Флуктуационные процессы в бифуркационных системах: предбифуркационное усиление шума и формирование бассейнов притяжения конечных состояний тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

В. 1. Краткий обзор шумовых явлений в хаотических и нелинейных системах, быстрые и медленные бифуркационные переходы.

В. 2. Краткое изложение содержания.

ЧАСТЬ I. ПРЕДБИФУРКАЦИОННОЕ УСИЛЕНИЕ ШУМА В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ.

1. предбифуркационное усиление шума в дискретных системах при бифуркации удвоения периода.

1.1. Общая характеристика явления предбифуркационного усиления шума.

1.2. Предбифуркационное усиление шума в системах, описываемых нелинейными отображениями.

1.3. Линейная теория предбифуркационного усиления шума при бифуркациях удвоения периода.

1.4. Интенсивность флуктуации вблизи порога бифуркации удвоения периода.

1.5. Флуктуации после прохождения точки бифуркации.

1.6. Оценки времени установления флуктуаций.

1.7. Численное моделирование явления предбифуркационного усиления шума.

1.8. О возможности измерения слабых шумов в нелинейной системе путем измерения фактора предбифуркационного усиления шума.

1.9. Выводы.

2. предбифуркационное усиление шума в нелинейном осцилляторе при бифуркации удвоения числа устойчивых состояний равновесия.

2.1. Динамическая модель осциллятора, испытывающего бифуркации удвоения числа устойчивых состояний равновесия.

2.2. Оценки флуктуаций при медленном изменении параметров системы: приближение ВКБ.

2.3. Оценки интенсивности флуктуаций в окрестности точки бифуркации с учетом нелинейных эффектов.

2.4. Флуктуации при быстром изменении параметров осциллятора.

2.5. Численное моделирование флуктуаций в нелинейном осцилляторе.

2.6. Шумозависимьш гистерезис в окрестности точки бифуркации.

2.7. Нарушение вероятностной симметрии числа устойчивых состояний в нелинейном осцилляторе.

В. 1. Краткий обзор шумовых явлений в хаотических и нелинейных системах, быстрые и медленные бифуркационные переходы

Изучение поведения нелинейных систем с бифуркациями под действием шумов представляет значительный интерес, как для радиофизики, так и для физики в целом. Эта интереснейшая проблема всегда была в центре внимания теории нелинейных систем. В последнее время интерес к исследованиям бифуркации в присутствии шумов сместился в сторону нестационарных систем, о чем свидетельствуют материалы международных конференций и недавние журнальные публикации.

Актуальность темы определяется важной ролью флуктуационных процессов в бифуркационных системах, поскольку небольшие флуктуации вблизи точки бифуркации могут вызвать серьезные изменения в макроскопическом поведении нелинейных систем и в выборе конечного состояния системы после бифуркационного перехода [1, 2, 3]. В частности, действие шумов при бифуркационных переходах и приводит к явлению спонтанного нарушения симметрии, которое играет важную роль в теории фазовых переходов (ферромагнетизм, сверхпроводимость, сверхтекучесть [4, 5]), в теории взаимодействий элементарных частиц [6], в теории физического вакуума [7], в теории эволюции Вселенной в рамках "горячей модели" [8] и др. Не исключено, что проблема происхождения жизни тоже связана с воздействием флуктуаций на бифуркационную систему. Как было отмечено работе [9], вблизи точек бифуркации сильно неравновесные системы как бы «колеблются» перед выбором одного из нескольких путей эволюции, небольшие флуктуации могут послужить началом эволюции в новом направлении и тем самым резко изменить поведение макроскопической системы. В работе [9] подчеркивается, что усиление микроскопической флуктуации, происшедшей в «нужный момент», может привести к преимущественному выбору лишь одного из путей эволюции из ряда априори одинаково возможных. Следовательно, при определенных условиях роль того или иного индивидуального режима становится решающей. В работе [9] делается вывод, что поведение «в среднем» не может доминировать над составляющими его элементарными процессами. В близи точек бифуркаций основную роль играют флуктуации, тогда как в интервалах между бифуркациями доминируют детерминистические закономерности.

Изучение флуктуационных процессов в линейных и нелинейных системах и устройствах представляет собой центральную задачу статистической радиофизики. Усиление флуктуаций в окрестности критических точек и влияние шума на формирование бассейнов притяжения в нелинейных цепях являются составной частью этой задачи. Изучение этих явлений на модельных системах, описывающих реальные нелинейные цепи [12, 13, 14, 34] путем численного моделирования, необходимо для установления качественных и количественных свойств величин, которые определяют состояние радиофизической системы. Закономерности, полученные при изучении флуктуационных процессов, могут быть использованы для решения практических задач радиофизики, в частности для решения проблемы измерения шума в нелинейных цепях [11].

Таким образом, изучение влияния шума на нелинейные системы с бифуркациями, представляя значительный интерес, как для статистической радиофизики, так и для других нелинейных дисциплин, так что результаты, полученные в данной работе для радиофизических моделей, могут оказаться полезными для понимания природы бифуркационных закономерностей в других областях естествознания.

Изучение поведения бифуркационных систем под действием шумов представляет значительный интерес как для радиофизики, так и для физики в целом. Из разнообразных проблем статистической радиофизики, обсуждаемых в литературе и еще не нашедших адекватного разрешения, значительный интерес представляют флуктуационные процессы в бифуркационных системах с переменными параметрами (в этом случае говорят о динамических бифуркациях). В первую очередь речь идет о явлении предбифуркационного усиления шума и о формировании бассейнов притяжения конечных состояний нелинейной системы. Эти два явления и составляют предмет исследования данной диссертации.

Исследования флуктуационных проблем проводились с помощью методов численного моделирования на примере ряда дискретных и непрерывных модельных систем, которые хорошо описывают поведение реальных нелинейных цепей. В качестве объектов исследования использовались: квадратичное отображение, которое служит моделью для описания бифуркационных явлений в неавтономном диссипативном осцилляторе [12, 13] и автогенератора с запаздывающей обратной связью [13]; система связанных отображений, которая может служить адекватной моделью двух резисторно связанных Ш-дпод цепей [13, 14], синфазно возбуждаемых гармонической внешней силой; модель нелинейного осциллятора, демонстрирующего бифуркацию удвоения числа устойчивых состояний равновесия (бифуркацию спонтанного нарушения симметрии).

Явление предгенерационного (или преосцилляционного) усиления шума, наблюдаемое как в радиофизических, так и в оптических системах [2, 10, 15-20], является частным случаем более общего явления, которое можно назвать предбифуркационным усилением шума. Как было показано в работах [21-23], при приближении к критическим значениям бифуркационного параметра может происходить усиление слабых сигналов, обусловленное уменьшением (вплоть до обращения в нуль в критической точке) декремента затухания. Явление предбифуркационного усиления слабых сигналов сопровождается усилением слабых шумов, как это было подробно проанализировано в рамках линейного приближения в работе [24], посвященной анализу «шумовых предвестников» нелинейных неустойчивостей. Разумеется, линейная теория полностью игнорирует нелинейные эффекты и потому предсказывает неограниченный рост флуктуаций при приближении к точке бифуркации.

В данной работе впервые проведен нелинейный анализ предбифуркационного усиления шума для двух систем: для дискретной нелинейной системы, описываемой квадратичным отображением [25, 26, 27] и для нелинейного осциллятора, описываемого дифференциальным уравнением [28]. Важным новым результатом явились оценки дисперсии флуктуаций в нелинейном режиме (вблизи порога бифуркации). Кроме того, в работе впервые указана возможность измерения слабых шумов в нелинейных физических системах на основе данных о коэффициенте предбифуркационного усиления шума.

Вторым направлением исследований флуктуационных процессов в данной диссертации явился анализ бассейнов притяжения конечных состояний в бифуркационных системах с меняющимися во времени параметрами [29]. Впервые анализ такого рода был предпринят в работе [30] для случая бифуркации удвоения периода. В работе [30] было обнаружено, что на плоскости «начальное значение - скорость перехода» зоны притяжения двух возможных конечных состояний чередуются друг с другом, и что с уменьшением скорости перехода происходит дробление областей притяжения.

Данная работа продолжает исследования бассейнов притяжения, начатые в [30, 31], но применительно к более сложным нелинейным колебательным объектам: система двух связанных квадратичных отображений с переменными параметрами и дискретная нелинейная система, переходящая через каскад бифуркаций удвоения периода и через зону хаоса в зону периодических режимов (в так называемое окно прозрачности [1, 32]).

Бифуркации в первой из указанных систем ранее рассматривалась только в квазистатическом режиме, в котором выбор конечного состояния происходит по закону случая [20, 33, 34]. В данной диссертации поставлена задача: провести комплексный анализ структуры бассейнов притяжения конечных состояний в зависимости от соотношения между коэффициентами связи, скоростью изменения управляющего параметра и уровнем шумового воздействия [35, 36].

Что касается второй из упоминаемых систем (прохождение через хаос в зону прозрачности), то, прежде всего, необходимо указать на работы [29, 37], в которых впервые показана принципиальная возможность предсказания конечного состояния системы после прохождения через зону хаоса в зону периодичности. Численный и аналитический анализ позволил также выявить структуру областей притяжения конечных состояний и обнаружить новые сверхчувствительные к шуму зоны, в которых весьма малые изменения начальных значений приводят к существенному изменению конечного состояния.

Зависимость вероятности попадания в конкретное конечное состояние от соотношения флуктуационных и динамических факторов - еще один важный и недостаточно исследованный аспект проблемы динамических бифуркаций, особенно если речь идет о динамических системах, которые могут находиться в одном из двух вырожденных энергетически равноправных устойчивых состояний [2, 47, 29, 38 - 41]. Особенностью бифуркационных переходов в таких системах является вероятностная симметрия конечных состояний, которая характерна для бифуркаций спонтанного нарушения симметрии [42] и бифуркации удвоения периода [1], для вырожденных параметрических [43] и поляризационно-вырожденных лазерных систем [44], а также для изомерных химических систем [45,46]. Равновероятность непосредственно связана с воздействием шумов на систему в момент бифуркационного перехода.

Экспериментально наблюдаемой равновероятности энергетически равноправных режимов противостоит известное свойство из теории динамических систем: в согласии с теоремой Коши траектория системы однозначно определяется начальными условиями [20, 39, 47 - 50]. Противоречие между наблюдаемой равновероятностью и динамической однозначностью конечных состояний получило название "бифуркационного парадокса" [51, 53]. Разрешение бифуркационного парадокса для частного случая бифуркации удвоения периода в одномерном отображении было дано в работах [30, 54], в которых было показано, что, меняя соотношение между уровнем шумов в системе а^ и скоростью s=dr/dt изменения бифуркационного параметра г, можно проследить непрерывный переход от случая вероятностной симметрии, через хаос в окно прозрачности на плоскости «критическое значение шума - скорость перехода». Научная новизна результатов, полученных в диссертации, заключается в следующем: впервые проведен нелинейный анализ явления предбифуркационного усиления шума в случае быстрых и медленных бифуркационных переходов; предложен метод измерения слабых внутренних шумов в нелинейных бифуркационных системах на основе явления предбифуркационного усиления шума; выявлен эффект взаимного влияния коэффициента связи и скорости изменения бифуркационного параметра на структуру бассейнов притяжения аттракторов в системе связанных отображений; впервые показано, что конечное состояние системы, прошедшей через хаос в зону периодических режимов, может быть предсказуемым; определены условия нарушения вероятностной симметрии конечных состояний для нелинейной системы после перехода через хаос, для системы связанных отображений и для состояний равновесия в нелинейном осцилляторе. Научная и практическая ценность работы:

1. Закономерности, выявленные на дискретных отображениях и на модели нелинейного осциллятора, описываемой дифференциальным уравнением, могут послужить прототипом бифуркационных явлений в радиофизике, а также в других областях физики (фазовые переходы, поляризационная бистабильность в лазерах).

2. Оценки, полученные для коэффициента предбифуркационного усиления шума, могут послужить основой нового метода измерения слабых шумов в радиофизических системах.

Степень достоверности полученных результатов

Результаты, полученные в диссертации, подвергались сравнению с результатами аналитических и численных исследований других авторов. Обнаруженное хорошее соответствие полученных результатов с имеющимися литературными данными, а также удовлетворительное согласие между аналитическими и числовыми результатами свидетельствует о достоверности полученных результатов.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Результаты нелинейного анализа предбифуркационного усиления шума в нелинейных системах.

2. Метод измерения слабых внутренних шумов в нелинейных бифуркационных системах на основе явления предбифуркационного усиления шума.

3. Выявление эффекта взаимного влияния коэффициента связи и скорости изменения управляющего параметра на характеристики конечных состояний в связанной бифуркационной системе.

4. Определение бассейнов притяжения конечных состояний при быстром прохождении через хаос в зону периодичности в присутствии шума.

5. Нарушение вероятностной симметрии в нелинейном осцилляторе.

Апробация. Результаты, включенные в диссертацию, докладывались и обсуждались на семинарах в ИКИ РАН, КамчатГТУ, на второй международной конференции по современным направлениям в компьютерной физике [Second International Conference "Modern Trends in Computational Physics", July 24-29, Dubna, Russia (2000)], на международной конференции, посвященной 100-летию А.А. Андронова [International conference dedicated to the 100th Anniversary of A. A. Andronov, July 2-6, Nizhny Novgorod, Russia (2001)], на шестой международной конференции по хаотическим колебаниям в радиофизике и электронике [6th International conference CHAOS'Ol, October 2-7, Saratov, Russia

2001)], на шестнадцатом симпозиуме по нелинейной акустике [16th International Symposium on Nonlinear Acoustics, August 19-23, Moscow, Russia, (2002)].

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, которые приводятся в списке цитируемой литературы.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух частей, включающих в себя четыре главы, заключения, содержит 104 страницы машинописного текста, в том числе 26 рисунков. Каждая глава заканчивается формулировкой основных результатов. Библиография включает 76 наименований.

Основные результаты и выводы работы можно сформулировать следующим образом:

А. По проблеме предбифуркационного усиления флуктуации.

1. Получены аналитические нелинейные оценки предбифуркационного усиления шума как вдали, так и в непосредственной близости к критической точке. Показано, в частности, что дисперсия вынужденных флуктуаций в сильно нелинейном режиме принимает ограниченное значение и пропорциональна не дисперсии, как в линейном режиме, а среднеквадратичному значению шумовой силы.

2. Показано, что предбифуркационное усиление шума наиболее сильно выражено при медленном прохождении системы через бифуркационную точку, тогда как при быстрых бифуркационных переходах эффект усиления снижается.

3. Предложен метод измерения интенсивности слабых шумов в нелинейных системах, основанный на явлении предбифуркационного усиления флуктуаций.

Б. По проблеме бифуркаций в системе связанных отображений.

1. Показано, что наряду со многими свойствами одномерных отображений (нарушение вероятностной симметрии при малом уровне шумов, явление бифуркационного шумозависимого гистерезиса, существование бассейнов притяжения стационарных аттракторов, чувствительность границ бассейнов притяжения к уровню шумов) связанной системе присущи совершенно новые свойства, в частности, возможное число состояний равновесия, которые отличаются теперь не только фазой, но и амплитудой, может достигать четырех вместо двух состояний в одномерных отображениях.

2. Обнаружено, что в зависимости от коэффициента связи происходит изменение конфигурации бассейнов притяжения конечных состояний, при этом увеличение коэффициента связи приводит к запаздыванию бифуркаций противофазных состояний.

3. Установлено, что конфигурация бассейнов притяжения зависит от четности или нечетности числа шагов при изменении управляющего параметра и что в зависимости от четности или нечетности количества шагов имеет место инверсия бассейнов притяжения для парных (синфазных или противофазных) конечных состояний.

В. По проблеме прохождения через область хаоса.

1. Показано, что при определенных соотношениях между уровнем внешнего шума и скоростью изменения управляющего параметра динамический переход сквозь область хаоса может оказаться предсказуемым.

2. Установлено существование областей притяжения конечных состояний, которые определяются начальными условиями и скоростью перехода, и показано, что протяженные устойчивые области притяжения перемежаются рядом коротких интервалов начальных значений длиной Ю-6 и менее, в которых весьма малые изменения начальных значений приводят к существенному изменению конечного состояния. Под воздействием шума или при малых скоростях зоны притяжения размываются, что приводит к выравниванию вероятности по оси начальных условий.

3. Определена граница между динамическим и стохастическим сценариями бифуркационного перехода на плоскости «интенсивность шума - скорость перехода». Показано, что эта граница смещена в сторону меньших шумов, чем в случае бифуркации удвоения периода.

4. Получены аналитические оценки зависимости критического значения дисперсии шума, при котором происходит выравнивание вероятностей попадания в каждое из трех возможных состояний.

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям Ю.А. Кравцову и Е.Д. Суровяткиной за постановку задачи и внимательное руководтво работой, коллективам кафедры общей и экспериментальной физики МПГУ и отдела 55 ИКИ РАН за товарищескую поддержку и участие в обсуждении результатов, а также О.Я. Бутковскому и А.Н. Мансурову за полезные замечания и обсуждения.

Заключение.

1. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988. 240 с.

2. Кравцов Ю.А. Фундаментальные и практические пределы предсказуемости. // Пределы предсказуемости / Под ред. Кравцова Ю.А.-М.: ЦентрКом. 1997. С.78-139.

3. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат. лит., 1980. 360 с.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика, ч. 1. М.: Физматлит, 1995. 608 с.

5. Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления. М.: Наука, 1983. 72 с.

6. Окунь Л.Б. Лептоны и кварки. М.: Наука, 1990.

7. Долгов А.Д., Зельдович Я.Б. Космология и элементарные частицы // УФН, 1980. Т.130.-4. С.559.

8. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной. М.: Наука, 1975. 736 с.

9. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой: Пер. с англ. / Общ. Ред. В.И. Аршинова, Ю. Л. Климантовича и Ю.В. Сачкова. М.: Прогресс, 1986. - 432 с.

10. Ахманов С. А., Дьяков Ю. Е., Чиркин А. С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1981.-640 с.

11. Бутковский О. Я., Кравцов Ю. А., Суровяткина Е. Д., Использование гистерезиса в бифуркационных системах для измерения шума // ЖТФ, 1997. Т.67.-9. СЛ28-131.

12. Linsay P.S. Period Doubling and Chaotic Behavior in a Driven Anharmonic Oscillator // Phys.Rev.Lett, 1981. V.47. 9. P. 1349-1352.

13. Безручко Б.П., Иванов P.H., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Экспериментальное исследование бифуркаций в системе с быстро меняющимся параметром // ПЖТФ, 2002. Т.28. 11. С.58-65.

14. Buskirk R., Jeffries C. Observation of chaotic dynamics of coupled nonlinear oscillators // Phys.Rev.A, 1985. V.31. 5. P.3332-3357.

15. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкен С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.-568 с.

16. Мигулин В.В., Мустель Е.Р., Медведев В.И., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1988. - 390с.

17. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. -384 с.

18. Климантович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982.

19. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн: Учебное пособие. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1984. - 432 с.

20. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1990. 312 с.

21. Wiesenfeld К. Virtual Hopf phenomenon: A new precursor of period-doubling bifurcations // Phys. Rev. A, 1985. V.32. 3. P. 1744-1751.

22. Wiesenfeld K., Pedersen N. F. Amplitude calculation near a period-doubling bifurcation: an example // Phys. Rev. A, 1987. V.36. 3. P.1440-1444.

23. Wiesenfeld K., McNamara B. Small-signal amplification in bifurcating dynamical systems // Phys. Rev. A, 1986. V.33. -1. P.629-642.

24. Wiesenfeld K. Observation Noisy Precursors of Nonlinear Instabilities // J. Statistical Physics, 1985. V.38. P. 1071.

25. Кравцов Ю. А., Бильчинская С. Г., Бутковский О. Я., РычкаИ. А., Суровяткина Е. Д., Предбифуркационное усиление шума в нелинейных системах//ЖЭТФ, 2001. Т.120.-6. С. 1527-1534.

26. Surovyatkina E. D., Bilchinskaya S. G., Butkovsky O. Ya., Rozanov A. O., Kravtsov Yu. A. and Rychka I. A., Phenomenon of predbifurcation noise enhancement: Linear and Nonlinear Analysis, in: 16th International

27. Symposium on Nonlinear Acoustics, August 19-23, 2002, Moscow, Russia, The book of abstracts, p. 190.

28. Кравцов Ю. А., Бильчинская С. Г., Бутковский О. Я., Рычка И. А., Суровяткина Е. Д., Предбифуркационное усиление шума в нелинейном осцилляторе при бифуркации удвоения числа устойчивых состояний равновесия. Препринт ИКИ РАН, 2002. № 2069.

29. Анищенко B.C. Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора: Учеб. пособие. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2000. - 180 с.

30. Бутковский О .Я., Кравцов Ю.К., Суровяткина Е.Д. Структура зон притяжения конечных состояний при динамических бифуркациях удвоения периода// ЖЭТФ, 1998. Т.113. 1. С.369-380.

31. Безручко Б.П., Иванов Р.Н. Нарушение вероятностной симметрии при быстрой бифуркации удвоения периода // ПЖТФ, 2000. Т.26. 22. С.7-14.

32. Baesens С. Slow sweep through period-doubling cascade: delayed bifurcations and renormalisation // Physica-D. 1991. V.53. No 2-4. P.319-376.

33. Астахов С.А., Безручко Б.П., Селезнев Е.П., Смирнов Д.А. Эволюция бассейнов притяжения аттракторов связанных систем с удвоением периода // Известия вузов «ПНД», 1997. Т.5. 2,3. С.87-99.

34. Безручко Б.П., Селезнев Е.П. Бассейны притяжения хаотических аттракторов в связанных системах с удвоением системы // ПЖТФ, 1997. Т.23.-4. С.40-46.

35. Butkovskii О. Ya., Ivanov R. N., Kravtsov Yu. A., Rychka I. A., Surovyatkina E. D., Attraction Basins of Final States of Coupled System with Variable Parameters Under Period Doubling Bifurcations // Physics of Vibrations, 2002. Vol. 9, -3, p. 156-162.

36. Бильчинская С. Г., Бутковский О. Я., Кравцов Ю. А., Рычка И. А., Суровяткина Е. Д., Нарушение вероятностной симметрии периодических режимов при быстром прохождении через зону хаоса в окно прозрачности // ЖЭТФ, 2002. Т. 122. -1. С.198-205.

37. Заславский Г.М., Чириков Б.В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний // УФН, 1971. Т. 105. -1. С.3-39. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, Гл.ред.физ.-мат. лит., 1987. 424 с.

38. Кравцов Ю.А. Случайность, детерминированность, предсказуемость // УФН, 1989. Т.158.-1. С.93-115.

39. Малинецкий Г.Г. Синергетика, предсказуемость и детерминированный хаос // Пределы предсказуемости / Под ред. Кравцова Ю.А. -М.: ЦентрКом. 1997. С.78-139.

40. Физическая энциклопедия. М.: Изд-во Большая Российская энциклопедия, 1994. Т.4. С.652.

41. Каплан А. Е., Кравцов Ю. А., Рытов С. М. Параметрические генераторы и делители частоты / Под ред. Кравцова Ю. А. М.: Советское радио, 1966.-334 с.

42. Желудев И. Н. // Успехи физ. Наук, 1989. Т.157. 4. С.683 Гольданский В.И., Кузьмин В.В. Спонтанное нарушение зеркальной симметрии в природе и происхождение жизни // Успехи физ. Наук, 1989. Т. 157.-1. С.3-50.

43. Морозов Л.Л., Гольданский В.И. Нарушение киральной симметрии в предбиологической эволюции и физические условия возникновения жизни // Вестн. АН СССР, 1984. №6. с.54-63.

44. Анищенко B.C. Динамические системы // Соросовский образовательный журнал, 1997. Т.11, с. 77-84.

45. Шишкова М.А. Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных // Докл. АН СССР, 1973. Т.209. -3. С.576-579.

46. Нейштадт А.И. Асимптотическое исследование потери устойчивости равновесия при медленном прохождении пары собственных чисел через мнимую ось //Успехи мат.наук, 1985. Т.40. 5. С.300-301.

47. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: УРСС, 2000. 336 с.

48. Brush J.S., Butkovskii O.Ya., Kravtsov Yu.A., The bifurcation paradox. In: Predictability of Complex Dynamical of System (Yu.A. Kravtsov, J.B. Kadtke, eds.). // Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1995. pp.105-121.

49. Хакен Г. Синергетика: иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах: Пер. с англ. -М: Мир, 1985. 419 с. Синергетика. М.; Мир, 1989.

50. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Катастрофы и бедствия глазами нелинейной динамики. // Знание-сила, 1995. -3, стр. 26-34.

51. Браш Дж.С., Бутковский О .Я., Кравцов Ю.А., Суровяткина Е.Д. Нарушение симметрии при быстрых бифуркационных переходах // ЖЭТФ, 1996. Т. 109. -6. С.2201-2207.

52. Хэссард Б., Казаринов H. Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. -М.: Мир, 1985. 280 с.

53. Neiman А. В., Russell D. F. Synchronization of Noise-Induced Bursts in Noncoupled Sensory Neurons // Phys. Rev. Lett., 2002. V.88. -13. 138103.

54. Callenbach L., Hanggi P., Linz S. J., Freund J. A. and Schimansky-Geier L. Oscillatory systems driven by noise: Frequency and phase synchronization // Phys. Rev. E, 2002. V.65. -5. 051110.

55. Robert Rozenfeld, Jan A. Freund, 1 Alexander Neiman,2 and Lutz Schimansky-Geier 1 Noise-induced phase synchronization enhanced by dichotomic noise // Phys. Rev. E, 2002. V.64. -5. 051107.

56. Анищенко B.C. Аттракторы динамических систем // Изв.вузов Прикладная нелинейная динамика, 1997. Т.5. -1. С.109-127.

57. Нейштадт А.И., Сидоренко В.В. Исследование запаздывания потери устойчивости в системе Циглера // Прикл. математика и механика, 1997. Т. 61.-1. С. 18-29.

58. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пудовочкин О.Б., Селезнев Е.П., Фазовая мультистабильность и установление колебаний в нелинейных системах с удвоением периода // Радиотехника и электроника, 1993. Т.38. -2. С.291-295.

59. Астахов В.В., Безручко Б.П., Ерастова Е.Н., Селезнев Е.П., Виды колебаний и их эволюция в диссипативно связанных фейгенбаумовских системах//ЖТФ, 1990. Т.60. -10. С. 19-26.

60. Прохоров М.Д., Виды колебаний диссипативно связанных систем с удвоением периода при сильной связи // Известия ВУЗов «ПНД», 1996. Т.4. -4-5. С.99-107.

61. Вержбицкий B.M. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2000. - 266 с. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. пособие для вузов.-М.: Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. - 432 с

62. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Под. ред. Дж. Холл и Дж. Уатт. М.: Мир, 1979.312 с.

63. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение: Пер. с англ. -М.: Мир, 1998. 575 с.

64. Лабутин С.А., Пугин М.В. Статистические модели и методы в измерительных задачах. Нижний Новгород: НГТУ, 2000. - 120 с. Компьютеры и нелинейные явления. Информатика и современное естествознание. / Под редакцией Самарского А.А. —М.:Наука, 1988.-192с.

65. Малинецкий Г.Г., Курдюмов С.П. Нелинейная динамика и проблемы прогноза//Вестник Российской академии наук, 2001. Т.71. -3. С.210-232.