Краевые задачи типа Римана-Гильберта-Пуанкаре для общих эллиптических систем первого порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. Краевые задачи типа Римана-Гильберта-Пуанкаре для общих эллиптических систем первого порядка в многосвязных областях плоскости с гладкой границей

§ 1. Вспомогательные результаты.

§ 2. Задача Римана-Гильберта-Пуанкаре для систем с действительными коэффициентами.

§ 3. Задача Римана-Гильберта-Пуанкаре для систем с комплексными коэффициентами

§ 4. Задача Римана-Гильберта-Пуанкаре для правильно эллиптических систем.

Глава II. Краевые задачи типа Римана-Гильберта-Пуанкаре для общих эллиптических систем первого порядка в многосвязных областях плоскости с кусочно гладкой границей

§1. Вспомогательные результаты.

§ 2. Краевые задачи 1-порядка

§ 3. Задача Римана-Гильберта-Пуанкаре для систем с действительными коэффициентами.

§ 4. Задача Римана-Гильберта-Пуанкаре для систем с комплексными коэффициентами

§ 5. Задача Римана-Гильберта-Пуанкаре для правильно эллиптических систем.

Глава III. Некоторые приложения

§ 1. Первая задача Векуа.

§ 2. Вторая задача Векуа.

§ 3. Краевая задача типа задачи Гильберта.

Работа посвящена краевым задачам типа Римана- Гильберта- Пуанкаре (Р-Г-П) для общих эллиптических систем первого порядка как в областях с гладкой границей, так и в областях с кусочно-гладкой границей. Особый интерес к ним многих математиков объясняется тем, что они имеют весьма общирную область применения в различных вопросах анализа, геометрии и механики.

Задачей типа Римана-Гильберта-Пуанкаре (Р-Г-П) будем называть задачу для системы с краевыми условиями, содержащими производные от искомых функций:

Исторически первая постановка задачи для аналитических функций принадлежит Риману[21], она выглядит так: требуется определить аналитическую функцию в области по известному соотношению между действительной и мнимой частями на границе области. Полное решение этой задачи в односвязной области в случае когда действительная и мнимая части и и V удовлетворяют на границе условию

Я,е((а — 1(3)(и + IV)) = аи-\- (Зу — у, где а2 + (З2 = 1, дал Гильберт [4].

0.1)

0.2)

В монографии И.Н.Векуа [1] отмеченная проблема решена для обобщенных аналитических функций и для некоторого класса эллиптических систем двух уравнений. В дальнейшем усилия многих математиков были направлены на обобщение задачи на общие эллиптические системы 2п уравнений первого порядка. Отметим здесь работы Б.Боярского [22], В.С.Виноградова [23-25], А.И.Вольперта [26]. В работе [22] изучается краевая задача для Q- аналитических функций ( в многосвязных областях), которые являются решением одной эллиптической системы специального вида. А в [23-26] рассматриваются краевые задачи в односвязных областях для общих эллиптических систем, установлена нетеровость и дается формула для индекса. Изучение здесь проводится привлечением аппарата сингулярных интегральных операторов, который в случае многосвязных областей недостаточно развит. Краевые задачи в односвяз-ной области для однородной эллиптической системы с действительными коэффициентами, порядки производных в краевых условиях которых меньше порядка системы, изучены А.И.Вольпертом [27]. Много интересных результатов для систем с постоянными коэффициентами получены А.В.Бицадзе, А.П.Солдатовым и др. (см. [7], [2831] и имеющуюся там литературу ).

Краевую задачу типа Гильберта для аналитических функций с краевым условием, содержащим производные, впервые рассмотрел Ф.Д.Гахов в [2]. К этой задаче приводятся многие задачи теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны, а также задачи безмоментной теории оболочек. Такая задача рассматривается в третьей главе работы. В первой главе изучены краевые задачи типа Р-Г-П в областях с гладкой границей. Вторая и третья главы посвящены краевым задачам типа Р-Г-П в областях с кусочно-гладкой границей. В последние два десятилетия построена общая теория эллиптических краевых задач в областях, границы которых содержат особенности - углы, конические точки, ребра и т.п. Нарушение условия гладкости границы приводит к появлению у решения особенностей в окрестностях нерегулярных точек границы. К изучению краевых задач для уравнений в частных производных в областях с нерегулярными точками на границе приводят многие важные прикладные задачи. Эта теория имеет широкие и важные приложения в механике сплошных сред, в различных вопросах асимптотической теории дифференциальных уравнений с частными производными, в теории приближенных методов. Этим вопросам посвящена общирная литература.

Как всегда в современной теории краевых задач, для правильной постановки задачи в области с негладкой границей необходимо подобрать подходящие функциональные пространства, в которых рассматриваются решения задачи, правые части уравнений и граничных условий. Во многих таких задачах удобно использовать функциональные пространства с весовой нормой, где вес- некоторая степень расстояния до множества нерегулярных точек границы.

Такие пространства функций в этих задачах правильно описывают особенности решения и его производных в окрестности нерегулярных точек границы. Среди многочисленных подходов к исследованию краевых задач в областях с негладкой границей отметим подход основанный на сведении краевой задачи к решению интегральных уравнений.

Радон [12] является основоположником изучения эллиптических задач в области с угловыми точками.Он применил метод сведения краевой задачи ( Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа) к интегральным уравнениям на границе области, в случае плоской области с угловыми точками на ее границе. В дальнейшем метод Радона нашел широкое применение в краевых задачах теории функций, плоской теории упругости, общей теории эллиптических задач. Широкий класс краевых задач в областях с кусочно-гладкой границей для аналитических функций тесно связан с сингулярными интегральными уравнениями и в комбинацинации с комформными отображениями допускает прямое эффективное исследование ( см. [1], [2], [10] ). С помощью представления общего решения через аналитические функции этот метод нашел многочисленные приложения. Существенное затруднение, которое вносит здесь наличие угловых точек границы, состоит в том, что в указанном представлении помимо самой аналитической функции фигурируют и ее производные. Следует отметить работу Я.Б.Лопатинского [8], посвященную краевым задачам в двумерной области с угловой точкой. Применяя метод сведения краевой задачи к интегральному уравнению на границе, он получил условия нормальной разрешимости такой краевой задачи в пространствах Ск(0)~ функций, у которых все производные порядка к включительно непрерывны в ф. Я.Б.Лопатинский сводит общую граничную задачу для эллиптической системы (с постоянными коэффициентами) в плоской области с границей содержащей конечное число угловых точек к системе интегральных уравнений и изучая эту систему с помощью Ф-операторов, находит явную формулу для ее индекса [8]. Наличие угловых точек делает эту систему сингулярной. Большое число работ, посвяшенных изучению общих краевых задач в областях с особенностями на границе типа угловой или конической точки, опубликовали В.Г.Мазья и Б. А. П л аменевский.

В работах А.П.Солдатова [28-31] даются законченные результаты по краевым задачам для общих эллиптических систем с постоянными коэффициентами.

В работе [15] М.М.Сиражудинова рассматриваются краевые задачи для общих эллиптических систем ( с переменными коэффициентами ) в ограниченной области плоскости с кусочно-гладкой границей. Даются необходимые и достаточные условия нетеровости и формулы для индекса. Здесь обобщается подход [13] на случай кусочно- гладкой области.

Краткое содержание диссертации.

Первая глава посвящена краевым задачам типа Римана-Гильберта-Пуанкаре (Р-Г-П) для общих эллиптических систем первого порядка в областях с гладкой границей. В §1 приводятся вспомогательные сведения, которыми мы пользуемся в последующих параграфах. В §2 рассматривается краевая задача типа Р-Г-П (0.1),(0.2) для системы с действительными коэффициентами. Здесь доказана следующая

Теорема 0.1. Для нетеровости задачи (0.1)-(0.2) необходимо и достаточно, чтобы

7 = с1е1;(а/+1Т1Л' - щТгК1'1 + • • • + (-1) ^ТО ф 0 всюду над(Э.

При выполнении этого условия индекс задачи дается формулой я = 2«0-й(2г + 1)(т-1), где к,о = 1пс17; Т\, А, - матрицы определяемые специальным образом по коэффициентам системы и краевых условий. (Подробнее см. (1.6) главы 1); к- число уравнений системы; т- число внутренних компонент границы. (Задача изучается в классических пространствах Соболева или Гельдера.)

В §3 рассматривается следующая Я - линейная краевая задача типа Р-Г-П ди ди

0.3) Аи = Е— + В— = у) <е Х(п И-^ —

1 + 1 , гл \l + l-j / о \ 3-1 \

0.4) 11е(Вч) ее Яе и!=фе и е Х(п + 1,0).

Пространства О) и У (п.; д0)~ обычные пространства Соболева или Гельдера.) Здесь в отличие от задачи (0.1),(0.2) элементы матриц В и ау - комплекснозначные функции. Доказана следующая

Теорема 0.2. Для нетеровости задачи (0.3), (0.4) необходимо и достаточно выполнения условия

3 = с1е1;(т1 \Т2) ф 0 всюду надС где

П - а1+1Ш\ - а{ГхА'Г1 + • • • + (-1 )1ахТъ т2 - а1+1Т2А21 - а{Т2А^"1 + • • • + (-1)га1Г2.

При выполнении этого условия индекс задачи дается равенством к, = 21пс1 — /с(2/ + 1) (ш — 1).

Здесь матрицы Т\, К\ и Л2 имеют аналогичный смысл, что и в предыдущей теореме. (Подробнее см. (1.6) главы 1).

В §4 рассматривается краевая задача типа Р-Г-П (0.3), (0.4) (без знака " Яе" в граничном условии) для правильно эллиптической системы, т.е для системы, корни характеристического полинома которой расположены поровну ( с учетом кратности ) в верхней и нижней полуплоскостях. Доказана следующая

Теорема 0.3. Для нетеровости задачи (0.3)-(0.4) необходимо и достаточно выполнения условия где «4 = ЪкЦс^тх); = 1пс1(с^Т2) (по поводу матриц Т\, Лх; Л2 см. (1.6) главы 1 ).

Вторая глава посвящена краевым задачам типа Р-Г-П для общих эллиптических систем первого порядка в областях с кусочно-гладкой границей. Здесь мы обобщаем результаты первой главы на кусочно-гладкий случай.

В §1 дается описание весовых пространств Соболева и Гельдера, над которыми рассматриваются задачи. Здесь мы также напоминаем понятия функций от матрицы и концевого символа А.П.Солдатова Краевые задачи I- порядка рассматриваются во втором параграфе. В §3 рассматривается следующая краевая задача типа Р-Г-П

71 = щ+гТ^ - ахТхА*"1 + . + (-1) ^Тъ т2 = а1+1Т2А12 - а{Г2К12~1 + • • • + (-1)^72.

При этом индекс задачи дается формулой

3 = К1 + К2 - к(21 + 1 )(т - 1),

0.5)

0.6) где В и а^ - квадратные матрицы порядка элементы которых действительные функции принадлежащие С°°(О) и соответственно. (Задача изучается в весовых пространствах Соболева или Гельдера.) Здесь доказана следующая

Теорема 0.4. Для нетеровости задачи (0.5), (0.6) необходимо и достаточно выполнения следующих условий

7 = йеЦсц+^А1 - сцТхк1'1 + • • • + (-1Уа^) ф 0 всюду на д<3 \ 3,

7(т,- ± 0) ф 0, т,- € 3, ф 0 на прямой Яе^ = — I, т^ (Е 3.

При выполнении последних индекс задачи дается равенством И

ЫА = 2 Ыг 7 + - !) мг ШРгГ1 ^(ОК(О)"1

7=1

Щ1|±1) +1} к(? + г + 1)(т 1), т<Е«7 7=1 где Т\, А такие же как в теореме 0.1; 3- конечное число граничных точек, куда, в частности, входят все угловые точки; ¿- производная по дуге при естественной параметризации; у, X) (£); У^ (£) -некоторые матрицы ( специальным образом построенные по коэффициентам системы и краевых условий ).

В §4 рассматривается задача (0.3), (0.4) для систем с комплексными коэффициентами в случае кусочно-гладкой области. Доказана следующая

Теорема 0.5. Для нетеровости задачи (0.3),(0-4) необходимо и достаточно выполнения следующих условий det N = det(7Vi | Щ ф 0 всюду на dQ \ J, det N(rj ± 0) ф 0, Tj G J, detXj(^) ф 0 на прямой i?e£ = (3Tj — l,Tj G J, где

Ni = al+iTiA/ - a/TiA/-1 + • • • + (-1) VA,

TV2 = amT2A2' - a'iT2k21-1 + • • • + (-1) V?2.

При выполнении последних индекс задачи дается равенством И

Ind А = Indr N 1N + kl(l - 1) Indr ¿~Y1Ind^-/^(OM(O)"1

3=1 k ^ л ^ +1} k(l,+,+1)(m 1)t reJ j=i где T\, Г2, Ai, A имеют тот же смысл, что и в теореме 0.2.

В этом параграфе также рассмотрена краевая задача для систем, краевые условия которых имеют разные порядки на разных частях границы. В §5 рассматривается краевая задача типа Р-Г-П (0.3), (0.4) (без знака "Re" в краевом условии) для правильно эллиптических систем. Доказана следующая

ТЕОРЕМА 0.6. Для нетеровости задачи (0.3), (0.4) необходимо и достаточно выполнения следующих условий det Ni ф 0 всюду на dQ \ J, г = 1, 2, а^ Щт ± о) ф о, ^ е з, detXj(^) ф 0 на прямой = ¡Зт — I, где а^ М = ¿еЦщ+гШг1 - щТ[А^1 + • • • + (-Ц^Тх), а<* N2 = det(a/+lT2Л2/ - а{Г2А21~1 + ■ ■ • + (-1)'о1Т2).

При выполнении последних индекс задачи дается равенством 2 И ьа а = ыг лтЧ-+ы(1-1) 1Паг * - ш0тГ1 Ш)У1-1=1 3=1

1) к^ + 1} к(]2+1 + 1){т1) те/ 3=1

Третья глава посвящена приложениям результатов первых двух глав к некоторым вопросам геометрии. А именно, рассмотрены следующие три краевые задачи: Задача А:

0.7) + + =

0.8) Яе{адгю + Ы) = фг £ \ 3),

0.9) Ке(Ъу) = ф2е¥*(Ь2\3), V е Х%(<2), где V, А, . , фъ ф2 - скалярные функции ; дг = ^ - Ьх -1^=1^21-1, = и'=1 Г2у;, где г;- гладкие дуги, составляющие границу дЯ. х^я) = И£(7)(<?) , ¥^{Ь3 \ з) = у/р^Ць^ \ 3), если задача рассматривается в весовых пространствах Соболева и

Х(7)№) = Ы® ' \ = НШ(Ь1 \ ^ В СЛУЧае ВеС0" вых пространств Гельдера. (Подробнее об этих пространствах см.

§1 второй главы )

Задача В:

0.10) дщ + + = /■■ е х}г{0),з = 1,2, а\дгУ\ + ЬхдгЩ + + ¿хщ

0.11)

-а2дгу2--Ь2дЕу2 - с2у2 - (12у2 -ф € \ </), V е Хр((3), где ах, 6х, ., с2, (12 - скалярные функции. Задача С:

0.12) £ = 0, (о-) где и ф - действительные непрерывные функции; и - действительная часть функции т = и(х,у) + т(х,у). Первые две из них как не решенные отмечены в монографии И.Н.Векуа [1]. Они возникают при исследовании вопросов жесткости поверхностей. К задаче С приводят многие задачи теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны, а также задачи безмоментной теории оболочек. Задача С является краевой задачей типа задачи Гильберта с краевым условием, содержащим производные [2]. Для этих задач доказаны следующие теоремы:

Теорема 0.7. Задача А тогда и только тогда нетерова, когда выполняются следующие условия:

1) а(х) ф 0; х Е Ьг \ 3 и Ь(х) ф 0, х Е Ь2 \ 3,

2) а(тз ± 0) ф 0, т, Е Ьг П 3, Ь{т, ± 0) ф 0, т, Е 12 ПЗ,

3) на прямой = /?Т2. нет нулей функции detX2j(() = + (1 + + 1,

4) на прямой Rel; = PT2j-i нет нулей функции detX2.l(i) = (1 + lf a+(bx) a+(bx) где 0j - раствор криволинейного сектора с вершиной в точке Tj Е 3; а± = a(rj ± 0); b± = b(rj ± 0); х± = x(tj ± 0).

Пусть е-достаточно малое фиксированное число такое, что в полосе 0 < |i?e£| < е нет нулей функций 3) и 4) (такое £ существует ). Тогда индекс задачи дается равенством

Ind£ А = si + s2 - 2|3\ - 3(т - 1), где s 1 = 2[Ind£1 a], s2 = 2[Indr bx]; т - число внутренних компонент границы dQ. В случае произвольного /3Т, т Е J (для которого имеет место 1 )~4)), индекс задачи дается равенством

Ind^ А = Inde А ± £{[(& " Ц7] + 1}, tej где [а] - целая часть числа а. Знак "+" соответствует случаю, когда 1- £ < (3Т, а — 1 - £ > /Зт.

Теорема 0.8. Для нетеровости задачи В необходимо и достаточно выполнения условий:

1)а(ж) = (&2Ôi — biâ2){x) ф 0 всюду на dQ\J, 2)a(rj + 0) ф 0, Tj <Е J, 3) на прямой ReÇ = (3Т — 1 нет корней функции detX^) = (1 - e2ie^)2{e4i9^A + е™*В + 1), где

Л = a(Tj - 0)а(т, + 0) а^-ои^ + о)' ~ (â(rj — 0)Q(tj + 0) + + b{Tj + 0)b(rj - 0) + c(tj + 0)d(rj - 0) + c(tj - 0)d(r, + 0)) b(Tj ± 0) = (biâ2 - b2à1){rj ± 0), c(tj ± 0) = (b2â2 - ^(r, ± 0), d(Tj ± 0) = (bicii - hai)(Tj ± 0). Пусть e - достаточно малое фиксированное число такое, что в полосе 0 < |iîe£| < с нет нулей функции 3) ( такое е существует ). Тогда индекс задачи дается равенством

Inde А = s — \ J\ — 6(m — 1), где s = [Мг Ьй1 ~ ьУа b2a\ — b\a2

В случае произвольного (3Tj, Tj E J, индекс задачи дается равенством

Ind^ А = Inde А ± У^Ш - 1)-] + 1},

7ÏÎ где [а] — целая часть числа а. Знак "+" соответствует случаю , когда 1 - е < (3Т , а — 1 - е > (Зт.

Теорема 0.9. Для нетеровости задачи С необходимо и достаточно выполнения условий:

1)7 = а1+\{—г)1 — а1{—г)1~1 + • • • + (—1)гах ф 0 всюду на д(^\3,

2)7(^ + 0)^0, ^еЗ, 3) на прямой В,е£ = ¡3Т — I нет корней функции еЬХ&) = (-1)1+1Ъ1+1е2'«+1^ + • • • + Ъ2е4- Ъ^ + 1, где 9^ - раствор криволинейного сектора с вершиной в точке ту £ 3. В случае (3г. = I — е, т^ Е 3, где е - достаточно малое фиксированное число такое, что в полосе 0 < < е нет нулей функции 3), индекс задачи дается равенством

1пс1б А = з - 4^ + 1} - к(12 + I + 1)(т - 1), где 8 = 2[1пс1г7], к - число уравнений системы, т - число внутренних компонент границы. В случае произвольного (3Т , г^ Е 3 индекс задачи дается равенством

1 Й А = 1пс1е А ± £ £{[(& - ¿)-Г] + 1},

7=1 таз где [а\ - целая часть числа а; Здесь "+" — соответствует случаю, когда (3Т > I - е, "-" — (Зт < I - е.

1. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М. : Наука, 1988.

2. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М. : ГИФМЛ, 1963.

3. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М. : Наука, 1988.

4. Hilbert D. Grundzüge der Integralgleichungen. Leipzig Berlin., 1924.

5. Жура Н. А. Нелокальная краевая задача для стационарной системы Стокса в многосвязной области. // ДУ. Т. 27, 1. 1991. С. 51 -59.

6. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с угловыми и коническими точками. // Тр. Моск. мат. общества. Т. 16. 1967. С. 202- 292.

7. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М. : Наука, 1966.

8. Лопатинский Я. Б. Теория общих граничных задач. Киев. : Наук, думка, 1984.

9. Мазья В. Г. , Пламеневский Б. А. Об эллиптических краевых задачах с разрывными коэффициентами на многообразиях с особенностями. // ДАН. Т. 210, №3. 1973. С. 529- 532.

10. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М. : Наука, 1968.

11. Назаров С. А. , Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М. : Наука, 1991.

12. Радон И. О. О краевых задачах для логарифмического потенциала. // УМН. Т. 1, вып. 3-4. 1946. С.96-124.

13. Сиражудинов М. М. Краевые задачи для общих эллиптических систем на плоскости. // Изв. РАН, сер. матем. Т. 61, №5. 1997.

14. Сиражудинов М. М. О задаче Римана-Гильберта для эллиптических систем первого порядка в многосвязной области // Матем. сб. Т. 184, №11. 1993. С. 39 62.

15. Сиражудинов М. М. , Магомедов А. Г. , Магомедова В. Г. Краевые задачи для общих эллиптических систем на плоскости. 2. // Изв. РАН, сер. матем. №2. 2000.

16. Сиражудинов М. М. , Умалатов С. Д. О нетеровости одной задачи И. Н. Векуа. // Тезисы международной научной конференции, посвященной 275 летию РАН. Махачкала, 1999.

17. Сиражудинов М. М. , Умалатов С. Д. Задача Римана-Гильберта-Пуанкаре. Махачкала. 1998, — 11 с. , Деп. в ВИНИТИ, 10. 02. 98, №972- В98.

18. Умалатов С. Д. О нетеровости одной краевой задачи, возникающей при исследовании вопросов жесткости поверхностей. Вестник ДГУ, естеств. тех. науки, вып. 1, Махачкала. 2000.

19. Умалатов С. Д. О нетеровости одной краевой задачи 1 -го порядка // Тезисы международной научной конференции, посвященной 275 летию РАН. Ростов-на-Дону, 1999.

20. Сиражудинов М. М. , Умалатов С. Д. Краевые задачи для системы Навье Стокса.- Махачкала. 1998, — 26 с. , Деп. в ВИНИТИ, 30. 01. 98, №236-В98.

21. Риман Б. Основы общей теории функций. ( В сочинениях). М. : ГТИ, 1948.

22. Боярский Б. Теория обобщенного аналитического сектора // Ann. Polon. Mathem. Т. 10. 1966. С. 41 87.

23. Виноградов В. С. Граничная задача для эллиптической системы первого порядка на плоскости // Дифф. урав. Т. 7, №8. 1971. С. 1440 1448.

24. Виноградов В. С. Об одном методе решения краевой задачи для эллиптической системы первого порядка на плоскости // ДАН СССР. Т. 201, №4. 1976. С. 767- 770.

25. Виноградов В. С. О граничных задачах для эллиптической системы на плоскости с непрерывными коэффициентами //ДАН СССР. Т. 227, №4.1976. С. 777- 780.

26. Вольперт А. И. Нормальная разрешимость граничных задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости // Теор. и прикл. матем. Вып. 1. 1958. С. 28 57.

27. Вольперт А. И. Об индексе и нормальной разрешимости граничных задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости // Тр. ММО. Т. 10. 1961. С. 41 87.

28. Солдатов А. П. Общая краевая задача (к-1)- порядка для эллиптических уравнений // ДАН СССР. Т. 311, №1. 1990. С. 39-43.

29. Солдатов А. П. Общая краевая задача для эллиптических систем // ДАН СССР. Т. 311, №3. 1990. С. 539 543.

30. Солдатов А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. М. : Высш. шк, 1991.

31. Солдатов А. П. Метод теории функций в краевых задачах на плоскости. 1. Гладкий случай // Изв. АН. Сер. мат. Т. 55, №1. 1991. С. 1070 1110.100

32. Волевич Л. Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем // Матем. сб. Т. 68, №3. 1965. С. 373- 416.