Многократный особый интеграл, многократный интеграл типа коши по разомкнутым контурам и их применение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН Институт математики имени В. И. Романовского

РГ6 ОД

3 л:

На правах рукописи

ФАЙЗУЛЛАЕВА БУВРАЗИЯ

Многократный особый интеграл, многократный интеграл типа коши по разомкнутым контурам и их применение

| 01.01.01 — Математический анализ : ; '

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискании ученой степени кандидата физико-математических наук

ТАШКЕНТ — 199 4

Работа выполнена на кафедре математического ан Самаркандского государственного университета им. вой и Бакинского государственного университета им-Расулзаде.

Научные руководители — член-корреспондент АН

баиджана, доктор физш

тематических наук, прос

А. А. БАБАЕВ.

> . — кандидат физико-мате\-~

ских наук доцент СЕР

ЛАЕВ Р. К.

Официальные оппоненты — доктор физико-мате?-

ских наук, профессор ЯРМУХАМЕДОВ. — кандидат физико-матег ских наук ведущ- науч-С. АХМЕДОВ.

Ведущая организация — Ташкентский государе

университет.

Зашита диссертации состоится „ /& " лл&'Х в °° часов на заседании сиецнализпрованногс Д 015.17.21 в Институте математики имени В. V. новского АН Республики Узбекистан по адресу: 7С Ташкент 143, ул. Ф. Ходжева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиоте титута математики имени В. И. Романовского АН лики Узбекистан.

Автореферат разослан < /4 > 1_

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ. мат. иаук у / Ю Ш- Х.А

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Методы интегральных уравнений находят широкое применение при решении различных прикладных задач. Поэтому наряду с совершенствованием теории интегральных уравнений развиваются численные методы их решения,что нашло свое отражение в монографиях Л.В.Канторовича, С. Г.Михлина, А.Н.Тихонова, В. Я. Арсенина, В.А.Морозова, В.К.Иванова, Г. М. Вайникко, В.В.Иванова, И.К. Лифанова, 3. Пресдорфа, Б.Г. Габдулхаева и др.

Слабо сингулярные интегральные уравнения С с.с.и у.) первого рода С в частности,интегральные уравнения с логарифмической особенностью ) среди других интегральных уравнений выделяются тем, что они относятся к классу некорректных задач. Поэтому для решения таких уравнений часто используются хорошо развитые методы регуляризации некорректно поставленных задач, или же с. с.и. у. первого рода сводятся к уравнениям Фредгольма второго рода с последующим применением к ним известных приближенных методов.Однако оба эти подхода с вычислительной точки зрения являются сложными и в ряде случаев нежелательными. Поэтому представляется целесообразным непосредственное применение прямых методов к с.с. и. у. первого рода, их теоретическое обоснование. За последние годы в этом направлении получено большое число результатов. Отметим здесь работы А. Н. Тихонова, В. И. Дмитриева, Е.В. Захарова, В. В. Воронина, В. А. Цецохо, Б. Г. Габдулхаева, А. И. Гребенникова, G. Hsiao, W. Vendland'a, S. Christiansen'а и др. Определенные итоги в этой области подведены в монографии Б. Г. Габдулхаева!' Однако вопросы приближенного решения с.с. и. у. первого рода с

"Б.Г.Габдулхаев. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода.- Казань: изд-во Казанок, ун-та, 1994.- S88 с.

неопределенными параметрами и вопросы приближенного решения многомерных с.с.и.у. первого рода изучены в гораздо меньшей степени. В связи с этим становится актуальной задача разработки и теоретического обоснования прямых методов решения таких уравнений.

Цель рао'оты - построение и обоснование прямых методов решения одномерных и многомерных с.с.и.у. первого рода с неопределенными параметрами; обоснование прямых методов решения многомерных интегральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью с кратными интегралами как в периодическом, так и в непериодическом случаях.

Заметим, что всюду в диссертации под теоретическим обоснованием понимается следующий круг задач:

а] доказательство теорек существования и единственности решения аппроксимирующих уравнений; б) установление оценок погрешности приближенного решения; в) доказательство сходимости приближенных решений к точному решению и установление скорости сходимости; г) исследование устойчивости и обусловленности приближенных методов.

Методика исследований. При выводе и обосновании полученных б работе результатов иг'-око используются общая теория приближенных методов аналь теория функций и приближений, теория сингулярных интегральных уравнений, причем аьтор следует методике исследования, предложенной в монографии Б.Г. Габдулхаева [1].

Научная новизна. В диссертации получены формулы обращения интегрального оператора с логарифмическим ядром с неопределёнными параметрами как в одномерном, так и в двумерном случаях. Разработаны и теоретически обоснованы прямые методы решения одномерных и двумерных с. с. и. у. первого

рода с неопределенными параметрами. Дано теоретическое обоснование прямых методов решения многомерных с.с.и.у. первого рода с логарифмическим ядром в периодическом и в непериодическом случаях.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты можно использовать при дальнейшем развитии приближенных методов решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода. Они могут быть применены также при решении конкретных прикладных задач, которые сводятся к рассматриваемым в диссертации интегральным уравнениям.

Апробация работы. Результаты диссертации, по мере их получения, докладывались на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета за 1987 - 1Э93 г. г. , на Республиканской научной конференции "Экстремальные задачи теории приближения и их приложения" С г. Киев , 1990 г. на Шестой Четаевской конференции С г. Казань, 1992 г. ),на семинаре: " Теория аппроксимации и ее приложения " при Казанском государственном университете С руководитель -профессор Б. Г. Габдулхаев ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и обьем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, включавших двенадцать параграфов, и списка литературы из 126 наименований. Ее объем 131 страница.

II. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении характеризуется актуальность темы, дается обзор литературы по теме диссертации и излагается ьраткое

содержание получанных автором результатов.

Глава I ( параграфы 1.1 - 1.6 3 посвящена приближенным методам решения одномерных и двумерных с.с.и.у. первого рода с неопределенными параметрами. В одномерном случае рассматривается уравнение вида

I 1

1 г 1 1 г

- 1п -хСО <±Ъ + — Мб,О хСО Л =

И С1)

= КзЗ + С^пСкЗЗ + ^«йСквЗ , 5 € [-1,1] ,

с краевыми условиями

хС1) = 0 , хС-13 = 0 . С1'3

где к - известный, не равный нулю параметр, НСбЛ), КвЗ -известные непрерывные функции своих аргументов, хСбЗ -искомая функция, с( , с£ - искомые параметры.

Пусть - пространство абсолютно непрерывных на

[-1,1] функций, у которых первая производная квадратично суммируема на [-1,1] с весом qШ = 1//^ _ ^ ; ЕпСФ) -наилучшее равн' ">рное приближение функции Ф алгебраическими полиномами порядка не выше п ; Е'СрЗ С ЕЧр) ) - част1- ■» наилучшее равномерное приближение функции р алгебраическими многочленами степени п по переменной э С соответственно 13; ЕпСФЗвч- наилучшее в пространстве приближение функции 9 алгебраическими многочленами порядка не выше п .

В параграфе 1.1 приведены некоторые результаты из общей теории приближенных методов анализа, которые существенно используются в дальнейшем.

В параграфе 1.2 дана постановка задачи и получены формулы обращения интегрального оператора с логарифмическим ядром с неопределенными параметрами как в одномерном , так и в двумерном случаях.

Для уравнения

Hm —

п J lt-

xCtDdt - с sinCks} - с cosCks) =

|t-sj

= fCsD , s < С -1,1 ] , (2)

доказывается слвдущве предложение: если f(s) € Цч , то уравнение С25 имеет единственное решение xCs) <i L, , пред-ставимое формулой

xCs) =

1 - se

Г f'c» dl . - с к Г 1 /i -t2 et - sd •

cos(kf) db

t2 Ct - S)

+ сгк Г _-1МШ dt

* J /1 - t2" CL - s3

При этом

ci =

1 Г f'cu I

к JoCk) k J Sj-^V

dt. г

C. =

2 1п2 % k J, (k) - л J Ck)

U t 0

J

fCs) ds /1 - s2

f (s) s /l - s2

ds

Здесь 1о , ^ - функции Бесселя нулевого и первого порядка соответственно.

В параграфе 1.3 приведены вспомогательные сведения из конструктивной теории функций и функционального анализа, которые необходимы в дальнейшем.

В параграфе 1.4 предложены и теоретически обоснованы вычислительные схемы прямых методов решения задачи С13. С1'3. Приближенные решения ищутся в виде вектор-функции хпСэ) =

= < XnCs5' c,n- C*n > '

n-1

x CsD = /1 - sa У a U Cs3 ; с , с «= R . (37

n J J in zn

j=0

Здесь UjCsD - полиномы Чебышева второго рода порядка j . Неизвестные коэффициенты а} и параметры с|п , сгп определяются методами Галеркина, коллокации, механических квадратур. Полученные результаты сформулированы в теоремах 1.1 - 1.3 и изложены в пунктах 1.4.1. - 1.4.3.

Пункт 1.4.1 посвящен обоснованию метода Галеркина решения задачи С1),С1'), а именно доказывается следующая

Теорема 1.1. Пусть задача С1),С1') однозначно разрешима при любой правой части fCs3 € Ц , причем ядро и правая часть таковы, что lim эПТ Е СГ ) = lim У~п Е (h ) = 0 . Тогда

п —» СО n 2q п —* Ю n s aq

при всех достаточно больших п приближенное уравнение метода Галеркина также однозначно разрешимо, и приближенные решения 3T4s) = { x*Cs) ;c*n;c*n ) сходятся к точному решению x*Cs) = { x*(s);c* ;с* > задачи (1), (1 ) со скоростью

I Г- Г |г = II X*- х* |aq + I с* - с*п | + | с* - C*n I =

= 0 { у/п С EnCf) + ■)}.

В пункте 1.4.2 обосновывается метод коллокации решения задачи С1),С1'). В этом случае приближенное решение сводится к решению следующей системы линейных алгебраических уравнений

П-1

I

j=0

Vajr + V " C.n С05СЧ3 - Сгп SinCkSr5 = fCSr>- С4)

а

jr

где г = 0,п+1 ,

T.Cs ) Т. Cs ) _J—L_ - —-— , j * о ; 2j 2Cj + 2)

где

hJp = jjp J hCsr,t) Л - iyt) i

sr= cos §H4л -1 = ^^ •

Здесь TjCs5- полиномы Чебышева первого рода порядка j .

Оценки погрешности для метода коллокации устанавливаются в терминах частных наилучших равномерных приближений алгебраическими многочленами степени п . Эти оценки и известные результаты по теории приближения функций позволяют исследовать скорость сходимости метода в зависимости от структурных свойств исходных данных. В частности, показано, что если ГСsD € tf"*1!?^ -1,1 ], hCs.U € vf+Vt -1,1 ] по переменной s равномерно относительно [-1,1] ( г > О, 0<а<1,г+-а>1/2), то метод коллокации сходится со скоростью

J х* - х* Пх = 0 Сп"г_ап /г 1 . С5)

С вычислительной точки зрения наиболее просто реализуемым методом является метод механических квадратур, основанный на замене входящих в уравнение интегралов некоторыми сходящимися квадратурными формулами. Этот метод подробно исследуется в пункте 1.4.3 диссертации. Вычислив коэффициенты системы линейных алгебраических уравнений (4) с помощью квадратурной формулы наивысшей алгебраической степени точности с узлами

irr

t = cos - , i = 1, n+2

1 n + 3

- корнями полинома Чебышева второго рода Un+a,приходим к системе линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных , <а.), - , с , с

J J=o,n-i in' en

Zcx.ía.. + d 3 — с cosCks 3 — с sinCks 3 ?

jjr J г 1n г гп г

= fcsr3 . r = 07ñ+r ,

1 ni Cj + 1 3 rrl d.„ = - ) hCs .1,3 sin-sin-

n + 3 TÍi n + 3 n + 3

Теорема 1.3 устанавливает сходимость приближенного решения xj^Cs), полученного методом механических квадратур, к точному решению задачи C13,Cl'3.x*Cs3 со скоростью

IV - - О {/ST [ EnCf'3 + E*Ch^3 ♦ E4ht') ]} .

При f е VT+1 К01 , h € V^'H0 по каждой из переменных в отдельности равномерно относительно другой из них ( г t О, О < аН, г4а > 1/2 ) справедлива оценка вида С5).

В параграфе 1.5 проводится теоретическое обоснование вычислительных схем методов Галеркина , коллокации и механических кубатур решения двумерных с. с. и. у. первого рода с неопределенными параметрами.

На практике, как правило, уравнения приближенных методов в силу неточности вычисления их элементов решаются* приближенно. Поэтому вполне естественно возникает необходимость исследований на устойчивость прямых методов решения задачи (13,(ГЗ. Этот вопрос рассмотрен ь параграфе 1.6. Здесь доказано, что в условиях любой из теорем параграфа 1.4 методы Галеркина, коллокации и механических квадратур устойчивы относительно малых возмущений элементов приближающих уравнений. Здесь же показано, что если точная задача С1),С1'3 хорошо обусловлена, то в условиях любой из теорем параграфа 1.4 хорошо обусловленными язляются также соотьетствущие приближенные уравнения.

Глава II (параграфы 2.1-2.6) диссертации посвящена прямым методам решения многомерных интегральных уравнений первого рода с логарифмическим ядром с кратными интегралами в периодическом и непериодическом случаях .

В параграфах 2.1-2.4 исследование ведется на примере двумерного с. с. и. у.

г11гП

1 рГ i а - s . . т - t , - In sir.- In sin--х(ог.т) dor dT +

4П« JJ. J 2 I I 2 I

00

«Па Jt

+ —- [[ hCs,t,cr.T) x(cr,r) da dT = rCs.t) , C6) An JJ 00

где х(сг,т) - искомая функция, hCs,t,cr,r) , fCs) - известные непрерывные Zn - периодические функции своих аргументов.

is i г

Обозначим через = Ц [0,2л] пространство

2гг - периодических функций от 2-х переменных,которые вместе

со своими первыми и второй смешанной производной принадлежат

i г

пространству • Норма в Ц вводится следующим образом 8 У lLt» = I У 1я + I Уя 8а + I у[ И2 + I У^ 1г. ycs.t) С

В параграфе 2.1 исследуется разрешимость двумерного с.с. и.у. С6) , в котором на регулярную и правую части накладываются определенные условия . Параграф 2.2 вспомогательный .

В параграфе 2.3 излагаются результаты по прямым методам решения с. с. и. у. С6) . Приближенные решения ищутся в виде

п л k = -n J=-m

c^j - неизвестные коэффициенты, определяемые из систем

линейных алгебраических уравнений рассматриваемых методов.

Метод наименьших квадратов исследуется в пункте 2.3.1. Здесь доказана однозначная разрешимость приближенной системы при любых натуральных пит, доказана сходимость приближенных решений к точному и установлена оценка погрешности .

В пунктах 2.3.2 и 2.3.3 приведены вычислительные схемы и доказана сходимость соответственно метода Галеркина и метода подобластей решения уравнения СБ). Однозначная разрешимость систем линейных алгебраических уравнений этих методов доказана при всех достаточно больших пит.

Пункт 2.3.4 посвящен обоснованию метода коллокации для уравнения С6).

2

Теорема 2.4. Пусть Г , И е С2П • Если интегральное уравнение С6) однозначно разрешимо в пространстве 1_2 при лю-

I г

бой правой части из Ц , тогда при всех достаточно больших п и ш приближенное уравнение метода коллокации также однозначно разрешимо, и приближенные решения х* сходятся в пространстве Ц, к точному решению х* уравнения Сб) со скоростью

В х* - х* | = О С Ё СГ" Э + Ёз1СЬ", Э 3 ,

и пт и2 м пт пт '

где Ё Ср5 - наилучшее равномерное приближение функции р тригонометрическими полиномами порядка (п , ш),

В пункте 2.3.3 исследуется метод механических кубатур решения с.с.и. у. С6).Доказана сходимость приближенных решений к точному в пространстве Ц, со скоростью

!*•- X* II = [ Ёп„сг" з + Ё'Чь",) + )] .

пт "г пт пт 51 пт 51 а

В параграфе 2.4 приведены некоторые дополнительные

результаты по прямым методам решения с. с.и.у.С6).В теорема 2.6 исследуются вопросы устойчивости и обусловленности методов наименьших квадратов,Галеркина,подобластей,коллокации и метода механических кубатур,в теоремах 2.8, 2.9 выводятся равномерные оценки погрешности этих методов как следствие сходимости в среднем.

В параграфе 2.5 дается обоснованно прямых методов решения двумерных интегральных уравнений первого рода с логарифмическим ядром в непериодическом случае. Приближенные решения уравнений ищутся в виде многочлена

п т

Vй3 •

к=о ,¡=0

Неизвестные коэффициенты определяются из систем линейных алгебраических уравнений методов наименьших квадратов , Галеркина , подобластей , коллокации и механических кубатур Сходимость этих методов и оценки погрешности устанавливаются в теоремах 2.10 , 2.11 .

В параграфе 2.6 показана возможность переноса полученных для двумерных с.с.и.у. результатов на случай п -мерного (п>2) с. с. и. у. первого рода.

Основные алгоритмы решения интегральных уравнений, рассмотренные в первой и второй главах данной работы, были реализованы в программах, написанных на языке Фортран. При реализации алгоритмов, как правило, решение систем линейных алгебраических уравнений находилось путем итерационного уточнения приближенного решения, найденного методом Гаусса с выбором главного элемента. Программы отлажены на ряде тестовых примеров. В разделе " Некоторые численные результаты " приводятся вычислительные погрешности для примеров, соответствув-

щих двум основным типам уравнений, рассматриваемым в работе -уравнению С1),С1') и уравнению С6). Вычислительные погрешности соответствуют теоретическим оценкам, установленным в диссертации.

В диссертации получены и выносятся на защиту следующие основные результаты:

1. Получены формулы обращения интегрального оператора с логарифмическим ядром и с неопределенными параметрами в весовом пространстве квадратично суммируемых функций на отрезке.

2. Для одномерных и двумерных интегральных уравнений первого рода с логарифмическими ядрами , решение которых обращается в нуль на границе области интегрирования , предложены вычислительные схемы полиномиальных методов Галеркина, колло-каций и квадратурных методов. Установлено теоретическое обоснование прямых методов, при этом получены среднеквадратические оценки погрешности приближенных решений.

3.Дано теоретическое обоснование полиномиальных методов наименьших квадратов, Галеркина, подобластей, коллокаций и механических кубатур решения двумерных периодических интегральных уравнений первого рода с логарифмическими ядрами. Установлены среднеквадратические и равномерные оценки погрешности приближенных решений.

Диссертация выполнена под руководством доктора физико-математических наук , профессора Б.Г. Габдулхаева , которому автор выражает искреннюю признательность.

III. РАБОТЫ АВТОРА, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Приближенное решение многомерных слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода //Актуальные вопросы

теории краевых задач и их приложения . - Чебоксары ,1988, -С. 120 -127.

2. Мотод коллскации для двумерных слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода //Докл.Всесоюзн. симп. по •методу дискретных особенностей в задачах матфизики.- Харьков:

Изд -во Харьк. ун-та, 1989. -С. 123-124.

3. Оптимальные проекционные методы решения двумерных слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода //Докл. научн. конф по экстремальным задачам теории приближения и их приложениям. - Киев,1990. -С. 124.

4. Метод коллокации решения одного класса интегральных уравнений I рода с логарифмической особенностью // Докл, Всесоюзн. симп. по методу дискретных особенностей в задачах матфкэики. - Одесса, 1991, - 4.2. - С. 52 - 53.

5. Метод механических квадратур решения интегральных уравнений I рода с логарифмической особенность» // Докл. Шестой Четаевской конференции по аналитической механике, устойчивости и управлений движением. - Казань, 1992. - С.20.

6. Метод механических кубатур для многомерных слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода // Конструктивная теория функций и функциональный анализ. - Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1992, - С. 68 - 76.