Математические модели, алгоритмы и результаты описания сдвиговых турбулентных течений несжимаемой жидкости нестационарными решениями уравнений Навье-Стокса тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РГ6 од

На правах рукописи

ПРИЙМАК ВЛАДИМИР ГЕОРГОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, АЛГОРИТМЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ ОПИСАНИЯ СДВИГОВЫХ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ РЕШЕНИЯМИ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СГОКСА

Специальность 01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации па соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1996 -

Работа выполнена в Институте математического моделирования Российской Академии Наук.

Официальные оипоненты: доктор физико-математических наук,

профессор С.А. Рыбак; доктор физико-математических наук, В.Ф. Тишкин;

доктор физико-математических наук, профессор В.Я. Шкадов.

Ведущая организация: Институт прикладной математики

им. М.В. Келдыша Российской Академии Наук

Защита состоится "_"_19% г. на заседании диссертационного совета. Д 003.91.01 при Институте математического моделирования Российской Академии Наук по адресу: 125047 Москва, Миусская пл., д.4а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математического моделирования РАН.

Автореферат разослан " 1996 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

Н.В. Змитренко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В работе обсуждаются результаты и анализируются возможности описал ния турбулентных сдвиговых течений несжимаемой вязкой жидкости нестационарными численными решениями трехмерных уравнений Навье-Стокса. Построены эффективные, высокоточные и мало чувствительные к ошибкам округления алгоритмы интегрирования этих уравнений. Проводится детальное исследование интегральных характеристик и пространственно-временной структуры рассчитанных турбулентных течений.

Актуальность проблемы. Подавляющее большинство течений вязкой жидкости в природе и инженерных приложениях имеет турбулентный характер. Их пространственно-временная структура очень сложна, они нестационарны и непериодичны во времени, имеют внутренние и пристеночные погранслои, в них вовлечены движения многих масштабов. Задача теоретического описания турбулентности является настоящим вызовом научному сообществу, которое пытается решить ее уже в течении столетия. Вместе с тем, как может быть для немногих задач, понимание природы и механизмов турбулентных течений, а следовательно возможное! ь управляй, ими, практически мгновенно скажутся на повседневной жглп: людей. Ясно поэтому, что умение рассчитывать турбулентные режимы течений на основе первых принципов (в данном случае на «-ново полной системы трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса) и анализировать результаты расчетов является актуальной и практически зпачимой задачей. В том числе актуальны проведенные в диссертации расчет и тщательное изучение турбулентных режимов течений в простейших геометриях: бесконечных плоском и кольцевом каналах, в прямой круглой трубе. Исследование закономерностей, механизмов и пространственно-временной структуры турбулентности в модельпых задачах может помочь в построении математических моделей более сложных течений.

Значительная часть материала диссертации посвящена численному моделированию и изучению чурбулентных течений вязкой несжимаемой жидкости в бесконечной круглой трубе при сверхкритических числах Рейнолвдса. Задача описания ламинарно-турбулентного перехода и установившейся гурбулент-

ности в круглой трубе является классической. Более столетия назад Осборц Рейнольде предположил, что неустойчивость стационарных течений в круглой трубе (т.н. течений Пуазейля) может быть причиной перехода к турбулентности, и с тех пор было предпринято множество попыток проверить эту гипотезу. Несмотря па большое количество работ, результаты диссертации являются одним из немногих теоретических свидетельств неустойчивости стационарного учения Пуазейля по отношению к конечноамылитудныы возмущениям при сверхкритических числах Рейнолъдса. Постоянный интерес к проблеме основан на желании изучить механизмы и сценарии ламипарпо-турбулеятного перехода в ситуации, когда базовое стациопарпое течепне асимптотически устойчиво в линейном приближении. Задача об устойчивости течения Пуазейля в бесконечной трубецгредстааляет б этом отношении специальный интерес т.к. является одной из простейших математических идеализации знаменитых экспериментов Рейнолвдса.

Для решения задач теории гидродинамической устойчивости и перехода к турбулептности методами вычислительной математики необходимы особо точные, экономичные и мало чувствительные к ошибкам округления численные методы. Дополнительным осложняющим обстоятельством дня задачи о турбулентных течениях в круглой трубе является необходимость описания полей скорости и давления в непосредственной окрестности координатной сингулярности. Разработка обеспечивающих спектральную точность и высокую эффективность алгоритмов интегрирования уравнений Навье-Стохса в цилиндрической геометрии при наличии координатных сингулярпостей является актуальной и имеющей гораздо более широкие (чем исследование гидродинамической турбулентности в круглой трубе) приложения задачей. Такие алгоритмы разработаны в диссертации, их точность и устойчивость скрупулезно тестируются.

В минувшее десятилетие достигнут значительный прогресс в расчетах турбулентных сдвиговых течений в тех ситуациях, когда в направлении среднего потока могут быть поставлены периодические граничные условия для ноля скорости. Сейчас, полным ходом разворачиваются работы по числепному моделированию сжимаемой турбулентности, по решению т.н. задач со входом и выходом (предполагающих непериодические, граничные условия для поля ско-

роста), по описанию турбулентных режимов течений в областях сложной конфигурации. Несмотря на это, использование математических моделей течений с периодическими граничными условиями в двух из трех пространственных направлениях для описания сдвиговой турбулентности по настоящему только начинается. К настоящему времени опубликованы достоверные результаты расчетов, касающиеся лишь основных интегральных характеристик турбулентности. Почти пе проводилось исследования тонких деталей пространственной и временной структуры течений, нет удовлетворительных физических и математических моделей процессов, происходящих в турбулентном погралслое, не проведены параметрические исследования описывающих турбулентность численных решений уравнений Навье-Стокса. Парадокс состоит в том, что при современном состоянии алгоритмов и компьютерных систем вычислительная трудоемкость параметрических исследований не многим ниже, чем у пробных расчетов в задачах со входом и выходом или в каналах со сложной геометрией.

Поэтому следует признать актуальным проведенные в диссертации параметрические исследования математической модели турбулентных течений в круглой трубе, в ходе которых впервые установлена необходимость включения в рассмотрение супердлинноволновых движений в направлении среднего потока. На наш взгляд актуальна также предложенная в диссертации упрощенная волновая модель для пульсаций скорости в турбулентном пограпелое у стенок трубы. Эта модель объясняет многие известные экспериментальные факты по структуре погранслоя, проясняет кинематику турбулентного течения.

Наконец, очевидна актуальность впервые проведенного в диссертации прямого численного моделирования турбулентных режимов течений в кольцевых трубах, возможность потенциального использования результатов расчетов и комплексов программ в технологических целях, например, в задачах ядерной энергетики. То же можно сказать относительно проведенного в диссертации прямого численного моделирования турбулентного теплопереноса в плоском каг нале.

Целью работы является разработка математических моделей и алгоритмов интегрирования трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса, проведение с их помощью прямого численного моделирования турбулентных

сдвиговых течений несжимаемой жидкости в трубах и каналах, анализ и интерпретация полученных результатов.

Основные результаты работы:

1. На основе полной системы трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса впервые проведено полномасштабное численное моделирование турбулентных и переходных режимов течений вязкой несжимаемой жидкости в прямой круглой трубе. Полученные результаты являются одним из немногих теоретических свидетельств неустойчивости ламинарного течения Пуазейля по отношению к возмущениям конечной амплитуды при сверхкритических числах Рейпольдса. Расчеты проведены в рамках математической модели с периодическими граничными условиями для поля скорости по оси трубы. В этих условиях удалось провести вычисления с точностью, которая достаточна для адекватного описания не только базовых интегральных характеристик турбулентности (коэффициента сопротивления, сдвигового напряжения Рейнольдса, интенсив-ностей пульсаций компонент скорости, завихренности и давления, всех членов уравнения баланса кинетической энергии турб'лиентности и т.п.), но и важных деталей пространственно-временной структуры турбулентных течений.

2. Разработано семейство псевдоспектральных алгоритмов интегрирования уравнений Навье-Стокса (описывающих течения несжимаемой жидкости) в цилиндрической геометрии при наличии координатных сингулярностей. Алгоритмы обосновываются и тщательно тестируются на сложной модельной задаче описания ламинарно-турбулентного перехода и турбулентных течений в круглой трубе, однако потенциально могут иметь более широкое применение. Предложена новая замена зависимых переменных для уравнений Навье-Стокса, позволившая, несмотря на наличие особенностей, обеспечить высокую точность, которая присуща псевдоспектральной технологии вычислений. Дня алгоритмов семейства характерна также исключительно низкая чувствительность к ошибкам округления, а их вычислительная трудоемкость сравнима с трудоемкостью лучших алгоритмов для моделирования турбулентности в декартовых координатах.

3. Пред ложена упрощенная волновая модель для поля скорости турбулентных сдвиговых течений в трубах и каналах. На основе частотного анализа

амплитуд и <|к1> всех фурьо-комионснт разложения поля скорости впервые установлено, что в каждой точке но нормали к стенке трубы (канала) пульсации скорости описываются суперпозицией бегущих и стоячих волн специального вида. Структура и параметры (амплитуды волн, их фазовые скорости, дисперсионные соотношения и т.п.) волнового пакета детально проанализированы. Обсуждается связь полученных результатов с известной гипотезой Тейлора, в том числе на основе полученных данных оценивается точность и пределы применимости этой гипотезы. Специальное внимание уделено тому, чтобы математическая модель течения содержала все существенные при рассматриваемых числах Рейнольдса масштабы турбулентных движений. В частности, анализ волновых движений впервые основан на расчетах, допускающих сверхмалые продольные волновые числа, которые не были разрешены в многочисленных предыдущих расчетах турбулентных течений в каналах и трубах. Показано, между тем, что параметры волновой модели и структура турбулентного погранслоя сильно зависят от того, включены или нет в рассмотрение длинные волны.

4. Проведено прямое численное моделирование двумерных вторичных и трехмерных турбулентных режимов течений несжимаемой вязкой жидкости в каналах кольцевого сечения. Показано, что двумерные численные решения уравнений Навье-Стокса лишь качественно верно описывают реальные турбулентные течения. Трехмерные же решения позволяют получать удовлетворительное согласие между расчетом и экспериментом. Проведено параметрическое исследование двумерных режимов в широком диапазоне чисел Рейнольдса, интервалов периодичности, отношений радиусов внутренних и внешних труб, образующих кольцевой канал и т.п.. Показало, в частности, что коротковолновые двумерные решения (т.е. решения с малым интервалом периодичности вдоль оси канала) являются периодическими функциями времени, представляя собой бегущую волну. Длинноволновые же двумерные решения представляют собой волновой пакет с несоизмеримыми фазовыми скоростями. Для предельного случая плоского канала впервые проведено численное моделирование турбулентного тенлопереноса на основе совместного решения уравнений Навье-Стокса и уравнения переноса тепла. Получены двумерные и трехмерные нестационарные решения, причем характеристики трехмерных решений хорошо

согласуются с экспериментом по турбулентному тенлодереносу в каналах а трубах.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации получены впервые.

Практическая п^иеость. Полученные о диссертации результаты численного моделирования турбулентных течений вязко'! жидкости в трубах и каналах, результаты расчета турбулентного теплопереяоса могут найти применение для построения математических моделей течений в более слсйкных геометриях,, дахя выработки рекомендаций по управлению турбулеятвьаш режимами течений, а также для тестирошшия новых турбулентных мсдагбЭ замыкания. Разработанные в диссертации алгоритмы интегрирования уравнений Навье-Стокса в цилиндрических координатах при наличии осойениастеб мсгуг найти широкое применение при решении прикладных задач.

Апробация |>a6oisj. Основные результаты дассертацкя докладдсались на научно-Есследовагельских семинарах в IlMi.l РАН, в ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, в Акустическом институте РАН, в ИКИ РАН, на семютре В.Л. Рождественского, В.А. Тунчиева в МГУ, на семинаре Г.И. Ва^кблатта в Институте охеааологан, па ссшшарс Г.Н. Абрамовича в ЦИАМ, па Всесоюзных школах "Нелинейные задачи теории падроданамяческой усгоачнвосга™ (Москва, 19S6, 1988, 1990), на Всесоюзных конференциях "Современные проблемы математической физики и вычислятельеой математики" (Москва, 1984, 1SS6), па Всесоюзной конференции но проблемам турбулентных течений (Ждалев, 1384), на 6-м Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986), на 18-м Симпозиуме по динамике зкщщости (Мрагово, Польша, 1937), на Российско-Японских симпозиумах по вычислительной гидродинамике (Владивосток, 1S32; Tsukuba, Japan, 1990; Kioto, Japan, 1S94), на "5th European Physical Society Liquid State Conference" (Москва, 1989), на "6-th Internat. Symposium on Ccmput. Fluid Dynamics" (Lake Tahoe, Nevada, USA, 1995).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 191 наименования. Работа изложена на 285 страницах машинописного текста, включает в себя 70 рисунков и 30 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введеапга обосновывается актуальность темы дкссергацЕоагсЭ работы, излагаются целя исследования н дается их сбигая харажгерзстйха, формулируются основные результаты ркйоты.

В Пюва 1 излагаются результаты 1гргаои чпелезног» иодсл'.греэалкя турбулентных течений вязкой несашм&ежгЭ тсидасесга в бжяогмчной круглой трубе в — {г = (г,(р,х) : 0 < г < Л,0 < <р < 2гг,|г| < со) при сперхкритячесхок числе Рейпольдса Яс = 4000, определением по средиеЗ сгорает-я и дн&иетру трубы.

Персые два параграфа носят вжздемЭ характер и посюпцеатл выберу математической модели, описывающей течения вязкой жидкости в трубз.* а кать лах, а также обзору предыдущих ребот. В частости, дается оценка результатам линейной теории гидродинамической устойчивости и ее современному состоянию, Обсуждаются имеющиеся нелинейные теории устойчивости, их обоснованность и связь с полученными недавно результатами прямого «стслептего моделирования. Формулируются задачи теории турбулентных течений, которые могут быть решены в рамках моделей, предполагающих периодические граничные условия для скорости в направлении среднего потока. Оценивается их вычислительная трудоемкость а требования к физическому эксперименту, который следовало бы постелить для непосредственного сопоставления с результатами расчетов. Среди таких задач назовем здесь проблему описания турбулентных режимов, характеризующихся высокой степенью перемежаемости.

В третьем параграфе диссертации приводится математическая постановка начально-краевой задачи для уравнепиЯ Навье-Стохса, выписываются их дискретные аналоги, проводятся априорные оценки устоЯчюкхпц и точности предложенной вычислительной схемы.

Задача описания установившихся (статистически-стационарных) турбулентных режимов течений жидкости в С ставится как начально-краевая задача д ля уравнений Навье-Стохса дг

— = -УП + г/Ду + П(у), (1а)

V v = 0, (16)

v|r=K = 0, v|,=0 = V° + v0(r) , Vv0 = 0, (In)

где v = ver + wev + tie, = (v,w,u)T это скорость; D = (D", Dm, D")' = vxb; и = (ojt,(jv,oj,)t = V x v — завихренность; II сголный rratiop; p и v постоянные плотность и кинематическая вязкость, avg^0 — некоторое начальное возмущение течения Пуазейля.

Так как течение однородно в х-направлении, к уравнениям (1) добавляются следующие граничные условия

v(r,i) = v(r)V.,x+X,i), (2а)

П = p,(t)x+p(r,t), p(r,t)=p(r,<p,z+X,t),' (26)

Здесь период в продольном направлении X является параметром математической модели, pr(t) имеет смысл среднего по пространству градиента давления, а уравнение (2в) представляет собой условие постоянства расхода жидкости или, что то же, средней скорости V.

Для дискретизации уравнений Навье-Стокса предлагается вариант метода дробных шагов, тригонометрическая аппроксимация решений и метод Га-леркипа по однородным переменным fax, псевдоснехтральнап полиномиальная аппроксимация с чебышевскими узлами г, = Rcos(vl/2Q), I = 0,1,... ,Q по г. Проводится априорное исследование в линейном приближении свойств устойчивости и точности численною метода. С этой целью рассчитываются и изучаются спектральные характеристики линеаризованных дискретных уравнений Навье-Стокса.

В последнем параграфе Главы 1 приводятся результаты моделирования турбулентных течений. Основные интегральные характеристики турбулентности (коэффициент сопротивления, профили средней скорости течения, сдвиговое и полное напряжения Рейполвдса, интенсивности пульсаций всех грех компонент скорости и завихренности, распределение среднеквадратичных значений пульсаций давления, все члены уравнения баланса кинетической энергии пульсаций и др.) сопоставляются с результатами экспериментов в круглых трубах

и с расчетами других авторов п плоском канале и ногранслое над полубесконечной пластиной.

Статистически-стационарные решения уравнений Навье-Стокса получены при Яс = 4000 для X — тгГ> и X = 2-£>, где И = 2Я. Расчеты проведены на шачительпых промежутках времени соответственно 16.5С/иг и 7.81)/ит с числом базисных функций (С? + 1) х (2N +1) х (2М 4-1) = 33 х 41 х 41 в обоих случаях. Значения минимальш-х разрешаемых в расчете длин волн в продольном А+ ~ 47 и азимутальном А+ ~ 47 направлениях следует сравнить с известными из многочисленных экспериментов характерным продольным Л+ ~ 1000 и поперечным ~ 100 масштабами вихрей в окрестности стенки. Что касается точности описания турбулентного пограислоя по нормали к стенкам трубы, то минимальное и максимальное расстояния между коллокациоиными точками составляют соответственно 0.2 и Дг^, ~ 7. Прн этом, из <3 +1 = 33

узлов сетки на отрезке [0,Я], в вязкий подслой и переходный слой попадает по 7 точек. В качестве начальных условий выбирались поля скорости, полученные нами ранее с меньшим (33 х 9 х 9) разрешением по пространству. Временная эволюция поля течения сохранена в виде базы данных, пригодной для детального анализа характеристик турбулентности.

Некоторое представление о структуре турбулентного потока дают приводимые в диссертации результаты численного моделирования экспериментов но визуализации течения с помощью вносимых в поток водородных пузырьков. Например, ясно видно формирование низко- и высокоскоростных жгутов — типичной структуры турбулентности в пристеночной области течения. Количественные характеристики наблюдаемых структур также хорошо согласуются с ^экспериментальными данными.

В Главе 2 разработало семейство псевдоспектральных алгоритмов численного интегрирования уравнений Навье-Стокса в цилиндрической геометрии для тех случаев, когда область интегрирования содержит координатные сингулярности, а решение может быть разложено в ряд Фурье по азимутальному углу в силу физической симметрии задачи. В качестие модельной для тестирования алгоритмов выбрала задача описания течений вязкой несжимаемой

жидкости в беекокечяоа хрумой трубе. Первые алгоритмы семейства, представляют собой дое простые альтершшзды методу дробных шахов из § 3 Глаг вы 1. Новые алгоритмы вшоолают кзбезаяь присувдсс исходу дробных ийгев неточностей с эдпроксвыьцгщ уравнений Ншюье-Стокса (например, лишь приближенного лыгкмвения услоаза пгошам&емостх). Общими для нах аалкотся тршхшоиетраягккая шшрежешмция решений уравкеккЕ Навкс-Окжса истодом Галеретна по персмешшм икав схеод. Ентеграроеапкя но вргиена: ыйтод Кра'лЕв-Накслеона второго порядгга. для лгггсйлых и яеявп&з схема второго порядка тсиздахк д»я шюше&иых чяггюл ургцженлй Навье-Огокса. Отметим, что дазлйзше исклдотазтся уже после празмзяшт прострапственноЕ десхрсти-зацмз. АлгорЕтьчл отлвчшагся способами; дссаретязацди по г. В одном из цех Еспплюуетсж исевдоспехтральная &ппроксишщи2 с чвбыгаевскими узлами !■] ---- Лсоа(ж-1/2<5); но втором днеергаиацкн уразссний Нааье-Стскса п& пространству щхдагсствует отображение отрезка [О, Л] нь ¡-1,1]. В хачаспл: узлов коллокадцш в последнем случае 5ссп0льзую1с2 кули полиномов Якобя Рд1^(у}, у б (-1,1) я «ш %' = ±1. Покьзаао, что тахак псевдоспгетрвльявл апнрок-евмацня облздьйт дгофепаш глглогом закону сохранения энергия ис?содаой задачи дяд урагшений Навье-Огозсса.

Третей алгоритм семейства предекзихает собой быстрый, точный и в значительной мере универсальный метод интегрирования уравнеашй Навье-Стокса, пригодаиЭ для гшр-гл:стрич:скчх исследований устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе, а также рада сходных проблей. Построенный алгоритм может б.хгь использовал для: (а) прямого численного кдта^праваняя трехмерных неепщкокараых ургашенЕЙ Навье-Стокса, онисывакицю: течения вязеой несжимаемой жи,дкости в цилиндрических координатах при свсрхкритических числах Рейнолвдса; (б) дискретизации и эффективного репхеаая задачи на собстаен-ные значения для линеаризованного оператора Навье-Стокса. В обоих случаях рассмотрение основано на Еснольэовалпн новой замены зависимых переменных для уравнений Навье-Стокса в цилиндрических координатах.

Набор ключевых формул и результаты численного тестирования алгоритма при физически значимых параметрах задачи приводятся в § 6 и § 7. Тестирование включает в себя исследование устойчивости течения Пуазсйля в

круглоЗ трубе как в лтн 'Лг.ои (ио огаошеивдэ г бэсковечко малый возмущениям) так и а общем нелинейном случаях.. В честности, мы праводам результать прямого чкслеяЕого моделиpoEccTia дкгтмрпо-турбудепткоГ';! перехода а круглой трубе кря свср5Хрзтяч;е:с« ЧЕеле РеЯяоладса 4С-00. В тачостве гачзльямх возмущений лемззпргсго течения задавалась ееосесямиетри'лше собственные функции уравиенаЗ Кавм-Огозсса, лзпваризог«шых на параболическом профиле скорости. Временная тоолтоцая копечЕоамллптудаых ЕозмутдсдиЯ рассчитывалась до выхода течеива ка ствтястачесга-сгэддозарвыа турбулентный резхпм. Нагхольта гчм тп«стяо, мо первое пряное моделирования всех стадий л&шетаряо-турбулевпного иерехода в круглой тру€е прч четко определенных, воазроязвпдямых и далеких от конечного турбулентного рсотма. начальных даявых. Таким образом, предлагает*!! алгоритм является готовым к использо-сатаю н достаточно уияверсъяьаым агиярунентом для внеекоточлых исследований каа переходных игроцесг-оз, так и устаатопшшвхса турбулентных режимов течения.

Новый алгоритм оспегет па с»еяя»лкк>$ зямеяе зжьтажмых переменных, которая устраняет с&шуляргость я уравжкгажх я обеспечивает высокуга точность е гичвсвптслкгу» зффахтявпоегь. В отличие от предыдущих алгоритме!» семейства шл требуем, чтобы пе тягало уравнения Наеье-Стокса (заяиезл-яке в новых перемещай) не ямели оообенвостеВ, 20, чтобы я давергеяцгя этих уравнений тмсиг бмла ттесвшуяяркоЯ. Прострпастееяваг дасвретязздия представляет ссбо.1 т; !т!т::0%-;-ргангрегссямацяю по <р з s и ЧебъшезскгЛ метод холлехпцни по r. Лнтегр-гровднге по вресшш ведется с помощью мсто-да КражсаЛЪзолсояа для ашзяпх членов, ие.таного метода Эйлера для давления и схемы предиктор-корректор второго порядка точности дая нелинейных членов. Условие несзгамяемосга точно выполняется па попом слое по ¡временя. Ур&вяенке Пуассона для давления получается из дискретных уравнений Нлг,!.е-Стокса, с помощью эквивалентных матричных преобразований. Результирующая си стала дискретных уравнений может быть решена затем методом матриц влияния с r-коррежцией. В результате мы получаем численный метод, вычислительная трудоемкость которого сравнима с трудоемкостью типичных алгоритмов для уравнений Назье-Стохса в декартовых координатах. Предста-

влешше результаты являются воспроизводимыми: необходимая информация (включая амплитуды и структуру начальных возмущений, параметры физической и математической моделей и т.п.) приводятся в диссертации.

Другим новым результатом Главы 2 является то, что удалось показать аналитически и численно (посредством нового алгоритма), что турбулентные течения в круглой трубе не могут быть описаны решениями, имеющими определенную симметрию, которая формально допускается уравнениями Навьс-Стокса и граничными условиями прилипания и периодичности. В отличие от описанных в литературе аналогичных течений в плоском канале и в нограпелое на нодубесконечной пластине.

В Главе 3 приводятся результаты прямого численного моделирования двумерных и трехмерных напорных течений вязкой несжимаемой жидкости в бесконечном кольцевом канале А = {г = (г,1р,х) : 0 < п < г < г2, 0 < <р < 2тг, \х\ < оо } при сверххритических числах Рейнольдса. Рассматриваются решения, при которых поле скорости является перидической с периодом X функцией переменной г.

В отличие от круглой трубы, в Л удалось рассчитать двумерные нестационарные вторичные решения уравнений Навье-Стокса. Проведено параметрическое исследование вторичных режимов в широком диапазоне чисел Рейнольдса и интервалов периодичности X. Представляя самостоятельный интерес, такие решения лишь качественно верно описывают реальные турбулентные течения. Частотный анализ всех фурье-коэффициентов разложения поля скорости позволил получить ответы на вопросы, касающиеся характера зависимости двумерных решений от времени и продольной координаты х. Прежде всего, на вопрос о том, следует ли из периодичности вторичных решений по I их периодичность по времени. Как оказалось, только коротковолновые вторичные решения являются периодическими функциями времени, представляя собой бегущую в положительном направлении оси х волну с постоянной, пе зависящей от г фазовой скоростью. В случае X » 2я (здесь в качестве единицы длины выбрана полуширина зазора между цилиндрами, образующими кольцевой канал) периодичность пропадает и решение представляет собой волновой пакет. Величина фазовых скоростей волн, составляющих пакет, по-прежнему не зависит от

координаты г.

В трехмерном случае картина еще более усложняется: фазовые скорости волн пакета зависят от г и в ядре потока близки к местной средней скорости течения. Для трехмерных нестационарных решений уравнений Навье-Стокса в кольцевой трубе также получепо хорошее согласие с экспериментом по основным интегральным характеристикам течения: профилю средпей скорости, коэффициенту сопротивления, интенсивностам пульсаций компонент скорости.

В последнем параграфе Главы 3 проведено численное моделирование турбулентного теплопереноса в преде ~ьпом случае плоского канала. Методом непосредственного численного интегрирования уравнений Навье-Стокса и уравнения переноса тепла получены их статистически-стационарные решения, которые в трехмерном случае удовлетворительно описывают важнейшие интегральные характеристики турбулентного теплопереноса.

Главной целью исследования, проведенного в Главе 4, является обнаружение и анализ волновых движений в установившихся сдвиговых турбулентных течениях вязкой несжимаемой жидкости. Для определенности мы рассматриваем модельную задачу о напорных течениях жидкости в бесконечной круглой трубе С. Мы также ограничиваемся рассмотрением числа Рейнольд-са Яе = 4000, определенного по средпей скорости и диаметру трубы. Течения в д при сверххрптических числах Рейнолвдса являются вполне удовлетворительной математической идеализацией установившихся турбулентных течений жидкости в длинных трубах вдали от их входного и выходного сечений. Будучи однородными по координате х такие течения могут быть аппроксимированы численными решепиями уравнепий Навье-Стокса вида М N

"(М)= т, £ итп(г, г) ехр(хатх + ¿пу>), (3)

т=-Мп=-Н

"т„=и-™,-п, От = 2л-т/Атм, I =л/—Т,

где и(г, ¿) это произвольная компонента вектора скорости, а звездочкой помечены комплексно сопряженные величины. Решения (3) полной системы трехмерных уравнений Навье-Стокса — периодические по х с периодом А„„ < оо функции, причем Апи* является параметром математической модели.

Проведено прямое численное моделирование полностью развитого турбулентного течения вязкой несжимаемой жидкости в С. Полученные численно решения принадлежат к классу периодических в направлении среднего потока решений с очень большим периодом А™«, = 1б7гЛ ~ 7460у/ит, где ит — динамическая скорость. Показано, что наибольшей кинетической энергией пульсаций обладают фурье-гармоники, отвечающие очень малым (но ненулевым) продольным волновым числам а = 2)г/(0.5А,1ИИ) = 0.25Й-1 г; 1.7 х 10~*uT¡v. Подобные длинноволновые движения не были разрешены ранее б многочисленных расчетах турбулентных течений в каналах и трубах, проведенных в предположения Апи, < 2500p/ur. Расчеты проведены с достаточно высоким пространственным разрешением (33 х 41 х 321 базисных функций по г, <р, х) на векторном суперкомпьютере Hitachi S-3800/480.

Проводится подробное исследование пространственно-временной структуры рассчитанных турбулентных течений и соответствующих им волновых движений. Анализируется точность и сама возможность аппроксимации турбулентного поля скорости посредством суперпозиции определенных бегущих и стоячих волн. Предлагается следующая упрощенная волновая модель для пульсаций скорости при каждом фиксированном г:

u(r,¿)~ А + С, (4а)

где

А * twM) * ü"""-«(r)cos К. (х - с,(г)i) + ё""".<1)(г)]cos

+um-"-<2)(r)coo [ат.(х - с,(г)£) + Г"*п-(2)(г)1 sinTI.VP (46)

представляет собой стоячую по <р и бегущую по оси г с фазовой скоростью с, (г) волну; а

С~ ua„.(r,<p,t) ~ ü0"-(1>(r)cos|¿D0„.(r)t + §°"-<1'(r)]cosr».VJ+

+fi0-<2>(r) cos (cDo„. (r)t + 0°"-<2>(r)] sin n.<p (4b)

это стоячая по <p волна. Заметим, что амплитуды волн в Л на 20-40 процентов больше, чем в С. Показано, что параметры такого представления (амплитуды волн, фазовые скорости, положение волнового фронта и т.п.) сильно зависят от

включения б математическую модель течения очень малых продольных волпо-вых чисел.

Волна (4) эквивалентна суперпозиции двух пересекающихся спиральных волн с волновыми векторами = (±к„ кш) — (±п,/г, сгт<), где х = ^г — транс-версальпая коорданата вдоль окружности радиуса г. Эти волны имеют одну и ту же (по величине) нормальную скорость с = £',„.„./£ = с, 51117 и одинаковые длины волн А = 2гг/А:, где к — (к\ + Ь')1'2, а -у(г) = 1ап",(*г1/й<) — угол между фронтом волны и осью х. Фазовые скорости волн в трансверсальнсм направлении с, = ±с/соз7 отличаются знаком.

В последнем параграфе Главы 4 проводится изучение геометрических и статистических свойств аттрактора уравнений Навье-Стокса на основа их приближенных трехмерных решений в круглой трубе, полученных со ср&шштелыго невысоким пространственным разрешением (33 х 9 х 9 по г, <р, г). Прозедец-ный анализ позволяет прздположзть, что для рассматриваемо:} маломодовоЗ модели течения мы имеем дело не с квазиперяодеческим движением с большим числом несоизмеримых частот, а с аттрактором копечпоЯ размерности, щим фрактальную структуру.

Всего по результатам диссертации опубликовано 25 работ, па которые я тексте имеются соответствующие ссылки.

Основные результаты опублпховаиы в следу»:цях работах:

1. Пономарев, С.Г., Приймок, В.Г., Рождественский, В.Л. 1956 Вторичпые г.ч;-жимы течений вязкой жидкости в канале кольцевого сечения. ДАН СССР 232, №4, 803-807.

2. Приймак, В.Г., Рождественский, Б.Л. 1987 Вторичные течения вязкой пеожи-маемоЗ жидкости в круглой трубе и их статистические свойства. ДЛИ СССР 297, Ш, 1325-1330.

3. Пономарев, С.Г., Праймах, В.Г., Рождественская, Б.Л. 1283 " чески-стаяяонартше решения уравнений Навье-Стокса в згип-цстс: /¡..а. .. Гидродинамические характераспска и пространствеяно-врекем!'-;:? стр-.'^гура. ЖВМ и Л/Ф 28, 1354-1366.

4. Пономарев, С.Г., Приймак, В.Г., Рождественский, Б.Л. 1989 Моделирование теплопереиоса при турбулентных режимах течений вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале. ДАН СССР 306, №3, 570-674.

5. Priymak, V.G. 1990 Navier-Stokes simulation of turbulent viscous fluid flows in pipes: algorithms, turbulence statistics, space-time structure, attractors. In Proc. II Jipan-Soviet Union Joint Symp. on Comput. Fluid Dynamics (Tmikutm, Aug. 27-31, 1990), Tsukuba, 124-131.

6. Нркйкак, В.Г. 1991 Результаты и возможности прямого численного моделирования турбулентных течений вязкой жидкости в круглой трубе. ДАН СССР 316, Х«1, 71-76.

7. Малинецкий, Г.Г., Поталов, А.Б., Приймах, В.Г. 1991 О возможности описания турбулентных течений вязкой жидкости аттрактором конечной размерности. ДАН СССР 316, №, 1101-1106.

8. Приймак, В.Г. 1992 Семейство псевдоспектральных алгоритмов интегрирования уравнений Наоье-Стокса в цилиндрической системе координат. ЖВМ и МФ 32,1291-1309.

9. Priymak, V.G. S¿ Miyazaki, Т. 1Э94 Long-wave motions in turbulent shear flows. Phys. Fluids 6, 3454-3464.

10. Priymak, V.G. it Miyazaki, T. 1995 Efficient implementation of influence matrices and collocation technique in cylindrical coordinates. In Proc. 6th Interest. Symposium on Computational Fluid Dynamics (Sept. 4 8,1995, Lake Taboo, Nevada U.S.A.), 2, 958-963.

11. Приймак, В.Г., Миязакн, Т. 1995 Упрощенная волновая модель турбулентных пульсаций скорости п сдвиговых течениях вязкой жидкости. Доклады РАН 340, К'З, 319-324.

Í2. Priymak, V.G. 1995 Pseudospectral algorithms for Navier-StoVes simulation of turbulent Sows in cylindrical geometry with coordinate singularities. J. Comput. Phys. 118, 366-379.