Исследование неустановившегося движения упругого крыла в потоке идеальной несжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ6 ой

29 МАЙ'1995 _

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукодиси

ПОЛЯКОВА ЕКАТЕРИНА ВЛАДИМИРОВНА

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ УПРУГОГО КРЫЛА В ПОТОКЕ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Специальность 01.G2.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автор е ф е р а т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

СШТ-ПЕГЪРБУРГ 1995

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете на кафедре гидроуиругости математико-механического факультета.

Научный руководитель - академик РАН, доктор технических наук, профессор Н.С.Соломенно.

Официальные оппоненты: доктор' технических наук, профессор Г.Т.Алдошш; кандидат физико-математических наук, доцент В.А.Чайкин.

Ведущая организация; Санкт-Петербургский Государственный . Технический Морской Университет

Защита диссертации состоится "Д^" ¿¿¿¿»/¿Л*1995 г. в часов на заседании диссертационного совета

К 063.57.13 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь 2, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

М.А.Карбут

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТ^альНОСТЬ тому.

Одной иа важнейших задач гид^юупругости является исследо-вакие нестационарных режимов взаимодействии упругого тола с потоком жидкости. При втом возникает необходимость решения связанных систем уравнений механики деформируемых твердых тел и уравнений гидродинамики. что сопряжено со значительными трудностями математического характера.

Актуальность решения подобных гшдач определяется как их теоретическим значением, так и практическими потребностями аиия и судостроения, строительств инженерных сооружений, гидробионики и т.п.

Анализ состоя1шя проблемы показал, что в большинстве работ рассматриваются задачи двух типов. К первому относятся ис-слодовапия взаимодействия потоки жидкости С крылом, деформируемым но заданному закону, ко второму - болоо общие» «ндвчи взаимодействия потока жидкости с упругим крылом, деформации которого определяются как результат а то го взаимодействия. В обоих случаях уравнения движении решаются преимущественно числонны-ми методами, что связано с чрезвычайно большими объемами вычислений. трудностями контроля точности и последующей физической интерпретации получаемых решений.

В донной работе отмеченные дна типа задач объединялись в одну общую задачу за счет шборв в качество объект» исследования крыла, передняя часть которого деформируется по заданному закону, а движение упругой зедпуй части определяется силами взаимодействия обоих частей крыла с потоком жидкости.

Кроме того, решение системы уравнений движения находилось приближенным аналитическим методом, в результате чего били получены ь конечном вида расчетные зависимости для механических и гидродинамических характеристик крыла и потока, что особенно важно при практическом выполнении многоваршштных расчетов.

- Д* ь 0 с тс >и т в совершенствовании Мотодов расчет» и

исследовании на их основе влияния конструктив/шх иарпмет{К)в крыла, вида ого кинематического возмущения и характеристик потока ни режимы движения системы и значения таких параметров

взаимодействия, как подъемная и подсасывающая силы, момент гидродинамических сил и функция разрыва скоростей.

Методы исследований.

Исследования, выполненные в диссертации, базировались на теории гидродинамики и изгибных колебаний пластин, прикладной математика и вычислительной технике. Полученные аналитические решения и алгоритмы их численной реализации использовались для всестороннего анализа нестационарных режимов взаимодействия гибкого крыла с потоком «жидкости.

Научная новизна работа.

Дня система интегро-дифференциальных уравнений, описывающей взаимодействие идеальной несжимаемой жидкости с крылом, передняя часть которого деформируется по заданному закону, а задняя часть гибкая, получено приближенное аналитическое решение на базе метода Бубнова-Галеркина. В ходе построения приближенного решения интегралы с сингулярными ядрами, зависящими от времени, преобразовывались в интегралы с ограниченными регулярными ядрами, которые затем аппроксимировались экспоненциальными функциями. В окончательном виде решение находилось с помощью операционного метода.

Получены конечные аналитические зависимости для определения функции разрыва скоростей, подъемной и подсасывающей сил, момента гидродинамических сил, действующих на крыло, и распределения давления на профиле крыла. Использование этих зависимостей существенно упрощает расчеты и позволяет определять в численном виде характеристики взаимодействия крыла с потоком жидкости при любых режимах движения в дозвуковом диапазоне скоростей.

Для кинематического возмущения типа бегущая волна определены зоны неустойчивости и зоны резонанса. Установлено, что неустойчивость движения определяется второй формой колебаний крыла, причем проявляется она в виде панельного флаттера.

Показано, что в области высоких значений скоростей потока собственная частота колебаний основной формы обращается в нуль, что, однако, из-за наличия отрицательной вещественной части соответствующего корня характеристического уравнения нэ приводит к возникновению неустойчивости типа дивергенции.

- ь -

Практическая значимость результатов работы.

Разработаны вычислительные алгоритмы и пакет прикладных программ для исследования характеристик взаимодействия упругого крыла с потоком идеальной хидкости.

Выполнены многовариантные расчеты, на основе которых получена возможность оценки влияния различных параметров системы "крыло - жидкость" на механические и гидродинамические характеристики ее движения.

Достоверность полученных результатов определяется корректностью принятых в модели изучаемого процесса допущений, в таюке согласованностью этих результатов с данными, имещимися в научно-технической литературе по гидроупругости.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Научной конференции механико-математического факультета КГУ (Киев, апрель 1989 г.), на научно-технических конференциях ЛГУ (1989, 1990 гг.), на научных семинарах кафедры гидроупругости СПОГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть научных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, общих выводов, библиографии и приложения; содержит 13? страниц основного текста, 23 рисунка, приложения на 40 страницах; библиографический указатель содержит 53 наи; меновация источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследований, приведено краткое содержание глав диссертации.

Отмечен большой вклад отечественных ученых Н.Е.Жуковского, С.А.Чаплыгина, М.А.Лаврентьева, Л.И.Седова, А.И.Некрасова, В.В.Голубева, С.М. Белоцерковского и др. в развитие теории гидроаэродинамики.

Проанализирован также ряд работ Д.Н.Горелова, Б.А.Ершова, Г.В.Логвиновича, Р.Л.Грунтфеста, Н.П.Дерезиной, А.Б.Николаева, Л.М,Ибрагимовой, Г.Фершинга, Г.Гурусвами, посвященных проблемам взаимодействия"упругих крылообразных профилей с потоками жидкости и газа, на основе чего был осуществлен выбор налрав-

ления и методики исследований.

В первой глине на основе тоории тонкого крыла, изложенной в работах Л.й.Седова, рассматриваются аналитический метода о!фвдолания характеристик неустановившихся потенциальных течений падкости, обусловленных движением в них тонких пласти-нообраэних профилей.

При атом предполагается, что исследуемое тонкое крыло является моделью крыла с закругленным передним и заостренным задним кроем, в связи с чем лилия разрыва скоростей сходит только с задней кромки (рисЛ).

При теоретическом анализе возмущённого движения жидкости область, занятая потоком жидкости (внешность профиля крилв), заменяется внешностью отрезка (-а,а), на ворхлш и нижнш часть которого переносятся граничные условия на контуре крыли. Кроме того, линия разрыва скоростей за крылом принимается в виде отрезка црямой, соодинящего положении задней кр мки крыла а<> в момент возникновения неустановившегося движения с еч положением си в рассматриваемый момент времени.

С учетом данных предположений функция скоростой определяется равенством

Рис Л. Схема движения тонкого крыла

2±<£ Г_!М<*>__/

2-а j а-си-а-к / " О

а»-а*2д &1-а

-Оа +

а

-а

где И> - комплексный потенциал потока, 1Л, - значение нормальной составляющей скорости на прсфме крыла, Ш(а) - функция разрыва скоростей, определяющая величину разрыва касательной составляющей скорости на линии рззрива скоростей за крылом, oto = о, ai = Uot - координата задней кромки крыла в неподвижной системе координат, lío - скорость лишения крнля.

Разложение функции скоростей, задаваемой выражением (I), в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки, позволяет получить следующие выражения для подъемной Y и подсасывающей хп сил, момента гидродинамических сил м относительно начала связанной с крылом подвижной системы координат а а

Y = -2pU.JlM£.t)S.(t)d£ - 2pJ S»(£)d£ + Y,. (2)

a

f ШЫ1 de +

J St(l)

-a -a

x,

- les. f. f JMi^il

"П % ' '

(3)

St(£) 2pU„a

-a

a a

M = -2pUo JVr. (£, t)Si(£)d£ - pj i Se (£ )d£ + -Sf-Ys. (4)

В предыдущих рагенствах: Si(£) p - плотность жидкости и

а»

Y. =

2paUoJ

/§£ , S»(£) =

Ш (opa«

Г,

^ у (со -в)(а»-а+2о)

Наличие в формулах (2-4) членов, содержащих , которые связаны с существованием вихревого следа, показыввет, что при неустановившемся движении основные гидродинамические характеристики определяются не только кинематическими параметрами крыла в рассматриваемый момент времени, но и предысторией его движения.

При рассмотрении задач гидроупругости необходимо знать распределенную нагрузку, действующую на упругое крыло со стороны жидкости. Определяется она как скачок гидродинамического давления на профиле и может быть вычислена посредством опроде-

-а

а

ления предельных значений частных производных потенциала скоростей в подвижной системе координат на границах отрезка, схематизирующего профиль крыла:

Ар(х.ОД)

Ж

ЦоБа (X) | в> (£?<Ц

-а

<6)

№

-а

где

Бэ(х)«= Ш.|> = 1п

д / (а»-а) (а 1-«+2а) .

/(сК)(а+х)' 4- /(а-х)(снп' /<а-£)<а«о" - у{а-х)<а+£)

Полученные гидродинамические характеристики использовались в дальнейшем при анализе взаимодействия системы "крыло -жидкость" с учетом инерционных и упругих параметров крыла.

Во второй главе решалась задача гидроупругости для крыла, передняя часть которого деформируется по заданному закону Р(хД), а движение гибкой задней части ГС(хД) определяется как результат взаимодействия крыла с потоком жидкости.

При втом дая анализа движения исследуемого объекта была получена следующая система интегро-дифференциальных уравнений с неизвестными функциями м гЫа).

дх* д1г

О

= ж' *

-а

с

, ПоБИх)! (-ио-2^11 + Щ^-} -

О

О

_ | ( - * -^И.) Ь<х.{>4{ -

(в)

-а а

Б

_ и^соГ -ЖШ?..

- а < х < О

(6)

а> -в+2 а си-а

О О

(7)

-а а

о

Данная система уравнений связывает через плотность ро материала крыла, его толщину Ь и цилиндрическую жесткость Б механические характеристики крыла с гидродинамическими характеристиками взаимодействия крыла с потоком жидкости и тем самым описывает общую задачу гидроупругооти.

В правую часть уравнения изгибных колебаний пластин (6) входит в развернутом виде функция, определяющая скачок дгзвл«-кия др(х,ОД), зависящий в данном случае как от заданного кинематического возмущения передней части крыла, так и от искомых функций прогибов его задней части.

Значение циркуляции Го, входящей в уравнение (7), определяется условиями возникновения неустановившегося движения крыла.

Кроме возмущающих воздействий для решения системы уравнений (в),(7) необходимо, исходя из физических соображений, сформулировать граничные и начальные условия.

Б предложенном в настоящей работе приближенном аналитическом методе решения системы уравнений (6),(7) использовалось разложение функций прогибов в ряд по собственным формам колебаний. и

где ТНг) - функции времени (обобщенные координаты), X) (х) -

(8)

1 -

собственные формы колебаний (известные балочные функции).

Отметим, что в равенстве -(8) с помощью функций í(t) =

= ?(0,t> и <j>(t) = учтены геометрические усло-

вия сопряжения передней и задней частей крыла.

Методика решения рассматриваемой системы уравнений (6), (7) с учетом представления W(x,t) в виде усеченного ряда (8) базируется на процедуре метода Бубнова-Галеркина, реализуемого для интервала (-а,О), что приводит в дальнейшем к системе интегро-дафференциальных уравнений с постоянными коэффициентами относительно неизвестных функций Tj (t) и функции разрыва скоростей Uxíо). С помощью интегральных преобразован^ осуществляется переход к системе уравнений с регулярными ядрами. Последувдая аппроксимация ядер системы экспоненциальными функциями дает возможность применения операционного метода и получения линейной алгебраической системы относительно изображений искомых функций.

Переход к функциям-оригиналам позволил представить решение исходной системы в следующей форме

W+1 2N+4 %

Ti(t)*£ £ R),*(pt) J i>(t--t) eP^ di, (9)

*«» 0

, К 2N+4 1 to (Uot) -щ- ИГ Y, ^(pi 'K—--+ ^ ePl ] ■

k* t I» I n ■/ici"'

t 1

n«<t-odi + -Да—|r».t(t-i)J e> W<*n di +

* о 0

(10)

2И+4 х

+ £ Й(р1 ) 1 ■ + /рГе?1 ^егг/рГа ]г».. (г-1)й1

1-1 д У%Х

где р1 - корш характеристического многочлена; ГЬ, * (р*.), Л (р1 ) и И(р1) - дробно-рациональные функции от [х , г* (I) - оригиналы правых частей системы, записанной в операционной форме, (т[) -импульсная функция первого порядка.

Полученное аналитическое решение задачи гидроупругости имеет достаточно сложный вид, требует большого количества предварительных вычисления, что однако компенсируется тем, что все расчетные зависимости представлены в конечной форме и могут быть использованы при рассмотрении широкого класса задач о движении в жидкости пластинообразных упругих профилей.

В третьей главе на основе предыдущих теоретических исследований получено решение задачи гидроупругости при конкретном задании вида деформационного движения передней части крыла в форме бегущей волны

У<хД) = (1 - е~РгНаох* + а»1 + а»)сов(ах-<Л). (И)

где многочлен второй степени а(х) = аох* + шх + сь определяет изменение амплитуды бегущей волны,,в с помощью асимптотического множителя (I - обеспечивается наличие переходного процесса в заданном кинематическом возмущении Г(х,г).

Решете системы уравнений (6), (7) для принятого вида возмущения (II) проведено с учетом одной, двух и трех форм в разложении функции прогибов. При этом получено, что учет высших форм колебаний существенно услокняет решение задачи за счет повышения порядков определителя и характеристического полинома системы. Так, для одной, двух и трех форм порядок характеристического полинома получился равным соответственно шести, восьми и десяти.

Нвйдешше аналитические выражения для обобщенных координат и функции разрыва скоростей позволяют оценить вклад Иаздой из форм собственных колебаний в общее решение и их необходимое количество для достижения требуемой точности результатов.

Аналитическое представление искомого решения задачи в виде конечных расчетных зависимостей обеспечило возможность перехода к качественному и количественному анализу основных гидроупругих характеристик неустановившегося движения гибкого крыли.

В четвертой глаьв приведены расчетные зависимости для подъемной и иодеасыванщей сил, момента гидродинамических сил относительно начала подвижной системы координат и скачка гидродинамического давления на профиле крыла. На основе данных зависимостей разработано с использованием модульного принципа программное обеспечение, позволяющие в диалоговом режима решать

разнообразные задачи в рамках рассматриваемой модели крыла.

В первом программном модуле определяются корни характеристического полинома, что дает возможность находить собственные частоты системы, оценить уровень демпфирования в ней и сделать заключение об устойчивости данного конкретного вида движения. Далее найденные значения корней характеристического полинома поступают в качестве исходных данных в следующий основной программный блок, результатом работы которого при задаваемых начальных условиях и параметрах бегущей волны являются значения обобщенных координат Т; (г), функции разрыва скоростей и основных гидроупругих характеристик крыла как функций времени. Выходные данные этого блока используются в третьем программном модуле для анализа распределения гидродинамического давления вдоль профиля крыла в-некоторый заданный момент времени.

В зависимости от поставленных задач в процессе вычислений отдельные модули могут быть использованы в качестве самостоятельных программных единиц.'

На рис.2 представлен ряд типичных расчетных зависимостей, полученных с помощью разработанного пакета прикладных программ. Так приведенные на рис.2-а графики свидетельствуют о существенном влиянии скорости крыла на значения собственных частот колебаний системы "крыло-жидкость", причем низшая собственная частота изменяется по сложному закону, обращаясь в нуль в широком диапазоне скоростей. Вторая и третья собственные частоты изменяются достаточно плавно и возрастают с увеличением скорости движения крыла. -

Анализ корней характеристического полинома для данного варианта показал, что, начиная со скорости 48 м/с, возникает неустойчивость движения крыла типа "флаттер", обусловленная второй формой колебаний.

Характер изменения обобщенных координат Т] (г), составляющих основу решения уравнений движения, показан на рис.2-6, где приведены графики, соответствующие резонансу со второй собственной. частотой. Эти графики говорят о налички явно выраженного процесса биений функции Тг(г) (кривая 2) и о ее преобладании над остальными обобщенными координатами. При резонансе с другими частотами также проявляется преобладающее влияние соответствующих Форм колебаний на характер общего решения.

а) г»« -

1 «О/г)

3 Зона флаттера

и(т/с)

оЛо «Д» " «¿0

б)

1 >(с) -|!оо.....6Л......¡.¿о......г.Ы аЛо......¿'45......Мо"" «¿о

В) 11 о"

у,хп(п/т) М(лт/т)

»(с)

-1 ¿о.....Ш......\'.И>.....Но'.....£46......Ш'.....ш......и»

Рис.2. Результаты численного анализа

Рис.2-в иллюстрирует характер изменения подъемной силы I, подсасывающей силы 2 и момента гидродинамических сил 3 в доре-зонансной зоне. При атом подъемная-сила и момент знакоперемен-ны и изменяются с частотой возмущения, а подсасывающая сила изменяется с удвоенной частотой и имеет постоянный знак.

В данной главе приведены также, результаты многовариантных расчетов всех параметров системы "крыло-жидкость" для различных частот возмущения, скоростей движения крыла, плотностей среда, упругих и инерционных свойств крыла. Эти расчеты позволили выявить основные закономерности взаимодействия гибкого крыла с потоком жидкости и подтвердили эффективность предложенного приближенного метода анализа и надежность работы программного обеспечения этого метода.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

В работе была поставлена и последовательно решалась задача разработки приближенного аналитического метода исследования системы "гибкое крыло - жидкость". Использованный подход позволил произвести подробный анализ взаимодействий в отой системе и сделать следующие основные вывода.

1. Предложена методика вычисления скачка гидродинамического давления на профиле крыла через предельные значения частных производных потенциала скоростей в подвижной системе координат на границах отрезка, схематизирующего профиль крыла.

2. Рассмотрена задача исследования движения в потоке идеальной несжимаемой жидкости гибкого крыла с произвольно заданным кинематическим возмущением его передней части. Для этого случая предложена эффективная методика получения приближенного аналитического решения системы интегро-дифференциалышх уравнений, описывающих взаимодействие упругого профиля с потоком жидкости, основанная на использовании метода Бубнова-Галеркина с хюследующим применением интегральных преобразований и операционного метода.

3. Получено аналитическое решение задачи гидроупругости о неустановившемся движении гибкого профиля с принудительно деформирующейся по закону бегущей волны передней частью с учетом одной, двух и трех собственных фэрм в разложении функции прогибов.

4. Ни Оиао полученных аналитических зависимостей для основных гидродинамических характеристик взаимодействия унругего крыла с потоком кидкости (подъемной и подсаоыващой сил, моментов гидродинамических сил, функции разрыва скоростей за крылом, распределения гид ро дш тми ч а с ко ш давления нв профит) разработано программное обеспечение, нозволявдее решать широкий класс задач в рамках рассмотренной модели крыла,

б. Исслодоьано влияние частоты возмущения и механических параметров крыла на гидромеханические характеристики взаимодействия крыла о потоком жидкости. При этом установлено, что возникающая в определенных режимах движения неустойчивость относится к типу флаттере, причем данный вид неустойчивости связан со второй формой колебаний.

6. На основе результатов численного анализа показано, что собственные частоты колебаний системы "крыло-жидкость" существенно зависят от скорости потоке и плотности среды, причем вти зависимости но однозначны для каждой из трех определяемых собственных частот.

7. Доведен до численных результатом анализ функции разрыва скоростей, в ходе которого было выяснено, что основное влияние на величины ризрыиоь оказывают плотность среды и частоты воз-мущ'ншя. Вместо с том установлино, что значения скоростей движения крыла практически не влияют на величины разрыва ско-скоростей.

8. Получены численные значении функций, характеризущих распределение х'идродинамического давления но длине крыла, и проанализирована взаимосвязь давления о моментами гидродинамических сил, действующих на крыло. Установлено также, что величины и характер изменения давления существенно зависят от частоты возмущении.

Основные положения диссертации опубликованы в следущих

работих:

1. Ерши Б.А., Полякова Е.В. Неустановившееся движение тонкого крыла в несжимаемом дозвуковом потоке. П. Деп. ь ВИНИТИ,

* 763-ШЭ8 от 27 янвири 1'Л',в г.

2. Мочмловн Ю.А., Полякова К.В. Вычисление Оалочно-профильных интегралов.// Вестн. Лошшгр. ун-та. Сор.1. 1990. Нин.3(15).

3. В.А.Ершов, Ю.А.Мочалова. Е.В.Полякова. Неустановившееся движение упругого профиля в дозвуковом несжимаемом потоке.// Вестн.Ленингр. ун-та. Сер. I, 1089, вып. 4 (* 22). С. 44-50.

4. Мочалова Ю.А., Полякова Е.В. Решение интегрального уравнения Вольтерра первого рода в задачах гидроунругости. Деп. в ВИНИТИ, * 821 - В90 от 4 апреля 1990.

б. Erahov В.A., Mochalo7a Y.A., PolyaKova E.V. A mathematical model ior hydroelaeUc problems with a fluid memory. Part 1. Journal "Aselmptotlc methods In mechanics*'. Center of mathematical reseaches ol Montreal University, AMS, 1993.

6. Б.А.Ершов, Ю.А.Мочалова, Е.В.Полякова, В.П.ТрегуОов. Математическое моделирование пловца с ластом.// Вестник СЛОГУ, Сер. I, 1994, вып. 2 (*8). С. II2-I15.