Краевые задачи и оптимизация для стационарных моделей несжимаемой жидкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Основные обозначения

Г л а в а I. Краевые задачи для уравнений движения однородной жидкости

§ 1 Постановки задач.

§ 2 Некоторые оценки норм вектор-функций из пространства Н1(П)

§ 3 Смешанная краевая задача.

§ 4 Односторонняя краевая задача.

§ 5 Задание нормальных составляющих лапласиана, вихря и вектора скорости

Г л а в а II. Краевые задачи для уравнений движения неоднородной жидкости

§ 1 Краевая задача для уравнений Навье-Стокса неоднородной жидкости

§ 2 Доказательство теоремы существования решения.

§ 3 Краевая задача для диффузионной модели неоднородной жидкости

§ 4 Доказательство теоремы существования решения.

§ 5 Регулярность решений

Глава III. Оптимальное управление уравнениями Навье-Стокса однородной жидкости

§ 1 Постановка задачи.

§ 2 Существование решений

§ 3 Вывод системы оптимальности

§ 4 Аппроксимация решений при малых Re. Случай А > 0.

§ 5 Аппроксимация решений при малых Re. Случай Л = 0.

Глава IV. Оптимальное управление уравнениями Навье-Стокса неоднородной жидкости

§ 1 Постановка задачи.

§ 2 Существование решений

§ 3 Необходимые условия оптимальности

§ 4 Обоснование системы оптимальности.

В диссертации изучаются краевые задачи и задачи оптимального граничного управления для стационарных уравнений вязкой несжимаемой однородной и неоднородной жидкости. Рассматриваются следующие вопросы.

• Разрешимость неоднородных краевых задач для уравнений Навье-Стокса однородной жидкости при любых числах Рейнольдса.

• Существование и регулярность решений краевых задач для уравнений неоднородной жидкости.

• Аппроксимация решений задачи оптимального граничного управления системой Навье-Стокса однородной жидкости решениями линейных задач.

• Оптимальное граничное управление системой Навье-Стокса неоднородной жидкости (существование решений, необходимые условия оптимальности).

Краткий обзор предыдущих исследований

Одной из основных моделей гидродинамики является система уравнений Навье-Стокса, описывающая течение вязкой неоднородной несжимаемой жидкости:

Здесь и далее Q — область течения жидкости, 0 < р. = const — коэффициент динамической вязкости жидкости, и — вектор скорости течения, р —- давление, р — плотность жидкости, / — плотность внешних сил, действующих на жидкость.

На сегодняшний момент, система (1) наиболее полно исследована в случае однородной жидкости. При р = const её можно записать в виде: р - + (и • V)u = /хДи — Vp + pf в fi, div и = О, — + и ■ Vp = 0 в il.

1) dt + (и ■ V)u = иАи - Vp + /, div и = 0 в SI. у L

Здесь v — коэффициент кинематической вязкости.

Математическое изучение корректности начально-краевых задач для системы (2) началось с работы Ж. Лерэ [98]. Различные теоретические вопросы, связанные с уравнениями (2), изложены в монографии О.А. Ладыженской [33].

В стационарном случае система (2) (после обезразмеривания) принимает вид: и • V)u = т^-Аи - Vp + /, div и = 0 в П. (3) пс

Здесь Re — безразмерное число Рейнольдса. Наиболее полно исследована краевая задача с условием Дирихле для вектора-скорости на границе Г области П: г -9- (4)

Первое исследование задачи (3), (4) принадлежит Одквисту [102] и Лихтенштейну [100] и основывается на методах теории потенциалов. Одквист и Лихтенштейн доказали, что если диаметр П достаточно мал, то существует единственное решение задачи (3), (4).

Дальнейший этап составила работа Ж. Лерэ [98], в которой получены априорные оценки решения задачи (3), (4). Эти оценки и полученные впоследствии результаты Лерэ и Шаудера [99] о разрешимости нелинейных интегральных уравнений привели к доказательству теоремы существования решений без каких-либо ограничений типа малости.

Следует отметить, что Лерэ и его предшественники изучали классическое решение задачи. Это предполагает определенную гладкость границы области течения и внешних воздействий. Всякий раз, когда мы хотим рассмотреть течение жидкости в области с нерегулярной границей, имеющей ребра, углы и другие особенности, или движение под действием негладких внешних сил и т. д., возникает необходимость в расширении понятия решения уравнений Навье-Стокса. Этому вопросу посвящены работы И.И. Воровича и В.И. Юдовича [9], [10], О.А. Ладыженской [32], Фужита [85] в которых доказывается существование обобщенного (слабого) решения задачи (3),

4).

Кроме (3), (4) существует ряд других задач для стационарной модели (3). В.В. Ра-гулин в [43] рассматривал уравнения (3) с краевыми условиями: и = 0 на Г0, и х. п = 0, <j? = /t на Ti = Г \ Г0.

Здесь и далее q = |u|2/2-fp — полный напор течения жидкости, п — единичный вектор внешней нормали к Г. В двух заметках О. Pironneau и др. [70,103] был сформулирован ряд задач для системы Навье-Стокса (3), а также для системы Стокса: иАи + Vp = /, div и = 0, и анонсированы некоторые результаты о разрешимости поставленных задач. В общем случае рассмотренные краевые условия имеют вид: и — д на Ti, ихп = дхп, q — h на Г2, (5) и ■ п — д • п, rot и х п = I х п на Гз,

Здесь 1\, Г2, Г3 — открытые попарно непересекающиеся множества на Г, Г = Г1 U Г2 U Гз. Полное исследование задач было выполнено авторами в [78]. Ими было доказано существование обобщенных решений задачи (3), (5) в случае д = 0 либо число и достаточно велико. В [78] также указан ряд физических ситуаций, которые приводят к изучению краевых задач вида (3), (5). Уравнения Навье-Стокса или Стокса с граничными условиями типа (5) изучались также в [71,81,88,89,108]. В [89] рассмотрены также уравнения (3) с граничными условиями: и • п = 0, rottf-n = 0, Аи • п = 0 на Г. (6)

Моделирование нелинейных краевых условий привело к исследованию односторонних краевых задач для уравнений Навье-Стокса, теория которых начала разрабатываться Ж.Л.Лионсом [38,101] и А.В.Кажиховым [23]. В дальнейшем это направление развивали многие авторы. А.Ю. Чеботарев в [75] рассматривал стационарные уравнения однородной жидкости (3) (в [63] стационарные уравнения неоднородной жидкости (8)) с субдифференциальными краевыми условиями, частным случаем которых являются и = 0 на Гх, и-п< 0, (и ■ n)(q — К) = 0, q>h, ихп = 0 на Г2, (7) и-п> 0, (и ■ n){q-h) = 0, q < h, иХп = 0 на Г3.

Подчеркнем, что в указанных выше работах существование решений краевых задач для системы Навье-Стокса с граничными условиями отличными от (4) доказывалось либо для случая однородных граничных условий для вектора скорости, либо при достаточно малом числе Рейнольдса.

Интерес к модели неоднородной жидкости (1) обусловлен её важностью для таких разделов прикладной гидродинамики, как океанология и гидрология. На её основе решён ряд важных для практики задач, многие из которых приведены в монографии [110]. Впервые система (1) как модель для описания морских течений была сформулирована, по-видимому, в [27].

Начально-краевые задачи для нестационарной модели неоднородной жидкости (1) исследовались рядом авторов. Существование слабых решений на любом временном интервале было доказано А.В. Кажиховым [23-25]. Различные аспекты теории уравнений (1) и некоторых других моделей неоднородной среды, а также обзор литературы по этой теме можно найти в монографии С.Н. Антонцева, А.В. Кажихова, В.Н Монахова [4].

Краевая задача для стационарного аналога модели (1)

-цАи + р(и ■ V)u + Vp = pf, div и = 0, и • Vp = 0 в П, (8) впервые была изучена Н.Н.Фроловым в [49] для двумерного случая и в [50] для трёхмерного случая. Уравнения (8) с субдифференциальными краевыми условиями рассматривались А.Ю. Чеботаревым [63]

Кроме (1) существует ряд других моделей гидродинамики, которые более точно учитывают неоднородный характер состава реальных смесей. Одна из них была предложена В.Н. Игнатьевым, Б.Г. Кузнецовым [14], а также А.В. Кажиховым, Ш. Смагуловым [26] и имеет вид:

Р (+ (и • V)u ) - Х(УР • V)« - А (и ■ V)'Vp = рАи + pf - Vp,

Vai ; dp (9) div и = 0, + и ■ Vp = А Др.

Уравнения (9) являются упрощенной математической моделью, описывающее движение двухкомпонентной смеси с учетом диффузионного массообмена между частицами среды с разной плотностью, 0 < А — коэффициент диффузии в законе Фи-ка. Начально-краевые задачи для системы (9) рассматривались А.В. Кажиховым, Ш. Смагуловым [26] (см. также [4]). Исследования стационарных задач для системы уравнений (9) ранее не проводилось.

Следующий этап в изучении задач гидродинамики — исследование задач оптимизации течений. В работах А.В. Фурсикова [52-54] впервые рассмотрены задачи управления для нелинейных уравнений гидродинамики в отсутствии теорем об однозначной разрешимости управляемой системы. В дальнейшем это направление развивали многие авторы. Среди них Ж.-Л. Лионе [37], М. Gad-el-Hak [91], F. Abergel, R. Temam [65], M. Gunzburger, L. Hou, T. Svobodny [92-94], S. Sritharan [104,105]. H. Fattorini, S. Sritharam [83], А.Ю. Чеботарев [55-57,59-62,66,77]. M. Desai, K. Ito [80], E. Casas [73,74], T. Svobodny [106], R. Temam [107]. J. Burkardt, J. Peterson [72], Г.В. Алексеев [3], Д.А. Терешко [2,67], Hyung-Chen Lee, O.A. Иммануилов [97].

В работах этих авторов изучались задачи оптимального управления стационарными и эволюционными системами Навье-Стокса однородной жидкости, а также уравнениями вязкой теплопроводной жидкости. Отметим, что насколько известно автору задачи оптимального управления для стационарных уравнений неоднородной жидкости ранее не исследовались. В статьях Е.В. Лукиной [30,39] рассмотрены задачи оптимального управления нестационарным движением вязкого баротропного газа.

В общем случае, задачи оптимального управления для уравнений гидродинамики можно сформулировать как задачи условной минимизации, в которых в качестве уравнений состояния выступают уравнения гидродинамики. В указанных выше работах в качестве управлений рассматривались граничные значения различных гидродинамических параметров (вектор скорости, полный напор, давление, температура и т. д.), а также распределенные управления (плотность внешних сил, действующих на жидкость, или плотность распределенных источников тепла). Главное внимание уделялось следующим вопросам:

1. существование и единственность решений;

2. необходимые и достаточные условия оптимальности, система оптимальности;

3. численные алгоритмы решения.

Несмотря на значительное количество работ посвященных теоретическому исследованию уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости, ряд вопросов оставался открытым. В частности, в стационарных моделях несжимаемой жидкости нерешенными оставались следующие проблемы.

1) Существование решений неоднородных краевых задач с граничными условиями отличными от (4) при любых числах Рейнольдса.

2) Учет неоднородности жидкости. В частности, эффекты связанные с диффузионными массообменом между частицами среды с разной плотностью.

Эти проблемы решаются в настоящей диссертации. Существование решений краевых задач доказывается на основе полученных модификациях и обобщениях известной леммы Хопфа.

Полученные при исследование краевых задач априорные оценки решений позволили провести исследование задач оптимального управления стационарными течениями вязкой несжимаемой жидкости. В работе была поставлена задача об управлении системой Навье-Стокса неоднородной жидкости (8). Ранее такие задачи исследовались только в случае однородной среды. Кроме того, с точки зрения приложений, важен вопрос об аппроксимации решений задач оптимизации. Данная проблема в диссертации решается на основе итерационного алгоритма решения системы оптимальности.

Краткое описание результатов диссертации

По своей структуре диссертация состоит из введения, четырёх глав и списка литературы.

1. Быховский Э.В., Смирнов Н.Б. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области. ТрудыМИАН СССР. 1960. Т. 59. С. 6-36.

2. ВАЙНБЕРГ М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1972. 416 с.

3. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. 512 с.

4. Ворович И.И., Юдович В.И. Стационарное течение вязкой жидкости // Докл. АН СССР. 1959. 124. С. 542-545.

5. Ворович И.И., Юдович В.И. Стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости // Матем. сб. 1961. 53 (95). С. 393-427.11. гилбарг Д., трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989. 464 с.

6. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980.

7. ЗеЙТУНЯН Р.Х. Корректность задач динамики жидкостей (гидродинамическая точка зрения) // УМН. 1999. Т. 54. Вып. 3(327). С. 3-92.

8. Игнатьев В.Н., Кузнецов Б.Г. Диффузионная модель турбулентного слоя с полимером // Численные методы механики сплошной среды/Институт теоретической и прикладной механики. Новосибирск, 1973. Т. 4, № 4. С. 78-87.

9. ИЛЛАРИОНОВ А.А. О регулярности решений краевой и экстремальной задачи для уравнений Навье-Стокса // Дальневосточный матем. сб. 1999. Вып. 8. С. 95-109.

10. ИЛЛАРИОНОВ А.А. Разрешимость стационарной краевой задачи в диффузионной модели неоднородной жидкости // Сиб. журн. индустр. матем. 2000. Т. 3, № 1(5). С. 115-123.

11. ИЛЛАРИОНОВ А.А. Асимптотика решений задачи оптимального управления для стационарных уравнений Навье-Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40, № 7. С. 1061-1071.

12. ИЛЛАРИОНОВ А.А. Оптимальное граничное управление стационарным течением вязкой неоднородной несжимаемой жидкости // Матем. заметки. 2001. Т. 69. Вып. 5. С. 666-678.

13. ИЛЛАРИОНОВ А. А. О разрешимости краевых задач для стационарных уравнений Навье-Стокса // Дальневосточный матем. журн. 2001. Т. 2. № 1. С. 16-36.

14. Илларионов А.А., Чеботарев А.Ю. О разрешимости смешанной краевой задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, № 5. С. 689-695.

15. ИЛЛАРИОНОВ А.А. Об асимптотике решений задачи оптимального управления для стационарных уравнений Навье-Стокса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41, № 7. С. 1045-1056.

16. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

17. КАЖИХОВ А.В. К теории краевых задач для уравнений неоднородной вязкой несжимаемой жидкости. В кн.: Тр. V Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. Ч. II. Новосибирск: изд. ВЦ СО АН СССР, 1975. С. 65-76.

18. КАЖИХОВ А.В., СМАГУЛОВ Ш. О корректности краевых задач в одной диффузионной модели неоднородной жидкости // Докл. АН СССР. 1977. Т. 234, № 2. С. 330-332.

19. КИТКИН П.А. О динамике морских и океанических течений // Докл. АН СССР. 1953. Т. 92, № 2. С. 293-296.

20. КОНДРАТЬЕВ В.А., ОЛЕЙНИК О.А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // УМН. 1983. Т. 38. Вып. 2(230). С. 812-815.

21. Кондратьев В.А., Эйдельман С.Д. Об условиях на граничную поверхность в теории эллиптических граничных задач // Докл. АН СССР. 1979. Т. 246, № 4. С. 812-815.

22. КОНОВАЛОВА Д.С., ЛУКИНА Е.В. Оптимальное стартовое управление течениями вязкого газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 3. С. 451-472.

23. КУФНЕР А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1988.32. ладыженская О.а. Исследование уравнений Навье-Стокса в случае стационарного движения несжимаемой жидкости // УМН. 1959. Т. 14. Вып. 3. С. 75-97.