Исследование бифуркационных задач со сложными вырождениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Матпвеечко Надежда Ивановна

На правах рукописи

РГб од

1 3 ДЕК

ИССЛЕДОВАНИЕ БИФУРКАЦИОННЫХ ЗАДАЧ СО СЛОЖНЫМИ ВЫРОЖДЕНИЯМИ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа — 2000

Работа выполнена в Рыбинской государственной авиационной технологической академии

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Юмагулов М.Г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Богданов Р.И. кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник Киселе» О.М.

на заседании диссертационного совета Д 003.59.01

при Институте Математики Уфимского научного центра РАН

по адресу: 450000, г.Уфа, ул.Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики УНЦ РАН.

Автореферат разослан " 2000 г.

Ведущая организация: Нижегородский государственный университет

Защита состоится "25".» ¿гквдр*. 2000 г. в 1-

лас.

Ученый сокротяпь

Поленов С.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В теории дифференциальных уравнений одним из основных является вопрос о зависимости решений уравнения от параметров. Особый интерес вызывает случай, когда при малом изменении параметров поведение системы существенно меняется: возникают или исчезают особые точки, периодические или ограниченные решения, изменяется характер устойчивости решений и т. д. Математическое описание такого явления обычно называют бифуркацией.

Одной из наиболее интересных бифуркационных задач является задача о бифуркации Хопфа, изучающая эффект возникновения ненулевых периодических решений из состояния равновесия автономной системы.

Впервые детальное исследование такой бифуркации было проведено A.A. Андроновым (для двумерного случая) и Е. Хопфом (для многомерного случая). Анализ условий рождения предельного цикла проведен с большой полнотой в работах В.И. Арнольда, Р.И. Богданова, Дж. Гукенмхаймера, М.А. Красносельского, Ю.А. Кузнецова, Дж. Мар-сдена и да.

Большое число работ посвящено методам приближенного расчета и анализу устойчивости автоколебаний в задаче о бифуркации Хопфа. Здесь, паряду с прямыми методами численного исследования, используются схемы, основанные на асимптотических формулах и методе функционализации параметра, получившие развитие в работах Н. Казаринова, B.C. Козякина, М.А. Красносельского, H.A. Кузнецо-

... Т^ \Г............ _ W Г Т/~Ч.....................

Многие проблемы в теории бифуркации Хопфа еше далеки от окон-

нательного решения. Здесь особенно актуальным является исследование "неклассических" ситуаций: анализ систем с многократными вырождениями, рождения предельного цикла из бесконечности (нелинейного резонанса), исследование систем, описываемых дифференциальными уравнениями со сложными нелинейностями, функционально-дифференциальными уравнениями, уравнениями в частных производных и т.п. Здесь можно указать работы Р. Беллмана, Ж. Йосса, A.M. Красносельского, А.Д. Мышкиса, Дж. Хейла и др.

Диссертационная работа посвящена изучению различных аспектов бифуркационных задач в ряде "неклассических" ситуаций, характеризующихся сложными вырождениями линеаризованной системы.

Цель работы. В нелинейных автономных системах дифференциальных уравнений, зависящих от параметра, провести исследование эффекта бифуркации Хопфа в случае многократного вырождения линеаризованного уравнения и в ситуации отсутствия перехода через мнимую ось собственных значений линеаризованной системы, а также изучить вопросы обоснования численных методов для анализа бифуркационных задач.

Методы исследования. Использованы общие методы качественной теории дифференциальных уравнений, нелинейного анализа, методы приближенного решения операторных уравнений, методы теории Флоке и малого параметра исследования устойчивости, проекционные методы Галеркина приближенного решения операторных уравнений, метод функционализации параметра исследования бифуркационных задач.

Научная новизна. Приведены новые доказательства признаков бифуркации Хопфа. Получены формулы асимптотического представления бифурцирующих решений и их периодов. На основе этих формул

проведено исследование бифуркационных процессов в задачах односторонней бифуркации. Разработана схема анализа устойчивости в системах с кратным вырождением. Предложено обоснование процедур численного исследования бифуркационных задач.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. В ней предложена и обоснована схема построения асимптотик бифурцирующих решений в нелинейных автономных системах, зависящих от параметра, разработаны схемы изучения односторонней бифуркации, проведен анализ устойчивости бифурцирующих решений при кратном вырождении.

В качестве приложения полученных теоретических результатов и работе дано обоснование процедур приближенного исследования бифуркационных задач на основе сопоставления непрерывной, проекционной и дискретной моделей задачи. Предложены алгоритмы численного расчета рождающихся периодических решений и исследования их устойчивости. Полученные результаты доведены до простых расчетных формул, позволяющих определять наличие бифурцирующих решений при различных значениях параметров, эффективно прослеживать динамику рождающихся циклов, изучать их устойчивость.

Объем и структура диссертации. Работа состоит из двух глав, восьми параграфов, введения и заключения, изложена на 108 страницах. Библиография 64 наименования.

Апробация работы. Отдельные части диссертации докладывались на Международной конференции по проблемам управления (г. Москва, Институт проблем управления РАН, 1999 г.), на конференции "Резонансные и нелинейные явления в конденсированных средах" (г. Уфа, БашГУ, 1999 г.), на научных семинарах в Институте проблем передачи информации РАН (г. Москва, 1999 г.) (руководитель д.ф.-м.н.,

проф. Козякин B.C.), в Институте проблем управления РАН (г. Москва, 2000 г.) (руководитель д.ф.-м.н., проф. Бобылев H.A.), на научных семинарах кафедры дискретного анализа ЯрГУ (1998 г.) (руководитель д.ф.-м.н., проф. Бондаренко В.А.), кафедры высшей математики РГАТА и кафедры высшей математики и информатики СИ БГУ (1997 - 2000 г.), на конференциях молодых ученых (г. Ярославль, ЯрГУ, 1999 г. ц г. Рыбинск, РГАТА, 1999 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Основным объектом, изучаемым в диссертационной работе, является автономная система дифференциальных уравнений И'Г

=- = F(x;\), x£EiN,N>2, (1)

dt

зависящая от скалярного параметра Л. Предполагается, что F(0,A) = 0, т.е. система (1) при всех значениях Л имеет нулевое решение х — 0.

Число Ао называют точкой бифуркации Xonrßa для системы (1), если найдется последовательность {А„} такая, что при каждом X — Хп система (1) имеет ненулевое периодическое решение х = xn(t) некоторого периода Тп, при этом А„ —> Ао и max l^r.WI ~> 0 при п -4- со. В этом случае функции xn{t) называют бифурцирующими решениями системы (1).

Диссертация состоит из двух глав, введения и заключения.

В первой главе (§§1-4) изучаются условия бифуркации Хопфа и строятся асимптотические формулы, описывающие рождающиеся ненулевые периодические решения.

Первый параграф посвящен постановке задачи о бифуркации Хспфа. Здесь также описываются основные вопросы, возникающие при исследовании бифуркационных задач, рассматриваются линейные и нелинейные системы вида (1) и обсуждаются условия, при которых в этих системах наблюдается бифуркация. Затем формулируются классические теоремы о бифуркации Хопфа. В заключительной части первого параграфа формулируются основные задачи диссертационной работы.

Второй параграф посвящен изучению необходимых и достаточных условий бифуркации Хопфа в следующей постановке. Предполагается, что система (1) представима в виде

~ = А(А)х + а{х\ Л), x£]Rn, N> 2, (2)

где А(Х) = 0; Л) - якобиан вектор-функции F(x\ А). При этом вектор-функция а(а:;А) имеет вид а(х; А) = аг(х;А) + «з(х;А) + е(х; А), где a'¿(x; А) и аз(г; А) — члены порядка 2 и 3 по х, \е(х\ А)| = о(|х|3). Предполагаются выполненными следующие условия:

U1 Матрица Aq = Л(Ас) имеет, простые собственные значения úzwqí, ojq > 0, и числа -hktjj{}i, к ~ 0,2,3,... не являются ее собственными значениями.

U2 Имеет место соотношение т'(Ао) ф 0;

здесь /(А) — производная действительной части непрерывно дифференцируемой ветви собственных значений т(А) + ш{A) (t(Aq) = 0, cj(Ao) = wo) матрицы Л (А). Далее приводятся необходимые и достаточные признаки бифуркации Хопфа для системы (2) в предположениях ТП и IJ2 с. НОР.ЫМР. лок?лательс,<,Еями

Необходимое условие бифуркации Хопфа содержится в следующем утверждении.

Теорема 2.1 Пусть Ао является точкой бифуркации Хопфа для системы (2). Тогда матрица Л(Ао) имеет по крайней мере одно чисто мнимое собственное значение.

Достаточные условия существования бифурцирующих решений системы (2) содержатся в следующей теореме.

Теорема 2.2 Пусть для системы (2) выполнены условия U1-U2. Тогда найдется такое р > 0 и определенные при |g| < р непрерывные функции А = A(q) иТ = T{q) (Х(0) = Ао, Т(0) = 2тт/щ) такие, что для каждого q € (—р,р), q ф 0, система (2) при А = A(q) имеет ненулевое T(q)-периодическое решение х — xq(t). Решения xq(t) удовлетворяют соотношению: max|a:g(í)| —> 0 при q —> 0. При этом в фазовом пространстве JFlN системы (2) существует окрестность точки х — 0 такая, что в ней, кроме орбит семейства xq{t), никаких других ненулевых периодических орбит система (2) не имеет.

В третьем параграфе получены формулы асимптотик бифурцирующих решений. Первым этапом построения асимптотик является переход к равносильному интегральному уравнению

y(t) = 2/(1) + Т /(А(А)у(5) + a.[y(s), A})ds (3)

о

так, что решение у {i) уравнения (3) определяет 7-периодическое решение x(t) = y(tT) системы (2). Уравнение (3) содержит два параметра А и Т и имеет континуумы решений. Для перехода к задаче с изолированными решениями и без параметров приводятся основные положения, разработанного М.А. Красносельским метода функционализации параметра.

Для применения метода функционализации параметра к решению уравнения (3) специальным образом строятся две пары линейно не-

зависимых векторов h, g € RN и h*, g* € RN, представляющие собой действительные и мнимые части собственных векторов, отвечающих собственным значениям ±cjqÍ матрицы Aq — Л(Ао) и транспонированной к ней. матрицы Aq. Определяются функционалы

a[z(í)] = 0rc,+ /Г), (3{x(t)} = (xc,h*)-(xs,g*), (4)

где хс и x¡¡ - это коэффициенты Фурье непрерывной вектор-функции x(t), x{Q¡) = ,т(1), отвечающие eos 2тг£ и sin2-f. Параметры Л и Т в (3) заменяются функционалами, зависящими от вспомогательного параметра <7 > 0:

4v(t)} = Ао - i + ^РШЪ ЧуШ = то +

где То = 2к/и0. В результате осуществляется переход к уравнению

t

y(t) = у( 1) + Tjy(í)] /(л[Л5Ш)]у(з) + a[y(s), A,(y(í))])de. (5) o

Для нахождения решений уравнения (3) разрабатывается итерационный метод. На основе правой части (5) строится сжимающий оператор Uq : С —» С таким образом, что при каждом малом q > 0 последовательные приближения

yq,n+i{t)~Uqyqin{t), п = 0,1,2,..., (6)

где ygfi(t) —- qe(t), равномерно сходятся к решению yq(t) G С уравнения (5); здесь С = С[0,1] — пространство непрерывных на отрезке [0,1] вектор-функций с равномерной метрикой и

e(¿) = /í,cos2rr¿ — c?sin27rí. (7)

На основе итерационной процедуры (6) находятся асимптотические приближения для рождающихся циклов, их периодов и г'очветсчвую-

щих значений параметров. Они записываются в виде: уяЦ)=де{1) + д2е1(1) + о{д2),

Тд = Т0 + д2П + о(г), Л? - Л0 + д2\1 + о{д2).

При этом для функции б\(¿) и чисел Т\ и Л1 приводятся расчетные формулы. Асимптотики бифурцирующих решений системы (2) и их периодов находятся на основании следующего утверждения.

Теорема 3.2 Если Х\ ф 0, то бифурцирующие решения 1(£; А) и соответствующие значения Т(Х) периода предстпавимы в виде

.1

I

Л-До

Ai

ei(i) + С2(£", А) •

T(A) = To + i^r|A-Ao| + ra(A)l I Ai|

где y{t\ A) = x[tT(A)], max|e2(f; A)j = o(|A - A0j) и T2(A) = o{\A - A0|) при A -v Aq.

В заключительной части § 3 изучаются условия, определяющие тин бифуркации (суб- или суперкритический): если при малых |А— Ао| бифурцирующие решения системы (2) существуют только при А < Ао (А > Ао), то говорят, что бифуркация является субкритической (суперкритической). Тип бифуркации устанавливается на основе следующего утверждения.

Теорема 3.3 Бифуркация в системе (2) является субкритпической. если А] < 0, и суперкритической, если Ai > 0.

В четвертом параграфе приводятся доказательства основных утверждений первой главы.

Вторая глава (§§5-8) диссертационной работы посвящена изучению бифуркационных задач в различных неоклассических ситуациях.

В пятом параграфе изучаются вопросы односторонней бифуркации, когда система (2) определена только при А > Aq (или только при А < Ао). При этом рассматриваются две ситуации.

Во-первых, рассматривается ситуация, когда вместо U2 выполнено предположение:

Р2 Существует последовательность Ап -4 Ао, А„ > Ао (\п < Хо). такая, что все числа т(А„) положительны.

Определяется число Л = cx[<p{t) — </;М]> гДе aix) ~ функционал из (4) и используются следующие обозначения

<p(t) — Т0 j a'2[e(s); A0][B0_1co + B^(f(s) + B0f(s))} de, o

xb(t) = ~(c! sin 2rt — s¡ eos 2nt);

здесь a,'2(x-,X) - якобиан вектор-функции a2(xÉ, А); со - свободный коэффициент Фурье функции a2¡e(£);Ao]; с\ и Si - отвечающие eos2?;t и sin27r¿ коэффициенты Фурье функции аз[е(£);А0]; /(£) = «2[е(£); Ао] —од Во — То А о и В\ — В}д + Ютг2/, где I - единичная матрица. Устанавливается следующее утверждение.

Теорема 5.1 Пусть выполнены предположения VI и Р2. Пусть Л > 0. Тогда число Ао является точкой бифуркации Хопфа для системы (2).

Во-вторых, рассматривается ситуация, когда правая часть системы (2) непрерывно дифференцируема но А только при А > Ап (или только при А < Ао) (при А -- Aq имеется в виду односторонняя про Поъидннлу. СшрС-делеиа ¡;д;шсти:ч>.;:1 лроЮЬОДБЛЯ ~'(Л.

(г'(Ао — 0)) л.еистнительной част непрерывно дифференцируемся •;:•!

А > Ло (А < Ао) ветви собственных значений г(А) + ш(Х) (г(Ао) = О, а;(Ао) = и>о) матрицы А(А).

Вместо и2 предполагается выполненным условие

и2* Имеет место соотношение т^Ао + 0) ^ О ( т'(А0 — 0) Ф 0).

В этом случае устанавливается следующее утверждение.

Теорема 5.2 Пусть выполнены предположения VI и ШТ. Пусть А ф 0. Тогда если Лт'(Ао) > 0, то число Ао является точкой бифуркации Хопфа для системы (2); если оке Лт'(Ао) < 0, то при малых |А — Ао| и А > Ао (А < система (2) не имеет бифурцирующих решений.

В шестом парграфе исследуется устойчивость циклов в системах с кратным вырождением. Предлагается схема анализа устойчивости, основанная на идеях метода малого параметра с последующим использованием теоремы Андронова-Витта об устойчивости периодических решений автономных систем.

Рассматривается система вида (2), в которой ЛГ > 4. Вместо условия Ш для нее считается выполненным предположение:

П1 При некотором А = Ао матрица Л(Ао) имеет две пары простых собственных значений ±шог и ±ю\г, причем Ш) > ц ^ и и отношение иц'иц не является целым числом При этом остальные ТУ —4 собственные значения матрицы А(Ао) имеют отрицателъ-ные вещественные части.

Схема анализа устойчивости состоит из следующих этапов. В системе (2) производится замена переменных х = хч + к и после разложения правой части (2) по Л и отбрасывания слагаемых второго

порядка малости относительно h, получается уравнение

| = [Л(А) + <ф9(0,А)]Л, (9)

где о'(х; А) — якобиан вектор-функции а(х; А).

С использованием формул (8) и невырожденных преобразований переменных осуществляется переход к эквивалентной системе

~ = [D + qS1 + q2S2 + S3(t,q)}h, (10)

где матрицы D, Si и 5г — постоянные, а матрица Sz(t,q) — ограниченная матрица, удовлетворяющая соотношению тм |5з(i; q)\ — o(q2) при —> 0. Затем определяются числа

Ai = Re^+sf), A2 = Re(sf) и Д3 - Re(sf),

где s^ (j = 1,2,3,4) — диагональные элементы матрицы 5г.

Теорема 6.4 Ясли числа Дх, Д2 и Д3 отрицательны, то рождающиеся при X = Xq периодические решения xq(t) системы (2) асимптотически орбитальпо устойчивы при всех малых q > 0. Если хотя бы одно из чисел Д1, Дг или Д3 положительно, то эти решения неустойчивы.

Седьмой параграф посвящен анализу сходимости дискретных и проекционных методов исследования бифуркации. Здесь изучаются два подхода к численному моделированию бифуркационных процессов основанные на идеях метода Галеркина.

Дискретная модель строится по интегральным операторам в правой "хастн vpo.p.HPfT'CTTT на основе сходящегося квалоатуоного проце сс

Г , ^

/ x{s)ds = ^ ajnx(s.in) + Я,,(.г/, о ;=1

Здесь a,jn > 0, j — 1,... ,п, О < si„ < S2„ < ■ • • < snn <1, и для

любой x(t) G С имеем 7?п[г(<)] —» 0 при п —» оо.

Приближенные решения уравнения (5) ищутся в пространстве

М — М[0,1] ограниченных на [0,1] вектор-функций x(t) с нормой

||х||м = sup |x(i)j. 0<(<1

Отрезок [0,1] делится на п непересекающихся интервалов Jin = [0,/il„), J2n = [An, An + An), ... , Jnn = [1-Am,l],

где Pjn — ^ ainj ■ ajn, j — 1,...,«. Определяются множества

Djn = \ Jjn\ U{fi«n}J U{5jn}> J = 1, • ■ • ,n, и через Xjn(s) обозначаются их характеристические функции:

и\ I °РИ 16 Din' • i

Xjn{t) = \ j = l,...,n.

[ 0, при t $ Djn, Тогда множество Мп функций вида

ув = Е&»Ы0. £,-„€1КЛ\ (и)

i=i

является замкнутым подпространством в М, а оператор

Pnx{t) = Е x(Sjn)Xjn{t) (12)

3 = 1

является проектором М на Мп.

На основе этих конструкций строится численный аналог итерационной процедуры (6), проводится анализ его сходимости.

С этой целью определяется действующий в Мп оператор Uqny — дискретный аналог оператора Uq, участвующего в (6) и рассматривается итерационная процедура

У,

iк+1) = и^\ к = 0,1,..., (13)

в которой в качестве начального приближения уг[и) £ Мп выбирается функция тД0) = Е c{sjn)xjn{t), где e{t) — функция (7).

j=i

Сходимость итерационной процедуры (13) устанавливается на основе следующего утверждения.

Теорема 7.2 Существуют qo > 0 и щ такие, что при каждом q, О < <7 < <?о и любом тг > по, последовательные приближения (13) сходятся к некоторой функции yqn € Мп, при этом — О

при к оо, кроме того ||y9n(i) — РпУд{Шщ -> 0 при п —> оо. Здесь yq{t) является пределом последовательных приближений (6), а Рп - оператор (12).

При втором способе аппроксимации непрерывной задачи решения ищутся в виде "усеченного" ряда Фурье. Для уравнения (5) строится проекционное уравнение таким образом, чтобы его решения Vn{t) = Е yi-42"kü стремились к решению yq(t) уравнения (5) при

h—-n

п —> со. Для этой модели получен проекционный аналог итерационной процедуры (6) и проведен анализ его сходимости.

Восьмой параграф содержит доказательства основных утверждений второй главы.

В заключении делаются выводы о результатах, полученных в диссертационной работе.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Матвеенко Н.И. Исследование устойчивости циклов в задаче о бифуркации Хопфа при кратном вырождении // Известия РАЕН, серия МММИУ, 1997, Т.1, с. 58-72.

[2] Кузнецов H.A.. Матвеенко Н.И., Юмагулов М.Г. Признаки суб-и суперкритичности бифуркации Хопфа и задачи односторонней бифуркации // Автоматика и телемеханика, 1998, N 12, с 51-59.

[3] Даймонд Ф., Матвеенко Н.И., Юмагулов М.Г. Анализ сходимости дискретных и проекционных процедур построения циклов в задаче о бифуркации Хопфа // Автоматика и телемеханика, 1999, N 9, с. 3-12.

[4] Матвеенко Н.И., Юмагулов М.Г. Метод интегральных операторов в задаче о признаках и типе бифуркации Хопфа // Известия РАЕН, серия МММИУ, 2000, Т.4, N 1-2, с. 170-198.

[5] Матвеенко Н.И. Бифуркация Андронова-Хопфа в системах со сложными вырождениями // Тезисы докладов Международной конференции по проблемам управления, Москва, ИГГУ РАН, 1999, т.1, с. 61.

[6] Юмагулов М.Г., Нуров И.Д., Матвеенко Н.И. Операторные методы исследования автоколебаний в динамических системах // Сборник статей региональной конференции "Резонансные и нелинейные явления в конденсированных средах", Изд Башкирск. ун-та, Уфа, 1999, т. 2, с.46-47.

[7] Матвеенко Н.И. Асимптотики малых колебаний при бифуркации рождения цикла // Тезисы докладов XXVI конференции молодых ученых РГАТА, Рыбинск, 1999, 4.1, с. 16.

[8] Матвеенко Н.И. Операторный метод в задаче о признаках бифуркации Андронова-Хопфа // Сборник научных трудов молодых ученых. Вып. 2, ЯрГУ, Ярославль, 1999, с. 80-85.

[9] Матвеенко Н.И. Сходимость численных процедур построения циклов в задаче о бифуркации Хопфа // Математика: сборник тезисов областной научной конференции молодых ученых, ЯрГУ, Ярославль, 1999, с. 54-55. Jl/ui ^^¿¿Сл-:^-:

Введение.

Глава 1. Асимптотические формулы в задаче о бифуркации Хопфа

§1 Задача о бифуркации Хопфа

§2 Необходимые и достаточные условия бифуркации Хопфа

§3 Асимптотика циклов.

§4 Доказательства основных утверждений

Глава 2. Бифуркации в системах со сложными вырождениями

§5 Односторонняя бифуркация.

§6 Устойчивость циклов в системах с кратным вырождением

§7 Дискретные и проекционные процедуры исследования бифуркации

§8 Доказательства основных утверждений

Актуальность работы. В теории дифференциальных уравнений одним из основных является вопрос о зависимости решений уравнения от параметров. Этот вопрос исключительно важен как для самой теории дифференциальных уравнений, так и для ее многочисленных приложений. Центральным при этом является вопрос о том, будут ли малым изменениям параметров соответствовать малые изменения свойств уравнения. Здесь возможны два принципиально различных случая.

Первым является случай так называемых "грубых" систем [2], когда небольшие изменения параметров дифференциального уравнения не влекут за собой кардинального изменения поведения его решений. В частности, для автономных систем свойство "грубости" означает, что малые изменения параметров не приводят к качественной перестройке фазового портрета системы.

Особый интерес вызывает другой случай, когда при малом изменении параметров поведение системы существенно меняется: возникают или исчезают особые точки, периодические или ограниченные решения, изменяется характер устойчивости решений и т. д. Математическое описание такого явления обычно называют бифуркацией, а значения параметров, при которых происходит качественная перестройка системы, — точками бифуркации.

Одним из первых термин "бифуркация" ввел К. Якоби в 1834г. Основы современной теории бифуркаций были заложены А. Пуанкаре [29] в конце XIX века. Существенный вклад в развитие этой теории внесли работы A.M. Ляпунова [23], A.A. Андронова [1], Е. Хопфа [46] и др.

Примерами задач, в которых наблюдается явление бифуркации, являются задача Эйлера [16] о потере устойчивости упругих систем, задачи о возникновении волн [8], задачи о рождении периодических и ограниченных решений [49], задачи о возникновении хаотических и стохастических аттракторов [7, 24]. Количество примеров легко может быть приумножено.

Одной из наиболее интересных бифуркационных задач является задача о бифуркации Хопфа, изучающая эффект возникновения ненулевых периодических решений из состояния равновесия автономной системы. Бифуркация Хопфа представляет огромный практический интерес. Это явление широко распространено: им объясняется появление автоколебаний во многих технических конструкциях, колебания скорости в потоке жидкости, периодическое изменение численности популяции в биологических системах и др.

Теория бифуркации Хопфа имеет богатую историю. Еще в 1877 г. И. А. Вышнеградский [28] дал строгое математическое описание бифуркации такого типа — явления вибрации, возникающего при функционировании паровых машин с регулятором Уатта.

Основной интерес в теории бифуркации Хопфа вызывают следующие вопросы: условия, при которых происходит бифуркация, при каких именно значениях параметров возникают бифурцирующие решения (тип бифуркации), каков их период, амплитуда, устойчивы ли они.

Первые результаты теоретических исследований задачи о бифуркации рождения цикла восходят к классическим работам А.М.Ляпунова [23] и А.Пуанкаре [29]. Детальный анализ бифуркации рождения предельного цикла для двумерных динамических систем был проведен А.А.Андроновым [1]. Его теоремы были обобщены на многомерный случай Е.Хопфом [46]. Работы А.А.Андронова и Е.Хопфа послужили отправным пунктом для многочисленных исследований в различных направлениях.

С большой полнотой проведен анализ условий рождения предельного цикла для "классической" системы Хопфа. В зависимости от постановки задачи здесь эффективными оказались методы малого параметра, инвариантных многообразий, усреднения и др. (см. [3], [5], [6], [9], [14], [25], [33], [37], [38], [42], [44]).

В наиболее общих предположениях бифуркация Хопфа изучена М.А.Красносельским и В.С.Козякиным [11] на основе метода функ-ционализации параметра.

Большое число работ посвящено методам приближенного расчета и анализу устойчивости автоколебаний в задаче о бифуркации Хопфа. Здесь, наряду с прямыми методами численного расчета, разработаны схемы, основанные на асимптотических формулах, методе функцио-нализации параметра, итерационные процедуры численного анализа ([11], [15], [17], [25], [33], [34], [36], [39], [40], [41], [43], [52], [55]).

Устойчивость бифурцирующих решений исследуется методами теории Флоке, теории Пуанкаре-Бендиксона, методами инвариантных многообразий, теории вогнутых операторов ([13], [18], [25], [33], [43], [44]).

В значительном числе работ изучаются приложения в физике, гидромеханике, биологии и др. Здесь достаточно упомянуть существенные результаты, полученные при изучении бифуркаций в моделях турбулентности, в технике ("флаттер" в авиаракетных конструкциях, автоколебания в электрических цепях), в моделях популяций (см., например, [25], [31], [50], [51], [53] и имеющуюся там библиографию).

Библиография работ по теории бифуркации Хопфа стремительно расширяется. Возникают новые приложения, требующие разработки новых методов исследования или детального переосмысления классических методов.

Многие проблемы в теории бифуркации Хопфа еще далеки от окончательного решения. Здесь особенно актуальными являются исследования "неклассических" ситуаций: систем с многократными вырождениями, рождения предельного цикла из бесконечности (нелинейного резонанса), систем, описываемых дифференциальными уравнениями со сложными нелинейностями, функционально-дифференциальными уравнениями, уравнениями в частных производных и т.п. (см. [4], [12], [20], [21], [25], [26], [32], [33], [35], [44], [45], [47], [48], [49] и имеющуюся там библиографию).

Цель работы. В нелинейных автономных системах дифференциальных уравнений, зависящих от параметра, провести исследование эффекта бифуркации Хопфа в случае многократного вырождения линеаризованного уравнения и в ситуациях отсутствия перехода через мнимую ось собственных значений линеаризованной системы, а также изучить вопросы обоснования численных методов для анализа бифуркационных задач.

Научная новизна. Приведены новые доказательства признаков бифуркации Хопфа. Получены формулы асимптотического представления бифурцирующих решений и их периодов. На основе этих формул проведено исследование бифуркационных процессов в задачах односторонней бифуркации. Разработана схема анализа устойчивости в системах с кратным вырождением. Предложено обоснование процедур численного исследования бифуркационных задач.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. В ней предложена и обоснована схема построения асимптотик бифурцирующих решений в нелинейных автономных системах, зависящих от параметра, разработаны схемы изучения односторонней бифуркации, проведен анализ устойчивости бифурцирующих решений при кратном вырождении.

В качестве приложения полученных теоретических результатов в работе дано обоснование процедур приближенного исследования бифуркационных задач на основе сопоставления непрерывной, проекционной и дискретной моделей задачи. Предложены алгоритмы численного расчета рождающихся периодических решений и исследования их устойчивости. Полученные результаты доведены до простых расчетных формул, позволяющих определять наличие бифурцирующих решений при различных значениях параметров, эффективно прослеживать динамику рождающихся циклов, изучать их устойчивость.

Методы исследования. Использованы общие методы качественной теории дифференциальных уравнений, нелинейного анализа, методы приближенного решения операторных уравнений, методы теории Флоке и малого параметра исследования устойчивости, проекционные методы Галеркина приближенного решения операторных уравнений, метод функционализации параметра исследования бифуркационных задач.

Апробация работы. Отдельные части диссертации докладывались на Международной конференции по проблемам управления (г. Москва, Институт проблем управления РАН, 1999 г.), на конференции "Резонансные и нелинейные явления в конденсированных средах" (г. Уфа, БашГУ, 1999 г.), на научных семинарах в Институте проблем передачи информации РАН (г. Москва, 1999 г.) (руководитель д.ф.-м.н., проф. Козякин B.C.), на научных семинарах кафедры дискретного анализа ЯрГУ (1998 г.) (руководитель д.ф.-м.н., проф. Бондаренко В.А.), кафедры высшей математики РГАТА и кафедры высшей математики и информатики СИ БГУ (1997 - 1999 г.), на конференциях молодых ученых (г. Ярославль, ЯрГУ, 1999 г. и г. Рыбинск, РГАТА, 1999 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в [56]—[64].

Личный вклад. Постановки задач принадлежат научному руководителю. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Краткое содержание работы. Основным объектом, изучаемым в диссертационной работе, является автономная система дифференциальных уравнений = xeRN,N> 2, (0.1) зависящая от скалярного параметра А. Предполагается, что F(0, А) = 0, т.е. система (0.1) при всех значениях А имеет нулевое решение х = 0.

Число Ао называют точкой бифуркации Хопфа для системы (0.1), если найдется последовательность {Ап} такая, что при каждом А = Ап система (0.1) имеет ненулевое периодическое решение х — xn(t) некоторого периода Тп, при этом Хп —>• Ло и max —> 0 при п —оо. В этом случае функции xn(t) называются бифурцирующими решениями системы (0.1).

Диссертация состоит из двух глав, введения и заключения. В первой главе (§§1-4) изучаются условия бифуркации Хопфа -и строятся асимптотические формулы, описывающие рождающиеся ненулевые периодические решения.

Первый параграф посвящен постановке задачи о бифуркации Хопфа. Здесь также описываются основные вопросы, возникающие при исследовании бифуркационных задач, рассматриваются линейные и нелинейные системы вида (0.1) и обсуждаются условия, при которых в этих системах наблюдается бифуркация. Затем формулируются классические теоремы о бифуркации Хопфа. В заключительной части первого параграфа формулируются основные задачи диссертационной работы.

Второй параграф посвящен изучению необходимых и достаточных условий бифуркации Хопфа в следующей постановке. Предполагается, что система (0.1) представима в виде нТ

- = А(Х)х + а{х;Х), х € RN, N> 2, (0.2)

СЬЪ где А(Х) = Л) - якобиан вектор-функции F(x] А). При этом вектор-функция а(х\ А) имеет вид а{х\А) = а^{х]Х) + а^(х;Х) + е(ж;А), где а2(ж; Л) и аз (ж; Л) — члены порядка 2 и 3 по ж, |е(ж; А)| = о(|ж|3). Предполагаются выполненными следующие условия:

U1 Матрица Aq = A(Xq) имеет простые собственные значения ujq > 0, и числа dzkuoi, к = 0,2,3,. не являются ее собственными значениями.

U2 Имеет место соотношение т'(Ао) Ф 0; здесь г'(А) — производная действительной части непрерывно дифференцируемой ветви собственных значений т(А) + го;(A) (t(Aq) = 0, oj(Aq) = wo) матрицы A(À). Далее приводятся необходимые и достаточные признаки бифуркации Хопфа для системы (0.2) в предположениях U1 и U2 с новыми доказательствами.

В третьем параграфе получены формулы асимптотик бифурцирую-щих решений. Первым этапом построения асимптотик является переход к равносильному интегральному уравнению t y(t) = у( 1) + т(/ A(X)y(s) + a\y(s)> A] ds) (0.3) так, что решение y(t) уравнения (0.3) определяет Т-периодическое решение x(t) = y(tT) системы (0.2). Уравнение (0.3) содержит два параметра Л и Г и имеет континуумы решений. Для перехода к задаче с изолированными решениями и без параметров приводятся основные положения, разработанного М.А. Красносельским метода функциона-лизации параметра.

Для применения метода функционализации параметра к решению уравнения (0.3) специальным образом строятся две пары линейно независимых векторов h, g G RN и h*, g* £ RN, представляющие собой действительные и мнимые части собственных векторов, отвечающих собственным значениям iuoi матрицы Aq = А(Ао) и транспонированной к ней матрицы Aq. Определяются функционалы a[x(t)] = (xe,g*) + (x„h*), P[x(t)] = (xeth*)-(xa,g*), ■ (0.4) * где хс и xs - это коэффициенты Фурье непрерывной вектор-функции x(t), х(0) = х(1), отвечающие cos27vt и sin27ri. Параметры А и Т в (0.3) заменяются функционалами, зависящими от вспомогательного параметра q > 0: Ао -1 + Tq[y(t)] = г0 + Yqa[y^ где Го = 2т[/щ. В результате осуществляется переход к уравнению t y(t) = 2/(1) + Tq[y(t)]{f ¿[Ш*))]уМ + ФW, шт ds). (0.5)

Для нахождения решений уравнения (0.3) разрабатывается итерационный метод. На основе правой части (0.5) строится сжимающий оператор ич : С —> С таким образом, что при каждом малом д > 0 последовательные приближения

Уя,п+1 № = идуд>п^), п = 0,1,2,., (0.6) где уд>о(£) = де(£), равномерно сходятся к решению уч(Ь) £ С уравнения (0.5); здесь С = С[0,1] — пространство непрерывных на отрезке [0,1] вектор-функций с равномерной метрикой и е(£) = к сое 27г£ — д эт 2-7г£.

На основе итерационной процедуры (0.6) находятся асимптотические приближения для рождающихся циклов, их периодов и значений параметров, при которых происходят колебания. Они записываются в виде:

0.7)

Тд = Т0 + д2Т1 + о(<г2), Ад = Л0 + Л + о(д2). При этом для функции е\(Ь) и чисел Т\ и Л1 приводятся расчетные формулы. Асимптотики бифурцирующих решений и их периодов системы (0.2) находятся на основании следующего утверждения.

Теорема 0.1 Если \\ ф 0, то бифурцирующие решения х(Р, Л) и соответствующие значения Т(А) периода представимы в виде у(*; А) =

А-До

А1 е(*) +

А-А0

А1 А)

Т(А) = Г0+||^|А-Ао|+Г2(А), где у{Ц А) = х[Щ\)], тах|е2(*; А)| = о(|А - А0|) и Т2(А) = о(|А - А0|) при А —> Ао

В заключительной части § 3 изучаются условия, определяющие тип бифуркации (суб- или суперкритический): если при малых |А — Ао| бифурцирующие решения системы (0.2) существуют только при А < Ао (А > Ао), то говорят, что бифуркация является субкритической (суперкритической) . Тип бифуркации устанавливается на основе следующего утверждения.

Теорема 0.2 Бифуркация в системе (0.2) является субкритической, если Ai < 0, и суперкритической, если Х\ > 0.

В четвертом параграфе приводятся доказательства основных утверждений первой главы.

Вторая глава (§§5-8) диссертационной работы посвящена изучению бифуркационных задач в различных неклассических ситуациях.

В пятом параграфе изучаются вопросы односторонней бифуркации, когда система (0.2) определена только при А > Ао (или только при А < Ао). При этом рассматриваются две ситуации.

Во-первых, рассматривается ситуация, когда вместо U2 выполнено предположение:

Р2 Существует последовательность \п —у Ао, Ап > Ао, такая, что все числа т(Ап) положительны.

В этом случае определяется число Л = o¿[ip(t) — ij)(t)], где а(х) - функционал из (0.4) и используются следующие обозначения t

4>{t) = TQJ a'2[e(s)-АоНВоЧ + B{\f\s) + B0f(s))\ ds, o ф(Ь) = г—(ci sin 27vt — si eos 2wt) ; 27Г здесь а'2(ж; А) - якобиан вектор-функции ü2(x; А); со - свободный коэффициент Фурье функции a2[e(t)-, Ао]; с\ и si - отвечающие cos 27rt и sin 2irt коэффициенты Фурье функции аз[е(£); Ао]; f(t) = a2[e(t)] Ао]—со; Bq = TqAq и В\ = Bq + Í67T2/, где I - единичная матрица. Устанавливается следующее утверждение.

Теорема 0.3 Пусть выполнены предположения U1 и Р2. Пусть Л > 0. Тогда число Ао является точкой бифуркации Хопфа для системы (0.2).

Во-вторых, рассматривается ситуация, когда правая часть системы (0.2) непрерывно дифференцируема по А только при А > Ао (при А = Ао имеется в виду односторонняя производная). В этом случае устанавливается более полное утверждение.

Теорема 0.4 Пусть выполнены предположения U1 и U2. Пусть Л ф 0. Тогда если Лт'(Ао) > 0, то число Ао является точкой бифуркации Хопфа для системы (0.2); если же Лт'(Ао) < 0; то при малых | А — Ао | и А > Ао система (0.2) не имеет бифурцирующих решений.

В шестом парграфе исследуется устойчивость циклов в системах с кратным вырождением. Предлагается схема анализа устойчивости, основанная на идеях метода малого параметра с последующим использованием теоремы Андронова-Витта об устойчивости периодических решений автономных систем.

Рассматривается система вида (0.2), в которой N > 4. Вместо условия U1 для нее считается выполненным предположение:

П1 При некотором А = Ао матрица А(Ао) имеет две пары простых собственных значений dcuioi и причем ш\ > щ > 0 и отношение u\/uq не является целым числом. При этом остальные N—4 собственные значения матрицы А(Ао) имеют отрицательные вещественные части.

Схема анализа устойчивости состоит из следующих этапов. В системе (0.2) производится замена переменных х = xq + h и после разложения правой части (0.2) по h и отбрасывания слагаемых второго порядка малости относительно h, получается уравнение f = [A(\) + a'(Xq(t),X)]h, (0.8) где а'(х] А) — якобиан вектор-функции а (я; А).

С использованием формул (0.7) и невырожденных преобразований переменных осуществляется переход к эквивалентной системе = [D + qS1 + q2S2 + S3(t,q)}h, (0.9) где матрицы D, Si и постоянные, а 5з(£, q) - ограниченная матрица, удовлетворяющая соотношению lim max |5з(£; q)\/q2 = 0. Затем определяются числа Ai = Re (s^1 + s^2), Д2 = Re (s|3) и A3 = Re (sf4), гДе sJ2 (j = 1,2,3,4) — диагональные элементы матрицы S2.

Теорема 0.5 Если числа Ai, Д2 и A3 отрицательны, то рождающиеся при X — Xq периодические решения xq(t) системы (0.2) асимптотически орбиталъно устойчивы при всех малых q > 0. Если хотя бы одно из чисел Ai, Д2 или A3 положительно, то эти решения неустойчивы.

Седьмой параграф посвящен анализу сходимости дискретных и проекционных методов исследования бифуркации. Здесь изучаются два подхода к численному моделированию бифуркационных процессов основанные на идеях метода Галеркина.

Дискретная модель строится по интегральным операторам в правой части уравнения (0.5) на основе сходящегося квадратурного процесса

J x(s) ds=Y, ajnx(sjn) + Rn(x). 0

Здесь ajn > 0, j = 1,., n, 0 < sin < S2n < • • • < snn < 1 и для любой x(t) G С имеем —> 0 при п —> оо.

Далее на основе этой модели конструируется численный аналог итерационной процедуры (0.6), проводится анализ его сходимости.

При втором способе аппроксимации непрерывной задачи решения ищутся в виде "усеченного" ряда Фурье. Для уравнения (0.5) строится проекционное уравнение таким образом, чтобы его решения

ТЬ yn{t) = Е ук^Ы стремились к решению yq(t) уравнения (0.5) при к=—п п —У оо. Для этой модели также получен проекционный аналог итерационной процедуры (0.6) и проведен анализ его сходимости.

Восьмой параграф содержит доказательства основных утверждений второй главы.

В заключении делаются выводы о результатах, полученных в диссертационной работе.

Заключение

В диссертационной работе проведено изучение различных аспектов бифуркации Хопфа в системах со сложными вырождениями. Получены следующие основные результаты:

1. Для классической ситуации приведены новые необходимые и достаточные условия бифуркации.

2. Получены асимптотические (по (Л — Ло|) формулы для бифурци-рующих решений и их периодов; здесь Ао — бифуркационное значение параметра А.

3. Указаны признаки односторонней бифуркации — возникновения циклов, когда изучаемая система определена только при А < Ао (или только при А > Ао), а также в ситуациях, когда собственные значения матрицы А(А) приближаются к мнимой оси при А —у Ао, не переходя ее, или переходя ее, но под нулевым углом.

4. Исследована устойчивость рождающихся бифурцирующих решений для ситуации, когда матрица Л(Хо) имеет более одной пары чисто мнимых собственных значений.

5. Проведен анализ сходимости дискретных и проекционных процедур построения циклов, и получено обоснование использования численных процедур для приближенного исследования бифуркационных задач.

1. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Физматгиз, 1959.

2. Андронов A.A., Понтрягин JI.C. Грубые системы // ДАН СССР, 1937, # 14, с. 247-251.

3. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений М.: Наука, 1978. 304 с.

4. Беллман Р., Кук K.J1. Дифференциально-разностные уравнения. -М.: Мир, 1967, 548 с.

5. Богданов Р.И. Бифуркация предельного цикла в семействе векторных полей на плоскости. // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 1976, т. 2, с. 23-35.

6. Богданов Р.И. Локальная орбитальная эквивалентность векторных полей на плоскости. М.: Изд. Моск. ун-та, 1993, 168 с.

7. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987, 384 с.

8. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.

9. Йосс Ж., Джозеф Д.Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир, 1983.

10. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

11. Козякин B.C., Красносельский М.А. Метод функционализации параметра в задаче о точках бифуркации. // Доклады АН СССР. 1980, т.254, # 5, с. 1061-1064.

12. Красносельский А.М, Красносельский М.А. Циклы больших амплитуд в автономных системах с гистерезисом. // Доклады АН СССР., 1985., Т. 283., # 1., С. 23-26.

13. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.

14. Красносельский М.А. О рождении автоколебаний из состояния равновесия // АиТ., 1973., # 1., С. 182-184.

15. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.

16. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975., 511 с.

17. Красносельский М.А., Кузнецов H.A., Юмагулов М.Г. Функцио-нализация параметра и асимптотика циклов в бифуркации Хопфа // Автоматика и телемеханика. 1996., ф 11., С. 22-28.

18. Красносельский М.А., Кузнецов H.A., Юмагулов М.Г. Операторный метод анализа устойчивости циклов при бифуркации Хопфа. // Автоматика и телемеханика, 1996, # 12, с. 24-30.

19. Красносельский М.А., Кузнецов H.A., Юмагулов М.Г. Условия устойчивости циклов при бифуркации Хопфа в бесконечности. // Автоматика и телемеханика, 1997, # 1, с. 56-62.

20. Красносельский М.А., Покровский A.B. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983, 272 с.

21. Кузнецов Ю.А. Бифуркация Андронова-Хопфа в четырехмерной системе с симметрией. // НИВЦ АН СССР, Пущино, 1984.

22. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982.

23. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М. -Л.:Гостехиздат, 1950.

24. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1997., 255 с.

25. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.

26. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972, 352 с.

27. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1976.

28. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1982. 332 с.

29. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: Гостехиздат, 1947.

30. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука, 1971.

31. Рощин Н.В. Опасные границы устойчивости в модели Лоренца. // ПММ, 1978, Т. 42, # 5, С. 950-952.

32. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. -М.: Мир, 1984, 421 с.

33. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир, 1985.

34. Юмагулов М.Г. Метод функционализации параметра в задаче приближенного расчета малых автоколебательных режимов. // Автоматика и телемеханика. 1988, # 10, С. 76-84

35. Юмагулов М.Г. Метод функционализации параметра в итерационных процедурах исследования бифуркации Хопфа для уравнений с последействием. // Доклады АН России. 1993, т.331, ф 1, с. 24-27.

36. Allgover Е., Georg К. Numerical Continuation Methods. An introduction. Springer-Verlag, New-York etc., 1990.

37. Bogdanov R.I. Multiplicative Theory of Orbital Equivalence of Vector Fields in the Plane // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Vol. 221, 1998, c. 91-116.

38. Chow S.-N., Hale J. Methods of Bifurcation Theory. Springer-Verlag, New-York etc., 1982.

39. Doedel E., Jepson A., Keller H. Numerical methods for Hopf bifurcation and continuation of periodic solution paths // Computing Methods in Applied Science and Engineering VI, R. Glowinski & J. Lions eds., North Holland, Amsterdam, 1984.

40. Doedel E., Keller H. and Kernevez J. Numerical analysis and control of bifurcation problems. Bifurcation in finite dimensions // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1991., Vol. 1., c. 493-520.

41. Friedman M., Doedel E. Numerical computation and continuation of invariant manifolds connecting fixed points // SIAM J. Numer. Anal., 1991, # 28, c. 789-808.

42. Guckenmheimer J., Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag, New-York, 1983.

43. Hale J. Numerical dynamics // Chaotic Numerics, Series: Contemporary Mathematics (AMS)., 1994., Vol. 172., c. 1-30.

44. Hale J.K., Kogak H. Dynamics and bifurcations // Applied Mathematical Sciences, Springer-Verlag, New-York etc., 1991.

45. He Xiangian. Hopf bifurcation at infinity with discontinuons nonli-nearities. // J. Austral. Math. Soc. B. 1991. 33, # 2., c. 133-148.

46. Hopf E. Abzweigung einer periodischen Lösung von einer stationären Lösung eines Differentialsystems. // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig Math.-Nat., 1942.

47. Iooss G. Direct bifurcation of a steady solution of the Navier-Stokes equation into invariant torus. Turbulence and Navier-Stokes Equations. // Lecture Notes in Matematics, Springer-Verlag, 1975., # 565., c. 69-84.

48. Ize J. Bifurcation Theory for Fredholm Operators.: Amer. Math. Soc. Memoir. # 174, 1976.

49. Kuznetsov Yu. A. Elements of Applied Bifurcation Theory // Applied Mathematical Sciences (V.112), Springer-Verlag, New-York etc., 1995.

50. Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow // Journ. of the Atmospheric Sciences. 1963., V. 20., c. 130-141.

51. May R. Biological populations with nonoverlapping generations: Stable points, stable cycles and chaos // Science # 17, c. 645-647.

52. Moore G., Garret T. Spence A. The numerical detection of Hopf bifurcation points // Computation and Bifurcations: Numerical Techniques and Applcations, Kluver, Dordrecht, 1990, c. 227-246.

53. Sparrow C. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors // Applied Mathematical Sciences (V.41). Springer-Verlag, 1982.

54. Takens F. Unfolding of certain singularities of vector fields: generalized Hopf bifurcations // J. Diff. Eq., 1973, # 14, c. 476-493.

55. Wan Y.-H. Computations of the stability condition for the Hopf bifurcation of diffeomorfisma on IR2 // SIAM J. Appl. Math. # 34, c. 167-175.

56. Матвеенко Н.И. Исследование устойчивости циклов в задаче о бифуркации Хопфа при кратном вырождении // Известия РАЕН серия МММИУ 1997, Т.1, с. 58-72.

57. Кузнецов H.A., Матвеенко Н.И., Юмагулов М.Г. Признаки суб-и суперкритичности бифуркации Хопфа и задачи односторонней бифуркации // Автоматика и телемеханика, 1998, N 12, с. 51-59.

58. Даймонд Ф., Матвеенко Н.И., Юмагулов М.Г. Анализ сходимости дискретных и проекционных процедур построения циклов в задаче о бифуркации Хопфа // Автоматика и телемеханика, 1999, N 9, с. 3-12.

59. Матвеенко Н.И., Юмагулов М.Г. Метод интегральных операторов в задаче о признаках и типе бифуркации Хопфа // Известия РАЕН серия МММИУ 2000, Т.4, N 1-2, с. 170-198.

60. Матвеенко Н.И. Бифуркация Андронова-Хопфа в системах со сложными вырождениями // Тезисы докладов Международной конференции по проблемам управления, Москва, ИПУ РАН, 1999, т.1, с. 61.

61. Матвеенко Н.И. Асимптотики малых колебаний при бифуркации рождения цикла // Тезисы докладов XXVI конференции молодых ученых РГАТА, Рыбинск, 1999, 4.1, с. 16.

62. Матвеенко Н.И. Операторный метод в задаче о признаках бифуркации Андронова-Хопфа // Сборник научных трудов молодых ученых. Вып. 2, ЯрГУ, Ярославль, 1999, с. 80-85.108 —

63. Матвеенко Н.И. Сходимость численных процедур построения циклов в задаче о бифуркации Хопфа // Математика: сборник тезисов областной научной конференции молодых ученых, ЯрГУ Ярославль, 1999, с. 54-55.