Варианты метода коллокаций и наименьших квадратов и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

004603779

На правах рукописи

УДК 519.63::532.5.032

Исаев Вадим Исмаилович

ВАРИАНТЫ МЕТОДА КОЛЛОКАЦИЙ И НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 О ИЮН 2010

Новосибирск — 2010

004603779

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Новосибирского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор Шапеев Василий Павлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Остапенко Владимир Викторович

доктор физико-математических наук профессор Черных Геннадий Георгиевич

Ведущая организация: Институт прикладной математики име-

ни М.В. Келдыша РАН

Защита состоится 17 июня 2010 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.04 при Институте математики им. СЛ. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект академика В.А. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан « » мая 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к. ф.-м. н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Уравнения Навье-Стокса определяют одну из важнейших моделей в механике сплошной среды. Они описывают движения широкого класса реальных жидкостей и имеют приложения в различных областях естествознания. Большой вклад в развитие теории вязкой несжимаемой жидкости внесли исследования Ж. Лерэ, Ю. Шаудера, Ж.Л. Лионса, O.A. Ладыженской, A.B. Кажи-хова, Р. Темама, В.В. Пухначева и др. Приближенное решение уравнений Навье-Стокса представляет собой сложную задачу вычислительной математики. В настоящее время существует большое количество работ, посвященных различным подходам к численному решению этих уравнений. Среди них хотелось бы упомянуть исследования Н.С. Ба-хвалова, О.М. Белоцерковского, В.А. Гаранжи, В.А. Гущина, Г.М. Ко-белькова, В.Н. Конышша, Б.Г. Кузнецова, В.И. Полежаева, В.Я. Рив-кинда, П. Роуча, А.И. Толстых, Е.В. Чижонкова, H.H. Яненко, A. J. Chorin, U, Ghia, V. Girault, T.G. Hughes, О. Pironneau, A. Quarteroni, R. Ran-nacher, P.A. Raviart, C. Taylor, S. Turek и др. Существующие на данный момент методы во многих случаях дают приемлемые результаты только при использовании сверхмощных ЭВМ. Это, а также другие обстоятельства, позволяет утверждать, что необходим поиск новых численных методов решения уравнений Навье-Стокса. С другой стороны, метод коллокаций и наименьших квадратов (KHK) хорошо зарекомендовал себя при решении обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) (С. de Boor, В. Swartz, R.D. Rüssel, L.F. Shampine, 10.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко), уравнений эллиптического (Z. Leyk, А.Г. Слепцов) и параболического (A.B. Плясунова,

A.Г. Слепцов) типов, уравнений Стокса и Навье-Стокса (Л.Г. Семин,

B.П. Шапеев, А.Г. Слепцов, M.M.J. Proot, M.I. Gerritsma, W. Heinrichs, B.N. Jiang). Поэтому задача реализации новых вариантов метода KHK для численного решения уравнений математической физики и для системы Навье-Стокса в частности является актуальной.

За последние сорок лет в странах с развитой индустрией лазерные технологии усиленно разрабатывались и внедрялись в различных отраслях промышленности: авиационной, космической, автомобиле- и судостроении. В последние годы большое внимание уделяется разработке технологии лазерной сварки металлических изделий. Лазерная сварка имеет ряд достоинств по сравнению с другими видами соединения материалов, однако ее широкое внедрение сдерживается низкой стабильностью свойств сварных соединений. Экспериментальное изучение и определение оптимальных технологических параметров в связи с особенностями самого процесса сварки сопряжено с большими методиче-

скими трудностями и значительными затратами. Поэтому разработка адекватных математических моделей теплофизических и гидродинамических процессов, протекающих в соединяемых деталях, а также численных алгоритмов для реализации моделей сварки на ЭВМ является актуальной проблемой.

Целью работы является:

1) построение вариантов метода КНК повышенного порядка точности для численного решения уравнения Пуассона;

2) построение консервативного варианта метода КНК для стационарного уравнения теплопроводности;

3) построение вариантов метода КНК повышенного порядка точности для уравнений Навье-Стокса;

4) создание на основе вариантов метода КНК численного алгоритма для расчета распределения температуры в изделии и моделирования течения расплава в сварочной ванне в процессе лазерной сварки тонких металлических пластин.

Научная новизна. В данном исследовании проведено развитие и обобщение вариантов метода КНК, предложенных в работах А.Г. Слепцова, Л.Г. Семина, В.П. Шапеева. Все варианты метода, предложенные в диссертации, являются новыми. Численный алгоритм для моделировании тепломассопереноса в изделии при лазерной сварке тонких металлических пластин является новым.

Теоретическая и практическая ценность. Новые варианты метода КНК, предложенные в диссертации, применены в данной работе для решения сложной задачи о моделировании лазерной сварки металлических пластин. Показано, что они могут быть использованы для практических расчетов в задачах теплофизики и гидродинамики. Новые варианты допускают обобщение и возможность применения для решения различных задач математической физики.

Достоверность полученных в работе результатов подтверждается

- проведением численных экспериментов, в которых проверяется сходимость приближенного решения на последовательности сеток при Н —» 0, где Л. — максимальный линейный размер ячеек сетки;

- сравнением результатов расчетов известной эталонной задачи с высокоточными результатами, полученными в работах других исследователей с применением существенно разных методов;

- сравнением результатов решения практических задач с данными физических экспериментов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах Института математического моделирования РАН, Института вычислительной математики it математической геофизики СО РАН, Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, на объединенном семинаре кафедры математического моделирования НГУ и Института вычислительных технологий СО РАН, а также на следующих научных конференциях: Fifth International Conf. on Computational Fluid Dynamics (ICCFD5) (Сеул, Корея, 2008); International Conf. on the Methods of Aerophysical Research (ICMAR) (Новосибирск, 2007, 2008); XLIV, XLV, XLVI, XLVII, XLVIII Междунар. науч. студ. конф. «Студент и научно-технический прогресс» (МНСК) (Новосибирск, 2006 — 2010); Междунар. инновационно-ориентированная конф. молодых ученых и студентов (МИКМУС 2009) (Москва, 2009); Всеросс. конф. «Математика в приложениях», приуроченная к 80-летию академика С.К. Годунова (Новосибирск, 2009); Всеросс. конф. по вы; числительной математике (КВМ 2009) (Новосибирск, 2009); Всеросс. конф. молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии» (Новосибирск, 2009); Всеросс. конф., приуроченная к 90-летию академика JI.B. Овсянникова «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2009); Всеросс. молод, конф. «Актуальные проблемы математики, механики, информатики» (Екатеринбург, 2009); 40-я Всеросс. молод, конф. «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2009); Междунар. конф. «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», поев. 100-летию со дня рождения C.JI. Соболева (Новосибирск, 2008); Всеросс. конф. «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», поев, памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2008); 39-я Всеросс. молод, конф. «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2008); Всеросс. конф. по вычислительной математике (КВМ 2007) (Новосибирск, 2007); VII Всеросс. конф. молодых ученых по матем. моделир. и информац. технол. (Новосибирск, 2007); VII Всеросс. конф. молодых ученых по матем. моделир. и информац. технол. (Красноярск, 2006).

Публикации. Основные научные результаты диссертации опубликованы в 12 работах, среди которых 3 в журналах, рекомендованных ВАК. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Личный вклад соискателя заключается в обсуждении постановок задач, разработке вариантов метода КНК повышенного порядка точности для уравнения Пуассона и уравнений Навье-Стокса, создании консервативного варианта метода КНК для стационарного уравнения теплопроводности, участии в разработке квазитрехмерной модели ла-

зерной сварки тонких металлических пластин и численного алгоритма ее реализации на ЭВМ, проведении расчетов, участии в интерпретации результатов численного моделирования. Все выносимые на защиту результаты принадлежат лично автору. Представление изложенных в диссертации и выносимых на защиту результатов, полученных в совместных исследованиях, согласовано с соавторами.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 138 наименований, 19 рисунков и 9 таблиц. Объем работы 102 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновываются актуальность и важность вопросов, составляющих предмет исследования, дается обзор литературы, современного состояния и основных направлений развития метода коллока-ций и наименьших квадратов. Кратко излагается суть теплофизиче-ских и гидродинамических явлений, которые имеют место при лазерной сварке тонких металлических пластин, перечисляются требования к численным алгоритмам, присутствующие в этой задаче. Приводится структура диссертации и кратко излагается ее содержание.

Первая глава посвящена новым вариантам метода КНК повышенного порядка точности для численного решения уравнения Пуассона, предложенным в данном исследовании. Это достаточно простое уравнение было выбрано для отработки подхода к созданию вариантов метода КНК повышенного порядка в более сложных случаях. Алгоритм метода излагается в п. 1.1, 1.2 на примере решения задачи

д^и О^и

+ U = g, (xi,x2)edn, (1)

где f(x 1,2:2) и g(xi,x2) — известные функции, и(х 1,2:2) — искомое решение, <90 — граница области П = [0,1] х [0,1]. В случае других краевых условий реализация метода производится аналогичным образом.

Покроем область О сеткой, которая состоит из N прямоугольных ячеек Î7i,..., iîдг. Пусть 2hu, 2hzi — размеры ячейки f2j по направлениям осей х\ и Х2 соответственно, i = 1, ..., N. Метод КНК применялся в данной работе в сочетании с методом декомпозиции области (A.M. Ма-цокин, C.B. Непомнящих). В последнем решение задачи (1) сводится к построению сходящегося итерационного процесса, на каждом шаге которого требуется последовательно решать вспомогательные локальные задачи в подобластях fii,..., fi^. Отметим, что в методе декомпозиции предлагается естественный способ распараллеливания вычислительного алгоритма, поскольку в ходе итерационного процесса данные обрабатываются раздельно по подобластям. Локальная задача в ячейке ftj

имеет вид

д2ик д2ик

(хих2) 6 Qi,

(2)

dxj дх\

(11,12) € düi \ дП,

(3)

(хьх2) € П ЗГ2, (4)

где ик — приближенное решение, получаемое на к-й итерации, й — приближение для и, имеющееся в соседних ячейках при построении решения на к-й итерации в подобласти Г2^, п = (я-ьпг) — вектор единичной внешней нормали к границе дQi, 1ц — (/гн/^)1/2. Уравнение (3) записывается здесь в таком же виде, как и в работе А.Г. Слепцова. В расчетах, проведенных в данном исследовании, показано, что условие (3) обеспечивает хорошую сходимость итераций.

Для численного решения локальных задач (2)-(4) здесь используется метод КНК. В предлагаемых в данной работе вариантах метода в каждой ячейке сетки Пь ... , Пдг приближенное решение ищется в пространстве полиномов степени не выше тп, определенных в В качестве базисных функций используются мономы

где = (XI -хш)/Нг, £2 = {Х2 ~ Х2ы)/Ы, (х1Ы,х2ы) — центр ячейки. Всего в каждой ячейке сетки имеем й= (т + 1 )(т + 2)/2 базисных элементов. Обозначим их у>1, ..., Приближенное решение представляется в ячейке в виде линейной комбинации

где Сц, ..., Cid — искомые коэффициенты разложения по базису. Они находятся из переопределенной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), состоящей из уравнений коллокаций и условий на границе ячейки. Уравнения коллокаций здесь — это требования того, чтобы приближенное решение удовлетворяло (2) в конечном множестве точек ячейки (точках коллокаций). Условия на границе öfij — требования выполнения уравнений (3)-(4) в конечном числе узлов. Среди них можно выделить те, что записываются на границах между соседними ячейками (3). Будем называть их условиями согласования (условиями сшивки). Кроме них в случае, когда düi flöfi ф 0, в нескольких

0 < qi < т, 0 < с*2 < т — ai,

(5)

d

(6)

Рис. 1. Схема расположения точек коллокаций (о), точек записи условий согласования (□) и краевых условий (•) в ячейке сетки.

точках пересечения dfli П дП записываются краевые условия из исходной постановки задачи (1).

В данной работе точки записи уравнений коллокаций, условий согласования и краевых условий для простоты распределялись равномерно внутри каждой ячейки и на ее границе соответственно (рис. 1). Однако, по-видимому, как и в вариантах метода коллокаций для ОДУ (С. de Boor, В. Swartz, 1973), здесь существуют другие более оптимальные способы их расположения. Количество точек выбиралось таким образом, чтобы в СЛАУ для определения коэффициентов разложения по базису линейно независимых уравнений коллокаций было не менее т(т — 1)/2, а независимых условий на границе — не менее 2 т + 1. Здесь т (т — 1)/2 и 2 тп +1 — это, соответственно, размерности образа и ядра оператора Лапласа, отображающего Рт(Пг) на Pm_2(i2i). Число независимых уравнений в СЛАУ в предложенных в данной работе вариантах метода КНК превосходит количество неизвестных.

Здесь были реализованы варианты с различными соотношениями числа уравнений и количества неизвестных. Установлено, что в случае равномерного расположения точек (коллокаций, согласования и записи краевых условий) в ячейках сетки для достижения хорошей точности приближенного решения достаточно, чтобы число уравнений примерно в 2 раза превосходило число неизвестных. При дальнейшем увеличении количества уравнений порядок точности решения не изменяется. При этом, однако, увеличивается число арифметических действий, выполняемых в методе КНК.

Для решения переопределенной СЛАУ в вариантах метода КНК, предложенных ранее А.Г. Слепцовым, Л.Г. Семиным, В.П. Шапеевым и В.В. Беляевым, использовался метод наименьших квадратов (МНК). В данной работе вместо МНК применяется ортогональный метод линейной алгебры (Ч. Лоусон, Р. Хенсон, 1986). Он дает то же решение, что и МНК при отсутствии ошибок округления. Преимущество орто-

тонального метода заключается в том, что в отличие от МНК он не ухудшает обусловленность СЛАУ в процессе решения. Использование ортогонального алгоритма позволило в данной работе уменьшить скорость накопления погрешностей округления при построении приближенного решения и тем самым расширить возможности метода КНК. Ортогональный метод описан в п. 1.3.

В п. 1.4 приведены результаты численных экспериментов с аналитическим точным решением, в которых исследована сходимость приближенного решения, получаемого методом КНК на последовательности сеток при к —> 0, где Н — максимальный линейный размер ячеек сетки. Показано, что порядок сходимости приближенного решения к точному не хуже т-го при четных и (т — 1)-го при нечетных ш (в случае достаточно гладкого точного решения). На примере модельной задачи для ОДУ в п. 1.4 исследовано влияние погрешностей округления на точность решения, получаемого методом КНК.

Для уменьшения времени, необходимого для проведения расчета, в данной работе использовалась модификация метода ускорения сходимости итераций, предложенного в работах А.Г. Слепцова. В нем в ходе итерационного процесса к текущему приближению добавляется поправка из подпространства Крылова. Одним из достоинств этого метода ускорения является то, что он легко может быть применен к уже запрограммированным итерационным процессам. Для этого достаточно внести в существующую программу небольшую процедуру подсчета поправки. Алгорим метода ускорения и численные эксперименты, в которых показана его эффективность, приведены в п. 1.5. При исследовании новых вариантов метода КНК в данной работе проделано большое количество различных численных экспериментов. Их выполнение за относительно короткий срок было бы невозможным без использования эффективного алгоритма ускорения сходимости итераций.

Во второй главе в п. 2.1, 2.2 описываются новые варианты метода КНК для уравнений Навье-Стокса, предложенные в данной работе. В области П = [0,1] х [0,1] рассмотрим краевую задачу для двумерных стационарных уравнений Навье-Стокса

дг>, дvj др 1 . . л . „ „ .„.

^ + + = <*ь*а)бП, . = 1,2, (7)

{хг,х2) 6 О, V = щ, {х1,х2) Е Jpdxldx2 = О, (8)

п

где V = («ь ь2) — вектор скорости, р — давление. Вектор-функция ьь задает краевые условия для V на границе дП, , /2 — известные правые части уравнений, Ые — число Рейнольдса.

ах 1

сНугГ = О,

Покроем область О, сеткой, которая состоит из N прямоугольных ячеек Пь ..., Адг- Пусть 2кц, — размеры ячейки по направлениям осей х\ и ж2 соответственно, г = 1, ..., N. Как и в вариантах метода КНК, описанных в главе 1, для построения приближенного решения задачи (7)-(8) здесь используется итерационный процесс, в котором на каждом шаге требуется последовательно решать вспомогательные локальные задачи в подобластях ..., Лдг. Локальная задача в ячейке ставится для линеаризованных по Ньютону уравнений Навье-Стокса

дук+1 дудик+1 Ву^

дх\ 1 дх\ 2 дх2 2 дх2

дрк+1 1 М

Шу17к+1=0, (10)

где 2 = 1,2, (о-х, Х2) € Здесь ук, у2, рк — компоненты решения, полученные на к-й итерации, Ук+1, ук+1, рк+г — искомые величины на (к + 1)-й итерации. Краевые условия локальной задачи и условие для давления формулируются следующим образом:

ял

■ок+1 + -Рк+1 = Уп + -/3, (хъх2) е ап{ \ дП, (11)

Я],к+1 Я,*.

+ = ут + к^, (хих2)ед^\дп, (12)

дп дп

ук+1=уь, (хъх2) 6 9П( ПЗП, (13)

Jрк+1йххйх2 — - J рйх^х2, (14)

П; П\П<

где уп — (у,п), ут = (у,т), п = (П1,п2), т — единичные векторы внешней нормали и касательной к границе /г* = (ЬцИ^)1^2, г>„, иг, р — приближения для компонент решения, имеющиеся в соседних ячейках при построении решения на (к+1)-й итерации в ячейке Условия (11) и (12) записываются здесь в таком же виде, как и в работах Л.Г. Семина, В.П. Шапеева, А.Г. Слепцова.

Приближенное решение локальной задачи (9) - (14) строится в данной работе с помощью метода КНК. В рассматриваемых здесь вариантах метода скорость {у\,у2) ищется в пространстве

Ут„(Пг) = {(У1,У2) : УгеРтЛ^г), У2еРт„Ш, сПугТ=0},

где — пространство, состоящее из всех полиномов степени не

выше ту, определенных в Пг. В качестве базисных функций для скорости используются элементы

Таким образом, приближенное решение тождественно удовлетворяет уравнению неразрывности (10) внутри каждой ячейки. Это одно из достоинств вариантов метода КНК, предложенных в данной работе. Давление ц ищется в пространстве РГПр(П{). В качестве базиса для ц используются мономы

Всего в каждой ячейке сетки имеем (1У = (пху + 1)(т„ + 4)/2 и йр = (тр + 1)(тр + 2)/2 базисных элементов для компонент скорости и давления соответственно. Обозначим их ф", ..., (р^ и ..., . Приближенное решение представляется в ячейке Пг в виде линейной комбинации базисных функций

где , ..., и С£г, .. ■, Сры — искомые коэффициенты разложения по базису для скорости и давления соответственно. Они находятся из переопределенной СЛАУ, состоящей из уравнений коллокаций, условий на границе ячейки и интегрального условия для давления (14). Уравнения коллокаций здесь — это требования того, чтобы приближенное решение удовлетворяло (9) в конечном множестве точек ячейки 0.^. Условия на границе 80,1 — требования выполнения уравнений (11)—(13) в конечном числе узлов.

Как и в главе 1, здесь установлено, что в случае равномерного расположения точек (коллокаций, согласования и записи краевых условий) в ячейках сетки для достижения хорошей точности приближенного решения достаточно, чтобы число уравнений примерно в 2 раза превосходило число неизвестных. При дальнейшем увеличении количества уравнений порядок точности решения не изменяется.

В п. 2.3 показано, что описанный в п. 1.5 метод позволяет добиться хорошего ускорения сходимости итерационного процесса, используемого в предложенных здесь вариантах метода КНК для построения приближенного решения уравнений Навье-Стокса.

1 < < ту, 0<а2< ту — а\.

0<а1<тр, 0 <а3<тр-а1.

(15)

В п. 2.4 приведены результаты расчетов двух тестовых задач. Первая из них имеет аналитическое точное решение. С ним проводились численные эксперименты на последовательности сеток при к —> 0, где /г — максимальный линейный размер ячеек сетки. В расчетах здесь использовались варианты метода КНК, в которых ту = тр + 1. Показано, что порядок сходимости компонент скорости и давления приближенного решения к соответствующим компонентам точного не хуже Шу-го при четных и не хуже (ш„ — 1)-го при нечетных т„ (в случае достаточно гладкого точного решения).

Вторая тестовая задача — это задача о течении вязкой несжимаемой жидкости в каверне с движущейся крышкой, которая в настоящее время считается многими исследователями эталонной для численных методов решения уравнений Навье-Стокса. Она интересна по нескольким причинам. Во-первых, класс течений в каверне при различных значениях Г1е достаточно широк и разнообразен для того, чтобы исследовать на нем свойства и возможности численных методов. В этих те-

а б

Рис. 2. Линии тока течения в каверне при Ие = 7500 (а) (расчет проведен методом КНК на сетке Мз при т„ = 6, тр = 5). Сетка М\ (б).

Рис. 3. Картина линий тока течения в каверне при Ие = 1000 и ее увелич. фрагменты (расчет проведен методом КНК на сетке Мз при т„ = 6, тр = 5).

Таблица 1. Значение с функции тока в центре вихря PE (Re = 1000).

работа Ф Xi х2

эта работа, сетка М\ эта работа, сетка Мг эта работа, сетка Мз Botella, Peyret Erturk и др. Shapeev, Lin Barragy, Carey, Ghia и др. -0.11885323 -0.11893562 -0.11893658 -0.1189366 -0.118938 -0.1189366 -0.118930 -0.117929 0.53067831 0.53078734 0.53079011 0.5308 0.5300 0.5307901 0.5313 0.56523414 0.56523714 0.56524057 0.5652 0.5650 0.5652406 0.5625

чениях присутствуют вихри различной интенсивности. Их количество, конфигурация и свойства существенно зависят от числа Рейнольдса (см. рис. 2 (а)). Так, например, в левом и правом нижних углах каверны имеются цепочки вихрей Моффатта (рис. 3). Во-вторых, на границе области в верхних ее углах решение задачи имеет особенности, поскольку в этих точках одна из компонент скорости терпит разрыв первого рода. В-третьих, для этой задачи в настоящее время опубликовано большое количество численных результатов, полученных различными методами. В п. 2.4 приведены таблицы характерных значений решения задачи о течении в каверне, вычисленных с помощью метода КНК. Расчеты проводились на последовательности из трех сеток Mi, М2, Мз. Использовался вариант метода КНК, в котором mv = б, шр = 5. Сетка М\ изображена на рис. 2 (б). Максимальная длина сторон ее ячеек равна 1/16, минимальная 1/256. Сетка M2 получается из М\ дроблением каждой ее ячейки на четыре равные части. Аналогичным образом из M2 строится сетка М3. Число ячеек для сеток M1, M2 и Мз равно 1984, 7936 и 31744 соответственно. В табл. 1 записаны результаты расчетов минимума функции тока для центрального вихря (РЕ) в каверне. Для сравнения указаны значения, полученные другими исследователями (О. Botella, R. Peyret, 1998), (В.А. Гаранжа, В.Н. Конынин, 1999), (A. Shapeev, P. Lin, 2009), (Е. Erturk, С. Gokcol, 2006), (Е. Barragy, G.F. Carey, 1997). О достоверности результатов, приведенных в этих работах, свидетельствует то, что все они получены существенно разными методами и хорошо согласуются между собой. Отдельные численные характеристики течения в каверне, приведенные в них, совпадают с точностью от 10~6 до Ю-8. В таблицы в п. 2.4 также включены результаты широко известной и цитируемой статьи (U. Ghia и др., 1982). Из сравнения с упомянутыми здесь работами видно, что новые варианты метода КНК позволяют с высокой точностью рассчитать подробные детали вихревой структуры течения. В частности, для

центрального вихря в каверне при Re = 1000 результаты для функции тока, полученные методом КНК, совпадают с приведенными в работах (A. Shapeev, P. Lin, 2009), (О. Botella, R. Peyret, 1998) с точностью 2 • Ю-8 (см. табл. 1). Видно, что разность значений функции тока в центре вихря РЕ, вычисленных на сетках М2 и Мз, примерно в 85 раз меньше этой разности для сеток М\ и М2, что свидетельствует о высоком порядке сходимости приближенного решения, полученного методом КНК.

В третьей главе в п. 3.1, 3.2 предложен и реализован новый консервативный вариант метода КНК для стационарного уравнения теплопроводности. Уравнения коллокаций и условия согласования, используемые в нем для построения приближенного решения, получены здесь из требований выполнения закона сохранения в ячейках сетки, баланса потоков на границах между ними и непрерывности решения (в конечном числе точек на границах между ячейками). В численных экспериментах с решениями, имеющими разрывы производных, показано, что приближенное решение, получаемое методом КНК, сходится к точному с первым порядком на последовательности сеток при h —> 0 (см. п. 3.3). При реализации консервативного варианта метода КНК здесь использовался опыт создания консервативных разностных схем, описанный в литературе (Самарский А.А., Вабищевич П.Н.).

В четвертой главе новые варианты метода КНК, предложенные в данной работе, применены для численного моделирования лазерной сварки тонких металлических пластин. Лазерная сварка характеризуется многообразием физико-химических и гидродинамических процессов. В месте контакта луча лазера с изделием металл плавится, образуя ванну с расплавом (жидким металлом). Если мощность лазера выше некоторой критической, то расплав в зоне сварки кипит, образуя паровой канал микроскопических размеров, из которого с большой скоростью истекает газ из ионов металла и различных компонент и включений, присутствующих в сплаве. Под действием сил поверхностного натяжения и трения истекающего газа о стенки канала в сварочной ванне возникают вихревые движения расплава, которые влияют на распределение температуры в пластинах и форму ванны. В (W. Sudnik и др., 2000) для учета вихревых движений расплава используется полуэмпирический подход. В данной работе поле скоростей находится путем численного решения краевой задачи для уравнений Навье-Стокса в криволинейной области жидкой фазы.

Рассмотрим установившийся процесс лазерной сварки встык двух металлических пластин. Ось луча лазера в процессе сварки лежит в плоскости стыка пластин и направлена перпендикулярно к их верхней поверхности. В рассматриваемой области введем декартову систему ко-

Рис. 4. Схема области сварки: 1 — луч лазера, 2 — парогазовый канал, 3 — жидкая фаза (сварочная ванна), 4 — двухфазная зона, 5 — твердая фаза.

ординат, в которой лазерный луч неподвижен, а пластины перемещаются со скоростью сварки Уги = (Уи,, 0,0). Ось г направлена вниз вдоль оси луча, ось х — вдоль стыка в направлении перемещения пластин, а ось у — перпендикулярно стыку. Начало координат находится на оси луча на верхних границах пластин (рис. 4). Для наглядности на рис. 4 изображена только одна пластина.

В п. 4.1 предложена трехмерная квазистационарная математическая модель процесса лазерной сварки встык двух металлических пластин. В ней для описания теплопереноса используется уравнение теплопроводности с конвективными членами, а для моделирования течения расплава в сварочной ванне — уравнения Навье-Стокса. В предложенной модели учитывается наличие парогазового канала в зоне воздействия лазерного луча на металл. При этом в любой точке поверхности канала записывается условие теплового баланса и учитывается трение о поверхность паров металла, истекающих из него.

Ввиду существенной сложности трехмерной модели, в данной работе на ее основе путем осреднения уравнений по одной пространственной переменной у создана квазитрехмерная модель (см. п. 4.2). В ней учитывается конечность в направлении оси у характерных размеров области, в которой протекают физические процессы. Приближенно учитываются поток тепла в направлении оси у и трение между перпендикулярными к оси у слоями расплава в ванне.

На основе квазитрехмерной модели и новых вариантов метода КНК, предложенных в данной работе, создан численный алгоритм для моделирования тепломассопереноса в изделии (см. п. 4.3). Он позволяет оценить влияние конвекции расплава на распределение температуры в пластинах в процессе сварки и форму сварочной ванны.

В п. 4.4 приведены результаты моделирования процесса сварки двух титановых пластин. В численных экспериментах определялись температурные поля в изделии, положение внутренних границ между фа-

2 3 4 5

О

-1 О

2 3 4 5 6 х, шт

-1 О

2 14 5 6 х, тт

а

б

Рис. 5. Картина линий тока расплава (а) и поле темпер, в свар, ванне (б).

Рис. 6. Поле темпер, в свар, ванне (скор, распл. полагалась равной Уырх/ръ).

зами материала изделия, форма и глубина парового канала, поле скоростей в сварочной ванне. Расчеты в данной работе проводились на неравномерных сетках, сгущающихся в окрестности парового канала. В численных экспериментах на последовательности сеток установлено, что приближенные решения уравнения теплопроводности и уравнений Навье-Стокса, получаемые с помощью описанного в п. 4.3 алгоритма, сходятся с первым порядком при к —+ 0.

На рис. 5 и 6 приведены результаты моделирования сварки пластин толщиной Н = 2 мм со скоростью Цр — 0.0167 м/с (1 м/мин) лазером мощностью IV = 1.5 кВт. Область черного цвета, через которую проходит прямая х = 0, соответствует паровому каналу. На рис. 5, 6 кривая 1 — это изотерма Т = 2800 К, 2 — Г = 2400 К, 3 — Т = 2150 К, 4 — Т = 1944 К (Ге), 5 — Т~ 1200 К. Были проведены следующие численные эксперименты: в одном расчете поле скоростей определялось путем численного решения уравнений Навье-Стокса со значениями физических параметров расплавленного титана, в другом скорость в сварочной ванне во всех точках полагалась равной Ушр1/р2, что соответствует плоскопараллельному переносу жидкого металла. На рис. 5 (6) и 6 приведены изотермы в пластинах, полученные в первом и втором расчетах соответственно. На рис. 5 (а) изображена картина течения жидкого металла в сварочной ванне, полученная в первом расчете. Для наглядности здесь показаны только фрагменты вычислительной области, находящиеся в окрестности парового канала.

Видно, что в верхней части ванны под влиянием конвекции жидкого металла происходит выравнивание распределения температуры, и изо-

1 2 3

4 5

х, тга

терма кристаллизации (Т — Те) — стенка ванны отодвигается дальше от парового канала. Длина сварочной ванны около верхней поверхности пластин на рис. 5 по крайней мере на 20% больше, чем на рис. 6 (а). Однако около нижней поверхности ее длина меньше (рис. 5). Таким образом, вихревые движения жидкого металла в сварочной ванне значительно влияют на распределение температуры в сварочной ванне и ее геометрию. При этом, однако, можно утверждать, что они не влияют существенно на ее объем.

Выступ в верхней части сварочной ванны, образовавшийся под действием вихревого течения расплава (рис. 5), в упомянутой выше статье (XV. БиФпк и др., 2000) назван «плечом». В той же работе приведены различные расчетные и экспериментальные данные по лазерной сварке стальных пластин. Для титана и марки стали, рассматриваемой в БисШк и др., 2000) теплофизические параметры и коэффициенты вязкости расплава достаточно близки. Размеры сварочной ванны и ее «плеча», полученные в данной и цитируемой работах при соответствующих параметрах мощности лазера и скорости сварки, хорошо согласуются между собой.

В заключении приведены результаты, выносимые на защиту.

1. Предложен способ построения вариантов метода КНК повышенного порядка точности для численного решения уравнения Пуассона. На его основе созданы варианты метода до восьмого порядка включительно. В численных экспериментах показано, что в случае достаточно гладкого решения они позволяют получать приближенное решение, сходящееся к точному с высоким порядком на последовательности сеток при Л —> 0, где к — максимальный линейный размер ячеек сетки.

2. Для численного решения стационарного уравнения теплопроводности предложен и реализован консервативный вариант метода КНК. Уравнения коллокаций и условия согласования, используемые в нем для построения приближенного решения, получены в результате аппроксимации законов сохранения в ячейках сетки. Проведены численные эксперименты на последовательности сеток с решением, имеющим значительные разрывы производных. Показано, что имеет место сходимость приближенного решения к точному с первым порядком при к —> 0.

3. Предложен способ построения вариантов метода КНК высокого порядка точности для уравнений Навье-Стокса. На его основе созданы варианты метода до восьмого порядка включительно. Для

исследования их возможностей проведена серия численных экспериментов с аналитическим решением и с решением известной эталонной задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости в каверне с движущейся крышкой. В расчетах на последовательности сеток установлено, что приближенное решение, получаемое с помощью новых вариантов метода KHK, сходится к точному с высоким порядком при h —> 0 (при достаточной гладкости решения). Сравнением с высокоточными результатами расчетов течения в каверне, полученными другими исследователями, показано, что предложенные в данной работе варианты метода KHK позволяют с хорошей точностью рассчитать подробные детали вихревой структуры течения.

4. Предложены новые трехмерная и квазитрехмерная модели процесса лазерной сварки встык двух металлических пластин. На основе вариантов метода KHK, созданных в данной работе, и квазитрехмерной модели построен численный алгоритм для расчета распределения температуры в изделии и моделирования течения расплава в сварочной ванне. Проведены расчеты процесса лазерной сварки титановых пластин при их различных толщинах. Исследовано влияние течения расплава в сварочной ванне на ее форму.

Основные результаты диссертации опубликованы в приведенных ниже работах.

1. Исаев В.И., Шапеев В.П., Еремин С. А. Исследование свойств метода коллокации и наименьших квадратов решения краевых задач для уравнения Пуассона и уравнений Навье-Стокса // Вычислительные технологии. 2007. Т. 12, № 3. С. 53-70.

2. Исаев В.И., Шапеев В.П. Развитие метода коллокаций и наименьших квадратов // Труды ИММ УрО РАН. 2008. Т. 14, № 1. С. 41-60.

3. Исаев В.И. Алгоритм ускорения сходимости в методе коллокаций и наименьших квадратов // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13, Спец. вып. 4. С. 41-46.

4. Issaev V.l., Shapeev V.P. Development of the Collocations and Least Squares Method // Proc. of the Steklov Inst, of Math. 2008. Suppl. 1. P. S87-S106.

5. Исаев В.И. Исследование метода коллокации и наименьших квадратов решения краевой задачи для уравнений Навье-Стокса //

Труды XLIV междунар. научн. студ. конф. «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, 2006. С. 197-203.

6. Исаев В.И., Шапеев В.П. Применение нерегулярных сеток в методе коллокаций и наименьших квадратов // Труды 39-й все-росс. молод, конф. «Проблемы теор. и прикл. математики». Екатеринбург, 2008. С. 61-66.

7. Исаев В.И. Консервативный вариант метода коллокаций и наименьших квадратов // Труды 40-й всеросс. молод, конф. «Проблемы теор. и прикл. математики». Екатеринбург, 2009. С. 141-144.

8. Исаев В.И., Идимешев С.В., Шапеев В.П., Филимонов М.Ю. О методе коллокаций и наименьших квадратов для уравнения Пуассона // Сб. статей конф. «Актуальные проблемы матем., механики, информатики». Екатеринбург, 2009. С. 53-57.

9. Исаев В.И., Шапеев В.П., Черепанов А.Н. Квазитрехмерная модель лазерной сварки тонких металлических пластин и ее численная реализация // Избр. труды XXI междунар. инновац,-ориент. конф. молодых ученых и студентов (МИКМУС). Москва, 2009. С. 40-47.

10. Issaev V.I., Shapeev V.P. Investigation of the collocation and least squares method for solving boundary value problems for Navier -Stokes equations // Proc. of Int. Conf. on the Methods of Aerophys. Research (ICMAR2007), Pt. III. Novosibirsk, 2007. P. 147-152.

11. Issaev V., Shapeev V. Convergence Acceleration Method for Linear Iterative Process // Proc. of the Fifth Int. Conf. on Comput. Fluid Dynamics (ICCFD5), Seoul, Korea, 2008. P. 809-810.

12. shapeev v., Issaev V. Development and Application of the Collocations and Least Squares Method // Proc. of the Fifth Int. Conf. on Comput. Fluid Dynamics (ICCFD5), Seoul, Korea, 2008. P. 791-792.

Подписано в печать 11.05.2010 г.

Формат 60 х 84 1/16. Уч.-изд. л. 1.25. Заказ № 109 Тираж 100 экз.

Редакционно-издательский центр НГУ. 630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2.

Введение

Глава 1. Варианты метода КНК повышенного порядка точности для уравнения Пуассона

1.1. Постановка задачи.

1.2. Описание метода.

1.3. Ортогональный метод решения переопределенной системы линейных алгебраических уравнений.

1.4. Численные эксперименты.

1.4.1. Сходимость приближенного решения.

1.4.2. Влияние погрешностей округления.

1.5. Ускорение сходимости итераций

1.5.1. Описание метода.

1.5.2. Связь с методом Эйткена (^-процессом)

1.5.3. Численные эксперименты.

Глава 2. Варианты метода КНК для численного решения уравнений Навье-Стокса

2.1. Постановка задачи.

2.2. Описание метода.

2.3. Ускорение сходимости итераций

2.4. Результаты расчетов.

2.4.1. Сходимость приближенного решения.

2.4.2. Задача о течении в каверне с движущейся крышкой

Глава 3. Консервативный вариант метода КНК для стационарного уравнения теплопроводности

3.1. Постановка задачи.

3.2. Описание метода.

3.3. Численные эксперименты.

Глава 4. Численное моделирование лазерной сварки тонких металлических пластин

4.1. Трехмерная математическая модель процесса лазерной сварки

4.1.1. Определяющие уравнения.

4.1.2. Краевые условия для уравнения теплопроводности

4.1.3. Краевые условия для уравнений Навье-Стокса.

4.2. Квазитрехмерная модель.

4.2.1. Осреднение уравнений Навье-Стокса.

4.2.2. Осреднение уравнения теплопроводности.

4.2.3. Осреднение краевых условий.

4.3. Численный метод.

4.4. Результаты расчетов.

Современное развитие науки стимулирует все более широкое применение численного моделирования в различных ее областях. С его помощью делается прогноз погоды, конструируются летательные аппараты, турбины, химические реакторы, решаются многие другие задачи науки и техники. Стремление добиться наиболее полного и точного описания рассматриваемых явлений приводит к необходимости использования сложных математических моделей, что в свою очередь стимулирует развитие численных методов и предъявляет повышенные требования к их свойствам: точности, устойчивости, адекватности в описании законов сохранения и т. д.

Данная работа посвящена развитию метода коллокаций и наименьших квадратов (КНК). Здесь предложены способы построения вариантов метода КНК повышенного порядка точности для численного решения краевых задач для двумерных стационарных уравнений Навье-Стокса и уравнения Пуассона, а также консервативный вариант метода для стационарного уравнения теплопроводности.

Суть метода коллокаций заключается в следующем. Приближенное решение ищется в конечномерном линейном пространстве функций. Неизвестные коэффициенты его разложения по базису пространства определяются из уравнений коллокаций и краевых условий. Уравнения коллокаций — это требования того, чтобы приближенное решение удовлетворяло уравнениям исходной дифференциальной задачи в конечном множестве точек области (точках коллокаций), в которой ставится эта задача. Краевые условия получаются из требований выполнения соответствующих условий рассматриваемой задачи в нескольких точках на границе области. В методе коллокаций записывается ровно столько уравнений, сколько имеется неизвестных. В методе КНК число уравнений превосходит количество неизвестных, то есть система, из которой ищутся неизвестные коэффициенты, является переопределенной. Для ее решения используется метод наименьших квадратов (МНК).

Применение МНК зачастую улучшает свойства численного метода. Например, в задаче построения аппроксимапта при использовании интерполяционного полинома Лагранжа для функции, заданной в узлах равномерной сетки, с ростом числа узлов интерполяции существенно ухудшается устойчивость решения (начиная с некоторого количества узлов). Применение метода наименьших квадратов делает более устойчивым построение решения этой задачи в виде полинома. Отличие МНК от метода Лагранжа в том, что в нем не требуется равенства значений аппроксиманта и дискретного значения интерполируемой функции в узлах, а требуется достижение минимума функционала, который обычно состоит из суммы квадратов невязок с весовыми коэффициентами для всех узлов.

Проблемой создания методов повышенного порядка точности численного решения эллиптических уравнений занимались многие исследователи. Она успешно решалась, начиная с тридцатых годов прошлого века [47] (Ш.Е. Ми-келадзе). Обзор последующих исследований можно найти в работах А.Н. Ва-лиуллина [9,10], некоторая библиография приведена в книгах Г. Стренга, Дж. Фикса [64], Ф. Съярле [66], Л.А. Оганесяна, Л.А. Руховца [49], К. Шваба [125], K.-J. Bathe [82], В.П. Ильина [21], а также статьях [80] (I. Babuska, М. Suri), [74,75] (В.П. Шапеев, А.В. Шапеев). В [7,62,63,132] А.Г. Слепцовым, В.В. Беляевым, В.П. Шапеевым, предложены и реализованы варианты методов коллокаций и КНК для эллиптических уравнений второго порядка. В них приближенное решение ищется в пространстве кусочно-квадратичных функций на сетках с прямоугольными или треугольными ячейками. Они позволяют в случае достаточно гладкого решения строить приближенные решения, которые сходятся к точному со вторым порядком на последовательности сеток при h —» 0, где h — максимальный линейный размер ячеек сетки. В данной работе на основе результатов, полученных в [7,24,51,62,63,116,127,132], предложен способ построения вариантов метода КНК повышенного порядка точности для уравнения Пуассона. Это уравнение, как достаточно простое, было выбрано для отработки подхода к созданию вариантов метода КНК повышенного порядка в более сложных случаях. В численных экспериментах показано, что в случае достаточно гладкого решения новые варианты метода, предложенные в данной работе, позволяют получать приближенное решение, сходящееся к точному с высоким порядком на последовательности сеток при h —» 0.

Система Навье-Стокса определяет одну из важнейших моделей в механике сплошной среды. Она описывает движения широкого класса реальных жидкостей и имеет приложения в различных областях естествознания. Большой вклад в развитие теории вязкой несжимаемой жидкости внесли работы Ж. Лерэ, Ю. Шаудера [110,111], Ж.Л. Лионса [40,113], О.А. Ладыженской [39], Р. Темама [67] и других исследователей [32,33,102]. В них рассматриваются вопросы существования, единственности и устойчивости решений краевых задач для уравнений Навье-Стокса.

Система Навье-Стокса нелинейна. Она неразрешима аналитически в общем случае. Поэтому для ее решения, как правило, применяют численные методы. В уравнениях Навье-Стокса при старших производных присутствует множитель 1/Re. При больших значениях числа Рейнольдса Re он становится малым, вследствие чего в области решения возникают особенности в виде тонких пограничных слоев, зон их взаимодействия, отрывов потока и т. д. С ростом числа Рейнольдса картина течения обычно усложняется, а приближенные методы решения уравнений Навье-Стокса становятся менее устойчивыми. Эти обстоятельства предъявляют повышенные требования к применяемому численному алгоритму. Поэтому приближенное решение уравнений Навье-Стокса представляет собой сложную задачу вычислительной математики [6,68].

В настоящее время существует большое количество различных подходов к численному решению краевых задач для уравнений Навье-Стокса. Широкое распространение получили конечно-разностные и конечно-объемные методы (см., например, монографии Н.Н. Яненко [78], П. Роуча [120], О.М. Бе-лоцерковского [6], В.И. Полежаева [52], А.И. Толстых [68], а также статьи [93] (A.J. Chorin), [71] (И.В. Фрязинов), [17] (В.А. Гущин), [97] (U. Ghia, K.N. Ghia, С.Т. Shin), [4] (Н.С. Бахвалов, Г.М. Кобельков, Е.В. Чижонков), [89] (С.Н. Bruneau, С. Jouron), [130] (D. Sidilkover, U.M. Ascher), [13] (В.А. Га-ранжа, В.Н. Коныпии), [96] (Е. Erturk, С. Gokcol), [34] (В.М. Ковеня) и цитируемую в них литературу). Большую популярность завоевали различные варианты метода конечных элементов [53] (В.Я. Ривкинд, B.C. Эпштейн), [135] (С. Taylor, T.G. Hughes), [103] (J.G. Heywood, R. Rannacher), [90,91] (G.F. Carey, J.T. Oden), [98] (V. Girault, P.A. Raviart), [100,115] (R. Glowinski, O. Pironneau), [88] (F. Brezzi, M. Fortin), [137,138] (S. Turek), [83,84] (P.B. Bo-chev, M.D. Gunzburger и др.). В ряде работ успешно применялись другие проекционные методы, в частности, спектральные [118] (С. Canuto, M.Y. Hussaini,

A. Quarteroni и др.), [85] (О. Botella , R. Peyret), [136] (W. Tee, I.J. Sobey) и метод KHК [107,108] (B.N. Jiang, L.A. Povinelli), [59] (Л.Г. Семин, А.Г. Слепцов,

B.П. Шапеев), [117] (M.M.J. Proot, M.I. Gerritsma) [101] (W. Heinrichs).

Существующие на данный момент методы зачастую малоэффективны при решении сложных практических задач в рамках модели Навье-Стокса. Во многих случаях они дают приемлемый результат только при их использовании на сверхмощных ЭВМ. Известны несколько приемов, которые упрощают построение численных методов решения уравнений Навье-Стокса. Среди них, напрршер, введение искусственной сжимаемости или членов с дополнительной вязкостью [78,120]. Однако наличие этих слагаемых в уравнениях подменяет исходную физическую задачу Оценка вклада в погрешность решения введенных искусственных членов представляет определенную трудность. Это, а также другие обстоятельства, позволяют утверждать, что необходим поиск новых численных методов решения задач о течении вязкой несжимаемой жидкости.

Методы коллокаций и КНК хорошо зарекомендовали себя при решении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) [122] (R.D. Russell, L.F. Shampine), [87] (С. de Boor, В. Swartz), [79] (U. Ascher, J. Christiansen, R.D. Russel), [19] (Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.JI. Мирошниченко), [124] (К.Н. Schild), уравнений эллиптического [7, 62, 63, 132] (А.Г. Слепцов, В.В. Беляев, В.П. Шапеев) [112] (Z. Leyk) и параболического [51,116] (А.В. Плясунова, А.Г. Слепцов) типов, уравнений Стокса [58,107] и Навье-Стокса [25,59,104,108]. Поэтому задача реализации новых вариантов метода КНК для уравнений Навье-Стокса является актуальной.

В работах Л.Г. Семина, В.П. Шапеева и А.Г. Слепцова [58,59,127] созданы варианты метода КНК для уравнений Стокса и Навье-Стокса второго порядка точности. В данном исследовании проведено их обобщение. Здесь предложен способ построения вариантов метода КНК, в котором за счет увеличения порядка полиномов, аппроксимирующих компоненты решения, можно повышать порядок точности метода (при условии достаточной гладкости решения). С его помощью реализованы новые варианты метода до восьмого порядка включительно. Для исследования их возможностей в данной работе проведены численные эксперименты с решением задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости в каверне с движущейся крышкой. Она считается многими исследователями эталонной для численных методов решения уравнений Навье-Стокса [13,24,25, 59, 67,81, 85, 96, 97,101,104,117,127,129,136]. Среди работ, опубликованных к настоящему моменту в мировой литературе, в [81] (Е. Barragy, G.F. Carey), [85] (О. Botella, R. Peyret), [13] (В.А. Гаран-жа, В.Н. Коньшин), [96] (Е. Erturk, С. Gokciol), [129] (A.V. Shapeev, R Lin) выполнены одни из наиболее точных расчетов этой задачи. О достоверности результатов, приведенных в [13,81,85,96,129], свидетельствует то, что все они получены существенно разными методами и хорошо согласуются между собой. Отдельные численные характеристики течения в каверне, приведенные в [13,81,85,96,129] совпадают с точностью от 10~6 до 10~8. Отметим, что метод КНК также существенно отличается от используемых в [13,81,85,96,129] методов.

В главе 2 приведены таблицы характерных значений решения задачи о течении в каверне, полученных в данной работе и в [13,81,85,96,129]. В эти таблицы также включены результаты широко известной и цитируемой статьи [97] (U. Ghia и др.). Работа [97] опубликована в 1982-м году. В ней были получены выдающиеся для своего времени результаты. Однако они, по-видимому, уступают но точности расчетам, которые были проведены в последние годы [13,81,85,96,129]. Из сравнения с работами [13,81,85,96,129] видно, что новые варианты метода КНК позволяют с высокой точностью рассчитать подробные детали вихревой структуры течения. В частности, для центрального вихря в каверне при Re = 1000 результаты для функции тока, полученные методом КНК, совпадают с приведенными в работах [85, 129] с точностью 2 • 10~8. Кроме того, в численных экспериментах на последовательности сеток установлено, что приближенное решение, получаемое с помощью новых вариантов метода КНК, сходится к точному с высоким порядком при h —0 (при достаточной гладкости решения).

В [101,107,108,117] ранее были предложены варианты метода КНК, при реализации которых уравнения Навьс-Стокса переписывались как система дифференциальных уравнений первого порядка. При этом в уравнения в качестве новой неизвестной добавлялась завихренность. В данной работе этот прием не использовался. Одним из достоинств предложенных здесь вариантов метода перед описанными в [101,107,108,117] является то, что они позволяют строить приближенное решение, которое точно удовлетворяет уравнению неразрывности div v — 0 внутри каждой ячейки сетки.

Построение приближенных решений уравнений Навье-Стокса, имеющих необходимую точность, часто связано с большими затратами ресурсов ЭВМ. Для уменьшения времени, необходимого для проведения расчета, здесь использовался вариант метода ускорения сходимости итераций, предложенного в работах А.Г. Слепцова [60, 109]. В нем в ходе итерационного процесса к текущему приближению добавляется поправка из подпространства Крылова [123]. При исследовании новых вариантов метода КНК в данной работе проделано большое количество различных численных экспериментов (с аналитическим решением, с решением эталонной задачи о течении в каверне). Их выполнение за относительно небольшой срок было бы невозможным без использования эффективного алгоритма ускорения сходимости итераций [26]. Применение других известных методов ускорения, например, многосеточного подхода [11,69], по-видимому, позволит добиться дополнительного расширения возможностей вариантов метода КНК, предложенных в данной работе.

Непрерывно дифференцируемых функций недостаточно для описания многих важных физических процессов. Например, в задаче Стефана о фазовых переходах частная производная от температуры по нормали к поверхности раздела фаз терпит разрыв первого рода. При математическом моделировании таких процессов приходится переходить к рассмотрению обобщенных решений. Для расчета последних существуют различные методы. Некоторые из них описаны, например, в [14,46,49,55,56,64,66]. Одним из известных подходов, позволяющих рассчитывать обобщенные решения, является построение консервативных разностных схем [14] (С.К. Годунов), [55,56] (А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич), обеспечивающих выполнение на разностной сетке интегральных законов сохранения, которые имеют смысл как в случае гладких, так и разрывных подынтегральных выражений.

В данной работе предложен и реализован новый консервативный вариант -метода КНК для численного решения стационарного уравнения теплопроводности. Уравнения коллокаций и условия согласования, используемые в нем для построения приближенного решения, получены здесь из требований выполнения закона сохранения энергии в ячейках сетки, баланса потоков на границах между ними и непрерывности решения (в конечном числе точек на границах между ячейками). В численных экспериментах с решениями, имеющими значительные разрывы производных, показано, что приближенное решение, получаемое методом КНК, сходится к точному с порядком не хуже первого на последовательности сеток при h —> 0. При реализации консервативного варианта метода КНК здесь использовался опыт создания консервативных разностных схем, описанный в литературе [14,55,56].

Новые численные алгоритмы, предложенные в данной работе, применены для решения задачи о движении расплава в сварочной ванне при лазерной сварке металлических пластин. За последние сорок лет в странах с развитой индустрией лазерные технологии усиленно разрабатывались и внедрялись в различных отраслях промышленности: авиационной, космической, автомобиле- и судостроении. Были созданы специальные центры по разработке технологий с применением лазеров. В промышленности лазеры используются в первую очередь для сварки, резки и поверхностной обработки изделий. В последние годы возрастающее внимание уделяется разработке технологии лазерной сварки металлических изделий. Лазерная сварка имеет ряд достоинств по сравнению с другими видами соединения материалов. Но ее широкое внедрение сдерживается низкой стабильностью свойств сварных соединений. Экспериментальное изучение и определение оптимальных технологических параметров в связи с особенностями самого процесса сварки сопряжено с большими методическими трудностями pi значительными затратами. Поэтому разработка адекватных математических моделей теплофизических процессов, протекающих в соединяемых деталях, а также численных алгоритмов для реализации моделей сварки на ЭВМ является актуальной проблемой.

Лазерная сварка характеризуется многообразием физико-химических и гидродинамических процессов. В месте контакта луча лазера с изделием металл плавится, образуя ванну с расплавом (жидким металлом). Если мощность лазера выше некоторой критической, то расплав в зоне сварки кипит, образуя паровой канал микроскопических размеров, из которого с большой скоростью истекает газ из ионов металла и различных компонент и включений, присутствующих в сплаве.

Область взаимодействия луча лазера и металла неустойчива. Она окружена плотным облаком паров металла и обладает высокой температурой. Эти обстоятельства сильно затрудняют измерения физических параметров процесса и визуальное наблюдение зоны сварки. Неоднородности в материале изделия и нестабильность поглощения лазерного излучения порождают возмущения в движении расплава, которые усиливаются на вертикальных стенках канала, растут и становятся соизмеримыми с его поперечными размерами. При этом имеет место и гидродинамическая неустойчивость [41]. Возникающие пульсации скорости и давления в жидком металле распространяются по всей ваппе. Однако если интенсивность поглощения излучения лазера и скорость сварки постоянны, то небольшие пульсации параметров течения газа и расплава происходят около их средних величин. В этом случае средние значения параметров процесса в зоне сварки и на периферии можно считать постоянными.

Под действием сил поверхностного натяжения и трения истекающего газа о стенки канала в сварочной ванне возникают вихревые движения расплава. В ранее опубликованных моделях лучевой сварки (электронно-лучевой и'лазерной) они не учитывались [121] (D. Rosenthal), [54] (Н.Н. Рыкалин). Известные оценки скорости движения расплава в сварочной ванне показывают, что для режимов сварки, используемых на практике, течение жидкого металла может быть турбулентным [119] (R. Rai, Т.A. Palmer и др.).

Теплофизическая модель без учета вихревых движений расплава позволяет удовлетворительно рассчитать некоторые параметры процесса сварки: размеры сварочной ванны, области с двухфазным состоянием металла, ширину сварного шва и предсказать размеры зерен в кристаллической структуре застывшего металла [72,73,76] (А.Н. Черепанов, В.П. Шапеев и др.). Однако моделирование процессов в ванне на основе уравнений динамики вязкой теплопроводной жидкости показывает, что движение расплава в ней зависит от физических параметров процесса и в свою очередь влияет на форму ванны и в некоторой степени на ее размер [95] (J. Dowden, М. Davis, P. Kapadia). В [134] (W. Sudnik, D. Radaj и др.) для учета вихревых движений расплава используются полуэмпирические формулы.

В данной работе предложена трехмерная квазистационарная математическая модель процесса лазерной сварки встык двух металлических пластин. В ней для описания теплопереноса используется уравнение теплопроводности с конвективными членами, а для моделирования течения расплава в сварочной ванне — уравнения Навье-Стокса. В модели учитывается наличие парогазового канала в зоне воздействия лазерного луча на металл. При этом в любой точке поверхности канала записывается условие теплового баланса и учитывается трение о поверхность паров металла, истекающих из него. Другие особенности модели изложены далее в соответствующих разделах главы 4.

Ввиду существенной сложности трехмерной модели, в данной работе на ее основе путем осреднения уравнений по одной пространственной переменной (переменной у, ось которой направлена перпендикулярно сварному шву) создана квазитрехмерная модель. В ней учитывается конечность в направлении оси у характерных размеров области, в которой протекают физические процессы. Приближенно учитываются поток тепла в направлении оси у и трение между перпендикулярными к оси у слоями расплава в ванне. На основе квазитрехмерной модели и новых вариантов метода КНК в данной работе создан численный алгоритм для моделирования тепломассопереноса в изделии. Он позволяет оценить влияние конвекции расплава на распределение температуры в пластинах в процессе сварки и форму сварочной ванны. Проведены расчеты лазерной сварки титановых пластин при их различных толщинах.

В постановке задачи о моделировании лазерной сварки присутствуют требования к численным алгоритмам, которые были учтены в данной работе при создании вариантов метода КНК: наличие внутренних границ, на которых производные решения терпят разрыв первого рода, криволинейность внутренних границ и поверхности парового канала, большие числа Рейнольдса для течения в сварочной ванне.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение сформулируем основные результаты работы.

1. Предложен способ построения вариантов метода КНК повышенного порядка точности для численного решения уравнения Пуассона. На его основе созданы варианты метода до восьмого порядка включительно. В численных экспериментах показано, что в случае достаточно гладкого решения они позволяют получать приближенное решение, сходящееся к точному с высоким порядком на последовательности сеток при h —> О, где h — максимальный линейный размер ячеек сетки.

2. Для численного решения стационарного уравнения теплопроводности предложен и реализован консервативный вариант метода КНК. Уравнения коллокаций и условия согласования, используемые в нем для построения приближенного решения, получены в результате аппроксимации закона сохранения энергии в ячейках сетки. Проведены численные эксперименты на последовательности сеток с решением, имеющим значительные разрывы производных. Показано, что имеет место сходимость приближенного решения к точному с первым порядком при h —> 0.

3. Предложен способ построения вариантов метода КНК высокого порядка точности для уравнений Навье-Стокса. На его основе созданы варианты метода до восьмого порядка включительно. Для исследования их возможностей проведена серия численных экспериментов с аналитическим решением и с решением известной эталонной задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости в каверне с движущейся крышкой. В расчетах на последовательности сеток установлено, что приближенное решение, получаемое с помощью новых вариантов метода КНК, сходится к точному с высоким порядком при h 0 (при достаточной гладкости решения). Сравнением с высокоточными результатами расчетов течения в каверне, полученными другими исследователями, показано, что предложенные в данной работе варианты метода КНК позволяют с хорошей точностью рассчитать подробные детали вихревой структуры течения.

4. Предложены новые трехмерная и квазитрехмерная модели процесса лазерной сварки встык двух металлических пластин. На основе вариантов метода КНК, созданных в данной работе, и квазитрехмерной модели построен численный алгоритм для расчета распределения температуры в изделии и моделирования течения расплава в сварочной ванне. Проведены расчеты процесса лазерной сварки титановых пластин при их различных толщинах. Исследовано влияние течения расплава в сварочной ванне на ее форму.