Квазипериодические решения систем дифференциальных уравнений в некоторых критических случаях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В Д УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На арабах рукописи УДК 517-91Т 52

- " V

Пёрегуднн Александр Иванович

КВАЗИПЕРИОДЙЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В НЕКОТОРЫХ КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ

01.01.02. - Дифференциальные уравнения

А Э I ОР Е Ф Е Р А Т

диссертации на соискание учёной степени кайдидата физитсо-матёмагичееких наук

КАЗАНЬ 2005

2 Ыб-Ч

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи УДК 517.911.52

Перегудин Александр Иванович

КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В НЕКОТОРЫХ КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ

01.01.02. - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ -2005

Работа выполнена в Мордовском государственном университете имени Н. П. Огарёва.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор

Щенников Владимир Николаевич,

кандидат физико-математических наук, доцент

Сорокина Нина Константиновна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Бибиков Юрий Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор

Малышев Юрий Валентинович

Ведущая организация: Вычислительный центр имени

А.А.Дородницына Российской академии наук

Защита диссертации состоится 18 мая 2005 года в 15 00 часов на заседании диссертационного совета К 212.081.06 по защитам диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук при Казанском государственном университете имени В.И.Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Университетская, д. 17, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени Н.И.Лобачевского Казанскою государственного университета имени В .И.Ульянова-Ленина.

Автореферат разослан 5 апреля 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К 212.081 кандидат физико-математических

наук, доцент

Липачев Е.К.

1. Общая характеристика работы.

1,1. Актуальность проблемы. Широкий класс механических, физических, экономических, биологических и других систем описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений в критических случаях Кроме того, критический случай может иметь место в системе обыкновенных дифференциальных уравнений, восстановленной по первому интегралу Поведение решений таких систем во многом определяется их стационарными решениями — состояниями равновесия, периодическими, почти периодическими, квазипериодическими и другими Поэтому актуальна задача опускания достаючных условий существования стационарных решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений в критических случаях, построения этих решений и исследования их на устойчивость (задача Л). Эта задача еще не получила законченного решения для частных случаев таких систем относительно конкретных классов стационарных решений.

Теория периодических решений (одночастотных колебаний) линейных и нелинейных дифференциальных уравнений была разработана в трудах А Пуанкаре, А М Ляпунова, А А Андронова, В. И Зубова, В. А. Плис-са. В. А Якубовича и В М Старжинского и в работах их последователей. Современные методы исследования теории квазипериодических решений (многочастотных колебаний) введены в работах Н. Н Крылова, Н Н Боголюбова, Ю. А Митропольского по инвариантным многообразиям, в работах А Н Колмогорова, В И Арнольда, Ю. Мозера по проблеме малых знаменателей и продолжены в работах А М Самойленко. Ю. А Митропольского, В И Зубова, Ю. Н. Бибикова, Е. А Гребеникова, Ю. А Рябова, В Н. Щенникова, В К Голубева и др.

1 2. Цель работы Целью диссертации является решение задачи А относительно

класса квазипериодических решений с рационально независимыми и "сильно" несоизмеримыми частотами, зависящими от начальных условий решения, автономной аналитической системы дифференциальных уравнений в И4 в критическом случае двух пар чисто мнимых корней с двумя независимыми первыми интегралами;

класса периодических решений периода, аналитически зависящего от начальных условий решения, автономной аналитической системы дифференциальных уравнений в II3, восстановленной по аналитическому определенно положительному первому интегралу, в критическом случае

нулевого и пары чисто мнимых корней— резонансного квазипсриодического решения с рационально независимыми и "сильно" несоизмеримыми частотами возмущенной квалипе-риодической системы дифференциальных уравнений с малым параметром, располагающегося в окрестности условно устойчивого по Ляпунову и условно орбитально асимптотически устойчивого периодического решения порождающей системы дифференциальных уравнений из предыдущего пункта.

13. Основные научные задачи Разработка математического аппарата представления искомых стационарных решений систем дифференциальных уравнений в рассматриваемых критических случаях.

1 4. Методы исследования В диссертации используются меюды теории возмущений метод ветвления решений нелинейных ал!ебраических систем, метод усреднения Крылова Боголюбова, метод К) Н Бибкова построения квазипериодичсских решений возмущенного векторного поля на юре, метод последовательных приближений построения решений, метод функций Ляпунова

1 5 Научная новизна В диссертации получены достаточные условия существования

квазипериодических решений с рационально независимыми и "сильно" несоизмеримыми базисными частотами, зависящими от начальных условий решения, в окрестности устойчивого по Ляпунову положения равновесия автономной аналитической системы дифференциальных уравнений в Г14 в критическом случае двух пар чисто мнимых корней с двумя аналитическими первыми интегралами;

семейства периодических решений периода, аналитически зависящего о-1 начальных условий решения, в окрестности устойчивого по Ляпунову положения равновесия автономной аналитической системы дифференциальных уравнений в И3, восстановленной по аналитическому определенно положительному первому интегралу, в критическом случае нулевого и пары чисто мнимых корней;

резонансного квазипериодичсского решения с рационально независимыми и "сильно" несоизмеримыми частотами возмущенной квазипе-риодичсской системы дифференциальных уравнений с малым параметром в окрестносш условно усюйчивого по Ляпунову и условно орбитально асимптотически устойчивого периодического решения порождающей системы дифференциальных уравнений из предыдущего пункта

Получены достаточные условия условной устойчивости (неуоойчи-

ногти) по Ляпунову и условной орбитальной асимптотической устойчивости (орбитальной неустойчивости) построенных решений исследуемых автономных систем, достаточные условия асимптотической устойчивости по Ляпунову построенного резонансного квазипсриодичсского решения исследуемой неавтономной возмущенной системы дифференциальных уравнений

Результаты исследования содержатся в соответствующих георемах

1 6. Теоретическая и практическая значимость работы Полученные

в работе результаты являются новыми, дополняют теорию колебаний в нелинейной механике и могут быть использованы при анализе конкретных систем дифференциальных уравнений в рассмотренных критических случаях

1 7. Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задач и применением методов исследования, содержащихся в трудах выдающихся математиков и в работах их последователей.

1 8 Апробация работы Результаты кандидатской диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Мордовский государственный университет имени Н П Огарева, г Саранск (семинар по дифференциальным уравнениям и их приложениям, руководитель профессор В Н ¡Ценников, конференция "Огаревские чтения"), Российский государственный открытый технический университет путей сообщения, г. Москва (семинар по теории устойчивое ги и качественной теории динамических процессов, руководитель профессор А. А Шестаков), Казанский государственный университет имени В. И. Ульянова - Ленина (семинар по дифференциальным уравнениям, руководитель профессор В И. Жегалов), Вычислительный центр РАН имени А А Дородницына, г. Москва (семинар по методам нелинейного анализа, руководитель профессор Е А. Гребепиков)

1 9. Публикации Основное содержание диссертации отражено в работах 1-7

1 10 Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трех глав, объединяющих 11 параграфов, заключения и списка использованных источников, содержащею 72 наименования, и изложена на 119 ('границах

2. Содержание работы.

Во введении содержатся- обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, краткий обзор результатов других авторов, краткое содержание работы и сформулированы основные положения, вы-

носимые на «щиту

В первой главе в II4 в окрестности Б = {|х/| < Я, И > 0} устойчивого по Ляпунову положения равновесия х — 0 исследуется автономная система дифференциальных уравнений

= -и„Х2в Х2з = ШаХ211-1 + р2а(х), в =1,2 (11)

в критическом случае двух пар чисто мнимых корней ±ги>\, ±.Пи2 Предполагается, что-

дт)

1) Рп £ С'°°(£>), следовательно, |р„| < М,

дх1

Рч(х) = р2'\х) + +Р/"'(ж)+ ■ однородные мноючлены

по х\ , Х4 степени I > 2 система (1 1) имеет решение х = х^,х°). 1(0,1°) = х°, х° 6 Д причем ||я;0|| = ¡1 > 0, где ц мал1>1й параметр,

2) базисные часто! ы ы^шг вектора ш рационально независимы и "сильно" несоизмеримы условием

\{т, > ЛЦтЦ"™, (т, ш) = т^! + т2ш2, ||т|| = |тх| + \т2\ (1 4)

для любого ненулевого целочисленного вектора т = (т-[,т2) и некоторых постоянных А > 0, а > 2;

3) система (1 1) имеет два независимых первых интеграла ¡г,(х) = Ся, где Ьй € С°°(0); доказано, что функции кв(х) имеют вид

111{х) = х\ + х\ + 1$\х) +Ъ2(£) = х1 + х\ + }11з\х) +..., (110)

причем ^'(О, 0, хз, Х4) = х2, 0, 0) = 0.

По теореме В И Зубова сис1ема (1 1), (1 10) с рационально независимыми частотами ш\,ш2 имее1 семейство ограниченных решений В теореме указаны условия существования периодических, почти периодических решений семейства.

Определение. Комплексная функция /(<) называется квазипериодической с базисными частотами если вещественные числа рационально независимы и если существует функция . ,2*), 2тг периодическая по такая, что /(£) = ■ ■ , г^) при — 4- с] где с3 (] = 1,А) некоюрые постоянные.

Вещественно аналитическая и 27г-периодичегкая но г1 функция Р(г) при < г (г > 0) прсдставима абсолютно и равномерно сходящимся

рядом Фурье

+0О _

= £ ехр(г(т, г}), = ,Рт, < 7ехр(-г|т|), у > 0.

< Ь, п,1 = 1,4, М>0, Ь>0,

Здесь Fm комплексно сопряжено Гт Если ^ = {^(г)}* = 0 и и удовле-<

тпоряет условию (1 4). то / F(u^т)(^r являстся ограниченной квазипериодической функцией с базисными частотами ... ,ик

Постановка задачи. Требуется найти достаточные условия существования решения систем1>1 (11) вида х = х{г,р), х(г,р) £ С°°(Д)), х[г + (21г),ц) = х(г,р), где г = (¿1,22), = А_,(/х)г Здесь \}(р) = = Ш] + о{р) - искомые рационально независимые и "сильно" несоизмеримые базисные частчпы Д) = {|Лшг;| < го, ] = 1,2; 0 < р < ¿¿о} искомая область, символ г + (27т) обозначает вектор (¿1 + 2тг, гч + 2ж). Каждгх такое решение если оно существует необходимо построить и исследовать на устойчивость

В н 1 2 (1 1). (1 10) записываются в полярных координатах р, в•

= 0, = шч + р:1Фч{р,0), (113)

К = р\ + ь[»){р,е) + . . + 0) + ... = с„ 5 = 1,2, (114)

где Д„ Ф„ к\в)е С(01). А = {|р,| < Я! < Я, |Лшв,| < г, г > 0}, Д., Ф,. - 27г-периодичны по 0Ь в2 Пусть р = , в = 0(<) решение с начальными условиями р(0) = /9°, 0(0) = 0°, очевидно, ||р°|| = р., Ся = = к3(р(1,вп), я = 1,2 И( пользуя в системе (1 14) преобразования

р = ри, р° = ри°, и = и() + V, VI = ^ + ^2 = 6- 6, (1-24)

"подготовиюльпую" теорему Вейерштрасса о неявных функциях теорию ветвления решений нелинейных алгебраических систем, доказана

Теорема 1.1 [1, 2, 3] Если р\ > 0, > и о существует такое число р^ > 0, чю при 0 < р. < р^ система (1.14) имеет единственное вещественное решение

рв(в,р) = р[и°, + р[в)(9)р + . + ...], 5 = 1,2, (1.42)

аналитическое по в}. р и 27Г-псриодическое но 3 — 1,2

В теоремах 12 13 приведены условия существования одного, двух решений вида (1 42) при ¡Рх — 0, р\ — р и р\ = р. р\ — 0 соответственно Пусть р\ > 0, Р2 > 0 Подставляя (1.42) в (1 13), получим систему

в^ш, + рФ„{9,р)=шч + Ф{0з)(в)р + Ф[я)(в)р2+ ., 5 = 1,2, (1.83)

гдеФ„ € С°°(Г>2), Г»2 = {рш0,| < г'1', 0 < ц < /Д1'}, Ф,(г°(0) - многочлены по сое^, 8И10,, {ф|),)(6»)}* = 0 при в} е[0;2тг], .7 = 1,2

Пусть Н10я](9) осреднение функции Фц^(9) по в3 6 [0, 2п] (в^ = = 1,2) Из исследований Ю Н Бибикова по теории квазипериодических решений возмущенного векторного поля на ш-мерном торе следует

Теорема 1.4 [1, 2, 5| Для достаточно малых гу1' > 0, Цо^ > 0 и вектора А = (Аь А2), удовлетворяющего условиям

|(т,А)| > Л^2||ш||-2, ||А-и||<а, Л>0, ||т|| > 0, а>0,(194)

существуют при |Лтт/,| < г^ (я = 1,2), 0 < р < р^ такие векторные аналитические функции

а(р),а(0)=0, <г(11) = 0(р2), «(»7 ф), "(»? + (2тг),р) = и(т],р), и{т),ц) = 0{ц),

что система (1.83) имеет квазипериодические решения

в = г + 9° + и(г+0°, р) + рЛ0{г+9(, + и(г +в0, р)), (1 100)

где 9° — произвольный постоянный вектор, г = Х(р)1, Х(р) = и) — сг(р).

Следствием теоремы 1 4, (1 42) и связи р, в с х является теорема 15 [ 1 2 5] о квазипериодических решениях х = х(г,р) сис1емы (1 1). Аналогичные теоремы получены для р\ = 0, = р и р\ = р, р\ = 0 В п 1 4 исследуется система в вариациях

€ = [В0 + /хВ(г1^)К, £ = х-х(г,ц), (1111)

1де Во матрица коэффициентов линейного приближения системы (1 1)

р.)

Система (1 111) имеет 2-тг периодическое по решение ср{г,р) = —^—, для которого мультипликатор р\ = 1. Существует 27г-псриодическое по неособенное преобразование £ = 8(<^)г/, инвариантное относительно мультипликаторов, переводящее систему (1 111) в систему, которая распадайся на уравнение с правой частью, зависящей только от г)2,г)3,г)4, и систему

т} = рЩг,р)т], т1 = (г/2,%,%), В(г + {2тт),р) = Щг,р). (1115)

Уравнение скЛ(/хОо — <тЕ) = 0, Б(1 = {Б(2,0)}*, им«ч корни Ст| с Иеоч < 0, если выполняются условия Рауса Гурвица

Бр П0 < 0, с? > 0, <МБ0<0, с!еШ0 - ¿5рБ0 > 0, (1121)

где (I = + £>22' + Дэз\ ~ алгебраическое дополнение элемента матрицы Бо Доказана

Теорема 1.8 [1, 2, 5]. При выполнении неравенств (1 121) решение х — х(г,[1.) из теоремы 1 о условно устойчиво по Ляпунову и условно ор-битально асимптотически устойчиво при ( > 0 и достаточно малых ц > 0. Если хотя бы одно собственное число матрицы Бо имеет положихельную вещественную часть, то это решение неустойчиво по Ляпунову и орбиталь-но неустойчиво при £ > 0 и сколь угодно малых р. > 0.

Аналогично исследуется устойчивость решений х = х(г,р) при рЧ = 0, р\ = ц и р\ = р, = 0.

Вторая глава посвящена исследованию в К3 автономной системы дифференциальных уравнений, восстановленной по определенно положительному при |х,| < Я первому интегралу Н(х) = Л, преде хавимому абсолютно и равномерно сходящимся схепенным рядом

Н = х\ +х\ +х\ + Н3{х) + . + Нп(х) + .. = а2, (2 3)

где Нп - однородные многочлены степени п относительно координат вектора х, а — постоянная, а2 > 0 В частном случае система имеет вид

дн дн . . дн он . он эн , ,919>

иХ'2 ахз ох\ ах з ожг

имеет линейный первый интеграл т^+х2 + Ж3 = /3, характеризуется критическим случаем пулевого и чисто мнимых корней ±.'1\[Ъг и рассматривается при /3 е [/3](а); Д(а)], соохветсхвующих пересечению первых интегралов

В п 2 1 получена система (2 12), вычислены величины Р\,Р2 В силу (2.3) решение х = 0 системы (2 12) устойчиво по Ляпунову

_Пус1ь |/,(х)| < Я, \0/й/{дх,)\ <Ь ^>0,Ь>0) при |г,| < Я, 6,/ = 1,3 Требуется найти достаточные условия существования решений х = х(4,х°,/3). аналитических по при 4 £ К < Л, |/3| < /?о,

периодических по t искомого периода Т(хц, ¡3) Каждое такое решение, если оно существуем, необходимо построить и исследовать на услойчивосхь С этой целью в п. 2.2 уравнения (2.3). (2 12) приводятся к виду

Щ - —\(р)щ + [/,(«!, «2, Р), «2 = НР)и\ + и2(ии и2, р), и2 + и22 + С}(щ,и2,р)=ц2{а,Р),

где Л,и„С},(1 € С°°(А), £>1 = {|«,| < Дх < Л, I = 1,2; /3 £ [/3,; }, А(0) = 2^3, а, 0) = а Преобразование независимой переменной

г = т\-1{Р){\ + Ыс+к2с2 + •■•) (2.48)

приводит (2 37) к системе (используется обозначение ' = d/dr)

uí = I-иг + А"1 £ ^(u,/?)) (1 + hlC + h2c? + •••),

> { (2-51)

uj = И1 + А"1 £ U™(и,/3) (1 + h\C+ h2c2 + ■■■)

\ п=2 /

с искомым 2-к-периодическим по г решением us = us{t, с, /3), ui(0,c, ft) —с, u2(0,r,p) = 0, представимым при т € R, 0 < с < сь |/3| < /?з (ci > О, Дз < mm(|/3i|,/32)) абсолютно и равномерно сходящимися степенными рядами

lts(T,c,íi) = uí,|(r,^c+.-+uíí)(T^)c" + --, s = l,2. (2.53)

Функции м^'(г,/3) с начальными условиями u[]\0,¡3) = 1, /3) = О,

и^(0,/3) = 0 (п > 2) находятся из (2 51) в виде = cost,

и{?{т,Р) = sin г, и^{т,Р) = cost - (В„ + Кт)вшт, ир(т,0) = = Ап sin г + (/?„ + hnr) cos т, где

т т

An — J(Щ1) coss + Ü(n2) sins)ds, Bn = I(-Щ1» sins + U® coss)ds, n> 2. о о

Условия 2ж периодичности по т функций (г, имеют вид

h\ = 0, 2тгhn + Вп(2тг, /3) = 0, п > 2 (2 59)

Теорема 2.1 [3 4] Если в соотношении (2 48) величины hn{P) определяются формулами (2 59), то существуют такие числа с2 > 0, /3\ > 0 чго при 0 < с < с2. |/3| < Д система (2 51) имеет вещественное решение (2 53), аналитическое по г, с, ¡3 и 27г-периодичсское по т Этому решению соответствует Т(с,/3)- периодическое по í решение и = u(t,c,[3) системы (2 37), где

Т(с, /3) = 2тгГ1(/3)[1 + /г2(/3)с2 + Л3(/З)с3 + •••], (2 СО)

и Т(с, /3) периодическое но t решение х = x(¿, с, /9) сис1смы (2.12)

Исследование устойчивости полученного решения сис 1емы (2 12) сводится к исследованию устойчивости решения (2 53) системы (2 51) с помощью уравнений в вариациях

= [Do + cD(t, с, /3)](1 + h2c2 + ..)£, (2 81)

где D0 = {4?'}. di? = 4? = 0, 4°1) = -e$ = l) D = {dai(r,с,/3)}, dsi(r+2n, с, /3) = c/s;(r, с, /3), dsí(r,C,/3) = 4!)(r,/3)+4f(T,/3)c+ . Система

(2 81) имеет 27г-периодическое по г решение ¡р — ди(т,с,(3)/(дт) Поэтому уравнение с!е1;[Ф(27г, с, ¡5) - рЕ ] = р2 - Эр Ф(2тг, с, /3)р + det Ф(2тг, с, ¡3) = О, где Ф(г, с, Р) матрицант системы (2.81), имеет мультипликаторы

Р\ = 1, рг = ^Ф(2 ж,с,0) = 1 +ЛсЧсКс2), Л =

Теорема 2.2 [3 4| Если /г < 0, то решение х = /?) системы (2.12) из теоремы 2 1 условно устойчиво по Ляпунову и условно орбитально асимптотически устойчиво при I > 0, 0 < с < сз, |/3| < При /г > 0 это решение неустойчиво по Ляпунову и орбитально неус юйчиво при £ > О, < и сколь угодно малых с > 0.

В третьей 1лаве исследуется дифференциальная система

ха = }а(х) + рЕ,(г, х,р), .5 = 1,3, (3.1)

где р — малый параметр, р > 0, г ~ (г\,..., = шпричем ве-

щественные числа рационально независимы и удовлетворяют условию "сильной" несоизмеримости

|(т,о;)| > Л||т||-а, А>0, а>к, ||т|| > 0. (3.2)

Система (3 1) при р = 0 является системой (2 12) и рассматривается в окресиюс1И |XI — с*, р*)\ < г ее решения я" = ^(г^+^с*,/?*) из

теоремы 2 1 при /г < 0, 27Г -периодического по = Ме Шк+\ =

= 2пТ~1(с*, /3*), с* б (0, сз), /3* е [-&,&], причем

а»*+1 = ("»*.<">> |К||>0 (3 3)

Из (3 3) следует, что для системы (3 1) имеет место резонанс Предполагается что Р,еС°°{б). В = {|.1ш27| < р, \Х1 - хЧ{гк+ис',Р')\ < г, 0 < р < Р1}, ^(г + (2-к),х,р) = Р,(г,х,р), в = 1,3 Требуется найти достаточные условия существования решения х — х(г,р), аналитического по г}, р и 2-к периодического по г3, ] = 1 ,к, х(г,0) = с*, /3*) Необходимо это решение нос 1 роить и исследовать на устойчивость Поставленная задача решается приведением (3 1) к виду

щ = -А (¡3)и2 4- и^{щ,и2) + и\(и) + рЦ1(г,и,р), . ^

«2 = А(/3)и1 + и2 + и 2 + ри2, щ = ри3, 1 ' '

где £/] = и2 = 0 при «з = 0 Система (3 18) при р = 0 имеет решение и? = с[соигк+1 + <1(2*+!, с)], и°2 = + сСг(г*+1, с)], = 0, (3 20)

2п периодическое но г/ь+ь где с = с*. Полагая и = и°(г*;+1, г)+рй, получим

й = П(гк+1,с)й + <1{гм, с)й3 + (¿(г, с) + рФ(г, ы, ы3, р), 22>

«з = <Эз(г,с) + /лФ3, й=(йьй2), ¿={^¡,¿23)-

По теоремр Флоке система (3 22) приводима к виду

Ь = Т€ + 3(г)й3 + 0(г)+цФ(г,€,й3,(л), й3 = С?3(г) + рФ3, (3 26)

где Г = diag [0; Л2], и при ц = 0 имее! 2л- периодическое по zJ решение

И°(г) = I (¿1М1, М1)йи + Ми

ь!Цг)= I ехр(-Л2<1)^2(2 + шЬ,М$)<Ии (3.30)

-00

«§(*) = /СзМ1)Л, +М30, где Л2 < 0, М1 произвольная постоянная, если только

<?з(г)* = 0, 0[(г,М$) = 0. (3.31)

В переменных М), М2, М3, определяемых равенствами

= иг = «§(2) + М2, «з = + М3, (3 32)

система (3 26) запишется в виде

Мв = 5-1,3, М2 = Х2М2 + рЩг,М,ц), (3 33)

где Ф, = £ фМ(г,М)/2",

п=0

ОО , . 00 , ч » 1 »

= Е м) = Е Е Ф&ьпМмрмрм*', к=0 к=0 к^+кг+кл=к

Ф^Ап(г + (2тг)) = в = М

Пусть = {ФЙ?(^)}Ф, 6.1 = {*$*>(*)}*. 6,2 = {^(»(г)}*, 653 = {ФооюС-2)}*. 5 — 1.3, г?) = — £>ю/6п и выполняются условия

Ьц/0, ¿317^0, ЬюЬ31 - ЬзоЬи = 0, (3 37)

6ц + 6зз<0, ЬцЬзз - 613631 > 0. (3.39)

Теорема 3.1 [6]. Е(ли выполняются условия (3 2), (3 3), (3 31), (3 37). (3 39), ю существуют такие числа рц > 0 р$ > 0, что при |.1гпг;| < рЙ

О < Д < система (3 26) имеет единственное вещественное решение V — 11(2,11), {¿з = йз(г,/2), аналитическое по ц, 2тг периодическое по г} (] = 1,к) и обращающееся при р = 0 в порождающее решение (3 30) при М1=Ч?

В теореме 3 2 |6| приведены достаточные условия существования 27Г периодическою по решения х = х(г,/л) системы (3 1)

В пункте 3 3 исследуется система в вариациях относительно решения й = й(г,/х) системы (3.22)

е = о(т,ск+ё{т, с)б++ ^с2 +.. .)<з(5, м, е = (еьб),

£з = + ^с2 + • +9зг(г,А«)6 + 9зз(г,/и)Сз],

1де т = Б = Бо+сБ1(г)+с2Б2(т)+. . , г = йт, ш = ы^ш матрица Б и вектор в, 27Г-периодичны по г; матрица 0> и функции ^ 27г-псриодичны по г}, ] = 1 ,к.

Система = Б(т, имеет матрицант Ф(т, с) = 8(т, с) ехр[Л(с)т],

где

Э = Е + сЭ^т) + +с"5п(т) + .. , 8П(0) = 0, 8п(т + 27г) = 8п(т),

Л = Л0 + сЛ1 + ... + с"Лп + ...1 Л„ = {Л^)}, Л0 = Дь ,(0) _ ,(0) _ п ,(0) _ ,(0) _ , А11 — л22 ~ и1 - — л12 — -1--

Матрицы 8„(т) находятся из системы

Б;, = БоЭ,, - 8„Б0 + • + Бп^^! — БхАп-! 4- Бп — Л„, п > 1. (3.52) И? условий 27г периодичности по т матриц 81,82,83 имеем равенства Л<1) _ А(1> Л(1) _ _А(1) Л(2) , л(2) _ г 7(2), п,

Л21 ~ л12 > л22 — А11 I + л22 — \л00(т)/: С1 \

Л12 - Л21 + (Ац ) + (Л12 ) - (Т)} ,

+ {Со?}*-^^ + {Соо'}* — /о гл\

Ай + {5Й>}' = о, (3-69)

где величины {Л}* {В}*, {С}* {£>}* вычисляются но правым частям системы (3.52) при п = 2,3 Пусть Д определитель системы (3 69) Если выполняются равенства (3 61), (3.69) и соотношения

{ЛооМГ < 0, {Я$(т)},<0, А/о, Ьз(г,0)}*< 0, (3 70) то справедлива

Теорема 3.3 [6] Если выполняются условия (3 61), (3 69), (3 70), то решение £ = 0 системы (3 47) и решение й — й(г,р) системы (3 22) аси ми готически устойчиво по Ляпунову при t > 0 ч достаточно малых (I > 0 При выполнении условий (3 61), (3 69), {Лад (г)}* > 0 указанные решения неустойчивы по Ляпунову при < > 0 и сколь угодно малых /х > 0

Следствием теоремы 3 3 являекя теорема 3 4 [С| относительно устойчивости соответствующего решения х = х(г,р) системы 3.1

Итак, сформулируем основные результаты исследования.

1 В евклидовом пространстве й4 исследована в окрестности устойчивого по Ляпунову положения равновесия аналитическая автономная система дифференциальных уравнений н критическом случае двух пар чисто мнимых корней с двумя аналитическими первыми интегралами Получены достаточные условия существования вещественно аналитических квазипериодических решений с рационально независимыми и "сильно" несоизмеримыми базисными частотами, зависящими 01 начальных условий решения Указаны достаточные условия условной устойчивости (неустойчивости) по Ляпунову и условной орбитальной асимптотической устойчивости (орбиыльной неустойчивости) построенных решений

2 В евклидовом просчранс ]ве К3 исследована в окрестности устойчивою но Ляпунову положения равггове<ия анатитичес кня авкжомная система дифференциальных уравнений, восстановленная по аналитиче< кому определенно положительному первому интегралу, в критическом случае нулевого и нары чисто мнимых корней Получены досташчные условия существования семейства вещественно аналитических периодических решений периода аналишчески мвисящего от начальных условий решения Указаны достаточные условия условной усюйчивос1и (неустойчивости) по Ляпунову и условной орбитальной асимптотической устойчивости (орбитальной неустойчивости) построенных решений

3 В евклидовом пространстве И3 исследована возмущенная квазипериодическая система дифференциальных уравнений с малым параметром в окрестноети условно усюйчивого по Ляпунову и условно орбитальпо асимптотически устойчивого порождающего периодическою решении из пункта 2 Получены достаючпые условия существования едипс1 венного резонансного квазипериодическо! о решения с рационально независимыми и "сильно" несоизмеримыми базисными частотами обращающегося в порождающее при рнвен( тве нулю малого параметра Указаны достаточные условия асимптотической устойчивости по Ляпунову посфоенного решения

По содержанию диссертации опубликованы следующие работы

1 Перегудин А И. Многочастотные колебания в системах Ляпунова / А. И. Перегудин, И Н. Перегудин // "Огаревские чтения". Науч. копф (27; 1998 г - г Саранск): Материалы иауч копф В 5 ч Саранск, 1998 Ч. 5 С. 141 143

2 Перегудин А. И. Ветвлеиие решений нелинейной системы двух уравнений / А. И Перегудин // Технические и естественные науки' Проблемы, теория, практика- Межвуз сб науч. тр. Саранск, 2000. С. 90 92.

3. Перегудин А. И. Периодические решения автономной системы с заданным первым интегралом / А И. Перегудин // Технические и естественные науки: Проблемы, теория, практика- Межвуз. сб иауч тр - Саранск, 2000. С. 86 88.

4 Перегудин А. И. Метод последовательных приближений построения периодических решений автономной системы с заданным первым интегралом / А. И Перегудин // "Огаревские чтения". Науч. копф (30; 2001 г., г Саранск). Материалы науч. конф Саранск, 2001 - С 254 - 258

5 Перегудин А И Многочастотные колебания автономной системы в критическом случае / А. И Перегудин // "Огаревские чтения" Науч конф. (30. 2001 г.; г. Саранск): Материалы науч. конф. - Саранск, 2001. -С. 258 263.

6 Перегудин А. И Многочасгогныс колебания в нелинейных системах дифференциальных уравнений в критических случаях / А И. Перегудин // Процессы управления и устойчивость Науч. конф Труды (33, 2002 г , СПб.) - СПб., 2002 С. 102 107.

7 Перегудин А И. Двухчастотные колебания в автономной системе дифференциальных уравнений / А И. Перщудин // Методы возмущений в гомологической алгебре и динамика систем- Межвуз сб науч тр - Саранск, 2004. С 49 - 54.

Лицензия ЛР № 040803 от 24 03 97 Подписано в печать 29 03 2005 Бумага офсетная Печать офсетная Печ листов 1 Формат 60x84 1/16 Заказ 31 Тираж 100

Типография "Рузаевский печатник" л

Министерства печати и информации РМ 431440, г. Рузаевка, ул. Трынова, 67а

и-8 37 9

Ч * 4 X

Ч V

РЫБ Русский фонд

2006-4 5284

Введение

Глава 1. Двухчастотные колебания в автономной дифференциальной системе с двумя парами чисто мнимых собственных чисел матрицы линейного приближения

1.1. Построение первых интегралов.

1.2. Приведение системы первых интегралов к нормальной форме. Вещественные решения.

1.3. Построение двухчастотных решений.

1.4. Устойчивость двухчастотных решений.

Глава 2. Периодические решения автономной дифференциальной системы с заданным первым интегралом

2.1. Построение дифференциальной системы по заданному первому интегралу.

2.2. Преобразование дифференциальной системы и её первого интеграла к специальному виду.

2.3. Построение периодических решений периода, зависящего от начальных условий.

2.4. Устойчивость периодических решений.

Глава 3. Многочастотные колебания в дифференциальной системе, близкой к автономной с заданным первым интегралом

3.1. Преобразование дифференциальной системы к специальному виду.

3.2. Построение многочастотных решений в резонансном случае.

3.3. Устойчивость решений.

Актуальность проблемы. Широкий класс механических, физических, экономических, биологических и других систем описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений в критических случаях. Кроме того, критический случай может иметь место в системе обыкновенных дифференциальных уравнений, восстановленной по первому интегралу. Поведение решений таких систем во многом определяется их стационарными решениями — положениями равновесия, периодическими, почти периодическими, квазипериодическими и другими. Поэтому актуальна задача отыскания достаточных условий существования стационарных решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений в критических случаях, построения этих решений и исследования их на устойчивость (задача Л). Эта задача еще не получила законченного решения для частных случаев таких систем относительно конкретных классов стационарных решений.

В диссертации задача Л решается относительно квазипериодических решений в окрестности устойчивого по Ляпунову положения равновесия в начале координат автономной аналитической системы дифференциальных уравнений в R4 в критическом случае двух пар чисто мнимых корней с двумя аналитическими первыми интегралами; периодических решений в окрестности устойчивого по Ляпунову положения равновесия в начале координат автономной аналитической системы дифференциальных уравнений в R3, восстановленной по определенно положительному первому интегралу, в критическом случае нулевого и пары чисто мнимых корней; резонансного квазипериодического решения возмущенной квазипериодической системы дифференциальных уравнений с малым параметром в окрестности условно устойчивого по Ляпунову и условно орбитально асимптотически устойчивого периодического решения порождающей системы из предыдущего пункта.

Цель работы. 1. В R4 в окрестности D = {\xi\ < R, R> 0} устойчивого по Ляпунову положения равновесия х = 0 исследуется автономная система дифференциальных уравнений

X2S-1 = -UsX2s +P2s-l(x) = P2s-l(x), ^

X2s = VsX2s-1 + P2s(x) = P2s (x), S = 1,2 в критическом случае двух пар чисто мнимых корней d:icj2- Предполагается, что:

QJJ

1) рп £ C°°{D)\ следовательно, в окрестности D \рп\ < М, -т-^- < L (М, L дх[ некоторые положительные постоянные) и функции рп(х) представимы абсолютно и равномерно сходящимися степенными рядами

Рп(х) = р{2](х) + . . . + р{п)(а;) + ., п = М, где Рк*\х) — однородные многочлены степени к > 2 относительно координат вектора х. По теореме Коши существует единственное решение х = x(t,x°), х(0,х°) = х°, х° £ Д причем ||я0|| = fi > 0, где // — малый параметр.

2) Базисные частоты ш2 вектора ш = (uji,uj2) рационально независимы и удовлетворяют условию "сильной" несоизмеримости m, w>| > Л||т||-а (0.2) для любого ненулевого целочисленного вектора m и некоторых постоянных А > 0, а > 2; здесь (га, а;) = mitoi + т2ш2, ||т|| = |mi| + |т2|.

3) В окрестности D существуют два аналитических первых интеграла системы (0.1) hs{х) = Cs, s = l,2, которые по доказанному имеют вид

Ы{х) =х\+х22 + hP(x) + . . . + Ц1)(х) + . . . = СЬ (ог) h2(x) = х\ + xl+ hf]{x) + . + н\2)(х) + . = С2, { ' } где h\s\x) — однородные многочлены степени / > 3 относительно координат вектора х, причем Лз^(0,0, а?з, = х2,0,0) = 0; Cs — некоторые постоянные, s = 1,2. Следовательно, положение равновесия х = 0 системы (0.1) устойчиво по Ляпунову.

Примером системы (0.1) является гамильтонова система дНг . дНг . дН2 . дН2

XI = —д—, Х2 = ——, ж3 = ———, х4 = ——, ОХ 2 ох 1 ОХ 4 ОХ 3 имеющая первые интегралы Hs(x) = Cs, где функции Hs(x) являются степенными рядами

М*) = + + £= +*<)+£

1 п=3 Z п=3 абсолютно и равномерно сходящимися в области D. В частности, функции Hs(x) являются многочленами степени р (р> 3)

Я,(») = ^(х? + xl) + £ я£>(*), н»(х) = + «2) + £ Я«>(*). n=3 ^ п=3

По теореме В. И. Зубова [26] система (0.1), (0.3) с рационально независимыми частотами ujj имеет семейство ограниченных решений при t £ R. В теореме указаны ограничения на начальные условия, при которых решения семейства являются периодическими или почти периодическими.

Для системы (0.1) требуется найти достаточные условия существования решения вида x = x(zt /i), x(z,fi) eC°°(Do), x(z + (2n),/x) = x(z, /z), где z = (21,22), zj = ЛК/^К Располагающегося в окрестности D устойчивого по Ляпунову положения равновесия х = 0. Здесь Aj(fi) = ujj + о{ц) — искомые рационально независимые и "сильно" несоизмеримые базисные частоты, Dq = {IJm^l <го, j = 1,2; 0 < /х < цо} — искомая область, символ -г + (2тт) обозначает вектор (z\ -f 27г, Z2 + 27г). Каждое такое решение, если оно существует, необходимо построить и исследовать на устойчивость.

2. В R3 в окрестности D = {\xi\ < R, R > 0} устойчивого по Ляпунову положения равновесия х = 0 исследуется автономная система дифференциальных уравнений дН дН . дН дН , . дН дН , ,п = = /ь £2= д--—~ = f2, х3 = ~— + — = /з, (0.4)

ОХ 2 ОХ 3 ОХ 1 ОХ з ОХ\ ОХ 2 восстановленная по определенно положительному первому интегралу, представимому абсолютно и равномерно сходящимся степенным рядом

H(x) = x\ + xl + x\ + Щх) + . + Нп(х) + . = а2, (0.5) где Нп — однородные многочлены степеии п относительно координат х, а — достаточно малая положительная постоянная. Система (0.4) имеет линейный первый интеграл xi + х2 + х3 = /3, (0.6) где (3 — некоторая постоянная, и рассматривается при значениях j3 € [^1 (с*) ;/?2 (<*)], соответствующих пересечению замкнутой поверхности (0.5) и плоскости (0.6). Для системы (0.4) имеет место критический случай нулевого и пары чисто мнимых ±2\/Зг корней.

Существуют такие положительные постоянные М, L, что |/5| < М, dfs\ < L при х £ D, s = 1,3. Для системы (0.4) ставится задача: требуется dxi указать достаточные условия существования решений х = x(t, х°, /3), периодических по t искомого периода Т(х0,/3), близкого к периоду То = 7г/\/3 решений линейного приближения системы (0.4). Каждое такое решение (и его период) необходимо построить и исследовать на устойчивость.

3. BR3 исследуется система дифференциальных уравнений is = f»(x) + pFs(z, х,р), s — 173, (0.7) где p — малый неотрицательный параметр, z=(z\,., Zk), причем zj = ajjt, j = 1, к. Система (0.7) при p — 0 является системой (0.4) и расматривается в области

D = {\3mzj\ <р, \х1-х^к+ъс\р)\ <r, 0</x</zi}, где р > 0, г > 0, pi > 0, j, f = 1,3, содержащей условно устойчивое по Ляпунову и условно орбитально асимптотически устойчивое 27г-периодическое по Zk+i = it решение системы (0.4) х = x(zk+i, с*, (3*) с резонансной частотой и>1+1: и*к+1 = 2тгТ~\с\П = К,а;), ||т*|| > 0.

Здесь с*,/3* — некоторые фиксированные достаточно малые положительные величины, 771* — некоторый фиксированный целочисленный вектор.

Предполагается, что: 1) Fs е C°°(D), Fs(z + (2к),х,р) = Fs(z,x,p)-, следовательно, \FS\ < M, № < L, s, I = 1,3, где M, L — некоторые положительные постоянные;

OXi

2) базисные частоты cji, . ,и>к вектора ш рационально независимы и удовлетворяют условию "сильной" несоизмеримости (0.2) для любого ненулевого целочисленного вектора m = (mi,.,mjt) и некоторых постоянных А > 0, а > к.

Для системы (0.7) ставится задача: требуется найти достаточные условия существования решения вида х = x(z, р), вещественно аналитического по координатам вектора z и р, 27г-периодического по координатам вектора z и обладающего свойством x(z, 0) = x(zk+i, с*,/?*). Необходимо, далее, это решение построить и исследовать на устойчивость по Ляпунову.

Методика исследования. 1. Поставленная для системы (0.1) задача Л решается с использованием методов теории возмущений, обусловленными введением малого параметра: методов теории ветвления решений нелинейных алгебраических уравнений [13], метода Ю. Н. Бибикова [9] построения квазипериодических решений возмущенного векторного поля на торе, метода исследования устойчивости решений на основе анализа соответствующих дифференциальных уравнений в вариациях.

Для системы (0.1), прежде всего, находятся независимые аналитические первые интегралы (0.3) из тождеств, которым они удовлетворяют на решениях системы (0.1).

С целью понижения порядка системы (0.1) уравнения (0.1) - (0.3) записываются в полярных координатах pj, 0j. Методами теории ветвления решений нелинейных уравнений построены решения алгебраической системы первых интегралов pj = pj(6,p), Pj(0,0) = 0, вещественно аналитические по и 27г-периодические по 0j при всех достаточно малых р > 0, и подставлены в систему дифференциальных уравнений относительно угловых величин j = 1,2. Полученная система z = (2:1,2:2), Zj = Xj(fi)t, Aj(0) = ujj, 6° — произвольный постоянный вектор, для тех значений р из найденного промежутка (0; ро), для которых построенные базисные частоты Xj(p) (j = 1,2) "сильно" несоизмеримы условием, аналогичным условию (0.2).

Соответствующие квазипериодические решения х = x(z,p) системы (0.1) исследованы на условную устойчивость (по Ляпунову, орбитальную) по системе дифференциальных уравнений в вариациях с применением к ним преобразования понижения порядка системы, преобразования усреднения Крылова-Боголюбова, метода функций Ляпунова, теоремы Андронова-Витта и ее обобщения.

2. Поставленная для системы (0.4) задача Л решается построением искомого периодического решения методом последовательных приближений в виде ряда по степеням начальных условий и исследованием устойчивости полученного решения по дифференциальным уравнениям в вариациях с использованием теорем Андронова-Витта и Пуанкаре.

Предварительно система (0.4) и первый интеграл (0.5) линейными неособенными преобразованиями искомых функций приводятся к каноническому виду в R2 где нелинейности Us, Q, величины А, е аналитичны относительно своих аргументов в достаточно малой окрестности их нулевых значений и в = ш + рФ(в,р),

0.8) щ = -А Ц3)и2 + Ui(u,0), й2 = А ((3)щ + U2(u,P), ul + u22 + Q(u,l3)=e2(a,/3),

0.9) (0.10)

А(0) = 2л/3, е(а, 0) = а.

Аналогично [33] доказано существование двухпараметрического семейства решений системы (0.9), (0.10) и = u(t,c,/3), щ(0, с, /3) = с, 1x2(0, с,/3) = 0, каждое из которых вещественно аналитично по с, /3 в достаточно малой окрестности их нулевых значений и периодично по t искомого периода

2тг

Т(с, /3) = щ[1 + h№c +. + + .].

Возникающие трудности построения искомого решения, вызванные аналитической структурой периода Т(с, /3), преодолеваются сведением (0.9) заменой [33] где hi(/3) — искомые величины, к системе ('= d/dr) и\ = (-и2 + A1C/i)(l + hlC + .), /л 11 \ и'2 = ( ul + \-lU2)(l + hlc+.) с искомым 27г-периодическим по г решением и = и(т, с, /3), щ(0,с,/3) = с, и2(0,с,/3)=0.

Методом последовательных приближений построено двухпарамет-рическое семейство решений и = и(т,с,/3), ui(0, с,/3) = с, «2(0, с, /3) = 0, вещественно аналитических по г, с, /3 и 27г-периодических по г в достаточно малой окрестности с = /3 = 0. Из условий 27Г-периодичности по г приближений найдены величины /i/(/3) последовательно для I > 1.

Формулы перехода от (0.4) к (0.11) позволяют свести исследование устойчивости Т(с, /3)-периодических решений системы (0.4) к исследованию устойчивости соответствующих 27г-периодических по т решений системы (0.11). Достаточные условия условной устойчивости (неустойчивости) по Ляпунову и условной орбитальной асимптотической устойчивости (ор- . битальной неустойчивости) получены по дифференциальным уравнениям в вариациях с использованием теоремы Флоке, теоремы Андронова-Витта и теоремы Пуанкаре.

3. Построение резонансного квазипериодического решения х = х(z, ц) системы (0.7) в критическом случае линейными неособенными заменами искомых функций, преобразованием Крылова-Боголюбова сведено к построению методом последовательных приближений [26, §17] единственного квазипериодического решения £ = €(z,fi) квазилинейной системы дифференциальных уравнений с постоянной некритической матрицей системы линейного приближения.

Достаточные условия асимптотической устойчивости соответствующего решения х = x(z,/i) системы (0.7) получены в результате применения теорем Флоке, Ляпунова и преобразований Ляпунова, Крылова-Боголюбова к дифференциальным уравнениям в вариациях, составленным относительно квазипериодического решения й = u(z, /2) вспомогательной системы дифференциальных уравнений, полученной в процессе перехода от (0.7) к последней системе.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений в критических случаях отличаются сложностью решения задачи Л и наиболее часто встречаются в прикладных задачах. В работе А. Н. Вейссенберга [14] указаны возможные типы критических случаев для уравнений Лагранжа второго рода с точки зрения структуры действующих сил.

Основы теории периодических решений (одночастотных колебаний) линейных и нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений заложены фундаментальными исследованиями А. Пуанкаре [47],

A. М. Ляпунова [32] и продолжены исследованиями А. А. Андронова [4], И. Г. Малкина [33, 34], Г. В. Каменкова [28], В. И. Зубова [25] - [27],

B. А. Плисса [46], В. А. Якубовича и В. М. Старжинского [56], В. Г. Вере-тенникова [15], Ю. Н. Бибикова [9] и других.

Теория Флоке-Ляпунова о структуре матрицанта линейной системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами послужила началом многочисленных последующих исследований. В монографии В .А. Якубовича, В. М. Старжинского [56] развита теория гамильтоновых систем, систем общего вида, систем, зависящих аналитически от малого параметра, систем с параметрическим резонансом. Полученные результаты использованы в прикладных задачах.

Методы Пуанкаре и Ляпунова исследования колебаний в нелинейных системах сводятся к построению периодических решений этих систем' в виде степенных рядов по степеням малого параметра, начальных отклонений, абсолютно и равномерно сходящихся в некоторой окрестности их нулевых значений на любом конечном промежутке времени.

Теория А. А. Андронова [4] о бифуркации рождения периодического решения из положения равновесия динамической системы на плоскости с чисто мнимыми характеристическими корнями матрицы линейного приближения при изменении параметров системы нашла развитие в исследованиях отечественных и зарубежных ученых.

В исследованиях И. Г. Малкина [33] развиты методы построения периодических решений многомерных квазилинейных автономных и периодических неавтономных систем с малым параметром в случае, когда порождающая система имеет семейство периодических решений.

В. И. Зубов [26] доказал теорему: для того, чтобы аналитическая автономная система дифференциальных уравнений порядка 2s с s парами чисто мнимых корней dziuik характеристического уравнения с рационально несоизмеримыми положительными частотами которым соответствуют простые элементарные делители, имела s-параметрическое семейство ограниченных решений, необходимо и достаточно, чтобы эта система имела s независимых аналитических первых интегралов, не содержащих времени t. В теореме указаны условия существования периодических и почти периодических решений семейства.

В монографии В. А. Плисса [46] изложены достаточные условия существования периодических решений неавтономных периодических систем дифференциальных уравнений.

Методы исследования квазипериодических решений (многочастотных колебаний) нелинейных систем дифференциальных уравнений были введены в работах Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова [И], А. Н. Колмогорова [29], В. А. Арнольда [5, 6], Ю. Мозера [42] и продолжены в работах А. М. Самойленко [48], В. И. Зубова [26], Ю. Н. Бибикова [9], Е. А. Гребе-никова, Ю. А. Рябова [17, 18] и других.

В. И. Арнольд [5, 6] доказал теорему А. Н. Колмогорова [29] о сохранении квазипериодических движений гамильтоновой системы при малом изменении функции Гамильтона.

Ю. Н. Бибиков [9] исследовал проблему существования квазипериодических решений возмущенного векторного поля на торе. Исследуемая система последовательностью преобразований искомых функций приводится к предельной системе с постоянной правой частью.

В монографии В. И. Зубова [26] методом последовательных приближений построено асимптотически устойчивое по Ляпунову квазипериодическое решение с рационально независимыми базисными частотами возмущенной квазипериодической системы с малым параметром. При этом матрица коэффициентов системы линейного приближения имеет собственные числа с отрицательной вещественной частью.

В работах В. К. Голубева [20], И. Н. Перегудина, В. Н. Щенникова [44] получены некоторые результаты по исследованию воздействий многочастотных возмущений на управляемое вращательное движение твердого тела (системы твердых тел) вокруг неподвижной точки. При этом для невозмущенных систем дифференциальных уравнений с управлениями, предложенными В. И. Зубовым [27], имеют место критические случаи нулевых и чисто мнимых корней при наличии корней с отрицательной вещественной частью.

Основы теории устойчивости решений систем дифференциальных уравнений заложены фундаментальными исследованиями А. М. Ляпунова [32]. А. М. Ляпунов сводит задачу об устойчивости частного решения системы дифференциальных уравнений к исследованию устойчивости нулевого решения системы дифференциальных уравнений возмущенного решения с помощью двух созданных им методов — метода представления решений последней системы рядами специального вида и, по современной терминологии, метода функций Ляпунова. Эти функции, если они построены, дают достаточные условия устойчивости или неустойчивости. А. М. Ляпунов исследовал критические случаи одного нулевого корня, пары чисто мнимых, двух нулевых корней.

Дальнейшее развитие теория устойчивости, включая и критические случаи, получила в работах А. А. Андронова, А. А. Витта [4], В. В. Немыц-кого, В. В. Степанова [43], Н. Г. Четаева [50, 51], Е. А. Барбашина [7, 8] и Н. Н. Красовского [30], Н. П. Еругина [22, 23, 24], Н. Н. Боголюбова [И], К. П. Персидского [45], Б. П. Демидовича [21], И. Г. Малкина [33, 34], В. И. Зубова [25] - [27], В. Г. Веретенникова [15], И. В. Матросова [39], И. В. Матросовой [40], Н. Н. Баутина и Л. П. Шильникова [54], А. Д. Брюно [12], А. Л. Куницына [31], А. А. Шестакова [53], Ю. В. Малышева [35,36, 37], А. Ю. Александрова [1] - [3] и других.

А. А. Андронов и А. А. Витт [4] доказали теорему об устойчивости по Ляпунову периодического решения автономной системы в случае, если соответствующая система дифференциальных уравнений в вариациях имеет один мультипликатор, модуль которого равен единице, а модули остальных мультипликаторов меньше единицы.

В работе Н. Н. Баутина и Л. П. Шильникова [54] показано, что поведение системы дифференциальных уравнений вблизи границы области устойчивости линейного приближения определяется ее поведением на самой границе. В связи с этим обстоятельством ими введено понятие "опасных" и "безопасных" границ области устойчивости.

В работах [12], [31] исследование устойчивости систем дифференциальных уравнений с внутренним резонансом методом нормализующих преобразований сводится к исследованию устойчивости более простой системы.

В работах [1] - [3] содержится уточнение известных критериев устойчивости по нелинейному приближению. Получен ряд новых условий устойчивости неавтономных систем в критических случаях.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на пункты, заключения и списка использованных источников, содержащего 72 наименования, и изложена на 119 страницах. Во введении содержатся: обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, краткий обзор результатов других авторов, краткое содержание работы.

Заключение

Работа посвящена отысканию достаточных условий существования, построению и исследованию устойчивости квазипериодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений в критическом случае двух пар чисто мнимых корней и критическом случае нулевого и пары чисто мнимых корней.

1. В евклидовом пространстве R4 исследована в окрестности устойчивого по Ляпунову положения равновесия аналитическая автономная система дифференциальных уравнений в критическом случае двух пар чисто мнимых корней с двумя аналитическими первыми интегралами. Получены достаточные условия существования вещественно аналитических квазипериодических решений с рационально независимыми и "сильно" несоизмеримыми базисными частотами, зависящими от начальных условий. Указаны достаточные условия условной устойчивости (неустойчивости) по Ляпунову и условной орбитальной асимптотической устойчивости (орбитальной неустойчивости) построенных решений.

2. В евклидовом пространстве R3 исследована в окрестности устойчивого по Ляпунову положения равновесия аналитическая автономная система дифференциальных уравнений, восстановленная по аналитическому определенно положительному первому интегралу, в критическом случае нулевого и пары чисто мнимых корней. Получены достаточные условия существования семейства вещественно аналитических периодических решений периода, аналитически зависящего от начальных условий решения. Указаны достаточные условия условной устойчивости (неустойчивости) по Ляпунову и условной орбитальной асимптотической устойчивости (орбитальной неустойчивости) построенных решений.

3. В евклидовом пространстве R3 исследована возмущенная квазипериодическая система дифференциальных уравнений с малым параметром в окрестности условно устойчивого по Ляпунову и условно орбитально асимптотически устойчивого порождающего периодического решения из пункта 2. Получены достаточные условия существования единственного резонансного квазипериодического решения с рационально независимыми и "сильно" несоизмеримыми базисными частотами, обращающегося в порождающее при равенстве нулю малого параметра. Указаны достаточные условия асимптотической устойчивости по Ляпунову построенного решения.

1. Александров А. Ю. Об устойчивости одного класса нелинейных систем / А. Ю. Александров // Прикладн. матем. и механ. 2000. - Т. 64, вып. 6. - С. 545 - 550.

2. Александров А. Ю. Об устойчивости по неавтономному первому приближению / А. Ю. Александров // Изв. вузов. Математика.2000. N 10. - С. 13 - 20.

3. Александров А. Ю. Об устойчивости сложных систем в критических случаях / А. Ю. Александров // Автоматика и телемеханика.2001. N 9. - С. 3 - 7.

4. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. М.: Наука, 1981. - 568 с.

5. Арнольд В. И. Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона / В. И. Арнольд // Успехи матем. наук. 1963. -Т. 18, вып. 5. - С. 13 - 40.

6. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической небесной механике / В. И. Арнольд // Успехи матем. наук. 1963. - Т. 18, вып. 6. - С. 91 - 192.

7. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости / Е. А. Барба-шин. М.: Наука, 1970. - 223 с.

8. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова / Е. А. Барбашин. М.: Наука, 1970. - 240 с.

9. Бибиков Ю. Н. Многочастотные нелинейные колебания и их бифуркации /Ю. Н. Бибиков. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1991. - 144 с.

10. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений: Учеб. пособие для ун-тов / Ю. Н. Бибиков. М.: Высш. школа, 1991. -303 с.

11. Боголюбов H. H. О квазипериодических решениях в задачах нелинейной механики /Н. Н. Боголюбов // Труды первой летней математической школы. Киев, 1964. - С. 11 - 102.

12. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений / А. Д. Брюно. М.: Наука, 1979. - 253 с.

13. Вайнберг М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. М.: Наука, 1969. - 527 с.

14. Вейссенберг А. Н. О возможных типах критических случаев для уравнений Лагранжа второго рода / А. Н. Вейссенберг // Прикладн. матем. и механ. 1972. - Т. 36, вып. 1. - С. 72 - 76.

15. Веретенников В. Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем / В. Г. Веретенников. М.: Наука, 1984. - 320 с.

16. Галиуллин А. С. Построение систем программного движения / А. С. Галиуллин, И. А. Мухаметзянов, Р. Г. Мухарлямов, В. Д. Фу-расов. М.: Наука, 1971. - 325 с.

17. Гребеников Е. А. Новые качественные методы в нелинейной механике / Е. А. Гребеников, Ю. А. Рябов. М.: Наука, 1971. - 442 с.

18. Гребеников Е. А. Условно периодические решения канонических систем дифференциальных уравнеий при остром резонансе / Е. А. Гребеников, С. Г. Журавлев, Ю. А. Рябов. - М.: ИТЭФ, 1976. - 46 с.

19. Гребеников Е. А. Введение в резонансную аналитическую динамику / Е. А. Гребеников, Ю. А. Митропольский, Ю. А. Рябов. М.: Янус-К, 1999. - 320 с.

20. Голубев В. К. О многочастотных колебаниях систем в критическом случае / В. К. Голубев // Дифференциальные и интегральные уравнения: Межвуз. сб. Горький, 1978. - Вып. 2. - С. 56 - 60.

21. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. М.: Наука, 1967. - 472 с.

22. Еругин Н. П. О некоторых вопросах устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений / Н. П. Еругин. // ПММ. 1950. - Т. 14, Вып. 5. - С. 459 - 512.

23. Еругин Н. П. Некоторые общие вопросы теории устойчивости движения / Н. П. Еругин. // ПММ. 1951. - Т. 15, Вып. 2. - С. 227 -236.

24. Еругин Н. П. Качественные методы в теории устойчивости / Н. П. Еругин. // ПММ. 1955. - Т. 19, Вып. 5. - С. 588 - 616.

25. Зубов В. И. Колебания в нелинейных и управляемых системах / В. И. Зубов. JL: Судпромгиз, 1962. - 632 с.

26. Зубов В. И. Теория колебаний / В. И. Зубов. М.: Высш. школа, 1979. - 400 с.

27. Зубов В. И. Лекции по теории управления / В. И. Зубов. М.: Наука, 1975. - 496 с.

28. Каменков Г. В. Устойчивость и колебания нелинейных систем / В. Г. Каменков. М.: Наука, 1972. - 214 с.

29. Колмогоров А. Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона / А. Н. Колмогоров // Докл. АН СССР. 1954. - Т. 98, N 4. - С. 527 - 530.

30. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н. Н. Красовский. М.: Физматгиз, 1959. - 211 с.

31. Куницын А. Л. Некоторые задачи устойчивости нелинейных резонансных систем / А. Л. Куницын, Л. Т. Ташимов. Алма-Ата: Гы-лым, 1990. - 196 с.

32. Ляпунов А. М. Общая задача устойчивости движения / А. М. Ляпунов. М.: Гостехиздат, 1950. - 472 с.

33. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний / И. Г. Малкин. М.: Гостехиздат, 1956. - 491 с.

34. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения / И. Г. Малкин. М.: Наука, 1966. - 533 с.

35. Малышев Ю.В. Качественное исследование критических случаев устойчивости движения / Ю. В. Малышев. // Дифференциальные уравнения. 1984. - Т. 20., N 10. - С. 1715 - 1720.

36. Малышев Ю.В. Методы обобщенных функций Ляпунова и приложения / Ю. В. Малышев. //В кн.: Метод функций Ляпунова и его приложения Новосибирск: Наука, 1984. - 258 с.

37. Малышев Ю.В. Теоремы устойчивости движения и примеры / Ю. В. Малышев. // Дифференциальные уравнения. 1993. - Т. 29., N 10. - С. 717 - 718.

38. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н. М. Матвеев. М.: Высш. школа, 1967. -564 с.

39. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем / В. М. Матросов. М.: Физ-матлит, 2001. - 384 с.

40. Матросова Н. И. Вектор-функции Ляпунова в изучении критических случаев / Н. И. Матросова. // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988. - С. 195 - 203.

41. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике / Ю. А. Митропольский. Киев: Наукова думка, 1964. - 440 с.

42. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах / Ю. Мозер. М.: Мир, 1973. - 168 с.

43. Немыцкий В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В. В. Немыцкий, В. В. Степанов. М. - Л.: ГИТГЛ, 1949. -550 с.

44. Перегудин И. Н. О многочастотных колебаниях, описываемых квазилинейной дифференциальной системой в одном критическом случае / И. Н. Перегудин, В. Н. Щенников // Исследования по прикладной математике. Саранск, 1982. - С. 93 - 99.

45. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений / В. А. Плисс. М.: Наука, 1977. - 303 с.

46. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики: Избр. тр.: В 3 т. Т. 1 / А. Пуанкаре. М.: Наука, 1971. - 771 с.

47. Самойленко А. М. Элементы математической теории многочастотных колебаний / А. М. Самойленко. -М.: Наука, 1987. 302 с.

48. Сарычев В. А. Вопросы ориетации искусственных спутников / В. А. Сарычев. М.: Наука, 1987. - 302 с.

49. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике /Н. Г. Четаев. М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 535 с.

50. Четаев Н. Г. Устойчивость движения /Н. Г. Четаев М.: Наука, 1965. - 208 с.

51. Шестаков А. А. Об асимптотическом поведении многомерных систем дифференциальных уравнений / А. А. Шестаков // Ученые записки кафедр высш. математ. и теор. механ. М.: МПС ВЗИИТ, 1961. -Вып. 7. - С. 3 - 104.

52. Шестаков А. А. О степенной асимптотике неавтономной однородной и квазиоднородной системы / А. А. Шестаков // Дифференциальные уравнения. 1975. - Т. 11., N 8. - С. 1427 - 1436.

53. Якубович В. А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В. А. Якубович, В. М. Старжинский. М.: Наука, 1972. - 720 с.

54. Antosievicz N. A. A servey of Lyapunov's second method. Contributions to the theory of nonlinear oscilations / N. A. Antosievicz // Princetion univ. press. 1958. - V. 4. -P. 141 - 166.

55. Antosievicz N. A. Recent contributions to Lyapunov's second method. Les vibrations forsees dans les systems nonlineares / N. A. Antosievicz. // Collog. Internat. center nat. rech. scient. 1965. - V. 148. -P. 29 - 37.

56. Hahn W. Theory und Anwedung der directen Methode von Lyapunov / W. Hahn. Berlin - Gottingen. - Heidelderg.: Sprinder Verlag, 1959. -248 p.

57. Hahn W. Theory stability of motion / W. Hahn. Berlin - Heidelderg -New-York.: Sprinder Verlag, 1967. - 446 p.

58. La Salle J.P. Stability theory for ordinary differential equations / J. P. La Salle. // J. of Different. Equations. -1968. N 4. -P. 57 -65.

59. Massera J.L. On Liapunoffs conditions of stability of motion / J. L. Massera. // Annals of Math. 1949. - V. 50. - N 3. - P. 705 -721.

60. Salvadori L. Sulla stabilita del movimento / L. Salvadori. // Mathe-matiche. 1969. - V. 24. - P. 218 - 239.

61. Yoshizawa T. Stability theory by Lyaunov's second method / T. Yoshizawa. Tokio : Math. Soc. Japan. -1966. - 223 p.

62. Yoshizawa T. Stability theory and existence of periodic solutions almost periodic solutions / T. Yoshizawa. New York. - Heidelberg - Berlin. -1975. - 223 p.

63. Перегудин А. И. Многочастотные колебания в системах Ляпунова / А. И. Перегудин, И. Н. Перегудин // "Огаревские чтения". Науч. конф. (27; 1998 г.; г. Саранск): Материалы науч. конф.: В 5 ч. Саранск, 1998. - Ч. 5. - С. 141 - 143.

64. Перегудин А. И. Ветвление решений нелинейной системы двух уравнений / А. И. Перегудин // Технические и естественные науки: Проблемы, теория, практика: Межвуз. сб. науч. тр. Саранск, 2000. - С. 90 -92.

65. Перегудин А. И. Периодические решения автономной системы с заданным первым интегралом / А. И. Перегудин // Технические и естественные науки: Проблемы, теория, практика: Межвуз. сб. науч. тр. -Саранск, 2000. С. 86 - 88.

66. Перегудин А. И. Многочастотные колебания автономной системы в критическом случае / А. И. Перегудин // "Огаревские чтения". Науч. конф. (30; 2001 г.; г. Саранск): Материалы науч. конф. Саранск, 2001.-С. 258 - 263.

67. Перегудин А. И. Многочастотные колебания в нелинейных системах дифференциальных уравнений в критических случаях / А. И. Перегудин // Процессы управления и устойчивость. Науч. конф.: Труды (33;2002 г.; СПб.). СПб., 2002. - С. 102 - 107.

68. Перегудин А. И. Двухчастотные колебания в автономной системе дифференциальных уравнений / А. И. Перегудин // Методы возмущений в гомологической алгебре и динамика систем: Межвуз. сб. науч. тр. Саранск, 2004. - С. 49 - 54.