Флуктуационные и шумозависимые процессы при квазистационарных и динамических бифуркационных переходах

Суровяткина, Елена Дмитриевна

Флуктуационные и шумозависимые процессы при квазистационарных и динамических бифуркационных переходах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Суровяткина, Елена Дмитриевна АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Флуктуационные и шумозависимые процессы при квазистационарных и динамических бифуркационных переходах»

Автореферат диссертации на тему "Флуктуационные и шумозависимые процессы при квазистационарных и динамических бифуркационных переходах"

На правах рукописи

СУРОВЯТКИНА ЕЛЕНА ДМИТРИЕВНА

Флуктуационные и шумозависимые процессы при квазистационарных и динамических бифуркационных переходах

01.04.03 - радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре общей и экспериментальной физики Московского педагогического государственного университета

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Ю. А. Кравцов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Дмитриев Александр Сергеевич, доктор физико-математических наук, профессор Волков Евгений Израилевич доктор физико-математических наук, профессор Ларионцев Евгений Григорьевич

Ведущая организация: Московский энергетический институт

(технический университет)

Защита состоится 18 февраля 2005 года в 10-00 на заседании диссертационного совета Д 002.231.02 при Институте радиотехники и электроники РАН по адресу: 125009, Москва, ГСП-9, ул. Моховая, д. 11, корп. 7.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИРЭ РАН Автореферат разослан "14" января 2005 г.

Учёный секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

А. А. Потапов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Изучение флуктуационных и шумозависимых процессов в нелинейных системах и устройствах представляет собой одну из центральных задач статистической радиофизики. Флуктуационные явления присущи всем

реальным системам и принципиально неустранимы .

Действие флуктуаций в нелинейных системах приводит к разнообразным, зачастую неожиданным явлениям. Исследования последних лет показали, например, что в хаотических системах флуктуации могут индуцировать переходы к более упорядоченным режимам, увеличивать степень когерентности, способствовать росту отношения сигнал/шум и т.д.

Из разнообразных проблем, обсуждаемых в литературе и не нашедших еще адекватного решения, значительный интерес представляют флуктуационные процессы в системах с бифуркациями. Флуктуации вблизи порога бифуркации могут повлечь за собой серьезные изменения в макроскопическом поведении нелинейной системы: сократить время пребывания около неустойчивого состояния, повлиять на выбор одного из нескольких возможных устойчивых состояний в мультистабильных системах. Шум может индуцировать новые переходы, неожиданные с точки зрения детерминистического описания.

С флуктуационными проблемами, во многом сходными с проблемами статистической радиофизики, приходится сталкиваться в гидродинамике и нелинейной акустике. Речь идет о теории турбулентности2, физике линейных и нелинейных случайных волн в акустике3. Многие важные вопросы нелинейного взаимодействия и самовоздействия случайных волн были разработаны в физике

плазмы .

В данной диссертации решается фундаментальная проблема воздействия шумов на нелинейные системы, совершающие как квазистационарные, так и

1 Рытов С М, Кравцов Ю А , Татарский В И Введение в статистическую радиофизику Москва, Наука, 1978

" Мокин А С , Яглом А М Статистическая гидромеханика Москва, Наука, 1965, чч 1,2

1 Нелинейные системы гидродинамического типа Под ред АМ Обухова, Москва, Наука, 1974

4 Веденов А А , Велихов Е П , Сагдеев Р 3 В сб Вопросы теории плазмы Под ред М А Леонтовича Москва, Атом издат 1963, вып 3 , 1964, вып 4, 1973, вып 7

динамические бифуркационные переходы. Эта проблема охватывает широкий круг физических явлений (предбифуркационное усиление шума, предбифуркационное увеличение времени корреляции, шумозависимый гистерезис) и связана с разнообразными приложениями (измерение слабых шумов в нелинейных бифуркационных системах, шумовые предвестники бифуркаций, снижение нежелательного действия шумов, контроль над бифуркационными процессами для достижения заданного

постбифуркационного состояния в условиях воздействия шума и др.).

Целью исследований явилось изучение сложной динамики поведения нелинейных систем, испытывающих квазистационарные и динамические бифуркационные переходы в присутствии шумов, и развитие теории флуктуационных процессов, происходящих в непосредственной близости к точке бифуркации.

Основные направления исследования:

1. Явление предбифуркационного усиления и нелинейного насыщения интенсивности шума и родственное ему явление роста и насыщения времени корреляций.

2. Флуктуации при динамических бифуркациях: шумозависимый гистерезис и флуктуационные характеристики хаотических систем с модулируемыми параметрами.

3. Предсказуемость постбифуркационных состояний при динамических бифуркациях в присутствии шумов: нарушение вероятностной симметрии и бассейны притяжения постбифуркационных режимов.

Эти направления составляют содержание трех частей диссертации. Исследования флуктуационных проблем проводились теоретически и экспериментально с помощью методов численного моделирования. В качестве объектов исследования выступали динамические системы с дискретным временем, описываемые нелинейными отображениями, и нелинейные осцилляторы, описываемые дифференциальными уравнениями, которые служат моделями для реальных цепей и устройств. Исследуемое в диссертации квадратичное

отображение хорошо описывает бифуркационные явления в неавтономном дис-сипативном осцилляторе и в автогенераторе с запаздывающей обратной связью5. Система связанных отображений может служить адекватной моделью двух резисторно связанных КЬ-диод. цепей, синфазно возбуждаемых внешней гармонической силой6. Физическим прототипом нелинейного осциллятора, демонстрирующего бифуркацию спонтанного нарушения симметрии и описываемого дифференциальным уравнением второго порядка, могут служить, в частности, поперечные одномерные колебания плоского стержня (линейки), вдоль оси которого действует нарастающая во времени сдавливающая сила.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Нелинейный анализ явления предбифуркационного усиления шума, оценка интенсивности вынужденных флуктуации в непосредственной близости к точке бифуркации, определение границы применимости линейной теории.

2. Анализ явления предбифуркационного роста времени корреляции флуктуационного процесса, который заканчивается нелинейным насыщением непосредственно вблизи бифуркационного порога.

3. Исследование явления шумозависимого гистерезиса в системах с бифуркациями, каскадами бифуркаций и при прохождении через хаос в окно периодических режимов.

4. Установление структуры бассейнов притяжения постбифуркационных состояний на плоскости «начальные условия - скорость бифуркационного перехода». Анализ проведен как для первой бифуркации удвоения периода, так и для более сложных бифуркаций, в частности, при переходе через каскад бифуркаций удвоения периода, зону хаоса в режим периодических колебаний.

5. Определение границы между детерминированным и стохастическим сценариями бифуркационного перехода на плоскости «интенсивность шума - скорость перехода».

5 Безручко Б П Иванов Р Н Пономаренко В И Селезнев Е П ПЖТФ 2002 28 (11), 58-65

Научная новизна результатов, полученных в диссертации, заключается в следующем:

- впервые проведен нелинейный анализ явления предбифуркационного усиления шума и выявлен эффект нелинейного насыщения флуктуации вблизи бифуркационного порога;

- обнаружено явление предбифуркационного роста времени корреляции флуктуационного процесса при приближении к точке бифуркации, которое сопровождается нелинейным насыщением интервала корреляции в непосредственной окрестности точки бифуркации;

- выявлен эффект взаимного влияния коэффициента связи и скорости изменения бифуркационного параметра на структуру бассейнов притяжения аттракторов в системе связанных отображений;

- впервые проанализирован бифуркационный переход через каскад бифуркаций, зону хаоса в окно периодических режимов и показано, что постбифуркационное состояние такой системы может быть предсказуемым;

- определены условия нарушения вероятностной симметрии постбифуркационных состояний для нелинейной системы при бифуркации удвоения периода и при переходе через каскад бифуркаций, зону хаоса в окно периодических режимов;

- предложен новый метод измерения слабых внутренних шумов в нелинейных бифуркационных системах на основе явления предбифуркационного усиления шума.

Практическая ценность работы:

Флуктуационные явления и процессы, изученные в работе, широко распространены в физических и технических системах и потому представляют значительный практический интерес.

Во - первых, проведенный в диссертации анализ флуктуационных и шумо-зависимых бифуркационных явлений создает предпосылки для снижения нежелательного действия шумов, например, путем увеличения скорости бифуркаци-

"Buskirk R Jeffries С Phys Rev A 1985 31,3332-3357

онных переходов, путем оптимизации выбора схем, избегающих бифуркации в рабочей области.

Во - вторых, явление предбифуркационного усиления шума и явление шу-мозависимого гистерезиса могут послужить основой новых методов измерения слабых шумов в радиофизических системах: по величине коэффициента пред-бифуркационного усиления шума, по ширине гистерезисной петли, по времени пребывания около неустойчивой ветви.

В-третьих, анализ влияния флуктуации в системах передачи информации путем модуляции параметров хаотических сигналов и последовательностей позволяет определить помехоустойчивость таких систем с тем, чтобы оценить их перспективность для скрытой передачи информации как в компьютерных сетях, так и в реальных каналах связи.

В-четвертых, значительный практический интерес представляют изученные в диссертации предсказуемые бифуркационные переходы. Такие переходы открывают широкое поле для управления бифуркационными процессами и для достижения заданного постбифуркационного состояния в условиях воздействия шума.

В-пятых, разработанные в диссертации алгоритмы создают основы для обнаружения бифуркационных переходов на основе статистических предвестников бифуркаций, в частности, за счет эффекта усиления предбифуркационного шума и эффекта увеличения времени корреляции.

В работу включены результаты, полученные в рамках проектов, выполненных при поддержке РФФИ (гранты: № 00-02-17741, № 02-02-17418).

Личный вклад автора заключается в выборе направления исследований, в постановке и решении основных задач диссертации. Основная часть теоретических исследований выполнена автором самостоятельно. Существенную поддержку развиваемого автором в диссертации научного направления на начальном этапе исследований оказывал научный консультант д. ф.-м. н., проф. Ю. А. Кравцов.

Разработка всех вычислительных схем и проведение основной части численных экспериментов, включая обработку и интерпретацию полученных ре-

зультатов, принадлежит автору. К исследованиям шумозависимого гистерезиса и бассейнов притяжения постбифуркационных режимов привлекались аспиранты, ныне к. ф.-м. н. Бильчинская С. Г. и к. ф.-м. н. Рынка И. А. (Камчатский государственный технический университет), руководство которыми осуществлялось автором совместно с проф. Ю. А. Кравцовым.

Достоверность научных выводов подтверждается согласованностью теоретических результатов с результатами численных экспериментов, а также с теоретическими и экспериментальными результатами других авторов.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Выявленные основные закономерности, определяющие ход флуктуаци-онных процессов вблизи порога бифуркаций: рост интенсивности флуктуаций и времени корреляций при медленном изменении управляющего параметра, ослабление предбифуркационного усиления шума при быстром прохождении точки бифуркации; нелинейная теория ограничения роста интенсивности флуктуации и времени корреляции вблизи бифуркационного порога.

2. Результаты анализа предбифуркационного усиления шума и смежных явлений для разнообразных бифуркационных переходов: бифуркация удвоения периода, бифуркация спонтанного нарушения симметрии, скачкообразные бифуркационные переходы.

3. Результаты исследования протекания гистерезисных явлений при быстром прохождении точки бифуркации в присутствии шумов (явление шумозави-симого гистерезиса).

4. Установленные основные закономерности, определяющие границу между детерминированным и стохастическим сценариями бифуркационного перехода.

5. Методы измерения слабых шумов в радиофизических и иных бифуркационных системах, основанные на явлении предбифуркационного усиления шума и явлении шумозависимого гистерезиса.

В своей совокупности эти положения составляют основу нового научного направления статистической радиофизики - теории флуктуационных процессов при квазистационарных и динамических бифуркационных переходах.

Апробация работы. Результаты, включенные в диссертацию, докладывались и обсуждались на семинарах в ИКИ РАН, ИРЭ РАН, Московском государственном педагогическом университете, Московском энергетическом институте, междисциплинарном семинаре «Синергетика» (Физический факультет МГУ), а также на следующих международных конференциях.

• International Conference "Chaotic, fractal and nonlinear signal processing", Mystic, USA (1995);

• 5th International Specialist Workshop. Nonlinear Dynamics of Electronic Systems, Moscow (1997);

• International Council for Computeralgebra, Gettysburg, USA (1998);

• Вторая международная конференция "Современные направления в компьютерной физике", Дубна, Россия (2000);

• International Council for Computeralgebra, Liverpool John Moores University, UK (2000),

• Международная конференция "Progress in Nonlinear Sciences", Нижний-Новгород, Россия (2001);

• 6-я Международная конференция CHAOS'01, Саратов, Россия (2001);

• 16-й международный симпозиум по нелинейной акустике, Москва, Россия (2002);

• International Conference on Plasma Research and Applications - PLASMA-2003, Warsaw, Poland;

• VIII Polish School of the Modal Analysis, AGH, Krakow, Poland (2003);

• Научная школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых -2003»;

• Second SPIE International Symposium on Fluctuations and Noise, Maspalomas, Spain (2004);

• 1st General Assembly of the European Geosciences Union, Nonlinear Processes m Geophysics, Nice, France (2004).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 31 печатной работе (список публикаций приведен в конце автореферата).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех частей, разделенных на 10 глав, и заключения. Текст содержит 264 страницы машинописного текста, в том числе 52 рисунка. Каждая часть заканчивается формулировкой основных результатов. Библиография включает 133 наименования.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ СОДЕРЖАНИЯ

Во Введении дан краткий обзор литературы по шумовому воздействию на нелинейные и хаотические бифуркационные системы. К числу эффектов, вызванных шумами, относятся, в частности, бифуркационные переходы, индуцированные шумами; изменение статистических характеристик хаотических систем (корреляционные функции, ляпуновские показатели и др.); формирование областей притяжения устойчивых постбифуркационных состояний под воздействием шумов; шумозависимый гистерезис; предсказуемость постбифуркационных состояний. Одним из ярких примеров указанного типа является эффект стохастического резонанса''8. На основании анализа опубликованных по данной проблеме работ определены основные цели исследований и обоснована актуальность темы диссертации. Кроме того, во Введении указана научная новизна полученных результатов, сформулированы положения, выносимые на защиту, и приведен краткий обзор содержания работы.

Первая часть диссертации посвящена развитию нелинейной теории флуктуации для систем, испытывающих квазистационарные и динамические бифуркации в присутствии шумов. В основном первая часть посвящена исследованиям предбифуркационных флуктуации.

В физике широко известно явление предгенерационного (или преосцилля-ционного) усиления шума, наблюдаемое как в радиофизических, так и в оптических системах9. Явление предгенерационного усиления шума является частным случаем более общего явления, которое можно назвать предбифуркацион-ным усилением шума. При приближении к критическим значениям бифуркационного параметра может происходить усиление слабых сигналов, обусловленное уменьшением (вплоть до обращения в нуль в критической точке) декремента затухания. Явление предбифуркационного усиления слабых сигналов сопровождается усилением слабых шумов, как это было проанализировано в рамках линейного приближения в работе К. Wiesenfeld и Pedersen10, посвященной ана-

' Анищенко В С , Нейман А Б Мосс Ф , Шиманский - Гайер Л , УФН, 1999, 169( 1), 7-38

8 Volkov E I , Ullner E , Zaikm A A , Kurths J , Phys Rev E. 2003, 68, 061112(8)

9 Ахманов С А, Дьяков Ю Е , Чиркин А С Введение в статистическую радиофизику и оптику Москва, Наука 1981

111 Wiesenfeld К , Pedersen N F , Phys Rev A, 1987, 36 (3), 1440-1444

лизу «шумовых предвестников» нелинейных неустойчивостей. Линейная теория полностью игнорирует нелинейные эффекты и потому предсказывает неограниченный рост флуктуаций при приближении к точке бифуркации. Между тем, эксперименты с полупроводниковым лазером, испытывающим бифуркации удвоения периода", и эксперименты с нелинейно абсорбирующей средой12 демонстрируют ограниченную интенсивность флуктуаций в окрестности бифуркационного порога.

Автором диссертации впервые проведен нелинейный анализ предбифурка-ционного усиления шума. Важным новым результатом явились оценки дисперсии флуктуаций в нелинейном режиме, а именно в режиме насыщения вблизи порога бифуркации удвоения периода и бифуркации спонтанного нарушения симметрии, приведенные в публикации [10]. Рассмотрение проводилось на примере двух систем: дискретной нелинейной системы, описываемой квадратичным отображением, и нелинейного осциллятора, описываемого дифференциальным уравнением.

Кроме того, первая часть диссертации содержит описание обнаруженного автором нового явления предбифуркационного роста времени корреляции флуктуационного процесса [11]. Автору удалось не только построить линейную теорию, но и оценить нелинейное насыщение времени корреляций в непосредственной близости к точке бифуркации.

Первая часть диссертации состоит из четырех глав.

Первая глава посвящена исследованию явления предбифуркационного усиления шума в нелинейных системах, испытывающих бифуркации удвоения периода, описанного в публикации [6]. Общую характеристику явления пред-бифуркационного усиления шума иллюстрирует рис. 1.

Рассмотрение проведено на примере зашумленных дискретных систем (отображений) xetl = F(xn)+fn. Исследовался отклик системы <fn =хп —х{/л) на флуктуационное воздействие , где - устойчивое состояние равновесия,

а - зашумленное значение. Воздействующий на систему шум полагался аддитивным, гауссовым и дельта - коррелированным.

'' Н Lamela, S Perez, and G Caipmtero, Optics Letters, 2001, 26 (2), 69-71 i:J Garcia-Ojalvo, R Roy, Phys Lett A, 1996, 224(1-2). 51-56

Флуктуации описываются отображением

£«,=;£+*£+-+/.. (1)

Нелинейные эффекты начинают играть заметную роль тогда, когда вклады линейного и квадратичного членов в отображении сравниваются по величине. Это позволяет установить границу применимости линейной теории: нелинейные эффекты вступают в игру в окрестности бифуркационной точки. Показано, что размер такой окрестности пропорционален среднеквадратичному значению шума <7{ . В первой главе получены аналитические оценки для дисперсии флуктуаций как на удалении от точки бифуркации (линейный режим), так и в непосредственной близости к порогу бифуркаций (нелинейный режим).

ствии шума со среднеквадратичным значением ст/ = 5 7 10"1 В окрестности точки бифуркации удвоения периода /лс наблюдается предбифуркационное усиление шума

Оценки в линейном режиме согласуются с результатами

Нелинейные же оценки (эффект насыщения) получены автором диссертации впервые.

Полученные в работе теоретические оценки хорошо согласуются с данными численного эксперимента, которые представлены на рис. 2, где показана зависимость дисперсии флуктуаций а\ от пара ма=т1р|а|, характеризующего близость к бифуркационному порогу = 1 Вдали от бифуркационного порога, где можно воспользоваться линейным приближением, дисперсия вынужденных флуктуаций пропорциональна

дисперсии шумового воздействия . Согласно линейной

оценке, дисперсия вынужденных флуктуаций обращается в бесконечность

при приближении к бифуркационному порогу. Нелинейная же теория предсказывает насыщение флуктуаций на уровне значения, пропорционального среднеквадратичному значению шумовой силы

Стоит отметить, что предложенный подход может быть использован также для анализа насыщения предгенерационного шума, который предшествует началу генерации в автоколебательных системах в радиофизике, акустике, оптике и механике [25, 27].

В первой главе приведены также оценки дисперсии «постбифуркационных» флуктуаций и по-

Рис 2 Нелинейное насыщение предбифурка-ционного усиления шума для бифуркации удвоения периода в квадратичном отображении F(x) = /.i-x~, <т;; = 108 - дисперсия внешнего

шума, |f|=l- вторая производная функции

F(x)

казано, что по мере удаления от точки бифуркации линейная теория вновь вступает в силу. В этом случае дисперсия флуктуаций <г| убывает обратно пропорционально удаленности от бифуркационного порога V — ц — (рис. 1).

Кроме того, оценки времени установления флуктуации п,гапз, приведенные в первой главе, показали, что вдали от бифуркационного порога время составляет единицы шагов. В непосредственной же близости к нижний предел времени установления флуктуаций оценивается как величина, обратно пропорциональная среднеквадратичному значению шумовой силы сгг . Например, при уровне шума <7Г = 10"3 для оценки установившейся дисперсии флуктуа-ций требуется взять выборку длительностью не менее тысячи итераций.

Вторая глава, основанная на публикации [11], посвящена анализу обнаруженного автором диссертации нового флуктуационного явления - предби-фуркационного роста времени корреляции флуктуационного процесса, который заканчивается насыщением непосредственно вблизи бифуркационного порога. Анализ явления проведен на примере бифуркации удвоения периода в системе, описываемой зашумленным нелинейным отображением. Во второй главе развита линейная теория явления и предложены нелинейные оценки, описывающие насыщение времени корреляций в непосредственной близости к точке бифуркации.

В рамках линейной теории время корреляции обратно пропорционально параметру , характеризующему близость к бифуркационному порогу.

Учет нелинейных членов, ото-

1Е-6 1Е-5 1Е-4 1Е-3 1Е-2 1Е-1 1Е+0

бражения (1) показывает, что в слу-

Рис. 3. Рост и насыщение времени корреляции в квадратичном отображении чае а < атт ос а( время корреляции

достигнет насыщения на уровне, об-

ратно пропорциональном интенсивности шумового воздействия оу . Явление

предбифуркационнаго роста и насыщения времени корреляции проиллюстрировано результатами численного моделирования (рис. 3). Крестиками показаны результаты численного эксперимента, полученные из условия, что нормированная корреляционная функция флуктуационного процесса

спадает до уровня 0.5. Теоретическая оценка времени корреляции кс (показана штриховой линией на рис. 3) удовлетворительно согласуется с результатами численного моделирования.

В третьей главе рассмотрено явление предбифуркационного усиления шума в нелинейном осцилляторе при бифуркации удвоения числа устойчивых состояний, являющейся частным случаем бифуркации спонтанного нарушения симметрии, описание которого приведено в публикации [17]. Исследования

проводились на модели нелинейного осниллятот

агх „ ¿х эи(х) ч Ж Л дх

(2)

здесь у - показатель затухания, _/(/) - шумовое воздействие на систему, а Щх) -

потенциальная энергия. Потенциальный рельеф и(х) трансформировался от моностабильного к симметричному бистабильному по закону

а действующий на систему шум полагался гауссовым и коротко-

коррелированным (время корреляции шумового воздействия мало по сравнению с характерным периодом осциллятора).

Исследована зависимость дисперсии флуктуаций от режима системы и скорости приближения к бифуркационному порогу. В этой главе показано, что в линейном режиме (вдали от бифуркационного порога) дисперсия вынужденных флуктуации пропорциональна дисперсии шума о"^ . Однако оценка, основанная на линейной теории, в непосредственной окрестности точки бифуркации теряет силу, поскольку при неограниченном росте флуктуаций в игру всту-

пают нелинейные эффекты. Нелинейными эффектами можно пренебречь, пока слагаемое четвертой степени в (2) мало по сравнению с квадратичным слагаемым:

Вблизи точки бифуркации дисперсия вынужденных флуктуаций сг* в режиме насыщения достигнет уровня, пропорционального среднеквадратичному значению шумовой силы (Ту

Аналитические оценки как линейного роста, так и нелинейного насыщения флуктуаций удовлетворительно согласуются с результатами численного моделирования, представленными на рис. 4.

В третьей главе показано также, что предбифуркационное усиление шума сильнее выражено при медленном прохождении системы через бифуркационную точку. При быстром же бифуркационном переходе эффект предбифурка-ционного усиления шума ослабляется, система становится менее чувствительной к воздействию шумов, а постбифуркационные состояния - более предсказуемыми (явление нарушения вероятностной симметрии).

Теоретическое рассмотрение флуктуационных процессов в первой части диссертации проведено на примере бифуркации удвоения периода в дискретных системах (главы 1, 2) и бифуркации спонтанного нарушения симметрии (глава 3), но обнаруженные закономерности имеют общий характер и справедливы для других типов бифуркаций, как это проиллюстрировано результатами численного моделирования на примере бифуркации скачка [8].

1Е-в 1Е-7 1Е-« 1Е-5 1Е-4 1Е-3 1Е-2 1Е-1 1Е*0 1Е+1 1Е+2

Рис. 4. Предбифуркационное усиление шума в нелинейном осцилляторе (2) при бифуркации спонтанного нарушения симметрии (О7=10'8, гг =3.5- 10"3, у =0.1, А=0.5).

Заметное усиление дисперсии флуктуаций вблизи порога бифуркации может быть положено в основу метода измерения слабых шумов в нелинейных системах [12, 26, 31], описание которого приведено в четвертой главе. Предлагаемый подход подразумевает сравнение величины максимальной дисперсии флуктуации непосредственно в точке бифуркационного перехода

(в режиме насыщения) с величиной дисперсии флуктуаций вдали от

точки бифуркации. Отношение этих величин обратно пропорционально среднеквадратичному значению шума в системе.

В качестве объектов измерения могут выступать неавтономные диссипа-тивные осцилляторы, автогенераторы с запаздывающей обратной связью, «радиофизические маятники», а также другие радиофизические и оптические13 системы, в которых возможны бифуркационные переходы.

Вторая часть диссертации посвящена исследованию динамических бифуркаций, т.е. бифуркаций, наблюдаемых в системах с изменяющимся во времени управляющим параметром. Интерес к проблеме динамических бифуркаций возник в радиофизической литературе в 80-е годы в связи с появившимися экспериментальными работами, в которых наблюдались бифуркации при пилообразном изменении управляющего параметра14. Основное внимание в то время было уделено динамическим аспектам проблемы15'16, тогда как роль шумов оказалась в тени. В частности, совершенно неизученными оказались различные аспекты влияния шума на флуктуационные процессы в системах с динамическими бифуркациями в нелинейном осцилляторе, мультимодальном отображении, системе связанных осцилляторов. Слабо изучены свойства систем, переходящих через зону хаоса в окно периодичности и явление шумозависимого гистерезиса при таком переходе. Исследования автора диссертации восполняют этот пробел [14, 15, 29].

Во второй части диссертации содержится описание явления шумозависи-мого гистерезиса и результаты анализа флуктуационных явлений при динами" Золотоверх И И , Кравцов Н В , Кравцов Н Н , Ларионцев Е Г , Макаров А А, Квантовая электроника, 1997

24 (7). 638-642 14 Moms В , Moss F Phys Lett A, 1986, 118, 117-121 " Baesens С Pliysica-D, 1991, 53 ( 2-4), 319-376

ческих бифуркациях в различных нелинейных системах. Анализ проводился на примере нелинейных осцилляторов испытывающих бифуркации удвоения периода и спонтанного нарушения симметрии, скачек на бифуркационной диаграмме. Кроме того, автором впервые исследовалась система, проходящая через каскад бифуркаций удвоения периода и зону хаоса в окно периодичности.

Определенное внимание во второй части уделено вопросам использования динамических бифуркаций для передачи сообщений. Приведен анализ флук-туационных характеристик систем передачи информации путем модуляции параметров отображения, генерирующего хаотические последовательности [9].

Вторая часть диссертации состоит из трех глав.

Пятая глава посвящена явлению шумозависимого гистерезиса в нелинейных осцилляторах, которое проявляется в том, что при увеличении управляющего параметра во времени после прохождения бифуркационной точки система достаточно долго находится на неустойчивой ветви (см. Рис. 5) и лишь через

некоторое время сравнительно быстро переходит в устойчивое положение 1 Похожий процесс происходит и при обратном переходе 2, т.е. при уменьшении управляющего параметра Периодическое изменение управляющего параметра приводит к тому, что система задерживается в окрестности прежних устойчивых точек как при прямом, так и при обратном ходе При этом явление затягива-ния17 приводит к появлению гистерезис-ной петли Это явление экспериментально наблюдалось в радиофизических системах, например, в системе с лазером, описанной в работе Р Mandel18

" Benoit E (ed) Dynamical bifurcations Lecture Notes in Mathematics 1993 Springer - Verlag Berlin

11 Neishtadt A I Simo С Treschev D V On stability loss delay for a periodic trajectory Nonlinear Dynamical

Systems and Chaos Boston Birkhauser 1996 253 278

14MandelP Fmeux 1 Phys Rev Lett 1984 A S3 1818 1822

Рис 5 Шумозависимый гистерезис в нелинейном осцилляторе (2) при прямом и «обратном» прохождении через точку бифуркации со скоростями 1)^=3 и 2) р—3, 3) результат воздействия шума

интенсивностью о\=\ 87 107 при ¡3= 3

Явление шумозависимого гистерезиса на примере бифуркации спонтанного нарушения симметрии, представленное на рис. 5, получено автором диссертации впервые.

Наличие шумов в бифуркационной системе сокращает время пребывания возле неустойчивой ветви (см. рис. 5), поскольку шумовое воздействие ускоряет удаление траекторий от неустойчивого положения (это явление напоминает ускорение фазовых переходов под действием шумовых факторов, которые сокращают время пребывания возле неустойчивых - метастабильных состояний).

Пятая глава включает в себя результаты исследований явления шумозави-симого гистерезиса, возникающего при прохождении через каскад бифуркаций удвоения периода и зону хаоса в окно периодичности. В работе С. Ваевеш15 показано, что время затягивания зависит от ранга бифуркаций (удвоение периода, учетверения периода и т.д.), сокращаясь при каждой следующей бифуркации. При попадании в зону хаоса время затягивания стремится к нулю. Автором диссертации показано, что после прохождения зоны хаоса при попадании в окно периодичности явление затягивания проявляется вновь [7]. Вследствие этого при увеличении управляющего параметра границы окна периодичности сдвигаются в сторону больших значений управляющего параметра и, наоборот, ? сторону меньших значений управляющего параметра при его уменьшении. Как показало численное моделирование, воздействие шума приводит к расширению окна периодичности.

В пятой главе показано, что явление гистерезиса является универсальным свойством динамических бифуркаций, оно наблюдается не только при бифуркации удвоения периода, но также и при бифуркации спонтанного нарушения симметрии, и при бифуркации скачка [8].

Высокая чувствительность параметров петли гистерезиса и времени пребывания системы в окрестности неустойчивой ветви к различным возмущениям может служить основой измерения шумов в радиофизических системах [4]. В пятой главе предлагаются два метода измерения слабых внутренних шумов: по размеру петли гистерезиса и по времени пребывания системы в окрестности

неустойчивой ветви. В работе представлены примеры калибровочных графиков для систем с различными типами бифуркаций, определяющих дисперсию шума по измеренным параметрам шумозависимого гистерезиса [4, 29].

В шестой главе исследуется еще один актуальный аспект воздействия шумов на хаотические системы - флуктуационные характеристики систем передачи информации, основанных на модуляции параметров хаотических последовательностей. В настоящее время проблема передачи информации при помощи хаотических сигналов представляет весьма значительный интерес, как это следует из книги А. С. Дмитриева и А. И. Панаса19, в которой содержится подробный анализ информационных аспектов использования хаотических сигналов для передачи сообщений. Наибольшее внимание в мировой литературе сейчас уделяется системам с синхронизацией. Между тем, значительный интерес представляет другой метод передачи информации, предложенный в работе В. С. Анищенко и А. Н. Павлова20 и основанный на решении обратных задач нелинейной динамики. Этот метод предполагает восстановление первоначального (на передающем конце) временного хода управляющего параметра хаотической системы по измеренным значениям хаотических сигналов на приемном конце. Несмотря на актуальность проблемы, флуктуационные характеристики систем передачи информации, использующих восстановление управляющих параметров, анализу еще не подвергались, и автор диссертации восполняет этот пробел [9, 16].

В шестой главе показано, что в хаотических системах, использующих для передачи сообщений модуляцию управляющего параметра, дисперсия погрешности определения информационного параметра может быть в несколько раз больше, чем при традиционных методах передачи сигналов, поскольку флуктуации измеряемого информационного параметра зависят от флуктуаций сигнала в смежных отсчетах.

В седьмой главе рассматривается многоканальная схема передачи инфор-

" Дмитриев А С Панас А И Динамический хаос новые носители информации для систем связи Москва Издательство Физико-математической литературы, 2002, 252 с о Anischenko V S Pavlov A N Phys Rev E 1998 57(2) 2455-2457

мации с использованием модуляции параметров хаотических последовательностей. Показано, что в многоканальной системе увеличение числа информационных каналов приводит к снижению помехоустойчивости как за счет сложения шумовых компонент соседних отсчетов, так и за счет экспоненциального роста погрешности восстановления параметров хаотических систем в пределах М-тактовой посылки.

Полученные автором оценки флуктуационных характеристик сигнала могут быть использованы при оценке качества и надежности передачи информации путем модуляции параметров хаотических отображений, а также при выборе алгоритма внесения информации в хаотическую несущую [18,30].

Третья часть диссертации посвящена проблеме предсказуемости поведения динамической системы за порогом бифуркаций [2, 19]. Отметим, что зависимость вероятности попадания в конкретное постбифуркационное состояние от соотношения флуктуационных и динамических факторов является важным и недостаточно исследованным аспектом проблемы динамических бифуркаций, особенно если речь идет о системах, которые могут находиться в одном из двух вырожденных энергетически равноправных устойчивых состояний, отличающихся друг от друга, скажем, фазой.

Особенностью квазистационарных бифуркационных переходов в таких системах является вероятностная симметрия постбифуркационных состояний, которая характерна, например, для бифуркаций спонтанного нарушения симметрии и бифуркации удвоения периода.

В противоположном случае, когда управляющий параметр изменяется во времени, такие системы приходят ко вполне определенному постбифуркационному состоянию, зависящему от начальных условий, чем они принципиально отличаются от квазистатических систем, где конечное состояние определяется шумом и подчиняется закону случая. При уменьшении скорости изменения управляющего параметра происходит плавный переход от детерминированного к стохастическому выбору конечного состояния (периодического режима).

В третьей части диссертации показано, что, меняя соотношение между

уровнем шумов в системе и скоростью изменения управляющего па-

раметра можно проследить непрерывный переход от случая вероятностной симметрии постбифуркационных состояний (стохастический сценарий бифуркационного перехода), к случаю сильно нарушенной вероятностной симметрии попадания в постбифуркационные состояния (детерминированный сценарий) [1,24].

Автором установлено, что структура границы между детерминированным и стохастическим сценариями бифуркационного перехода тесно связана с конфигурацией бассейнов притяжения периодических режимов, а также с чувствительностью их границ к шумовым воздействиям [3, 21, 22]. Вместо эмпирических зависимостей, описанных в предыдущих работах, автором найдена адекватная показательная зависимость критического уровня шума, выравнивающего вероятности конечных состояний, от скорости бифуркационного перехода с учетом влияния начальных условий [7]. В диссертации предложена теоретическая оценка, основанная на физических соображениях, которая описывает всю совокупность данных. Эта оценка находится в хорошем согласии с результатами численного моделирования предыдущих работ [13, 20, 23]. Третья часть диссертации состоит из трех глав.

Глава восьмая посвящена анализу взаимосвязи формирования бассейнов притяжения постбифуркационных состояний (аттракторов) при динамических бифуркациях удвоения периода с предсказуемостью постбифуркационного состояния системы. Рассмотрение проводилось на примере дискретного отображения - равномерно распределенный белый шум, а - управляющий параметр, изменяющийся от начального значения до конечной величины г/ по кусочно-линейному закону: гя=г0+ х(п - 1) . Скорость бифуркационного перехода ,5 можно характеризовать как производной

так и непосредственно числом шагов необходимых для преодоления ин-

тервала Аг = /у- Го-

Будем рассматривать окрестность первой точки бифуркации удвоения периода гс] , поэтому значение г0 примем ниже первого бифуркационного значения /"с] . По достижению критического значения г = гс1 происходит первая бифуркация удвоения периода. При г > гл устойчивые точки х\г) становятся неустойчивыми, а система переходит в один из двух возможных устойчивых режимов колебаний периода 2, которые отличаются друг от друга фазой. Условимся обозначать конечные состояния или режимы последовательностями:

хп' = {х\Х2х1хг—}~ режим 1, = {х2х1х2х]...}- режим 2.

При х> х' система приходит в режим 1, а при х <х - к режиму 2 (рис.ба.). Необходимо отметить, что после достижения управляющим параметром конечного значения г = гу- за N шагов гс(о^ою.^гж^т с т в у е т второй точке бифуркации), система совершает ещё достаточное количество дополнительных шагов для того, чтобы завершился переходный процесс.

В отсутствии шума конечные состояния полностью определяются начальными значениями . Бассейны притяжения конечных состояний 1 и 2 показаны на рис. 66. Этот график был получен путем численного решения логистического отображения хп+1 = гп(1 — хп), при г0 =2.8, /у =3.2,N=10. Сплошными и штриховыми линиями показана вероятность Р попадания в режимы 1 и 2 в отсутствии шумов. Увеличение числа шагов N (или уменьшение скорости перехода я) приводит к дроблению бассейнов на периферии области начальных значений х0 . Действие шумов приводит к размыванию резких границ бассейнов притяжения и выравниванию вероятностей попадания в определенное постбифуркационное состояние. Как видно из графика на рис. бв, на границах зон притяжения вероятности выравниваются гораздо быстрее, чем в центре бассейнов. Для выравнивания вероятностей по всей оси начальных значений требуется существенно больший шум, значение которого мы назовем критическим При критическом уровне шума конечное состояние описанной системы становится непредсказуемым.

С помощью теории возмущений автором проанализирована динамика разрушения структуры зон притяжения под воздействием шумов. В восьмой главе приведены оценки критического уровня шума (оу)с, выравнивающего

вероятности постбифуркационных состояний.

Оценки показывают, что уровень шума зависит от скорости би-

фуркационного перехода или, что то же самое, от числа шагов а также от амплитуды колебаний вблизи бифуркационного порога и от среднего значения усиления флуктуаций на одну итерацию, зависящего от начальных значений у(х0):

АХ

Ю,

/'с

Фо)

(4)

Рис 6а- логистическое отображение =г„0- О ПРИ б- границы бас-

сейнов притяжения при N=10 и воздействии шума интенсивности ег(=2 8 101, в -теоретическая оценка критического значения шума для N=10

Вид этой зависимости для фиксированного числа шагов представлен на рис. 6в. Горизонтальная штриховая линия 1 соответствует значению шума на графике б), при котором зоны притяжения только начинают размываться, а линия 2 соответствует значению шума, выравнивающего вероятности на всей оси начальных значений. Значения шума ниже кривой отвечают детерминированному сценарию бифуркационного перехода, тогда как область выше кривой соответствует стохастическому сценарию.

Полученная оценка, основанная на физических соображениях, описывает всю совокупность данных и находится в хорошем согласии с результатами численного моделирования и экспериментов предыдущих работ

Необходимо отметить, что явление нарушения вероятностной симметрии было исследовано экспериментально на примерах неавтономного диссипативного осциллятора и автоколебательной кольцевой системы типа генератора с запаздывающей обратной связью5.

В девятой главе рассматривается случай перехода зашумленной динамической системы через зону хаоса в режим периодических колебаний [7, 28]. Стартуя от значения г0, система проходит сначала через каскад бифуркаций удвоения периода который простирается до критического значения =3.659, затем пересекает зону хаоса и, наконец, попадает в окно периодических режимов (периода 3). В отсутствии шума в зависимости от начальных значений х0 система попадает в один из трех режимов, которые отличаются друг от друга "начальной фазой". Определение бассейнов притяжения конечных режимов периода 3 сводится к нахождению множества начальных значений

Хд\1 = 1,2,3, приводящих к режимам 1, 2 или 3. Задача определения множеств не имеет аналитического решения и поэтому решается путем численного моделирования. Как показали результаты численного моделирования, на оси начальных значений существуют протяженные устойчивые области, покидая которые система со 100% вероятностью попадает в один из режимов х^ и

. Протяженные устойчивые области притяжения перемежаются короткими интервалами длиной и менее, в которых весьма малые перемещения по оси Хд приводят к изменению постбифуркационного состояния. С увеличением количества шагов N т.е. с уменьшением скорости ,5 изменения управляющего параметра г, структура бассейнов притяжения становится все более тонкой. В ходе численного эксперимента было обнаружено, что время переходного процесса, т.е. время установления устойчивого цикла периода 3, существенно зависит от начальных значений.

Полученная в главе 8 оценка (4) для первой бифуркации удвоения периода модифицируется в главе 9 для случая перехода через каскад бифуркаций и зону хаоса в окно периодических режимов. На основании полученной оценки, путем численного моделирования, определена граничная область, разделяющая де-

терминированный и стохастический сценарии перехода зашумленной динамической системы через область хаоса.

Десятая глава, основанная на публикации [5], содержит анализ формирования картины бассейнов притяжения постбифуркационных состояний двух связанных осцилляторов, описываемых квадратичными отображениями:

=^ + (к-\\хп+/п)2-ку1,

Здесь х„, у„— динамические переменный,— коэффициент связи, Ь — управляющий параметр, /„(!§,- равномерно распределенные некоррелированные независимые шумовые процессы.

Экспериментальная установка подобной системы описана в работе где представлена система двух связанных Л£-ДИОД цепей, синфаз-но возбуждаемых внешней силой. Аналогом коэффициента связи служит проводимость резистора связи, а управляющим параметром - амплитуда внешнего воздействия.

Квазистатическая система связных отображений имеет четыре постбифуркационных состояния (рис. 7). Состояния ¿и и г22 находятся в плоскости синфазных колебаний (кружки), а и — в плоскости противофазных (квадратики). На бифуркационной диаграмме (рис. 7а) вблизи бифуркационного значения параметра ¿с заметно запаздывание противофазного цикла, вызванное наличием связи в системе. Бассейны притяжения синфазного и противофазного аттракторов на плоскости начальных значений при постоянном значении параметра состоят из почти прямоугольных зон, которые уменьшаются и фрактализуются с приближением к границе области существования конечных решений.

Увеличение связи между уравнениями в системе (5) приводит к полному исчезновению противофазного цикла на интервале (рис. 7б), при этом изменяется форма бассейнов притяжения и конфигурация областей существования синфазных и противофазных аттракторов.

" МкЫпа Т.ДоЬтоЬ Т., НябЫ Т., Ат I РЬуэ., 1985, 53(4), 332-334.

Рис 7 Бифуркационные диаграммы (верхний ряд) и структура бассейнов притяжения конечных состояний Гц,

и г-! при постоянном значении параметра ¿=1 (нижний ряд) системы связанных осцилляторов при значении коэффициентов связи к= О ОI (а), 06 (6) и к=0 5 (е)

При дальнейшем увеличении связи вырождение синфазных состояний в концентрические окружности сопровождается максимальным увеличением размера области существования конечных решений (рис. 7в).

Анализ динамических бифуркаций системы (5), показал, что периодическое изменение во времени управляющего параметра Ь приводит к появлению гистерезисной петли (см. главу 5) При динамических бифуркациях меняются как размеры бассейнов притяжения, что соответствует перераспределению вероятностей попадания в различные конечные состояния, так и размеры всей области существования конечных решений.

В результате действия шума на систему связанных осцилляторов четкие границы бассейнов притяжения размываются, перераспределяя вероятность между всеми постбифуркационными состояниями. При достижении шумом критического значения все возможные состояния системы становятся равновероятными.

В Заключении сформулированы основные результаты работы

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В рамках развитого в работе нового научного направления статистической радиофизики - теории флуктуационных процессов при квазистационарных и динамических бифуркационных переходах, получены следующие научные результаты.

По проблеме предбифуркационных флуктуации:

• Построена нелинейная теория предбифуркационного усиления шума, которая описывает нелинейное насыщение флуктуаций в непосредственной близости к точке бифуркации. Показано, что в линейном режиме (вдали от бифуркационного порога) интенсивность флуктуаций пропорциональна дисперсии шума. По мере приближения к порогу бифуркации дисперсия вынужденных флуктуаций растет и в сильно нелинейном режиме (в непосредственной близости к точке бифуркации) достигает насыщения на уровне значения пропорционального среднеквадратичному значению шумовой силы. Рассмотрение проведено на примере бифуркации удвоения периода и на примере нелинейного осциллятора, испытывающего бифуркацию спонтанного нарушения симметрии. Отмечено, что обнаруженные закономерности имеют общий характер.

• Показано, что предбифуркационное усиление шума наиболее сильно выражено при медленном прохождении системы через бифуркационную точку, тогда как при быстрых бифуркационных переходах эффект усиления фактически нивелируется.

• Обнаружено явление насыщения времени корреляции флуктуации при приближении к бифуркационному порогу. Показано, что в линейной аппроксимации время корреляции устремляется в бесконечность, тогда как развитая в работе нелинейная теория предсказывает насыщение времени корреляции на уровне, обратно пропорциональном среднеквадратичному значению шума. Показано, что теоретические оценки удовлетворительно согласуются с результатами численного моделирования. Отмечено, что установленные закономерности присущи и другим типам бифуркаций.

• Получены оценки времени установления стационарных флуктуаций, показывающие, что время установления обратно пропорционально среднеквадратичному значению флуктуационной силы.

• Предложен метод измерения интенсивности слабых шумов в нелинейных системах, основанный на явлении предбифуркационного усиления флуктуации.

По проблеме шумозависимого гистерезиса и флуктуационных явлений при динамических бифуркациях:

• Показано, что явление шумозависимого гистерезиса является универсальным свойством динамических бифуркаций, оно возникает при бифуркациях удвоения периода, при бифуркации спонтанного нарушения симметрии, при бифуркации скачка и при переходе нелинейной системы через каскад бифуркаций удвоения периода и через область развитого хаоса в окно периодических режимов. Установлены основные закономерности явления, в частности, рост размеров гистерезисной петли при уменьшении шума.

• Предложены два метода измерения шумов в нелинейных бифуркационных системах - по времени пребывания системы в окрестности неустойчивой ветви и по размеру петли гистерезиса. Такие методы перспективны для измерения весьма слабых шумов в различных бифуркационных системах, например, в лазерах и полупроводниковых устройствах. На примере дискретных отображений для обоих методов получены калибровочные кривые.

• Проанализированы флуктуационные характеристики способа передачи информации при помощи хаотических сигналов с модулируемыми параметрами и показано, что этот способ имеет определенное преимущество: он демонстрирует высокую чувствительность к виду нелинейного отображения, что затрудняет несанкционированный доступ к информации. Показано, что при большой длительности посылки многоканальная система сопоставима с одно-канальной по числу передаваемых значений параметра на один отсчет, хотя по динамическому диапазону и по помехоустойчивости показатели многоканальной схемы заметно уступают показателям одноканальной схемы.

По проблеме 'предсказуемости поведения динамической системы за порогом бифуркаций

• Для систем, в которых возможно существование нескольких энергетически равновероятных режимов, показано, что при быстрых бифуркационных переходах наблюдается предсказуемый ход процессов за порогом бифуркации (детерминированный сценарий бифуркационного перехода), тогда как при медленных переходах имеет место равновероятные исходы (стохастический сценарий).

• Предложена простая теоретическая модель для определения граничной области, разделяющей детерминированный и стохастический сценарии бифуркационного перехода, которая учитывает не только влияние шума и скорость изменения управляющего параметра, но и зависимость от начальных условий и от характеристик бифуркационной системы. Эта модель переходной области между динамическим и стохастическим сценариями бифуркационного перехода охватывает все известные до сих пор частные случаи.

• Показано, что при определенных условиях возможен предсказуемый переход к заданному периодическому режиму даже при пересечении области развитого хаоса.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

Статьи в научных журналах

1. О. Я. Бутковский, Дж. С. Браш, Ю. А. Кравцов, Е. Д. Суровяткина, Нарушение симметрии при быстрых бифуркационных переходах, ЖЭТФ, 1996, 109, 2201-2207.

English translation:

О. Ya. Butkovskn, J. S. Brush, Yu. A. Kravtsov, E. D. Surovyatkma, Probabilistic symmetry breaking under fast bifucational transitions, JETP, 1996, 82 (6), 11861189.

2. О Л. Аносов, О Я Бутковский, Ю. А. Кравцов, Е. Д. Суровяткина, Запаздывающие корреляции между шумом и ошибкой прогноза в хаотических системах, Радиотехника и электроника, 1996, 41 (9), 1116-1119.

English translation:

L. A. Anosov, О Ya Butkovskn, Yu A. Kravtsov, E. D. Surovyatkma, Lagging correlations between noise and prediction errors in chaotic systems. J Comm. Technol. Electron., 1996, 41 (11), 1002-1004. 3 О. Я. Бутковский, Ю. А Кравцов, Е Д. Суровяткина, Структура зон притяжения конечных состояний при динамических бифуркациях удвоения периода, ЖЭТФ, 1998, ИЗ (1), 369-380. English translation:

О Ya Butkovskn, Yu. A Kravtsov, E. D. Surovyatkma, The structure of the basins of attraction for final states of doubling period bifurcation systems with time varying parameters, JETP, 1998, 86 (1), 206-212.

4. О. Я. Бутковский, Ю. А. Кравцов, Е Д. Суровяткина, Использование гистерезиса в бифуркационных системах для измерения шума, ЖТФ, 1997, 9, 128131.

English translation:

0. Ya. Butkovskn, Yu. A. Kravtsov, E. D. Surovyatkma, Use of hysteresis in bifurcation systems for noise measurement. Techn. Physics, 1997, 42,1099-2002.

5. O. Ya. Butkovskn, R. N. Ivanov, Yu. A. Kravtsov and E. D. Surovyatkma,

1. A. Rychka, Attraction Basins of Final States of Coupled System with Variable Parameters Under Period Doubling Bifurcations, Physics of Vibrations, 2001, 9(3), 156-162.

6. Ю. А. Кравцов, С. Г. Бильчинская, О. Я. Бутковский, И. А. Рычка, Е. Д. Суровяткина, Предбифуркационное усиление шума в нелинейных системах, ЖЭТФ, 2001,120 (12), 1527-1534.

English translation:

Yu. A. Kravtsov , S. G. Bilchinskaya, O. Ya. Butkovskn ,1. A. Rychka, and E. D. Surovyatkma, Prebifurcational Noise Rise in Nonlinear Systems, JETP, 2001, 93(6), 1323-1329.

7. С. Г. Бильчинская, О. Я. Бутковский, Ю. А. Кравцов, И. А. Рычка, Е. Д. Суровяткина, Нарушение вероятностной симметрии периодических режимов при быстром прохождении через зону хаоса в окно прозрачности, ЖЭТФ, 2001,122 (7), 198-204.

English translation:

S. G. Bilchinskaya, O. Ya. Butkovskn , I A. Rychka, Yu. A. Kravtsov and E. D. Surovyatkina, Violation of the Probabilistic Symmetry of Periodic Regimes while Rapidly Passing though a Zone of Chaos into the Transparency Window, JETP, 2002,95(1), 175-180.

8. Yu. A. Kravtsov , O. Ya. Butkovskn, S. G. Bilchinskaya, E. D. Surovyatkina Peculiarities of Fast Bifurcation Transitions in Presence of Noise, Physics of Vibrations, 2002,10 (1), 54-59.

9. С. Г. Бильчинская, О. Я. Бутковский, М. В. Капранов, Ю. А. Кравцов, А. Г. Морозов, Е. Д. Суровяткина, Погрешности восстановления сигналов при передаче сообщений путем модуляции параметров хаотических последовательностей, Радиотехника и электроника, 2003, 48 (3), 318-327

English translation:

S. G. Bilchinskaya, О. Ya. Butkovskn, Yu A. Kravtsov, M. В Kapranov, A. Morozov, E. D. Surovyatkina, Signal Retrieval Errors in Data Transmission Using Parameters Modulation of Chaotic Sequences, J. Comm. Technol. Electron., 2003, 48 (3), 284-292.

10.Yu. A. Kravtsov, E. D. Surovyatkina, Nonlinear Saturation of Prebifurcation Noise Amplification, Physics Letters A, 2003, 319 (3-4), 348-351.

11 .E. D. Surovyatkina, Phenomenon of Prebifurcation Rise and Saturation of the Correlation Time, Physics Letters A, 2004, 329 (3), 169-172.

12.E. Surovyatkina, Measuring Weak Noise on Basis of Nonlinear Saturation of Prebifurcation Noise Amplification and the Noise-Dependent Hysteresis, Nonlinear Processes in Geophysics, 2004,12, 1-5.

Статьи в научных сборниках и препринтах

13. О. Я. Бутковский, Ю. А. Кравцов, Е. Д. Суровяткина, Зоны притяжения конечных состояний при динамических бифуркациях в присутствии шумов, Препринт ИКИ РАН, Москва, 1996, № 1953, 14 с.

14.0. Я. Бутковский, Ю.А.Кравцов, Е. Д. Суровяткина, Метод измерения внутренних шумов по размеру петли гистерезиса при динамических бифуркациях, Препринт ИКИ РАН, Москва, 1996, № 1952, 8 с.

15 Ю А. Кравцов, О Я Бутковский, С Г Бильчинская, Е Д. Суровяткина. Явление шумозависимого гистерезиса в бифуркационных системах с переменными параметрами, Сборник трудов посвященный памяти А. Н Малахова, 2000, 55-64.

16.С. Г. Бильчинская, Ю.А.Кравцов, Е.Д Суровяткина, Флуктуационные характеристики сигналов при передаче сообщений путем модуляции параметров хаотических последовательностей, Препринт ИКИ РАН, Москва, 2002, № 2072, 28 с.

17.Ю. А. Кравцов, С Г. Бильчинская, И. А. Рычка, Е. Д. Суровяткина, Предбифуркационное усиление шума в нелинейном осцилляторе при бифуркации удвоения числа устойчивых состояний равновесия, Препринт ИКИ РАН, Москва, 2002, № 2069, 21 с.

18.S. Berczynski, Yy A. Kravtsov, J. Pejas, E. D. Surovyatkma. Secure data transmission via modulation of the chaotic sequence parameters, in: Enhanced Methods in Computer Security, Biometnc and Artificial Intelligence Systems, Je. Pejas, A. Piegat, (Eds.), Springer, Berlin, 2004, XII, 128-134.

Труды научных конференций

19.L. A. Anosov, О. Ya. Butkovskn, Yu. A. Kravtsov, E. D. Surovyatkma, Predictable Nonlinear Dynamics: Advances and Limitations, in: Chaotic, fractal and nonlinear signal processing, R. A. Katz (Ed), AIP Press, Wooldburg, NY, 1996,375,71-91.

20.E. D. Surovyatkma, S. V. Birukov, О Ya. Butkovskn, Derive Application to Nonlinear Dynamic Systems, Proceedings of the 2rd International Derive and TI-92 Conference, International Council for Computeralgebra, Ed. Barbel Barzel., Schloss Birhnghoven, July 2-6, 1996,483-487.

21.0. Ya. Butkovskn, Yu. A. Kravtsov, E. D. Surovyatkma, The structure of attractions basms in period doubling bifurcation systems with varying parameters, m: 5th International Specialist Workshop. Nonlinear Dynamics of Electronic Systems, Москва, June 26-27, 1997, 52-56.

22 E. D. Surovyatkma. Chaos investigation with DERIVE, Proceedings of the 3rd International Derive and TI-92 Conference, International Council for Computeralgebra, Gettysburg, USA, July 13-17, 1998, 156-160.

23.E. D. Surovyatkina, S. V. Birukov, Main Notions and Achievements of Modern Nonlinear Dynamics. Proceedings of the 4rd International Derive and TI-92 Conference, International Council for Computeralgebra, Liverpool John Moores University, UK, July 12-15, 2000, 110-115.

24.E. D. Surovyatkina, С G. Bilehinskaya; O. Ya. Butkovskn, A. V. Kiryukhin, Yu.A.Kravtsov, I. A. Rychka, Fast and slow bifurcation transitions in noisy nonlinear systems. Proceedings of the International conference dedicated to the 100th Anniversary of A. A. Andronov, Nizhny Novgorod, Russia July 2-6 (2001), Institute of Applied Physics, 2002, III, 297-302.

25.E. D. Surovyatkina, Phenomenon of predbifurcation noise enhancement: Linear and Nonlinear Analysis, in: Nonlinear Acoustics at the beginning of the 21st Century, Editors O. V. Rudenko, O. A. Sapozhnikov, Moscow, Russia, 2002, 1, 357-360.

26.Yu. A. Kravtsov, E. D. Surovyatkina, S. G. Bilehinskaya, I. A. Rychka. Phenomenon of Prebifurcational Noise Amplification as Diagnostic Instrument for Revealing Bifurcations in Plasma Systems, Proceedings of the International Conference on Plasma Research and Applications, Warsaw, September 9-12, 2003, Poland, 2003,243-246.

27.S. Berchmski, Yu. A. Kravtsov, E. D. Surovyatkina. Fluctuations amplification as a precursor of forecoming bifurcations in the physical systems, Proceedings of VIII Polish School ofthe Modal Analysis, AGH, Krakow, 1-2 Dec, 2003, Poland, 56-62

28.И. А. Рынка, Е. Д. Суровяткина. Бассейны притяжения и нарушение вероятностной симметрии периодических режимов при быстром прохождении через хаос в окно прозрачности. Материалы науч. школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2003», Саратов, Изд.-во ГосУНЦ «Колледж», 2003, 96-99.

29.С. Г. Бильчинская, Е. Д. Суровяткина, Шумозависимый гистерезис в системах, описываемых мультимодальными отображениями, Материалы науч. школы-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых -2003», Саратов, Изд.-во ГосУНЦ «Колледж», 2003, 92-95.

30 E Surovyatkina Fluctuation characteristics of signals transmitted by a chaotic sequence with modulated parameters Proceedings of SPIE, Second SPIE International Symposium on Fluctuations and Noise, Noise in Communication, Maspalomas, Gran Canana, Spain, 25 28 May, 2004, 5473, 191-201

31 E Surovyatkina, Possibility of measuring weak noise in nonlinear systems Proceedings of SPIE, Second SPIE International Symposium on Fluctuations and Noise, Noise in Complex Systems and Stochastic Dynamics II, Maspalomas, Gran Canana, Spain, 25-28 May, 2004, 5471 437- 444

055(02)2

Ротапринт ИКИ PAH Москва, 117997, Профсоюзная ул , 84/32

Подписано к печати 28 12 2004 г Заказ 1977 Формат 70x108/32 Тираж 100 1,3 уч -изд л

01-ty

! , г

2 7ФЕМА5 ; ^ 158

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Суровяткина, Елена Дмитриевна

ВВЕДЕНИЕ.

ЧАСТЬ I. ПРЕДБИФУРКАЦИОННЫЕ ФЛУКТУАЦИИ: РОСТ И НАСЫЩЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ ШУМА И ВРЕМЕНИ КОРРЕЛЯЦИИ.

Глава 1. Предбифуркационное усиление и насыщение шума в системах, описываемых нелинейными отображениями.

§1.1. Общая характеристика явления предбифуркационного усиления шума.

§ 1.2. Линейная теория.

§ 1.3. Оценки интенсивности флуктуаций вблизи порога бифуркации удвоения периода.

§ 1.4. Оценки флуктуации после прохождения точки бифуркации.

Ослабление эффекта усиления при быстрых бифуркационных ; переходах.

§ 1.5. Время установления флуктуаций.

§ 1.6. Результаты численного моделирования.

§ 1.7. Усиление шума вблизи точек разрыва бифуркационной диаграммы системы, описываемой мультимодальным отображением.

§ 1.8. Обобщенная теория роста и нелинейного насыщения предбифуркационного усиления шума в нелинейных отображениях.

Глава 2. Рост и насыщение времени корреляции флуктуаций вблизи бифуркационного порога.

§ 2.1. Линейная теория: неограниченный рост времени корреляции

§ 2.2. Нелинейная теория: насыщение времени корреляции вблизи бифуркационного порога.

§ 2.3. Сравнение теоретической оценки с результатами численного моделирования.

Глава 3. Предбифуркационное усиление шума в нелинейном осцилляторе.

§ 3.1. Динамическая модель осциллятора, испытывающего бифуркации спонтанного нарушения симметрии.

§ 3.2. Флуктуации при медленном изменении параметров системы: приближение ВКБ.

§ 3.3. Насыщение флуктуаций в окрестности точки бифуркации.

§ 3.4. Ослабление эффекта усиления флуктуации при быстром изменении параметров осциллятора.

§ 3.5. Результаты численного моделирования.

Глава 4. Метод измерения уровня шума с использованием явления предбифуркационного усиления шума.

§ 4.1. Объекты измерения. Бифуркационные режимы.

§ 4.2. Возможная методика измерений.

Выводы к части 1.

ЧАСТЬ II. ЯВЛЕНИЕ ШУМОЗАВИСИМОГО ГИСТЕРЕЗИСА ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ БИФУРКАЦИЯХ И ФЛУКТУАЦИИ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ПОМОЩИ МОДУЛИРОВАННЫХ ХАОТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ.

Глава 5. Явление шумозависимого гистерезиса в нелинейных осцилляторах.

§ 5.1. Шумозависимый гистерезис при бифуркациях удвоения периода

§ 5.2. Шумозависимый гистерезис при прохождении через зону хаоса в окно периодичности.

§ 5.3. Явление шумозависимого гистерезиса в мультистабильном нелинейном осцилляторе.

§ 5.4. Явление шумозависимого гистерезиса в нелинейном осцилляторе при бифуркации спонтанного нарушения симметрии.

§ 5.5. Гистерезис в системе связанных осцилляторов в присутствии шума.

§ 5.6. Использование явления шумозависимого гистерезиса для измерения слабых шумов.

Глава 6. Флуктуационные явления при передаче информации при помощи хаотических сигналов. Одноканальная схема передачи информации.

§ 6.1. Передача информации путем модуляции параметров отображения, генерирующего хаотические последовательности

§ 6.2. Воздействие шумов на точность определения информационного параметра в одноканальной схеме.

§ 6.3. Оценки помехоустойчивости одноканальной схемы.

§ 6.4. Численное моделирование качества восстановления параметров хаотических последовательностей в присутствии шумов.

Глава 7. Флуктуационные явления при передаче информации при помощи хаотических сигналов. Многоканальная схема.

§7.1. Передача информации путем модуляции двух и более параметров.

§ 7.2. Оценки погрешности восстановления информационных параметров в многоканальной схеме передачи сигналов.

§ 7.3. Численное моделирование многоканальной схемы модуляции и восстановления параметров в присутствии шумов.

Выводы к части II.

ЧАСТЬ III. ГРАНИЦА МЕЖДУ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫМ И СТОХАСТИЧЕСКИМ РЕЖИМАМИ БИФУРКАЦИОННОГО ПЕРЕХОДА.

Глава 8. Бассейны притяжения периодических режимов при динамических бифуркациях удвоения периода.

§ 8.1. Детерминированный и стохастический режимы бифуркационных переходов.

§ 8.2. Общая характеристика формирования бассейнов притяжения периодических режимов при бифуркации удвоения периода.

§ 8.3. Оценки критического уровня шума, необходимого для разрушения границ бассейнов притяжения.

§ 8.4. Граница между детерминированным и стохастическим режимами бифуркационного перехода с учетом структуры бассейнов притяжения.

Глава 9. Формирование бассейнов притяжения периодических режимов при быстром прохождении через зону хаоса в окно прозрачности.!.

§9.1. Нарушение вероятностной симметрии периодических режимов при быстром прохождении через зону хаоса в окно прозрачности

§ 9.2. Бассейны притяжения периодических режимов в отсутствие шума.

§ 9.3. Влияние шума на структуру бассейнов притяжения периодических режимов.

§ 9.4. Интерпретация результатов численного моделирования на основе линейной теории возмущений.

Глава 10. Бассейны притяжения конечных состояний в связанных системах с переменными параметрами.

§ 10.1. Описание связанной системы с переменными параметрами

§ 10.2. Эволюция бассейнов притяжения при изменении коэффициентов связи в системе осцилляторов в отсутствие шумов.

§ 10.3. Формирование картины бассейнов притяжения конечных состояний при динамических бифуркациях.

§ 10.4. Воздействие шума на формирование бассейнов притяжения

§ 10.5. Нарушение вероятностной симметрии в нелинейном осцилляторе при бифуркации спонтанного нарушения симметрии.

Выводы к части III.

Введение диссертация по физике, на тему "Флуктуационные и шумозависимые процессы при квазистационарных и динамических бифуркационных переходах"

Изучение флуктуационных процессов в нелинейных системах и устройствах представляет собой одну из центральных задач статистической радиофизики. Хорошо известны классические проблемы радиофизики, связанные с ограничением чувствительности усилителей и конечностью ширины спектральной линии генераторов, что обусловлено воздействием естественных и технических шумов [1] - [3]. Флуктуационные явления присущи всем реальным системам и принципиально неустранимы.

Исследования последних лет убедительно показали, что в нелинейных системах воздействие шума может индуцировать новые более упорядоченные режимы, приводить к образованию более регулярных структур, увеличивать степень когерентности, вызывать рост флуктуаций и увеличение отношения сигнал/шум и т.д. Одним из наиболее ярких примеров указанного типа поведения нелинейных систем под воздействием шума является эффект стохастического резонанса [4]-[5].

Из разнообразных проблем, обсуждаемых в литературе и не нашедших адекватного решения, наибольший интерес представляют флуктуационные процессы в системах с бифуркациями. Флуктуации, вызванные даже слабым шумом вблизи порога бифуркации, могут повлечь за собой серьезные изменения в макроскопическом поведении нелинейной системы [6]: сократить время пребывания около неустойчивого состояния [7] - [8]; повлиять на выбор одного из нескольких возможных устойчивых состояний в мультистабильных системах [9] -[13]; шум может индуцировать новые переходы, совершенно неожиданные с точки зрения обычного детерминистического описания [14], [15], [16], [34].

Кроме того, действие шумов при бифуркационных переходах приводит к явлению спонтанного нарушения симметрии, которое играет важную роль в теории фазовых переходов (ферромагнетизм, сверхпроводимость, сверхтекучесть [17], [18]), в теории взаимодействий элементарных частиц [19], в теории физического вакуума [20], в теории эволюции Вселенной в рамках "горячей модели"[21] и в других системах самоорганизующихся системах и устройствах [22].)

С проблемами флуктуаций, во многом сходными с проблемами статистической радиофизики, приходится сталкиваться в гидродинамике, акустике и физике плазмы, биофизике. Речь идет о теории турбулентности [23], [27], [35], физике линейных и нелинейных случайных волн в акустике [24], нелинейных процессах в биофизике [33]. Многие важные вопросы нелинейного взаимодействия и самовоздействия случайных волн были разработаны в физике плазмы [25], [26]. Математическим основам теории динамических систем находящихся под воздействием шума посвящена недавно вышедшая монография [28].

Таким образом, изучение влияния шума на нелинейные системы с бифуркациями представляет значительный интерес как для б статистической радиофизики, так и для других нелинейных дисциплин, так что результаты, полученные в данной работе для радиофизических моделей, могут оказаться полезными для понимания природы бифуркационных закономерностей в других областях естествознания.

В данной диссертации решается фундаментальная проблема воздействия шумов на нелинейные системы, совершающие как квазистационарные, так и динамические бифуркационные переходы. Эта проблема охватывает широкий круг физических явлений (предбифуркационное усиление шума, предбифуркационное увеличение времени корреляции, шумозависимый гистерезис) и связана с разнообразными приложениями (измерение слабых шумов в нелинейных бифуркационных системах, шумовые предвестники бифуркаций, снижение нежелательного действия шумов, контроль над бифуркационными процессами для достижения заданного постбифуркационного состояния в условиях воздействия шума и др.).

Основные направления исследования:

Эти направления составляют содержание трех частей диссертации.

Исследования флуктуационных проблем проводились теоретически и экспериментально с помощью методов численного моделирования. В качестве объектов исследования выступали динамические системы с дискретным временем, описываемые нелинейными отображениями, и нелинейные осцилляторы, описываемые дифференциальными уравнениями, которые служат моделями для реальных цепей и устройств. Исследуемое в диссертации квадратичное отображение хорошо описывает бифуркационные явления в неавтономном диссипативном осцилляторе и в автогенераторе с запаздывающей обратной связью [58]. Система связанных отображений может служить адекватной моделью двух резисторно связанных ЯЬ-диод цепей, синфазно возбуждаемых внешней гармонической силой [109].

Физическим прототипом нелинейного осциллятора, демонстрирующего бифуркацию спонтанного нарушения симметрии и описываемого дифференциальным уравнением второго порядка, могут служить, в частности, поперечные одномерные колебания плоского стержня (линейки), вдоль оси которого действует нарастающая во времени сдавливающая сила.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Нелинейный анализ явления предбифуркационного усиления шума, оценка интенсивности вынужденных флуктуаций в непосредственной близости к точке бифуркации, определение границы применимости линейной теории.

4. Установление структуры бассейнов притяжения постбифуркационных состояний на плоскости «начальные условия -скорость бифуркационного перехода». Анализ проведен как для первой бифуркации удвоения периода, так и для более сложных бифуркаций, в частности, при переходе через каскад бифуркаций удвоения периода, зону хаоса в режим периодических колебаний.

5. Определение границы между детерминированным и стохастическим сценариями бифуркационного перехода на плоскости «интенсивность шума — скорость перехода». Научная новизна результатов, полученных в диссертации, заключается в следующем:

- впервые проведен нелинейный анализ явления предбифуркационного усиления шума и выявлен эффект нелинейного насыщения флуктуаций вблизи бифуркационного порога;

- определены условия нарушения вероятностной симметрии постбифуркационных состояний для нелинейной системы при ю бифуркации удвоения периода и при переходе через каскад бифуркаций, зону хаоса в окно периодических режимов; - предложен новый метод измерения слабых внутренних шумов в нелинейных бифуркационных системах на основе явления предбифуркационного усиления шума. Практическая ценность работы:

Во - первых, проведенный в диссертации анализ флуктуационных и шумозависимых бифуркационных явлений создает предпосылки для снижения нежелательного действия шумов, например, путем увеличения скорости бифуркационных переходов, путем оптимизации выбора схем, избегающих бифуркации в рабочей области.

Во - вторых, явление предбифуркационного усиления шума и явление шумозависимого гистерезиса могут послужить основой новых методов измерения слабых шумов в радиофизических системах: по величине коэффициента предбифуркационного усиления шума, по ширине гистерезисной петли, по времени пребывания около неустойчивой ветви.

В-третьих, анализ влияния флуктуаций в системах передачи информации путем модуляции параметров хаотических сигналов и последовательностей позволяет определить помехоустойчивость таких и систем с тем, чтобы оценить их перспективность для скрытой передачи информации как в компьютерных сетях, так и в реальных каналах связи.

В работу включены результаты, полученные в рамках проектов, выполненных при поддержке РФФИ (гранты: № 00-02-17741, № 02-0217418).

Разработка всех вычислительных схем и проведение основной части численных экспериментов, включая обработку и интерпретацию полученных результатов, принадлежит автору. В постановке задачи предсказуемости постбифуркационных состояний при динамических бифуркациях на начальном этапе исследований и обсуждении результатов принимал участие О. Я. Бутковский. К исследованиям шумозависимого гистерезиса и бассейнов притяжения постбифуркационных режимов привлекались аспиранты, ныне к. ф.-м. н. Бильчинская С. Г. и к. ф.-м. н. Рычка И. А. (Камчатский государственный технический университет), руководство которыми осуществлялось автором совместно с проф. Ю. А. Кравцовым.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Выявленные основные закономерности, определяющие ход флуктуационных процессов вблизи порога бифуркаций: рост интенсивности флуктуаций и времени корреляций при медленном изменении управляющего параметра, ослабление предбифуркационного усиления шума при быстром прохождении точки бифуркации; нелинейная теория ограничения роста интенсивности флуктуаций и времени корреляции вблизи бифуркационного порога.

3. Результаты исследования протекания гистерезисных явлений при быстром прохождении точки бифуркации в присутствии шумов (явление шумозависимого гистерезиса).

• International Conference "Chaotic, fractal and nonlinear signal processing", Mystic, USA (1995);

• 5th International Specialist Workshop. Nonlinear Dynamics of Electronic

Systems, Moscow (1997);

• International Council for Computeralgebra, Gettysburg, USA (1998);

• Вторая международная конференция "Современные направления в компьютерной физике", Дубна, Россия (2000);

• International Council for Computeralgebra, Liverpool John Moores University, UK (2000);

• Международная конференция "Progress in Nonlinear Sciences", Нижний-Новгород, Россия (2001);

• 6-я Международная конференция CHAOS'Ol, Саратов, Россия (2001);

• 16-й международный симпозиум по нелинейной акустике, Москва, Россия (2002);

• International Conference on Plasma Research and Applications -PLASMA-2003, Warsaw, Poland;

• VIII Polish School of the Modal Analysis, AGH, Krakow, Poland (2003);

• Научная школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2003»;

• Second SPIE International Symposium on Fluctuations and Noise, Maspalomas, Spain (2004);

• 1st General Assembly of the European Geosciences Union, Nonlinear Processes in Geophysics, Nice, France (2004).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 31 печатной работе, которые отмечены звездочкой (*) в списке литературы.

Структура и объем диссертации

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

Заключение

Исследовано явление шумозависимого гистерезиса в системах с динамическими бифуркациями в присутствии шумового воздействия.

Показано, что явление шумозависимого гистерезиса является универсальным свойством динамических бифуркаций, оно возникает при бифуркациях удвоения периода, при бифуркации спонтанного нарушения симметрии, при бифуркации скачка и при переходе нелинейной системы через каскад бифуркаций удвоения периода и через область развитого хаоса в окно периодических режимов. Установлены основные закономерности явления, в частности, рост размеров гистерезисной петли при уменьшении шума

Предложены методы измерения шумов по времени пребывания системы в окрестности неустойчивой ветви и по размеру петли гистерезиса. Такие методы перспективны для измерения весьма слабых шумов в различных бифуркационных системах, например, в лазерах и полупроводниковых устройствах. На примере дискретных отображений для обоих методов получены калибровочные кривые.

Результаты проведенного в данной главе анализа явления шумозависимого гистерезиса могут быть использованы для снижения нежелательного действия шумов в технических системах, например, путем увеличения скорости бифуркационных переходов, путем оптимизации выбора схем, избегающих бифуркации в рабочей области.

Глава 6. Флуктуационные явления при передаче информации при помощи хаотических сигналов. Одноканальная схема передачи информации

Проблема передачи информации при помощи хаотических сигналов широко обсуждается в литературе [88], [92], [94]. Эта проблема имеет множество аспектов. Наибольшее внимание сейчас уделяется системам с синхронизацией [84], [85], которые основаны на сравнении входного (принимаемого) сигнала хаотической природы с хаотическим сигналом, генерируемым на приемном конце [81], [82], [86]-[88]. Как только было установлено, что хаотические системы могут быть синхронизированы [89]-[92], стало очевидно: хаотические сигналы можно использовать в качестве носителей при передаче информации. Основной мотивацией применения такого типа носителей явилось желание скрыть информацию в хаосе. К настоящему времени она оказалась несостоятельной, поскольку современные способы передачи информации с использованием хаоса обладают слабой криптостойкостью. Кроме того, использование хаоса для коммуникаций имеет ряд общих черт с информационными технологиями с так называемым расширением спектра сигнала. Применение этих методов первоначально было связано со специальными, в том числе военными, приложениями. Развитие мобильных средств связи предполагает потенциальное применение хаоса в системах связи, в которых при определенных условиях они могут иметь ряд преимуществ. Поэтому важно сравнить характеристики хаотических коммуникационных систем с традиционными, для того, чтобы обнаружить, какими же реальными преимуществами они обладают.

Несколько медленнее развивается другое направление исследований, основанное на решении обратных задач нелинейной динамики. Речь идет о восстановлении временного хода управляющих параметров хаотической системы на передающем конце по измеренным значениям хаотических сигналов (как непрерывных, так и дискретных) на приемном конце. Демонстрационные примеры передачи сигналов путем модуляции и последующей демодуляции параметров хаотических систем имеются в работах [94]-[96]. В этом случае синхронизация передающей и приемных систем не требуется.

Задача восстановления временного хода управляющего параметра значительно упрощается при наличии априорной информации о структуре хаотической системы и о значениях всех ее параметров, за исключением одного. Тогда все изменения в хаотическом сигнале можно приписать единственному неизвестному еще информационному параметру. Такой способ передачи информации был эффектно продемонстрирован В. С. Анищенко с соавторами [83], [97] на примерах передачи изображений. Этот метод допускает обобщение на случай двух и более переменных параметров.

Несмотря на внимание к проблеме, флуктуационные характеристики систем передачи информации, использующих восстановление управляющих параметров, анализу еще не подвергались. В данной главе рассмотрение проводится на примере гладкого многопараметрического отображения, аппроксимируемого полиномами или тригонометрическими функциями, но некоторые выводы относятся и к отображениям более общего вида. Результаты анализа качества восстановления сигналов при передаче сообщений путем модуляции параметров хаотических последовательностей, представленные в диссертации, опубликованы в работах [103]-[106].

Рассмотрим одномерное отображение х(п+\)=Р(хп,а), (6.1) параметры которого а{п)-{а0,я/,., } могут зависеть от дискретного времени п и служат переносчиками информации. Предполагается, что отображение (6.1) допускает хаотические режимы, и что переменная х является безразмерной величиной, представляющей собой отношение реального электрического сигнала и(п) к характерному напряжению (70: х(п) = и(п)Ш0. В качестве 110 может выступить, например, максимальное значение модуля и, и0~тах(и), или же значение и, соответствующее неподвижной (неустойчивой) точке отображения ип+1 = Ф(ип). Мы примем первый способ нормировки х=и/тах(и), так что переменная х по величине не превышает единицу: х<1.

Предположим, что все параметры ак, за исключением единственного значения ар, известны. Тогда в согласии с идеей, высказанной в работах [83], [97] (в первоначальной форме — применительно к системам с непрерывным временем) неизвестный параметр ар можно найти из уравнения (6.1).

Фактическое нахождение информационного параметра ар{п) из уравнения (6.1) существенно упрощается, если отображение Е(х,а) линейно зависит от набора параметров а=(а0,.,ак). В этом случае уравнение (6.1) принимает вид к к=1 где /к - заданный набор достаточно гладких (скажем, дифференцируемых) функций, например, степенных, к(х)=хк, (6.3) если отображение Г(х, а) представляется полиномом, или же набором тригонометрических функций, скажем к (х) ~ к** (6-4) если Г(х) дается конечным отрезком ряда Фурье.

Изолируя в уравнении (6.2) слагаемое, содержащее неизвестный параметр ар(п), перепишем это уравнение в виде х„) + ар(п)/(хп), (6.5) где через Р(р){х) обозначено отображение Р(х) за вычетом слагаемого с неизвестным параметром ар(п):

Г{р)(х) = Е(х)-ар/р(х). (6.6)

В силу (6.5) параметр ар(п) можно выразить через значения хп+! и хп. р /рЫ

Выражения такого рода служат дискретным аналогом алгоритмов восстановления информационных сообщений, разработанным ранее для непрерывных систем [83], [97] (в работе [97] даны также алгоритмы и для дискретной системы Хенона -Хейли).

Приведем несколько примеров восстановления информационного параметра ар(п) по двум соседним членам последовательности хп и xn+J. В случае полиномиального отображения

F(x) = а0 + of] jt +. + акх формула (6.7) принимает вид

Хп+\ ~F(p)(xn) ((. оч ар („) =-Jii-. (6.8) х"

В простейшем случае квадратичного отображения

F[x,a0,a2] = a0 +а2х2 (6.9) имеем если информационным является параметр а0(п), и если информация передается путем модуляции параметра а2 (п).

В случае логистического отображения F(x) = Ях( 1 - х), в котором имеется единственный информационный параметр Л(п), восстановление информации производится по формуле хп(1~хп)

Сходная по структуре формула восстановления информационного параметра sin х„ возникает и в случае отображения синусоидальной формы

F(x) = ai sin x.

Согласно (6.7), из двух отсчетов xn+i и хп определяется одно значение параметра ар(п). Соответственно этому три отсчета хп, xn+¡ и хп+2 обеспечивают нахождение двух значений ар(п) и ap(n+Y), а К+1 отсчетов хп, xn+¡.xn+K дают К значений ар(п), ар{п+1),., ар(п+К-1). Иными словами, из К+1 отсчетов извлекаются К значений информационного параметра.

Упрощённая схема практической реализации предлагаемого алгоритма передачи информации приведена на рис. 6.1. Практическая реализация предполагает:

1. Кодирование информационного сообщения (генерацию значений хп хаотическим отображением).

2. Передачу значений хп, генерируемых хаотическим отображением, при помощи любой из известных систем передачи сообщений (амплитудная, частотная, кодоимпульсная и т. д.): закодированное информационное сообщение в цифровом виде поступает на вход преобразователя цифрового сигнала в двоичный, двоичное информационное сообщение, в свою очередь, поступает на вход модулятора, формирующего сигнал, который затем передается в среду распространения сигнала;

3. Приём сигнала из среды распространения, затем последовательное преобразование в двоичный поток и, затем, в цифровой сигнал. Приём цифрового сигнала хаотическим декодером и восстановление информационного сообщения (определение информационного параметра ak при помощи формул типа (6.7, 6.8)), для конкретных пользователей.

Список источников диссертации и автореферата по физике, доктора физико-математических наук, Суровяткина, Елена Дмитриевна, Москва

1. Рис. 6.1. Упрощенная схема практической реализации передачи информации путем модуляции параметров хаотических последовательностей.

2. При наличии шумов в канале связи и в приемнике наблюдаемый сигнал уп представляет собой смесь передаваемого сигнала хп и флуктуационной компоненты уп:у„ = х„+ 1/и. (6.10)

3. В присутствии шумов оценка ар параметра ар дается формулой. (6.7), в которую вместо х„ следует подставить зашумленный сигнал (6.10):1. Уп+1-ЪР)(Уп) (6Л1)р(Уп)

4. Разлагая F(pj(yn) и /р(у„) в ряд по степеням шумового воздействия ц и ограничиваясь только линейными членами разложения, находим, что линейная по у погрешность оценки ар=ар(п)-ар(п) дается выражениемдГ лар = г/„+1 — уп1. Г1. (6.12)дх

5. В этом приближении оценка ар оказывается несмещенной. Очевидно, учет квадратичных по у членов приведет к некоторому смещению оценки ар по отношению к ар.

6. Су не менее чем в два раза, поскольку в хаотическом режиме параметр

7. Н2 заведомо превышает единицу. Множитель f 2 при х<1 тожепревышает единицу, и в результате1. T2a,p><T2v. (6.14)

8. Пусть на передающем конце параметр а(п) принимает два значения: <я(1) в случае передачи единицы и а^ в случае передачи нуля (для упрощения записи индекс «р» мы временно опускаем). Запишем эти значения в видеaw=A+А, а(0)=А-А. (6.17)

9. При одинаковых частотах появления единиц и нулей и при одинаковой средней энергии сигналов, отвечающих нулю и единице, решение о приеме единицы принимается при условииа(п) > | а(1) + а(0) . = А, (6.18а)а решение о приеме нуля — при условииа(п)<А (6.186)

10. Р^ = \ Ра (<*)<*<* = 1 ~ \Ра (6-19)оо —Дгде Р^а) — плотность вероятности погрешности а.

11. В случае гауссовой плотности вероятности имеем1. Р(1) =1-Ф07), (6.20)ошгде Ф {ф — гауссов интеграл вероятности, а

12. Л- = -(А/ <Уа) = „ • (6.20Л)2сга

13. Подобным же образом оценивается и вероятность ошибки при приеме нуля: рЩ> = 1 -Ф(т}+), 7.+= А/аа.

14. Согласно (6.20) при \т.\»1 имеет место асимптотическая формула1. Р»'^*-"2'2. (6.21)2 п

15. Если управляющий параметр а{п) принимает более чем два значения а(п) = {а{., / = 1,2 то идентификация /-го символапроизводится при условии выполнения двустороннего неравенства:а(И) <а< а®. (6.22)

16. Вероятность ошибочного приёма информационного /-го сообщения в этом случае определяется формулой:1. Р • = 11 ОШ , I А6.23)-00 щгде пороговые величины 77,- в общем случае, следует определять индивидуально для каждого /-го значения управляющего параметра.

17. Рассмотрим численные примеры, иллюстрирующие возможности передачи информации путем модуляции параметров отображений в хаотическом режиме.

18. Все описанные в данной работе алгоритмы: можно реализовать на отображениихп+1 = а\ ^ хп + а2 ^ 2хп + аз ^ + «4 ^ 4хп • (6-24)

19. Информационное сообщение представлялось в виде последовательностей нулей и единиц.

20. При исследовании влияния шума на достоверность восстановления информационного сообщения предполагалось, что значение шумового процесса уп равномерно распределены в интервале (-/,+/), так, что функция распределения дается выражением1