Бифуркации инвариантных торов и квазипериодических решений систем дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. БШУРКАЦИЯ ИНВАРИАНТНЫХ ТОРОВ И КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДШФЕРЕЩИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ ДВУХ НУЛЕВЫХ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО

УРАВНЕНИЯ.

§ I. Предварительные преобразования.

§ 2. Бифуркационная теорема.

§ 3. Существование квазипериодических решений на бифурцирующих инвариантных торах.

§ 4. Бифуркация инвариантных торовзпериодических систем Ляпунова.

§ 5. Бифуркация инвариантных торов: и квазипериодических решений одного дифференциального уравнения нелинейных колебаний.

§ 6. Случай двух нулевых корней характеристического уравнения с простыми элементарными делителями.

ГЛАВА II. КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕАНАЛИТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕН®!.

§ 7. Вспомогательные утверждения.

§ 8. Индуктивная лемма.

§ 9. Теорема существования.

§ 10. Основной результат.

Диссертация посвящена изучению нелинейных систем дифференциальных уравнений, зависящих от малого параметра. История исследования таких систем берет начало с классических работ А. Пуанкаре [22] и А. М. Ляпунова [9 - II] . Непосредственное рассмотрение поведения решений при изменении входящих в уравнения параметров было предпринято А. А. Андроновым, чьи работы положили начало теории бифуркаций периодических движений. Эта теория получила в настоящее время интенсивное развитие в связи с обнаружившимися ее обширными приложениями (см. [12} , там же можно найти библиографию по этому вопросу). В данной работе изучается бифуркация инвариантных торов и квазипериодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Постановке задачи предпошлем следующее

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция F("t) называется: квазипериодической с базисными частотами £Oi , если вещественные числа Wi, 9. f соп рационально независимы и существует функция UC&itQZtOn) , 2ST -периодическая по каждому аргументу, такая, что F(i)s uCco1i + 4>itcjzi+^li , где 4*1, Фг ,. > - некоторые константы.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Рассмотрим вещественную систему дифференциальных уравнений

Асох + Х (1) где X - двумерный вектор, А -2*2 -мерная матрица, имеющая комплексно сопряженные собственные значения cUe) и «^О такие, что 0U0)- ik и ЛФО ; функция X аннулируется при х = о вместе со своими частными производными первого порядка по компонентам вектора X ; здесь £ - малый параметр.

Эту систему в аналитическом случае при £ =о исследовали А. Пуанкаре [22] и А. М. Ляпунов [9] . Ими были найдены условия различения центра: и фокуса и введены величины, получившие впоследствии название "ляпуновские". При наличии параметра возникает проблема бифуркации предельного цикла из положения равновесия. Эту задачу решали А. А. Андронов, Э. Хопф и др. (см. [ 12]). При этом, как правило, от системы (I) переходили к уравнению = RecLC£)r+ (2) где г , <р - полярные координаты, функция R со -периодична по ^ и аннулируется при г = о вместе со своей частной производной по г . Суть результата Андронова-Хопфа состоит в выводе бифуркационного уравнения для определения предельного цикла вида если ' здесь - Ляпунов екая: величина.

При рассмотрении окрестности периодической траектории возникают системы дифференциальных уравнений вида х = Ашх + где А ,Х такие же как в (I), только теперь X зависит от t и имеет по i период . Для таких систем Ю. И. Неймарк [sol , Д. Мырзалиев [l8, I9l , Р. Сакер [301 исследовали проблему бифуркации инвариантных торов, из положения равновесия. Ю. Н. Бибиков [21 исследовал вопрос о существовании квазипериодических движений на бифурцирующих инвариантных торах. При этом, как правило, переходили к системе дифференциальных уравнений виДа г> f = RedUOr + R(-fc,4>, »",£), (3) ф = Ф (t9%r,a), где функции R , ф ^-периодичны: по t , G^-периодичны по У

D ^ 3R

И К =Ф= =0 при у — о ,

Все эти рассмотрения относились к. случаю X Ф О . Аналогичная проблема возникает для вещественной системы двух дифференциальных уравнений

У + Х(Х,Ч,£), y = -x2n~i + Y(x,y,e), (4) где функции X , Y достаточно гладки по своим аргументам и ггХ О дхрдуt при х = У=о , р+уп^п, а/у (5)

-О

ЪхрЪуЪ ПРИ xsy = o, p+^iifl-i.

При L-0 в аналитическом случае эта система исследовалась А. М. Ляпуновым [10] и им было показано, что для системы (4) имеет место проблема центра и фокуса. С помощью замены координат где функции Cs , Sn ¥ имеют период и)2 = р/«+4\ и удовлетворяют условиям

- s, v. = сЛ1*. d;+„ 5«*<р=1, d¥ о.т

А. М. Ляпунов переходил к системе дифференциальных уравнений (6)

71-1 где функции R , ф имеют период и>г по <Р , и вопрос о различении центра и фокуса сводился-к изучению системы (6). Следовательно, при наличии параметра вопрос о бифуркации предельного цикла из попложения равновесия системы (4) сводится к изучению уравнения (2).

Периодический аналог системы уравнений (6) при и наличии параметра не изучался. Первая глава диссертации посвящена изучению этого случая. В ней рассматривается вещественная система двух дифференциальных уравнений г=6 Ro a, v,£)r'" + R4 а, У, г, Е)г

7)где п - натуральное число, пя , функции в правой части (7) имеют периоды по i и сог по У и достаточно гладки по своим аргументам в некоторой области пространства ; предполагается, что Г о

Системы (2) и (3) являются частными случаями системы (7) при n=1 . В автономном случае при £ =0 система (7) приводится к виду (6). Следовательно, при £ — О для системы (7) имеет место периодический, аналог проблемы центра и фокуса.

ЦЕЛЬ ПЕРВОЙ ГЛАВЫ ДИССЕРТАЦИИ состоит в определении условий бифуркации инвариантных торов из положения равновесия системы (7) при 7171 , решении вопроса о существовании квазипериодических решений на бифурцирующих инвариантных торах и применении полученных результатов к периодическим системам дифференциальных уравнений в критическом случае двух нулевых корней характеристического уравнения.

При решении поставленной задачи мы: будем пользоваться: результатом Н. Н. Боголюбова [4, б] , суть которого заключается?" в следующем.

Рассматривается вещественная система дифференциальных уравнений к -о) + y=Qy+;f(x>y), (8) где р - соответственно w?-, 77-мерные вектор-функции, Z3!"периодические по О - пхп -мерная постоянная матрица, со - вектор частот.

ТЕОРЕМА I (Н. Н. Боголюбов [4, б]).

Пусть вектор со с несоизмеримыми компонентами удовлетворяет неравенствам где К - некоторая положительная константа, J - вектор с целочисленными компонентами, и выполнены следующие предположения:

1. Функции j- аналитичны в области llmxl<j>, 11У«ц<т1» в которой здесь *] , f , К , L - некоторые положительные константы, причем

ИИп- sap

2. Все собственные значения матрицы имеют отрицательные вещественные части и le НРе , где Р - константа, P»i , t*ot .

Тогда существует постоянный т -мерный вектор Л такой, что система х = + Д + J-, У = имеет квазипериодическое решение вида х = co-fc + © + и. (ы{+е), у - U(o)-fc +о), где Э - некоторый постоянный вектор, функции UCV), и(<р) ана-литичны и 1% -периодичны по = Спри llmtP\<^ . Если функции ^ , ^ аналитичны по параметру £ = С£А,£г,., 3s), то функции U , У будут также аналитичны по 6

Теорема I была переложена на достаточно гладкий случай

A. М. Самойленко [26] и Ю. Мозером [14] . Для случая, когда матрица Q зависит от X , аналогичный результат получен

B. Т. Яцюком [28] .

В работе [17] 10. Мозер рассматривал систему (8) в предположении, что матрица Q млеет собственные значения7 с нулевыми вещественными частями. При этом соответствующая-теорема доказана им как для случая зависимости фгункций j в (8) от параметра £ , так и для индивидуальной (не зависящей от £ ) системы (8).

ТЕОРЕМА 2 (Ю. Мозер [17]).

Рассмотрим вещественную систему дифференциальных уравнений Х = СО + £f(X,y,£), где J. - соответственно m -, n -мерные вектор-функции,

ZST -периодические по х = CXitxz,.-., Хт) , вещественно-аналитические В: области

II». Х\<Г1 ly\< y0j

Пусть матрица Q диагонализируема, вектор со с несоизмеримыми компонентами и собственные значения;. Q^ матрицы £2 удовлетворяют неравенствам £ rkQ4l г >m-i, (9) где К - некоторая положительная: константа, для любого ненулевого целочисленного вектора j и целых Kfe таких, что и левая часть (9) обращается в нуль лишь при j -о

Тогда существуют такие однозначно определенные степенные ряды А(£), М(£), удовлетворяющие условиям

Qju-o, QM = MQ и аннулирующиеся, при £-о , что у системы со + у + + (Ю) есть квазипериодическое решение с: теми же характеристическими числами, что и у невозмущенного (при £=о ) решения системы (10). Более того, существует преобразование координат о(£,г},£) , линейное по у] , где: и , 1) - Zft -периодические по § ® §»)» аналитические функции, переводящее систему (10) в систему уравнений вида. где функции , 4* , Щ аннулируются при *] =» о

Все ряды Л , ju ,М , Ц , и имеют положительный радиус сходимости по £

В свою очередь теорема 2 была усилена Ю. Н. Бибиковым [з] и М. Розо [29] .

ЦЕЛЬ ВТОРОЙ ГЛАВЫ ДИССЕРТАЦИИ состоит в перенесении теоремы Ю. Мозера на достаточно гладкий случай. Для. решения^ поставленной задачи будут иснользованы метод, основанный на соединении метода Ньютона-Колмогорова и техники сглаживания, как это сделано в работах [б, 15, 16, 2б] , и идеи, заложенные в работе [17] .

Диссертация состоит из введения, одиннадцати параграфов, объединенных в две главы, и приложения. В первой главе рассматривается система дифференциальных уравнений (7), выясняются: условия бифуркации инвариантных торой и квазипериодических решений из положения равновесия этой системы1, полученные результаты применяются к периодическим системам дифференциальных уравнений в критическом случае двух нулевых корней характеристического уравнения и к одному дифференциальному уравнению нелинейных колебаний. Во второй главе рассматривается.система дифференциальных уравнений (8) в предположении, что функции J- , ^ имеют конечное число непрерывных производных, а матрица О имеет собственные значения с нулевыми вещественными частями и диагона-лизируема. В приложении обоснован выбор итерационных параметров, из § 8.

1. Бибиков Ю.Н. Общий-курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Л. Изд-во ЛГУ, 1981, 232 с.

2. Бибиков Ю.Н. Бифуркация типа Хопфа для квазипериодических решений. Дифференциальные уравнения, 1980, т. 16, Р 9,с. 1539 1544.

3. Бибиков Ю.Н. Усиление одной теоремы Мозера. Доклады АН СССР, 1973, т. 213, № 4, с. 766 - 769.

4. Боголюбов Н.Н. О квазипериодических решениях в задачах нелинейной механики. В кн.: Тр. первой летней матем. школы, Киев, "Наукова думка", 1964, с. II - 102.

5. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., ШШЛ, 1963, 503 с.

6. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А., Самойленко A.M. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев, "Наукова думка", 1969, 247 с.

7. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М., "Наука", 1969, 528 с.

8. Кодцингтои Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М., ИЛ, 1958, 474 с.

9. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л., Гостехиздат, 1950, 471 с.

10. Ляпунов A.M. Исследование одного их особенных случаев задачи об устойчивости движения. В кн.: Собр. соч., т. 2, М.-Л., Изд-во АН СССР, 1956, с. 272 - 331.

11. Ляпунов: A.M. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения. Л., Изд-во ЛГУ, 1963, 116 с.

12. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М., "Мир", 1980, 368 с.

13. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М., "Мир", 1973, 168 с.

14. Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения. Успехи матем. наук, 1968, т. 23, вып. 4, с. 179 - 238.

15. Мозер Ю. Новый метод построения решений нелинейных дифферен- ■ циальных уравнений. Математика: Сб. перев., 1962, т, 6,Р 4, с. 3 10.

16. Мозер Ю. 0 кривых, инвариантных при отображениях кольца, сохраняющих площадь. Математика: Сб. перев., 1962, т. 6, 15, с. 51 - 67.

17. Мозер 10. 0 разложении условно-периодических движений в сходящиеся степенные ряды. Успехи матем. наук, 1969, т. 24, вып. 2, с. 165 - 206.

18. Мырзалиев Д. 0 существовании периодической инвариантной поверхности для одной системы дифференциальных уравнений. -Известия АН Каз. ССР, сер.физ.-мат., 1963, вып. 3, с. 53- 63.

19. Мырзалиев Д. 0 существовании торообразной инвариантной поверхности в окрестности семейства слабоустойчивых решений.Известия АН Каз. ССР, сер. физ.-мат., 1963,вып. 3, с. 45 47.

20. Неймарк Ю.И. 0 некоторых случаях зависимости периодического • движения от параметров. Доклады АН СССР, 1959, т. 129, № 4, с. 736 - 740.

21. Плисс В.А. Интегральные множества периодических систем диф-ференциаальных уравнений. М., "Наука", 1977 , 304 с.120/

22. Пуанкаре А. 0 кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. M.-JI., Гостехиздат, 1947, 392 с.

23. Рузаев В.П. Бифуркация инвариантных торов и квазипериодических решений одного дифференциального кравнения второго порядка. Вестник ЛГУ, 1984, № 19, с. 64 - 67.

24. Рузаев В.П. Бифуркация инвариантных торов и квазипериодических решений из положения равновесия. Р 6297-84 Деп. в ВИНИТИ от 19 сентября 1984 г., 12 с.

25. Рузаев В.П. Квазипериодические решения нелинейных систем дифференциальных уравнений. № 6296-84 Деп. в ВИНИТИ от 19 сентября 1984 г., 33 с.

26. Самойленко A.M. К вопросу о структуре траекторий на торе. -Укр. матем. журн., 1964, т. 16, W 6, с. 769 782.

27. Ятаев М. К исследованию одного критического случая устойчивости движения. Вестник АН Каз. ССР, 1968, № I, с. 54 - 57,

28. Яцюк В.Т. Тороидальные интегральные многообразия некоторых систем дифференциальных уравнений. В кн.: IX Международная конф. по нелин. колебаниям, т. I.' Киев, "Наукова думка", 1984, с. 422 - 424.

29. Roseau М. Sur /д theory des Sxsiems yuasi perlo digues. С Г. Jcad. Set., *972, т. 274t Vtl, Am-А Ж.

30. Sacker- R.-J. Оj. Invariant surfaces and bifurcation oj. periodic solu -lions ordinary different eyuaiionS. E>oci . diss Hew York University, 1964, 9*pP Dissert. /Ustrs", 1966у Шр.