Динамические бифуркации в системах с шумом тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

^ На правах рукописи

СУРОВЯТКИНА Елена Дмитриевна

ДИНАМИЧЕСКИЕ БИФУРКАЦИИ В СИСТЕМАХ С ШУМОМ

Специальность 01.04.03 - радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1996

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете им. В. И. Ленина на кафедре общей и экспериментальной физики

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор Гершензон Е.М.

кандидат физико-математических наук, доцент Бугковский О.Я.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Минакова И.И.

кандидат технических наук, профессор Капранов М.В.

Ведущая организация - Саратовский Государственный Университет

Защита диссертации состоится "/<£" /соседя 1996 г. в часов на заседании Диссертационного совета К 053.01.03 в Московском педагогическом государственном университете им.В.ИЛенина (119435 Москва, М. Пироговская ул., д. 29, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета (119435, Москва, М. Пироговская ул., д. 1, МПГУ имени В.И. Ленина)

30)

Автореферат разослан " 1996 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета

1ак-Горская Л.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы определяется важностью явлений, возникающих при динамических бифуркациях в присутствии шумов. Практически это неисследованная область нелинейной динамики. Изучение явлений, которые возникают при быстрых переходах в хаотических системах, в сущности только еще начинается, что подтверждается материалами как российских, так и международных конференций и симпозиумов.

Динамические бифуркации и влияние шумов на закономерности бифуркационных переходов изучались в работах [1], [2]. Различные аспекты шумового воздействия на нелинейные динамические системы рассматривались в работе [3]. Наибольшее внимание было уделено затягиванию времени пребывания возле неустойчивого состояния, а также явлению гистерезиса при циклическом прохождении через точку бифуркации [4].

Попытки описать явление затягивания при воздействии шумов были предприняты сравнительно недавно. В работе [2] были рассмотрены как качественные, так и некоторые количественные характеристики явления. В наиболее обстоятельном исследовании [1] были получены асимптотические (по малому параметру ц = <<1, где 11 - характерное время динамической системы, а ^ - характерное время изменения параметров системы) выражения для времени затягивания при циклическом изменении управляющего параметра, анализ проводился преимущественно на примере логистического отображения. Было установлено, что при больших скоростях перехода время затягивания становится зависимым от уровня шумов, роль которых играли ошибки округления при численном моделировании нелинейных процессов.

Отличительная особенность динамических бифуркаций по сравнению с квазистационарными бифуркациями состоит в том, что конечное состояние слабее подвержено влиянию шумов. Если при квазистационарном изменении параметра шум оказывает

превалирующее действие и конечные состояния бифуркационной системы равновероятны, то при динамических же бифуркациях выбор конечного состояния происходит преимущественно под действием динамических (а не шумовых) факторов. В отсутствие шумов конечное состояние бифуркационной системы с переменным управляющим параметром становится полностью предсказуемым. Это дает основание говорить о нарушении вероятностной симметрии при динамических бифуркациях. Явление нарушения вероятностной симметрии и составляет предмет изучения в данной работе. Указанная особенность динамических бифуркаций представляется довольно естественной, однако лишь в недавней работе [5] она была подвергнута детальному анализу. В данной диссертации сделан новый шаг в этом анализе. В работе проведено разграничение динамических и шумовых (стохастических) режимов в бифуркационной системе, а также установлены зоны притяжения конечных состояний на оси начальных условий. Исследование структуры зон притяжения привело к неожиданным результатам. Само начальное состояние, а точнее его удаление от точки бифуркации, определяет "выбор" одного из двух альтернативных состояний. Таким образом, при динамических бифуркациях возникает естественный " фактор преимущества".

Таким образом, проблема, которой посвящена данная работа, лежит на пересечении двух актуальных проблем современного естествознания: проблемы нарушения вероятностной симметрии и проблемы предсказуемости в нелинейных системах при наличии шумов.

Целью исследований явилось детальное изучение свойств динамических бифуркаций, в том числе:

- анализ нового явления динамического нарушения вероятностной симметрии в бифуркационных системах;

анализ явления гистерезиса при динамических бифуркациях в условиях шумов;

- выявление роли начальных условий и шума на конечное состояние бифуркационной системы;

- исследование корреляционных связей между шумом и ошибкой прогноза в нелинейных хаотических системах.

Для достижения поставленных целей путем численного моделирования решались следующие задачи:

1. Установление границы между динамическим и стохастическим сценариями бифуркационного перехода путем численного анализа особенностей динамических бифуркаций, обусловленных конечной скоростью изменения управляющего параметра и наличием шумов.

2. Определение зон притяжения конечных состояний на оси начальных условий, и выяснение существования естественного "фактора преимущества", который связан с внутренними механизмами или состоянием системы.

3. Анализ явления гистерезиса при зашумленных динамических бифуркациях.

4. Установление зависимости параметров петли гистерезиса от скорости изменения управляющего параметра и от уровня шума. Определение границы возникновения и разрушения гистерезиса и его связь с предсказуемостью конечных состояний.

5. Изучение корреляционных связей между шумом и ошибкой прогноза в хаотических системах.

Научная новизна результатов полученных в диссертации заключается в следующем:

- обнаружено, что динамические бифуркации сопровождаются явлением нарушения вероятностной симметрии конечных состояний, т.е. допускают предсказуемость конечных состояний;

- впервые установлено, что момент исчезновения гистерезиса определяет границу между динамическим и стохастическим сценариями;

- обнаружена новая важная особенность динамических бифуркаций - существование тонкой структуры зон притяжения конечных состояний, зависящей от уровня шумов и от скорости изменения управляющего параметра;

- установлена не известная ранее корреляционная связь между шумом и ошибкой прогноза в хаотических системах. Научная и практическая ценность работы:

1. Закономерности, выявленные на логистической, а также на синусной модели и полученные для неадиабатических бифуркационных переходов, могут служить прототипом бифуркационных явлений в задачах нелинейной динамики, а также в других областях физики (фазовые переходы, поляризационная бистабильность в лазерах, параметрические генераторы), химии (автокаталитические реакции), биофизики и биологии (развитие популяций, различные формы нарушения симметрии).

2. Закономерности, выявленные при периодическом изменении управляющего параметра, могут послужить основой нового метода измерения внутреннего шума в бифуркационных системах.

3. Эффект запаздывающих корреляций может быть использован для измерения ряда характеристик хаотических систем: внутреннего шума, ляпуновского показателя, времени предсказуемости, определение которых обычно сопряжено с большими трудностями.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Явление нарушения вероятностной симметрии конечных состояний при быстрых бифуркационных переходах.

2. Определение границы между динамическим (предсказуемым) и стохастическим (вероятностным) сценариями бифуркационного перехода.

3. Выявление и определение структуры зон притяжения конечных состояний при динамических бифуркациях в присутствии шумов.

4. Метод измерения внутренних шумов в бифуркационных системах по размеру петли гистерезиса.

5. Выявление запаздывания корреляций между шумом и ошибкой прогноза.

Личный вклад автора. Результаты, изложенные в диссертации, получены автором самостоятельно или на равных

правах с соавторами. Автору принадлежат разработки моделей для численных экспериментов, методик обработки данных, создание программного обеспечения для исследований динамических бифуркаций, анализ полученных результатов и построение теоретических моделей для их объяснения.

Апробация. Результаты, включенные в диссертацию, докладывались и обсуждались на семинарах в ИКИ РАН, МПГУ, ИРЭ РАН, на третьей технической конференции по нелинейной динамике и полному спектральному анализу [Third Technical Conf. on Nonlinear Dynamics (CHAOS) and Füll Spectrum Processing, Mystic, July 10-14, Connecticut, USA (1995)], на международной конференции по применению компьютерной алгебры в математическом образовании ( International Derive and TI-92 Conference, Computeralgebra in Matheducation,Bonn,1996).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 6 печатных работах, которые приводятся в списке цитируемой литературы.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения (первая глава), четырех содержательных глав, заключения, списка цитированной литературы и приложения. В ней содержится 106 страниц машинописного текста, из них основной текст 98 страниц, в том числе 30 рисунков. Библиография включает 56 наименований.

Краткое изложение содержания Во введении (первая глава) обосновывается актуальность работы, определены цели исследования, ставятся основные задачи, раскрывается научная новизна полученных результатов, формулируются положения, выносимые на защиту, и даётся краткий обзор содержания работы.

Вторая глава диссертации посвящена всестороннему исследованию, явления нарушения симметрии при быстрых бифуркационных переходах.

В разделе 2.1 описаны два возможных сценария бифуркационного перехода. Отмечено что кроме общепринятого

"стохастического" сценария бифуркационного перехода в одно из двух равноправных (вероятностно симметричных) конечных состояний, в нелинейных системах может реализоваться иной -"динамический" сценарий с сильным нарушением вероятностной симметрии за счёт высокой скорости перехода.

Раздел 2.2 посвящен описанию модели зашумленной бифуркационной системы: это нестационарное (динамическое) логистическое отображение, подверженное шумовому воздействию.

В разделе 2.3 обсуждается вероятность перехода в заданное конечное состояние при наличии шумов. Для начальных значений, соответствующих неподвижной точке логистического отображения, представлена граница, разделяющая стохастический (вероятностно симметричный) и динамический (с нарушенной вероятностной симметрией) режимы бифуркационных переходов. Показано, что критический (граничный) уровень шума выражается степенной зависимостью через скорость изменения управляющего параметра а^—Сз", где 5 - скорость изменения управляющего параметра системы, а С, а - константы, зависящие от начальных условий. Вблизи границ зон притяжения конечных состояний а достигает больших значений 4,5-5.

Раздел 2.4 посвящен применению установленных закономерностей, которые могут быть полезны для понимания природы бифуркационных переходов с нарушенной симметрией конечных состояний. В частности, нарушение поляризационной симметрии при прохождении лазерного излучения через нелинейную активную среду, а также формирование двух равноправных состояний в вырожденных параметрических генераторах.

Раздел 2.5 содержит выводы второй главы.

Третья глава посвящена новому важному аспекту динамических бифуркаций, а именно, влиянию начальных условий на выбор конечного состояния системы. Ранее этот вопрос не рассматривался в литературе о динамических бифуркациях.

Раздел 3.1 посвящен постановке задачи.

В разделе 3.2 показано, что при динамических бифуркациях зоны притяжения двух конечных состояний на оси начальных условий хо чередуются друг с другом, и что количество сегментов притяжения существенно зависит от скорости изменения управляющего параметра. Если при большой скорости структура областей притяжения достаточно проста, то при малых скоростях происходит дробление областей притяжения. Под действием шумов границы областей притяжения постепенно размываются, а вероятности попадания в конечные состояния выравниваются между собой, как при квазистатических переходах. В данном разделе приведены аналитические оценки для критического значения интенсивности шума при котором происходит выравнивание вероятностей. Для начальных значений удаленных от границ зон притяжения, согласно этим оценкам, зависимость между критическим значением интенсивности шума и скоростью перехода,— линейная, что подтверждается данными численного моделирования.

В разделе 3.3 исследуется влияние шума на структуру областей притяжения. Выявлены области, которые наиболее подвержены влиянию шума. Прежде всего, это область малых скоростей в которой при уменьшении 5 высота зон притяжения уменьшается самоподобным образом, а также окрестносга границ между областями притяжения первого и второго состояния на оси начальных условий. Структура областей притяжения, подверженных влиянию шума, представлена на рис. 1. Как видно из рисунка, под действием шума границы областей притяжения постепенно размываются и в области малых скоростей зоны притяжения вырождаются в сплошную полосу, в которой предсказуемость конечных состояний системы становится невозможной.

Раздел 3.4 содержит выводы третьей главы.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

*0

Рис. 1. Зоны притяжения в присутствии шума (с^ = 10~3). Черным показаны области начальных значений хо и скоростей в , отвечающие попаданию в состояние [для этих

областей /,](х0)=1 и /^(хо)=0 )• Белым отмечены области, отвечающие состоянию х<2>(«).[в этих областях Р1(л-0):=0 и Серым отмечены переходные области, где 0,25 </'|(х0)<0.75. Интервал изменения управляющего параметра Аг — 0.4

В четвертой главе описано явление динамико-шумового гистерезиса при быстром переходе через точку бифуркации.

Раздел 4.1 посвящен анализу состояния вопроса.

В разделе 4.2 рассмотрены основные особенности динамико-шумового гистерезиса на примере двух моделей динамической

системы в присутствии шумов: логистического отображения и отображения синуса.

В разделе 4.3 найдено распределение вероятностей динамической переменной при быстрых бифуркационных переходах. При превышении критического значения интенсивности шума вероятности попадания в оба конечных состояния сближаются, а гистерезис практически исчезает. Таким образом, увеличение уровня шума приводит к установлению симметрии для вероятности попадания в стационарные состояния.

В разделе 4.4 предлагается метод определения границ между динамическим и стохастическим режимами путем наблюдения разрушения гистерезиса. Результаты численного моделирования представлены на рис. 2. Линейная зависимость между интенсивностью шума и скоростью перехода подтверждает аналитические оценки, приведенные в третьей главе.

5

Рис. 2. Зависимость критического уровня шума от скорости изменения управляющего параметра 5. Область выше прямой отвечает стохастическому, а ниже прямой -динамическому режиму бифуркации.

В разделе 4.5 предложен метод измерения внутренних шумов при помощи динамико - шумового гистерезиса. Показано, что для оценки интенсивности шума можно использовать размер гистерезисной петли, а также время пребывания системы в узкой окрестности неустойчивого состояния. На рис. 3 показан пример калибровочного графика для оценки интенсивности шума по размеру гистерезисной петли.

Рис. 3. Зависимость размера гистерезисной петли А г =г+- г. от интенсивности шума, позволяющая оценить интенсивность шума путём измерения.

Раздел 4.6 содержит выводы четвертой главы.

Пятая глава посвящена вопросу о запаздывании корреляций между шумом, действующим на хаотическую систему, и ошибкой прогноза поведения этой системы. Показано, что запаздывание корреляций непосредственно связано с динамикой флуктуаций в хаотической системе: ошибка прогноза обусловлена не текущими, а предшествующими флуктуациями, которые за время, порядка времени предсказуемости, экспоненциально усилились от

микроскопического до макроскопического уровня. Более ранние и более поздние по времени флуктуации коррелируют с ошибкой прогноза гораздо слабее, либо потому, что вышли на уровень насыщения и были "перемолоты" в жерновах нелинейной динамики, либо потому, что не успели усилиться за время предсказуемости.

Аналитическая модель дискретной хоатической системы, находящаяся под действием шумов рассмотрена в разделе 5.1.

Содержание раздела 5.2 составляет аналитическое описание процесса эволюции корреляционной функции на основе линеаризованных уравнений движения. На "линейном" этапе происходит экспоненциальный рост корреляционной функции.

В разделе 5.3 описан нелинейный этап, сопровождающийся насыщением и спадом корреляций. Результаты численного анализа корреляционной функции свидетельствуют, что функция корреляции "шум-ошибка прогноза" достигает максимума в момент времени, отстоящий от момента наблюдения на время предсказуемости. На временах превышающих время предсказуемости, корреляционная функция "шум- ошибка прогноза" спадает, но этот спад не устойчив.

Раздел 5.4 посвящен выводам пятой главы.

В Заключении сформулированы основные результаты проделанной работы.

Приложение посвящено использованию системы Derive для решения задач нелинейной динамики и при анализе бифуркационных переходов.

Основные результаты

1. Установлено неизвестное ранее свойство динамических бифуркационных переходов при наличии сильных шумов, заключающееся в том, что процесс динамических бифуркаций может развиваться по одному из двух возможных сценариев: динамическому и стохастическому. Определена граница между стохастическим и динамическим сценариями, граничное (критическое) значение интенсивности шума для больших скоростей <7с дается степенным законом, а1 = С^а, где £ -скорость изменения управляющего параметра системы, а С, а -константы, зависящие от начальных условий. Вблизи границ зон притяжения конечных состояний а достигает значений 4,5-5. Для начальных значений, удаленных от границ зон притяжения, показатель степени а близок к 1. При ст/ >> <УС реализуется чисто стохастический сценарий , тогда как при О/ « СУс бифуркационный переход подчиняется чисто динамическому сценарию, с сильным нарушением вероятностной симметрии.

2. Выявлено, что динамические бифуркации сопровождаются явлением нарушения вероятностной симметрии. Предложена динамико-стохастическая модель бифуркационных переходов, которая может оказаться полезной при анализе многих систем с нарушением симметрии,в том числе при описании возбуждения колебаний с определённой фазой в параметрических генераторах или же при описании поляризационных эффектов в лазерах.

3. Обнаружен новый важный аспект динамических бифуркаций - наличие зон притяжения на плоскости "начальная координата - скорость изменения управляющего параметра". Установлена зависимость зон притяжения конечных состояний от интенсивности шума и показано, что при наличии шумов границы зон притяжения размываются.

4. Выявлено, что шумы не увеличивают и не уменьшают интегральную (по всем начальным значениям) вероятность попадания в определенное конечное состояние, поскольку перераспределяют эту вероятность по оси начальных значений. Установлено, что если вероятность попадания в данное конечное состояние в отсутствие шумов превышает 0,5, то это свойство сохраняется и при наличии шумов.

5. Исследовано явление гистерезиса при наличии шумов и установлено, что размеры петли гистерезиса существенно зависят от скорости изменения управляющего параметра и от интенсивности шума. Предложено использовать явление гистерезиса при динамических бифуркациях для измерения интенсивности слабых внутренних шумов в нелинейных хаотических системах. Для логистической системы получена калибровочная кривая, определяющая уровень шума по измеренным параметрам гистерезисной петли.

6. Установлена неизвестная ранее корреляционная связь между шумом и ошибкой прогноза в хаотических системах. Предложено использовать эффект запаздывающих корреляций для измерения ряда характеристик хаотической системы: уровня внутренних шумов, ляпуновского показателя, времени предсказуемости

Основные результаты диссертации опубликованы в

следующих печатных работах:

1.Anosov O.L.,Butkovskii O.Ya,.Kravtsov Yu.A, Surovyatkina E.D., Predictable Nonlinear Dynamics: Advances and Limitations. In:Chaotic, fractal, and nonlinear signal processing, Mystic, July 10-14, 1995, American Institute of Physics. - 1996. - C.71-91.

2. Butkovsky O. Ya, Surovyatkina E.D. Derive Application to Nonlinear Dynamic Systems. International Derive and Tl-92 Conferenca, Computeralgebra in Matheducation, Bonn, July 2-6, 1996.- C. 114-120.

Ъ. Бутковский О.Я., Кравцов Ю.К., Суровяткина Е.Д. Метод измерения внутренних шумов по размеру петли гистерезиса при динамических бифуркациях. - Препринт ИКИ РАН № 1952, 1996. - 8 с.

4.Браги Дж.С., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.К.,Суровяткина Е.Д Нарушение симметрии при быстрых бифуркационных переходах // ЖЭТФ, 1996. - Т.9. - №6. - С. 2201-2207.

5. Бутковский, О.Я. Кравцов, Ю.К., Суровяткина Е.Д. Зоны притяжений конечных состояний при динамических бифуркациях в присутствии шумов. - Препринт ИКИ РАН № 1953, 1996. - 14 с.

6. Аносов О.Л., Бутковский О.Я.,Кравцов Ю.К., Суровяткина Е.Д. Запаздывающие корреляции между шумом и ошибками прогноза в хаотических системах // Радиотехника и Электроника, 1996. - №9.- С. 1004-1009.

Использованная литература

1.Baesens С.. Slow sweepthrough period-doubling cascade: delayed bifurcations and renormalisation // Physica-D, 1991.-V.53. - №24.- C. 319-376.

2. Benoit E..(ed) Dynamical bifurcations. Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 1993.

Ъ.Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. -М: Наука, 1990. - 312 с.

4. Нейштадт А.И., Сидоренко В.В. Запаздывание потери устойчивости в системе Циглера. - Препринт ИПМ РАН №56, 1995 - 28 с.

5. Butkovskii O.Ya., Brush, J.S. Kravtsov Yu.A.. Bifurcation paradox. In: Predictability of Complex Dynamical Systems, Yu.A.Kravtsov, J.B.Kadtke, Eds., Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1996. -143 c.