic Plate and Fluid during Flat-Bottom Slamming. Report 24H, Naval Ship Research and Development Center. 1997.

84. Compana E.F., Carcaterra A., Ciappi E., Iafrati A. Parametric analysis of slamming forces: compressible and incompressible phases. Proc. 3rd Int. Conf. Hydrodyn. ICHD-98. Seoul. Korea. 1998. P. 167-172.

85. Dobrovol'skaya Z.N. On some problems of similarity flow of fluid with a free surface // J.Fluid Mech. 1969. V. 36. P. 805-829.

86. Faltinsen, O.M. Sea loads on ships and offshore structures. Cambridge ocean technology series. Cambridge university press. 1990. 328 p.

87. Faltinsen O.M. Slamming // Advances in Ship and Offshore Hydrodynamics ( Ed. V. Bertram). 1996. N. 561. P. 21-30.

88. Faltinsen O.M., Kvalsvold J., Aarsnes J. V. Wave impact on a horizontal elastic plate // J.Marine Science and Technology, Vol.2, No.2, 1997. pp.87-100.

89. Faltinsen O.M. The effect of hydroelasticity on ship slamming. Phil. Trans. R. Soc. Lond. V. A355. 1997. P. 575-593.

90. Faltinsen, O.M., Landrini M., Greco M. Slamming in marine applications //J. Engng Math. 2004. V. 48. N 3-4. P. 187-217.

91. Frankel I. Compressible flow induced by the transient motion of a wavemaker // ZAMP. 1990 V. 41. N 5. P. 628-655.

92. Greenhow M. Wedge entry into inityally calm water // Appl.Ocean Res. 1987. V.9. P. 214-223.

93. Hermans A.J. Interaction of free-surface waves with a floating dock // J. Engi-ng Mathematics, 2003. V. 45. P. 39-53.

94. Hermans A.J. The ray method for the deflection of a floating flexible platform in short waves //J. Fluids Struct., 2003. V. 17. P. 593-602.

95. Hermans A.J. Interaction of free-surface waves with a floating flexible strips // J. Engi-ng Mathematics, 2004. V. 49. P. 133-147.

96. Howison S.D., Ockendon J.R., Wilson S.K. Incompressible water-entry problems at small deadrise angles. // Journal of Fluid Mechanics 222, 1991. P. 215-230.

97. Kasiwagi M. A B-spline Galerkin scheme for calculating hydroelastic response of a very large floating structure in waves //J. Mar. Sci. Tech., 1998. V. 3. P. 37-49.

98. Kasiwagi M. Research on hydroelastic response of VLFS: Resent progress and future work // Int Journal Offshore Polar Engi-ng, 2000. V. 10 (2). P. 81-90.

99. Khabakhpasheva T.I Wave impact on cracked elastic beam // In: Proc. 19th Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies, Cortona, Italy, 2004. P. 73-76.

100. Khabakhpasheva T.I. Piston impact onto the boundary of two-layer fluid // ICTAM04 Abstract book and CD-ROM Proc. 21st Intern. Congr. of Theoretical and Applied Mechanics, Warsaw, Poland, 2004. 2 p.

101. Khabakhpasheva T.I. Wave impact on elastic beam, connected with spring to main structure// In: Proc. 20 th Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies (Ed. J Grue), Norway, 2005. P. 73-76.

102. Khabakhpasheva T.I. Impact of a cylindrical shell on a thin layer of water // In: Proc. 21st Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies (Ed.: C.M.Linton, M.McIver and P.McIver), Loughborogh, UK, 2006. P. 89-92.

103. Khabakhpasheva T.I. Verification of the method of flat cross-sections for the case of jet impact onto elastic plate // Proc. 23nd Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies (Ed.: Hang Shoon Choi, Yonghwan Kim), Korea, 2008. P. 100-103.

104. Khabakhpasheva T.I. Impact of a spherical shell on a thin layer of the water // Book of abstracts of 22-nd International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Adelaide, Australia, 2008. 2 p.

105. Khabakhpasheva T.I Fluid-structure interaction during the impact of a cylindrical shell on a thin layer of water //J. Fluids and Structures. 2009. Vol. 25. № 3, P. 431-444.

106. Khabakhpasheva T.I, Korobkin A.A. Wave impact on elastic plates // In: Proc. 12th Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies (Ed.: B.Molin), Carry-le-Rouet, France. 1997. P. 135-138.

107. Khabakhpasheva T.I., Korobkin A.A. One-side inequalities in the problem of the wave impact // In: Proc. 13th Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies, Alphen aan den Rijn, Netherlands (Ed.: A.J. Hermans), 1998. P. 67-70.

108. Khabakhpasheva T.I., Korobkin A.A. Energy conservation law in the problem of elastic plate impact onto liquid free surface // In: Proc. 14th Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies, Michigan. 1999. P. 72-75.

109. Khabakhpasheva T.I., Korobkin A.A. Reduction of hydroelastic response of floating platform in waves // In: Proc. 16-th Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Hiroshima, Japan, 2001. P. 73-76.

110. Khabakhpasheva T.I., Korobkin A.A. Hydroelastic behaviour of compound floating plate in waves // J. Engi-ng Mathematic, 2002. V. 44. N 1. P. 21-40.

111. Khabakhpasheva T.I., Korobkin A.A. Exact solution of floating elastic plate problem// In: Proc. 17th Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies, Cambridge, UK, 2002. P.73-76.

112. Khabakhpasheva T.I., Korobkin A.A. Approximate models of elastic wedge impact// In: Proc. 18th Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies, Ecole Centrale de Nantes, France, 2003. P.73-76.

113. Khabakhpasheva T.I., Korobkin A.A. Compressible jet impact on corrugated plate // In: Proc. 24-th Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies. St-Petersburg. Russia, 2009. P. 213-216.

114. Khabakhpasheva T.I., Korobkin A.A. Effect of aeration on fluid-structure interaction // In: Intern. Conf. "Days on DifTraction'2008". Abstracts. St. Petersburg, 2009. P. 46-47.

115. Khabakhpasheva T.I., Korobkin A.A. Aeration liquid impact onto corrugated plate //In: Pros, of 5-th Intern. Conf. of Hydroelasticity in Marine Technology, Univ Southampton. UK, 2009. P. 141-150.

116. King A.C., Needham D.J. The initial development of a jet caused by fluid, body and free-surface interaction. Part 1. A uniformly accelerated plate. Journal of Fluid Mechanics. 1994. V. 268. P. 89-101.

117. Kim J. W., Ertekin R. C. An eigenfunction-expansion method for predicting hydroelastic behavior of a shallow-draft VLFS // In: Proc. 2nd Int. Conf. Hydroelasticity in Marine Technology (Eds M.Kashiwagi et al.), Fukuoka, Japan, 1998. P. 47-60.

118. Korobkin A.A., Pukhnachov V.V. Initial stage of water impact // Ann. Rev. Fluid Mech., Vol.20. 1988. P. 159-185.

119. Korobkin A.A. Blunt-body penetration into a slightly compressible liquid // In: Proc. 20th Symposium on Naval Hydrodynamics, University of California, Santa Barbara, California, August 21-26, 1994. P. 179-186.

120. Korobkin A.A. Wave Impact on the Bow End of a Catamaran Wet Deck // Journal of Ship Research, V. 39. N 4. 1995. P. 321-327.

121. Korobkin A.A. Impact of two bodies one of which is covered by a thin layer of liquid. // Journal of Fluid Mechanics 300, 1995. P. 43-58.

122. Korobkin A.A. Elastic Effects on Slamming // NAOE-96-39, Department of NAOE, University of Glasgow. 1996. P. 134.

123. Korobkin A.A. Acoustic approximation in the slamming problem // J.Fluid Mech. V. 318. 1996. P. 165-188.

124. Korobkin A.A. Water impact problems in ship hydrodynamics // Advances in Marine Hydrodynamics (ed. M. Ohkusu), Southampton, Computational Mech. Publ. 1996. P. 323-371.

125. Korobkin A.A. Global characteristics of jet impact // J.Fluid Mech. 1996. V. 307. P. 63-84.

126. Korobkin A.A. Elastic wedge impact // Lecture Notes. INSEAN. 2000. 12 p.

127. Korobkin, A.A. Analytical models of water impact // Euro. Journal of Applied Mathematics. 2004. V.15. P. 821-838.

128. Korobkin A., Malenica S. Steep wave impact onto elastic wall // Proc. 22nd Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies (Ed.: S. Malenica), Croatia, 2007. P. 129-132.

129. Korobkin A.A., Khabakhpasheva T.I. Periodic wave impact onto an elastic plate// In: Preprint of the Proc. 7th Intern. Conference on Numerical Ship Hydrodynamics, Nantes, France. 1999. P.7.3.1-7.3.19.

130. Korobkin A.A., Khabakhpasheva T.I. Regular wave impact onto an elastic pate // Journal Enginering Mathematics. 2006. V. 55. P. 127-150.

131. Korobkin, A.A., Khabakhpasheva, T.I., Wu, G.X. Compressible jet impact onto elastic panels // In: Proceedings Fourth International Conference on Hydroelasticity in Marine Technology Wuxi, China, 2006. P. 159-168.

132. Korobkin, A.A., Khabakhpasheva, T.I., Wu, G.X. Coupled hydrodynamic and structural analysis of compressible jet impact onto elastic panels //J. Fluids and Structures. 2008. V. 24. N 7. P. 1021-1041.

133. Khabakhpasheva T.I., Wu G.X. Coupled compressible and incompressible approach for jet impact onto elastic plate // Proc. 22nd Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies (Ed.: S. Malenica), Croatia, 2007. P. 121-124.

134. Kvalsvold J., Faltinsen O.M. Hydroelastic modelling of slamming against the wetdeck of a catamaran // In: Proc. Second Int. Conf. Fast Sea Transportation, FAST'93, Yokohama, Japan, December 1993. P. 681-697.

135. Kvalsvold J., Faltinsen O.M. Slamming loads on wetdeck of multihull vessels // In: Proc. Int. Conf. Hydroelasticity in Marine Technology (eds. O.M. Faltinsen et al.), Trondheim, Norway, 25-27 May. 1994. P. 205-220.

136. Kvalsvold J., Faltinsen O.M. Hydroelastic modelling of wetdeck slamming on multihull vessels // J. Ship Res. V. 39. 1995. P. 225-239.

137. Makarenko N.I. Nonlinear interaction of submerged cylinder with free surface

138. Trans. ASME. J. Offshore Mech. Arctic Engng. 2003. V. 125. N 1. P. 72-75.

139. Makarenko N.I. Nonlinear water waves in the presence of submerged elliptic cylinder // In: Proc. 23rd Int. Conf. on Offshore Mech. and Arctic Engineering OMAE'04. June 20-25, 2004, Vancouver, Canada. Paper OMAE-51413. P.

140. Meylan M., Squire V.A. Finite-floe wave reflection and transmission coefficients from a semi-infinite model // Journal of Geophysical Research, 1993. V. 98. N C7. P. 12.537-12.542.

141. Meylan M., Squire V.A. The response of ice floes to ocean waves //Journal of Geophysical Research, 1994. V. 99. N CI. P. 891-900.

142. Meylan M., Squire V.A. Response of a circular ice floes to ocean waves // Journal of Geophysical Research, 1996. V. 101, P. 8869-8894.

143. Meylan M. A variational equation for the wave forcing of floating thin plates // Appl. Ocean Res., 2001. V. 23, P. 195-206.

144. Meyerhoff W.K. Die Berechnung Hydroelascher Stosse // Schiffstechnik. 1965. Band 12. № 60. S.18-30. N 61. S. 49-64.

145. Muzaferija S., Perie M., Sames P., Schellin T. A two-fluid Navier-Stokes solver to simulate water entry //In: Proc. 22-nd Symp. Naval Hydrodyn. Washington D.C. 1997. P. 638-651.

146. Nagata S., Yoshida H., Fujita T., Isshiki H. Reduction of the motion of an elastic floating plate in waves by breakwaters. //In: Proc. of the Second Int. Conf. on Hydroelasticity in Marine Technology, Fukuoka, Japan, 1-3 Decern, 1998. P. 229-238.

147. Needham D.J., Billingham J., King A.C. The initial development of a jet caused by fluid, body and free-surface interaction. Part 2. An impulsively moved plate. Journal of Fluid Mechanics. 2007. V. 578. P. 67-84.

148. Newman, J.N. Lateral motion of a slender body between two parallel walls // Journal of Fluid Mechanics. 1969. V. 39. Part 1. P. 97-115.

149. Newman, J.N. Wave effects on deformable bodies // Appl. Ocean Res. 1994. V. 16, P. 47-59.

150. Peregrine, D.H. Flow due to vertical plate moving in a channel // Unpublished notes, Department of Mathematics, University of Bristol, UK. 1972.

151. Porter, D., Porter, R. Approximations to wave scattering by an ice sheet of variable thickness over undulating bed topography // Journal Fluid Mechanics, 2004. V. 509. P. 145-179.

152. Proc. Int. Workshop Very Large Floating Structures (Eds Y. Watanabe), Hayama, Japan, 1996. 532 p.

153. Proc. 2nd Int. Conf. Hydroelasticity in Marine Technology (Eds M.Kashiwagi et al.), Fukuoka, Japan, 1998. 552 p.

154. Proc. 4nd Int. Conf. Hydroelasticity in Marine Technology (Eds You-Sheng Wu, Wei-Cheng Cui et al.), Wuxi, China, 2006. 428 p.

155. Proc. 5nd Int. Conf. Hydroelasticity in Marine Technology (Eds P. Tamalrel, S.Hirdaris), Southhampton, UK, 2009. 405 p.

156. Peter M.A., Meylan M.H. Infinite-depth interaction theory for arbitrary floating bodies applied to wave forcing of ice floes // Journal Fluid Mechanics, 2004. V. 500. P. 145-167.

157. Peter M.A., Meylan M.H., Linton C.M. Water-wave scattering by a periodic array of arbitrary bodies // Journal Fluid Mechanics, 2006. V. 548. P. 237-256.

158. Rizos P.F., Aspragathos N.} Dimarogonas Identification of crack location and magnitude in a cantilever beam from the vibration modes. // Journal of Sound and Vibration, 1990. V. 138. N 3. P. 381-388.

159. Shabana A.A. Theory of Vibration (An Introduction), Second Edition. Mechanical Engineering Series. Springer, 1996. 347 p.

160. Seto H., Ochi M. A hybrid element approach to hydroelastic behavior of a very large floating structure in regular wave // In: Proc. Int. Conf. Hydroelasticity in Marine Technology, Trondheim, Norway, 1994. P.185-194.

161. Shibue I., Ito A., Nakayama E. Structural response analysis of cylinders under water impact // In: Proc. Int. Conf. Hydroelasticity in Marine Technology, Trondheim, Norway, 1994. P. 221-228.

162. Squire V.A., Dugan J.P., Wadhams P., et al. Of ocean waves and sea ice // Annual Rev. Fluid Mech, 1995. V. 27. P. 115-168.

163. Squire V.A. Of ocean waves and sea-ice revisited // Cold Regions Sience and Technology. 2007. V. 49. No 2. P. 110-133.

164. Sturova I. V. The oblique incidence of surface waves onto the elastic band // In: Proc. of the Second Int. Conf. on Hydroelasticity in Marine Technology, Fukuoka, Japan, 1998. P. 239-245.

165. Sun, H., Faltinsen, O.M. The fluid-structure interaction during the water impact of a cylindrical shell. // In: Proc. of 4-th International Conference on Hydroelasticity in Marine Technology, Wuxi, China, 2006. P. 149-158.

166. Suzuki H., Yoshida K. Design Flow and Strategy for Safety of Very Large Floating Structure // Proc. of International Workshop on Very Large Floating Structures (ed. Watanabe), 1996. P. 21-27.

167. Takagi, K. Surface wave diffraction on a floating elastic plate // Appl. Ocean Res., 2002. V. 24, P. 175-183.

168. Takagi, K., Shimada, K., Ikebucni, T. An anti-motion device for a very large floating structure // Marine Struct., 2000. V. 13, P. 421-436.

169. Tkacheva L.A. Diffraction of surface waves at floating elastic plate // In: Proc. 17th Intern. Workshop on Water Waves and Floating Bodies.Peterhouse. Cambridge, UK, 2002. P. 175-178.

170. Tuck E.O., Dixon A. Surf-skimmer planing hydrodynamics. // Journal of Fluid Mechanics, 1989. 205. P. 581-592.

171. Von Karman T. The impact of seaplane floats during landing // NACA, Technical Note 321, Washington, DC, USA. 1929. P. 309-313.

172. Wagner H. Über Stoss- und Gleitvergänge an der Oberfläche von Flüssigkeiten // Z. Angew. Mach. Mech. 1932. Vol. 12. H.4. S. 193-235.

173. Watanabe E., Utsunomiya T., Wang C.M. Hydroelastic analysis of pontontype VLFS: a literature survey// Eng-ng. Struct. 2004. V. 26, N 2. P. 245-256.

174. Wehausen J.V., Laitone E.V. Surface waves // Encyclopedia of physics, Springer-Verlag. Berlin, 1960. V. 9. P. 446-778.

175. Wu, G.X. Initial pressure distribution due to jet impact on a rigid body // Journal of Fluid and Structures. 2001. V. 15. P. 365-370.

176. Wu G.X. Hydrodynamic impact of the Water Waves // In: Proceedings 6-th International Workshop on Water Waves and Floating Bodies, Wood Hole, MA, USA, 1991. P. 259-263.

177. Yago K., Endo H., Ohmatsu S. On the hydroelastic response of box-shaped floating structure with shallow draft (2nd report) // J. of the Soc. of Nav. Arch, of Japan, 1997. V. 182 P. 307-317.

178. Zhu L., Faulkner D. Slamming Drop Tests for Small Scale SWATH Characteristic Model // NAOE-94-34, Department of NAOE, University of Glasgow. 1994. 63 pp.

179. Zhu, X., Faltinsen, O.M., Hu C. Water entry and exit of a horizontal circular cylinder. // In: Proc. of 24-th International Conference on Offshore Mechanics and Arctic Engineering (OMAE), Halkidiki, Greece, 2005. CD-room.

180. Zilman G., Miloh T. The diffraction of surface waves by an elastic platform floating on shallow water // Appl. Ocean Res., 2000. V. 22. P. 191-198.