Неустановившееся движение системы гибких профилей в дозвуковом несжимаемом потоке тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

'*• и А

V I Р ^ 3

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ВОЛЧКОВА Ирина Ивановна

НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ГИБКИХ ПРОФИЛЕЙ В ДОЗВУКОВОМ НЕСЖИМАЕМОМ ПОТОКЕ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном упиверситете на кафедре гидроупругости математико-механического факультета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Б.А.Ершов.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Г.Т.Алдошин; кандидат физико-математических наук, доцент В.С.Сабанеев.

Ведущая организация: Институт проблем транспорта Российской Академии Наук.

.защита диссертации состоится ^¿¿¿^Р 1996 г.

в —' 7 часов на заседании диссертационного совета К 063.57.13 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь 2. математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

М. А. Нар бут

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из важных задач гидроупругости является исследование процессов, которые возникают в результате взаимодействия упругих конструкций с потоком жидкости. Актуальность подобных задач связана с практическими потребностями судостроительной промышленности.

В работах, посвященных исследованию движения системы тел в жидкости рассматриваются, как правило, твердые тела и не учитывается возмущенное состояние среды, вызванное предшествующим движением тел.

В данной работе предложена математическая модель задачи гидроупругости о неустановившемся движении системы двух гибких профилей в идеальной несжимаемой жидкости, учитывающая вихревые следы за профилями. Решение системы уравнений движения проводилось с использованием приближенных аналитических методов. В результате были получены конечные расчетные зависимости для гидродинамических и механических характеристик потока и системы гибких профилей.

Цель работы состоит в исследовании переходных процессов, возникающих при неустановившемся движении системы гибких профилей в потоке идеальной несжимаемой жидкости, сопровождающимся образованием вихревых следов.

Метода! исследований. Исследования, проведенные в диссертации, основаны на методах гидродинамики и теории изгибных колебаний пластин. Для получения приближенного аналитического решения системы интегро-дифференциальных уравнений движения гибких профилей применялся метод Бубнова-Галеркина, а также методы интегральных преобразований и операционного исчисления.

Новизна полученных результатов

- Получено приближенное аналитическое решение системы интегро-дифференциальных уравнений, описывающих свободные колебания системы гибких профилей в идеальной несжимаемой жидкости.

- Приведены конечные аналитические зависимости для определения прогибов, величин разрывов скоростей за профилями, рас-

пределения давления на профилях, подъемной и подсасывающих сил, действующих на профили.

- Построены переходные процессы, возникающие в системе консольно-закрепленных гибких профилей для различных вариантов начальных условий.

- Построена область устойчивости на плоскости параметров для исследуемой системы.

Практическая значимость результатов. При разработке основ теории безопасности водного транспорта важную роль играют задачи гидроупругости о движении и взаимодействии тел, движущихся в жидкости. Проблемы, которые возникают при движении судов различных конструкций, можно решать, используя методы, изложенные в настоящей работе. К таким объектам относятся суда на подводных крыльях, вертикальные кормовые рули, успокоители качки с двумя и более парами бортовых рулей, полупогружные суда (суда с малой площадью ватерлинии).

Достоверность полученных результатов достигается корректностью принятой математической модели задачи и применением хорошо апробированных аналитических и численных методов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах Института проблем транспорта Российской Академии наук (Санкт-Петербург 1992-1995, руководитель Соломенко Н.С.) и на семинарах кафедры гидроупругости Санкт-Петербургского университета (руководитель Ершов Б.А.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре научные работы.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, четырех приложений, заключения и списка литературы, содержащего 50 наименований источников. Работа изложена на 112 страницах и иллюстрирована 18 рисунками.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертационной работы, сформулированы цель и задача исследований, дай краткий обзор работ, посвященных неустановившемуся движению гибкой несущей поверхности и системы тел в потоке жидкости.

Проблема движения системы тел в жидкости и их взаимодействия является предметом исследования многих авторов. Первые результаты в атом направлении были получены Бьеркнесом, Хиксом, Н.Е.Жуковским. Большую роль в развитии данного вопроса сыграли работы Л.И.Седова, Айзенберга, В.С.Сабанеева, Э.Л.Блоха, А.С.Гиневского, Д.Н.Горелова, А.А.Костюкова, в которых достаточно подробно изучена задача о движении системы твердых тел в жидкости. В то же время, значительный интерес для приложений представляет рассмотренная в диссертации задача о взаимодействии упругих тел с потоком жидкости.

В первой главе рассматривается задача о движении системы двух гибких профилей в дозвуковом несжимаемом потоке.

Математическая модель задачи гидроупругости состоит из трех частей: модели потока, модели гибкой механической конструкции и модели взаимодействия потока с гибкой конструкцией.

Модель потока представлена идеальной несжимаемой жидкостью, покоящейся на бесконечности.

Модель гибкой механической конструкции представлена двумя бесконечными по размаху тонкими упругими пластинами постоянной толщины и одинаковой ширины 2а (рис.1). Далее рассматривается движние срединных поверхностей пластин.

Движение пластин и жидкости плоскопараллельное. Поэтому в дальнейшем исследуется плоская задача о движении двух тонких профилей.

В невозмущенном движении конструкция представлена двумя тонкими прямолинейными профилями длиной 2а, параллельными оси х движущимися с постоянной скоростью IIо вдоль этой оси. Во время невозмущенного движения расстояние между отрезками остается постоянным, равным 2Н. При таком движении профили не возмущают жидкость.

Возмущенное движение гибких профилей суть их прогибы, которые создают поля возмущенных скоростей и давлений в жидкости. Будем считать, что передние кромки профилей закруглены, а задние заострены. Возмущенное движение профилей происходит с переменной циркуляцией, что определяет существование вихревого следа за каждым профилем. Свободные вихри, образующиеся при изменении прогиба профиля, стекают с его заостренного конца,

Рис. 1: Схема движения системы профилей

образуя вихревой след.

В модели взаимодействия между гибкими профилями и жидкостью, наряду с классическим взаимодействием, которое определяется условиями непротекания, учитывается также влияние на профили вихревых следов за ними, в которых "запоминается" предшествующая история движения профилей.

Таким образом, на движение каждого профиля оказывает влияние как движение другого профиля через поле давлений, так и воздействие вихревых следов за ними.

Основой для определения потенциала возмущенных скоростей у, ¿) на нижнем и верхнем профилях является выражение для функции скоростей, данное в случае одного профиля Л.И.Седовым. В случае движения системы двух гибких профилей в идеальной несжимаемой жидкости в работе предложен алгоритм определения потенциала возмущенных скоростей <Р(Х, у, Ь) для всей плоскости и получено приближенное аналитическое выражение для этого потенциала.

Гидродинамическое движение на профилях, вычисленное по первому приближению потенциала возмущенных скоростей р(х,у,1) имеет следующий вид

1 + 4сШ2

Un

U0£ + L3(x,a)Kl(ai-a)da+

Г í)£2(Xj f Щ + ¿0(г) Г uW(a)íú(a1 - a)¿a

.J-a JO

тг</(4Я2 + (a + х)2)(4Я2 + (a - x)2)3

+

t)LH{x,t)d£+

f

Jo

(1)

Здесь и: далее для первого профиля j = 1, г — 2; для второго профиля j = 2, i = 1; - нормальные составляющие скорости на профилях; Uj ' - величины разрывов касательных составляющих скорости в следе за профилями, (j = 1,2); d- постоянная, определенная в диссертации;

у/(а - £)(а + х) + у/(а + f )(а - х)

^(а - 0(о + х) - ^/(а + - я)

ад = Ы, SHO '

у а + { V (х - а)(а + £)£ - х

Г \/(в-*)(« + *)

L3{x,a) =-

ai — а — а — х

Lh{X,0 =

(АН2 + х2 — а2)(£ — х) — 8аЯ2 а - £

4Я2 + (£ - х)2

а + е'

£я(х,а,а 1) = Ьи(х,а- а^ - а),

Л*1(а1 — а) = . - ,

^(«1 - а)(а! - а + 2а)

Л'2(а;1 - а) = </——а + 2а V с*1 — а

Гидродинамическое давление (1) на каждом из профилей позволило получить для системы двух гибких профилей выражение подъемной силы, подсасывающей силы и момента гидродинамических сил относительно начала подвижной системы координат, связанной с профилями.

Для принятой модели несущих поверхностей уравнения возмущенного движения (уравнения изгибных колебаний пластины) имеют следующий вид

и

Здесь П] - цилиндрическая жесткость на изгиб,

mj - масса единицы площади крыла, (7 = 1,2). Связь между прогибами и нормальными составляю-

щими скорости жидкости на профилях Уп \х, Ь) определяется кинематическими условиями непротекания жидкости через поверхность тела. В нашем случае, когда профили движутся с поступательной скоростью 110 вдоль оси х и совершают малые перемещения вдоль оси у, нормальные составляющие скорости определяются следующим образом:

Величины разрывов скоростей в следе за профилями и нормальные составляющие скорости жидкости ^ на профилях связаны интегральными уравнениями:

р-'мУ1^«=- />^<>\& о-=М).

Уравнения (2), где определены выражениями (1), а также

уравнения (4) с учетом (3), приводят к следующей системе интегро-дифференциальных уравнений в частных производных относительно прогибов профилей и разрывов касательных составляющих скоростей в следе:

дХ* +Ш1 дР +

2р( Г \\ , д'иЩ^)

+

[ио Н

1+Шр

и.

Г

V—а

/ и'){и°т) + ТТ^Тр] Ьз(х-т)т-тУ

1т + 110х

-и.

+ ■

т

J о

+

тгУ(4Я2 + (а + х)2)(4Я2 + (а - х)2)3

1>вЫ№+

^4\иот)1в{х,г,т)в.т 1=0,

(5)

Г 0)т ы Г\ гг^МЛ-^М

Уо «"(С/Ьт)А2(4 - т)Ж- = - J а [-1-0 ^ + т

Уравнения (5) представляют собой систему четырех интегро-дифференциальных уравнений в частных производных, являющихся обобщением уравнений Фредгольма и Вольтерра. Эти уравнения определяют свободные колебания гибких профилей, происходящие от заданных начальных условий.

Таким образом, математическая модель задачи гидроупругости о движении двух гибких профилей в идеальной несжимаемой жидкости определяется системой четырех интегро-дифференциальных уравнений (5), которая сопровождается начальными и граничными условиями.

Во второй главе построено решение системы интегро-дифференциальных уравнений (5) в операторной форме. Представим функции прогибов (з = 1,2) в виде ряда по собственным

формам колебаний

i=l

WV(x,t) = ±X?\x)7?\t). (6)

i=l

где - полные ортонормированпые системы балочных функ-

ций удовлетворяющие граничным условиям, - подлежащие

определению функции времени (обобщенные координаты).

Проводя процедуру метода Бубнова-Галеркина, приходим к системе интегро-дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат и величин разрывов скоростей в следе за профилями Регуляризация ядер системы и последующая аппроксимация части ядер экспоненциальными функциями дает возможность преобразовать полученную систему по Лапласу. Решение операторной системы приводит к следующим выражениям для изображений обобщенных координат и разрывов скоростей в следе:

2 UJ-

Здесь Дх(9) = P{q) + ^qQ{q), H^n{q) = Pmn{q) + rfQm„(q), P(q), Q(q), Pmn(q), Q mn (q) - полиномы.

В третьей главе построено аналитическое решение системы интегро-дифференциальных уравнений (5) определяющей свободные колебания профилей. Операторное решение (7) системы (5) содержит иррациональность yjq вида алгебраической точки ветвления второго порядка. Для этого случая сформулированы условия устойчивости. В плоскости двух параметров (Uo,H) построена область устойчивости (рис.2) для системы консольно-закрепленпых дюралевых профилей. Для скорости Uo = 1м/с движение устойчиво при Н > Но (Но = lm). Значение Н = Но будем считать критическим расстоянием, таким образом fío = min Н при Uo > 1м/с.

ни)

//////м/ш/ш

...........иМск)

I € ¿О ¿5"

Рис. 2: Область устойчивости

С увеличением скорости 11о критическое расстояние увеличивается. При изменениии скорости на порядок от 1м/с до 10м/с критическое расстояние увеличилось в два раза. При сближении профилей на фиксированной скорости С/о достигается критическое минимальное расстояние, переход через которое приводит к неустойчивости системы.

Аналитическое выражение для обобщенных координат имеет следующий вид

г0)м _ V* (Д*ЯяЫ + Д,Я/2Ы)г*е* [1 + ег/(2кУ1)]

' (8)

где

= апТ«(0) + ЬпТ«(0), Й2 = а21Х«(0) + Ь21Т<2>(0),

ГФ(0) = (,- = 1,2)

здесь аар, Ьар - коэффициенты полученной системы уравнений, I) -величины ударных импульсов.

В работе произведено вычисление переходных процессов для следующих вариантов начальных условий: - удар по первому профилю 1\ = I, = 0.

- одновременный удар одного знака по профилям Д = I? = I.

- одновременный удар разных знаков /1 = 1,12 = —I.

- удар по второму профилю = 0, /г = I.

Вычисления переходных процессов проводились в системе символьной математики МАРЬЕ У.З. Результаты вычислений представлены графиками. Для малых < начало переходных процессов представлено на рис.3 (кривая 1 - первый профиль, кривая 2 - второй).

Вычисления переходных процессов проводились для трех интервалов времени: 0 < * < 500с, 0 < г < 2000с, 0 < * < 6000с для каждого варианта начальных условий. Приведем, в качестве примера, график переходного процесса для первого профиля при первом варианте начальных условий (рис.4).

Анализ результатов, полученных в работе, позволяет сделать следующие выводы.

- Характер переходных процессов колебательный. На

комплексной плоскости корни полинома Д^г) располагаются в области устойчивости, которая представляет собой вертикальный сектор, образованный биссектрисами координатных четвертей, содержащих мнимую ось. Часть корней полинома располагается вблизи биссектис координатных четвертей. При нарушении условий устойчивости эти корни первыми выходят на границу устойчивости , что

и дает неустойчивость типа "флаттер".

- Переходный процесс можно разбить на три периода: первый период определяет как изменяется величина амплитуды колебаний при малых I,

второй период - период роста амплитуды колебаний, который длится до 700 - 1000 с,

третий период - период затухания колебательного процесса.

- В несжимаемой жидкости воздействие профилей друг на друга передается мгновенно, без запаздывания. Это хорошо видно на графиках для малых I. На этих графиках также видно, что фазы движения системы для малых 4 определяются начальными воздействиями, т.е. знаками ударных импульсов. Например, при одновременном ударе различных знаков (рис.3.в), величины обобщенных координат также имеют разные знаки.

Методика решения рассматриваемой в диссертации задачи, разрабатывалась для случая консольнозакрепленных профилей. Изменение граничных условий не вносит существенных изменений в качественную картину решения задачи. В этом случае при проведении процедуры метода Бубнова-Галеркина используется другая, соответствующая граничным условиям, система ортонормиро-ванных балочных функций. Так, в частности, если рассматривать движение двух свободных профилей, которые могут представлять балочные модели судов, движущихся в одинаковом направлении с одинаковыми скоростями, то из полученных результатов исследования таких систем следует, что возмущенное движение системы колебательное и сокращение расстояния между профилями приводит к неустойчивости системы.

Заключение. В работе была поставлена и последовательно решалась задача о неустановившемся движении системы двух гибких профилей в дозвуковом несжимаемом потоке с учетом вихревых следов за ними. Разработанные в диссертации аналитические методы позволили сделать следующие выводы.

1. Предложена математическая модель взаимосвязанного движения двух гибких профилей в идеальной несжимаемой жидкости с учетом "памяти" предшествующего движения.

2. Определен потенциал возмущенных скоростей и разработана методика вычисления гидродинамического давления на профи-

лях через значения частных производных потенциала возмущенных скоростей в подвижной системе координат на грапицах отрезков, схематизирующих профили.

3. Получены аналитические зависимости для основных гидродинамических характеристик взаимодействия системы гибких профилей с потоком жидкости (подъемной и подсасывающей сил, момента гидродинамических сил, действующих на профили).

4. Определена математическая модель задачи в виде системы четырех интегро-дифференциальных уравнений в частных производных, относительно прогибов профилей w^(x,t) и величин разрывов скоростей Jj\U0t) в следе за профилями (] = 1,2).

5. Разработана эффективная методика получения приближенного аналитического решения системы интегро-дифференциальных уравнений, основанная на использовании метода Бубпова-Галерки-на, применении интегральных преобразований и операционного метода.

6. Сформулированы условия устойчивочти для систем, операторное решение которых содержат иррациональности типа алгебраической точки ветвления второго порядка. В плоскости двух параметров построена область устойчивости системы.

7. Получено аналитическое решение задачи о свободных колебаниях системы двух консольно-закрепленных гибких профилей в идеальной несжимаемой жидкости с учетом первой формы в разложении функций прогибов и построены переходные процессы в системе для различных вариантов начальных условий.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Ершов Б.А., Стрелковская (Волчкова) И.И. Математическая модель задачи гидроупругости о движении двух гибких профилей в идеальной несжимаемой жидкости. 1.// Вестник СПбГУ, Сер.1, 1992, Bbin.l(Nl). С.23-29.

2. Ershov В.A., StreLkovskaya (Volchkova) П. A mathematical model for hadroelastic problems with a fluid memory. Part 2. // Journal "Assimptotic methods in mechanics", Center of mathematical researches of Monreal University, AMS, 1993.

3. Ершов Б.А., Волчкова И.И. Представление потенциала возмущенных скоростей в задаче о движении двух гибких профилей п

идеальной несжимаемой жидкости. // Деп. в ВИНИТИ, Ш790-В94 от 13 июля 1994.

4. Волчкова И.И. Исследование устойчивости движения двух гибких профилей в идеальной несжимаемой жидкости. // Деп. в ВИНИТИ, N2350-895 от 1 августа 1995.