Шумозависимый гистерезис и смежные флуктуационные явления в нелинейных системах с переменными параметрами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

1. Введение

1.1 .Шумозависимые явления в нелинейных хаотических системах с изменяющимися во времени параметрами.

1.2.Краткое изложение содержания.

2. шумозависимый гистерезис в системах, описываемых мультимодальными отображениями

2 Л .Общая характеристика явления шумозависимого гистерезиса.

2.2.Явление шумозависимого гистерезиса в мультимодальном отображении.

2.3.Влияние динамических и стохастических факторов на характеристики петли гистерезиса.

2.4.Метод измерения слабых внутренних шумов по времени пребывания системы в окрестности неустойчивой ветви.

2.5.Выводы к главе 2.

3. шумозависимый гистерезис при переходе через зону хаоса

3.1 .Постановка задачи.

3.2.Явление гистерезиса при прохождении через зону хаоса в окно периодичности.

3.3.Результаты численного моделирования шумозависимого гистерезиса при прохождении через зону хаоса в окно периодичности.

3.4.Выводы к главе 3.

4. Особенности протекания бифуркационных процессов в зашумленных системах с быстрыми и медленными изменениями управляющего параметра

4.1 .Влияние шума на бифуркации удвоения периода в квадратичном отображении.

4.2.Усиление флуктуации; в окрестности точек бифуркации в зашумленных квадратичном и мультимодальном отображениях.

4.3.Ослабление эффекта усиления флуктуаций при быстром прохождении через точку бифуркации.

4.4.Выводы к главе 4.

5. флуктуационные явления при передаче сообщений при помощи модуляции параметров хаотических последовательностей

5.1.Проблема передачи информации при помощи хаотических сигналов

5.2.Передача информации путем модуляции параметров отображения, генерирующего хаотическую последовательность (одноканальная схема).

5.3.Воздействие шумов на погрешность определения информационного параметра в одноканальной схеме.

5.4.Оценки помехоустойчивости одноканальной схемы.

5.5.Оценки погрешности восстановления информационных параметров в многоканальной схеме передачи сигналов.

5.6.Численное моделирование восстановления параметров хаотических последовательностей в присутствии шумов.

5.7.Пример восстановления текстового сообщения.

5.8.Выводы к главе 5.

1.1. Шумозависимые явления в нелинейных хаотических системах с изменяющимися во времени параметрами

Исследования воздействия шума на нелинейные системы составляют важную часть статистической радиофизики. Актуальность этой темы в радиофизике в настоящее время несколько возросла в связи с увеличением числа экспериментально наблюдаемых бифуркационных явлений и режимов в хаотических нелинейных цепях.

В настоящее время известно уже очень большое количество реальных радиофизических систем, процессы в которых имеют хаотический характер: нелинейные осцилляторы с периодическим внешним воздействием, генераторы на туннельных диодах, ЬЯ цепи с варакторными диодами, генераторы с запаздывающей обратной связью, резистивно связанные ЛЬ цепи и т. д. [1-5].

Любая реальная радиофизическая система подвержена случайным возмущениям, которые обычно подразделяют на естественные и технические. Шум может вызвать серьезные изменения в макроскопическом поведении нелинейных систем. К числу эффектов, вызванных шумами, относятся в частности бифуркационные переходы, индуцированные шумами, которые были описаны в работе [6]. Под воздействием шума происходит изменение различных статистических характеристик хаотических систем - корреляционных функций, частотных спектров, ляпуновских показателей, фрактальных характеристик и т.д. [1, 7, 8]. Далее шум оказывает существенное влияние на формирование областей притяжения устойчивых состояний на оси начальных условий л;0. Структура областей притяжения конечных состояний и влияние шума на границы областей притяжения в некоторых системах были описаны в работах [9, 10]. В нелинейных системах с периодическим изменением бифуркационного параметра шумовое воздействие приводит к сокращению петли гистерезиса [11, 12, 13]. Этот факт побуждает называть явление гистерезиса шумозависимым. Действием шумов определяется выбор одного из нескольких альтернативных состояний при медленных бифуркационных переходах. Влиянию шума на предсказуемость конечных состояний на примере модельных систем и реальных нелинейных цепей в системах с быстро и медленно меняющимися параметрами посвящены работы [3, 14]. Воздействие шумов на хаотические системы чрезвычайно актуально и в прикладных задачах, в первую очередь при передаче информации с использованием хаотических сигналов [15-17].

Таким образом, изучение проблемы влияния шума на нелинейные хаотические системы с переменными параметрами является важным и своевременным. Данная работа как раз и нацелена на решение ряда актуальных задач статистической радиофизики и нелинейной динамики.

Предмет исследования диссертации - шумозависимый гистерезис и смежные флуктуационные явления в нелинейных системах с переменными во времени параметрами. Изучение явлений, возникающих при быстрых и медленных переходах в нелинейных и хаотических бифуркационных системах, представляется важным и интересным, о чем свидетельствуют недавние журнальные публикации, а также материалы российских и международных конференций.

В данной диссертации исследования воздействия шумов на нелинейные хаотические системы проводятся с помощью методов численного моделирования процессов в дискретных и непрерывных системах, которые служат моделями для реальных нелинейных цепей. В качестве объектов исследования использовались: мультимодальное отображение, которое отражает характерные особенности реальных радиофизических цепей (скажем, ЬЯ цепей с варакторным диодом) [2]; многопараметрическое синусное отображение, при помощи которого можно реализовать один из методов передачи информации на хаотической несущей; квадратичное (логистическое) отображение, моделирующее бифуркационные явления во множестве нелинейных систем, включая неавтономный диссипативный осциллятор [3].

Бифуркации в системах с переменными параметрами (так называемые "динамические" бифуркации) и влияние шумов на закономерности бифуркационных переходов изучались в работах [12, 18 - 20]. В частности, явление затягивания при динамических бифуркациях, которое проявляется в том, что после прохождения бифуркационной точки система достаточно долго находится на неустойчивой ветви, и лишь через некоторое время сравнительно быстро переходит в одно из двух устойчивых положений было подробно описано в работе [18]. Похожий процесс происходит и при обратном переходе, т.е. при уменьшении управляющего параметра. Периодическое изменение управляющего параметра приводит к тому, что система задерживается в окрестности прежних устойчивых точек, как при прямом, так и при обратном ходе, при этом явление затягивания приводит к появлению гистерезисной петли.

В наиболее обстоятельном исследовании [12] процессов, генерируемых логистическим отображением, были получены асимптотические выражения для времени затягивания при циклическом изменении управляющего параметра, но роль шумов фактически осталась нераскрытой. Между тем, наличие шумов в бифуркационной системе сокращает время пребывания возле неустойчивой ветви, поскольку шумовое воздействие ускоряет отклонение от неустойчивого положения (это явление напоминает ускорение фазовых переходов под действием шумовых факторов, которые сокращают время пребывания возле неустойчивых -метастабильных состояний).

Динамические бифуркации при быстром и медленном изменении управляющего параметра сопровождаются рядом родственных явлений: предбифуркационное усиление шума в нелинейных системах, нарушение вероятностной симметрии при динамических бифуркациях и др.

Известно, что перед возникновением автоколебаний в нелинейных системах наблюдается явление предгенерационного (или преосцилляционного) усиления шума. Такое явление имеет место как в радиофизических автоколебательных системах [19], так и в лазерах [20]. Усиление шума по мере приближения к порогу генерации обусловлено здесь уменьшением потерь в осцилляторе, в результате чего вещественная часть одного из ляпуновских показателей системы из отрицательной становится положительной. Исходное состояние системы в этом случае теряет устойчивость, а усиленный предгенерационный шум служит катализатором для возникновения автоколебаний. Предгенерационное усиление шума - это частный случай более общего явления, которое можно назвать предбифуркационным усилением шума. Это явление было рассмотрено в работе [21], где анализ проводился для медленных (адиабатических) бифуркационных переходов.

Условия нарушения вероятностной симметрии конечных состояний в условиях шумового воздействия на нелинейные динамические системы, а также влияние реальных шумов на быстрые бифуркационные переходы изучались в работе [13], в которой среди прочих результатов была найдена зависимость размеров гистерезисной петли от уровня шумов в системе. В работе [13] был предложен метод для измерения интенсивности слабых внутренних шумов (применительно к дискретным системам, допускающим бифуркацию удвоения периода) по измеренным размерам гистерезисной петли.

Несмотря на усиленное внимание к проблеме, в радиофизической литературе исследованы далеко не все явления, возникающие в динамических бифуркационных системах под воздействием шума. В частности, совершенно неизученными оказались свойства бифуркаций в мультимодальных отображениях, в том числе явление шумозависимого гистерезиса и эффект исчезновения и возрождения бифуркаций удвоения периода в таких отображениях. Подобным же образом оказались в тени интересные свойства систем, переходящих через зону хаоса в окно периодичности, в том числе явление шумозависимого гистерезиса при таком переходе. Слабо изучены также различные аспекты влияния шума на бифуркационные процессы в системах с быстрыми и медленными изменениями управляющего параметра, в том числе эффекта усиления флуктуаций при достаточно медленном прохождении критических точек на бифуркационной диаграмме и ослабление этого эффекта при быстром прохождении критических точек.

Еще одним актуальным аспектом воздействия шумов на хаотические системы явились флуктуационные характеристики систем передачи информации, основанных на модуляции параметров хаотических последовательностей. В настоящее время проблема передачи информации при помощи хаотических сигналов представляет весьма значительный интерес, как это следует, например, из обзора [15], в котором содержится подробный анализ информационных аспектов использования хаотических сигналов для передачи сообщений. Согласно [15], наибольшее внимание в мировой литературе сейчас уделяется системам с синхронизацией. Между тем, значительный интерес представляет другой метод передачи информации, описанный в монографии [17] и основанный на решении обратных задач нелинейной динамики.

Этот метод предполагает восстановление первоначального (на передающем конце) временного хода управляющего параметра хаотической системы по измеренным значениям хаотических сигналов на приемном конце. Несмотря на актуальность проблемы, флуктуационные характеристики систем передачи информации, использующих восстановление управляющих параметров, анализу еще не подвергались.

Перечисленные выше нерешенные флуктуационные проблемы составляют содержание данной диссертационной работы, нацеленной на решение ряда актуальных задач нелинейной динамики и статистической радиофизики.

Конкретной целью исследований явилось изучение влияния шума на процессы в системах с быстрым и медленным изменением бифуркационного параметра наряду с анализом флуктуационных характеристик систем передачи информации, основанных на восстановлении управляющих параметров хаотических систем, в том числе: анализ явления шумозависимого гистерезиса при быстрых и медленных бифуркационных переходах в мультимодальных отображениях; исследование шумозависимого гистерезиса, сопровождающего переход динамической системы через зону хаоса в окно периодичности; анализ усиления флуктуаций как при быстрых, так и при медленных бифуркационных переходах; анализ флуктуационных характеристик систем передачи информации, использующих нелинейные методы восстановления управляющих параметров хаотических последовательностей.

Научная новизна результатов полученных в диссертации заключается в следующем: обнаружены не известные ранее особенности шумозависимого гистерезиса в мультимодальном отображении, выражающиеся в исчезновении и возрождении бифуркаций удвоения периода под действием шума; впервые обнаружено явление шумозависимого гистерезиса при прохождении нелинейной системы через зону хаоса в окно периодичности; установлена не известная ранее зависимость усиления флуктуации; в критических точках от скорости изменения управляющего параметра; впервые проведен анализ флуктуационных характеристик систем передачи информации, использующих нелинейные методы восстановления управляющих параметров, и определены характеристики помехозащищенности таких систем.

Научная и практическая ценность работы:

1. Закономерности, выявленные в данной работе на ряде модельных систем с изменяющимся параметром, могут быть использованы для описания и анализа хаотического поведения динамических радиофизических систем.

2. Закономерности формирования шумозависимых петель гистерезиса могут послужить основой нового метода измерения внутренних шумов в бифуркационных системах.

3. Флуктуационные характеристики систем передачи информации, основанные на восстановлении управляющих параметров, могут быть использованы при оценке надежности передачи информации путем модуляции параметров хаотических отображений, а также при выборе алгоритма внесения информации в хаотическую несущую.

Степень достоверности полученных результатов Результаты, полученные в диссертации, подвергались сравнению с результатами аналитических и численных исследований других авторов. Обнаружено хорошее соответствие полученных результатов с имеющимися литературными данными. О достоверности полученных результатов свидетельствует удовлетворительное согласие между аналитическими и численными результатами.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Выявление характеристик петли шумозависимого гистерезиса в мультимодальном отображении.

2. Метод измерения слабых внутренних шумов в нелинейной системе по времени пребывания системы в окрестности неустойчивой ветви.

3. Обнаружение шумозависимого гистерезиса при прохождении нелинейной системы через зону хаоса в окна периодичности.

4. Выявление усиления флуктуаций в критических точках (точках бифуркации и точках разрыва) при быстрых и медленных бифуркационных переходах.

5. Результаты статистического анализа качества восстановления сигналов при передаче сообщений путем модуляции параметров хаотических последовательностей.

Апробация. Результаты, включенные в диссертацию, докладывались и обсуждались на семинарах в ИКИ РАН, МПГУ, КамчатГТУ, на международной конференции «Progress in nonlinear science», Нижний - Новгород, 2001 г., на шестой международной конференции по хаотическим колебаниям в радиофизике и электронике [6th International conference CHAOS'01, 2-7 October 2001, Saratov, Russia th

2001)], 16 International Symposium on Nonlinear Acoustics, Moscow, Russia, 19-23 August, 2002.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, которые приводятся в списке цитированной литературы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех содержательных глав, заключения и списка цитированной литературы. Каждая глава заканчивается формулировкой основных результатов. В диссертации содержится 106 страниц машинописного текста, в том числе 26 рисунков. Библиография включает 70 наименований.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Исследование шумозависимого гистерезиса в мультимодальном отображении выявило новое явление: исчезновение петель на бифуркационной диаграмме при быстрых бифуркационных переходах, равно как и их возрождение под действием шума.

2. Предложен метод измерения слабых внутренних шумов по времени пребывания системы в окрестности неустойчивой ветви. Такой метод позволяет оценивать весьма слабые шумы. Для мультимодального отображения получена калибровочная кривая, определяющая уровень шума по времени пребывания системы в окрестности неустойчивой ветви.

3. Обнаружен шумозависимый гистерезис при прохождении нелинейной системы через зону хаоса в окно периодичности. Показано, что вследствие такого перехода границы окна периодичности смещаются и что воздействие шума приводит к расширению окна периодичности. Отмечено, что по смещению границ окна периодичности можно судить о скорости бифуркационного перехода, а по ширине окна об уровне шума в системе.

4. Выявлена зависимость интенсивности флуктуаций в критических точках (точках бифуркации и точках разрыва бифуркационной диаграммы) от скорости изменения управляющего параметра. Установлено, что при быстром прохождении через критические точки наблюдается ослабление интенсивности флуктуаций по сравнению со случаем медленного перехода.

5. Проведен анализ качества восстановления сигналов при передаче сообщений путем модуляции параметров хаотических последовательностей и установлено, что отношение сигнал/шум на выходе системы заметно (в несколько раз) снижается по сравнению с входным значением, что обусловлено, в конечном счете, некогерентным сложением шумовых вкладов от соседних отсчетов. Показано, что при большой длительности посылки многоканальная система сопоставима с одноканальиой по числу передаваемых значений параметра на один отсчет, но что по динамическому диапазону и по помехоустойчивости показатели многоканальной схемы заметно уступают показателям одноканальной схемы. Этому способствует еще один фактор, характерный для многоканальной системы, а именно - экспоненциальное усиление шума внутри М-параметрической серии посылок.

Автор приносит глубокую благодарность своим научным руководителям Ю. А. Кравцову и Е. Д. Суровяткиной за постановку задачи и внимательное руководство работой, коллективу кафедры общей и экспериментальной физики МПГУ и отдела № 55 ИКИ РАН за товарищескую поддержку и участие в обсуждении результатов.

6. Заключение

1. НеймаркЮ.И., ЛандаП.С. Стохастические и хаотические колебания. -М.:Наука, 1987.

2. Безручко Б. П., Прохоров М. Д., Селезнев Е. П. Модель диссипативного нелинейного осциллятора в виде одномерного отображения с тремя параметрами. // Письма в ЖТФ. 1994. Т.20. Вып.12. С.78-82.

3. Безручко Б. П., Иванов Р. Н., Пономаренко В. И., Селезнев Е. П. Экспериментальное исследование бифуркаций в системах с быстро меняющимся параметром. //Письма в ЖТФ. 2002. Т.28. Вып.11. С.58-65.

4. Linsay P. S. Period doubling and chaotic behavior in a driven anharmonic oscillator. // Phys.Rev.Lett. 1981. V.47. №19. P. 1349-1352.

5. BuskirkR., Jeffries C. Observation of chaotic dynamics of coupled nonlinear oscillators. //Phys.Rev.A. 1985. Y.31. №5. P. 3332-3357.

6. Хорсемке В., Лефевр P. Индуцированные шумом переходы. Теория и приложения к физике, химии и биологии. М.: Мир. 1987.

7. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир. 1988.

8. Аносов О. Л., Бутковский О. Я., Кравцов Ю. А., Суровяткина Е. Д. Запаздывающие корреляции между шумом и ошибками прогноза в хаотических системах. // РЭ. 1996. №9. С. 1004-1009.

9. Бутковский О. Я., Кравцов Ю. А., Суровяткина Е. Д. Структура зон притяжения конечных состояний при динамических бифуркациях удвоения периода. // ЖЭТФ. 1998. Т. 113. Вып. 1. С. 369-380.

10. Ю.Браш Дж. С., Бутковский О. Я., Кравцов Ю. А., Суровяткина Е. Д. Нарушение симметрии при быстрых бифуркационных переходах. // ЖЭТФ, 1996. № 6. С.2201-2207.

11. W.PieranskiP., MaleckiJ. Noise-sensitive hysteresis loops around period-doubling bifurcations. // Nuovo Cimento. 1987. D9. P.757-780.

12. BaesensC. Slow sweepthrough period-doubling cascade: delayed bifurcations and renormalisation. // Physica-D. 1991. 53. № 2-4. P.319-376.

13. Бутковский О. Я., Кравцов Ю. А., Суровяткина Е. Д. Использование гистерезиса в бифуркационных системах для измерения шума. // ЖТФ. 1997. №9. С. 128-131.

14. Butkovskii О. Ya., Brush J. S., Kravtsov Yu. A. Bifurcation paradox. In: Predictability of Complex Dynamical Systems, Yu. A. Kravtsov, J. B. Kadtke, Eds., Springer Verlag. Berlin. Heidelberg. 1996. P. 143.

15. Anischenko V. S., Pavlov A. N. Global reconstruction in application to multichannel communication. // Phys.Rev.E. 1998. V. 57. №2. P. 2455-2457.

16. Нейштадт А. И., Сидоренко В. В. Запаздывание потери устойчивости в системе Циглера. // Прикладная математика и механика. 1997. Т.61. Вып.1. с. 18-29.

17. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах. -М: Наука. 1990.

18. Ахманов С. А., Дьяков Ю. Е., Чиркин А. С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. -М: Наука. 1981.

19. Wiesenfeld К. Noisy Precursors of Nonlinear Instabilities.// J. Statistical Physics. 1985. 38. P. 1071.

20. Шишкова M.A. Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных. // Докл. АН СССР. 1973. Т.209. №3. С.576-579.

21. Нейштадт А.И. Асимптотическое исследование потери устойчивости равновесия при медленном прохождении пары собственных чисел через мнимую ось. // Успехи мат. наук. 1985. Т.40. №5. С.300-301.

22. Нейштадт А.И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях. I //Дифференц. уравнения. 1987. Т.23. №12. С.2060-2067.

23. Нейштадт А.И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях. II // Дифференц. уравнения. 1988. Т.24. №2. С.226-233.

24. Neishtadt A.I. On calculation of stability loss delay time for dynamical bifurcations. // Proc. 11th Intern. Congress of Math. Phys. Paris: Intern. Press, 1995. P.280-287.

25. Neishtadt A.I., Simo C., Treschev D.V. On stability loss delay for a periodic trajectory. // Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Boston: Birkhauser. 1996. P.253-278.

26. Ziegler H. Die Stabilitatskriterien der Elastomechanik. // Ing.-Arch. 1952. V.20. №1. S. 49-56.

27. Roorda J., Nemat-Nasser S. An energy method for stability analysis of nonlinear nonconservative systems // AIAA Journal. 1967. V.5. №7. P.1262-1268.

28. Morris В., Moss P. Postponed bifurcations of a quadratic map with a swept parameter. // Phys .Lett. 1986. A 118. P. 117.

29. Benoit E. (ed) Dynamical bifurcations. Lecture Notes in Mathematics. 1993. Springer - Verlag. Berlin.

30. Kravtsov Yu. A., Butkovskii O. Ya., Bilchinskaya S. G., Surovyatkina E. D. Peculiarities of fast bifurcation transition in presence of noise. 11 Physics of Vibration. 2002. 10. 9. P. 54-59.

31. Кравцов Ю. А., Бутковский О. Я., Бгтъчинская С. Р., Суровяткина Е. Д. Явление шумозависимого гистерезиса в бифуркационных системах с переменными параметрами. // Сб. трудов посвященный памяти А. Н. Малахова. 2000. С. 55-64.

32. Kapral R., Mandel P. Bifurcation structure of nonautonomous quadratic map. // Phys. Rev. 1985. A 32. P. 1076-1081.

33. Физическая энциклопедия, т.4, Изд-во Большая Российская энциклопедия, Москва (1994), с. 652

34. Neishtadt A.I. Persistence of stability loss for dynamical bifurcations. // Diff.Eq. 1987. 23. P. 1385-1391.

35. Klinker Т., Meyer-Ilse W., Lauterborn W.ll Phys. Lett. 1984. V. 101 A. №8. P. 371-375.

36. КипчатовА. А. //Изв. Вузов. Радиофизика. 1990. Т.33. В.2. С. 182-190.

37. Астахов C.A., Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Смирнов Д.А. , Изв. Вузов, Прикл. нелин. динамика 5 (2, 3), 87 (1997).

38. Bezruchko В.Р., Ivanov R.N., Ponomarenko V.I., Seleznev Ye.P. , in Proceedings of the 8th International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES 2001), Delft, Netherlands June 21-23 2001, p. 231.

39. Бшъчинская С. Г., Бутковский О. Я., Кравцов Ю. А., Рынка И. А., Суровяткина Е. Д. Нарушение вероятностной симметрии периодических режимов при быстром прохождении через зону хаоса в окно прозрачности. // ЖЭТФ. 2002. 122 (1). С. 198204.

40. Wiesenfeld К. Virtual Hopf phenomenon: A new precursor of period-doubling bifurcations.// Phys. Rev. 1985. A 32. P. 1744.

41. Wiesenfeld K., Pedersen N. F. Amplitude calculation near a period-doubling bifurcation: an example.// Phys. Rev. 1987. A 36. P. 1440.

42. Wiesenfeld K., McNamara B. Small-signal amplification in bifurcating dynamical systems. //Phys. Rev. 1986. A 33. P. 629.

43. Кравцов Ю. А., Бильчинская С. F., Бутковский О. Я., Рычка И. А., Суровяткина Е. Д. Предбифуркационное усиление шума в нелинейных системах. // ЖЭТФ.2001. Т. 120. Вып.6. С. 1527.

44. Nonlinear Sciences. Cambridge University Press, 2001. 52.Kurths J., Pikovsky A., Rosenblum M. Phase synchronization of chaotic self-oscillatory systems. ISND-96. Proceedings. 1996. Saratov.Russia.

45. Cuomo К. M., OppenheimA. V. Circuit implementation of synchronized chaos with application to communications.// Phys.Rev.Lett.1993. V. 71. №1. P. 65.

46. Kocarev L., Halle K. S., EikertK., ChuaL. O., Parlitz. Experimental demonstration of secure communications via chaotic synchronization.// Int.J. Bifurcation and Chaos. 1992. V. 2. № 3. P. 703.

47. Дмитриев А.С., Кузьмин Л.В., Панас А.И. Схема связи с суммированием по модулю хаотического и информационного сигналов, Радиотехника и электроника, 1999, т. 44, № 8, с. 988-996.

48. Anosov O. L., Butkovskii O. Ya. A discriminant procedure for the solution of inverse problems for nonstationary systems. // Predictability of Complex Dynamical Systems. Yu.A.Kravtsov, J.B.Kadtke (Eds.). Springer Verlag. Berlin. Heidelberg. 1997. P.253.

49. Аносов О. Л., Бутковский О. Я., КравцовЮ. А. Восстановление динамических систем по хаотическим временным рядам (краткий обзор)// Изв. вузов -Прикладная Нелинейная Динамика. 2000. Т. 8. № 1. С. 29.

50. Анищенко В. С., Вадивасова Т. Е., Астахов В. В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов. :Изд. Саратовского университета, 1999.

51. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь. 1986.

52. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высш. Школа. 1988.

53. Статистическая теория связи и её практическое приложение (под ред. Левина Б. Р.). М.: Связь. 1979. С.287.

54. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. М.: Радио и связь. 1998.

55. Гуткин Л. С. Теория оптимальных методов радиоприёма при флуктуационных помехах. М.: Сов. 1972.

56. Ю.Бильчинская С. Г., Кравцов Ю. А., Суровяткина Е.Д. Флуктуационные характеристики сигналов при передаче сообщений путем модуляции параметров хаотических последовательностей. 2002. Препринт ИКИ РАН № 2073.