Большие прогибы пластин и пологих оболочек со сложным контуром тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГ6 ол

~ ^ СсН 1338 На правах рукописи

ГРИБОВ АЛЕКСАНДР ПАВЛОВИЧ

УДК 539.3

БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК СО СЛОЖНЫМ КОНТУРОМ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

КАЗАНЬ-1998

Работа выполнена на кафедре сопротивления материалов Ульяновского государственного технического университета Научный консультант: д. ф.-м. н., проф. Артюхин Ю.П.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Голованов А.И; доктор физико-математических наук, профессор Столяров H.H. доктор физико-математических наук, профессор Плещинский Н.Б.

Ведущая организация: Саратовский Государственный технический университет

Защита состоится 8 октября 1998 г. в 14ч.30м. в ауд. физ.2 на заседании диссертационного совета Д 053.29.01. по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по механике при Казанском Государственном университете (420008, г.Казань, ул. Кремлевская, 18)

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КГУ им. Н.И. Лобачевского.

Автореферат разослан " / " сентября 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук ^ $ A.A. Саченков

tKVj

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Интенсивное развитие теории оболочек и пластан обусловлено потребностями практики. Вопросы, связанные с расчетом тонкостенных конструкций, возникают во многих отраслях современной громышленносги, в том числе: авиации, ракетостроении, судостроении, химическом машиностроении, строительстве и т.д. Применение известных методов для расчета элементов тонкостенных конструкций не всегда является »ффективным. В связи с этим одной из важных проблем механики тонкостенных конструкций является развитие методов расчета пластин и пологих обо-ючек, ограниченных сложным контуром, с различными законами изменения толщины, отверстиями, включениями, накладками, подкрепляющими ребра-лк при действии на них распределенных и локальных нагрузок. Решению «той проблемы и посвящена диссертационная работа.

В диссертации представлены результаты исследований по развитию математических методов решения линейных и нелинейных задач изгиба пластин с пологих оболочек со сложньм контуром и ступенчатым изменением жест-сости, а также представлены результаты исследования нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек этого класса. Основная часть работы тосвящена развитию метода граничных элементов (МГЭ) для решения не-шнейных задач теории пластин и пологих оболочек. Интерес исследователей с применению МГЭ в задачах теории оболочек и пластин связан с несом-генными достоинствами этого метода: снижением на единицу размерности рассматриваем ой задачи, аналитическим описанием особенностей решения, шсокой точностью результатов решения, практическим отсутствием огра-шчений на геометрию контура.

Для реализации МГЭ необходима матрица фундаментальных решений входной системы уравнений. В линейных задачах теории упругости и тео-лш пластин фундаментальные решения имеют простой вид и поэтому МГЭ |десь получил широкое распространение. Для пологих оболочек матрица фундаментальных решений определяется сложными громоздкими выраже-таями, а для пологой сферической оболочки выражается через специальные функции. Поэтому исследований по решению МГЭ задач теории пологих зболочек мало. В связи с этим актуальной темой исследования является раз-

работка методов граничных интегральных уравнений для решения линейны и нелинейных задач теории пологих оболочек, основанных на применени фундаментальных решений, которые определяются простыми аналк тическими выражениями.

В настоящей диссертационной работе разработаны итерационные прс цессы решения линейных и нелинейных задач теории оболочек, основанны на применении фундаментальных решений задач изгиба и плоского напр* женного состояния пластины, которые определяются простыми выраженш ми, содержащими степенные и логарифмические функции, что позволяе строить эффективные вычислительные алгоритмы.

Исследование нелинейного деформирования пластин и пологих обе лочек ступенчато-переменной жесткости имеет большое практическо значение, однако методы решения таких задач развиты недостаточно и ну» даются в дальнейшей разработке. Определенные сложности при решении зг дач этого класса по теории, основанной на гипотезах Кирхгофа, возникаю при удовлетворении условий сопряжения решений по линиям ступенчатог изменения жесткости, где напряжения и деформации разрывны. В связи этим актуальной является задача разработки эффективных численных мете дов решения задач нелинейного деформирования пластин и оболочек стз пенчато-переменой жесткости. Все вышеизложенное определяет актуальност темы исследований диссертационной работы.

Целью настоящей работы является развитие математических методо решения линейных и нелинейных задач изгиба пластин и пологих оболоче со сложным контуром, допускающих ступенчатое изменение жесткости, учетом различных конструктивных особенностей, находящихся под действ* ем распределенных и локальных нагрузок при различных граничных услов* ях; создание эффективных алгоритмов расчета и исследование деформировг ния ряда пластин и оболочек этого класса.

Научную новизну работы составляют следующие результаты: Получены интегральные уравнения метода компенсирующих нагрузок результаты решения задач изгиба ортотропных пластин, многосвязных пла< тин и пластин, подкреплешплх по контуру через прокладку упруги?,! ребром.

Разработаны алгоритмы решения МГЭ задач изгиба пластин сложной формы, ортотропных пластин и пластин, подкрепленных по контуру через прокладку упругим ребром.

Дано развитие методики определения предельных значений потенциалов для задач изгиба и плоского напряженного состояния пластины.

Предложен способ вычисления расходящегося интеграла с особенностью типа 1\тг при г -» 0 из уравнения равновесия пластины.

Получены решения задач изгиба пластин сложной формы.

Предложены итерационные процессы решения прямым и непрямым МГЭ линейных и нелинейных задач теории пологих оболочек, основанные на применении фундаментальных решений задач изгиба и растяжения пластины постоянной толщины.

Разработаны итерационные процессы решения задач изгиба длинных гибких пластин и пологих цилиндрических панелей на основе прямого и непрямого МГЭ.

Предложены итерационные процессы решения непрямым МГЭ линейных и нелинейных задач изгиба пологих оболочек на упругом основании типа Винклера, основанные на применении фундаментальных решений задач изгиба и растяжения пластины постоянной толщины.

Проведены исследования МГЭ нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек.

Предложены способы построения приближенного решения методом Рища для задач о больших прогибах пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости, учитывающие разрывы в напряжениях и деформациях на линиях ступенчатого изменения жесткости.

Проведено исследование нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается:

- строгими математическими постановками рассматриваемых задач и обоснованным применением математических методов;

- аналитическим вычислением сингулярных интегралов и применением формул численного интегрирования, обеспечивающих высокую точность при формировании системы разрешающих уравнений;

- сходимостью приближенных решений, полученных МГЭ, при увеличении числа элементов на контуре;

- сходимостью приближенных решений, полученных методом Ритца и выполнением естественных граничных условий вариационного уравнения Лагранжа;

- контролем невязки решения системы нелинейных уравнений методг Ритца;

- многочисленными сравнениями с известными аналитическими I численными решениями, а также результатами экспериментальных исследо ваний.

Практическая ценность. Разработанные итерационные процессы могу бьггь применены для решения широкого класса задач о больших прогиба пластин и пологих оболочек со сложным контуром, распространены на ре шения задач с учетом физической и геометрической нелинейностей. Предлс женные аппроксимации приближенного решения для метода Ритца могу быть использованы при решении задач статики и динамики пластин и обе лочек ступенчато-переменной жесткости с учетом анизотропии, геомеп рической и физической нелинейностей и т.д.

Разработанные алгоритмы и программы применялись для решения пр1 кладных задач: определения напряженно-деформированного состояния год лия конструкционной оптики, расчета упругого элемента датчика давлени полки рамно-панельной конструкции. Программа МГЭ по расчету пласта: подкрепленных упругими ребрами, зарегистрирована в реестре программ до ЭВМ Рос АПО [31]. Способ расчета пластин ступенчато-переменной жес кости изложен в учебном пособии автора .

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Интегральные уравнения непрямого МГЭ для задач изгиба ортотро ных пластин и изотропных пластин, подкрепленных по контуру через пр кладку упругим ребром;

2. Алгоритмы решения задач изгиба пластин сложной формы, ортотро ных пластин, температурного изгиба многосвязных пластин и пластин, пс крепленных по контуру через прокладку упругим ребром. Результаты ре» ния задач изгиба пластин.

3. Итерационные процессы и алгоритмы решения линейных и нелинейных задач теории пологих оболочек на основе прямого и непрямого МГЭ.

4. Итерационные процессы решения на основе непрямого МГЭ линейных и нелинейных задач изгиба пластин и пологих оболочек на упругом основании типа Винклера.

5. Результаты решения МГЭ задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек при действии локальных и распределенных нагрузок.

6. Результаты решения МГЭ задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек на упругом основании типа Винклера.

7. Способы построения приближенного решения для задач о больших прогибах пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости вариационным методом.

8. Алгоритмы решения задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости.

9. Результаты исследования нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости.

Совокупность полученных результатов квалифицируется как решение научной проблемы, имеющей важное народно-хозяственное значение.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

на VII научной конференции по применению ЭВМ в механике деформируемого твердого тела (Ташкент, 1975 г.);

на XI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (г. Харьков, 1977);

на научном семинаре в Казанском физико-техническом институте КФАН СССР, руководитель профессор Х.М. Муштари. (1975,1977);

на Республиканской научно-технической конференции "Механика сплошных сред" (г. Набережные Челны, 1982 г.);

на Всесоюзной школе молодых ученых "Актуальные проблемы механики оболочек". Казань (1983 г., 1985 г., 1988 г.);

на итоговых конференциях Казанского инженерно-строительного института (1983 г.);

на III Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Харьков, 1985 г.);

на Всесоюзной конференции "Нелинейные задачи расчета конструкций в условиях высоких температур" (Саратов. 1988);

на IV Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Одесса. 1989 г.);

на VIII Всесоюзной школе - семинаре "Методы конечных и граничны» элементов в строительной механике" (Ленинград. 1987 г.);

на итоговой научной конференции Казанского государственного университета. 1989 г.;

на VI Межвузовской конференции "Математическое моделирование * краевые задачи" (Самара. 1996 г.);

на XYII Международной конференции по теории оболочек и пластю (Казань. 1995 г.);

на Всероссийском семинаре "Актуальные проблемы математическогс

моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении'

(Чебоксары, 1996 г.);

на XYIII Международной конференции по теории оболочек и пластш

(Саратов. 1997 г.);

на Международном семинаре "Нелинейное моделирование и управле

ние" (Самара. 1997);

на научно-технических конференциях Ульяновского государственной

технического университета (1990-1998 гг.);

на семинаре по механике твердого деформируемого тела под руковод

ством чл.- корр. АН СССР Э.И. Григолюка (Москва,1987 г.).

Публикации. Основные результаты исследований по теме диссертацм

опубликованы в 30 работах автора.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти пш заключения и библиографического списка, включающего 393 наименования Изложена на 272 страницах печатного текста, содержит 28 таблиц и 88 ри сунков.

Диссертация выполнена на кафедре сопротивления материалов Улм новского Государственного Технического университета. Тема диссертаци связана с плановыми темами исследований кафедры сопротивления матери; лов Ульяновского Государственного Технического университета: в 1991

996 гг. с темой: "Исследование напряженно-деформированного состояния онкостенных конструкций" г/б НИР №405-4102, № гос. per. 01910023538;

1996 - 1998 г. с темой "Статика и динамика элементов конструкций стержневые системы, пластины и оболочки)" г/б НИР №30-50 № гос. per. 1960008685 и является их составной частью.

Автор считает своим долгом с благодарностью отметить большую роль аслуженного деятеля науки и техники ТАССР и РСФСР, профессора Л.С. Корюшшна в формировании его научного мировоззрения и темы дис-ертационной работы.

Автор также считает своим долгом выразить благодарность профессору О.П. Артюхину, совместная работа с которым определила ряд научных направлений, по которым автор диссертации провел исследования, а также яособствовала формированию его научных интересов и научного мировоз-:рения.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность темы исследований диссертации i излагаются основные результаты, полученные по теме диссертационной работы, определяется место настоящей диссертационной работы среди исследований, посвященных решению задач деформирования тонкостенных щеменгов конструкций сложной геометрии, разработке и развитию новых )ффективных направлений в методах расчета задач нелинейного деформирования.

В последние годы доя решения задач механики деформируемого твердого тела все более широкое применение находят методы граничных интегральных уравнений (ГИУ) или методы потенциала . Они основаны на преобразовании исходной системы дифференциальных уравнений в систему граничных интегральных уравнений , из решения которой находятся некоторые определенные на границе функции.

Большой вклад в развитие теоретических исследований методов потенциала сделан Михлиным С.Г., Купрадее В.Д., Мусхелишвипи Н.И., Смирновым Б.й. и др.

Реализация методов потенциала сводится к решению систем сингулярных интегральных уравнений, теория которых разработана в известных мо-

нографиях Михлина С.Г., Гахова Ф.Д., Векуа Н.П., Пресдорфа 3 Чибриковой Л.И., Партона В.З., Перлина П.И., Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г Башелейшвили М.О., Барчуладзе Т.В. и др.

Из теории известно, что сингулярные интегральные уравнения в замкн] том виде решаются в очень редких случаях. Поэтому для прикладных иссл< дований первостепенное значение приобретает разработка приближенны методов вычисления сингулярных интегралов и решения сингулярных инт( гральных уравнений. В этом направлении выполнены фундаментальные рг боты Иванова В. В., Корнейчука A.A., Белоцерковского С. М., Лифанов И.К., Габдулхаева Б.Г., Бойкова И.В., Плещинского Н.Б. и др.

Основой построения ГИУ являются фундаментальные решения. Пс строению и исследованию фундаментальных решений теории пластин и обе лочек посвящены работы Лукасевича С., Ольшанского В.П., Шевченко В Л Хижняка В.К., Мораря Г.А., Белоносова С.М. и др.

Численной реализации методов потенциала в задачах теории упругост посвящены работы Партона В.З., Перлина П.И., Верюжского Ю.В Угодчикова А.Г., Хуторянского Н.М., Бреббия К.,Уокера С., Бенерджи П Баттерфилда Р., Крауча С., Старфилда А., Круза Т., Риццо Ф., Теллеса Ж Вроубела Л., Грамадки Т., Лей Ч., Кузнецова С. В., Лившица И.М. и др.

В задачах теории пластин и пологих оболочек существенный вклад развитие методов потенциала внесли Артюхин Ю.П., Бенерджи П., Barrq филд Р., Вентцель Э.С., Верюжский Ю.В., Гавеля С.П., Гурьянов И.Н., К< пейкин Ю.Д., Коренев Б.Г., Мельников Ю. А., Крамин М.В., Крамин Т.В Паймушин В.Н., Сидоров И.Н., Серазутдинов М.Н., Синявский А.Л., Toj качев В.М., Сухорольский М.А., Ермаков C.B. и др.

Развитие МГЭ и теоретический анализ в задачах изгиба пластин вьпкм нен в работах Толкачева В.М..

Вопросы, связанные с определением напряженно-деформированного с< стояния, обусловленного наличием в телах дефектов произвольной прир< ды, рассмотрены в работах Осадчука В.А., Панасюка В.В., Попова Г.Я Саврука М.П., Хижняка В.К., Шевченко В.П..

Среди работ, посвященных расчету элементов конструкций сложно геометрии, отмечаются публикации Григолюка Э.И., Голованова А.И., Гу: А.Н., Капустина С.А., Кармишина A.B., Каюка Н.Ф., Коноплева Ю.Г., Ку]

ibi JI.B., Немиша Ю.Н., Онищука О.В., Образцова И.Ф., Паймушина В.Н., "Гетрушенко Ю.Я., Петухова Н.П., Попова Г.Я., Рогалевича В.В., Рвачева З.Л., Саченкова A.B., Сеницкого Ю.Э., Смирнова В.А., Склепуса Н.Г., Ша-габанова А.К., Файзулпиной М.А., Якупова Н.М..

Одним го эффективных методов исследования нелинейного деформиро-5ания пластин и оболочек является метод продолжения по параметру. Его эазвитию и применению посвящены работы Баженова В.А., Валишвили З.В., Вольмира A.C., Воровича В.В., Танеевой М.С., Григолюка Э.И., Гуляе-m В.И., Корнишина М.С., Крысько В.А., Малахова В.Г., Овчинникова И.Г., Рогалевича В.В., Столярова H.H., Кантора Б.Л., Шалашилина В.И..

Вопросами исследования деформирования пластин и оболочек сту-тенчато-переменной жесткости занимались отечественные и зарубежные исследователи. Существенный вклад в развитие этой проблемы внесли \бовский H.H., Вайнберг Д.В., Дьяченко Ю.П., Еленицкий Э.Я., Корнишин VI.C., Коноплев Ю.Г., Коноплев И.Г., Кривошеев Н.И., Подгородецкий А.Э., Наченков A.B., Рогалевич В.В., Хазанов Х.С., Хотин Я.Я., Н. Reissner, S. Toschiyki, W. Pillkey и др.

В главе I приведены основные формулы дифференцирования в локаль-шх системах координат, которые введены в работах В.М. Толкачева сле-зующим образом. Пусть х, у - ортогональная декартова система координат ia плоскости; i(jc,y), - Две точки в этой плоскости, в которых послро-

:ны ортогональные системы координат с осями «, т и i\, tj (рис.1).

Приводятся необходимые соотношения метода компенсирующих нагру-юк для задач изгиба и плоского напряженного состояния тонких линейно щругих пластин. В локальной системе координат определены ядра потенциалов, входящих в интегральные уравнения изгиба и плоского напряженного состояния пластины. Для основных видов граничных условий приведены штегральные уравнения метода компенсирующих нагрузок для задач изгиба i плоского напряженного состояния пластины.

Дано развитие результатов работы Панича О.И.1) по исследованию предельных значений потенциалов для случая, когда контур составлен из прямо-

Пант О.И. О потенциалах полигармонического уравнения четвертого порядка // Мат. сборник. Одесса. Вып. 3.1960. Т. 50. С. 335-354.

линейных отрезков. Проведено исследование предельных значений поте: циалов для задач изгиба и плоского напряженного состояния пластины.

Аналитически вычислены интегралы по элементам контура от фунд ментального решения задачи изгиба пластины

<?(/,;)= ^Лиг/фи©) (1)

и фундаментального решения Кельвина для плоского напряженного состо ния пластины

О^С^СфцЫт-у^/т2), = 12), (2)

а также производных этих фундаментальных решений, где ^х,у) - точка н блюдения;, т]) - точка приложения единичной силы; у{=х-^\ уг = у-"*

модуль Юнга и коэффициент Пуассона; к - толщина пластины.

Интегралы с особенностями типа 1/т определяются в смысле главно] значения по Коши, а интегралы с особенностями типа \/г2 - в смысле к

нечного значения по Адамару.

Интеграл с особенностью типа 1/г2 при г -» О возникает в интегрально

уравнении, определяющем обобщенную поперечную силу.

Предложен способ вычисления расходящегося интеграла с особенность

■ I 2 г*

типа ]/г при г 0 из уравнения равновесия пластины, который состоит следующем.

Интегральное соотношение для определения обобщенной поперечш силы на контуре пластины в локальной системе координат записывается виде

¿. г г г Г

где <р(*,£;) = -(4с0лу +2(1 - у)соу2у со.уу)/(87с);

= (4005(7, +у) + 2(1 - у^сойусо^у! +у)-2с<му л«2у длу^Двя). Функции плотности удовлетворяет условию Гельдера

]<?(*)4-С)"; |т(г)-т(С)^Л!Г-С!а, где А = м, 0<а<1.

элемента функциями плотности соо тношение (3) принимает вид

^ /«1 Г; Т М Г, Г

де ¡1 - узел элемента N - число элементов, на которое разбит контур Г.

Первый сингулярный интеграл в (4) имеет особенность типа Коши и существует в смысле главного значения, второй интеграл является расходя-цимся, но существует конечное значение этого интеграла по Адамару.

При действии на бесконечную пластину сосредоточенного момента вокруг касательной к контуру, приложенного в узле (середине) ¿-го элемента, выполняется уравнение равновесия.

\Уп{1)Щ + ±К I , =0, (/ = 12.....М), (5)

Г *=> *к М Г, Г *=1

пде 1к{хк,ук) - угловые точки контура Г; И„ • сосредоточенная угловая ре-жция = М^ - М^; М^ - предельные значения крутящего момента на сонтуре Г при переходе через угловую точку 1к.

Соотношение для вычисления расходящегося интеграла получается из 5) после ряда преобразований и имеет вид

Г1 Г п Т Г) г Ш 1к

№

Конечное значение по Адамару интеграла (6) определяется по формуле

где 4г( - длина элемента контура Гг

Погрешность вычисления по формуле (6) зависит от точности вычисления интегралов. При интегрировании на элементах по восьмиузло-вой формуле Гаусса погрешность не превышала 0.1 %.

Полученный из уравнения равновесия результат подтверждает подход Адамара к вычислению расходящегося интеграла. Интеграл Адамара в задаче изгиба пластины выражает обобщенную поперечную силу, возникающей в узле элемента от действия распределенного по контуру момента вокруг касательной к контуру.

В главе II разработан алгоритм расчета пластин непрямым методом гра ничных элементов. Приведены результаты решения задач изгиба пласта сложной формы, находящихся под действием поперечной нагрузки и темпе ратурного изгиба многосвязных пластин.

Приведен вывод фундаментального решения для задачи изгиба тонко] ортотролной пластины, находящейся под действием единичной сосредо точенной силы, перпендикулярной поверхности пластины и приложенной начале координат.

Вид фундаментального решения зависит от корней характеристическог уравнения

кА-2Ь1к2 + Ь2=0,

(8)

2д(1-у,у2) Е,

—------ Ъ2 - —, Еи Е2, О - модули упругости и сдвиг

где 8,=уа+ ' Е1

для главных осей ортотропии, совпадающих с координатными осями х, у Корни характеристического уравнения (8) определяются выражением

где ц

,2 =

Фундаментальное решение имеет вид: При }12 > 1

1 А, АН

(9)

в(х,у) = ,2

8щ(к? - к\)Ь

при ц* <1

0(х,у) =-] - Шх2 + у2)Цв{х,у} - 2Х2ху Ы

16яХ^Х -\j\-\i

+Цх2х2-уг)агс1^-

У~ + У2)-4хуатс\%

В\х,у)

Р2х2 '2Х2 + у2

(10)

где а = Ь = ^ В(х.у) = В+{х.у) В_{х,у),

В^(х,у) = Х2х2 +2Ьху + у2, В.(х,у)= Х2х2 -2Ьху+у2, 23, = £,й3/(12(1

В случае, когда корни характеристического уравнения (8) являются ра ными к\=к2 = Х = а, т.е. ц2 = 1 фундаментальное решение имеет вид

(12)

Для подтверждения достоверности показано, что найденные фундаментальные решения удовлетворяют уравнению

где - дельта-функция Дирака.

При этом третьи производные фундаментального решения определяются как производные локально интегрируемых функций 2>, которые имеют поря-

док г

-1

Для основных граничных условий записаны интегральные уравнения метода компенсирующих нагрузок для изгиба ортотропных пластин, кото-

рые имеют вид:

жесткая заделка (и* = 0; уу,л = 0)

\

Щ щ

т\

(О

(13)

свободное опирание (и> = 0, Мп =0)

I

/

Ч)

т\

(С)

свободный край (Мп =0, Уп = 0)

ад-(0):

(14)

(15)

где - частные решения уравнения изгиба ортотропной пластины;

М. - Ь,'.V; К. = Ьм; Ц, Ь, - дифференциальные операторы.

'■ Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз. 1958.470 с.

Отметим, что вывод фундаментального решения ортотропной пластин) проведен в связи с тем, что в опубликованных решениях имеются н< точности, затрудняющие их применение. Лехницким С.Г. показано, что дл реальных материалов ц2 <1 , поэтому в интегральных уравнениях (12)-(1.'

применено фундаментальное решение (10).

Приведены результаты решения задач изгиба ортотропных пластш Проведено сравнение с точным решением С.Г. Лехницкого для круглой зад данной по контуру пластины, находящейся под действием равномерно ра! пределенной нагрузки и решением, полученным методом конечных разносте для Г-образной пластины.

Рассмотрено применение непрямого метода МГЭ к расчету пласти сложной формы , подкрепленных по контуру через прокладку упругим ре( ром, опертым на точечные опоры. Предполагается, что деформации обжат* и сдвига постоянны по высоте прокладки.

Подкрепляющее ребро представлено в виде прямолинейных элементе (стержней), работающих на изгиб и кручение.

Условия взаимодействия пластины и подкрепляющего ребра записаны виде

40=+++УоКк); (',)=4,'КЫ+ 4,К„(0))]45О)+р0мя(г,.), (16)

где а,у - прогиб в узле (середине) /-го элемента ребра от действия единичне

сосредоточенной силы, приложенной в узле у'-го элемента ребра;

Ьу - угол поворота среднего сечения г-го элемента ребра от действ]

единичной сосредоточенной силы, приложенной в узле у-го элемента ребра Су - прогиб в узле /-го элемента ребра от действия единичного сосред

точенного момента, приложенного в узле у-го элемента ребра;

¿у- угол поворота среднего сечения /-го элемента ребра от действ;

единичного сосредоточенного момента, приложенного в узле у-го элемен

ребра;

н>(/,), М„{1/), - прогиб, угол поворота, изгибающий мо-

мент вокруг касательной к контуру и обобщенная поперечная сила на контуре в узле /-го элемента ; с10 - расстояние от центра изгиба ребра до контура пластины; р0 > 7 о ~ константы, учитывающие работу прокладки на обжатие и поперечный сдвиг в плоскости перпендикулярной оси ребра; ¿Ц_/) - длина

го элемента.

Соотношения (16) представляют систему граничных интегральных уравнений для определения компенсирующих нагрузок , в которой и>(/,), и>,„ (*,.), Л/„(;, ), Кп(/, ) определяются интегральными соотношениями (см. рис. 1)

Щ=~ 1[г2 Ыг ф+ т{21пг +\)созу, т£)] <й(С) + *'(*); ; .

соуу,]»!^)}^) + н>/„ (*);

4Ф

(17)

кС052у£££у Г

, со.

/с<м2усол(у! +у) _ 2солу ялу/ "4 л г2 г2 ;

где = (/)); К(,)=-!)

З3м>'(*)

дп 1 } дпдхг

(18)

Проведено решение ряда задач изгиба пластин, подкрепленных по контуру через прокладку упругим ребром. Для подтверждения достоверности предложенного алгоритма решена задача изгиба квадратной пластины, подкрепленной по контуру ребром и опертой в углах контура на точечные опоры. Полученные результаты близки к решению Тимошенко С.П., Войновско-го-Кригера С. Для трапецевидной в плане пластины на точечных опорах в

углах когггура, подкрепленной по контуру через прокладку ребром, проведе-

но сравнение результатов с решением, полученным вариационным методом3! Различие в максимальных прогибах меньше 1%, а в максимальных напря жениях - меньше 5%.

В главе III излагается итерационный процесс непрямого МГЭ для реше ния задач о больших прогибах пластин и пологих оболочек переменной тол щины, основанный на применении фундаментальных решений задач изгиба i растяжения пластины постоянной толщины.

Принято, что толщину оболочки можно представить в вид h= h^-vh{x,y), где h^ - const, a h(x,y) - гладкая дифференцируемая функцш

срединная поверхность оболочки переменной толщины совпадает со средин ной поверхностью оболочки толщины /¡о. При сделанных допущениях жест

кости оболочки на растяжение и изгиб представлены в виде D = D0+ D(x,y), К = К0+ К(х,у),

где Д, v2)), АГ0 = £Д)Д1-v2) - постоянные, а 5(х,у), К(х,у)

функции, зависящие от координат.

Процесс последовательных приближений для решения нелинейной крае вой задачи предложен в виде

i/t+1>=t/« + a(t/-i/«), (19)

где U(u,v,w) - вектор перемещения точки срединной поверхности; к- номе

итерации;

(а„ О ОЛ

a =

- диагональная матрица;

О а„ О ^ 0 О а „)

0<ац<1 0<а„<1 0<аи,й1 - параметры, обеспечивающие сходимост итерационного процесса.

Вектор и определяется из решения системы линейных уравнений

' а^ы . а V д\

\дх2

к,,

V UU^^VJWIWIWA Ш j^^m^IUUl JinnvnnDlA »^аВПСШШ

<20>

3 Серазутдинов М.Н. Статика и динамика тонкостенных элементов конструкций сложно геометрии //Диссертация на соискание ст. д. ф.-м. н. по специальности 01.02.04. Камскл политехнический ин-т. Набережные Челны. 1991. 308 с.

'а2у а2и з2и

описывающих изгиб и растяжение пластины, с граничными условиями на контуре Г

и> = 0, — = 0, м = 0, V = 0 - жесткая заделка; дп

№ = 0, Л/п = 2)0(н>,лп+уи')т,)=0, и = 0, у = 0 - шарнирное закрепление;

= = (21)

свободный край для гладкого

контура,

где у,=(1-у)/2; у2 = (1 +у)/2; - нелинейные дифференци-

альные операторы (/=1,2,..., 5).

По методу компенсирующих нагрузок решение системы (20) ищется в

виде

«</)= ЯМ^МО+^СМФФ+^Ф

г

Здесь ¿(х, е /2; е Ж - элемент длины контура Г; внешняя

нормаль к контуру Г; Ф2(С), ^(С), т(С)" компоненты вектора компен-

сирующих нагрузок на контуре Г (ср,, <р2 - усилия в срединной поверхности, направленные вдоль координатных осей х, у, д, т- нормальное срединной

поверхности усилие и момент вокруг касательной к контуру 7"). Функции г/ (г),!/(/), и»'(г) определяются соотношениями

V-(о = оа («(л) А> СО) (а ;

где <1П - элемент площади плана оболочки, е О.

Разрешающая система сингулярных интегральных уравнений с неиз вестными компенсирующими нагрузками получена при подстановке (22) : граничные условия (21) и имеет вид (см. рис. 1): 1 )жесткая заделка

¿Б Я'21пт +г(?!пг+.Чф®

\{г{21пг+1 )соху ф + [(21пт + 1)с<м(у - у,) +

+2сауу сауу, + (/);

¡\(с2 /л г - со*2 (С) - Фа(С)1л(С)+^(0 = 0; Л. ¿л

(24)

51п 29 2

Ф,(С) + (С21пг -яп2в)р2($) +/(г) = 0;

г1

2)шарнирное закрепление

¿д \\гг1пт4$ + г{21пт + \)с0*у, =

(25)

И. ^ J

г

где г еГ.

,ял20

2 Ф,(0+(с2/Иг-5ш2е)<р2(0 л(с)+/(/)=о,

Функции плотности ф1(с), ф2(с), удовлетворяют условш

х мшдь'ма.

В диссертации также получены интегральные уравнения для граничны условий свободного края.

Перемещения и усилия в области /2 и на контуре Г определяется соотношениями вида (22). При определении усилий на контуре Г необходимо учитывать разрывы, возникающие за счет предельных значений потенциалов.

Ядра граничных интегральных уравнений содержат особенности типа 1пт, I/г, ]/г2 при г -» 0. Интегралы с особенностью типа 1/г2 определяются в

смысле конечных значений по Адамару.

При численной реализации алгоритма контур Г аппроксимируется отрезками прямых линий или дугами окружностей и разбивается на граничные элементы, в пределах которых компенсирующие нагрузки считаются постоянными. Интегралы, не содержащие особенностей, вычисляются на элементах контура по восьмиузловой формуле Гаусса. Сингулярные интегралы вычисляются аналитически.

Функции г/, V ,у/г определяются интегральными операторами со слабой особенностью (интегрирование проводится по срединной поверхности О). Для вычисления этих интегралов срединная поверхность разбивается на треугольники или секторы (рис. 2). Далее, каждый треугольник разбивается на отдельные элементы (ячейки). На срединную поверхность О наносится сеточная область, узлы которой являются центрами тяжести отдельных ячеек. Интегралы по отдельным ячейкам можно представить в виде /= (] = \Х...,тп), (26)

где - центр тяжести /-ой ячейки; Л} - площадь у-ой ячейки; т - число ячеек в области интегрирования; ядро интегрального оператора; <р(£)

- плотность, которая удовлетворяет условию Гельдера Если г ^ у, то интеграл (26) вычисляется по формуле 7 = (27)

При г = у интегралы типа (26) имеют слабую особенность. Ядра этих интегралов имеют вид

= к^.^А^гЧпп (Х = 0ДД); (28)

Для вычисления этих интегралов вводится полярнвя снстсмэ. координйт с ПОЛЮСОМ В ТОЧКО . йкТСГрЗЛЫ С ЯДраМИ (28) ПрСДСТаВЛЯЮТСЯI) виде

=■<■>('.) ^; (29)

г л, г

¡А(^)-гх Цг)-ф(С)ЛЗ(С) = А^иМ) К (*■ = 0Д2) •

л, л,

Интегралы, входящие в (29), преобразуются к виду йо(г\ Ь '(<") 1 2я г(<р) 2я '(ч>)

¡^Ы = ¡(Ьр ]-г-с!г= /<йр /¿г; ¡гх Ыг ЯЭ(С) = ¡¿<р |ги1 \nrdr (30) 4 0 0 Г 00 Л1 00

и вычисляется численно или аналитически.

Условие окончания итерационного процесса (19) принято в виде

Ц^-С/^Ц/Цс/^е, (31)

где Щ\ = + + (0); Е * малая положительная величина;

[/« =(»« Яи'«).

Исследование нелинейного деформирования оболочек сводится к решению нелинейных задач, зависящих от параметра, который может задаваться различными способами. При численном решении нелинейных задач строится шаговый процесс для монотонно изменяющихся значений выбранного параметра. Эффективность алгоритма зависит от способа выбора этого параметра. В настоящей работе изучение нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек проводится с помощью зависимостей "нагрузка -прогиб". За ведущий параметр принимались поперечная нагрузка р или прогиб н>* в

заданной точке ^{х^.х^ срединной поверхности оболочки.

В первом случае строится итерационный процесс с шагом по нагрузке Ар, т.е. решаются нелинейные задачи для нагрузок р0, р1,..., рм. При этом />, = + Др (¿ = 1,2,За начальное приближение при нагрузке р1 принимается решение при нагрузке р{Л. При нагрузке р0 можно принять „(о)=0, у<°> = 0, *(°>=0. (32)

Во втором случае к системе уравнений (20) добавляется уравнение = и нагрузка р считается неизвестной величиной. Строится итерационный процесс с шагом по прогибу Ам в заданной точке С, т.е. решаются нелинейные задачи для значений прогибов IV*, . . . , у/н в точке г*. При этом -л>* = и-,"., + А\ю (г = 1,2,..., Щ.

За начальное приближение к решению при значении прогиба и>* в точке г* можно принять

И«=Р"И, ^=|Зу<гЛ к^риДН (/=и...,дг), (33)

гдер = 4-

При значении в точке Г* прогиба и^ начальное приближение можно принять в виде (32).

Задание начального приближения в виде (33) является эффективным, если деформация оболочки происходит без резкого изменения формы.

При решении задач для больших перемещений с начального приближения (32) итерационный процесс может не сходится. В этом случае, чтобы по-пучить решение нелинейной задачи применялся процесс продолжения по параметру.

Построены итерационные процессы непрямого МГЭ для решения геометрически нелинейных задач деформирования длинных цилиндрических панелей, основанные на применении фундаментальных решений задач изгиба и растяжения длинной пластины постоянной толщины.

Для оценки эффективности и возможностей итерационных процессов непрямого МГЭ проведено решение ряда задач о больших прогибах пластин и пологих оболочек различной формы при действии сосредоточенных и распределенных нагрузок. Построены зависимости "нагрузка-прогиб".

Рассмотрено применение итерационного процесса непрямого МГЭ для решения линейных задач теории пологих оболочек. На примере прямоугольных в плане пологих сферических и цилиндрических оболочек проведено численное исследование сходимости итерационного процесса в зависимости от выбора параметров аи, ау, а№.

Проведено сравнение решений с известными теоретическими и экспериментальными результатами, полученными М.С. Корншшшым, Ю.Г. Коноплевым, В.Н. Паймушиным, Н.П. Петуховым, В.В. Рогалевичем, М.А. Фай-зулиной, Ф.С. Исанбаевой, А.Н. Шихрановым.

Разработан итерационный процесс непрямого МГЭ для решения задач о больших прогибах пластин на упругом основании типа Викклера, состоящей в следующем. Последовательные приближения выполняются по формуле(19).

Вектор и(и, V, и>) определяется из решения системы линейных уравнений

<34)

= 1,{и{к) Мк) ¿У^ + р,

где к - коэффициент постели;

Граничные условия для системы (34) имеют вид (21).

Решение системы (34) ищется в виде (22), где г/(х), уГ(х) определяютс

соотношениями (23), а имеет вид

(/) = -Н + - (35)

Проведено решение ряда задач о больших прогибах пластин и пологи оболочек на упругом основании. Построены зависимости "нагрузкг прогиб".

В главе ГУ рассматривается применение прямого МГЭ для решения н< линейных задач теории пластин и пологих оболочек.

Уравнения, описывающие напряженно-деформированное состояние пс логой оболочки, записываются в виде

Ьи = Р, (36)

где Ь - нелинейный дифференциальный оператор, {/(ц, щ, и>)- вектор пер< мещения точки срединной поверхности. Р(д1,д2,р) - вектор нагрузки.

Процесс последовательных приближений для решения нелинейной кра< вой задачи с системой уравнений (36) записывается в виде (19).

Вектор V определяется из решения линейной краевой задачи для уравн<

ний

1^С/ = Р- Ци(к) (к = 0,1,2,...); (37)

где Ь = Ьа + 1л, Ц> - линейный оператор, описывающий напряженш

деформированное состояние изотропной пластины постоянной толщины.

Считаем, что в плоскости плана оболочки введена система декартовы координат х,, г = 1,2.

Исходные уравнения для системы включают уравнения статики

Щ дх.

dxt

дх,

уравнения, связывающие деформации и перемещения

dw

со,=-—; аз,-= dxi J

ife+ (39) дх. dxj " 2{дх, дхJ ,J 2 ' J

и уравнения физического закона

Ти = В0(е, , + ve22) + ; Tl2 = B0(l- v)e12 + ; (40)

Mn =P0(®n + vae22)+4M1(f); М12 = £>0(l -v)sal2 + ЛМ,^, (1<=>2J. Для нахождения вектора i/ применен прямой метод граничных элементов. Граничные интегральные уравнения получены методом взвешенных остатков исходные интегральные соотношения которого записы-

ваются в виде

дЦ {dxj

+ 4

w\dn = 0,

(41)

где Ц,м2,й' - весовые функции.

Для напряженно-деформированного состояния пластины постоянной толщины, заданного перемещениями ц,гг2,н;, деформации и усилия определяются уравнениями.

dw

_ lfas, хЛ „

Е„=- —- + —; ГО,- =--

" дХ,)' ' ЭХ,

33Й=-

_1(а5, да J

~ 8MU

Qi =-—

dXj

t 11 dXj j

^i=^o(eii + VE22); Tn - BQ(l- v)e12; Mn = £>„(«„ + vBSn\, Ml2=Z>0(l-v)se12; (l«2). (42)

После выполнения преобразований (41) с учетом (38) - (42) получено ин-

тегральное соотношение

н—-^-w — Ф n\SXj дх,

J

d£2=0,

(43)

где

Jc = + Ттщ + V„w + М„ан - Tnun - rmuz - Vnw - + _ ¡jwj^ ;

Ф=щщ++T^W/)®, - «ц - (/>- +

4 Бреббш К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. Пер. с ант. М.: Мир, 1982.248 с.

которое является исходным для вывода системы четырех граничных интегральных уравнений.

Два первых граничных интегральных уравнения получены из соотношения (43), где использовано решение следующей задачи:

>7-0; = (£ = 1,2), (45)

СЛ у

которое представляет фундаментальное решение Кельвина для плоского напряженного состояния пластины (2), где , - точка наблюдения, а - точка приложения единичной силы. После выполнения преобразований и определения предельных значений потенциалов при | -> х граничные интегральные уравнения, определяющие плоское напряженное состояние, приведены к виду

сш,® - + Тт(х,$щ(х) - Тя{х)и„(х^)-Гпи,(х,^х)-

г

-¡Ф{х^уп{х) = 0, (/ = 1,2), (46)

а

где + -ф. (47)

Третье граничное интегральное уравнение, определяющее прогиб пластины, получено из (43) при использовании решения задачи:

М = 5(х-4), (48)

которое представляет фундаментальное решение задачи изгиба пластины (1). В результате преобразований с использованием предельных значений потенциалов при £ х интегральное уравнение приведено к виду

г

+1,(ЩхЛНх)-Н(хЩх^)\ - ¡Ф{х,^П = 0, (49)

' п

где Ф(х,£) принимает вид:

Ф(х,I) = 7<<Ц*>5, -(р-к^4- §ЬиААф.

\ / - '

В интегральном уравнении (45) а = 1, если точка \ находится в области £1 и а = 0.5, если г, принадлежит гладкому участку контура Г.

Четвертое граничное интегральное уравнение получено дифференцированием (49) и имеет вид

асо

г\

ёгЩ [ ) Л ) пК ) дп@ А } дт%) ,

ds-

-s

{ 8^) аф

с,

i ¿ЧЮ

(50)

Коэффициент а в уравнении (50) определяется также, как в уравнении (49).

Таким образом, для определения восьми неизвестных функций щ(х), иГя(х), Тт(х), н(д:), юл(х), М„(х), У„(х) на контуре Г получены

четыре граничных интегральных уравнения. Четыре из этих функций исключаются из краевых условий (20).

Для длинных цилиндрических панелей итерационный процесс прямого МГЭ выполняется следующим образом

уМ-уМ + а^У-уМ), 7= * = 0Д,... , (51)

где а„,, а, - параметры, обеспечивающие сходимость

процесса последовательных приближений.

Интегральное соотношение (43) приведено к виду i(

JC~{

dT dQ n

{as as

(52)

где

Jc = [fu- Tu + Qw-Qyv + M® - AfS») j.

о

Полагая в (52) сначала # = 0, dT/ds = S(s-%), a затем м=0, dQ/ds = 5(î- Ç) получены уравнения аналогичные (46), (49), (50) для определения граничных функций:

+ îYtfi—+

2 w ZK0 w 2Кй 0J 4 '

сЬ

Для вычисления интегралов, входящих в уравнения (53) , необходимы также уравнения для усилия Т и момента М. Эти уравнения получаются дифференцированием уравнений (53) при использовании соотношений описывающих напряженно-деформированное состояние пластины. Пр* £ О и £-»/ из уравнений (53) получаются шесть алгебраических уравнений, содержащих двенадцать неизвестных значений функций на концах отрезка [0, /]. Исключив шесть неизвестных из граничных условий, получим систему шести уравнений с шестью неизвестными. Решив эту систему, определим граничные значения функций, входящие в (53). Определи! величины ИО0> по формулам (51) найдем значения , .

Для линейных задач проведен численный эксперимент по изучению зави симостей а* а*(/с) для панели постоянной толщины, где а^,, а* - оптимальные значения параметров а,, обеспечивающие максимальную ско

- к,!2

рость сходимости процесса (51), к, = —— безразмерный параметр кривизны

Л

/, ку, Ь - ширина, кривизна и толщина панели. Эксперимент показал, чтс при достаточно больших к{ >20) указанные зависимости могут бьгп представлены соотношениями

где X - 60 для граничных условий жесткой заделки и К = 10 дня граничны: условий шарнирного закрепления. Проведены расчеты гибких панелей пере менной толщины. Выполнено сравнение результатов с решением полученныл по алгоритму, разработанному в статье Танеевой М.С., Малахова В.Г.'>

оболочек вращения // Статика и динамика оболочек. Труды семинара. Казанский физ. техн. ин-т. КФАН СССР. в. 12.1979. С. 113-120.

(54)

В главе V излагаются способы построения приближенного решения для задач о больших прогибах тонких линейно-упругих пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости на основе вариационного уравнения Лагранжа и вариационного уравнения смешанного типа.

Деформированное состояние оболочки описывается теорией, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява при линейной связи между силовыми факторами и деформациями. Оболочка находится под действием контурных и поверхностных сил. Рассматривается задача о больших прогибах в случае малых деформаций. Вопросы концентрации напряжений не исследуются.

При построении приближенного решения рассмотрено деформирование тонкой гибкой упругой оболочки кусочно-постоянной жесткости, которая занимает область <?, ограниченную контуром С (рис. 3).

В области (? имеется /+1 подобластей G¡ (г = ОД Д...,/), каждая из

которых соответствует изотропному участку оболочки заданной жесткости (К{, Д- жесткости на растяжение и изгиб). Подобласти б, ограничены кон-

I I

турами С,, а (70 = (дополнение Д° Различие жесткости в

;=1 ¿=1 подобластях б, может быть обусловлено скачком на С,- (/ = 1,2,...,/) в толщине

/ или в физических характеристик материала Е, V {Е - модуль Юнга, V -коэффициент Пуассона). Толщину подобласти <7( обозначим

В общем случае срединные поверхности подобластей оболочки б, не

совпадают. За поверхность приведения принята поверхность на уровне срединной поверхности подобласти <70. Расстояние между срединными

поверхностями подобластей (7, (г = 04,2...../) и поверхностью приведения

обозначено ¿>1 (эксцентриситет).

Для оболочки, состоящей из (/+1) подобластей различной жесткости, из принципа возможных перемещений Лагранжа получено вариационное уравнение, которое имеет вид

+2Л

Ы

л (I —* ^-г 4 ¿1 ,__/ —*п ____»1 - *

( А;-^Н -т + -т \дУ '-в '¿яп

с* 1> иЗ( ; j

) -*- ^^ ) ' р-^сх 2=О. (55)

Здесь к\ - вектор контурного усилия подобласти С?,; б"' и Я*' - изгибающие и крутящие моменты подобласти б,; С* - деформированный контур С/, ¿у* ■ элемент контура С*; п' - нормаль к контуру С*; х' - главный вектор внешних сил, действующих на элемент подобласти б,; т - нормаль к деформированной поверхности приведения; индексы 0,; указывают на принадлежность величин подобластям Со,*?,-.

Из вариационного уравнения (55) вытекают статические граничные условия, статические условия сопряжения усилий и моментов для подобластей различной жесткости и векторное уравнение равновесия.

Поскольку вариационное уравнение содержит все статические связи очевидна целесообразность энергетического подхода к решению рассматриваемого класса задач.

Сущность предложенного метода расчета пластин и пологих оболоче» кусочно-постоянной жесткости заключается в следующем.

Пусть и, у, и» - проекции вектора перемещения точки поверхности приве

дения на направления касательных к координатным линиям и на нормаль I срединной поверхности.

Компоненты вектора перемещения точки срединной поверхности под области , согласно гипотезе Кирхгофа-Лява, определяются по формулам

и5' =ы-д,а1; V5' = ; и-'5' = и>, (56)

где а>1, аг " углы поворота вокруг касательных к координатным линиям пр* изгибе.

Для построения приближенного решения функции и, V, и> представим I виде

у = и> = и>°+£Лг. (57)

1=1 1=1 ы

Здесь и\ V0, н>° - функции непрерывные вместе с производными ] области б, удовлетворяющие на контуре С геометрическим граничныь условиям;

([, если аиа2 е <7,, (58)

€ \СС \ »ОС * ж — • _ л

4 ' |о. если аи аг е <?(;

г/, у' , н>'- функции непрерывные вместе с производными в подобласти (?, (¿ = 1,2,...,/). В точках пересечения контуров С, и С (общей части контуров)

функции г/, V1, п' удовлетворяют геометрическим граничным условиям на С, а на остальной части контура С, - условиям:

ы

= 0, (59)

с.

М

(—г - производная по направлению нормали к контуру С,, лежащей в дп'

касательной плоскости к срединной поверхности).

В выражениях (57) функции г/У,™' (/ = 1,2,...,/) введены для учета

разрывов, вносимых в поля напряжений и деформаций оболочки скачками жесткости. При этом и, V, и», о)х,аг- непрерывны в силу условий ( 59).

Для приближённого решения задачи методом Ритца функции г/, у' , н>1 (г = 0,1,2,...,/) разлагаются в ряды по полным системам координатных

функций

«' = 2ЖЛ'(*1.*2); ^ = ХС>Ца„а2); и,' = 14^(«..«2)> (60)

к к к

где за счет выбора //, \\>'к удовлетворяются условия, накладываемые на и\>'\н>'.

Из условия минимума полной энергии деформации получаем систему нелинейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложений (60)

дэ _аэ

ЪА1к дВ[ 8С'к

При этом статические граничные условия и статические условия сопряжения решений в подобластях Сд.С, являются для функционала Э естественными и

удовлетворяются тем точнее, чем выше приближение, в котором решается задача.

Для апробации предложенного метода было проведено сравнение приближенного и точного пешеиий задачи изгиба длинной пологой ци-

линдрической панели, состоятся из двух подобластей различной толщины. Точное решение было получено на основе интегрирования уравнений равно-

весия пологой оболочки в подобластях и удовлетворения по границам подобластей условиям непрерывности перемещений, поворота, усилий и изгибающего момента. При приближенном решении функции и', wl (/' = ОД) разлагались в рады по системе балочных функций.

Расчеты показали, что при 1 ^ / г0 < 4 и различных значениях эксцентриситета 5, приближенное решение быстро сходится к точному. В третьем приближении ,dif№ <3%, а при 22 варьируемых параметрах Аатах< 1% (Aw^tAa^ - погрешности определения максимальных значений прогиба и напряжения).

Если приближенное решение получать без введения дополнительных функций и1, w1, то для достижении» заданной точности требуется во много

раз больше варьируемых параметров, чем в предыдущем случае.

Вариационное уравнение смешанного типа для оболочки ступенчато-переменной жесткости принимает вид:

S*!®^®" +se22)2-2(l-vi)(aeuae22-aey]+pw+

+\TnQwkn + <и,©2 -sn)}d<r+ J{m„674 utSS - Фдя+G(i\8ax + }i2Sa>2)ds=0;

с

(da= AiA2daida2),

где ип,иг - заданные на контуре С проекции тангенциального перемещения на нормаль п = ще{ + щё2 и касательную г к контуру С; Т, S - проекции вектора контурного усилия на нормаль и и касательную т; Ф - проекция вектора контурной нагрузки на нормаль к G; G - внешний изгибающий момент на контуре.

Функция усилий у для области G вводится по формулам:

Ати = {ул M)'i+4.2^/4; (64)

А^А2Тп = -у,п+Аг1у/,21Аг +Ai3y/,ljAl.

При этом первые два уравнения равновесия оболочки удовлетворяются тождественно.

В вариационном уравнении (63) варьируются функции м? и у/ (Ту выражается через у/ по формулам (64). К сравнению допускаются функции, удовлетворяющие геометрическим граничным условиям для н» и статическим граничным условиям для Ц).

В результате преобразований вариационное уравнение (63) приведено к виду:

¡¡{DAAw+T^ +аэ1,)+27;2(£12 + аэ12)+ T12{kv + аз22) + p}dwdcr+

а

-и1)5Т+(и»г - (65)

с/

ni *TÍ XTÍ 3HJ _¡9vf cidw ^ r,

где RJ = N{n¡ +Nítb--+ /—+SJ—; G, H - проекции вектора упруго-

ds en os

го момента на нормаль и касательную к контуру; N¡ - перерезывающие усилия на срезах a¡ = const. Верхний индекс в записи усилий и тангенциальных перемещений указывает на принадлежность подобласти G¡.

Из вариационного уравнения (65 ) естественно вытекают условия сопряжения решений на контуре С, (/ = 1,2,...,/):

ul = i/n; h° = ¡4; G°=G'-, R° = R' (66)

и граничные условия на контуре С:

= и "=«r; К° = Ф, (67)

если на С варьируются Т, S,w, dw/dn.

Для построения приближенного решения задачи прогиб представимм в виде:

i

w=H>°+2>V, (68)

м

где и>° - функция, непрерывная вместе с производными в области G, удовлетворяющая на контуре С геометрическим граничным условиям;

в* имеет вид (58); ív1-функции, непрерывные вместе с производными в подобласти G¡, удовлетворяют на Ci условиям:

w1 =0; dw'/dn=0 (/=1,2...../). (69)

Функции и?1 (г' = ОДД,...,/) и у разлагаются в ряды по полным системам

координатных функций

и>'= %Л*м(аиа2); ^ = £ ^//КО' (70)

1 )

Представление прогиба в виде (68) позволяет учесть разрывы в напряжениях и деформациях на линиях скачка жесткости. При этом условия (66), как указывалось выше, являются для функционала естественными (не требуют удовлетворения за счет выбора координатных функций), а граничным условиям для усилий Т, 5, прогиба и- и поворота ды/дп (если он задан) нужно

удовлетворять за счет выбора полных систем координатных функций ф{\

О 0 II I у г г

Фг.....<?п> • ■ ■ > 91 > Фг> • • •» Фл> 3\> Зг* ■ • •. и-

Методом Ритца задача сводится к решению нелинейных алгебраических уравнений вида:

АХ = Р, (71)

где А - матрица системы; X (а^,...,а1,...а1,...,А'п,В1,...Вп^ - искомый вектор; Г = Р(Х,Р) - вектор правых частей, содержащий нелинейные и нагрузочные члены.

Решение системы (71) находится методом общей итерации

Х"+1 =Хп + а(хп+1 -X"), (0 < а <\) (72)

с численным интегрированием правой части.

Проведено сравнение приближенного и точного решений задачи изгиба д линной пологой цилиндрической панели ступенчато-переменной толщины с граничными условиями шарнирного закрепления. Отмечается близкое совпадение результатов.

Разработан алгоритм решения задач нелинейного деформированю пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости с использо ванием предложенного способа построения приближенного решения по ме тоду Ритца на основе вариационного уравнения Лагранжа.

Решены задачи о больших прогибах прямоугольных в плане пластин I пологих цилиндрических и сферических оболочек , состоящих из двух подоб лосгей «70 и б} различной толщины, находящихся под действием равномерн<

распределенного нормального давления по всей поверхности или по под

области <?,. Границы подобласти <7г параллельны сторонам оболочки (пластины) или частично совпадают с ними . На внешнем контуре рассмотрены граничные условия шарнирного закрепления и жесткой заделки. Построены зависимости "нагрузка- прогиб" для пластин и пологих оболочек с разными отношениями Ц //0. Дан анализ численных результатов. Отмечается значительное влияние отношения толщин подобластей на прогибы и критические нагрузки.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложены итерационые процессы для решения на основе прямого и непрямого МГЭ линейных задач изгиба пологих оболочек, основанные на применении фундаментальных задач изгиба и растяжения пластины.

2. Для контура, составленного из прямолинейных отрезков, разработана методика определения предельных значений потенциалов для задач изгиба и растяжения пластины, основаная на развитии результатов О.И. Панича по исследованию потенциалов полигармонического уравнения.

3. Проведено аналитическое вычисление интегралов с особенностями типа Коши и Адамара для задач изгиба и растяжения пластин. Для непрямого МГЭ предложен способ вычисления интеграла Адамара с особенностями типа 1[т2 при г-»0 из уравнения равновесия пластины.

4. Получено фундаментальное решение для задачи изгиба ортотропной пластины. Выведены интегральные уравнения непрямого МГЭ для расчета ортотропной пластины.

5. Выведены интегральные уравнения непрямого МГЭ для расчета пластин сложной формы, подкрепленных по контуру через прокладку упругим ребром, опертым на точечные опоры.

6. Разработаны алгоритмы решения задач изгиба пластин сложной формы, ортотропных пластин, пластин, подкрепленных по контуру через прокладку упругим ребром.

7. Получены результаты решения непрямым МГЭ задач изгиба пластин под действием распределенной нагрузки, многосвязных пластин под действием температурног о поля, пластин, подкрепленных по контуру упругим ребром, ортотропных пластин.

8. Предложены итерационные процессы для решения на основе непря-могоо МГЭ задач о больших прогибах пластин и пологих оболочек произвольной формы, в том числе и взаимодействующих с упругим основанием типа Винклера, при действии распределенных и локальных нагрузок при различных способах закрепления.

9. Разработан алгоритм решения задач нелинейного деформирована пластин и пологих оболочек со сложным контуром, основанный на решенш нелинейных задач непрямым МГЭ и методе продолжения по параметру. Зг ведущий параметр принят прогиб в заданной точке оболочки или поперечна* нагрузка.

10. Проведено исследование нелинейного деформирования пластин I пологих оболочек с различной формой контура, в том числе и взаимодей ствующих с упругим основанием типа Винклера, под действием распределен ных и локальных нагрузок при граничных условиях шарнирного закрепле ния, жесткой заделки и их комбинациях. Построены зависимости "нагрузка прогиб".

11. Разработан алгоритм реализации итерационного процесса непрямой МГЭ для решения задач изгиба длинных гибких пластин и пологих ци линдрических панелей, основанный на применении фундаментальных реше ний задач изгиба и растяжения длинной пластины . Проведено решение ряд; задач.

12. Для линейных задач изгиба квадратных в плане пологих ци линдрических и сферических оболочек и задачи о больших прогиба

четырехугольной пластины проведено численное исследование скорости схс

!щмости итерационного процесса непрямого МГЭ в зависимости от выбора тараметров релаксации.

13. Предложен итерационный процесс решения задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек , основанный на решении прямым МГЭ задач изгиба и растяжения пластины постоянной толщины. Интегральные уравнения получены методом взвешенных остатков.

14. Рассмотрено применение итерационного процесса на основе прямого МГЭ для расчета пластин и пологих цилиндрических панелей постоянной и переменной толщины. Для линейных задач изгиба цилиндрических панелей постоянной толщины на основании численных экспериментов получены формулы для определения оптимальных значений параметров релаксации в зависимости от кривизны панели. Рассмотрены вопросы практической сходимости итерационного процесса для линейных и нелинейных задач.

15. Для расчета пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости на основе вариационного уравнения Лагранжа и вариационного уравнения смешанного типа разработаны способы построения быстросхо-щящегося приближенного решения по методу Ритца, учитывающие разрывы в напряжениях и деформациях по линиям ступенчатого изменения жесткости.

16. Решены задачи нелинейного деформирования прямоугольных в плане пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости. Построены зависимости " нагрузка- прогиб". Отмечается значительное влияние отношения жесткостей подобластей оболочки на критические нагрузки.

17. Предложенные итерационные процессы решения нелинейных задач на основе МГЭ не требуют больших затрат времени на подготовку исходных данных. Реализация итерационных процессов сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений с хорошо обусловленными матрицами, что является следствием сингулярности интегральных уравнений.

18. Метод граничных элементов позволяет с высокой точностью опре делять напряженное состояние в окрестности локальных нагрузок, т. к. осс бенности в решении описываются аналитически.

19. Предложенный метод расчета пластин и пологих оболочек сху пенчато-переменной жесткости внедрен в учебный процесс (написан учебное пособие) и применялся для расчета упругого элемента датчика дав ления, расчетная схема которого представляет ортотропную пластину сху пенчато-переменной жесткости.

20. Разработанные алгоритмы МГЭ применялись при расчете издели конструкционной оптики и полки рамно-панельной конструкции. Програй ма по расчету МГЭ пластин, подкрепленных по контуру упругими ребрам! зарегистрирована в Реестре программ для ЭВМ Российской Федерации и ш пользуется на кафедре строительных конструкций УлГТУ.

21. Проведенные многочисленные сравнения с известными теор« тическими и экспериментальными результатами позволяют сделать зг ключение о высокой точности и эффективности предложенных в диссертаци методов.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

]. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Исследование изгиба пластин сложно формы под действием температурного поля и нормального давления мет( дом граничных элементов // Прикл. задачи напряженного состояния упруги тел. Межвуз. научн. сб. Саратов. 1987, С. 50-54.

2. Артюхин Ю.Л., Грибов А.П. Применение метода граничных эл< ментов к исследованию изгиба ортотропных пластин сложной формы // И< следования по теории оболочек. Труды семинара. Вып 21.4.1. Казань: Ki зан. физ.-техн. ин-т АН СССР. 1988. С. 146 -156.

3. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Развитие метода граничных элементов линейных и нелинейных задачах теории пластин и оболочек // Труды XVI: Международной конференции по теории оболочек и пластки. т.З. Сарато; Саратовский гос. техн. ун-т., 1997. С. 3-9.

4. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Решение задач изгиба пластин, подкрепленных упругими ребрами, методом граничных элементов // Актуальн. пробл. мех. оболочек. Тезисы докладов 3 Всесоюз. совещания- семинара молодых ученых. Казань. 1988. С. И.

5. Артюхин Ю.П., Грибов А.П. О применении метода граничных элементов к исследованию изгиба ортотропных пластин // Математические модели. Методы решения и оптимальное проектирование гибких пластин и оболочек. Межвуз. научн. сборник. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та. 1988. С. 8688.

6. Артюхин Ю.П., Грибов А.П., Стахорский A.M. Решение задач изгиба изотропных многосвязанных пластин методом граничных элементов // Эффектов. числ. методы решения краев, зад. мех. тверд, деформ. тела. Тез. цокл. Респ. науч. техн. конф. 4.2, Харьков, 1989. С. 12-13.

7. Артюхин Ю.П„ Грибов А.П., Толкачев В.М. Расчет пластин со сложным очертанием контура методом гранных элементов // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация и автоматизация исследований. Всесоюзн. научн. сб. Горький: Изд-во Горьковского университета. 1987. С. 63-70.

8. Грибов А.П. Исследование напряженно-деформированного состояния гибких прямоугольных пластин ступенчато- переменной жесткости // Камский политехи, ин-т. 10с. Деп. в ВИНИТИ ОТ 19.09.84. № 6198-84.

9. Грибов А.П. Решение задач нелинейного деформирования пологих оболочек методом граничных элементов // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. т.З. Саратов: Саратовский гос. гехн. ун-т., 1997. с. 49-54.

I О.Грибов А.П. Исследование напряженно-деформированного состояния гибкой пологой оболочки ступенчато-переменной жесткости. Актуальные проблемы механики оболочек // Тезисы докладов Всесоюзной школы молодых ученых и специалистов. Казань. 1983. С. 43.

II .Грибов А.П. Исследование изгиба пластин, подкрепленных по контуру ребрами, методом граничных элементов /7 Механика и процессы управления. Межвуз. сб. научн. тр., вып.З. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та., 1992. С. 8-13.

\2.Грибов А.П. Расчет гибких пластин и пологих оболочек методом гр! ничных элементов Н Математическое моделирование и краевые задачи. Тр; ды седьмой межвуз. конф. ч. I. Самара. 1997. С. 29-31.

13.Грибов А.П. Итерационный алгоритм метода граничных элементе для расчета гибких пластин и пологих оболочек переменной жесткости IIМ тематическое моделирование и краевые задачи. Труды шестой межву конф. ч. Г. Самара. 1996. С. 24-26.

Н.Грибов А.П. Об алгоритмизации одного вариационного метода пр; менитеяьно к задачам изгиба пластин и пологих оболочек ступенчат переменной жесткости // Труды семинара по теории оболочек. Вып. VI. К занский физ.-техн. ин-т АН СССР. Казань. 1975. С. 241-250.

15.Грибов А.П. О построении итерационных алгоритмов метода гр ничных элементов для задач изгиба пологих оболочек и пластин на упруго основании // Труды XVII Международной конференции по теории оболоч< и пластин, т.2. Казань: Каз. гос. ун-т, 1996. С. 112-117.

16.Грибов А.П. Итерационный алгоритм метода граничных элемент« для расчета гибких пластин и пологих оболочек переменной жесткости Ульян, гос. техн. ун-т., Ульяновск, 1997, 18 с. ДЕП в ВИНИТИ 06.01.97,; 22-В97.

П.Грибов А.П. Решение задач нелинейного деформирования полол оболочек методом граничных элементов // Нелинейное моделирование управление. Тезисы докладов международного семинара. Самара , 1997. 43-44.

18.Грибов А.П., Малахов В.Г. Итерационный алгоритм прямого мето, граничных элементов для расчета пластин и пологих оболочек И Матем тическое моделирование и краевые задачи. Труды седьмой межвуз. конф. I. Самара. 1997. С. 31-33.

19.Грибов А.П., Малахов В.Г. Алгоритм расчета длинных гибких панел на основе метода граничных элементов // Ульян, гос. техн. ун-т, Ульянов! 1997,9 с. ДЕП в ВИНИТИ 06.01.97, № 23-В97.

Ю.Грибов А.П., Малахов В.Г. Алгоритм расчета гибких шшетин метод граничных элементов // Нелинейное моделирование и управление. Теза докладов международного семинара. Самара , 1997. с. 45-46.

21.Грибов А.П., Малахов В.Г. Расчет напряженно-деформированного состояния длинных панелей методом граничных элементов // Вестник Казанского гос. технического ун-та. № 4.1996. С. 48-51.

22.Грибов А.П., Малахов В.Г. Алгоритм расчета гибких пологих оболочек с использованием прямого метода граничных элементов // Труды XVTII Международной конференции по теории оболочек и пластин. т.З. Саратов: Саратовский гос. техн. ун-т., 1997. С. 54-59.

23.Грибов А.П., Стахорский A.M. Исследование изгиба ортотропных многосвязанных пластин сложной формы методом граничных элементов // Смешанные задачи механики деформируемого тела. Тезисы докладов IV Всесоюзной конференции. ч. I, Одесса, 1989. С. 96.

2^.Грибов А.П., Корнишин М.С. Статический расчет пологой оболочки ступенчато-переменной жесткости на основе вариационного уравнения смешанного типа // Исследования по теории оболочек. Труды семинара, вып. 10. Казанский физ.-техн. ин-т АН СССР, Казань. 1978. С. 79-86.

25.Грибов А.П., Петухов Н.П. Численные методы расчета тонкостенных конструкций при статических воздействиях. Учебное пособие. Казань. Ка-занск. хим.-технол. ин-т. 1986. 79 с.

26.Корниитн М. С., Грибов А.П. К вопросу об алгоритмизации вариационных методов применительно к задачам расчета пластин и оболочек ступенчато-переменной жесткости // Краткие тезисы докладов к VII научной конференции по применению ЭВМ в механике деформируемого твердого тепа. ч. I. Ташкент. 1975. С. 6.

27.Корнишин М.С., Грибов А.П. Об одном способе расчета пластин и оболочек ступенчато-переменной жесткости // Труды семинара по теории эболочек. Вып. 4. КФАН СССР. Казань. 1974, С. 298-307.

28.Толкачев В.М., Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Решение задач изгиба пластин сложного контура методом граничных элементов // Актуальные проблемы механики оболочек. Тезисы докладов II Всесоюзного совещания-семинара молодых ученых. Казань. 1985. С. 218.

29.Толкачев В.М., Артюхин Ю.П., Грибов А.П. Смешанные задачи изги-За пластин сложного контура // Тезисы докладов III Всес. конф. "Смешанные ¡адачи механ. деформ. тела." Харьков. 1985. С. 123.

30.Грибов А.П. Решение задач о больших прогибах пластин и пологи; оболочек на упругом основании методом граничных элементов. Матема тическое моделирование и краевые задачи. Труды восьмой межвузовско] конференции. 4.1. Самара. 1998. С. 46-49.

31.Грибов А.П., Карсункин В.В. Программа по расчету пластин, подкрел ленных по контуру упругими ребрами (PLAST). Свидетельство об официал! ной регистрации программы для ЭВМ. Рос. АПО. № 970408. Дата регистра ции 10.10.1997 г.

Рис.2

Рис.3

т

Грибов Александр Павлович

БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК СО СЛОЖНЫМ КОНТУРОМ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 18.08.98. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Усл. печ. л. 2.56 . Уч.- изд. л. 2.25 Тираж 150 экз. Заказ £6 О Бесплатно. Ульяновский государственный технический университет, 432027, Ульяновск, Северный Венец, 32. Типография УлГТУ. 432027, Ульяновск, Северный Венец, 32.

У / - -2 4 ^^

ульяновский государственный технический

> ■: • рухнут р л V- ^^ЭЙВЕ]

1 -.....у 141 Росст-

ниение от

ксудил учет - ^ - Л ОТ на правах рукописи

«*?альнид у1 ^ _ {

грибов Александр Павлович

удк 539.3

большие прогибы пластин и пологих оболочек

со сложным контуром

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант: д. ф.-м. н., проф. Артюхин Ю.П.

Г

ульяновск-1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение...............................................................................................5

Глава I. Интегральные уравнения изгиба и плоского напряженного состояния пластины.......................................................33

§1.1. Формулы дифференцирования в локальной системе координат................................................................................33

§1.2. Метод компенсирующих нагрузок при изгибе пластины.........................................................................................36

§1.3. Определение ядер потенциалов, входящих в интегральные уравнения изгиба пластины........................................40

§1.4. Предельное представление потенциалов на границе области....................................................................................43

§1.5. Интегральные уравнения изгиба пластины......................53

§1.6. Метод компенсирующих нагрузок при плоском напряженном состоянии пластины..............................................57

§1.7. Определение ядер потенциалов, входящих в интегральные уравнения плоского напряженного состояния пластины.....................................................................................60

§1.8. Интегральные уравнения метода компенсирующих нагрузок при плоском напряженном состоянии пластины.........................................................................................63

§1.9. Регуляризация расходящихся интегралов.........................66

§1.10. Вычисление сингулярных интегралов по элементам контура................................................................................69

Глава II. Изгиб пластин сложной формы...........................................77

§2.1. Изгиб пластин от действия поперечной нагрузки............77

§2.2. Исследование температурного изгиба многосвязных изотропных пластин...........................................................83

§2.3. Расчет ортотропных пластин сложной формы.................^

§2.4. Расчет пластин, подкрепленных по контуру через прокладку упругим ребром......................................................

Глава III. Решение задач о больших прогибах пластин и пологих

113

113

оболочек непрямым МГЭ...................................................

§3.1. Исходные соотношения.................................................

§3.2. Расчет пластин и пологих оболочек непрямым методом

1 1 /г

граничных элементов.........................................................

195

§3.3 Решение задач о больших прогибах пластин.....................

1

§3.4. Большие прогибы пологих оболочек................................

147

§3.5. Линейные задачи теории пологих оболочек.....................

§3.6. Изгиб длинных цилиндрических панелей и пластин.......^

§3.7. Большие прогибы пластин и пологих оболочек на упру-

157

гом основании.....................................................................

Глава IV. Решение задач о больших прогибах пластин и пологих

1 (\й.

оболочек прямым МГЭ......................................................

1 £»4

§4.1. Исходные соотношения. Итерационный процесс............

§4.2.Интегральные уравнения прямого МГЭ для гибких

1

пластин и пологих оболочек..............................................

1 пг

§4.3. Расчет длинных панелей на основе прямого МГЭ...........

Глава V. Большие прогибы пластин и пологих оболочек сту-

189

пенчато-переменои жесткости............................................

1 од

§5.1. Постановка задачи.............................................................

19?

§5.2. Вариационное уравнение...................................................

§5.3. Расчет пологой оболочки ступенчато-переменой жесткости на основе вариационного уравнения Лагран-

жа.........................................................................................

§5.4. Сравнение приближенного и точного решений длинной пологой цилиндрической панели ступенчато - переменной толщины.......................................................................^^

§5.5. Решение системы линейных алгебраических уравнений с

?08

блочной матрицей специального вида...............................

§5.6. Расчет пологой оболочки ступенчато-переменной жесткости на основе вариационого уравнения смешанного

типа......................................................................................^ ^

§5.7. Большие прогибы пологих оболочек ступенчато-

217

переменной жесткости........................................................

§5.8. Большие прогибы пластин ступенчато-переменной

224

жесткости.............................................................................

Основные результаты и выводы Литература..................................

230 235

ВВЕДЕНИЕ

Интенсивное развитие теории оболочек и пластин обусловлено потребностями практики. Вопросы, связанные с расчетом тонкостенных конструкций возникают во многих отраслях современной промышленности, в том числе: авиации, ракетостроении, судостроении, химическом машиностроении, строительстве и т.д. В связи с этим одной из главных задач механики тонкостенных конструкций является совершенствование методов расчета и проектирования пластин и оболочек сложной формы с различными законами изменения толщины, отверстиями, включениями, накладками, подкрепляющими ребрами при действии на них распределенных и локальных нагрузок.

В публикациях А.Н. Гузя, В.В. Новожилова, Г.В. Новожилова, Н.Ф. Образцова, Г.Н. Свищева [114, 228, 229, 231, 271] указывается на необходимость совершенствования методов расчета тонкостенных конструкций.

В работе А.П. Филина [307] отмечается: "Наличие всевозможных невторостепенных конструктивных особенностей, как, например, элементы, подкрепляющие пластину или оболочку на контуре или в области, подкрепленные или неподкрепленные отверстия, местные утолщения и тому подобные нерегулярности, в ряде случаев приводят к необходимости их учета. Вместе с тем классические расчетные схемы, методы и алгоритмы расчета оказываются, как правило, в этих случаях малоэффективными".

В работе Г.В. Новожилова [229] указывается: "... следует иметь в виду, что только 10%-ная погрешность в определении напряжений приводит почти к двойной погрешности в ресурсе".

Одной из проблем механики тонкостенных конструкций является развитие методов исследования нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек сложной формы с различными законами изменения толщины, в частности, оболочек ступенчато-переменной жесткости, которые находят широкое применение в технике. Так, расчетная схема пластин и оболочек с широкими ребрами с учетом эксцентриситета (расстояния между срединными

поверхностями ребер и оболочки) представляет оболочку ступенчато-переменной жесткости.

Оболочки ступенчато-переменной жесткости и оболочки, ограниченные сложным контуром>относятся к оболочкам сложной геометрии. По определению К.З. Галимова, В.Н. Паймушина [80] - это оболочки со сложной формой срединной поверхности, не описываемой простыми аналитическими выражениями и со сложной конфигурацией границы.

Для более полного изложения вопросов актуальности и научной новизны, представленных в работе результатов, приводится краткий обзор литературы по теме исследования.

В настоящей диссертационной работе представлены результаты исследований задач линейного и нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек произвольной формы при действии распределенных и локальных нагрузок. Рассмотрены задачи изгиба пластин, подкрепленных по контуру через прокладку упругим ребром, задачи расчета ортотропных и многосвязных пластин. Приведены интегральные уравнения изгиба и растяжения пластин. Для этого класса задач рассмотрены предельные значения основных потенциалов и вопросы вычисления сингулярных интегралов. Предложены итерационные алгоритмы расчета гибких пластин и пологих оболочек произвольной формы. Проведено численное исследование сходимости итерационных процессов. Приведены результаты решения задач о болыцих прогибах пластин и пологих оболочек сложной формы. Рассмотрены задачи о больших прогибах пластин и пологих оболочек ступенчато-переменной жесткости. Решение этого класса задач выполнено методом Ритца с использованием специального представления приближенного решения, учитывающего разрывы в напряжениях и деформациях на линиях ступенчатого изменения жесткости. Приведены результаты исследования нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек различной формы.

Часть работ была вызвана потребностями производства.

Все вышеизложенные позволяет сделать заключение об актуальности темы исследования.

Обзоры публикаций по оболочкам сложной формы приведены в работах [76, 116, 168, 226, 249, 322].

Для расчета оболочек сложной геометрии применяются различные модификации метода конечных разностей (МКР). В работах Баженова В.Г., ВайнберГа Д.В., Вольмира A.C., Гоцуляка Е.А., Григоренко Я.М., Мукоеда А.П., Корнишина М.С., Петухова Н.П., Положего Г.Н., Крысько В.А., Кар-мишина A.B., Столярова H.H. и др. изложены способы построения разностных схем [32, 43, 45, 46, 63, 65, 66, 111, 112, 152, 153, 156, 247, 248, 254, 181, 288, 224].

Для расчета пластин и пологих оболочек с отверстиями и выточками различной формы находит широкое применение метод разложения по параметру. Основные результаты по применению этого метода опубликованы в монографиях Гузя А.Н., Немиша Ю.Н., Каюка Я.Ф., Чернышенко П.С., Чехова Вал.Н., Чехова Вик.Н., Блошко Н.М. [115, 139, 203, 225].

Расчету перфорированных пластин и оболочек посвящены работы Гри-голюка Э.И., Фильштинского JT.A., Каюка Я.Ф., Пшеничного Г.Н. и др. [105, 140, 259].

Исследованию и разработке методов расчета пластин и пологих оболочек сложной геометрии посвящен цикл работ Корнишина М.С., Паймуши-на В.Н., Петрушенко Ю.Я., Якупова Н.М. и их учеников [80, 157, 158, 246, 235, 236, 321 ]. В этих работах излагаются вопросы выбора поверхности приведения, позволяющие эффективно проводить параметризацию для областей неканонической формы, приведен вывод необходимых соотношений, получены многочисленные результаты по прочности, устойчивости и динамике элементов конструкций.

Одним из универсальных методов решения задач механики деформируемого твердого тела является метод конечных элементов. По этому методу опубликовано очень большое число работ, в том числе известные моногра-

фии и работы Бате К., Вилсона Е., Голованова А.И., Корнишина М.С., Зенкевича О., Моргана К., Норри Д., Ж. де Фриза, Образцова И.Ф., Савельева П.М., Хазанова Х.С., Постнова В.А., Розина JI.A., Рикардса К., Сахарова

A.C., Кислоокого В.Н., Киричевского В.В., Стренга Г., Фикса Дж. и других [34, 81, 82, 83,129,130, 230, 232, 257, 266,264, 270, 291].

При применении для решения задач механики оболочек вариационных методов на основе функционала Лагранжа приближенные решения должны представляться в виде разложений в ряды по полным системам координатных функций, обладать достаточной гладкостью и удовлетворять геометрическим граничным условиям. Построение приближенного решения для оболочек сложной формы представляет определенную проблему. Одним из способов решения этой задачи является метод R - функций, предложенный

B.Л. Рвачевым и получивший развитие в работах Курпы Л.В., Шевченко

A.Н., Склепуса Н.Г. [261, 262, 263 ] и др. В работах [169, 200, 212, 263] успешно применялся способ построения систем координатных функций, основанный на умножении полных систем координатных функций на уравнение контура.

По расчету пластин и оболочек, подкрепленных ребрами различной конфигурации выполнены исследования Абовского Н.П., Амиро Н.Я., За-руцкого В.А., Паламарчука В.Г., Андрианова Н.В., Маневича Л.Н., Толока

B.А., Жигалко Ю.П., Дмитриевой Л.М., Климанова В.И., Тимашева С.А., Сахарова A.C., Слезингера И.Н. и др. [2,4, 7, 8,9,127,128,270].

Значительное применение в теории пластин и оболочек получили методы коллокации. Их развитию и реализации посвящены работы Корнишина М.С., Рогалевича В.В., Григоренко Я.М., Попова Г.Я., Онищука О.В., Са-мерханова Р.З. [152, 165, 166, 265, 106, 256, 269 ] и др.

В работах Артюхина Ю.П., Серазутдинова М.Н. дается развитие вариационного метода в задачах статического и динамического расчета пластин и оболочек сложной формы, рассматриваются вопросы подкрепления пластин и оболочек сложной конфигурации ребрами, построения координатных

функций для сложных областей [29-31, 274-277]. Серазутдиновым М.Н. предложен способ расчета оболочек сложной формы на основе соотношений для пластин [323].

Одним из эффективных методов исследования нелинейного деформирования пластин и оболочек является метод продолжения по параметру. Его развитию и применению посвящены работы Вольмира A.C., Воровича В.В., Григолюка Э.И., Шалашилина В.И., Баженова В.А., Валишвили Н.В., Петрова В.В., Крысько В.А., Корнишина М.С., Столярова H.H., Овчинникова И.Г., Танеевой М.С., Гуляева В.И., Кантора Б .Я. и др. [63-67, 107, 117, 48, 244,245,182,183,287-290, 78,79,137,120].

Для исследования статического и динамического поведения элементов конструкций широко применяются экспериментальные методы. Одним из них является метод голографической интерферрометрии с использованием которого Коноплев Ю.Г., Шалабанов А.К., Смирнов В.А., Нанасов М.П. и др. провели обширные исследования в области пластин и оболочек [144, 145, 279, 280].

В последние годы для решения задач механики эффективно применяются методы граничных интегральных уравнений или методы потенциала. Они основаны на преобразовании исходной системы дифференциальных уравнений в систему граничных интегральных уравнений (ГИУ), из решения которой определяются некоторые определенные на границе функции плотности.

Искомое решение в области определяется граничными интегральными соотношениями с найденными функциями плотности. При численном решении дискретизация проводится не для области, а для ее границы. Это приводит к понижению на единицу размерности решаемой задачи.

Своими корнями метод ГИУ уходит в классический математический анализ. В XIX в. были развиты понятия о силах притяжения в ньютоновских гравитационных полях, получены функции Грина для некоторых частных конфигураций. В 1905г. вышла работа Фредгольма по исследованию интегральных уравнений [340].

До конца 50-х годов методы граничных интегральных уравнений интенсивно развивались математиками. Большой вклад в развитие этих методов был сделан Михлиным С.Г., Купрадзе В.Д., Мусхелишвили Н.И., Смирновым В.И. и др. [210, 211,187, 188, 220, 221, 281, 282].

Купрадзе В.Д. введены векторные интегральные уравнения методов потенциала в задачах теории упругости [187,188]. Он развил приближенные методы решения статических задач для однородных тел и динамических задач для кусочно-однородных тел. Сформулировал связь между перемещениями и напряжениями на границе среды, используя распределения поверхностной плотности источников.

В настоящее время теория линейных, а также некоторых классов нелинейных сингулярных уравнений хорошо разработана и изложена в известных монографиях Михлина С.Г., Гахова Ф.Д., Векуа Н.П., Пресдорфа 3., Чибриковой Л.И., Партона В.З., Перлина П.И., Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Барчуладзе Т.В. и др. [210, 211, 69, 49, 258, 318, 240, 241, 188].

Из теории известно, что сингулярные интегральные уравнения в замкнутом виде решаются в очень редких случаях. Поэтому для приложений первостепенное значение приобретает разработка приближенных методов вычисления сингулярных интегралов и решения сингулярных интегральных уравнений.

В этом направлении выполнены фундаментальные работы Иванова В.В., Корнейчука A.A., Белоцерковского С.М., Лифанова И.К., Габдулхаева Б.Г., Бойкова И.В., Плещинского Н.Б. [132,151,39,68,35,36,37, 227,392,393].

Методы решения граничных задач с помощью разложений по фундаментальным функциям разработаны в монографиях Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Барчуладзе Т.Г., Башелейшвили М.О., Алексидзе М.А. [188, 6]. Идейно эти методы близки к методам ГИУ, где уравнения рассматриваются, как правило, на основной поверхности граничной задачи. Это приводит к интегральным уравнениям второго рода, но при этом ядро интегрального уравнения

становится сингулярным. Решения граничных задач методом разложения по фундаментальным решениям приводит к интегральным уравнениям первого рода.

В работах Гавели С.П., Мельникова Ю.А. [70-73] строятся интегральные представления, ядрами которых служат не фундаментальные решения, а функции или матрицы Грина соответствующих уравнений или систем для областей, границы которых частично совпадают с рассматриваемыми. Идея построения таких неклассических потенциальных представлений принадлежит В.Д. Купрадзе и применялась С.П. Гавелей, Ю.А. Мельниковым и их учениками, где соответствующие функции и матрицы Грина строились приближенно.

Численной реализации методов потенциала в задачах теории упругости посвящены работы Партона В.З., Перлина П.И., Верюжского Ю.В., Угодчикова А.Г., Хуторянского Н.М., Бреббия К., Уокера С., Бенерджи П., Баттерфилда Р., Крауча С., Старфилда А., Круза Т., Риццо Ф., Теллеса Ж., Вроубела JL, Громадки Т., Лей Ч., Кузнецова C.B., Лившица И.М., Розен-цвейга Л.Н. и др [240,241,62, 302,41,42,180, 336, 295,184,185,113,196].

Метод граничных элементов (МГЭ) - это метод численного решения граничных интегральных уравнений с дискретизацией границы области и заданием аппроксимации функций плотности на границе.

Среди методов построения ГИУ можно выделить два основных направления. Прямой МГЭ