Квантовые статистические эффекты в ядерных реакциях, делении и открытых квантовых системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

7-2008-131

На правах рукописи УДК 539 17

СЮ34484Ыэ

САРГСЯН Вазген Валерикович

КВАНТОВЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ В ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЯХ, ДЕЛЕНИИ И ОТКРЫТЫХ КВАНТОВЫХ

СИСТЕМАХ

Специальность: 01.04.16 — физика ядра и элементарных частиц

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 6 ОКТ 2008

Дубна 2008

003448456

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им Н Н Боголюбова Объединенного института ядерных исследований

Научные руководители:

кандидат физико-математических наук, с н с

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

Ю М Чувильский (НИИ ЯФ им Д В.Скобельцына МГУ)

доктор физико-математических наук,

профессор В Д Тонеев (ЛТФ ОИЯИ)

Ведущая организация:

РНЦ "Курчатовский институт", г Москва

Защита диссертации состоится " 12 " ¿-'-о 2008 г в "__"на

заседании диссертационного совета Д720 001 01 при Объединенном институте ядерных исследований, г Дубна Московской области

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований

Автореферат разослан " 3 " е^гЛи 2008 г

Г Г Адамян (ЛТФ ОИЯИ) Р В Джолос (ЛТФ ОИЯИ)

Ученый секретарь

диссертационного совета —' А Б Арбузов

Общая характеристика диссертации

Актуальность темы Развитию формализма для описания статистического и динамического поведения открытых систем посвящено большое число работ Данный формализм применяется для описания деления ядер и реакций слияния, квазидсления, многонуклонных передач с тяжелыми ионами при низких энергиях (<10 МэВ/нуклон) В таких процессах наиболее существенными считаются лишь некоторые коллективные (макроскопические) степени свободы, которые выбираются исходя из потребностей интерпретации экспериментальных данных Наиболее часто используемыми коллективными координатами являются межцентровое расстояние или относительное удлинение системы, параметр шейки, массовая (зарядовая) асимметрия и деформации ядер Динамическим уравнением для коллективных координат является стохастическое уравнение Ланжевена или физически эквивалентное ему диффузионное уравнение Фоккера-Планка для функции распределения коллективных координат и сопряженных им импульсов Для решения этих уравнений необходимо знание транспортных коэффициентов потенциальной энергии, массовых параметров, коэффициентов трения и диффузии В конкретных расчетах стохастические уравнения и транспортные коэффициенты определяются в основном в рамках феноменологических подходов Сами стохастические уравнения обычно вводятся при описании динамики деления феноменологически

Имеющиеся на данный момент теоретические модели предсказывают величину коэффициента затухания от 102 - 104 до 2-6 в единицах 1021 с-1 Зависимость ядерной вязкости от температуры Т также варьируется весьма широко от приблизительно прямо пропорциональной (с возрастанием от 0 4 х 1021 с-1 при Т = 0 5 МэВ до 7 6 х 1021 с-1 при Т = 4 МэВ) до обратно пропорциональной квадрату температуры (прямо пропорциональной времени релаксации нуклонного движения), как это должно быть для ферми-жидкости Ситуация осложняется тем, что ядерное трение не является экспериментально наблюдаемой величиной и должно извлекаться из большого числа экспериментально

наблюдаемых величин В связи с этим возникает необходимость создания микроскопических моделей для расчета коэффициентов трения и диффузии

Хотя многие свойства деления и ядерных реакций имеют квантовую природу, во многих исследованиях на основе транспортных моделей квантовые статистические эффекты игнорируются и используется классическое описание, в котором коэффициенты трения и диффузии связаны через классическое флуктуа-ционно-диссипационное соотношение Рассмотрение затухания и флуктуаций в коллективной квантовой системе в основном ограничено марковским пределом (мгновенная диссипация, гауссовские дельта-коррелированные флуктуации) и пределом слабой связи или высоких температур Нелокалыюсть диссипации обычно не принимается во внимание при описании достаточно быстрых процессов, например, при описании реакций с тяжелыми ионами и деления То есть считается, что эти процессы являются марковскими время релаксации од-ночастичной подсистемы заметно меньше характерного времени коллективного движения Поэтому количественные оценки вязкости, в частности однотельной, в рамках немарковской модели могут существенно отличаться от тех, которые получены в предположении марковского характера динамики деления До сих пор нет модели, которая учитывала бы все квантовые эффекты и эффекты немарковости при прохождении через потенциальный барьер

Подбарьерные процессы играют важную роль в различных процессах в ядерной физике, например, в захвате налетающего ядра ядром-мишени при энергиях около кулоновского барьера, или в спонтанном делении ядер Теория открытых квантовых систем хорошо подходит для описания подбарьерных процессов и, соответственно, необходимо развитие этой теории Целью работы

является разработка формализма для описания коллективной ядерной диссипа-тивной динамики реакций слияния, квазиделения, деления и многонуклонных передач при низких энергиях, и изучение на его основе влияния квантовых статистических эффектов на процессы захвата бомбардирующего ядра ядром-мишени и вынужденного деления

Научная новизна и практическая ценность.

• В рамках микроскопического подхода получена система нелинейных уравнений Ланжевена в пределе общей связи между коллективной и внутренней (бозонной или фермионной) подсистемами Исходя из немарковских уравнений Ланжевена разработана новая методика получения транспортных коэффициентов, зависящих явно от времени Для немарковской динамики получены наборы диффузионных коэффициентов, которые сохраняют состояние системы чистым Полученные аналитические формулы могут быть использованы для описания флукгуационно-диссипациошюй динамики ядерных реакций слияния, квазиделения, многонуклонных передач и деления Развитый подход полезен при описании времен жизни мета-стабильных систем, переходных процессов и декогерентности в квантовых системах

• Разработан новый численный метод решения мастер-уравнения для редуцированной матрицы плотности и эквивалентного ему квантового диффузионного уравнения для функции Вигнера Данный метод полезен для изучения под- и надбарьерных процессов Впервые показано, что координатная зависимость диффузионных коэффициентов завышает или занижает скорость распада метастабилыюго состояния на несколько порядков в зависимости от соотношения значений диффузионных коэффициентов на барьере и в минимуме потенциальной ямы

• Развитый микроскопический подход и численный метод решения мастер-уравнения для матрицы плотности использован для изучения влияния квантовых статистических эффектов на процессы захвата налетающего ядра ядром-мишени и деления ядер Впервые рассчитаны переходные времена деления в рамках квантовой диффузионной модели Показано, что в сильно возбужденных ядрах деление затруднено из-за переходных эффектов Это можно эффективно описать в рамках статистической модели с модификацией Крамерса, используя большие значения коэффициента трения

• Изучена роль статической деформации ядра-мишени или налетающего ядра в процессе захвата в ядро-ядерном столкновении С учетом вероятности захвата, рассчитаны сечения образования трансурановых элементов в реакциях слияния при подбарьерных энергиях

Апробация работы Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах в Лаборатории теоретической физики им Н Н Боголюбова 0бъединенно1 о института ядерных исследований (Дубна), а также представлялись и докладывались в институте теоретической физики Университета г Гиссен (Германия) и на международной семинаре "Ядерная теория и астрофизические применения" (Дубна, 2007) Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 работ Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения общим объемом 114 страниц, включая 52 рисунков и список цитированной литературы из 175 наименований

Содержание работы

Во введении обсуждается актуальность работы и мотивация проводимых исследований, дается краткий обзор по теме диссертации

В первой главе из микроскопического гамильтониана полной системы аналитически получена и решена система нелинейных уравнений Ланжевена для затухающего гармонического и перевернутого осцилляторов в пределе общей связи между коллективной и внутренней (бозонной или фермионной) подсистемами Показано, что уравнения движения для коллективной подсистемы удовлетворяют квантовым флуктуационно-диссипационным соотношениям и соотношению неопределенности Из немарковских уравнений Ланжевена получены локальные по времени уравнения для первого и второго моментов, но с транспортными коэффициентами, зависящими явно от времени Дано микроскопическое обоснование аксиоматического подхода Линдблада

Для немарковской динамики получены наборы диффузионных коэффици-

ентов, которые сохраняют состояние системы чистым

В случае затухающего осциллятора и линейной связи по импульсу изучены асимптотики корреляционных функций Показано, что при низких температурах осциллятор имеет степенной закон распада корреляционных функций в пределе больших времен Такое поведение не наблюдается в классическом пределе высоких температур, где имеет место экспоненциальный распад

Во второй главе используя развитый в первой главе микроскопический подход для описания динамики открытых квантовых систем, рассчитана проницаемость потенциального барьера Рассмотрена эволюция двойной ядерной системы по коллективным координатам массовой асимметрии и относительного расстояния Показано, что для рассматриваемых коллективных координат значения микроскопических диффузионных коэффициентов для гармонического и перевернутого осцилляторов близки Различие значений коэффициентов диффузии для гармонического и перевернутого осцилляторов уменьшается с ростом температуры Значения асимптотических коэффициентов диффузии меняются непрерывно при переходе от гармонического осциллятора к перевернутому осциллятору Установлены ограничения для использования при низких температурах микроскопических диффузионных коэффициентов перевернутого осциллятора

Показано, что в пределе сильного затухания проницаемость параболического барьера по координате массовой асимметрии (относительного расстояния), рассчитанная с помощью зависящих от времени микроскопических коэффициентов диффузии для перевернутого осциллятора, оказываются больше в 7 - 8 (3 - 4) раз, чем проницаемость, рассчитанная с помощью постоянного феноменологического коэффициента диффузии по импульсу

Расчеты показывают, что с затуханием растут квантовые эффекты Эти эффекты могут быть достаточно сильными при низких температурах Для иллюстрации показано, что квантовые статистические эффекты увеличивают вероятность прохождения через кулоновский барьер, те вероятность формирования двойной ядерной системы Полученные результаты подтверждают, что

квантовая природа перехода через барьер должна быть учтена при расчете сечения захвата в ядро-ядерном столкновении

Показано, что рост проницаемости с кинетической энергией является достаточно слабой, особенно при больших трениях Для энергий достаточно ниже кулоновского барьера наблюдается рост проницаемости с диссипацией Это объясняется уменьшением скорости диссипации энергии коллективной подсистемы из-за малости кинетической энергии и большого значения коэффициента диффузии по импульсу

В третьей главе решая мастер-уравнение для приведенной матрицы плотности для квантовой нелинейной коллективной подсистемы, обнаружено сильное влияние диффузионных коэффициентов, зависящих от координаты, на скорость распада метастабильного состояния при низких температурах (выше температуры перехода от термического режима к туннельному режиму) Полученные результаты расчетов скорости распада при низких температурах показывают, что координатную зависимость диффузионных коэффициентов необходимо учитывать в случае сложных потенциалов Пренебрегая координатной зависимостью диффузионных коэффициентов при низких температурах, можно завысить или занизить скорость распада на несколько порядков в зависимости от соотношения значений диффузионных коэффициентов на барьере и в минимуме потенциальной ямы Влияние координатной зависимости диффузионных коэффициентов на скорость распада намного сильнее, чем влияние квантовых эффектов из-за негармоничности потенциала Данный эффект может быть важным в процессе спонтанного или вынужденного деления

Асимптотические значения скорости распада, полученные с феноменологическими и микроскопическими диффузионными коэффициентами, близки Поэтому существует возможность феноменологического описания процесса распада Однако использование феноменологических диффузионных коэффициентов для потенциала с отрицательной жесткостью ограничено условием МЩЧ)!{2Т)} > о

Показано, что при низких температурах квазистационарная вероятность рас-

пада может даже расч и с увеличением трения, особенно с диффузионными коэффициентами, зависящими от координаты Это можно объяснить тем, что при низких температурах роль диффузии усиливается по сравнению с ролыо трения в процессе распада

В четвертой главе деление возбужденных ядер рассматривается как результат квантовых статистических флуктуации через седловую точку С помощью точного численного решения квантового мастер-уравнения для приведенной матрицы плотности показано влияние квантовых статистических эффектов на зависимость от времени процесса деления Показано, что асимптотические скорости деления в квантовом и классическом случаях практически совпадают В квантовом случае переходные времена больше в 2 раза, чем в классическом случае, основанном на уравнении Ланжевена При коэффициенте трения Ь,\р « 1 МэВ переходное время меняется от Ю-21 с до 4х Ю-21 с с уменьшением температуры от Т—5 МэВ до Т=0 7 МэВ Тогда как время деления меняется от Ю-21 до 5 4х Ю-19 с Показано, что скорость деления и переходное время не чувствительны к разумному изменению начального гауссовского пакета при фиксированном значении коллективной энергии

Установлено, что аналитическая формула Крамерса с термодинамической температурой или с эффективной квантовой температурой достаточно хорошо работает как в режиме слабой, так и сильной связи Скорость деления, полученная с помощью формулы Крамерса, достаточно точно воспроизводит скорость деления в области значений 0 66 МэВ < НХр <66 МэВ и 0 7 МэВ <Т< 5 МэВ Показано существование квазистационарного режима скорости потока вероятности через барьер при температурах Т > Вгде В/ - барьер деления Поэтому аналитическая формула Крамерса может быть использована при Т > В[

Значение переходного времени определяет вес нейтронного канала распада на ранней стадии эволюции Когда при больших энергиях возбуждения (-Еси — ЮО МэВ) среднее время эмиссии нейтрона тп становится сопоставимым или меньше, чем переходное время, отклонение вероятности деления от стандартного значения статистической модели становится существенно боль-

шим на первых шагах каскада девозбуждения Оказывается, что в сильно возбужденных ядрах деление затруднено из-за переходных эффектов Это можно эффективно описать в рамках статистической модели с модификацией Крамер-са (но без переходных эффектов), используя большие коэффициенты трения Однако с такими эффективно большими коэффициентами трения нельзя описать другие экспериментальные наблюдаемые, например, полную кинетическую энергию фрагментов деления

Формализм редуцированной матрицы плотности применен для описания процесса захвата налетающего ядра ядром-мишени Рассмотрен диапазон энергий налетающего ядра Л£'(0) от 0 до 50 МэВ над кулоновским барьером при значениях коэффициента трения НХР от 0 5 до 3 МэВ и углового момента Ь от 0 до 80 Для рассмотренных параметров установлено характерное время захвата г « 2 2 Й/МэВ Показано, что координатная зависимость диффузионных коэффициентов достаточно слабая в околобарьерной области Найдены оптимальные значения энергии налетающего ядра, приводящие к максимальным значениям вероятности захвата при разных значениях коэффициента трения Исследована зависимость вероятности захвата от углового момента Ь Показано существование оптимального углового момента для процесса захвата Ограничение снизу для Ь в данных расчетах не наблюдается, поскольку из-за учета квантовых статистических флуктуаций зависимости вероятности захвата от Ь, Ес т и трения становятся более плавными

Показано, что рассмотрение статической деформации ядра-мишени или налетающего ядра позволяет достаточно надежно описывать вероятность захвата при энергии бомбардировки Ес т ниже эффективного кулоновского барьера для сферических ядер Используя найденные вероятности захвата, рассчитаны сечения образования испарительных остатков в реакциях 160+233и,40 Аг-^мдадар^ 48Са+172УЬ, 50Т1+19^ при подбарьерных энергиях бомбардировки Результаты, полученные в этой главе, оказываются в хорошем согласии с имеющимися экспериментальными данными (рис 1 и 2)

Рис 1 Рассчитанные (сплошные линии) се 1ения Рис 2 То же, что и на рис 1, но для реакции функций возбуждения и испарительных остатков для указанных хп испарите чьных каналов в реакции 50Т1+108Р1 Экспериментальные данные показаны значками

В Заключении суммируются результаты, выдвигаемые на защиту

На защиту выдвигаются следующие результаты

• В рамках микроскопического подхода и в случае общей связи между коллективной и внутренней (бозонной или фермионной) подсис темами получена система нелинейных немарковских уравнений Ланжевена, удовлетворяющая квантовым флуктуационно-диссипационным соотношениям и соотношению неопределенности Разработана новая методика получения транспортных коэффициентов, зависящих явно от времени

• Развитый микроскопический подход использован для рассмотрения влияния квантовых и тепловых флуктуации на эволюцию двойной ядерной системы Показано, что квантовые статистические эффекты увеличивают вероятность прохождения через кулоновский барьер, те вероятность формирования двойной ядерной конфигурации Для энергий достаточно ниже кулоновского барьера наблюдается рост проницаемости с диссипацией Установлено, что в пределе сильного затухания, проницаемость потенциального барьера по координате массовой асимметрии (относительного

расстояния), рассчитанная с помощью зависящих от времени микроскопических коэффициентов диффузии, оказываются больше в 7-8 (3-4) раз, чем проницаемость, рассчитанная с помощью постоянного феноменологического коэффициента диффузии по импульсу

Обнаружено сильное влияние диффузионных коэффициентов, зависящих от координаты, на скорость распада при низких температурах (выше температуры перехода от термического режима к туннельному режиму) Влияние координатной зависимости диффузионных коэффициентов на скорость распада намного сильнее, чем влияние квантовых эффектов из-за негармоничности потенциала Данный эффект может быть важным в процессах спонтанного и вынужденного деления Разработан новый численный метод решения мастер-уравнения для редуцированной матрицы плотности и эквивалентного ему диффузионного уравнения для функции Вигнера

Формализм приведенной матрицы плотности применен для описания процессов деления и захвата налетающего ядра ядром-мишени Установлено, что в квантовом подходе переходные времена деления больше примерно в 2 раза, чем в классическом подходе, основанном на уравнении Ланжевена Показано, что при анализе экспериментальных данных по делению сильно возбужденных ядер 100 МэВ) следует учитывать увеличение пе-

реходного времени и множественности предразрывных нейтронов за счет квантовых эффектов, а не за счет увеличения ядерной вязкости Показано, что аналитическая формула Крамерса с термодинамической температурой или с эффективной квантовой температурой достаточно хорошо описывает скорость деления, как в режиме слабой, так и сильной связи

Найдены оптимальные значения энергии бомбардировки, приводящие к максимальным значениям вероятности захвата налетающего ядра ядром-мишеныо при разных значениях коэффициента трения и углового момента Не обнаружен эффект Ь - окна, предсказанный в классических моделях без учета статистических флуктуаций Изучена роль статической деформа-

ции ядра-мишени или налетающего ядра в процессе захвата при энергиях столкновения ниже эффективного кулоиовского барьера для сферических ядер Получено хорошее описание сечений испарительных остатков в реакциях слияния при подбарьерных энергиях

По теме диссертации опубликованы следующие работы

1 В В Саргсян, 3 Каноков, Г Г Адамян, H В Антоненко, Квантовые немарковские уравнения Ланжевеиа и транспортные коэффициенты, ЯФ 68, 2071 (2005)

2 Г Г Адамян, H В Антоненко, 3 Каноков, В В Саргсян, Квантовые немарковские уравнения Ланокевена, ТМФ 145, 87 (2005)

3 V V Sargsyan, Yu V Palchikov, Z Kanokov, G G Adamian, N V Antonenko, Decay rate with coordinate-dependent diffusion coefficients, Physica A 386, 3G (2007)

4 V V Sargsyan, Yu V Palchikov, Z Kanokov, G G Adamian, N V Antonenko, Coordinate-dependent diffusion coefficients Decay rate m open quantum systems, Phys Rev A 75, 062115 (2007)

5 V V Sargsyan, Yu V Palchikov, Z Kanokov, G G Adamian, N V Antonenko, Fission rate and transient time with a quantum master equation, Phys Rev С 76, 064604 (2007)

6 V V Sargsyan, Z Kanokov, G G Adamian, N V Antonenko, Quantum non-Markovian Langevm formalism for heavy ion reactions near Coulomb barrier, Phys Rev С 77, 024607 (2008)

7 В В Саргсян, 3 Каноков, Г Г Адамян, H В Антоненко, Квантовые пемар-ковские уравнения Ланжевена для перевернутого осциллятора, ТМФ 156, 307 (2008)

8 В В Саргсян, А С Зубов, 3 Канонов, Г Г Адамян, Н В Антоненко, Кван-товомеханическое описание начальной стадии реакции слияния, Препринт ЛШИ-Р4-2008-32 (ЯФ в печати)

Получено 26 сентября 2008 г

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором

Подписано в печать 29 09 2008 Формат 60x90/16 Бумага офсетная Печать офсетная Уел печ л 0,93 Уч-изд л 0,84 Тираж 100 экз Заказ № 56324

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г Дубна, Московская обл , ул Жолио-Кюри, 6 E-mail pubhsh@jinr ru www jinr ru/publish/

Введение

1 Квантовая немарковская динамика

1.1 Обобщенные немарковекие уравнения Ланжевена

Случай бозонной внутренней подсистемы)

1.1.1 Флуктуатщонно-днсеипационные соотношения.

1.1.2 Транспортные коэффициенты.

1.1.3 Связь е диффузионными уравнениями.

1.1.4 Предел сильного затухания.

1.2 Линейная связь по импульсу.

1.2.1 Асимптотики коэффициентов диффузии, трения и корреляционных функций

1.2.2 Корреляционные функции.

1.3 Линейная связь по координате.

1.3.1 Транспортные коэффициенты.

1.3.2 Приближенный подход в случае линейной связи по координате

1.4 Обобщенные немарковские уравнения Ланжевена

Случай фермионной внутренней подсистемы).

1.4.1 Квантовые уравнения движения.

1.4.2 Нестационарные транспортные коэффициенты и их связь с транспортными коэффициентами, полученными для бозонной внутренней подсистемы.

1.5 Чистые состояния, соотношение неопределенности и декогерентность

1.6 Выводы.

2 Диффузионные коэффициенты гармонического и перевернутого осцилляторов

2.1 Диффузионный процесс по коллективной координате относительного расстояния между центрами масс взаимодействующих ядер.

2.2 Диффузионный процесс по коллективной координате массовой асимметрии

2.3 Выводы.

3 Распад метастабильного состояния

3.1 Формализм.

3.2 Диффузионные коэффициенты, зависящие от координаты.

3.3 Скорость распада из потенциальной ямы.

3.3.1 Определение скорости распада.

3.3.2 Асимметричный бистабильный потенциал.

3.3.3 Сравнительный анализ процесса распада в различных потенциалах с двумя минимумами.

3.4 Выводы.

4 Квантовое описание процессов деления и захвата

4.1 Процесс деления.

4.1.1 Временной масштаб деления.

4.1.2 Вероятность деления на первом шаге девозбуждения сильно возбужденного ядра 248 Ст.

4.2 Процессы захвата и слияния ядер.

4.2.1 Вероятность захвата.

4.2.2 Сечение захвата.

4.2.3 Сечение образования испарительных остатков.

4.2.4 Вероятность полного слияния.

4.2.5 Вероятность выживания.

4.2.6 Результаты и обсуждение.

4.3 Выводы.

4.3.1 Деление.

4.3.2 Захват и слияние ядер

Развитию формализма для описания статистического и динамического поведения открытых систем посвящено большое число работ [1-15]. Данный формализм применяется для описания реакций слияния, квазиделения, многопуклонных передач с тяжелыми ионами и деления ядер [10-32]. Интерес к стохастическим методам в ядерной физике чрезвычайно возрос после открытия реакций глубоконеупругнх столкновений тяжелых ионов [32, 33] и существенного увеличения экспериментальной информации по делению [34]. В таких процессах наиболее существенными считаются лишь некоторые коллективные (макроскопические) степени свободы, которые выбираются a priori, для интерпретации экспериментальных данных. Оценкой качества преобразования от исходных нуклонных переменных к коллективным, может служить, кроме макроскопической аналогии, слабос ть связи коллективных степеней свободы с остальными (внутренними) степенями свободы. Лишь при этом условии имеет смысл выделение коллективного движения [35]. Наиболее часто используемыми коллективными координатами при описании деления и ядерных реакций с тяжелыми ионами при низких энергиях около кулоновского барьера (<10 МэВ/нуклон) являются межцентровое расстояние или относительное удлинение системы, параметр шейки, массовая (зарядовая) асимметрия и деформации ядер. Число явно учитываемых коллективных координат можно уменьшить, учитывая экспериментально установленное различие их характерных времен релаксации.

Вышеуказанные ядерные процессы описываются с помощью небольшого числа медленных коллективных степеней свободы, которые взаимодействуют с термостатом, образованным всеми остальными быстрыми одночастичными степенями свободы. Тогда динамика коллективных переменных становится похожей на динамику классической броуновской частицы, так как в одном акте взаимодействия с одночастичной подсистемой энергия коллективной подсистемы изменяется на относительно малую величину. Динамическим уравнением в такой физической модели является стохастическое уравнение Ланжевена или физически эквивалентное ему диффузионное уравнение Фоккера-Планка для функции распределения коллективных координат и сопряженных им импульсов. Для решения этих уравнений необходимо знание транспортных коэффициентов: потенциальной энергни, массовых параметров, коэффициентов трения и диффузии. При рассмотрении конкретных ядерных процессов стохастические уравнения и гранспоргные коэффициенты определяются микроскопически или феноменологически.

Предложенный в [36,37] диффузионный подход был обобщен на случай нескольких коллективных степеней свободы в работах [38,39] и применен для описания наблюдаемых дисперсий массового [40,41], энергетического [42,13] и зарядового [44] распределений осколков деления возбужденных ядер. Для расчета потенциальной энергии делящегося ядра использовалась жидкокапелышя модель. Тензоры инерции и трения в уравнении Фоккера-Планка рассчитывались в гидродинамическом приближении Верпера-Уиллера. Гидродинамическое приближение дчя коэффициентов трения соответствует предположению, что ядерная вязкость имеет двухтетьный механизм, свойственный обычным жидкостям. Для сравнения в расчетах использовались чакже коэффициенты "поверхностной" однотельной диссипации. Компоненты диффузионного тензора вычислялись но классической формуле Эйнштейна. В рамках стохастического подхода [26], основанного на многомерном классическом уравнении Ланжевепа для коллективных координат удлинения системы, параметра шейки и массовой асимметрии, были изучены множественности предделительных нейтронов, массово-энергетические, зарядовые, угловые распределения фрагментов деления возбужденных ядер в широком диапазоне параметров делимости и энергий возбуждения ядер.

Имеющиеся на данный момент теоретические модели предсказывают величину коэффициента затухания от 102 - 104 [45] до 2 - 6 [46,47] в единицах 1021 сек-1. Зависимость ядерной вязкости от температуры также варьируется весьма широко: от приблизительно прямо пропорциональной (с возрастанием от 0.4 х 1021 сек-1 при Т = 0.5 МэВ до 7.6 х 1021 сек-1 при Т — 4 МэВ) [48] до обратно пропорциональной квадрату температуры (прямо пропорциональной времени релаксации нуклонного движения), как это должно быть для ферми-жидкости [49]. Ситуация осложняется тем, что ядерное трение не является экспериментально измеряемой величиной и должно извлекаться из данных с привлечением модельных предположений. В работах [50-55] было проанализировано влияние диссипации на распределение кинетической энергии осколков деления. Многолетние теоретические исследования [25,42,43,54-61] показали, однако, что сильная зависимость расчетных кинетических энергий от критерия разрыва ядра на два осколка деления не позволяет извлечь из сравнения с экспериментальными данными тип и величину ядерного трения. На основе расчетов потенциальной энергии и экспериментальных данных по полным кинетическим энергиям осколков деления в работе [62] было показано, что только слабая диссипация совместима с существующими экспериментальными данными по вынужденному делению тепловыми нейтронами. Данный полуэмпирический метод не использует предположении о динамике ядерного движения пли механизме диссипации в делении.

В работах [63 65] было изучено влияние трения на скорость деления и показано, что диссипативные эффекты могут приводи ть к эмиссии большего числа нейтронов из делящегося ядра, чем это предсказывается равновесной статистической моделью. Одно из возможных объяснений появления избыточных нейтронов, заряженных частиц и гамма-квантов в том, что ток через барьер деления сильно зависит от ядерной вязкости и существует время задержки (переходное время) между началом процесса диффузионного деления и установлением квазистациопарного тока вероятности через седловую точку [63-69]. Если время задержки порядка или больше, чем характерное время эмиссии частицы, то можно ожидать сильное уменьшение вероятности деления на первых шагах каскада девоз-буждеппя. Таким образом, знание значений времен деления и задержки, которые зависят от ядерной вязкости, является критическим для интерпретации экспериментальных данных. Экспериментальные данные [70 72] качественно подтвердили выводы теоретических работ [65].

С помощью комбинированной динамическо-статистической модели [27] (статистическая модель испарения частиц объединена с классической ланжевеновской динамикой) были проанализированы экспериментальные данные (множественности предразрывных нейтронов и заряженных частиц и вероятности (сечения) деления), несущие информацию о диссипативных свойствах делительной моды. Аномально резкое возрастание диссипации для сильно деформированных конфигураций, близких к разрыву, которое было введено в работе [27], для описания многочисленных экспериментальных данных, не получило впоследствии должного теоретического объяснения.

Сравнение теоретических результатов в рамках классического ланжевеновского подхода [26,73] и экспериментальных данных показывает, что одновременное описание массово-энергетического распределения осколков и средних множественностей предразрывных нейтронов в делении сильно возбужденных ядер достигается в предположении однотельного механизма вязкости с редуцированным на фактор 0.25 - 0.5 коэффициентом трения, полученным с помощью формулы "стенки". Был сделан однозначный выбор относительно того, какой механизм ядерной вязкости, двухтельный или однотельный, реализуется при делении ядра. Однако не достаточно изучена зависимость ядерного трения от температуры и формы ядра. Вопрос, как быстро сильно возбужденное ядро меняет свою форму, важен для понимания механизмов ядерных реакций и деления. Для более обоснованных выводов, касающихся зависимости ядерной вязкости от температуры и коллективных координат, необходимо использовать в динамических расчетах более реалистичные варианты статистического описания эмиссии частиц. Следует отме тить работы [74,75], в которых в рамках теории линейного отклика было установлено соответствие между классической и квантовой формулировками однотельной диссипации, выведены выражения для функции отклика и транспортных коэффициентов в приближениях среднего поля и Хартри-Фока-Боголюбова, продемонстрировано влияние оболочечных эффектов на величину коэффициента трения вдоль долины деления 224ТЪ.

Транспортные (стохастические) модели [24,76-86] наиболее широко используются для описания глубоконеупругих столкновений тяжелых ионов. Обмен массой и зарядом, передачу энергии и углового момента относительного движения во внутренние степени свободы можно успешно интерпретировать как неравновесный диффузионный процесс. Предполагая явно или неявно статистические гипотезы для гамильтониана взаимодействия коллективных и внутренних степеней свободы, можно вывести кинетические уравнения из динамического уравнения движения Лиувилля. Такой вывод позволяет получить .микроскопические транспортные коэффициенты [87]. В макроскопических диффузионных моделях транспортные коэффициенты считают пропорциональными отношению фазовых объемов состояний возбужденной системы. Например, направление передачи нуклонов определяется балансом между полными энергиями различных конфигураций двойной ядерной системы, которая формируется на начальной с гадии столкновения ядер.

В рамках микроскопического подхода были предложены такие транспортные модели, как приближение случайных матриц [24,76-78], модели однотелъной диссипации [85-103] и линейного отклика [81-83], которые стимулировали развитие теории коллективного ядерного движения большой амплитуды. В этих моделях отсутствует микроскопическое самосогласование плотности и ядерного потенциала. Основным кинетическим уравнением является мастер-уравнение или уравнение Фоккера-Планка. Решение уравнения Фоккера-Планка содержит информацию о средних значениях и флуктуациях динамических переменных. Средние значения удовлетворяют уравнению Ньютона с силами трения. В рамках одночастичных моделей [84-86] вычислялись транспортные коэффициенты для уравнения Фоккера-Планка или мастер-уравнения, описывающего перенос массы и заряда, энергии и углового момента. Поскольку подход [84] не использует теорию возмущения в противоположность моделям [86-103], где связь между коллективными и внутренними движениями описывается не самосогласованно, а только в среднем и в первом порядке теории возмущения (предел слабой связи), транспортные коэффициенты в этих подходах сильно различаются. Во всех этих моделях внутренняя система описывается как сумма независимых внутренних подсистем каждого из ядер, т.е. предполагается, что партнеры реакции сохраняют свою индивидуальность. Влияние структуры взаимодействующих ядер проявляется в зависимости транспортных коэффициентов от плотности одночастичных уровней. В работах [79,84,87-103] учитываются некогерентные частично-дырочные возбуждения и обмен нуклонами между ядрами, вызванные недиагональными матричными элементами одночастнчного потенциала. Модель [8G| рассматривает только обмен нуклонами и является микроскопическим аналогом классической картины обмена частицами через окно в ходе столкновения ядер (модель "близости" [101]). Статистическая гипотеза входит в эти модели вместе с предположением о быстрой хаотпзации движении нуклонов в каждом из ядер. Интригует простота моделей [86, 87, 98-103] и успех в описании потерь кинетической энергии (формула "окна") и ширин массовых (зарядовых) распределений ироду к i ов реакций многонуклонных передач.

В теории линейного отклика [81,105] используют предположение о том. что в каждой точке классической траектории внутренняя система близка к термодинамическому равновесию. Тогда можно вычислить отклонение матрицы плотности внутренней системы от равновесной по теории возмущения. Теория линейного отклика сформулирована в квазпадиабатическом представлении (предел слабой связи), т.е. модель верна только для малых коллективных скоростей. Возбуждение внутренней системы (некогерентные частично-дырочные возбуждения в двухцентровом потенциале) вызывается за каждый бесконечно малый промежуток времени изменением среднего поля двойной ядерной системы. В качестве коллективных степеней свободы в данной модели учитываются относительное движение ядер, массовая (зарядовая) асимметрия, форма ядер. Связь макроскопических и микроскопических степеней свободы осуществляется посредством тензора трения. Причем трение и коэффициент диффузии связаны соотношением Эйнштейна. Диссипация в теории линейного отклика является квантово-механической версией классического однотельного трения (формула "стенки"). Необратимость движения возникает в результате перехода к макроскопическому пределу в системе независимых частиц.

Обычно предполагают, что образовавшаяся двойная ядерная система сильно возбуждается и локальное равновесие реализуется в течение очень короткого интервала времени. Это хорошее приближение для конечной стадии реакции, но оно может быть некорректно при описании относительно быстрой начальной стадии. Расчеты показывают, что на начальной стадии глубоконеупругих столкновений с тяжелыми ионами доминируют сильные когерентные возбуждения, которые распадаются на некогерентные сложные состояния в течение времени установления локального равновесия. Для учета нестатистической начальной фазы столкновения в работе [106] было получено модифицированное уравнение Фоккера-Планка.

В модели "диссипативной диабатической динамики" [107] также учитывались когерен тные возбуждения и эффекты памяти на начальной стадии реакции. В рабо те [108], наоборот, предполагалось, что на стадии подлета ядер друг к другу существенны некогерентные одночастичные возбуждения, и для расчета транспортных коэффициентов изпользовались динамические числа заполнения одночастичных состояний взаимодействующих ядер.

В модели, предложенной на основе концепции двойной ядерной системы, процессы полного счияния и квазиделения (распад двойной ядерной системы) рассматриваются как диффузионные процессы по коллективным координатам массовой (зарядовой) асимметрии г/ = (Л.1 — Ао)/{А\ +/12) (т}~ = — Z•2)|{Z\ + Z^i))■l где - массовое (зарядовое) число г - го кластера, и относительного расстояния В между центрами масс ядер соответственно [28,109-110]. Составное ядро образуется посредством диффузии нуклонов из легкого ядра в тяжелое ядро. В силу статистического характера эволюции в массивных двойных ядерных системах возникает конкуренция между каналами полного слияния и квазиделения. Эта конкуренция может сильно уменьшить сечение слияния с уменьшением асимметрии во входном канале, что прекрасно согласуется с экспериментом. Для расчета сечения слияния было использовано квазистационарное решение двухмерного (по координатам г) и В) диффузионного уравнения Фоккера-Планка [117]. Диссипативпое коллективное ядерное движение большой амплитуды, которое происходит при слиянии п квази-делеппи было также проанализировано в рамках транспортной теории, решая двухмерное (по координатам г} и г)г) мастер-уравнение дяя приведенной матрицы плотности с учетом процесса распада двойной ядерной системы [29]. В этой модели удалось впервые описать и предсказать сечения образования трансактннпдных и сверхтяжелых элементов, массовые и энергетические распределения продуктов квазиделения. Следует отметить и другие модели слияния [118], в которых использованы стохастические уравнения и где основной коллективной переменной, ответственной за полное слияние, является межцентровое расстояние или удлинение системы.

Хотя стохастический подход, основанный на диффузионном уравнении Фоккера-Планка, успешно применялся для решения многих задач коллективной ядерной динамики [25,64,85,119-123] предпочтение, тем не менее, отдается использованию уравнений Лан-жевена, поскольку точное решение уравнение Фоккера-Планка ограничено малой размерностью фазового пространства [64,119] и часто требует использования различных приближений: метода глобального моментного приближения или редуцированного пропага-тора [25]. В то же время уравнения Ланжевена могут быть решены численно без привлечения дополнительных упрощений, в том числе и для многомерного случая. В кинетической теории метод Ланжевена значительно упрощает вычисление неравновесных квантовых и тепловых флуктуаций и обеспечивает ясную картину как марковской, так и немарковской динамики процесса [4-11].

Хотя многие свойства деления и ядерных реакций имеют квантовую природу, во многих исследованиях на основе транспортных моделей квантовые статистические эффекты игнорируются и используется классическое описание, в котором коэффициенты трения и диффузии связаны через классическое флуктуационно-диссипационное соотношенпе. Например, влияние релаксационных эффектов на временную зависимость ширины деления изучено лишь на основе классических уравнении Фоккера-Планка и Ланжеве-на [25-27]. Рассмотрение затухания и флук туацпн в коллективной квантовой системе в основном ограничивалось марковским пределом (мгновенная диссипация, гауссовские дельта-коррелированные флуктуации) и пределом слабой связи или высоких температур. Нелокальность диссипации обычно не принималась во внимание при описании реакций с тяжелыми ионами и деления.

До недавнего времени считалось, что процесс деления является марковским: время релаксации одпочасгпчной подсистемы заметно меньше характерного времени коллективного движения. В этом случае коллективное движение подвержено броуновскому шуму, связанному с диффузией по энергетическим поверхностям, отвечающим различным частично-дырочным конфигурациям. Но в работе [35] отмечалось, что "собственно броуновское движение является строго говоря, немарковским: частица возбуждает в среде слабо затухающие упругие волны, которые действуют на ее последующее движение (вязкое последействие)". Решая уравнение Ланжевена с задержанным трением, в работе [124] было показано, что из-за эффектов памяти время спуска с седла до разрыва возрастает приблизительно в 3 раза и полная кинетическая энергия осколков заметно уменьшается при делении 2'!ьи. Поэтому количественные оценки вязкости, в частности однотельной, в рамках пемарковской модели могут существенно отличаться от тех, которые получены в предположении марковского характера динамики деления.

До сих пор нет модели, которая учитывала бы все квантовые эффекты и эффекты немарковости при прохождении потенциального барьера. Подбарьерные процессы играют важную роль, например, в захвате налетающего ядра ядром-мишени при энергиях около кулоновского барьера или в спонтанном делении. Изучение поведения диссипатив-ной квантовой немарковской системы вне предела слабой связи или высоких температур вызвало большой интерес к точно решаемым моделям [11,14,125-127]. В этих моделях внутренняя подсистема представляется набором гармонических осцилляторов, взаимодействие которых с коллективной подсистемой гармонического осциллятора осуществляется через линейную связь между координатами. Плотность осцилляторов и константы связи между внутренней и коллективной подсистемами выбираются такими, чтобы уравнения движения для средних принимали классический вид.

Теория открытых квантовых систем хорошо подходит для рассмотрения диссипации и диффузии в делении и слиянии. Среди квантовых транспортных уравнений можно отметить феноменологическое уравнение Линдблада [128-130]. Используя уравнение Линдб-лада, в работах [131] был рассмотрен процесс прохождения потенциального барьера в зависимости от величин диффузионных коэффициентов. Результаты показали, что вероятность туннелирования в открытых квантовых системах сильно зависит от величины связи с термостатом. Диссипация иногда способствует туннелировашно, по препятствует прохождению при надбарьерных энергиях. С ростом коэффициента диффузии по координате проницаемость барьера увеличивается, а декогерентнос гь состояний уменьшается.

Диссертация направлена на решение следующих проблем. Для описания коллективной ядерной динамики большой амплитуды в реакциях слияния, квазиделения, деления и многонуклонных передач необходимо найти подходящий микроскопический гамильтониан системы и получить обобщенные немарковские квантовые уравнения Ланжевена для релевантных коллективных координат. Эти уравнения должны удовлетворять квантовым флуктуационно-диссипационным соотношениям. На основе уравнений Ланжевена необходимо найти эквивалентное квантовое диффузионное уравнение для редуцированной матрицы плотности пли функции Вигнера с зависящими от времени и коллективных координат транспортными коэффициентами. Полученные уравнения могут быть использованы для изучения квантовых, немарковских и дисснпативных эффектов в процессах слияния, деления и захвата бомбардирующего ядра ядром-мишени. Необходимо понять, как > 1-й эффекты изменяют характерные временные масштабы этих процессов. Одной из целей данной работы является исследование роли квантовых и немарковских эффектов и координатной зависимости диффузионных коэффициентов при прохождении потенциального барьера (при распаде метастабильного состояния). Для сложных потенциалов необходимо предложить новые численные методы решения мастер-уравнения для редуцированной матрицы плотности и квантового диффузионного уравнения для функции Вигнера.

Основные результаты диссертации:

1. В рамках микроскопического подхода получена система нелинейных уравнений Лан-жевена в пределе общей связи между коллективной и внутренней (бозонной или фер-мпонпой) подсистемами. Показано, чю уравнения движения для коллективной подсистемы удовлетворяют квантовым флукт\ ационно-диссппационным соотношениям и соотношению неопределенности. Исходя из немарковских уравнений Ланжевена разработана ноная методика получения транспортных коэффициентов, зависящих явно от времени. Для немарковской динамики получены наборы диффузионных коэффициентов, которые сохраняют состояние системы чистым. Полученные нами аналитические формулы могут быть использованы для описания флуктуационно-диссипационной динамики ядерных процессов со сложными потенциалами. Развитый подход полезен при описании времен жизни метастабильных систем, переходных процессов и декогерентности в квантовых системах.

2. Развитый микроскопический подход использован для рассмотрения влияния квантовых и тепловых флуктуации на эволюцию двойной ядерной системы по коллективным координатам массовой асимметрии и относительного расстояния. Расчеты показывают, что с ростом затухания в системе растут квантовые эффекты. Эти эффекты могут быть достаточно сильными при низких температурах. Показано, что квантовые статистические эффекты увеличивают вероятность прохождения через кулоновский барьер, т.е. вероятность формирования двойной ядерной конфигурации. Для энергий достаточно ниже кулоновского барьера наблюдается рост проницаемости с диссипацией. Это объясняется тем фактом, что при больших трениях скорость диссипации энергии коллективной подсистемы меньше из-за малости кинетической энергии и большого значения коэффициента диффузии по импульсу. Полученные результаты подтверждают, что квантовая природа перехода через барьер должна быть учтена при расчете сечения захвата в ядро-ядерном столкновении. Показано, что в пределе сильного затухания, проницаемость потенциального барьера по координате массовой асимметрии (относительного расстояния), рассчитанная с помощью зависящих от времени микроскопических коэффициентов диффузии для перевернутого осциллятора, оказываются больше в 7-8 (3-4) раз, чем проницаемость, рассчитанная с помощью постоянного феноменологического коэффициента диффузии по импульсу.

3. Решая мастер-уравнение для приведенной матрицы плотности для квантовой нелинейной коллективной подсистемы, обнаружено сильное влияние диффузионных коэффициентов, зависящих от координаты, па скорость распада при низких температурах (выше температуры перехода от термического режима к туннельному режиму). Полученные результаты расчетов скорости распада, при низких температурах, показывают, что координатная зависимость диффузионных коэффициентов должна быть учтена в случае сложных потенциалов. Влияние координатной зависимости диффузионных коэффициентов па скорость распада намного сильнее, чем вчияние квантовых эффектов из-за негармоничности потенциала. Данный эффект .может быть важным в процессах спонтанного и вынужденного тепловыми нейтронами пли пизкоэнергетическими 7 - квантами деления. При низких температурах квазпетацпонарная вероятность распада может даже расти с увеличением трения, особенно с диффузионными коэффициентами, зависящими от координаты. Это можно объяснить тем, что при низких температурах роль диффузии усиливается по сравнению с ролью трения в процессе распада. Разработан новый численный метод решения мастер-уравнения для редуцированной матрицы плотности и эквивалентного ему диффузионного уравнения для функции Вигнера.

4. С помощью численного решения квантового мастер-уравнения для редуцированной матрицы плотности показано влияние квантовых статистических эффектов на временную зависимость процесса деления. Установлено, что асимптотические скорости деления в квантовом и классическом случаях практически совпадают. В квантовом случае переходные времена больше примерно в 2 раза, чем в классическом случае, основанном на уравнении Ланжевена. Значение переходного времени определяет вес нейтронного капала распада на ранней стадии эволюции. Когда при больших энергиях возбуждения > 100 МэВ) среднее время эмиссии нейтрона становится сопоставимым или меньше, чем переходное время, отклонение вероятности деления от стандартного значения статистической модели становится существенно большим на первых шагах каскада девозбуждения. Т.е., в сильно возбужденных ядрах деление затруднено из-за переходных эффектов. Это можно эффективно описать в рамках статистической модели с модификацией Крамерса (но без переходных эффектов), используя большие значения коэффициента трения. Показано, что аналитическая формула Крамерса с термодинамической температурой или с эффективной квантовой температурой достаточно хорошо работает, как в режиме слабой, так и сильной связи.

5. Формализм приведенной матрицы плотности применен для описания процесса захвата налетающего ядра ядром-мишени. Найдены оптимальные значения энергии налетающего ядра, приводящие к максимальным значениям вероятности захвата при разных значениях коэффициента трения и углового момента. Не обнаружен эффект L - окна, предсказанный в классических моделях без учета статистических флуктуации. Изучена роль статической деформации ядра-мишени или налетающего ядра в процессе захвата при Еслп. ниже эффективного кулоновского барьера для сферических ядер. С учетом вероятности захвата, получено хорошее описание сечении испарительных оста тков в реакциях слияния при иодбарьерных энергиях.

В качестве перспектив дальнейшего изучения следует отметить следующие направления:

- расчет сечений образования тяжелых и сверхтяжелых ядер в реакциях холодного и горячего слияния с учетом процесса захвата в рамках разрабо танной модели;

- изучение в рамках предложенного подхода начальной стадии реакций с массивными ядрами, например 136Хе+136Хе и 238U+238U;

- рассмотрение процессов деления и слияния ядер по координате .массовой (зарядовой) асимметрии в раджах микроскопического формализма приведенной матрицы плотности;

- изучение процесса распада из потенциальной ямы с несколькими минимумами и роли квантовых и немарковских эффектов в этом процессе.

В заключении автор хотел бы выразить искреннюю благодарность своим научным руководителям Г.Г. Адамяну и Р.В. Джолосу за постановку задачи, помощь в работе и постоянную поддержку. Особую признательность автор испытывает к коллегам, в соавторстве с которыми проведены исследования - Н.В. Антоненко, A.C. Зубову, 3. Канокову и Ю.В. Пальчикову. Я благодарю руководство Лаборатории Теоретической Физики им. H.H. Боголюбова за предоставленную возможность для выполнения работы. Считаю также своим долгом поблагодарить С.Н. Куклина и В.В. Скокова за полезные обсуждения и интерес к работе.

Заключение

1. H.H. Боголюбов. Избранные труды в трех томах. Киев: Наукова Думка, 1971.

2. A.A. Белавип, Б.Я. Зельдович, A.M. Переломов. Б.С. Попов. ЖЭТФ. 1969. Т.56, С.264.

3. А.О. Caldeira, A.J. Lcggett. Physica А. 1983. V.121, P.587; Ann. Phys. 1983. V.149, P.374. Phys. Rev. Lett. 1981. V.46, P.211; Phys. Rev. Lett. 1982. V.48, P.1571.

4. N.G. van Kampen. Stochastic Processes in Physics and Chemistry. Amsterdam: North-Holland, 1981.

5. C.W. Gardiner. Quantum Noise. Berlin: Springer, 1991.

6. H.J. Garmichael. An Open System Approach to Quantum Optics. Berlin: Springer, 1993.

7. Yu.L. Klunontovich. Statistical Theory of Open Systems. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1995.

8. D. Zubarev, V. Morozov, G. Röpke. Statistical Mechanics of Nonequilibrium Processes. Berlin: Akademie Verlag, 1997.

9. U. Weiss. Quantum Dissipative Systems. Singapore: Wold Scientific, 1999.

10. G.W. Ford, J.T. Lewis, R.F. O'Connell. Phys. Rev. A. 1988. V.37, P.4419.

11. K. Lindenberg, В. West. Phys. Rev. A. 1984. V.30, P.568.

12. V. V. Dodonov, O.V. Manko, V.l. Man'ko. J. of Russian Laser Research. 1995. V.16, P.l; V. V. Dodonov, V.l. Man'ko. Proc. Lebedev Phys. Inst, of Sciences. V.167. New York: Nova Science, Commack, 1987.

13. H. Hofmann, D. Kiderlen. Int. J. Mod. Phys. E. 1998. V.7, P.243.

14. H. Grabert, P. Schramm, G.-L. Ingold. Phys. Rep. 1988. V.168, P.115; P. Talkner. Ann. Phys. 1986, V.167, P.390.

15. V. V. Volkov. Phys. Rep. 1978. V.44, P.93.

16. R. Bass. Nuclear Reactions with Heavy Ions. Berlin: Springer-Verlag, 1980, P.203.

17. W. Nörenberg. Heavy Ion Collisions. Ed. R.Bock, Nortli-lloll, 1980, V.2, P.l.

18. P.B. Джолос, P. Шмидт. ЭЧАЯ. 1981. T.12, C.324; П. Schmidt, V.D. Toneev, G. Wolschin. Nucl. Phys. A. 1978. V.311, P.247; P. Шмидт. В.Д. Тонеев. ЯФ. 1979. Т.ЗО,1. C.112.

19. W.U. Schröder, J.R Hinzcnga. Treatise on Heavy-Ion Science. Ed. Bromley D.A., N.Y.: Plenum Press, 1984, V.2, P.l 15

20. H. Freiesleben, J.V. Kratz. Phys. Rep. 1984. V.106, P.l. P. Fröbrich. Phys. Rep. 1984, V.116, P.337.

21. J.A. Maruhn, W. Greiner. W. Scheid. Heavy Ion Collisions. Ed. R.Bock., North-Holl., 1980, V.2, P.397

22. H.A. Weidenmüller. Progr. Part. Nucl. Phys., Ed. by D. Wilkinson. 1980, V.3, P.49.

23. ГД. Адеев, И.И. Гончар, и др. ЭЧАЯ. 1988. Т.19, С.1229; Г.Д. Адеев. ЭЧАЯ. 1992. Т.23, С.1572.

24. Г.Д. Адеев, A.B. Карпов, и др. ЭЧАЯ. 2005. Т.36, С.731. И.И. Гончар. ЭЧАЯ. 1995. Т.26, С.932. В.В. Волков. ЭЧАЯ. 2004. Т.35. С.797.

25. D.H.E. Gross, Н. Kalinowski. Phys. Rep. 1978. V.45, Р.175. Дж.О. Ньютон. ЭЧАЯ. 1990. Т.21, С.821.

26. С. Т. Беляев, В.Г. Зелевгтгкий. УФН. 1985. Т.147, С.210.

27. Р- Grange, E.G. Pauti. Н.А. Wcidenmuller. Phys. Lett. В. 1979. V.88. P.9.

28. P. Grange, H.C. Pavli, H.A. Weidemniiller. Z.Phys. A. 1980. V.296, P.107.

29. Г.Д. Адсев, 11.11. Гончар. ЯФ. 1983. T.37, С.1113.

30. Г.Д. Адеев. II.II. Гончар. ЯФ. 1984. Т.40, С.869.

31. G.D. Adeev, I.I. Gonchar. Z.Phys. A. 1985. V.320, P.451.

32. Г.Д. Адеев, И.И. Гончар, Л.А. Марченко, Н.И. Писчасов. ЯФ. 1986. Т.43, С.1137.

33. G.D. Adeev. I.I. Gonchar. Z.Phys. A. 1985. V.322, P.479.

34. О.А. Сердюк v др. ЯФ. 1987. Т.46, С.710.

35. Г.Д. Адеев, И.И. Гончар, Л.А. Марченко. ЯФ. 1985. Т.42, С.42.

36. G. Wegmann. Phys. Lett. В. 1971. V.50, Р.327.

37. J.J. Griffin, M. Dworzecka. Nucl. Phys. A. 1986. V.455, P.61.

38. J.R. Nix, A.J. Sierk. Int. School-Seminar on Heavy Ion Physics. Dubna, 1980, JINR, D7-87-68, Dubna, 1987, P.453.

39. K. Pomorski, H.Hofmann. Phys. Lett. B. 1991. V.263, P.164.

40. B.W. Bush, G.F. Bertsch, B.A. Broum. Phys. Rev. C. 1992. V.45, P.1709.

41. Yu.A. Lazarev. At. En. Rev. 1977. V.15, P.75.

42. М.Г. Иткис, B.H. Околович, А.Я. Русанов, Г.Н. Смиренкин. ЭЧАЯ. 1988. Т.19, С.701.

43. G.M. Лукьянов и др. Межд. школа-семинар по физике тяжелых ионов. Дубна, 1989. ОИЯИ, Д7-90-142, 1990, С.225.

44. С.В. Жданов и др. ЯФ. 1992. Т.55. С.3169; 1993, Т.56, С.55.

45. K.T.R. Davies, A.J. Sierk, J.R. Nix. Phys. Rev. C. 1976. V.13, P.2385.

46. K.T.R. Davies, R.A. Managan, J.R. Nix, A.J. Sierk. Phys. Rev. C. 1977. V.16, P.1890.

47. F. Scheuter, C. Gregoire, H. Hofmann, J.R. Nix. Phys. Lett. B. 1984. V.149, P.303.

48. G.R. Шаек. Phys. Lett. B. 1992. V.278, P.403.

49. J.R. Nu. Nucl. Phys. A, 1969. V.130, P 241.

50. T. Wada, Y. Abe, N. Carjan. Phys. Rev. Lett. 1993. V.70, P.3538.

51. G.R. Tillack et al Phys. Lett. B. 1992. V.296, P.296.

52. Г.И. Косснко и др. ЯФ. 1992. T.55, C.920.

53. Я. Schultheis, R. Schultheis. Phys. Rev. C. 1978. V.18. P.1317: 1979. V.20, P.403.

54. P. Orange, H.A. Weidenmüller. Phys. Lett. B. 1980. V.96, P.26; М.Г. lim кис, А.Я. Русанов. ЭЧАЯ. 1998. Т.29, С.389.

55. Р. Grange, Li-,Jang Qing, H.A. Weidenmüller. Phys. Rev. C. 1983. V.27, P.2063.

56. S. Hassani, P. Crange. Phys. Lett. B. 1984. V.137, P.281; Z.Phys. A. 1986. V.325, P.95.

57. K.H. Bhatt. P. Grange, B. Hiller. Phys. Rev. C. 1986. V.33, P.954.

58. P. Grange, S. Hassani H.A. Weidenmiiller et al. Phys. Rev. C. 1986. V.34, P.209.

59. E.G. Lanza, H.A. Weidenmüller. Z.Phys. A. 1986. V.323, P.157.

60. D. Cha, G.F. Bertsch. Phys. Rev. C. 1992. V.46, P.306.

61. W.P. Zank et al. Phys. Rev. C. 1986. V.33, P.519.

62. DJ. Hinde et al. Nucl. Phys. A. 1986. V.452, P.550; Phys. Rev. C. 1988. V.37, P.2923.

63. A. Gavron et al. Phys. Rev. C. 1987. V.35, P.579.

64. А. V. Karpov. P.N. Nadtochy, D. V. Vanin, G.D. Adeev. Phys. Rev. C. 2001. V.63, P.054610; P.N. Nadtochy, G.D. Adeev, А. V. Karpov. Phys. Rev. C. 2002. V.65, P.064615; D. V. Vanin, G.I. Kosenko, G.D. Adeev. Phys. Rev. C. 1999. V.59, P.2114.

65. F.A. Ivanyuk, H. Hofmann. Nucl. Phys. A. 1999. V.657, P.19.

66. H. Hofmann. Phys. Rep. 1997. V.284, P.137.

67. W. Nörenberg. Phys. Lett. B. 1974. V.53, P.289.

68. D. Agassi, C.M. Ко, H.A. Weidenmüller. Ann. of Phys. 1979. V.117, P.140.

69. П.Н. Исаев. ЯФ. 1984. T.41, C.664.

70. L.G. Moretto, J.S. Sucntek. Phys. Lett. B. 1975. V.58, P.26.

71. D.E. Бунаков. ЭЧАЯ. 1980. T.ll, С.1285.

72. Н. Hofmann, P.J. Siemens. Nucl. Phys. A. 1976. V.257, P.165; Nucl. Phys. A. 1977. V.275, P.464.

73. B.M. Коломиец, И.Ю. Цехмистрсико. ЯФ. 1987. T.45, C.1279.

74. B.M. Коломчен,. Приближение локальной плотности в атомной и ядерной физике. Киев: Наукова думка, 1990.

75. Aijik, В. Schürmaim, W. Nörenberg. Z. Phys. А. 1976. V.277, P.299; Z. Phys. A. 1976. V.279, P. 145.

76. IL Feldmeier. Rep. Progr. Phys. 1987. V.50, P.915.

77. J. Ravdrup. Nucl. Phys. A. 1978. V.307, P.319; Nucl. Phys. A. 1979. V.327, P.490.

78. G.G. Ada ¡man, N.V. Antonenko, R.V. Jolos, A.K. Nasirov. Nucl. Phys. A. 1993. V.551, P. 321.

79. K. Dietrich, К. Hara. Nucl. Phys. A. 1973. V.211, P.349.

80. G. Bertsch, R. Schaeffer. Nucl. Phys. A. 1977. V.277, P.509.90. ,/. Bartel, H. Fcldmeier. Z. Phys. A. 1980. V.297, P.333.

81. S. Pal, N.K. Ganguly. Nucl. Phys. A. 1981. V.370, P.175.

82. R.V. Jolos, R. Schmidt, J. Teichert. Nucl. Phys. A. 1984. V.249, P.139.

83. D. Boose, J. Richert. Nucl. Phys. A. 1985. V.433, P.511.

84. F. Catara, E.G. Lanza. Nucl. Phys. A. 1986. V.451, P.299.

85. M. Baldo et al. Nucl. Phys. A. 1988. V.490, P.471.

86. M. Baldo, J. Rapisarda. The Response of Nuclei under Extreme Conditions. Ed. Broglia R.A., New York: Plenum Press, 1988, P.201.

87. S.P. Lvanova, R.V. Jolos. Nucl. Phys. A. 1991. V.530, P.232.

88. P.B. Джолос, A.K. LJacupoe. ЯФ, 1984. T.40, C.721; ЯФ. 1987. T.45, С.1298; ЯФ. 1985. Т.42, С. 175.

89. P.B. Джолос, А.И. Муминов, А.К. Насиров. ЯФ. 1986. Т.44, С.357.

90. N. V. Antoncnko, R. V. Jólos. Z. Phys. 1991. V.338, P.423; Phys. Ser. T. 1990. V.32, P.27.

91. H.B. Au-moHCHKo, P.B. £jicoaoc. 5IO. 1989. T.50, C.98; 5M>. 1989. T.51, C.690.

92. F.F. AdaMHH, P.B. flptcoAoc, A.K. Hacupoe. HO. 1992. T.55, C.CGO.

93. G.G. Adamian, R.V. Jolos, A.K. Nasirov. Z. Phys. A. 1994. V.347, P.203.

94. J. Blocki et al. Ann. of Phys. 1978. V.113, P.330.

95. C. Ngo, H. Hofmann. Z. Phys. A. 1977. V.282, P.83.

96. S. Ayik. Z. Phys. A. 1979. V.292. P.257.

97. A. Lukasiak, II'. Cassing, IV. Nórenberg. Nucl. Phys. A. 1984. V.426, P. 181; B. Berdichevsky et al. Nucl. Phys. A. 1989. V.499, P.609.

98. H.B. AumoHeuKO, B.B. RotcoAoc. F.F. AdoMsm, A.K. Hacupoe. 3HAH. 1994. T.25, C.1379.

99. N.V. Antonenko, E.A. Chcrepanov, A.K. Nasirov, V.B. Permjakov, V.V. Volkov. Phys. Lett. B. 1993. V.319, P.425; Phys. Rev. C. 1995. V.51, P.2635.

100. G.G. Adamian. N.V. Antonenko, S.P. Ivanova, W. Scheid. Nucl. Phys. A. 1999. V.646, P.29; Phys. Rev. C. 2000. V.62, P.064303.

101. G.G. Adamian, N.V. Antonenko, W. Scheid, V.V. Volkov. Nucl. Phys. A. 1997. V.627, P.361; 1998. V.633. P.409; Nuovo Cimento A. 1997. V.110, P.1143.

102. G.G. Adamian, N.V. Antonenko, Yu.M. Tchuvilsky. Phys. Lett. B. 1984. V.314, P.25.

103. G.G. Adamian, N.V. Antonenko, W. Scheid. Nucl. Phys. A. 2000. V.678, P.24; Phys. Rev. C. 2004. V.69, P.011601(R); 2004. V.69, P.014607; 2004. V.69, P.044601.

104. A.S. Zubou, G.G. Adamian, N.V. Antonenko, S.P. Ivanova, W. Scheid. Phys. Rev. C. 2003. V.68, P.014616; 2002. V.65, P.024308.

105. E.A. Cherepanov. Preprint JINR. 1999. E7-99-27.

106. R.V. Jolos, A.I. Muminov, A.K. Nasirov. Eur. Phys. J. A. 1999. V.4, P.245; G. Giardina, S. Hofmann, A.I. Muminov, A.K. Nasirov. Eur. Phys. J. A. 2000. V.8, P.205; G. Fazio et al. Eur. Phys. J. A. 2004. V.22, P.75.

107. G.G. Adamian, N.V. Antone?iko, W. Scheid. Nucl. Phys. A. 1997. V.618, P.176.

108. Z. Jing-Shang, H.A. Weidenmüller. Z. Phys. A. 1994. V.347, P.203.

109. P. Crange. Nucl. Phys. A. 1984. V.428, P.37.

110. G.D. Adeev. V. V. Pashkevich. Nucl. Phys. A. 1989. V.502, P.405.

111. H. Delagrarige. Z. Phys. A. 1986. V.323, P.437.

112. E. Stromberger, K. Ditrich, K. Poviorski. Nucl. Phys. A. 1991. V.529. P.522.

113. V.M. Kolomiclz, S.V. Radionov, S. Shlomo. Phys. Rev. C. 2001. V.61, P.054302.

114. F. Hanke, R. Retbold. Phys. Rev. A. 1985. V.32, P.2462.

115. B.L. Hu, J.P. Paz, Y. Zha.ng. Phys. Rev. D. 1992. V.45, P.2843.

116. R. Karrlein, H. Grabert. Phys. Rev. E. 1997. V.55, P.153.

117. G. Lindblad. Commun. Math. Phys. 1976. V.48, P.119; Rep. Math. Phys. 1976. V.10, P.393.

118. H. Dekker. Phys. Rep. 1981. V.80, P.l.

119. A. Isar, A. Sandulescu, H. Scutaru, E. Stefanescu, W. Scheid. Int. J. Mod. Phys. E. 1994. V.3, P.635.

120. В.Г. Зслевипский. XII Зимняя школа ЛИЯФ. 1977, С.53.

121. P.B. Джолос, С.П. Иванова, В.В. Иванов. ЯФ. 1984. Т.40, С.74.

122. В.В. Саргсян, 3. Каиоков, Г.Г. Адамян, Н.В. Антоненко. ЯФ. 2005. Т.68, С.2071.

123. Г.Г. Адамян, Н.В. Антоненко, 3. Каноков, В.В. Саргсян. ТМФ. 2005. Т. 145, С.87.

124. J. Ankerhold, Р. Pechukas, Н. Grabert. Phys. Rev. Lett. 2001. V.87, P.086802.137138139140141142143144145146147148149150151152153154

125. В.В. Саргсян, 3. К (токов, Г.Г. Лдамян, Н.В. Анпюпеико. ТМФ. 2008. в печати.

126. V.V. Sargsyan, Yu. Palrkikov, Z. Kanokov, G.G. Adamian, N.V. Antonenko. Phys. Rev. C. 2008. Y.77, P.024607.

127. V.V. Sargsyan, Yu. Palchikov, Z. Kanokov, G.G. Adamian, N.V. Antonenko. Phys. Rev. A. 2007. V.75, P.062115.

128. V.V. Saigsijan, Yu. Palchikov, Z. Kanokov, G.G. Adamian, N.V. Antonenko. Physica A. 2007. V.386, P.36.

129. S. Ayik et al. Phys. Rev. C. 2005. V.71, P.054611; N. Takigawa, S. Ayik. K. Washiyama, S. Кипura. Phys. Rev. C. 2004. V.69, P.054605.

130. P. Hanggi, P. Talkner, M. Borkovec. Rev. Mocl. Phys. 1990. V.62, P.251.

131. A. Cuccoli, A. Rossi, V. Tognetti, H. Vaia. Phys. Rev. A. 1992. V.45, P.8418; Phys. Rev. E, 1997, v.55, R4849.

132. B. Jurado. K.H. Schmidt, J. Benlliure. Phys. Lett. B. 2003. V.553, P.186.

133. B. Jurado et al. Nucl. Phys. A. 2005. V.747, P.14.

134. V.V. Sargsyan, Yu. Palchikov, Z. Kanokov, G.G. Adamian, N.V. Antonenko. Phys. Rev. C. 2007. V.76, P.064604.

135. P.N. Nadtochy, A. Kelic, K.II. Schmidt. Phys. Rev. C. 2007. V.75, P.064614.

136. R. Vandenbosch, J.R. Huizenga. Nuclear fission. New York: Academic Press, 1973.

137. S. Raman. C.W. Nestor, P. Tikkanen. At. Data Nucl. Data Tables. 2001. V.78, P.l.

138. G.G. Adamian et al. Int. J. Mod. Phys. E. 1996. V.5, P.191.

139. S. Hofmann and G. Munzenberg. Rev. Mod. Phys. 2000. V.72, P.733.

140. Yu.Ts. Oganessian et al. Phys. Rev. C. 2004. V.69, P.021601; 2004. V.69, P.054607; 2004. V.70, P.064609; 2005. V.72, P.034611.

141. K.H. Schmidt, W. Morawek. Rep. Prog. Phys. 1991. V.54. P.949; K.H.Schmidt et al. Proc. of Symposium on Physics and Chemistry of Fission. Vienna: IAEA, 1980, p.409.

142. C.-C. Sahm et al. Nucl. Phys. A. 1985. V.441, P.316. J. Gilat. Phys. Rev. C. 1970. V.l, P. 1432.156 157 [158159 160 [161 [162163 164 [165 [166 [167 [168 [169 [170 [171 [172 [173 [174 [175

143. O.Y. Grusha et al. Nucl. Phys. A. 1984. Y.429, P.313.

144. O.Y. Grusha, S.P. Ivanova, Yu.N. Shubin. VANT. Nuclear Constants. 1987. V.l, P-36.

145. E.A. Cherepcmov, A.S. Iljinov, M.V. Mebel. J. Pliys. G. 1983. V.9, P.931; E.A. Cherepanov. Proc. Int. Symp. on In-Beam Nuclear Spectropscopy. Debrecen, 1984, p.199; E.A. Chercpanov. A.S. Iljinov. Nucleonika. 1980. V.25, P.611.

146. A. V. gnatyuk, K.K. Istekov, G.N. Smirenkin. Sov. J. Nucl. Phys. 1975. V.29, P.875.

147. A. Ignatyuk Statistical Properties of Excited Atomic Nuclei. M.: Energoatomizdat, 1983.

148. A.S. Iljinov el, a!. Nucl. Phys. A. 1992. V.543, P.517.

149. К5. Barashenkov, V.D. Toneev. High Energy Interaction of Particles and Nuclei with Atomic Nuclei. M.: Atomizdat, 1972.

150. A.J. Sitrk. Phys. Rev. C. 1986. V.33. P.2039.

151. P. Möller, J.R. Ntx. At. Data Nucl. Data Tables. 1988. V.39, P.213.

152. F.F. Hessberger. Phys. Rev. D. 2007. V.45, P.33. M. Nurmia et al. Phys. Lett. B. 1967. V.26, P.78.

153. K. Nishw et al. Phys. Rev. Lett. B. 2004. V.93, P.162701. H. W. Gäggeler et al Z. Phys. A. 1984. V.316, P.291.

154. G. Münzenberg et al Z. Phys. A. 1981. V.302, P.7.

155. P. Cagarda. Ph.D. thesis. Bratislava: Comenius University, 2002.

156. F.F. Hessberger et al GSI Scientific Report. GSI 87-1, 1986, P.17.

157. G.N. Akapiev et al. Atom Ener. 1966. V.21, P.243. K. Nishio et al JAERI-Rewiew. 2004, V.027, P.39.

158. G.M. Ter-Akopian et al. Nucl. Phys. A. 1975. V.255, P.509.

159. V. V. Sargsyan, Yu. Palchikov, Z. Kanokov, G. G. Adamian, N. V. Antonenko. Препринт. JINR-P4-2008-32 (направлено в ЯФ).1.