Предельный переход в дифференциальных уравнениях со слабо сходящимися коэффициентами и его приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 ол

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК - МАЩ1ЛТ05ЕСКИЙ ИНСТИТУТ им.В.А.СТЕКЛОВА

на правах рукописи УДК 517.956

КАМЫНИН Виталий Леонидович

ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ СО СЛАБО СХОДЯЩИМИСЯ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.02. - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических, наук

москва-1996

Работа выполнена в отделе вычислительных методов Вычислительного Центра РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.А.Дубинский

Ведущая организация: Институт Математики им. С.Л.Соболева

СО РАН

на заседании диссертационного совета Д 002.38.01 при Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН (117966 Москва, ГСП-1, ул. Вавилова, 42)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИРАН им. В.А.Стеклова

доктор физико-математических наук, профессор В.В.Жиков

доктор физико-математических, наук, академик Академии наук Украины И.В.Скрыпник

Защита состоится

Ц.юяе в (М час.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.38.01, доктор физико-математических наук, профессор

Ю.Н.Дрожжинов

Актуальность теш. Исследование предельных переходов в дифференциальных уравнениях, проводимое в настоящей диссертации, инициировано задачами математического моделирования различных физических процессов в средах с сильно меняющимися (во времени и в пространстве) свойствами.

Один из подходов к такому моделированию основан на теории усреднения дифференциальных операторов, которая быстро развивается в последние 25-30 лет в работах Н.С.Бахвалова, H.H.Боголюбова,

B.В.Жикова, Г.А.Иосифьяна, С.М.Козлова, В.А.Марченко, Ю.А.Митро-польского, О.А.Олейник, Г.П.Панасенко, И.В.Скрынника, Е.Я.Хрусло-ва, А.С.Шамаева, А.Бенсуссана, Ж.-Л.Лионса, Г.Папаниколау, Е.Сан-чес-Паленсия и многих других. С теорией усреднения тесно связана теория G-сходимости операторов, начатая в работах Э.Де Джорджи и

C.Спаньоло и развитая затем в работах Л.Тартара, Ф.Мюра, В.В.Жикова, С.М.Козлова, О.А.Олейник, Дк.Дал Мазо и многих других авторов.

В диссертации предлагается другой подход, основанный на исследовании сходимости решений уравнений со слабо сходящимися коэффициентами, при помощи которой и осуществляется переход от "микроскопических" к "макроскопическим" параметрам рассматриваемых сильно неоднородных сред. Такое исследование имеет, очевидно, как теоретический, так и прикладной интерес.

Отдельные результаты, связанные с этим подходом, были ранее получены для некоторых частных классов линейных эллиптических и параболических уравнений.1-4

В первой главе диссертации дано развитие теории предельного перехода для широкого класса квазилинейных параболических и эл~

1 Хасьминский P.S. 0 принципе усреднения для параболических и эллиптических дифференциальных уравнений и марковских процессов с малой диффузией // Теория вероятн. и ее щшмэн. 1963. Т. 8,

ä 1. С. 3-25.

2 Сенаторов П.К. Коэффициентная устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и параболических

Равнений на плоскости // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7, 4. С. 754-758.

О

Марков В.Г., Олейник O.A. 0 распространении тепла в одномерных дисперсных средах // Прикл. матем. и механ. 1975. Т. 39, £6. С. 1073-1081.

4 Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A. О G-сходимости параболических операторов // УМН 1981. Т. 36, № 1. С. 11-56.

- г -

липтических уравнений со слабо сходящимися коэффициентами. В диссертации впервые рассмотрены также вопросы предельного перехода в обратных задачах для эволюционных уравнений со слабо сходящимися коэффициентами (этим вопросам посвящена глава 2).

Теория обратных задач для дифференциальных уравнений интенсивно развивается в последнее время. С точки зрения приложений это направление тесно связано с задачами нахождения неизвестных характеристик сред, материалов по данным физических экспериментов. Если при решении обычных краевых задач (прямых задач) необходимо найти решение соответствующего дифференциального уравнения, удовлетворяющее краевым условиями, то в обратных задачах неизвестным является также один или несколько коэффициентов уравнения или его правая часть. Для определения этих неизвестных величин в обратных задачах приходится задавать больше дополнительных условий, чем в соответствующих прямых задачах: помимо обычных краевых условий задаются еще так называемые условия переопределения. Такие задачи можно также интерпретировать как задачи управления: при решении задачи нам необходимо найти неизвестный коэффициент уравнения (управление) так, чтобы соответствующее решение краевой задачи удовлетворяло бы дополнительному условию (условию переопределения). Постановки самих обратных задач, исследуемых в диссертации и их разрешимость рассматривались в работах А.И.При-лепко, И.А.Васина, Д.Г.Орловского, В.В.Соловьева, Дж.Кэннона, Я.Лина и др.

Бри исследовании возможности предельного перехода в дифференциальных уравнениях со слабо сходящимися коэффициентами представляет большой интерес получение оценок отклонения решений таких уравнений от решения соответствущего предельного уравнения в норме того или иного функционального пространства. Этим вопросам посвящена глава 3 диссертации. Ранее близкие вопросы для некоторых классов линейных эллиптических и параболических уравнений и систем с дивергентной главной частью, а также для систем обыкновенных дифференциальных уравнений изучались в работах Н.С.Бахва-лова, А.А.Злотника, Г.А.Иосифьяна, О.А.Олейник, А.С.Шамаева.

Последние две главы диссертации посвящены приложениям теории предельного перехода в параболических уравнениях со слабо сходящимися коэффициентами к вопросам асимптотического при t — +<» по-

- з -

ведения решений задачи Коши и первой краевой задачи для квазилинейных параболических уравнений.

Проблемы асимптотической близости решений задачи Коши и их стабилизация различными методами и при различных условиях на данные задачи изучались в работах А.К.Гущина, В.В.Жикова, Т.И.Зеле-няка, В.П.Михайлова, В.Д.Репникова, Ф.О.Порпера, С.Д.Эйдельмана, С.Каменомостской и др. В основном исследовались линейные дивергентные уравнения Недивергентные уравнения рассматривались в линейном случае с одной пространственной переменной и в случае периодических и почти-периодических коэффициентов. Для исследования указанных вопросов асимптотического поведения решений задачи Коши В.В.Жиковым5 был предложен метод, основанный на замене независимых переменных вида (t,x) —» (k2t,Kx) (k. - большой параметр), сведении исходной задачи к задаче усреднения вспомогательного дифференциального уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами и применении оценки Нэша6 решений параболических уравнений в норме Гельдера .

В четвертой главе диссертации используются оценки решения в гельдеровской норме и идея сведения исходной задачи об асимптотическом поведении решений к задаче исследования вспомогательных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами. Для решения последней задачи применяются методы, разработанные в главе 1. При этом оказывается возможным исследовать случаи как дивергентных, так и недивергентных квазилинейных параболических уравнений и доказать асимптотическую близость решений задач Коши для уравнений, коэффициенты которых могут не удовлетворять ограничениям, наложенным в работах других авторов.

В главе 5 изучается вопрос о сходимости при t —« +оо решений параболических уравнений в ограниченной области с однородным граничным условием к решению краевой задачи для "предельного" эллиптического уравнения при условии сходимости коэффициентов параболического уравнения к соответствующим коэффициентам эллиптического уравнения в некотором слабом смысле.

5 Жиков В.В. О стабилизации решений параболических уравнений // Матем. сб. 1977. Т. 146, №12. С. 597-616.

6 Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations // Amer. J. Math. 1958. V, 80, n. 4. P. 931-954.

Большинство полученных ранее результатов других авторов по этой тематике доказаны в предположении сходимости при t — +<» коэффициентов параболического уравнения к коэффициентам эллиптического ураванения в том или ином сильном смысле, например, в норме с, Ъ2 и др.

В работе А.Арозио7 в случае линейных параболических уравнений с дивергентной главной частью условие сильной сходимости коэффициентов было ослаблено. Это сделано с привлечением теории G-сходамости линейных параболических операторов, примененной к семейству операторов, полученных из исходного путем замены независимых переменных (t,x) —»- (t+k,x), k=1,2.....

Мы используем эту замену и сводим исходную задачу об асимптотическом поведении решений к вопросу о предельном переходе в последовательности краевых задач для параболических уравнений со слабо сходящимися коэффициентами, после чего применяются результаты Главы 1. Такая методика позволила, в частности, допустить осциллирующие коэффициенты в рассматриваемых уравнениях, а также рассмотреть случай квазилинейных уравнений недивергентной структуры второго порядка и случай недивергентных уравнений высокого порядка.

Цель работы - состоит в развитии теории предельного перехода для широкого класса прямых и обратных задач для линейных и квазилинейных параболических и эллиптических уравнений со слабо сходя щимися коэффициентами, получении точных условий, позволяющих осуществить указанные предельные переходы, получении оценок скорости сходимости решений краевых задач для рассматриваемых уравнений, а также в приложении результатов по предельному переходу в параболических уравнениях к исследованию асимптотического при t —» +х поведения решений квазилинейных параболических уравнений с нерегулярными коэффициентами.

Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты являются новыми.

1. Для различных классов квазилинейных параболических и эллиптических уравнений (второго и высокого порядка, с дивергентной и

Arosio A. Asymptotlc behavior as t —► со of solutions of linear parabolfc équations with discontinuous coefficients // Corn. Partial Diff. Equations. 1979. V. 4, n. 7. P. 769-794.

с недивергентной главной частью), а также для линеаризованных систем Навье-Стокса получены условия, при которых из слабой сходимости коэффициентов уравнений следует сходимость решений соответствующих краевых задач к решению предельной задачи. Основное из таких дополнительных условий (и единственное в линейном случае) состоит в слабой равностепенной непрерывности старших коэффициентов по независимым переменным. Доказана эквивалентность этого условия условию сходимости старших коэффициентов в некотором пространстве линейных функционалов. Приведены примеры функций, удовлетворяющих таким условиям, а также примеры, характеризующие точность доказанных теорем.

2. Впервые рассмотрен предельный переход в обратных задачах для эволюционных уравнений со слабо сходящимися коэффициента™.

3. Установлены точные по порядку малости оценки скорости сходимости решений краевых задач для квазилинейных параболических уравнений со слабо сходящимися коэффициентами к решению предельней задачи.

4. Доказаны теоремы об асимптотической при 1; —» +оо близости решений двух различных задач Коши для квазилинейных параболических уравнений (как с дивергентной, так и с не дивергентной главной частью) при условии, что некоторые предельные средние от разности коэффициентов и от разности начальных функций равны нулю. В случае линейных уравнений с одной пространственной переменной получена оценка близости таких решений.

5. Установлены теоремы об асимптотической близости решений первой краевой задачи в ограниченной области для квазилинейных недивергентных параболических уравнений второго порядка, а также для линейных параболических уравнений высокого порядка к решению первой краевой задачи для соответствующего "предельного" эллиптического уравнения при условии близости коэффициентов исходного параболического и предельного эллиптического уравнений в некотором слабом смысле.

Отметим, что хотя большинство результатов диссертации получены сразу для квазилинейных уравнений, однако, все они являются новыми и для соответствующих линейных уравнений.

Общая нетодика исследований. В диссертации используется метод априорных оценок теории дифференциальных уравнений, а также мето-

да теории функций и функционального анализа.

Приложения. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы математическом моделировании физических процессов в сильно неоднородных средах, в теории й-сходимости, в задачах гидродинамики, в теории обратных задач для эволюционных уравнений, в исследованиях по асимптотическому поведению при больших временах решений прямых и обратных задач для эволюционных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:

- на семинарах по дифференциальным уравнениям и математическому анализу в Московском Государственном университете, в Вычислительном Центре РАН, в Математическом институте им. В.А.Стеклова, в Московском инженерно-физическом институте, в университетах городов Милан, Феррара, Пиза, Флоренция, в Международном Центре теоретической физики в г. Триесте;

- на мезвдународных конференциях: 9 Советско-Чехословацком совещании "Применение методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики" (Донецк,1986); Чехословацкой конференции Е0иА0ГРР-7 (Прага,1989); Международной конференции "Некорректные задачи в естественных науках" (Москва,1991); Европейском конгрессе математиков (Парик,1992); Второй школе по композитным материалам и усреднению (Триест, 1993); Второй европейской конференции по параболическим и эллиптическим проблемам (Метц,1994);

- на совместных заседаниях семинара им. И.Г.Петровского и Московского Математического Общества в МГУ (1982,1994);

- на Республиканских конференциях "Нелинейные задачи математической физики" (Львов,1985; Донецк,1987,1991; Черновцы,1989; Севастополь, 1993);

- на Школах по теории операторов в банаховых пространствах (Новосибирск,1985; Новгород,1989; Ульяновск,1990);

- на Воронежской зимней математической школе 1991 г. и многих других.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 15 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация имеет объем 284 страницы и состоит из введения, пяти глав, разбитых на 17

параграфов, трех приложений и списка литературы, включающего 138 наименований. Нумерация параграфов сквозная.

Содержание диссертации

Глава 1 посвящена предельному переходу в прямых задачах для различных классов дифференциальных уравнений со слабо сходящимися коэффициентами.

В § 1 устанавливаются условия, позволяющие осуществить предельный переход в первой краевой задаче в цилиндре Q=(0,T)»0 (О -- ограниченная область в 0Rn с гладкой границей) для параболических уравнений

п

dk(t,x,u.ui^ = £ a^(t,x,utux)ux х + bk(t,x,u,ux), (1k) i.л=1 1 3

k=1,2.....00,

с краевыми условиями

u(0,x) = 0, xeQ; u(t,x) = 0, xeön. (2)

Определение 1. Под обобщенным решением задачи (1k),(2) понимается функция uk(t,x)€C0,a(Q) П Wg12(Q), а€(0,1), удовлетворяющая уравнению (1к) почти всюду в Q и удовлетворяющая краевым условиям (2).

Уравнения (1к) предполагаются равномерно параболическими (с константами параболичности, не зависящими от к), причем относительно коэффициентов при te*» предполагаются выполненными условия9,10, обеспечивающие существование решений uk(t,x) задач (1к),(2), для которых справедливы равномерные по к оценки

sup |uk(t,х)| «K1t |uk| n _ « Kp, K.,K=const>0. (3)

Q 1 с ' (Q) 2 1 ^

Пусть также выполнены следующие условия.

А1. Условие типа условия Кордеса10, обеспечиващее априорную

8 Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

9 Крылов Н.В., Сафонов М.В. Некоторое свойство решений параболических уравнений с измеримыми коэффициентами 7/ Изв. АН СССР,' сер. матем. 1980. Т. 44, Л 1. С. 161-175.

10 Алхутов Ю.А., Мамедов И.Т. Первая краевая задача для недивергентных уравнений с разрывными коэффициентами // Матем. cö. 1986. Т. 173, Я 12. С. 477-500.

равномерную по к оценку вида

»1 ,

^ К,, К_=сопа1;>0. (4)

2 (0) 3 3

В1. Условие на рост младших членов: для любых (1;,х,и,р)€ еСМ-К, Д., МК11, к-1,2,...,«

|Ък(г,х,и,р)| «Ь^р^Ъ^ Ь1 ,Ь£=сопз1;К>.

С1. Условие непрерывности коэффициентов по и и р: для каждого М>0 существует модуль непрерывности о)(р) и числа Ъ>0, Се(0,11

такие, что для всех й0€К1, .....Ь.п)еКп равномерно

относительно к и (г,х,и,р)€0»[-К1,К1Э-К"

п

£ |а^(г,х,и+Ь0,р+11) - а^(г,х,и,р)| +

+ |<1(1 ,х,ц+11ф,р+11) - йк(г,х,и,р)| +

п

+ |Ьк(Ъ,х,и+1г0,р+11) - Ък(г,х,и,р) | ^ ш(|110|) + ^ 1^1

1=1

. Условие сходимости коэффициентов: при к —» «> для любых фиксированных иеС-К^К.,], реК11 слабо в Ь2(0)

йк(г,х,и,р) >- й°°(г,х,и,р), ьк(ъ,х,и,р) ь°°(г,х,и,р),

ак3(1;,х,и,р) >— а^(г,х,и,р), 1,3=1,2,....п.

(Здесь и ниже символ ">-" означает слабую сходимость).

Из оценок (3),(4) вытекает, что найдутся функция и*(г,х)е еСо,а(0) П иф^сз) и подпоследовательность ку —» ® такие, что при

к ^ II ^

V — со равномерно на 0 и —> и , в норме Ъ2(0) и^ — и^, ела-

бовЬг(0) и^ >-^4, и*,.

Возникает вопрос: будет ли указанная функция и*(1;,х) обобщенным решением задачи (1°°),(2) (предельной для (1к),(2) с точки зрения сходимости коэффициентов).

Хорошо известно, что даже в случае линейных уравнений одной только слабой сходимости коэффициентов Б1 недостаточно для положительного ответа на этот вопрос. Необходимо еще дополнительно предполагать некоторые равномерные по к свойства коэффициентов. В диссертации дается две эквивалентных формулировки таких свойств.

В частности, в § 1 мы предполагаем, что для любых и(1;,х)е еС0,а(Ц), 11^(1;,х)€Ь2(0), найдется бесконечно малая последовательность ц(к) (зависящая, вообще говоря, от функции и(1;,х)) такая, о

что V 8(г,х)€Сот(0) справедливы неравенства

(5)

; (6)

а;<3

0

п

II I [а;;Г(*.х.иРих)-в-л(Ъ.х.и.и5Е)]в^ йха*| 4

здесь |М II = ]|Ы| + |в| о « Г-

II 1II ос г а I» I 1с°'а((ш

Справедлива

Теореиа 1.1. При выполнении приведенных выше условий функция и*(г,х) является обобщенным решением задачи (1°°),(2), т.е. возможен предельный переход (вообще говоря, по подпоследовательности к^ —► оо) в задаче (1к),(2). Если обобщенное решение предельной задачи (100),(2) единственно, то предельный переход осуществляется по всей последовательности индексов к —»

В конце параграфа рассмотрен случай одной пространственной переменной; тогда теорема 1.1 допускает усиление, связанное с возможностью иметь более сильные нелинейности в уравнениях (1к).

• В § 2 дается иная формулировка дополнительных условий (5), (6) и доказывается следующая теорема об их эквивалентности.

Теореиа 2.1. Предположим, что коэффициенты йк(Ъ,х,и,р), ак_.(1,х,и,р) уравнений (1к) удовлетворяют условиям В1,С1,Б1. Тогда для выполнения условий (5),(6) необходимо и достаточно, чтобы для любой функции и(г,х)€С0,а(<3), 11^(1;,х)€Ь2(С}) существовал модуль непрерывности зе(р) (зависящий, вообще говоря, от иСЬ.х)) та-

о

кой, что для любых g(t,x)eC (0) и для любых к=1,2,... при достаточно малых г было справедливо неравенство

||[(1к(г+т,х,и,их)-йк(г,х,и,их)]81.(3хс1г| « ае(п:>||8| 1а о' (7)

и при достаточно малых s было справедливо неравенство

п

III [ai3(t.x+zi.u,ux)-aij(t>i.u.us)]gsix_jdidt| S

здесь zis(0,...0,z,0...,0) - n-мерный вектор, 1-ая координата которого равна а, а остальные координаты равны нулю.

Затем даются более простые с точки зрения практической проверки условия, достаточные для выполнения условий (5),(Б) (а также условий (7),(8)).

В конце параграфа приводятся примеры функций, удовлетворяющие условиям (5),(6).

В частности, доказывается, что последовательность функций (п=1)

ük(t,x) = 2+sln/k2t+r*sin(kx), k=1,2,..., dco(t,x)=2,

удовлетворяет условию (5), причем эти функции не являются равностепенно непрерывными по t в норме Lg(t0,1]»[-1,1]).

Аналогично, последовательность функций

ak(t,x) = 2+sin(k2t)*sinV/k2x2+iT k=1,2..... a°°(t,x)=2,

удовлетворяет условию (6), причем эти функции не являются равностепенно непрерывными по х в норме L2([0,1J*[-1,1 ]).

§ 3 посвящен предельному переходу в квазилинейных параболических уравнениях второго порядка с дивергентной главной частью, а также в квазилинейных эллиптических уравнениях второго порядка (как с дивергентной главной частью, так и общего вида). Дополнительные условия на коэффициенты вполне аналогичны условиям (5), (6).

Например, для линейных уравнений п п

ut -1 I + bVl'x)]+ 3=1 3 i=1 х

п

+ 2 а^.хн^ + Ьк(1;,х), (1;,х)€а, к=1,2.....(9к)

1=1 1

это условие формулируется следующим образом: существует последовательность ц(к) —» 0, такая, что для любых 8(1,х)€С°°(и), финитных по переменным х, и для любых к=1,2,... справедливо неравенство

п

IIII <

3=1 <^=1 1

п

ЗД0СЬ <5>а;0 = [\8к

+ 8 + ио+и

г(0) I 1с°*<х(а) * *пь2(с),т;1^1 шш

В § 4 исследуются вопросы точности полученных в предыдущих параграфах теорем о предельном переходе.

Доказаны теоремы о необходимости условий (10) для возможности предельного перехода в параболических уравнениях с дивергентной главной частью со слабо сходящимися коэффициентами.

Для случая недивергентных параболических уравнений показано, что соответствующие условия (5),(6) не могут быть существенно ослаблены. В частности, приведены примеры, показывающие, что в

условии (5) норму ||§|¡сгО в ПР330® части нельзя заменить на норму

+ зир

а в правой части условия (6) нельзя взять норму

|Ы| + вир у {—и—к—и—

Ц(цД+1

шаоп

с любым модулем непрерывности ш(р).

Аналогичные утверждения справедливы и для эллиптических уравнений.

Приводятся также примеры, показывающие, что в доказанных в §§ 1 и 3 теоремах нельзя отказаться от требования равномерности относительно к условий непрерывности младших коэффициентов рассматриваемых уравнений по переменным и и и^.

Наконец, обсуждается соотношение между доказанными в §§ 1 и 3 теоремами о предельном переходе и й-сходимостью соответствующих дифференциальных операторов. Показано, что из доказанных в работе теорем как частный случай следует С-сходимость дифференциальных операторов рассматриваемых задач. В то же время, условия сходимости, налагаемые на младшие коэффициенты в настоящей работе, являются более слабыми, чем это обычно предполагается в теории й-сходимости. Это, в частности, приводит к необходимости условия (10) для коэффициентов ак (1;, х) уравнений (9к), в то время, как для получения результата о С-сходимости операторов, соответствующих уравнениям (9к), такого условия не требуется.

В § 5 доказывается теорема, аналогичная теореме 1.1, для последовательности краевых задач в прямоугольнике Б^СО.ТМ-гЛ] с К2 для параболических уравнений высокого порядка

О = (-1 )та1с( — + ак(...)Б|ти + Ьк(...), (11к)

НИ ,2,...,«,; (... )=(!;,х,и,Бхи.....в|т_1и),

с краевыми условиями

и| =0, В*и| =0, 1=1,2.....ш—1, (12)

Ь=0 2 |х=±1

а в § 6 доказывается теорема о предельном переходе в линеаризованной системе уравнений Навье-Стокса

^(к)

^=1

п

^Ч ~ + 2 а^ = р +

-(к) V 9^к)(1;,х) к + г£к'(1;,х) + 2—- , (г,х)ео. (13к)

3=1 *

(11У V = О, (14)

VI = о, (15)

хеш

к=1,2.....«о.

Для задач (11к),(12) дополнительные условия, аналогичные

условиям (5),(6), формулируются следующим образом: для каждой

функции ) (где д>2 - некоторое число, определяемое

константами параболичности уравнений (11к)) найдется бесконечно

о

малая последовательность ц(к), такая, что У§(1;,х)€Сго(В ) справедливы неравенства

| и [ак(1;,х,и,Вхи.....Б|га-1и) -

- <Лг,х,и,Бхи.....Б^и^сШ^ ^ ц(к)|в| 1>гш , (17)

и^)

| Л [ак(г,х,и,Бхи,...,Б|т-1и) -

2т

- а00(г,х,и,вхи,...,Б2т'"1и)]в^ ват-ь| « мк)|в| 1>2п • (18)

Ид )

Для задач (13к)-(16к) соответствущие условия формулируются

так: существует последовательность ц(к) —♦ 0, к —« со, такая, что

для любой скалярной функции о(г,х)€СС0(а), финитной по переменным

х, имеют место неравенства п

IJ I [a^'mB(t,x)-a^ms(t,x)]oxdxcLt| п 3=1 J

Q

H(k)J sup |o(t,-)| + loj m,s=1,2,...n; (19)

lo«t«p» »L2(0) » x»L2(Q)J

здесь - элементы матриц A^(t,x).

Приводятся примеры, характеризующие существенность этих условий, аналогичные примерам из § 4.

Условия (17)-(19) могут быть эквивалентно переформулированы в терминах слабой равностепенной непрерывности соответствующих коэффициентов, аналогично условиям (7),(8).

В главе 2 с аналогичных позиций исследуется сходимость решений обратных задач для параболических уравнений и для линваризо-

и| = ек, и| __= 8к, (24к)

и условием финального переопределения (22к).

ванных систем уравнений Навье-Стокса со слабо сходящимися коэффициентами.

В § 7 изучается предельный переход в двух типах обратных задач в цилиндре 0 для уравнений

ьк и(1;,х) = 1(х)1гк(г,х) + ^(г.х) (20к)

с краевыми условиями

и| = О, и| = 0, (21)

^=0 |х€Ш

и условием финального переопределения

и(Т,х) = фк(х), (22к)

а также для уравнений

Ьк и(г,х) + 1(х)ик(г,х) = ^(^х) (23к)

с краевыми условиями = 9к, и|

t=0 |х€<эп

ловием финально

Здесь к=1,2,...,оэ, пара (и(г,х),Г(х)) является неизвестной, а

п п

Л = -йк(Х)^ 4 У + I +

1.3=1 1 3 1=1 1

Нас интересует вопрос, при каких условиях на данные задач (20к)-(22к) и (23к),(24к),(22к) решения (ик(1;,х),1к(х)) сходятся при к -» со к решениям (и°°(Ъ,х),Гм(х)) соответствующих предельных задач (20™) - (22ю) или (2300), (2400), (22ю).

Сформулируем теорему для задачи (20к)-(22к). Будем предполагать выполненными следующие условия: коэффициенты уравнений (20к) измеримы, а^^а^, и существуют положительные, не зависящие от к константы Л0,Л1 ,М1 Лг,\ такие, что для любых (1;,хКС1 и всех к=1,2,...а>

п

|^(х)|, ¡^и.х)!, |Фк(х)|, |Фк(х)|, «н,;

чц « ск(х) «-м2; ¡11к(г,х)|, «м^, |11к(т,х)| »

к гга. г а. г г м.т

фк| =0; 1г > 4-1 Г— + [1--5]»ехрГ- -I— 11

|хеап 0 йо I- м2 1 иг} 1 й1 -и

Кроме того, предполагается выполненным условие типа Кордеса А1.

Под обобщенным решением задачи (20к)-(22к) понимается пара функций (ик,Гк) таких, что ик(г,х)€Со'а(0)П№^'2(а), Гк(х)еЬга(П), причем эти функции почти всюду в 0 удовлетворяют уравнению (20к), функция ик(х,х) удовлетворяет условиям (21к), (22к).

Предположим, что при каждом фиксированном к*» относительно данных задач (20к)-(22к) выполнены условия гладкости и согласования, обеспечивающие существование решений этих задач11. В силу сделанных выше предположений, для этих решений справедливы равномерные по к оценки10-12.

¡1к| , |ик1 , ЦиЧ ^ К1, К=сопзг>0,

согласно которым найдутся подпоследовательность к^ —» <» и пара функций (и*(г,х),Г*(х)) такие, что при V —» «> равномерно на 0

Ъг ь- ъ-

и^ -=> и*, в норме Ь2(0) и7 —» слабо в Ь2(0) >—

Ь- СЛаб° В 1'2(П) ^ Ь- Г*.

Емеет место

Теореиа 7.1. Пусть в дополнение к сделанным выше предположениям известно, что при к » слабо в Ь£(П) с1к, ак^, Ьк, ск >— й™,

а^., Ьк, с00; слабо в Ъг(Ц) >- в норме Ь2(0) 1ак -> Ьт;

равномерно на П фк -=> ф00. Кроме того, предположил, что найдется подпоследовательность ц(к) —► 0, к —<- такая что для любых

в^.хкС00«})

II I К^Ьа^х)]* оди] <Ц(К)||в||

П 1.3=1

(25)

(аналог условия (6)). Тогда пара (и*,!*) является обобщенным решением предельной задачи (2000)-(22<х>).

Прилепко А.И., Соловьев В.В. Теоремы разрешимости и метод Ротэ в обратных задачах для уравнений параболического типа // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, й 11. С. 1971-1980.

Аналогично формулируется теорема о предельном переходе в задаче (23к),(24к),(22к).

Приводится также пример, показывающий существенность условия (25) для теоремы 7.1.

В § 8 доказывается теорема о предельном переходе в последовательности обратных задач для параболических уравнений

п п

-1 э1ДаЬ(г'х)ч1+ £ + ьк(г,х)и =

i.d=i " 1=1

п

^ eg^(t.x)

= f(t)hk(t,x) + ^ -дх5—— <26 >

с краевыми условиями

u(0,x) = uk(x), (27k)

ui =0 (28)

|хе<9П

и с условием интегрального переопределения

ju(t,x)pk(t.z}dx = <|>k(t), (29k)

Я

k=1,2,...,со; здесь неизвестной яввляется пара функций (u(t,x), i (t)). Дополнительным условием для возможности предельного перехода в этой задаче является условие (10).

В главе 3 исследуется вопрос об оценке скорости сходимости решений дифференциальных уравнений со слабо сходящимися коэффициентами.

В § 9 рассмотрен случай первой краевой задачи в прямоугольнике Q s [0,Т]*[0,И (п=1) для уравнений

dk(t,x,u)u = ak(t,x)u + t)k(t,x,u)u +

и £z z

+ qk(t,x)ux + pk(t,x,u) + fk(t,x), k=1,2,...(31k) с краевыми условиями

u(0,x) = u(t,0) = u(t,Z) = 0, (32)

а также случай третьей краевой задачи для соответствующих линейных уравнений с краевыми условиями

и(0,х) = ux(t,0) = u(t,Z) = О. (33)

В § 10 исследован случай первой краевой задачи в том же прямоугольнике О для уравнений

йк(х)1Ч = ~^[ак(1;'х)их + Ь^.х.и) + в?^.*)] +

+ qk(t,x)u:£ + рк(1;,х,и) + Гк(1;,х), к=1,2.....® (34к)

с начальными условиями

ц(0,х) = ик(х), (35к)

и граничными условиями

иа.о) = и (г,г) = о, (36)

а также отдельно исследован случай соответствующих линейных уравнений с краевыми условиями (35к),(36), где ослабляются требования на начальные данные.

Наконец, в § 11 рассмотен случай линеаризованных систем уравнений Навье-Стокса (13к)-(16к).

Во всех случаях полученные оценки являются точными по порядку малости при к —• оо, что подтверждается приведенными в диссертации примерами.

Приведем такую оценку, например, в случае задач (31к)-(33). Предположим, что для любых (1;,х,и)€СЗ*К1 и к=1,2,...,«>

йк(г,х,и) > й0, ак(Ъ.х) > а0, й0,а0 = сопв1;>0.

Пусть для решений ик(1;,х) справедлива равномерная оценка

эир |ик(Ъ,х) | «М., М =сопв1;>0.

(Условия, ее обеспечивающие, хорошо известны). Предположим, что для всех (1;,х,и)€<3х[-М1 ,М1 ] равномерно по к

1лк- <' «4x1. 1ак. £.«&!.

|ьк, ък, ък, ък, ькх, |рк, рк, рки, рки|,

|1к| к^сопаио.

Тогда справедлива следующая

Теорема 9.1. Пусть в дополнение к сделанным выше предположениям известно, что при к —» <»

1) для любого фиксированного ие[-М .М,] слабо в 1^(0)

с1к(г,х,и) >- й°°(1;,х,и), рк(1;,х,и) >- pco(t,xtu),

qk(t,x) >- (fit.x), fk(t,x) >- f°°(t,x);

2) равномерно на Q«[-M1,H1]

ak(t,x) -» aco(t,x), bk(t,x,u) b00(t,x,u).

t

Тогда для функций zk(t,x) = Дик(х,х)-ив>(т;,х^ат; справедлива

о

оценка

|zkf < ср.(к), Q

где c=const>0, tzkt = sup |z(t,-)| + llzJ , a ц,(к) —> 0, Q <xt«pl lLg(Q) I x|L2(Q)

к —» со, причем p.(к) явно выражается через коэффициенты уравнений

(31k) и решение u°°(t,x) предельной задачи (31°°)-(33).

В главе 4 с использованием результатов о сходимости решений

уравнений со слабо сходящимися коэффициентами изучаются вопросы

поточечной асимптотической при t +оэ близости решений задач Коши

для параболических уравнений.

В § 12 исследуется вопрос о близости решений двух различных

задач Коши

п

1.3=1 3 1

u(0,x) = u£m)(x), (38m)

т=1,2, в полупространстве при каждом фиксированном хеО?1. Предполагается, что коэффициенты уравнений (37 ) измеримы,

функции a^^t.x.u) равномерно непрерывны по и на множествах

Щ^+1*[-М,М] (да всех М>0), причем для любых (t,x,u)e

€0^+1»Ш1, и для любых SeE"

п

A0\Z\z $ £ ag^t.x.u)?^ < AJEI2, 1.3=1

dQ « d(m)(x) ^ d1, d^d^A^A^constML

Относительно начальных данных u£m)(x) предположим, что |u£m)(x)| «г м0, т=1,2, xeof1; M=const>o.

г1 п

Введем обозначения: О.ЧЙ) = (г, ,г„)»В(й), От; (й) з а. (й),

12

(й) - п-мерный шар в ВР с центром в нуле и радиуса й. Справедлива

Теореыа 12.1. Пусть помимо указанных выше выполнены еще сле-ующие условия:

) для любых фиксированных и,У£[-М0,М0] и для любого й>0 слабо в ,г(01 (й)) при к — со

ат(к21;,Кх,и) - а(2)(к21;,кх,и) >- 0;

!) для любого й>0 слабо в Ь (В(Н)) при к —► ю

й° Чкх) - й(2)(кх) О,

¿п '(кх)и^1 }(кх) - й(2)(кх)и^2)(кх) >- О;

5) для любых б€(0,1), И>0 и любых функций и(г,х)сС0'а(а®(Н)) (где хг=сопвге(0,1) определяется числами п,^,^ ,А0,Л1) найдется модуль ©прерывности эек в (р) такой, что для любых д^.хКС00^ (й)), ринитных по переменным х, и для любых к при достаточно малых в зправедливы неравенства

J=1 в 1=1

ZI i Z [aij'^t'^^+z1)»11) - ag'd^t.tec.u)]^ dxdt| ^

< ae„ л (|z|)/g\ ft , m=1,2; <C8X;Q»(R)= (Ww^Q^R)) + l^l G°'a(Q® (R)) +

здесь

I^CO.I;^1 (B(H>).

Тогда при каждом xeR*1 для решений u(14t,х) и ui2)(t,x) задач (371), (381) И (37g), (38g)

lim fu(1)(t,i)-u(Z)(t,x)l = 0.

t—И-оо J

В конце параграфа приведен пример задач Коши, для которых применила теорема 12.1, но которые не удовлетворяют условиям работ других авторов.

В § 13 аналогичные теоремы доказываются для решений задач Кош для уравнений

п

d(m)(t,x,u,ux)ut = £ ag'tt.i.u.W^ ' <39m>

i.j=1 i 3 с начальными условиями (38 ), m=1,2.

m

При этом отдельно рассматриваются случаи п>1 и n=1, а также случай линейных уравнений.

Подчеркнем еще раз, что для недивергентных уравнений ранее имелись результаты только для случая линейных уравнений при п=1 и для линейных уравнений с периодическими или почти- периодическими коэффициентами, причем в случае почти-периодических коэффициентов - только для уравнений с не зависящими от t коэффициентами.

Наконец, § 14 посвящен получению оценки близости решений задач Коши на полуплоскости К2 для линейных уравнений

dim)(x)u. = u (40 )

4 t xx m

с начальный! условиями (38щ), m=1,2, где d(m)(x), (х) измеримые функции, удовлетворяющие для любых xeR1 условиям

o<d0aw(ï)a,, |u£m)<x)i « м0. (41)

Предположим, что существуют функции d(x), Г(х) такие, что при к - со слабо в L2([-R,R]) (VR>0)

d(m)(kx) >- d(x), d(m)(кх)и^т)(kx) >— f(x), m=1,2. (42)

Тогда имеет место

Теореыа 14.1. При выполнении условий (41),(42) для разности u(15(1;,х)-и(2)(1;,х) решений задач (40т) (38т), пИ,2, справедлива оценка

1

t2

|(t-x)[u(1 }(<t,x)-u(2)(x,x)]dT:

^ с^/Т) + cg W , Щх\г, /1

где c1,c2 - положительные константы, зависящие только от dQ,d1, MQ, а ц(к) — 0,лк —» со и явно выражается через функции d£m-'(x), u*m)(x), d(x), f(x) и решение w(t,x) задачи Коши

й(х)и1. = ч?^, (г.хко^, я(0,х) = Г(х)Л1(х).

Отметим, что ранее в литературе отсутствовали результаты об оценках асимптотической близости решений даже в случав простейших уравнений типа (40т).

В главе 5 дается применение результатов главы 1 для доказательства асимптотической при 1; — +<» близости решений недивергентных параболических уравнений (в том числе с осциллирующими коэффициентами) к решению соответствующего "предельного" эллиптического уравнения. Условия близости коэффициентов исходного параболического и предельного эллиптического уравнений понимаются в некотором слабом смысле. В случае линейных уравнений второго порядка с дивергентной главной частью близкие результаты были получены А.Арозио7. Для недивергентных же уравнений все известные ранее результаты предполагали близость соответствующих коэффициентов в том или ином сильном смысле (в нормах пространств С(П), Ьг(П) и т.д.).

В § 15 исследуется вопрос о сходимости при !; — +*> ограниченных решений квазилинейного параболического уравнения

п

<1(1;,х)^ = £ + МЪ.х.и.и^), (43)

(г,х)еаоон(о,оо)хп,

удовлетворяющих однородному граничному условию и| = 0, (44)

к решению первой краевой задачи в области П для эллиптического уравнения

п

£ а^(х)Ух.х. + Ъ°°(Х,У,У2) = 0 (45)

1.3=1 1

с граничным условием

УI = 0. (46)

|хе0П

При этом решение у°°(х) задачи (45),(46) рассматривается как решение в 0 первой краевой задачи

<fwvt= £ a5á(x)Y +b-(x.Y.yx).

1.3=1

= O, X€Sn m = V»(x).

t=0

с некоторой (произвольной) измеримой функцией dra(x). Предполагаются вшолненными следующие условия:

п п

1.А0|£|2« Y, Y. ai3(X)?ie3 ^ Л1|С|2'

1.3=1 1.3=1

d0 $ d(t,x),d°°(x) « d1, (t,x)€Qro, Íítf1,

где dQ,d1,Ao,A1=const>0.

2. |b(t,x,G,0)|<b1P (t.x)ec^; |b (x,0,0), X€fi; t>"(x,v,r)|<b2

lb"(x,7,r)|<b (M), (x,v,r)€n*[-M>M]x|Rn(M>0 - произвольно);

ьи(1;,х,и,0)«0. (^х.икц^ш1; ь"(х,у,око, (х,укп«е1; -Ь2(М)^Ьи(г,х,и,г)^0, (1;,х,и,г)€0оо«[-И,М]''1КГ1 (Ы>0 - произвольно); |Ьр(1;,х.и,г) , (г1х,и,г)еаоо»К1-0?п; ^"(х.у.гЛФ,. (х,у,г)€ЙхК1>1КГ1; здесь Ь1 ,Ь2(М)=сопз1;>0. 3. При выполнено условие типа Кордеса А1. Имеет место

Теореыа 15.1. Предположим, что выполнены приведенные выше условия 1.-3. Пусть при к — <» слабо в Ь2(01) при фиксированных ие[-М*,М*], ге®11

й(1;+кРх) >- йв(х), (г+к,х) >- а" (х),

Ь(г+к,х,и,г) >— ь°°(х,и,г).

Предположим, что существует последовательность ц(к) —«О, к —

что Vg(t,x)€C°°(Q.)

1 t

J [d(t+k,x)-tf0(x)]g(t.x)<lxüt < n(k)|||g(T,x)dt|| ,

Q1 O ' 1

n

a (t+k,x)-a^,(x) <t,x)dxdt ^ ЩЮ g

1 *

здесь М =conэt>0, о=сопб1;€(0,1 ) определяются данными задач (43),(44) и (45),(46).

Пусть и(г,х) - любое ограниченное решение уравнения (43), удовлетворяющее граничному условию (44), а чт{х) - (единственное) решение задачи (45),(46). Тогда

В конце параграфа приведен пример уравнений, к которым применима теорема 15.1.

В § 16 рассмотрен случай уравнений (43) при п=1 и доказан результат, аналогичный теореме 15.1. При этом допускаются более сильные, нежели в случае произвольной размерности, нелинейности в уравнении (43).

В § 17 исследуется асимптотическая при t —* +«> близость решений уравнения

(-1 )md(t,x)iL + a(t,x)D2mu = b(t,x), (t,x)€C0,eo)*[-Z,Z],

t 3C

удовлетворяющих однородным граничным условиям

D^u(t,±I)=0, 1=0,1,...,m-1,

и решения 7°°(х) задачи

a°°(x)D2m(x) = Ъго(х), xct-Z.l],

D*v(±Z) = 0, 1=0,1 ,...,m-1.

Наконец, в приложениях доказан ряд вспомогательных результатов, используемых в основной части диссертации.

Работы по теыа диссертации:

1. Камынин В.Л. О предельном переходе в квазилинейных параболических уравнениях высокого порядка // Динамика сплошной среды. Новосибирск: изд-во СОАН СССР. 1983. Вып. 63. С. 122-128.

2. Камынин В.Л. О предельном переходе в квазилинейных эллиптических уравнениях со многими независимыми переменными // Матем. Сб. 1987. Т. 174, * 1. С. 45-63.

11т

t—»-Ко „v„

3. Камынин В.Л. О непрерывной зависимости относительно изменений коэффициентов в слабых нормах решений параболических уравнений // Анализ математических моделей физических процессов (сб. научных трудов). М.: Энергоатомиздат, 1988. С. 41-48.

4. Камынин В.Л. Оценка скорости сходимости решений некоторых квазилинейных параболических уравнений со слабо сходящимися коэффициентами // СМЖ. 1988. Т. 29, Л 5. С. 118-130.

5. Камынин В.Л. Предельный переход в квазилинейных параболических уравнениях со слабо сходящимися коэффициентами и асимптотическое поведение решений задачи Коши // Матем. сб. 1990.

Т. 181, * 8. 0. 1031-1047.

6. Камынин В.Л. Асимптотическое поведение решений задачи Коши для недивергентных параболических уравнений // ДАН СССР. 1991.

Т. 316, № 4. С. 807-811.

7. Камынин В.Л. Об оценках скорости сходимости решений параболических уравнений со слабо сходящимися коэффициентами // Матем. заметки. 1991. Т. 49, » 2. С. 64-73.

8. Каманин В.Л. Предельный переход в обратной задаче для недивергентных параболических уравнений с условием финального переопределения // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, №2. С. 247-253.

9. Камынин В.Л. Об асимптотическом поведении решений задачи Коши для недивергентных параболических уравнений // СМ. 1992. Т. 33, # 6. С. 54-65.

10. Камынин В.Л. Об одном подходе к математическому моделиро ванию сильно неоднородных течений вязкой несжимаемой жидкости // Ж. вычислит, матем. и матем. физики. 1993. Т. 33, Л 5, С. 726-742.

11. Камынин В.Л. Асимптотическое поведение решений квазилинейных параболических уравнений в ограниченной области // СМЖ. 1994. Т. 35, » 2. С. 340-358.

12. Камынин В.Л. О предельном переходе в задачах управления со слабо сходящимися коэффициентами // УМН. 1994. Т. 49, № 4. С. 113-114.

13. Кружков С.Н., Камынин В.Л. О предельном переходе в квазилинейных параболических уравнениях // Труды МИАН СССР. 1985.

Т. 167. С. 183-206.

14. Kamynin V.L. On passage to the limit in the inverse problems for nondivergence parabolic equations // Ill-posed Problems in Natural Sciences. Proc. of the Intern. Conf. (Moscow 19-25 Aug. 1991). Moscow: TVP-VSP, 1992. P.326-332.

15. Kamynin V.L. On convergence of the solutions of inverse problems for parabolic equations with weakly converging coefficients // Elliptic and Parabolic Problems, Pont- a-Mousson, 1994. Pitman Research Notes in Mathematics Series (ed. C.Bandle et al). London: Longman Group Ltd, 1995. V. 325. P. 130-151.

06i«m 1,5 n.ji. Tupax 100 3K3.3aica3 № 358

THnorpa4)M PyflH-riAMMC 117419, MocxBa, yji.Opa>K0HHKHA3e3