Метод коллокации и наименьших квадратов решения краевых задач для уравнений Навье-Стокса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ И НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ (КНК) ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СТОКСА

1.1. Постановка задачи.

1.2. Приближённые уравнения.

1.3. Тестирование.

1.4. Расчёт течения в прямоугольной каверне с движущейся верхней границей.

Уравнения Навье —Стокса являются основными дифференциальными уравнениями динамики вязкой несжимаемой жидкости. Они определяют одну из важнейших моделей в механике сплошной среды, которая описывает движения широкого класса реальных жидкостей. Однако решение краевых задач для уравнений Навье — Стокса представляет собой сложную задачу вычислительной гидродинамики. В этих уравнениях при старших производных присутствует малый параметр ^ (Re — число Рейнольдса), вследствие чего в области решения возникают особенности. Кроме того, эти уравнения содержат нелинейные члены. Поэтому по возможности стараются использовать различные упрощающие предположения и редуцировать уравнения Навье—Стокса к более простой форме и тем самым упростить вычислительную задачу. Так, при обтекании тел вязкой жидкостью в области течения присутствует ярко выраженная подобласть — зона пограничного слоя, которая описывается упрощенными уравнениями Навье —Стокса. Однако в задачах с отрывными зонами течение за отрывом оказывает значительное влияние на характер распределения давления вверх по потоку от области отрыва. Таким образом, давление, принимаемое в качестве независимого граничного условия в теории пограничного слоя, становится величиной существенно переменной, и приближение пограничного слоя перестает быть справедливым. Влияние отрыва на распределение давления вверх по потоку от точки отрыва в общем случае невозможно оценить без расчета поля течения в целом, включая как пограничный слой, так и область возвратных потоков. Поэтому для расчетов отрывных течений следует использовать полные уравнения движения — уравнения Навье —Стокса [2]. Многие численные методы, которые хорошо зарекомендовали себя при решении задач для других уравнений, работают плохо при их приложении к уравнениям Навье — Стокса. Известны несколько приемов, такие как введение «малых» членов с искусственной сжимаемостью или членов с дополнительной вязкостью, которые меняют свойства уравнений Навье — Стокса и упрощают ситуацию для применения известных численных методов. Но наличие членов с искусственной вязкостью в численной модели соответствует увеличению физической вязкости в исходной дифференциальной модели Навье —Стокса и подменяет исходную физическую задачу. Кроме того, поскольку в численное решение вносится еще и погрешность аппроксимации дифференциальных операторов уравнений Навье —Стокса, то оценка вклада в погрешность решения введенных искусственных членов представляется трудной задачей. Это и другие обстоятельства позволяют утверждать, что необходим поиск новых численных методов решения задач о течении вязкой жидкости.

В настоящей работе предложен сеточный метод коллокации и наименьших квадратов (КНК) решения краевых задач для уравнений Навье — Стокса. Он основан на совместном применении метода коллокации и метода наименьших квадратов для нахождения численного решения.

Метод коллокации прост в реализации и дает хорошие результаты при решении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), как линейных, так и нелинейных [9,44,45,51,76], и «нежестких» эллиптических задач на равномерных сетках. Этот метод интенсивно исследовался во многих работах [28,50,51,77]. В 1970-х годах У. Ашером, Р.Д. Расселлом и Дж. Кристиансеном (U. Ascher, R.D. Russell, J. Christiansen) был создан эффективный пакет программ COLSYS [45] решения систем ОДУ смешанно- го порядка. Он явился мощным вычислительным инструментом и пользуется популярностью и в наши дни [40].

Однако на сетках с сильным локальным измельчением при применении этого метода получаются плохо обусловленные матрицы. Поэтому этот метод в сочетании с адаптивными нерегулярными сетками не дает более точного результата по сравнению с решением задач на равномерных сетках.

В свою очередь, применение метода наименьших квадратов зачастую улучшает свойства численного метода. Так, известно, что в задаче построения ап-проксиманта в форме полинома Лагранжа для дискретно заданной функции при увеличении числа узлов интерполяции с некоторого их количества увеличивается численная неустойчивость решения. Применение метода наименьших квадратов делает более устойчивым построение решения этой задачи в виде полинома. Отличие метода наименьших квадратов от метода Лагранжа в том, что в нем не требуется равенства значений интерполянта и дискретного значения интерполируемой функции в узлах, а требуется достижение минимума функционала, который обычно состоит из суммы квадратов невязок с весовыми коэффициентами для всех узлов.

Метод наименьших квадратов успешно применялся для улучшения свойств разностных схем решения задач аэрогидродинамики. Во многих из этих задач необходимо рассматривать взаимодействие между конвекцией и диффузией, которая много меньше, чем конвекция. Конвективные члены в уравнениях содержат первые производные по пространственным переменным. При аппроксимации этих производных центральными разностями в численном решении возникают большие осцилляции нефизического характера. Поэтому очень часто отказываются от схем второго порядка и используют схемы первого порядка, в которых первые производные аппроксимируются направленными разностями.

Для уменьшения пространственных осцилляций в работе [32] предлагается использовать переопределенную систему конечно-разностных уравнений с направленными разностями, под решением которой понимается сеточная функция, доставляющая минимум сумме квадратов невязок этих уравнений. Это вносит в разностные уравнения диссипацию с нужным знаком, что позволяет получить более гладкое решение. Полученные схемы имеют второй порядок аппроксимации. Как показали численные эксперименты, в задачах, где сильно меняющаяся функция переходит почти в прямую, предложенный метод не дает преимуществ по сравнению со схемой с направленными разностями. Однако в задачах, где зоны сильного изменения решения чередуются с зонами его плавного, но существенно отличного от линейного, поведения, предложенный метод дает ощутимые преимущества при расчетах на грубых сетках по сравнению со схемами с направленными и центральными разностями. Таким образом, и в этом случае метод наименьших квадратов действует как регуляризатор.

Разновидности методов наименьших квадратов для уравнений в частных производных, согласно [60], можно классифицировать следующим образом:

• по методу минимизации:

- непрерывная формулировка: квадраты невязок интегрируются по области;

- дискретная формулировка: квадраты невязок вычисляются и суммируются в конечном множестве точек в области и на границе (метод коллокации)

• по способу удовлетворения уравнений:

- внутренний метод: приближенное решение точно удовлетворяет граничным условиям;

- граничный метод: приближенное решение точно удовлетворяет определяющим уравнениям;

- смешанный метод: приближенное решение не удовлетворяет точно ни одному уравнению

• по форме приближенного решения:

- глобальный подход: используется единое для всей расчетной области разложение приближенного решения в ряд с большим количеством членов щ = i GWl^);

- локальный подход: в каждой подобласти (которые называются ячейками или конечными элементами) используется разложение с более низким порядком, разными неопределенными коэффициентами а и, возможно, разными базисными функциями <Pi(x)

Возможны гибриды этих методов, так что точная классификация затруднена.

Применение внутренних и граничных методов зачастую вызывает критику, т.к. не всегда возможно точно удовлетворить дифференциальным уравнениям или граничным условиям за счет выбора приближенного решения щ. Поиск такого приближенного решения при практическом применении этих методов представляет отдельную сложную задачу. Альтернатива этому — применение смешанных методов. В работе [60] приведен обширный обзор литературы по методам наименьших квадратов, но лишь в одной работе [61] применяется дискретный смешанный метод (т.е. метод коллокации совместно с методом наименьших квадратов) для дифференциального уравнения в частных производных. В этой работе для одномерных аппроксимаций использовались разложение решения в степенной ряд, разложение по полиномам Чебышева.

В последнее время появился ряд работ, в которых авторы предлагают использовать метод коллокации совместно с методом наименьших квадратов для решения различных задач математической физики [14, 33, 34,47,48, 54, 56,59,65,70,71,74,83]. Так, в работе [65] выписывается переопределенная система уравнений коллокации и решение задачи находится из условия минимума суммы квадратов невязок этих уравнений, в результате чего определяется часть коэффициентов аппроксимирующих многочленов. Оставшаяся

часть коэффициентов находится из условий согласования решения в соседних ячейках и краевых условий. Этот метод более устойчив по сравнению с обычным методом коллокации. Однако на сетке с сильным локальным сгущением аппроксимация решения может получиться очень неточной, с нефизическими осцилляциями. Для того, чтобы обойти возникающие трудности, в работе А. Г. Слепцова [74] предлагается выписывать переопределенную систему уравнений не только для уравнений коллокации, но и для условий согласования решения между соседними ячейками сетки и краевых условий.

Коллокационный метод наименьших квадратов нашел применение в задачах механики твердого тела (см., например, [59,71]). В работе [59] реализован внутренний глобальный подход и отмечено, что узлы коллокации необходимо распределять равномерно по области, в противном случае погрешность сильно возрастает.

В работах [49, 54] совместное применение методов коллокации и наименьших квадратов используется для решения уравнений Навье — Стокса несжимаемой жидкости. В работе [54] уравнения Навье —Стокса записаны в переменных функция тока - завихренность (ф-ф) и применяется граничный метод. Этот метод подходит только для двумерных задач и только для медленных течений, поскольку на этапе вывода уравнений в переменных ф-ф для упрощения предполагалась малость скорости и отбрасывались некоторые члены. В работе отмечено, что если число узлов коллокации в случае разрывных граничных условий равно числу неизвестных, то результаты получаются неудовлетворительные, но если число узлов вдвое больше числа неизвестных и переопределенная система линейных алгебраических уравнений решается методом наименьших квадратов, то полученные результаты слабо чувствительны к положению источников, граничным данным и оптимизационным параметрам метода.

В работе [49] уравнения Навье —Стокса выписаны в примитивных пе-~ ременных. Путем введения новой переменной (потока скорости) уравнения

Навье — Стокса переписываются как система первого порядка с добавлением уравнений вихря и следа, ассоциированных с новой переменной. Для нахождения решения функционал, составленный из суммы квадратов невязок всех уравнений и краевых условий, минимизируется по вариационному принципу. Недостаток этого метода заключается в том, что для решения этой задачи нужно знать решение краевой задачи для уравнений Стокса с соответствующими граничными условиями и правой частью.

Построение разностной сетки представляет собой самостоятельную задачу. Важной характеристикой сетки является ее шаг, так как погрешность аппроксимации численного алгоритма обычно выражается как 0{ЬР), где h — шаг сетки. Сеточный шаг может быть выбран равномерным и неравномерным.

Для правильной передачи особенностей течения целесообразно сгущать сетку в подобластях с особенностями. В то же время в областях гладкого поведения решения дифференциальной задачи можно выбирать шаг сетки значительно большим. Таким образом, желательно согласовывать расчетную сетку с получаемым решением. Это можно делать либо исходя из априорной информации о структуре течения, либо используя расчетные сетки, адаптирующиеся к особенностям решения.

В данной работе используется сетка с прямоугольными ячейками и применен алгоритм адаптации сетки на основе апостериорной оценки погрешности численного решения. Как показали численные эксперименты, сетка сгущается в подобластях с большими градиентами решения исходной дифференциальной задачи. По сравнению с равномерной сеткой, в адаптивном варианте метода для достижения заданной точности численного решения требуется в несколько раз меньше ячеек, и это преимущество тем больше, чем выше требуемая точность численного решения.

Сложность сетки увеличивает сложность дискретизации уравнений, увеличивает количество вычислений на один узел (ячейку) сетки, затраты расчетного времени, машинной памяти. Для сетки с прямоугольными ячейками существенно упрощаются пересчет локальных и глобальных координат, алгоритм построения сетки, для такой сетки требуется знать относительно немного информации о ней (по сравнению, например, с сеткой из треугольников), что дает экономию оперативной памяти.

Метод КНК в варианте, предложенном А.Г. Слепцовым, успешно применялся при решении уравнений в частных производных эллиптического и параболического типов [74], хорошо зарекомендовал себя при решении эллиптических задач на адаптивных сетках с малым параметром при старшей производной, где могут возникать пограничные и внутренние слои [34]. Поэтому было желательно сформулировать и реализовать его для решения уравнений Навье — Стокса.

Попытки автора реализовать метод коллокации для уравнений Навье—Стокса без применения принципа наименьших квадратов натолкнулись на плохо обусловленную вспомогательную задачу линейной алгебры. Применение при этом различных численных методов линейной алгебры не привело к успеху. Применение принципа наименьших квадратов в методе коллокации, как и в случае задачи построения аппроксиманта для дискретно заданной функции, позволяет получить вспомогательную задачу линейной алгебры с лучшей обусловленностью. Это важное свойство метода КНК.

В данной работе метод КНК применен для уравнений Навье —Стокса, записанных в примитивных переменных. В отличие, например, от работы [49], при применении метода КНК не требуется искать решения вспомогательных задач для дифференциальных уравнений. Кроме того, при аппроксимации краевой задачи для системы уравнений Навье —Стокса трудность при применении численных методов представляют правильный учёт уравнения неразрывности div v = 0 [35] и реализация граничных условий. В предлагаемом здесь методе уравнение неразрывности выполняется точно в каждой ячейке сетки за счёт выбора базиса, легко реализуются граничные условия как Дирихле, так и Неймана. Также теоретически можно неограниченно повышать порядок аппроксимации метода за счет повышения порядка аппроксимирующих полиномов в базисных функциях.

В работе приведены результаты расчетов тестовых задач с известным точным решением и модельных задач о течении вязкой жидкости в каверне и об обтекании вязкой жидкостью уступа. Расчеты тестовых задач дают информацию, которая позволяет оценить качество дискретной модели. Последующее решение конкретных задач, анализ полученных результатов и сравнение с известными результатами, опубликованными в научной литературе, позволяют судить об эффективности и применимости разработанных численных алгоритмов.

Для отрывных течений (к которым относятся течения в каверне и около уступа) особое внимание следует уделять правильному воспроизведению детальной картины течения, которая определяется положением точек отрыва и присоединения потока, размерами первичных и вторичных вихрей и т.д. Поэтому в данной работе проводится сравнение полученных результатов с результатами других исследователей [3,4,7,38,42,46,52,53,55,57,58,62,68,72,73]. Характерные величины, определяющие структуру течений, полученные по методу КНК, очень хорошо совпадают с результатами, полученными по схемам высокого порядка аппроксимации [7,38].

Аналитическая работа по выводу формул метода КНК для систем уравнений Стокса и Навье —Стокса связана с большим объемом символьных вычислений. Эту задачу можно поручить системам компьютерной алгебры. Применение ЭВМ в символьных преобразованиях позволяет исследователю избежать трудоемкой аналитической работы и тем самым исключить неизбежные при работе вручную с громоздкими выражениями ошибки, ускорить и упростить вывод конечных формул. Известны примеры использования ЭВМ уже в 1970-х — 1980-х годах для аналитических выкладок в теории совместности систем дифференциальных уравнений [1,6], в теории разностных схем как отечественными, так и зарубежными исследователями [5,67]. Для автоматизации вывода формул метода КНК автором представляемой диссертационной работы был написан комплекс программ в системах компьютерной алгебры REDUCE и Maple, который с незначительными изменениями может быть применен для вывода формул метода для различных уравнений математической физики.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение сформулируем основные результаты работы.

1. Построены формулы метода коллокации и наименьших квадратов (КНК) решения краевых задач для стационарных уравнений Стокса и Навье-Стокса на регулярной прямоугольной сетке.

2. Построен адаптивный вариант метода коллокации и наименьших квадратов решения краевых задач для уравнений Навье — Стокса. На решении конкретных задач показано, что по сравнению с вариантом метода КНК, реализованным на равномерной сетке, для достижения той же точности требуется в несколько раз меньше ячеек сетки, причем это преимущество возрастает с повышением требуемой точности численного решения, что существенно расширяет границы применения вычислительной техники для решения сложных задач динамики вязкой жидкости.

3. Численно исследованы свойства предложенного метода на разнообразных тестовых задачах с известным точным решением и модельных гидродинамических задачах, показана достоверность и надежность полученных результатов. В численных экспериментах на последовательности сеток показано, что на гладких решениях метод обладает порядком сходимости не хуже второго.

4. Предложенный метод коллокации и наименьших квадратов развит для решения начально-краевых задач с нелинейными краевыми условиями

-81 для нестационарных уравнений в частных производных путем сочетания конечно-элементного и конечно-разностного подходов.

5. Создан комплекс программ в системах компьютерной алгебры REDUCE и Maple для автоматизации получения формул вариантов метода КНК. Созданный комплекс программ легко применим для построения метода КНК для других уравнений и позволяет ускорить и упростить процесс вывода формул и облегчить исследователю проведение больших аналитических выкладок.

6. Методом КНК для нестационарных уравнений проведен расчет конкретной физической задачи о сублимации /3-дикетоната хрома в потоке аргона, исследованы зависимости линейных и массовых скоростей сублимации /3-дикетоната хрома от температуры и скорости течения газа, которые могут быть использованы как управляющие параметры процесса. Показано, что расчетные данные хорошо согласуются с результатами физического эксперимента.

Таким образом, можно сделать вывод о перспективности применения метода коллокации и наименьших квадратов для решения задач математической физики.

1. арайс Е.А., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Реализация метода внешних форм Кармана на ЭВМ // Докл. АН СССР. - 1974. - Т. 214, № 4.- С. 737-738.

2. Белов И. А., Исаев С. А., Коробков В. А. Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкрости. — Ленинград, Судостроение, 1989. 253 с.

3. Вабищевич П.Н., Павлов А.Н., Чурбанов А.Г. Методы расчета нестационарных несжимаемых течений в естественных переменных на неразнесенных сетках // Математическое моделирование. — 1996. — Т. 8, № 7. С. 81-108.

4. Вабищевич П.Н., Павлов А.Н., Чурбанов А.Г. Численные методы решения нестационарных уравнений Навье — Стокса в естественных переменных на частично разнесенных сетках // Математическое моделирование. 1997. - Т. 9, № 4. - С. 85-114.

5. Валиуллин А.Н., Ганжа В.Г., Ильин В.П., Мурзин Ф.А., Шапеев в.п., яненко н.н. Задача автоматического построения и исследования на ЭВМ разностных схем в аналитическом виде // Докл. АН СССР.- 1984. Т. 275, № 3.

6. КОРОТАЕВА Т.А., ШАШКИН А.П. Построение двумерной расчетной сетки вблизи сложной границы // Новосибирск, 1992. — (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. ИТПМ; № 1-92)

7. Н.Е.Кочин, И.А.Кибель, н.В.розе. Теоретическая гидромеханика. — М., 1963. 4.2 - 728 с.

8. ЛЕБЕДЕВ В.И., Агошков В.И. Операторы Пуанкаре — Стеклова и их приложения в анализе. — Изд-во ОВМ АН СССР, М., 1983.

9. ЛОЙЦЯНСКИЙ Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: "Наука", 1987. — 840 с.

10. ПЛЯСУНОВА А.В., СЛЕПЦОВ А.Г. Коллокационно сеточный метод решения нелинейных параболических уравнений ) j Моделирование в механике. - Новосибирск, 1987. - Т.1(18), № 4 - С.116 - 137.

11. СЁМИН Л.Г., Слепцов А.Г., Шапеев В.П. Метод коллокаций наименьших квадратов для уравнений Стокса j j Вычислительные технологии. - 1996. - Т. 1, № 2. - С. 90-98.

12. СЁМИН Л.Г., ШАПЕЕВ В.П. Коллокационно сеточный метод решения краевых задач для уравнений Навье — Стокса // Сибирская школа -семинар "Математические проблемы механики сплошных сред", тезисы докладов. — Новосибирск, 1997. — С. 125-126.

13. СЁМИН Л.Г., ШАПЕЕВ В.П. Метод коллокаций и наименьших квадратов для уравнений Навье — Стокса // Вычислительные технологии. — 1998. Т. 3, № 3. - С. 72-84.

14. СЁМИН Л.Г., ШАПЕЕВ В.П. Коллокационно-сеточный метод решения краевых задач для уравнений Навье — Стокса // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1998. - Вып. 113. — С. 139-145.

15. СьяРЛЕ Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. — М., 1980. 512 с.

16. Ascher U., Christiansen J., Russel R.D. A collocation solver for mixed order systems of boundary value problems // Math. Сотр. — 1979. — Vol. 33.- P. 659-679.

17. BURGGRAF O.R. Analytical and numerical studies of the structure of steady separated flows // J. Fluid Mechanics. 1966. - Vol. 24, pt. 1. - P. 113-151.

18. LEVIN D. Corrected collocation approximations for the harmonic Dirichlet problem // J. Inst. Math. Appl. 1980. - Vol. 26. - P. 65-75.

19. Pan F., acrivos a. Steady flows in rectangular cavities //j. Fluid Mechanics. 1967. - Vol. 28, pt. 4. - P. 643-655.

20. SLEPTSOV A.G. Grid projection solution of elliptic problem for a irregular grid// Russ. J. Numer. Analys. and Math. Modelling. — 1993. — vol. 8, No. 6. - P. 501-525.