О G-сходимости и усреднении квазилинейных эллиптических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. Вспомогательные результаты.

§ 1. Об одной краевой задаче Римана-Гильберта для квазилинейной эллиптической системы.

§2. Интегральное тождество для элементов ядра A*(rj).

§3. Периодические решения одной переопределенной системы.

§ 4. Непрерывная дифференцируемость элементов ядра А*(т]).

§5. О липшицевости по г) элементов Ker A*(rj).

§ 6. Непрерывная дифференцируемость по 7] элементов Ker A*(rj).

Глава П.Усреднение квазилинейных эллиптических систем.

§ 1. Вспомогательные леммы.

§ 2. Усреднение квазилинейных эллиптических систем.

§ 3. Некоторые свойства усредненной системы.

§ 4. Примеры по усреднению систем.

§5. Усреднение недивергентных квазилинейных эллиптических операторов второго порядка.

Глава III. G-компактность одного класса квазилинейных эллиптических систем.

§ 1. О G-сходимости одного класса линейных эллиптических систем.

§ 2. Некоторые свойства G-предела систем специального вида.

§ 3. О G-компактности одного класса квазилинейных эллиптических систем первого порядка.

§ 4. Усреднение систем из класса Aq(vq, z/i, 7).

1. Вопрос об усреднении дифференциальных операторов с частными производными и связанный с ним более общий вопрос о G-сходимости последовательности операторов возник в связи с задачами математической физики. В частности, различные задачи механики сильно неоднородных сред приводят к необходимости построения усредненных моделей для этих сред. Физические процессы, рассматриваемые в таких средах, описываются дифференциальными уравнениями с частными производными, причем сильная неоднородность этих сред приводит к изучению уравнений с быстро меняющимися коэффициентами. Такие задачи возникают в теории упругости, в теории гетерогенных сред и композитных материалов. Непосредственное решение таких задач, как правило, невозможно. Поэтому возникает вопрос о постороении моделей для сильно неоднородных сред, приводящих к более простым дифференциальным уравнениям, которые по отношению к исходным уравнениям, описывающим сильно неоднородную среду, называются усредненными. Часто такие дифференциальные уравнения имеют постоянные коэффициенты и дают возможность определить с большой точностью эффективные характеристики первоначальной среды.

Целью данной диссертационной работы является изучение G-сходимости и усреднение квазилинейных эллиптических систем первого порядка на плоскости.

Все результаты, излагаемые в диссертации, являются новыми, полученными впервые.

Термин усреднение в первую очередь ассоциируется с методами нелинейной механики и обыкновенных дифференциальных уравнений, развитыми в трудах А. Пуанкаре, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского [3].

Для дифференциальных уравнений с частными производными задачи усреднения изучались физиками и механиками еще со времен Максвелла и Рэлея, но они долгое время оставались вне интересов математиков. Однако, начиная с середины 60-х годов 20-го столетия, теория усреднения для уравнений с частными производными стала интенсивно развиваться развиваться математиками, что вызвано не только многочисленными приложениями (в первую очередь в теории композитных материалов), но и появлением новых глубоких идей и понятий, важных и для самой математики. Понятие G-сходимости последовательности операторов было введено в работах С.Спаньоло ([41], [42]) в 1967 г. и в применении к дивергентным уравнениям второго порядка впервые исследовалось в работах Е. Де Джорджи и С. Спаньоло ([40], [41], [42]).

В настоящее время теории усреднения и связанными с ней вопросами асимптотического анализа, G-сходимости, Г-сходимости функционалов посвящена большая математическая литература. Это книги В.А. Марченко, Е.Я. Хруслова [19], А. Бенсусана, Ж.-JI. Лионса, Г. Папаниколау [38], Э. Санчес-Паленсии [24], Н.С. Ба-хвалова, Г.П. Панасенко [1], В.В. Жикова, С.М. Козлова, О.А. Олейник [10] и др.

Для дивергентных операторов произвольного порядка вопросы G -сходимости и усреднения рассматривались в работах Жикова В.В., Козлова С.М., Олейник О.А. и Ха Тьен Нгоана ([10]).

Для линейных недивергентных операторов вопросы усреднения и G-сходимости рассматривались в работах Фрейдлина [34], Жикова В.В., Сиражудинова М.М. [12], [13], [25]—[28]. Следует отметить, что эти вопросы для недивергентных операторов представляют собой задачу более трудную, чем для дивергентных операторов

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Принята двойная нумерация. Первое число означает номер параграфа в данной главе, второе — номер утверждения или формулы этого параграфа. Если имеется ссылка на утверждение или формулу из другой главы, указывается также номер главы.

1. Бахвалов Н.С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука. 1984.

2. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир. 1966.

3. Боголюбов Н.Н., Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М. 1963.

4. Боярский Б. В. Обобщенные решения системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа с разрывными коэффициентами // Матем.сб. Т.43, № 4. 1957. С. 451 -503.

5. Веку а И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука. 1959.

6. Виноградов B.C. О некоторых краевых задачах для квазилинейных эллиптических систем первого порядка на плоскости / / ДАН СССР. Т.121, № 4. 1958. С. 579 581.

7. Виноградов В. С. Об ограниченности решений краевых задач для линейных эллиптических систем первого порядка на плоскости // ДАН СССР. Т.121, № 3. 1958. С. 399 402.

8. Виноградов B.C. Об одной краевой задаче для линейных эллиптических систем дифференциальных уравнений первого порядка на плоскости // ДАН СССР. Т.118, № 6. 1958. С.1059 1062.

9. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы: Общая теория. М.: ИЛ. 1962.

10. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Физ-мат. лит. 1993.

11. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А., Ха Тьен Нгоан. Усреднение и G -сходимость дифференциальных операторов // УМН. Т.34, вып.5. 1979. С.65 133.

12. Жиков В.В., Сиражудинов М.М. О G-компактности одного класса недивергентных эллиптических операторов второго порядка // Изв. АН СССР, Сер. матем. Т.45, №4. 1981. С. 718 -733.

13. Жиков В.В., Сиражудинов М.М. Усреднение системы уравненийБельтрами // Дифф. ур. Т.24, № 1. 1988. С. 64 73.

14. Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1968.

15. Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для уравнений эллиптического типа. М.: Изд-во АН СССР. 1962.

16. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Геометрические свойства решений линейных систем уравнений с частными производными / / РАН СССР. Т.112, № 5 1957. С. 810 811

17. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука. 1964.

18. Магомедов Г. А. Основы теории обобщенных аналитических функций одной и многих комплексных переменных. Махачкала: ИПЦ ДГУ. 2003.

19. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев, «Наукова думка». 1974.

20. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа. 1977.

21. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука. 1977.

22. Райтум У.Е. Задачи оптимального управления для эллиптических уравнений. Рига, «Зинатне». 1989.

23. Райтум У.Е. К G-сходимости квазилинейных эллиптических операторов с неограниченными коэффициентами / / ДАН СССР. Т.261, № 1. 1981. С. 30 34.

24. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир. 1984.

25. Сиражудинов М.М. G-сходимость и усреднение некоторых недивергентных эллиптических операторов высокого порядка // Дифф. ур. Т. 19, JV* 11. 1983. С. 1949 1956.

26. Сиражудинов М.М. О G-компактности одного класса эллиптических систем первого порядка // Дифф. ур. Т.26, № 2. 1990. С. 298 305.

27. Сиражудинов М.М. О периодических решениях одной эллиптической системы первого порядка // Матем. зам. Т.48, вып. 5.1990. С. 153 155.

28. Сиражудинов М.М. О геометрии g-компакта недивергентных эллиптических операторов второго порядка // Исследование качественных свойств реш. кр. з. Воронеж. ВГ"У. 1983.

29. Сиражудинов М.М., Амучиева Т.С. Усреднение квазилинейных эллиптических систем первого порядка на плоскости // Вестник ДГУ, Естественные науки, вып. 1. 2004. С. 8 12.

30. Сиражудинов М.М., Амучиева Т.С. Усреднение недивергентного квазилинейного эллиптического оператора // Матер, междунар. конф. «Совр. пр. матем.», Махачкала. 2004. С. 70 74.

31. Сиражудинов М.М., Амучиева Т.С., Магомедов Г.А. О g-компактн одного класса квазилинейных эллиптических систем первого порядка // Матер, междунар. конф. «Совр. пр. матем.», Махачкала. 2004. С. 68 70.

32. Соболев С.Я. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука. 1988.

33. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир. 1973.

34. Фрейдлин М.И. Задача Дирихле для уравнений с периодическими коэффициентами, зависящими от малого параметра // Теория вероятности и ее применение. 9:1 (1964). С. 133 139.

35. Амучиева Т.С. Об усреднении одной квазилинейной эллиптической системы // Современные методы теории кр. з. Воронеж. ВГУ. 2004.

36. Амучиева Т.С. Усреднение квазилинейных эллиптических систем первого порядка на плоскости // Деп. ВИНИТИ. № 763-В2004 2004. 22 стр.

37. Амучиева Т.С. Усреднение недивергентного квазилинейного эллиптического оператора / / Сборник трудов молодых ученых Дагестана, Вестник ДНЦ РАН. № 18 2004.

38. Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structures. North-Holland Publ. 1978.

39. Bers L. Theory of pseudo-analitic functions. New-York. 1953.

40. De Giorgi E., Spagnolo S. Sulla convergenza degli integrali dell'energiaper operatori ellittici del 2 ordine // Boll. Un. Mat. Ital., (4), 8 1973. P. 391 411

41. Spagnolo S. Sul limite delle solutioni di problemi di Cauchy relativi all'equazione del calore // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, CI. Sci. 21 1967. P. 657 699

42. Spagnolo S. Sulla convergenza di solutioni di equazioni paraboliche ed ellittiche // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, CI. Sci. 22 1968. P. 577 597

43. Tutsechke W. Partille komplexe Differential gleichungen // Berlin D. V, № 1 1977.