Численное решение задач механики сплошной среды, сводящихся к уравнениям типа Навье-Стокса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.'.

ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ ОЦЕНКИ СЕТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

ГЛАВА 2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЕТОЧНЫХ ЛИНЕЙНЫХ

ЗАДДЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ . 3 &

§1. Итерационные методы для решения задачи Стокса и бигармонического уравнения

§2. Итерационные методы для решения задач теории упругости . . 5"?

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ

ГИДРОДИНАМИКИ.

§1. Численные методы расчета уравнений Навье-Стокса

§2. Численные методы решения задачи конвекции жидкости.

Значительная часть математических моделей, описывающих свойства сплошной среды, представляет собой краевые задачи для систем уравнений в частных производных "2,53 Д с теми или иными условиями на границе области. При этом оказывается, что большая часть краевых задач не имеет сколь-нибудь простых решений, которые могли бы быть выписаны в явном виде даже в областях несложной формы. В этой ситуации в настоящее время наиболее часто используемым аппаратом исследования свойств решения, а также получения конкретных решений с некоторой точностью является нахождение приближенных решений этих задач при помощи численных методов с использованием ЭВМ. Однако, во многих случаях построение разностных схем для сложных краевых задач, а также решение получающихся систем алгебраических уравнений является нетривиальной задачей и требует тщательного математического обоснования хотя бы на простейших моделях.

Настоящая работа посвящена построению устойчивых разностных схем для уравнений теории упругости и гидродинамики и исследованию методов решения получающихся систем алгебраических уравнений.В силу того что в задачах линейной теории упругости, динамики вязкой несжимаемой жидкости, конвективных течениях линейная часть уравнений имеет один и тот же вид, для решения всех этих задач был применен единый подход. Его особенность состоит в том, что предлагаемые двухслойные методы для решения получающихся систем алгебраических уравнений, а также двухслойные разностные схемы для расчета нестационарных задач обладают несимметрическим оператором перехода от слоя к слою. Этот г5акт не позволил применить для исследования их сходимости традиционные методы ï-l > 5" Я ^ . Для исследования скорости сходимости понадобилось развить новый аппарат, который использует энергетические оценки и позволяет оценить норму оператора перехода. В конечном итоге это дало возможность оценить скорость сходимости предлагаемых итерационных процессов, а также устойчивость некоторых разностных схем для расчета нестационарных задач. Следует отметить, что подобные итерационные процессы предлагались и ранее ^5 8, ¿о"} > однако оценки скорости сходимости и оптимизация итерационных параметров в исследованиях отсутствовали.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Глава I носит вспомогательный характер и содержит доказательство сеточного аналога неравенства

Основные результаты диссертации следующие:

1. Для задачи Стокса в области, являющейся объединением конечного числа прямоугольников, построена устойчивая разностная схема второго порядка аппроксимации. Для решения полученной системы линейных алгебраических уравнений предложены и математически обоснованы быстрые алгоритмы решения с асимптотикой числа арифметических операций

2. Изучен вопрос о сведении первой краевой задачи для бигармоничес-кого уравнения к задаче Стокса. Доказано, что для нахождения решения этой задачи достаточно в случае и - связной области V) раз решить задачу Стокса. Таким образом, в работе построен метод решения первой краевой задачи для бигармонического уравнения с асимптотикой числа арифметических операций 0(( & £ 0 .

3. Построена разностная схема, аппроксимирующая первую краевую задачу линейной теории упругости в случае неоднородной изотропной среды. Предложен и математически обоснован итерационный процесс с конечной скоростью сходимости, не зависящей от поведения в области коэффициента Пуассона упругой среды <Г . В частности, допускаются случаи, когда С^О,? в части области. Количество арифметических операций, необходимых для получения решения сеточной задачи с точностью , по порядку равно О (( С*) I Ы ¿к £ 1 )

4. Построена разностная схема, аппроксимирующая стационарную систему уравнений Навье-Стокса в естественных переменных со вторым порядком. Для решения полученной системы нелинейных алгебраических уравнений предложен итерационный процесс. Доказано, что итерации в совокупности ограничены. Если кроме этого правая часть и коэффициент вязкости удовлетворяют некоторому соотношению,, которое естествен но возникает при исследовании единственности решения, то итерационный процесс сходится со скоростью геометрической прогрессии. При этом скорость сходимости по порядку будет той же, что и в случае линейной задачи Стокса. Число арифметических операций на каждом шаге с точностью до логарифмического множителя пропорционально числу узлов сетки.

5. Для нестационарной системы уравнений Навье-Стокса в естественных переменных построена разностная схема, аппроксимирующая эту задачу и обладающая тем свойством, что сеточное уравнение неразрывности выполняется в каждой точке с наперед заданной точностью. Предложен и исследован экономичный алгоритм, реализующий эту разностную схему.

6. Построена разностная схема, аппроксимирующая стационарную систему уравнений, описывающих конвективные течения. Исследован итерационный процесс для нахождения решения системы нелинейных сеточных уравнений. Доказано, что итерации в совокупности ограничены. Если кроме этого исходные данные удовлетворяют некоторым естественным соотношениям, которые обеспечивают единственность решения, то итерационный процесс сходится.

Проведенные на примере задачи о течении жидкости в прямоугольной каверне расчеты показывают быструю сходимость методов.

1. Еабенко К.И., Введенская Н.Д., Орлова М.Г. Расчет стационарно-го обтекания кругового цилиндра вязкой жидкости. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1975, т. 15, №1, с. 183-196.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы, т.1. М.:Ыаука, 1973.

3. Еелоцерковский О.Ы. Вычислительный эксперимент: прямое численноемоделирование сложных течений газовой динамики на основе уравнений Эйлера, Навье-Стокса и Еольцмана. В кн.: Численные метода в динамике жидкостей. !;!.: Мир, 1981, с. 348-398.

4. Еелоцерковский О.М., Гущин В.А., Щенников В.В. Метод расщепления в применении к решению залач динамики вязкой несжимаемой жидкости. вычисл. матем. и матем. физ., 1975, т. 15, № 2,с. 197-207.

5. Еелоцерковский ОД;., Давыдов 10.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. I-,;.: Наука, 1982 .

6. Еелухина И.Г. Разностные схемы для решения некоторых статических задач теории упругости. Ж. вычисл. матем. и матем. физ.1968, т.8,!!° 4,с. 808-823.

7. Рраиловская И.Ю., Кускова Т.В., Чудов Л.А. Разностные методы решения уравнений Навье-Стокса. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып. XI, М.: Изд-во МГУ, 1968, с. 3-18.

8. Валединский В.Д. Численное решение задачи теории упругости о контакте сжимаемой и несжимаемой сред. Вест. Моск. ун-та, сер. 15, вычисл. матем. и кибернетика, 1980,го 2,с. 3-12

9. Еершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.; Наука, 1972.

10. Грязнов В.Л., Полежаев В.И. Исследование некоторых разностных схем и аппроксимаций граничных условий для численного решения уравнений тепловой конвекции .-М.; 1974, препринт Р 40, Ин-т пробл. мех. АН СССР.

11. Дородницын А.А., Меллер Н.А. О некоторых подходах к решению стационарных уравнений Навье-Стокса.- Ж. вычисл. матем. и матем, физика., 1968, т.8, №2, с. 393-402.

12. Дьяконов Е.Г. О применении эквивалентных по спектру операторов для решения разностных аналогов сильноэллиптических систем. -Докл. АН СССР, 1965, т.163, №6, с. 1314-1317.

13. Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач.- М.:Изд-во МГУ, т. I, 1971.

14. Дьяконов Е.Г. Об одном итерационном способе решения систем конечно-разностных уравнений.-Докл. АН СССР, 1961, т. 138,№ 3, с. 522-525.

15. Капорин И.Е., Николаев Е.С. Метод фиктивных неизвестных для решения разностных эллиптических уравнений в нерегулярных областях. Дифференциальные уравнения, 1980, т. 16, К" 7, с.12П-1225.

16. Карчевский М.М. Об одном классе итерационных методов решения первой краевой задачи для разностного бигармонического уравнения. В кн.:Вычисления с разреженными матрицами. Новосибирск: ВЦ СО АЕ СССР, с. 73^79 .

17. Кобельков Г.М. Об одном итерационном методе решения разностной задачи Стокса. Труды семинара Г.И.Марчука., 1975, препринт № 19, ВЦ СО АН СССР, с. 3-9.

18. Кобельков P.M. Об эквивалентных нормировках подпространств fW^vt* MaiiUmoiuux, , 1977, т.З, с. 177-186.

19. Кобельков Г.М. О численном методе решения задачи Стокса.

20. Ж. вычисл. мат ем. и мат ем. спиз., 1975, т. 15, i;o 3, с. 766-789.

21. Кобельков P.M. Об одном итерационном методе решения разностных задач теории упругости. Докл. АН СССР, 1977, т. 233,1. Г° 5, с. 776-779.

22. Кобельков P.M. Решение задачи о стационарной свободной конвекци -Докл. ЛИ СССР, I960, т. 255, ¡¡J 2, с. ¿77-282.

23. Кобельков Г.М. О методах решения уравнений Навье-Стокса. -Докл. АН СССР, 1976, т. 243, Р 4, с. 843-646.

24. Кобельков P.M. Об одном итерационном методе решения стационарного уравнения Навье-Стокса. Вестн. Моск. ун-та, сер. 15, вычисл. матем. и кибернетика, 1980, !'Q I, с. 3-13.

25. Кобельков P.M. Итерационные процессы для некоторых классов разностных схем. В кн. Численные методы механ. сплошной среды, Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1981, т. 12, W 6, с. 38-48.

26. Кобельков Г.М. Методы расщепления для уравнений Навье-Стокса. УМН, IS8I, т.36, вып. 4 (220) .

27. Кобельков Г.М. Об одном итерационном методе решения стационарного уравнения Навье-Стокса. В кн. Вариационно-разностные методы в математической физике. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1981, с. 74-82.

28. Кобельков Г.М. О теоремах существования для некоторых задач теории упругости.- Матем. заметки, 1975, т.17 №4,с.599-609.

29. Кудрявцев JI.Д. Курс математического ннализа, т. 2, М.; 1981.

30. Коновалов А.Н. Разностные методы расчета плоских задач теории упругости.-Тр. МИАН, 1966, т. 74, с. 38-54.

31. Кураев Г.II. Задача о стационарной свободной конвекции при нелинейных граничных условиях. Ж. вычисл. матем. и матем. шиз. 1978, т. 18, Р 3, с. 784-789.

32. Кураев Г.Н. Разностный метод решения сопряженной задачи нестационарной конвекции при нелинейном теплообмене на границе. -Вестн. Моск. ун-та, сер. 15, вычисл. матем. и кибернетика, 1978, Р 4, с. 81-93.

33. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М. ; Наука, 1970.

34. Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.; Гостехиздат, 1953.

35. Ладыженская O.A., Солонников В.Л. О некоторых задачах векторного анализа и обощенных постановках краевых задач для уравнений Навье-Стокса. Записки научн. сем. ЛОМИ, 1976, т. 59,с. 81-118.

36. Ладыженская O.A., Кживицкий А. Метод сеток для нестационарных уравнений Навье-Стокса. Труды МИАН, 1962, т. 92, с. 93-99.

37. Лебедев В.И. Метод сеток для уравнений типа Соболева. Докл. АН СССР, 1956, т. 114, № 6, с. II66-II69.

38. Лебедев В.И. О методе сеток для одной системы уравнений в частных производных,-Изв. АН СССР, сер. матем., 1958, т. 22, !!? 5, с. 717-734.- iiS

39. Лебедев В.И. Итерационные методы решения линейных операторных уравнений и многочлены, наименее отклоняющиеся от нуля.-В кн. Матем. анализ и смежные вопросы матем. Новосибирск: Наука, 1978, с.89-108.

40. Лебедев В.И., Финогенов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в Чебышевском циклическом итерационном методе.-Ж. вычисл. матем. и матем. физ.,1971,т.II,№2.

41. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости.- М.:Наука, 1982.

42. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.- М.:Наука,1977.

43. Мацокин A.M. Метод фиктивных компонент и модифицированный разностный аналог метода Шварца.- В кн. Вычисл. методы линейной алгебры, 1980,Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, с.66-78.

44. Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала.-М.-Л.: Гостехиздат, 1952.

45. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука,1969.

46. Орлов В.П., Соболевский П.Е. О некоторых теоремах вложения для весовых пространств.- Тр. семинара С.Л.Соболева, 1977, №1, с.71-107.

47. Полежаев В.И. Нестационарная ламинарная тепловая конвекция в замкнутой области при заданном потоке тепла,- МШиГ, 1970, №4, с.109-117.

48. Ривкинд В.Я. Сеточный метод решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости.- Труды МИАН, 1973,т.125, с.173-186.

49. Рождественский Б.Л. О применимости разностных методов решения уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса,-Докл. АН СССР, 1973, т.211, №2, с.308-311.

50. Роуч П. Вычислительная гидродинамика.- М.: Мир, 1980.

51. Самарский А. А. Экономичнце разностные схемы для гиперболической системы уравнений со смешанными производными и их применение для уравнений теории упругости.- Ж.вычисл. матем. и матем. физ., 1965, т.5, №1, с.34-43.

52. Самарский А.А. Теория разностных схем.- М.: Наука, 1977.

53. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.- М.: Наука, 1978.

54. Седов Л.И. Механика сплошной среды. т.1,М.: Наука, 1973.

55. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т.2, М.: Наука, 1973.

56. Смагулов Ш. 0 параболической аппроксимации уравнений Навье-Стокса.- В кн. Численные методы механ. сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1979, т.10, К, с.137-149.

57. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса.- М.: Мир, 1981.

58. Фрязинов И.В. Консервативные разностные схемы для уравнений несжимаемой вязкой жидкости в криволинейных ортогональных координатах.- Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1982, т.22, №5, с.1195-1207.

59. Явушкин В.И. Итерационный метод численного решения двумерной задачи Стокса.- В кн. Материалы Всесоюзной студенческой конференции. Матем. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977.

60. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

61. A Y-^ou;— HWZ.UH-C.IZ . ¿и. вск^ал. сы+J Уилл, ¡¿¿-ил&х. ^ixx^1гл-илил^и^ . ^CUA^^CJ LLRXсге^^Л-^

62. С ъогеих M. £t udé A' UVIA wètUe Je L^UtU^iio^ .ies Je SiojLuvttfAlovtn. . ^yptlc&tio*U «xtx ¿cyuaÂLoK-b. Je.

63. Hclu-U*.- 5tJku <ÂJhomvt^Lw . Pa/z^ , Iftl A , Ne. 12.

64. G £ . 1/leCfitx, J" ^сул^а^Ь^ои^ а-лл-Х Лj>aJutie. tt*. Рчм*«, Je l'il^^l MoJsoLJ, iSCS.tél. TLo^a-i^d. 7. ^eJL

65. Кобельков Г.M. О численном решении задачи стационарной конвекции в естественных переменных. Материалы семинара Отдела вычислительной математики, 1983, препринт №57, М., АН СССР, с. 1-28.