Гидроупругость оболочек, движущихся вблизи свободной поверхности тяжелой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

СУВОРОВ Анатолий Сергеевич

ГИДРОУПРУГОСТЬ ОБОЛОЧЕК, ДВИЖУЩИХСЯ ВБЛИЗИ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ

01,02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2009

003470648

Работа выполнена в Нижегородском государственном техническом университете им. Р.Е.Алексеева

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Орлов Юрий Федорович

Официальные доктор технических наук, профессор

оппоненты: Панченков Анатолий Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Кочетков Анатолий Васильевич

Ведущая организация: Нижегородский филиал Учреждения Российской

академии наук института машиноведения • имени A.A. Благонравова РАН

Защита состоится 17 июня 2009 г. в 1500 на заседании диссертационного совета Д 212.165.10 при Нижегородском государственном техническом университете по адресу: 603950, Нижний Новгород, ул. Минина, 24, корп. 1, ауд. № 1258

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного технического университета.

Автореферат разослан «/¿» мая 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Л.Ю. Катаева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В настоящее время для улучшения эксплуатационных характеристик некоторых типов судов с динамической воздушной подушкой (СДВП) днищевую часть их корпусов изготавливают из упругих материалов. В режиме движения по водной поверхности, когда воздушная подушка еще не сформирована и корпус судна движется в жидкости, взаимодействие упругих изгибных колебаний днища и гравитационных волн на поверхности жидкости может привести как к резкому увеличению уровня вибраций и излучения звука, так и к аварийным ситуациям, связанным с потерей устойчивости движения. Кроме того, даже при стационарном движении, достаточно сильное деформирование корпуса при контакте с жидкостью, приводит к изменению гидродинамических характеристик судна. Возможность возникновения данных эффектов определяет актуальность развития математических теорий, позволяющих исследовать данные проблемы гидроупругости с целью улучшения характеристик скоростных аппаратов. Исследования в этой области в разное время, начиная с середины прошлого века, проводили Л.И. Седов, Н.Е. Кочин, М.А. Лаврентьев, М.В. Келдыш, М.Д. Хаскинд, Л.Н. Сретенский, А.И. Некрасов, Э.И. Гршолюк, В.Д. Кубенко, А.Я. Сагомонян, Л.В. Черкесов, А.Н. Панченков, Ю.Ф. Орлов, Р.Ю. Шлаустас, A.A. Коробкин, В.В. Пухначев, Y.M. Scolan, D.G. Crighton и другие. В последнее время широкое распространение получил математический аппарат теории потенциала ускорений, развитый А.Н. Панченковым и Ю.Ф. Орловым для исследования подобного рода задач. В данной работе использование современных методов математического моделирования и теории потенциала ускорений позволило получить решение ранее неисследованных стационарных и нестационарных задач механики жидкости, о взаимодействии упругих оболочек с тяжелой слабосжимаемой жидкостью.

Цель работы. Первая основная цель работы заключается в получении решения задачи гидроупругости об определении деформаций корпуса и формы гравитационных волн, характерных для стационарного движения судна с упругим днищем по поверхности тяжелой жидкости. Вторая основная цель работы состоит в определении таких параметров движения судна с упругим днищем по поверхности тяжелой жидкости, при которых возможно ухудшение акустических характеристик и возникновение повышенных уровней вибрации корпуса.

Методы исследования. Результаты работы получены на основе использования методов математической физики. Расчет конечных значений величин и получение их графической интерпретации проводился с использованием современных средств вычислительной техники и сопутствующего программного обеспечения.

Научная новизна. Научная новизна работы заключается в развитии методов математической физики для решения ряда ранее не исследованных

актуальных задач о взаимодействии гравитационных волн и движущихся упругих оболочек.

Результаты, выносимые на защиту.

1. В рамках линейной теории потенциала ускорений исследованы новые стационарные и нестационарные задачи механики жидкости, о взаимодействии упругих оболочек с тяжелой слабосжимаемой жидкостью.

2. Разработан асимптотический метод решения двумерных, сингулярных интегральных уравнений пространственных задач, основанный на упрощении ядра с последующим определением введенных в решение постоянных методом наименьших квадратов по минимуму ошибки в выполнении граничного условия на теле.

3. Получены расчетные зависимости для определения гравитационных волн на поверхности жидкости и нагрузки на гибких корпусах.

4. Выведены расчетные формулы для определения формы деформированного корпуса при его стационарном движении, для определения режимов движения опасных с точки зрения возникновения высоких уровней вибрации и ухудшения акустических характеристик гибких корпусов в зависимости от числа Фруда.

5. Проведены исследования процессов динамического деформирования гибких упругих корпусов и распространения гравитационных волн на модели корпуса, близкой по форме к корпусам пассажирских СДВП «Волга-2» и «Ракета-2».

Достоверность результатов. Достоверность результатов работы обоснована корректностью постановок задач, строгими математическими преобразованиями и сравнением с полученными ранее решениями.

Практическая ценность. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы при проектировании скоростных судов с гибкими корпусами, с целью повышения их эффективности во взлетно-посадочных режимах, и оптимизации виброакустических характеристик.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

- на ряде научных конференций: третья молодежная научно-техническая конференция «Будущее технической науки» (Н. Новгород, НГТУ, 2004), VI международный конгресс по Математическому моделированию (Н. Новгород, ННГУ, 2004), «Корабельная ядерная энергетика» (Н. Новгород, «ОКБМ», 2004), V международная молодежная научно-техническая конференция «Будущее технической науки» (Н. Новгород, НГТУ, 2006), IX конкурс работ молодых ученых ИПФ РАН (Н. Новгород, ИПФ РАН, 2007), XIX сессия российского акустического общества (Н. Новгород, 2007), XII нижегородская сессия молодых ученых (Татинец, 2007), XX сессия российского акустического общества (Москва, 2008);

- на ученом совете отделения гидрофизики и гидроакустики Института прикладной физики РАН;

- на научном семинаре Нижегородского государственного технического университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 научных работ, в том числе одна статья [1] опубликована в журнале "Известия РАН. Механика жидкости и газа" рекомендованном ВАК. Статья [9] принята к печати в журнале "Прикладная механика и техническая физика" рекомендованном ВАК.

Личный вклад автора. При выполнении работ по теме диссертации автор принимал непосредственное участие в постановке задач, разработке методологии исследований и подготовке публикаций по результатам исследований.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы (56 наименований). Общий объем диссертации 88 страниц, включая 29 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении освящено современное состояние исследований по теме диссертации и обоснована ее актуальность, сформулированы цели и основные положения, выносимые на защиту, отмечена новизна полученных результатов, кратко изложено содержание диссертации.

Первая глава посвящена проблеме стационарного движения упругой эллипсоидальной оболочки по поверхности тяжелой жидкости. В рамках этой главы исследован характер распределения деформаций, возникающих в оболочке и их влияние на гравитационные волны на поверхности жидкости. В первом пункте главы приводится решение задачи о стационарном движении оболочки, полученное с использованием нестационарной аналогии стационарного движения удлиненных тел, когда стационарное движение тела с постоянной скоростью в трехмерном пространстве рассматривается как плоская нестационарная задача погружения контура в жидкость. В такой постановке начально-краевая задача в пространстве потенциала ускорений 0 может быть сформулирована следующим образом:

Д0=О 1

-limf QJr=f.

ti, i

limf f Odntt, = 0, lim\@dr ф 0 /-^0 j J /-Й j

00 0 .

где Д - лапласиан, z - вертикальная координата, t - время,/- функция описывающая форму контура, g - ускорение свободного падения. Использова-

ние представления потенциала ускорении в виде интегрального оператора типа потенции 1 двойного слоя

0(1) ^ 0{у,г,() = [ Р{т])— С{у,т],г,0)с1т},

4«) %

где_у - поперечная координата, // и С - координаты источников, а(() - координата трехфазной точки, <7 - потенциал единичного источника, Р - скачек давления относительно несущей поверхности позволяет редуцировать начально-краевую задачу (1) к интегральному уравнению относительно неизвестного распределения давления жидкости на поверхности оболочки:

У-17 У-г]

где 2- форма свободной поверхности жидкости. Уравнение (2) исследуется с учетом симметрии контура, а также преобладающей роли сил инерции на носовой кромке корпуса и малости гравитационных волн по сравнению с осадкой тела на кормовой кромке, что позволяет получить для него следующее решение:

1 [• 1 Г а/я2-Г2

Р=

- { Л— gi(t)f+А (0 > о

Л=т А а, (0 < О

—у Л-У

где Ь(() - функция, зависящая от закона погружения контура в жидкость, О - постоянная интегрирования. При этом первое слагаемое последнего выражения определяет динамическую и ударную составляющую давления жидкости, а второе слагаемое является следствием действия силы тяжести. Для рассматриваемой в диссертации параболической формы контура, погружающегося в жидкость по параболическому временному закону, получена следующая расчетная формула, определяющая распределение давления на корпусе:

Р=

2{Т-()2В2

г

У

где Т- время погружения (всплытия), В - полуширина оболочки, а0 - координата трехфазной точки при отсутствии движения. При этом

£<0= -+ 1—

Далее в первом пункте первой главы работы производится выполнение преобразования временной координаты в пространственную, что позволяет получить расчетные формулы, пригодные для определения характера волн, создаваемых сильно вытянутым корпусом по формуле;

г

г)эт -[^п^ - г)

где знак - обозначает Фурье образ функции. В заключительной части первого пункта первой главы приводятся результаты расчетов гравитационных волн, характерных для различных режимов движения судов изучаемого

Рис. 1, Результаты расчетов гравитационных волн при Рг=0,2 (слева) и Рг=0,5 (справа), полученных с использованием теории нестационарной аналогии.

Выполненные расчеты показывают, что погрешность решения задачи, вносимая упрощениями в ядрах интегральных уравнений, увеличивается с ростом числа Фруда и достигает максимальной величины 2% при Р]-0.4. При дальнейшем увеличении числа Фруда почетность уменьшается. Так при Рг=1 погрешность составляет 0,5%.

Во второй части цервой главы диссертации приведено решение трехмерной задачи о стационарном движении корпуса эллипсоидальной формы с малой осадкой по поверхности тяжелой жидкости, базирующееся на решении, полученном методом нестационарной аналогии. Математическая модель задачи, построенная в рамках теории потенциала ускорений, основана на замене днища судна слоем распределенных диполей, расположенных в плоскости невозмущенной поверхности жидкости, и имеющих физи-

ческий смысл скачка давления относительно несущей поверхности. В этом случае, с учетом введения безразмерных координат х=Х/Ь, где Ь - половина длины корпуса, и числа Фруда где и - скорость движения

судна, краевая задача может быть сформулирована следующим образом:

Д0=О

\\m\-dr=-Бг /

Бг

Нт0, =0

=0

(3)

где //-коэффициент диссипативных сил, устремляемый к нулю в конечных результатах, Тт=и/^Ь)т. Представление потенциала скоростей в виде интегрального оператора типа потенциала двойного слоя:

где О - потенциал единичного источника, позволяет выполнить редукцию задачи (3) к двумерному интегральному уравнению, сингулярному по переменной^, относительно неизвестной функции Р:

(1Бск-

—1тИтГГ-

2т2

^^-¿¡Г+Ь-чГ]

?(т, п) ■ (т2 + п2 )е"'"" со(пу)

при этом в левой части данного уравнения должен быть выделен вычет. К сожалению, точное решение данного уравнения получить не удается. В различных источниках, рассматриваются асимптотические решения данного уравнения в случае предельных значений /> и 1=ив. В диссертации вводится упрощение в ядра интегрального уравнения с целью получения приближенного решения уравнения для удлинений А,<1 и произвольных значений чисел Фруда. Приближение, базирующееся на предположении малой высоты гравитационных волн по сравнению с осадкой тела, позволяет искать решение задачи в форме близкой к виду решения полученного методом нестационарной аналогии:

где И(х) - функция Хевисайда. Постоянные Л, и Л2 определяют продольный и поперечный размер эллиптической контактной области Я и зависят от изначального удлинения корпуса X. Постоянные а, р И смогут быть подобраны методом наименьших квадратов исходя из минимизации ошибки в удовлетворении кинематического граничного условия на 5. В качестве примера в диссертации рассматривается движение эллипсоидальной оболочки с соотношениями Л=1 и /1=1/3. Выполнены расчеты гравитационных волн при разных значениях Рг, демонстрирующие различия в характере обтекания оболочек различных форм при разных скоростях движения судна (рис. 2).

Рис- 2. Результаты расчетов гравитационных волн, вызванных стационарным движением оболочки по поверхности жидкости при Рг=0,3, Рисунок слева соответствует сферическому телу В=Ь, справа - эллипсоиду В~ИЪ.

Результаты расчетов хорошо согласуются с известными свойствами малых корабельных волн, демонстрируя удлинение волнового след за телом при увеличении скорости движения. Форма свободной поверхности жидкости в области 51 практически совпадает с формой корпуса, что говорит о достаточной точности решения интегрального уравнения.

В последнем разделе первой главы работы решается задача о деформировании гибкой движущейся по поверхности жидкости оболочки и о влиянии податливости материала корпуса на форму гравитационных волн. В работе рассматривается ситуация, когда оболочка жестко связана с прочным корпусом судна в районе ватерлинии на контуре / и имеет некоторые начальные кривизны, являющиеся следствием воздействия избыточного давления воздуха Р0 внутри оболочки. В качестве исходной математической

модели описывающей подобные стационарные процессы гидроупругости использованы предположения о потенциальности течения жидкости, пре-небрежимой малости изгибных моментов в сечениях оболочки и наличии мембранных усилий Л^ и Иу в материале корпуса. Такие предположения позволяют записать исходную систему интегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных величин прогиба и давления жидкости на смоченной поверхности с граничным условием относительно отсутствия прогиба на жесткой кромке I в следующем виде:

\\\т[Р-—(1Мт=

/=0 ;х,уе!

где С - потенциал единичного источника, y=pgL2/Ny - безразмерный параметр, характеризующий податливость оболочки. Использование решения трехмерной задачи о характере распределения нагрузки по поверхности оболочки, полученного в первой главе диссертации, позволяет свести ин-тегро-дифференциальную систему уравнений к двумерному дифференциальному уравнению относительно неизвестного прогиба:

^-РурЛ-х2-^

^ V

Ыу¥гхН(х) „

1+Л2) ^

/ = 0, при у— а

В последнем выражении особый интерес представляет множитель перед старшей производной. Этот множитель уменьшается до нуля с ростом числа Фруда, что приводит, при числе Фруда равном

к отсутствию продольного натяжения в центре оболочки. Это позволяет говорить о том, что при достижении гибкой оболочкой определенной скорости движения гидродинамическое давление, действующие на днище нейтрализует влияние внутреннего давления газа, вследствие чего теряется продольная жесткость материала оболочки. Далее в работе рассматривая две предельные ситуации Рг=0 и Рг=Ргкр, комбинирование которых позволяет получить картину деформирования днища при любом значении Бг из интервала 0<Рг<Ргкр. Останавливаясь более подробно на правой границе данного интервала, нужно отметить, что при Рг—>Ргкр уравнение становится сингулярно возмущенным, однако для данной задачи пренебрежение

старшей производной, не приводит к невозможности выполнения граничных условий. В предположении об эллиптичности формы поперечных сечений оболочки, а именно

/{х,у) = А{х1(хг +1)/ 2 - - ЗУ / 4Л2 ]

в диссертации получено следующее дифференциальное уравнение формы продольного батокса упругого корпуса:

хЬ-х2 н(х)А-{со-\х2 +2х2н(х)/т]\-х2^-А =-р При этом коэффициенты в уравнении равны: со-

(5)

2 1+0.53/ у=09?ДК А^ЩР

Л2аЫх п-2 ' ' а N. тт-23Мха

Решение уравнения (5) известно, с его учетом приближенное аналитическое решение, описывающее форму деформируемой оболочки, движущейся по поверхности тяжелой жидкости при числе Фруда близком к Ргкр:

{

2

х2+1 уХ^-У'Х!^.

х2-\ л(х2 -1) |] £

\

Ах2-1) /=

/ р

х>0

со

-г-х2

-4-К

2 V 4Я2

\

,х<0

В конце первой главы диссертации произведены расчеты формы прогибов деформированного корпуса (рис. 3) и поверхности жидкости (рис. 4) для различных вариантов параметра Я.

Гибкая ооолочка/ \ \ Жестам корпус 1

\

Жестам корпус

Рис. 3. Результаты расчетов формы деформированного жидкостью корпуса при Рг=Ргкр (слева) и Рг=0 (справа). Верхние рисунки соответствуют Л.=1 /3, нижние Х=1/2.

Из рисунков видно, что прогибы в оболочке возникают преимущественно в ее миделевой и носовой части, причем при увеличении относительной ширины корпуса прогибы в носовой части оболочки увеличиваются. Такое распределение деформаций достаточно сильно сказывается на

уменьшении величины возвышения жидкости перед носовой кромкой судна.

Рис. 4. Результаты расчетов формы свободной поверхности жидкости при Рг=РгкТ, Х-И2, Левый рисунок соответствует жесткому корпусу, правый -гибкой оболочке.

Вторая глава работы посвящена исследованию динамических процессов, возникающих при колебаниях упругих тонких тел, движущихся под поверхностью тяжелой слабосжимаемой жидкости. Интерес представляет изменение уроиней вибрации корпуса и звукового давления в среде в зависимости от параметров движения (числа Фруда и Струхаля) и параметров материала корпуса (жесткость оболочки). Но амплитуда колебаний будет зависеть так же от внешней нагрузки на оболочку со стороны корпуса (бортовые источники вибраций), а величина этой нагрузки и ее распределение по оболочке в общем случае неизвестны. Поэтому, исследуемая в данной главе задача, заключается в нахождении таких режимов движения, при которых амплитуда колебаний оболочки возрастает без приложения внешней нагрузки, т.е. возникают резонансные явления. Фома оболочки в процессе колебания также зависит от неизвестных внешних сил и может быть определена только для резонансного режима движения. В работе первая резонансная форма колебаний оболочки представляется в виде суммы удовлетворяющих граничным условиям симметричных и асимметричных колебаний днища относительно миделе вой плоскости.

Решение задачи ищется в декартовой системе координат, причем па-правление оси х совпадает с вектором скорости судна и. При этом вектор виброскорости днища параллелен вертикальной оси г, а плоскость ху совпадает с невозмущенной поверхностью жидкости. В работе рассматривается случай, при котором функция, описывающая поверхность жидкости, непрерывна. Как и для стационарного движения оболочки, исследованного в первой главе диссертации, математическая модель колебательного процесса основана на замене колеблющегося тонкого тела слоем диполей, распределенных по проекции корпуса на плоскость г=0. Предполагается, что жид-

кость занимает объем бесконечной глубины, и высота волн на поверхности жидкости мала. Если течение потенциально, то краевая задача, описывающая установившиеся колебания оболочки с циклической частотой со в тяжелой слабосжимаемой жидкости в рамках теории потенциала ускорений может быть записана в следующем виде:

= -£, +1,

к(£ + 1г) на 5

вхх-Иквх-к29 + р{вх+1к9) + — в1 Нш Ув = 0

= 0 вне 5

(6)

где в- потенциал ускорений, х=(йЬ1с - волновое число, Ь - половина длины корпуса, с - скорость звука в жидкости, к=соИи - число Струхаля, ¿{х,у) -функция прогиба оболочки, /г - величина безизгибного колебания корпуса, 5 - смоченная поверхность, 1/2 - число Фруда, /л—>0 - диссипатив-

ный коэффициент. В диссертации получено фундаментальное решение задачи о движении пульсирующего источника под поверхностью тяжелой слабосжимаемой жидкости, которое с помощью интегрального оператора типа потенциала двойного слоя формирует следующий вид потенциала ускорений:

А-п- Л

-'л

'2 /

2я-

1 Г г 'г е-'^'^соз^тЫ)

У.р.\р\рае^<)а\--- \2 У ¿срс1р<15,-

со

---—\p\-fa-

Иг2(рсоз(^) + к} -а

(7)

5 а1

с1рЛ5 +

4^ I

с!рс1Б,

где Р=р1р112 - безразмерное давление жидкости на оболочку, а=(г2-^)и2, г\ и г2 - расстояния до действительного и мнимого источников, соответственно равные А1 и А2 -координаты особых точек:

4.2='

к 4а .

— ±-+ 1р.

р ¥г-р

Поскольку в диссертации преследуется цель определения вклада поступательной составляющей движения в акустическое поле, то предполагается, что выполняется оценка:

Х = соИс = кМ «1, где М - число Маха. Последнее выражение позволяет осуществить разбиение физического поля, на ближнее гидродинамическое поле, не учитывающее сжимаемость, и дальнее акустическое поле, теория которого хорошо изучена. С использованием данного предположения, выражение (7) используется в диссертации для редукции краевой задачи (6) с помощью кинематического граничного условия на поверхности 5 к двумерному, сингулярному по переменной у, интегральному уравнению относительно неизвестного давления Р:

Р 7 г Нп^КУ-")) ' Г ---------х

8к }0 ^ х\рСОБ^) + к-1р)

(¡дх^Б = -Ех + 1к{е + /;)

1 | Ухг{рсоъ{(р)+к-1р)1 + р Бг2 {р соб^) + к- гр)2 - р

\

-2 Тг

Последнее уравнение не имеет точного аналитического решения, кроме того, в нем необходимо выделить вычеты. В диссертационной работе строится приближенное асимптотическое решение этого интегрального уравнения, используя переход к Фурье преобразованию распределения высот волн, что позволяет избежать трудностей связанных с волновыми интегралами. В качестве упрощения вводится приближение для высот волн в районе области Я:

= Се,

где коэффициент С зависит от стационарной осадки оболочки, и может быть подобран методом наименьших квадратов по минимуму ошибки в выполнении кинематического граничного условия на поверхности контакта с жидкостью. Данное приближение оправдывается тем, что для оболочки находящейся в непосредственной близости к поверхности жидкости, волны будут принимать форму близкую к форме изгиба оболочки (внутри области 5). Такое приближение позволяет, введя новую неизвестную величину

получить упрощенное интегральное уравнение:

= + (8)

где г=((.т-4г)2+()'—т;)2)"2. В диссертации последнее уравнение упрощается дифференцированием по координате и времени, т.е. переходом в правой

части уравнения (8) от скоростей к ускорениям. Кроме того, суммарная нагрузка Г представляется в виде суммы нагрузок и Г/,, вызванных соответственно изгибными и безизгибными колебаниями оболочки в вертикальном направлении. Однако такой подход приводит к частичной потери решения в связи с дифференцированием, поэтому приходится отдельно учитывать ударную составляющую нагрузки Г„ вызванную мгновенным изменением скорости на передней кромке области S. Т.е. r=IV/)-IVí/T;, где d - неизвестная постоянная. После такого преобразования уравнение (8) разделяется на три независимых уравнения:

± fL.^ = [ _2iksx-к2е\2-С),Г, е С°0(у)х С0°(х),

2л- J г

- f = ^2 - С), Гй s с;Ых С(4

2 тг{ г

2 л

Последние уравнения, характеризуются тем, что в их ядрах отсутствует число Струхаля, а правая часть представляет собой вклады колебательных и поступательных составляющих движения. Это дает возможность получить решение уравнения отдельно для колебательной и поступательной составляющей, а затем, комбинируя их составлять решение для любого числа Струхаля. Различным числам Струхаля будет соответствовать лишь разные значения постоянных ({, с* и /г. Приближенное решение данных уравнений с учетом условия Жуковского-Чаплыгина и особенности порядка 1/2 на передней кромке в случае эллиптической формы поверхности Я обсуждено в первой главе диссертации и соответствует следующему распределению нагрузки:

Г„ =(#, + Н2х + Н,х2 + ..^\-х2 -у1 IX1,

Г„ = D,(á)J1-x2 -у2/А2,

(9)

д/l-х2-у2/Я2 0,х<0

,х>0

причем, для Л<1/3 постоянной й2 можно пренебречь. Значение постоянных Я, зависит от конкретной формы прогиба. В диссертации рассматриваются симметричные и асимметричные относительно миделевой плоскости варианты колебаний оболочки с 2=1/3. В работе получены значения постоянных выражения (9) и расчетные формулы для определения неизвестных постоянных (I и /г (рис. 5), которые ввиду своей громоздкости здесь не приводят-

ся. Построены графики {рис. 6) зависимости от чисел Рг и к равнодействующей силы, определяющей, в соответствии с асимптотической формулой

2 л ХГ +у +2 | уровень звукового давления в дальнем акустическом поле.

niirt ____ 5 дБ max

Рис. 6. Зависимость силы, определяющей звуковое давление в дальнем поле от чисел Fr и к при колебаниях с известной формой.

Члсао Струхэля

Рис. 5. Зависимость коэффициента ударной нагрузки для симметричной йс и асимметричной ф форм колебаний от числа Струхаля.

На рисунках 7-8 показаны гравитационные волны, расходящиеся от движущейся по поверхности жидкости колеблющейся оболочки при /->-0,8 при различных к.

Рис. 7. Гравитационные волны при симметричных колебаниях оболочки Рг=0.8 (А—1 слева, к= 5 справа) в момент времени равный периоду колебаний.

Рис. 8. Гравитационные волны при асимметричных колебаниях оболочки Рг=0.8 (¿=1 слева, £=5 справа) в момент времени равный периоду колебаний.

Вторая глава диссертации заканчивается исследованием случаев возникновения повышенных уровней вибрации корпуса, которые могут возникать при различных вариантах числа Фруда. Полученные во второй главе распределения давления используются для замыкания системы уравнений относительно вертикальной силы и момента дифферента, действующих на

корпус при возникновении колебаний:

д

где Дп.~ оператор Лапласа:

А =Л Ё-

Ату V

■ ах ду

- безразмерная жесткость оболочки, ес и ва - формы соответственно симметричных и ассиметричных колебаний. Далее система этих однородных уравнений исследуется на предмет нахождения нетривиальных решений, что позволяет выявить резонансные режимы движения и вычислить формы колеблющегося днища на резонансных режимах. В конце второй главы приведены результаты расчетов амплитудных характеристик (рис. 9). Более темные участки соответствуют минимальным значениям определителя, т.е. резонансным режимам движения. Для этих линий на рис. 10 приведены моды колебаний гибкой оболочки при !с= 8.

мнимая часть

Действительная часть ■

Действительная часть Мнимая часть

Рис. 10. Первая (сверху, к= 8, Рг=1,6) и вторая (снизу, ¿=8, Бг=3,1) моды колебаний оболочки.

Рис. 9. Зависимость амплитуды колебаний от частоты колебаний и числа Фруда.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Методом нестационарной аналогии для сильно вытянутых корпусов получено решение задачи о распределении давления по днищевой поверхности. Кроме того, с помощью метода нестационарной аналогии определен коэффициент, характеризующий изменение координат трехфазной линии в носовой оконечности корпуса в процессе движения.

2. Выполнены исследования трехмерной стационарной задачи о движении эллипсоидального корпуса по поверхности тяжелой жидкости. Получены приближенные формулы для определения нагрузки действующей на поверхности оболочки. Показано изменение в распределении давления в зависимости от удлинения тела. Построены сравнительные 1рафики, отображающие вид гравитационных волн,

3. В квадратурах получено решение задачи о деформировании гибкого днища судна, в процессе его стационарного движения но поверхности тяжелой жидкости. Количественно определено влияние скорости движения судна на изменение угла атаки передней кромки оболочки и форму свободной поверхности жидкости вблизи носовой оконечности корпуса.

4. Решена задача об образовании гравитационных и низкочастотных акустических волн колеблющимися оболочками и пластинами движущимися с постоянной скоростью в продольном направлении под поверхностью ела бо с ж имае мой, невязкой жидкости. По результатам исследований построены графики, характеризующие изменения в распределении давления на днище корпуса в зависимости от числа Струхаля, а так же выполнен расчет волн на поверхности жидкости и звукового давления в дальнем акустическом поле в зависимости от параметров движения судна.

5. Определена первая резонансная форма колебаний гибкой оболочки и режимы движения, опасные с точки зрения возникновения высоких уровней вибрации и ухудшения акустических характеристик гибких корпусов судов. Показано, что в координатах число Фруда - число Струхаля характерная экстремальная линия неустойчивости имеет форму эллипса, полуось которого зависит от величины жесткости материала оболочки. Выполнены расчеты резонансных форм колебаний, которые показывают наличие процессов бегучести изгибных волн.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Суворов, А. С. Гравитационные и акустические волны, вызванные движением колеблющейся тонкой пластины под поверхностью тяжелой слабо-сжимаемой жидкости // Изв. РАН. Механика жидкости и газа № 6, 2008, С. 73-80.

2. Суворов, А. С. Погружение через свободную поверхность тяжелой жидкости гибких контуров / А. С. Суворов, Ю. Ф. Орлов // Тр. 3-й молодежной науч.-техн. конф. «Будущее технической науки». Н. Новгород, НГТУ, 2004, С. 205.

3. Suvorov, A. S. The immersing of flexible contours thought free surface of heavy fluid / A. S. Suvorov, U. F. Orlov // VI international congress on mathematical modeling. N. Novgorod, 2004, P. 168.

4. Суворов, А. С. Технология расчетно-экспериментального акустического проектирования / А. С. Суворов, В. В. Артельный, П. И. Коротин, С. Ю. Петров // Тр. конф. «Корабельная ядерная энергетика». Н. Новгород, 2004. С. 25-34.

5. Суворов, А. С. Погружение через свободную поверхность тяжелой жидкости гибких контуров / А. С. Суворов, Ю. Ф. Орлов // Вестн. ВГАВТ, меж-вуз. сер. «Моделирование и оптимизация сложных систем. Вып. 9, Н. Новгород, 2004. С. 62-72.

6. Суворов, А. С. Поверхностные волны, вызванные движением колеблющейся пластины в тяжелой слабосжимаемой жидкости / А. С. Суворов, Ю. Ф. Орлов // Сб. тр. 5-й международной молодежной науч.-техн. конф. «Будущее технической науки», Н. Новгород, НГТУ, 2006. С. 170-171.

7. Суворов, А. С. Определение вклада источника в акустическое поле сложной механоакустической системы / А. С. Суворов, В. В. Артельный, П. И. Коротин //Сб. тр. 19 сессии РАО. М., 2007. С. 227-231.

8. Суворов, А. С. Вопросы численного моделирования рассеяния акустических волн на телах сложной формы с использованием метода конечных элементов / А. С. Суворов, П. И. Коротин, Б. М. Салин // XX сессия рос-сийск. Акуст. общества. Сб. тр. 20 сессии РАО. М., 2008. С. 159-162.

9. Суворов, А. С. Нестационарное движение оболочки по поверхности тяжелой жидкости / А. С. Суворов, Ю. Ф. Орлов // Прикладная механика и техническая физика, (принято в печать). ( //¿/ 2003J

СУВОРОВ Анатолий Сергеевич

ГИДРОУПРУГОСТЬ ОБОЛОЧЕК, ДВИЖУЩИХСЯ ВБЛИЗИ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ

Автореферат

Подписано к печати 30.04.09. Формат 60*90716. Бумага офсетная № 1. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 55 (2009)

Отпечатано в типографии Института прикладной физики РАН, 603950 Нижний Новгород, ул. Ульянова, 46

Введение.

Глава 1. Движение упругого тонкого тела по свободной поверхности тяжелой жидкости.

1.1. Использование метода нестационарной аналогии в задаче о движении тонкого тела по свободной поверхности тяжелой жидкости

1.1.1 .Постановка задачи.

1.1.2. Редукция задачи к интегральному уравнению и его решение.

1.1.3. Расчеты1 погружения параболического контура и нестационарная аналогия движения по свободной поверхности удлиненных тел.

1.2. Пространственная задача о движении оболочки по поверхности жидкости.

1.2.1. Постановка задачи и потенциал единичного источника. 28 '

1.2.2.Распределение давления жидкости по поверхности оболочки.

1.2.3. Волны, создаваемые стационарным движением оболочки произвольного удлинения по поверхности жидкости.

1.3. Определение формы гибкого корпуса, движущегося по поверхности тяжелой жидкости.

1.3.1. Формулировка краевой задачи.

1.3.2 Дифференциальное уравнение упругой линии продольного батокса при скорости близкой к критической.

1.3.3 Форма оболочки покоящейся в жидкости.

Глава 2. Нестационарное движение оболочки по поверхности тяжелой слабосжимаемой жидкости.

2.1. Граничные условие на поверхности оболочки.

2.2. Краевая задача.

2.3. Фундаментальное решение краевой задачи.

2.4. Приближенное решение интегрального уравнения.

2.5. Распределение нагрузки на эллиптической оболочке сЛ=1/3.

2.6. Расчет волн на поверхности жидкости, вызванных движением колеблющихся тонких тел.

2.7. Расчет первой резонансной формы колебаний оболочки движущейся по поверхности тяжелой жидкости.

Актуальность проблемы.

В настоящее время некоторые типы судов [28,2], имеет корпуса, частично выполненные из упругих материалов, что позволяет повысить их эффективность во взлетном режиме с водной поверхности. Проблема изучения динамических характеристик таких типов корпусов очень важна, поскольку на определенных режимах движения упругое деформирование корпуса может привести к аварийным ситуациям, связанным с потерей устойчивости движения или разрушением корпуса.

Первые попытки учета упругих деформаций твердых тел при расчете их контактного взаимодействия с жидкостью приводятся в работе Повицкого [22]. В шестидесятые и семидесятые годы прошлого века происходит большой рост числа публикаций на тему взаимодействия жидкости с упругими стержнями, пластинами и оболочками. Обзоры главных достижений в изучении проблемы столкновения между жидкостями и деформируемыми корпусами представлены в трудах Григолюка и Горшкова [5], Сагомоняна [24] и Кубенко [7]. В этих работах в основном обсуждается начальный этап проникания тел в жидкость. Большинство результатов, описывающих характер движения жидкости и деформацию корпусов, в этих работах были получены численно. Шаров [57], очевидно, был первым, кто рассмотрел совместную начальную проблему столкновения тонкостенной структуры с жидкостью как последовательность двух процессов. Сначала, течение жидкости и нагрузка, действующие на погружающийся корпус определялась им без учета упругой деформации. Затем, тангенциальные и нормальные компоненты упругих перемещений рассчитывались согласно известному распределению нагрузки, что позволило автору в квадратурах получить решения плоских и осесимметричных задач. В настоящее время, наряду с существенным увеличением возможностей численного решения задач со сложной геометрией, реализованных в пакетах конечно-элементного моделирования, появляются новые аналитические решения некоторых задач. Современные работы по данной тематике отражены в обзоре В.В.Пухначева и А.А.Коробкина [52]. В статье [50] А.А.Коробкина и М.Ф.Иониной приведены результаты расчета удара цилиндрической оболочки о поверхность несжимаемой жидкости. Использование аппроксимации Вагнера для решения плоской задачи совместно с разложением по собственным модам позволило авторам получить результаты схожие с экспериментом. Так же авторами были получены расчетные зависимости для определения давления жидкости и напряжений в оболочке. Решение аналогичной задачи об ударе плоского клина с упругими стенками о поверхность жидкости, с последующими колебаниями, представлено в статье [51] А.А.Коробкина и Т.И.Кабакпашевой. Решение получено с использованием балочной теории с помощью разложения колебаний по собственным формам. Нужно отметить, что большинство работ по данной тематике посвящено анализу проникания упругих тел в невесомую жидкость, поскольку силы инерции в процессе удара значительно превышают гравитационные. Однако при ускорении или замедлении гибкого корпуса возможно1 возникновение синхронизма между бегущими по корпусу упругими волнами и гравитационными волнами на поверхности жидкости. Это в свою очередь может привести как к резкому увеличению вибрации, так и к потере устойчивости движения. Анализ данной проблемы тесно связан с изучением процессов, протекающих при глиссировании тел и образовании гравитационных корабельных волн. Интерес к этим разделам гидродинамики был продиктован необходимостью развития математических теорий направленных на улучшение характеристик скоростных аппаратов в начале тридцатых годов прошлого века. С 1928 по 1936 г. советскими учеными был выполнен ряд исследований по теории глиссирования (Г.Е.Павленко и Л.И.Седов), теории волнового сопротивления (Н.Е.Кочин, Л.Н.Сретенский, Л.И.Седов) и теории движения подводного крыла (М.А.Лаврентьев и М.В.Келдыш) [25]. Результаты этих исследований были представлены на конференции по теории волнового сопротивления

ЦАГИ, 1936), а затем опубликованы в [39]. В вышедшей в 1947 монографии А.И.Некрасова «Теория крыла в нестационарном потоке» [14] автором описывается метод решения проблемы флаттера крыла, который заключался в сведении задачи к системе двух однородных линейных интегральных уравнений, позволяющих определить критическую скорость движения крыла. Та же проблематика в корабельной гидродинамике подробно исследована М.Д.Хаскиндом. В своей монографии «Гидродинамическая теория качки корабля» [40] М.Д.Хаскинд строит общую теорию качки, базирующуюся на рассмотрении вопросов образования пространственных волн, возбуждаемых движущимися пульсирующими особенностями. М.Д.Хаскинд применяет гипотезу плоских сечений, что позволяет замкнуть и решить задачу о колебаниях удлиненного корпуса на свободной поверхности с точных выполнением кинематических граничных условий. Л.Н.Сретенским в [29] и Л.В.Черкесовым в [42] приведены результаты исследования задач о движении и пульсации особенностей под поверхностью тяжелой жидкости и распространении поверхностных волн.

Другим важным направлением в исследовании динамики движения скоростных судов, движущихся с малой осадкой по поверхности, жидкости, стало построение теории потенциала ускорений. Использование данного математического аппарата позволило эффективно изучать вихревые компоненты, возникающие при движении тел в жидкости. Понятие потенциала ускорений было введено Л.Прандтлем в конце тридцатых годов прошлого века [56]. Впервые потенциал ускорений был применен Кюснером [55], Е.Рейснером [23], М.Д.Хаскиндом [41] и Т.Ву [59] для решения задач о нестационарном движении крыла конечного размаха, а так же А.С.Питерсом и Дж.Дж.Стокером [21] в задаче о движении корабля на волнении. Формирование теории потенциала ускорений как самостоятельного раздела гидродинамики идеальной жидкости связано с монографией

А.Н.Панченкова [18]. В этой монографии приведена логически завершенная теория подводного крыла, находящегося в пространственном стационарном, и нестационарном потоках жидкости бесконечной и конечной глубины, учитывающей поверхность раздела тяжелых жидкостей с различной плотностью и взаимодействие несущих поверхностей. Для решения краевых задач, сформулированных в пространстве потенциала ускорений, А.Н.Панченков осуществляет их редукцию к двумерным сингулярным по одной переменной интегральным уравнениям. Затем с помощью асимптотического анализа уменьшает их размерность и решает с помощью разработанного им метода функциональных параметров [19]. Теория глиссирования и корабельных волн получила современное развитие в работах Ю.Ф.Орлова [15,16]. В работе [16] представлено развитие асимптотических методов в теории потенциала ускорений. В монографии [15] строится дальнейшее развитие теории подводного и приэкранного крыла А.Н.Панченкова, а также освещаются вопросы, связанные с синтезом теории крыла и теории корабельных волн в теорию Т-образной модели корабля. В монографии [15] для малых чисел Фруда получено приближенное решение задачи о движении тонкой глиссирующей поверхности малой ширины посредством редукции задачи к уравнению Вольтера по продольной переменной. Вопросы, касающиеся упрощения, сложных для вычисления волновых составляющих функции Грина, движущегося в тяжелой жидкости источника, рассмотрены в работе Р.Ю.Шлаустаса [43]. Так же Р.Ю.Шлаустасом получено аппроксимирующее выражение для ядра сингулярного уравнения пространственной теории крыла, заключающееся в замене радикала в ядре уравнения суммой трех более простых слагаемых.

Развитие разделов гидродинамики изучающих описанные выше задачи активно продолжается и в настоящее время. Об этом можно судить по публикациям в зарубежных журналах, что говорит о большой актуальности данной темы. Так, например, Chen и Sharma в [46] решают задачу о нулевом волновом сопротивлении судна движущегося в прямолинейном канале. В статье исследованы процессы, связанные с взаимодействием собственных и отраженных от стенки канала гравитационных волн в линейной и нелинейной постановках. Jones в [49] приводит решение двумерной задачи об эволюции вихревой пелены сбегающей с острых кромок бестелесной поверхности при больших числах Рейнольдса, для различных вариантов движения. В статьях А.А.Коробкина и Y.M. Scolan «Three-dimensional theory of water impact» исследуются трехмерные задачи о вхождении тел в жидкость. В настоящее время опубликованы две из трех частей этой статьи [53,54], в которых авторы, используя аппроксимацию Вагнера, решают задачи вхождения эллиптических и осесимметричных тел в жидкость.

Цель работы.

Первая основная цель работы заключается в получении решения задачи гидроупругости об определении деформаций корпуса и формы гравитационных волн, характерных для стационарного движения судна с упругим днищем по поверхности тяжелой жидкости.

Вторая основная цель работы состоит в определении таких параметров движения судна с упругим днищем по поверхности тяжелой жидкости, при которых возможно ухудшение акустических характеристик и возникновение повышенных уровней вибрации корпуса.

Методы исследования.

Результаты работы получены на основе использования методов математической физики. Расчет конечных значений величин и получение их графической интерпретации проводился с использованием современных средств вычислительной техники и сопутствующего программного обеспечения. Научная новизна.

Научная новизна работы заключается в развитии методов математической физики для решения ряда ранее не исследованных актуальных задач о взаимодействии гравитационных волн и движущихся упругих оболочек.

Результаты, выносимые на защиту.

1. В рамках линейной теории потенциала ускорений исследованы новые стационарные и нестационарные задачи механики жидкости, о взаимодействии упругих оболочек с тяжелой слабосжимаемой жидкостью.

2. Разработан асимптотический метод решения двумерных, сингулярных интегральных уравнений пространственных задач, основанный на упрощении ядра с последующим определением введенных в решение постоянных методом наименьших квадратов по минимуму ошибки в выполнении граничного условия на теле.

3. Получены расчетные зависимости для определения гравитационных волн на поверхности жидкости и нагрузки на гибких корпусах.

4. Выведены расчетные формулы для определения формы деформированного корпуса при его стационарном движении, для определения режимов движения опасных с точки зрения возникновения высоких уровней вибрации и ухудшения акустических характеристик гибких корпусов в зависимости от числа Фруда.

5. Проведены исследования процессов динамического деформирования гибких упругих корпусов и распространения гравитационных волн на модели корпуса, близкой по форме к корпусам пассажирских СДВП «Волга-2» и «Ракета-2».

Практическая ценность.

Результаты, полученные в работе, могут быть использованы при проектировании скоростных судов с гибкими корпусами, с целью повышения их эффективности во взлетно-посадочных режимах, и оптимизации виброакустических характеристик. Достоверность результатов.

Достоверность результатов работы обоснована корректностью постановок задач, строгими математическими преобразованиями и сравнением с полученными ранее решениями.

Личный вклад автора.

При выполнении работ по теме диссертации автор принимал непосредственное участие в постановке задач, разработке методологии исследований и подготовке публикаций по результатам исследований.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

- на ряде научных конференций: третья молодежная научно техническая конференция «Будущее технической науки» (Н. Новгород, НГТУ, 2004), VI международный конгресс по Математическому моделированию (Н. Новгород, ННГУ, 2004), «Корабельная ядерная энергетика» (Н.Новгород, «ОКБМ», 2004), V международная молодежная научно-техническая конференция «Будущее технической науки» (Н. Новгород, НГТУ, 2006), IX конкурс работ молодых ученых ИПФ РАН (Н. Новгород, ИПФ РАН, 2007), XIX сессия российского акустического общества (Н.Новгород, 2007), XII нижегородская сессия молодых ученых (Татинец, 2007), XX сессия российского акустического общества (Москва, 2008).

- на ученом совете отделения гидрофизики и гидроакустики института прикладной физики РАН (Н. Новгород, 2009).

- на научном семинаре в Нижегородском государственном техническом университете (Н.Новгород, 2009).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 8 научных работ [30-36] и [58], в том числе одна статья [36] опубликованная журнале «Известия РАН. Механика жидкости и газа» рекомендованном ВАК. Статья [37] принята в печать в журнале «Прикладная механика и техническая физика» рекомендованном ВАК.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы (59 наименований). Общий объем диссертации 88 страниц, включая 29 рисунков.

Заключение

В рамках линейной теории в работе получено решение ранее не исследованных задач о движении упругих тонких оболочек по поверхности тяжелой идеальной жидкости. В первой главе работы проведено исследование процессов, возникающих в жидкости при стационарном движении оболочки по ее поверхности. Методом нестационарной аналогии для сильно вытянутых контуров получено решение задачи о распределении давления по поверхности оболочки. Кроме того, с помощью метода нестационарной аналогии определен коэффициент, характеризующий изменение координат трехфазной линии в носовой оконечности корпуса в процессе движения.

Выполненные исследования трехмерной стационарной задачи о движении эллипсоидального корпуса по поверхности тяжелой жидкости, позволили получить приближенное решение, отражающее распределение нагрузки на поверхности оболочки. Получены расчетные зависимости, демонстрирующие изменения в • распределении давления в зависимости от удлинения тела. Выяснено, что возникающее вблизи передней кромке корпуса волны вносят существенный вклад в перераспределение нагрузки на I носовую оконечность судна. В работе получены расчетные формулы для определения высот волн и выполнены расчеты для различных вариантов параметра удлинения. Построены сравнительные графики, отображающие вид гравитационных волн.

В п. 1.3 диссертации в квадратурах получено решение задачи о деформировании гибкой упругой оболочки, являющегося результатом ее взаимодействия с жидкостью. Решение задачи гидроупругости, позволило количественно определить изменения угла атаки на передней кромке оболочки и как следствие выявить изменения в форме свободной поверхности жидкости вблизи носовой оконечности корпуса.

Во второй главе работы решена задача об образовании гравитационных и низкочастотных акустических волн колеблющимися оболочками и пластинами движущейся с постоянной скоростью в продольном направлении под поверхностью слабосжимаемой, невязкой жидкости. Полученное с помощью метода Фурье фундаментальное решение было использовано, для редукции задачи к двумерному интегральному уравнению, которое в свою очередь было упрощено до системы независимых сингулярных интегральных уравнений, допускающих приближенное решение в виде ряда из финитных функций и функций с особенностями. По результатам исследований построены графики, характеризующие количественное значение давления на днище корпуса в зависимости от числа Струхаля, а так же выполнен расчет волновой поверхности жидкости и звукового давления в дальнем акустическом поле в зависимости от параметров движения, судна. Полученные рисунки наглядно демонстрируют все- особенности, возникающие в процессе генерации волн, движущимися и колеблющимися тонкими телами.

В п.2.7 работы решена задача об определении режимов движения, приводящих к возникновению повышенных вибраций в* гибкой оболочке. Решение задачи получено с помощью представления искомой резонансной формы колебаний в виде' суммы симметричных и асимметричных, относительно миделевой плоскости, прогибов, исследованных в диссертации. Выполнены расчеты и построен график зависимости определителя однородной системы уравнений, определяющего резонансные режимы движения. Показано, что в координатах число Фруда - число Струхаля характерная экстремальная линия' неустойчивости имеют форму эллипса, полуоси которого зависят от величины жесткости материала оболочки. Выполнены расчеты резонансных форм колебаний, которые показывают наличие процессов бегучести упругих волн в материале оболочки.

Результаты, полученные в работе, могут рассматриваться как оценочные и использоваться на этапах предварительного проектирования скоростных судов новых типов с эластичными корпусами с целью повышения их гидродинамических и виброакустических характеристик.

1. Антонов А.А., Орлов Ю.Ф., Соколов В.В. Особенности продольной остойчивости СДВП «Волга-2»// Асимптотические методы в теории систем. Иркутский научный центр СОАН СССР, Иркутск, 1990. С.200-213.

2. Бисплингхофф P.JI., Эшли X., Халфмэн P.JI. Аэроупругость. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. 799 с.

3. Бэйтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. М.: Наука, 1969. 343с.

4. Бэйтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 2. Преобразования Бесселя, интегралы от специальных функций. М.: Наука, 1970. 327с.

5. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью (удар и погружение). Л.: Судостроение, 1976. 200 с.

6. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. 589с.

7. Кубенко В.Д. Проникание упругих оболочек в сжимаемую жидкость. Киев: Наук. Думка, 1981, 160с.

8. Кузнецов Н.Г., Мазья В.Г. Асимптотическое разложение для поверхностных волн, вызываемых быстроосцелирующими или ускоряющимися возмущениями // Асимптотические методы. Задачи и модели механики. Новосибирск: Наука, 1987. С. 136-175.

9. Кузнецов Н.Г., Орлов Ю.Ф., Черепенников В.Б., Шлаустас Р.Ю. Регулярные асимптотические алгоритмы в механике. Новосибирск: Наука, 1989. 274с.

10. Лепендин Л.Ф. Акустика. М.: Высш. шк., 1978, 448с.

11. Логвинович Г.В. Гидродинамика течений со свободной границей, Киев: Наук, думка 1969, 216с.

12. Манжиров А.В., Полянин А.Д. Справочник по интегральным уравнениям. М.: Факториал Пресс, 2000. 384с.

13. Инее Е.Н., Перцев А.К. Гидроупругость оболочек. Л.: Судостроение, 1970. 365 с.5

14. Орлов Ю.Ф. Потенциал ускорений в гидродинамике корабельных волн. Новосибирск: Наука, 1979. 215 с.

15. Орлов Ю.Ф. Теория потенциала ускорений и асимптотические методы// Асимптотические методы задачи и модели механики. Новосибирск: Наука, 1987. С.6-38.

16. Орлов Ю.Ф., Тирских В.В. Обобщенная задача Вагнера. Препринт №2 Иркутск: Институт динамики систем и теории управления СОР АН, 1998. 47с.

17. Панченков А.Н. Гидродинамика подводного крыла. Киев: Наук, думка,1965. 522с.

18. Панченков А.Н. Некоторые задачи и методы гидродинамики больших скоростей. В кн.: Современные вопросы гидродинамики. Киев: Наук, думка, 1967. С. 179-211.

19. Панченков А.Н. Теория потенциала ускорений. Новосибирск: Наука, 1975. 220с.

20. Питере А.С., Стокер Дж.Дж. Движение корабля как свободно плавающего тела на волнении. В кн.: Теория поверхностных и внутренних волн. М.: Изд-во иностр. лит., 1959. С.43-144.

21. Повицкий А.С. Посадка гидросамолетов. Труды ЦАГИ, 1939, вып.423. С. 1-83.

22. Рейснер Е. Граничные задачи аэродинамики несущих поверхностей при неустановившемся движении. В кн.: Механика. Сборник переводов. Т.2. М.: Изд-во иностр. лит., 1959. С.43-144.

23. Сагомонян А. Я. Проникание. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974. 299с.

24. Седов Л.И. Механика в СССР за 50 лет ч.2 гидродинамика. М.: Наука, 1970. 879с.

25. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука,1966. 448с.

26. Сизов В.Г. К теории волнового сопротивления судна на тихой воде// Известия АН СССР, ОТН, 1961. №1.

27. Соколов В.В. Новое поколение крылатых судов. Д.:Судостроение, 1991.№1. С. 3-7

28. Сретенский JI.H. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977. 816 с.

29. Суворов А. С. Орлов Ю.Ф. Погружение через свободную поверхность тяжелой жидкости гибких контуров // Будущее технической науки: III молодежная научно-техническая конференция. Н. Новгород, НГТУ, 2004. С. 205.

30. Суворов А. С., Артельный В.В., Коротин П.И., Петров С.Ю. Технология расчетно-экспериментального акустического проектирования // Корабельная ядерная энергетика: научно-техническая конференция. Н.Новгород, 2004. С.25-34.

31. Суворов А.С. Орлов Ю.Ф. Погружение через свободную поверхностьтяжелой жидкости гибких контуров // Моделирование и оптимизациясложных систем. Вестник ВГАВТ, №9, Н. Новгород, 2004. с. 62-72.

32. Суворов А.С. Орлов Ю.Ф. Поверхностные волны, вызванные движением колеблющейся пластины в тяжелой слабосжимаемой жидкости // Будущее технической науки: V международная молодежная научно-техническая конференция. Н. Новгород, НГТУ, 2006, С. 170-171.

33. Суворов А.С., Артельный В.В., Коротин П.И. Определение вклада источника в акустическое поле сложной механоакустической системы // Сб. трудов 19 сессии РАО. Москва, 2007. С.227-231.

34. Суворов А. С., Коротин П.К, Салин Б.М. Вопросы численного моделирования рассеяния акустических волн на телах сложной формы с использованием метода конечных элементов // Сб. трудов 20 сессии РАО. Москва, 2008. С. 159-162.

35. Суворов А.С. Гравитационные и акустические волны, вызванные движением колеблющейся тонкой пластины под поверхностью тяжелойслабосжимаемой жидкости // Изв. РАН. Механика жидкости и газа №6, 2008, С. 73-80.

36. Суворов А.С., Орлов Ю.Ф. Нестационарное движение оболочки по поверхности тяжелой жидкости // ПМТФ, 2009, (принято в печать т.50, №4, 2009).

37. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 635с.

38. Труды конференции по теории волнового сопротивления. М.: изд-во ЦАГИ, 1937.

39. Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки. М.: Наука, 1973.

40. Хаскинд М.Д. Обтекание тонких тел в трехмерном потоке. ППМ, 1947, т.Х1, вып. 2. С. 120-130.

41. Черкесов JT.B. Гидродинамика поверхностных и внутренних волн. Киев: Наук. Думка, 1976, 364с.

42. Шлаустас Р.Ю. Новое решение для потенциала источника под свободной поверхностью тяжелой жидкости // Асимптотические методы в теории систем, Иркутск, 1989, С.36-49. '

43. Шлаустас Р.Ю. Тонкая несущая поверхность в апериодическом потоке вблизи опорной поверхности // Асимптотические методы в теории систем, Иркутск, 1974, вып. 7. С.72-97.

44. Bourgoyne D.A., Hamel J.M., Ceccio S.L., Dowling D.R. Time-averaged flow over a hydrofoil at high Reynolds number // J. Fluid Mech., 2003. vol. 496. P. 365404.

45. Chen X.N., Sharma S.D. Zero wave resistance for ships moving in shallow channels at supercritical speeds // J. Fluid Mechanics, vol. 335,1997 P.305-321.

46. Crighton D.G. The Kutta condition in unsteady flow // Annual. Rev. Fluid Mech., 1985. V. 17. P. 411-445.

47. Garipov R.M. On the linear theory of gravity waves: the theorem of existence and uniqueness// Arch.Rat.Mech, 1967.V. 24. N5. P. 352-362.

48. Jones M.A. The separated flow of an inviscid fluid around a moving flat plate // J. Fluid Mechanics, vol. 496 . P. 405-441

49. Korobkin A.A., Ionina M.F. Water impact on cylindrical shell // Proc. 14th IWWWFB, Michigan,. USA 1999. pp.44-47

50. Korobkin A.A., Khabakhpasheva T.I. Approximate models of elastic wedge impact // Conference of Computational and Informational Technologies for Research, Engineering and Education. Alma-Ata, 2004.

51. Korobkin A.A. and Pukhnachev V. V. Initial stage of water impact // Annual. Rev. Fluid Mech., 1988. V. 20. P. 159-185.

52. Korobkin A.A., Scolan Y.M. Three-dimensional theory of water impact. Part 1. Inverse Wagner problem // J. Fluid Mech., 440 ,2001, P. 293-326

53. Korobkin A.A., Scolan Y.M. Three-dimensional theory of water impact. Part 2. Linearized Wagner problem // J. Fluid Mech., 549 , 2006, P. 343-373

54. Kuessner H.G. Luftfahrt Forsch., v. 17, 1940.

55. PrandtlZ. ZAMM, v.16, 1936.

56. Sharov, Ya. F. Ship bottom impact upon wave. Sudostroyeniye 4:5-9,T958.

57. Suvorov A.S., Orlov U.F. The immersing of flexible contours thought free surface of heavy fluid // VI international congress on mathematical modeling, N.Novgorod, 2004, P. 168.

58. Wul. T. Hydrofoils of finite span. Math. Phys. 33, 1954.