Описание коллективного ядерного движения большой амплитуды в рамках квантового флуктуационно-диссипативного подхода тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ

о

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

ОПИСАНИЕ КОЛЛЕКТИВНОГО ЯДЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ БОЛЬШОЙ АМПЛИТУДЫ В РАМКАХ КВАНТОВОГО ФЛУКТУАЦИОННО-ДИССИПАТИВНОГО ПОДХОДА

Специальность: 01.04.16 — физика атомного ядра и элементарных частиц

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

4-2012-43

005017651

На правах рукописи

КУЗЯКИН Роман Анатольевич

1 О Г-",<•;" -П17

Дубна 2012

005017651

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований.

Научные руководители:

кандидат физико-математических наук Г.Г. Адамян (с.н.с. ЛТФ ОИЯИ)

доктор физико-математических наук, профессор И.И. Гончар (профессор ОмГУПС)

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Ю.М. Чувильский (в.н.с. НИИЯФ им.Д.В.Скобельцына МГУ)

кандидат физико-математических наук Е.А.Черепанов (с.н.с. ЛЯР ОИЯИ)

Ведущая организация:

Государственный научный центр РФ - Физико-энергетический институт, г. Обнинск.

Защита диссертации состоится 2012г. в

заседании диссертационного совета Д 720.001.01 в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова ^Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан "¿Г" O^Y* 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Общая характеристика диссертации

Актуальность темы. Развитию формализма для описания коллективного ядерного движения большой амплитуды посвящено большое число работ. Данный формализм применяется для описания реакций слияния, квазиделения, многонуклонных передач с тяжелыми ионами и деления ядер. В таких процессах наиболее существенными считаются лишь некоторые коллективные (макроскопические) степени свободы, которые выбираются исходя из потребностей интерпретации экспериментальных данных. Наиболее часто используемыми коллективными координатами являются межцентровое расстояние или относительное удлинение системы, параметр шейки, деформации взаимодействующих ядер, массовая и зарядовая асимметрия. Динамическим уравнением для коллективных координат является стохастическое уравнение Ланжевена или физически эквивалентное ему диффузионное уравнение Фоккера-Планка для функции распределения коллективных координат и сопряженных им импульсов. Для решения этих уравнений необходимо знание транспортных коэффициентов: потенциальной энергии, массовых параметров, коэффициентов трения и диффузии. При рассмотрении конкретных ядерных процессов стохастические уравнения и транспортные коэффициенты определяются в основном в рамках феноменологических подходов.

Хотя многие свойства ядерных реакций имеют квантовую природу, во многих исследованиях на основе транспортных моделей квантовые статистические эффекты игнорируются и используется классическое описание, в котором коэффициенты трения и диффузии связаны через классическое флуктуационно-диссипационное соотношение. Рассмотрение затухания и флуктуаций в коллективной квантовой системе в основном ограничивается марковским пределом (мгновенная диссипация, гауссовские дельта-коррелированные флуктуации) и пределом

слабой связи или высоких температур. Нелокальность диссипации обычно не принимается во внимание при описании реакций с тяжелыми ионами и деления. То есть считается, что эти процессы являются марковскими: время релаксации одночастичной подсистемы заметно меньше характерного времени коллективного движения. Поэтому количественные оценки вязкости, в частности однотельной, в рамках немарковской модели могут существенно отличаться от тех, которые получены в предположении марковского характера динамики реакции.

Данные исследования посвящены развитию новых теоретических подходов к описанию механизма ядерных реакций при низких энергиях, учитывающих их квантовую диссипативную немарковскую природу, таких как захват, слияние, квазиделение, деление ядер. В основе нашего формализма лежит теория открытых квантовых систем. Исходя из данной теории, строится квантовый флуктуационно-диссипативный (диффузионный) подход, в рамках которого возможно детальное описание рассматриваемых процессов.

Последние экспериментальные данные по ядерным реакциям при низких энергиях, например, по глубоко подбарьерному слиянию, обнаруживают новые тенденции, не укладывающиеся в существующие традиционные подходы. В связи с этим создание новых теоретических моделей, наряду с совершенствованием существующих, расширением границ их применимости является важной задачей физики атомного ядра. Даже в рамках классического описания правильный учет особенностей ядерных реакций может существенно улучшить согласие теории с экспериментальными данными.

Важной составляющей рассматриваемых процессов является проблема преодоления потенциального барьера, как при энергиях выше барьера, так и при подбарьерных энергиях. Данная проблема специфична не только для ядерной, но и для атомной физики. Такие явления, как деление возбужденных атомных ядер, диссоциация молекул с теоретической точки зрения представляют собой распад

возбужденной системы, которая, первоначально находясь в квазистационарном (метастабильном) состоянии, преодолевает потенциальный барьер благодаря тепловым флуктуациям. Подбарьерные процессы играют важную роль, например, в таких процессах, как захват налетающего ядра ядром-мишенью, слияние тяжелых ионов и спонтанное деление атомных ядер. Квантовый флуктуационно-диссипативный (диффузионный) подход позволяет корректно описать такие процессы.

Целью работы является разработка формализма для теоретического описания коллективного ядерного движения большой амплитуды в рамках квантового флуктуационно-диссипативного подхода и описание на его основе экспериментальных данных по ядерным реакциям захвата, слияния и деления.

Научная новизна и практическая ценность.

• В рамках микроскопического квантового диффузионного подхода исследованы проницаемость потенциального барьера, а также квазистационарная скорость теплового распада метастабильного состояния в случае линейной связи по импульсу и координате между коллективной и внутренней подсистемами. Полученные аналитические формулы могут быть использованы для описания флуктуационно-диссипативной динамики ядерных реакций захвата, слияния, квазиделения, многонуклонных передач и деления.

• Рассматриваемый подход успешно использован для изучения процесса захвата налетающего ядра ядром-мишенью при энергиях бомбардировки около и ниже кулоновского барьера. Получено хорошее описание имеющихся экспериментальных сечений захвата в реакциях со сферическими и деформированными ядрами. Показано, что вне области действия ядерных сил и ядерного трения падение величины сечения подбарьерного захвата налетающего ядра ядром-мишенью с уменьшением энергии бомбардировки

замедляется. Предложены реакции для экспериментальной проверки этого предсказания. Впервые исследована изотопическая зависимость сечения захвата и среднеквадратичного углового момента системы на примере реакций с различной массовой асимметрией. Изучена роль статической деформации ядра-мишени или налетающего ядра, а также канала нейтронной передачи в процессе захвата в ядро-ядерном столкновении. Исследованы полученные парциальные сечения захвата в сравнении с экспериментальными данными.

• Получены новые приближенные аналитические формулы для квазистационарной скорости деления возбужденных атомных ядер (обобщенные формулы Крамерса) в случае использования микроканонического ансамбля. Определена точность формул Крамерса как в случае микроканонического, так и канонического ансамблей.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах в Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований (Дубна), а также представлялись и докладывались на международных конференциях "Fusion 2011" (Сан-Мало, Франция, 2011), "Rutherford Centennial Conference on Nuclear Physics 2011" (Манчестер, Великобритания, 2011), "Ядро 2011" (Саров, 2011).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 работ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения общим объемом 123 страницы, включая 55 рисунков и список цитированной литературы из 205 наименований.

Содержание работы

Во введении обсуждается актуальность работы и мотивация проводимых исследований, дается краткий обзор по теме диссертации.

В первой главе из микроскопического гамильтониана полной системы аналитически получена и решена система нелинейных квантовых интегро-дифференциальных уравнений Ланжевена для перевернутого осциллятора в пределе общей связи между коллективной и внутренней подсистемами. Показано, что уравнения движения для коллективной подсистемы удовлетворяют квантовым флуктуационно-диссипативным соотношениям и соотношению неопределенности. Из немарковских уравнений Ланжевена получены локальные по времени уравнения для первого и второго моментов, но с транспортными коэффициентами, зависящими явно от времени.

Подробно исследован случай линейной связи по импульсу и координате между коллективной и внутренней подсистемами. Получены асимптотики транспортных коэффициентов и рассмотрен марковский предел.

Во второй главе, используя развитый в первой главе микроскопический подход для описания динамики открытых квантовых систем, рассчитана проницаемость (вероятность прохождения) параболического барьера. Найденная в случае линейной связи по импульсу между коллективной и внутренней подсистемами проницаемость сравнивалась со случаем линейной связи по координате. Также рассмотрена проницаемость в случае, когда имеет место одновременно как линейная связь по импульсу, так и по координате. Изучены зависимости проницаемости барьера от времени, энергии, температуры, силы связи между коллективной и внутренней подсистемами. Для подбарьерных энергий обнаружен рост проницаемости при увеличении коэффициента трения.

Расчеты показывают, что с затуханием квантовые эффекты растут. Эти эффекты могут быть достаточно сильными при низких температурах. Полученные результаты подтверждают, что квантовая природа перехода через барьер должна быть учтена при расчете сечения захвата в ядро-ядерном столкновении.

В рамках используемого подхода рассмотрена квазистационарная скорость теплового распада метастабильного состояния. Исследована ее зависимость от коэффициента трения как в случае линейной связи по импульсу, так и в случае линейной связи по координате между коллективной и внутренней подсистемами. Показано, что данная зависимость является сравнительно слабой, когда имеется одновременно связь по импульсу и координате между подсистемами.

В третьей главе на основе вышеприведенного формализма изучен процесс захвата налетающего ядра ядром-мишенью при энергиях бомбардировки около и ниже кулоновского барьера. Рассмотрена эволюция двойной ядерной системы по коллективной координате относительного расстояния. Найдена формула для парциальной вероятности захвата, определяющей полное сечение захвата (сечение образования двойной ядерной системы).

С учетом вероятности захвата рассчитаны сечения захвата, среднеквадратичные угловые моменты составной системы, астрофизические ^-факторы, логарифмические производные Ь, а также распределения барьеров £) для различных реакций. Получено хорошее описание имеющихся экспериментальных данных как для надбарьерных, так и подбарьерных энергий для реакций со сферическими и деформированными ядрами. Предсказано уменьшение скорости падения сечения захвата при подбарьерных энергиях из-за изменения режима взаимодействия сталкивающихся ядер, так как при этих энергиях система оказывается вне зоны действия ядерных сил и ядерного трения. Данное изменение режима взаимодействия отражается также на среднеквадратичном угловом моменте (-}2)> логарифмической производной I и

астрофизическом ¿'-факторе. В зависимости среднеквадратичного углового момента и 5-фактора от Ест возникает минимум. Такое поведение ^У2^ должно приводить к увеличению анизотропии углового распределения продуктов деления и квазиделения.

103

10'

I

ю

5 "о. 10"1

ю-3

ю-5

35

30

£ 25

-о 20

V 15

10

5

. ■ 1 ' 1 1 1 ' 1 ' 1 ' 1 т "Т-*-Т ».

Г ч0+гмрь Р 1

Г / 1

Г / т

р у г

г у 1

г Т 1

р /

г Г £ 1.1. = 73.0 МэВ ^ « • • 1 I 1 1 ■ 1 1 1 Г

' 1 | 1 'Т'1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 } /Л /1

" Ф У

__Чу 1.1. (б)......1 1 1 1 1 .1

60 65 70 75 80 85 90 95 100

с. т.

Рис. 1. Зависимости расчетных (сплошные кривые) сечения захвата (а) и среднеквадратичного углового момента системы после захвата (б) от Ест для реакции ,6О+208РЬ в сравнении с экспериментальными данными, показанными значками. Стрелкой обозначена величина кулоновского барьера.

100 110 Е , МэВ

130

Рис.2. То же, что и на рис.1, только для реакции 22 N6 + 208 РЬ .

Чтобы исключить из рассмотрения эффекты, связанные с деформацией и ориентацией взаимодействующих ядер, в первую очередь были изучены следующие реакции со сферическими ядрами: 4Не, 1бО, 36 8 , 48Са, 50Т1 + 208РЬ, 209В{ и 22Не+208РЬ (рис. 1 и 2).

60 65 70 75 80 85 90 95 100 Ест . МэВ

Рис. 3. Зависимости расчетных сечений захвата (а) и среднеквадратичных угловых

Моментов системы после захвата (б) от Ес т. Для соответствующих реакций в сравнении с экспериментальными данными. Темными символами показаны экспериментальные данные для реакции ,60 + 2011РЬ, светлыми -для ,6О+204РЬ.

64 68 72 76 80 84 £ , МэВ

с. т.'

Рис. 4. Расчетные значения логарифмической производной Ь (а), астрофизического ^-фактора с Л о =п(£с.т. =УЬ) (б), где Т| -параметр Зоммерфельда, и распределения барьеров

0 = ^{Естосар)/с1Е^ (в) для .

соответствующих реакций. Темными символами показаны

экспериментальные данные для реакции |бО + 208РЬ, светлыми - для ,6О+204РЬ.

Исследована изотопическая зависимость сечения захвата и среднеквадратичного углового момента составной системы на примере следующих реакций: 4Не,160,368,48Са + 1%'200'204'208РЬ (рис. 3 и 4). Обнаружено, что увеличение числа нейтронов в РЬ способствует процессу захвата. Изотопическая зависимость сравнительно слабая в реакциях с 4Не и 16О, так как ядро-ядерный потенциал слабо зависит от массового числа ядра мишени для

сильно асимметричных реакций. В реакциях с 36 8 и 48 Са изотопическая зависимость оказывается более сильной. Наклон зависимости сечения захвата от Ест при глубоко подбарьерных энергиях не чувствителен к числу нейтронов системы.

Рис. 5. Зависимости расчетных сечения захвата (а) и среднего углового момента системы после захвата (б) от Ест для реакции |60 + 152 8т. Расчеты с учетом статической деформации ядер изображены сплошными кривыми, без учета - штриховыми. Символами показаны экспериментальные данные. Стрелкой обозначена величина кулоновского барьера в случае сферических ядер.

10 15 20 25 30 35 40 Л

Рис. 6. Зависимости расчетных парциальных сечений захвата от ./ при фиксированных Ес т для реакции

|60 + '"Бш. Расчеты с учетом статической деформации ядер изображены сплошными кривыми, без учета - штриховыми. Символами показаны экспериментальные

данные.

На примере реакций |бО+112Сс1, "Б + 1751л1, 2881+94Мо, 2881+100Мо,

160 + 1528т, 58 № +

1бО

+б4№,

64№+100Мо изучена роль деформации ядра-мишени и/или налетающего ядра, а также канала нейтронной передачи в процессе захвата в ядро-ядерном столкновении. Рассчитаны полные (рис. 5) и парциальные (рис. 6) сечения захвата и средние угловые моменты системы после захвата в сравнении с экспериментальными данными Показано, что экспериментально наблюдаемое увеличение подбарьерного сечения захвата и соответствующее изменение углового момента в этих реакциях связаны с эффектом квадрупольной деформацией сталкивающихся ядер. Для реакции 64№+100Мо учет эффекта двухнейтронной передачи слабо влияет на полное и парциальное сечения. Это связано с тем, что процесс передачи практически не вызывает изменение кулоновского барьера В реакции 58№+64№ двухнейтронная передача приводит к увеличению деформации легкого ядра и, соответственно, к уменьшению высоты кулоновского барьера, что в свою очередь усиливает захват. В реакциях 28 81 +94' |00Мо наблюдается противоположная картина.

В четвертой главе в рамках диффузионного подхода рассмотрен процесс деления возбужденных атомных ядер. Получены приближенные аналитические формулы для квазистационарной скорости деления (обобщенные формулы Крамерса) в случае использования микроканонического ансамбля. Путем сравнения результатов аналитических выражений и численного расчета с использованием диффузионного уравнения Смолуховского определена точность формул Крамерса в широком диапазоне отношения высоты барьера деления В/ к температуре Тс квазистационарного состояния как в случае микроканонического, так и канонического ансамблей (рис. 7). Найдено, что точность интегральной формулы Крамерса составляет 2%, что существенно выше, чем у обычной формулы, получаемой из интегральной при использовании квадратичного приближения и бесконечных пределов интегрирования. Расчеты проводились для трех ядер с различной высотой барьера деления и длиной спуска от седловой

точки до точки разрыва. Показано, что использование канонического ансамбля для процесса деления оправдано только в случае, когда атомное ядро находится в сильно возбужденном состоянии.

6 «и>"

0.2 0.

, ^ РгЕЕЕмН

у .яят^тм ' У г ^ у-у-у-V - V -V-V -

¥ ■^Эа ш V Г Ы ©

3 Т ■ и

▼ ж ■ * , , ¡Щ ▼ лг^ ▼ & - р И'

м \ ш . \

6 8 £

10 12 2 4

6 8 10 12 14 2 4 6 8 10 12 14

С £

Рис. 7. В зависимости от параметра е = Вг1Тс показаны относительные отклонения 4Ю =(Д; (V ) и £00 = (Л0-Я0)/Я0 (Т), рассчитанные для

случаев канонического (КА) (а-в) и микроканонического (МКА) (г-е) ансамблей, и отношение квазистационарных скоростей деления (ж-и). Расчеты сделаны с использованием Р-потенциала (аналитическая аппроксимация потенциала с конечным радиусом взаимодействия) для 232 и (слева), 214 Иа (в середине) и РЬ (справа). и Я0Тс - квазистационарные динамические скорости, рассчитанные в случаях МКА и КА соответственно. Я,, Я0 - квазистационарные скорости, рассчитанные по интегральной формуле и формуле в случае сверхзатухания соответственно, Я0 - квазистационарная динамическая скорость.

В заключении суммируются результаты, выдвигаемые на защиту.

В приложении даются явные выражения для эффективной температуры и асимптотических дисперсий коллективных координат.

На защиту выдвигаются следующие результаты:

• Разработан метод расчета проницаемости потенциального барьера и квазистационарной скорости теплового распада метастабильного состояния на основе микроскопического квантового диффузионного подхода. Метод используется как в случае только линейной связи по импульсу между коллективной и внутренней подсистемами, так и в более общем случае линейной связи по импульсу и координате. При подбарьерных энергиях предсказан рост проницаемости с диссипацией. Показано, что зависимость квазистационарной скорости теплового распада от коэффициента трения является сравнительно слабой при наличии связи по импульсу и координате между коллективной и внутренней подсистемами.

• Рассматриваемый подход использован для изучения процесса захвата налетающего ядра ядром-мишенью при энергиях бомбардировки около и ниже кулоновского барьера. Получена аналитическая формула для парциальной вероятности захвата, определяющей сечение образования двойной ядерной системы. Рассчитаны полные и парциальные сечения захвата, средние (У) и среднеквадратичные (У2^ угловые моменты образованной двойной ядерной системы, астрофизические ^-факторы, логарифмические производные Ь, а также распределения барьеров для различных реакций. Исследованы эффекты статической деформации взаимодействующих ядер, передачи нейтронов между ядрами на сечение захвата и изотопическая зависимость сечения захвата. Полученные результаты для реакций со сферическими и деформированными ядрами

находятся в хорошем согласии с имеющимися экспериментальными данными.

• Предсказано уменьшение скорости падения сечения захвата при подбарьерных энергиях из-за изменения режима взаимодействия сталкивающихся ядер вследствие того, что внешняя точка поворота находится вне области действия ядерного взаимодействия. Данное изменение режима взаимодействия приводит к возникновению экстремальных точек в зависимостях S-, ¿-факторов и (j2^ от энергии столкновения.

• Получены новые приближенные аналитические формулы для квазистационарной скорости деления (обобщенные формулы Крамерса) в случае использования микроканонического ансамбля. Путем сравнения результатов аналитических выражений и численных расчетов с использованием диффузионного уравнения определена точность формул Крамерса в широком диапазоне отношения высоты барьера деления к температуре в квазистационарном состоянии как в случае микроканонического, так и канонического описаний процесса деления.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. R.A. Kuzyakin, V.V. Sargsyan, G.G. Adamian, and N.V. Antonenko Peculiarities of the parabolic-barrier penetrability and thermal decay rate with the quantum diffusion approach // Phys. Rev. A. -2011. -v.83. -p.062117 (8 pages).

2. R.A. Kuzyakin, V.V. Sargsyan, G.G. Adamian, and N.V. Antonenko Probability of passing through a parabolic barrier and thermal decay rate: Case of linear coupling both in momentum and in coordinate II Phys. Rev. -2011. -v. 84. -p.032117 (9 pages).

3. I.I. Gontchar and R.A. Kuzyakin Integral Kramers formula for the fission rate versus the dynamical modeling: The case of

deformation-dependent temperature II Phys. Rev. C. -2011. -v.84. -p.014617 (9 pages).

4. P.A. Кузякин, B.B. Саргсян, Г.Г. Адамян, H.B. Антоненко Квантовое диффузионное описание процесса подбаръерного захвата в реакциях с тяжелыми ионами И Ядерная Физика -2012. -т.75. -с.475-484.

5. R.A. Kuzyakin, V.V. Sargsyan, G.G. Adamian, N.V. Antonenko, E.E. Saperstein, and S.V. Tolokonnikov Isotopic trends of capture cross section and mean-square angular momentum of captured system II Phys. Rev. C. -2012. -v.85. -p.034612 (12 pages).

6. V.V. Sargsyan, R.A. Kuzyakin, G.G. Adamian, N.V. Antonenko, W. Scheid, and H.Q. Zhang Sub-barrier capture with quantum diffusion approach II EPJ Web Conf. -2011. -v. 17. -p.04003 (6 pages).

7. I.I. Gontchar, R.A. Kuzyakin, E.G. Pavlova, and N.E. Aktaev, The nuclear fission process as Brownian motion: modifying the Kramers fission rates И J. Phys. Conf. Ser. -2012. in print (6 pages).

Получено 19 апреля 2012 г.

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 19.04.2012. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,06. Уч.-изд. л. 0,91. Тираж 100 экз. Заказ № 57627.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@jinr.ru www.jinr.ru/publish/

Введение

1 Квантовый диффузионный подход

1.1 Обобщенные немарковские уравнения Ланжевена.

1.1.1 Флуктуационно-диссипативные соотношения.

1.1.2 Транспортные коэффициенты.

1.1.3 Связь с диффузионными уравнениями.

1.1.4 Предел сильного затухания.

1.2 Линейная связь по импульсу и координате.

1.2.1 Линейная связь по импульсу.

1.2.2 Линейная связь по координате.

1.3 Выводы.

2 Прохождение через параболический барьер и распад мета-стабильного состояния

2.1 Проницаемость параболического барьера.

2.1.1 Линейная связь по импульсу.

2.1.2 Линейная связь по координате.

2.1.3 Линейная связь по импульсу и координате.

2.2 Тепловой распад метастабильного состояния.

2.3 Результаты расчетов.

2.3.1 Проницаемость барьера.

2.3.2 Скорость распада метастабильного состояния.

2.4 Выводы.

3 Квантовое диффузионное описание процесса подбарьерного захвата

3.1 Особенности подбарьерных процессов.

3.2 Реакции со сферическими ядрами.

3.2.1 Ядро-ядерный потенциал.

3.2.2 Сечение захвата

3.2.3 Результаты и обсуждение.

3.3 Изотопическая зависимость сечения захвата и среднеквадратичного углового момента. Результаты и обсуждение.

3.3.1 Ядро-ядерный потенциал.

3.3.2 Сечение захвата и среднеквадратичный угловой момент

3.3.3 Астрофизический 5-фактор, ^-фактор и распределения барьеров.

3.3.4 Безразмерное представление сечений захвата и среднеквадратичных угловых моментов.

3.4 Реакции с деформированными ядрами.

3.4.1 Ядро-ядерный потенциал.

3.4.2 Сечение захвата

3.4.3 Результаты и обсуждение.

3.5 Выводы.

4 Точность формул Крамерса для скорости деления возбужденных ядер: канонический и микроканонический ансамбли

4.1 Особенности рассматриваемого подхода.

4.2 Модель деления.

4.2.1 Аналитические выражения для квазистационарной скорости деления.

4.2.2 Динамическое моделирование.

4.3 Результаты и обсуждение.

4.4 Выводы.

Развитию формализма для описания статистического и динамического поведения открытых систем посвящено большое число работ [1-13]. Данный формализм применяется, в частности, для описания коллективного ядерного движения большой амплитуды, а именно, реакций захвата, слияния, квазиделения, многонуклонных передач с тяжелыми ионами и деления ядер [14-32]. В частности, интерес к стохастическим методам в ядерной физике чрезвычайно возрос после открытия реакций глубоконеупругих столкновений тяжелых ионов [31,32] и существенного увеличения экспериментальной информации по делению [33,34]. В таких процессах наиболее существенными считаются лишь некоторые коллективные (макроскопические) степени свободы, которые выбираются a priori, для интерпретации экспериментальных данных. Оценкой качества преобразования от исходных нуклонных переменных к коллективным, может служить, кроме макроскопической аналогии, слабость связи коллективных степеней свободы с остальными (внутренними) степенями свободы. Лишь при этом условии имеет смысл выделение коллективного движения [35]. Наиболее часто используемыми коллективными координатами при описании деления и ядерных реакций с тяжелыми ионами при низких энергиях около кулоновского барьера (<10 МэВ/нуклон) являются межцентровое расстояние или относительное удлинение системы, параметр шейки, деформации взаимодействующих ядер, массовая и зарядовая асимметрия. Число явно учитываемых коллективных координат можно уменьшить, принимая во внимание экспериментально установленное различие их характерных времен релаксации.

Таким образом, вышеуказанные ядерные процессы описываются с помощью небольшого числа медленных коллективных степеней свободы, которые взаимодействуют с термостатом, образованным всеми остальными быстрыми одночастичными степенями свободы. Тогда динамика коллективных переменных становится похожей на динамику классической броуновской частицы, так как в каждом акте взаимодействия с одночастичной подсистемой энергия коллективной подсистемы изменяется на относительно малую величину. Динамическим уравнением в такой физической модели является стохастическое уравнение Ланжевена или физически эквивалентное ему диффузионное уравнение Фоккера-Планка для функции распределения коллективных координат и сопряженных им импульсов. Для решения этих уравнений необходимо знание транспортных коэффициентов: потенциальной энергии, массовых параметров, коэффициентов трения и диффузии. При рассмотрении конкретных ядерных процессов стохастические уравнения и транспортные коэффициенты определяются микроскопически или феноменологически.

Предложенный в [36,37] диффузионный подход был обобщен на случай нескольких коллективных степеней свободы в работах [38, 39] и применен для описания наблюдаемых дисперсий массового [40], энергетического и зарядового распределений осколков деления возбужденных ядер. Для расчета потенциальной энергии делящегося ядра использовалась жидкокапельная модель. Тензоры инерции и трения в уравнении Фоккера-Планка рассчитывались в гидродинамическом приближении Вернера-Уилера. Гидродинамическое приближение для коэффициентов трения соответствует предположению, что ядерная вязкость имеет двухтельный механизм, свойственный обычным жидкостям. Для сравнения в расчетах использовались также коэффициенты "поверхностной" однотельной диссипации. Компоненты диффузионного тензора вычислялись по классической формуле Эйнштейна.

В рамках стохастического подхода [30], основанного на многомерном классическом уравнении Ланжевена для коллективных координат удлинения системы, параметра шейки и массовой асимметрии, были изучены множественности предделительных нейтронов, массово-энергетические, зарядовые, угловые распределения фрагментов деления возбужденных ядер в широком диапазоне параметров делимости и энергий возбуждения ядер. Одновременное описание массово-энергетического распределения осколков и средних множественностей предразрывных нейтронов в делении сильно возбужденных ядер достигается в предположении однотельного механизма вязкости с редуцированным на фактор 0.25-0.5 коэффициентом трения, полученным с помощью формулы "стенки" [30,41]. Был сделан однозначный выбор относительно того, какой механизм ядерной вязкости, двухтельный или однотельный, реализуется при делении ядра. Однако не достаточно изучена зависимость ядерного трения от температуры и формы ядра. Вопрос, как быстро сильно возбужденное ядро меняет свою форму, важен для понимания механизмов ядерных реакций и деления. Для более обоснованных выводов, касающихся зависимости ядерной вязкости от температуры и коллективных координат, необходимо использовать в динамических расчетах более реалистичные варианты статистического описания эмиссии частиц. Следует отметить работы [42,43], в которых в рамках теории линейного отклика было установлено соответствие между классической и квантовой формулировками однотельной диссипации, выведены выражения для функции отклика и транспортных коэффициентов в приближениях среднего поля и Хартри-Фока-Боголюбова, продемонстрировано влияние оболочечных эффектов на величину коэффициента трения вдоль долины деления 224ТЪ.

С помощью комбинированной динамическо-статистической модели [25] (статистическая модель испарения частиц объединена с классической ланже-веновской динамикой) были проанализированы экспериментальные данные (множественности предразрывных нейтронов и заряженных частиц и вероятности (сечения) деления), несущие информацию о диссипативных свойствах делительной моды. Аномально резкое возрастание диссипации для сильно деформированных конфигураций, близких к разрыву, которое было введено в работе [25] для описания многочисленных экспериментальных данных, не получило впоследствии должного теоретического объяснения.

Имеющиеся на данный момент теоретические модели предсказывают величину коэффициента затухания от 102 - 104 [44] до 2 - 6 [45] в единицах 1021 сек-1. Зависимость ядерной вязкости от температуры также варьируется весьма широко: от приблизительно прямо пропорциональной (с возрастанием от 0.4 х 1021 сек-1 при Т = 0.5 МэВ до 7.6 х 1021 сек"1 при Т = 4 МэВ) [46] до обратно пропорциональной квадрату температуры (прямо пропорциональной времени релаксации нуклонного движения), как это должно быть для ферми-жидкости [47]. Ситуация осложняется тем, что ядерное трение не является экспериментально измеряемой величиной и должно извлекаться из данных с привлечением модельных предположений. В работах [33,48,49] было проанализировано влияние диссипации на распределение кинетической энергии осколков деления. Многолетние теоретические исследования [24,48,50-54] показали, однако, что сильная зависимость расчетных кинетических энергий от критерия разрыва ядра на два осколка деления не позволяет извлечь из сравнения с экспериментальными данными тип и величину ядерного трения. Решая уравнение Ланжевена с задержанным трением, в работе [55] было показано, что из-за эффектов памяти время спуска с седла до разрыва возрастает приблизительно в 3 раза и полная кинетическая энергия осколков заметно уменьшается при делении 236и. Поэтому количественные оценки вязкости, в частности однотельной, в рамках немарковской модели могут существенно отличаться от тех, которые получены в предположении марковского характера динамики деления. На основе расчетов потенциальной энергии и экспериментальных данных по полным кинетическим энергиям осколков деления в работе [56] было показано, что только слабая диссипация совместима с существующими экспериментальными данными по вынужденному делению тепловыми нейтронами. Данный полуэмпирический метод не использует предположений о динамике ядерного движения или механизме диссипации в делении.

В работах [57,58] было изучено влияние трения на скорость деления и показано, что диссипативные эффекты могут приводить к эмиссии большего числа нейтронов из делящегося ядра, чем это предсказывается равновесной статистической моделью. Одно из возможных объяснений появления избыточных нейтронов, заряженных частиц и гамма-квантов в том, что ток через барьер деления сильно зависит от ядерной вязкости и существует время задержки (переходное время) между началом процесса диффузионного деления и установлением квазистационарного тока вероятности через седловую точку [57-62]. Если время задержки порядка или больше, чем характерное время эмиссии частицы, то можно ожидать сильное уменьшение вероятности деления на первых шагах каскада девозбуждения. Таким образом, знание значений времен деления и задержки, которые зависят от ядерной вязкости, является критическим для интерпретации экспериментальных данных. Экспериментальные данные [63-65] качественно подтвердили выводы теоретических работ [58].

Простейшую оценку для скорости деления можно получить, исходя из формул Крамерса. В своей пионерской работе [66] Крамере продемонстрировал влияние диссипации на скорость распада метастабильного состояния. А именно, были получены формулы для скорости распада, которые могут быть использованы при различных режимах распада: предел сильного затухания (импульс релаксирует гораздо быстрее координаты), предел слабого затухания и промежуточный случай, когда времена релаксации импульса и координаты сравнимы [66]. Крамерсом было отмечено, что полученные формулы можно использовать для описания процесса деления атомных ядер. Это было сделано 40 лет спустя (см., например, [57,67-69]). Квантовые поправки к одной из формул Крамерса были получены в [70,71]. В литературе используют формулу Крамерса как с учетом, так и без учета времени задержки деления.

Транспортные (стохастические) модели [22, 72-81] наиболее широко используются для описания глубоконеупругих столкновений тяжелых ионов. Обмен массой и зарядом, передачу энергии и углового момента относительного движения во внутренние степени свободы можно успешно интерпретировать как неравновесный диффузионный процесс. Предполагая явно или неявно статистические гипотезы для гамильтониана взаимодействия коллективных и внутренних степеней свободы, можно вывести кинетические уравнения из динамического уравнения движения Лиувилля. Такой вывод позволяет получить микроскопические транспортные коэффициенты [82]. В макроскопических диффузионных моделях транспортные коэффициенты считают пропорциональными отношению фазовых объемов состояний возбужденной системы. Например, направление передачи нуклонов определяется балансом между полными энергиями различных конфигураций двойной ядерной системы, которая формируется на начальной стадии столкновения ядер.

В рамках микроскопического подхода были предложены такие транспортные модели, как приближение случайных матриц [22,72-74], модели одно-тельной диссипации [81-87] и линейного отклика [77-79], которые стимулировали развитие теории коллективного ядерного движения большой амплитуды. В этих моделях отсутствует микроскопическое самосогласование плотности и ядерного потенциала. Основным кинетическим уравнением является мастер-уравнение или уравнение Фоккера-Планка. Решение уравнения Фоккера-Планка содержит информацию о средних значениях и флук-туациях динамических переменных. Средние значения удовлетворяют уравнению Ньютона с силами трения. В рамках одночастичных моделей [80,81] вычислялись транспортные коэффициенты для уравнения Фоккера-Планка или мастер-уравнения, описывающего перенос массы и заряда, энергии и углового момента. Поскольку подход [80] не использует теорию возмущения в противоположность моделям [81-87], где связь между коллективными и внутренними движениями описывается не самосогласованно, а только в среднем и в первом порядке теории возмущения (предел слабой связи), транспортные коэффициенты в этих подходах сильно различаются. Во всех этих моделях внутренняя система описывается как сумма независимых внутренних подсистем каждого из ядер, т.е. предполагается, что партнеры реакции сохраняют свою индивидуальность. Влияние структуры взаимодействующих ядер проявляется в зависимости транспортных коэффициентов от плотности одночастичных уровней. В работах [75,80,82-87] учитываются некогерентные частично-дырочные возбуждения и обмен нуклонами между ядрами, вызванные недиагональными матричными элементами одночастичного потенциала. Модель [81] рассматривает только обмен нуклонами и является микроскопическим аналогом классической картины обмена частицами через окно в ходе столкновения ядер (модель "близости" [88]). Статистическая гипотеза входит в эти модели вместе с предположением о быстрой хаотизации движений нуклонов в каждом из ядер. Интригует простота моделей [81,82,84-87] и успех в описании потерь кинетической энергии (формула "окна") и ширин массовых (зарядовых) распределений продуктов реакций многонуклонных передач.

В теории линейного отклика [77,89] используют предположение о том, что в каждой точке классической траектории внутренняя система близка к термодинамическому равновесию. Тогда можно вычислить отклонение матрицы плотности внутренней системы от равновесной по теории возмущения. Теория линейного отклика сформулирована в квазиадиабатическом представлении (предел слабой связи), т.е. модель верна только для малых коллективных скоростей. Возбуждение внутренней системы (некогерентные частично-дырочиые возбуждения в двухцентровом потенциале) вызывается за каждый бесконечно малый промежуток времени изменением среднего поля двойной ядерной системы. В качестве коллективных степеней свободы в данной модели учитываются относительное движение ядер, массовая (зарядовая) асимметрия, форма ядер. Связь макроскопических и микроскопических степеней свободы осуществляется посредством тензора трения. Причем трение и коэффициент диффузии связаны соотношением Эйнштейна. Диссипация в теории линейного отклика является квантово-механической версией классического однотельного трения (формула "стенки"). Необратимость движения возникает в результате перехода к макроскопическому пределу в системе независимых частиц.

Обычно предполагают, что образовавшаяся двойная ядерная система сильно возбуждается и локальное равновесие реализуется в течение очень короткого интервала времени. Это хорошее приближение для конечной стадии реакции, но оно может быть некорректно при описании относительно быстрой начальной стадии. Расчеты показывают, что на начальной стадии глубоконе-упругих столкновений с тяжелыми ионами доминируют сильные когерентные возбуждения, которые распадаются на некогерентные сложные состояния в течение времени установления локального равновесия. Для учета нестатистической начальной фазы столкновения в работе [90] было получено модифицированное уравнение Фоккера-Планка.

В модели "диссипативной диабатической динамики" [91] также учитывались когерентные возбуждения и эффекты памяти на начальной стадии реакции. В работе [23], наоборот, предполагалось, что на стадии подлета ядер друг к другу существенны некогерентные одночастичные возбуждения, и для расчета транспортных коэффициентов использовались динамические числа заполнения одночастичных состояний взаимодействующих ядер.

В модели, предложенной на основе концепции двойной ядерной системы, процессы полного слияния и квазиделения (распад двойной ядерной системы) рассматриваются как диффузионные процессы по коллективным координатам массовой [зарядовой] асимметрии 7] = (.А\ — А2)/(А\ + Лг) [т]2 = (Zl —Z2)/(Zl + Z2)], где [£»] - массовое [зарядовое] число г-го кластера, и относительного расстояния Я между центрами масс ядер соответственно [26,92-98]. Составное ядро образуется посредством диффузии нуклонов из легкого ядра в тяжелое ядро. В силу статистического характера эволюции в массивных двойных ядерных системах возникает конкуренция между каналами полного слияния и квазиделения. Эта конкуренция может сильно уменьшить сечение слияния с уменьшением асимметрии во входном канале, что прекрасно согласуется с экспериментом. Для расчета сечения слияния было использовано квазистационарное решение двухмерного (по координатам г) и Я) диффузионного уравнения Фоккера-Планка [99]. Диссипативное коллективное ядерное движение большой амплитуды, которое происходит при слиянии и квазиделении было также проанализировано в рамках транспортной теории, решая двухмерное (по координатам т? и г}г) мастер-уравнение для приведенной матрицы плотности с учетом процесса распада двойной ядерной системы [27]. В этой модели удалось впервые описать и предсказать сечения образования трансактинидных и сверхтяжелых элементов, массовые и энергетические распределения продуктов квазиделения. Следует отметить и другие модели слияния [100], в которых использованы стохастические уравнения и где основной коллективной переменной, ответственной за полное слияние, является межцентровое расстояние или удлинение системы.

Для описания процессов захвата и слияния атомных ядер помимо стохастических подходов используются и чисто квантовомеханические подходы. Простейший из таких подходов рассматривает процесс прохождения куло-новского барьера в одномерном случае (единственной коллективной переменной является относительное расстояние между сталкивающимися ядрами) [101-103]. Данная модель используется для описания экспериментальных сечений слияния в околобарьерной области и успешно описывает только реакции с легкими ядрами. Для средних и тяжелых систем наблюдается значительное отличие в подбарьерной области. В работе [104] было предложено описывать экспериментальные сечения слияния посредством введения нулевых колебаний поверхностей взаимодействующих ядер. В рамках данной процедуры было получено хорошее описание подбарьерных экспериментальных данных, однако при надбарьерных энергиях модель дает превышение экспериментальных сечений слияния (захвата). Метод связанных каналов также используется для описания процессов захвата и слияния [105-107]. В рамках данного метода учитывается связь относительного движения с различными низколежащими коллективными степенями свободы сталкивающихся ядер (например, связь относительного движения с динамическими квадрупольны-ми и октупольными модами налетающего ядра и ядра-мишени). Подход дает в целом удовлетворительное описание сечений захвата и слияния при подбарьерных и надбарьерных энергиях для различных реакций, однако в глубоко подбарьерном случае такого согласия нет [108]. Использование неглубокого ядро-ядерного потенциала с отталкивающим кором [109-111] значительно улучшает согласие между теорией и экспериментом. Кроме связи между коллективными возбуждениями оказывается важен и учет диссипации, которая моделируется затуханием в каждом из каналов в [112,113]. Но при этом сильно растет число свободных параметров модели. Таким образом, для того чтобы прояснить поведение сечений захвата и слияния при подбарьерных энергиях, необходимо дальнейшее развитие теоретических методов.

Хотя стохастический подход, основанный на диффузионном уравнении Фоккера-Планка, успешно применялся для решения многих задач коллективной ядерной динамики [24,57,114-118], предпочтение тем не менее отдается использованию уравнений Ланжевена, поскольку точное решение уравнения Фоккера-Планка ограничено малой размерностью фазового пространства [57,114] и часто требует использования различных приближений: метода глобального моментного приближения или редуцированного пропагато-ра [24]. В то же время уравнения Ланжевена могут быть решены численно без привлечения дополнительных упрощений, в том числе и для многомерного случая. В кинетической теории метод Ланжевена значительно упрощает вычисление неравновесных квантовых и тепловых флуктуаций и обеспечивает ясную картину как марковской, так и немарковской динамики процесса [3-10].

Хотя многие свойства деления и ядерных реакций имеют квантовую природу, во многих исследованиях на основе транспортных моделей квантовые статистические эффекты игнорируются и используется классическое описание, в котором коэффициенты трения и диффузии связаны через классическое флуктуационно-диссипативное соотношение. Например, влияние релаксационных эффектов на временную зависимость ширины деления изучено лишь на основе классических уравнений Фоккера-Планка и Ланжевена [24,25,30]. Рассмотрение затухания и флуктуаций в коллективной квантовой системе в основном ограничивалось марковским пределом (мгновенная диссипация, гауссовские дельта-коррелированные флуктуации) и пределом слабой связи или высоких температур. Нелокальность диссипации (эффекты памяти) обычно не принималась во внимание при описании реакций с тяжелыми ионами и деления. До недавнего времени считалось, что процесс деления является марковским: время релаксации одночастичной подсистемы заметно меньше характерного времени коллективного движения. В этом случае коллективное движение подвержено броуновскому белому шуму.

Изучение поведения диссипативной квантовой немарковской системы вне предела слабой связи или высоких температур вызвало большой интерес к точно решаемым моделям [10-12,119-128]. В этих моделях внутренняя подсистема представляется набором гармонических осцилляторов, взаимодействие которых с коллективной подсистемой гармонического осциллятора осуществляется через линейную связь между координатами. Плотность осцилляторов и константы связи между внутренней и коллективной подсистемами выбираются такими, чтобы уравнения движения для средних принимали классический вид.

Важной составляющей рассматриваемых процессов является проблема преодоления потенциального барьера, как при энергиях выше барьера, так и при подбарьерных энергиях. Данная проблема специфична не только для ядерной, но и для атомной физики. Такие явления, как деление возбужденных атомных ядер, диссоциация молекул с теоретической точки зрения представляют собой распад возбужденной системы, которая, первоначально находясь в квазистационарном (метастабильном) состоянии, преодолевает потенциальный барьер благодаря тепловым флуктуациям. Подбарьерные процессы играют важную роль, например, в таких процессах, как захват налетающего ядра ядром-мишенью, слияние тяжелых ионов и спонтанное деление атомных ядер. Квантовый флуктуационно-диссипативный (диффузионный) подход позволяет построить корректное описание таких процессов [11].

Теория открытых квантовых систем хорошо подходит для рассмотрения диссипации и диффузии в слиянии и делении атомных ядер. Среди квантовых транспортных уравнений можно отметить феноменологическое уравнение Линдблада [129-131]. Используя уравнение Линдблада, в работах [13] был рассмотрен процесс прохождения потенциального барьера в зависимости от величин диффузионных коэффициентов. Результаты показали, что вероятность туннелирования в открытых квантовых системах сильно зависит от величины связи с термостатом. Диссипация иногда способствует туннелиро-ванию, но препятствует прохождению при надбарьерных энергиях. С ростом коэффициента диффузии по координате проницаемость барьера увеличивается, а декогерентность состояний уменьшается.

Таким образом, возможны два взаимосвязанных пути дальнейшего развития теоретических исследований коллективного ядерного движения большой амплитуды: разработка новых теоретических моделей и совершенствование существующих моделей, расширение границ их применимости. Даже в рамках классического описания правильный учет особенностей ядерных реакций может существенно улучшить согласие теории с экспериментальными данными.

Диссертация направлена на решение следующих проблем. Основной целью работы является разработка формализма для теоретического описания коллективного ядерного движения большой амплитуды в рамках квантового флуктуационно-диссипативного (диффузионного) подхода, учитывающего различные квантовомеханические, диссипативные и немарковские эффекты, и описание на его основе экспериментальных данных по ядерным реакциям слияния (захвата) и деления. Одной из целей данной работы является исследование роли квантовых и немарковских эффектов при прохождении потенциального барьера (при образовании двойной ядерной системы и при распаде метастабильного состояния). При рассмотрении теплового распада метастабильного состояния необходимо изучить переход к марковскому пределу и связь с формулами Крамерса для квазистационарной скорости распада, а также рассмотреть возможность обобщения формул Крамерса в случае использования микроканонического описания процесса деления. Путем сравнения результатов аналитических выражений и численного расчета с использованием диффузионного уравнения Смолуховского будет исследована точность формул Крамерса.

Основные результаты диссертации:

1. Разработан метод расчета проницаемости потенциального барьера и квазистационарной скорости теплового распада метастабильного состояния на основе микроскопического квантового диффузионного подхода. Метод используется как в случае только линейной связи по импульсу между коллективной и внутренней подсистемами, так и в более общем случае линейной связи по импульсу и координате. При энергиях ниже кулонов-ского барьера предсказан рост проницаемости с диссипацией. Показано, что зависимость квазистационарной скорости теплового распада от коэффициента трения является сравнительно слабой при наличии связи по импульсу и координате между коллективной и внутренней подсистемами.

2. Рассматриваемый подход использован для изучения процесса захвата налетающего ядра ядром-мишенью при энергиях бомбардировки около и ниже кулоновского барьера. Получена формула для парциальной вероятности захвата, определяющей сечение образования двойной ядерной системы. Рассчитаны полные и парциальные сечения захвата, средние < 3 > и среднеквадратичные < З2 > угловые моменты образованной двойной ядерной системы, астрофизические ^-факторы, логарифмические производные Ь, а также распределения барьеров для различных реакций. Исследованы эффекты статической деформации взаимодействующих ядер, передачи нейтронов между ядрами на сечение захвата и изотопическая зависимость сечения захвата. Полученные результаты для реакций со сферическими и деформированными ядрами находятся в хорошем согласии с имеющимися экспериментальными данными.

3. Предсказано уменьшение скорости падения сечения захвата при подба-рьерных энергиях из-за изменения режима взаимодействия сталкивающихся ядер вследствие того, что внешняя точка поворота находится вне области действия ядерного взаимодействия. Данное изменение режима взаимодействия приводит к возникновению экстремальных точек в зависимостях S-, L-факторов, <J> и < J2> от энергии столкновения.

4. Получены новые приближенные аналитические формулы для квазистационарной скорости деления (обобщенные формулы Крамерса) в случае использования микроканонического ансамбля. Путем сравнения результатов аналитических выражений и численного моделирования с использованием диффузионного уравнения определена точность формул Крамерса в широком диапазоне отношения высоты барьера деления к температуре в квазистационарном состоянии как в случае микроканонического, так и канонического ансамблей.

В дальнейшем в рамках предложенной квантовой диффузионной модели захвата мы планируем:

• учесть и изучить эффекты динамической деформации сталкивающихся ядер, например, эффекты возбуждения мягких дипольных мод;

• произвести расчеты сечений захвата (полного слияния) в реакциях с экзотическими ядрами, например, с легкими ядрами с нейтронным гало;

• исследовать изотопическую зависимость сечений захвата (полного слияния) в реакциях с нейтронообогащенными радиоактивными ядрами, например, 24-30Ne+209Bi, 40>48Са + 66~78Ni, 88"98Kr, 126"136Sn, 138~148Хе,

140-150jga.

• используя экспериментальные сечения полного слияния, извлечь факторы запрета на полное слияние (вероятность квазиделения) и их зависимость от энергии сталкивающихся ядер в реакциях 90'96Zr, 124Sn +

90,92,94,96Zr> Ю0Мо + 90,92%г^ 92,96,98,100^ 104Ru^ 110pd R ПОрд + U0pd

В заключении автор хотел бы выразить искреннюю благодарность своим научным руководителям Г.Г. Адамяну и И.И. Гончару за постановку задачи, помощь в работе и постоянную поддержку. Особую признательность автор испытывает к коллегам, в соавторстве с которыми проведены исследования, - Н.Е. Актаеву, Н.В. Антоненко, Е.Г. Павловой, В.В. Саргсяну. Я благодарю руководство Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова и Омского государственного университета путей сообщения за предоставленную возможность для выполнения диссертационой работы.

Заключение