Прямое численное моделирование турбулентных течений в трубах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

ас

г»^ На правах рукописи

НИКИТИН Николай Васильевич

ПРЯМОЕ ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ В ТРУБАХ

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА - 1996

Работа выполнена в Институте Прикладной Механики РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, член-корреспондент РАН А.Г. Куликовский

доктор физико-математических наук, профессор A.A. Павельев доктор физико-математических наук, профессор В.И. Полежаев

Ведущая организация: Ростовский Государственный Университет

Зашита состоится

" » P_m£Ul99?-r. в 16 г

Ъо

г. в часов на

заседании Диссертацпонного совета Д.05о.05.02 при МГУ им. М.В. Ломоносова. в ауд. -ЦВ-^Л.-

Адрес: 119899, Москва, Ленинские горы, главное здание МГУ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ

Автореферат разослан "

Ученый секретарь Диссертационного совета

профессор _f В.П. Карликов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема возникновения турбулентности и ее описания является одной из центральных, пока нерешенных фундаментальных проблем механики. Ее обсуждению посвящаются монографии и обзоры, ведущие разделы журналов по гидро- и аэромеханике, международные и национальные научные конференции. Причиной большого внимания к проблеме турбулентности является ее актуальность не только в фундаментальном, но и в прикладном аспекте.

Одними из наиболее важных с прикладной точки зрения являются течения вдоль твердых поверхностей. Конкуренция вязких и инерционных сил при наличии поперечного сдвига скорости делает движения жидкости вблизи стенки очень сложнымп, динамика их еще далеко не понята. Предсказания поведения пристенных турбулентных течений очень трудны, за исключением самых простейших случаев. Современные методы расчета основываются на решении уравнений переноса для нескольких характеристик турбулентности. Для замыкания этих уравнений требуется делать предположения достаточно произвольного характера, не обоснованные в необходимой мере экспериментальными данными.

Прямое численное моделирование — относительно молодое направление в методологии исследования турбулентности. Под термином "прямое численное моделирование" понимается расчет течения путем численного интегрирования полных уравнений Навье—Стокса. Такой подход привлекателен с нескольких точек зрения. Во-первых, он не тебует какой-либо априорной информации в виде эмпирических констант пли подгоночных коэффициентов для расчета исследуемого течения. Во-вторых, получаемые в процессе расчета нестационарные поля гидродинамических величин могут быть использованы для вычисления статистических моментов, вообще говоря, произвольно высокого порядка, а также изучения детальной структуры потока, что не всегда доступно для экспериментальных условий. В-третьих, вычислительный эксперимент удобен для поиска методов управления потоком путем изменения граничных условий или добавления в уравнения внешних сил.

Цель работы. Диссертация посвящена разработке экономичных методов численного решения трехмерных уравнений Навье—Стокса для несжимаемой жидкости, пригодных для моделирования турбулент-

ных течении; расчету и анализу развитых и переходных течении в трубах кругового и прямоугольного сечений; исследованию структуры турбулентных течений вблизи твердых стенок; изучению влияния граничных условий на характеристики среднего и пульсационного движения.

Научная новизна.

— Разработаны экономичные алгоритмы численного решения трехмерных уравнений Навье-Стокса, ориентированные на расчет турбулентных течений в трубах и каналах. Рассмотрены случаи трубы кругового сечения, плоского канала, трубы прямоугольного сечения. Дано обобщение алгоритмов на случай произвольной ортогональной системы координат.

— Проведены расчеты развитых турбулентных течений в трубе кругового сечения и в плоском канале. Рассчитаны, задокументированы и подробно проанализированы распределения статистических характеристик течений, включая высшие статистические моменты.

— Рассчитаны течения в трубе квадратного сечения. Изучены распределения средней скорости и интенсивностей турбулентных пульсаций в плоскостях симметрии трубы. Проведен анализ особенностей течения в угловых областях.

— Исследовано влияние вдува и отсоса на характеристики турбулентных течений в канале с проницаемыми стенками.

— Изучена детальная структура турбулентных течений в пристенных областях. Показано, что возникновение вытянутых вдоль потока полос ускоренного и замедленного движения связано с присутствием в потоке слабых вторичных течений в плоскости, перпендикулярной направлению основного потока.

— Исследованы условия образования и закономерности развития локализованных турбулентных центров. Показано, что турбулентные центры возникают в результате коротковолновой неустойчивости на локальных неоднородностях потока. Сделан вывод об едином механизме возникновения турбулентных центров на переходных стадиях и поддержания турбулентности в развитых течениях.

— Разработан подход к моделированию течений, неоднородных в направлении основного потока. Дана формулировка условий на границе вытекания жидкости. Проведены расчеты течения в трубе кругового сечения в зоне перехода от ламинарного движения к турбулентному.

Научная и практическая ¡значимость. Значимость полученных в диссертации результатов имеет два основных аспекта: 1) создание обширной базы данных по распределению статистических характеристик турбулентных течений вблизи твердой стенки, которая может служить основой для проверки существующих и построения новых теоретических и полуэмпирических моделей турбулентности, а также для тарировки новых измерительных устройств; 2) выяснение возможных сценариев перехода к турбулентности под действием возмущений конечной амплитуды и механизмов поддержания турбулентности в развитых течениях.

Рассчитанные в диссертации нестационарные поля скорости могут быть ипользованы для получения других практически важных характеристик турбулентных течений, таких, как, например, диффузия пассивной и инерционной примеси. Разработанные методики могут применяться при исследовании влияния отдельных факторов на динамику турбулентных течений, поиске способов управления потоком, расчете трения и тепломассопереноса.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и получили положительную оценку

— на семинаре по газовой динамике в Ин-те механики МГУ (рук. акад. Г.Г.Черный), 1993, 94 и 96 гг.;

— на семинаре по методам гидромеханики в Ин-те механики МГУ (рук. проф. А.А.Бармпн и чл.-кор. РАН А.Г.Кулпковскпй), 1994 и 96 гг.;

— на семинаре в Ин-те проблем механики РАН (рук. проф. В.И.Полежаев), 1994г.;

— на семинаре в МФТИ (рук. проф. А.А.Павельев), 1995г.;

— на семинаре в Институте аэродинамики и газовой динамики Штутгартского университета, Германия (рук. проф. Х.Бестек), 1994г.;

— на семинаре в Гидродинамическом исследовательском центре Прин-стонского университета, США (рук. проф. С.Орзаг), 1994г.;

— на международных конференциях "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Москва, 1990, 92, 93, 94 и 96);

— на международной конференции "Динамические системы и турбулентность" (Кацивели, 1991);

— на международных симпозиумах "Advances in Structured and Heterogeneous Continua" (Москва, 1993 и 1995);

— на 46-ом и 47-ом съездах гидромехаников Американского Физического общества "APS/DFD Meeting" (г.Альбукерке, США, 1993 и г.Атланта, США, 1994);

— на 2-ой международной конференции по вычислительной гидродинамике "ECCOMAS'94" (г.Штутгарт, Германия, 1994);

— на VII школе-семинаре "Современные проблемы аэрогидродинамики" (Севастополь, 1994);

— на 20-ой Генеральной Ассамблее Европейского геофизического общества (г.Гамбург, Германия, 1995).

Редколлегия журнала "Известия академии наук. Механика жидкости и газа" и "Plenum Publishing Corporation" — издательство, осуществляющее перевод журнала на английский язык, признали статью автора "Прямое численное моделирование трехмерных турбулентных течений в трубах кругового сечения" [11] лучшей публикацией 1994 года.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации — 240 страниц, включая 73 фигуры п список литературы из 158 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика диссертации, обоснована актуальность ее темы, приведена аннотация работы. Введение содержит также краткое изложение истории вопроса, включающее обзор литературы и предварительную сводку основных результатов, полученных в диссертации.

Первая глава посвящена описанию метода численного решения уравнений Навье—Стокса, применяющегося в дальнейшем для моделирования турбулентных течений. Подробное изложение метода дается в §1 на примере расчета течения в трубе кругового сечения.

Течение описывается уравнениями Навье—Стокса для несжимаемой жидкости:

9V

= V х П + V(Dpx - П) - uV х П, V • V = О, П = V х V (1)

Здесь V, П — поля скорости и завихренности, П = р/р + |"У|2/2, р — рИрХ — давление, —р-Ор(£) — внешний градиент давления, вызывающий движение, < — время, р, V — постоянные плотность и вязкость жидкости. Задача решается с условием постоянного расхода жидкости или с условием постоянного градиента давления. На стенке трубы ставятся условия прилипания, в осевом направлении х предполагается периодичность течения. Условие осевой периодичности основано на предположении об однородности течения и может считаться обоснованным для моделирования развитых течений, устанавливающихся на больших расстояниях от входного сечения трубы за пределами переходной зоны.

Приближенное решение уравнений (1) отыскивается в виде частичной суммы ряда Фурье

/(«,*, г, в) = £ Е 1к'П(^г)ехр[{(ках + пв)] (2)

|Л|<АГ |п|<ЛГ

Здесь / обозначает одну из компонент скорости или завихренности, (х,г,в) — цилиндрические координаты, а = 2ъ/Ьх, Ьх — период течения в осевом направлении, а

/м(*, г) = —— / ¿в /(*, х, г, б) ехр[-{(ках + пв)] ¿х 2я"Х/х Jo Уо

Система уравнении для неизвестных коэффициент ов разложений (2) получается в результате преобразования Фурье уравнений (1).

В радиальном направлении применяются конечноразностные аппроксимации второго порядка точности. При этом используется метод перемежающихся сеток, разработанный Харлоу и Уэлшем и Вильям-сом. Метод дискретизации, описание которого дано в [10], включает построение неравномерных сеток, постановку граничных условий на оси симметрии трубы и способ определения давления.

Система уравнений, получающаяся в результате дискретизации задачи по пространственным переменным, обладает аналогами ряда свойств исходных уравнений Навье—Стокса. К этим свойствам относятся, в частности, тождественное выполнение разностных аналогов условий V • V = 0, V • П = 0, V • (V х П) = 0, а также свойства нейтральности градиента давления и конвективных членов в производстве

кинетической энергии:

Jv^vu = ! V • (V х П) = О

Интегрирование в последних выражениях производится по всей области движения.

После проведения пространственной дискретизации задача приводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида

ХЩ = Х%п, т = 1,2,..., 2М

М — число узлов сетки в радиальном направлении. Порядок системы (3) равен 2Ь, где

Ь = (2К - 1) х М х (2ЛГ - 1) (4)

Система (3) является жесткой. При больших максимальные по

модулю собственные значения якобиана оператора Р имеют величину Атах ~ Для устойчивости явных методов интегрирования временной шаг должен удовлетворять условию < что является очень ограничительным. Для интегрирования системы (3) разработана экономичная полунеявная схема, основанная на методе Рунге-Кутты третьего порядка точности [16], позволяющая эффективно преодолевать неустойчивость. Схема включает алгоритм оценки локальной погрешности интегрирования, позволяющий производить автоматический выбор шага. Исследование точности и устойчивости разработанного алгоритма приводится в §2.

В §3 описываются отличительные особенности алгоритмов численного моделирования течений в плоском канале и трубе прямоугольного сечения. В плоском канале течение считается периодическим как в осевом, так и в боковом направлении г. Дискретизация задачи по пространственным переменным аналогична случаю круглой трубы. При моделировании течений в трубе прямоугольного сечения ряды Фурье используются только в осевом направлении. По двум координатам в плоскости поперечного сечения применяются конечные разности. В §4

дается обобщение метода на случай произвольной криволинейной ортогональной системы координат.

Во второй главе проводится анализ статистических характеристик развитых турбулентных течений п грубе кругового сечения, в плоском канале и в трубе квадратного сечения. Приводятся подробные сопоставления с известными экспериментальными данными и с расчетами других авторов. Особое внимание уделено сравнению с результатами расчета течения в плоском канале, выполненного Кимом, Мойном и Мозером (Kim J., Moin Р., Moser R. J. Fluid Mech., 1987, V.177, 133—166), а также с расчетами Спаларта течений в пограничном слое (Spalart P.E. J. Fluid Mech., 1988, V.187, 61—98).

В §1 даются обоснования выбора алгоритмических параметров и начальных данных на примере расчетов течений в круглой трубе. Значения параметров Lx и К определяют максимальный п минимальный масштабы в направлении х, учитываемые в расчете. Величина осевого периода течения Lx должна быть достаточно велика по сравнению с характерным размером неоднородностей движения. Критерием выбора Lx является условие некоррелпруемости пульсаций в точках, разделенных расстоянием Lx/2. Достаточность числа учитываемых членов рядов (2) К, N контролируется степенью затухания амплитуд старших гармоник. При определении числа узлов радиальной сетки М принимается во внимание два соображения. Во-первых, необходимо, чтобы был разрешен вязкий подслои. На эту область должно приходиться по крайней мере несколько узлов (обычно 5 — 8). Во вторых, расстояние между узлами по всей ширине трубы не должно превышать Колмого-ровский микромасштаб турбулентности г] = (z^/e)1/4, е — скорость диссипации энергии. Кроме приведенных соображений достаточность пространственного разрешения контролируется расчетами с различными наборами параметров.

Начальное поле скорости обычно задавалось в виде суперпозиции течения Пуаз ей ля и некоторых возмущений. Конкретный вид начального распределения возмущений не очень важен для получения статистик развитого течения. Единственное требование, которое предъявляется к начальным данным, состоит в том, чтобы поле скорости в начальный момент не содержало бы каких-либо симметрии, сохраняющихся в силу уравнений Навье—Стокса. При фиксированном числе Рейнольдса эволюция возмущений ведет либо к их полному затуханию,

либо к выходу на режим незатухающих колебаний. В последнем случае каждая характеристика движения хаотически колеблется около некоторого среднего значения. Для каждого конкретного вида начального возмущения выход на режим незатухающих колебаний, имеющего вид стационарного случайного процесса, происходит при превышении начальной амплитудой некоторого порогового значения. Пороговая величина зависит от числа Рейнольдса и от вида возмущения. Важным является то, что средние значения флуктуирующих величин не зависят от начальных данных, стартуя с которых этот режим был получен.

После достижения статистически стационарного режима различные статистические характеристики течения вычисляются путем осреднения соответствующих величин по времени. Поскольку развитое турбулентное течение однородно в продольном и боковом направлениях, то надежность статистик можно улучшить осреднением по однородным координатам. Полученные таким образом средние величины обозначаются чертой, а отклонения от средних обозначаются штрихом.

Сходимость распределений статистик по сечению трубы при улучшении пространственного разрешения иллюстрируется фигурами 1(a), 1(b). Здесь представлены профили средней скорости й(у) и среднеквадратичной интенсивности пульсаций осевой скорости urmt{y) = ^^72)1/2 (у = Д _ г — расстояние от стенки), при числе Рейнольдса Re = 6000. Число Рейнольдса в трубе и плоском канале определяется

по формулам

Яе = и011/и, и0 = 2 ит

где ит — средняя расходная скорость, Я — радпус трубы или полуширина канала. Каждое распределение на фиг.1 получено при трех вариантах пространственного разрешения Ь (4): 1>\ — 21 х 32 х 21, ¿2 = 43 х 64 х 43 и Ьз = 63 х 80 х 85. Даже при наиболее грубом пространственном разрешении распределения й и игт,, а также и другие статистические моменты второго порядка, воспроизводятся качественно правильно. Количественные отличия от лучшего разрешения составляют не более 10 — 15%, то есть лежат в пределах разброса типичных экспериментальных данных.

В процессе методических исследований на разных этапах было проведено более 50 расчетов течений в круглой трубе прп числах Рейнольд-са от Яе = 2000 до Яе = 10000. Также были рассчитаны около 10 вариантов в плоском канале в диапазоне от Яе = 2000 до Яе = 5600. Для детального изучения статистических характеристик и их зависимости от вида течения и числа Рейнольдса были выбраны течения в трубе при числах Рейнольдса Яе = 6000, Яе = 4000 и Яе = 2500 (в дальнейшем эти варианты обозначаются Р1, Р2 и РЗ), а также течения в плоском канале при Яе = 5600, Яе = 4000 и Яе = 2000 (варианты С1, С2 и СЗ). В этом наборе вариантов, который называется базовым, значения алгоритмических параметров были выбраны соответствующими Ь = £з, Ьх = 2я-Я при Яе = 6000 таким образом, чтобы во всех расчетах были близки минимальные п максимальные разрешаемые масштабы, выраженные в динамических длинах

«,-£, с

Здесь VТ — динамическая скорость, гш = ри<Ш/(1у\у=0 — среднее трение на стенке. Все величины, нормированные на соответствующие комбинации из /т, 11 г, обозначаются общепринятым способом — верхним индексом

В §2 приводятся результаты расчетов, целью которых было определение нижнего критического числа Рейнольдса (то есть минимального числа Рейнольдса, при котором может поддерживаться турбулентный режим) для течения в круглой трубе, а также исследование поведения

оакона сопротивления при числах Рейнольдса, близких к критическому. Интегрирование по времени в этих расчетах продолжалось до установления течения, после чего число Рейнольдса уменьшалось с небольшим шагом. Ткким образом было определено мнимальное число Рейнольдса перехода

2200 < Де, < 2250

При Яе = 2250 пульсации не затухают со временем, а при уменьшении числа Рейнольдса до 2200 происходит обратный переход к ламинарному течению. Полученная оценка критического числа Рейнольдса согласуется с наиболее точными экспериментальными значениями.

На фиг.2 приведены значения коэффициента сопротивления С/ = полученные в расчетах при различных числах Рейнольдса. Точки 1 и 2 соответствуют расчетам с постоянной средней скоростью (точки 1 отвечают базовым вариантам), точки 3 — с постоянным градиентом давления. Линии А и В — ламинарный закон сопротивления С/ = 32/Ле, отвечающий течению Пуазейля, и эмпирический турбулентный закон сопротивления Блазиуса С/ = 0.1582/Ле0-25. Экспериментальные значения коэффициента сопротивления при числах Рейнольдса, близких к критическому, имеют большой разброс. Однако в большинстве экспериментов значения С/ лежат в промежуточной области между ламинарным и турбулентным законами, гладко сопрягая нижнюю и верхнюю ветви графика С ¡{Не). Значения С/, рассчитанные в настоящей работе, удовлетворительно согласуясь с законом Блазиуса, свидетельствуют об отсутствии какой-либо гладкой зависи-

мости, сопрягающей ламинарный закон с турбулентным. Конкретные числовые значения С/ могут меняться в пределах нескольких процентов при варьировании алгоритмических параметров, однако качественное поведение закона сопротивления остается неизменным. Причина расхождения между расчетными и экспериментальными данными и между результатами различных экспериментов может объясняться конечностью труб в экспериментальных установках. Течения при небольших числах Рейнольдса являются перемежающимися, полностью развитые течения устанавливаются только на больших расстояниях от входного сечения. Можно предположить, что при увеличении длины трубы в эксперименте нижняя граница выполнения закона Блазпуса будет стремиться к критическому числу Рейнольдса.

В §3 анализируется форма профилей средней скорости, полученных в базовых расчетах. Профили скорости в пристенных переменных й+(у+) в круглой трубе изображены на фиг.З(а), а в плоском канале — на фиг.3(b). Линии А и В на фигурах соответствуют вязкому гГ1" = у+ и логарифмическому и"1" = ¡¡ij In у+ + 5.0 участкам закона стенки. При наибольших числах Рейнольдса в обоих течениях отчетливо проявляется логарифмический участок. В канале логарифмический закон выражен значительно четче, константа Кармана к ближе к универсальному значению 0.4. Аддитивная константа С = 5.0 соответствует измерениям Хусаина и Рейнольдса (Hussain A.K.M.F., Reynolds W.C. Trans. ASME I: J. Fluid Engng., 1975, V.97, 568—578). Расположение всех слоев в профилях скорости — вязкого у+ < 6, буферного 6 < у+ < 30 и лога-

0.8

0.0

0.4

Г

о

80

Фиг. 4-

рифмического у+ > 30 — воспроизводится в расчетах правильно. То, что универсальные значения констант логарифмического слоя в трубе устанавливаются при больших числах Рейнольдса, чем в канале, согласуется с измерениями Патела и Хеда (Patel V.C., Head M.R. J. Fluid

§§4—6 посвящены анализу распределений моментов второго порядка — сдвиговых напряжений Рейнольдса г = —pu'v', интенсивностей турбулентных пульсаций скорости и завихренности. Напряжения Рейнольдса т+ растут с увеличением Re по всей ширине каналов, отличия течения в круглой трубе от течения в плоском канале очень незначительные. Профили т+ в пристенной области как функции переменной у+ изображены на фиг.4. Представлены результаты всех шести базовых вариантов. Сплошные линии соответствуют течениям в круглой трубе, прерывистые — в плоском канале. Там же приведены результаты расчета Кима, Моина и Мозера (плоский канал, Re = 5600) — точки 1, а также экспериментальные измерения Эккельмана (Eckelmann H. Mitteilungen aus dem MPI für Strömungsforschung und der AVA. Göttirgen, 1970, N.48) при ReT = 208 — точки 2 и ReT = 142 — точки 3. Число Рейнольдса Rer = UTR/v = R/lT. Результаты Кима, Моина и Мозера полностью совпадают с расчетом Cl настоящей работы. Экспериментальные данные вне пределов вязкого подслоя также очень хорошо согласуются с результатами расчетов при близких числах Рейнольдса (ReT = 210 в варианте PI, ReT = 140 и 130 в вариантах Р2 и С2). При у+ < 10 экспериментальные значения т+ явно завышены,

Mech., 1969, V.38, 181—201).

учитывая, что вблизи стенки должно быть r+ ~ у+3-

Более универсальные (то есть менее зависящие от числа Рей-нольдса) распределения имеют коэффициенты корреляции Ruv = —u'v'/(urTn,vrrns). С удалением от стенки Ruv увеличивается от ~ 0.2 при у+ = 0 до и 0.5 при у+ и 12. Далее, после уменьшения Ruv до и 0.45, следует участок почти постоянной корреляции, простирающийся до y/R и 0.5. Такое поведение Ruv согласуется с экспериментальными данными при гораздо больших числах Рейнольдса. Другой характеристикой, слабо зависящей как от вида течения, так и от числа Рейнольдса, является функция Р+(у+), где Р = rdu/dy — производство кинетической энергии турбулентности.

Качественное поведение профилей интенсивности турбулентных пульсаций хорошо изучено экспериментально. Однако разброс в экспе-риметальных данных довольно значителен. Даже для пульсаций осевой скорости он достигает 25%. Данные для двух других компонент скорости вблизи стенки еще менее надежные. Результаты расчетов настоящей работы лежат в пределах разброса экспериментальных данных. Рассчитанные профили и+т,(у+) и v+mt(y+) изображены на фпг.5(а) и 5(Ь) соответственно. Там же приведены результаты расчета Кима, Моина и Мозера — точки 1, и расчета Спаларта (пограничный слой, Reg = eUoo/v = 300, в — толщина потери импульса) — точки 2. Пристенные распределения близки во всех течениях при всех числах Рейнольдса. Максимальные значения составляют 2.5 — 2.7 и достигаются при у ~ 14. Интенсивность пульсаций нормальной v+mt(y+)

Фиг. 6.

и боковой w+n4(y+) компонент скорости увеличивается с ростом Re. Рассмотренный диапазон чисел Рейнольдса не позволяет судить о том, имеются ли какие-либо предельные распределения этих величин. Результаты настоящей работы очень хорошо согласуются как с результатами Кима, Моина и Мозера, так и с результатами Спаларта (наиболее близким к расчету Спаларта является расчет Р1, где Reg = 270).

В §7 второй главы проводится анализ статистических моментов старших порядков — коэффициентов асимметрии Af = /,3//г3т, и эксцесса Ef = (f'4/frms) — 3- Распределения асимметрии и эксцесса пульсаций осевой скорости при наибольших числах Рейнольдса (расчеты Р1 и С1) изображены на фиг.6(a) и 6(b). Точки 1 — расчет Кима, Моина и Мозера, точки 2 и 3 — экспериментальные данные Креплина и Эккель-мана (Kreplin Н.-Р., Eckelmann Н. Phys. Fluids, 1979, V.22, N.7, 1233— 1239) и Барлоу и Джонсона (Barlow R.S., Johnston J.P. Stanford Univ., 1985, Rep. MD-47). Согласие всех представленных расчетных'и экспериментальных данных хорошее. Отличительной особенностью распределений Аи и Еи является их положительность в пристенном слое. Это означает, что наиболее вероятными являются пульсации отрицательного знака, однако положительные пульсации, соответствующие проникновению к стенке частиц жидкости из внешних слоев, являются более мощными. Обратная ситуация имеет место за пределами вязкого подслоя при у+ > 12. Здесь асимметрия отрицательная, то есть более мощными являются отрицательные пульсации, связанные с выплескиванием замедленной жидкости от стенки.

Как уже отмечалось выше, измерения нормальной компоненты скорости вблизи стенки очень трудны. Надежные экспериментальные данные о старших моментах в настоящее время отсутствуют. Распределения Аи и Еи приведены на фиг.7. Обозначения те же, что и на фиг.6. Экспериментальные значения асимметрии нормальных пульсаций, полученные Креплином и Эккельманом и Барлоу и Джонсоном, очень сильно отличаются друг от друга. С другой стороны, результаты вычислений Кима, Моина и Мозера и настоящей работы согласуются гораздо лучше. Особенно большие отличия расчетов от экспериментов наблюдаются в распределениях эксцесса вблизи стенки. Расчеты показывают, что Е„ в этой области достигает очень больших значений, что свидетельствует о перемежающемся характере течения — периоды слабых пульсаций чередуются с более интенсивными всплесками. Последнее может быть следствием присутствия в пристенной области организованных структур с неслучайным характером колебаний. Можно предположить, что такие структуры более отчетливо проявляются при меньших числах Рейнольдса. Это подтверждается тем, что коэффициент эксцесса Еи растет при приближении к стенке при малых Яе быстрее, чем при больших.

Коэффициент асимметрии пульсаций ги-компоненты скорости равен нулю в силу симметрии течения в боковом направлении. Расчетные значения коэффициента эксцесса Еш аналогичны распределениям Е„: от близкого к нулю значения в ядре потока Еш растет при приближении к стенке. Такое поведение согласуется как с результатами расчета Кима,

Моина и Мозера, так и с измерениями Креплина и Эккельмана.

В §8 приводятся результаты расчетов течении в трубе квадратного сечения при числах Рейнольдса Re = 4000 и Re — 7500. Полученные в обоих расчетах значения коэффициента сопротивления с точностью 0.5% согласуются с экспериментальной формулой Блазиуса для труб кругового сечения. Линии уровня распределения средней скорости u(y,z)/Uc по сечению трубы при Re = 4000, Uc — скорость в центре трубы, изображены на фиг.8. Распределение и приведено только на одной четверти сечения трубы (полуширина трубы обозначена через R). Характерная особенность распределений средней скорости состоит в аномальном повышении скорости в угловых областях. Профили скорости й(у) вблизи стенки z = 0 (и, симметрично, профили й(z) вблизи у = 0) являются немонотонными — скорость на средней линии сечения трубы (y/R = 1) заметно ниже, чем в промежуточной области при y/R ~ 0.35. Повышение скорости в угловых областях создается вторичными течениями в плоскости поперечного сечения трубы. Линии тока такого течения при Re — 4000 изображены на фиг.9. Вдоль биссектрисы у = z скорость направлена внутрь угла, а вдоль стенок — наружу. Наибольшая скорость втекания жидкости в угловую область составляет около 1.5% от Uc, примерно такую же величину имеет максимальная скорость вытекания.

Интересен вопрос о связи между й(у, z) и универсальным законом распределения скорости в турбулентных потоках вдоль гладких стенок. Будем рассматривать профили скорости вдоль линий z = const при раз-

личном удалении от стенки 2 = 0. Для каждого z определим значения динамической скорости UT(z) и динамической длины lT{z) через местное трение на стенке. Профили скорости , z) при Re = 7500 для нескольких значений z приведены на фиг.10. Сплошной линией изображен профиль в плоскости симметрии трубы (z/R = 1), точки 1 — 4 отвечают значениям z/R, равным 0.1, 0.2, 0.4 и 0.6 соответственно. Максимальное значение у+ на каждом графике соответствует биссектрисе у = z. Линии А и В — линейный гГ1" = у+ и логарифмический гГ1" = 2.51пу+ + 5.0 участки закона стенки. Все профили, начиная с наименьшего z, удовлетворительно согласуются с законом стенки. Это позволяет сделать вывод о том, что распределения скорости в угловых областях описываются универсальным законом распределения скорости для течений вдоль гладких поверхностей.

Распределения интенсивностей турбулентных пульсаций вдоль средней линии сечения трубы близки к соответствующим распределениям в круглой трубе и плоском канале. Однако, в отличие от средней скорости, распределения u+ms(y+ ,z) и пульсации других компонент скорости не описываются едиными зависимостями по всему сечению трубы. Ткк, максимальные значения w+mJ при z/R = 0.1 и z/R = 0.2 (в интервале у < z) меньше, чем при z/R = 1 на 30% и 15% соответственно. При больших значениях z распределения интенсивностей пульсаций удовлетворительно описываются зависимостями, отвечающими z/R = 1.

В §9 проведено исследование влияния вдува и отсоса на характе-

0/Um у \

V

1.5- / 1

/S 1' /У п и

Til U1

О — 1

'i / °'5" д - 2

-i о y/H 1

Фиг. 11.

E,/2/Um

' W1 /Г 1 о

f 0.1 - \aN S

1 М

> 1 i о - 1 ^ д - 2 < <

I 7 I I 1 I-Г ' 1

-1 о у/Н 1

Фиг. 12.

ристики турбулентного течения в канале с проницаемыми стенками. Рассмотрена задача о течении жидкости в канале с параллельными стенк!ами у = Я и у = —Н. Через одну из стенок (у = —Н) производится однородный вдув с постоянной скоростью а через противоположную — отсос с той же скоростью. Ламинарное течение, описывающееся стационарным решением уравнений Навье—Стокса, имеет вид суперпозиции нормального к стенкам движения со скоростью Уш и продольного движения со скоростью

Щу) =

Н shRe,

(chRev - ейЛе")

Здесь Dp = —р 1 др/дх — напор, вызывающий движение вдоль трубы,

через Rev обозначено число Рейнольдса поперечного движения:

р VwH

Rev =-

v

Турбулентные течения рассчитывались при двух числах Рейнольдса Re = 4000 и Re- 8000, где Re = 2 UmH/u, Um — средняя расходная скорость. Скорость вдува/отсоса в обоих случаях была равна 0.01t/m, таким образом, в первом варианте Rev равнялось 20, а во втором — 40. Профили скорости й(у), полученные в расчетах, приведены на фиг.11 (линии 3,4). Линиями 1,2 изображены распределения скорости в ламинарных течениях. Сплошные линии отвечают Re = 4000, прерывистые

— Re = 8000. Прп переходе к турбулентному режиму течения профили скорости стновятся более наполненными. Трение на стенке со вдувом сильно повышается, а на стенке с отсосом — понижается. Суммарное трение в турбулентных течениях существенно больше, чем в ламинарных. На фиг.12 приведены распределения интенсивности турбулентных пульсации Я1/2, Е = 0.5(u2m< + vlm, + w^ms). Интенсивность пульса-ционного движения вблизи стенки со вдувом существенно больше, чем вблизи стенки с отсосом.

Задача о течении в канале прп наличии вдува и отсоса была предложена автору A.A. Павельевым как пример течения, которое может служить одним из эталонов для тестирования и сравнения возможностей различных полуэмпирпческих моделей турбулентности. Отсутствие экспериментальных данных для такого течения делает сравнение различных моделей более объективным. Одновременно с прямым численным моделированием, выполненным автором, течение в канале с проницаемыми стенками было рассчитано Павельевым с помощью 3-х параметрической модели Лущика В.Г., Павельева А.А и Якубенко А.Е. (МЖГ, 1978, N.3,13—25), хорошо зарекомендовавшей себя на широком классе сдвиговых течений. Результаты Павельева нанесены на фиг.11, 12 точками 1,2 (для Ее = 4000 и Re = 8000 соответственно). Согласие всех рассчитанных величин следует признать удовлетворительным. Расхождения не превышают разброса экспериментальных данных, на основании которых были выбраны константы модели.

В третьей главе диссертации проводится исследование детальной структуры турбулентных течений в пристенной области. Этой теме посвящено большое количество работ. Такой интерес обусловлен тем, что в непосредственной близости от стенки (в области вязкого и буферного участков в профиле средней скорости) происходят основные физические процессы, определяющие структуру всего течения. В этой области производится большая часть энергии турбулентных пульсаций, здесь достигается максимум амплитуды пульсацпонного движения, большинство других статистических характеристик потока имеют аномальное поведение. Конкуренция инерционных п вязких сил при наличии сильного поперечного сдвига делает движение в пристенной области очень сложным, динамика которого еще далеко не понята.

Одним из наиболее интересных явлений, наблюдающихся в пристенных областях турбулентных течений, являются организованные

крупномасштабные структуры, обнаруженные в середине 50-х годов. Наличие организованных структур проявляется в первую очередь в виде вытянутых вдоль потока полос ускоренного и замедленного движения с почти периодическим чередованием в боковом направлении. Важность полос заключается в том, что на их фоне (именно в областях замедленного движения) возникают вспышки интенсивности пуль-сационного движения, в процессе которых производится большая часть энергии турбулентности.

К настоящему времени наибольшие сведения об организованных структурах в пристенных течениях были получены путем обработки экспериментальных наблюдений при различных методах визуализации. К одним из первых работ в этом направлении относятся статьи Kline S.J., Reynolds W.C., Schraub F.A., Runstadler P.W. (J. Fluid Mech., 1967, V.30, 741—773) и Corino E.R., Brodkey R.S. (J. Fluid Mech., 1969, V.37, 1—30). Визуальный подход, однако, сложен для получения количественных данных. Это требует разработки термоанемометрп-ческих методов фиксации структур и измерения закономерностей течения внутри них. Было предложено несколько методов анализа записей измерений с целью детекции организованных структур. Оказалось, что разброс результатов их использования очень велик. Несмотря на большое количество исследований в этом направлении, их результаты на сегодняшний день едва ли можно признать удовлетворительными. Прямое численное моделирование при условии адекватного воспроизведения деталей течения может стать средством изучения организованных структур с возможностями, недоступными для лабораторных экспериментов. Первые исследования в этом направлении были предприняты сотрудниками Стенфордского университета (группа под руководством П. Моина).

В §1 третьей главы приводятся графики мгновенных полей скорости в плоскостях, параллельных стенке плоского канала на различных расстояниях от нее. Эти графики отчетливо демонстрируют наличие полос в области буферного слоя и их отсутствие вдали от стенки. Определено среднее расстояние между полосами Az двумя способами. В первом способе Az определяется по среднему числу перемен знака функции u'(t, х, у, z) при изменении боковой координаты г. Другим способом определения Лz является корреляционный способ. Автокорреляционные

150

К 100

50

0

функции пульсации осевой скорости

u'(t, х, у, z)u'(t, x,y,z + Az) ulm,(y)

имеют отрицательные значения в некотором диапазоне Дх, что соответствует наличию областей противоположного знака и'. Значение Д2 в точке минимума Ruu интерпретируется как среднее расстояние между соседними полосами противоположного знака, равное половине А*.

При у —+ 0 величина Aj, вычисленная обоими способами для шести базовых вариантов в круглой трубе и плоском канале, лежит в диапазоне от 90 до 115, что соответствует разбросу экспериментальных данных. При увеличении расстояния от стенки Af во всех вариантах несколько увеличивается, что также качественно согласуется с экспериментальными наблюдениями. На фиг.13 изображены графики зависимости среднего расстояния между пристенными полосами от расстояния от стенки, полученные осреднением по шести базовым расчетам. Сплошной линией изображены результаты корреляционного метода, прерывистой — метода определения Az по числу смен знака и'. Точками

1 изображены результаты расчета Кима, Моина и Мозера, полученные корреляционным методом в плоском канале при Re = 5600, точки

2 — результаты экспериментальных наблюдений Смита и Метзлёра (Smith C.R., Metzler S.P. J. Fluid Mech., 1983, V.129, 27—54). Экспериментальные данные получены визуализацией течения в пограничном

RuJAz,y)

слое прп Reg — 2030. Результаты настоящей работы, особенно полученные корреляционным способом, очень хорошо согласуются как с расчетом Кима, Моина и Мозера, так и с измерениями Смита и Метз-лера. Правильно воспроизводятся как значения Xt в непосредственной близости от стенки, так и скорость роста Aj" при увеличении у+. Это позволяет сделать вывод, что организованные пристенные структуры правильно воспроизводятся в расчетах. Совпадение распределений Аt(y+) при рассмотренных небольших числах Рейнольдса (Reg < 300) с экспериментальными данными, полученными при значительно больших числах Рейнольдса, свидетельствует о том, что организованные структуры являются непременным и универсальным атрибутом пристенных турбулентных течений.

Несколькими авторами была предложена модель образования пристенных полос под действием "продольных вихрей". Согласно этой модели, над стенкой возникает движение в плоскости, перпендикулярной направлению основного течения, в виде почти периодической (в боковом направлении) цепочки вихрей, вытянутых вдоль потока. Каждая соседняя пара вихрей противоположного знака индуцирует либо восходящий, либо нисходящий потоки, переносящие соответственно медленные частицы жидкости из пристенной области или быстрые частицы из внешней области потока. Интенсивность продольных вихрей может быть очень незначительная, поэтому их присутствие на фоне более мощных коротковолновых пульсаций трудно обнаружить в экспериментальных измерениях. Присутствие продольных вихрей может быть установлено из анализа корреляционных функций

В ,, Й \ u'(t,x,y0,z)w'(t,x,y,z + dx) Ruw(yo,y,az) =--.—г-Т-Г-

Urm.iyojWrrn^y)

Качественный вид функций Диим рассчитанных в §2, полностью соответствует модели продольных вихрей.

В §3 рассмотрен вопрос о скорости переноса возмущений в пристенном слое. Скорость переноса возмущений — одна из важнейших характеристик турбулентных потоков. Из-за трудностей прямого измерения пространственных распределений полей скорости в экспериментальных условиях, для интерпретации записей сигналов обычно используется гипотеза Тейлора. Эта гипотеза связывает временное и

пространственное изменения поля скорости в предположении "вмороженной турбулентности": распределение в точке (t,x) полагается совпадающим с распределением в точке (i = 0, ж — Ct), где С — скорость переноса возмущений. Согласно гипотезе Тейлора С совпадает с местной средней скоростью течения. Гйпотеза Тейлора широко используется, несмотря на многочисленные предупреждения об ограниченности ее возможностей.

В диссертации предложен "дифференциальный" метод определения скорости переноса возмущений. Суть этого метода состоит в определении С из условия наилучшей аппроксимации уравнений Навье—Стокса уравнениями переноса. Проведенные вычисления показали, что гипотеза Тейлора удовлетворительно выполняется в ядре потока. Вблпзп стенок (при у+ < 20) скорость переноса превышает местную скорость течения. В пределах вязкого подслоя С+ имеет постоянное значение « 8. Такое поведение скорости переноса возмущений качественно и количественно согласуется с экспериментальными данными (Morrison W.R.B., Bullock K.J., Kronauer R.E. J. Fluid Mech., 1971, V.47, 639—656) и результатами прямого численного моделирования (Kim JM Hussain F. Phys. Fluids A, 1993, V.5, 695—706). В §3 рассмотрены также вопросы о зависимости скорости переноса возмущений от их продольного и бокового масштаба.

Экспериментальные наблюдения турбулентных течений вблизи гладких стенок показывают, что основная часть энергии турбулентных пульсаций производится в процессе так называемых турбулентных всплесков. Турбулентные всплески происходят в случайные моменты времени в случайных точках пространства. Таким образом, можно г оворить о возникновении локализованных центров турбулиза-ции. Локализованные турбулентные центры возникают и в ламинарных течениях на стадиях перехода к турбулентности. Классическими примерами являются турбулентные пятна в пограничном слое и турбулентные пробки в трубах. В §4 на примере моделирования развития возмущений в круглой трубе изучается процесс возникновения центров турбулизацип.

Расчеты проведены при Re = 4000. Начальные возмущения задавались различными способами с помощью датчика случайных чисел. Для каждого конкретного вида начальных возмущений можно указать пороговую амплитуду, начиная с которой их развитие ведет к устано-

вленню незатухающих колебании, статистические характеристики которых соответствуют турбулентным течениям. В тех случаях, когда начальная амплитуда возмущений незначительно превышает пороговый уровень, переход к турбулентному течению происходит через стадию образования и развития локализованных турбулентных центров. Образованию центров предшествует значительная (с амплитудой до 25% от максимальной скорости) модуляция скорости в угловом направлении. Модуляция вызывается слабым 0.5%) течением в плоскости поперечного сечения, образующимся в результате нелинейных взаимодействий начальных коротковолновых возмущений. После усиления углового искажения профиля скорости возбуждаются мелкомасштабные возмущения.

Появление мелкомасштабных пульсаций впервые проявляется в изменении формы одномерных пространственных спектров в виде возбужденного коротковолнового пакета. Это позволяет в каждый момент времени разбить течение на сумму крупномасштабной и мелкомасштабной составляющей. Крупномасштабное движение описывается частью суммы (2), включающей слагаемые с небольшими продольными волновыми номерами \к\ < к0, где кй = k0(t) — номер гармоники, начиная с которого наблюдается характерный рост энергии в спектре. Сумма слагаемых, соответствующих |fc| > fco, представляет собой мелкомасштабную часть течения. Описанная процедура иллюстрируется фигурой 14. Здесь изображены одномерные пространственные спек-

тры колебаний радиальной компоненты скорости

|п|<ЛГ

в точке г = 0.6 в несколько моментов времени на фазе возникновения и развития коротковолновых возмущений. Длина трубы в расчете равнялась Ья = 2ж/а = 20, а = 0.17г (все величины нормированы на радиус трубы и максимальную скорость течения). В момент времени £ = 60 интенсивность возмущений быстро убывает с ростом волнового числа ка, падение энергии старших гармоник составляет 7—8 порядков. Однако уже в этот момент в спектре проявляется зарождение коротковолнового пакета с максимумом интенсивности в районе ка = 5, что отвечает длинам волн чуть больше одного радиуса трубы. С течением времени интенсивность коротковолновых возмущений возрастает. В момент времени Ь = 100 выделенная длина волны пропадает, размер расчетной области п число учитываемых гармоник (К = 32) становятся недостаточными.

С целью визуализации движения вводятся амплитуды мелкомасштабных взмущений (их вектор скорости обозначается через Vs), осредненные по одному пз трех пространственных направлений. Линии уровня амплитуды

в плоскости поперечного сечения трубы в два момента времени £ = 70 п 4 = 90 изображены на фиг.15. Разница амплитуд между соседними уровнями на графиках увеличивается со временем. Максимальное значение амплитуды указано над каждым из рисунков. Из представленных графиков видно, что мелкомасштабные пульсации в момент своего зарождения распределены очень неравномерно по сечению трубы, сосредотачиваясь внутри кольцевого сектора на расстоянии и 0.6 от оси трубы. Размер области, занятой ими, расширяется с течением времени, постепенно перекрывая все сечение трубы.

Линии уровня амплитуды возмущении, осредненной в радиальном направлении

Фиг. 15. t—70. Amax-0.0021

в плоскости (х,в) в моменты времени t = 70,80 и 90 изображены на фиг.16. Приведенные графики показывают, что область мелкомасштабных пульсаций локализована не только в плоскости поперечного сечения, но и в продольном направлении. С течением времени центр тур-булизации, сносясь потоком, увеличивает свою протяженность. Скорости перемещения его передней и задней границы составляют соответственно 0.8 и 0.4, что согласуется с экспериментальными данными о скорости переноса турбулентных пробок (Wygnanski I.J., Champagne F.H. J. Fluid Mech., 1973, V.59, 281—336).

Анализ крупномасштабной составляющей движения показывает, что между областью возбуждения мелкомасштабных возмущений и стенкой трубы расположена полоса замедленного движения. Вдоль ее внешней (по отношению к стенке) границы в профиле скорости имеются точки перегиба, в окрестности которых и развиваются возмущения. Таким образом, локальная неустойчивость, связанная с точками перегиба в,профиле скорости, является вероятным механизмом возникновения центра турбулизации. Полученные результаты качественно и количественно согласуются с имеющимися экспериментальными данными о возникновении турбулентных пробок в трубах, а также и с условиями генерации пульсаций в развитых турбулентных течениях. Это позволяет сделать вывод, что в основе обоих этих явлений лежит единый механизм. Основным элементом этого механизма является длинноволновое искажение течения и возникновение мелкомасштабной неустойчивости на локальных неоднородностях потока. Неоднородность течения, проявляющаяся в чередовании в боковом направлении полос ускоренного и замедленного движения, связана с наличием в потоке слабых продольных вихрей — движений в поперечной плоскости. Продольные вихри образуются в результате нелинейного взаимодействия возмущений на разностных частотах.

Высказанное представление о причине возникновения центров тур-булизции указывает на возможные средства управления потоком. В частности, из него следует механизм влияния продольного оребрения обтекаемой поверхности: назначение риблет состоит в препятствии возникновению движения в плоскости поперечного сечения.

Четвертая глава диссертации посвящена разработке пространственного подхода к моделированию турбулентных течений. В предыдущих главах, как и в большинстве других расчетов течений в тру-

бах и каналах, использовался так называемый "временной" подход. В этом подходе возмущения считаются периодическими вдоль направления потока, развитие пх происходит во времени. Условия периодичности удобны для решения уравнений Навье—Стокса. Они снимают проблему постановки входных и выходных граничных условий, позволяют рассматривать расчетные области небольшой протяженности. Статистические свойства решений в рамках временного подхода хорошо согласуются с экспериментальными данными, что обосновывает применимость условий периодичности для моделирования течений, однородных в направлении основного потока. Очевидно, что для моделирования существенно неоднородных течений необходима более адекватная постановка, допускающая развитие возмущений по мере их распространения вниз по потоку. Одной из задач, требующих применения пространственного подхода, является рассмотренная в диссертации задача о течении жидкости на начальном участке круглой трубы в зоне перехода от ламинарного движения к турбулентному.

Рассматривается течение вязкой несжимаемой жидкости в трубе конечной длины. Во входном сечении на параболический профиль скорости накладываются периодические во времени возмущения. Приближенное решение уравнений Навье—Стокса ищется в виде ряда Фурье в угловом направлении, в радиальном и осевом направлениях используются конечноразностные аппроксимации. Расчеты проводились при числе Рейнольдса Яе = 4000.

Особое внимание при разработке метода должно быть уделено постановке условий в выходном сечении трубы. Выходные граничные условия должны быть достаточными для однозначного решения задачи, допуская максимально возможную свободу для течения в верхней части потока. После тщательного тестирования нескольких возможных вариантов были выбраны следующие мягкие условия:

дх* ~ дх* ~ дх* ~ "

Здесь — радиальная и угловая компоненты вектора вихря, Ьх — длина трубы. Высокое качество этих условий установлено путем расчета эволюции малых возмущений и сравнения с результатами спектральной задачи устойчивости, а также путем сопоставления результатов расчетов развития конечноамплитудных возмущений при варьи-

рованпн длины трубы. Постановке задачи, формулировке входных и тестированию выходных условий посвящены §§1,2.

Обнаружено, что в зависимости от амплитуды входных возмущений возможны два режима устанавливающихся в трубе течений. При относптельно малых амплитудах возникают периодические течения с частотой входных возмущений. При болыппх входных возмущениях возникают течения с нерегулярными колебаниями. Для возмущений рассмотренного в диссертации вида пороговое значение амплитуды составляет е ~ 0.035, где е — отношение максимальной скорости возмущений к максимальной скорости течения. Свойства течения, возникающего при амплитуде входных возмущений ниже пороговой е = 0.03, подробно описываются в §3, анализ непериодического течения, соответствующего е — 0.04, приводится в §§4—6.

Среднее (по времени) течение в периодическом режиме существенно отличается от течения Пуазейля на всей длине трубы (при Ьх = 100). Оно имеет вид суперпозиции вторичного течения в плоскости поперечного сечения трубы и продольного движения, профиль скорости которого теряет осесимметрпчность под действием вторичного течения. Линии тока вторичного течения и профили скорости в двух сечениях трубы х = 25 и х = 75 изображены на фпг.17 и 18 соответственно. Вторичное течение формируется в результате нелинейного взаимодействия периодических возмущений и имеет только четные угловые гармоники (последнее объясняется тем, что рассмотренные входные возмущения пропорциональны егв). Движение во вторичном течении направлено от оси трубы к стенке в плоскостях в = тг/2 и в = Зтг/2, что вызывает повышение скорости продольного движения в соответствующих областях трубы. В плоскостях в = 0 и в = к жидкость возвращается от стенки трубы к оси. Максимум скорости во вторичном течении составляет 0.007 при х = 25 и 0.003 при х = 75. Столь незначительное движение в плоскости поперечного сечения вызывает, как видно из графиков, очень заметное угловое искажение профиля скорости. Амплитуда нестационарной составляющей движения экспоненциально уменьшается вдоль трубы. Скорость затухания возмущений вблизи стенки больше, чем вблизи оси.

При амплитуде входных возмущении е = 0.04 в потоке возникают высокочастотные случайные пульсации. До момента их появления развитие течения происходит аналогично случаю допороговых амплитуд.

Фиг. 18.

В трубе формируется вторичное течение в виде двух пар продольных вихрей, под их действием возникает и усиливается искажение профиля скорости в угловом направлении. После того, как угловая асимметрия достигает определенного уровня, периодические возмущения, приходящие из входного сечения, начинают усиливаться. Наибольшее усиление наблюдается в плоскостях максимального углового градиента скорости: в = ктг/3, к = 1,2,4,5. Пульсации распространяются на смежные участки сечения трубы, их временной характер становится апериодическим. С течением времени область случайных высокочастотных пульсаций вытягивается, покрывая всю нижнюю часть трубы. Задний фронт "турбулентной" области устанавливается на определенном расстоянии от входного сечения. Мгновенные распределения осевой скорости вдоль трубы в двух точках по радиусу (в приосевой области и вблизи стенки) после завершения описанного процесса развития течения изображены на фиг.19. Приведенные распределения близки по характеру к экспериментальным распределениям скорости на заднем

фронте турбулентных пробок (Wygnanski, Champagne). На начальном участке трубы присутствуют только длинноволновые возмущения. Граница турбулентной области четко выражена. Как и в экспериментальных измерениях, непосредственно в переходной зоне имеются мощные коротковолновые пульсации. Ближе к выходному сечению трубы масштаб возмущений несколько увеличивается, а амплитуда пульсаций (за исключением пристенной области) уменьшается. Скорость на оси трубы существенно понижается, что компенсируется ускорением движения у стенки.

Распределения средних характеристик течения выходят на постоянные вдоль трубы значения начиная с х « 60. На фпг.20(а) изображены профили скорости осредненного движения в нескольких сечениях трубы, а на фиг.20(Ь) — профили интенсивности пульсаций осевой скорости. Сплошными линиями изображены соответствующие распределения в развитом турбулентном режиме, полученные в рамках временного подхода. Как видно из рисунков, начиная с х = 56 приведенные распределения (как и другие статистические моменты первого и второ-

го порядков) практически не отличаются от турбулентных.

Как известно из экспериментальных и численных исследований, течение Пуазейля в трубе устойчиво к малым возмущениям. Результаты настоящей работы подтверждают этот вывод: для возникновения турбулентности нужны возмущения конечной амплитуды. Однако остается неясным, способна ли турбулентность в трубе поддерживаться самостоятельно после возникновения, или подпитка за счет внешних возмущений остается необходимой. Иначе этот вопрос можно сформулировать так: является ли динамическая система, соответствующая течению в трубе, автоколебательной или усилительной? Поставленный вопрос, формулировка которого принадлежит П.С. Ланде, относится не только к трубам, но и к другим течениям в неограниченных средах, таким, например, как струи. Эксперименты, проведенные в настоящей работе, свидетельствуют в пользу того, что течение в трубе является усилительным. Если после установления турбулентного режима уменьшить амплитуду входного возмущения ниже некоторого предела, то турбулентная область начинает сноситься потоком, и течение возвращается к ламинарному.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации проведено исследование турбулентных течений в трубах и каналах методом прямого численного моделирования. Рассчитаны статистические характеристики течений, изучена структура

развитых течений в пристенной областп, рассмотрены некоторые закономерности течений на переходной стадии. В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Разработаны алгоритмы решения уравнений Навье—Стокса для несжимаемой жидкости, ориентированные на расчет турбулентных течений в трубах и каналах. Рассмотрены случаи трубы кругового сечения, плоского канала и трубы прямоугольного сечения. Дано обобщение алгоритмов на случай произвольной ортогональной системы координат. Алгоритмы сочетают спектральное представление искомых функций в направлениях, в которых течение может считаться однородным, конечноразностные аппроксимации в остальных пространственных направлениях и полунеявные методы интегрирования по времени. Высокая эффективность разработанных методик позволила провести расчеты турбулентных течении при числах Рейнольдса до Де ~ 104 на персональной ЭВМ.

2. Показано, что переход к турбулентному режиму течения в круглой трубе происходит при превышении начальной амплитудой возмущений определенного порогового уровня. Это согласуется с выводом об устойчивости течения Пуазейля к бесконечномалым возмущениям. Статистические характеристики течений в установившихся турбулентных режимах не зависят от вида и амплитуды начальных возмущений.

Получена оценка для минимального критического числа Рейнольдса в круглой трубе: 2200 < Де* < 2250. Сделан вывод о .том, что нижняя граница выполнения закона сопротивления Блазиуса совпадает с Де». Отклонение экспериментальных данных от закона Блазиуса в области малых чисел Рейнольдса может объясняться конечной длиной труб в экспериментальных установках.

3. Детально изучены и задокументированы статистические характеристики течений в круглой трубе и в плоском канале в диапазоне чисел Рейнольдса от Ее = 2000 до Яе = 6000. Проведено подробное сопоставление с известными экспериментальными и расчетными данными, показывающее хорошее общее согласие в тех случаях, когда результаты различных экспериментов согласуются между собой.

При наибольших рассмотренных числах Рейнольдса в профилях средней скорости отчетливо просматривается трехслойная структура, включающая вязкий, буферный и логарифмический участки. Логарифмический слой в плоском канале выражен значительно четче, чем в

трубе. Константа Кармана ближе к универсальному значению к = 0.4. Для трубы константа Кармана имеет несколько меньшее значение. Аддитивная константа логарифмического закона С = 5.0 лучше всего соответствует измерениям Хусапна и Рейнольдса.

Напряжения Рейнольдса растут с ростом числа Рейнольдса по всей ширине каналов. Более универсальные распределения, то есть менее зависящие от числа Рейнольдса, имеют коэффициенты корреляции Яих1 и распределения производства энергии турбулентности.

Профили интенсивности пульсаций осевой скорости и+тв(у+) слабо зависят как от числа Рейнольдса, так и от вида течения. Максимальное значение равно 2.5 — 2.7 и достигается в области буферного слоя при у+ « 14. Интенсивность пульсаций двух других компонент скорости растет с ростом числа Рейнольдса. Отсутствие универсальности по числу Рейнольдса в распределениях и качественно согласуется с теорией "активного" и "пассивного" движения, предложенной Таунсендом и Брэдшоу.

Интенсивность пульсаций завихренности вблизи стенки заметно растет с ростом числа Рейнольдса. В ядре потока пульсации всех трех компонент завихренности имеют близкие значения, что свидетельствует об их изотропности.

Рассчитаны распределения старших статистических моментов — коэффициентов асимметрии п эксцесса. Пульсации осевой скорости имеют положительную асимметрию вблизи стенки и отрицательную при у+ > 12. В вязком подслое эксцесс положителен, что указывает на присутствие неслучайной составляющей. Наиболее характерным свидетельством перемежающегося характера течения вблизи стенки являются очень большие значения коэффициента эксцесса боковых, и особенно нормальных пульсаций. Степень перемежаемости растет при уменьшении числа Рейнольдса.

4. Рассчитаны течения в трубе квадратного сечения. Показало, что закон сопротивления, а также распределения средней скорости и интенсивностей пульсаций в плоскостях симметрии трубы, близки к соответствующим распределениям в трубе кругового сечения. В угловых областях трубы имеется аномальное повышение скорости, вызванное вторичными течениями в плоскости поперечного сечения. Максимальная скорость вторичных течений не превышает 1.5% от скорости в центре трубы. Пристенные распределения скорости й+(у+) вдоль линий,

параллельных одной из стенок, на разных расстояниях от нее пмеют универсальное распределение, соответствующее закону стенки. Интенсивность пульсаций в угловых областях (нормированная на местную динамическую скорость) слабее, чем вблизи плоскости симметрии.

5. Проведены расчеты течений в плоском канале с проницаемыми стенками при наличии вдува и отсоса. Показано, что вдув через проницаемую поверхность усиливает интенсивность турбулентности, а отсос, наоборот, ослабляет.

6. Проведено исследование организованных структур, возникающих в пристенных областях развитых турбулентных течений и имеющих вид чередующихся в боковом направлении полос ускоренного и замедленного движения. Показана геометрическая универсальность структур. Установлена их связь с движением в плоскости поперечного сечения.

7. Изучены условия возникновения и закономерности развития локализованных турбулентных центров на стадии перехода течения в круглой трубе от ламинарного к турбулентному. Показано, что центры турбулизации возникают в результате коротковолновой неустойчивости в областях локальных неоднородностей течения. Неоднородности, в которых профиль скорости образует точ^п перегт^а, возникают под действием слабых движений с вектором скорости, перпендикулярным направлению потока. Сделан вывод о едином механизме возникновения центров турбулизации на стадии перехода п поддержания турбулентности в развитых течениях.

8. Разработана методика моделирования течений в трубах без использования традиционных условий пространственной периодичности. Сформулирован способ задания условий на границе вытекания жидкости, не приводящий к заметным нефизическпм отражениям в верхней части потока. Методика применима к расчету течений, неоднородных в направлении движения.

9. Рассмотрена задача о пространственно-временной эволюции возмущений, вносимых во входное сечение круглой трубы. В изученных случаях периодических во времени входных возмущений обнаружено два качественно различных типа устанавливающихся течений. При относительно слабых возмущениях в трубе устанавливаются периодические режимы движения, а при более сильных — хаотические.

В периодических режимах профиль скорости стационарной соста-

вляющей существенно отличается как от параболического течения Пуазейля, так и от профиля скорости в развитых турбулентных течениях. Искажение профиля скорости вызывается вторичными течениями в плоскости поперечного сечения, формирующимися в результате нелинейного взаимодействия входных возмущений.

Хаотические режимы течения возникают при превышении амплитудой входных возмущений некоторого порогового уровня. Случайные высокочастотные пульсации впервые возникают в областях наибольшего углового градиента скорости. С течением времени задний фронт области хаотического движения устанавливается на определенном расстоянии от входного сечения.

Течение в нижней части потока, вдали от области перехода, выходит на режим развитой турбулентности — распределения вдоль трубы всех статистических характеристик выравниваются, приближаясь к значениям, наблюдающимся в экспериментальных условиях. Интенсивность пульсаций в переходной области более чем в два раза превышает их окончательный уровень.

10. Снижение амплитуды входных возмущений после установления турбулентного режима течения приводит к тому, что область, занятая случайными пульсациями, сносится потоком, п течение в трубе в конечном итоге возвращается к ламинарному. Это свидетельствует в пользу того, что течение в трубе является усилительным, а не автоколебательным.

ПУБЛИКАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ По теме диссертации автором опубликовано 26 работ. Основными публикациями являются:

[1] Никитин Н.В. О жестком возбуждении автоколебаний в течении Гагена—Пуазейля // Изв. АН СССР, МЖГ, 1984, N. 5, 181—183.

[2] Никитин Н.В. Нелинейное развитие возмущений в плоском течении Пуазейля // Вест. МГУ, Сер. 1, мат., мех., 1984, N. 6, 62—65.

[3] Герценштейн С.Я., Никитин Н.В. Автоколебания конечной амплитуды во вращательном течении Гагена—Пуазейля // Изв. АН СССР, МЖГ, 1984, N. 5, 181—183.

[4] Gertsenstein S.Y., Zheligowsky V.A., Nikitin N.V., Rudnitsky A.Y., Sukhorukov A.N., Filjand L.V. On some transition processes in three-dimensional shear flows // In: Laminar-Turbulent Transition. IUTAM-

Symposium, Novosibirsk 1984. Edt. V.V.Kozlov, Springer, 1985, 479—486.

[5] Никитин H.B. О применении многочленов Чебышева прп численном решении трехмерных уравнении Навье—Стокса во внутренности цилиндра // Спец. вопросы мат. анализа п его приложения, N. ГР 01870026366, 1987.

[6] Нпкптпн Н.В. Численное исследование устойчивости течения Гагена—Пуазейля // Спец. вопросы мат. анализа и его приложения, N. ГР 01870026366, 1989.

[7] Нпкптпн Н.В. О характере вторичных теченпп во вращающейся трубе // Иов. АН, МЖГ, 1992, N. 6, 29—35.

[8] Nikitin N.V. Direct three-dimensional numerical simulation of turbulence and transition in a pipe-Poiseuille flow // Bulletin of the American Physical Society, 1993, V. 38, N. 12, 2311.

[9] Nikitin N.V. Direct numerical simulation of three-dimensional turbulence in pipe-Poiseuille flow // Proc. Int. Symp. 'Advances in Structured and Heterogeneous Continua'. Moscow 1993. Edts: D.Siginer, Y.Yanovsky. Allerton Press, New York, 1994, 401—412.

[10] Нпкптпн Н.В. Спектрально-конечно-разностнып метод расчета турбулентных течений несжимаемой жидкостп в трубах п каналах // ЖВМ и МФ, 1994, Т. 34, N. 6, 909—925.

[11] Нпкптпн Н.В. Прямое численное моделирование трехмерных турбулентных теченпп в трубах кругового сечения // Изв. АН, МЖГ, 1994, N. 6, 14—26.

[12] Nikitin N.V. Numerical simulation of transition and spatially evolving turbulence in a pipe // Bulletin of the American Physical Society, 1994, V. 39, N. 9, 1970.

[13] Никитин Н.В. Прямое численное моделпрованпе турбулентности и перехода в трубах // Изв. АН, МЖГ, 1995, N. 3, 186.

[14] Нпкптпн Н.В. Пространственный подход к численному моделированию турбулентности в трубах // ДАН, 1995, Т.343, N. 6, 767— 770.

[15] Nikitin N., Chigirinskaia Y., Schertzer D., Lovejoy S. Universal multifractal analysis of a direct three-dimensional numerical simulation of turbulence // Annales Geophysicae, 1995, Suppl. II to V. 13, 568.

[16] Нпкптпн Н.В. Статпстпческпе характеристики пристенной турбулентности // Изв. АН, МЖГ, 1996, N. 3, 32—43.