Движение гибкого профиля в потоке жидкости под действием апериодических возмущений потока тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

1 о

(Н

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ_УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

МОЧАЛОВА ШИЯ АЛЕКСЕЕВНА

ДВИЖЕНИЕ ГИБКОГО ПРОФИЛЯ В ПОТОКЕ ЖИДКОСТИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ АПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ ПОТОКА

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1995

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете на кафедре гидроупругости математико-механического факультета.

Научный руководитель - академик РАН, доктор технических

наук, профессор |Н.о.ооломенко|.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Ю.З.Алешков; кандидат физико-математических наук, доцент Т.И.Быкова.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский Государственный

Технический Морской Университет

я Защита диссертации состоится 4 1995 р.

в /Ц - часов на заседания диссертационного совета К 063.57.13 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь 2, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

« ¿0 « Ш>лЖкЛ

Автореферат разослан --' 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент М.А.Нарбут

Актуальность темы.

ИсследоЕаш№"нестаШ!Оигрннг-рект?в-взаишдвйствия.у1фугого

"сдй (несущей *с""5 с гготок('*** " ''""у',' гзз^, возникдю-

"пх при возмущениях потока, является одной ¿з азкнейгих заду", гидроупругости.

В большинстве работ рассматриваются, задачи, которые усдоьч<-> мокко сагдвлк'Ь на две класса. Н пеозсчу относятся гэдччи, в которых исследуется неусгансвиваееся движете крыла и учитывается влияние вихревого следа, стекающего с его задней кромки,

л«. ЛиХ тртгтдминч-си ай итмпя ИЛИ

закон его деформации задан. При этим иснсык», у.".о,пРет'-«

проблемам гидродинамики. Ко второму классу относятся задачи о движении гибкого крыла, но модели взаимодействия несущей поверхности и шдкости не учитывают нестационарный вихревой след. В обоих случаях решение обычно строится с помощью численных методов, их реализация сталкивается с большими вычислительными трудностями и не всегда удается установить явную форму заьиси-

- ^ '.< ^- : ' '1 -■■ ' ■ .I/ и , и;, ;■;:" ■*'\ " ■ ; ' К7Д'

; :::■ 1; ■ ::" I: С 7 ТОЛЬКО V.-К Л: Дт/- : 1'Л Д' -

!<•.>••".•.- : '[.'^енения 2н2.и*?в т^/г'ь^- ~л псишинк с.'ррпозчцки д^-лв^л

КрЫЛЛЛ, - г' КДК ДБИ^СН'Ле НвСУДД'й ГЮБСрДНОСТН Д Л .;'■

порыва я атмосферной турбудеигжкл л, юодойствке ударных в;.®. переходные процессы, возникающие при атом б гвдроудругих енсто-

у^ V I'1.'-'- Г'сЛ'Д1--.1 Л*:' Л— ацйийНУй,

дачи гидроупругости, позволяющая моийодоынь ¿ряялолты -

ния гибкой несущей поверхности, сопровождающиеся образованием вихоевого следа. Реиение системы уравнений движения основано на

74 " ЛД Л''-'^ ■ ;:' '----:.. • <-у ч V'.. ' ■ ; ■ у , — С?'-'^^!™?™1- ТТП ПУ-

Д."Д1 Л - - ' ' - " ' ЛД-: ■ ^■." " - - Л Л Л ■ Л' ' .; '!''

Цель эаЗсгц с--стока в •к'откдоьакии гшр^лодькх прсц^-ссл;, возникающих при неустановившемся дьш&нии гйСхта: г -

потоке жидкости под действием апериодических возмущений потока, которые моделируются детерминированными вертикальными порывами.

Метода исследований.

При построении математической модели связной задачи гидроупругости применялись методы гидродинамики и теории изгибных колебаний пластин. Разработанная методика получения приближенного аналитического решения системы уравнений движения гибкой несущей поверхности основана на методе Бубнова-Галеркина и методе интегральных преобразований.

Новизна полученных результатов.

Построено аналитическое решение системы интегро-дифферен-циальных уравнений, описывающих произвольное движение гибкого профиля в потоке идеальной несжимаемой жидкости.

Для случая движения профиля под действием произвольных вертикальных порывов получены конечные аналитические выражения для определения функции прогибов, величины разрыва скорости за профилем, распределения давления на профше и гидродинамических сил, действующих на профиль, что позволяет исследовать влияние конструктивных характеристик несущей поверхности и гидродинамических параметров потока жидкости на характер переходных процессов, возникающих при движении профиля в поле порыва.

Проанализировано влияние граничных условий не устойчивость движения несущей поверхности и основные гидродинамические характеристики.

Исследованы реакции гибкого профиля на конкретные виды вертикальных порывов и влияние эффекта перемещения фронта порыва вдоль профиля.

Практическая значимость результатов работы.

На основе полученных аналитических выражений разработан пакет прикладных программ, позволяющий исследовать широкий класс задач в рамках рассматриваемой модели.

Достоверность полученных результатов подтверждается корректностью принятой математической модели связной задачи и согласованностью с результатами известных работ по гидроупругости.

Апробация работы. Результаты работы регулярно докладывались на научных конференциях механико-математического факультета

Киевского'""университета (1988 г., 1989 г.);_ на_научных конференциях математико-механического факультета Ленгосуниверситета (1989, 1990 гг.); на семинарах кафедры гидроупругости (руководитель Соломенно Н.С.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано семь научных

Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, двух приложений, заключения и списка литературы, содержащей 59 наименований источников. Работе содержит 113 страниц основного текста, 21 рисунок, приложения на 14 страницах

Во введении дан краткий обзор работ, посвященных неустановившемуся движению гибкой несущей поверхности в потоке жидкости, дано обоснование актуальности теш диссертациионной

работы, сформулированы цель и задача исследований.

В первой главе рассматривается связная задача о произвольном движении гибкого профиля в дозвуковом потоке идеальной жидкости. Модель связной задачи гидроаароупругости состоит из трех частей: модели потока, модели несущей поверхности и модели взаимодействия потока и несущей поверхности.

В качестве модели крыла принята тонкая изотропная пластина бесконечного размаха, ширина которой 2а (2а - хорда крыла), толщина 1г. Нормальное сечение крыла-пластины представлено тонким профилем (рис.1) и для недеформированного крыла совпадает с осью х (-а $ х ^ а). Малые деформации крыла-пластины определяются прогибом вдоль оси у. Неустановившееся движение профиля состоит из основного невозмущенного движения с постоянной скоростью Ш и возмущенного движения с малыми прогибами «ЧхД) и скоростями прогибов. В линейной теории изгибине колебания пластины описываются уравнением

работ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

д д4чч(х,г) дх"

+ рЖщи, р(х>г).

(I)

Здесь Б - цилиндрическая жесткость на изгиб, Ь - толщина пластины, рт - плотность материала,

р(хД) - распределение гидродинамического давления на профиле.

Распределение гидродинамического • давления на профиле определяется гидродинамическими характеристиками взаимодействия потока и гибкой несущей поверхности.

Рис. 1 Схема движения тонкого крыла под действием порыва

Модель потока представлена идеальной несжимаемой жидкостью, покоящейся на бесконечности. Неустановившееся движение тонкого профиля сопровождается образованием в жидкости вихревого следа, который моделируется линией разрыва скоростей, сходящей с задней заостренной кромки профиля. С помощью выражения для комплексной скорости, полученного Л.И.Седовым, определяется потенциал возмущенных скоростей потока ф(хД) для -а сх ^а, у=+0 через величину разрыва скорости за профилем 2\1г (а) и нормальную составляющую скорости потока на профиле V» (хД)

Ф(хД) =

а

(ЕДЯ* (х,ШЕ агееоз

ш 1

- 21 11г (а)атсЬе

/(а! ~а+2а)(а-х)

(а1-а) (а+х)

<3а

где"а! -1Ьг---координата задней.кромки профиля в неподвижной системе координат. Го .представляет собой циркуляцию по бесконечно удаленному контуру и определяется условиями зсзнихновения неустановившегося движения крилз,

т., ,т ; У У(а-х) (а-кГ)

! /ТГРЗГчаЧ"7 - |

г>;,?гт^т,01ШЦИЙ гидродинамического давления на профиле выра-

"Г^ТНЧ0 1!|»1*Ипи1шяо ""л!»|('тви о "О*

системе координат:

%

а а

и0 | Уп(|Д)1е(х,5)с1£ - | (х,£)<Ц

-

-а

(2)

ш

Ц2 (а)<3а

/ (а-ш ) (а-а> -'¿а)

-аёх^а.

г - у

Предполагается, что неустаневиваеег л дыженгс сие???» "крало-кидкисть", ьзЕглг.ает в результате хкунккк'-ьчяия крсф!ля. доле порыва, имеющего вертикальную скорость V® ) (рис.ХГ: линейной теории тонкого иро^мля кинематическое условие непрото-каемости жидкости через поверхность тела связывает нормальную составляя™/!? скорости потока на профию с функцией прогибов следующим образом

у, = - + +

(3)

Величина разрыва скорости оз профилем (Цо1) и нормальная

составлявшая скорости потока на профиле связаны интег-

ральным уравнением

а' _____ а

| Ь(я) ^ = _ | (4)

Итак, связная модель гидроупругости при произвольном движении профиля под действием вертикально!-о порыва приводит к системе уравнений (1)-(4), которая сопровождается соответствующими начальными и граничными условиями. Эта система эквивалентна следующей неоднородной системе интегро-дифференциальных уравнений в частных производных относительно ет(хД) и Иг (а)

р д*Щт,Х) + „ь _

дх* вг*

-Ж.

1с

ио ?г_ + .мил] Ь(е,х)<1£ -

Л1 дг *

—а а

_ Гг_ ы (£.Х)<1е - (5)

Л1 дШ дХ* >

а»

>1

J1 <Э| дг }

иоЬо(х) и2 (а)К1 (ш-аХЮс

= С1(х.г)

СС1

+ ио| иг (а)Кг (ои-а)Оа = & (г),

(6)

где = ——Ц—. К

Уа(а-2а) г к

Функции правых частей С» (хД), йгШ определяются формой внешних возмущающих воздействий

-о -а

а

в» а) = - | У»(|,г)1о(-|)йЕ +

Система (5)-(6) представляет собой систему интегродифферен-циальннх уравнений в частных производных, которые являются обобщением уравнений типа Вольтерра и Фредгольма.

Во второй главе строится приближенное аналитическое решение системы интегро-дифференциальных уравнений (5)-(6), описывающей движение профиля в поле произвольного вертикального порыва.

Раскладывая фукцшо прогибов в ряд по собственным формам колебаний

= £ & (х)Т1 т (7)

= 1

где (XV (х)} - полная ортонормированная система балочных функций, {Пл Д)} - неизвестные функции времени (обобщенные координаты), и проводя процедуру метода Бубнова-Галеркина, приходим к системе интегро-дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами относительно Те Ш и Иг (а), интегральные ядра которой имеют особенность вида Г1'2. Применение интегральных преобразований приводит к системе с регулярными ядрами, которые аппроксимируются экспоненциальными функциями. Использование операционного метода позволяет получить решение системы в изображениях.

Переход к функциям-оригиналам дает возможность получить следующие аналитические выражения для обобщенных координат и функции разрыва скоростей

п ♦ 1 2 ( п * 2 )

г

1=1,2....п,

(8)

п. 1 Г г т:

и2(иог)=У ГФ »-рГ-З^-^-ат +

I— 4 4 УтиТ^ТГ

о

(9)

2 < п < 2 )

+ ^Г Ь (р* + ^ е^егИУрРГ)]^

где р*- корни характеристического уравнения, р.^ (рк), Pj0 (ри),

Pj (p*) - дробно-рациональные функции комплексного переменного pic, коэффициенты которых выражаются через коэффициенты полученной системы уравнений и начальные данные, qj (t) - известные функции времени, определяемые формой внешнего воздействия и начальными данными, 5(£) - импульсная функция.

На основе исследования характеристического определителя операторной системы уравнений определены области устойчивости колебаний профиля. Установлено, что возникающая при определенных значениях параметров неустойчивость относится к типу флаттера. Получены приближенные формулы для определения критической скорости флаттера и определены границы их применения. Проанализировано влияние типа граничных условий на критическую скорость флаттера.

Гидродинамические, силы для неустановившегося движения определяются интегрированием функции давлений (2) и зависят не только от кинематических параметров несущей поверхности и формы внешнего воздействия, но и от предыстории движения профиля, которая определяется функцией разрыва скоростей IkCUot).

В третьей главе на основе полученных результатов исследуются свободные колебания гибкого пофиля и решается задача о реакции гибкого профиля на апериодические внешние воздействия, которые моделируются детерминированными вертикальными порывами. Рассматривается модель постепенного входа профиш в порыв и мгновенный охват профиля порывом. Исследуются резкоограниченный, треугольный и синусоидальные порывы.

Для каждого конкретного примера порыва найдены аналитические выражения для обобщенных координат, функции разрыва скоростей и основных гидродинамических характеристик взаимодействия гибкого профиля с жидкостью, которые позволяют провести качественный и количественный анализ неустановившегося движения гибкого профиля.

Для рассматриваемых видов порывов определены выражения для подъемной силы с помощью переходных функций Кюсснера и Вагнера, что позволило сравнить их с полученными в работе результатами и подтвердить корректность предложенного метода решения задачи.

В четвертой главе на основе полученных аналитических выра-

гений, которые можно рассматривать как расчетные зависимости,

разработан пакет прикладных- программ,"позволяю®?®--для-заданных------------------

параметров системы - определенной скорости поступательного дви-г?1П1я Uo, толщине профиля h и плотности жидкости р исследовать свободные колебания рассмотренной модели крыла, строить переходные процессы, возникающие под действием детерминированных вертикальных порывов. Разработанный пакет программ позволяет построить характеристический полином и определить его корни. Это дает возможность найти собственные частоты и исследовать на устойчивость рассматриваемое дритяпио. Далее ня основ« полученных результатов определяются обобщенные координаты (t; и основные гидроупругие характеристики крыла. Вычисляются прогибы пластины и распределения давления для различных моментов времени. Исходными данными, помимо указанных выше, являются число рассматриваемых форм колебаний и тип граничных условий.

Разработанное программное обеспечение дает возможность получать решение с учетом различного числа собственных форм колебаний, что позволяет определить их необходимое количество для достижения требуемой точности решения. Например, при движении гибкого профиля в поле порыва (начальные условия нулевые) первые три формы колебаний фактически определяют характер переходного процесса и добавление более высоких форм не уточняет полученного решения.

Для различных типов граничных условий определены зависимости собственных частот колебаний от скорости поступательного движения профиля. При движении профиля в потоке жидкости с плотностью воздуха значения собственных колебаний обшивки крыла и свободного профиля практически совпадают.

С помощью упрощенного характеристического уравнения получены приближенные формулы для определения собственных частот. Показано, что при скоростях движения, меньших скорости флаттера, значения собственных частот, определенные по упрощенным формулам и в результате решения характеристического уравнения, почти совпадают. При скоростях, близких к скорости флаттера ошибка составляет около 20?.

Неустановившееся движение гибкого профиля, вызванное апери-

одическим возмущением потока, определяется не только механическими и гидродинамическими свойствами рассматриваемой системы, но и характером внешнего воздействия.

На рис.2 показаны некоторые типичные графики, соответствующие случаю постепенного входа гибкого профиля, моделирующего обшивку крыла, в вертикальный порыв. Характер изменения обобщенных координат Тс (г) показан на рис.2а. Постепенный выход профиля из поля порыва (пунктирная линия соответствут моменту выхода профиля из порыва) приводит к уменьшению величин обобщенных координат и возбуждению колебаний близких к собственным. Динамика изменения формы профиля в различные моменты времени при входе в порыв показана на рис.26. Движение фронта порыва вдоль профиля приводит к росту величины прогиба точек пластины и смещению максимального прогиба к середине профиля, форма прогиба перестраивается и становится близкой к первой форме колебаний.

Рис.2в иллюстрирует влияние модели порыва на величину подъемной силы, действующей на профиль. Пунктирной линией на рисунке изображены кривые, соответствующие графикам Су(г), полученным с помощью переходных функций Кюсснера и Вагнера.

Проведенный в данной главе численный анализ различных примеров произвольного движения гибкого профиля показал эффективность предложенного аналитического метода решения поставленной задачи.

В заключении изложены основные результаты, полученные в работе.

Разработанные в диссертации аналитические методы исследования связной задачи гидроупругости позволили провести подробный анализ неустановившегося движения гибкого профиля в потоке идеальной жидкости и сделать следующие выводы. I. Рассмотрена задача о произвольном движении гибкого профиля в потоке идеальной несжимаемой жидкости под действием апериодических возмущений потока, которые моделируются детерминированными вертикальными порывами. Разработана методика построения решения поставленной задачи, которая заключается в прямом аналитическом решении системы интегро-дифференциальных уравнений, описывающих движение гибкого профиля, с помощью процедуры метода

В) 0.0-

0)

: I »-то«—г

/иХ

/ И ¡\\ / / а» . '. \ ' У

/ / \ \\\ ^^ \ 0.8 ' \ \\

В)

■-резкоогранкченный порыв (1 )

■-синусоидальный (2} --треугольный (3) ■-постепенный вход (4)

Рис.2

Бубнова-Галеркина, применения интегральных преобразований к операционного метода.

2. Для свободных колебаний профиля и для различных видов порыво! получены конечные аналитические выражения для определения основных гидродинамических характеристик взаимодействия упругого профиля с потоком жидкости (подъемной и подсасывающей сил, момента гидродинамических сил, функции разрыва скоростей, функции прогибов и распределения гидродинамического давления на профиле).

3. На основе численного анализа установлено, что возникающая npi определенных параметрах системы неустойчивость относится к типз флаттера. Исследовано влияние на критическую скорость флаттера типа граничных условий и различных форм колебаний.

4. Исследована зависимость собственных частот колебаний системь от скорости потока и плотности среды, причем эта зависимоси неоднозначна для различных типов граничных условий.

5. Получены упрощенные формулы для вычисления критической скорости флаттера и значений собственных частот колебаний, определены границы их применения.

6. Исследованы реакции гибкого профиля на действие различию типов вертикальных порывов. При этом установлено, что основное влияние на гидродинамические характеристики оказывают модель порыва и жесткость профиля. Проанализировано влияние эффекта перемещения фронта порыва вдоль профиля.

Основные положения диссертации опубликованы в следующие работах

1. Ершов Б.А., Мочалова Ю.А. Неустановившееся движение тонкого крыла в несжимаемом дозвуковом потоке. III. Деп. в ВИНИТИ, № 1087 - В88 от S февраля 1988.

2. Ершов Б.А., Мочалова Ю.А., Полякова Е.В. Неустановившееся движение упругого профиля в дозвуковом несжимаемом потоке.// Зестн. Ленингр. ун-та. Сер. I. 1989. Вып. 4(22). С.44-50.

3. Мочалова Ю.А., Полякова Е.В. Вычисление балочно-профильных интегралов.// Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. I. 1990. Вып. 3(15]

4. Мочалова Ю.А., Полякова Е.В. Решение интегрального уравнения

-— Вольтерра первого рода в задачах гидроупругости.^ Деп. в ВИНИТИ, Ji 821 - В90 от 4 апреля 1990.

5. Мочалова Ю.А. Движение гибкого профиля в потоке жидкости при апериодическом возмущении потока. Деп. ВИНИТИ, >5 1038 - B9I от 30 марта 1991.

6. В.A. Ershov, Yu.A. Moehalova, and E.V. PolyaKova,

A mathematical model ior hydroelastlc problems with a fluid memory. Part I. Journal "Asslmptotlc methods In mechanics", Center of mathematical researches of Montreal University, AHS, 1993.

7. Мочалова Ю.А. Движение гибкого профиля в нестационарном ноле вертикального порыва. Вестн. С-Петер. ун-та. Сер. I. 1994. Вып. 3(15). С.89-94.

Подписано к печати 9.11.95 . Заказ 404 Тираж 100 Объем 0,75 п.л. ПМЛ СПГУ. 199034, Санкт-Петербург, , наб. Макарова,5.