Разрывная граничная задача линейного сопряжения и связанные с ней сингулярные интегральные уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

§ 0. Основные определения, обозначения и предварительные сведения

ГЛАВА I. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОШИ В КОНЕЧНО-СВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ

§ I. К определению сингулярного интеграла.

§ 2. Непрерывность оператора Бр по мере.

§ 3. Распространение оператора по непрерывности. Связь ограниченности оператора Бр в . с принадлежностью функции классам

Смирнова

§ 4. Связь классов Ир и

§ 5. Условия принадлежности кривой классу К,

§ 6. Об ограниченности оператора Зр в пространствах ¿Ч1";10) . юз

§ 7. Сингулярный интеграл в среднем и его свойства

§ 8. О производных интеграла типа Коши

ГЛАВА П. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОШ В СЛУЧАЕ СЧЕТНОГО МНОЖЕСТВА КРИВЫХ

§ 9. Контуры класса ^

§ 10.Ограниченность оператора Бд. в весовых лебеговых пространствах

§ II.Случай счетного множества концентрических окружностей

§ 12.Пространства ДЧ^ и ограниченность оператора

Бп в этих пространствах

§ 13.Теорема Племеля-Привалова для контура класса Г

§ 14.0 представимости аналитических функций интегралами Коши и типа Коши.

ГЛАВА Ш. РАЗРЫВНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ И СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНО-СВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ

§ 15.Классы кривых и коэффициентов. Формулировка результата

§ 16.0 принадлежности функции классу

Смирнова

§ 17.Случай,когда Г1 гладкая кривая и

§ 18.Случай РО,

§19. Случай С^А(Р)

§ 20.Некоторые подклассы множества при ПО*

§ 21 .Случай Г £ 3 , (к 6к (?) . Обобщения и замечания

§ 22.Задача сопряжения в классе функций,представимых в областях

Я* интегралом Коши

§ 23.Задача линейного сопряжения в классах со).

§ 24.Разрывная задача сопряжения,когда Р прямая

Лйр).

ГЛАВА 1У. РАЗРЫВНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ И СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В СЧЕТНО-СВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ

§ 25.Некоторые вспомогательные предложения.

§ 26.Однородная задача

§ 27.Разрывная задача сопряжения в классе

§ 28.Теоремы Нетера для полного сингулярного уравнения в классе НМ

В предлагаемой работе исследуется разрывная граничная задача линейного сопряжения в классах функций, представимых интегралом типа Коши с некоторой главной частью и связанные с ней сингулярные интегральные уравнения в пространствах суммируемых функций в новых общих предположениях относительно заданных и искомых элементов задачи. Рассматриваемая постановка этих задач потребовала исследовать с соответствующей общностью свойства сингулярных интегралов и интегралов типа Коши.

Важным модельным случаем одной группы граничных задач является задача линейного сопряжения. Так называют задачу следующего типа - найти функцию ^ , аналитическую на разрезанной вдоль некоторой совокупности кривых Г комплексной плоскости, удовлетворяющую условию

4+tt) - Q-WittlMW/ *бР (1) где Q , Я -заданные на Г функции, а граничные значения ^U) в каком либо смысле, когда точка 2 стремится к точке -Ь слева, соответственно справа, относительно выб -ранного на Р направления.

Впервые эта задача встречается в исследованиях Римана ( [lI5] ). Важные результаты в ее исследовании получены в работах Ю.В.Сохоцкого C[l3l]) , Д.Гильберта ([I78Ü), Й.Племели ([l82]), Т.Карлемана ([l?0]). В дальнейшем значительный вклад в разработке общей теории граничных задач и особых интегральных уравнений внесли советские математики.

Для того, чтобы иметь корректно поставленную задачу,следует точно оговорить предположения : I) о кривой Г , 2) о заданных функциях в граничном условии и 3) о граничных свойствах искомых голоморфных функций.

В зависимости от условий, налагаемых на искомую функцию, ные задачи - от искомой функции требуется непрерывность вплоть до Г ; кусочно-непрерывные - допустимо нарушение этого условия в конечном числе точек границы; разрывные - остальные задачи.

Впервые полное решение непрерывной задачи дано Ф.Д.Гаховым. Он построил решение в интегралах типа Коши и дал ее исследование, когда Г простая замкнутая гладкая кривая ([18]).

Если Р -разомкнутая кривая, то в непрерывном случае задача , вообще говоря, не имеет решений, представимых интегралом типа Коши. Корректная постановка кусочно-непрерывной задачи сопряжения была предложена Н.И.Мусхелишвили. В связи с этим им был введен класс функции Н , а также понятие индекса кусочно-непрерывной функции. Это дало ему возможность показать, что в предложенной постановке общее решение кусочно-непрерывной задачи можно построить с помощью интегралов типа Коши. Н.И.Мусхелишвили дал многочисленные приложения построенной теории граничных задач и сингулярных интегральных уравнений к исследованию задач механики и математической физики. Это обстоятельство стимулировало дальнейшее развитие теории граничных задач для голоморфных функций комплексных переменных.

В настоящее время непрерывные и кусочно-непрерывные задачи изучены достаточно полно. Многие из полученных в этом направлении результатов и их приложения подробно изложены в монографиях Н.И.Мусхелишвили С[8б]) , И.Н.Векуа (И), Ф.Д.Гахова ({р}), Н.П.Векуа([13] ), А.В.Бицадзе Ми др. ( см.также [45] , [51] , [153] )

Из группы разрывных задач , в основном, изучена задача, в задачи сопряжения принято делить

- б которой от искомой функции требуется представимость интегралом типа Коши.Впервые в близкой постановке задача была рассмотрена И .И.Приваловым ([из]). Систематическое изучение задачи (I) в классах функций, представимых интегралом типа Коши с суммируемой плотностью было начато Б.В.Хведелидзе ([147 -148] и др.). В его работах классом искомых функций является множество функций, представимых в виде где ^ некоторый полином, -заданная измеримая функция, а у б 1ЧГ; из) ( т.е. б ¿Чр) ).

Особое внимание привлечено к случаю, когда ^ - О ,т.е. решению задачи в классе 0(.Г- ю

Б.В.Хведелидзе показал, что - если С^о кусочно-непрерывная функция, еГ, ря, (2) г г 1 то для разрывной задачи в классе остаются в силе известные для непрерывных и кусочно-непрерывных задач условия разрешимости и формулы общего решения, в предположении, что

Р -кривая Ляпунова. Это условие относительно Г более жестко,чем предположение о ней в непрерывных и кусочно-непрерывных задачах.Поэтому возникла задача расширения класса граничных кривых.Кроме этого,когда решение ищется в классах со) представляется целесообразной в качестве коэффициента рассматривать ограниченные измеримые функции. Рассмотрение этих вопросов диктовалось и интересами тех приложений,которые имеет задача (I). Эти обстоятельства способствовали исследованиям , в которых рассматриваются различные классы граничных кривых и коэффициентов ([2], [б-?], [21] , [23-26] , [37-39] , [46] , [50] , [52] , [56-57] , [74-79] , [85] , [118] , [120-126] , [139-141] , [145] , [149-152] , [160] ,[165-166] и др.).

Во многих из этих работ в качестве граничных кривых выступают разные подклассы множества кривых, для которых сингулярный оператор Коши является непрерывным в пространстве ¿Р(п). Класс всех таких кривых обозначим через и положим = ДК-р . Для всех кривых из задачу (I) в классе 1Ср(г) удается исследовать лишь в случае непрерывных коэффициентов, а уже для кусочно-непрерывных коэффициентов приходится вводить дополнительные ограничения на кривую ([2б]). Когда же имеет бесконечное множество точек разрыва, задача рассмотрена для прямой ([187]), ляпуновских: кривых ([ЗЙ, [123-125] ,[139-141] и др.) и кривых с ограниченным вращением без точек возврата (]39 - 41] , [165 -166] и др.).

Существенное расширение класса коэффициентов достигнуто в работах И.Й.Данилюка и И.Б.Симоненко.

И.Б.Симоненко изучил задачу в случае, когда Г ляпунов-ская кривая, а коэффициент (^бА(р) , т.е. удовлетворяет условиям:

4) и существует "ь >о , такое, что у каждой точки на Г1 найдется окрестность, в которой значения функции расположены в некотором угле с вершиной в начале координат и раствора меньше, чем см.[123]и др.).

Этот класс хотя весьма широк и содержит функции с разрывами на множестве положительной меры, не содержит все те кусочно-непрерывные коэффициенты,для которых исследовалась задача. От этого ограничения свободен введенный Й.Й.Данилюком класс коэффициентов, для которых наряду с условием (4),требуется, чтобы аргумент ^ функции С^ допускал представление

Ч-- М„ (5) где непрерывна, а ^ функция с ограниченной вариацией С см.[37]и др.). Очевидно, что этот класс не содержит целиком класс А[р) .В работах [зэ] , [1бб], задача с коэффициентами из вышеупомянутых классов исследована, как для ляпунов-ских, так и для кривых с ограниченным вращением (кривых Радона) без точек возврата.

Указанные выше исследования, естественно, потребовали рассмотреть задачу в такой постановке, которая включала бы все рассмотренные ранее случаи. Учитывая при этом,что имеет особый интерес эффективно построить решение и охватить рассматриваемой постановкой задачу линейного сопряжения с измеримыми коэффициентами в областях с кусочно-гладкой границей.

Привлек внимание исследователей также случай, когда Г является счетной совокупностью кривых. Исследование, в основном, проведено для кусочно-непрерывной задачи С [4] , [54-55] , [68-69], [119] , [132] , [137-138] , [162-164] и др.). Некоторые из этих результатов отражены в книге Л.И.Чибриковой[164] .В разрывной постановке задача рассматривалась в работах[¿I, [93] , [95].

Как отмечалось, с задачей (I) тесно связано сингулярное интегральное уравнение или, более общее уравнение

М-f Ц + \Af =СП) где в случае , когда уравнение рассматривается в , вполне непрерывный оператор. Ф.Нетером был выявлен характер разрешимости определенного частного вида таких уравнений ([181], см.также ниже п.0.31).

Развивая идею Т.Карлемана И.Н.Векуа предложил метод исследования сингулярных интегральных уравнений, носящий ныне название метода Т.Карлемана-И.Н.Векуа.

Систематическое исследование уравнения (П) в пространствах Лебега было начато С.Г.Михлиным, исследования которого оказали существенное влияние на разработку соответствующей теории ( см.напр.[82 - 84] и др.).

Теории уравнения (П) и его обобщений посвящена обширная литература ([з] , [б], [п-12] , [l5]j30-34] , &-7J, [бб-б?], [70-71] , [73] , [81-84] , [88-89] , [illj , [IIб] , [118] , [l20] , [l29-I3^ , [l60] , ^167] и др. см.также обзорные статьи[5l] ,[80]).

Задача обоснования теории Нетера для уравнения (П) в классах Лебега , когда Г кусочно-гладкая кривая, а коэффициенты допускают бесконечное множество разрывов оставалась открытой. Представлял интерес также изучить это уравнение в этих классах и в том случае, когда Р состоит из счетного множества кривых.

Изучение разрывных задач в указанной постановке потребовало исследование вопроса о том, для каких классов спрямляемых кривых можно обосновать справедливость известных для окружности свойств сингулярных интегралов. В первую очередь это касается вопросов выяснения условий принадлежности кривой Г классу R, ; принадлежности аналитических функций,представимых интегралом типа Коши, классам Смирнова ; выявления тех функций , для которых непрерывен в ,//(["; ю) и др.

Многие из этих вопросов имеют самостоятельный, не менее.значительный, интерес. Исследования в этом направлении, кроме уже упомянутых , проведены в работах [5] , [I?] , [Зб] , [43-44] , [49] , [59-65] , [76] , [II1-112] , [118] , [133-136] , [142-143], [154-15^ , [161], [168 -169] , [171-172] , [175] , [177] , [184] и др. Особо следует отметить результаты: А.Кальдерона, доказавшего в частности,что гладкая кривая принадлежит И, ([168-169]); Ханта, Макенхаупта и Уйдена , выявивших необходимое и достаточное условие принадлежности функций классу \л/р(п) в случае окружности [179] и В.М.Кокилашвили, который обобщил этот последний результат, а затем распространил его для широких классов кривых ([59] , [6264]).

Вместе с тем остается ряд нерешенных интересных задач из указанного круга вопросов.

Целью предлагаемой работы является: а) провести исследование свойств сингулярных интегралов и интегралов типа Коши с плотностями из различных функциональных классов ( в основном, из пространств Лебега) для общих классов спрямляемых контуров, в том числе, состоящих из счетного множества кривых; б)решить разрывную задачу линейного сопряжения и линейные сингулярные интегральные уравнения в такой постановке,которые охватывают задачи в рассмотренных ранее предположениях и содержат новые важные случаи ( кусочно-гладкие кривые; нестепенные весаговый класс коэффициентов; разрывные задачи в счетносвязной области). При этом особое внимание уделить построению решения задачи в явном виде ( в квадратурах).

В соответствии с этим, в предлагаемой диссертации:

Изучен ряд вопросов теории сингулярных интегралов. В частности: а) выявлены условия относительно кривой и веса (необходимые либо достаточные порой необходимые и достаточные) для непрерывности оператора, порожденного сингулярным интегралом Коши в пространствах L4?) и ¿Р(Г;ы) ; б) исследованы различные понятия сингулярного интеграла, в том числе, понятие

-среднего интеграла. Такой интеграл представляется полезный так как его существование для функций из оказывается равносильным принадлежности соответствующего интеграла типа Коши классам Смирнова; в) установлены условия принадлежности этим классам интеграла типа Коши и экспоненциальной функции от этого интеграла.

Сингулярные интегралы исследованы и в том случае,когда интегрирование ведется на счетном множестве , лежащих вне друг-друга замкнутых кривых с конечным числом точек сгущения:а)най-дены условия непрерывности оператора Коши в различных функциональных классах (Н(г), Ар(г), /р(г)) и дан анализ этих условий в случае ; б) выяснена специфика действия этого оператора в весовом лебеговом пространстве, когда вес сосредоточен в точке сгущения кривых. Имеющая тут картина существенно отличается от случая конечного числа кривых.

Достигнуто одновременное расширение допустимых множеств граничных кривых,весов и коэффициентов при решении разрывной задачи в классе . а именно. Граничная кривая берется из широкого класса кривых, содержащего, в частности, кусочно-гладкие кривые и кривые с ограниченным вращением без точек возврата, а также ряд других негладких кривых. Предположения относительно коэффициента Q таковы, что охватываются все не-вырождающиеся функции с конечным индексом, рассмотренные ранее в качестве коэффициентов. Привлечены новые классы весов. Если до сих пор ограничивались рассмотрением степенных весов, то в работе класс весовых функций расширен так, что в ряде случаев он совпадает с множеством всех допустимых в этих задачах весовых функций. Во всех рассмотренных случаях, наряду с качественным исследованием, эффективно строятся решения.

Дано полное исследование разрывной задачи линейного сопряжения ( в классах ^¡>(р) и ) в счетно-связной области, когда коэффициент Q непрерывен на границе области. В общем случае указан характер разрешимости однородной задачи.

Обоснованы теоремы Нетера в пространствах Лебега для полных сингулярных интегральных уравнений в указанных выше предположениях относительно контуров, коэффициентов и весовы2 функций, в том числе, когда Р состоит из счетного множества кривых. В последнем случае уравнение исследовано и в классах Гель-дера.

Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации. Она состоит из четырех глав, разбитых на 28 параграфов. Изложению предшествуют некоторые определения, обозначения и предварительные сведения ( § 0).

В первой главе ( §§ 1-8) исследуются сингулярные интегралы и интегралы типа Коши в конечносвязных областях.

В первом параграфе рассмотрен вопрос определения сингулярного интеграла. В частности, доказана

Теорема I.I. Пусть Г- {vj жордановая абсолютно-непрерывная кривая S-»>£0")/ о tj дуговой, а ^ ot произвольный абсолютно-непрерывный путь из

Далее, пусть \ суммируема на Г ив точке i0--t(Go) = *c,C$o)f (к So < i, выполнены соотношения о1

• (6)

Тогда, если сингулярный интеграл от функции существует в точке ¿о вдоль одного из этих путей, то он существует и вдоль другого пути и их значения совпадают.

Так как условия (б)-(б'5 выполняются почти всюду на Г? то из теоремы следует, что существование на Г сингулярного интеграла Коши (почти всюду) не зависит от выбора его абсолютно-непрерывной параметризации.

Результаты § 2 резюмируются в следующей теореме

Теорема 2.3. Если (5Г •$-) С-!:) существует почти для всех -£еГ 1 для любой функции 4 из ¿Р(Г) , ,то Эр-действующий как оператор из в пространство всех измеримых Функций, непрерывен по мере. Если же переводит /Р(г) в то он непрерывен из

Iе(г) В ¿5(г) При такое же утверждение справедливо и для оператора , порожденного интегралом

9(Л С . (7)

Эта теорема в диссертации находит многочисленные применения.

§ 3 посвящен вопросу распространения оператора по непрерывности. Доказывается, что (теорема 3.1),если Г -замкнутая кривая, ограничивающая область 2) и неравенство

ВД, £ (V ИчЯр, (8) имеет место для функции ^ из линейного множества то I) Бр определен на ф , на нем справедливо ($) и

2) б Б$6Й, ^ е В.

В качестве В можно брать, например, множество рациональных функций с одним полюсом . Для этого множества первое утверждение теоремы справедливо и для разомкнутых кривых (теорема 3.3).

На основе теорем 2.3 и 3.1 установлена Теорема 3.2. Пусть Г простая замкнутая спрямляемая кривая, ограничивающая области и об" . Для того,чтобы при произвольных функциях (се-1р(г)/ интеграл типа Коши ^ принадлежал классу Смирнова необходимо и достаточно, чтобы оператор Эр был непрерывен из ¿^(Г) в/(г). Если выполнено это условие и , то ^ ^ принадлежит и Е5СзЬ~).

В части достаточности утверждение теоремы ранее установлено В.П.Хавиным[142"] .

В $ 4 выясняется связь шжду классами Ир и К, .Тут доказывается

Теорема 4Л. Если Б« непрерывен в Г) для некоторо

Ям го р0 > 1 , то он непрерывен и во всех пространствах I ?>\.

В этой теореме Г произвольная кривая - замкнутая или разомкнутая. Доказательство в случае замкнутых кривых проводится применением результатов §§ 2,3 и работы[173] .

В § 5 приводится ряд условий непрерывности оператора в пространствах Лебега.

Множество кривых Г ,для которых 5р непрерывен из /Р(г) в А5(Г) обозначим через .(Напомним обозначения:^

Пусть Г простая спрямляемая кривая, ^ёГ и круг с центром в ^ и радиуса ? . Обозначим через длину множества г п ед).

Теорема 5«2. Для непрерывности оператора Э из т в г), f^S , ( т.е. для включения )необходимо выполнение условия р

Sup Sup Г1 С С?) -сьо. (9)

Г ho

При s-p отсюда получаем, что если Г^И, , то

Sup Vi^) (I0) ер fro

Условию (Ю) удовлетворяют любые кусочно-гладкие кривые, а также кривые класса К ( т.е. кривые, для которых отношение длины дуги к длине стягивающей ее хорды ограничено).

Показывается, что для специальных классов кривых,состоящих из ломанных и содержащих кривые , не принадлежащие R, , условие (10) является достаточным для принадлежности (теоремы 5.3 „ 5 Л ). Обобщением доказательства теоремы 5.3 устанавливается необходимое и достаточное условие непрерывности

S в Ш »когда Р состоит из счетного множества концен-Р трических окружностей. Исходя из всего этого, и ряда других соображений, можно было предположить, что условие (Ю) достаточно и в общем случае. Недавно нам стало известно из препринта Г.Давида ([172]), что условие (10) эквивалентно принадлежности Р классу R^ . Это подтверждает высказанное предположение.

В теореме 5.5 доказывается, что для достаточно широкого класса кривых непрерывность реальной или мнимой части сингулярного оператора Коши в ¿Лг) влечет непрерывность в этих пространствах и оператора Sp . Эта теорема является обобщением одного результата В.Ю.Шелепова ( теоремы 7 из[166]).

В § б рассмотрены вопросы непрерывности Sp в пространствах (или, что тоже самое, принадлежности оо классу

Ч (г)).

Теорема 6.1. Пусть Р- простая замкнутая кривая. Если ^eVp(f)H 6¿t>(r)/ р>1 , то weVyr).

Из этой теоремы, применением результатов из работ ¡63] и [i77] , выводится

Теорема 6.2. Пусть Г простая замкнутая кривая Ляпунова. Если G WP р>1 4 то существуют такие ограниченные функции Ни V ,что w= e.xp(u+ £Srv), (п) причем (UV = 0; IWÍU 3i[>ín (р, pOJ . Если же

1WIU < ^ L^^/tp, р')] íT0 заданная равенством (II) функция со & Wf (ГУ

В части достаточности приведенный результат иным путем ранее был получен Й.Б.Симоненко ([124 - 125] ).

Теорема 6.2 находит приложение при исследовании задачи (I) в 3¿p[r;io) ( см. § 23).

В этом же параграфе приводится одно достаточное условие принадлежности функции ¿о классу Wp (г) , в случае разомкнутой кривой Г (теорема 6.3).

В § 7 вводится понятие сингулярного интеграла в среднем и исследуются его свойства.

Определение. Пусть Г простая спрямляемая кривая и i- tís), 0 - S é í } ее дуговой путь. Продолжим эту функцию периодически (с периодом Ь ) на всю ось. Пусть теперь -¿<,="£¿0

Г г С ШЙ. 1С*. 1) т - 5$0) ~~ ^ "

Если существует функция ^ такая, что

IV ? 11Р = о, то ее будем называть Р- средним сингулярным интегралом от о- '

Обозначим 4 =•

Теорема 7.1. Пусть Р -простая гладкая кривая,ограничивающая области и оь~ и

Р<И . Для того,чтобы интеграл типа Коши ^Ср^ был функцией класса В.И.Смирнова Ер(£>+) необходимо и достаточно, чтобы существовал р -средний сингулярный интеграл Тр^ •

Интересно сопоставить этот результат с теоремой И.И.Привалова об интегралах типа Коши, в силу которой существование почти всюду Сэг"0 (£<>) равносильно существованию почти всюду угловых граничных значений

Отметим еще следующие свойства р- среднего интеграла:

1) Ть является замкнутым оператором в р(г) И V г I »

2) если I -гладкая кривая, то

Р/ ТА, где

Ср не зависит от £ и -5\

В § 8 показывается, что если гладкая кривая ограничивает область # и (ХГЧ>) (*) , то §(г) е Ерг £й) , для любого |> £-(о,-|), т.е.

3)

Во второй главе ( §§ 9-14) изучаются сингулярные интегралы и интегралы типа Коши, когда интегрирование ведется на счетном множестве кривых.

Пусть 1 ,простые замкнутые , спрямляемые кривые и V = V У, . Будем говорить, что ЗР принадлежит классу Г С0--«I О-*) ,если существует лишь конечное число точек <4в каждой окрестности которых лежат точки бесконечного множества из совокупности кривых & »причем

СЦ 6 У . Результаты глав П, 1У справедливы для произвольного уь , однако, для упрощения изложения полагаем: и положим

ГМ г.

Б § 9 сначала показывается, что равенство £р0- р0И, справедливо и в том случае, когда £-р означает множество тех контуров У&Г , для которых Ъу непрерывен в а Ц снова есть ^^Р • Затем приводится конкретное условие принадлежности контуров классу К,.

Пусть -расстояние между кривыми и У] ,а

9 -расстояние от ^ до У4^.

ОК. ро

Теорема 9.3. Пусть » V У, » «Если

I) ^ «2) ¿к^-г-о, то V£ ^ •

В частности, условие 2) выполнено, если сходится ряд оо

2 • К. Г \

В п.4° § 9 показано, что уже в классе контуров,для которых сходится ряд + найдется контур , не принадлежащий К, .

Далее, показывается, что при некотором дополнительном условии относительно , из принадлежности ^ классу ^ следует, что: для любого £ ;>о j Щ

Следовательно, условия теоремы 9.3, являясь достаточными, близки к необходимым.

В § 10 исследован вопрос непрерывности оператора ^^ в пространстве t*>) . Когда У -конечное объединение кривых, а (о задана равенством (2), этот вопрос имеет оообый с—» интерес. Когда /в Í1 естественным образом ставится вопрос рассмотрения случая, когда в качестве одной из точек ск выступает точка сгущения кривых. Мы ограничились случаем веса ijo = . Показано, что в зависимости от того, какова мера той части X »которая попадает в малых окрестностях \lbtf) , в сравнении с J , тут может случится, что для o¿ оказываются допустимыми значения и за пределы интервала (--р/ "р>) ,которому должна принадлежать o¿ ,когда (X обычная точка контура, ( см.напр.[зз] , а также п.4° § б). В частности справедлива

Теорема 10.1. Пусть Р Sap |[ Sy || < <х> , выполне к. но условие (12) и где v = с,и.р тогда Sy непрерывен в ы* во '

Если сходится ряд ^ (^>>\ , то можно брать

- р" ~ * "р? * (ТеоРема 10.2).

Приводится пример контура »удовлетворяющего условию теоремы 10.1, для которого ^ ограничен в ^ ) только для значений из указанного промежутка.

В § II оператор Бу изучается в случае, когда X является счетным объединением концентрических окружностей = (2г- - ^к.^ ¿о . В работе А.В.АйзенштатаЩдоказано, что для принадлежности РС необходимо и достаточно одновременное выполнение условий: эо

-А

I,- Su.pL (13)

Г\ V-V4.il

Ч-А =. SU.pL ^пЧ'1 * ' (14)

В теореме 11.1 показано, что условия (13) и (14) эквивалентны; тем самым, достигнуто упрощение критерия непрерывности . Приводится также новое доказательство этого критерия ( п.1° § II). Далее, доказано, что любое из условий (13) и (14) необходимо и достаточно для непрерывности в пространстве

10 ~ К-А-о(е("р' р¡) . Показано,что на этот раз оС не может выйти из указанного промежутка.

В § 12 сингулярный оператор изучается в пространствах

ГЫ-Лг. ¿П^Ъ^Ц

11 I ^ ^

Доказывается, что если в теореме 9.3 условие 2) заменить условием т № то ¿у непрерывен в (теорема 12.1). Далее,если УеК, счетное объединение концентрических окружностей, то Бу непрерывен ив Л1 ()(• и>) , со-, (теорема 12.2).

В § 13 для одного класса контуров обобщается теорема И.И.Привалова об инвариантности классов Гельдера относительно сингулярного интегрирования.

Вопросам представимости аналитических функций интегралами Коти и типа Коши посвящен § 14. Для счетно-связных областей обобщаются необходимые и достаточные условия представимости аналитических функций интегралом Коши и типа Коши, а также теорема Коши для ограниченных функций; показано, что функция представит интегралом Коши в каждой из областей, ограниченных У ,если рМ . Для областей с дополнительными условиями, получены формулы композиции сингулярных интегралов, и как следствие, доказано, что произведение интегралов типа Коши с плотностями из сопряженных классов,предста-вимо интегралом типа Коши.

В третьей главе ( §§ 15-24) исследуется разрывная задача линейного сопряжения и сингулярные интегральные уравнения в конечно-связных областях.

Приведем сначала некоторые определения.

Определение I. Простая спрямляемая кривая Г.' - "К5), , принадлежит классу 3 ,если Г 6 К И'существует простая гладкая кривая У с уравнением с-ъСъ) такая, что т см ^

Определение 2. Кордановая кривая Р £ К, , принадлежит классу » если ее можно разбить на конечное число дуг принадлежащих 3 и имеющих на концах касательные.

Как следует из свойств кривых Радона без точек возврата ([39], стр.146-7), такие кривые принадлежат 3 . Отсюда еледует, что содержит также кривые класса К »составленные из разомкнутых кусочно-гладких кривых и кривых Радона.

В § 15 доказывается, что:1) классу 3 принадлежит любая разомкнутая кривая класса К ,образованная конечным объединением кривых из I) с общими концами (лемма 15.1); 2)Для каждой точки сер , Р € существует дуга Рсс Г такая,что а) С6 Рс , б) Ft £ 3 (теорема 15.1).

Определение 3. Будем говорить, что измеримая на Г функция Q принадлежит классу А(р) , i * р * °° , если: X) 0 ^ К ± < И ; 2) для любого ± 6 Г ,кроме быть может, точек С* } к =17* существует окрестность,в которой значения Q расположены в некотором секторе с вершиной в начале координат, раствор которого меньше Д-(р) = Зтг р')] 4 ; 3) в точках Ск существуют пределы = QC-tcvt)) , причем величины углов между векторами таковы, что при p>ä и J, ± * * j , при Uftl. гч-*

Множество

А И тех функций из А(р) , у которых отсутствуют точки разрыва С-к, совпадает с указанным выше классом А(р) . Класс А (р) содержит также функции вида Q = = |Q| е.11^ , где f берется из условия (5).

Для данного р строится функция Q£g-pQ60 и определяется индекс функции из /Цр) в классе таким образом, что в последующем он оказывается индексом задачи (I) в классе

В § 15 вводится также класс функций .Показывается, что

Определение 4-. Будем говорить, что заданная на Г измеримая функция Q факторизуема в классе ,если существует такая функция X , что: I) Х&ТКр(г)у X £ Т£р/(П/

2) Х+М^ЙЩ *бР , з) Г 6 Wf(rt.

Основным результатом §§ 15-21 является Теорема 15.2. Пусть Г &Т , и ^р ее индекс. Тогда

I. Для задачи (I) в классе Т^р(Г) справедливы утверждения: а) если 9t ^ о , то задача разрешима при любом ^¿(г) и ее решение дается формулой где функция X строится в квадратурах с помощью Q, а

-произвольный полином степени не выше (Р.,= о)) б) если , то однородная задача имеет только нулевое решение, а неоднородная разрешима лишь для функций удовлетворяющих условиям г при выполнении этих условий решение дается формулой (15) при

5*., = о.

П. Для сингулярного интегрального уравнения (П) в пространствах справедливы теоремы Нетера в предположении что а*- о , (а-Й = Gc е 7Г(р) 5 причем t-V - Хр С Чг) »где ^ и I' число линейно независимых решений однородного уравнения (П) и его сопряженного. Кроме того, решения характеристического уравнения (т.е.уравнения (П) при \/=О ), когда они существуют, даются формулой , где 4 определяется равенством (15).

Аналог теоремы 15.2 справедлив и при предположении <5еМ(р). Таким образом: в приведенных предположениях относительно границы области и коэффициентов, при надлежащем определении аргумента функции и его приращения, для разрывной задачи. (I) в классе ^р(г) и уравнения (П) в остаются справедливыми основные утверждения, известные о них в непрерывной и кусочно-непрерывной постановке.

Доказательство первой части теоремы 15.2 проводится с помощью построения фактор-функции для . Привлечение результатов §§2,3 и работы [з"] дает возможность получить вторую часть теоремы.

Построение фактор-функции проводится сначала для частных случаев кривых и коэффициентов, что позволяет решить задачу и в общем случае. При решении существенными оказываются следующие моменты : I) выявление условий принадлежности функции вида взсрУ^ классам Смирнова Еъ для некоторого 5">0 ;

2) решение задачи в случае гладкой граничной кривой и <те'А(р);

3) построение некоторых нужных конкретных функций из М|>(г);

4) удачное использование общих теорем о функциях из классов

Приведем ход изложения.

В § 1.5 выявлен ряд свойств кривых из классов 3 и 3 свойства функций из классов А (р) и М(р). В § 16 доказывается

Теоре!ма 16.1. Пусть Г замкнутая простая кривая класса & ограничивающая конечную и бесконечную области и Ъ.

Тогда

1) для любой ограниченной измеримой на I1 функции V, существуют числа и натуральное п,0 , такие, что езс-р (^Ы = ХМ^^И/

2) для произвольной непрерывной на Г функции ^ , имеем

Хй бП Ег и [Х& - <] е П Е? (зг).

Эту теорему можно считать некоторым обобщением теоремы В.И.Смирнова ( см.[12$ или¡22( , стр.401) и теоремы А.Зигцунда ([48], т.1, стр.404),( см. также[39] , §§ 16, 19,[125]).

Кроме того, что теорема 16.1 оказывается полезной всякий раз, когда приходится строить факторфункцию, она находит и другие применения. В частности, с ее помощью можно указать конкретные функции из \А/р (г) ,когда ( см. напр.теорему

16.3) и строить в квадратурах решение задачи (I), когда О-непрерывна, либо РбИПК- и § кусочно-непрерывна ( теорема 21.2).

В § 17 исследуется задача (I) для гладких кривых и Тут сначала изучается характеристическое сингулярное уравнение, затем доказывается однозначная разрешимость задачи,когда ^р(О-) -0 и опираясь на существование решения, строится фактор-функция в явном виде. Доказанная в этом параграфе теорема 17.1 о факторфункции в функции ГеР-, оказывается полезной и существенно применяется в последующем ( § 19).

Имея картину разрешимости для гладких кривых,удается построить фактор-функцию для и в том случае,когда

Г6*] (п.1° § 18). Это достигается благодаря теореме 16.1 и тому факту, что в случае гладких кривых имеется полное описание класса Мр(г) ([59]).

Далее, исходя из того, что каждая точка кривой Г & ^ имеет окрестность класса 3 »применяя локальный принцип для доказательства существования решения и результаты §§ 1618, в § 19 строится факторфункция в случае ^/Нр)

В § 21 строится факторфункция для случая Переход к этому общему случаю осуществляется,опираясь на представление функции £г<=А(р) в виде произведения где Олс. - ^^ ^к ; причем, ^ -кусочно-линейная функция с разрывами в точках С^ ~ непрерывна в этих точках и ( см.лемму 15.1). При построении факторфункции пользуемся принадлежностью к классам И/рМ ряда конкретного вида функций, доказанных предварительно в § 20 (теоремы 20.1 и 20.2).

В §§ 19,21 задача (I) рассматривается также в случае разомкнутых кривых и в конечносвязном области.

Как известно ( см.напр.[153], стр.132-3) задача сопряжения в классе "З^О") »вообще говоря, не разрешима, ее ли от функции 5 требовать лишь суммируемость. В § 22 задача (I) рассмотрена в Е4(Г)- в классе функций аналитических на разрезанной вдоль Р плоскости, представимых в областях интегралом Коши. Как нетрудно видеть; Е<(г) собственная часть

К,(г) . В предположениях, что Г^КОК, (¡^Н, показывается, что для задачи (I) в классе справедливо утверждение I из теоремы 15.2. В случае, когдаГнривая Ляпунова, в таких же предположениях задача ранее рассматривалась в работах [^б], [154 - 155] .

Б § 23 задача (I) исследуется в классах Г* со), Следующая теорема дает возможность исследование задачи (I) в этом классе сводить к задаче такого же типа в классе

Теорема 23.1« Пусть Г^-^-простая замкнутая кривая и ^ вещественная измеримая функция, такая, что бо =: е^р5 принадлежит . Тогда для произвольного решения задачи (I), функция = 1 ЙЧ*) . где

I?) является решением класса 'ЗСр(г) , задачи сопряжения

18)

Обратно, - если ^ решение задачи (18), принадлежащее ХрМ, то функция принадлежит и удовлетворяет граничному условию (I).

Следует отметить, что если желаем сохранить эквивалентность задачи (I) в и сингулярного интегрального уравнения (П) в ¿^(Г-ц^ ( либо решая задачу (I) в классе функций , для которых

I4 £ ¿40 у) необходимо потребовать, чтобы действовал из это в силу теоремы 2.3 влечет непрерывность Зр в этом пространстве, и значит должны иметь бМр(р) . С другой стороны,если Г кривая Ляпунова, то согласно теореме 6.2, любая функция имеет вид Со с . Поэтоцу , в этом случае, принятое нами условие относительно Со дает возможность охватить все допустимые веса.

В качестве приложения теоремы 23.1 получается

Теорема 23.2. Пусть , со = е^рС^л) ^Ч И Тогда для задачи (I) в классе справедлив аналог утверждения I из теоремы

15.2, с заменой фигурирующего там числа на

В § 24- разрывная задача линейного сопряжения рассмотрена в случае, когда Г прямая, а . Преобразованием переменной она сводится к задаче сопряжения для окружности в классе функций ^ , представимых в виде

- ¿г; J г-хл/ * - г и таких, что ~ в //(^о ) ы>)} <~о =| \ -с\ .Исследуя задачу (I) в классе таких функций и возвращаясь снова к полуплоскости, получаем, что и на этот раз справедлива I часть теоремы 15.2, однако при положительных значениях коэффициенты полинома £х>( в формуле (15), должны удовлетворять дополнительному условию ( см. условие (24.10)).

Четвертая глава ( §§ 25-28) посвящена исследованию разрывной задачи линейного сопряжения в счетно-связной области.

В § 25 приводятся вспомогательные предложения. Остановимся на некоторых из них.

Лемма 25.1. Пусть У простая замкнутая спрямляемая кривая, 5) любая из областей, ограниченных ею, е- Ер р>о, И 'Ьо^У . Для произвольной дуги , содержащей существует лежащая в ней дуга и примыкающая к этой последней подобласть ^ ' в К0Т0Р°Й ^ принадлежит^ Ер

Ом*

Лемма 25.2. Пусть для контура Уе Р выполнено условие (12). Тогда найдется последовательность простых замкнутых спрямляемых кривых таких, что: I) Г*.) —; п^еИ/

2) 1^1=0 ,3) ,4) точка Ои содержится в конечной области,ограниченной

В § 26 исследована однородная задача в классе Пусть заданная на У функция принадлежит классу

Гельдера на каждой из У*. и С ^ «Положим далее

В этих предположениях доказывается, что функции

Ы-ихЛй^^ «гу принадлежат множеству П ^р,/^ • Qotó

- QtóC-t-СкУ^ ^ (лемма 26.1).

Опираясь на эту лемму и результаты § 25 доказывается Теорема 26.1. Пусть выполнены условия (19) и

Z ' зг = Z 1*к1.

Если

1) ¿ , ^ ^ , то однородная задача сопряжения в классе ^р(У) имеет Х + — Ж"" линейно независимых решения при ЯуО и нулевое решение при 92£0^

2) 9> + ¿<?o f = , то имеется лишь нулевое решение)

3) се.+ , зег^оо , то задача имеет бесконечное множество линейно независимых решений. При этом в явном виде строятся два таких множества функций, что множество решений содержится в одном из них, а само содержит второе. Это последнее содержит бесконечное количество линейно независимых функций ( см. соответственно, формулы (18) и (23)-(24) из § 26). Эти результаты верны и при ( п.7° § 26).

Если и ЗГ" конечны, то рассмотрена и неоднородная задача ( п.8° § 26, § 27). В частности построено решение класса ^р(г) ,когда § непрерывна на у.

В § 27 разрывная задача сопряжения рассмотрена и в классе функций, представимых интегралом типа Коши с плотностью из класса /^(у) . В предположении, что , указаны условия разрешимости и построены решения (теорема 27.1). При доказательстве применяются результаты §§ 13, 14.

В § 28 для пары союзных сингулярных уравнений у сц*Ш-ь) - * 5 ^М^ = г У доказаны теоремы Нетера в классе ,когда ^^

МСг,-Ь) е Н(7/ у) ,а У удовлетворяет условиям теоремы 13.1.

Изложенные в диссертации результаты опубликованы в 15 самостоятельных статьях автора[90 - 104] и в 6 статьях с соавторами; из них 4 [105 - 108) , написаны совместно с В.М.Коки-лашвили, а 2 с - Г.А.Хускивадзе [109 - ПО] .

§§ 5 и II частично написаны на основе статей [109 - ПО] . Результаты пунктов 2° , 4°, 5° из § 5 и п.2° § II установлены автором единолично. В §§ 15-22 изложены результаты,опубликованные в статьях ¡105-108]; из них результаты §§ 17, 19, 21, 22 установлены автором единолично, а § 16 независимо от соавтора.

Результаты работы регулярно докладывались в Математическом институте АН Грузинской ССР на семинаре академика АН ГССР Б.В.Хведелидзе и на семинаре профессора О.Д.Церетели; в Институте прикладной математики Тбилисского государственного университета на семинаре профессора Г.Ф.Манджавидзе. Результаты диссертации докладывались в Математическом институте АН Груз. ССР на семинаре академика АН ГССР Н.П.Векуа; в НИИ математики и механики Ленинградского университета на семинаре профессора С.Г.Михлина (1983г.); в Одесском институте экономики АН УССР на семинаре проф.Г.С.Литвинчука и на семинаре члена-корреспондента АН УССР М.Г.КреЙна (1983г.); в Донецком институте прикладной математики и механики на семинаре члена-корреспондента АН УССР И.И.Данилюка и члена-корреспондента АН УССР И.В.Скрипни-ка (1984г.); в Ростовском государственном университете на семинаре проф. В.С.Рогожина (1984г.).

Отдельные вопросы диссертации были изложены в докладах УП конференции по теории функций комплексной переменной (Ростов-на-Дону, 1964г.), на Международном симпозиуме по теории упругости и родственным вопросам анализа (Тбилиси, 1971г.), на заседании математического общества Грузии (1974г.), на секции школы по теории упругости и граничным задачам теории функций комплексного переменного (Сухуми, 1977г.), на краевой конференции по проблемам гидродинамики больших скоростей и краевых задач (Геленджик, 1982г.), на Республиканской конференции по пространственным задачам математической теории упругости,граничным задачам теории функций и сингулярным интегральным уравнениям (Тбилиси, 1983г.).

1. Айзенштат A.B. О задаче Римана и Газемана на счетном множестве контуров. Докл.АН СССР, 1974, 216, № 1. 13-16.

2. Алексеев А.Д. Особое интегральное уравнение на контуре из класса И, . Тр.Тбилисск.мат.ин-та АН Груз.ССР, i960, 27, 275-291.

3. Аткинсон Ф.В. Нормальная разрешимость линейных уравненийв нормированных пространствах. Мат. сб. 1951, 28, № 1,3-14.

4. Ахиезер Н.й. О некоторых формулах обращения сингулярных интегралов. Изв.АН СССР, Сер.мат., 1945, 9, Ш 4, 275-290.

5. Бабенко К.И. О сопряженных функциях. Докл. АН СССР, 1948, 62, № 2, 157-160.

6. Бабаев A.A. Некоторые свойства особого интеграла с непрерывной плотностью и его приложения. ДАН СССР, т.168, № 2, 1966.

7. Банцури Р.Д., Джанашия Г.А. Об уравнениях типа свертки для полуоси. Докл. АН СССР, 1964, 155, Ш 2, 251-253.

8. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М., "Наука", 1966.

9. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. Изд. 2-е, перераб. и доп., М., 1970.

10. Градштейн И.О., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., Физматгиз, 1963.

11. Вишик М.И., Эскин Г.И. Краевые задачи для общих сингулярных уравнений в ограниченной области. Докл. АН СССР,1964, 155, № I, 24-27.

12. Владимиров В.С. Задача линейного сопряжения голоморфных функций многих комплексных переменных. Изв.АН СССР, серия мат., 1965, 29, 807-834.

13. Гапошкин В.Ф. Одно обобщение теоремы М.Рисса о сопряженных функциях. Мат.сб., 1958, 46 (68), № 3, 359-372.

14. Гахов Ф.Д. О краевой задаче Римана. Матем.сб., 1937, 2(44), № 4, 673-683.

15. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., Физматгиз, 1963.

16. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки, М.,1978.

17. Гегелия Т.Г. Граничная задача Гильберта и сингулярные интегральные уравнения в случае пересекающихся контуров. Сообщ.АН Груз .ССР, 1954, 15, № 2, 69-76.

18. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. Изд. 2-е, М., "Наука", 1966.

19. Гордадзе Э.Г. О задаче Римана-Привалова в случае негладкой граничной линии. Тр.Тбилисск.мат.ин-та АН Груз.ССР, 1967, 33, 25-31.

20. Гордадзе Э.Г. О сингулярных интегралах с ядром Коши, Тр. Тбил.мат.ин-та, 1972, 42, 5-17.

21. Гордадзе Э.Г. О сингулярных интегралах на негладких линиях. Тр.Симпоз.по мех.сплошной среды и родств.пробл.анализа, 1971, т.2, Тбилиси, 1974, 74-85.- 295

22. Гордадзе Э.Г. О граничной задаче линейного сопряжения. Сообщ.АН Груз .ССР, 1976, 84, № I, 29-32.

23. Гордадзе Э.Г., Хведелидзе Б.В. О сингулярных интегральных операторах и задаче регуляризации . Труды Тбилисск.мат. ин-та, 53, 1976.

24. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М., 1963.

25. Гохберг И.Ц. Об одном применении теории нормированных колец к сингулярным интегральным уравнениям. УМН, 1952, 7, вып.2, 149-156.

26. Гохберг И.Ц. О числе решений однородного сингулярного интегрального уравнения с непрерывными коэффициентами. Докл.АН СССР, 1958, 122, № 3, 327-330.

27. Гохберг Й.Ц., Крупник Н.Я. Сингулярные интегральные операторы с кусочно-непрерывными коэффициентами и их символы .Изв.АН СССР, 1971, 35, 4, 940-964.

28. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев, "Штиница", 1973.

29. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. О сингулярных интегральных уравнениях с неограниченными коэффициентами. Мат.исслед. Кишинев, 5, 3 (1970), 46-57.

30. Грудский С.М., Дыбин В.Б. Краевая задача Римана с разрывами почти-периодического типа у ее коэффициента. ДАН СССР, 237, I, 1977.

31. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов, УМН, 1957, 12, вып.2, 43-118.

32. Гуриелашвили Р.И. О преобразовании Гильберта. Сообщ. АН Груз.ССР, 1981, 103, №2, 273-276.

33. Данилюк И.И. О задаче Гильберта с измеримыми коэффициентами. Сиб.мат.ж., 1960, № 2, 171-197.

34. Данилюк И.И. Об ограниченности сингулярного интегрального оператора в пространствах Iр с весом. Тр.Тбил.мат.ин-та АН Груз .ССР, 1967, 33, 32-И.

35. Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М., "Наука", 1975.

36. Данилюк И.И., Шелепов В.Ю. Об ограниченности в ¿р сингулярного оператора с ядром Коши вдоль кривой ограниченного вращения. Докл. АН СССР, 1967, 174.

37. Данилюк И.И., Шелепов В.Ю. Про обмежен1сть у зважених просторах I? сингулярних нтегральних оператор1в вздовж л'1н!й з обмеженим обертанням, ДАН УРСР, сер.А, 3 (1969), 199-203.

38. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы, т.1, М., "Мир", 1962.

39. Джваршейшвили А.Г. Сингулярный интеграл и его некоторые применения. Тр.Тбилисск.мат.ин-та, 1966, 31, 71-90.

40. Джваршейшвили А.Г. Об интегралах типа Коши-Стильтьеса. Тр.Тбил.мат.ин-та АН Груз.ССР, 1968, 34, 22-50.

41. Джваршейшвили А.Г., Хведелидзе Б.В. Граничные свойства и граничные задачи. История отечественной математики,т.4, кн.1, Киев, 1970, 211-258.

42. Драчинский А.Э. О граничной задаче Римана-Привалова в классе суммируемых функций. Сообщ.АН Груз.ССР, 1963, 32, № 2, 271-276.

43. Дудучава P.B. Интегральные уравнения свертки с разрывными символами, сингулярные интегральные уравнения с неподвижными особенностями и их приложения к задачам механики. Тр. Тбил.мат.ин-та АН Груз.ССР, 1979, 60, 2-136.

44. Зигмунд А. Тригонометрические ряды 1,П. М., "Мир", 1965.

45. Ибрагимов И.И., Гаджиев А.Д. О порядке сходимости сингулярных интегралов типа Коши-Стильтьеса. ДАН СССР, 212, № I, 1973, 23-26.

46. Иванов В.В. Некоторые свойства особых интегралов типа Ко-ши и их приложения. ДАН СССР, 1958, 121, № 5, 793-794.

47. Иманалиев М.И., Хведелидзе Б.В., Гегелиа Т.Г., Бабаев A.A., Ботащев А.И. Интегральные уравнения, ДУ, 1982, № 12, 20502069.

48. Ищенко Б.В. Скалярная граничная задача линейного сопряжения в случае общей кусочно-гладкой граничной кривой. Со-общ.АН Груз.ССР, 1982, 108, Ш 3, 489-492.

49. Канторович A.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. M., 1959.

50. Карцивадзе И.Н., Хведелидзе Б.В. Об одной форцуле обраще-ния.Сообщ.АН Груз.ССР,1949, 10, № 10, 587-591.

51. Карцивадзе И.Н., Хведелидзе Б.В. Об интеграле типа Коши. Тр.Тбил.мат.ин-та АН Груз.ССР, 1954, 20, 211-244.

52. Кац Б.А. Задача Римана на замкнутой жордановой кривой. Известия ВУЗ-ов, Математика, 1983, № 4, 68-81.

53. Квеселава Д.А. Граничная задача Гильберта и сингулярные интегральные уравнения в случае пересекающихся контуров. Тр.Тбил.мат.ин-та АН Груз.ССР, 1949, 17, 1-27.

54. Кокилашвили В.М. Об ограниченности сингулярных интегральных операторов в пространстве Lр с весом. Тр.Симп. по мех.сплошной среды и родств. пробл.анализа, 1971,т.1, Тбилиси, "Мецниереба", 1973, 125-Ш.

55. Кокилашвили В.М. Об ограниченности сингулярных интегральных операторов в пространствах ¿^ с весом. Сообщ. АН Груз .ССР, 1971, 64, № I, 17-20.

56. Кокилашвили В.М. О максимальных сингулярных интегральных операторах. Тр.Тбилисск.мат.ин-та, 55, 1977, 39-58.

57. Кокилашвили В.М. О весовых неравенствах для сингулярных интегралов с ядром Коши на гладких контурах. Сообщ.АН Груз. ССР, 1978, т.90, № 3.

58. Кокилашвили В.М. О сингулярных и бисингулярных интегральных операторах в весовых пространствах. Тр.Тбилисск.мат. ин-та, 1982, 69, 51-80.

59. Крал И. Об угловых предельных значениях интегралов типа Коши. Докл.АН СССР, 1964, № I, 32-34.

60. Крачковский С.Н., Диканский A.C. Фредгольмовы операторы и их обобщения. Итоги науки, Мат.анализ, М., 1968.

61. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховых пространствах. М., "Наука", 1971.

62. Кулагина М.Ф. О разрешимости неоднородной задачи Римана в случае счетного множества контуров. Известия ВУЗ-ов,Математика, 1977, №2 (177), I3I-I34.

63. Кулагина М.Ф. Характеристические сингулярные уравнения в случае счетного множества контуров. Известия ВУЗ-ов,Математика, 1976, № 8 (171), 32-41.

64. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральных: уравнений. Гостехиздат, Москва, 1950.

65. Купрадзе В.Д. К теории интегральных уравнений с интегралом в смысле главного значения по Коши. Изв.АН СССР, сер.мат. 1941, 5, № 3, 255-262. Сообщ.АН Груз.ССР, т.П,№№ 1-2,3,7, 1941, стр.23-20, 227-231, 587-596.

66. Лаврентьев М.А. 0 некоторых граничных задачах теории однолистных функций. Матем.сб. 1936, т.1 (43).

67. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом, М., "Наука", 1977.

68. Магнарадзе Л.Г. Об одной линейной граничной задаче Римана-Гильберта. Сообщ.АН Груз.ССР, 1947, № 9-10.

69. Магнарадзе Л.Г. Об одном обобщении теоремы Племели-Прива-лова.Сообщ. АН Груз.ССР, 1947, УШ, № 8, 509-516.

70. Магнарадзе Л.Г. О некоторых счетно-нормированных пространствах к; их применениях к теории сопряженных функций .Семинар Ин-та прикл.мат.Тбилисск.ун-та, Аннотации док л.Тбилиси,1972, № 6, 57-62.

71. Манджавидзе Г.Ф. Граничная задача линейного сопряжения с кусочно-непрерывным матричным коэффициентом. В сб."Мех. сплошн.среды и родств.проблемам анализа", М.,"Наука",1972, 297-304.

72. Манджавидзе Г.Ф., Хведелидзе Б.В. О задаче Римана-Привалова с непрерывными коэффициентами. Докл.АН СССР,1958,123, № 5, 791-797.

73. Манджавидзе Г.Ф., Хведелидзе Б.В. О задаче линейного сопряжения и сингулярных интегральных уравнениях с ядром Коши с непрерывными коэффициентами. Тр.Тбилисск.мат.ин-та АНГруз .ССР, 1962, 28, 85-105.

74. Манджавидзе Г.Ф., Хведелидзе Б.В. Одномерные сингулярные интегральные уравнения. История отечественной математики, тЛ, кн.1. Киев, 1970, 774-786.

75. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами, Душанбе, 1963.

76. Михлин С.Г. Сингулярные интегральные уравнения с непрерывными коэффициентами. Докл. АН СССР, 1948, 59, №3, 435-438.

77. Михлин С.Г. Сингулярные интегральные уравнения . УМНД948, № 3, вып.З, 29-112.

78. Михлин С.Г,. Об одной теореме Ф.Нетера. Док л .АН СССР, 1944, 43, № 4.

79. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск, "Наука",1977.

80. Мусхелишвили Н.й. Сингулярные интегральные у равнения.Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. Изд. 2-е, исп.и доп.,М., "Наука", 1962.

81. Мусхелишвили Н.й. , Квеселава Д.А. Сингулярные интегральные уравнения с ядрами типа Коши на разомкнутых контурах. Тр.Тбилисск.мат.ин-та АН Груз. ССР, 1942, 11,141-172.

82. Никольский С.М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах. Изв.АН СССР, сер.мат., 1943,7,№ 3,147163.

83. Няга В.Й. 0 символе сингулярных интегральных операторовв случае кусочно-ляпуновского контура. В сб."Мат.исследования", Кишинев, "Штиинца", 1974, 9, № 2, 109-125.

84. В.А.Пааташвили. 0 разрывной задаче линейного сопряжения. Тезисы докладов УП всесоюзной конференции по теории функций комплексного переменного, Ростов-на-Дону, 1964,с.145.

85. Пааташвили В.А. Об одной разрывной задаче линейного сопряжения с суммируемым коэффициентом. Сообщ. АН Груз.ССР,1964, 34, № 3

86. Пааташвили В.А. 0 разрывной задаче линейного сопряжения. Сообщ. АН Груз.ССР, 1964, № 36, № 3, 539-540.

87. Пааташвили В.А. О линейной задаче сопряжения в случае счетного множества замкнутых контуров. Сообщ.АН Груз.ССР,1965, 37, № I, 31-36.

88. Пааташвили В.А. Задача линейного сопряжения в случае бесконечной линии. Сообщ. АН Груз.ССР, 1967, 47, № I, 7-12.

89. Пааташвили В.А. О линейной задаче сопряжения в случае счетного множества замкнутых контуров. Тр.Тбилисск.мат. ин-та АН Груз.ССР, 1968, 34, 103-122.

90. Пааташвили В.А. О сингулярных интегралах Коши .Сообщ.АН Груз .ССР, 1969, 53, № 3, 529-532.

91. Пааташвили В.А. Об одном свойстве сингулярного интеграла Коши. Сообщ. АН Груз.ССР, 1971, 61, № I, 15-16.

92. Пааташвили В.А. О принадлежности к классам Ер аналитических функций представимых интегралом типа Коши.Тр.Тбилисск.мат .ин-та АН Груз.ССР, 1972, 42, 87-94.

93. Пааташвили В.А. Об ограниченности сингулярного интеграла Коши в лебеговских пространствах с весом. Тр.Тбилисск.мат. ин-та АН Груз.ССР, 1973, 43, 112-119.

94. Пааташвили В.А. Некоторые свойства сингулярных интегралов и интегралов типа Коши. Тр.Тбилисск.мат.ин-та АН Груз.ССР, 1975, 47, 34-52.

95. Пааташвили В.А. Некоторые свойства сингулярного интеграла Коши вдоль разомкнутых линий. Тр.Тбилисск.мат.ин-та АН Груз.ССР, 1976, 53, 62-72.

96. Пааташвили В.А. Линейные интегральные уравнения с -средним сингулярным интегралом, Докл.АН СССР, 1976, т.231,№ 6, 1293-1295.

97. Пааташвили В.А. Об ограниченности сингулярного оператора Коши в пространствах ¿р .Тр.Тбилисск.мат.ин-та АН Груз. ССР, 1978, 58, 187-196.

98. Пааташвили В.А. О сингулярном интеграле Коши на счетном множестве замкнутых контуров. Тр.Тбилисск.мат.ин-та,1980, 65, 122-130.

99. Кокилашвили В.М., Пааташвили В.А. О краевой задаче линейного сопряжения с измеримым коэффициентом. Докл.АН СССР, 1975, т.224, № 5, 1008-1011 •

100. Кокилашвили В.М., Пааташвили В.А. Краевая задача линейного сопряжения с измеримыми коэффициентами. Тр.Тбилисск. мат .ин-та, 1977, 55, 59-92.

101. Кокилашвили В.М., Пааташвили В.А. Задача линейного сопряжения с измеримыми коэффициентами для одного класса граничных кривых. Сообщ. АН Груз .ССР, 1978, 91, № 1,25-27.

102. Кокилашвили В.М., Пааташвили В.А. О разрывной задаче линейного сопряжения и сингулярных интегральных уравнениях. Дифференциальные уравнения, 1980, ХУ1, № 9, 1650-1659.

103. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных у равнений.М., "Мир", 1979.

104. Преображенский С.П. О сингулярных интегралах И.И.Привалова. Сиб.мат.ж. 1968, 9, № 2.

105. Привалов И.И. Об одной граничной задаче в теории аналитических функций. Мат.сб. 1934, 41, № 4,519-526.

106. Привалов И.И. Граничные свойства однозначных аналитических функций. Изд.2-ое, под ред.А.И.Маркушевича, М.,"Наука", 1950.

107. Риман Б. Сочинения, перевод с немецкого. M., 1948.

108. Рогожин B.C. Сингулярные интегральные уравнения и краевые задачи в пространстве обобщенных функций. Тр.Симпоз.по мех.сплошн.среды и родств.пробл.анализа, 1971, т.2,Тбилиси "Мецниереба", 1974, 246-254.

109. Рябых В.Г. О некоторых свойствах аналитических функций класса . Докл.АН СССР, 1964, 158, № 3,528-532.

110. Салаев В.В. Прямые и обратные оценки для особого интеграла Коши на замкнутой кривой. Мат.заметки, 1976, 19, № 3, 365-381.

111. Салехова И.Г. Однородная задача Римана в случае счетного множества разомкнутых дуг. Изв. ВУЗ-ов, Математика, № 6 (157), 124-135.

112. Самко С.Г. О разрешимости в замкнутой форме сингулярных интегральных уравнений. ДАН СССР, 1969, т.189, № 3,483485.

113. Сейфуллаев Р.К. Особый интеграл,интеграл типа Коши и краевая задача Римана на негладкой разомкнутой кривой .Автореферат кандидатской диссертации, Баку, 1979.

114. Симоненко И.Б. Краевая задача Римана с непрерывным коэффициентом. Докл.АН СССР, 1959, 124, № 2,278-281.

115. Симоненко И.Б. Краевая задача Римана с измеримый коэффициентом. Докл.АН СССР, i960, 135, № 3, 538-541.

116. Симоненко И.Б. Краевая задача Римана для к, пар функцийс измеримыми коэффициентами и ее применение к исследованию сингулярных интегралов в пространствах Z-p с весами.Докл. АН СССР, 1961, 141, № I, 36-39.

117. Симоненко И.Б. Краевая задача Римана для п, пар функций с измеримыми коэффициентами и ее применение к исследованию сингулярных интегралов в пространствах ¿р с весом. Изв.АН СССР, сер.мат. 1964, 28, № 2, 277-306.

118. Симоненко И.Б. Некоторые общие вопросы теории краевой задачи Римана. йзв.АН СССР, Сер.мат.1968, 32, № 5,1138-1146.

119. Смирнов В.И. Sur les valeurs limites des fonctions régulières à l'intérieur cTun cercle .Журнал Ленинград.физ.-мат.об-ва, 1929, 2:2, 22-37.

120. Смирнов В.И. Sur les formules de Cauchy et de Green et quelques problèmes qui s"y rattachent.йзв.АН СССР, сер.физ .мат., 1932, 7, № 3, 337-372.

121. Солдатов А.П. Краевая задача линейного сопряжения теории функций. Йзв.АН СССР, сер.мат. , 1979, 43, 1,184-202.

122. Солдатов А.П. К нетеровской теории операторов. Одномерные сингулярные интегральные операторы общего вида. ДУ, 1978, 14, № 4, 706-718, 1979, № 7, 1285-1295.

123. Сохоцкий Ю.В. Об определенных интегралах и функциях,употребляемых при разложениях в ряды. С.Петербург, 1873.

124. Спитковский И.M. О факторизации матриц-функций из классовЛЛ(р)и 7L . Укр. мат .к. 1983, 35, 4, 455-460.

125. ТуМаркин Г.Ц. Свойства аналитических функций, представи-мых интегралами типа Коши-Стильтьеса и типа Коши-Лебега. Изв.АН Арм.ССР, Сер.физ.мат.н., 1963, 16, № 5, 23-45.

126. Тумаркин Г.Ц., Хавинсон С.Я. Классы аналитических функций в многосвязных областях. Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного, i960.

127. Тумаркин Г.Ц. Граничные свойства аналитических функций, представимых интегралами типа Коши. Мат.сб., 1971, 84, № 3, 425-439.

128. Ульянов П.Л. Об интегралах типа Коши. Тр.мат.ин-та АН СССР, 1961, 60 , 262-281.

129. Фрейдкин С.А. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения по счетнощ множеству контуров ( лекции по спецкурсу), Кишинев, "ШТИИНЦА", 1973.

130. Фрейдкин С.А. Краевая задача Римана и сингулярные интегральные уравнения с кусочно-постоянными коэффициентами в случае счетного множества интервалов. Ученые записки Кишиневского гос.университета, т.70, 1964.

131. Фролов В.Д. Сингулярные интегральные уравнения с измеримыми коэффициентами в пространствах /р с весом. В сб. "Мат.исследования", т.5, вып.1, Кишинев, 1970, I4I-I5I.

132. Фролов В.Д. Сингулярные интегральные уравнения на бесконечной системе дуг I. В сб. "Мат.исследования", т.6, вып. I, Кишинев, 1971, 146-157.

133. Фролов В.Д. Сингулярные интегральные уравнения на бесконечной системе дуг П. В сб."Мат.исследования", т.9,вып.2,Кишинев, 1974, I72-I8I.

134. Хавин В.П. Граничные свойства интеграла типа Коши и гармонически сопряженных функций в областях со спрямляемой границей. Мат.сб., 1965, 68, № 4, 499-517.

135. Хавин В.П. 0 непрерывности в Lf интегрального оператора с ядром Коши. Вестн.Ленингр.ун-та, 1967, № 7, 103-108.

136. Хавинсон С.Я. Экстремальные задачи для некоторых классов аналитических функций в конечносвязных областях. Мат.сб. 36 (78): 3 (1955).

137. Хайкин М.И. Исключительный случай однородной задачи Рима-на с конечным индексом коэффициента, Известия ВУЗ-ов "Математика", 1972, № 5, 92-103.М.

138. Харди Г.Г., Литтлвууд Дж.Е. , Полиа Г. Неравенства,1948.

139. Хведелидзе Б.В* Некоторые свойства особых интегралов в смысле главного значения Коши-Лебега. Сообщ.АН Груз.ССР, 1947, 8, № 5, 283-290.

140. Хведелидзе Б.В. Сингулярные интегральные уравнения в особых интегралах Коши-Лебега, Сообщ.АН Груз.ССР, 1947, 8,7, 427-434.

141. Хведелидзе Б.В. О задаче линейного сопряжения в теории аналитических функций. Докл. АН СССР, 1951, 76, № 2, 177180.

142. Хведелидзе Б.В. Об одной разрывной задаче Римана-Привало-ва в теории аналитических функций, Докл.АН СССР,1955,102, № 6, 1081-1084.

143. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения. Тр .Тбилисск .мат .ин-та АН Груз .ССР,1956, 23, 3-158.

144. Хведелидзе Б.В. Замечание к моей работе "Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения". Сообщ. АН Груз.ССР, 1958, 21, № 2, 129-130.

145. Хведелидзе Б.В. Метод интегралов типа Коши в разрывных граничных задачах теории голоморфных функций одной комплексной переменной. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, т.7, 1975, 5-162.

146. Хускивадзе Г.А. О сопряженных функциях и особых интегралах Коши. Докл. АН СССР, 1961, 140, 6, 1270-1273.

147. Хускивадзе Г.А. О сопряженных функциях и интегралах типа Коши. Тр.Тбилисск.мат.ин-та АН Груз.ССР, 1966,31,5-54.

148. Хускивадзе Г.А. Об интегралах типа Коши .Тр.Симпоз.по мех.сплошн.среды и родств.пробл.анализа, 1971, т.I,Тбилиси, "Мецниереба", 1973, 233-240.

149. Хускивадзе Г.А. О сингулярном операторе и интеграле типа Коши. Сообщ .АН Груз.ССР, 1975, 79, № I, 33-35.

150. Хускивадзе Г.А. Об интегралах типа Коши-Стильтьеса,Тр. Тбил.мат.ин-та АН Груз.ССР, 1968 , 34, 160-168.

151. Церетели О.Д. Метрические свойства сопряженных функций. В обзоре Б.В.Хведелидзе "Метод интегралов типа Коши в разрывных граничных задачах теории функций." Итоги науки к техники. Современные проблемы математики, т.7,1975, 3-56.,

152. Черский Ю.И. Общее сингулярное уравнение и уравнения типа свертки. Матем.сборн., 1957, 41 (83), 277-296.

153. Челидзе В.Г. ,Джваршейшвили А.Г. Теория интеграла Данжуаи некоторые ее приложения. Из-во Тбилисского гос.университета, Тбилиси, 1978.

154. Чибрикова JI.И. , Салехова И.Г. Задача Римана в случае счетного множества контуров. Тр.семинара по краевым задачам, Казань, Из-во КГУ, 1972, вып.9, с.216-233.

155. Чибрикова Л.й. Задача Римана в случае счетного множества контуров. Тр.симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа (23-29/IX 1971 )»Тбилиси,1973, с.342-361.

156. Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций, Издательство Казанского университета, 1977.

157. Шелепов В.Ю. О задаче Римана в областях, граница которых имеет ограниченное вращение. Докл.АН СССР, 1967, 181, № 3, 565-568.

158. Шелепов В.Ю. Краевые задачи и интегральные уравнения в пространстве суммируемых функций в случае контуров с ограниченным вращением, Автореферат канд.диссертации,Донецк, 1969.

159. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений", М., Наука, 1973.

160. Calderón А,Р, Cauchy integials of Lipschitz curves and related operators. Proc.Nat.Acad.Sci, USA, 1977, 74, 4, 1324-1327.

161. Calderón A.P. , Calderón C.P., Fabes E. Jodeit M, and Riviere N.M. Applications of the Cauchy integráis on Lipschitz curves, Bull.Amer.Math.Soc., 1978, 2, 287-290.

162. Carleman T. Sur la resolution de certaines equations intégrales. Ark.mat.astr.och. fys. 1922, 16, No.26, 1-19.

163. Coifman R. Mclntosh A. Meyer Y. L 'intégrale de Cauchy définit un opérateur borné sur pour les courbes Lipschitziennes, Ann.Math., 1982, 116, No.2, 361-387.

164. David G. L ' intégrale de Cauchy sur les courbes recti-fiables, препринт , 85 T05, Universitéde Paris-Sud. Bat. 425, 91405 Orsay France , 1982.

165. Cotlar M.A, A unified theory of Hilbert transforms and ergodic theorems, Rey. mat. Cuyana, 1955, 1» No.2, 105167.

166. Elliott J. On some singular integral equations of the Cauchy type. Ann. Math. 1951, 54, Ho.2, 349-369.

167. Forelli F. The Marcel Riesz theorem on conjugate functir ons. Amer. Math. Soc. 1963, 106, No.3, 369-390.

168. Hardy G.H. Littlewood J.E. Some more theorems concerning Fourier series and Fourier power series, Duke Math. J. 1936, 2, No.2, 354-382.

169. Helsen H. Szegö G. A problem in prediction theory.Ann. math, pura ed ap.pl. 1960, 51, 107-138.

170. Hilbert D. Grundzüge einer allgemeinen Theorie der Linearen Integralgleichungen. Leipzig-Berlin, 1912.

171. Noether F. Über eine Klasse singulärer Integralgleichungen. Math. Ann. Bd., 1921, 82.

172. Plemelj J. Riemannsche Funktionenscharen mit gegebener Monodromiegruppe. Monatsh. Math, und Phys. 1908, 19, 205-210.

173. Riesz M. Sur les fonctions conjugates. Math. Z. 1927, 27, N0. 2, 218-244.

174. Rochberg R. Toeplitz operators on weighted H1* spaces. Ind. Univ. Math. J. 1977, 26, 2, 291-298.

175. Stein E.M. Interpolation of linear operators. Trans.Amer. Math. Soc. 1956, 83, 482-492.

176. Warshawski B.E. On conformal mapping of regions bounded by smooth curves, Proc. Amer. Math. Soc, vol 2, 1951, No. 2.

177. Widom H, Singular integral equations in ¿p spaces.Trans. Amer,Math. Soc. 1960, 97, No. 1, 131-160.