Бифуркационное множество задачи о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в случае Ковалевской-Яхьи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

РГ6 од

,, ... На правах рукописи

УДК 517.938.5

РЯБОВ Павел Евгеньевич

БИФУРКАЦИОННОЕ МНОЖЕСТВО ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ В СЛУЧАЕ КОВАЛЕВСКОЙ - ЯХЬИ

01.01.04 - Геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1997г

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и оптимального управления Волгоградского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор М.П.Харламов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

доцент А.В.Болсинов

кандидат физико-математических наук,

с. н. с. И.Н.Гашененко

Ведущая организация:

Институт прикладной математики имени М.В.Келдыша РАН

Защита состоится " .3 »1997г. в 16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 по математике при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьёвы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан " . 3 » МАг-С^лЛ 1дд7г

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ

доктор физико-математических наук,

профессор В.Н.Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки занимает исключительное место в динамике. lio своей известности она уступает лишь проблеме трех тел. Дело в том, что эта задача описывается простой системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений (уравнениями Эйлера-Пуассона), для которой известны три общих интеграла. Кроме того, доказано (теорема Якоби), что для сведения задачи к квадратурам достаточно найти еще только один первый интеграл, не зависящий от времени. Многие исследования были направлены на поиски этого интеграла. В некоторых специальных случаях Эйлеру, Лагранжу, Ковалевской удалось найти дополнительный интеграл и свести уравнения к квадратурам.

Точные решения обычно выражаются достаточно сложно и не дают наглядного представления о движении тела. Большое значение ■ имеет качественное исследование, одним из основных результатов которого является теорема Лиувилля. Согласно этой теореме, неособая компактная совместная поверхность уровня первых, интегралов внолнеинтегрируемой гамильтоновой системы есть объединение торов, заполненных условно-периодическими-траекториями. Полезны-,>: ми здесь оказались применения аппарата дифференциальной топологии. Одна из работ в этом направлении принадлежит С.Смейлу, в которой с -топологической точки зрения изучена проблема трех тел • и намечена топологическая программа для исследования классических механических систем, в частности, натуральных систем с сим- • метрией. Эти результаты сразу нашли отражение в динамике твер- : дого тела (А.Якоб1, С.Б.Каток2и др). Я.В.Татариновым исследова- . ны бифуркации двух первых интегралов. Идеи Смейла были развиты М.П. Харламовым, в частности, им детально проведен топологический анализ классических интегрируемых задач динамики твердого тела3.

Топологический анализ интегрируемых гамильтоновых систем . начато интенсивно развиваться благодаря работам А.Т.Фоменко и

1 A.Jakob. Invariant manifolds in the motion oí a rigid body about a fixed point // Hey. Roam. Math. Pures et Appl. — 1971. — V. 16. — №10. — P. 1497-1521.

2С.Б.Каток. Бифуркационные множества и интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого чела // Успехи мат. наук. — 197?. — Т. 27. — №2. — С. 126-133. . ,.,..-.

3М.П. Харламов. Топологический анализ интегрируемых задач динамики,,, твердого теяа. — Л.: Изд-во Ленинградского уя-та,1988. — 200с.

его' научной школы. В работах автора4,5 построена теория типа Морса для боттовских интегралов, определенных на изоэнергетиче-ских поверхностях вполне интегрируемых гамильтоновых систем. В частности, описаны все типы критических многообразий таких интегралов, перестройки (бифуркации) торов Лиувилля для систем, интегрируемых в классе боттовских интегралов и дана топологическая классификация изоэнергетических поверхностей Q. В последующих работах6'7 построен инвариант I(H,Q) интегрируемого боттовско-го нерезонансного гамильтониана H. Снабдив инвариант I(H, Q) некоторыми числовыми метками, т.е. рассмотрев меченый инвариант I(H,Q)*, доказан критерий эквивалентности интегрируемых боттовских систем: такие системы топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда их топологические инварианты совпадают. В механике часто встречаются интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы, изоэнергетическая поверхность которых является §3, не исключением оказался случай интегрируемости Ковалевской - Яхьи. Нгуея Тьен Зунгом, А.Т.Фоменко дана полная классификация на языке "молекул" таких систем. Тонкая топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых невырожденных (т.е.боттовских) систем с двумя степенями свободы на основе оснащенных графов W* с числовыми метками, названных мечеными молекулами, изложена в работе А.В.Болсияова, С.В.Матвеева, А.Т.Фоменко 8. Построены новые топологические инварианты 9, которые дают классификацию таких систем уже с точностью до траекторной эквивалентности. Все инварианты эффективно вычисляются, например, для классических задач динамики твердого тела. Результаты этого направления отражены в работах А.В.Болсинова,

4 А.Т.Фоменко. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // ДАН СССР. — 1986. — Т. 287. №5. — С. 1071-1075.

5 А.Т.Фомешсо. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер.мат. — 1986. — Т. 50. — №6 — С. 1276-1307.

6 А.Т.Фомешсо. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю // Функц.анализ и его прил. — 1988.— Т. 22 — №4. — С. 38-51. :

7А.Т.Фоменко. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Успехи мат. наук. — 1989. — Т. 44.— №1. — С. 145-173.

®А.В.Болсинов, С.В.Матвеев, А.Т.Фоменко. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности // Успехи мат .наук. — 1990. — Т. 45. — №3. — С. 49-77.

9А.В.Болсинов, А.Т.Фомешсо. Траекторная эквивалентность интегрируемых

* гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Теорема классификации. I,

II // Матем. сб. — 1994. — Т. 185. №4,5. — С. 27-80, 27-78.

А.А.Ошемкова, О.Е.Орел. П.Топалова и других.

В динамике твердого тела наиболее сложным случаем интегрируемости является решение, указанное С.В.Ковалевской. Это решение упоминается в классических трактатах по механике Е.Т.Уиттекера, Г.К.Суслова, П.Алпеля, Т.Леви-Чевита, У.Амальди й других. Ему посвящены монографии В.В.Голубева, Г.Г.Алпельрота, А.Ф.Ипатова. Результаты С.В.Ковалевской были переработаны Кёттером. Б.Б.Делоне пашел частное решение для случая С.В.Ковалевской. Геометрический подход к изучению волчка С.В.Ковалевской использовал Н.Е.Жуковский. Эти результаты были развиты Г.Г.Аппельро-том, который выделил все классы вырождений ультраэллиптических квадратур в эллиптические. М.П.Харламов определил бифуркационное множество и исследовал фазовую топологию этого интегрируемого случая. Топологический инвариант I(Q, h) и неоснащенные слова^молекулы W(Q, h) для случая Ковалевской были вычислены А.Т.Фоменко, А.А.Ошемковым. Слово-молекула W(Q,h) полностью определяется значением топологического инварианта I{Q, h) и характеризует систему с точностью до грубой эквивалентности. Две интегрируемые гамильтоновы системы на Q\ и Q? называются грубо эквивалентными8,9, если лиувиллево слоение на Qi можно получить, разрезая Qi по лиувиллеву тору и склеивая возникшие граничные торы по некоторому диффеоморфизму. Кроме того, слова-молекулы, инвариант I*(Q, h) содержат множество числовых меток г* ,£>,nk, которые описывают правила склеивания лиувиллевых торов. Числовые параметры г, для инварианта I*(Q,h) определены А.В.Болсиновым10. П.Топаловым11 найдены п-метки, и тем самым получена тонкая топологическая классификация для динамических систем типа Ковалевской.

Исследования последних лет показали, что целесообразно рассматривать задачу о движении твердого тела с неподвижной точкой как частный случай более общей задачи — задачи о движении тяжелого гиростата с постоянным гиростатическим моментом, в постановке которой важные результаты принадлежат Н.Е.Жуковскому, П.В.Харламову и другим. Почти все классические результаты динамики твердого тела в том или ином виде обобщены на задачу о

10A.V.Bolsinov. Methods of calculation of the Fomenko-Zieschacg Invariant / / Ser.: Advances in Soviet Mathematics. AMS. — 1991-— Vol. 6. — P. 147-183.

11П.Топалов. Вычисление тонкого инварианта Фоменхо-Цишавга для основных интегрируемых случаев движения твердого тела f / Матем. сб. — 1996. — Т. 187. — №3."—С. 143-160.

движении гиростата.

Гиростату С.В.Ковалевской посвящено не так много работ. П.В.Харламов предложил рассмотреть гиростат, распределение масс которого подчинено условиям С.В.Ковалевской, а гиростатический момент направлен по оси динамической симметрии. Им указано инвариантное соотношение, позволяющее в эллиптических функциях проинтегрировать этот частный случай 12. Как показал Х.М.Яхья13, интеграл С.В.Ковалевской может быть обобщен на гиростат при условиях, указанных П.В.Харламовым. Г.В.Мозалевская, П.В.Харламов обобщают случай Б.К.Млодзеевского. Е.И.Харламовой найдено уравнение поверхности подвижного годографа угловой скорости тяжелого гиростата при условиях Ковалевской. И.Н.Гашененко14 при одном дополнительном ограничении на параметры уравнения движения сведены к эллиптическим квадратурам и дана классификация движений в этом случае. Представление Лакса для волчка Ковалевской и его обобщений на произвольную размерность получено А.М.Переломовым. Построенное им лаксово представление не содержит спектрального параметра. А.Й.Бобенко, А.Г.Рейманом, М.А.Семеновым-Тян-Шанским 15 найдено представление Лакса со спектральным параметром для случая Ковалевской и его обобщений на гиростат. Л.Гавриловым16 доказана теорема, согласно которой уравнения движения тяжелого гиростата допускают дополнительный алгебраический интеграл только в случаях Жуковского, Лагранжа и Яхьи.

Настоящая диссертационная работа отражает результаты по фазовой топологии задачи о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в случае интегрируемости Ковалевской - Яхьи.

Цель работы состоит в определении и детальном исследовании бифуркационного множества которое играет основную

12П.В. Харламов. Один случай интегрируемости уравнений движения твердого тепа, имеющего неподвижную точку // Механика твердого тела. — Киев: Наукова думка, 1971. — Вып. 3. — С. 57-64.

13Н.М. Yehia. New integrable cases in dynamics of rigid bodies // Mech. Res. Com.

— 1986. — Vol. 13(3). — P. 169-172.

14И.Н. Гатененко. Новый класс движений гиростата // ДАН СССР. — 1991.

— Т. 318 — №1. — С. 66-68.

A.I.Bobenko,A.G.Reyman,M.A.Sernenov-Tian-Shansky The Kowalewski Тор 99 Years Later: A Lax pair, generalizations and explicit solutions // Commun. Math. Phys. — 1989. — V. 122. — P. 321-354.

16Gavrilov L. Non-integrability of the equation of heavy gyrostat // Сотр. Math.

— 1992. — V. 82. — P. 275-291.

роль в классификации топологического и дифференцируемого типа интегральных многообразий, порождаемых системой первых интегралов, а также в изучении топологических свойств интегрируемого случая Ковалевской - Яхьи, одного из наиболее сложного в динамике твердого тела.

Методика исследования. Исследования, проводимые в диссертационной работе, основаны на методах дифференциальной геометрии и топологии, с привлечением качественной теории дифференциальных уравнений. Использованы методы топологического анализа интегрируемых гамильтоновых систем, развитые М.П.Харламовым 3 для классических задач динамики твердого тела. Для вычисления графов А.Т.Фоменко и определения неоснащенных молекул была использована теория топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, построенная А.Т.Фоменко, А.В.Болсиновым и другими.

Научная новизна. По количеству независимых параметров

случай Ковалевской - Яхьи занимает одно из первых мест среди интегрируемых задач аналитической механики. Отсутствие удобных вспомогательных переменных, разделяющего преобразования и простых квадратурных формул делают этот интегрируемый случай уникальным. Соединение аналитических методов и численного моделирования позволило автору самостоятельно получить новые научные результаты в этой задаче. Они заключаются в следующем.

1. Вычислены бифуркационное множество 17* л интегралов энергии и площадей, критические значения к отображения К х G : М5 —► Ж2, где К - дополнительный интеграл.

2. Обобщены классы Г.Г.Аппельротаи найдены критические значения интегрального отображения в частных случаях.

3. Доказано, что все критические значения интегрального отображения в задаче Ковалевской - Яхьи принадлежат множеству jx U72.

4. Найдено множество 0(д, А), которое состоит из тех значений, при переходе через которые меняется вид сечения 17^ к плоскостью (f?, А) = const.

5. Дана полная классификация бифуркационных диаграмм в задаче Ковалевской - Яхьи.

6. Доказана теорема об отсутствии критических движений для части бифуркационной кривой 72.

7. Исследован случай нулевой постоянной площадей: указан топологический инвариант, найдены все неоснащенные молекулы для системы Ковалевской - Яхьи. Для ненулевой постоянной площадей

приведены примеры вычисления графов А.Т.Фоменко, при этом были использованы методы компьютерного моделирования.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты имеют теоретическое значение, на практике они могут быть использованы по изучению возмущений для исследования систем, близких к интегрируемому случаю Ковалевской - Яхьи, для общей теории топологического описания интегрируемых гамильто.новых систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложенына "14-ой Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности" (г.Волгоград, 1995), на Международной конференции "Современные проблемы математики и механики" (МГУ, 1996), на Международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела"(г.Донецк, Украина, 1996г), на семинаре "Современные геометрические методы" под руководством А.Т.Фоменко (МГУ, 1996г).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ.

Структура диссертации. Работа состоит из шести глав, заключения, списка литературы из 100 наименований и содержит 143 страницы машинописного текста, включая 44 рисунка и 6 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава является вводной. В ней рассматривается актуальность тематики, история вопроса, предмет и метод исследования. Остановимся на краткой аннотации работы.

Уравнения движения гиростата вокруг неподвижной точки в поле силы тяжести имеют вид:

у + {А3 - Л2)о>+ - = (ег^з - ез"2)т ^-,-.0)3^2-^21/3 (123)17

Здесь и - вектор угловой скорости тела-носителя; е - единичный вектор, который направлен из неподвижной точки к центру масс; 7

17 Символ (123) означает, что остальные уравнения получаются циклической перестановкой индексов 1,2,3.

- параметр Пуанкаре, равный произведению веса гиростата на расстояние от его центра масс до неподвижной точки.

Уравнения движения тяжелого гиростата, как и уравнения движения твердого тела, имеют гамилътоновый вид18,19.

Рассматривается случай, когда гиростат подчинен следующим условиям: моменты инерции удовлетворяют соотношениям А\ = Ai — 2A3, центр масс находится в экваториальной плоскости эллипсоида инерции, гиростатический момент направлен по оси динамической симметрии (Ai = А2 = 0, Аз Ф 0).

Выберем подвижные оси так, чтобы центр масс находился на первой из них. Назначим \J~~f~ единицей измерения угловой скорости.

Обратная величина становится тем самым единицей измерения времени. Полагая А = ,л? ■-, уравнения движения гиростата в

\flA3

безразмерных величинах принимают вид

2wi = (шз - Х)и>2, 2ш-1 = -(w3 - A)wi - из, ыз = v2, (1)

г>1 = ¡/20Jz - V-i^l, ¡>2 = ~ 1>з = 1/1Ы2 - f2Wi,

где точка означает дифференцирование по безразмерному времени

т = \fî~t-

Y Аз

Первые интегралы системы (1) таковы

Я( ) = + + - 2г/! = 2h, К(-) = (wf - ш\ + fi)2 + + V2)2 +

+ 2A(w3-A)(wï+w|) + 4M^='ii (2)

G(-) = 2(w!i/! + и 2^2) + (^3 + A)//3 = 2 g,

r(-) = »1 + 4 + 4 = 1.

Отметим, что интеграл (2) найден Х.М.Яхьей13. . .

Задача о движении тяжелого гиростата, распределение масс которого подчинено условиям C.B. Ковалевской, а гиростатический момент направлен по оси динамической симметрии, называется задачей Ковалевской - Яхьи.

18А.А.Ошемков. Вычисление инвариантов Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела // Тр. семинара по векторному и тепзор-ному анализу. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993. — Вып.25.( Ч. 2). — С. 23-88.

19С.П.Новиков. Гамильтопов формализм и многозначный аналог теории Морса // Успехи мат. наук. — 1982. — Т. 37. — №5. — С. 3-49.

Рассматривается фазовое пространство системы (1)

Мъ = Ж3 х §2 = {(<5, v) : Г(-) - + v\ + v\ = 1} .

и вводятся интегральные отображения

Я х К х G : М 5 — R3(Jfc, /г, </), (3)

HxG : М5->R2(g,h), (4)

KxG : М5 —K2(ff,Jfc). (5)

Бифуркационные множества Е£ h и Л определяются как множества точек (/г, fc, j) 6 I3 и (</, h) е I2, над которыми отображения (3) и (4) не являются локально-тривиальными.

В случае компактности слоев, порождаемых (3) и (4), бифуркационные множества совпадают с критическими значениями (3) и (4). Через , обозначаются критические значения отображения (5).

При отсутствии гиростатического момента бифуркационное множество С hk3(h,k, д) вычислено М.П.Харламовым3.

Во второй главе доказываются теоремы.

Теорема 1. Бифуркационное множество интеграла энергии и интеграла площадей имеет вид

Г*Л = {0,±1}и7,

Ыил) - - А! +

где 7 :

912 = --'

Теорема 2. Критические значения интегрального отображения (5) следующие

= 73 и 74,

где цз : к = I - 4А2р2, 74

£ = 1 + 0^ + 0^ (2^ — 0*1 + А2).

w3 - 2 ± ' W1 - уГГ^Т'

€ (-1,0) U ^

Множества к и ¿7^ к используются, в частности, для исследования точек пересечения бифуркационных кривых 71,72 интегрального отображения (3).

В третьей главе определяется подмножество бифуркационного множества 17^к, которое состоит из критических значений отображения (3), отвечающих критическим точкам на сечениях и? = О, г/2 = 0, г^з = 0 фазового пространства Л/5:

& = 1 + 2дшх,

72"\ к = -4А V + (- + А2)2 -

Это подмножество обобщает классы простейших движений по Г.Г.Аппельроту. Там же показано, что бифуркационное множество представляет собой части поверхностей кратных корней многочленов ЯаФ.ВД.ЗД, где

ЯА(*) = -ж4 + 2 ( Л - — )хг + 4дх + 1 - к,

^(в) = в4 - 2(к + 2ЛЛ)82 - 8Л2в + (Л + 2А2Л)2 - 4А2(2/г - 4</2 + А2),

= г4 _ 2(2Л - 4<?2 + А2 )*2 - 8М + (2й - 452 + А2 )2 - 4(* + 2А2Л).

Многочлен указан Й.Н.Гашененко12 и им дана классификация движений, отвечающих кратным корням этого многочлена.

В четвертой главе доказывается теорема.

Теорема 3. Все критические значения интегрального отображения (3) е задаче С.В.Ковалеьской - Х.М.Яхьи принадлежат 71072-

Из-за отсутствия разделяющего преобразования, удобных вспомогательных переменных доказательство теоремы проводится аналитически в исходных переменных Эйлера - Пуассона и основано на явном

вычислении ранга отображения (3).

Пятая глава посвящена классификации бифуркационных диаграмм. В п.5.1 изучаются перестройки бифуркационного множества Eh j. . Пусть М(£) — множество всех бифуркационных диаграмм в задаче C.B. Ковалевской - Х.М.Яхьи. Рассматривается отображение я : М(Е) Щ.{д,\), т(27) = (д, А), где = {(<?,А) : g ï> О, А £ 0}. Слой отображения я- состоит из бифуркационной диаграммы S в плоскости Л). Через 0(д,Л) обозначается множество, которое состоит из тех значений (д, А) € А), при переходе через которые меняется вид сечения Е^ ъ д плоскостью (д, А) = const. Имеет место следующая теорема.

Теорема 4. Ô(g,X) = Uг«?е

Л : 1-4Аg = 0; Г3(0 = { -2i3, } , t € , о) ; r3(s) =

e [-1,0); =

Для исследования точек пересечения бифуркационных кривых 71, у2 используются h и к, а именно справедлива лемма.

Лемма 1. Пусть (k(t),h(t)) - точка пересечения кривых 7,-, г = 1,2, г<?е i £ (—1,0) U |~л +VA<±M.[ и g удовлетворяют уравнению:

(1 - г2){{( 1 + i2)2 + 4i?2}2 + 4AV + 4A2i(l + i2)2} --4А'У*2(5 - 2i2-И4) = 0.

Тогда {g(t),h(t))=Z*h, №W)) = 74 С '

В п.5.П приводится полная классификация бифуркационных диаграмм. В основе этой классификации лежит множество é?(g, А), которое представляет собой семейство кривых в Ж2 (9, А). При переходе через эти кривые качественно меняются бифуркационные диаграммы в плоскости Ж2(£, Л). Множество 0(д, А) разбивает Щ_(д, А) на 18 непересекающихся областей, в каждой из которой бифуркационные диаграммы имеют один и тот же тип. Для изучения вырожденных движений гиростата особый интерес представляют точки множества &{д, А), в которых пересекаются разделяющие кривые Z1,.

Для всех этих точек построены бифуркаиионные диаграммы. Траектории уравнений Эйлера-Пуассона, которым отвечает множество критических точек, называются критическими движениями. В п.5.3 доказывается теорема об отсутствии критических движений для части кривой 72. Множества &(д, А) и Едают возможность построить графы А.Т.Фоменко задачи С.В.Ковалевской - Х.М.Яхьи.

В п.6.1 и п.6.2 шестой главы изучаются неподвижные точки уравнений Эйлера-Пуассона и приводятся качественно различные бифуркационные диаграммы для нулевой постоянной площадей. Показывается, в частности, что точкам пересечения бифуркационных кривых отвечают положения равновесия тела или его равномерные вращения. В п.б.3.1 излагаются некоторые сведения по сим-плектической топологии: основные понятия и результаты топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы на языке неоснащенных молекул, полученные А.Т.Фоменко, А.В.Болотовым и другими. В п.6.3.2 приводятся все разделяющие кривые, вне которых дополнительный интеграл К является боттовским на изоэнергетических поверхностях Qh- Для нахождения разделяющих кривых и определения топологического типа изоэнергетических поверхностей Q\ используется аппарат, развитый А.А.Ошемковым18. Отметим, что топологический тип Qопределяется методом проекции на сферу Пуассона и был разработан С.Смейлом для натуральных механических систем, М.П.Харламов3 распространил его на случай систем с гироскопическими силами. Для нулевой постоянной площадей разделяющие кривые и графы изображаются в плоскости ®2(Д,/г). Для каждой области на плоскости Ж2(А, К) указывается пара (топологический тип Qh, граф А.Т.Фоменко). Определяются все неоснащенные молекулы W и значения топологического инварианта I(H, Q) в виде графов К*. Для ненулевой постоянной площадей приводятся примеры вычисления графов А.Т.Фоменко, при этом используются методы компьютерного моделирования.

Современное развитие вычислительной техники позволяет проводить исследования на качественно новом уровне. При выполнении данной работы была использована система аналитических вычислений Maple.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору М.П.Харламову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 .Рябов П.Е. Некоторые случаи вырождения переменных в одной задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки // Деп. в ВИНИТИ. — Волгоград, 10.09.1991г, N83660-B91. — 9с.

2. Рябов П.Е. 6 критических значениях одного интегрального отображения // Сборн. трудов молодых ученых Волгогр. ун-та. — Волгоград, 1995г. — С. 229-230.

3. Рябов U.E. К вопросу о вычислении бифуркационного множества в одной задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки // Деп. в ВИНИТИ. — Волгоград, 08.02.1996г, №458-В96. — 9с.

4. Рябов П.Е. Перестройки бифуркационного множества в обобщенной задаче С.В.Ковалевской // Деп. в ВИНИТИ. — Волгоград, 22.03.1996г, №884-В96. — 7с.

5. Рябов П.Е. Об одном свойстве бифуркационных кривых // Деп. в ВИНИТИ. — Волгоград, 11.0б.199бг, №1954-В9б,— 16с.

6. Рябов П.Е. О критических значениях интегральных отображений в одной задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки // Механика и технология изделий из метал, композиц. материалов. —- Волгоград, 1996г. — С. 110-115.

7. Рябов П.Е. Бифуркационные множества в задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки // Вестник Волгогр. ун-та. — Сер.: матем., физика. — 1996. — Вып. 1. — С. 41-49.

8. Рябов П.Е. Бифуркационные диаграммы в одной задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки // Деп.в ВИНИТИ. — Волгоград, 19.07.1996г, №2467-В96. — 14с.

9. Рябов П.Е. Некоторые результаты по фазовой топологии одного интегрируемого случая / / Тез. докл. Донецкой между нар. конф.: устойчивость, управление и динамика твердого тела. — Донецк, Украина, 1996. — С. 91-92. .

10. Рябов П.Е. Обобщение классов Г.Г. Аппельрота и, перестройки бифуркационного множества // Материалы международной конференции "Современные проблемы математики и механики". — М.: Изд-во МГУ, 1996, Том 2. — С. 302-304.