Напряженно-деформированное состояние объектов в верхней мантии

Иванисова, Ольга Владимировна

Напряженно-деформированное состояние объектов в верхней мантии тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Иванисова, Ольга Владимировна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Краснодар МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Напряженно-деформированное состояние объектов в верхней мантии»

Автореферат диссертации на тему "Напряженно-деформированное состояние объектов в верхней мантии"

На правах рукописи

005055иоА

Иванисова Ольга Владимировна

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБЪЕКТОВ В ВЕРХНЕЙ МАНТИИ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 5 НОЯ 2012

Краснодар 2012

005055082

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Кубанский государственный университет»

Научные руководители: доктор физико-математических наук

профессор [Ефремов Ион Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информационных технологий КубГУ Лукащик Елена Павловна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент, профессор кафедры математического моделирования КубГУ Павлова Алла Владимировна

доктор физико-математических наук, профессор кафедры производства строительных конструкций и строительной механики КубГТУ Дунаев Владислав Игоревич

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Южный научный центр РАН

Защита состоится 30 ноября 2012 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д212.101.07 в Кубанском государственном университете по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Кубанского государственного университета по адресу: 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149.

Автореферат разослан 29 октября 2012 г.

И.о. ученого секретаря диссертационного совета м-в- Зарецкая

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Решение проблем обеспечения сейсмической безопасности регионов требует исследования причин развития сейсмического процесса. Глубинные землетрясения могут быть вызваны сложными воздействиями на части литосфер-ных плит, получивших разлом в зоне астеносферы. Проблема оценки взаимодействия литосферы и верхней мантии относится к числу малоисследованных. Открытым является вопрос о землетрясениях, эпицентры которых расположены на глубинах астеносферы, т.е. в пределах 40-350 км. В настоящей диссертации изучается возможность их возникновения в связи с разломом отвалившихся от нижних границ литосферных плит плоских фрагментов. Разрушение этих плоских фрагментов уже при дрейфе в астеносфере может быть причиной глубинных землетрясений.

В отличие от литосферы верхняя часть мантии - астеносфера - не обладает пределом прочности и её вещество способно к течению даже под действием очень малых избыточных давлений. Астеносфере принадлежит ведущая роль в движении литосферы. Её течение увлекает за собой литосферные плиты и вызывает их перемещение. Динамика мантии определяет движение плит как в вертикальном, так и горизонтальном направлении. Жидкоподобное поведение верхней мантии объясняет выбор гидродинамической теории тепловой конвекции в жидкости для исследований конвективных движений в мантии.

Таким образом, в геологическом масштабе времени астеносфера может рассматриваться как жидкая среда. Для описания процессов в земной коре и мантии используются различные модели механики деформируемого твердого тела и механики сплошных сред. Однако к настоящему времени поведение находящихся в верхней мантии частей литосферных плит при сложных нестационарных воздействиях еще мало изучено. Как правило, при моделировании движение в астеносфере фрагментов литосферных плит заменяется нестационарным движением тонких упруго-деформируемых пластин в жидкой ограниченной среде. В целом, исследуемая задача относится к классу смешанных задач, возникающих в механике сплошных сред.

Сложность задачи обтекания погруженных тел обусловливается неизвестностью формы границы раздела сред и нелинейностью выполняемых на этой границе условий. К проблемам с границами раздела сред можно добавить учёт формы самого тела, на котором должно выполняться условие плавности обтекания. Для упрощения математической модели течения прибегают к различным гипотезам, исходя из физических соображений. Самой известной является гипотеза о малости амплитуды волн по отношению к их длине, что, например, имеет место, когда возмущения на границе раздела сред достаточно малы. Первое систематическое изложение теории волн малой амплитуды принадлежит Г. Лэмбу. Воздействие тела (телесного контура) на течение при его моделировании заменяют, как правило, одной или несколькими гидродинамическими особенностями, расположенными на срединной линии контура.

Фундаментальные методы изучения поведения погруженного тонкого тела были разработаны такими выдающимися учёными, как М.В. Келдыш, М.А. Лаврентьев, Н.Е. Кочин и Л.И. Седов. Исследованию движений плоского контура в несжимаемой жидкости посвящены работы В.А. Целищева, И.И. Ефремова, Г.Г. Тумашева, С.И. Филиппова и др.

Предлагаемая в диссертации методика основана на методе интегральных уравнений и позволяет решать достаточно широкий класс гидродинамических задач, даёт возможность получения численных значений гидродинамических и упругих характеристик и позволяет определять параметры нормального устойчивого функционирования различных систем.

B.И.Ерофеева, Д.А. Индейцев, В.В. Калинчук, В.И. Колесников, С.А. Лурье, A.B. Манжиров, Н.Ф. Морозов, А.Д. Полянин, В.И. Моссаковский,

C.М. Мхитарян, В.В. Панасюк, Г.Я. Попов, О.Д. Пряхина, М.В. Сильников,

A.B. Смирнова, Т.В. Суворова, Д.В. Тарлаковский, Л.А. Фильштинский.

Вопросы концентрации напряжений в деформируемых тонкостенных телах были глубоко изучены в работах В.А. Бабешко, В.Г. Баженова, А.К.Беляева, И.И. Воровича, И.Г. Горячевой, А.Н. Гузя, И.М. Дунаева, В.А. Еремеева, Л.М. Зубова, Д.А. Индейцева, Л.А. Игумнова, Д.М. Климова, Л.П. Лебедева, Е.В. Ломакина, Н.Ф. Морозова, A.B. Наседкина, В. Новатского, И.Ф. Образцова, Б.Е. Победри, М.Г. Селезнева, А.Ф. Резчикова, Ю.А. Устинова,

B.И. Феодосьева, К.В. Фролова, Е.И. Шемякина, Ю.Г. Яновского.

Цель и задачи исследования.

Цель работы - исследование процессов, происходящих в верхнем слое мантии, в астеносфере Земли, способных вызвать глубинные землетрясения. Достижение данной цели предполагает: построение математических моделей движения плоских фрагментов, отслоившихся от литосферных плит при нестационарных воздействиях в области астеносферы, разработку методики численного эксперимента и на её основе проведение исследования влияния параметров жидкой среды и характера внешних воздействий на динамические характеристики тонких плоских тел.

Выполнение следующих задач в рамках диссертационной работы способствовало реализации указанной цели:

1. Моделирование нестационарных движений тонкой пластины, находящейся в весомой жидкости вблизи границы раздела сред.

2. Сведение краевой задачи к сингулярному интегральному уравнению.

3. Разработка метода численного решения интегрального уравнения.

4. Анализ влияния границ жидкой среды, весомости жидкости и жесткости пластины на гидродинамические силы и упругие деформации.

Методы исследования.

В диссертационной работе используются классические методы теории функций комплексного переменного и теории обобщенных функций с применением преобразования Фурье. Предложенные численные схемы основываются на численном методе дискретных особенностей. Для проведения численного эксперимента разработаны алгоритмы, реализация которых проводилась в среде математического пакета МаЙгСАО.

Научная новизна.

Разработана новая методика исследования нестационарных воздействий на поведение тонких плоских фрагментов литосферных плит в астеносфере. В ходе математического моделирования получена модель поставленной задачи в виде сингулярного интегро-дифференциалыюго уравнения. Разработана схема численного решения. Создан программный комплекс определения гидродинамических нагрузок и упругих деформаций. Проведено численное исследование гидродинамических и упругих характеристик тонкой пластины, формы каверны, а также формы упругой пластины. Для различных режимов движения определены значения параметров, при которых гибкая пластина динамически неустойчива.

Достоверность результатов.

Достоверность полученных формул обеспечивается применением строгих математических методов. Результаты проведенных численных экспериментов согласуются с некоторыми известными результатами, полученными другими методами. Достоверность численных результатов подтверждается проведением в предельных случаях асимптотической оценки динамических реакций, а также известными точными решениями для ряда частных задач.

Научная и практическая значимость.

Разработанные математические методы могут быть полезны в различных отраслях науки и техники, где встает проблема исследования динамического поведения гибких устройств при сложных воздействиях.

Представленные в диссертации материалы можно использовать в учебном процессе для демонстрации практического применения методов решения уравнений математической физики.

Исследования проводились в КубГУ при финансовой поддержке Ми-нобрнауки РФ (проект 1. 1926. 2011, выполняемый в рамках государственного задания на оказание услуг (выполнение работ)).

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Математические модели нестационарных движений тонких плоских фрагментов литосферных плит в верхней мантии. Разработанные методы решения задач для весомой ограниченной жидкой среды при следующих режимах движения:

- обтекание поступательным потоком жёсткой и упругой пластины;

- колебание жёсткой и упругой пластины;

- воздействие на жёсткую пластину волнового потока.

2. Численные схемы, учитывающие особенности решения полученных сингулярных интегральных уравнений.

3. Комплекс программ, реализующих численные схемы решений.

4. Результаты численных исследований влияния глубины погружения и весомости жидкости на гидродинамические и упругие характеристики, на форму каверны и форму гибкой пластины, на коэффициенты прохождения и отражения. Расчётные данные о влиянии на гидродинамические характеристики массы пластины при колебании в весомой жидкости; о влиянии упругих свойств пластины на ее устойчивость при колебаниях и поступательном движении.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры вычислительной математики и информатики Кубанского государственного университета, на XII Международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (Харьков, 2005), на XI Всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» (п. Абрау-Дюрсо, 2005), на VIII и X международных научно-практических конференциях «Инновационные технологии в образовательном процессе» (Краснодар, 2006, 2008), на VI Всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии» (Новосибирск, 2007), на IV, V Всероссийских научных конференциях молодых учёных и студентов «Современное состояние и приоритеты раз-

вития фундаментальных наук в регионах» (Анапа, 2007, 2008), на Восьмой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2009» (Казань, 2009), на Международной научно-технической конференции «Современные информационные технологии» С1Т-сопГегепсе (Пенза, 2010), на XIV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов н/Д; Азов, 2010).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 18 работ [1-18], в том числе 10 в соавторстве, из них 5 - в изданиях, рекомендованных ВАК. В работах [1], [6-8], [12] научному руководителю профессору И.И. Ефремову принадлежат постановка задачи и основные идеи. Автору диссертации принадлежат реализация идей И.И. Ефремова, вывод основных соотношений и формул, получение численных результатов и их анализ. В работах [3], [4], [17], [18] научному руководителю доценту Е.П. Лукащик принадлежат постановка задачи, выбор методов решения и указание основных параметров исследования. В [2], [17], [18] соавтору Ю.Н. Колесниковой принадлежит часть исследований, проведённых в слое весомой жидкости.

Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «Программный комплекс нахождения гидродинамических характеристик погруженного профиля» № 2011616071 от 3. 08. 2011.

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 107 наименований. Нумерация формул и рисунков ведётся по главам. Общий объём работы - 145 страниц, диссертация включает 55 рисунков и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована практическая значимость и необходимость исследований нестационарных процессов, происходящих в верхней мантии Земли, для диагностики и прогнозирования глубинных землетрясений. Отмечаются свойства физических тел и сред, характерных для рассматриваемых физических явлений, полезные при построении адекватных математических моделей. Излагаются используемые в диссертационной работе подходы к разработке методов и численных схем решения поставленных задач. Сформулирована цель и задачи работы, приведены положения, выносимые на защиту. Делается обзор литературы и современного состояния изучаемых проблем.

Общим во всей работе при математическом моделировании задач является линеаризация уравнений и граничных условий. В линеаризованной постановке задачи решаются методом интегральных уравнений с применением преобразования Фурье. В результате решение исходной задачи сводится к решению сингулярного интегрального уравнения, ядро которого вычисляется с помощью теории функций комплексного переменного. Для численного решения

интегрального уравнения применяется метод дискретных вихрей или дискретных особенностей.

Первая глава посвящена исследованию движения тонкой пластины длины 21 при погружении её в весомую жидкость на глубину Н. Постановка краевой задачи производится относительно потенциала скорости <р(х,у) возмущённого течения:

А<р = 0 при у<Н, кроме {у = 0, х е [-/, + /]},

д2ср дер

-7+^7=0 при у = н,

дх 8 у

дер

df п.

= ию— при Ы </,

у=0 dx

ду

|V^>| —> 0 при х —> -со для всех у, \<р(х, j)| < С = const при л:->+оо,

<р(х, у) 0 при у—»-со равномерно по х, g

где v= — , их - скорость набегающего потока на бесконечности перед пластиной; g - сила тяжести; f{x) - форма обтекаемого тела.

Для решения краевой задачи вводится в рассмотрение функция распределения гидродинамического давления вдоль пластины у(х) = ———, р_ и р+

Р»00

— давление в жидкости под и над пластиной; р — плотность жидкости. В результате получено интегральное уравнение относительно у: 1

\y(s)k{x-s)ds = -oazf'{x), (1)

-1

т=МР- + х ] - R(X),

2тгУ х х2+4 Н2)

R{x) =

v+7 eßx

f—=-T{vcos2ßH + ßsm2ßH)dß прих<0;

я ^ ßL+vz

v +cc

- f—r-T{vcos2ßH + ßsm2ßH)dß-2ve~lvH cosvx прил:>0.

я о ß*+vl

Решение интегрального уравнения (1) используется при определении значений нормальной силы, момента и центра давления в безразмерном виде по формулам

= ст = -L- xd = Ssl.

uj2! с

Численное решение уравнения (1) выполнено методом дискретных вихрей сточками х,- = -/ + (/-, Sj=-l + [j-^)~, /,у = 1,И, N - количество точек.

Отдельно в первой главе проводится учет толщины пластины и исследуется движение погруженной тонкой пластины с образованием кавитационной области. При решении таких задач потенциал возмущённого течения представляется как сумма потенциалов вихревого и простого слоя. Для этих потенциалов сформулированы и решены краевые задачи.

Для заданных форм пластины найденные решения для потенциалов использовались при определении интенсивности вихревого слоя у{х). Коэффициент нормальной силы вычисляется по формуле

+1,

Су = {[к^-^С*)]^'

где у = у1, с/ определяется производной от функции распределения толщины пластины.

На рис. 1, 2 приведены графики зависимостей коэффициента нормальной силы от числа Фруда Рг = \/^¡2у1 в том случае, когда форма границы пластины описывается уравнениями /+ (х) = а(\ + х - х2), /_ (х) = ах, а - угол атаки.

Рис. 1. Зависимость коэффициента нормальной силы от малых чисел Фруда при разных глубинах погружения пластины

я-

'1 23456789 10 Рис. 2. Зависимость коэффициента нормальной силы от больших чисел Фруда при разных глубинах погружения пластины

При изучении задачи кавитационного обтекания рассматривается тонкая пластина длиной 1 с длиной каверны 1 > 1. В окрестности передней кромки интенсивности вихрей у(х) и источников д(х) имеют один и тот же порядок особенности, а в окрестности хвостовой части каверны особенность есть только у интенсивности источников. Для того чтобы сравнять порядки особенности ин-тенсивностей, выполнена замена переменных г = л/х , г = . Дискретные значения у] и qj найдены с применением численного метода дискретных особенностей, в котором рассматриваются N вихрей и источников на отрезке [0, 1]:

=Ь = (' -> = 0 " |> -"2,- = (' " , = (/' ~ , и } = и М источников, заменяющих каверну за пластиной (на отрезке [1, / ]):

-'4, =1 + ННг> ^ =1 + (/--|)#, г,] = 1,М.

Значения qj, ] = 1, N + М используются для нахождения толщины каверны и её формы.

Коэффициенты нормальной силы и момента относительно передней кромки определяются по формулам

1 1 су = 2 ,ст= 2¡я у(лг)йу .

о о

На рис. 3 приведены формы каверны при заданной форме пластины /0(х) = -х для/=4, 7У = 40, М=80.

а) б)

Рис. 3. Форма каверны: а) для И = ОД; б) для /г = 0,25 при разных значениях числа кавитации <т

Во второй главе исследуются гармонические с частотой со колебания пластины длиной 2/ вблизи границы раздела сред. Рассматривается весомая жидкость бесконечной глубины. Краевая задача для комплексных амплитуд имеет вид А<р = 0,

2 dtp со <р - g —- = 0 при у = И, ду

^ = vy(x),y = 0,xe[-l,+ l\ о у

ср —>0 при у —> —00,

ср = В±е±шх при х ±оо, а > О,

\ср\ < С = const при х —» ±1,

— ~ (х ± ¡У ,а< 1 при х —> +/,

дх

где Uy(x) - заданная комплексная амплитуда вертикальной скорости точек пластинки, h - глубина погружения пластины.

Относительно функции у(х), которая связана с перепадом давления

а { N

9 I Р+-Р-

вдоль пластины формулой —

дх

= icoy{х), получено интегральное

уравнение

\y(s)k{x - s)ds = -иу (х), (2)

1 ( ~ 1 х \ .

где к(х) = — Р---т-- - Vя^епх ■ е'^'е

2л-{ х х + 4Л

+ —}е п '-^—^-—<1/3, у =

со

О У2+/32 я

Функция у(х) относится к классу функций, неограниченных на кромках

пластины, с дополнительным условием безциркуляционного обтекания

что обеспечивает ограниченность давления на кромках.

С помощью численного решения уравнения (2), в котором использованы

точки =-/ + [/--] 41 , д,■=-/ + [_/--1 41 , 1 = 1,N-1, / = най-I, 4)2 N-1 ] У 4)2М-1 У

дены безразмерные коэффициенты нормальной силы

7=1 ^ 7=1

и присоединённого момента инерции

^ N ^ N

Р =А11пр+и2пр), V Ьпр

7=1 7=1

В § 2.5 и 2.6 гл. 2 при рассмотрении движения пластины производится учет её массы М. Вертикальные перемещения центра масс /с (х) пластины описываются следующим дифференциальным уравнением:

= Р — (3)

с1г

где Q = Qo■e~'a" — заданное возмущение нагрузки на пластинку, Р — гидродинамическое давление жидкости на пластину.

Результаты расчётов для случая поступательных колебаний массивной

М г к „ а21

пластины при разных значениях т =—-, п =—, у =- приведены на рис. 4

рг I я

и 5.

С помощью разложения в ряд Тейлора проведён асимптотический анализ динамических свойств колеблющейся тонкой и массивной пластины.

В § 2.7 и 2.8 рассмотрены колебания тонкой пластины при движении в весомой жидкости бесконечной глубины. В качестве основной неизвестной величины поставленной краевой задачи рассматривается полная вихревая интенсивность, равная сумме интенсивностей присоединенных и свободных вихрей. На рис. 6, 7 приведены результаты численного эксперимента при разных глубинах погружения пластинки и значениях параметра весомости.

Рис. 4. Зависимость коэффициента присоединённых масс сп и коэффициента демпфирования ся от приведённой частоты при И = 0,2

Рис. 5. Зависимость коэффициента присоединённых масс сп и коэффициента демпфирования с„ от приведённой частоты при Ь = 0,5

Рис. 6. Зависимость амплитуды нормальной силы от числа Струхаля р =- при V =-= 1

В § 2.9 и 2.10 изучено воздействие на пластину, погруженную в весомую жидкость бесконечной глубины, плоских регулярных воли.

В результате дифракции возникает отражённая плоская волна. Общий потенциал ср волнового движения состоит из потенциала ср падающего поля и потенциала <р дифрагированного поля. Волновые движения жидкости рассматриваются как установившиеся гармонические колебания частоты со.

С использованием комплексного представления потенциалов для амплитуды дифракционного потенциала (р ставится следующая краевая задача: А<р = 0 при у < Л, кроме {>' = 0, .г е [- /,+ /]},

дер

- v (р +

qj = В±е дер

ду

= 0,

y=h

дер

у=О

СО

оу

= -Ave

ы < /,

у=О

где v = —; / - полудлина пластины. 8

Поставленная краевая задача сводится к интегральному уравнению вида (2) с правой частью, равной Ave"'x.

Безразмерные коэффициенты прохождения Т и отражения R определяются по формулам

7 = 1 + е"2' " , R = e2~h ]}(£)е'^с/£,

-1 -1

и h ~ 1

где h = — ; v = vl.

На рис. 8 представлены коэффициенты отражения и прохождения в зависимости от приведённой частоты v. Показано, что для коэффициентов отражения и прохождения справедлив закон сохранения энергии: |/?|2 +|7,|2 =1.

Рис. 8. Зависимость модуля коэффициента отражения Я и прохождения Г от приведённой частоты V при разных Л

Третья глава посвящена постановке и решению связанной задачи гидроупругости тонкой упруго-деформируемой пластины в потоке тяжелой жидкости бесконечной глубины при различных условиях закрепления кромок пластины.

В качестве уравнения связи формы деформируемой пластины /(х) с распределением давления вдоль её границ рассмотрено уравнение цилиндрического изгиба пластины

(4)

ах" ах2-

где £> - изгибная жесткость; Т— усилие в срединной плоскости.

Для решения упругой части (4) задачи применён метод функций Грина. Реакции гидродинамических сил на гибкую погруженную пластину, а также формы прогибов упругой пластины определены через решение интегрального уравнения

№

-1

2 л

(х — %)2 +16/Г

ох

= -/о'М, \х\ < 1, где /о(х) - начальная форма пластины; р = I—, //

риЪ

2,3

Л =

Гг = 1

дО

дх

Чх£,Р) =

-{(сЬ/7(1 + *)-1)х

2/?2(сЬ2/? - -1)

х [сЬ/?(1 + £)+1 - сЪ2/3 - сЬ р{1 -<;) + р{\ - 4)%Ъ2р] -- + х))х [8Ь р{\ + £)+ /?(1 + 2р<&р{\ - £) +

+ р{1 - ^)сИ2/? -5\\2р + яЪр(\- £)]},

ас2

дх

х [сЬ/?(1 + х)+1-сЬ2/7-сЬ р{\ - х)+2р^Ь Р(\ - *)] + + (Л Р( 1 + %)~Р{ 1 + ^)) х [вЬ /7(1 + х) + зЬ р{\ - х) - зЬ 2р\ х>£,

Р21 &Ъ2р НУ ' 2Х

_^ГсьД1-£)5 (1 }_1( }

р2 ч!я.2Р ИУ Ь> 2 Ь>

К(х) =

1 +ос

1 +00 М-

(соэ 4/75 + 2Рг2б$\п 411$)с1з

при х < 0;

ТС ¿5 4+ 1

(сой4/Ю + 2/<У2,58И1 4/И)<&

2 Л

при л- > 0.

л-"

Индекс 1 в производной функции Грина соответствует случаю жесткого закрепления, а индекс 2 — случаю шарнирного закрепления кромок пластины.

В результате дискретизации интегральное уравнение для гибкой пластины трансформируется в систему линейных алгебраических уравнений, которая представляется в матричном виде следующим образом:

(А - кв)у = С, (5)

где А и В - матрицы порядка NxN; С - вектор правой части; у - вектор ин-тенсивностей дискретных вихрей у1; к принимает значение // в случае мягкой пластины и Я в случае упругой.

Точки разрывов гидродинамических нагрузок (рис. 9) на упругую пластину соответствуют действительным значениям собственных чисел матрицы В 1А (5); если собственные числа - комплексные, то потери устойчивости не происходит.

11И20 30 |40 50

II I

Рис. 9. Влияние изгибной жесткости на значение гидродинамической нагрузки при /•> =2, И = 0,5 (— шарнирное,--жесткое закрепление)

! М-!

О 0,2 0,4 0,6 0,8 Г Рис. 10. Зависимость наименьшего критического значения от малых чисел Фруда

Зависимость значения наименьшего критического числа ¡лу, при котором происходит потеря статической устойчивости мягкой пластины, от весомости жидкости при различных глубинах погружения изображена на рис. 10.

В четвертой главе предметом исследований являются волновые движения, возникающие в весомой жидкости бесконечной глубины при колебаниях погруженной упругой тонкой пластины. Для определения прогибов пластины под действием гидродинамических сил используется линейное дифференциальное уравнение изгиба пластины при наличии заданных постоянных усилий в срединной плоскости:

»4 г

-pQh0w2f + D^-=P{x)-pgf, (6)

где D — изгибная жесткость пластины; со — частота колебаний пластины; Ад — толщина пластины; р0 — плотность материала пластины; р — плотность жидкости; Р(х) — гидродинамическое давление.

Решение уравнения (6) проводится методом функций Грина. Для построения функции Грина используются балочные функции Крылова S(x), V(x), U(x), Т(х). Вид функции Грина зависит от условий закрепления упругой пластины.

Выражение для упругих перемещений свободно опертой балки имеет вид

/М=)уШ - - ím+A'VM 1+,)) + в°т(А1+*))},

где константы определяются по формулам

А" = , \y(s){V(2p)[l-S(p(\ -*))] + T(2p)U(p{\-5))},/,;

4 (лЛ<»2 - pg)l4 í л\п Poh

p =-= (m -v - l)p, m =- —относительная масса,

D pl

n PglA orí

p = ---параметр упругости, v =-.

D g

Упругие перемещения консольной балки имеют следующий вид: /М = ^I )гШ ~ S(p(x - Ш + AbV{p{\ + *)) + BbU(p( 1 +

А" = тп ^-Л , )r(s){V(2p)U(p(l-S))-S(2M)T{/J(l-s))}ds;

T(2ju)V(2p) - S

По распределению упругих перемещений можно определить изгибающий момент и перерезывающую силу по следующим формулам:

<1х сЬс

На рис. 11 показано поведение гидродинамической нормальной силы в зависимости от изменения упругих свойств (жесткости) пластины.

С помощью решения задачи о собственных колебаниях закрепленной пластины определены критические значения параметров ц„, соответствующие динамической неустойчивости колеблющейся пластины.

На рис. 12 и 13 показано распределение динамических характеристик для пластины различной жесткости. Вид кривых обусловлен близостью параметра /и к соответствующему собственному значению для данного способа закрепления.

А 1x1

I : г-

I I I I I I I I I I I I I I I I I I >

012345678

Рис. 11. Влияние жесткости на величину коэффициента присоединенных масс Л при V = 0,5, Ь = 0,5, т = 10 (— свободно опертая балка,----консольная балка)

1 к|М|

/ 0,3-

/ 0,2-

/--ч 0.1 --— \ х —в»-

- Р- =1,9 —• ¡1 =4,75 - - ,(¿=7,85

Рис. 12. Зависимость распределения: а) изгибающего момента; б) перерезывающей силы от упругих свойств свободно опертой балки (к = 0,5, А = 0,5, и;=10)

-1 -0,5 0 0,5 1 - ^ =1,9 — ^ =4,75 - - р = 7,85

а)

I-р^'л'

-1 -0,5 - ¡1= 1

0 0,5 1 Р =2,4--м =3,9

I-1-1—-1——I-1-1-

-1 -0,5 0 0,5 1 - /¿=1 — ^ =2,4 --{1=3,9

Рис. 13. Зависимость распределения: а) изгибающего момента; б) перерезывающей силы от упругих свойств консольной балки (к = 0,5, И = 0,5, от = 10)

В заключении приведены основные выводы по диссертации.

Разработаны математические модели для различных типов нестационарных движений фрагментов литосферных плит в астеносфере. При моделировании фрагменты литосферных плит заменялись тонкими упруго-деформируемыми пластинами, а область астеносферы — жидкой ограниченной средой. На основе этих моделей проведено математическое исследование и получены следующие результаты:

1. При поступательном движении тонкой слабо искривленной жесткой пластины в слое весомой жидкости установлено:

- немонотонное поведение нормальной силы при малых числах Фруда и малых погружениях пластины; при погружениях менее 0,5 длины пластины наблюдаются локальные максимумы при числах Фруда, меньших глобального; при этом с уменьшением погружения максимум коэффициента нормальной силы смещается в сторону меньших чисел Фруда; аналогичный эффект обнаружен и для слабо искривлённой дужки, и при учете толщины пластины;

- при малых числах Фруда наблюдается резкий перепад величины модуля коэффициента момента относительно середины пластинки; коэффициент момента имеет наименьшее значение в районе максимума нормальной силы;

- колебание центра давления в передней части пластинки; перемещение центра давления к середине пластинки наблюдается в окрестности числа Фруда 0,5, причем тем значительнее, чем меньше глубина погружения пластинки.

2. Изучено влияние границ и весомости жидкости на гидродинамические характеристики тонкой кавитирующей пластины и форму каверны. Установлено, что каверна имеет волнообразную верхнюю границу, но этот эффект пропадает с увеличением глубины погружения пластины и с уменьшением параметра весомости жидкости V = \/Рг2 .

3. При исследовании симметричных колебаний жёсткой пластины, погруженной в весомую жидкость, получено, что при малых погружениях и малых частотах резко меняет направление нормальная сила.

При рассмотрении несимметричных колебаний обращает на себя внимание тот факт, что присоединенный момент инерции при небольших частотах имеет резонанс. Положение резонансных пиков зависит от глубины погружения.

Изучено влияние массы колеблющейся пластины на величину гидродинамических нагрузок на пластину. С уменьшением массы пластины уменьшаются коэффициенты демпфирования и присоединённых масс.

Показано, что при малых погружениях пластины и небольших частотах вынужденные колебания носят резонансный характер. При этом слой жидкости между пластиной и верхней границей жидкости играет роль восстанавливающей силы. На основе асимптотики получены формулы для оценки коэффициента нормальной силы с учетом и без учета массы симметрично колеблющейся пластинки.

4. При рассмотрении колебаний тонкой жёсткой пластины в потоке весомой жидкости бесконечной глубины показано, что при числах Струхаля р < —

(V — параметр весомости жидкости) возмущения представляют собой комбинацию 4 типов волн (одна волна распространяется вперед, а три - назад за пла-

стину); при р > — - комбинацию только 2 типов волн, которые распространяются за пластину.

5. В рамках построенной модели воздействия плоских регулярных волн на пластину исследовано влияние приведенной частоты на коэффициенты прохождения и отражения. Анализ результатов показал, что:

- с уменьшением глубины погружения тонкой пластинки локальный максимум модуля коэффициента отражения, а также локальный минимум модуля коэффициента прохождения смещаются в сторону меньших частот;

— с увеличением глубины погружения тонкой пластинки модуль коэффициента отражения уменьшается, а модуль коэффициента прохождения увеличивается.

6. Результаты численного эксперимента для случая обтекания поступательным потоком гибкой пластины подтвердили, что упругие деформации изменяют распределение нагрузки вдоль пластины. Установлено, что поведение упругой пластины в потоке жидкости существенно зависит от условий закрепления. Так, при жесткой заделке по обоим краям пластина становится более устойчивой.

Произведённые численные исследования поведения гибкой пластины позволили установить зависимость нормальной силы от изгибной жесткости и натяжения, а также определить формы прогибов упругой пластины.

Проведено исследование влияния весомости жидкости и упругих свойств на устойчивость пластины в потоке.

7. При изучении установившихся колебаний упругой пластины рассмотрены два случая закрепления: шарнирное закрепление обоих концов (свободно

опертая балка) и жесткое закрепление одного конца пластинки, другой конец -свободен (консольная балка). Полученные закономерности свидетельствуют о том, что:

- значения, при которых происходит потеря устойчивости, зависят от свойств пластины (жесткости, массы), свойств жидкости и частоты колебаний;

— консольная балка менее устойчива, чем свободно опертая балка, т.е. при прочих равных условиях резонансные явления наблюдаются для более жестких пластин.

Полученные характеристики поведения жестких и упругих пластин позволяют определить качественный и количественный характер геодинамических процессов, способных вызвать землетрясения на глубинах астеносферы. Отмеченные закономерности могут быть полезны в системах прогноза сейсмической активности.

Список работ, опубликованных автором по теме диссертации:

Статьи в рецензируемых научных изданиях, включенных в перечень ВАК:

1. Ефремов И.И., Иванисова О.В., Лукащик Е.П. Колебания массивной твердой пластинки в весомой жидкости // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2007. №1. С. 30-34.

2. Иванисова О.В., Колесникова Ю.Н. Определение смоченной длины тонкого профиля, глиссирующего по поверхности весомой жидкости // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. №2. С. 18-21.

3. Лукащик Е.П., Иванисова О.В. Влияние волнообразования на гидроупругую устойчивость подводного профиля // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2011. №1(13). С. 105-119.

4. Лукащик Е.П., Иванисова О.В. Исследование динамической гидроупругости погруженной пластины на основе теории обобщенных функций // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2011. №1. С. 49-61.

5. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011616071 от 3.08.2011 / Программный комплекс нахождения гидродинамических характеристик погруженного профиля. Иванисова О.В. Заявка № 2011614241, дата поступления 09.06.2011г.

Статьи в сборниках научных трудов и тезисах докладов на научно-практических конференциях:

6. Ефремов И.И., Иванисова О.В. Колебания пластинки под свободной поверхностью весомой жидкости // Труды XII Междунар. симп. МДОЗМФ. 2005. С. 140-144.

7. Ефремов И.И., Иванисова О.В. Гидродинамические характеристики малопогруженного подводного крыла // Современные проблемы математиче-

ского моделирования: труды XI Всерос. школы-семинара. Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 2005. С. 138-144.

8. Ефремов И.И., Иванисова О.В. Колебания тонкого профиля, глиссирующего по свободной поверхности тяжелой жидкости // Инновационные технологии в образовательном процессе: материалы VIII межрегиональной науч.-метод. конф. Краснодар: КВВАУЛ, 2006. Т. 2. С. 57-60.

9. Иванисова О.В. Колебания массивной твердой пластинки под свободной поверхностью весомой жидкости // Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии: тезисы докл. VI Всерос. конф. молодых ученых. Новосибирск: Доксервис, 2007. С. 27-28.

10. Иванисова О.В. Форма свободной поверхности при колебаниях твердой пластинки, плавающей на поверхности весомой жидкости // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: труды IV Всерос. науч. конф. молодых ученых и студентов. Краснодар: Просвещение-Юг, 2007. Т. 2. С. 129-130.

11. Иванисова О.В. Вращательные колебания пластинки под свободной поверхностью весомой жидкости // Методы дискретных особенностей в задачах математической физики: труды международных школ-семинаров. Орёл: Изд-во ГОУ ВПО «Орловский государственный университет», 2007. Вып. 5. С. 53-57.

12. Ефремов И.И., Иванисова О.В., Лукащик Е.П. Дифракция волн на массивной пластине, плавающей на поверхности тяжелой жидкости неограниченной глубины // Инновационные технологии в образовательном процессе: материалы X Юбилейной Междунар. науч.-практ. конф. Краснодар: КВВАУЛ, 2008. Т. 3. С. 77-81.

13. Иванисова О.В. Дифракция волн на погруженной пластине // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: труды V Всерос. науч. конф. молодых ученых и студентов. Краснодар: Просвещение-Юг, 2008. Т. 2. С. 113-115.

14. Иванисова О.В. Обтекание тонкого телесного профиля под свободной поверхностью весомой жидкости // Методы дискретных особенностей в задачах математической физики: труды междунар. школ-семинаров. Орёл: Изд-во ГОУ ВПО «Орловский государственный университет», 2008. Вып. 6. С. 45-50.

15. Иванисова О.В. Стационарное обтекание тонкого профиля с каверной конечной длины под свободной поверхностью тяжёлой жидкости // Лобачевские чтения - 2009: материалы Восьмой молодёжной науч. школы-конференции. Казань: Казан, матем. об-во, 2009. Т.39. С. 235-237.

16. Иванисова О.В. Кавитационное обтекание тонкого профиля под свободной поверхностью весомой жидкости // Прикладная математика и механика: сб. науч. тр. Ульяновск: УлГТУ, 2009. С. 109-117.

17. Лукащик Е.П., Иванисова О.В., Колесникова Ю.Н. Исследование гидроупругого взаимодействия при обтекании гибкого крыла ограниченным потоком весомой жидкости // Современные информационные технологии: труды

Междунар. науч.-техн. конф. Пенза: Пензенская гос. технологическая академия, 2010. Вып. 11. С. 23-25.

18. Лукащик Е.П., Иванисова О.В., Колесникова Ю.Н. Устойчивость упругого профиля при движении в слое весомой жидкости // Современные проблемы механики сплошной среды: труды XIV Междунар. конф. Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2010. Т.2. С. 202-206.

Автореферат

Иванисова Ольга Владимировна

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБЪЕКТОВ В ВЕРХНЕЙ МАНТИИ

Подписано в печать 26.10.2012. Формат 60x84 1/16. Печать трафаретная. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ № 1007.

350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149 Центр «Универсервис», тел. 219-95-51.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Иванисова, Ольга Владимировна

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1 Поступательные движения жесткой пластины в весомой жидкости

1.1 Постановка задачи обтекания тонкой погруженной 17 пластины

1.2 Сведение исходной краевой задачи к интегральному 21 уравнению

1.3 Вычисление ядра интегрального уравнения

1.4 Численный метод решения

1.5 Обтекание погруженной пластины плоской или слабо 29 искривленной формы

1.6 Обтекание телесной пластины

1.7 Кавитационное обтекание тонкой пластины

Глава 2 Колебательные движения погруженной жесткой пластинки

2.1 Математическая постановка задачи о колебаниях пластинки 55 погруженной в покоящуюся весомую жидкость

2.2 Интегральное уравнение колебания погруженной пластинки

2.3 Численное решение интегрального уравнения

2.4 Результаты и анализ расчётов для случая поступательных и 62 вращательных колебаний пластинки

2.5 Влияние массы на гидродинамические характеристики 70 колеблющейся пластинки

2.6 Результаты и анализ расчётов для случая поступательных 71 колебаний массивной пластинки

2.7 Колебания тонкой пластины в потоке тяжелой жидкости

2.8 Влияние течения жидкости на величину 90 гидродинамического давления при колебаниях пластинки

2.9 Воздействие на жесткую пластину волнообразного потока

2.10 Численное решение задачи дифракции и результаты 101 расчётов

Глава 3 Обтекание тонкой упругой пластины весомой жидкостью

3.1 Математическая постановка задачи

3.2 Интегральные уравнения гидроупругости

3.3 Численный метод решения

3.4 Обтекание потоком упругой пластины

3.5 Обтекание потоком мембранной пластины

Глава 4 Колебания погруженной упругой пластины

4.1 Математическая постановка задачи

4.2 Определение упругих перемещений

4.3 Численный анализ

Введение диссертация по механике, на тему "Напряженно-деформированное состояние объектов в верхней мантии"

Решение проблем обеспечения сейсмической безопасности регионов требует исследования причин развития сейсмического процесса. Сейсмотектонический деформационный процесс является следствием развития сложной геодинамической системы. Проблемы прогноза такой системы должны носить комплексный характер. Экспериментальные и натурные наблюдения свидетельствуют, что тектонические деформации реализуются путем разнообразных динамических перестроек исходной геологической среды. Наиболее существенный вклад как в глобальное поле напряжений Земли, так и в техногенные движения в земной коре вносят внутренние процессы, происходящие в земной коре и мантии земли. Одно из активно развиваемых направлений сейсмического прогноза основано на анализе напряженно-деформированного состояния литосферных плит и выделении на основе расчетов зон повышенной концентрации (работы В.М. Александрова, В.А. Бабешко, A.C. Вольмира И.И. Воровича Е.В. Глушкова И.М. Дунаева, О.Д. Пряхиной, A.B. Смирновой, A.B. Павловой и др.).

Проблема оценки взаимодействия литосферы и верхней мантии относится к числу малоисследованных. Глубинные землетрясения могут быть вызваны сложными воздействиями на части литосферных плит, получивших разлом в зоне астеносферы. Открытым является вопрос о землетрясениях, эпицентры которых расположены на глубинах астеносферы, т.е. в пределах 40-350 км. Актуальным является исследование поведения плоских фрагментов, отвалившихся от нижних границ литосферных плит. Разрушение этих плоских фрагментов уже при дрейфе в астеносфере может быть причиной глубинных землетрясений.

В первом приближении литосферные плиты можно описать как твёрдые тела, перемещающиеся по поверхности мантии, от которых могут отслаиваться плоские фрагменты. Существование таких плоских фрагментов может обнаруживаться магнитотеллурическим методом, сканирующим электрическое сопротивление среды до глубины 150 км. В масштабах Земли эти фрагменты можно рассматривать как тела с относительно малой толщиной. Объектами диссертационных исследований являются линейно-деформируемые тела, подверженные напряжениям при их движении в астеносфере. Напряженно-деформированное состояние таких тел с учетом внешних воздействий будет определять возможность их разрушения и инициирования сейсмического события. Вопросы концентрации напряжений в деформируемых тонкостенных телах были глубоко изучены в работах В.Г. Баженова, А.К. Беляева, И.И. Воровича, И.Г. Горячевой, А.Н. Гузя, И.М. Дунаева, В.А. Еремеева, JIM. Зубова, Д.А. Индейцева, JI.A. Игумнова, Д.М. Климова, Л.П. Лебедева, Е.В. Ломакина, Н.Ф. Морозова, A.B. Наседкина, В. Новатского, И.Ф. Образцова, Б.Е. Победри, М.Г. Селезнева, А.Ф. Резчикова, Ю.А. Устинова, В.И. Феодосьева, К.В. Фролова, Е.И. Шемякина, Ю.Г. Яновского.

В отличие от литосферы верхняя часть мантии - астеносфера - не обладает пределом прочности и её вещество способно к течению даже под действием очень малых избыточных давлений. Астеносфере принадлежит ведущая роль в движении литосферы. Её течение увлекает за собой литосферные плиты и вызывает их перемещение. Динамика мантии определяет движение плит как в вертикальном, так и горизонтальном направлении [1], [23], [38]. Жидкоподобное поведение верхней мантии объясняет выбор гидродинамической теории тепловой конвекции в жидкости для исследований конвективных движений в мантии [77], [84].

Таким образом, в геологическом масштабе времени астеносфера может рассматриваться как жидкая среда. Для описания процессов в земной коре и мантии используются различные модели [59], [85] механики деформируемого твердого тела и механики сплошных сред. Однако к настоящему времени поведение находящихся в верхней мантии частей литосферных плит при сложных нестационарных воздействиях еще мало изучено. Как правило, при моделировании движение в астеносфере фрагментов литосферных плит заменяется нестационарным движением тонких упруго-деформируемых пластин в жидкой ограниченной среде. В целом, исследуемая задача относится к классу смешанных задач, возникающих в механике сплошных сред.

Сложность задачи обтекания погруженных тел обусловливается неизвестностью формы границы раздела сред и нелинейностью выполняемых на этой границе условий. К проблемам с границами раздела можно добавить учёт формы самого тела, на котором должно выполняться условие плавности обтекания. Для упрощения математической модели течения прибегают к различным гипотезам, исходя из физических соображений. Самой известной является гипотеза о малости амплитуды волн по отношению к их длине, что, например, имеет место, когда возмущения на границе раздела сред достаточно малы. Первое систематическое изложение теории волн малой амплитуды принадлежит Г. Лэмбу [58]. Воздействие тела (телесного контура) на течение при его моделировании заменяют, как правило, одной или несколькими гидродинамическими особенностями, расположенными на срединной линии контура.

Фундаментальные методы изучения поведения погруженного тонкого тела были разработаны М.В. Келдышем и М.А. Лаврентьевым [52], Н.Е. Кочиным [56] и Л.И.Седовым [80]. В 1937 году М.В.Келдыш и М.А. Лаврентьев предложили в линейной постановке решение задачи обтекания тонкой пластины под границей раздела сред, базирующееся на полученном ранее М.В. Келдышем решении задачи обтекания изолированной особенности [51]. В работе М.В.Келдыша и М.А. Лаврентьева [52] пластина заменялась вихревым слоем, распределённым вдоль срединной линии. Решение задачи сводилось к определению плотности распределенных вихрей путём решения интегрального уравнения, полученного из граничного условия на контуре пластины. Решение уравнения отыскивалось методом разложения в ряд по малому параметру 2a¡h, где 2а - длина пластины, ah- его погружение. Были получены общие формулы для сил, действующих на тело, и решены частные задачи о плоской пластинке, дужке круга и вытянутом эллипсе.

Одновременно с М.В. Келдышем и М.А. Лаврентьевым Н.Е. Кочин в рамках линейной теории малых волн получил общее решение плоской и пространственной задач о движении подводного тела. В [57] получены формулы для гидродинамических характеристик и на ряде примеров продемонстрирован приём приближенного вычисления реакций жидкости на тело.

Численные методы в сочетании с развитием идей Н.Е. Кочина, М.В. Келдыша и М.А. Лаврентьева предлагаются в работах P. Crimi, I.C. Statler [102], T.-D. Nguyen, D. Fruman, N.S. Luu [104], B.A. Целищева [96], [97], B.H. Гельмияровой, И.И.Ефремова [21], [22]. Распределение особенностей (источников) по контуру тела применяли при решении задачи обтекания тела произвольной формы под линией раздела сред T.-D. Nguyen, D. Fruman, N.S. Luu в [104], где с помощью численных методов находилось решение и определялись динамические силы, действующие на контур. Исследование обтекания тонкого подводного тела проведено В.А. Целищевым в [96], [97] на основе коллокационного метода решения сингулярного интегрального уравнения, к которому сведено решение задачи. На основе приближённых конформных отображений задачу о круговом цилиндре рассматривали Т.Nishiyama [105] и S.H.Smith [106]. В [76] Э.Н. Потетюнко была построена итерационная схема решения задачи о вибрации пластины и определены контактные напряжения. Методы дискретных вихрей и Корнейчука применялись в работах [21], [22] при исследовании обтекания тонкой дужки.

Линейную теорию к задачам кавитационного обтекания тонких пластин в 1953 г. применил М. Тулин [107]. В нашей стране первые работы по линейной теории кавитационных течений принадлежат А.Н. Иванову [49], [50]. В своих работах он применял метод интегральных уравнений, основанный на использовании гидродинамических особенностей. В работе В.М. Романа [79] описан метод дискретных особенностей для численного решения системы интегральных уравнений, который является обобщением на случай кавитационного обтекания метода дискретных вихрей, развиваемого в работах С.М. Белоцерковского [6-8]. В статье [37] И.И. Ефремова и В.М. Романа был предложен модифицированный метод дискретных особенностей, который приводит к понижению порядка особенностей искомых функций вблизи концов отрезка интегрирования.

Г.Г. Тумашевым в [86] была рассмотрена задача о движении тонкого слабоизогнутого контура погруженного в весомую жидкость. Краевая задача была сведена к интегральному уравнению с помощью отображения на кольцо, а решение интегрального уравнения отыскивалось методами регуляризации. В 1973 г. Г.Г. Тумашевым и Н.Д. Черепениным опубликована работа [87], в которой предложен новый метод для исследования поведения подводной пластины, базирующийся на идее распределения диполей по границе раздела сред. Главной отличительной чертой метода является точное удовлетворение граничного условия на контуре при построении комплексного потенциала течения. В [99], [100] Н.Д. Черепениным были начаты теоретические исследования по применению метода моделирования границ особенностями к обтеканию тонкой пластины. Исследования Н.Д. Черепенина получили своё завершение в работах М.В. Лотфуллина [62 -64], [88], разработавшего численные методы конформного отображения одно- и двухсвязных областей [65], [66]. В [62 - 64] М.В. Лотфуллин развил также метод [87] для решения задачи о движении системы двух профилей погруженных в весомую жидкость. Решение этой задачи в функциях Кочина дано А.Н. Панченковым [75].

С.И. Филипповым [91] метод [86] был применён к решению обратной краевой задачи для погруженного тонкого тела с углом атаки. В работах [89], [90], [92] представлены исследования движений погруженного тела произвольной формы методом моделирования границ особенностями и приведены численные результаты расчётов гидродинамических характеристик контура.

Задачи обтекания и малых колебаний плоского контура над и под линией раздела жидкостей при наличии свободной поверхности изучал B.C. Войценя [17 - 20]. Применив метод Кочина, он получил выражения гидродинамического давления, волнового сопротивления и момента и вывел интегральное уравнение для определения неизвестной плотности распределения источников по контуру для бесциркуляционного течения.

Для невесомой жидкости задача о движении тонкой пластины была сведена Д.В. Маклаковым [72], [73] к решению системы нелинейных уравнений. Для решения выведенной системы использовался метод прямых итераций.

В работах М.Д. Хаскинда [94], [95] рассматриваются пространственные задачи о волновых движениях тяжелой жидкости, возникающих при колебаниях тел или при пульсациях особенностей. Для решения задачи строится функциональная комбинация, при помощи которой определяются волновые потоки. Методами теории функции комплексного переменного исходная задача сводится к интегральному уравнению, и находятся асимптотические выражения для решения.

Плоская задача установившегося обтекания тонкой упругой пластины ограниченным потоком невесомой жидкости рассматривалась в работах [9], [35], [27], где исследования проводились на основе применения к решению связанной задачи гидроупругости интегральных операторов и построения обобщённого интегрального уравнения гидродинамики гибких пластин. При рассмотрении обтекания упруго-деформируемых пластин Б.С. Берковским [9] перемещения точек пластины определялись согласно уравнению изгиба балки-полоски. Б.С. Берковский исследовал пластины достаточно большой жесткости, когда учет влияния упругих деформаций приводит к незначительным изменениям в определении динамических сил и моментов. Для упруго-деформируемых пластин, обтекаемых несжимаемой жидкостью,

И.И. Ефремовым [35] была предложена гидродинамическая гипотеза аналогичная "теории поршня".

Наиболее общий подход к решению задач гидроупругости пластины на основе вихревой теории изложен в работе С.М. Белоцерковского, A.C. Вольмира, А.Т. Пономарева [5].

Представляет интерес подход, широко используемый многими авторами, наиболее полно представленный в монографии В.В. Болотина [11] и основанный на применении линейных уравнений изгиба пластин при наличии заданных постоянных усилий в срединной плоскости. Такое приближение позволяет несколько упростить анализ сложных механических явлений, обусловленных взаимодействием гидродинамических и упругих сил, и в то же время сохраняет основные особенности гидроупругих явлений.

И.И. Ефремовым и М.В. Макасеевым в работе [34] рассматривалась задача о влиянии весомости жидкости на динамические нагрузки и статическую устойчивость упругой пластины, обтекаемой вблизи границы раздела сред. Было получено численное решение обобщённого интегрального уравнения для случая мембранной пластины. Расчеты велись на основе функции, полученной для подводной пластины М.В. Келдышем и М.А. Лаврентьевым [52].

Первые исследования гидроупругого поведения колеблющейся пластины, как правило, основывались на предположении о совпадении форм колебаний упругих тел в жидкости и пустоте. Такой подход позволил Лэмбу [103] определить первые две собственные частоты колебаний круглой пластинки, защемленной по контуру. В работах [55], [101] при определении гибких перемещений плавающей пластины используется разложение по формам свободных колебаний в пустоте. Для работ [3], [33], [93] характерно усложнение моделей жидкости и упругого тела, расширение арсенала используемых методов, а также стремление к учету большего числа факторов влияющих на динамические характеристики системы «упругое тело -жидкость».

Значительный вклад в развитие методов исследования и решения интегральных уравнений внесли В.М. Александров, Б.Д. Аннин, Н.Х. Арутюнян, В.А. Бабешко, A.B. Белоконь, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Б.М. Глинский, Е.В. Глушков, Н.В. Глушкова, А.Г. Горшков, Р.В. Гольдштейн, И.Г. Горячева, В.И. Ерофеева, Д.А. Индейцев, В.В. Калинчук, В.И. Колесников, С.А. Лурье, A.B. Манжиров, Н.Ф. Морозов, А.Д. Полянин, В.И. Моссаковский, С.М. Мхитарян, В.В. Панасюк, Г.Я. Попов, О.Д. Пряхина, М.В. Сильников, A.B. Смирнова, Т.В. Суворова, Д.В. Тарлаковский, Л.А. Фильштинский.

Несмотря на продолжительную историю исследований до сих пор недостаточно полных и надежных количественных данных о влиянии весомости жидкости, наличия границ жидкой среды на величину сил воздействия на погруженные упругие тела даже для плоских задач. В связи с этим, изучение поведения объектов при сложных нестационарных воздействиях в жидкой ограниченной среде является, несомненно, актуальным вопросом.

Выполнение следующих задач в рамках диссертационной работы способствовало реализации указанной цели:

2. Сведение краевой задачи к сингулярному интегральному уравнению.

3. Разработка метода численного решения интегрального уравнения.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработана новая методика исследования нестационарных воздействий на поведение тонких плоских фрагментов литосферных плит в астеносфере; в ходе математического моделирования получена модель поставленной задачи в виде сингулярного интегро-дифференциального уравнения; разработана схема численного решения;

- создан программный комплекс определения гидродинамических нагрузок и упругих деформаций;

- проведено численное исследование гидродинамических и упругих характеристик тонкой пластины, формы каверны, а также формы упругой пластины;

- определены значения параметров, при которых гибкая пластина динамически неустойчива для различных режимов движения.

Достоверность полученных формул обеспечивается применением строгих математических методов. Результаты проведенных вычислительных экспериментов согласуются с некоторыми известными результатами, полученными другими методами. Достоверность численных результатов подтверждается проведением асимптотической оценки динамических реакций, а также известными точными решениями для ряда частных задач.

Полученные результаты могут быть использованы в системах мониторинга сейсмичности территории для решения проблем прогноза и снижения риска возникновения глубинных землетрясений. Разработанные математические методы могут быть полезны в различных отраслях науки и техники, где встает проблема исследования динамического поведения гибких устройств при сложных воздействиях, а также в учебном процессе для демонстрации практического применения методов решения уравнений математической физики.

Исследования проводились в КубГУ при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (проект 1.1926.2011, выполняемый в рамках государственного задания на оказание услуг (выполнение работ)).

Основные положения, выносимые на защиту:

- обтекание поступательным потоком жёсткой и упругой пластины;

- колебание жёсткой и упругой пластины;

- воздействие на жёсткую пластину волнового потока.

2. Численные схемы, учитывающие особенности решения полученных сингулярных интегральных уравнений.

3. Комплекс программ, реализующий численные схемы решений [44].

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры вычислительной математики и информатики Кубанского государственного университета, на XII Международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (Харьков, 2005), на XI Всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» (п. Абрау-Дюрсо, 2005), на VIII и X международных научно-практических конференциях «Инновационные технологии в образовательном процессе» (Краснодар, 2006, 2008), на VI Всероссийской конференции молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии» (Новосибирск, 2007), на IV, V Всероссийских научных конференциях молодых учёных и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (Анапа, 2007, 2008), на Восьмой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2009» (Казань, 2009), на Международной научно-технической конференции «Современные информационные технологии» CIT-conference (Пенза, 2010), на XIV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов н/Д; Азов, 2010).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 18 научных работ. Из них 4 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК, и 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 107 наименований. Нумерация формул и рисунков ведётся по главам. Общий объём работы - 145 страниц, диссертация включает 55 рисунков и 2 таблицы.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе разработаны математические модели для различных типов нестационарных движений фрагментов литосферных плит в астеносфере. При моделировании фрагменты литосферных плит заменялись тонкими упруго-деформируемыми пластинами, а область астеносферы — жидкой ограниченной средой.

Единый подход к решению задач основан на применении метода интегральных уравнений с использованием преобразования Фурье к краевым задачам движения и метода функций Грина к уравнению изгиба пластинки. Ядра интегральных уравнений вычислены с помощью теории функций комплексного переменного.

Для получения численных результатов в работе применен метод дискретных вихрей, а в случае кавитационного обтекания - метод дискретных особенностей.

На основе построенных моделей проведено математическое исследование и получены следующие результаты:

4. При рассмотрении колебаний тонкой жёсткой пластины в потоке весомой жидкости бесконечной глубины показано, что при числах Струхаля у р<— (у - параметр весомости жидкости) возмущения представляют собой 4 комбинацию 4 типов волн (одна волна распространяется вперед, а три назад за пластину). При р>— - комбинацию только 2 типов волн, которые 4 распространяются за пластину.

- с увеличением глубины погружения тонкой пластинки модуль коэффициента отражения уменьшается, а модуль коэффициента прохождения увеличивается.

Проведено исследование влияния весомости жидкости и упругих свойств на устойчивость пластины в потоке.

7. При изучении установившихся колебаний упругой пластины рассмотрены два случая закрепления: шарнирное закрепление обоих концов (свободно опертая балка) и жесткое закрепление одного конца пластинки, другой конец - свободен (консольная балка). Полученные закономерности свидетельствуют о том, что

- консольная балка является менее устойчивой, чем свободно опертая балка, т.е. при прочих равных условиях резонансные явления наблюдаются для более жестких пластин.

Полученные характеристики поведения жестких и упругих пластин позволяют определить качественный и количественный характер reo динамических процессов, происходящих на глубинах астеносферы.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Иванисова, Ольга Владимировна, Краснодар

1. Адушкин В.В., Щукин Ю.К. Динамические процессы во взаимодействующих геосферах // Физические процессы в геосферах: их проявления и взаимодействие. М.: ИДГ РАН, 1999. С.7-22.

2. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями. М.: Наука, 1986. 336 с.

3. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Численно-аналитическое исследование динамической устойчивости упругой пластины при аэрогидродинамическом воздействии // Прикладная математика и механика. Ульяновск: УлГТУ, 2009. С. 3-22.

4. Бабаков И. М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968. 560 с.

5. Белоцерковский С.М., Вольмир A.C., Пономарев А.Т. Исследование поведения пластин и оболочек на основе интегро-дифференциальной аэроупругости // Изв.АН СССР. Механика твердого тела. 1974. №6. С. 85-94.

6. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука, 1965. 242 с.

7. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985. 256 с.

8. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К., Табачников В.Г. Крыло в нестационарном потоке газа. М: Наука, 1971. 768 с.

9. Берковский Б.С. Исследование аэродинамики жестких и деформируемых крыльев в ограниченной жидкости // Прикладная математика: сборник. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1971. Вып. 2. С. 108— 134.

10. Бисплингофф Р.Л., ЭшлиХ., Халфмен Р.Л. Аэроупругость. М: Иностранная литература, 1958. 800 с.

11. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. 339 с.

12. Буйвол В.Н. Тонкие каверны в течениях с возмущениями. Киев: Наукова думка, 1980. 296 с.

13. Валландер С. В. Лекции по гидроаэромеханике. Учеб. пособие. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. 296 с.

14. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976.280 с.

15. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физико-математическая литература, 2000. 400 с.

16. Войткунский Я.И., Фаддеев Ю.И., Федяевский К.К. Гидромеханика. Ленинград: Судостроение, 1982. 456 с.

17. ВойценяВ.С. О колебаниях тела над поверхностью раздела двух жидкостей // ПММ. 1963. Т. XXVII. Вып. 5. С. 910-917.

18. Войценя B.C. О поступательном движении тела над поверхностью раздела двух жидкостей // Изв. вузов. Математика. 1963. № 2. С. 20-30.

19. Войценя B.C. Плоская задача о колебаниях тела под поверхностью раздела двух жидкостей // ПММ. 1958. Т. XXII. Вып. 6. С. 789-803.

20. Войценя B.C. Плоская задача о поступательном движении тела под поверхностью раздела двух жидкостей // Труды Новочеркасск, политехи, инта. Новочеркасск: Изд-во Новочеркасск, политехи, ин-та, 1959. № 104. С. 95111.

21. Гольдин C.B. Деструкция литосферы и физическая мезомеханика // Физическая мезомеханика. 2002. Т. 5. № 5. С. 5-28.

22. Гордиенко В.В. Глубинные процессы в тектоносфере Земли. Киев: Нац. Академия Наук Украины, Институт геофизики, 1998. 85 с.

23. Добрецов Н.Л., Кирдяшкин А.Г., Кирдяшкин A.A. Глубинная геодинамика. Новосибирск: Изд-во СО РАН, филиал «ГЕО», 2001. 409 с.

24. Ефремов И.И. Линеаризованная теория кавитационного обтекания. Киев: Наукова думка, 1974. 156 с.

25. Ефремов И.И. Нестационарная гидродинамика и гидроупругость тонких крыльев вблизи границ раздела. Дис. . докт. физ.-мат. наук. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. 462 с.

26. Ефремов И.И., Иванисова О.В. Гидродинамические характеристики малопогруженного подводного крыла // Современные проблемы математического моделирования: труды XI Всероссийской школы-семинара. Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 2005. С. 138-144.

27. Ефремов И.И., Иванисова О.В. Колебания пластинки под свободной поверхностью весомой жидкости // Труды XII Междунар. симп. МДОЗМФ. 2005. С. 140-144.

28. Ефремов И.И., Иванисова О.В., ЛукащикЕ.П. Колебания массивной твердой пластинки в весомой жидкости // Экологический вестникнаучных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2007. №21. С. 30-34.

29. Ефремов И.И., ЛукащикЕ.П. Колебания упругой пластины на свободной поверхности весомой жидкости // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2008. № 2. С. 24-32.

30. Ефремов И.И., Макасеев М.В. Обтекание тонкого упругого профиля под свободной поверхностью весомой жидкости // Научные основы современных технологий орошения: Сборник научных трудов. Краснодар: КГАУ, 1992. С. 67-76.

31. Ефремов И.И., Марко М.Э., Семененко В.Н. Некоторые задачи теории гибких и проницаемых несущих поверхностей // Тезисы докладов Всесоюзной научно-техн. конф. по теории корабля. Л.: Судостроение, 1977. С. 117-120.

32. Ефремов И.И., Роман В.М. Влияние свободной поверхности и твердых стенок на кавитационное течение. В кн.: Неустановившиеся течения воды с большими скоростями. Тр. Междунар. симп., Ленинград, 1971. М.: Наука, 1973. С. 165-172.

33. Ефремов И.И., Роман В.М. Расчёт суперкавитационного обтекания тонких профилей вблизи границы раздела // ПМТФ. 1969. № 3. С. 65-70.

34. Жарков В.Н. Внутреннее строение Земли и планет. М.: Наука, 1979. 101 с.

35. Иванисова О.В. Кавитационное обтекание тонкого профиля под свободной поверхностью весомой жидкости // Прикладная математика и механика: сборник научных трудов. Ульяновск: УлГТУ, 2009. С. 109-117.

36. Иванисова О.В. Программный комплекс нахождения гидродинамических характеристик погруженного профиля // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011616071 от 3.08.2011.

37. Иванисова О.В., Колесникова Ю.Н. Определение смоченной длины тонкого профиля, глиссирующего по поверхности весомой жидкости

38. Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. №2. С. 18-21.

39. Иванов А.Н. Гидродинамика развитых кавитационных течений. JL: Судостроение, 1980. 238 с.

40. Иванов А.Н. Кавитационное обтекание профилей крыльев. Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1960, № 6. С. 117-120.

41. Иванов А.Н. Симметричное кавитационное обтекание удлиненного плоского контура. Изв. АН СССР. Механика и машиностроение, 1962. № 3. С. 61-66.

42. Келдыш М.В. Замечания о некоторых движениях тяжелой жидкости // Технические заметки ЦАГИ. М.: ЦАРИ, 1935. Вып. 2. С. 5-9.

43. Келдыш М.В., Лаврентьев М.А. О движении крыла под поверхностью тяжелой жидкости // Труды конф. по теории волнового сопротивления. М.: ЦАГИ, 1937. С. 31-62.

44. КнэппР., ДейлиДж., ХэммитФ. Кавитация. М.: Изд-во «Мир», 1974. 688 с.

45. Коробкин A.A. Численное и асимптотическое исследование плоской задачи о гидроупругом поведении плавающей пластины на волнах // ПМТФ. 2000. Т. 41. № 2. С. 90-96.

46. Кочин Н.Е. О волновом сопротивлении и подъёмной силе погруженных в жидкость тел. // Собр. соч. М.: Изд-во АН СССР, 1949. Т. 2. С. 105-182.

47. Кочин Н.Е. Плоская задача об установившихся колебаниях тел под свободной поверхностью тяжелой несжимаемой жидкости // Собр. соч. М.-Л.: АН СССР, 1949. Т.2. С. 244-276.

48. Ламб Г. Гидродинамика. М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. 928 с.

49. Лобковский Л.И., Котелкин В.Д. Двухъярусная термохимическая модель конвекции в мантии и ее геодинамические следствия // Проблемы глобальной геодинамики: Материалы Теоретического семинара ОГГГГН РАН, 1998-1999 гг. М.: ГЕОС, 2000. С. 29-53.

50. Логвинович Г.В. Гидродинамика течений со свободными границами. Киев: Наукова думка, 1969. 208 с.

51. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.-Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1950. 680 с.

52. Лотфуллин М.В. Взаимодействие профилей вблизи свободной поверхности весомой жидкости // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1991. Вып. 26. С. 171-187.

53. Лотфуллин М.В. Исследование движения системы двух тел под свободной поверхностью весомой жидкости // Труды Николаевского кораблестроительного ин-та. Николаев: Изд-во НКИ, 1979. № 152. С. 77-85.

54. Лотфуллин М.В. Одна краевая задача и её приложение к плоским задачам о движении тел под свободной поверхностью тяжёлой жидкости // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1976. Вып. 13. С. 202-211.

55. Лотфуллин М.В. Построение функций, конформно отображающих двусвязные области / Казан, ун-т. Казань, 1977. Деп. В ВИНИТИ 27.09.77. № 37В7.

56. Лотфуллин М.В. Численный метод конформного отображения односвязных областей // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1985. Вып. 22. С. 148-150.

57. ЛукащикЕ.П., Иванисова О.В. Влияние волнообразования на гидроупругую устойчивость подводного профиля // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2011. №1(13). С. 105-119.

58. ЛукащикЕ.П., Иванисова О.В. Исследование динамической гидроупругости погруженной пластины на основе теории обобщенных функций // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2011. №1. С. 49-61.

59. Лукащик Е.П., Иванисова О.В., Колесникова Ю.Н. Устойчивость упругого профиля при движении в слое весомой жидкости // Современные проблемы механики сплошной среды: труды XIV Международной конференции. Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2010. Т.2. С. 202-206.

60. МакасеевМ.В. Суперкавитационное обтекание несущей поверхности. Дис. . канд. физ.-мат. наук. Киев, 1987. 155 с.

61. Маклаков Д.В. Нелинейная задача о движении профиля произвольной формы вблизи границы раздела двух сред разной плотности // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1984. Вып. 21. С. 126-131.

62. Маклаков Д.В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. М.: Янус-К, 1997. 280 с.

63. Некрасов А.И. Теория крыла в нестационарном потоке. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1947. 260 с.

64. Панченков А.Н. Гидродинамика подводного крыла. Киев: Наукова думка, 1965. 552 с.

65. Потетюнко Э.Н. Вибрация пластины на поверхности идеальной жидкости бесконечной глубины // Доклады академии наук, 1994. Т. 334. № 6. С. 712-715.

66. Пущаровский Ю.М., Новиков B.JL, Савельев A.A., Фадеев В.Е. Неоднородности и конвекция в тектоносфере // Геотектоника. 1990. № 5. С. 3-8.

67. Рождественский В. В. Кавитация. JL: Изд-во «Судостроение», 1977. 248 с.

68. Роман В.М. Прямая краевая задача для суперкавитирующего профиля с конечной каверной // Гидромеханика. Киев: Наукова думка, 1969. Вып. 15. С. 9-16.

69. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1980. 3-е изд. 448 с.

70. Теркотт Д., Шуберт Дж. Геодинамика. Геологические приложения физики сплошных сред. М.: Мир, 1985.4.1: 375 с. 4.2: 360 с.

71. Тимошенко С. П., Войновски-Кригер С. А. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1963. 636 с.

72. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. Изд. 2-е. 285 с.

73. Трубицын В.П., Рыков В.В. Мантийная конвекция с плавающими континентами // Проблемы глобальной геодинамики. М.: ГЕОС, 2000. С. 728.

74. Трубицын В.П., Фрадков A.C. Силы вязкого торможения океанической литосферы // Физика Земли. 1986. № 6. С. 3-16.

75. Тумашев Г.Г. Задача о движении профиля под свободной поверхностью жидкости // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1970. Вып. 7. С. 262-265.

76. Тумашев Г.Г., Черепенин Н.Д. Задача о движении круглого цилиндра под свободной поверхностью тяжелой жидкости // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1973. Вып. 10. С. 140-151.

77. Тумашев Г.Г., Черепенин Н.Д., Лотфуллин М.В. Один метод решения задач о движении системы контуров вблизи границы разделажидкостей // Мех. сплош. сред. Тезисы докладов Респ. науч.-тех. конф. Набережные Челны, 1982. С. 33.

78. Филиппов С.И. Гидродинамика крылового профиля вблизи границ раздела. Казань: Изд-во КМО, 2004. 200 с.

79. Филиппов С.И. К теории подводного крыла // На рубеже веков. Науч.-иссл. ин-т матем. и механики им. Н.Г. Чеботарёва Казан, гос. ун-та, 1998-2002 г.г. Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва, 2003. С. 432-451.

80. Филиппов С.И. Обратная краевая задача о движении профиля под свободной поверхностью жидкости // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1983. Вып. 19. С. 198-202.

81. Филиппов С.И. Обтекание подводного крылового профиля // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 3. С. 155-162.

82. Хабахпашева Т.И. Плоская задача об упругой плавающей пластине// Динамика сплошной среды. Новосибирск. Изд-во: Ин-т Гидродинамики СО АН, 2000. Вып.116. С. 166-169.

83. Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля. М.: Наука, 1973. 327 с.

84. Хаскинд М.Д. О волновых движениях тяжёлой жидкости // ПММ. 1954. Т. 18. № 1. С. 15-26.

85. Целищев В.А. Исследование влияния свободной поверхности (экрана) на стационарные характеристики тонкого профиля // Гидродинамика подводного крыла. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1986. С. 36-44.

86. Целищев В.А. Исследование влияния свободной поверхности тяжелой жидкости на стационарные гидродинамические характеристики тонкого профиля // Гидродинамика больших скоростей. Чебоксары: Изд-во Чувашского гос. ун-та, 1990. С. 143-147.

87. Чаплыгин Ю.С. Глиссирование плоской пластинки бесконечного размаха по поверхности тяжелой жидкости // Труды ЦАГИ. М.: ЦАГИ, 1940. Вып. 508.

88. Черепенин H.Д. Движение профилей Жуковского под свободной поверхностью тяжелой жидкости // Сб. аспирантских работ. Теория пластин и оболочек. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1973. Вып. 3. С. 81-92.

89. Черепенин Н.Д. Один метод решения задачи о движении тел вблизи поверхности раздела двух жидкостей // Сб. аспирантских работ. Точные науки. Математика. Механика. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1973. С. 143-152.

90. Chong Wu., Watanabe Е., UtsunomiyaT. An eigenfunction expansion-matching method for analyzing the wave-induced responses of an elastic floating plate // Appl. Ocean Res. 1995. Vol. 17. No. 5. P. 301-310.

91. Crimi P., Statler I.C. Forces and moments on an oscillating hydrofoil // Fourth Symposium on Naval Hydrodynamics, Aug. 27-31, 1962. Washington, 1964. P. 477-494.

92. Lamb H. On the vibration of an elastic plate in contact with water// Proc. Roy. Soc. of London, ser.A., 1920. Vol. 98. No. 690. P. 205-216.

93. Nguyen T.-D., FrumenD., LuuT.S. Sur une methode de calcul des écoulements bidimensionnels avec surface libre autor des corps immerges // C.R. Acad. Sci. A266. 1968. No 6. P. 382-385.

94. Nishiyama T. Study on submerged hydrofoils // J. Society Naval Arch. Japan. 1957. V. 2. P. 95-134.

95. Smith S.H. Surface waves over a submerged circular cylinder // Mathematika. 1965. V. 12. No 2. P. 235-245.

96. Tulin M.P. Steady two-dimensional cavity flows about slender bodies. David Taylor Model Basin, № 834, Washington, 1953. 21 p.