Приложение обобщенной производной Шварца к исследованию бифуркаций потери устойчивости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. МЛ. Ломоносова

На правах рукописи УДК 517.938

□□3452843

Я КУШ КИП НИКОЛАЙ АНДРЕЕВИЧ

ПРИЛОЖЕНИЕ ОБОБЩЕННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ШВАРЦА К ИССЛЕДОВАНИЮ БИФУРКАЦИЙ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ

Специальность 01.01.02. Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008

003452843

Работа На кафедре высшей математики факультета

выполнена естественных наук Обнинского государственного

технического университета атомной энергетики (ИАТЭ)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Сатаев Евгений Анатольевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Магницкий Николай Александрович

доктор физико-математических наук, профессор Жиров Алексей Юрьевич

Ведущая организация

Нижегородский государственный университет

Защита диссертации состоится « 19 » ноября 2008 г. в 15 часов 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.43 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Россия, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-ой учебный корпус, факультет ВМК, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова

Автореферат разослан « _19_» октября 2008 г. Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, профессор Захаров Е.В.

Зчх.^

Актуальность темы

Задача о мягкости или жесткости бифуркаций Андронова-Хопфа, удвоения периода предельного цикла и рождения инвариантного тора из неустойчивого предельного цикла для семейств векторных полей и удвоения периода неподвижной точки и рождения инвариантной окружности для семейств диффеоморфизмов имеет важное теоретическое и практическое значение.

Решение рассматриваемой задачи способствовало развитию теории колебаний, теории автоматического регулирования, радиофизики и других научно-технических дисциплин.

Математический аппарат, созданный для решения рассматриваемой задачи, применяется для изучения динамики сложных управляемых систем таких как ядерные энергетические установки, системы гироскопической стабилизации и слежения и т.п.

В настоящее время ряд Российских и зарубежных исследовательских групп (например, группы в Саратове, Нижнем Новгороде, Ярославле и др.) занимаются исследованиями типа бифуркаций в различных приложениях. Решение данной задачи, как правило, сводится к вычислению ляпуновских величин.

Вычислении ляпуновских величин - сложная задача, решение которой связано с использованием методов теории нормальных форм или известных (весьма громоздких) формул. Особенные трудности вызывает изучение бифуркаций предельных циклов, так как для решения этой задачи приходится вычислять производные третьего порядка для отображения последования вдоль цикла. Поэтому новые подходы к построению соответствующих алгоритмов имеют важное значение.

Цель работы

Диссертация посвящена развитию методов решения рассматриваемых задач теории бифуркаций, основанных на применении, предложенной ЕЛ. Сатаевым обобщенной производной Шварца. Целью данной работы является построение и доведение до численных алгоритмов методики определения типа бифуркаций в конкретных системах, основанной на применении обобщенной производной Шварца.

Научная новизна диссертации состоит в том, что:

• Доказана теорема о равенстве значения обобщенной производной Шварца, вычисленной вдоль бифурцирующего предельного цикла семейства векторных полей, первой ляпуновской величине соответствующего отображения за период.

• Разработана методика, основанная на приложениях обобщенной производной Шварца к решению задач о мягкости или жесткости бифуркаций потери устойчивости, доведена до численных алгоритмов и проиллюстрирована на примерах.

• Доказана мягкость бифуркации рождения инвариантного тора из неустойчивого предельного цикла в системе двух связанных осцилляторов Ван-дер-Поля.

• Получены значимые для ядерной энергетики результаты, состоящие в исследовании бифуркационной границы в точечной модели йодно-ксеноповых колебаний.

• Доказана мягкость бифуркаций удвоения периода предельного цикла в системах Лоренца и Шимицу-Мариоко.

Личный вклад соискателя состоит в:

• Доказательстве теоремы о равенстве значения обобщенной производной Шварца, вычисленной вдоль бифурцирующего предельного цикла семейства векторных полей, первой ляпуновской величине соответствующего отображения за период.

• Доведении до численных алгоритмов методики, основанной на приложениях обобщенной производной Шварца к решению задач о мягкости или жесткости бифуркаций потери устойчивости

• Доказательстве мягкости бифуркации рождения инвариантного тора из неустойчивого предельного цикла в системе двух связанных осцилляторов Ван-дер-Поля.

• Получении значимых для ядерной энергетики результатов, состоящих в исследовании бифуркационной границы в точечной модели йодно-ксеноновых колебаний.

• Доказательстве мягкости бифуркаций удвоения периода предельного цикла в системах Лоренца и Шимицу-Мариоко.

Соискатель выносит на защиту

• Теорему о равенстве значения обобщенной производной Шварца, вычисленной вдоль бифурцирующего предельного цикла семейства векторных полей, первой ляпуновской величине соответствующего отображения за период.

• Методику вычисления величин, определяющих тип бифуркации, основанную на приложении обобщенной производной Шварца к решению задач о мягкости или жесткости бифуркаций потери устойчивости.

• Доказательство мягкости бифуркаций удвоения периода предельного цикла в системах Лоренца и Шимицу-Мариоко.

• Доказательство мягкости бифуркации рождения инвариантного тора из неустойчивого предельного цикла в системе двух связанных осцилляторов Ван-дер-Поля.

• Результаты исследования бифуркационной границы в точечной модели йодно-ксеноновых колебаний.

Апробация работы

Основные результаты проведенных исследований представлялись соискателем

- на научном семинаре отдела №2 математики и программных средств ГНЦ. РФ. ФЭИ (Обнинск);

- на научном семинаре кафедры высшей математики Обнинского Государственного Технического Университета Атомной Энергетики под руководством проф. Е.А. Сатаева;

- на заседании кафедры высшей математики Обнинского Государственного Технического Университета Атомной Энергетики;

- на научном семинаре кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета ВМК МГУ под руководством проф. Н.А. Магницкого.

- на следующих международных научных конференциях:

• Международная конференция студентов и аспирантов «Ломоносов 2004» (Москва 2004);

• Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Москва 2004);

• Международная конференция студентов и аспирантов «Ломоносов 2005« (Москва 7005);

• Международная конференция «Математические идеи П.Л. Че-бышева» (Обнинск 2006);

• Международная конференция «Математическая гидродинамика» (Москва 2006);.

• Международная конференция «Математические идеи П.Л. Че-бышева» (Обнинск 2008);

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах соискателя, список которых приведен в конце реферата [1-7].

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы (источников). Работа изложена на 95 листах, включая 82 страницы текста, 1 таблицу и 8 рисунков.

Глава 1. Предварительные сведения

В данной главе разъяснен используемый в диссертации математический аппарат, включающий в себя величины тензорного вида, 2-струи, метод локализации предельных циклов векторных полей, необходимые элементы теории бифуркаций для семейств векторных полей и семейств отображений и необходимые для вычисления ля-пуновских величин элементы теории нормальных форм для векторных полей и отображений. Этот математический аппарат содержит один необычный конструкт - величины тензорного вида. Величина тензорного вида Т типа (т, к) определяется в некоторой точке

Я" набором, зависящих от системы координат, чисел

Г = {7^}. Величины тензорного вида отличаются от тензоров

правилами преобразования (при нелинейной замене координат), а также тем, что для величин тензорного вида определена необычная операция свертки. Свертка величин тензорного вида типов (т, п), (п, к) соответственно является величиной тензорного вида:

Примерами величин тензорного вида являются используемые ниже производные векторных полей и диффеоморфизмов.

Пусть х е Я", / -определенное в Я" векторное поле,

Т: Я" -> Я" - диффеоморфизм, тогда первые, вторые и третьи производные векторного поля / представляют собой следующие величины тензорного вида:

Аналогично определяются производные диффеоморфизма .

2-струя (далее струя) функции ср в точке и0 такой, что ф(ы0) = О определяется парой 3 - (Ь, В), состоящей из линейного (Ь) и квадратичного (В)

Функционалы Ь, В рассматриваются как величины тензорного вида типов (0,1) и (0,2) соответственно. Действие отображения

- (~ -Л

: Я" —> Я" на струю 3 определяется так, что если 3 = Ь, В -

струя функции ф в точке и, = Ч* (м0), то 3 = |1Р, - струя функции (¡>"Т в точке и0. Соответствующие линейные и квадратичные функционалы связанны соотношениями:

¿Л*Ч"(«0)>

В=Ь*1¥ "(«„) + В* <¥ \ий) ® У '("о))-Определенная в неподвижной точке и0 е Я" диффеоморфизма Ч*: Я" -» Я" струя 3 = (Ь, В) называется собственной струей дан-

ного диффеоморфизма, соответствующей собственному значению А., если

Глава 2. Обобщенная производная Шварца и ее приложения

Известно, что производная Шварца функции ц>(г) имеет вид:

У«"

9'О) 2

В начале главы 2 приводится определение обобщенной производной Шварца. Пусть Ч7 - отображение области С/, с Я" в область

С/2с/?п. Для заданной точки хб(/, и заданной струи J = (L,Б)

определим струю У = | Ь,В такую, что J = также величи-

ны тензорного вида

Щ, (7) = 3^5® Ь-Ь® В^* (V \х) ® ¥ '(л) ® Ч' \х)),

(7) = ^ Л® * (У "(х) ® Т '(*)) - ^ (Ч' "(л:) ® ¥ "(*)),

Для произвольного вектора о определим величину тензорного вида:

Г(и) = и®и<8>и<8>о + и®о®и®о +

+о<8>и®1)®и+о®о®и®и.

Тогда обобщенная производная Шварца р отображения Ч', вычисленная в точке х относительно струи J и вектора и, определяется следующим образом:

(•/; о)(х) = (У)+Ку (У^ * Г(и).

Основное свойство обобщенной производной Шварца состоит в следующем. Пусть : Я" —> Л" отображения такие, что для

точек справедливо равенство Ч/1(х0) = х1. Предположим, что в точке х, определенны струя 7 = и вектор и, струя

3 = (Ь,В) и вектор о, определенные в точке х0, таковы что = = о.Тогда

Ниже представлены алгоритмы использования обобщенной производной Шварца для решения задач о мягкости или жесткости некоторых бифуркаций.

Исследование бифуркаций неподвижной точки семейства диффеморфизмов

Пусть х¥а : К" -» К" - однопараметрическое семейство диффеоморфизмов, обладающих неподвижной точкой ид(а). Если существует значение а0еI такое, что спектр Х,(а0),..,Хп(д0) матрицы

4"%(и0(а0)) удовлетворяет одному из двух следующих условий: <

то при а = а0 происходит бифуркация удвоения периода неподвижной точки и0(а) или рождения инвариантной окружности из неустойчивой неподвижной точки соответственно. Мягкость или жесткость любой из двух рассматриваемых бифуркаций определяется первой ляпуновской величиной (или коэффициентом соответствующей нормальной формы).

Е.А. Сатаев показал, что если и и ./ = В) - собственный вектор и собственная струя диффеоморфизма Ч* (и0(а0)), то значение

обобщенной производной Шварца р,,, (J;u)(w0(a0)) совпадет (с

точностью до натурального множителя) с соответствующим коэффициентом нормальной формы.

Струя J = (L,B) и вектор и диффеоморфизма VF в точке и0 определяются из уравнений:

Wao '(м0(ао)) = Ч-Яо (а0))и = Х,(а0)и, L*и = 1,

ХМВ = L*Vao-(no(flb)) + '(«0(«o))®^ '("«(«о)))-

В диссертации приведены примеры приложения обобщенной производной Шварца для исследования типа бифуркации удвоения периода неподвижной точки семейства диффеоморфизмов.

Вычисление обобщенной производной Шварца для векторного поля

Пусть / - определенное в R" векторное поле, порождающее фазовый поток . Обобщенная производная Шварца векторного поля / в произвольной точке х0, вычисленная относительно струи J и вектора и, определяется так

fPf(J'> u)(*0) = ¡»my pr (J;v)(x0).

Значение pf(J;v)(x0) можно вычислить следующим образом. Для струи J в точке х0 определим следующие величины тензорного вида:

V/(J) = 3(B®L-L®B)*(/"(x0)®8®8),

где 5 - величина тензорного вида, соответствующая символу Кро-некера. Тогда обобщенная производная Шварца векторного поля /,

вычисленная в точке хд относительно струи J = (I, В) и вектора и, имеет вид:

pf(J; о)(*0) = (uf(J) + Vf(J))*T( и)

Исследование бифуркации Андронова-Хопфа

Пусть /с К - ограниченный интервал, /а - семейство определенных в Л" векторных полей, обладающих при а е I неподвижной точкой х0. Пусть существует значение ай&1 такое, что при а = а0 в неподвижой точке х0 происходит бифуркация Андронова-Хопфа.

Мягкость или жесткость данной бифуркации определяется коэффициентом соответствующей нормальной формы.

Е.А. Сатаев показал, что если струя 3 = (Ь, В) и вектор и являются собственными для векторного поля / в точке х0, то значение

рг (/;и)(хи) с точностью до натурального множителя совпадет с

•Ч

соответствующим коэффициентом нормальной формы. Струя 7 = (Ь, В) и вектор и могут быть определены из соотношений:

где к - чисто мнимое собственное значение матрицы / '(-с0).

В диссертации построены примеры приложения обобщенной производной Шварца для исследования типов бифуркаций Андронова-Хопфа.

Исследование бифуркаций предельных циклов

Пусть I с К ограниченный интервал, ]а - семейство определенных в Я" векторных полей, обладающих при каждом ае1 предельным циклом Са периода т(а). Пусть существует значение а0 е I такое, что для мультипликаторов предельного цикла

С верно одно из следующих соотношений:

¿Д Ьо) = /а0 Ьо)» =ки,/,*и = 1,

кВ = и* и ) •+ (В * к ^) ■+ Л, )'* я),

Тогда при а = ай происходит бифуркация удвоения периода предельного цикла С или бифуркация рождения инвариантного тора из неустойчивого предельного цикла С^ .Мультипликатору ¡д, соответствует характеристический показатель X] > т.е. такое комплексное число, что ц, = .

В данных случаях мягкость или жесткость бифуркации предельного цикла определяется соответствующим коэффициентом нормальной формы отображения за период. В работе Е.А. Сатаева, посвященной обобщенной производной Шварца, утверждается (без доказательства), что если в каждой точке х е определить вектор

о(х) и струю ./(х) = (Цх), В(х)) таким образом, что

еХ1'и(Ч"(х)) = Ч"(о(х)), еь'Дх)= {т',./(х) } ,

тогда мягкость или жесткость рассматриваемых бифуркаций предельных циклов определяется величиной

Б = {^(./(х^и^ОЖ^М.

о

Если Ие £ < 0, бифуркация мягкая, если > О -жесткая. В диссертации построены примеры приложения обобщенной производной Шварца для исследования типов бифуркаций удвоения периода предельного цикла, а также рождения инвариантного тора. В диссертации доказано (см. теорему 1), что условия

ех<'о(Ч"(х)) = Ч"(и(х)), ех,'3(х)={ч",./(х)}

следует дополнить равенством Цх) * и(х) = 1.

В соответствующем утверждении выбор струи и вектора в точках цикла отличается от вышеприведенного. Это объясняется тем, что численные алгоритмы для вычисления ляпуновской величины, основанные на таком выборе, являются более простыми.

Теорема 1. Пусть / с Я - ограниченный интервал, /а - однопа-

раметрические семейство определенных в Я" векторных полей, обладающих при ае/ предельным циклом Са.Пусть существуетзна-

чения а1 е / такое, что предельный цикл С = е[0,т(а,)]}

обладает мультипликатором д = -1 (или парой комплексно-

сопряженных мультипликаторов ц, ц равных по модулю 1), остальные мультипликаторы лежат внутри единичного круга.

Пусть на предельном цикле С построены семейства струй

{./(;с(/))} и векторов и(д:(/)) так, что J(x(0)), и(х(0)) являются

собственными струей и вектором отображения Ч/т(а,) в точке л:(0) и выполнены условия

/(х(0)) = {Г,./(*(/))}, и(х(0) = Г(и(х(0))), (Дх(0)),и(х(0))) = 1. Пусть

о

Тогда первая ляпуновская величина отображения за период в окрестности бифурцирующего предельного цикла С0] равна (с точностью

до положительного множителя) вещественной части величины >!?.

Семейства {У(х(0)} = {(1(х(0),-8(л:(0)}» и(*(0) строятся следующим образом. 1) Из уравнений

\х(0)) = / '«О) *(ч'') '(х(0)),

с/"(40))

<а

■ = ПхЩ*[¥)\хт+ (1)

с начальными условиями (ч/0)'(^(0)) = £,(ч,°)"(л:(0)) = 0 строятся первая Ф = (ч-т(а|))'(х(0)) и вторая (ч'тК:>)"(х(0)) производные отображения за период соответствующего предельному циклу Са .

2) Из уравнений

ц,/,(;с(0)) = Д*(0))Ф, цо(*(0)) = Фи(дс(0)),

ММО» = Цх(0)) *(ч/Т(а1)) " (х(0)) + Д(х(0)) * (Ф ® Ф).

строятся вектор и(*(0)) и струя ./(х(0)) = (Цх(0)), В(х(0))).

3) Из уравнений

'¿»МО)

Л

сИ

ЫВШ)

= Г(х(1)Мх(()),

= -Цх(/))/'(х(0), (3)

= -Цх(/)) * / "МО) + «(*(/)) * (/ '(*(/)) ® 5 + 5 ® / '(*(0))>

ш

с начальными условиями, определяемыми из (2), строятся семейства струй и векторов , |и(лг(/))}.

Подробнее см. диссертацию.

Глава 3. Примеры

В данной главе рассмотрены следующие примеры приложения обобщенной производной к решению задач теории бифуркаций.

Исследование бифуркационной границы в модели процесса капитализации рыночной экономики, которая представляет собой систему из трех обыкновенных дифференциальных уравнений

¿1

ду , ч

<#

ск , ч

— = а(у-сх), х,у,г е /?, а = 7, ¿> = 0.4, с=1.17. Ж

Данная система предложена в работе НЛ. Магницкого и Н.В. Сидорова. В диссертации вычислением соответствующего значения обобщенной производной Шварца показано, что при переходе значений параметров через определенную границу в одной из неподвижных точек данной системы происходит жесткая бифуркаций Андронова-Хопфа.

Исследование бифуркационной границы в точечной модели ксеноновых колебаний

Н.А. Рябовым и А.А. Семеновыми была предложенная следующая модель йодно-ксенеоновых колебаний в ядерных реакторах. Пусть х(/), у(1) - изменяющиеся во времени концентрации йода и ксенона в некотором объеме активной зоны ядерного реактора. Тогда для функций 0 с некоторыми допущениями справедлива система обыкновенных дифференциальных уравнений ¿г Р(1 + сос)+^.у <11 4у

-х(1 + Р(1+ «*)),

(4)

Л

■ = кж\+<**)-у),

где а,р - управляющие параметры, кх, к2 - коэффициенты обусловленные свойствами йода и ксенона. Семеновым и Рябовым показано, что на плоскости параметров а,р имеется кривая, являющаяся границей области устойчивости неподвижной точки системы

пч _ -(1 + Р(1 - а)) + -у/4а р2 + (1+Р(1 - а))2

2а Р ' (5)

Л(а,р) = р(1+ах0(а,р))

В диссертации доказано, что данная граница является безопасной, т.е. при переходе значений параметров а,р через данную границу в неподвижной точке (5) системы (4), происходит мягкая бифуркация Андронова-Хопфа.

Для доказательства мягкости данной бифуркации выбирались пары значений (а^Р,), /' б {1,.., 1000} равномерно распределенных по

границе области устойчивости. Затем в неподвижной точке системы вычислялись значения обобщенной производной Шварца векторного поля, порождающего фазовый поток системы. Все вычисленные значения обобщенной производной Шварца обладали отрицательными вещественными частями, следовательно, исследуемая бифуркационная граница - безопасная [5].

Исследование бифуркации Андронова-Хопфа в системе Лоренца

Система Лоренца имеет вид:

ш

а (к

■ гх-у-хг;

(6)

8

-ху-Ъг, х,у,ге ст = 10, & = -, г>0. Ш 3

Н.В. Рощин, используя формулы Н.Н Баутина, показал, что при г «24.73 в неподвижной точке (х0,у0,г0)х (7.95,7.95,23.73)сис-

темы (6) имеет место жесткая бифуркация Андронова-Хопфа. В диссертации приведено более краткое доказательство данного результата, состоящее в вычислении соответствующего значения обобщенной производной Шварца

Исследование бифуркации удвоения периода предельного цикла для системы Лоренца

Известна гипотеза о том, что изменение значения параметра г в определенных границах влечет каскад мягких бифуркаций удвоений периодов предельных циклов системы Лоренца.

Одна из таких бифуркаций происходит при г «148.68. В диссертации вычислением обобщенной производной Шварца вдоль бифур-цирующего предельного цикла показана мягкость данной бифуркации.

Исследование бифуркации рождения инвариантного тора из неустойчивого предельного цикла системы Хаяши-Каваками

Система Хаяши-Каваками имеет вид: 'йи

— = и,

а

- дсоь1—и^и2 +ЗИ'2)-А:1О,

1 2 2 — к2м>(3и ), 8

¿о

л

сЫ/

— = <7о

При ц = 0.22, <70 = 0.03, = 0.05, А2 » 0.1189 в системе (7) имеет

место бифуркация рождения инвариантного тора из неустойчивого предельного цикла. В диссертации вычислением соответствующего значения обобщенной производной Шварца доказано, что данная бифуркация мягкая.

Исследование бифуркации удвоения периода предельного цикла в системе Шимицу-Мориоко

Система Шимицу-Мориоко имеет вид:

Известна гипотеза о том, что изменение значения одного из параметров в определенных границах влечет каскад мягких бифуркаций удвоений периодов предельных циклов данной системы. Одна из таких бифуркаций происходит при а и 0.5566707, Ъ ~ 0.4554. В диссертации вычислением обобщенной производной Шварца вдоль бифурцирующего предельного цикла показана мягкость данной бифуркации.

Исследование типа бифуркации рождения инвариантного тора в системе двух связанных осцилляторов Ван дер Поля

Динамика двух связанных ван дер полевских осцилляторов описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

сЬс

-- х-ау-хг,

Л

Л

При к~\,а» 0.8 в системе (8) происходит бифуркация рождения инвариантного тора из неустойчивого предельного цикла. В диссертации вычислением обобщенной производной Шварца для бифурцирующего предельного цикла показано, что данная бифуркация мягкая [7].

Исследование бифуркации удвоения периода неподвижной точки отображение Эно

Отображение Эно имеет вид

Н:(х,у)^>{1+у-ах2,Ьх),х,уеК. (9)

Отображение обладает неподвижной точкой

Й-1-л/(Й-1)2 + 4о

х --^-> У = Ьх

2 а

^_

При а =- происходит бифуркация удвоения периода не-

4

подвижной точки отображения (9). Вычислением соответствующих значений обобщенной производной Шварца первой ляпуновской

3 1

величины показано, что при а =—, А = — имеет место мягкая ои-

16 2

фуркация удвоения периода неподвижной точки х0 =—,у0 = — ото-

3 3

бражения(9).

Благодарности

Соискатель выражает благодарность своему научному руководителю Е.А. Сатаеву за постановку задачи, пристальное внимание к выполняемой работе и методическую помощь.

Литература

1. Н.А. Якушкии. Шварциан в теории бифуркаций //Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным направлениям «Ломоносов 2004» секция ВМиК. - М.: МГУ, 2004.-С. 31-32.

2. Н.А. Якушкин. Исследование системы Лоренца при помощи шварциана//Международная конференция «дифференциальные уравнения и смежные вопросы» посвященная 103 -летию со дня рождения И.Г.Петровского. Сборник тезисов. - М.:МГУ, 2004. - 244 с.

3. Н.А. Якушкин. Шварциан для многомерных потоков, диффеоморфизмов и циклов//Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным направлениям «Ломоносов 2005» секция ВМиК. - М.: МГУ, 2005. - С. 77-79.

4. N.A. Yakushkin. Schwartz derivative and its applications.// International Conference «Mathematical Hydrodynamics» Abstracts Moscow. 2006. - 83 c.

5. Якушкин H. А. Исследование бифуркационной границы в точечной модели ксеноновых колебаний// Известия Высших учебных заведений. Ядерная Энергетика. - 2007. -№3. - Вып. 2. - С. 132-139.

6. Якушкин Н.Л. Обобщенная производная Шварца в исследовании бифуркаций связанных с потерей устойчивости предельных циклов//Дифференциальные уравнения Том 44, номер 9, 2008. -С. 1293-1296.

7. Якушкин Н.А. Приложения обобщенной производной Шва-ца.//Материалы международной конференции «математические идеи П.Л. Чебышева». - Обнинск, 2008. - 85 с.

Компьютерная верстка Н.А. Якушкин

ЛР№ 020713 от 27.04.1998

Подписано к печати 3, С. OS vC i".

Формат бумаги 60x84/16

Печать ризограф. Заказ № ¿И

Бумага MB Тираж 100 экз.

Печ.л. 1,25 Цена договорная

Отдел множительной техники ИАТЭ 249035, г. Обнинск, Студгородок, 1

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНЬЯ

1.1 Спектры матриц, тензоры, струи

1.2 Векторные поля. Основные определения, основы качественной теории, нормальные формы и ляпуновские величины, теория бифуркаций, теория бифуркаций, Локализация предельных циклов.

1.3 Отображения. Основные определения, теория бифуркаций.

ГЛАВА 2 ОБОБЩЕННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ШВАРЦА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

2.1 Вычисление обобщенной производной Шварца для отображений, для векторных полей, для периодической траектории векторного поля.

2.2 Теория бифуркаций.

ГЛАВА 3 ПРИМЕРЫ

3.1 Исследование бифуркационной границы в точечной модели ксеноновых колебаний и в модели рыночной экономики

3.3 Исследование бифуркации Андронова-Хопфа в системе Лоренца

3.4 Исследование бифуркации удвоения периода предельного цикла для системы Лоренца.

3.5 Исследование бифуркации удвоения периода предельного цикла в системе Шимицу-Мориоко

3.6 Исследование бифуркации рождения инвариантного тора в системе

Хаяши-Каваками

3.7 Исследование бифуркации рождения инвариантного тора в системе двух связанных осцилляторов Ван дер Поля

3.8 Исследование бифуркации удвоения периода неподвижнойточки отображения Эно.

3.8.1 Вычисление обобщенной производной Шварца.

3.8.2 Вычисление первой ляпуновской величины.

Диссертация посвящена приложению обобщенной производной Шварца к решению задач о мягкости или жесткости бифуркаций Андронова-Хопфа, удвоения периода предельного цикла, рождения инвариантного тора из неустойчивого предельного цикла для семейств векторных полей, а также бифуркаций удвоения периода неподвижной точt ки и рождения инвариантной окружности из неустойчивой неподвижной точки для семейств отображений.

Современная теория устойчивости как раздел теории дифференциальных уравнений восходит к вышедшей в 1892 году работе A.M. Ляпунова «Об устойчивости движения»^], хотя отдельные вопросы разбирались и ранее. В этой работе A.M. Ляпунов сформулировал определение устойчивости решения обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и критерий устойчивости неподвижной точки ОДУ в терминах собственных значений матрицы соответствующего линеаризованного уравнения в окрестности неподвижной точки. В настоящее время этот критерий хорошо известен[13,27]: неподвижная точка ОДУ устойчива, если все собственные значения матрицы соответствующего линеаризованного уравнения имеют отрицательные вещественные части. Менее известны выводы второй части этой работы, в которой рассматривается задача об устойчивости неподвижной точки ОДУ с матрицей соответствующего линеаризованного уравнения, имеющей нулевые или чисто мнимые собственные значения. Для решения некоторых наиболее важных случаев этой задачи A.M. Ляпунов предложил алгоритмы вычисления некоторых величин (которые в настоящее время называются ляпуновскими величинами). Если первая отличная от нуля ляпуновская величина отрицательна, то неподвижная точка устойчива, а если положительна, - то неустойчива. В настоящее время хорошо известно, что ляпуновские величины равны вещественным частям соответствующих коэффициентов нормальной формы Пуанкаре-Дюлака [9,12,30].

Термин «бифуркация» впервые появился в работах А.Пуанкаре. Бифуркацией в данных работах называется скачкообразное изменение качественной картины поведения решений ОДУ при изменении параметра. Значение параметра называется бифуркационным, если существует качественное различие в поведении траекторий при значениях параметра с разных сторон от данного значения.

Выступая на проходившей в 1931 году в СССР конференции по колебаниям с докладом «Математические проблемы автоколебаний», А.А. Андронов [1] рассмотрел бифуркацию рождения предельного цикла из неустойчивого фокуса в однопараметрическом семействе векторных полей определенных в R2. В своем докладе А.А. Андронов показал, что рассматриваемая бифуркация может быть мягкой или жесткой, а решение задачи о мягкости или жесткости данной бифуркации сводится к исследованию устойчивости фокуса при бифуркационном значении параметра. Данное исследование состоит в вычислении соответствующих ляпуповских величин. Эгот и некоторые смежные результаты изложены в книге А.А. Андронова, А.А. Витта, С.Э.Хайкина [2], в статье Н.Н. Баутина [19], а также в книгах Р. Беллмана [22], Ж. Йосса, Д. Джозефа[31] и в обзоре [12].

В 1941 году ученик А.А. Андронова Н.Н. Баутин защитил диссертацию, в которой предложил явные формулы первой ляпуновской величины для некоторых классов полиномиальных векторных полей. Данные формулы громоздки, и в некоторых из них впоследствии были обнаружены ошибки.

В своей вышедшей в 1942 году работе Э. Хопф [84] обобщил результаты А.А. Андронова, относящееся к бифуркации рождения предельного цикла из неустойчивого фокуса, на случай семейств векторных полей, определенных в R" .Сформулировал и доказал основные теоремы, описывающие данную бифуркацию. Тем самым, математический аппарат, связанный с данной бифуркацией (называемой в настоящее время бифуркацией Андронова-Хопфа), обрел современный вид.

Пусть xgR",PgR, /.(*) =

- однопараметрическое семейство определенных в if" гладких векторных полей, обладающих неподвижной точкой х0(р). Если существует значение р0 е / такое, что спектр кх(р),.,кп{р) матрицы с

3xj ' дх.

ГР (*о(Р» = V

9xj ' обладает следующими свойствами: то при Р = Ро в неподвижной точке х0(/?0) семейства векторных полей fp происходит бифуркация Андронова-Хопфа. Решение задачи о мягкости или жесткости данной бифуркации сводится к исследованию устойчивости неподвижной точки y0 (/?0) векторного поля / . Для проведения данного исследования следует воспользоваться тем. что в окрестности точки лг0(/?0) векторное поле /„ приводится к нормальной форме: где /[ = Re с, - первая ляпуновская величина. В невырожденном случае, т.е., когда ^ 0. мягкость или жесткость рассматриваемой бифуркации определяется значением первой ляпуновской величины. Если 1{ < 0, то рассматриваемая бифуркация мягкая, если /[ > 0, жесткая. Бифуркация Андронова-Хопфа и другие бифуркации семейств векторных векторных полей и семейств отображений рассмотрены в главе 1.

Данные результаты изложены в книгах Дж. Марсдена и М. Мак-Кракена [41], в монографии Ю.С. Ильяшенко [30], а также в [12,29,32,39].

К концу 1940-х годов свой современный вид обрели теория нормальных форм и теория Флоке, обеспечившая развитие теории бифуркаций для предельных циклов векторных полей. Элементы теории нормальных форм изложены в учебнике В.И. Арнольда [9], в книге Д.А. Брюно [23] и в обзоре [12]. Элементы теории Флоке изложены в монографии Ф. Хартмана [52], а также в книге Э.Коддингтона и Н.Левинсона [34].

В 1968-1975 гг. аспирантка Н.Н. Баутина, С.Д. Щуко [58,59] работала над созданием и реализацией на ЭВМ алгоритмов вычисления ляпуновских величин для некоторых классов векторных полей. В созданных С.Д. Щуко программах была реализована передовая для своего времени технология символьных вычислений. Аналогичные программные средства были созданы Б. Хэссардом совместно с Н. Вэном [53].

Вопросы, связанные с приложениями теории бифуркаций, рассмотрены в монографии Н.Н. Баутина [18], а также в книгах Р.Г. Булгакова [24] Р. Абрахама и Д. Марсде-на [67], B.C. Анищенко [5,6,7], Г. Шустера [57]. Монография Н.Н. Баутина посвящена решению задач об опасности или безопасности бифуркационных границ соответствующих бифуркациям Андронова-Хопфа для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющихся математическими моделями работы некоторых технических систем. Бифуркационные границы соответствующие мягким бифуркациям называются безопасными, жестким - опасными. Монография содержит описание исследований опасных и безопасных бифуркационных границ для систем обыкновенных дифференциальных уравнений являющихся моделями электрической цепи с туннельным диодом, химического реактора, судна с системой гироскопической стабилизации, паровой машины с регулятором прямого действия и некоторых других технических систем.

В свете рассматриваемых в данной монографии примеров, опасность и безопасность бифуркационных границ интерпретируется следующим образом. Достаточно малый выход значений параметров за безопасную границ}' влечет переход системы из состояния устойчивого равновесия в состояние колебаний малой амплитуды (сколь угодно малой при соответствующем выходе параметров) вблизи потерявшего устойчивость состояния равновесия. Сколь угодно малый выход значений параметров за опасную границу влечет неконтролируемое отклонение режима системы от потерявшего устойчивость равновесия.

В книгах B.C. Анищенко изложены основные методы теории бифуркаций, а также рассмотрены примеры приложения данных методов к исследованиям систем дифференциальных уравнений, преимущественно являющихся моделями функционирования радиотехнических схем.

Публикация в 1964 году работы А.Н. Шарковского [54], посвященной сосуществованию периодических орбит непрерывного отображения отрезка, обусловила рост интереса к данному направлению. Выход ряда замечательных работ по этому направлению способствовал тому, что динамика отображений отрезка стала неотъемлемой частью теории динамических систем.

К замечательным результатам относится выдвинутая М.Фейгенбумом [76,77] и доказанная О.Е. Лэнфордом [85] гипотеза относительно взаимосвязи бифуркационных значений параметров соответствующих каскадам бифуркаций удвоений периодов точек семейств отображений.

Особое место среди работ того периода занимает работа [92], в которой Д.Зингер (D.Singer) впервые использовал производную Шварца для исследования динамики отображений отрезков. Результаты этой работы были существенно развиты в [79]. После выхода этой работы стало ясно, что класс отображений отрезка с отрицательным шварциа-ном обладает многими интересными свойствами.

Элементы теории отображений отрезка представлены в книгах С.П. Кузнецова [35], Дж. Гукенхеймера и Ф. Холмса [29], А.Б. Катка и Б. Хасселлблатта [32].

К тому времени было известно, что в невырожденных случаях решение о мягкости или жесткости бифуркации удвоения периода неподвижной точки семейства отображений отрезка сводится к вычислению в бифурцирующей неподвижной точке значения производной Шварца исследуемого отображения, совпадающего с соответствующей первой ляпуновской величиной.

Е.А. Сатаев[49,50] обобщил производную Шварца на случай векторных полей и отображений, определенных в R". Значение обобщенной производной Шварца, вычисленное для бифурцирующих неподвижных точек и предельных циклов семейств векторных полей, а также для бифурцирующих неподвижных точек семейств отображений, совпадает с соответствующей первой ляпуновской величиной. Таким образом, в невырожденных случаях решение задач о мягкости или жесткости бифуркаций Андронова-Хопфа, удвоения периода предельного цикла, рождения инвариантного тора из неустойчивого предельного цикла для семейств векторных полей, а также бифуркаций удвоения периода неподвижной точки и рождения инвариантной окружности из неустойчивой неподвижной точки для семейств отображений может быть сведено к вычислению соответствующего значения обобщенной производной Шварца.

Как было отмечено выше, решение некоторых научно- технических задач сводится к ответу на вопрос о мягкости или жесткости соответствующих бифуркаций семейств векторных полей и отображений. Чрезвычайную сложность представляют ответы на вопросы о мягкости или жесткости бифуркаций удвоения периода предельного цикла и рождения инвариантного тора из неустойчивого предельно цикла для семейств векторных полей. Данная сложность обусловлена необходимостью вычисления ляпуновских величин, и как следствие, производных третьего или более высокого порядка для соответствующих отображений Пуанкаре.

В невырожденных случаях (т.е., когда первая ляпуновская величина соответствующего отображения Пуанкаре отлична от нуля), вычисление значения обобщенной производной Шварца вдоль бифурцирующего предельного цикла существенно упрощает ответ на рассматриваемый вопрос.

Диссертация содержит подробное, проиллюстрированное примерами, описание методов вычисления, свойств и приложений к решению задач теории бифуркаций обобщенной производной Шварца.

Научная новизна диссертации состоит в том, что:

• Доказана теорема о равенстве значения обобщенной производной Шварца, вычисленной вдоль бифурцирующего предельного цикла семейства векторных полей, первой ляпуновской величине соответствующего отображения за период.

• Разработана методика, основанная на приложениях обобщенной производной Шварца к решению задач о мягкости или жесткости бифуркаций потери устойчивости, доведена до численных алгоритмов и проиллюстрирована на примерах.

• Доказана мягкость бифуркации рождения инвариантного тора из неустойчивого предельного цикла в системе двух связанных осцилляторов Ван-дер-Поля.

• Получены значимые для ядерной энергетики результаты, состоящие в исследовании бифуркационной границы в точечной модели йодно-ксеноновых колебаний.

• Доказана мягкость бифуркаций удвоения периода предельного цикла в системах Лоренца и Шимицу-Мариоко.

Личный вклад соискателя состоит в:

• Доказательстве теоремы ( в диссертации теорема 2.7) о равенстве значения обобщенной производной Шварца, вычисленной вдоль бифурцирующего предельного цикла семейства векторных полей, первой ляпуновской величине соответствующего отображения за период.

• Доведении до численных алгоритмов методики, основанной на приложениях обобщенной производной Шварца к решению задач о мягкости или жесткости бифуркаций потери устойчивости

• Доказательстве мягкости бифуркации рождения инвариантного тора из неустойчивого предельного цикла в системе двух связанных осцилляторов Ван-дер-Поля.

• Получении значимых для ядерной энергетики результатов, состоящих в исследовании бифуркационной границы в точечной модели йодно-ксеноновых колебаний.

• Доказательстве мягкости бифуркаций удвоения периода предельного цикла в системах Лоренца и Шимицу-Мариоко.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

1. Андронов А.А. Математические проблемы теории автоколебаний //Первая всесоюз-ная конференция по колебаниям. JL: ГТИ, 1933. С. 32-71.

2. Андронов А. А., Витт А.А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Физматиз, 1959.

3. Андронов А.А, Леонтович Е.А. Рождение предельных циклов из негрубого фокусаили центра и от негрубого предельного цикла// Мат. Сборник.- 1956.- Т.4.Вып.2.--С. 174-224.

4. Андронов А.А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер Р. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1968.

5. Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой.- Москва, Ижевск: ИКИ, 2002.

6. Анищенко В. С., Вадивасова Т. Е., Астахов В. В. Нелинейная динамика хаотических истохастических систем. Саратов: ИКИ, 1999.

7. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.

8. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Тр. МИАН.- 1967. Т.90.-С. 3-209.

9. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальныхуравнений. М.: Наука, 1978.

10. Арнольд В. И. Математические методы классической механики.- М.: Наука, 1974.

11. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1972.

12. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций// Динамические систмы 5. М.: ВИНИТИ, 1986. (Итоги науки и техники). (Совр. пробл. мат. Фунд. направл.).

13. Арнольд В.И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения// Динамические систмы -1. М.: ВИНИТИ, 1985. (Итоги науки и техники).Совр. пробл. мат. Фунд. направл.).

14. Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца// ДАН СССР.-1977.- Т. 234, №2.- С. 336 339.

15. Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников Л.П. О существовании устойчивых периодических движений в модели Лоренца.// УМН.- 1980.- Т.35. вып.5.- С. 164,165.т

16. Баутин Н. Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. -М.: Наука, 1984.

17. Баутин Н.Н. О рождении предельного цикла из состояния равновесия типа фокус// ЖЭТФ.- 1938.- Вып.6.- С. 759-761.

18. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы качественного исследования динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1990.

19. Бахвалов Н. С. Численные методы. ЛБЗ, 1997.г

20. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений- М.: ИЛ, 1954.

21. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений.-М.: Наука, 1976.

22. Блгаков Б.В. Прикладная теория гироскопов. М.: МГУ, 1976.

23. Бунимович А. А., Синай Я. Г. Стохастичность аттрактора в модели Лоренца.// Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. С. 212-226.

24. Быков В.В., Шильников А.Л. Границы области существования аттрактора Лоренца // Методы качественной теории динамических систем. Горький, 1989.- С. 151-159.

25. Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1998.

26. Гантмахер Р. Теория Матриц. Физмалит, 1966.

27. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. М., 2002.

28. Ильяшенко Ю. С. Нелокальные бифуркации. М.: ЧеРо, 1999.

29. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир, 1983.

30. Каток А. Б., Хасселлблат Б. Введение в современную теорию динамических сис-стем.-М.: Факториал, 1999.

31. Клиншпонт Н. Э. К вопросу о топологической классификации аттракторов лорен-цеватипа //Математический сборник.-2006. Т.197. №4. - С. 76-122.

32. Кодцингтон.Э., Левинсон. Н. Теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Илл 1958.

33. Кузнецов С.П. Динамический хаос.- М.: Физматлит, 2001. 296 с.

34. Ляпунов А. Л. Задача об устойчивости движения. М.: ОНТИ, 1935. - 386 с.

35. Магницкий Н. А. Математическая модель саморазвивающейся рыночной экономики // Труды ВНИИСИ АН СССР. 1991.- С. 16-23.

36. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новый взгляд на аттрактор Лоренца // Дифференциальные уравнения, 2001, т.37, №11, С.1494-1506.

37. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динимики. Едитори-ал УРСС, 2004.

38. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Распределенная модель саморазвивающейся рыночной экономик // Сб. Нелинейная динамика и управление. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - С.243-262 с.

39. Марсден Д., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. --М.: 1982.

40. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978.

41. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975.

42. Пуанкаре А. Т. 1-2: Избранные труды. М.: Наука, 1971-1972.

43. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967.

44. Рощин Н. В. Опасные границы устойчивости в модели Лоренца // Прикладная математика и механика. 1978. - Вып.5. - С. 950-952.

45. Рябов Н. А., Семенов А.А. Иссле дование точечной модели ксеноновых колебаний // Известия вузов. Ядерная Энергетика. 2006 . -№2. - С. 66-73.

46. Сатаев Е.А. Отсутствие устойчивых траекторий у неавтономных возмущений систем типа системы Лоренца // Математический сборник. 2005. - Т.196. №4. - С. 99134.

47. Сатаев Е. А. Производная Шварца для многомерных отображений и потоков// Математический сборник. -1999. Т.190. №11. - С. 139-160.

48. Сатаев Е.А. Производная Шварца для протоков и диффеоморфизмов в RAn // УМН. -1987. -Т.42. №2. С.241-241.

49. Смейл. С. Математические проблемы следующего столетия // Современные проблемы хаоса и нелинейности. Ижевск, ИКИ, 2002, - С. 280 - 303.

50. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1976.

51. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн Н. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. -М.: Мир, 1985.

52. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя /ГУкраинский математический журнал. 1964.- Т.16. - № 1.- С. 61 -71. *

53. Шильников A.JI. Бифуркации и хаос в системе Шимицу-Мариоко// Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький. - 1986.-С.180-193.

54. Шильников JI. П. Теория бифуркаций и система Лоренца // Марсден Д., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: 1982.

55. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение. М.: Мир, 1988, - С.240.

56. Щуко С. Д. Вычисление ляпуновских величин с помощью ЭВМ // Труды Горьков-ского института инженеров водного транспорта. 1968.- Вып.94.- С.97-106.

57. Щуко С. Д. Реализация на ЭВМ алгоритмов различения центра и фокуса. //Труды Горьковского института инженеров водного транспота. 1973.- Вып. 342.- С. 62-69.

58. Якушкин Н. А. Исследование бифуркационной границы в точечной модели ксеноно-вых колебаний // Известия Высших учебных заведений. Ядерная Энергетика. 2007. -№3. - Вып. 2.-С. 132-139.

59. Якушкин Н. А. Исследование системы Лоренца при помощи шварциана //Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная 103 -летаю со дня рождения И.Г.Петровского. Сборник тезисов. -М.: МГУ. 2004. -С. 244.

60. Якушкин Н.А. Обобщенная производная Шварца и ее приложения. // Сб.тр. ИССА РАН. Динамика неоднородных систем, 2008, вып.12, с. 139-158.

61. Якушкин Н.А. Обобщенная производная Шварца и ее приложения. // Дифференциальные уравнения т. 44, № 9, 2008, стр. 1293-1296.

62. Якушкин Н.А. Периодические свойства логистического отображения// Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным направлениям, «Ломоносов 2003», секция ВМиК. М.: МГУ, 2003. -С. 17-19.

63. Якушкин Н.А. Шварциан в теории бифуркаций// Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным направлениям, «Ломоносов 2004», секция ВМиК. М.: МГУ, 2004. -С. 31-32.

64. Якушкин Н. А. Шварциан для многомерных потоков, диффеоморфизмов и циклов //Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаменаьльным направлениям, «Ломоносов 2005», секция ВМиК. М.: МГУ, 2005. -С.77-79.

65. Abraham R., Marsden J. Foundations of mechanics. New York: Benjamin/Cummings,1978.

66. Benedicks M., Carleson L. Dynamics of the Henon map // Annals of math. -1991. -Vol. 133. -P.73 169.

67. Benedeicks M., Carleson L. On iterations of l-axA2 on (-1;1) // Annals of math.-1985. -Vol. 122.-P.1-25.

68. Benedicks W., Viana M. Random perturbations and statistical properties of certain Henon-like maps. In preprint.T

69. Block L., Guckenheimer, Misiurewicz M., Young L.S. Periodic points of one-dimensional maps//Lecture Notes in Math. Springer. 1979. -Vol. 819. - P. 18-34.

70. Benedicks M., Carleson L. Dynamics of the Henon map // Annals of math. 1991. -V. 133.-P. 73-169.

71. Camacho E., R. Rand, W. Howland Dynamics of two Van der Pol oscillators coupled via a bath// International Journal of Solids and Structures. 2004. -Vol. 41, № 8,1. -P. 21332143

72. Cao V. The global dynamics of some Henon maps. Preprint. 1998.

73. Curry J.H. Algorithm for finding closed orbits // Lecture notes in math. Springer. 1980. -V. 819.-P.111-120.T

74. Feigenbaum M. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations // J. Stat. Phys. -1978. 19. - P. 25-52.

75. Feigenbaum M. Universal behavior of nonlinear systems // Los Alamos Sci. 1980. -P. 14-27.

76. Guckenheimer J. On the bifurcations of maps of the interval. // Invent. Math. 39. P.165-178.

77. Guckenheimer J. Sensitive dependence to initial conditions for one-dimensional maps // Comm. Math. Phys. 70. -1979. -P. 165-179.

78. Guckenheimer J. and Williams R.F. Structural stability of Lorenz attractors //Publ. Math. IHES. -1979. 50. -P.59 - 72.

79. Hayashi C., Kawakami H. Bifurcations and Generation of Chaotic States in the Solutions of Nonlinear Differential Equations // 4-й национальный конгресс Теоретическая и Прикладная механика. Варна 1981. Доклады кн. 1. София. -1981.- Р.538-548.

80. Hayashi С. Nonlinear Oscillations in Physical Systems. McGraw-Hill, -1964.

81. Henon M. A. Two dimensional mapping with a strange attractor // Comm. Math. Phys. -1976,-Vol. 50,-P. 69-77.

82. Hopf E. Abzweigung einer periodischen Losung von einer stationaren Losung eines Differential systems//Ber. Math-Phys. sachsische Academie der Wissenschaften'. Leipzig 94(1942) 1-22. (Перевод на данной работы на русский язык представлен в 35.)

83. Lanford О.Е. A computer-assisted proof of Feigenbaum conjectures//Bull of AMS.-1982. V0I.6.-P.427-434.

84. Li T.V., Yorke J.A. Period three implies chaos // Amer. math. Monthly.-1975 -Vol.82. -P. 985-992.

85. Lorenz E. Deterministic non-periodic flow// J. Atmos. Sci. -1963. -Vol. 20. P.130-141.

86. Saltzman B. Finite amplitude-free convection as a initial value problem // J.Atmos.Sci. 1962.-Vol. 19.-P. 329-343.

87. Schilder F., Osinga M., Vogt W. Continuation of Quasiperiodic Invariant Toris // SIAM Journal of applied Dynamical Systems. Vol. 4.- No. 3. - P. 459-488. 1

88. Shil'nikov A. L. On bifurcations of the Lorenz attractor in Shimuzo -Morioko model // Physica. 1993. - Vol. 202. D. 2. -P. 202.

89. Shimuzo, Т., Marioka N. Phys Lett A76, 1981.

90. Singer D. Stable orbits and bifurcations of the maps in the interval // Slam journal of applied math.- 1978. Vol. 35.

91. Sparrow C. The Lorenz equations // Spriger-verlag. 1982.

92. Viana M. What's new on Lorenz strange attractors? // Math. Intelligencer. -2000. Vol.22-3. -P. 6-19.

93. Williams R.F. The structure of the Lorenz attractors //Publ. Math. INES. 1979. Vol.50. -P.321 -347.

94. Yakushkin, N. A. Schwartz derivative and its applications // International Conference "Mathematical Hydrodynamics". Abstracts. Moscow. - 2006. - P.83.ОГЛАВЛЕНИЕ (Расширенное) введение .3ГЛАВА 1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНЬЯ .17