Некоторые обобщенные граничные задачи Гильберта для нескольких неизвестных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

стр.

ВВЕДЕНИЕ. 2

ГЛАВА I. ОБОБЩЕННАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ

НЕСКОЛЬКИХ НЕИЗВЕСТНЫХ ФУНКЦИЙ . 9

§ I.I. Некоторые термины и вспомогательные предложения . 9

§ 1.2. Обобщенная граничная задача Гильберта для нескольких неизвестных функций в случае круга единичного радиуса. II

§ 1.3. Продолжение . 24

§ 1.4. Обобщенная граничная задача Гильберта в случае одной кусочно-голоморфной функции . 29

ГЛАВА. П. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ НЕИЗВЕСТНЫХ ФУНКЦИЙ СО СМЕЩЕНИЯМИ. 35

§ 2.1. Об одной обобщенной граничной задаче Гильберта для нескольких неизвестных функций со смещениями. 35

§ 2.2. Продолжение. 40

§ 2.3. Обобщенная граничная задача Гильберта для нескольких неизвестных функций со смещениями. . 41

§ 2.4. Об одной обобщенной граничной задаче Гильберта 56

§ 2.5., Об одной односторонней обобщенной граничной задаче для голоморфных векторов со смещениями 70

§ 2.6. Об одной дифференциальной граничной задаче теории функций комплексного переменного . 74

ГЛАВА Ш. НЕКОТОРЫЕ ГРАНИЧНЫЕ. ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕСКОЛЬКИХ НЕИЗВЕСТНЫХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ. 83

§ 3.1. Граничная задача Римана-Гильберта для нескольких неизвестных функций. 83

§ 3.2. Односторонняя обобщенная граничная задача теории аналитических функций со смещением. 95

§ 3.3. Об одной односторонней обобщенной граничной задаче теории аналитических функций.J03

§ 3.4. Односторонняя обобщенная граничная задача теории аналитических функций со смещениями.Ю8

Теории граничных задач аналитических функций и связанных с ними сингулярных интегральных уравнений, зародившейся в трудах классиков математики Римана, Гильберта и Пуанкаре, посвящено большое количество работ, чему значительно способствовало то обстоятельство, что ряд важных задач математической физики и механики можно решить на основе этой теории. Результаты, полученные в разработке упомянутой теории, а также подробные библиографические и исторические справки даны в монографиях Н.Й.Мусхелиш-вили [i], И.Н.Векуа [2], Ф.Д.Гахова [з], Н.П.Векуа [4], Г.С.Лит-винчука [5], Б.В.Хведелидзе [б], Л.Г.Михайлова [7], Л.И.Чибрико-вой [8], в обзорных статьях Ф.Д.Гахова [9], Б.В.Хведелидзе [ю] и в других работах.

К основным граничным задачам аналитических функций относятся задача Гильберта (именуемая также задачей линейного сопряжения (cm.[i]), или задачей Римана (сы.[з]) ), граничное условие которой имеет вид а) и задача Римана-Гильберта с граничным условием

R,t[(X(t)+1 b с«] СО = С СО . (2)

Одним из обобщений задачи (I) является задача нахождений кусочно-голоморфного вектора, по граничному условию t) = Л С-ь) С±)+ Ь Ot) vj~ct) + jCi). СЗ)

Эта задача (которую мы будем называть обобщенной граничной задачей Гильберта) впервые была сформулирована А.И.Мэркушевичем CllJ, Исследование задачи СЗ) проведены в работах Н.П.Векуа [4],[l2], [l3], Б.В.Боярского [14], Л.Г.Михайлова [7], Г.С.Литвинчукз [5],

5],[1б], И.Х.Сабитова [l7], А.М.Николайчукэ[18], Е.И.Оболаш-вили [19], Л.И.Чибриковой, Л.Г.Салехова [20], А.И.Яцко [21] , М.А.Шешко [22], Л.П.Примачука [23], И.М.Спитковского [, Г.С. Литвивчука, И.М.Спитковского [25] и др.

Обобщением задач упомянутых типов являются граничные задачи со смещением (сдвигом), т.е. задачи, в граничном условии которых сопряжение происходит в различных точках граничного контура. Основополагающие результаты по изучению граничных задач со смещением (сдвигом), рассмотренные впервые Газеманом, были получены в работах Д.А.Квеселвва [2б],[27]. К настоящему времени теория этих задач развивается в различных направлениях. Пока достаточно хорошо изучены граничные задачи с карлеманевским сдвигом, которым посвящено большое число работ Г.С.Литвинчука, Э.Г.Хасэбо-ва и их последователей. (Подробные библиографические справки даны в монографии [5]).

Обобщенная граничная задача Гильберта (3) и аналогичные задачи со смещениями находят многочисленные приложения к исследованиям проблемы жесткости кусочно-регулярных поверхностей, при решении задач плоской теории упругости анизотропного тела, задачах фильтрации грунтовых вод, задачах механики и электростатики.

Настоящая диссертационная работа посвящается изучению обобщенной граничной задачи Гильберта (3) и аналогичных задач со смещениями для нескольких неизвестных функций. Она состоит из введения и трехглав.

1. Мусхелишвили Н.И., Сингулярные интегральные уравнения, М., "Наука",1968.Векуа И.Н., Обобщенные аналитические функции, Физматгиз, М.,1959.

2. Гахов.Ф.Д., Краевые задачи, М., "Наука", 1977.

3. Векуа Н.П., Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи, М.,"Наука", 1970.

4. Литвинчук Г.С., Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом, М., "Наука",1977.

5. Хведелидзе Б.В., Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения, Тр.Тбилисск.Матем.ин-та, т.23 (1956), 3-158.

6. Михайлов Л.Г., Новый класс особых интегральных уравнений и его приложение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами, Душанбе, 1963.

7. Чибрикова Л.И., Основные граничные задачи для аналитических функций, Казань, 1977.

8. Гахов Ф.Д., 0 современных проблемах теории краевых задач аналитических функций и особых интегральных уравнений, Дифференциальные уравнения, т.1, Ш 6, 1965, 786-798.

9. Хведелидзе Б.В., Метод интегралов типа Коши в разрывных граничных задач теории голоморфных функций одной комплексной переменной, Сб.современные проблемы математики, т.7, М.,1975.

10. Маркушевич А.И., Об одной граничной задаче теории аналитических функций, Учен,зап.,МГУ 100 (1946), 20-30.

11. Векуа Н.П., Об одной задаче теории функций комплексного переменного, ДАН СССР 86, 3 (1952), 457-460.

12. Векуа Н.П., Об одной обобщенной граничной задаче Гильбертадля нескольких неизвестных функций, Труды матем.ин-та АН Груз.ССР, 34 (1968),5-12.

13. Боярский Б.В., Об одной обобщенной граничной задаче Гильберта, Сообщ.АН Груз.ССР,25,4(1960),385-390.

14. Литвинчук Г.С., Об устойчивости одной краевой задачи теории аналитических функций, ДАН СССР 174, 6(I967),I268-I270.

15. Литвинчук Г.С., Две теоремы об устойчивости частных индексов краевой задачи Римана и их приложение, Изв.вузов, математика, 12 (1967), 47-57.

16. Саботов ИД.,Об общей краевой задаче линейного сопряжения на окружности, Сиб.матем.журн.,5,1(1964),124-129^.

17. Николайчук A.M.,Некоторые вопросы разрешимости векторной краевой задачи Римана и связанных с нею сингулярных интегральных уравнений со сдвигом и комплексно сопряженными неизвестными функциями, Канд.диссертация, Одесса,1973.

18. Оболашвили В.И.,Задача Маркушевича и один класс сингулярных интегральных уравнений. Докл. П Сиб.конф.по матам, и механике, Томск, 1962, 40-42.

19. Чибрикова Л.И. и Салехов Л.Г., К решению одной общей задачи линейного сопряжения аналитических функций в случае алгебраических контуров, Труды сем.по кр.задачам, вып.5, 1968, Изд-во Казанского ун-та, 224-249.

20. Яцко А.И., Проблемы Нетеровости и разрешимости обобщенной краевой задачи Римана с кусочно-непрерывными коэффициентами, Канд.диссертация,Одесса,1982.

21. Шешко М.А.,0б общей задаче линейного сопряжения для системы гъ пар функций, изв.АН БССР, серия физ-матем.наук 1(1967)

22. Примачук А.П., О краевой задаче с сопряжением, Изв.АН БССР, сер.физ.-матем.наук 4 (1967), 59-62.

23. Спитковский И.М.,К теории обобщенной краевой задачи Римана в классах bp, Укр.матем.ж. 25,1 (1979),63-73.

24. Литвинчук Г.С.,Спитковский И.М.,Точные оценки дефектных чисел обобщенной краевой задачи Римана, ДАН СССР, Х980,т.225,5.

25. Квеселава Д.А., Решение одной граничной задачи теории функций, ДАН СССР 53,8 (1946), 683-686.

26. Квеселава Д.А.,Некоторые граничные задачи теории функций, Тр.Тбилисск.Матем.ин-та АН Груз.ССР 16 (1948),39-80.

27. Векуа Н.И., Об одной обобщенной задаче Гильберта со смещениями, Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа, М.,1972, III-I20.

28. Ганин М.П.,0б одной общей краевой задаче для аналитических функций,ДАН СССР,72,6(1951),921-924.

29. Александрия Г.Н.,0б одной граничной задаче линейного сопряжения для нескольких неизвестных функций, Сообщ.АН Груз.ССР, 14,2(1953),65-70.

30. Бедоева М.Г.,0б одном виде граничной задачи линейного сопряжения при заданных смещениях, Сообщ.АН Груз.ССР,28,3(1962), 257-264.

31. Исаханов Р.С.,0 некоторых дифференциальных граничных задач теории аналитических функций, Сообщ.АН Груз.ССР 21,1(1958), 1Ы8.

32. Исаханов Р.С.,Граничная задача линейного сопряжения со смещениями,Сообщ.АН Груз.ССР,60, 2(1970),285-288.

33. Крикунов Ю.М.,0 решении обобщенной краевой задачи Римана и линейных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений, Уч.зап.Казан.ун-та;ма тем.112, 10(1952),191-199.

34. Манджавидзе Г.Ф.,Граничная задача линейного сопряжения общего вида со смещениями,Труды матем.ин-та АН Груз.ССР,33

35. Исаханов Р.С., Об одной задаче линейного сопряжения для кусочно-голоморфных векторов, Сообщ. АН Груз.ССР 53,3(1969), 537-540.

36. Магнарадзе Л.Г., Об одной системе линейных сингулярных ин-тегро-дифференциальных уравнений и о линейной граничной задаче Римана, Сообщ.АН Груз.ССР, т.4, № 1(1943) 3-9.

37. Магнарадзе Л.Г., Теория одного класса линейных сингулярных интегро-дифференциальных уравнений и ее применения к задаче колебания крыла аэроплана конечного размаха, удара о поверхность воды и аналогичным, Сообщ.АН Груз.ССР т.4, № 2(1943), I03-II0.

38. Рогожин B.C., Новое интегральное представление кусочно-голоморфных функций и его приложения, ДАН СССР, т.135, № 4,1960, 791-793.

39. Векуа Н.П., Граничная задача Римана-Гильберта для нескольких неизвестных функций, Тр.ин-та прикл.ыатем. Тбилисск.гос.унта, № 5,6, 1978, 51-67.

40. Боярский Б.В., Теория обобщенного аналитического вектора, JirutoXeA Po-torucl ЯаМ,е,тлА. , 17 , 3 (1966), 281-320.

41. Ахэлая Г.Я., Разрывная граничная задача Римана-Гильберта для обобщенного аналитического вектора, Тр.сем.ин-та прикл. метем. Тбилисск.гос.ун-та,15,1981.

42. Исаханов Р.С., О некоторых граничных задач теории аналитических функций, Тр.Тбилисск.матем.ин- та, т.52(1976),62-80.

43. Нечаев А.П., Об одной краевой задаче для двух функций, аналитических в области, ДАН УССР,10(1969),891-893.

44. Манджавидзе Г.Ф., Сингулярные интегральные уравнения как аппарат решения смешанных задач плоской теории упругости, Тр.международ.симпоз.в Тбилиси,1963,т.1,1965,237-247.

45. Исаханов P.O., Об одной задаче для голоморфных функций, Тр. Тбилисок.матем.ин-та, т.65 (1980),99-109.

46. Гантмахер Ф.Р., Теория матриц, М., "Наука",1967.

47. Капэнэдзе Г.А.,Обобщенная граничная задача Гильберта для нескольких неизвестных функций, Сообщ.АН Груз.ССР 72,3 (1973), 537-540.

48. Капанадзе Г.А., Об одной обобщенной граничной задаче Гильберта для нескольких неизвестных функций в случае круга единичного радиуса, Сообщ.АН Груз.ССР 74,1(1974),25-28.

49. Капанадзе Г.А., Об одной обобщенной граничной задаче Гильберта для нескольких неизвестных функций со смещениями, Сообщ.АН Груз.ССР 75,1(1974),25-28.

50. Капанадзе Г.А., Об одной обобщенной граничной задаче Гильберта для нескольких неизвестных функций со смещениями, Сообщ.АН Груз.ССР 79,2(1975),277-280.

51. Капанадзе Г.А., Об одной односторонней граничной задаче для голоморфных векторов в случав многосвязной области, Тр. Тбилисск.гос.ун-та, т.239 (1983),135-138.

52. Капанадзе Г.А.,Обобщенная граничная задача Гильберта для нескольких неизвестных функций со смещениями, Тр.Тбилисск. гос.ун-та т.239(1983),139-156.