Нелинейные задачи механики пластин и пологих оболочек переменной толщины и коллокационные методы их решения тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ



НАЗАНСКШ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

РОГАЛЕВИЧ Виктор Вячеславов^

с

ш 539.3

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ И КШОКАЦИОНННЕ ШОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

Специальность 01.02.04 - механика дефоршшуекого

твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ -диссертации на соискание ученой степени доктора физико-матекатичесхих наук

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ пи.В. И.УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи

Работа выполнена в Уральском ордена Трудового Красного Знамени политехническом институте им.С.М.Кирова.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация -

доктор физико-математических наук, профессор ГАНИЕВ Н.С.,

доктор технических наук, профессор СОБОЛЕВ Д.Н.,

доктор физико-математических наук, профессор СТОЛЯРОВ Н.Н,

Саратовский ордена Трудового Красного Знамени политехнический институт

Защита состоится

1990 г. в

часов

на заседании специализированного совета Д 053.29.01 при Казанском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им.В.И.Ульянова-Ленина по адресу: 420008, Казань, ул.Ленина, 18, аудитория физ.2.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского государственного университета.

Автореферат разослан

1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета,

доктор физ.-мат.наук, доцент Жигалко D.O.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Гибкие пластины к оболочки разнообразных форм аироко применяются в различных областях техники, а тон числе и в таких, где снизениз материалоемкости и веса конструкций является перэоочередной задачей. Решение данной задачи возможно различными путями, и среди них путем применения тонкостенных элементов переменной толсты и совершенствования методов их расчета.

Как известно, надряяенно-деформированное состояние гибких пластин и оболочек переменной толщины описывается сложными нелинейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. Проинтегрировать эти уравнения точно не удается и применяются различные приближенные методы расчета Ритца, Бубнова-Галеркина, конечных разностей, конечных элементов и др. Некоторые из этих методов достаточно слояны в реализации, другие приводят к системам нелинейных алгебраических уравнений высокого порядка.

В настоящее время применительно к рассматриваемому классу нелинейных задач продолжается дальнейший поиск к развитие приближенных методов, которые отличались бы простотой в реализации.« в то же время обладали необходимой универсаль-тестьв и зф^ективностьо.

Среди приближенных методов, не получивших до слх пор залетного развития и широкого применения при решении нелинейных краевых задач, следует назвать коллокационныэ методы, относящиеся к категории проекционных. Эти методы просты в реализации, в том числе и при решении геометрически нелинейных за-;ач механики пластин и оболочек переменной толщины, но облает существенны;.! недостатком, состоящим в том, что результаты решения зависят от размещения узлов коллокации, а объективные критерии их правильного размещения отсутствует.

Пельв диссертации является развитие и обобщение коллока-пюнных методов и их практическое применение для решения ши-гакого класса слоггных геометрически нелинейных задач кехани-:и пластин и пологих оболочек переценной толщины.

В соответствии с целью работы

1) предложены и впервые применены для решения нелинейны? задач статики, динамики, устойчивости пластин и пологих оболочек переменной толщины: метод ортогональной коллокации, основанный на специальном способе размещения узлов; метод переопределенной внутренней коллокации, основанный на равномерно! размещении узлов; метод переопределенной граничной коллокации, основанный на специальном приеме построения частных решений;

2) предложены и впервые реализованы эффективные алгоритмы решения методом коллокации нелинейных краевых задач статики, динамики, устойчивости пластин и пологих оболочек на круг

лом, прямоугольном, а также сложном планах;

3) с использованием разработанных программ решен широки* круг новых геометрически нелинейных задач теории пластин и пс логих оболочек переменной и постоянной толщины при статически и динамических нагрузках, температурно-силовых воздействиях;

4) с использованием предложенных критериев качества даш оценка точности полученных результатов и проведен анализ особенностей напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек переменной толщины на различных этапах деформирования.

Научную новизну работы составляют:

- предложенные и впервые примененные для решения геометрически нелинейных краевых задач механики пластин и пологих оболочек переменной толщины методы ортогональной и переопределенной внутренней и переопределенной граничной коллокации;

- разработанные и реализованные на ЭВМ эффективные алгоритмы решения методом коллокации нелинейных краевых задач статики, динамики, устойчивости пластин и пологих оболочек переменной толщины различных очертаний в плане, включающие методику построения координатных систем, методику правильного размещения узлов коллокации, способы оценок качества решения;

- результаты решения широкого круга новых геометрически нелинейных задач механики деформирования пластин и пологих оболочек переменной толщины при различных условиях опирания V нагружения.

Совокупность выполненных в диссертация исследований ква-фицируется как развитие перспективного научного направле-я, связанное с обобщением и широким применением для решения линейных краевых задач механики оболочек и пластин метода ллокации.

Достоверность результатов исследований обеспечивается рогой математической постановкой краевых задач; надежной юктической сходимость!) приближенных решений с увеличением мера приближения; выполнением дискретных или интегральных 1енок качества; совпадением с известными решениями других торов; совпадением с результатами, полученными-в работе >угими приближенными методами; соответствием результатов ючета физической природе явлений.

Практическую ценность составляют разработанные на основе ¡тода коллокации эффективные алгоритмы и программы исследо-«ия устойчивости, собственных колебаний и динамического потения, напряженно-деформированного состояния гибких пластин пологих оболочек переменной и постоянной толщины различного гертания в плане; результаты решения ряда новых нелинейных ¡дач кеханики оболочек и пластин, представленные в виде гратов и таблиц; некоторые выводы о рациональном распределении «ериала, в результате которого пластины и пологие оболочки гременной толщины оказывается менее ¡¿агериалоемктая по срав-гтш с объектами постоянной толщины.

Внедрение результатов диссертации выразилось в передаче ада программ и расчетных методик заинтересованным предприя-1ям; в проведении по разработанным программам статических и шамических расчетов элементов тонкостенных конструкций стегального назначения; в разработке и внедрении в учебный про-гсс методических указаний по курсу строительной механики Засчет пластин и пологих оболочек методом коллокации".

На защиту выносятся:

- методы ортогональной и переопределенной коллокации, азработанные для решения нелинейных краевых задач механики иастин и оболочек;

- методика построения координатных систем для решения раевых задач в прямоугольнике;

- методика правильного размещения узлов коллокации в прямоугольных областях;

- алгоритмы исследования устойчивости, динамического поведения и напряженно-деформированного состояния пластин и пологих оболочек переменной толщины на круглом, прямоугольном и сложной планах;

- методика отыскания наименьшего критического параметра в задачах устойчивости, не связанная с раскрытием определителя;

- результаты численного решения широкого круга новых нелинейных краевых задач статики, динамики, устойчивости пластин и пологих оболочек переменной и постоянной толщины, имеющих теоретическое и прикладное значение.

Аггробахтя работы. Основные результаты диссертации докладывались на X, XI, ХП, ХШ Всесоюзных конференциях по теории оболочек и пластин (Кутаиси, 1975; Харьков, 1977; Ереван, 1980; Таллин, 1983); 1У, У Всесоюзных конференциях по статике и динамике пространственных конструкций (Киев, 1978, 1985); симпозиуме по нелинейной теории оболочек и пластин (Казань, 1980); Всесоюзном симпозиуме по устойчивости в механике деформируемого твердого тела (Калинин, 1981); II Всесоюзном совещании-семинаре молодых ученых "Актуальные проблемы механики оболочек" (Казань, 1985); X Всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Красноярск, 1987); Всесоюзной конференции "Нелинейные задачи расчета конструкций в условиях высоких температур" (Саратов, 1938); Республиканской научно-технической конференции "Механика сплошных сред" (Набережные Челны, 1982); 1У,.У, У1, УП, УШ научно-технических конференциях Уральского политехнического института иы.С.М.Кирова (Свердловск, 1973, 1976, 1979, 1984, 1988); научно-технической конференции Томского инженерно-строительного института (Томск, 1980); научных семинарах по теории оболочек Казанского физико-технического института КФ АН СССР (Казань, 1973-1987); научном семинаре кафедры строительной механики Московского инженерно-строительного института им.В.В.Куйбышева (Москва, 1982).

В завершенном виде работа была доложена на научном семинаре по теории оболочек под руководством проф.Корнишина М.С. (Казань, ШШ АН СССР, 1989); меякафедральном научном семи-

lape по строительной механике под руководством проф.Петро-¡а В.В. (Саратов, СПИ, 1989); научном семинаре по механике , сформируемого твердого тела под руководством проф.Конопле-ia Ю.Г. (Казань, КГУ, 1989).

Публикации. Основные результаты исследований по теме [нссертацш опубликованы в 32 научных статьях и докладах ав~ 'opa.

Структура и объем работы. Диссертация состоит кз зведе-шя, семи глав, общих выводов, заключения, библиографическо-•о списка и приложения; излояена на 462 страницах, включаю-¡их 141 рисунок на 81 странице , 47 таблиц на 18 страницах, :писок литературы из 402 наименований на 44 страницах, при-южение на 2 страницах.

Диссертаидя выполнена в соответствии с планом научно-юследсватсльохнх работ Уральского ордена Трудового Красно-■о Знамени политехнического института им.С.М.Кирова и, в ¡астности, с темой № 2468 (г.р. 0IS6QQ070I) "Разработка мето-. ;ов, алгоритмов и программ расчета тонкостенных систем, вкло-[агящх гибкие оболочки и пластинки, на прочность, устойчи-юсть и колебания".

Тема вклвчена в координационный план научно-исследова-'ельских работ вузов я АН СССР в области механики на 1986-•1990 гг. (проблема 2.7) и в комплексную целевул программу [инвуза РСФСР "Прочность" на 1986-1990 гг. и до 2000 года научное направление 04.02). .

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечается больиой вклад советских ученых в ¡азвитие нелинейной теории оболочек и пластин, в разработку. ! практическое применение различных приближенных методоз ре-¡ения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела, [одчеркивается, что развитие эффективных приближенных методов >ешения сложных нелинейных краевых задач теории пластин и Волочек по-прежнему остается актуальной проблемой. Указы-¡ается, что целью диссертации является развитие, обобщение и фактическое применение для решения геоызтрически •нелинейных

задач механики пластин и пологих оболочек переменной толщш коллокационных методов. Формулируются основные положения Д1 сертации, выносимые на защиту.

В первой главе излагается сущность различных коллокащ ных методов, дается обзор работ математического и прикладш характера. Отмечается, что идея метода коллокации принадлез акад.Л.В.Канторовичу. Приводится краткое описание применяе! в настоящее время методов внутренней, граничной, смешанной коллокации и коллокации по линиям. Обсуадаатся работы Э.Б.Карпиловской, Г.Ц.Вайникко, Ю.П.Ярцева, Б.Г.Габдулхаевг других авторов, в которых дано обоснование метода внутренне коллокации и коллокации по линиям для линейных дифферекциа; ных и интегро-дифференциальных уравнений. Обращается вниыш на работы Г.М.Вайникко, М.Г.Рассадиной и С.О.Стрыгиной, гд* рассмотрены вопросы обоснования метода внутренней коллокащ при решении нелинейных обыкновенных дифференциальных уравш ний. Кратко рассматривался работы Н.Н.Столярова, Р.Н.Дозд! ной, С.Х.Хайруллина и других авторов, в которых исследован) сходимость и дана оценка погрешности решения методом внутр* ней коллокации некоторых линейных задач изгиба прямоугольм пластия.

На основании проведенного обзора установлено, что мет< внутренней коллокации и коллокации по линиям в достаточной степени обоснованы для обыкновенных дифференциальных уран» ний. В случае нелинейных краевых задач в частных производи обоснование коллокационных методов остается актуальным.

Среди работ прикладного типа прежде всего уквЕеи на р| боту ВаНа, где для решения линейной задачи изгиба защеши ной по контуру квадратной пластины впервые примешен метод граничной коллокации. СоП'Ш'ау, Лейсса, Нвденфор и др. рао про с тралил к в 60-е годы этот метод на решение широкого кру; линейных задач изгиба пластин различного очертания в плане Разнообразные прикладные задача изгиба пластин решены колл! кационншк ызтодами в линейной постановке А.Л.Лившицем, А.В.Вестяком, Н.И.Белкиныа, Р.А.Хечумовым и другими автора; Объектами исследований являлись пластины на круглом, прямо' угольном, трапециевидной, ююгоугольнои планах, в тон числ ослабленные круговыми вырезами. Различные варианты коллока ционных методов применены А.Н.Волчковш, Н.Н.Гурьевой,

.И.Кривошеевым и др. для исследования в линейной постановке точности торообразных, конических, эллипсоидальных оболочек, :тойчивости и колебаний пластин, концентрации напряжений *оло отверстий и трещин а пластинах. Примечательно, что Лейс-1 с соавторами и /?о6т$0Я., проведя по многим признакам равнительный анализ приближенных методов решения линейных здач изгиба пластин, отдали предпочтение методам внутренней граничной коллокации, как наиболее эффективным и универ-•иьным.

Для решения нелинейных краевых задач метод внутренней эллокации впервые применен Ц.С.Корнишиным (1960 г.) при ис-недовании напряженно-деформированного состояния гибких руглых пластин. В дальнейшем некоторые нелинейные задачи из-*ба пластин и пологих оболочек решены в работах БНУвГтапй Мауш, Р.А.Хечумова и Б.К.Усеинова, С.Б.Косицина и .А.Мануйлова, С.А.Шестерикова, В.В.Кашелкина и П.В.Сергеева, .В.Онищука и Г.Я.Попова, других авторов.

К сояалешт число подобных работ весьма ограничено, ис-недования не носят систематического характера, вопросы пра-адьного размещения узлов коллокации и оценки качества при -пленных решений нелинейных краевых задач коллокационными зтодами практически не разработаны.

Вторая глава посвящена излояэниэ основ предлагаемых для эшения нелинейных краевых задач методоз ортогональной и зреопределенной внутренней и переопределенной граничной кол-зкации. Рассмотрены'вопросы применения метода внутренней аллокация в проблеме собственных чисел. Изложена методика зстроения координатных систем и размещения узлов коллокации ри решении краевых задач в прямоугольных областях. Предло-ены способы оценок качества приближенных решений краевых за-ач коллокационньши методами.

Будем полагать, что в прямоугольной [-&*X¿О.;-Ь¿у* Ь] бласти £т , ограниченной контуром Г , нелинейная краевая за-ача представлена з виде

Ца(х,у)] = Г, (и е б), (I)

I и(х,у) , (иеГ) , (2)

где /- , I - нелинейный и линейный операторы соответственно;

Р , £ - некоторые алгебраические выражения.

Приближенное решение краевой задачи представим в виде двумерного ряда

и(х>Р в 1Ш) ' (3>

где , ~ линейно независимые элементы некоторых

полных координатных систем, удовлетворяющие краевым условиям; (2щ - неизвестные коэффициенты разложения. Подставляя (3) в (I), установим невязку

- рк(р]-г • (4)

С точностью до постоянного множителя аппроксимируем невязку произведением степенных полиномов

Структура полиномов рг и зависит от типа решаемой краевой задачи (четной, нечетной, смешанной) к, например, для краевой задачи четной по X и нечетной по ^ такова:

Значения коэффициентов Су , С^/ устанавливаем из условий ортогональности полиномов рз , (¿1 с элементами координатного

базиса, т.е. из систем линейных алгебраических уравнений а &

¡(¡>г(хЩШх - 0 , $5(а)&и-0 . (7)

-а ' -ь

Пр1фавнивая далее .невязку (5) нулю, находим корни полученного уравнения. В рассматриваемом прямоугольнике корнями будут серии ортогональных прямых, точки пересечения которых а принимаются в качестве узлов коллокации.

Потребуем, чтобы в этих узлах обращалась в нуль невязка (4).

В результата получаем систему 5г нелинейных алгебраических уравнений

№ & (р] -Г - 0 , (8) Г?/

13 ревения которой устанавливаем значения коэффициентов и^ .

Таким образом, о с; юзу метода ортогональной коллокации ;М0К) образует соотношения ортогональности (7), позволяющие устранить произвол 0 размещении узлов коллокации. .

Идея метода переопределенной внутренней коллокации (ШК) ¡есьма проста. В соответствии с данным методом область, в ко-■орой разыскивается решение, покрывается.равномерной сетью 'злов коллокации, количество которых значительно (в 2-4 раза) гревышает число искомых коэффициентов разложения. Требование рбращения невязки в нуль в узлах коллокации порождает пере-шределеннуя систему нелинейных алгебраических уравнений. Ре~ (ение последней осуществляется методом общей итерации, а ли-;еарязованная на каддом гаге итерационного процесса переопре-,елекная система алгебраических уравнений разрешается методом :аименышга квадратов.

Показано, что при реаении нелинейных краевых задач МПК :е совпадает с дискретным аналогом проекционного метода наи-¡еньиих квадратов и значительно проще последнего в реализации.

Метод переопределенной граничной коллокации (МГК) су-;есгвенко отдается на поз^пность представления уравнения (I) . виде

1ви + 1,(11) » Г- , (9)

де и ¿ч - линейный и нелинейный дифференциальные' операторы соответственно. • реобразуем (9) к виду = ¿- (а) и будем разыскивать его риблияенное решение в форш

и. = и0 + и* , (10)

де ио - общее решение однородного уравнения;

У /*

и. - частное решение неоднородного уравнения.

Для построения частного решения ¿¿* аппроксимируем пра-ун часть -преобразованного уравнения (9) полиномом Р , а

структуру полинома будем однозначно определять операцией

Р = L0U* . Поскольку решение нелинейной краевой задачи в форма (10) можно осуществить только итерационно, то для кале го j -го шага итераций приближенное решение примет вид : —У У *У & J Л i

UJ - ui + u*' - ZAk% + Latfr . (I

Значения коэффициентов и /4* определяются соответствен» из систем уравнение

[L. (¿cf 'Ц - /Г i| А„ % -1 aip}4, m

КК'УД -У-КЫ'^)] , и:

г т

где ^ /... Л^ - координаты узлов интерполяции, равномерно покрыващих область G ; . ■ П - координаты узлов коллокации, равномерно расположенных на границе Г . Отметим, что обе переопределенные системы линейных алгебраических уравнений разрешаются на каждом шаге итерационного процесса методом наименьших квадратов, а процесс итераций зi канчивается, когда значения искомых коэффициентов получены с заданной точностью.

При решении краевых задач, связанных с проблемой собственных чисел, МОК приводит к традиционным схемам, в которых определитель системы линейных однородных уравнений приравнивается к нулю к из полученного уравнения, устанавливаются соС ственные числа. В случае применения КПК возникают переопреде ленные системы линейных однородных алгебраических уравнений догно отыскать лезь такие собственные числа, которые позволь с наименьшей среднеквадратичной ошибкой определить собствен* вектора.

Уравнение для вычисления собственных чисел имеет вид

J>fA) - СТ(Л)* С (Л) - min , (I

где С(1)~ прямоугольная матрица из коэффициентов при CL^ ( CLj в случае одкоизршй задачи) ;

С (К) - матрица, транспонированная для С (Я).

Во второй главе значительное внимание уделено построения эдинатных систем при решении нелинейных краевых задач а «оугольных областях. Ввд функций (р^Х.), </>к(у) (см.(З) ) шавливается путем обобщения статического метода, предло-гаго В.З.Власовым. Суть обобщения состоит в том, что ста-;ским методом определяется только первая функция базиса, ■ставляющая собой полином четвертой степени, а остальные •чалтея при увеличении степени полиномов с учетом типов ¡вой задачи (четной, нечетной, смешанной) и способа опира-балки-полоски. Построенные на этой основе баоисы удовлет-вт необходимым требованиям (линейной независимости; пол; дифференцируемости) и позволяют решать методом внутрен-коллокации (МОК; МПК) широкий круг нелинейных краевых за-мех&ники пластин и оболочек.

Практическое применение МОК требует предварительного оп-ления положения узлов коллокации. Изложенная ранее с об-позиций методика размещения узлов конкретизируется в рас использованием построенных координатных систем для эугольных областей, отображенных на квадрат /"-/¿X ; ] . Вычисления проведены с высокой точностью для случаев, 1 на границе области в различных комбинациях обращается в функция и первая или вторая производная по нормали. От-л, что при краевых условиях типа "заделка" для определе-{оэффициентов С5у , с£5у (6) получены рекурентные формулы 1ля четной, так и для нечетной краевых задач. В заключение второй главы предлагается оценку качества мя нелинейных краевых задач коллокационными методахля «водить не только по результатам практической сходимости, по величинам дискретных или интегральных невязок в об-[ и на границе, а таюхе по уровни энергии, накопленной • ■иной или оболочкой в процессе деформирования.

В третьей главе с использованием методов внутренней я лной коллокации релей широкий круг нелинейных задач ста-кругльгх пластин и пологих сферических куполов переменной ны. Предварительно проведен краткий обзор работ, связан-тематикой данного раздела. Отмечается большой вклад ственных и зарубежных ученых: В.И.Федосьева, Э.И.Григо-

люка, М.С.Коршшина, И.И.Воровича и В.й.Зипаловой, Я.М.Григо-ренко, Б.Я.Кантора, В.И.Млченкова, Н.В.Валишвили, Ы.С.Ганее-вой, К.Рейегко/ега, $.)Нау ,ЕЯе1$$пега ,й.ТНи.г$1отш и многих других исследователей. Подчеркивается, что в настоящее время разработаны хорошие машинные алгоритмы решения рассматриваемого класса нелинейных краевых задач, основанные на методах Ритца, Бубнова-Гвлеркина, конечных разностей, сведения к задачам Коши и т.д., но отсутствуют алгоритмы, основанные на коллокационных методах.

Нелинейные уравнения равновесия и совместности деформаций, описывавшие осесимметричноо напряженно-деформированное состояние гибких круглых пластин и пологих сферических куполов переменной толщины, представлены в безразмерных функциях поворота и радиального усилия. Предполагается, что толщина плавно изменяется вдоль радиуса, учитывается наличие стационарного температурного поля, двухпараметрического упругого основания, распределенной по-произвольному в радиальном направлении нагрузки.

Краевые условия заданы в обобщенном виде, а варьирование двуия параметрами позволяет моделировать как классические типы опиракик, так и различные ввды упруго-податливого закрепления на'контуре.

Функции поворота и радиального усилия представлены в виде степенных радов, точно удовлетворяющих обобщенным краевьк условиям задачи.

Методом внутренней коллокации на системе узлов, расположенных вдоль радиуса равномерно, либо со сгущением к опорному, контуру, система двух нелинейных дифференциальных уравнений переводится в переопределенную систему нелинейных алгебраи-■ ческих уравнений. Решение последней осуществляется методом общей итерации Ы.С.Корншина с использованием на каздом шаге итераций метода наименьших квадратов в матричной форме.

Таким образом» реализован алгоритм, основанный на №Ш.

Для решения нелинейных задач статики гибких круглых пластин и пологих куполов постоянной толщины при отсутствии упругого основания и температурных воздействий в работе предложен более простой алгоритм. Суть упрощения состоит в том, что степенным полиномом аппроксимируется только функция поворота, а вид функции радиального усилия устанавливается путам интег-

ирования уравнения совместности деформаций (прием Еапховича). ; результате метод внутренней коллокации применяется только ля приближенного решения уравнения равновесия, что сущест-енно снижает общую трудоемкость решения.

Разработанные алгоритмы реализованы в виде двух программ ;а ЭВМ БЭСМ-6 с языка АЛГОЛ-бО.

В работе подробно рассмотрен вопрос о достоверности ре-ультатоэ. Решены некоторые тестовые задачи, даны оценки ка-ества решений рада нелинейных задач по величине невязок по агрузке. Показано, что все полученные по разработанным про-раммам результаты вполне достоверны, а высокая точность мно-их из них позволяет относить эти результаты к эталонным.

Среди новых в данной глазе представлены результаты ис-ледования напряженно-деформированного состояния гибких ругл.ых пластин и пологих сферических куполов переменной и остоянной толщины при упруго-податливом закреплении контура, ри одновременном действии равномерного поперечного давления температурного поля и др.

На примере гибкого пологого сферического купола переменой толщины с безразмерным параметром кривизны к 10, затмленного по контуру, находящегося под действием равномерно-

0 давления и стационарного температурного поля, проиллвстри-ювана возможность увеличения верхнего критического давления ;ри охлаждении купола без увеличения его материалоемкости.

Вполне надежные результаты .получены при удержании в ря-,ах по 5-6 членов и равномерном размещении вдоль радиуса 0-12 узлов, т.е. из решёния переопределенных систем нелиней-шх алгебраических уравнений невысокого поредка.

Методом смешанной коллокации в главе решены также осе-:имметричные нелинейные задачи изгиба кольцеобразных- пластин [ пологих сферических куполов переменной и постоянной толщины

подкрепленным и неподкрепленныы ребром центральным отвергнем.

Для данного класса задач безразмерные функции поворота

1 радиального усилия представлены в виде кубических сплайнов, ¡труктура которых обеспечивает неразрывность функций в узлах юллокации до второй производной включительно!

Подставляя сплайны в уравнения равно'весия и совместно - . "И деформаций, требуя обращения этих уравнений в тождество в

узлах коллокации, вшолняя также краевые условия на внутреннем и внешнем контурах, получаем нормальную систем нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов сплайнов, решение которой по-прежнему производим методом общей итерации.

Данный алгоритм также реализован в виде программы с языка АЛГОЛ на ЭВМ БЭСМ-6.

В работе подробно проанализировано влияние числа и способа размещения узлов коллокации на скорость сходимости и ка чество решений различных нелинейных краевых задач. Даны неко торые рекомендации об основных параметрах решения нелинейных задач методом смешанной коллокации в зависимости от геометри ческих параметров кольцевых пластин и куполов с отверстием.

Приведены надежные результаты, характеризующие напряженно-деформированное состояние равномерно нагруженных защемленных на внешнем контуре пластин с неподкрепленным центральным отверстием, размер которого изменяется от = ОД до ?о=0,6,

На примере кольцеобразной пластины с » 0,3 исследовано влияние способа примыкания прямоугольного ребра на параметры прогибов и напряжений. Представлены результаты, иллюстрирующие влияние условий опирания, переменности толщины и других параметров на характеристику "нагрузка-прогиб" пологих куполов с центральным отверстием.

. Следует подчеркнуть, что использование сплайновой аппроксимации позволяет решать широкий круг одномерных нелинейных краевых задач механики пластин и оболочек методом смешанной коллокации, но приводит к необходимости решения систем нелинейных алгебраических уравнений среднего порядка (не выше 120-го).

В заключительной части третьей главы методом смешанной коллокации в комбинации с приемом Лапковича дано решение геометрически нелинейных задач статики круглых пластин ступенчато-переменной жесткости. Решение основано на кусочной аппроксимации функций поворота степенными рядами в круговой и кольцевых подобластях, точном интегрировании уравнений совместности деформаций и дискретном удовлетворении уравнений равновесия при соответствующих условиях сопряжения и краевых условиях.

Алгоритм и программа, реализованные с языка АЛГОЛ на ЭВМ БЭСМ-б, разработаны для частного случая, когда гибкая круглая пластина состоит из трех подобластей различной жесткости.

В работе значительное внимание уделяется вопросу качества получаемых результатов. Показано, что в рамках разработанного алгоритма решение линейных задач статики круглых пластин гтупенчато-переменной жесткости является точным. Нормированный уровень невязок по нагрузке обеспечивает высокое качество решения нелинейных задач при равномерном размещении узлов в каждой из подобластей.

Приведены некоторые результаты расчета гибких круглых хяастин, состоящих из двух подобластей, отношение толщин которых изменяется от I до 5, из трех подобластей при упруго-податливом закреплении на контуре, ослабленных кольцевым па-}ом или подкрепленных кольцевым выступом и другие.

Основная часть результатов получена из решения систем гелинейных алгебраических уравнений, порядок которых не предает 20.

В четвертой главе изложены алгоритмы и представлены ре-)ультаты решения геометрически нелинейных двумерных краевых юдач статики прямоугольных в плане пластин к пологих оболо-гек переменной и постоянной толщины методами ортогональной и гереопределенной внутренней коллокации (МОК и ШШ).

Задачи данного типа привлекают внимание многих ученых, (сновные результаты, полученные приближенными методами без юпользования ЭВМ, обстоятельно представлены в монографиях :.М.Муштарц и К.З.Галимова, А.С.Вольмира. С внедрением ЭВМ юзросла роль разностных методов,' расширились возможности :роекциокнкх и проекционно-сеточных методов. Значительные .остижеиия в области решения двумерных нелинейных краевых за-,ач механики оболочек и пластин связаны с именами М.С.Корни-[ина, В.В.Петрова, А.С.Сахарова, В.И.Гуляева, В.А.Крысько, [.С.Ганиева, Н.Н.Столярова, Л.В.Евджиевского, Арчера, йонга, '.\Veinitschke и многих других советских и зарубежных ученых.

Метод внутренней коллокации для решения нелинейных за-ач статики пластин и пологих оболочек переменной толщины а прямоугольном плане впервые применен И.С.Корнишиным и втором.

В главе приведены основные соотношения в смешанной форме

и в перемещениях, описывающие напряженно-деформированное со -стояние гибких прямоугольных в плане пластин и пологих оболочек при плавных законах изменения толщины. Краевые условия на контуре прямоугольной области, отображенной на квадрат, представлены в обобщенном вид6 и позволяют моделировать различные способы опирания пластин и оболочек, включая скользящую заделку, опирание на гибкие диафрагмы и т.д.

Безразмерные функции перемёщений и усилий аппроксимируются отрезками двумерных степенных радов, элементы которых точно удовлетворяют краевым условиям задачи.

Подробно описаны алгоритмы решения нелинейных краевых задач, основанные на 1ЮК и ШК. Алгоритмы реализованы с языка АЛГОЛ на ЭВМ БЭСМ-6 в ввде четырех программ, предназначенных для решения симметричных", относительно осей Л и у задач в • смешанной форме и в перемещениях, и несимметричных задач, поставленных в смешанной форме. Все алгоритмы в конечном итоге приводят к нормальным или переопределенным системам нелинейных алгебраических уравнений,, которые разрешаются методом общей итерации в сочетании с матричными процедурами метода наименьших квадратов.

Большое внимание уделено вопросу о сходимости и достоверности получаемых результатов. Анализ проведен с использование!! дискретных и интегральных оценок качества по невязкам, сходимости результатов по отдельный параметрам и энергии, путем сравнения с результатами, полученными автором методом конечны: разностей на густых сетках. Во всех случаях установлена надежность и высокая точность результатов 'решения по разработанным алгоритмам и программам.

Приведены многочисленные- результаты, иллюстрирующие влияние переменности толсргкк, тешературно-снловых воздействий, различных геометрических параметров на напрядсшю-деформиро-ванное состояние пластин и пологих оболочек при симметричном деформировании.

На примере. равномерно нагруг.еншГ. квадратной в плане пологой оболочки с безразмерными' кривизнами Я- * а у к 36. толщина которой изменяется по закону п.*

выявлен еффект исчезновения прощелкившдай оболочки при охлаждении для случая скользящей заделки на контуре.

Представлены результаты решения широкого круга нелинейна задач статики квадратных в плане пластин и пологих оболо-гек постоянной толщины при различных видах несимметричного тирания по контуру, симметричных и несимметричных способах 5агружения, несимметричных начальных неправильностях формы. 1ля цилиндрической панели с безразмерной кривизной кх = 50, ¡пирающейся по всему контуру на гибкие из плоскости диафрагмы 1 нагруженной равномерно распределенным давлением, уточнены результаты И.В.Кривошеина, В.В.Петрова.*Показано, что бифуркационная нагрузка, при которой происходит потеря устойчивости панели по несимметричной форме в 1,37 раза меньше по сравнению с'предельной, соответствующей симметричной форме потери устойчивости.

Основная часть представленных'в главе результатов получена при удержании в аппроксимирующих рядах от 16 до 36 членов, что при решении МОК краевых задач, поставленных в сме-панной форме, приводило к нормальным системам нелинейных алгебраических уравнений от 32-го до 72-го порядков. Применение МПК для решения данного класса краевых задач с надлежащей точностью потребовало сохранения в рядах 25 или 36 членов, обеспечения степени переопределенности систем алгебраических уравнений, равную 2-4, что в результате приводило к более значительным затратам машинного времени по сравнений с решениями на. основе МОК.

В последнем разделе главы обсуждаются результаты решения рассмотренных нелинейных краевых задач другими приближенными методами. Показано,- что при решении нелинейных задач статики прямоугольных в плане пластин и пологих оболочек переменной толщины коллокационные методы эффективнее других проекционных и, в особенности, сеточных методов. Так, по сравнению с методом конечных разностей МСК при одинаковой точности получаемых результатов дает выигрыш по времени счета'на ЭВМ в 1,2-1,4 раза. '

В пятой.главе на основе методов внутренней коллокации (МОК и ШК) разработаны алгоритмы решения нелинейных задач динамики прямоугольных в плане пластин и пологих оболочек переменной толщины. Интегрирование по времени выполнено методом конечных разностей с использованием явной схемы. Приведены ре-

зультаты решения нелинейных задач при действии на пластины и оболочки различных динамических нагрузок. Рассмотрены задачи о собственных колебаниях пластин и оболочек переменной толщины в линейной постановке.

Большой интерес к нелинейным задачам динамики оболочек и пластин связан с запросами авиационной и космической техники. Основополагающими работами, на длительное время определившими направления исследований, явились работы В.В,Болотина, Э.И.Григолюка, И.И.Воровича. Общая теория и обширные результаты по нелинейной динамике пластин и оболочек представлены в монографии А.С.Вольмира, различные неклассические теории колебаний изложены в книге Э.И.Григолюка и И.Т.Селезова. Многочисленные исследования по нелинейной динамике круглых пластин и пологих сферических куполов, прямоугольных в плане пластин и пологих оболочек постоянной толщины выполнены Н.В.Валишви-ли, Б.Я.Кантором, В.А.Крысько, Арчсром. Лэнгом и многими другими учеными. Вопросы динамического поведения пластин и оболочек переменной толщины изучены совершенно недостаточно, а метод коллокации для решения нелинейных динамических задач, по-существу, не применялся.

В главе уравнения движения и совместности деформаций, описывающие в смешанной форме нелинейное динамическое поведение прямоугольных в плане пластин и пологих оболочек переменной толщины, получены путем обобщения известных уравнений статики. Из методических соображений принята классическая модель затухания, при которой силы сопротивления пропорциональны скорости нормального перемещения. Процесс рассматривается без учета распространения упругих волн. Внешняя нагрузка включает как статическую, так и динамическую составляющие.

Краевые, условия заданы в такой же форме, что и при решении статических задач, а начальным условиям соответствует некоторая форма начальной поверхности пластины или оболочки при нулевой скорости нормального перемещения.

При разработке алгоритма решения рассмотрен вопрос о целесообразных способах интегрирования по времени и предпочтение отдано явной разностной схеме. Функции прогиба и усилий как и при решении статических задач аппроксимируются двумерными степенными рядами, элементы которых точно удовлетворяют краевым условиям. В работе подробно описаны алгоритмы, осно-

ванные на МОК и МПК, реализованные в виде двух программ с языка АЛГОЛ на ЭВМ БЭСМ-б. Программы позволяют исследовать симметричное относительно осей X и у, напряженно-деформированное состояние прямоугольных в плане пологих оболочек и пластин переменной и постоянной толщины при различных видах распределенных по поверхности нагрузок, изменяющихся во времени и приложенных статически. По временным затратам программа, основанная на МОК, является более экономичной.

Предварительными расчетами установлено, что для обеспечения устойчивости процесса вычислений необходимо шаг ( ¿Т ) интегрирования по времени согласовывать с числом членов 5* , удержанных в рядах, аппроксимирующих функции прогиба и усилий. Оказалось, что для 5 , изменяащегося от 2 до б, (ДГ)«0,0252,, т.е. с увеличением точности аппроксимаций искомых функций шаг интегрирования по времени следует измельчать.

В работе рассмотрено динамическое поведение и приведены цанные, характеризующие напряженное состояние квадратной пластины постоянной и переменной толщины при равномерном ступенчатом импульсе, квадратной и прямоугольной (Я = 1,5) в плане эболочек переменной толщины при равномерном импульсе большой продолжительности и импульсной нагрузке экспоненциального ви-

Представлены результаты расчета пластин и оболочек постоян--10й и переменной толщины при действии равномерных нагрузок, возрастающих с постоянной скоростью. Значительное внимание оделено анализу результатов решения нелинейных задач о вынуж-;енных и собственных колебаниях гибких пластин и пологих обо-ючек переменной толщины.

Основная часть представленных результатов получена МОК три 5* = 16, (А"С) = 1/800 с учетом затухания. Затраты време-ш на реализацию одного варианта при изменении Т от 0 до I 1е превышало 12 минут, что свидетельствует об эффективности ¡азработанного' алгоритма.

Достоверность результатов решения нелинейных динамиче -:их задач подтверждается наличием надежной практической схо-;иыости приближенных решений, формированием динамических за-!ИСИмоетей в окрестности статических и полным совпадением в |пределенных- случаях с последними, совпадением с известными ■очными решениями линейных задач о собственных колебаниях аастин я оболочек постоянной толщины.

Анализ результатов решения различных нелинейных динамических задач позволил выявить сложную, зачастую непредсказуемую картину напряженно-деформированного состояния гибких прямоугольных в плане пластин и пологих оболочек переменной толщины, истинность которой удается установить только при решении задач в высоких приближениях.

В последнем разделе главы дан алгоритм решения методом ортогональной коллокации линейных задач о собственных колебаниях пластин и пологих оболочек. Для четырех параметров кривизны приведены значения трех первых частотных параметров в зависимости от коэффициента, характеризующего степень изменения толщины.

В шестой главе дала приближенная и уточненная постановки задач об устойчивости и эакритическом поведении прямоугольных в плане пластин и пологих цилиндрических панелей переменной толщины при дойствии продольных сжимающих сил. На основе методов ортогональной и переопределенной внутренней коллокации (МСК и МПК) разработаны алгоритмы и приведены результаты решения данного класса задач. Решены задачи об устойчивости и эакритическом поведении круглых пластин переменной толщины.

Значительные достижения в области устойчивости стержлсй, пластин и оболочек связаны с применением классического критерия устойчивости Эйлера. Фундаментальные монографии С.П.Тимошенко, В.В.Б.слотина, А.С.Вольмира, Э.И.Григолюка и Б.В.Кабанова, С.А.Тимашева, Н.А.Алфутова и др. дают достаточно полное представление, об эволюции в постановке, методах решения и практических результатах исследования устойчивости самых разнообразных элементов конструкций. Обширный фактический материал по рассматриваемой проблеме сосредоточен в периодических изданиях. Основные результаты получены как традиционными методами Ритца, Тимошенко, Бубнова-Галеркина, конечных разностей и др., так и оригинальными, основанными на вариационных принципах и теоретико-экспериментальном подходе, которые предложены А.В.Саченковым и развиты казанскими учеными. Активное исследование устойчивости пластин переменной толщины началось в 60-х годах нашего столетия. В большинстве работ величина критической силы определяется приближенно без учета неоднородности поля напряжений. Сделаны первые попытки применения метода коллокации для решения простейших задач устойчивости стержней и пластин.

В целом, вопросы устойчивости и особенно закритического ведения пластин и цилиндрических панелей переменной толщины учены недостаточно, а метод коллокации, хотя и исподьзовал-прй решении некоторых частных задач, систематического применил не нашел.

Б главе в смешанной форме приведены основные соотноше-ч, приближенно описывающие устойчивость прямоугольных в пла-цилиедрических панелей переменной толщины, равномерно сжа-с на криволинейных краях. Задача поставлена в рамках пробле-6 собственных числах и векторах, что достигается путем фор-зьного отбрасывания некоторых членов и предположения об од-зодности докритического напряжешого состояния панели (в :тном случае, пластины). Для исследования устойчивости пря-тольких пластин переменной толщины в уточненной постановке , >аботе приведено соответствующее уравнение плоской задачи, •егрирование которого позволяет установить истинную картину :пределения мембранных сил. Наименьшее значение критическо-параметра продольных сжинающих сил С]*, определяется на вто! этапе в результате решения уравнения устойчивости. Изуче-! в уточненной постановке устойчивости и закритического по-;ения цилиндрических панелей переменной толщины производит-на основе системы двух нелинейных дифференциальных уравне-. в частных производных, представленных в работе в смешан-форме. В этом же разделе главы дана исходная система нединых дифференциальных уравнений равновесия и совместности ормаций, описывающая напряженно-деформированное состояние то-изогнутых прямоугольных пластин переменной толщины.

В следующем разделе шестой главы разработаны четыре разных алгоритма исследования устойчивости и закритического едения прямоугольных в плане пластин и пологих оболочек эменной толщины. Алгоритмы основаны на МОК и МПК.

Первый алгоритм позволяет приближенно установить наимень-критический параметр продольных сжимающих сил как для пда-н, так и для панелей переменной толщины. При реализации ал-лтма используются те же функции прогиба и усилий, что и решении статических задач изгиба. Определитель системы ¿ируется на узлах МОК, а для отыскания наименьшего собст-того числа применяется разработанная шаговая процедура. 50й алгоритм предназначен для определения в уточненной по-

становк-э , при которых теряют устойчивость равномерно и неравномерно сжатые пластины переменной толщины. В рамках данного алгоритма как для решения плоской задачи, так и для решения уравнения устойчивости применяется МПК. Разработана специальная процедура отыскания наименьшего собственного числа, при котором определитель системы принимает минимальное значение.

Наиболее полным является третий алгоритм, построенный на основе МОК и позволяющий исследовать в уточненной постановке как устойчивость, так и закритическое поведение пластин и панелей переменной толщины. Алгоритм подробно описан в работе и является по мнению автора одним из наиболее эффективных для решения рассматр!1ваемого класса задач.

Последний алгоритм построен на основе ШК и нелинейной модели для сжато-изогнутых пластин переменной толщины, позволяет в уточненной постановке без раскрытия определителя отыскать наименьшее значение параметра Ц* , а затем проследить по какому-либо параметру решения за изменением напряженно-деформированного состояния пластин при наличие продольных и поперечных нагрузок.

Все алгоритмы реализованы с языка АЛГОЛ на ЭВМ БЭСМ-6. На большом числе конкретных примеров показано, что результаты, полученные по разработанным програлкьь, надежно сходятся с увеличением номера приближения и вполне достоверны. Установлено, что при исследовании устойчивости равномерно сжатых пластин по программам, основанным на МОК, в аппроксимирующих рядах слепует удерживать не менее 16 членов, если параметр удлиненности пластин больше двух. При решении задач устойчивости неравномерно сжатых пластин МПК необходимо увеличивать число удерживаемых, членов до 25 и обеспечивать степень переопределенности систем, равную 3-4.

Анализ многочисленных результатов решения различных задач устойчивости пластин переменной толщины позволил установить, что значения наименьших критических параметров, полученные в уточненной постановке, могут отличаться от приближенных значений более чем на 10%, а путем рационального ' перераспределения материала возможно существенно увеличить (до 30^) значения наименьших критических параметров без увеличения объема пластин.

Значительное знимание в главе уделено закритическоыу по-

ведению пластин переменной толщины. Получены, в частности, характерные диаграммы эакритических состояний равномерно сжатых в одном направлении квадратных пластин при скользящей заделке на контуре. Приведены диаграммы, иллюстрирующие влияние продольных сил на зависимости "поперечная нагрузка - прогиб а центре" и наоборот. Все результаты сопровождаются зпюрами безразмерных изгибних и мембранных напряжений, распределение которых существенно зависит на закритическкх режимах от закона изменения толщины.

Небольшой раздел главы посвящен приближенному исследованию устойчивости цилиндрических панелей переменной толщины, равномерно сжатых вдоль образующих. Показано, что в рамках приближенной модели не могут быть выявлены качественные эффекты, связанные с переменностью толщины. Истинную картину поведения панелей переменной толщины дают диаграммы их закри-тического поведения, полученные МОК на основе уточненной нелинейкой модели. Установлено, что пологие цилиндрические панели переменной толщины не теряют устойчивости в отличие от панелей постоянной толщины бифуркационным образом. В зависимости от законов изменения толщины диаграммы закритического деформирования панелей являются либо монотонными, либо содержат предельные точки.

В заключительной части главы методом ортогональной кол-локации исследуется устойчивость и термоустойчивость круглых пластин переменной и постоянной толщины, а также приводятся результаты решения геометрически нелинейных задач о закрити-ческом поведении и напряженном состоянии пластин при равномерном радиальном сжатии и нагреве, полученные по алгоритмам и программам, разработанным на основе 110К и МЛН в третьей главе.

В седьмой главе методом переопределенной граничной кол-локации (ШГК) решены линейные и геометрически нелинейные задачи изгиба пластин постоянной и переменной толщины различного очертания в плане при однородных и неоднородных краевых условиях на контуре. Рассмотрены особенности расчета Г-образной пластины, гагевщей входящий угол, и круглых пластин при смешанных условиях опирания.

В работе кратко обсуждается вопрос об области приложения метода граничной коллохацш (НПО. Ввдедяатся четыре группы

объектов, среди которых правильные шогоугольные пластины постоянной толщины при классических краевых условиях, квадратные в плане пластины при наличии одного или нескольких свободных краев, прямоугольные в плане пластины при наличии одного или нескольких отверстий, шогоугольные пластины постоянной толщины неправильного очертания в плане, з частно -сти, трапециевидные. Показано, что МГК совершенно не применялся для расчета'пластин переменной толщины, а алгоритмы расчета МГК пластин неканонических очертаний в плане разработаны недостаточно. Сделаны лишь первые попытки применения МГК для решения нелинейных краевых задач изгиба пластин.

Особо рассматриваются работы, в которых различными методами исследуется напряженно-деформированное состояние пластин сложного очертания в плане. Отмечается большой вклад советских ученых Б.Г.Коренева, Д.Н.Соболева, Э.С.Венцеля, В.М.Толкачева, В.Е.Поповича, В.А.Пухлия, В.И.Коробко и др., в работах которых получили развитие методы компенсирующих нагрузок, Власова, дифференциально-разностные, изопериметрические и другие. Расчету пластин неканонических очертаний в плане посвящены многочисленные работы казанских ученых М.С.Корнишина, В.Н.Паймушина, Ю.П.Артюхина и их учеников, в которых успешное применение нашли метод конечных разностей, принцип возможных перемещений, идеи параметризации, метод граничных интегральных уравнений. Ряд существенных результатов при исследовании пластин сложной форш получено с использованием Я -функций В.Л.Рвачева, аппарата дифференцирующих и интегрирующих матриц В.А.Смирнова, методом потенциала в разработке Ю.В.Вершского, методом конечных элементов.

Подчеркивается, что накопление информации о возможностях различных приближенных методов в настоящее время продолжается, и в этом смысле алгоритмы, основанные на МПГК, представляют значительный интерес.

В главе подробно описан алгоритм решения ШП{ линейных задач изгиба однрсвязных, изотропных, равномерно нагруженных пластин переменной толщины, выпуклый контур которых образован отрезками прямых. В качестве общего решения задачи используется известное решение Клебша, а частное решение образует степенной полином специального ввда. Алгоритм, разработанный а полярно-декартовой системе координат, приводит в конечном

•ore к двум переопределенным системам линейных алгебраиче -tx уравнений, сформированным на узлах коллокации, равномерно неположенных на контуре пластины, и узлах интерполяции, рав->мерно покрывающих внутреннюю область пластины. Решение сис-;м осуществляется методом наименьших квадратов в итерацион-)й форме для пластин переменной толщины и в результате одно-эатного применения процедур для пластин постоянной толщины.

Изложенный алгоритм решения линейных задач изгиба плас-1H МПГК реализован а виде двух-прогреми с языка ШЗ/1 на ЭВМ >1060. Одна из программ предназначена для исследования на-эякенно-деформированнрго состояния прямоугольных пластин временной толщины, вторая - позволяет производить расчет 1вномерно нагруженных защемленных по контур" пластин по -эянной толщины полигонального очертания в плане.

Обобщение разработанного алгоритма на класс геометри-зски нелинейных задач изгиба пластин, поставленных в смешан-эй форме, производится естественным образом. Как в уравнении авновесия, так и в уравнении совместности деформаций слева зделявтея бигармонические операторы, а справа собраны все лены, включая и нелинейные. Краевые условия заданы в обоб-енном виде и для безразмерных функций прогиба и усилий яв-яются неоднородная!. Приближенное решение, по-прежнему, взыскивается з вида суммы общего и частного решений, струк-ура которых остается такой же, что и при решении линейных адач, а суть обобщения связана с тем, что все представления еолизуатся для двух функций - прогиба и усилий. В результа-е четыре переопределенных системы нелинейных алгебраических равнений, связанные через правые ^части, линеаризуются на аждом шаге итерационного процесса и разрешаются методом нак-еньоих квадратов." Соответствующие программы, разработанные а основе данного алгоритма, являются обобщением тех двух рогралш решения краевых задач в линейкой постановке, о кото-ых говорилось выше. Отметим, что в качестве выходной инфор-ации на печать 'Эцдаются функции прогибов и усилий, беэраз-:ерные значения нормальных и касательных напряжений,- а также гличины невязок, характеризующие точность выполнения краевых 'СЛОВИЙ.

В работе приведены результаты решения линейных задач из-'иба равномерно Нагруженных квадратных, прямоугольных и трэ-

уголы-пх пластин постоянной толщины при различных условиях на контуре. Полностью обоснована достоверность полученных результатов. Подробно исследовано напряженно-деформированное состояние равномерно нагруженных квадратных пластин переменной толщины при классических условиях опирания и постоянной толщины при начальном изгибании опорного контура, трапециевидных и пятиугольных пластин при жесткой заделке на контуре. Высокое качество результатов подтверждено малостью невязок в выполнении краевых условий. На примере Г-образной пластины, имеющей входящий угол, показано, что высокую точность расчета МПГК можно обеспечить, если на основе идеи В.А.Кондратьева, развитой В.Г.КарЛуниным, предварительно выделить сингулярную часть решения и согласовать в общем решении число регулярных и сингулярных членов. В работе представлены также результаты решения МГК линейных задач изгиба круглых пластин при смешанных условиях опирания.

В заключительных разделах седьмой главы в геометрически нелинейной постановке решены задачи об изгибе квадратных в плане пластин переменной толщины под действием равномерной поперечной нагрузки и при комбинированном нагружении равномерными продольными и поперечными силами, исследовано влияние мачального изгибания опорного контура на напряяенно-де-. формированное состояние гибких равномерно нагруженных квад-рат;шх пластин переменной толщины, получены характерные зависимости "нагрузка - прогиб в центре", "нагрузка - напряжения" при больших прогибах трапециевидной и пятиугольной пластин при равномерном поперечном нагружении и скользящей заделке на контуре. Представленные результаты сопровождаются численными значениями и эпюрами невязок по безразмерным функциям прогиба, усилий и нормальных производных от них на контуре пластин. Показано, что высокое качество решения нелинейных задач МПГК обеспечивается в каждом конкретном случае правильным назначением основных параметров решения -числа членов в общем и частном решениях, количества'узлов коллокации и интерполяции на границе и в области пластины соответственно.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Для решения геометрически нелинейных краевых задач механики пластин и пологих оболочек переменной толщины предложены методы ортогональной и переопределенной внутренней и переопределенной граничной коллокации.

2. На основе предложенных коллокационных методов разработаны алгоритмы и программы решения широкого круга новых нелинейных задач статики, динамики, устойчивости и закрити-ческого поведения пластин и пологих оболочек переменной и постоянной толщины различного очертания в плане.

3. С использованием разработанных программ проведен большой цикл исследований, позволивший установить истинную картину напряженно-деформированного состояния гибких круглых и кольцеобразных пластин и пологих сферических куполов переменной и постоянной толщины, гибких круглых пластин ступенчато-переменной жесткости, гибких квадратных и прямоугольных в плане пластин и пологих оболочек переменной и постоянной толщины, гибких выпуклых пластин сложного очертания в плане при различных условиях опирания и статическом нагружении.

4. Получены решения новых геометрически нелинейных задач динамики прямоугольных в плане пластин и пологих оболочек переметой и постоянной толщины, позволившие выявить сложную картину динамического поведения и напряженно-деформированного состояния элементов тонкостенных конструкций при импульсных, периодических и изменяющихся с постоянной скоростью равномерно распределенных динамических нагрузках.

5.- В уточненной и приближенной постановках решены новые задачи об устойчивости и закритическом поведении прямоугольных в плане пластин и пологих цилиндрических панелей переменной и постоянной толщины. Результаты, полученные в уточненной постановке, позволили выявить нетривиальные эффекты в деформировании панелей переменной толщины и подтвердили необходимость предварительного решения плоской задачи при исследовании устойчивости пластин переменной толщины.

6. Проведены обс-тоятельныз исследования по обоснованию достоверности результатов решения различных геометрически нелинейных краевых задач, полученных на основе разработанных

алгоритмов и программ. Достоверность результатов подтвержу дается наличием практической сходимости приближенных решений, выполнением объективных критериев качества по невязкам и энергии, совпадением с результатами приближенных решений, полученных другими методами. В рамках разработанных алгоритмов и программ получены точные решения некоторых линейных задач статики и динамики пластин и пологих оболочек и классических задач устойчивости прямоугольных пластин постоянной толщины.

7. Анализ результатов решения различных нелинейных задач статики, динамики, устойчивости пластин и пологих оболочек переменной толщины, проведенный с позиций постоянства объема элементов конструкций, позволил выявить резервы в снижении уровня напряжений или повышении значений наименьших критических параметров без увеличения материалоемкости.

8. Представленные в диссертации результаты свидетельствуют о том, что метод коллокации в предложенных и развитых автором вариантах следует рассматривать как эффективный приближенный метод решения нелинейных краевых задач механики оболочек и пластин. Основанием для этого являются простота реализации метода на ЭВМ и надежные результаты решения по разработанным алгоритмам и программам широкрго круга нелинейных краевых задач статики, динамики, устойчивости и эакрити-ческого поведения пластин и пологих оболочек, полученные с малыми затратами.

Автор приносит искреннюю благодарность профессору М.С.Корнишину за постоянное внимание и поддержку при выполнении работы.

Основное содержание диссертации изложено в следующих публикациях:

1. Корнишин М.С., Рогалевич В;В. Поперечный изгиб упругих круглых пластин при смешанных граничных условиях//Стрси-тельнал механика и расчет сооружений. 1974. № 5. С.6-9.

2. Корнишин М.С., Рогалевич В.В. Применение метода кол-локации к решению линейных и геометрически нелинейных задач изгиба пластин и пологих оболочек//Груды X Всесоюз.конф. по

ии оболочек и пластан. Тбилиси: Мецниереба, 1975. T.I. 5-654.

3. Рогалевич В.В., Паршаков Е.В. К решению нелинейных ч изгиба круглых пластин переменной толщины/УСтроитель-механика и расчет сооружений. 1976. №1. С.27-30.

4. Рогалевич В.В. Решение нелинейных задач изгиба пла-с использованием кубических сплайнов//Строительная ме-

ка и расчет сооружений. 1977. № 5. С.29-34.

5. Рогалевич В.В. Исследование напряженно-деформирован-состояния гибких пологих оболочек переменной толщины

;оы коллокации и наименьших квадратов//Численные методы тая задач строительной механики: Сб.научных статей. : Изд. КИСИ; 1978. С.84-87.

6. Рогалевич В.З. Анализ напряженно-деформированного со-ия гибких пластин и оболочек методом коллокации//Иссле-шя пространственных конструкций: межвуз.сб. Свердловск: ПИ им.С.М.Кирова, 1978. Вып.2. С.5-19.

7. Рогалевич В.В. Метод коллокации и наименьших квадра-

1 нелинейных задачах изгиба прямоугольных пластин и поло-болочек//Строительная механика и расчет сооружений. № 3. С. 5-9.

8. Рогалевич В.В., Логвинсхая A.A. Метод коллокации при довании гибких пластин и пологих оболочек переменной

ны в перемещениях//Изв.вузов. Строительство и архитекту-980. № 2. С.30-34.

Э. Корсаков С.Д., Рогалевич В.В. Методы наименьших квад-в области и на границе при решении сложных нелинейных ых задач теории пластин и оболочек//Труды ХП Всесоюз. по теории оболочек и пластин. Ереван: Изд-во ЕПУ, i960. 255-261.

[0. Рогалевич В.В. Решение краевых задач теории пластин ючек методом коллокации/УЙрочность и устойчивость обо: Труды семинара. Казань: Изд. КФТИ АН СССР, 1980. J. С. 5-20.

".I. Рогалевич В.В., Корсаков С.Д. Об одном варианте ке-соллокаций и наименьших квадратов при решении краевых теории пластин и оболочек//Исследования пространствен->нструкций: Межвуз.сб. Свердловск: Изд.УПИ им.С.М.Киро-181. Вып.З. С.5-16.

12. Рогалевич B.B. Исследование гибких круглых пластин ступенчато-переменной жесткости методом коллокации//Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1981. № 2. С.36-40.

13. Рогалевич В.В. Гибкие круглые пластины и пологие сферические купола переменной толщины при температурно-сило-вом нагружении//Исследования пространственных конструкций: Межвуз.сб. Свердловск: Изд.УПИ им.С.М.Кирова, 1981. Вып.З. С.45-59.

14. Рогалевич В.В., Куйдин A.B. Исследование устойчивости неравномерно сжатых прямоугольных пластин методом переопределенной коллокации//Изв.вузов. Строительство и архитектура. 1982. № I. С.37-40.

15. Рогалевич В.В. Метод переопределенной внутренней коллокации в задачах прочности, устойчивости и колебаний пластин и оболочек//Строительная механика и расчет сооружений. 1982. № 5. С.33-38.

16. Рогалевич В.В. Устойчивость и продольно-поперечный изгиб гибких прямоугольных пластин переменной толщины//Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1982. № II. С.30-34.

17. Рогалевич В.В. Об одном эффективном проекционном методе решения нелинейных краевых задач теории пластин и оболочек//Теория пластин и оболочек: ХШ Всесоюз.конф. Таллин: Изд. ТЛИ, 1983. Ч.1У. C.I26-I3I.

18. Рогалевич В.В., Корсаков С.Д. Исследование гибких пластин и пологих оболочек при температурно-силозом нагруже-нии методами переопределенной коллокации//Исследования по строительным конструкциям и строительной механике: Сб.ст. Томск: Изд-во Томск.ун-та, 1983. С.180-185.

19. Рогалевич В.В., Логвинская A.A. Исследование нелинейных колебаний прямоугольных пластин переменной толщины методом коллокации//Исследования пространственных конструкций: Межвуз.сб. Свердловск: Изд.УПИ им.С.М.Кирова, 1983. Вып.4. С.26-34.

20. Рогалевич В.В. Метод коллокации в задачах'динамики и устойчивости пластин и пологих оболочек//Изв.вузов. Строительство и архитектура. 1984. № 5. С.39-42.

21. Рогалевич В.В. Метод коллокации в нелинейных задачах динамики прямоугольных пластин переменной толщины//Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1984. № 7. С.38-42.

22. Корнишин М.С., Рогалевич В.В. Метод коллокации в не-шнейных задачах механики оболочек/Актуальные проблемы ме-:аники оболочек: Тез.докл. Казань: Изд.КИСИ, 1985. С.104-106.

23. Рогалевич В.В., Корсаков С.Д. Метод коллокации в за-(ачах статики гибких пологих оболочек переменной толщины//Изв. ¡узов. Строительство и архитектура. 1985. № 5. С.32-35.

24. Рогалевич В.В. Размещение узлов при решении краевых адач теории пластин и оболочек методом коллокации//Исследо-¡ания пространственных конструкций: Межвуз.сб. Свердловск: [зд.УПИ им.С.М.Кирога, 1985. Вып.5. С.37-47.

25. Корнишин М.С., Рогалевич В.В. Об устойчивости и за-ритическом поведении прямоугольных пластин и цилиндрических анелей переменной толщины//Изв.вузов. Строительство и архй-ектура. 1985. № 8. С.39-43.

26. Корнишин М.С., Рогалевич В.В. Нелинейная динашка рямоугольных в плане пологих оболочек переменной толщины// зв.вузов. Строительство и архитектура. 1985. № 12. С.22-26.

27. Бунаков В.И., Корсаков С.Д., Рогалевич В.В. Решение ииейных задач изгиба пластин сложного очертания в плане ме-одом переопределенной граничной коллокации//Исследования ространственных конструкций: Межвуз.сб. Свердловск: Изд.

ПИ им.С.М.Кирова, 1985. Вып.5. С.63-72.

28. Корсаков С.Д., Рогалевич В.В. Сходимость метода кол-окации для линейных операторных уравнений//Иэв.вузов. Мате-атика. Казань, 1985. Деп. в ВИНИТИ, 1985. № 3787-85. II с.

29. Климанов В.И., Корсаков С.Д., Рогалевич В.В. Расчет ибких пластин многоугольного очертания.//Строительная механи-а и расчет сооружений. 1986. № I. С.31-34.

30. Карлунин В.Г., Рогалевич В.В. Применение метода гра-нчной коллокации и аддитивного выделения особенностей для асчета пластин со входящими углами на контуре//»1сследовании ространственных конструкций: Межвуз.сб. Свердловск: Изд.УПИ я,С.М.Кирова, 1987, Вып.6. С.37-48.

31. Корсаков С.Д., Рогалевич В.В. Сходимость метода ксл-экацш В нелинейных краевых задачах статики пологих оболо-;к//Исследозания пространственных конструкций: Межвуз.сб. эерддовек: Иэд.УПИ им.С.М.Кирова, 1987. Вил.6. С.48-56.

32. Корсаков С.Д., Рогалевич В.В. Гибкие прямоугольные пластины переменной толщины при начальном изгибании опорного контура//Изв.вузов. Строительство и архитектура. 1989. № II. С.36-40.

Подписано э печать 07.12.89 НС 15205 Формат 6бх84 1/16 Бумага писчая Плоская печать Усл.п.л. 2,09

Уч.-изд.л. 1,89' Тираж 100 Заказ 1404 Бесплатно

Казанский гос.университет км. В.И.Ульянова-Ленина 420008, Казань 8, ул.Ленина,18 Ротапринт УПИ, 620С02, Свердловск, УШ, 4-й учебный корпус