Особые случаи и приложения краевой задачи Гильберта тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

□ □348 150Э ШАБАЛИН ПАВЕЛ ЛЕОНИДОВИЧ

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ И ПРИЛОЖЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ГИЛЬБЕРТА

01.01.01. - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

? п ПКТ

Казань 2009

003481509

Работа выполнена на кафедре высшей математики Казанского государственного архитектурно-строительного университета.

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор

Салимов Расих Бахтигареевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Авхадиев Фарит Габидинович, доктор физико-математических наук, профессор

Миклюков Владимир Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор

Семенко Евгений Вениаминович.

Ведущая организация: Институт математики с ВЦ УНЦ РАН

Защита состоится 19 ноября в 16 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета.

Автореферат разослан " 10. 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, ^

доцент --- Е.К. Липачев

Общая характеристика работы 1. Актуальность темы диссертации. Работа посвящена исследованию краевой задачи Гильберта теории аналитических функций с бесконечным индексом и счетным множеством точек разрыва первого рода ее коэффициентов и приложениям этой задачи к решению и исследованию геометрических свойств решений некоторых обратных и обратных смешанных краевых задач. Академик АН БССР Ф. Д. Гахов назвал 1 теорию краевых задач с бесконечным индексом как новую, принципиально важную и имеющую перспективу дальнейшего развития дисциплину. После выхода в свет основополагающих работ Н.В. Говорова, содержащих завершенное исследование краевой задачи Римана на луче с бесконечным индексом степенного порядка в случае одностороннего завихрения на бесконечности, различные случаи, задачи Римана с бесконечным индексом были исследованы в работах П.Ю. Алекна, А.Г. Алехно, Ф.Н. Гарифьянова, М.И. Журавлевой, Б.А. Каца, В.Н. Монахова и Е.В. Се-менко, И.В. Островского, И.Е. Сандрыгайло, М.Э. Толочко, Л.И. Чиб-риковой, П.Г. Юрова и других. При этом, следует признать, что теория краевой задачи Римана с бесконечным индексом далека от завершения, поскольку неизученными остались многочисленные ситуации поведения коэффициентов, при которых индекс задачи не существует.

Значительно меньшее число работ посвящено краевой задаче Гильберта с бесконечным индексом. Многие результаты по разрешимости задачи Римана на вещественной оси могут быть использованы при решении задачи Гильберта для полуплоскости. Однако, непосредственное решение задачи Гильберта (без привлечения решения более сложной задачи Римана) особенно в случаях, когда задача Римана не исследована, представляется актуальным и целесообразным, что обусловлено как логикой развития теории, так и приложениями задачи Гильберта к гидродинамике, например, к решению задачи об отражении плоских волн в упру-

'Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977. - 640 е., С.9

гой среде от плоской границы2, к безмоментной теории оболочек3. A.B. Бицадзе4 указал на применение решения задачи Гильберта к решению одной задачи теории дифференциальных уравнений с частными производными смешанного типа. Интересная связь краевой задачи Гильберта с коэффициентами, имеющими разрывы первого рода, с задачей по моделированию эффекта магнитного пересоединения в физике плазмы приведена в работе С.И. Безродных и С.И. Власова5, применение задачи Гильберта с разрывами коэффициента к задаче взрыва приведено в работе Р.Б. Салимова и Н.К. Туктамышова6. С учетом сказанного следует считать тему диссертации актуальной и интересной.

2. Связь работы с крупными научными программами. Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований 96-01-00110, 99-01-00366, 08-01-00381, 02-01-00168, 05-01-00523 и Фондом НИОКР РТ 05-5.1-48/2001 (Ф), 05-5.3-136/2004Ф(05).

3. Цель и задачи исследования. Целью работы является исследование задачи Гильберта в некоторых неизученных ранее случаях обращения индекса в бесконечность, задачи Гильберта с бесконечным множеством точек разрыва коэффициентов и конечным индексом; построение формул общего решения в классах аналитических и ограниченных в верхней полуплоскости функций, либо функций , имеющих интегрируемые особенности в точках разрыва коэффициентов краевого условия и заданное асимптотическое поведение на бесконечности, получение необходимых и достаточных условий разрешимости этих задач; решение некоторых обратных смешанных краевых задач, их применение к отоб-

2Соболев С.Л. Об одной предельной задаче теории логарифмического потенциала и ее применении к отражению плоских упругих волн// Тр. Сейсм. ин-та. Л.: Изд-во АН СССР, 1930. № 11.

3Гольденвейзер A.JI. О применении решений задачи Римала - Гильберта к расчету безмоментных оболочек// Прикл. матем. и мех. - 1951- Т. XV. - вып. 2. - С. 149-166.

4Бицадзе A.B. К общей задаче смешанное типа// ДАН СССР. -1951. - Т. 78. - № 4. - С. 621-624.

5Безродных С.И., Власов В.И. Сингулярная задача Римана-Гильберта на многоугольниках

и ее приложения// Тезисы докладов международной конференции "Тихонов и современная

математика".- Москва, 2006.- С.32.

8Салимов Р.В., Туктамышов Н.К. Решение задачи Гильберта для кольца в особом случае и его применение к одной задаче взрыва// Матем. заметки. - 1999. - Т. 66. - Вып. 1. - С. 135-144.

ражению многоугольников с бесконечным числом вершин; построение достаточных условий однолистности аналитических функций и отображений; изучение возможности продолжения, условия Гельдера для гармонической функции с границы внутрь области.

4. Научная новизна и значимость полученных результатов. Впервые решена задача Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов. При этом разобраны принципиально различные ситуации: ряд, составленный из скачков аргумента коэффициента краевого условия, сходится и индекс задачи конечен; указанный ряд расходится, но индекс задачи конечен; указанный ряд расходится и индекс задачи бесконечен. Исследованные до нас задачи Гильберта допускали только конечное число точек разрыва, а бесконечное значение индекса обуславливалось лишь особенностью степенного или логарифмического характера в бесконечно удаленной точке у аргумента коэффициента краевого условия - функции v{t). Таким образом, изучен важный особый случай задачи Гильберта, особенность которого обусловлена наличием бесконечного множества точек разрыва коэффициентов задачи и неограниченным ростом непрерывной составляющей аргумента коэффициента краевого условия, исследовано влияние комбинации указанных факторов на разрешимость задачи.

Получено обобщение формулы интеграла Шварца-Кристоффеля на случай многоугольника с бесконечным числом вершин при принципиально иных ограничениях на величины углов многоугольника и на прообразы этих вершин при конформном отображении на полуплоскость, чем в работе И.А. Александрова7.

Доказаны новые достаточные условия однолистности аналитических функций как в канонических, так и в произвольных областях с квазиконформной границей. Некоторые из этих результатов применены при исследовании однолистности отображений, решающих рассмотренные об-

7Александров И.А. Конформные отображения полуплоскости на область с симметрией переноса// Изб. вузов. Математика. - 1999. -№ 6. - С. 15-18.

ратные и смешанные обратные краевые задачи, тесно связанные с задачами Гильберта. Получены новые достаточные условия продолжимости условия Гельдера для гармонических функций с границы внутрь области.

5. Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты по краевой задаче Гильберта с бесконечным множеством точек разрыва первого рода коэффициентов и с бесконечным индексом и разработанные методы их исследования могут найти применение при изучении краевых задач с еще не рассмотренными случаями поведения индекса, в решении некоторых новых обратных краевых задач и обратных смешанных краевых задач, а также при построении конформных отображений на области с полигональным участком границы ( в том числе на области, ограниченные полигоном с бесконечным числом вершин). Полученные в третьей главе достаточные условия однолистности аналитических функций могут применяться при исследовании решений некоторых обратных и обратных смешанных краевых задач. Результаты диссертации могут быть использованы в научных коллективах, занимающихся исследованиями краевых задач для аналитических функций в Белорусском, Казанском, Новосибирском, Одесском, Харьковском университетах.

6. Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

Обобщение метода регуляризующего множителя Ф.Д. Гахова на случай задачи Гильберта с непрерывными на вещественной оси коэффициентами и бесконечным индексом степенного порядка.

Условия разрешимости и построение в квадратурах общего решения задачи Гильберта со счетным множеством точек разрыва первого рода коэффициентов в случае конечного индекса.

Получение формулы общего решения задачи Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов и бесконечным индексом в различных классах функций.

Обобщение на случай бесконечного множества вершин формулы интеграла Шварца-Кристофеля.

Условия однолистности функций, аналитических в звездообразных и выпуклых областях.

Условия продолжимости некоторых модулей непрерывности гармонических функций с границы внутрь области.

7. Личный вклад соискателя. Результаты диссертации опубликованы в 16 работах (11 - в изданиях, рекомендованных ВАК), среди которых 1 монография. Список работ приведен в конце автореферата. 12 работ (8 из списка ВАК) выполнены в соавторстве. При этом из 3 теорем работы [1] диссертанту принадлежит теорема 1, из 5 теорем работы [2] диссертанту принадлежит доказательство теоремы 1 для случая, когда С?о - а— звездообразная область с неспрямляемой границей, теоремы 3,5 и лемма 1, из 4 теорем работы [3] - теоремы 1,2,4, из 2 теорем работы [4] -теорема 1, из 7 теорем работы [5] - теоремы 3,4,6,7, из 7 теорем работы [6] - теоремы 2,3,5,6,7, из 3 лемм и 6 теорем' работы [7] - леммы 1, 3, теоремы 1,2,3,4,5, в [8] диссертанту при обосновании формулы отображающей функции принадлежит исследование асимптотического поведения интеграла типа Коши специального вида и доказательство существования одного несобственного интеграла, из 4 теорем работы [12] диссертанту принадлежат теоремы 2,4,. а также лемма 1, в работе [13] диссертанту принадлежат теорема 9 и теорема 12(случай ^ = 0), в монографии [14] диссертанту принадлежат результаты пунктов 1.1, 1.4, 1.5, часть результатов п. 1.2 §1 главы 2, пункты 2.1, 2.6, 2.7, 2.8 часть результатов п.2.3, 2.5, 2.9 §2 главы 2, §3 главы 2, часть результатов п.2.2 §2 главы 3, часть результатов п.4.2 §4 главы 3, §5 главы 3. В работе [15] из 5 лемм и 5 теорем диссертанту принадлежат леммы 1-3 и теоремы 1, 2, 3, 5.

8. Апробация результатов диссертации. Основные результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях:

• Первая всероссийская школа по основаниям математики и теории

функций "Математические чтения памяти М.Я. Суслина". Саратов, 1989.

• Международная научная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева. Казань, 1994.

• Школа - конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева. Казань, 1997.

• Десятая межвузовская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, 2000.

• Международная научная конференция "Актуальные проблемы математики и механики". Казань, 2000.

• Казанская международная летняя школа-конференция. Казань, 2001, 2003, 2005, 2007, 2009.

• Международная научная конференция "Геометрическая теория функций и краевые задачи". Казань, 2002.

• 12-я Саратовская зимняя школа. Саратов,2004.

• Международная школа-конференция "Геометрический анализ и его приложения". Волгоград, 2004.

• Международной конференция "Алгебра и анализ". Казань, 2004.

• Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа. Новосибирск, 2007.

• Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева. Новосибирск, 2008.

• 14-я Саратовская зимняя школа, посвященная памяти академика П.Л. Ульянова. Саратов, 2008.

• Шестая Всеросийская научная конференция "Математическое моделирование и краевые задачи"с международным участием. Самара, 2009.

В целом работа доложена на объединенном заседании кафедры ма- . тематического анализа Казанского государственного университета, кафедры теории функций и приближений Казанского государственного университета, кафедры дифференциальных уравнений Казанского го-

сударственного университета и отделения математики НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета.

9. Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 1 монографии, 15 статьях и 19 тезисах докладов.

10. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 12 параграфов и списка литературы, содержащего 135 наименования. Общий объем диссертации составляет 287 страниц.

Содержание работы

Во введении приводится постановка краевой задачи Гильберта: задачи определения аналитической в верхней полуплоскости D функции F(z) по краевому условию на вещественной оси

a(t)ReF(t) - b{t)lmF{t) = c(t), (1)

где a(t), b(t) и с(£)-заданные функции точки контура L = 3D, которые называют коэффициентами и свободным членом задачи. Здесь обосновывается актуальность темы диссертации, приводится обзор предшествующих исследований и результатов автора.

Глава 1 Задача Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов

Глава первая посвящена краевой задаче Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов краевого условия. Методом ре-гуляризующего множителя с аналитическим выделением особенностей коэффициентов получены формулы общего решения задачи Гильберта в ситуациях, когда разрывы коэффициентов краевого условия приводят к конечному, либо к бесконечному индексу.

В §1.1 изучается задача со счетным множеством точек разрыва коэффициентов краевого условия и конечным индексом к. Индекс задачи здесь равен индексу коэффициента краевого условия G(t) = a(t) — ib(t), т.е. деленному на 7г приращению аргумента v(t) функции G(t) при об-

ходе контура L в положительном направлении. Отметим, что с такой комбинацией характеристик ни задача Гильберта, ни задача Римана не рассматривались. Изучены две возможные ситуации. В пунктах 1.1.1, 1.1.2 ряд, составленный из дробных частей скачков функции v(t)/K = argG(i)/7r, G(i) = a(t) — ib(t) сходится и индекс задачи конечен.

В пункте 1.1.1 рассмотрена задача об определении аналитической в верхней полуплоскости D функции F{z) по краевому условию (1), которое выполняется на вещественной оси L всюду, кроме сгущающейся на бесконечности монотонной последовательности точек tд., tk > 0. В этих точках коэффициенты краевого условия a{t), b(t) и свободный член c(t) имеют разрывы первого рода. Всюду в работе точки разрыва коэффициентов удовлетворяют условию E^if1 < +оо. Функции a(t), b(t), c(i)/|G(f)| непрерывны по Гельдеру на каждом интервале (tk,tk+1) включая, концы, причем коэффициенты Гельдера ограничены в совокупности; в окрестности бесконечно удаленной точки условие Гельдера здесь и далее понимается в смысле выполнения неравенства вида |a(t") - a(i')| < K\l/t" - l/i'l7, причем точки t', t" берутся на одном интервале непрерывности коэффициентов краевого условия, и, наконец, c{t)/\G{t)\ = 0(|i|"7), 0 < 7 < 1, при t оо.

Решение задачи (1) ищется в классе аналитических в верхней полуплоскости функций, имеющих интегрируемые особенности в точках f*; и стремящихся к бесконечности порядка меньше единицы при \z\ —> оо по некасательным путям.

При предположении существования конечных пределов

где <p(t) — v{t) — j3(t)ir, j3(t) - кусочно постоянная функция, принимающая целые значения в интервалах (tk,tk+1), при которых число к^ — [<p(tk + 0) — ip(tk — 0)]/7г удовлетворяло неравенству 0 < Кк < 1 и (3(t) — О при 0 < t < ti, определим индекс задачи к так, чтобы считая /3(i) = — к при t < 0, скачок функции (5{t) в точке t = 0 был целым и выполнялось

неравенство 0 < <¿>(—00) — <р(+оо) < 7Г.

00

ым условие Е к=]

00 ,

Р+(г) = Ц(1-к=1 4

непрерывная функция

Считается выполненным условие Е Кк — я-ь вводятся функция

к—1

/ г / г + г

и

+оо

717 -00 т — г

Получена формула канонического решения задачи

в которой /го = 0, если к— четное и ко = — 1, к— нечетное число.

Доказано, что задача имеет стандартную картину разрешимости. Например, пусть к - четное число, — 0. Если к > 0, то однородная задача имеет к + 1 линейно независимых решений, неоднородная задача (1) безусловно разрешима и ее общее решение дается формулой

17Гг—оо т~г ь=1 + \г — г/ -Ч

Ск — Ак + гВк - произвольные комплексные постоянные, Ао — 0.

Если к - четное отрицательное число, то однородная задача неразрешима, а единственное решение неоднородной задачи представляется формулой

Р(г) =__7

у ' Р+(г)(г + г)~+ %> тгг I у при выполнении условий разрешимости

00 I

/с2(г)7-^- 0, к— 0, -К/2 - 1.

Аналогично разобран случай с нечетным к.

т

■кг 1 - т — г'

00

В пункте 1.1.2 рассмотрена задача, коэффициенты краевого условия которой и свободный член c(t), имеют разрывы первого рода в монотонных последовательностях точек {tk}, tk > 0, и {t-k}, t-k < 0, k = 1, оо, limjfc-Kotfc = сю, lim^-^oo t-k — —оо. Как и в предыдущем пункте индекс задачи конечен, ряды, составленные из и из К-к~ дробных частей скачков функции v(t)/тс в последовательностях точек {tk}, {i-i}, сходятся к к+, К- соответственно. Считаются выполненными условия

lim = с_, 1 < с_, lim ^^ = с+, 1 < с+. (3)

к^+оо t-k tk

Вводятся функции P+(z) = п (l- f-Y", =- П (1 - f-)K~k, и

к-1 \ 4/ fc=l *

n\(r) =

О, 0 < т < fi, к-1 п-(т) —

Е Kj, tk-1 < т < tk, j=l

О, 0'< г <-*_!,

fc-l

Е «-J, -i-4+i < -г <

на последние налагаются дополнительные условия

- п1(т) - - <(т) = О < а_(г), а+(г) < Ма, (4)

для некоторого числа ¡3, 0 < /3 < 1, и постоянной Ма.

Здесь изучены свойства введенных для выделения особенностей краевого условия функций Р+(г), Р-(г), в частности, доказано представление

Р+(г) = г^А+(г),

в котором аналитическая в верхней полуплоскости функция А+(г) ограничена и обращается в нуль порядка ктолько в точках 4

В зависимости от индекса получены формулы общего решения, выписаны условия существования и единственности решения, которые имеют традиционный для задачи Гильберта с конечным индексом вид.

В пункте 1.1.3 задача Гильберта рассмотрена в случае, когда коэффициенты краевого условия имеют счетное множество точек разрыва первого рода, причем ряд, составленный из дробных частей скачков функции /7г, расходится, но индекс задачи конечен. Решение задачи ищется в классе аналитических в верхней полуплоскости функций, имеющих

интегрируемые особенности в точках tk и особенность порядка меньше единицы на бесконечности.

Считается выполненным условие (2), последовательность точек удовлетворяет ограничению

I < <4 I > 0, 0 < а < 1 - к+, (5)

существуют числа Д+ > 0, к+ 6 (0,1), такие, что

цт<М = д+; (6)

и для кусочно непрерывной функции е(т) = А+тк+ — п+(т), сходятся несобственные интегралы

/+оо

: Мр < +оо, р > 1. (7)

Ч-оо ^ ч /+оо у

I Е-^±йг = М+ < +оо, I I е{тУ<1т\

Аналитическое выделение счетного числа особенностей у коэффициента краевого условия, записанного в виде

= <8>

проводится при помощи функции Р+{г). Здесь же исследуются асимптотическое поведение Р+{г) при г -> сх> и гладкость граничных значений этой функции. Введя функции

<¿>200 = y(¿)+argP+(¿)-/cooarg(Hг)+7rД+¿к+-к0aгg^-r-K

-« -гоо

= - / т , ' 7Г У г — С

—оо

е-го«С1(4)|Р+(<)||*/(* + ОГ^К* - *)/(< + ¿)1(К0""К)/2

+ г|к°° ехр{7гД+ соз(/с+(тт — в)) / зш(7г«;+)} ' определим искомую функцию при к — «о > 0 формулой

х

где С^ = Ль + гВ^— произвольные постоянные, причем в случае нечет-

ного к должно выполняться равенство

- / + + £ (-1)^ = 0. (10)

(к+1)/2

—со

Если же к — ко— отрицательное число, то определим ^(г) формулой

а в случае к = — 1 еще и равенству (10), в котором все В к равны нулю. Теорема 3 Пусть последовательность точек ^ удовлетворяет условиям (5), существуют конечные пределы (2) и для некоторого числа к+, 0 < к+ < 1, существует отличный от нуля предел (6), функция е(т)

а £ (0,1). Тогда при (к — к0)/2 > 0 решение неоднородной задачи (8) в рассматриваемом классе функций определяется формулой (9), причем при нечетном к с дополнительным условием (10); если к — к® -отрицательное четное, то решение представляется формулой (И) с дополнительными условиями разрешимости в виде системы (12), а при нечетном к еще и с условием (10).

§1.2 посвящен исследованию задачи Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов, в ситуации, когда дробные части

> 0 скачков функции /тх в точках ^ накапливаясь, обращают индекс задачи в плюс бесконечность. Используется метод регуляризующего множителя для краевого условия с предварительным аналитическим выделением особенностей специально построенной аналитической функцией. Считается, что функция п*+(Ь) удовлетворяет условию (6), выводится

/?= -к<>)/2-1, (12)

удовлетворяет условиям (7), функция с(£)/С?(£) удовлетворяет условию Гельдера в любом замкнутом интервале [^,^+1] с показателем

интегральное представление

]nP+(z) = -т±-+ I+(z), I+{z = -z J -±-dr,

Sin 7ГК+ ¿ r(r — г)

где8 I+(reie) = o(rK+), r +00, -ж + 5 < в < 2тг - 5.

При дополнительном ограничении на последовательность точек tk

n*+(tk) - Д+{tk)K+ = A+(ífc+i)K+ - <(ífc) = pt, Pk > 0, (13)

причем

mf{pfc>=PÍ>0, (14)

доказывается более точная асимптотическая оценка.

Лемма 7 При выполнении условий (6), (13), (14) справедливо представление

P+{z) = exp{zK+ я-Д+e~iK+*/ яптгк+}'- ехр{1+(г)}, (15)

в котором функция exp{/+(z)} обращается в нуль порядка кк только в точках tk, k = 1, оо, и является ограниченной в D.

Краевое условие (8) записывается так

Re [e-^F(t)P+ (t)] = hit), (16)

где Vl{t) = <p{t) + argP+(í), ci(í) = c(i)|P+(í)|/|G(í)| cos(/J(í)jr). Определяется аналитическая ограниченная в области D функцию

I» = I JviÍT)-^-.

п J Т — Z

-оо

Рассматривается соответствующая (16) однородная задача, краевое условие которой имеет вид

Imjie"

r+«F(í)P+(í)} = 0. (17)

Решение последней задачи ищется в классе В аналитических в D функций F(z) с ограниченным вблизи точки tj для всех j — 1,2, • • -, произведении \F{z)\\z — tj\K¡, а также в классе Д, функций F(z) с ограниченным в области D произведением |P(2;)|eRe7+^. Справедлива

'Хейман У. Мероморфные функции . - М.: Мир, 1966. - 287 е., С.178

Теорема 5 Для того, чтобы однородная краевая задача (17) имела решение Р(г) класса В* необходимо и достаточно справедливости формулы ге_г+^Р(г)Р+(г) = Ф(г), в которой Ф(г) является целой функцией порядка < к+, удовлетворяющей при больших - неравенствам

и принимающей на Ь вещественные значения.

Теорема 6 Общее решение однородной краевой задачи (17) в классе функций В* определяется формулой

в которой Ф(г) есть произвольная целая функция порядка р§ < к+, принимающая на Ь действительные значения и при = к+ удовлетворяющая неравенствам (18), (19) для достаточно больших \Ь\.

Доказано, что такая задача с индексом равным плюс бесконечность имеет счетное множество линейно независимых решений.

Частное решение неоднородной задачи (16)ищется в классе В* при дополнительном предположении, что с(4) = с(£)/(1-И2), где с(£) - функция ограниченная и удовлетворяющая условию Гельдера на интервалах

(^1^+1)1 к- = 1,оо. Доказано, что в качестве такого решения можно взять функцию

Фх(г) 1 ,С2{т). _ с® \Р+(Ь)\ соз(/?(*)тг)

Р+{г) тг»/т-г ' |(?(4)| ФхС*) ег«(1-И2)'

где $1(2) построенная по специально выбранной последовательности нулей целая функция порядка к+ с заданным поведением на бесконечности, принимающая на Ь вещественные значения.

Теорема 8 Общее решение неоднородной краевой задачи (16) в классе В* представляется как сумма частного решения ^(г) этой задачи и общего решения (20) соответствующей однородной задачи.

Глава 2. Задача Гильберта с неограниченным изменением непрерывной составляющей и счетным множеством то-

чек разрыва коэффициентов

ля на случай задачи Гильберта с неограниченным ростом непрерывной составляющей аргумента коэффициента краевого условия и, как следствие, с бесконечным индексом. Здесь же подробно исследован случай задачи с неограниченным ростом как непрерывной составляющей так и функции скачков аргумента коэффициента краевого условия.

Задача Гильберта для полуплоскости в ситуации, когда коэффициенты краевого условия непрерывны на любом конечном интервале вещественной оси, а индекс задачи обращается в бесконечность в силу степенной или логарифмической особенности функции при Ь —> оо, рассматривалась в работах И.Е. Сандрыгайло9, П.Ю. Алекна10, соответственно, где решение задачи методом Н.И.Мусхелишвили11, сводилось к решению и исследованию более сложной краевой задачи Римана.

В §2.1 метод регуляризующего множителя Ф.Д. Гахова обобщен на случай задачи с бесконечным индексом. Этим методом решена задача Гильберта для полуплоскости с непрерывными на интервале (—оо, +оо) коэффициентами в случае, когда аргумент функции (?(£)

Вначале рассмотрена однородная задача, для которой предложен ре-

9Сандрыгайло И.Е. О краевой задаче Гильберта с бесконечным индексом для полуплоскости// Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. - 1974. - № 6. - С. 16-23.

10Алекна П.Ю. Краевая задача Гильберта с бесконечным индексом логарифмического порядка для полуплоскости// Лит. матем. сб. - 1977. - № 1. - С. 5-12.

пМусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968. - 511 е., С.139-

Вторая глава содержит обобщение метода регуляризующего множите-

v~tp + i>{i), t> О, v+\t\p + v(t), t< О,

(21)

где 0 < /о < 1, v 2 + и+2 ф 0, v(t)~ функция класса Hl(ii).

гуляризующий множитель вида Го^) = И,еГ+(£)

соэ^р) — у+)^р/зт(7гр), .¿>0,

0(«) =

- С05(гср))\Цр/8т{тгр), Ь < О,

тт ■> г — г

—оо

Краевое условие записывается в виде

Яе = О,

(22)

где —Ие1агр— решение задачи Шварца для (¿(Ь) в верхней полуплоскости.

Теорема 11 Общее решение однородной краевой задачи (22) дается формулой

где Ф(г) произвольная целая функция, порядок которой не превосходит р, принимающая вещественные значения на границе области Б подчиненные условию

Полная картина разрешимости задачи (22) составлена для р < 1/2 и содержится в следующей теореме.

Теорема 12 Пусть р < 1/2. Тогда однородная краевая задача а) не имеет нетривиальных ограниченных решений, если соз(7ф) < либо со^(кр) > и~; Ь) имеет единственное решение, если соз(я"р) = и+, 1/+соз(7гр) < V, либо !/+соз(7гр) = и~, соз(я-р) > и+; с) имеет бесконечное множество решений, если со5(кр) >-и+, 1/+'с6з(тгр) <

Утверждение с) теоремы 12 впервые другим методом и в более узком классе ограниченных функций с экспоненциальным убыванием на

(23)

|Ф(«)| <Се^\ С = сотА.

(24)

бесконечности доказаны в работе И.Е. Сандрыгайло12.

Общее решение неоднородной задачи представлено в виде суммы общего решения (23) соответствующей однородной задачи и построенного в пункте 2.1.3 частного решения неоднородной задачи. Нахождению последнего предшествует отыскание канонического решения задачи (22), опирающееся на конструктивное построение целой функции с заявленными свойствами.

В §2.2 изучается задача с краевым условием вида (8), в котором функция имеет непрерывную составляющую с представлением (21), а функцию скачков - с разрывами, образующими расходящийся знакоположительный ряд. Таким образом, здесь рассмотрена задача, объединяющая особенности задач §1.2 и §2.1.

Именно, краевое условие (1) выполняется всюду на Ь, исключая точки

tk, i_b к = 1,оо, 0 < ti < ••• < tk < tk+i < •■■, lim tk = oo,

0 > f_i > • ■ • > i-fc > f-k-i > • • •, lim t-k — —oo. Вводятся бесконечные

fc-> 00

произведения P+(z), P-(z), функция </>i(i) = y>(i)-f argP+(i) + argP_(i), краевое условие (8) записывается так

Re[e~i^F(t)P+(t)P4t)} = c1(t), (25)

где ci(t) = )JС?(i)|^11^F*-!-(¿)11-f3— | cos(/3(i)7r). В предположении справедливости для функции <pi(t) представления (21), условий

hm ' = А+, lim —— = Д_,

Х-Ц-00 ХК+ £-++00 ХК~

. с положительными постоянными Д+, Д_, 0 < к- < 1, 0 < к+ < 1, и дополнительным ограничением симметрии вида (13), формулируются теоремы.

Теорема 21 Для того, чтобы однородная краевая задача в классе В имела решение F(z), необходимо и достаточно справедливости для

"Сандрыгайло И.Е. О краевой задаче Гильберта с бесконечным индексом для полуплоскости// Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. - 1974. - № 6. - С. 16-23.

этого решения формулы

Ф(г) = (26)

в которой Ф(г)- целая функция, принимающая действительные значения на Ь.

Решение однородной задачи, соответствующей (25), будем искать в классе В функций с ограниченным произведением

Теорема 22 Для того, чтобы однородная краевая задача при р > шах{к+,к_} имела решение Р(л) класса В необходимо и достаточно, чтобы для Р(дг) выполнялась формула (26) с целой функцией Ф(г) порядка рр < р, удовлетворяющей условию 1тФ+(£) = 0, Ь £ Ь, и на контуре Ь для достаточно больших неравенствам

|/~С05 {пр)-У+ ¿ц 1гА+СОв(*+д) к яД-

|Ф^)| < Се ¡ВД е "'"("н) , г > о,

|Ф(г)) < Се .«>°М е .¡»с«-) 141 , * < о.

При различных значениях параметров р, к+, изучена разрешимость однородной задачи в классе функций с особенностями интегрируемого порядка в точках разрыва коэффициентов и с заданным асимптотическим поведением на бесконечности, а так же в классе ограниченных функций. Например, доказана

Теорема 25 Если — р+ < 0, р > шах{к+, то однородная краевая задача в классе В имеет только нулевое решение.

Получены формулы общего решения и исследована разрешимость неоднородной задачи (25) в указанных классах функций в ситуациях, когда

К+ — К— И К+ ф К—

Глава 3. Решение некоторых обратных и обратных смешанных задач

В третьей главе приведены применения результатов первых двух глав к некоторым обратным и смешанным обратным краевым задачам. Смешанная обратная краевая задача - задача об отыскании области с частично неизвестной границей и аналитической в этой области функции

по заданным граничным условиям. Такая задача по параметру х была поставлена и исследована В.Н. Монаховым13 , выделившим важный частный случай, когда известная часть границы искомой области является полигоном. Использовав полученные для этого частного случая результаты при помощи аппроксимации В.Н. Монахов исследовал разрешимость обратной смешанной краевой задачи с заданным произвольным спрямляемым участком границы. Дальнейшее развитие данное направление получило в работах С.Р. Насырова14 и С.Р. Тлюстен15. В статье16 поставлена и решена задача, отличающаяся от задачи В.Н. Монахова тем, что полигон здесь определен не полностью: неизвестны длины отрезков ломаной. Это позволило применить метод решения, значительно снижающий жесткие ограничения на углы полигона.

Ниже предлагаются обобщения задачи из работы16 на случай счетного множества вершин полигона и на случай решетки контуров. В частности, получено обобщение (на случай бесконечного числа вершин) одной обратной задачи М.А. Лаврентьева о построении конформного отображения полуплоскости с заданными прообразами вершин на многоугольник с заданными внутренними углами при неизвестных вершинах.

В §3.1 рассматривается одна обратная смешанная краевая задача об определении области и аналитической в этой области функции, отображающей £)г на заданную область £)ш, если известно, что часть границы Дг есть полигон с заданными углами при счетном множестве неизвестных вершин, известны точки на образы неизвестных вершин, на другой части искомого контура дБг заданы краевые значения искомой аналитической функции в виде последовательности функций пере-

13Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. - Новосибирск: Наука, 1977. - 424 е., С. 108.

14Насыров С.Р. Смешанная обратная краевая задача на римановых поверхностях// Изв. вузов. Математика. - 1990. - № 10. - С. 25-36.

15Тлюстен С.Р. Смешанная краевая задача со свободной границей в неоднолистных областях// Динамика сплошной среды. - Новосибирск, 1986. - № 76. - С. 148-156.

16Салимов Р.Б., Стрежнева Е.В. К решению обратной смешанной краевой задачи// Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1992. - Вып. 27. - С. 95-117.

менной х — Re г. Получено общее решение этой задачи.

В §3.2 рассмотрена задача о построении конформного отображения полуплоскости на многоугольник, если заданы величины углов при неизвестных вершинах и прообразы вершин на вещественной оси в случае счетного множества вершин. В случае конечного числа вершин такая обратная задача рассмотрена М.А. Лаврентьевым

Пусть {ijJ, {t-k}> к = 1, оо,- заданные последовательности точек вещественной оси, сходящиеся к +оо, —оо соответственно, —оо < ... < < ... < t-i < t0 < ti < ... < tk < ... < +oo, i0 = 0. Заданы последовательности действительных чисел 6 (0,1), ак G (0,1), к — 1, оо. Требуется определить функцию, конформно отображающую полуплоскость G — {С = £ + "7,77 > 0} на многоугольник Dz в плоскости л = x+iy, внутренний угол которого при вершине Ак (^-fc), отвечающей точке tk {t-k) действительной оси плоскости £ равен актг (а_*7г).

Разобраны две ситуации: в одном случае более жесткие ограничения налагаются на углы многоугольника, в другом - на прообразы вершин. Так, например в предположении существования конечных пределов

к к lim У* к,- = к+, lim У] к—j =

для последовательностей чисел кк = 1 — о:*;, к~к = 1 — условий (3), (4), и ограничений 0 < т+ < + к+ — 1, 0 < т_ < к- + к+ — 1 на показатели сходимости последовательностей {i^}, {t-k}, доказана следующая формула для искомого отображения

I п (1 - С/М п (1 - ( Ь)

К - произвольная комплексная постоянная, Д> 6 (-1/2,1/2), распространяющая на случай счетного числа вершин многоугольника известный интеграл Шварца-Кристофеля.

17Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1973. - 736 е., С. 179

§3.3 посвящен решению внешней обратной краевой задачи по определению области Dz, содержащей бесконечно удаленную точку с границей Lz = L\\jL2z и аналитическую в этой области функцию w(z) по заданным в виде функции при комбинации параметров на неизвестной границе искомой области краевым значениям w(z).

В частности, здесь рассмотрена следующая задача. Требуется найти форму замкнутого жорданова контура Lz, если на нем значения функции w(z) заданы в виде

w = <р*(9) + гф*(в), а < в <2тт — ß, на L2, где в = arg z, причем 0 < а < к/2, 0 < ß < к/2,

w = <р(у) + гф(у), -Ь<у < Ь, на L\, и эти значения в плоскости w определяют замкнутый жордановый контур Lw.

Для решения этой задачи мы не можем воспользоваться известными результатами18, т.к. здесь отображение единичного круга на искомую область Dz обязано иметь простой полюс. Решение задачи сводится к решению одной краевой задачи Гильберта с кусочно непрерывными коэффициентами. Получена формула решения задачи. Доказаны условия однолистности решения.

Обратная смешанная задача для решетки контуров решена в §3.4. Здесь требуется определить бесконечно связную область Dz, т.е. контур и шаг решетки, и аналитическую в этой области функцию w(z) по заданному образу Dw = w{Dz), в случае, когда часть искомого контура является полигоном с заданными углами при неизвестных вершинах, на dDw заданы образы вершин при искомом отображении, а на оставшейся части искомого контура заданы краевые значения функции w(z) в виде функции переменной х — Rez. Получены формулы, дающие решение задачи, доказаны достаточные и необходимые условия разрешимости. Результаты этого параграфа обобщают на случай бесконечносвязной об-

18Мусхелишвшга Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968. - 511 е., С.308-313

ласти с периодической границей результаты статьи Р.Б. Салимова и Е.В. Стрежневой19

Глава 4. Некоторые геометрические свойства аналитических функций

Глава 4 содержит результаты исследований в следующем направлении. Часто решение прикладных краевых задач с неизвестными границами на плоскости сводится к отысканию конформного отображения заданной области на искомую. При этом производная искомой функции определяется как решение некоторой краевой задачи. По физическому смыслу задач искомые области должны быть однолистными. Для обеспечения последнего требуется создание критериев однолистности аналитических функций в различных областях и обоснования с их помощью критериев однолистности отображений по характеристикам краевых значений этих отображений. В качестве таких характеристик часто выступают ограничения на гладкость краевых значений.

Л.А. Аксентьевым20 дана формулировка сильной и слабой проблем однолистной разрешимости обратных краевых задач. Первая проблема заключается в определении ограничений на краевые условия, которые гарантируют однолистность решения обратной краевой задачи. Для решения этой задачи нужны условия в различных областях, тогда как при решении слабой проблемы однолистности требуются условия в канонических областях, так как слабая проблема предполагает знание функции Римана области.

§4.1 посвящен созданию достаточных условий однолистности функций аналитических в звездных и выпуклых областях Б. Условия имеют вид ограничений на скорость роста отношения \f"{w)/f'(w)\ в терминах коэффициента гиперболической метрики. Доказательства основаны на продолжении функции из области до квазиконформного отоб-

19Салимов Р.Б., Стрежнева Е.В. К решению обратной смешанной краевой задачи// Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1992. - Вып. 27. - С. 95-117.

20Аксентьев Л.А. Об однолистной разрешимости обратных краевых задач// Тр. семин. по краев, задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та. 1973. - Вып. 10, С. 11 - 24.

ражения всей цлоскости на себя с последующим применением теоремы Адамара. Данный метод разработан в трудах Альфорса и Вейля 21, Геринга22 и развит в работах Ф.Г. Авхадиева и других авторов (см. обзор23). Для примера приведем следующий результат.

Пусть область Д)(а), dDo(a) = Lo, получается как образ верхней полуплоскости D = {( : Im£ > 0} при отображении аналитической функцией w(C), удовлетворяющей условию

СХ7Г

|argw/(C)| < —, 0 < а < 1.

Пусть f(w) - аналитическая в области А)(а) функция, такая, что lim[/(w)/w] > 0, Pd{w) ~ коэффициент гиперболической метрики области D в точке w е D, A[D0(a)] = it/2ßtg(ß/2), ß = (1 - а)тг/2. Если в каждой точке w 6 Dß(a) выполняется неравенство

/» < kPM*)H w_areu. к<1

tu \ — л гп / м 1 у — argw, к < 1,

то f(w) однолистна в Do(a) и допускает K-квазиконформное продолжение (К — (1 + к)/( 1 — к)) на всю плоскость.

Этот параграф содержит также некоторые новые достаточные условия однолистности аналитических в единичном круге Е функций.

Известно24, что если аналитическая в единичном круге Е функция удовлетворяет условию

I f"(C) Г 1

се£' <27)

то она однолистна в Е.

21Ahlfors L.V., Weil G. А uniqueness theorem for Beltrami equations// Proc. Amer. Math. Soc. -1962. - V. 13. - № 6. - P. 975-978.

22Gehring F.W. Univalent functions and the Schwarzian derivative// Comment. math. helv. 1977, v.52, № 4, p.561 - 572.

23Авхадиев Ф.Г., Аксентьев JI.А., Елизаров А.М. Достаточные условия конечнолистности аналитических функций и их приложения// Итоги науки и техники. Серия "Матем. анализ". - M.: ВИНИТИ, 1987. - Т. 25. - С. 3-121.

24Becker. J. Löwnersche Differentialgleichung und quasikonform fortset-zbare schlichte Funktionen// J. Reine und Angew. Math. V, 255 (1972), S. 23-43.

Пусть теперь функция /(£) аналитична в единичном круге Е и удовлетворяет условию Беккера (27) не во всем круге Е, а в некотором кольце E[q, 1) = {С : q < |( < 1}. Ясно, что функция, удовлетворяющая такому условию будет конечнолистной. Возникает вопрос, как дополнительно характеризовать f(Q в оставшейся части круга Eq = {£ : |С| < q}, чтобы гарантировать однолистность /(£) в Е. Пример функции еа<% а > тг показывает, что, вообще говоря, для этого, недостаточно требовать просто однолистности /(С) в Eq. Поэтому будем предполагать, что кроме неравенства Беккера в E[q, 1) функция /(() будет удовлетворять некоторым аналитическим условиям в Eq. Справедлива

Теорема 48 Если аналитическая в Е функция /(С)> /(0) = 0, /'(0) = 1, удовлетворяет условиям .

то /(£) будет однолистной в Е.

Отметим, что условия однолистности такого типа позволяют дополнительно характеризовать геометрические свойства однолистного отображения внутри круга.

В §4.2 решается задача о продолжимости условия Гельдера с границы внутрь произвольной односвязной области для гармонической в этой области и непрерывной вплоть до границы функции. Введена характеристика области в терминах которой сформулировано достаточное условие совпадения показателя в условии Гельдера на границе и внутри области, т.е. рассмотрен вопрос о выполнении неравенства

для гармонической в односвязной ограниченной области й и непрерывной в С? функции [/(г), удовлетворяющей на границе области условию Гельдера с тем же показателем а.

\ardf(0\ < arccos q, ( G Eq,

<

- U(z2)\ < K\zi - V*!,Z2 e G,

В единичном круге такой результат для произвольного показателя а 6 (0,1) доказан И.И. Приваловым25 и обобщен П.М. Тамразовым26 на случай модуля непрерывности w(U,t) = sup \Ufa) — Ufa)], \z\ — zi\ < t, удовлетворяющего условию

} w(U, t)

/ ' 'dt < +00. о t

На произвольную односвязную область при существенных ограничениях на модуль непрерывности результат распространен в работе27. В случае односвязной области с квазиконформной границей контурно телесные свойства гармонических функций изучались В.В. Андриевским28.

Для произвольной односвязной ограниченной области G введем следующую характеристику

шев 21 ' z'{w) I

z{w)— функция Римана области G. Известно, что /3 < 2. Нетрудно убедиться в справедливости неравенства ¡3 > 1. Справедлива

Теорема 53 Если функция U(z), гармоническая в области G и непрерывная в G удовлетворяет условию

№)-£/(C2)|<ir|Ci-C2|a, 0<a<-i vCi,<2 е 8G, то справедливо неравенство

а'

Следует отметить, что из результатов Элгина Джонстона следует, что

с границы внутрь области всегда продолжается условие Гельдера с показателем а < 1/2.

]Ufa) -Ufa)] < K(l + -)K2(a) |Zl - Vzi, ъ 6 G.

25Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. 2-е изд. М.: 1966.628 е., С. 400

2бТамразов П.М. Гладкости и полиноминальные приближения. Киев, 1975. 271 е., С.127

27Elgin Н. Johnston The boundary modulus of continuity of harmonic functions// Pacific Journal of math. - 1980, v. 90, № 1. - P. 87-98.

28Андриевский В.В. О контурно-телесных свойствах гармонических функций// Изв. вузов. Математика. - 1990. - № 12. - С. 13-21.

Результаты §4.1. находят применение в следующем §4.3 при обосновании критерия однолистности общего решения обратной краевой задачи теории аналитических функций, которое представляет собой семейство областей, определяемых отображением круга Е функциями вида29 (см. также30)

Здесь суммируемая функция р(в) определяется по граничным значениям задачи с использованием функции Римана области Dw, ограниченной кривой с заданным уравнением в натуральном параметре. Невозрас-тающая непрерывная с производной, почти везде равной нулю, функция vs{9) выбирается произвольно. Однолистность отображения (28) с vs{0) ф const впервые исследовалась в работе31, где доказано существование постоянных fc0, 0 < fco = &о(г(0) и ks, ks = ^(¿(С)) таких, что включение в класс квазигладких функций Зигмунда v{9) € {v{0) € AfcJ является достаточным (необходимым) условием однолистности z(() в Е. В данном параграфе обоснованы оценки 1/3,37 < ко < ks < 21, являющиеся этапом исследований в данном направлении, где лучший результат 7г2/20 < fco < ks < 12 принадлежит Ф.Г.Авхадиеву 32.

§4.4 содержит ряд результатов по однолистной разрешимости обратной смешанной краевой задачи по параметру х. В теореме 61 приведено достаточное условие однолистности решения указанной задачи, выраженное непосредственно через исходные данные. Формулировки еще

29Гахов Ф.Д. Об обратных краевых задачах// Ученые записки КГУ. - 1953. Т. 113. - кн. 10. С. 9-20.

30Андрианов С.Н. О существовании и числе решений обратной краевой задачи теории аналитических функций// Ученые записки КГУ. - 1953. Т. 113. - кн. 10. С. 21-30.

3IDuren P., Shapiro М., Shields A. Singular measures and domains not of Smirnov tupe// Duke Math. J. - 1966. - 33:2. - P. 247-254.

32Авхадиев Ф.Г. Оценки в классе Зигмунда и их применение к краевым задачам// ДАН СССР. - 1989. - Т. 307.-№ 6. - С. 1289-1292.

С

(28)

трех утверждений этого параграфа предполагают знание функции Ри-мана заданной в условии задачи области £>ш.

Автор выражает глубокую благодарность Р.Б. Салимову за постоянное внимание к работе.

Основные публикации автора по теме диссертации в журналах из официального перечня ВАК

[1] Абубакиров Н.Р. Внешняя обратная краевая задача при комбинировании двух параметров из декартовых координат и полярного угла / Н.Р. Абубакиров, Р.Б. Салимов, П.Л. Шабалин // Изв. вузов. Математика. - 2001. - № 10. - С. 3-9.

[2] Аксентьев Л.А. Условия однолистности с квазиконформным продолжением и их применение / Л.А. Аксентьев, П.Л. Шабалин // Изв. вузов. Математика. - 1983. - № 2. - С. 6-14. .

[3] Салимов Р.Б. Однолистная разрешимость одной обратной смешанной краевой задачи/ Р.Б. Салимов, Е.В. Насырова, П.Л. Шабалин // Изв. вузов. Математика. - 1998. - № 4. - С. 78-82.

[4] Салимов Р.Б. Обратная смешанная краевая задача для бесконеч-носвязной области с периодической границей / Р.Б. Салимов, П.Л. Шабалин // Изв. вузов. Математика. - 1996. - № 6. - С. 80-83.

[5] Салимов Р.Б. Метод регуляризующего множителя для решения однородной задачи Гильберта с бесконечным индексом / Р.Б. Салимов, П.Л. Шабалин // Изв. вузов. Математика. - 2001. - № 4. - С. 76-79.

[6] Салимов Р.Б. К решению задачи Гильберта с бесконечным индексом / Р.Б. Салимов, Шабалин П.Л. // Матем. заметки. - 2003. - Т. 73. -Вып. 5. - С. 724-734.

[7] Салимов Р,Б. Задача Гильберта. Случай бесконечного множества точек разрыва коэффициентов / Р.Б. Салимов, П.Л. Шабалин // Сиб. матем. журн. -2008. - Т. 49. - № 4. - С.898-915.

[8] Салимов Р.Б. Отображение полуплоскости на многоугольник с бес-

конечным числом вершин / Р.Б. Салимов, П.Л. Шабалин // Изв. вузов. Математика. - 2009. - № 10. - С. 76-80.

[9] Шабалин П.Л. Об однолистности общего решения внутренней обратной краевой задачи / П.Л. Шабалин // Изв. вузов. Математика. -1975. - № 12. - С. 92-95.

[10] Шабалин П.Л. О продолжимости с границы внутрь области условия Гельдера для гармонических функций / П.Л. Шабалин // Изв. вузов. Математика. - 1986. - № 10. - С. 82-84.

[11] Шабалин П.Л. Один случай задачи Гильберта с особенностями коэффициентов/ П.Л. Шабалин // Известия Сарат. ун-та. Новая сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. - Т. 9. -вып. 1. - С. 58-67.

(Прочие публикации)

[12] Аксентьев Л.А. Условия однолистности в звездных и выпуклых областях / Л.А. Аксентьев, П.Л. Шабалин // Тр. семин. по краев, задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1983. - Вып. 20. - С. 35-42.

[13] Aksent'ev L.A. Sufficient conditions for univalence and quasiconformal extendibility of analytic functions / L.A. Aksent'ev, P.L. Shabalin // Handbook of Complex Analysis, Vol. 1: Geometric Function Theory. Edited bu R.Kühnau, Martin-Luther-Universität, Halle, Germany, 2002,- S. 169-206.

[14] Салимов Р.Б. Краевая задача Гильберта теории аналитических функций и ее приложения / Р.Б. Салимов, П.Л. Шабалин. - Казань: Изд-во Казанск. мат. о-ва, 2005. - 297 с.

[15] Севодин М.А. Об улучшении разделяющих постоянных в критерии однолистности решения одной обратной краевой задачи / М.А. Севодин, П.Л. Шабалин // Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. - Вып. 17. - С. 167-179.

[16] Шабалин П.Л. Классы однолистности и области В.И. Смирнова / П.Л. Шабалин // Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1979. - Вып. 16. - С. 218-226.

Подписано в печать

Заказ 510. Печать ризографическая Усл.-печ.л.1,8

Тираж 120 экз. Бумага офсетная № 1 Формат 60x84/16

Печатно-множительный отдел КГАСУ 420043, Казань, Зеленая, 1 .

Введение

Глава 1. Задача Гильберта со сче тным множеством точек разрыва коэффициентов

1.1 Задача Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов и конечным индексом.

1.1.1 Задача Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов в случае сходимости ряда из скачков аргумента коэффициента

1.1.2 Задача Гильберта с разрывами коэффициентов в двух последовательностях точек и конечным индексом

1.1.3 Задача Гильберта с конечным индексом в случае расходимости ряда из скачков аргумента коэффициента

1.2 Случай бесконечного индекса и счетного множества точек разрыва коэффициентов

1.2.1 Асимптотическое поведение и гладкость функции P+(z)

1.2.2 Картина разрешимости однородной задачи

1.2.3 Решение неоднородной задачи

Глава 2. Задача Гильберта с неограниченным изменением непрерывной составляющей arg G{t) и счетным множеством точек разрыва коэффициентов

2.1 Задача Гильберта с бесконечным индексом степенного типа

2.1.1 Решение однородной задачи Гильберта с бесконечным индексом степенного типа

2.1.2 Построение канонического решения однородной задачи

2.1.3 Решение неоднородной задачи

2.2 Задача Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов и неограниченным изменением непрерывной составляющей arg G(t)

2.2.1 Постановка задачи

2.2.2 Решение однородной задачи в классах функций с особенностями в точках разрыва коэффициентов

2.2.3 Решение неоднородной задачи при к+ = к,

2.2.4 Решение неоднородной задачи при к+ ф

2.2.5 Решение однородной задачи, ограниченное в точках разрыва коэффициентов

2.2.6 Решение неоднородной задачи в классе В*

Глава 3. Решение некоторых обратных и обратных смешанных задач

3.1 Решение одной обратной смешанной краевой задачи

3.2 Обратная задача Лаврентьева М.А. об отображении на полуплоскость многоугольника с бесконечным числом вершин

3.2.1 Случай ограничений на углы при вершинах многоугольника

3.2.2 Отображение многоугольника при ограничениях на прообразы вершин

3.3 Внешняя обратная задача в случае нескольких параметров

3.3.1 Внешняя обратная краевая задача для параметров х, у

3.3.2 Внешняя обратная краевая задача для параметров 0, у

3.4 Обратная смешанная задача для бесконечносвязной области

Глава 4. Некоторые геометрические свойства аналитических функций

4.1 Условия однолистности с квазиконформным продолжением и их применение

4.1.1 Однолистность функций, аналитических в звездообразных областях

4.1.2 Условия однолистности в выпуклых областях

4.2 О продолжимости с границы внутрь области условия Гельдера для гармонических функций

4.3 Критерий однолистности решения обратной краевой задачи

4.4 Однолистная разрешимость обратной смешанной краевой задачи по параметру х

Диссертация посвящена разработке методов решения краевой задачи Гильберта теории аналитических функции в ситуациях, когда индекс задачи может обращаться в бесконечность и применению указанных методов к решению и исследованию свойств решений некоторых обратных и смешанных обратных краевых задач.

Краевая задача Гильберта принадлежит к числу основных краевых задач теории аналитических функций и является самой старой из задач этого типа. Впервые отчетливая формулировка задачи Гильберта была приведена в работе [134] в 1883 г. и содержит проблему определения аналитической в заданной области D функции F(z) по краевому условию вида a(t)ReF(t) - b(t)lmF(t) = c(t), (0.1) где a(t), b(t), с(£)-задаипые функции точки контура L = 3D, которые называют коэффициентами задачи. Будем считать выполненным условие a2{t) + b2{t) ^0. (0.2)

Задача (0.1) называется неоднородной, а условие a(t)ReF(t) - b(t)lmF(t) = 0, (0.3) является краевым условием соответствующей (0.1) однородной задачи.

Полное решение рассматриваемой краевой задачи ( в случае непрерывных коэффициентов и в классе функций аналитических в D и непрерывных вплоть до границы) дал Гильберт: в работе [127] исследование задачи приведено к изучению сингулярного интегрального уравнения, но уже в следующей его работе [128] решение сведено к последовательному решению двух задач Дирихле. В связи с этим принципиальным этапом явилась работа Нётера [131], в которой уже решение краевой задачи Гильберта использовалось для исследования особых интегральных уравнений. Теория разрешимости различных обобщений классической постановки задачи Гильберта развивалась методологически по двум направлениям: решение задачи методом сведения к краевой задаче Римана, дано Н.И. Мусхелишвили ([58], с. 140-145, 302-308); решение задачи методом преобразования краевых условий задачи Гильберта к краевому условию обобщенной задачи Шварца предложено Гильбертом [128]. Последний метод для непрерывных по Гельдеру коэффициентов был развит Ф.Д. Гаховым (см. [31], с.273-280) и получил название метода регуляри-зующего множителя. На случай кусочно гельдеровых коэффициентов с конечным множеством точек разрыва этот метод обобщен в работах [106], (см. также [107]), [68], (см. также [84], с.13-18).

Оказалось, что важной характеристикой этой задачи, в терминах которой часто полностью описывается картина разрешимости, является индекс задачи, т.е. деленное на 7Г приращение вдоль L функции v{t) = arg G(t), где коэффициент G(t) = a(t) — ib(t). Именно индекс задачи задает порядок полиномов, с точностью до которых определяется общее решение ( в случае конечного положительного индекса) однородной и неоднородной задач и число условий разрешимости (в случае отрицательного индекса) для единственного решения неоднородной задачи.

Первые результаты по краевым задачам с бесконечным индексом были получены в начале 60-х годов. Н.В. Говоров вывел формулы общего решения и провел полное исследования разрешимости задачи Римана в следующей постановке.

В плоскости с разрезом по уходящей в бесконечность разомкнутой кривой Ляпунова (чаще - лучу 1 < t < +оо) ищется аналитическая функция Ф(^), допускающая непрерывное продолжение на границу как слева (Ф+(£)), так и справа (Ф~(£)) по краевому условию в котором аргумент коэффициента задачи - непрерывная по Гельдеру функция, имеющая в бесконечно удаленной точке степенную особенность произвольного порядка, a ln|G(t)|, g(t)— гладкие ограниченные функции. Эта задача рассматривалась в классе ограниченных функций, а так же в классе ограниченных функций вполне регулярного роста в плоскости с указанным разрезом.

Основополагающие результаты Н.В. Говорова [34] - [38] послужили толчком к бурному развитию теории краевых задач для аналитических функций с различными случаями вырождения индекса. П.Г. Юров [116], [117] исследовал задачу Римана так же на луче 1 < t < +оо, но с бесконечным индексом логарифмического порядка, т.е. когда arg G(t) = 0(lna t), t +oo, a > 0.

В работах М.Э. Толочко [100], [101], [102] изучена задача Римана с бесконечным индексом степенного порядка 0 < р < 1 для полуплоскости (т.е. краевое условие задачи Римана задается на вещественной оси) в случае двустороннего завихрения, когда argG(t) — 27г<^(£)|£|р. Здесь впервые возник случай неопределенно бесконечного индекса когда aigG{t) стремится к бесконечности одинаковых знаков при t ±оо. Получены необходимые и указаны достаточные условия разрешимости однородной задачи Римана в классе ограниченных функций.

Однородную задачу Римана для полуплоскости с бесконечным индексом произвольного степенного порядка завихрения исследовал И.Е. Сандрыгайло [93], [94]. Впервые был рассмотрен случай неограниченного роста модуля коэффициента краевого условия In = 0{\t\p).

Работы П.Г. Юрова на случай замкнутого контура (вещественная ось) и двустороннего завихрения логарифмического порядка распространил П.Ю. Алекна [12], [13].

Краевые задачи (в том числе со сдвигом) с конечным числом точек завихрения [15], [16] и с многосторонней точкой завихрения [17] исследовал А.Г. Алехно. Им получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Римана с указанными особенностями.

Исследования задачи Римана на луче [0, оо) с бесконечным индексом степенно-логарифмического порядка проведены Л.И. Чибриковой [109], [110]. Задача решена в классе функций, имеющих заданный индикатор роста.

Эти результаты распространены Ф.Н. Гарифьяновым [28], [29] на случай неограниченных контуров специального вида. Оригинальность метода последних работ связана еще и с распространением на плоскость с криволинейным разрезом понятий характеристик функций, аналитических внутри угла.

Краевая задача Римана с бесконечным индексом на различных классах жордановых кривых изучалась в работах А.Г. Алехно [15], Б.А. Каца [45], [46], И.В. Островского [61].

В работе В.Н. Монахова, Е.В. Семенко [54] исследована задача Римана на вещественной оси в классе Нр, р > 1, причем коэффициент краевого условия имеет вид G(t) = Go(t)ete^\ lnGo(t) G Са, a > 0, монотонная функция 9(t) £ С1+а(—i?, R) с коэффициентом Гельдера К {В) = 0(i?A-1), X > р — 1,/? > 0, ис равномерной оценкой производной mo < < т■ Работа [55] посвящена описанию картины разрешимости задачи Римана с бесконечным индексом на вещественной оси в терминах класса корректности коэффициента краевого условия, введенного в [53], см. также ([56], гл. 3).

Ситуацию, когда индекс задачи Римана обращается в бесконечность из-за счетного множества точек разрыва коэффициента впервые рассмотрела М.И. Журавлева. В [41] исследована однородная задача Римана на луче [1, оо) с бесконечным индексом и счетным множеством нулей и полюсов целого порядка у коэффициента краевого условия, в статье [43] рассмотрена соответствующая неоднородная задача. Отметим, что рассмотренные здесь разрывы аргумента коэффициента являются нехарактерными для задачи Гильберта, в которой ^ 0. Поэтому использование этих результатов для решения задачи Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов бесперспективно. В работе [42] анонсированы результаты по однородной задаче Римана со счетным множеством разрывов первого рода у аргумента коэффициента и бесконечным индексом степенного порядка р < 1/2. Следует отметить, что в последней работе ограничения на величину скачков и расположение на вещественной оси точек разрыва налагаются неявно, по существу, заданием асимптотического поведения функции arg G(t), что снижает ценность результата. Исследования этой работы распространены в работах [18], [19] на контуры более сложного вида.

Задача Гильберта для полуплоскости с бесконечным индексом степенного или логарифмического типов, обусловленного соответствующим завихрением функции arg G(t) на бесконечности, и непрерывными на любом конечном интервале коэффициентами исследовалась в работах [92], [14] путем сведения её к соответствующей задаче Римана методом Н. И. Мусхелишвили ([58], с. 139-150). Этот метод в случае полуплоскости заключался в доопределении искомой аналитической и ограниченной в верхней полуплоскости функции F(z) = Ф+(г) по симметрии в нижней полуплоскости по формуле при котором краевое условие (0.1) может быть переписано в виде

Теперь решение задачи Гильберта (0.1) равносильно нахождению всех решений задачи Римана (0.4), удовлетворяющих дополнительному ограничению (0.5).

Краевую задачу Гильберта с бесконечным индексом степенного порядка меньше единицы для полуплоскости впервые рассмотрел по предф-(^) = -Ф+р)

0.4)

0.5) ложению Ф.Д. Гахова в 1974 году И.Е. Сандрыгайло, который предполагал [92], что в краевом условии однородной задачи argG(t) = ir(p(t)\t\p, О < р < 1, <p(t) Е Dp, р > 1, </?(—оо) = Ai, уз(+оо) = А2. Решение однородной задачи проведено методом Н. И. Мусхелиптвили в классе функций экспоненциального порядка р убывания на бесконечности. Здесь Dp— класс функций, удовлетворяющих условию \(p(ti) — <£>(^2)! < A ln~p т > 2с, если ii, Ь € [-с, с], с> О, и \<p(ti)-ip{t2)\ < АЫ~Р L*tL d> если ti,t2 ЕЕ (—00,—с] или [с, +оо). Неоднородную задачу И.Е. Сандрыгайло исследовал при несколько иных ограничениях, решение искал в классе ограниченных функций, существенно опираясь на результаты М.Э. Толочко по краевой задаче Римана для полуплоскости с бесконечным индексом степенного порядка р 6 (0,1).

Задачу Гильберта с бесконечным индексом логарифмического порядка, обусловленным соответствующей особенностью в бесконечно удаленной точке непрерывной на любом конечном интервале функции arg[a(i) + ib(t)], методом Н.И. Мусхелишвили решил П.Ю. Алекна [14] в случае, когда коэффициенты краевого условия удовлетворяют следующим ограничениям. Функция arg G{t) (в наших обозначениях) для любого R, R > О, и некоторых положительных чисел а: (5 имеет представление в котором функция ip\{t) Е Dfl на промежутке (—00, — R), р > а + 1, и <pi(—00) = Ai, а функция ср2(t) Е Dv для t Е (Я, +оо), и > (3 + 1, и

В диссертации предложен иной, примыкающий к методу Ф.Д. Гахова подход к решению задачи Гильберта, основанный на конструктивном (с аналитическим выделением особенностей) построении решения однородной задачи, которое применяется для нахождения общего решения arg G(t) =

-¥>i(f)lna|f|, t<-R

P2(+00) = A2, причем Af + A2 Ф 0. неоднородной задачи Гильберта.

В нашей работе [76] однородная задача Гильберта с бесконечным индексом того же типа, что и в [92] решалась непосредственно (без использования решения соответствую!цен задачи Римана с бесконечным индексом ) путем нетривиального обобщения на рассматриваемый случай метода регуляризующего множителя, разработанного Ф. Д. Гаховым и развитого в работах других авторов (см. библиографию к [76]) для задачи Гильберта с конечным индексом.

Предложенный в [76] метод с одной стороны позволил более полно по сравнению с [92] описать кар тину разрешимости задачи (особенно в случае р < 1/2 ), а с другой стороны оказался перспективным для решения более сложной задачи с бесконечным индексом и счетным множеством точек разрыва коэффициентов. Элементы этого метода присутствуют и при решении некоторых обратных и обратных смешанных краевых задач, а так же при построении конформных отображений полуплоскости.

Первая глава содержит решение и исследование разрешимости краевой задачи Гильберта теории аналитических функций для полуплоскости с некоторыми особенностями коэффициентов. В параграфе 1 изучается задача со счетным множеством точек разрыва коэффициентов краевого условия (0.1) и конечным индексом. Отметим, что с такой комбинацией характеристик ни задача Гильберта, ни задача Римана не рассматривались. Изучены две возможные ситуации: 1) ряд, составленный из скачков функции v{t) = arg G(t) сходится и индекс задачи конечен [115]; 2) указанный ряд расходится, но индекс задачи конечен [88], [86]. Аналитическое выделение счетного числа особенностей у коэффициента краевого условия, которое запишем так проводится при помощи специально построенной функции P+(z). Здесь же исследуются асимптотическое поведение P+(z) при z -л оо и глад

0.6) кость граничных значений этой функции в обеих ситуациях.

Параграф 2 посвящен исследованию задачи Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов, в ситуации, когда скачки функции v{f) = argG(t) накапливаясь, обращают индекс задачи в плюс бесконечность. Метод решения - регуляризация краевого условия с предварительным аналитическим выделением особенностей специально построенной аналитической функцией [88]. В терминах характеристик множества точек разрыва изучаются свойства этой функции.

Вторая глава посвящена исследованию задачи Гильберта в случае неограниченного изменения непрерывной составляющей функции arg G{t) В параграфе 3 метод регуляризующего множителя Ф.Д. Гахова впервые обобщен на случай задачи с бесконечным индексом. Этим методом решена задача Гильберта для полуплоскости с непрерывными на интервале (—оо,-|-оо) коэффициентами в случае, когда аргумент коэффициента краевого условия

Iv~tp + t > О,

0.7)

I/+It\p + v(t), i<0,

2 2 где 0 < р < 1, v~ +v+ ф 0, v(t) - функция класса Hl(p) (см. [74], [76], [84], гл. 2). Изучена разрешимость задачи в классах функций ограниченных в верхней полуплоскости с заданным асимптотическим поведением на бесконечности.

В параграфе 4 изучается задача с краевым условием вида (0.6), в котором функция u(t) имеет абсолютно непрерывную составляющую с представлением (0.7), а функцию скачков - с разрывами, образующими расходящийся знакоположительный ряд. Таким образом, здесь рассмотрена задача, объединяющая особенности задач второго и третьего параграфов. Изучена разрешимость задачи в классах функций ограниченных в верхней полуплоскости либо с особенностями интегрируемого порядка в точках разрыва коэффициентов и с заданным асимптотическим поведением на бесконечности [77], [79], [82], [86], [89], ([84], гл. 2).

Результаты и метод параграфа 4 применяются в параграфе 5 главы 3, в котором рассматривается одна обратная смешанная краевая задача об определении области Dz и аналитической в этой области функции, отображающей Dz на Dw если известно, что часть границы Dz есть полигон с заданными углами при счетном множестве неизвестных вершин, известны точки на dDw— образы неизвестных вершин, на другой части искомого контура dDz заданы краевые значения искомой аналитической функции в виде последовательности функций переменной х — Rez. Получено общее решение этой задачи ([84], с.276), [85].

В параграфе 6 рассмотрена задача о построении конформного отображения полуплоскости на многоугольник, если заданы величины углов при неизвестных вершинах и прообразы вершин на вещественной оси в случае счетного множества вершин. В случае конечного числа вершин такая задача рассмотрена М.А. Лаврентьевым в ([48], с. 179). Разобраны две ситуации: в одном случае более жесткие ограничения налагаются на углы многоугольника, в другом - на прообразы вершин [83], [87].

Параграф 7 посвящен решению внешней обратной краевой задачи по определению области, содержащей бесконечно удаленную точку и аналитическую в этой области функцию w(z) по заданным на неизвестной границе искомой области краевым значениям w(z), заданным в виде функции при комбинации параметров [2], [1].

Обратная смешанная задача для решетки контуров решена в параграфе 8. Здесь требуется определить бесконечно связную область Dz, т.е. контур и шаг решетки, и аналитическую в этой области функцию w(z) по заданному образу Dw = z(Dz), в случае, когда часть искомого контура является полигоном с заданными углами при неизвестных вершинах, на dDw заданы образы вершин при искомом отображении, а на оставшейся части искомого контура заданы краевые значения функции w(z) в виде функции переменной х = Rez. Получены формулы решения

72], [73].

Глава 4 содержит результаты исследований в следующем направлении. Часто решение прикладных краевых задач с неизвестными границами на плоскости сводится к отысканию конформного отображения заданной области па искомую. При этом производная искомой функции определяется как решение некоторой краевой задачи [103],[31], [51]. По физическому смыслу задач искомые области должны быть однолистными. Для обеспечения последнего требуется создание критериев однолистности аналитических функций в различных областях и обоснования с их помощью критериев однолистности отображений по характеристикам краевых значений этих отображений [5]. В качестве этих характеристик часто выступают ограничения на гладкость краевых значений.

В [7] дана формулировка сильной и слабой проблем однолистной разрешимости обратных краевых задач. Первая проблема заключается в определении ограничений на краевые условия, которые гарантируют однолистность решения обратной краевой задачи. Для решения этой задачи нужны условия в различных областях, тогда как при решении слабой проблемы однолистности требуются условия в канонических областях.

Параграф 9 посвящен созданию достаточных условий однолистности функций f(z), аналитических в звездных и выпуклых областях D [9], [10], [119], [11], [ИЗ]. Условия имеют вид ограничений на скорость роста отношения \f"(w)/f'(w)\ в терминах коэффициента гиперболической метрики. Доказательства основаны на продолжении функции из области до квазиконформного отображения всей плоскости на себя и применении теоремы Адамара. Данный метод разработан в трудах Альфорса и Вейля [118], Альфорса (см., напр., [21] с. 118), Геринга [125] и развит в работах Ф.Г. Авхадиева и других авторов (см., например, [4], гл.2, обзор [6]).

В параграфе 10 решается задача о продолжимости условия Гельдера с границы внутрь произвольной односвязной области для гармонической в этой области и непрерывной вплоть до границы функции. Введена характеристика области в терминах которой сформулировано достаточное условие совпадения показателя в условии Гельдера на границе и внутри области [112], [114].

Результаты параграфа 9 находят применение в следующем 11 параграфе при обосновании критерия однолистности общего решения обратной краевой задачи теории аналитических функций [95]. Оценка ks < 21 на постоянную в условии квазигладкости Зигмунда - этап исследований в данном направлении (см еще [111]), где лучший результат принадлежит Ф.Г.Авхадиеву [3].

Параграф 12 содержит ряд результатов по однолистной разрешимости обратной смешанной краевой задачи по параметру х. В теореме 61 приведено достаточное условие однолистности решения указанной задачи, выраженное непосредственно через исходные данные. Формулировки еще трех утверждений этого параграфа предполагают знание функции Римана заданной в условии задачи области Dw [67].

Актуальность темы диссертационной работы с одной стороны обусловлена незавершенностью теории краевых задач с бесконечным индексом, а с другой приложениями задачи Гильберта к гидродинамике, например, к решению задачи об отражении плоских волн в упругой среде от плоской границы [96], теории упругости ([31], с.9), [26], к безмо-ментной теории оболочек [40]. А.В.Бицадзе [27] указал применение решения задачи Гильберта к решению одной задачи теории дифференциальных уравнений с частными производными смешанного типа. Интересная связь краевой задачи Гильберта с коэффициентами, имеющими разрывы первого рода с задачей по моделированию эффекта магнитного пересоединения в физике плазмы приведена в работе С.И. Безродных и

С.И. Власова [25], применение задачи Гильберта для двусвязной области с разрывами коэффициента к задаче взрыва содержится в работе Р.Б. Салимова и Н.К. Туктамышова [711 .

Основные результаты диссертации докладывались: на первой всероссийской школе по основаниям математики и теории функций "Математические чтения памяти М.Я. Суслина"(Саратов, 1989), на международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева (Казань, 1994), на школе - конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева (Казань, 1997), на десятой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2000), на международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики"(Казань, 2000), на пятой Казанской международной летней школе-конференции (Казань, 2001), на международной научной конференции "Геометрическая теория функций и краевые задачи"(Казань, 2002), на шестой Казанской международной летней школе-конференции (Казань, 2003), на 12-ой Саратовской зимней школе (Саратов,2004), на международной школе-конференции "Геометрический анализ и его приложения" (Волгоград, 2004), на международной конференции "Алгебра и анализ"(Казань, 2004), на седьмой международной Казанской летней школе-конференции (Казань, 2005), на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа (Новосибирск, 2007), на восьмой международной Казанской летней школе-конференции (Казань. 2007), на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения C.JI. Соболева (Новосибирск, 2008), на 14-ой Саратовской зимней школе, посвященной памяти академика П.Л. Ульянова (Саратов, 2008).

В заключение автор благодарит своего научного консультанта за постоянное внимание к работе и полезные советы.

1 Задача Гильберта со счетным множеством точек разрыва коэффициентов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В первых двух главах диссертации разработаны методы решения краевой задачи Гильберта теории аналитических функций для полуплоскости с конечным индексом и с бесконечным индексом в случаях, когда непрерывная составляющая и функция скачков аргумента коэффициента краевого условия могут иметь неограниченное изменение на вещественной оси. Исследовано влияние обеих этих факторов на картину разрешимости задачи Гильберта. Построены формулы общего решения задачи, изучены гладкость граничных значений и ассимптотическое поведение на бесконечности этих решений, доказаны условия существования и единственности решения.

Третья глава посвящена применению доказанных в первых двух главах результатов и созданных там методов решения задачи Гильберта с бесконечным индексом к решению некоторых обратных и обратных смешанных задач, в частности, к выводу обобщения формулы интеграла Шварца-Кристоффеля на случай многоугольника с бесконечным числом вершин.

В четвертой главе исследуется однолистность решений обратных и обратных смешанных краевых задач, рассмотренных в третьей главе. Для чего методом квазиконформного продолжения аналитической функции на всю комплексную плоскость с последующим применением теоремы Адамара доказаны новые достаточные условия однолистности аналитических функций как в канонических, так и в произвольных областях с квазиконформной границей. Некоторые из этих результатов применены при исследовании однолистности отображений, решающих рассмотренные обратные и смешанные обратные краевые задачи. Здесь же получены новые достаточные условия продолжимости условия Гельдера для гармонических функций с границы внутрь области.

1. Абубакиров Н.Р., Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Внешняя обратна51 краевая задача при комбинировании двух параметров из декартовых координат и полярного угла// Изв. вузов. Математика. 2001. - № 10. - С. 3-9.

2. Авхадиев Ф.Г. Оценки в классе Зигмунда и их применение к краевым задачам// ДАН СССР. 1989. - Т. 307. - № 6. - С. 1289-1292.

3. Авхадиев Ф.Г. Конформные отображения и краевые задачи. Казань: Казанский фонд "Математика", 1996. - 216 с.

4. Авхадиев Ф. Г., Аксентьев Л. А. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций// УМН, 1975, т. XXX, вып. 4, с. 3-60.

5. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Л.А., Елизаров A.M. Достаточные условия конечнолистности аналитических функций и их приложения// Итоги науки и техники. Серия "Матем. анализ". М.: ВИНИТИ, 1987. - Т. 25. - С. 3-121.

6. Аксентьев Л.А. Об однолистной разрешимости обратных краевых задач// Тр. семин. по краев, задачам. Казань: Изд-во Казан, унта. 1973. - Вып. 10, С. 11 - 24.

7. Аксентьев JT.А. Однолистное изменение многоугольных областей // Тр. семин. по краев, задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1976. -Вып. 13. - С. 30-39.

8. Аксентьев Л.А., Шабалин П.Л. Условия однолистности с квазиконформным продолжением и их применение// Изв. вузов. Математика. 1983. - № 2. - С. 6-14.

9. Аксентьев Л.А., Шабалин П.Л. Условия однолистности в звездных и выпуклых областях // Тр. семин. по краев, задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1982. - Вып. 18. - С. 35 42.

10. Алекна П.Ю. Об однородной краевой задаче Римана с бесконечным индексом логарифмического порядка для полуплоскости// Лит. ма-тем. сб. 1973. - № 3. - С. 5-13.

11. Алекна П.Ю. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом логарифмического порядка 0 < 7 < 1 для полуплоскости// Лит. матем. сб. 1974. - № 3. - С. 5-18.

12. Алекна П.Ю. Краевая задача Гильберта с бесконечным индексом логарифмического порядка для полуплоскости// Лит. матем. сб. -1977. № 1. - С. 5-12.

13. Алехно А.Г. О краевой задаче Римана с конечным числом точек завихрения// Докл. АН БССР. 1979. - Т. 23. - № 12. - С. 10691072.

14. Алехно А.Г. Об однородных краевых задачах со сдвигом в случае бесконечного индекса// Докл. АН БССР. 1980. - Т. 24. - № 3. - С. 206-209.

15. Алехно А.Г. Краевая задача Римана с бесконечным индексом в случае многостороннего завихрения// Докл. АН БССР. 1981. - Т. 25.- № 8. С. 681-684.

16. Алехно А.Г. Однородная краевая задача Римана с точкой многостороннего завихрения в случае разрывного коэффициента// Сб. Научные труды юбилейного семинара по краевым задачам. Минск. Университетское. - 1985. - С. 143-146.

17. Алехно А.Г. Краевая задача Римана в случае счетного множества разрывов ее коэффициента// Докл. расширенных заседаний ИМП им. И.Н. Векуа. Тбилиси. - 1988. - Т. 5. - № 1. - С. 14-17.

18. Алехно А.Г. О разрешимости однородной краевой задачи Римана с бесконечным индексом// Докл. НАН Беларуси. 1997. - Т. 41. - № 2. - С. 37-44.

19. Альфорс JI. Лекции по квазиконформным отображениям.- М., 1969.-133 с.

20. Андрианов С.Н. О существовании и числе решений обратной краевой задачи теории аналитических функций// Ученые записки КГУ.- 1953. Т. 113. кн. 10. С. 21-30.

21. Андриевский В.В. О контурно-телесных свойствах гармонических функций// Изв. вузов. Математика. 1990. - № 12. - С. 13-21.

22. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970. - 304 с.

23. Безродных С.И., Власов В.И. Сингулярная задача Римана-Гильберта на многоугольниках и се приложения// Тезисы докладов международной конференции "Тихонов и современная математика".- Москва, 2006.- С.32.

24. Бицадзе А.В. К общей задаче смешанноо типа// ДАН СССР. 1951.- Т. 78.4. С. 621-624.

25. Гарифьянов Ф.Н. К решению однородной задачи Римана для неограниченного контура/ j Труды семинара по краевым задачам.- Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. Вып. 17. -С. 27-34.

26. Гарифьянов Ф.Н. К решению неоднородной задачи Римана для неограниченного контура// Труды семинара по краевым задачам.-Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1982. Вып. 18. -С. 46 53.

27. Дж. Гарнетт. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984. 469 с.

28. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. - 640 с.

29. Гахов Ф.Д. Об обратных краевых задачах// Ученые записки КГУ.- 1953. Т. ИЗ. кн. 10. С. 9-20.

30. Гахов Ф.Д., Зверович Э.И., Самко С.Г. Приращение аргумента, логарифмический вычет и обобщенный принцип аргумента// ДАН СССР. 1974. - Т. 215. - № 3. - С. 432-435.

31. Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. М.: Наука, 1986. 239 с.

32. Говоров Н.В. О краевой задаче Римана с бесконечным индексом// ДАН СССР. 1964. Т. 164. № 6. - С. 1247-1249.

33. Говоров Н.В. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом// ДАН СССР. 1964. - Т. 159. - № 5. - С. 961-964.

34. Говоров Н.В. Об индикаторе функций целого порядка, аналитических и вполне регулярного роста в полуплоскости// ДАН СССР. -1967. Т. 167. - С. 750-753.

35. Говоров Н.В. Об ограниченных решениях краевой задаче Римана с бесконечным индексом степенного порядка// ДАН СССР. 1968. -Т. 182. - № 4. - С. 750-753.

36. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. 2-е изд. М.: 1966. 628 с.

37. Гольденвейзер A.J1. О применении решений задачи Римана Гильберта к расчету безмоментных оболочек// Прикл. матем. и мех. -1951.- Т. XV. - вып. 2. - С. 149-166.

38. Журавлева М.И. Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом со счетным множеством разрывов ее коэффициента// Труды Тбилисского матем. ин-та АН Груз. ССР, т. 43, 1973.

39. Журавлева М.И. Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом со счетным множеством разрывов первого рода ее коэффициента// ДАН СССР. 1973. - Т. 210. - № 1. - С. 15-17.

40. Журавлева М.И. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом и со счетным множеством нулей и полюсов коэффициентов// ДАН СССР. 1974. - Т. 214. - № 4. - С. 755^757.

41. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т.1. М.: Мир, 1965. -611 с.

42. Кац Б.А. Об однородной задаче Римана на кривой бесконечной длины// Изв. вузов. Математика. 1992. № 1. - С. 98-101.

43. Кац Б.А. Краевая задача Римана на негладких дугах и фрактальные размерности// Алгебра и анализ 1994. - Т. 6 - № 1. - С. .

44. Крикунов Ю.М. Дифференцирование особых интегралов с ядром Коши и одно граничное свойство голоморфных функций// Краевые задачи теории функций комплексного переменного. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1962. - С. 17-24.

45. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

46. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиз-дат, 1956. - 632 с.

47. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. 2. М.: Наука, 1968. - 624 с.

48. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука, 1977. - 424 с.

49. Монахов В.Н. Об обратной смешанной краевой задаче// Исследов. по современ. пробл. теории функций комплексн. переменного.- М.: Физматгиз, 1961. С. 375-380.

50. Монахов В.Н., Семенко Е.В. Краевые задачи с бесконечным индексом в пространствах Харди//ДАН СССР. 1986. - Т. 291. - № 3. -С. 544-547.

51. Монахов В.Н., Семенко Е.В. Классы корректности краевых задач сопряжения аналитических функций с бесконечным индексом//ДАН СССР. 1986. - Т. 286. - № 1. - С. 27-30.

52. Монахов В.Н., Семенко Е.В. Краевые задачи и псевдодифференциальные операторы на римановых поверхностях. М.:Физматлит, 2003. -416 с.

53. Морс М. Топологические методы теории функций комплексного переменного.-М.: ИЛ, 1951. -248 с.

54. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. - 511 с.

55. Насыров С.Р. Смешанная обратная краевая задача на римановых поверхностях// Изв. вузов. Математика. 1990. - N2 10. - С. 25-36.

56. Натансон И. П. Основы теории функций вещественной переменной.-Л., 1941.-294 с.

57. Островский И.В. Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом на криволинейном контуре// Докл. АН УССР. Сер. А -1991. № 4. - С. 8-11.

58. Салимов Р.Б. Внешние обратные задачи для случая, когда граничные значения заданы в функции декартовой координаты г// Ученые зап. Казан, ун-та. Казань: Изд-во Казан, ун-та, - 1957. - Т. 117. -Кн. 9. - С. 60-64.

59. Салимов Р.Б. Некоторые основные задачи об изменении контуров теории аналитических функций и их приложения к механике жидкости. Казань: Казанск. высш. ком.-инж. училище, 1970. - 364 с.

60. Салимов Р.Б. К вычислению сингулярных интегралов с ядром Гильберта // Изв. вузов. Математика. 1970. -- № 12. - С. 93-96.

61. Салимов Р.Б. К вопросу о поведении производной функции, реализующей конформное отображение вблизи угловой точки границы области// Изв. вузов. Математика. 1977. - № 2. - С. 100-110.

62. Салимов Р.Б. Новый подход к решению краевой задачи Гильберта для аналитической функции в многосвязной области// Изв. вузов. Математика. 2000. - № 2. - С. 60-64.

63. Салимов Р.Б., Насырова Е.В., Шабалин П.Л. Однолистная разрешимость одной обратной смешанной краевой задачи// Изв. вузов. Математика. 1998. - № 4. - С. 78-82.

64. Салимов Р.Б., Селезнев В.В. К решению краевой зада,чи Гильберта с разрывными коэффициентами// Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1979. - Вып. 16. - С. 149-162.

65. Салимов Р.Б., Селезнев В.В. Решение краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами для кольца// Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. - Вып. 17. -С. 140-157.

66. Салимов Р.Б., Стрежнева Е.В. К решению обратной смешанной краевой задачи// Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1992. - Вып. 27. - С. 95-117.

67. Салимов Р.Б., Туктамышов Н.К. Решение задачи Гильберта для кольца в особом случае и его применение к одной задаче взрыва// Матем. заметки. 1999. - Т. 66. - Вып. 1. - С. 135-144.

68. Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Обратная смешанная краевая задача для бесконечносвязной области с периодической границей//Изв. вузов. Математика. 1996. - № 6. - С. 80-83.

69. Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Обратная смешанная краевая задача в случае однорядной и двурядной решеток контуров// Тезисы докладов школы-конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева. -Казань, 1997. С. 185-186.

70. Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. К решению однородной краевой задачи Гильберта с бесконечным индексом// Тезисы докладов школы-конференции, посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова. Казань, 1999. - С. 197-198.

71. Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Новый подход к решению краевой задачи Гильберта для аналитической функции в случае двусвязнох! области.// Труды десятой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара, 2000. - С. 149152.

72. Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Метод регуляризующего множителя для решения однородной задачи Гильберта с бесконечным индексом// Изв. вузов. Математика. 2001. - № 4. - С. 76-79.

73. Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. К решению краевой задачи Гильберта с бесконечным индексом и счетным множеством точек разрыва коэффициентов// Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 14. - Казань: Изд-во Казанск. мат. о-ва, 2002. - С. 230-247.

74. Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. К решению задачи Гильберта с бесконечным индексом// Матем. заметки. 2003. - Т. 73. - Вып. 5. - С. 724-734.

75. Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Краевая задача Гильберта теории аналитических функций и ее приложения. -Казань: Изд-во Казанск. мат. о-ва, 2005. 297 с.

76. Салимов Р,Б., Шабалин П.Л. Задача Гильберта. Случай бесконечного множества точек разрыва коэффициентов// Сиб. матем. журн. -2008. Т. 49. - № 4. - С.898-915.

77. Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Задача Гильберта со счетным множеством особенностей коэффициентов// Тезисы докладов 14-ой Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". Саратов, 2008. - С. 167-168.

78. Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Отображение полуплоскости на многоугольник с бесконечным числом вершин// Изв. вузов. Математика.- 2009. № 10. - С. 56-59.

79. Сандрыгайло И.Е. О краевой задаче Гильберта с бесконечным индексом для полуплоскости// Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. 1974.- № 6. С. 16-23.

80. Сандрыгайло И.Е. О краевой задаче Римана с бесконечным индексом для полуплоскости// Докл. АН БССР. 1975, Т.19. - № 10. -С.872-875.

81. Сандрыгайло И.Е. О краевой задаче Римана с бесконечным индексом для полуплоскости в классе функций вполне регулярного роста// Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. 1976. - № 1. - С. 21-24.

82. Севодин М.А., Шабалин П.Л. Об улучшении разделяющих постоянных в критерии однолистности решения одной обратной краевойзадачи// Труды семинара по краевым задачам Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1980. - Вып. 17. -С. 167-179.

83. Соболев С.Л. Об одной предельной задаче теории логарифмического потенциала и ее применении к отражению плоских упругих волн// Тр. Сейсм. ин-та. Л.: Изд-во АН СССР, 1930. № 11. 18 с.

84. Тамразов П. М. Гладкости и полиноминальные приближения. Киев, 1975. 271 с.

85. Тамразов П. М. Локальная контурно-телесная задача для субгармонических функций.- Препринт 84. 52. Ин-т матем. АН УССР, Киев, 1984.

86. Тлюстен С.Р. Смешанная краевая задача со свободной границей в неоднолистных областях// Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1986. - № 76. - С. 148-156.

87. Толочко М.Э. О краевой задаче Римана с бесконечным индексом для полуплоскости// Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. - 1969. - № 4. - С. 52-59.

88. Толочко М.Э. О разрешимости краевой задаче Римана с бесконечным индексом для полуплоскости// Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. - 1971. - № 3. - С. 31-38.

89. Толочко М.Э. Об однородной задаче Римана с бесконечным индексом для полуплоскости// Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. н. 1972. -№ 5. - С. 34-41.

90. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1965. - 333 с.

91. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.: Наука, 1969. - 800 с.

92. Хейман У. Мероморфные функции . М.: Мир, 1966. - 287 с.

93. Чибрикова Л.И., Салехов Л.Г. К решению краевой задачи Гильберта// Труды семинара по краевым задачам Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1971. - Вып. 8. -С. 155-175.

94. Чибрикова Л.И. О граничных задачах для прямоугольника// Краевые задачи теории функций комплексного переменного. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1964. - С. 15 39.

95. Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1977. - 302 с.

96. Чибрикова Л.И. Об одном особом случае задачи Римана на неограниченном контуре,I// Труды семинара по краевым задачам.- Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1978. Вып. 15. -С. -.

97. Чибрикова Л.И. Об одном особом случае задачи Римана на неограниченном контуре,II// Труды семинара по краевым задачам.- Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1979. Вып. 16. -С. 185-201.

98. Шабалин П.Л. Об однолистности общего решения внутренней обратной краевой задачи// Изв. вузов. Математика. 1975. - № 12. -С. 92-95.

99. Шабалин П.Л. О продолжимости с границы внутрь области условия Гельдера для гармонических функций// Изв. вузов. Математика. 1986. - № 10. - С. 82-84.

100. Шабалин П.Л. Классы однолистности и области В.И. Смирнова // Труды семинара по краевым задачам.- Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1979. Вып. 16. -С. 218-226.

101. Шабалин П.Л. О продолжимости условия Гельдера для гармонических функций с границы внутрь области // Тезисы докладов международной научной конференции посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева. Казань, 1994. С. 145-146.

102. Шабалин П.Л. Один случай задачи Гильберта с особенностями коэффициентов/ / Известия Сарат. ун-та. Новая сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9. -вып. 1. - С. 58-67.

103. Юров П.Г. Однородная краевая задача Римана с бесконечным индексом логарифмического типа// Изв. вузов. Математика. 1966. -№ 2. - С. 158-163.

104. Юров П.Г. Один из случаев краевой задачи Римана с бесконечным индексом// ДАН БССР. 1968. - Т. XII. - № 6. - С. 489-491.

105. Ahlfors L.V., Weil G. A uniqueness theorem for Beltrami equations// Proc. Amer. Math. Soc. 1962. - V. 13. - № 6. - P. 975-978.

106. Becker. J. L5wnersche Differentialgleichung und quasikonform fortset-zbare schlichte Funktionen// J. Reine und Angew. Math. V, 255 (1972), S. 23-43.

107. Demtslienko B. Sur un probleme invers au probleme Dirichlet// C.-R., 1929, V. 89.

108. Duren P., Shapiro M., Shields A. Singular measures and domains not of Smirnov tupe// Duke Math. J. 1966. - 33:2. - P. 247-254.

109. Elgin H. Johnston The boundary modulus of continuity of harmonic functions// Pacific Journal of math. 1980, v. 90, № 1. - P. 87-98.

110. Fait Maria, Krzyz Jan G., Zygmunt Jadwiga. Explicit quasikonformal extensions for some classes of univalent functions// Comment, math, helv., 1976, v. 51, № 2, p.279 285.

111. Gehring F.W. Univalent functions and the Schwarzian derivative// Comment, math. helv. 1977, v.52, № 4, p.561 572.

112. Hall R.L. On the asymptotic behavior of functions holomorphic in the unit disc// Math. Z. 1968, Bd. 107, S. 357-362.

113. Hilbert D. Uber eine Anwendung der Integralgleichungen auf ein Problem der Funetionentheorie// Verhandl. des III. Internat. Math. Kongr. Heidelberg, 1904.

114. Hilbert D. Grundzuge einer allgemainen Theorie der linearen Integralgleichungen// Leipzig Berlin, 1912.

115. Hinkkanen A. Modulus of continuity of harmonic functions// Journal D'Analyse Mathematique. -1988, v.51. P.l-29.

116. Lehto 0. Remarks on Nehari's theorem about the Schwarzian derivative and schlicht functions// J. d'anal. math., v. 36, 1979, p.184-190

117. Noether F. Uber eine Klasse singularer Integralgleichungen// Math. Ann. 1921. - Bd. 82. - S. 42-63.

118. Shabalin P.L. Modulus of continuity of harmonic functions in space. Preprint. Kazan University, Tatarstan, Russian Federation. - № 2, 1997. -4 c.

119. Volterra V. Sopra alkunecondizioni carattcristischc per functioni di variabile complessa// Ann. Mat. 1883. - V. 11.

120. Yamashita S. The Poincare density, Lipschitz continuity, and superharmonicity// Math. Jap. 1983, v.38, № 3. - P. 487-496.

121. Основные публикации автора по теме диссертации в журналах из официального перечня ВАК

122. Абубакиров Н.Р., Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Внешняя обратная краевая задача при комбинировании двух параметров из декартовых координат и полярного угла// Изв. вузов. Математика. 2001. - № 10. - С. 3-9.

123. Аксентьев Л.А., Шабалин П.Л. Условия однолистности с квазиконформным продолжением и их применение// Изв. вузов. Математика. 1983. - № 2. - С. 6-14.

124. Салимов Р.Б., Насырова Е.В., Шабалин П.Л. Однолистная разрешимость одной обратной смешанной краевой задачи// Изв. вузов. Математика. 1998. - № 4. - С. 78-82.

125. Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Обратная смешанная краевая задача для бесконечносвязной области с периодической границей//Изв. вузов. Математика. 1996. - № 6. - С. 80-83.

126. Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Метод регуляризующего множителя для решения однородной задачи Гильберта с бесконечным индексом// Изв. вузов. Математика. 2001. - № 4. - С. 76-79.

127. Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. К решению задачи Гильберта с бесконечным индексом// Матем. заметки. 2003. - Т. 73. - Вып. 5. -С. 724-734.

128. Салимов Р,Б., Шабалин П.Л. Задача Гильберта. Случай бесконечного множества точек разрыва коэффициентов// Сиб. матем. журн. -2008. Т. 49. - № 4. - С.898-915.

129. Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Отображение полуплоскости на многоугольник с бесконечным числом вершин// Изв. вузов. Математика. 2009. - № 10. - С. 76-80.

130. Шабалин П.Л. Об однолистности общего решения внутренней обратной краевой задачи// Изв. вузов. Математика. 1975. - № 12. -С. 92-95.

131. Шабалин П.Л. О продолжимости с границы внутрь области условия Гельдера для гармонических функций// Изв. вузов. Математика. 1986. - № 10. - С. 82-84.

132. Шабалин П.Л. Один случай задачи Гильберта с особенностями коэффициентов// Известия Сарат. ун-та. Новая сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9. -вып. 1. - С. 58-67.1. Прочие публикации)

133. Аксентьев Л.А., Шабалин П.Л. Условия однолистности в звездных и выпуклых областях // Тр. семин. по краев, задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1983. - Вып. 20. - С. 35-42.

134. Салимов Р.Б., Шабалин П.Л. Краевая задача Гильберта теории аналитических функций и ее приложения. -Казань: Изд-во Казанск. мат. о-ва, 2005. 297 с.

135. Севодин М.А., Шабалин П.Л. Об улучшении разделяющих постоянных в критерии однолистности решения одной обратной краевой задачи// Труды семинара по краевым задачам,- Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. Вып. 17. -С. 167-179.

136. Шабалин П.Л. Классы однолистности и области В.И. Смирнова // Труды семинара по краевым задачам,- Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1979. Вып. 16. -С. 218-226.