Краевые задачи для эллиптических систем на плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

§ 1. Обозначения и предварительные сведения.

§2. Краткое содержание диссертации.

ГЛАВА 1.Краевая задача Римана — Гильберта для общих эллиптических систем первого порядка в многосвязной области

§ 1. Некоторые вспомогательные результаты.

§ 2. Краевая задача Р-Г для одной эллиптичекой системы.

§ 3. Примеры краевых задач для систем без младших членов.

§4. Об одной задаче в единичном круге.•.

§5. О непрерывных решениях системы (2.1).

§6. Система двух уравнений (п = 1).

§ 7. Об одной факторизации эллиптической матрицы . . . . ;.

§ 8. Задача Р-Г для общих э,ллиптических систем.'.

§ 9. Некоторые примеры.

§ 10. Задача Р-Г для систем с комплексными . " коэффициерггами.'.

ГЛАВА 2.Краевые задачи для обхцих эллиптических систем на плоскости

§1. Вспомогательные результаты ,.•.• '.

§2. Задача Пуанкаре.-;.

§ 3. Краевые задачи/-го порядка, £ < 7Л.

§4. Краевые задачи £-то порядка, £ А г

Алгоритм нахождения индекса задачи для любого £

Примеры из геометрии.

§5. Краевые задачи для сиспем.ЭЛЛИ1ггических по Дуглису - Ннре'мбергуА . -. . . •.

§6. Краевые задачи для системы СтОкса.

§7. Задача Дирихле . . .- ; >•

ГЛАВА 3. О фредгольмовости п'ериодической задау[и для общих эллиптических систем на плоскости ••

§ 1. Периодическая задача для одной эллиптической системы первого порядка.

- 3

§ 2. О фредгольмовости периодической задачи для общих эллиптических систем первого порядка.

§ 3. О фредгольмовости периодической задачи для систем эллиптических по Дуглису — Ниренбегу.

ГЛАВА 4. Некоторые приложения к гидродинамике и геометрии

§ 1. Линеаризованная система Навье — Стокса

Вспомогательные построения).

§2. Краевые задачи для системы (1.1).

§ 3. Краевые задачи для системы Навье — Стокса.

§4. Об одном классе жестких й>1пуклых поверхностей.

ГЛАВА 5. О О-сходимости и усреднении одного класса эллиптических систем первого порядка

§ 1. Определение класса А{^ ,1А1) И некоторые его свойства.

§ 2. О-компактность класса Л{ил ,иА).

§3. Усреднение.

§ 4. О геометрии О-компакта недивергентных эллиптических операторов второго порядка.

ГЛАВА 6.Краевая задача Римана — Гильберта для общих эллиптических систем первого порядка. Кусочно-гладкий случай

§ 1. Неко'1'орые пространства функций.

§2. Об одном разложении аГипСпдН^есКНХ матриц.

§ 3. Задача Римана-Гильберта в весовых пространствах

Соболева и Гельдера. О нетеровости задачи.

§4. Формула для индекса задачи Римана-Гильберта.

§ 5. Задача Римана-Гильберта для систем с комплексными коэффициентами.

§ 1, Обозначения и предварительные сведения

1. ОБОЗНАЧЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ. В работе мы пользуемся следующими обозначениями и понятиями:

Q — ограниченная связная область плоскости, граница которой состоит из объединения непересекающихся контуров Го,., , т А 0. Причем Го содержит внутри себя остальные. Иначе говоря, Q есть (гп-{-1 )-связпая область плоскости. Контуры Го,.,ГА называем компонентами границы дQ. т -(- 1 — порядок связности области. евклидово пространство с обычным скалярным произведением: а*6 = а1Ь1^-[-апЬп, аАЬ , к — унитарное пространство со скалярным произведением: а • Ь = (а, Ь)ск = ахЬх -\-Ь аАЬ/,., а,ЬеСл .

М. и С — множества действительных и комплексных чисел. А — оператор Лапласа, Л = д"л/дх\ + 5А/дх\ . V = {д/дх1, д/дх2) — градиент.

НУ и = дщ/дх{ — дивергенция вектора и — [щ, 42) • 1, Е, 8 — единичные мачрицы. diag(Л1,., Хп) — блочно диагональная матрица (в частности, обычная диагональная матрица), главная диагональ которой составлена из блоков Лх,., Лп .

А = {Ах \ А2 \ • . \ Ап) — матрица А, разбитая на блоки Ах, . . ., Ал, причём у каждого блока столько же строк, что и у А.

М.2 — множество квадратных матриц второго порядка, М.2 — • а — знак слабой сходимости в соответствующем пространстве. л1 — как правило, единичный квадрат. О, = (О, 1) х (О, 1).

Ср&*,С), р > 1, — пространство Лебега комплекснозначных п ~ компонентных вектор-функций над полем действительных чисел. Скалярное произведение в £2((5;С) определяется равенством (/, (р) — Ке /д / • Адх (/,(/? 6 £2(<5;С)), где / -р = (/, </?)с" • Норма в

Ср(ШС) определена формулой и Pdx где и и - и. Она эквивалентна обычной норме в пространстве Ср{Ц\£), рассматриваемого как произведение пространств.

Пространства Соболева УУА((5;С), р > 1, комплексных /с-векторА функций рассматриваются также над полем М. Аналогичный смысл имеют и другие пространства, в обозначении которых участвует С. Таковы пространства периодических вектор-функций в гл. 3.

Пространства £р((5; С) и подобные ему естественным образом отождествляются с пространствами 2п-компонентных векторАфункций. Например, если /1 Ч-г/2 элемент Ср^]С), то / = (/1, /2) принад,лежит [Ср^))АА и обратно. При этом, в гильбертовом случае {р = 2) скалярные произведения совпадают.

Для обозначения частных производных функции / = /(ж1,Ж2) применяются символы: Т>Л1\ дjf, д^дх), ] = 1,2. Посредством и дг обозначены дифференциальные выражения [дх-\-182) и

2~-{д1 — 182) соответственно (г.— мнимая единица

С-^) (С° = Са) — банахово пространство.-/с раз непрерывно дифференцируемых в Q функций, к-е производные которых удовлетворяют в Q условию Гельдера с показателем а, О < а < 1, с обычной нормой.

С-^) — С) — банахово пространство к раз непрерывно дифференцируемых BQ функций С естественной-нормой. yVp{Q), р> 1, — пространство Собо.лева. Пространство «сужений» его элементов на dQ обозначаем через \Ур~—[dQ)-. Оба эти пространства банаховы. Подпространство Wp(Q), состоявшее из элементов, сужения которых на dQ равны нулю, обозначим Wp{Q). При р = к = 2 применяем также обозначение W|o(Q)- Когда граница достаточно гладкая, множество СА^) плотно в Wp{Q), а в Wp{Q) плотно множество гладких финитных функций.

Мы говорим, что dQ принадлежит классу , если вектор-функция X =- x{s) (где S длина дуги кривой), задающая dQ при естественной параметризации, принадлежит С-. Аналогично, если Д.х) функция. о заданная на дQ, то пишем / е CA{дQ), если /{х{з)), как функция переменной 5, принадлежит . Полную производную этой функции обозначаем при помощи точки над функцией: / = с1//с1з.

Говоря, что функция периодична, имеем в виду периодичность по канодой переменной с периодом, равным единице. Для обозначения пространств Соболева периодических функций применяем символ Нр,рет{л)л (Ар,рег(А) = >Ар,рег(А)), Причем Срлрл,{П) — Пространство Лебега периодических функций. Нормы в этих пространствах задаются как и в обычных пространствах Соболева (заменой Q на П).

Банаховы пространства гладких периодических функций обозначены символами СААр,,(0), СЛЛ,{Щ л л > О, О < а < 1.

Если а — периодическая функция, то (а) ее среднее значение: (а) = Jл а{х)(1х. Аналогичный смысл имеет (а) и для вектор-функций и матриц. Известно, что а[е~лх) а (а) в С2{Я) при е —> О {е > 0), если а Е >С2,рег(А)- Здесь Q — любая ограниченная измеримая область плоскости.

Пусть Л = Х{^, 1 Е дQ, — непрерывная и не вырождающаяся на дQ матрица, в частности, функция. ' Индексом Л называется деленное на 27Г приращение аргумента функции <1е1 Л при одном полном обходе границы в положительном направлении, оставляющем область слева. Для обозначения индекса применяются символы тс! det Л, тс! Л. Если функции Ло и.Лх гомотопны, т.е. существует непрерывная функция Л(т, 1) переменных (г, 1) £ [О, 1] х дQ, такая, что А(1^) = А1 (а), А(0^) = Ло(А), то индексы Ло и Хх равны. Естественно, Л(г, ^ считается' отличным от нуля для любых т ж 1. Пусть Л- Л|1-А — сужение Л на А'-ю компоненту границы, тогда индексом сужения мы называем индекс ЛА-, рассматриваемой как матрица (функция) на ГА-. При этом, Г4- рассматривается сама по себе, как граница ограниченной области внутри ГА-. Кроме того, если хА-, ] — 0,.,т, — индексы •.сужений, то, очевидно, 1пс! Л = хо — XI — • • • — Я'т.

Матрицу а(ж) будем называть эллиптической, если ее собственные значения имеют отличные от нуля мнимые части. Говорим, что матрица непрерывная, дифференцируемая и т. п., если этим свойством обладает каждый элемент матрицы. При этом пишем а ЕС, а Е и т.п. Пусть а = {огА}, тогда а* - - транспонированная матрица; а = {а{л\ •— матрица с комплексно сопряженными элементами; а* — сопряженная матрица, а* =аЛ.

Квадратную матрицу а порядка к естественным образом можно отождествить с оператором А, действующим в С'"' (К"") по формуле Аг = з.г , где г — вектор-столбец из С'А (М.''). Норму этого оператора обозначим |а|, назовем нормой а.

Вектор-фу1|кцию из п компонент часто называем п-вектором.

Пусть X — банахово пространство, тогда X* — сопряженное пространство; (у*, у) — значение функционала. Если ) =0, говорим, что у* ортогонален г. Когда X гильбертово пространство, .мы часто отождествляем X* с X, что допустимо ввиду теоремы Рисса о представлении линейного функционала. Пусть Хг,. . .,Хк — банаховы пространства, тогда произведение X• = Хг х- • • • х Хк = банахово пространство спермой |у где у = (уь ., У/г) а а- Когда Х1 = • • • = 3£г = 2), то X = 2)АА в записи 2)а мы часто опускаем к. Именно в таком смысле следует понимать фразы: «Вектор-функция принадлежит X», «Пространство вектор-функций X» и т. п. Пространство, сопряженное X, дается равенством X* = (ХА,. .,ХА), при этом & у) = (уА, и ) + • • • + (?а, п)-Пусть А : X -> 2) — оператор; тогда ЗАД — образ А, Кег А — ядро. Прострапство, сопряженное Язрег!А), обозначим ЯАрАДО). о

Через УУ{О) обозначено пространство х (У\лЦО)У • Подпространство УУ'{О), состоящее из элементов и = (кх,. ., и2п) таких, что ААи1с1х = А, г = 1,., п, обозначим через УУо((5). Часто мы дифференциальное выражение и соответствующий ему оператор краевой задачи обозначаем одним и тем же символом. Более того, мы сохраняем обозначение оператора краевой задачи и в том случае, когда область определения меняется.

В каждом параграфе своя нумерация формул, если приходится использовать формулу из другой главы, сначала мы указываем номер главы, затем формулы, например: (1с2.3) — формула 3, § 2, гл. 1. Нумерация теорем и т. п. в ка:ждой главе своя и сквозная. При ссылке сначала идет номер главы, затем теоремы и т. п.

2. нормально разрешимые операторы. Пусть X и У — два банаховых пространства, С {X, У) — пространство линейных непрерывных операторов из А в У. Для любого А л С (X, У), согласно определению сопряженного оператора, имеем: (аа)"*" = Кег А*, где (ЗА)-'- — множество линейных непрерывных функционалов над У, ортогональных ЗА.

Оператор А Е £(А, У) называется нормально разрепп4мым (по

Хаусдорфу), если уравнение Ах — у £ У разрешимо тогда и только тогда, когда (/, 2/) — О Для всех / Е Кег А* = (ЗЛ)-Л . Иначе говоря, сАА = {уеУ\{1,у) = 0 (У/ЕКегА*)}.

Как известно, справедлива теорема (БАНАХА — ХАУСДОРФА) [36]. Следующие свойства оператора А эквивалентны:

1) ЗА —замкнутое подпространство У;

2) А — нормально разрешимый оператор;

3) оператор А* нормально разрешим;

4) ЗА* замкнуто в X*.

Следовательно, любое из предложений (1) - (4) мохшо принять за определение нормальной разрешимости ограниченного оператора.

Пусть СокегА — коядро оператора А Е С{Х,У), т.е. СокегА = У/ЗА, где фактор-пространство понимается в алгебраическом смысле, без учета топологии. Справедливы утверждения:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Пусть ЗА —замкяутое подпространство У, тогда коразмерность ЗА, т. е. dim Сокег А конечна в том и только в том случае, когда конечномерно (ЗА)-*- (или, что тоже самое, — KerA*J.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть dim Сокег А — конечна, тогда ЗА замкнут и dim Сокег А = dimKer А* . предложение 3 (лемма питре [28], [32, стр.185]). Пусть пространство X компактно вложено в банахово пространство Z, тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) оператор А Е £ (А", У) нормально разрешим и имеет конечномерное ядро;

2) для любого X е X имеет место оценка

Со ж X < Ах у -\- Ci x где Со, Сх > О — константы, независящие от х Е X.

3. ПОЛУНЕТЕРОВЫЕ, НЕТЕР0ВЫЕ И ФРЕДГОЛЬМОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ. Пусть А Е С {X, У) — нормально разрешимый оператор. Говорят, что А — полунетеровый оператор, если конечно одно из чисел а — dimKerA или (3 = dimCokerA. (Второе из этих чисел называечхя дефектным числом оператора).- В случае конечности обоих чисел оператор А называют нетеровым. Для полунетерового, в частности, нетерового оператора, корректно определен индекс: шд.А =А а — (5, который может принимать любое целое значение, а также ±оо.

При определении нетерового, а также полунетерового (ограниченного) оператора с конечным дефектным числом, заранее необязательно чребовать условия нормальной разрешимости оператора, т. е. замкнутости ЗА (см. теорему Банаха— Хаусдорфа). В силу предложения 2 оно всегда выполняется.

Пусть А — оператор с конечномерным ядром, тогда для его нете-ровости, согласно предложению 1, достаточно конечномерносчАи ядра А* и замкнутости образа ЗА.'При этом (3 — сИтКегА*.

Нетеровый оператор с пулевым индексом называем фредгольмо-вым. Терминология: нетеровый, полунетеровый не является общепринятым. Говорят также Ф-оператор, Ф± -оператор и т.п.

Если А — нетеровый оператор, то А* также нетеровый, причем 1п(1А* = — 1пс1А. Произведение В А нетеровых операторов А:А — Ау, в : ¥ Z — нетеровый оператор, причем \п(\{ВА) — 'тд.В + Ш(1А. Справедливо, в некотором смысле, и обратное утверждение: если ВА — нетеровый оператор, то А ш В — нетеровые или нет одновременно. Множество нетеровых операторов образует открытое множество в С (А, У), при этом функция 1п(1 постоянна на и и т-\ каждой связной компоненте этого множества. В частности, при малых (в операторной топологии) возмущениях свойство нетеровости и индекс сохраняются. Такое же сохранение имеечА место при любом компактном возмущении. При малых возмущениях также сохраняются индекс и полунетеровость операторов.

Рассмотрим задачу Ах = г/ Е У, ж Е А". Она называется нормально разрешимой, полунетеровой и т. п., если оператор А : X У — нормально разрешимый, полунетеровый и т. п. Индексом данной задачи называется индекс соответствующего оператора.

Обстоятельное изложение теории-нетеровых операторов см. в монографиях [28], [36], [26]. По мере надобности мы дадим точные источники того или иного результата.

4. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ СОБОЛЕВА. Кроме тех свойств, которые указаны выше в п. 1, нам потребуются и другие. Отметим их. Если р >2, то имеет место вложение УУ'),{0) С СДС}), где а = {р — 2)/р (напомним, что у пас Q — ограниченная обласч'ь н.пос-кости). Следовательно, вложение УУр((А) С С((У) компактно. Также имеет место компактность вложения УА2{Я) С С2и т.п. Существует ограниченный оператор продолжения элементов пространства следов У\Ар~АЛА {дQ), p>l,kAl,naQ, действующий из пространства следов в Wp{Q). (Аналогичное утверяодение имеет место и для классических пространств Гельдера). Подробное изложение этих результатов см. например, в 50, 4 и др.

1. Agmon S., Douglis A., NirenbergL. Estimâtes near the boundary for solutions of elliptic partial diiferential équations satisfying general boundary conditions, 1. // Comm. Pure Appl. Math. V. 17. 1964. C. 35-92.

2. Александров A. Д. Выпуклые многогранники. М.: Гостехиздат, 1950.

3. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Мир, 1976.

4. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.; Наука, 1975.

5. Белоносов С. В., Черноус К. А. Краевые задачи для уравнений Навье— Стокса. М.: Наука, 1985.

6. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

7. Боярский Б. Теория обобщенного аналитического вектора // Ann. Polon. Mathem. Т. 10. 1966. С. 41-87.

8. Боярский Б. В. Об одной краевой задаче для системы уравнений в частных производных первого порядка эллиптического типа // ДАН СССР. Т. 102, № 2. 1955. С.201-204.

9. Боярский Б. В. Обобщенные решения системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа с разрывными коэффициентами // Мат. сб. Т. 43, № 4. 1957. С. 451-503.

10. Боярский Б. В. Некоторые краевые задачи для уравнений эллиптического типа на плоскости. Диссертация. М.: МГУ, 1955.

11. Векуа И. Н. Обобщенные ан'алитич'еские функции. М.: Наука, 1988.

12. Векуа Н. П. Системьг-сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.:А Госч-ехиздсхт,' 1950. А

13. Виноградов В. С. Граничная задача для эллиптической системы первого порядка на плоскости //• Д-ифф.урав. Т. 7, Яг 8. 1971» С. 1440-1448.

14. Виноградов В. С. О граничньцс задачах для эллиптических систем на плоскости с непрерывными'коэффициентами // ДАН СССР. Т. 227, № 4. 1976. С. 777-780- , •' ' , * '. • '

15. Виноградов В. С. О.б одном методе решения граничной задачи для эллиптической системы первого порядка на плоскости // ДАН СССР. Т. 201, Ш 4. 1976. С. 767-770. а .

16. Волевич Л. Р. Разрешимость 'Краевых заДач для общих эллиптических систем // Матем. сб. Т. 68, 3. 1965. С. 373-416. . . • !' /

17. Вольперт А. И. Нормальная'разрешимость-граничных, задач, для эллиптических систем дифференц}1альных уравнений на.плоскостй // Теор. и прикл. матем. Вып. 1. 1958. С. 28-А57. ' ' ' •

18. Вольперт А. И. Об индексе и нормальной разрешимости граничных задач для эллиптических систем" дифференциальных, уравнений на плоскости // Тр. ММО. Т. 10. 1961. С. 41-87! . '

19. Гатпмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. , ''

20. Гахов Ф. Д. Краевые Азадачи. М.: ГИФМЛ, 1-963. '

21. Голузин Г. Н. Геометрическая теория функций комплексного .переменного. М.: Наука, 1966.

22. Данилюк И. И. Некоторые свойства решений эллиптических систем 1-го порядка и краевые задачи. Диссертация. М.: Мат. ин-т АН СССР, 1958.

23. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А., Ха Тьен Нгоан. Усреднение и G-сходимость дифференциальных операторов // УМН. Т. 34, вып. 5(209). 1979. С. 65-133.

24. Жиков В. В., Сиражудинов М. М. О G-компактности одного класса недивергентных эллиптических операторов второго порядка // Изв. АН СССР, Сер. матем. Т. 45, № 4. 1981. С. 718-733.

25. Жура Н. А. Краевые задачи типа Бицадзе—Самарского для эллиптических в смысле Дуглиса—Ниренберга систем // Дифф. урав. Т. 28, № 1. 1992. С. 81-91.

26. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир., 1980.

27. Кац, Лебедев. Динамика жидких кристаллов. М.: Наука, 1988.

28. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971.

29. Ладыженская O.A., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического тина. М.": Наука, 1964.

30. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: ГИФМЛ, 1961.

31. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988.

32. Лионе Ж.-Л., Ма'дженес Э. Неоднородные граничные задачи и их при.то-жения. М.: Мир, 1971. »

33. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

34. Мусхелешвили Н. Я'.' Сингулярные интегральные уравнения.' М.: Наука, 1968. , . • ' '

35. Погорелое А. В. Вненшяя геометрия выпуклых поверхностей. *М.: Мир, 1969.

36. Прёсдорф 3. Некоторые к-лассы сингулярных уравнен-ий М.: Мир, 1979.

37. Риман Б. Основы Ьбщей теории функций:*(В'сочинениях).-М.: ГТИ, 1948.

38. Hilbert D. Grundzüge der Integralgleichungen. IAeipzig-Berlin., 1924.

39. Сафаров Д. Периодические решения эллиптических сцстем первого порядка на плоскости // ДАН Тадж. ССр. Т. 28, JVS 12. 1985. С. 692-694.

40. Сакс Р. С. Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений. Новосибирск: ИГУ, 1975. .

41. Седов Л. И. Механика сплошной .среды. Т.-1. М.: Наука, 1976-.

42. Солдатов А. П. Общая краевая зад'ача (fc — 1 )-го"Порядка для эллиптических уравнений // ДАН СССР. Т. 311, № 1-, 1990. С. 39-43. •

43. Солдатов А. П. Общая краевая задача дляА эллиптических систем // ДАН СССР. Т. 311, №3. 1990. С. 539-543.

44. Солдатов А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. М.: Высшая школа, 1991. •

45. Солдатов А. П. Метод теории функций в краевых задачах на плоскости. 1. Гладкий случай. // Изв. АН. Сер. мат. Т. 55, Ks 1. 1991. С. 1070-1100.

46. Солонников В. А. Об общих краевых задачах для'систем, эллиптических в смысле А.Дуглиса и Л.Ниренберга // I. Изв. АН'СССР. Т. 28, № 3. 1964. С. 665-706. П. Тр. матем. цн-та им. Стеклова. Т. CIJ. 1966. С. 233-297.

47. Солонников В. А. Разрешимость задач о движениивяз'кой'несжимаемой жидкости, ограниченной свободной поверхностью // Некоторые пробл. газ. динам. Сб. научных тр. Новосиб.: Изд. Ин-та гидрод. СОАНССС-Р Вып. XXII. 1975. С. 182-197.

48. Соломяк М. 3. Об условии Я.Б.Лопатинского разрешимости краевых задач // Вестник ЛГУ. № 1. 1965. С. 143-144.

49. Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и-численный анализ. М.: Мир., 1980.

50. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

51. Радон И. О краевых задачах для логарифмического потенциала // УМАН. Т. 1, вып.3-4. 1946. С.96-124.

52. Данилюк И. И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М.: Наука., 1975.

53. Магнарадзе Л. Г. Основные задачи плоской теории упругости для контуров с угловыми точками // Тр.Тбилисск.матем.ин-та. Т. 4. 1938. С. 43-76.

54. Лопатинский Я.Б. Теория общих граничных задач. Киев: Наук, думка., 1984.

55. Солдатов А. П. Метод теории функций в эллиптических задачах на плоскости. 2. Кусочно-глаЛкий случай // Изв. РАН. Сер. матем. Т. 56, № 3. 1992. С.566-604.

56. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками // Тр. Моск. Матем. Об-ва. Т. 16. 1967. С. 202-292.

57. Кондратьев Б. А., Олемник О. А: Краевые задачи д.пя уравнений с частными производными в негладких областях .// УМН. Т. 38, № 2 1983. С. 3-76.

58. Назаров С. А., Пламеневский Б.А. Эллин 1Аические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М.: Наука., 1991.

59. Агранович М. С, Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего видау// УМН. Т. 49, № 3. 1964. С. 53-160.

60. Крейн С. Г. Линейные уравне'ния, в ба-Наховом пространстве. М.: Наука., 1971. • • , •• .

61. Сираэюудинов М. М. О краевой задаче Римана,— Гильберта (Ьг-теория) // Дифф. урав. Т. 25, № 8. 1989. 0.1400-1406. '

62. Сираэюудинов М. М. О задаче Римапа — Гильберта для эллиптических систем первого порядка в многойвязной обЛастй // Мате'м. сб. Т. 184, №11. 1993. С. 39-62. • • :.

63. Сираэюудинов М. М: Краевые задачл для общих эллиптических систем на ппоскости // Изв. РАН. Сер. мат Т. 61, № 5. 1997. С. 1'37А176

64. Сирамсудинов М. М, Новые задачи для общих эллшггических систем на плоскости // Доклады РАН, Т. 343, 1. 1995. С. 19-21.'

65. Сиражудинов М. М., Магомедов А. Г., Магомедова В. Г. Краевые задачи для общих эллиптических систем на плоскости. И// Изв. РАН. Сер. мат. Т. 64, № 3. 2000. С. 169-224 -.• . .

66. Сиражудинов М: М. О периодических регйения-х одной эллиптической системы первого порядка // Мат.'зам. Т. 48, вып. 5. 1990.

67. Сиражудинов М. М.О С-колАпактности одного класса эллиптических систе.м первого порядка.// Дифф. урав. Т.26, 1990. С. 298-А305.- 237

68. Жиков В. В., Сиражудинов М. М. Усреднение системы уравнений Бельтра-ми // Дифф. урав. Т. 24, № 1. 1988. С. 64-73.

69. Сиражудинов М. М. О геометрии С-компакта недивергентных эллиптических операторов второго порядка // Исследование качественных свойств реш. кр. задач. Воронеж. ВГУ. 1991.

70. Сиражудинов М. М. О задаче Римапа — Гильберта для общих эллиптических систем первого порядка в миогосвязной области // Тезисы докл. Ме-ждунар. Симп. памяти Мусхелешвили. Тбилиси. 1991.

71. Сиражудинов М. М. О В1лчисле11ии индекса краевых задач д-тя общих однородных эллиптических систем в многосвязной области плоскости // Труды .лаборатории "Некоторые проблемы нелинейного анализа и экстремальные" задачи. Махачкала. ДГУ. 1994.

72. Сиражудинов М. М. О задаче Римапа — Гильберта // Деп. ВИНИТИ. 1438В 87. 1987. 30 стр.12.. Сиражудинов М. М. О периодических решениях эллиптических систем первого порядка // Деп. ВИНИТИ. 1987. -1438-0 87. 20 стр.

73. Сиражудинов М. М. С-с.ходимость эллиптических систем двух уравнений первого порядка // Деп. ВИНИТИ. 1987. 1437-В 87. 35 стр.

74. Сиражудинов М. М. Об усреднении некоторых эллиптических систем 2п (п > 1) уравнений первого порядка // Деп. ВИНИТИ. 1987. 1474-В 87. 27 стр. 5

75. Сиражудинов М. М. С-сходимостЪ и усреднение некоторых недивергентных эллиптических онераторо!! высокого порядка //Дифф. урав. Т. 19, №11. 1983. С. 1949-1956. . . •

76. Сиражудинов М. М., Умалатов 'С. Д. Краевые задачи для системы Навье Стокса // Деп. ВИНИТИ. 19'98. 236-В 98. 34 стр.